No title

LOGIKA Neform
ln vklad z
kladu form
ln logiky Druh
pepracovan
a doplnn
vydn

Petr Jirk
u a Jiina Vejnarov

13. bezna 2000

Katedra informanho a znalostnho inenrstv Fakulta informatiky a statistiky VE 13067 Praha 3, n m. W. Churchilla 4 E-mail: [email protected], [email protected] Katedra logiky Filozock fakulta UK 11642 Praha 1, Celetn 20 E-mail: Petr.Jirku@.cuni.cz

Pedmluva k prvnmu vydn Tento text vznikl na z klad semestr lnch pedn ek konanch v letech 1991 a 1993 na fakult informatiky a statistiky Vysok koly ekonomick (obor informatika) a na lozock fakult Karlovy univerzity v Praze (obor vdecko-technick informace a knihovnictv). Pro zpracov n do souasn podoby byl text doplnn pas emi, kter navazuj na tradin vklad predik tov logiky a vytv ej nezbytn z zem pro pedmty logick
programovn, expertn syst
my a teorie racionlnho usuzovn. Hlavnm clem je ovem vyloit z kladn pojmy logiky, uk zat, jak logika pispv k pochopen vstavby zejmna deduktivnch discipln a tm pispt ke zlepen kultury mylen i vyjadov n. Tmatem textu je logika. Podtitul k , e jde o logiku form ln. Form ln znamen , e logiku, tak jak ji zde ch peme (tj. v Aristotelsk tradici), nezajm obsah tvrzen, ale jejich forma a vz jemn vztahy, pedevm vztah vyplv n. Vklad je vak veden neform ln, co znamen mj., e se sice budeme asto odvol vat na intuitivn zn m pojmy, ale nebudeme pedpokl dat  dn pedbn znalosti. Zejmna se nepedpokl daj  dn speci ln znalosti z matematiky, pouze nkolik intuitivn dobe srozumitelnch pojmu z teorie mnoin, se ktermi je ten  dostaten obezn men ji na stedn kole. Pro ten e, kter by si poteboval tyto z kladn pojmy osvit, je pipojen dodatek. Podtitul tto publikace ale t k , e jde o z klady logiky. Termn zklady je zde pouit pedevm ve smyslu anglickho elements, i kdy, zejmna pi vkladu neklasickch logik, je mono jej nkdy ch pat i ve smyslu anglickho foundations. Elementy logiky, jak je v souasn dob obvykl, obsahuj vklad vrokov a predik tov logiky, nebo jinak, teori nultho a prvnho  du. Toho jsme se pidreli i my. N  vklad je ovem rozen o dal tmata, kter jsou nezbytnm pedpokladem studia dalch pedmtu, nejen tch jmenovanch ve. Skriptum je ureno pedevm pro studenty informatiky, kte zamlej studovat hlavn specializaci informan a znalostn inenrstv. Autor vak douf , e bude vhodnou uebn pomuckou pro posluchae vech ostatnch oboru. Nen to text, kter by beze zbytku pokrval vechna tmata, o nich je e. Ml by ale umonit studentovi oprostit se od detailnho zapisov n pedn ek, a tm zskat monost soustedn sledovat vklad. Pedkl dan text je prvn verz, kter bude postupn pepracov v na v zamlenou rozs hlej knin publikaci. Autor bude proto ten i vdn za jakoukoli pipomnku ke zlepen textu. Jen tko budeme hledat nkoho, kdo by popral, e je duleit (zejmna ve vd) umt usuzovat logicky. Snad jen vjimen potk te lovka, kter pizn , e neum logicky myslet. Ze zkuenosti vme, e lid v jednoduchch bnch situacch spont nn logicky uvauj, avak na druh stran nen obtn nalzt situace, kdy si nevme

rady. Proto se budeme snait uk zat, e systematick studium logiky mue bt znanm pnosem. Mnoz lid se vak studia logiky ob vaj, nejastji je odrazuje pr v form ln str nka logiky spojen asto s pouv nm mnoha symbolu, za nimi laik pedpokl d nco nesrozumitelnho, odtaitho, vzd lenho pirozenmu vyjadov n a usuzov n. Chceme tyto obavy rozptlit. Symbolickm vrazum se ovem nebudeme vyhbat, avak ne proto, abychom vytvoili zd n vdeckosti, ale sp proto, abychom se vyjadovali sporn, pesn a pehledn. Autor je zav z n obma recenzentum, RNDr. Kamile Bendov, CSc. (Katedra logiky FF UK) a doc. RNDr. Janu Coufalovi, CSc. (Katedra matematiky FIS VE) za peliv peten textu, za pomoc pi odstraov n etnch nedopaten, ale pedevm za cenn pipomnky, n mty a diskuse vedouc ke zlepen textu. Podkov n ovem pat i studentum, kte v letnm semestru 1993 spn pracovali s neplnm textem a nepmo se podleli na jeho vzniku. Petr Jirk u, erven 1993

Pedmluva ke druhmu vydn Po nkolikalet zkuenosti s vukou logiky ruznch typu posluchau jsme s kolegyn Jiinou Vejnarovou pistoupili k doplnn a z vt  sti pepracov n pedkl danho uebnho textu z kladnho kurzu. Co se zmnilo pedevm. Samozejm, e jsme odstranili nkter nedopaten a drobn chyby, ale to nebylo nejduleitj, nebylo jich pli mnoho.1 Zamili jsme se pedevm na to, aby text byl vybaven dostatenm mnostvm pkladu a cvien. Po tch studenti vdycky opr vnn volaj. A konen, doplnili jsme nkter tmata, kter se uk zala aktu ln. Za peliv peten a cenn pipomnky jsou oba autoi druhho vyd n tentokr t zav z ni recenzentum emeritnmu doc. PhDr. Zdeku Zast vkovi, CSc. (Katedra logiky FF UK) a doc. RNDr. Janu Coufalovi, CSc. (Katedra matematiky FIS VE). Petr Jirk u a Ji ina Vejnarov, leden 2000

1

Za v
echny je ov
em odpovdn prvn autor.

Obsah 1 vod

11

2 Vrokov logika

17

1.1 Co je form ln logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Pozn mka o vvoji logiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1 Vroky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vrokov spojky a sloen vroky . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Booleovsk funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Jazyk vrokov logiky. Formule . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Varianty z pisu formul . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Tautologie, kontradikce a splniteln formule . . . . . . . . 2.4.1 Konjunktivn forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Disjunktivn forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Logick dusledek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Odvozov n formul vrokov logiky . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Odvozovac pravidla, dukaz, dokazatelnost . . . . . 2.7 Axiomatick vstavba vrokov logiky . . . . . . . . . . . 2.8 Vlastnosti vrokov logiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Korektnost, plnost a bezespornost vrokov logiky

3 Prediktov logika

3.1 Jazyk predik tov logiky . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Splov n a pravdivost . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Relace a jejich vlastnosti . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Relan struktury . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Booleovy algebry . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Interpretace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Odvozov n v predik tov logice . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Axiomatizace predik tov logiky . . . . . . . . 3.3.2 Vlastnosti predik tov logiky . . . . . . . . . 3.4 Automatick dokazov n . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Prenexn norm ln forma a Skolemovy funkce 7

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 18 20 24 25 28 30 31 32 35 35 38 42 43

51

52 57 57 59 60 61 63 64 65 66 66

3.4.2 Automatick dokazov n | klauzule . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.3 Rezolun metoda odvozov n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4 Formalizovan teorie a jejich vlastnosti

4.1 Logick struktura teori . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Form ln systmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Teorie prvnho  du a modely formalizovanch teori 4.3.1 Axiomatizovatelnost . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Element rn ekvivalentn modely . . . . . . . 4.4 Abstraktn operace logickho dusledku . . . . . . . . 4.5 G"delovy vsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 G"delova loha (1931) . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Varianta G"delovy lohy . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

5 Neklasick logiky

5.1 Dal logick kalkuly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Vcehodnotov a mod ln logiky . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Trojhodnotov logika . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Extern negace a oper tory jistoty a monosti . . . 5.2.3 Axiomatizace a odvozov n v trojhodnotov logice . 5.2.4 Axiomatizace a odvozov n v mod lnch logik ch . 5.3 Vlastnosti vcehodnotovch a mod lnch logik . . . . . . . 5.3.1 #plnost a rozhodnutelnost mod ln logiky . . . . . 5.3.2 Dal vlastnosti logickch kalkulu . . . . . . . . . . 5.3.3 Varianty mod lnch logik . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Vcehodnotov a fuzzy logiky . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Intuicionistick logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Z kladn intuicionistick ideje . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Filozock z klady intuicionismu . . . . . . . . . . 5.5.3 Syntaktick systm intuicionistick logiky . . . . . 5.5.4 Vztah intuicionistick logiky a trojhodnotov logiky 5.5.5 Topologick interpretace intuicionistick logiky . . . 5.6 Vztahy mezi klasickou logikou a neklasickmi systmy . . . 5.7 Princip tolerance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Logika, znalosti, usuzovn

6.1 Nemonot$nn usuzov n . . . . . . . . 6.2 Nepln informace . . . . . . . . . . . 6.2.1 Datab ze . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Aktualizace znalost a odvozen 6.3 Hierarchie ddn vlastnost . . . . . . 6.4 Teorie akc . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Form ln teorie nemonot$nn inference

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

81 82 86 87 87 87 89 89 91

93

93 95 95 99 101 102 107 107 107 108 108 114 115 117 118 119 120 120 121

123

123 123 124 125 128 129 130

6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5 6.5.6

Logika defaultu . . . . . . . . . . . . . . Pklady extenz teori s defaulty . . . . Restrikce defaultu . . . . . . . . . . . . . Problmy usuzov n v teorich s defaulty Omezen (circumscription) . . . . . . . . Autoepistemick logika . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

130 133 134 137 138 139

7 Filozock logika a analytick lozoe

141

8 Strun pehled vznamnch logiku 9 Dodatek: Matematick zzem

143 149

7.1 Logika a lozoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.1 Z kladn matematick pojmy . . . . . . . 9.1.1 Mnoiny a vztahy mezi mnoinami 9.1.2 Relace, operace, funkce . . . . . . . 9.2 Jet pozn mka o nekonenu . . . . . . . . 9.2.1 Cantorova vta . . . . . . . . . . . 9.2.2 Vta Cantor-Bernsteinova . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

149 149 152 154 155 156

Kapitola 1 vod 1.1 Co je formln logika Logiku je obvykl charakterizovat jako analzu metod lidskho mylen i uvaov n, co odpovd i etymologii slova logika. %asto tak slovo logika slch me s ruznmi pvlastky, mluv se o form ln logice, matematick logice, symbolick logice, ale tak o intuicionistick logice, mod lnch logik ch, vcehodnotovch logik ch, pravdpodobnostn logice, deontick logice a mnoha dalch. Termn logika se asto vyskytuje i v bn ei v rozmanitch slovnch spojench jako to nem dnou logiku, neprosn logika vvoje, ensk logika, logika vci vy aduje, aby ... apod. Odkud termn logika vlastn poch z? Evangelista sv. Jan v prvnm veri prvn kapitoly prav, e na po tku bylo Slovo (ecky
oo& ), tedy jazyk, mylen, uvaov n, ale t  d vc. Logik si v tto souvislosti klade ot zku, jak tento  d uchopit, co je to pravda, co je z pravdivch tvrzen odvoditeln a poppad, jak obtn je dusledky odvodit. Logick odvozov n se odehr v v jazyce. Kad vdn disciplna si vytv  svuj jazyk, m svoje pojmy a tedy i svoji logiku. Nkter pojmy jsou transdisciplin rn, jsou spolen vem vdnm discipln m, i kadodennmu usuzov n. Aristoteles n s nauil, e jedny vroky souvisej s jinmi, jsou dusledky jinch, dokonce, e cel mnoiny vroku souvisej s jinmi mnoinami vroku. Jsou dva zpusoby, jak se dovdt nco o pravdivosti vroku a korektnosti tvrzen: evidence a rozum. M me d t pednost evidenci anebo rozumu? Logika stran rozumu, ale jen do urit mry. Zd se, e logick dukazy jsou redukov ny na posloupnosti evidenc. "%m vce z konu logiky zn me", k Petr Vopnka v Rozprav ch s geometri, "tm vce mueme rozum vytlait z pmho rozhodov n o spr vnosti vah, kter jsme v mylen vykonali. Sta se toti podvat, zda se takov vaha z kony logiky d. Spr vnost takov vahy ji jen evidujeme, a ovme-li takto jej spr vnost, nen ji potebn zkoumat ji rozumem." Pro lovka to vak m opt sv meze. Vdy jsme schopni jen nepatrnho potu evidenc. Napklad iterovan 11

aplikace pravidel odvozov n jsou stupkem, kter sice inme ve prospch rozumu (dlouh dukazy rozhodn nejsou evidentn), ale vdy se ochotn vracme k evidencm. V tto souvislosti se naskt ot zka, zda stejn meze m i stroj. A( tak i onak, jako hledai duvodu a dusledku nar me jednak na sv vlastn omezen jednak na skutenost, e svt se neust le mn. Logika, odk zan n m Aristotelem a v tomto stolet rozvjen v prosted matematiky a zahledn do z kladu matematiky, vyzdvihnuv statickou str nku relace odvoditelnosti, se v souasn dob sna postihnout i dynamiku usuzov n, tj. nalzt racion ln prostedky charakterizujc zmny epistemickch stavu. Zkoum me-li njakou, teba matematickou strukturu, postupujeme asto tak, e formulujeme tvrzen o tto struktue, kter jsou, eknme, evidentn a kter tuto strukturu pokud mono co nejlpe vystihuj. Pak se na z klad jistch pravidel usuzov n sname odvodit dal netrivi ln tvrzen o zkouman struktue. Vytv me kalkul. Tato struktura mue bt ovem "modelem" njak re ln struktury. (Form ln) kalkul pouv me vdy, kdy chceme "vypotat" to, co nen ve struktue evidentn. Mezi klasick, nejlpe prozkouman, a st le nejduleitj kalkuly v logice pat vrokov a prediktov poet (oznaen vrokov a predik tov logika budeme pouvat jako synonyma), jim vnujeme nejvce msta (kap. 2 a 3), zmnme se ovem i o tzv. neklasickch logikch, o duvodech jejich vzniku a samozejm o pmch i nepmch aplikacch (kap. 5). Dynamikou epistemickch stavu se pak budeme zabvat v kap. 6. To u je oblast, kter podle nkterch do logiky nepat, protoe sudky nezachov vaj pravdivost. Avak v puvodnm pojet je logika pedmtem, kter se zabv nejen relac odvoditelnosti i dokazatelnosti, ale t postupy jak spr vn argumetovat. To navc zav n psychologi, vahami o ot zk ch strategie a taktiky argumentace. Kdysi byla do logiky dokonce zahrnov na nap. i rtorika. V naem pl nu se vak tmito ot zkami nebudeme zabvat, i kdy jde jist o zajmav tmata. Budeme se starat spe o form ln a struktur ln vlastnosti sudku. Jestlie vak zan me hovoit o form lnch vlastnostech mylen i v um slova smyslu usuzov n, je teba hned na po tku ci, e oznaen formln i symbolick logika neznamen , e jde o njak postupy, kter jsou jen pro zasvcen. Logika nen form ln proto, e pracuje se symboly, kter by mly njak tajemn vznam, je form ln proto, e ji nezajm obsah naich sdlen, ale e na z klad formy sudku odvozujeme jejich korektnost. Form ln zkoum n jakhokoli skutenho objektu a jeho vztahu k jinm objektum spov v odpovdajc abstraktn a idealizovan charakterizaci tohoto objektu a vztahu k jinm objektum i struktur m. Mueme tedy ci, e v logice msto samotnho procesu mylen zkoum me jazyk, nebo, jak jet nkolikr t uvidme, jakousi formalizovanou, obvykle drasticky zjednoduenou verzi kadodennho jazyka, i posloupnost vpovd o vnjm svt. Pedmtem zkoum n vak nen vztah vnjho svta a na ppadn formalizace. Budeme se samozejm vnovat ot zk m interpretace vpovd v irm kontextu, ale pev n si budeme kl st ot zky, zda to, co je z hlediska logiky nezbytn, je nezbytn i mimo tento kontext.

Jet k termnu matematick logika. Tento termn je asto pouv n jako dal alternativa pro oznaen form ln i symbolick logiky. Pesto jej lze ch pat ve dvou vznamech. Bu) se tm chce vyj dit, e pro zkoum n logickch pojmu jsou pouv ny matematick prostedky (co budeme init i my), anebo e zkoum n logickch systmu je zameno do z kladu matematiky. My se samozejm budeme zabvat spe tmi aspekty logiky, kter nejsou tak striktn sv z ny s matematikou samotnou, a kter maj obecnj metodologick dosah. Brzy ale bude zejm, e je dost obtn rozliit, co je prim rn, zda matematika i logika. To je d no jednak tm, e z historickho hlediska to byla pr v matematika, kter pin ela a st le pin  podnty pro rozvoj logickch zkoum n, a jednak tm, e snaha vybudovat pro matematiku pevn z klady si vy dala precizovat logick pojmy. Z tohoto pohledu se n m mue jevit vztah matematiky a logiky jako uzaven kruh, v kadm ppad je to kruh znan metodologick hodnoty.

1.1.1 Poznmka o vvoji logiky Logika byla s matematickm n hledem spojov na u od dob, kdy sama matematika zaala bt ch p na jako vdeck disciplna. Thales Miltsk byl u v 6. stolet ped nam letopotem nejen skvlm geometrem, ale uvdomoval si, e dobr poznatky je teba zduvodovat. Ale ne kad duvod je dobr. Logicky uvaovat znamen , mimo jin, hledat racion ln argumenty. Aristotelsk logika. Aristotels je veobecn povaov n za zakladatele logiky a bez nads zky mueme ci, e logiky form ln. Form ln v tom smyslu, jak jsme o tom hovoili u v pedchozm odstavci a jak form ln logiku de facto ch peme dnes. Aristotels pinesl logice pojem sylogismu a podrobn jej prozkoumal. Sylogistika se pak stala hlavnm tmatem logickch zkoum n a do konce stedovku. Eukleides pi vytv en z kladnch pilu geometrie n s nauil axiomatick metod, kter sehr la vznamnou lohu o dva tisce let pozdji pi hled n axiomu teorie mnoin je se stala duleitm prizmatem, jm nahlme modern matematiku. Dalm obdobm, jeho po tek je obvykle datov n velmi pesn rokem 1662, kdy Nicole Arnauld vydal dlo La loqic ou l'art de penser (Logika, ili umn myslet) a kter je nkdy nazv no Logika z Port-Royal, kdy pevl daj ot zky epistemologick a psychologick. Lze vytuit, e to bylo pro rozvoj logiky obdob nejmn plodn, v nkterch aspektech obas dokonce i zav djc. A opt n vrat k matematickmu z zem logiky, kter je spojem se jmny Gerge Boolea, Johna Venna a dalch, d v podnt ke vzniku toho, co dnes obvykle nazv me klasickou vrokovou logikou. Tet, pro logiku velmi vznamn obdob je zrod predik tov logiky, dlo lovka, kter se narodil ped 150ti lety, tj. v roce, kdy v Praze zemel jin velik n, kter vznamn ovlivnil n  pohled na logiku a matematiku { Bernard Bolzano. Gottlobu Fregovi vdme za predik tovou

logiku, kter se pro n s stala jednm z nejvznamnjch n stroju studia racion ln argumentace. Je to n  hlavn n stroj pro formulov n teori i pro analzu jejich logick struktury. Dvac t stolet pak pineslo nebval rozvoj logiky zpo tku zejmna pr v pi zkoum n z kladu matematiky. Opt to byly paradoxy (Russelluv, Bourali-Fortiho a dal), kter se na pelomu 19. a 20. stolet objevily pi budov n teorie mnoin, jej intuitivn z klady poloili Bernard Bolzano a Georg Cantor. Bertrand Russell pak obohatil logiku o teorii typu, David Hilbert vytvoil program formalizace, jm chtl zabezpeit v t dob skrze paradoxy ponkud zpochybnn z klady matematiky samotn. Kurt G"del ale ve tic tch letech zeteln uk zal na vnitn meze programu formalizace. Druh polovina 20. stolet je ve znamen digitalizace, co pro logiku mj. znamen obrat k algoritmizaci, k vyslitelnosti a poslze k ot zk m sloitosti vpotovch procesu. Allan Turing podal rigor$zn, tj. form ln charakteristiku vpotovho zazen, kter je po nm nazv no Turinguv stroj, a poloil ot zku monosti uml inteligence. Vvoj logiky byl v poslednch dvou milenich nejen bohat, ale asto i dramatick. %ten e, kter by se zajmal podrobnji o historii logiky od Aristotela a do poloviny 20. stolet odkazujeme na reprezentativn dlo manelu Knealovch The Development of Logic +33]. Jak bude vvoj logiky vypadat na samm za tku tetho milenia lze jen tko odhadovat. Je vak tm jist, e budou zkoum na nov tmata, kter se budou tkat nejen novch pohledu na star ot zky, ale v kontextu vznikajc informan spolenosti budeme eit nejen ot zky, kter se budou tkat nejen na performance, ale t ot zky porozumn na mysli.

1.1.2 Program Nejprve standardnm zpusobem vylome vrokovou logiku a nejlpe prozkouman logick kalkul teori prvnho  du - prediktov kalkul. 1 Uvidme, e klasick predik tov logika prvnho  du, i kdy velmi bohat a zajmav , pece jen vyuv znan omezench vyjadovacch prostedku. Proto v dal kapitole budeme zkoumat alternativn pstupy, tj. budeme se zabvat nap. modlnmi logikami, v nich n m pujde o analzu takovch jazykovch vrazu (modalit) jako "je mon, e : : :\, "je nutn : : :\ a vcehodnotovmi logikami, tj. logikami s vce ne dvma pravdivostnmi hodnotami, abychom vyj dili neuritosti. V dal kapitole pak budeme uvaovat o metod ch usuzov n, kter se vymykaj bnmu poadavku kladenmu na odvozovac pravidla, tj. poadavku zachov n pravdivosti pi odvozov n. Snadno se toti pesvdme, e se v naich kadodennch vah ch nevyhneme logicky nekorektnm sudkum, abychom se orientovali ve svt s neplnmi informacemi i informacemi mncmi se v ase. N  program tedy bude n sledujc: vrokov logika, predik tov logika, neklasick 1

Termny kalkul, poet, logika budeme, pokud nebude nic jinho e eno, zde ch pat jako synonyma.

logiky (vcehodnotov logiky, intuicionistick logika, mod ln a pop. kondicion ln logiky) a konen logiky navren pro usuzov n s neplnou a v gn informac. Tato  st vkladu u vlastn pekrauje element rn kurs logiky a je ppravou pro dal specializovan kursy. Nakonec se zmnme t o vztahu form ln logiky, lozock logiky a analytick lozoe, co je ovem ji zcela samostatn tma, ktermu bude teba vnovat i samostatn text. Text je doplnn strunm pehledem vznamnch svtovch logiku s odkazy na jejich nejduleitj vsledky a dla a pochopiteln i pehledem literatury. Na tomto mst se zmnme pouze o asopisech. Ve svtovm mtku je v oboru logika nejvznamnjm asopisem patrn The Journal of Symbolic Logic vyd van tvrtletn mezin rodn Asociac symbolick logiky. U n s vych zel sp. From the Logical Point of View vyd van Akademi vd %R, bohuel v roce 1995 vyel naposledy. Pravideln se u n s pod n zvem Logica konaj mezin rodn konference po dan oddlenm logiky Filozockho stavu AV %R. Vklad je veden volnou formou, vznamnj denice jsou zduraznny, u vtiny duleitch tvrzen jsou pod ny nebo aspo naznaeny dukazy. Rozsah textu vak nedovoluje podat detailn dukazy vech tvrzen, protoe by tm nemrn vzrostl rozsah pouvanho technickho apar tu. Autoi se vak domnvaj, e ten  zsk dostaten prostedky, aby v ppad hlubho z jmu mohl samostatn st odbornou literaturu o logice. Proto v nkterch ppadech odkazujeme na jin dostupn publikace v eskm jazyce, zejmna na knihu +30].

Kapitola 2 Vrokov logika 2.1 V roky Vrokov logika (nkdy k me t vrokov poet nebo vrokov kalkul) se zabv tmi formami usuzov n, u nich platnost z vru nez vis na smyslu ani na vnitn struktue vroku, ale vhradn na pravdivosti i nepravdivosti tchto vroku. Rozeberme n sledujc vty eskho jazyka, abychom porozumli, co myslme vrokem: 1. Gen je biologick struktura. 2. Gen nen biologick struktura. 3. Na Marsu je ivot. 4. Ve vesmru existuje ivot i mimo Zemi. 5. ivot je pravohl. 6. Pravohl ivot je kdy .

Ctme, e mezi uvedenmi esti vpov)mi jsou n padn rozdly, pt me-li se na jejich pravdivost i nepravdivost. Jist se shodneme v tom, e vta 1) je pravdiv a vta 2) je nepravdiv . Nic takovho ale nemueme ci o vt ch 3) a 4), jim pravdivost nebo nepravdivost nejsme schopni pisoudit s jistotou. Co vak mueme konstatovat, je fakt, e nae mra pesvden o pravdivosti vty 3) kles , zatmco u vty 4) roste dky nap. kosmickm vzkumum. Vty 3) a 4) jsou pravdiv, nebo nepravdiv, ale nae prostedky, jak zjistit jejich pravdivostn hodnotu, nejsou dostaten siln. #pln jinak je tomu u vt 5) a 6). Vta 6) nen dobe sestaven , jej skladba neodpovd 17

pravidlum skladby eskho jazyka, nem tud smysl cokoli kat o jej pravdivosti i nepravdivosti. Vta 5) je sice gramaticky spr vn , avak zjevn nesmysln vzhledem k vadnmu pouit predik tu pravohl. Zde rovn nem smysl uvaovat o jej pravdivosti i nepravdivosti. Nkdy k me, e vta 6) odporuje syntaxi, zatmco vta 5) smantice eskho jazyka.1 V dalm se budeme zabvat vhradn vpov)mi typu 1) a 4). Budeme je nazvat vroky.

Denice 2.1.1 Vrok je vta jazyka, kter
m smysl p i adit pravdivostn hodnotu, tj. vta, o kter
m smysl ci, zda je pravdiv, i nepravdiv.

To, zda je dan vrok pravdiv i nikoli, vak ppadn nemusme pr v vdt. Jak zjistme pravdivostn hodnotu konkrtnho vroku, to nen pedmtem logiky, ale speci lnch vd nebo jinch zkoum n.

2.2 V rokov spojky a slo en v roky Ve vrokov logice se zajm me o to, jak pravdivost i nepravdivost jednch vroku souvis s pravdivost i nepravdivost jinch vroku. Chceme vdt, za jakch podmnek mueme z pravdivosti jednch vroku usuzovat na pravdivost jinch vroku. Nejprve si vak vimneme, e z danch vroku mueme v jazyce skl dat slo en
vroky (nkdy nazvan sentence). Tak nap. z vroku 1) a 3) vytvome spojkou nebo nov vrok: Gen je biologick struktura nebo na Marsu je ivot. V tomto jednoduchm ppad je zejm, e vzhledem k tomu, e prvn vrok je pravdiv, je i vsledn sloen vrok pravdiv. To je vlastnost spojky nebo.2 Pirozen jazyk disponuje jet dalmi spojkami, kter umouj vytv et sloen vroky a kter maj tu vlastnost, e pravdivost i nepravdivost vslednho vroku je urena pravdivostnmi hodnotami puvodnch vroku. O takovch spojk ch nkdy k me, e jsou extenzionln. K extenzion lnm spojk m pat vedle spojky : : : nebo : : : takov vrazy jazyka jako

: : : a : : :, jestli e : : :, pak : : :, : : : je ekvivalentn : : :, Je ov
em teba poznamenat, e v bn komunikaci pouv me asto jen ne plnch st vt pirozenho jazyka, rozhovor jen zdka probh v celch vt ch, a pitom si vt
inou rozumme. To je ale jin ot zka. Zde budeme uvaovat o jazykovch vrazech, kter je mono povaovat za vty jazyka. 2 Je samozejm jedno, je-li pravdiv prvn i druh vrok. 1

nen pravda, e : : :

apod. Pro logick vrokov spojky mueme sestavit denin tabulky, kter uruj pravdivostn hodnoty sloench vroku. Mueme je v jistm smyslu povaovat za denice extenzion lnch vrokovch spojek. Ozname-li symbolem 1 pravdivostn hodnotu pravda a symbolem 0 pravdivostn hodnotu nepravda, budou denin tabulky pro dobe zn m logick spojky vypadat takto: Jednomstn spojka, kterou nazveme negace a ozname symbolem :.

V :V 1 0 0 1 Dvoumstn spojky konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence, kter ozname postupn symboly ^ _ ) , .3

V1 1 1 0 0

V2 V1 ^ V2 V1 _ V2 V1 ) V2 V1 , V2 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1

Vrok, vytvoen ze dvou vroku pomoc spojky konjunkce, teme V1 a V2, vrok, vytvoen pomoc disjunkce, teme V1 nebo V2, implikaci teme jestli e V1 , pak V2 a konen ekvivalenci teme V1 je ekvivalentn V2. Jinmi slovy, konjunkce znamen souasnou platnost obou vroku, disjunkce platnost alespo jednoho vroku. 4 Ekvivalence znamen , e oba vroky maj stejnou pravdivostn hodnotu, tj. e jsou bu) oba pravdiv nebo oba nepravdiv. Implikace je nepravdiv , kdy prvn vrok (antecedent) je pravdiv a druh (konsekvent) nepravdiv, ve vech ostatnch ppadech je pravdiv . To mj. znamen , e implikace je jedin z dosud uvedench logickch spojek, kde z le na poad vroku. To, e jsme k ozna en pravdivostnch hodnot pravda a nepravda pouili slic a pro ozna en vrokovch spojek pro nkoho mon nezvyklch symbolu, nem  dn skryt, nato pak njak tajemn vznam. Jsou to jen zkratky, kter n m naopak pom haj u init z pisy sloench vroku pehlednmi. 4 V e
tin m ueme spojku nebo ch pat dvma zpusoby. Jednak v nevylu ovacm smyslu, jak jsme pr v uvedli, kdy sloen vrok je pravdiv, je-li pravdiv aspo jeden z obou vroku, jednak ve vylu ovacm smyslu, kdy sloen vrok je pravdiv, je-li pravdiv pr v jeden z obou z kladnch vroku. Nkter jazyky maj pro to dokonce ruzn termny. Tak nap. latina m pro nevylu ovac nebo vraz : : : vel : : :, pro vylu ovac nebo vraz aut : : : aut : : : . esky obvykle spojku nebo ve vylu ovacm smyslu vyjadujeme vrazem bu : : : anebo : : :. 3

Na konci tohoto odstavce je ovem teba uinit jednu duleitou pozn mku o vztahu pirozenho jazyka a form lnho jazyka vrokov logiky, pesnji o tom, jak vrazy pirozenho jazyka formalizovat. Nen to tak snadn, i lpe eeno, nen to tak jednoznan. Je jist pravdou, e logick konjunkce je nejastji vyjadov na eskm ... a ..., avak ne kad esk ... a ... vyjaduje konjunkci, o kter jsme se dohodli, e je komutativn (nez le na poad vroku). O tom, e ne kad esk a i anglick and mus vyjadovat konjunkci, se pesvdme snadno na pkladech. Vyslovme-li nap. eskou vtu: Upadl a vstal a vtu: Vstal a upadl., tak je ihned zejm, spojka a zde neznamen konjunkci, ale nejsp asovou n slednost dvou ud lost. Zejm nen teba zvl ( argumentovat, e asov n slednost ud lost nen komutativn. Take bychom, trochu paradoxn, mohli konstatovat, e logika zan a tam, kde u logickou strukturu vty zn me. Vyaduje to nepochybn cit pro dan pirozen jazyk. Snaha po automatickm \pekladu" vty pirozenho jazyka do form lnho jazyka je velk tma komputan lingvistiky.

2.2.1 Booleovsk funkce Na z klad z kladnch tabulek mueme podobn sestavit tabulku libovolnho sloenho vroku. Napklad vrok (V1 ^ V2) ) (:V2 ) bude mt n sledujc tabulku:

V1 1 1 0 0

V2 V1 ^ V2 :V2 (V1 ^ V2) ) (:V2 ) 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1

Ta vznikla tak, e jsme nejprve vytvoili tabulku konjunkce V1 ^ V2, potom tabulku negace vroku V2 , a nakonec tabulku naeho sloenho vroku. Zde vidme, e v ppad, kdy vroky V1 , V2 jsou pravdiv, je sloen vrok (V1 ^ V2 ) ) (:V2 ) nepravdiv. V ostatnch ppadech, nez visle na tom, jak jsou pravdivostn hodnoty prvotnch vroku V1 a V2, je vsledn vrok pravdiv. Jak uvidme d le, v logice maj vsadn postaven vroky, kter jsou v dy pravdiv
nebo v dy nepravdiv
, tj. jsou pravdiv (resp. nepravdiv) nez visle na pravdivostnch hodnot ch prvotnch vroku, z nich jsou sloeny. Vdy pravdivm vrokum budeme kat tautologie, vrokum, kter jsou vdy nepravdiv, budeme kat kontradikce. V dalch odstavcch se jim budeme vnovat podrobnji. V tomto odstavci si nyn vimneme jet dalch vrokovch spojek, budeme dokonce

uvaovat o vech myslitelnch tabulk ch. Ch peme-li tabulky jako matematick funkce zobrazujc n-tice nul a jedniek do mnoiny f0, 1g, mluvme o booleovskch funkcch n argumentu. Jak jsou tedy vechny mysliteln tabulky denujc spojky dvou vroku? Snadno zjistme, e takovch tabulek je estn ct: 5

V1 1 1 0 0

V2 1 0 1 0

1 1 1 1 1

2 1 1 1 0

3 1 1 0 1

4 1 1 0 0

5 1 0 1 1

6 1 0 1 0

7 1 0 0 1

8 1 0 0 0

9 0 1 1 1

10 0 1 1 0

11 0 1 0 1

12 0 1 0 0

13 0 0 1 1

14 0 0 1 0

15 0 0 0 1

16 0 0 0 0

S nktermi z uvedench tabulek (booleovskch funkc6) jsme se ji sezn mili, nkter se tm nepouvaj. Krom n m ji zn mch spojek disjunkce (tabulka . 2), konjunkce (tab. 8), implikace (tab. 5), ekvivalence (tab. 7) se bn pouv spojka  (tab. 10) nazvan vyluovac nebo a nkdy oznaovan symbolem xor z anglickho exclusive or. Spojku, kter udluje sloenmu vroku vdy hodnotu 1 (tab. 1) nez visle na hodnot ch element rnch vroku, budeme nazvat true. Analogicky spojku, kter nabv vdy hodnoty 0 (tab. 16), budeme nazvat false. K zajmavm spojk m pat t Sheeruv opertor (tab. 9) obvykle oznaovan symbolem j (nebo tak nand z anglickho not and) a Peircuv opertor # (pop. nor opt z anglickho not or) (tab. 15). Oba tyto oper tory se vyznauj tm, e pomoc kadho z nich lze denovat vechny ostatn booleovsk funkce. Peircuv oper tor znamen vlastn oboustrann z por, kter v bnm jazyce obvykle vyjadujeme vrazem ani ... ani ..., zatmco Sheerruv oper tor vyjaduje nesluitelnost vroku (tj. nikoli ... a ... souasn). Tyto vahy n s vedou k n sledujc denici.

Denice 2.2.1 ekneme, e mno ina vrokovch spojek je funkn pln , kdy sta k denovn vech 16 dvoumstnch spojek.

Pkladem funkn pln mnoiny vrokovch spojek je f: _ g. Zejm kad mnoina vrokovch spojek obsahujc funkn plnou mnoinu je rovn funkn pln . Obecn plat, e vrokovch spojek spojujcch n vroku neboli n-mstnch booleovskch funkc je 22n . 6 Ozna en booleovsk funkce se pouv na po est anglickho matematika George Boolea, kter se v prvn polovin minulho stolet vznamn zaslouil o rozvoj logiky, zejmna o jej algebraick pojet. 5

Cvien 2.2.1 Kter
z nsledujcch mno in vrokovch spojek jsou pln
? Pro pln
mno iny spojek uvete v dy denice ostatnch spojek. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

f: ^ _ ) , g f: ^ g f^ _ g f: g f( : g f^  : g f# g fj g

Odpov): 1., 2., 5., 6., 7., 8. | ano, je pln# 3., 4. | ne, nen pln. Prozatm jsme pracovali pouze s logickmi spojkami i booleovskmi funkcemi jednomstnmi (negace) a dvoumstnmi. Mueme samozejm konstruovat booleovsk funkce spojujc vce ne dva vroky. S takovmi logickmi spojkami se ovem setk v me jen zdka. %astj pouit m nap. trojmstn spojka if : : : then : : : else : : :  kterou dobe znaj a pouvaj program toi. Pravdivostn hodnota vroku if A then B else C je rovna hodnot vroku B , pokud A je pravdiv vrok (m hodnotu 1), ve vech ostatnch ppadech m vrok if A then B else C hodnotu vroku C . Pravdivostn tabulka denujc spojku if : : : then : : : else : : : bude tedy n sledujc: A 1 1 1 1 0 0 0 0

B 1 1 0 0 1 1 0 0

C if A then B else C 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

To je ale jen nepatrn zlomek ze vech monch trojmstnch booleovskch funkc. 23 Snadno zjistme, e trojmstnch booleovskch funkc je 2 , tj. 256, tymstnch bo24 oleovskch funkc je 2 , tj. 65536. Dramatick n rust!

Vra(me se jet kr tce k jednomstnm logickm spojk m (i kdy je vlastn dost podivn mluvit o spojce, kter spojuje jedin vrok). Dosud jsme poznali jedinou | negaci. Vytvome-li vak vechny mysliteln kombinace, vidme, e jsou tyi: V 1 2 3 4 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 Tet sloupec tabulky se tk n m u dobe zn m negace, druh se tk spojky, kterou budeme nkdy nazvat asserce, a prvn a tvrt sloupec odpovdaj jednomstnm spojk m true a false.

Cvien 2.2.2 1. Ov te, e plat (A ) B ) , if A then B else true. (A ^ B ) , if A then B else false. (:A) , if A then false else true. 2. Ov te, e mno iny vrokovch spojek f:, ifthenelseg a fifthenelse, true, falseg jsou funkn pln
, zatmco mno ina fifthenelseg nikoli. 3. Ov te, e vrok if V then :V else V je v dy nepravdiv (pro ka dou pravdivostn hodnotu vroku V nabv hodnoty 0). 4. Ov te, e plat :V , (V jV ), (V1 ^ V2) , ((V1jV2)j(V1jV2)), (V1 _ V2) , ((V1jV1)j(V2jV2)).

5. Ov te, e plat :V , (V # V ), (V1 _ V2) , ((V1 # V2 ) # (V1 # V2)), (V1 ^ V2) , ((V1 # V1 ) # (V2 # V2)).

6. Ov te, e plat (V1 _ V2) , (V1 ^ :V2 ) _ (:V1 ^ V2) _ (V1 ^ V2).

2.3 Jazyk v rokov logiky. Formule Je na ase precizovat vyjadovac prostedky vrokov logiky, tj. denovat jej jazyk, kter bude sest vat z vrazu vytv ench ze jmen vroku a vrokovch spojek. Snadno nahldneme, e vroku mue bt mnoho, dokonce nekonen mnoho. Protoe v logice n m ale nejde o konkrtn vroky, budeme pedpokl dat, e jazyk vrokov logiky obsahuje nekonen mnoho promnnch zastupujcch konkrtn vroky.7 Vrokov promnn budeme obvykle oznaovat symboly eck abecedy '   : : :, ppadn opatenmi indexy. Naproti tomu vrokovch spojek bude jen nkolik m lo.8

Denice 2.3.1 (Formule vrokov
logiky) 1. Ka d vrokov promnn je formule. 2. Kdy '  jsou vrokov
formule, pak i :' ' ^   _ '  ) '  , ' jsou formule. 3. dn
jin
vrazy nejsou formulemi vrokov
logiky.

Na tomto mst je dobr zduraznit, e bod 3 v denici formule je duleit. Prvn dv podmnky toti nevyluuj, e by i jin objekty ne vyhovujc bodum 1 a 2 mohly bt formulemi. Jinmi slovy, mnoina spr vn utvoench formul vrokov logiky je nejmen mnoina obsahujc vechny promnn a uzaven podle bodu 2.

Pklad 2.3.1 Vrazy (' ^ ), ', ' _ , ' _ (' _ '), jsou formule vrokov
logiky, zatmco vrazy ':() ( ^ )), (' _ ( ))), :': nejsou (sprvn utvo en
) formule. Pozdji budeme potebovat i pojem podformule. Podformuli denujeme jako souvislou  st formule, kter je sama formul. Z pojmu podformule je patrn, e kad formule je svou podformul. Chcele-li hovoit o podformulch, kter jsou ruzn od puvodn formule, pouv me termn vlastn podformule. Take nap. vraz ' ^  je podformul formule  ) (' ^ ), zatmco  ) ' ani  )  nejsou jejmi podformulemi. Je samozejm mon pracovat i s kone nm po tem prvotnch vroku. Pak ale, psn vzato, jazyk vrokov logiky nebude ur en jednozna n, nebo bude z viset pr v na vchoz mnoin prvotnch vroku. Je ov
em patrn, e to je jen technick ot zka. 8 Dokonce i v ppad vrokovch spojek bychom vlastn mli rozli
ovat jazyky podle toho, kter vrokov spojky obsahuj. Z pedchozho odstavce o booleovskch funkcch vme, e bychom mohli vysta it dokonce s jedinou spojkou, my se v
ak pidrme obvyklho pstupu, kdy jazyk bude obsahovat na po tku jedinou jednomstnou spojku (negaci) a dv dvojmstn spojky (konjunkci a disjunkci). 7

Cvien 2.3.1 Zapite vechny vlastn podformule formul 1. (' ^ :) ) :( _ '), 2. :::' ) ( ) '), 3. ' ) ( ) ').

Odpov): 1. '   : ' ^ :  _ ' :( _ ') 2. ' :' ::' :::'   ) ' 3. '   ) '

2.3.1 Varianty zpisu formul Na tomto mst je teba ci, e jsme se dopustili drobn nepesnosti, kdy jsme ve formulch pouili z vorek, o kterch se v denici formule nic nek . %ten  m ovem teba z matematiky zkuenost, e pomocn symboly (v naem ppad z vorky) jsou vhodn k tomu, abychom odstranili ppadnou vceznanost z pisu, nap. ve formuli ' ^  _ . Tomuto z pisu lze porozumt dvma zpusoby: 1. (' ^ ) _  2. ' ^ ( _ ) S problematikou vceznanosti formul se ovem mueme vypo dat i bez pomoci z vorek, co bv duleit v situacch, kdy chceme s formulemi pracovat na potai. Z vorky jsou vhodn pro usnadnn ten, pemra z vorek n m ale asto in pote. Kad program tor, kter psal program nap. v jazyce Lisp, v, jak snadn je zapomenout jednu z vorku. Dohodneme-li se vak, e symboly spojek budeme ps t dusledn vdy ped oba argumenty, tedy msto (' ^ ) budeme ps t ^(' ), nemusme u z vorky pouvat a sta tuto formuli zapisovat ve tvaru ^'. Takovmu z pisu formul, kdy spojka (oper tor, funkn symbol apod.) je ped argumenty, kter spojuje, k me prexov notace nebo t polsk notace. Obvyklou notaci, kterou ze zejmch duvodu nazv me inxov notace, budeme ale i nad le pouvat, zejmna proto, e jsme na ni pod vlivem matematiky zvykl. %asto je i pehlednj. Prexov notace je vak univerz ln,  dn pote nevzniknou ani u vrazu s vce ne dvma argumenty.

Take nap. vrazy if A then B else C, ifthenelse(A, B, C), ifthenelse A B C jsou pro n s ekvivalentn.

Cvien 2.3.2 P evete do polsk
notace formule ze cvien 2.3.1. Odpov): 1. ) ^': _ ', 2. ) :::' ) ', 3. ) ' ) '.

Cvien 2.3.3 Formuli ) _^'^', zapsanou v polsk
notaci, p evete do inxov
notace.

Odpov): ((' ^ ) _ ) ) (' ^ ) V souvislosti s problmem spr vnho ten formul si vimneme, e kadou formuli mueme reprezentovat gracky, stromem, jeho struktura vyjaduje zpusob uzvorkovn formule. Napklad formuli z pedelho cvien reprezentuje strom na Obr. 1. ) _

 '

^

'

Obr. 1

^





Z tohoto stromu je ihned vidt, e formule m tvar implikace, jej prvn len je disjunkce sest vajc z konjunkce formul ' a  a z formule  a druh len je konjunkce formul ' a . Prohlme-li strom shora dolu (do hloubky) a na dan hladin zleva doprava, dostaneme pr v z pis formule v polsk notaci. Nkdy se pouv i obr cenho pohledu, kdy formuli vytv me odspodu (a opt zleva doprava), take pro nai formuli dostaneme z pis ' ^  _ '^ ), ktermu k me obrcen polsk notace. Pozor! Obr cen polsk notace formule nen zrcadlovm obrazem jej polsk notace. Obr cenou polskou notaci pouvala nap. rma Hewlett Packard u nkterch svch kalkul toru.

Cvien 2.3.4 P evete co nejvce ruznch formul v ruznch notacch do stromov
reprezentace a opan.

2.4 Tautologie, kontradikce a splniteln formule Nen obtn nalzt mezi vemi formulemi vrokov logiky takov, kter jsou pravdiv pro kadou kombinaci pravdivostnch hodnot. /k me jim tautologie. Pkladem tautologie je formule ' _ :', kter k , e ' bu) plat nebo neplat. Opakem tautologie je kontradikce, tj. formule, kter nen nikdy splniteln 0 takov formule je pi vech kombinacch pravdivostnch hodnot prvotnch vroku nepravdiv . Pkladem je formule ' ^ :'. Tautologi i kontradikc je ovem mnoho, dokonce nekonen mnoho. To je snadn nahldnout. Sta si uvdomit, e kdy ' je tautologie, tak pro libovolnou formuli  je ' _  opt tautologie, a kdy naopak ' je kontradikce, tak ' ^  je opt kontradikce. Formulm, kter nejsou kontradikce, k me splniteln
formule. Znamen to, e pro takovou formuli lze nalzt aspo jednu kombinaci pravdivostnch hodnot element rnch vroku, pi kter je sloen vrok pravdiv. Tautologie jsou tedy splniteln formule, ale ne vechny splniteln formule jsou tautologie. Nkter tautologie se asto pouvaj nejen v samotn vrokov logice, ale i v bnm usuzov n, a ty asto uvan jsou nkdy dokonce oznaov ny jmny. Jsou to vtinou tautologie tvaru ekvivalence, kter umouj nahrazovat jedny formule jinmi, ani by se poruila jejich pravdivost. Mezi nejzn mj \z kony" vrokov logiky pat nap.

' ) ' (zkon toto nosti) ::' , ' (zkon dvoj negace) ' _ :' (zkon vylouen
ho t etho - tercium non datur) :(' ^ :') (zkon sporu) :(' ^  ) , (:' _ : ) (de Morgan uv zkon pro konjunkci) :(' _  ) , (:' ^ : ) (de Morgan uv zkon pro disjunkci) (' ^ :') )  (zkon Dunse Scota) kontradice je explozivn (' , ) , ((' ) ) ^ ( ) ')) (zkon ekvivalence), kter k , e ekvivalenci lze ch pat jako oboustrannou implikaci (' ^ ( ^ )) , ((' ^ ) ^ ) (asociativita konjunkce) (' _ ( _ )) , ((' _ ) _ ) (asociativita disjunkce) (' _ ( ^ )) , ((' _ ) ^ (' _ ) (distributivita konjunkce)

(' ^ ( _ )) , ((' ^ ) _ (' ^ ) (distributivita disjunkce) (' ) ( ) )) , ((' ) ) ) (' ) )) (distributivita implikace) (' ) ) , (: ) :') (zkon kontrapozice) (' ) ) ) ((' ) ) ) (' ) )) (hypotetick sylogismus)

Cvien 2.4.1 Odhadnte, kter
z nsledujcch formul vrokov
logiky jsou tautolo-

gie, kontradikce a kter
jen splniteln
, ale nejsou tautologie. Pak se o tom p esvdte sestrojenm pravdivostn tabulky: 1. ' ) ( ) ') 2. (' )  ) ) (( ) ) ) (' ) )) 3. :: )  4. (' )  ) ) (: ) :') 5. (' )  ) ) ((:' ) ) )  ) 6. (:' ) ') ) ' 7. :(' ) (:' ) )) 8. (:' _ ) , (: _ ') 9. ' ) (: ) :(' ) )) 10. ((' ) ) ^ ') ) ' 11. ((' ) ) ) ') ) ' 12. ((' ) ) ^ ') )  13. ((' ) ) ) ') ) 

Odpov): 1., 2., 3., 4., 5., 6., 9., 10., 11., 12. | ano, jsou to tautologie, 7., 8., 13. | ne, jsou splniteln
, ale nikoli tautologie.

2.4.1 Konjunktivn forma Nyn si uk eme, e je jet jin , form ln cesta, jak o formuli vrokov logiky zjistit, zda je tautologi. Vimneme si nejprve toho, e kadou formuli vrokov logiky je mon ekvivalentn pepsat do tzv. konjunktivn formy.

Denice 2.4.1 ekneme, e dan formule je v konjunktivn form, kdy m tvar kon-

junkce konen
ho potu disjunkc, z nich ka d sestv z konen
ho potu vrokovch promnnch nebo negovanch promnnch.

Pkladem takov formule je ('1 _ '2 _ '3 _ :'2 ) ^ (:'3 _ '2 _ '3), kde 'i jsou vrokov promnn. Jak ale pevedeme formuli do tvaru konjunktivn formy? Na tom nen nic tkho. Ekvivalenci vyj dme jako konjunkci implikac a implikaci jako disjunkci negace pedpokladu a z vru. Poadovanho tvaru dos hneme vhodnmi pravami zskan formule, pitom vyuijeme zejmna de Morganovch z konu a z konu vz jemn distributivity konjunkce a disjunkce.

Pklad 2.4.1 Formuli

(' _ ) ) ( ^ :)

p epeme do tvaru

:(' _  ) _ ( ^ : ) pou ijeme de Morgan uv zkon pro disjunkci:

(:' ^ :) _ ( ^ :) a s vyu itm distributivity disjunkce dostaneme po adovan tvar

(:' _ ) ^ :: Jak nyn pozn me, e dan formule je tautologi? Celkem snadno. Protoe m tvar konjunkce, mus bt pravdiv kad jej len. %leny tto konjunkce jsou disjunkce. Disjunkce z n lenu bude vdy pravdiv (tedy tautologie), kdy se v n vyskytne promnn spolu se svou negac. Mueme tedy uzavt n sledujcm tvrzenm.

Tvrzen 2.4.1 Formule vrokov
logiky v konjunktivn form je tautologi prv tehdy, kdy ka d z jejch disjunkc obsahuje njakou vrokovou promnnou spolu s jej negac. Formule uveden na po tku tohoto odstavce je tedy tautologi0 naopak formule z pkladu 2.4.1 tautologi nen.

2.4.2 Disjunktivn forma Podobn, jako jsme zavedli pojem konjunktivn formy, zavedeme te) pojem disjunktivn formy.

Denice 2.4.2 ekneme, e dan formule je v disjunktivn form, kdy m tvar dis-

junkce konen
ho potu konjunkc, z nich ka d sestv z konen
ho potu vrokovch promnnch nebo negovanch promnnch.

Pkladem takov formule je ('1 ^ '2 ^ :'3 ) _ (:'2 ^ '2). A podobn jako jsme uk zali, e kadou formuli vrokov logiky je mon ekvivalentn pevst do konjunktivn formy, uk eme, e je mon kadou formuli vrokov logiky pevst do tvaru disjunktivn formy. Pouijeme pro to stejn prostedky jako v ppad konjunktivn formy. Podv me-li se na pklad 2.4.1 z pedchozho odstavce, vidme, e v pedposlednm  dku m me formuli v disjunktivn form. Jako jsme pouili konjunktivn formy ke zjitn, zda je dan formule tautologi, mueme pout disjunktivn formy pro rozhodnut, zda je formule kontradikc. Mezi vemi disjunktivnmi formami dan formule m duleitou roli pln disjunktivn forma. Je to takov disjunktivn forma, ve kter kad len disjunkce obsahuje vechny promnn vyskytujc se ve formuli, a tud popisuje vechny modely. #plnou disjunktivn formu dan formule mueme snadno zskat nap. z jej pravdivostn tabulky. Vimneme-li si pouze tch  dku v pravdivostn tabulce, v nich je formule pravdiv , vidme, e jednotlivmi leny disjunkce budou konjunkce, kter v danm  dku vzniknou tak, e v ppad, kdy vrokov promnn m v  dku tabulky hodnotu pravda, objev se v konjunkci v pozitivnm tvaru, v ppad, kdy m hodnotu nepravda, objev se v konjunkci v negativnm tvaru. Take nap. formule

(' ^ ) ) :, jej pravdivostn tabulka je n sledujc '  (' ^ ) ) : 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 bude ekvivalentn vyj dena plnou disjunktivn formou ve tvaru (' ^ :) _ (:' ^ ) _ (:' ^ :).

Cvien 2.4.2 P evete nsledujc formule do disjunktivn formy: 1. ' ) ( ) ), 2. ' ^ ( _ ), 3. :(' ^ ) _ :(' _  ).

Odpov): 1. :' _ : _ , 2. (' ^  ) _ (' ^ ), 3. :' _ : _ (:' ^ :).

2.5 Logick d
usledek V tomto odstavci se budeme zabvat ot zkami pravdivosti. Nam clem bude zkoumat relaci logickho dusledku mezi formulemi. Chceme pesn vymezit, co znamen , e formule je dusledkem jinch formul, neboli, e z jinch formul vyplv .

Denice 2.5.1 Libovolnou neprzdnou mno inu formul vrokov
logiky nazveme teorie.9

Mluvme-li v bnm jazyce o teorii, m me obvykle na mysli znalosti (vroky) njak systemizovan. V logice nebudeme od teorie poadovat nic dal
ho ne to, e jde o mnoinu vroku. Jednak je to krat
 ozna en ne mnoina vroku, jednak n s budou zajmat pr v jen vztahy logickho dusledku. 9

Budeme se zajmat o ohodnocen element rnch vroku (vrokovch promnnch10 ) obsaench ve formulch dan teorie T .

Denice 2.5.2 ekneme, e ohodnocen vrokovch promnnch vyskytujcch se v teorii T je modelem teorie T , kdy pro ka dou formuli ' 2 T je jej pravdivostn ohodnocen rovno 1. Jinmi slovy, ohodnocen vrokovch promnnch vyskytujcch se v teorii T je modelem tto teorie, kdy kad formule ' 2 T je v nm pravdiv . Nejjednodu teori je teorie obsahujc pr v jednu formuli. V tomto smyslu mueme hovoit i o modelech jednotlivch formul. Pak lze ci, e formule je splniteln , jestlie existuje jej model, je tautologie, jestlie kad ohodnocen vrokovch promnnch je jejm modelem, a je kontradikc, jestlie jej model neexistuje.

Pklad 2.5.1 Nech% ' je vrokov promnn. Snadno ov me, e pro libovoln
ohodnocen je formule (' ^ :') ) (' _ :') pravdiv, a tedy tautologie. Podobn pro libovoln
ohodnocen ' je formule (' _ :') ) (' ^ :') nepravdiv# tud je to kontradikce. Formule

' ) (' ^ :') je splniteln (neb pro val1 (') = 0 je pravdiv), ale nikoli tautologie (neb pro val2 (') = 1 je nepravdiv).

Denice 2.5.3 ekneme, e teorie T je bezesporn (t
konzistentn, splniteln ), kdy existuje model t
to teorie.

Pojem bezespornosti je snad jednm z nejduleitjch logickch pojmu. V r mci vrokov logiky je velmi jednoduch. Setk me se s nm znovu v predik tov logice a bude n s prov zet i dalmi kapitolami o neklasickch logik ch a racion lnm usuzov n.

Pklad 2.5.2 P kladem bezesporn
teorie je T1 = f' _ : ' ) g Ohodnocen (valuaci) vrokovch promnnch mueme ch pat jako zobrazen mnoiny VAR v
ech promnnch do mnoiny f0, 1g pravdivostnch hodnot, tj. val : VAR ;! f0, 1g. 10

kde nap . ohodnocen ' = 1  = 1 je jejm modelem (ob formule jsou pravdiv
), naopak teorie T2 = f' _  ' ) : 'g model nem, a tud je sporn.

Denice 2.5.4 ekneme, e formule ' je logickm dusledkem teorie T (oznaen: T j= '), jestli e ka d model teorie T je modelem formule ', tzn. e formule ' je v nm pravdiv.

Snadno nahldneme, e modelem pr zdn mnoiny formul je libovoln ohodnocen. Proto j= ' pr v tehdy, kdy ' je tautologi. Nen-li T splniteln , pak libovoln formule je jejm logickm dusledkem. Pkladem je teorie T = f' :'g, kter je nesplniteln , a tud f' :'g j=  (pro kad ). Kdy T je nesplniteln (budeme t kat, e je sporn), tak kad teorie T obsahujc T je tak nesplniteln . Jinmi slovy, pid nm formul k nesplniteln mnoin formul nemueme zskat splnitelnou mnoinu formul. Obr cen, kad  st splniteln teorie je splniteln . 0

Pklad 2.5.3 Nech% T1 a T2 jsou jako v p kladu 2.5.2. Bude ns zajmat, zda je '

logickm d usledkem teorie T1 a/nebo T2 . Na zklad p edchozch vah snadno zjistme,

e T2 j= ', proto e T2 je sporn. Naopak ' nen logickm d usledkem teorie T1 , proto e ohodnocen ' = 0  = 0 je modelem teorie T1 , ale nikoli modelem '.

Lemma 2.5.1 Nech% T je teorie, '  formule. Jestli e T j= ' )  a souasn T j= ', potom T j=  .

Dukaz: Musme ovit, e pro libovoln ohodnocen val vrokovch promnnch, kter

je modelem teorie T , plat val() = 1. To je ale zejm z tabulky implikace.

Lemma 2.5.2 Jestli e ' je logickm dusledkem mno iny formul f '1 : : :  'n g, tak i formule ('1 ^ : : : ^ 'n) ) ' je tautologie.

Dukaz: Existuje-li takov ohodnocen val promnnch '1 : : :  'n, e hodnota formule

('1 ^ : : : ^ 'n) ) ' je rovna 0, pak mus platit, e hodnota ' je rovna 0 a hodnota formule ('1 ^ : : : ^ 'n) je rovna 1. Takov situace nemue ale dle pedpokladu lemmatu nikdy nastat. Ob lemmata v ou pojmy tautologie a logickho dusledku pro ppady teori s konen mnoha formulemi. O nekonench teorich plat

Tvrzen 2.5.1 (Vta o kompaktnosti) Teorie T (vrokovch formul) je splniteln prv tehdy, kdy ka d jej konen podmno ina je splniteln.

Dukaz: viz nap. +30, Kol  a kol., str. 37-39]. Dusledek: Bu)te T mnoina formul, ' formule. Potom T j= ' pr v tehdy, kdy existuje takov konen podmnoina T mnoiny T , e T j= '. 0

0

Jinmi slovy, abychom se pesvdili o tom, e formule je logickm dusledkem (nekonen) teorie T , sta najt jednu konenou podmnoinu T teorie T , v n je tato formule pravdiv . 0

Poznmka 2.5.1 Tabulkov metoda umo 'uje pro libovoln vrok (dvouhodnotov
v-

rokov
logiky) rozhodnout, zda dan vrok je tautologie i nikoli. kme, e vrokov logika je rozhodnuteln .

2.6 Odvozovn formul v rokov logiky Jednou z nejvznamnjch vlastnost formul je monost z platnosti jednch formul usuzovat na platnost jinch formul. Hlavnm clem logiky je proto zkoum n relace odvoditelnosti mezi formulemi. Pedstava je takov , e na z klad jistch pravidel odvozov n, kter zaru, e n s od logicky pravdivch tvrzen povedou zase jen k logicky pravdivm tvrzenm (od tautologi k tautologim), mueme vchoz formule obohatit o formule takto odvozen. Odvozen formule budeme nazvat dusledky vchozch formul a samozejm je budeme pouvat k dalmu odvozov n. Ke kad mnoin formul tedy pslu jin (ve smyslu inkluze vt) mnoina formul, kterou ch peme jako jej logick dusledky. Budeme te) zkoumat vlastnosti relace odvoditelnosti mezi formulemi a denujeme pojem dukazu a pojem dokazatelnosti. Pedtm denujme dva nezbytn pojmy. Jestlie formule ' )  je tautologie, k me, e formule  logicky vyplv z '. Kdy  vyplv z ' a souasn ' vyplv z , k me, e formule ' a  jsou logicky ekvivalentn.

2.6.1 Odvozovac pravidla, d ukaz, dokazatelnost O pojmu logickho dukazu mvaj lid ruzn pedstavy. Jednu nespr vnou, ale vtipnou pedstavu z pera Karla %apka v Kritice slov si te) pipomeneme. Pak, po precizaci

tohoto pojmu ve form lnm jazyce, snadno posoudme, v em se skvl liter t mlil a v em prok zal mimo dnou obratnost pi zach zen s jazykem. \O logickm dukazu je jedin pravda, e se nic ned logicky dok zat0 co v m dok u logicky. Bu) dokazuji sv tvrzen sammi evidentnmi soudy0 ale kdyby m tvrzen plynulo evidentn z evidentnch vt, bylo by samo evidentn, a tu by ovem naprosto nepotebovalo bt dokazov no. Nebo dokazuji sv tvrzen vtami neevidentnmi, ale pak bych musel logicky dokazovat vechny tyto vty \usque ad innitim", ..., z eho logicky plyne, logick dukaz je nemon0 a nen-li tento logick dukaz naprosto pesvdujc, vidte z toho, e logick dokazov n opravdu za nic nestoj." Zaneme tm, e si vimneme, e zejm plat (ovte si na pkladech):

Kdy ' a ' )  jsou pravdiv, pak i  je pravdiv (tzv. modus ponens, neboli pravidlo odlouen).

Kdy ' je tautologie sloen z vrokovch promnnch A1  : : :  An a formule  vznikne z ' tak, e vechny vskyty vrokovch promnnch A1 : : :  An nahradme souasn vrokovmi formulemi '1 : : :  'n, pak  je tautologie (pravidlo substituce).

Jestlie ' je tautologie a  vznikne z ' nahrazenm libovoln jej podformule11 formul s n ekvivalentn, pak  je tak tautologie (pravidlo o nahrazen ekvivalentnch podformul.)

To znamen , e vyjdeme-li z logicky pravdivch formul, pak aplikov nm tchto t odvozovacch pravidel dostaneme opt pravdiv formule. To n m umouje denovat pojem bezprostednho dusledku a dusledku.

Denice 2.6.1 ekneme, e formule ' je bezprostednm dusledkem mno iny formul ;, jestli e vznikne aplikac nkter
ho ze t  pravidel odvozovn (tj. modus ponens, substituce a nahrazen ekvivalentnch podformul) na formule z ;. Denice 2.6.2 ekneme, e formule ' je logickm dusledkem mno iny formul ;

(oznaen ; ` '), jestli e ' 2 ;, nebo je bezprost ednm d usledkem ;, anebo bezprost ednm d usledkem mno iny ; obohacen
o nkter
jej bezprost edn d usledky.

Povimnme si, e nejde o denici kruhem, ale o induktivn denici. 11

Pipomeme, e podformule je takov st formule, kter je sama formul.

Denice 2.6.3 Dukazem formule ' z mo iny ; rozumme ka dou takovou konenou posloupnost formul, e posledn je dokazovan formule ' a ka d formule t
to posloupnosti je bezprost ednm d usledkem nkterch p edchozch formul.

Je patrn, e pokud pro danou formuli existuje dukaz v ;, pak takovch dukazu existuje vce, dokonce nekonen mnoho. O formuli, ke kter existuje dukaz z mnoiny ;, k me, e je v ; dokazateln nebo je dokazateln z mnoiny pedpokladu ;. Pi odvozov n budeme pouvat nejen odvozovacch pravidel, ale s vhodou vyuijeme i formul, o nich vme, e jsou tautologiemi vrokov logiky. Tch je ovem nekonen mnoho, proto vybereme jen nkolik (konen poet), a pozdji uk eme, e z tch nkolika lze odvodit dokonce vechny ostatn. Mnoinu tchto z kladnch formul ozname Ax a z kladn tautologie budeme nazvat axiomy. Je zajmav, e vystame se temi axiomy:

Axiom V1 ' ) ( ) ') Axiom V2 (' ) ( ) )) ) ((' ) ) ) (' ) )) Axiom V3 (: ) :') ) (' ) ) Odvozov n z pedpokladu ; pak ch peme jako odvozov n z mnoiny ; fAxg. Po tto mluv mueme tedy ci, e tautologie jsou vechny formule, kter jsou odvoditeln z pr zdn mnoiny pedpokladu. Jak takov odvozov n prov dt, si uk eme na n sledujcch dvou pkladech.

Pklad 2.6.1 Doka te, e ` A ) A. Dukaz. 1. Substituc formule (A ) A) za  a A za ' do axiomu 1 dostaneme formuli (A ) ((A ) A) ) A)). 2. Substituc A za ', (A ) A) za  a A za  do axiomu 2 dostaneme (A ) ((A ) A) ) A)) ) ((A ) (A ) A)) ) (A ) A)).

3. Aplikujme modus ponens, dostaneme zvr, tj. formuli ((A ) (A ) A)) ) (A ) A)). Vimnme si, e p edpokladem t
to implikace je axiom 1 p i substituci A za ' a A za . Aplikac modus ponens dostvme dokazovanou formuli A ) A.

Pklad 2.6.2 Doka te, e fA ) B B ) C g ` A ) C . Dukaz. 1. fA ) B B ) C g ` B ) C (druh p edpoklad), 2. fA ) B B ) C g ` A ) (B ) C ) (jestli e B ) C plat v dy, pak i za p edpokladu A), 3. (A ) (B ) C )) ) ((A ) B ) ) (A ) C )) (axiom 2 p i substituci A za ', B za  a C za ), 4. fA ) B B ) C g ` (A ) B ) ) (A ) C ) (aplikace modus ponens na 2 a 3), 5. fA ) B B ) C g ` A ) B (prvn p edpoklad), 6. fA ) B B ) C g ` A ) C (aplikace modus ponens na 4 a 5).

2.7 Axiomatick v stavba v rokov logiky Vra(me se k axiomum vrokov logiky. Z toho, co jsme dosud ekli, je zejm, e dky korektnosti odvozovacch pravidel z axiomu odvodme logicky pravdiv formule. Ot zkou zust v , zda z nich odvodme vechny logicky pravdiv formule, pop. zda existuj jin mnoiny formul, kter by bylo mono povaovat za axiomy vrokov logiky. Pokud od axiomu poadujeme, aby z nich byly odvoditeln pr v jen logicky pravdiv formule, je odpov) jednoduch . Pokud ale nap. poadujeme, aby mnoina axiomu byla minim ln v tom smyslu, e  dn axiom nen zbyten (takov vlastnosti systmu axiomu k me nezvislost), pak musme ovit, e  dn z axiomu nen dokazateln z ostatnch. 12 Zaneme nap. axiomatickm systmem, kter denuje vz jemn vztahy pti z kladnch vrokovch spojek (vz nap. +21]). 12

Pokud by z nich byl dokazateln, nezahrnuli bychom jej mezi axiomy.

' ) ( ) ') (' ) ( ) )) ) ((' ) ) ) (' ) )) (' , ) ) (' ) ) (' , ) ) ( ) ') (' ) ) ) (( ) ') ) (' , )) (' _ ) ) ( _ ') (' ^ ) ) ( ^ ')

' ) (' _ ) (' ^ ) ) '

' ) ( ) (' ^ )) ((' ) ) ^ ( ) )) ) ((' _ ) ) ) (' ) ( ^ :)) ) :' (' ^ :') ) 

' _ :' Tento systm axiomu je mon ponkud redukovat, uvdomme-li si, e vystame se dvmi spojkami, jmenovit se spojkami negace a implikace. Pak nalezneme nap. jin axiomatick systm, kter bude pedch zejcmu ekvivalentn, tzn. kad formule z jednoho systmu axiomu je dokazateln z druhho, a naopak kad formule z druhho systmu je dokazateln z prvnho, samozejm s vyuitm deninch rovnost mezi spojkami. Dal systm axiomu: (' ) ) ) (( ) ) ) (' ) )) (' ) ( ) )) ) ((' ) ) ) (' ) ))

' ) ( ) ') (:' ) :) ) ( ) ')

' ) ::'

I tento systm axiomu mueme d le redukovat na pouh ti axiomy. Dostaneme tak teba systm naich puvodnch t axiomu. Je zejm, e lze nalzat dal a dal ekvivalentn axiomatick systmy vrokov logiky.

Cvien 2.7.1 P esvdte se detailn, e t i ve uveden
axiomatick
syst
my vrokov
logiky jsou navzjem ekvivalentn.

K efektivnmu prov dn dukazu n m navc dobe poslou nkolik n sledujcch duleitch tvrzen, o jejich platnosti nen obtn se pesvdit a kter asto pouv me nejen v deduktivnch discipln ch (viz nap. +30]):

Tvrzen 2.7.1 (Vta o dedukci) Nech% T je teorie, ' a  jsou formule. Potom T ` ' )  prv tehdy, kdy T f'g ` . Dukaz. Implikace zleva doprava je pmm dusledkem modus ponens. Implikace opan , zprava doleva, se dok e indukc podle dlky dukazu: Nech( posloupnost formul d1 : : :  dn je dukazem formule  z mnoiny T f'g. Potom pro libovolnou formuli di je T ` ' ) di pro (i n). Sta rozliit tyto ppady:

di je axiom, pak ` ' ) di ,

di 2 T , pak T ` ' ) di ,

di = ', pak ` ' ) ' a indukc pro dj ) di.

Tvrzen 2.7.2 (Dukaz rozborem p padu) T f' _ g `  prv tehdy, kdy souasn T f'g `  a T fg ` .

Tvrzen 2.7.3 (Vta o neutrln formuli) Jestli e T f'g `  a T f:'g ` , potom T ` .

Na n sledujcch pkladech si uk eme, jak lze pi odvozov n vyut vtu o dedukci.

Pklad 2.7.1 Doka te, e ` :A ) (A ) B ). Dukaz.

1. ` :A ) (:B ) :A) (substituce :A za ', :B za  do axiomu 1), 2. f:Ag ` (:B ) :A) (vta o dedukci na 1), 3. f:Ag ` (:B ) :A) ) (A ) B ) (axiom 3 p i substituci A za ' a B za  ), 4. f:Ag ` (A ) B ) (aplikace modus ponens na 2 a 3), 5. ` :A ) (A ) B ) (vta o dedukci na 4).

Pklad 2.7.2 Doka te, e ` ::A ) A. Dukaz. 1. ` ::A ) (:A ) :::A) (substituce :A za A, :::A za B do formule z p . 2.7.1), 2. ` (:A ) :::A) ) (::A ) A) (axiom 3 p i substituci A za  , ::A za '), 3. f::Ag ` :A ) :::A (vta o dedukci na 1), 4. f::Ag ` ::A ) A (aplikace modus ponens na 2 a 3), 5. f::Ag ` A (vta o dedukci na 4), 6. ` ::A ) A (vta o dedukci na 5).

Pklad 2.7.3 Doka te, e ` B ) ::B . Dukaz. Z axiomu 3 a z formule z p kladu 2.7.2 substituc :B za A a aplikac modus ponens.

Pklad 2.7.4 Doka te, e ` (A ) B ) ) (:B ) :A). Dukaz. 1. A ) B ::A ` A 2. A ) B ::A ` B (modus ponens na 1 a na p edpoklad A ) B ),

3. A ) B ::A ` ::B (viz p klad 2.7.3), 4. A ) B ` ::A ) ::B (vta o dedukci na 3), 5. A ) B ` (:B ) :A) (modus ponens na 4 a axiom 3 p i substituci :B za ' a :A za  ), 6. ` (A ) B ) ) (:B ) :A) (vta o dedukci na 5).

Pklad 2.7.5 Doka te, e ` A ) ((A ) B ) ) B ). Dukaz. 1. fA A ) B g ` B (modus ponens na p edpoklady), 2. fAg ` (A ) B ) ) B (vta o dedukci na 1), 3. ` A ) ((A ) B ) ) B ) (vta o dedukci na 2).

Cvien 2.7.2 P esvdte se, e plat 1. f' :'g `  (ze spornch p edpoklad u je odvoditeln
cokoliv)# 2. T ` ' ) ( ) ) prv kdy T `  ) (' ) ) (ve slo en
implikaci nezle  na po ad antecedent u (p edpoklad u))# 3. f'1  '2  : : :  'ng `  prv tehdy, kdy ` ('1 ^ '2 ^ : : : ^ 'n ) ) .

2.8 Vlastnosti v rokov logiky V odstavci 2.4 jsme ji poznali, e vrokov logika je rozhodnuteln , tj. existuje algoritmus, kter o libovoln formuli rozhodne, zda je tautologi i nikoli. Te) si jet uk eme, e je korektn, pln a bezesporn .

2.8.1 Korektnost, plnost a bezespornost vrokov logiky Denice 2.8.1 ekneme, e formln syst
m vrokov
logiky je korektn, kdy ka d formule dokazateln z axiom u je tautologi.

Denice 2.8.2 ekneme, e formln syst
m vrokov
logiky je pln, kdy ka d tautologie je dokazateln z axiom u.

Pesvdit se o korektnosti vrokov logiky je snadn, redukuje se na korektnost odvozovacch pravidel. Abychom se pesvdili o plnosti vrokov logiky, dok eme nejprve pomocn tvrzen, pro kter je nkdy pouv n n zev Churchovo lemma. Pro vt pehlednost zavedeme nejprve n sledujc oznaen: Pro kadou formuli ' a pravdivostn ohodnocen promnnch bude vraz 'val znamenat formuli ', kdy val(') = 1, a bude znamenat formuli :', kdy val(') = 0. Po tto mluv nahldneme indukc podle sloitosti konstrukce formule, e plat

Tvrzen 2.8.1 (Churchovo lemma) Jestli e V1 : : :  Vn jsou vechny vrokov
promnn
vyskytujc se ve formuli ', potom pro ka d
ohodnocen val plat fV1val  : : :  Vnval g ` 'val .

Abychom objasnili mon pli form ln terminologii, ilustrujeme Churchovo lemma pkladem: Jestlie ' = A ^ :B , pak fA :B g ` A ^ :B . S vyuitm Churchova lemmatu nahldneme plnost vrokov logiky, tj.

Tvrzen 2.8.2 (Postova vta) Pro libovolnou formuli vrokov
logiky ' plat ` ' prv tehdy, kdy j= '.

Korektnost a plnost mueme tedy shrnout v konstatov n, e ve vrokov logice vyplv n a odvoditelnost splvaj v jedno, tj. e kad dokazateln formule je logicky pravdiv a naopak i kad logicky pravdiv formule je dokazateln .

Denice 2.8.3 Formln syst
m vrokov
logiky nazveme bezesporn, kdy neexistuje takov formule ', e ` ' a souasn ` :'.

To, e vrokov logika je bezesporn , je ale zejm, protoe kdyby platilo ` ' i ` :' tak by, vzhledem ke korektnosti vrokov logiky, byly ob formule tautologiemi. To ale

nen mon, nebo( neexistuje  dn pravdivostn ohodnocen val, pro kter by platilo val(') = val(:') = 1. Te) u jsme pipraveni vyslovit a dok zat nejduleitj tvrzen o vztahu logickho dusledku a form ln (syntaktick) dokazatelnosti ve vrokov logice:

Tvrzen 2.8.3 ((plnost) 1. Teorie T je bezesporn prv tehdy, kdy je splniteln. 2. Pro libovolnou teorii T a pro libovolnou vrokovou formuli ' plat: T ` ' prv tehdy, kdy T j= '.

Dukaz. Ad 1. Kdy T je bezesporn , pak je bezesporn kad jej konen  st, a tud i splniteln . Kdy je T sporn , tak existuje jej nesplniteln konen  st a tud i T je nesplniteln . Ad 2. Kdy T ` ', pak existuje takov konen podmnoina T0  T , e T0 ` ' a podle Postovy vty T0 j= ', a tud i T j= '. Kdy nen pravda, e T ` ', pak v teorii T f:'g nen dokazateln formule ', a tedy T f:'g je bezesporn , a tud i splniteln , take nemue bt T j= '. Dosavadn poznatky o vrokov logice lze pak shrnout do konstatov n, e vrokov logika je

korektn,

bezesporn,

pln,

rozhodnuteln.

Na z vr tto kapitoly jet uvedeme nkolik kontrolnch cvien.

Cvien 2.8.1 1. Vyjd ete dvma r uznmi zp usoby, co znamen, e teorie je bezesporn?

Odpov): Je splniteln, tzn., e m aspo' jeden model. Neexistuje v n (nen z n odvoditeln) takov dvojice formul, e jedna je negac druh
.

2. Existuje vrok (ve vrokov
logice) odvoditeln z libovoln
ho vroku?

Odpov): Ano. Je to ka d tautologie. 3. Kter
z nsledujcch vraz u nejsou sprvn utvo enmi formulemi vrokov
logiky? Pro? a) ((( , '))) b) (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) (5 ) '))))) c) (:(_' ^ ))

Odpov): c). 4. Rozhodnte, kter
dvojice formul jsou ekvivalentn. Naznate d uvod. a) :::(' _ ) ::(:' ^ : ) b) :(:(' ^ )) :(:' _ : ) c) (' ) ( ) ')) ((' )  ) ) ( ) '))

Odpov): a) ano (de Morganuv zkon pro disjunkci), b) ano (de Morganuv zkon pro konjunkci), c) ne (prvn formule je tautologie, zatmco druh nikoli). 5. Je pravda, e ka d nedokazateln formule vrokov
logiky je nepravdiv?

Odpov): Ano, plyne to z Postovy vty. 6. Je pravda, e pro ka dou formuli ' vrokov
logiky plat, e kdy ' nen dokazateln z axiom u vrokov
logiky, tak formule :' je dokazateln?

Odpov): Nikoli. Dokazateln
jsou prv tautologie, tak e kdy formule nen dokazateln, tak je to bu formule splniteln (ale nikoli tautologie) anebo kontradikce. Negace takov
formule sice m u e bt tautologie (lo-li p uvodn o kontradikci), ale m u e to bt formule, kter je jen splniteln. 7. Formuli (:( ) : ) ^ :) zapite v prexov
notaci.

Odpov): ^: ) ::. 8. Vyznate, kter
z nsledujcch formul vrokov
logiky jsou kontradikce. a) ::(' _ :') ) (' ^ :') b)  ^ : c) :' _ '

Odpov): a), b).

9. Uvete alespo' dv r uzn
mno iny funkn plnch booleovskch spojek.

Odpov): f: )g f: ^g f: _g fifthenelse true falseg a dal. 10. Kter
z nsledujcch formul vrokov
logiky jsou tautologie a kter
nikoli? a) (' ^ ( _ )) ) ((' ^ ) _ (' ^ )) b) (' ^ ) ) :(:' _ ) c) ::' ) ' d) :' _ ' e) ' ^ :' f) (:' ) :) ) ( ) ') g) ' ) (' _  ) h) (' ) ) ) ( ) ') i) (' )  ) ) (:' ) : ) j) (' )  ) ) (: ) :') k) (' ,  ) ) (:' , : ) l) :(' ) :') m) :(:' ) ') Odpov): a), c), d), f), g), j), k) jsou tautologie. 11. Nech% '  jsou formule vrokov
logiky. Kter z nsledujcch tvrzen jsou pravdiv? a) Kdy ' je tautologie, tak :' je kontradikce. b) Kdy ' nen splniteln, tak :' je tautologie. c) Kdy ' je kontradikce a  je tautologie, tak ' _  je tautologie. d) Kdy :' nen splniteln, tak ' je kontradikce. Odpov): a), b), c). 12. Co lze ci o vzjemn
dokazatelnosti nsledujcch formul vrokov
logiky? (a) (b) (c) (d)

:(' ^ : ) :' _  : ) :' :(: ^ ')

Odpov): Vechny tyto formule jsou navzjem ekvivalentn, nebo% ka d z nich je ekvivalentn formuli ' ) .

13. Je teorie T , kter se skld ze ty formul z p edchozho p kladu, bezesporn?

Odpov): Ano, proto e formule ' )  je splniteln. 14. Je pravda, e ka d vrok implikuje alespo' jeden vrok?

Odpov): Jist. Pro ka d vrok ' nap . plat, e ' implikuje '. 15. Nech% A B jsou vrokov
promnn
. Rozhodnte, kter z nsledujcch teori je bezesporn a) T1 = fA A _ :B :B g b) T2 = fA ^ B :B A _ :C g c) T3 = mno ina vech formul vrokov
logiky. d) T4 = fA ) B :B Ag e) T5 = 

Odpov): a). (e) vy aduje koment : T5 nen teorie | podle denice 2.5.1# kdybychom p ipustili, e teori m u e bt i przdn mno ina vrok u, pak je T5 bezesporn). 16. Nech% T = fA A ) B B _ C C ) D :Dg je teorie, kde A B C D jsou opt vrokov
promnn
. Rozhodnte, zda plat a) T ` B b) T ` C c) T ` (B _ D) d) T fC g je bezesporn.

Odpov): a), c) | ano, plat, b), d) | ne, neplat. 17. Naleznte model (udlen pravdivostnch hodnot), v nm je formule (' _ ) ) ( _ ) pravdiv a jin
udlen hodnot, v nm je nepravdiv.

Odpov): Pro ' = 1  =  = 0 je nepravdiv, pro vechna ostatn ohodnocen je pravdiv. 18. Je pravda, e z premis (p edpoklad u) A ) B :(B ^ C ) a C vyplv zvr :C ?

Odpov): Nikoli. Je pouze jedno p idlen hodnot vrokum A, B a C , p i kter
m jsou vechny t i premisy (p edpoklady) souasn pravdiv
, tj. A = 0, B = 0 a C = 1. Pak ale vrok :C nen pravdiv.

19. Nech% A, B jsou pravdiv
vroky. Jakou vlastnost mus mt formule ' vrokov
logiky, pro ni plat: ` ' ) A _ :B a souasn `')A ^B ?

Odpov): Formule ' mu e bt libovoln, proto e pro A a B pravdiv
jsou i vroky A _ :B i A ^ B pravdiv
, tak e p edpokladem implikace, jej zvr je pravdiv, m u e bt cokoli. 20. Je mo n
pln mechanizovat dokazovn ve vrokov
logikce? Pro? 21. Kter z nsledujcch pravidel odvozovn (ve vrokov
logice) jsou korektn? a) AB_B b) A(ABB c) A:AB )B A (A d) )ABB ,B e) A_AB f) AB^B g) A):BA:B ):B h) A)BA :B i) :A )B::AA ):B j) :A B_BA k) :AA B A l) A_: B )B m) A_BA B )C )B n) A_CBA ):B )B o) A_BA C )B )B p) A_:BA B )C Odpov): a) ne (pro A = 1 B = 0), b) ano (modus ponens), c) ano, d) ne (pro A = 0 B = 1), e) ano, f) ano, g) ano, h) ne (pro A = 0 B = 1# k orektnm zvrem by nap . byl vrok :A), i) ano (modus tollens), j) ano (jin formulace

pravidla modus ponens), k) ano (premisy nemohou bt souasn pravdiv
, tak e podle denice korektnosti nen t eba pravdivost zvru zkoumat), l) ne (jedin premisa je splnna v dy, tak e i zvr by musel bt v dy pravdiv), m) ne (z platnosti premis vyplv, e B mus bt pravdiv
, a tedy i C ), n) ne (z platnosti premis vyplv, e B mus bt pravdiv
, a tedy C nepravdiv
), o) ano (z platnosti premis vyplv, e B mus bt pravdiv
, C tedy m u e bt jak
koli), p) ano (stejn
argumenty jako v p pad o)).

Kapitola 3 Prediktov logika V pedch zejc kapitole, vnovan vrokov logice, jsme probrali vlastnosti vroku jako celku, nezkoumali jsme jejich vnitn vstavbu. Nyn si vimneme ble pr v tto vnitn vstavby naich vpovd. Budeme mj. analyzovat vrazy tvaru objekt x m vlastnost P , objekty x y jsou v relaci R

a takov ast obraty jako vechny objekty maj vlastnost P , existuje objekt, kter m vlastnost P

apod. Tyto a podobn vrazy vypovdaj o mnostv objektu, kter maj, i nemaj, danou vlastnost | kvantikuj | a proto je nazv me kvantiktory. 1 Abychom ble porozumli roli kvantik toru v logice, probereme nejprve vyjadovac prostedky predik tov logiky, tj. denujeme jej jazyk. Jazyk predik tov logiky bude jist bohat ne jazyk vrokov logiky, protoe bude navc obsahovat jmna ruznch objektu uvaovan struktury a jmna relac mezi tmito objekty. Jmna relac nazv me predikty. Znamen to, e popisujeme njakou strukturu, kter sest v z individu a relac mezi tmito individui. Vrazu typu kvantik toru pouv me v pirozenm jazyce vce. Jsou to nap. seln kvantik tory jako existuj dva objekty, kter maj vlastnost P , existuj ti objekty s vlastnost P , : : : atd. Pat k nim ale i mn ur it kvantik tory jako skoro vechny objekty, mnoho, mlo, n kolik apod. 1

51

3.1 Jazyk prediktov logiky Jazyk predik tov logiky bude bohat ne jazyk vrokov logiky. Bude obsahovat vyjadovac prostedky, kter m m umon rozliovat jednotliv objekty (individua), u individu vlastnosti a vztahy mezi individui. Zaneme z kladnmi symboly.

Denice 3.1.1 Zkladnmi symboly jazyka prediktov
logiky budou: 1. individuov
promnn
, kter
budeme oznaovat symboly x y z : : :, pop pad opat enmi indexy# 2. prediktov
symboly P Q R : : :, rovn p padn opat en
indexy# 3. konstanty a b c : : :, pop . s indexy# 4. funkn symboly f g h : : :, pop . s indexy# 5. logick
symboly : ^ _ ) , 8 9.

To vyaduje koment . Pedevm, podobn jako ve vrokov logice, promnnch bude nekonen (spoetn) mnoho. Jejich role je vak odlin , tentokr t neodkazuj k vrokum, ale k jednotlivm objektum popisovanho svta | k individum. Hledisko predik tov logiky, brle jimi se logik dv na svt, uruje, e svt sest v z jednotlivch objektu | individu |, kter maj ruzn vlastnosti a nach zej se v ruznch vztazch. V predik tov logice n s zajmaj pr v tato individua a vztahy mezi nimi, proto i vyjadovac prostedky jazyka musej obsahovat symboly pro jejich popis. Predik tov symboly slou jako jm
na relac mezi individui, pop. (jde-li o jednomstn predik ty) jako jm
na vlastnost individu. Kadmu predik tu je piazeno pirozen slo vyjadujc jeho rnost, tj. poet argumentu, kter spojuje. Tak nap. ve vrazu O(k v) kter mueme nap. interpretovat tak, e symbol O oznauje relaci otcovstv, k je konstantn symbol oznaujc konkrtn individuum Karla IV., v konstantn symbol oznaujc V clava IV. Symbol O je zde predik tovm symbolem spojujcm dva argumenty (v naem ppad konstanty k a v). /k me, e symbol O je zde binrnm (dvoumstnm) predik tovm symbolem. Ve vrazu S (2 3 5) je symbol S ternrnm (trojmstnm) predik tovm symbolem. Mueme jej interpretovat nap. jako predik t, kter k , e tet argument je soutem prvnho a druhho argumentu.

Predik tovch symbolu bude v jazyce ovem vdy jen konen mnoho. Konen mnoho bude i konstant, kter hraj roli vlastnch jmen individu. Konen mnoho bude i funknch symbolu. Pkladem konstanty v jazyce jsou nap. vlastn jmna Petr, Pavel, ale teba i jmna sel v matematice, tj. slice 2, 3, 5 apod. Konstanty odkazuj vdy ke konkrtnm individum. K tvorb jmen individu ovem slou i funkn symboly. To zn me dobe z matematiky, kde nap. funkn symbol sin v kombinaci s konstantou a pomocnmi symboly umouje vytvoit vraz sin( ), co je jmno individua (sla), o nm matematik v, e je to slo, kter jindy oznauje konstantou 0. To n s vede k n sledujc induktivn denici termu, neboli jmna individua.

Denice 3.1.2 (Termy) 1. Promnn
a konstanty jsou termy. 2. Jestli e f je funkn symbol a t1  : : :  tn jsou termy, pak i vraz f (t1  : : :  tn) je term. 3. dn
jin
termy nejsou.

Ze symbolu jazyka predik tov logiky a termu a pop. i z pomocnch symbolu, jako jsou z vorky a oddlovae, tvome atomick formule takto:

Denice 3.1.3 (Atomick
formule) 1. Jestli e P je n-mstn prediktov symbol, t1  : : :  tn jsou termy, pak vraz tvaru P (t1 : : :  tn) se nazv atomick formule. 2. dn
jin
atomick
formule nejsou. 2

Na z klad atomickch formul denujeme pojem formule predik tov logiky takto:

Denice 3.1.4 (Formule) 1. Ka d atomick formule je formule. 2. Kdy ',  jsou formule, x je promnn, potom vrazy :', ' ^ , ' _  , ' )  , ' , , (8x)' a vraz (9x)' jsou formule (pop . s pomocnmi symboly pro usnadnn ten). Jestlie do na
eho jazyka pat i rovnost a t1 , t2 jsou promnn nebo konstanty, pak vraz t1 = t2 je atomick formule. 2

3. dn
jin
formule ne ty, kter
vzniknou podle tchto pravidel, nejsou.

To znamen , e tda vech formul je nejmen tda vech vrazu splujcch 1. a 2.

Pklad. Vrazy (8x)(' ) ) ) ((8x)' ) (8x)'), (9x)(8x)' ) (8y)(9x) jsou

formule predik tov logiky, zatmco vraz (8x)' ) nen formule predik tov logiky, nebo( nen sestaven podle pravidel tvorby formul (nem rozumn smysl).

Cvien 3.1.1 Pomoc vyjad ovacch prost edku prediktov
logiky zapite tyto vroky p irozen
ho jazyka:

1. Ka d editel m aspo' jednoho pod zen
ho zamstnance. 2. Nen na svt lovk ten, kter by se zalbil lidem vem. 3. Nen pravda, e dn len veden podniku nen zrove' majitel obligac a akcion . 4. Funkce f je spojit v bod a. (N vod: To, e funkce je v bod a spojit znamen , e ke kadmu okol bodu f(a) existuje takov okol bodu a, e pro vechna x z okol bodu a hodnota f(x) padne do okol bodu f (a).) 5. Funkce f m v bod a limitu c. 6. V ka d
m mst je radnice, v nkterch obcch radnice nen. 7. Existuje msto, kam vedou vecky cesty. Jmenuje se m. 8. Jestli e vichni uitel
jsou nron a dn student nepracuje piln, pak nkte  uitel
jsou frustrovni.

Odpov): 1. 8x9y(R(x) ) P (y x)), kde R(x) znamen, e x je editel a P (y x) znamen, e y pod zenm zamstnancem osoby x. 2. :9x8y((C (x) ^ C (y)) ) L(x y )), neboli 8x9y (C (x) ^ C (y) ^ :L(x y )), 3. ::9x(V (x) ^ O(x) ^ A(x)), 4. 8of (a) 9oa 8x(P (x oa) ) P (f (x) of (a) )) 5. 8oc9oa 8x(P (x oa) ^ :x = a) ) P (f (x) oc))

6. 8x(M (x) ) R(x)) ^ 9x(O(x) ^ :R(x)) 7. 9x8y ((M (x) ^ C (y )) ) V (y x)) 8. (8x(U (x) ) N (x)) ^ 8x(S (x) ) :P (x))) ) 9x(U (x) ^ F (x)), nebo jinak (8x(U (x) ) N (x)) ^ :9x(S (x) ^ P (x))) ) 9x(U (x) ^ F (x))

Cvien 3.1.2 Nech% K (x) znamen, e x je koka, M (x) znamen, e x je my a L(x y) znamen, e x lov y. Vyjd etes co nejlep eskou stylistikou formule 1. 8x(K (x) ) :M (x)), 2. 9x(K (x) ^ :L(x y) ^ M (y )).

Odpov): 1. Koka nen my. (Koky nejsou myi.) 2. Nkter
koky nelov myi.

Cvien 3.1.3 Formul prvnho du (s rovnost) vyjd ete, e existuje/existuj 1. alespo' jedno 2. alespo' dv 3. alespo' t i 4. nejve jedno 5. nejve dv 6. nejve t i 7. prv jedno 8. prv dv 9. prv t i individuum/individua s vlastnost F .

Odpov): 1. 9xF (x) 2. 9x9y (F (x) ^ F (y) ^ :(x = y ))

3. 9x9y9z (F (x) ^ F (y ) ^ F (z) ^ :(x = y ) ^ :(x = z ) ^ :(y = z )) 4. 9x8y(F (y ) ) (x = y )) _ :9xF (x) 5. 9x9y8z (F (z ) ) ((x = z ) _ (y = z ))) _ :9xF (x) 6. 9x9y9z 8w(F (w) ) ((x = w) _ (y = w) _ (z = w))) _ :9xF (x) 7. 9x8y(F (x) ^ (:(x = y ) ) :F (y ))) 8. 9x9y8z (F (x) ^ F (y ) ^ :(x = y) ^ ((:(x = z ) ^ :(y = z )) ) :F (z ))) 9. 9x9y9z 8w(F (x) ^ F (y ) ^ F (z ) ^ :(x = y) ^ :(x = z ) ^ :(y = z ) ^ ((:(x = w) ^ :(y = w) ^ :(z w)) ) :F (w)))

V dalm budeme potebovat rozliit promnn, kter jsou vzny kvantik tory, a promnn, kter jsou mimo dosah kvantik toru v dan formuli.

Denice 3.1.5 ekneme, e vskyt promnn
x ve formuli ' je v zan, kdy je vsky-

tem ve formuli tvaru (8x) nebo (9x). Promnn x je v zan ve formuli, m-li v n vzan vskyt. Jinak je voln . Formule ' je uzaven , kdy neobsahuje voln
promnn
. Formule ' je oteven , kdy neobsahuje vzan
promnn
.

Pklad 3.1.1 Ve formuli 8xP (x) je x vzan promnn a cel formule je tedy uza-

v en. Naproti tomu ve formuli (8x)P (y) je y voln promnn a x je v t
to formuli vzan. Formule (8x)P (y ) tedy nen uzav en, ale tak
nen otev en. Ve formuli 8x(P (x) ^ R(y)) je promnn x vzan a promnn y voln. Ve formuli 9x8yP (x y) jsou ob promnn
x i y vzan
. Formule P (a) _ P (b), kde a b jsou konstanty, neobsahuje dn
promnn
(ani voln
), a je tud uzav en, stejn jako formule (8x)P (x) obsahujc pouze vzanou promnnou x.

Vra(me se jet k samotnm symbolum jazyka predik tov logiky a porovnejme jazyk predik tov logiky s jazykem vrokov logiky. Jazyk predik tov logiky je bohat. To je trivi ln zjitn. Je duleitj si vimnout toho, e jazyk vrokov logiky je jen jeden, zatmco jazyku predik tov logiky je mnoho. To z le na tom, jak vybereme mnoiny predik tovch symbolu, konstant a funknch symbolu. Je nyn zejm, e m smysl mluvit o tom, e jeden jazyk je rozenm jinho jazyka predik tov logiky.

3.2 Splovn a pravdivost Prozatm jsme popisovali jen form ln str nku jazyka predik tov logiky bez ohledu na vznamy jednotlivch predik tu a konstant ve formulch. Pejdme tedy od tohoto syntaktickho popisu k ot zk m smantickm. Budeme se starat o to, jak vznamy lze piadit konstant m a predik tum ve vrazech predik tov logiky, a na z klad hodnot promnnch zji(ovat pravdivostn hodnoty nkterch formul. Pro tento el bude teba ci nco o relanch struktur ch. Z kladnm pojmem pro relan struktury je pojem relace, proto bude n sledujc odstavec vnov n relacm.

3.2.1 Relace a jejich vlastnosti Binrn relac R mezi mnoinami M N rozumme libovolnou podmnoinu kartzskho souinu M  N . Tedy R  M  N . Dva prvky x y jsou v relaci R, kdy +x y] 2 R. V takovm ppad peme R(x y) nebo tak xRy. Jestlie M = N , k me strun, e R je bin rn relace na M .

Tento pojem mueme zobecnit n sledovn: n-rn relac na M rozumme libovolnou podmnoinu kartzskho souinu M n . Pak hovome o bin rnch relacch, kdy n = 2, o tern rnch relacch, kdy n = 3, atd. N s vak budou zajmat pedevm bin rn relace a jejich vlastnosti.

Denice 3.2.1 ekneme, e binrn relace R je re3exivn, kdy ire3exivn, kdy

8x R(x x) 8x :R(x x)

tot ln (t
univerz ln), kdy 8x8y R(x y )

pr zdn , kdy poadov (t
seri ln), kdy

8x8y :R(x y ) 8x9y R(x y )

symetrick , kdy

8x8y (R(x y ) ) R(y x))

antisymetrick , kdy

8x8y (R(x y ) ) :R(y x))

dichotomick (t
souvisl ), kdy 8x8y (R(x y ) _ :R(y x))

tranzitivn, kdy 8x8y 8z ((R(x y ) ^ R(y z )) ) R(x z ))

intranzitivn, kdy 8x8y 8z ((R(x y ) ^ R(y z )) ) :R(x z ))

eukleidovsk , kdy 8x8y 8z ((R(x y ) ^ R(x z )) ) :R(y z ))

slab hust , kdy 8x8y (R(x y ) ) 9z (R(x z ) ^ R(z y ))):

Denice 3.2.2 Relaci, kter je re)exivn, symetrick a tranzitivn nazveme ekvivalence.

Podrobnj vklad tkajc se relac nalezne ten  v dodatku tchto skript.

Cvien 3.2.1 Uka te, e 1. ka d totln relace je symetrick, dichotomick, tranzitivn a eukleidovsk# 2. ka d dichotomick relace je re)exivn# 3. ka d przdn relace je symetrick, antisymetrick, tranzitivn, intranzitivn, eukleidovsk a slab hust# 4. ka d symetrick tranzitivn relace je eukleidovsk# 5. ka d re)exivn eukleidovsk relace je symetrick#

6. ka d intranzitivn relace je ire)exivn.

Cvien 3.2.2 Naleznte p klad relace, kter je 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

re)exivn a tranzitivn, ire)exivn a tranzitivn, symetrick a tranzitivn, antisymetrick a tranzitivn, re)exivn a symetrick, symetrick, re)exivn a tranzitivn (ekvivalence), re)exivn a eukleidovsk, souvisl ekvivalence, ekvivalence, kter nen souvisl.

3.2.2 Relan struktury Te) zavedeme smantick pojem relan struktury, kter bude slouit jako interpretace teorie v jazyce prvnho  du.

Denice 3.2.3 Relan strukturou M rozumme libovolnou neprzdnou mno inu M

spolu s konenm potem operac a relac na M . Mno inu M nazvme obvykle nosi struktury M.

Pkladem jednoduch relan struktury je libovoln nepr zdn mnoina s  stenm uspo d nm svch prvku. Nosiem struktury je ona mnoina,  sten uspo d n jejch prvku je jedinou bin rn relac v tto struktue. Jinm pkladem zajmav a pro logiku duleit relan struktury je Booleova algebra na dan mnoin. Protoe jej vznam pro logiku je znan, vnujeme j samostatn odstavec.

Denice 3.2.4 Relan strukturou pro jazyk J rozumme libovolnou relan strukturu

M s nosiem M , v n ka d
mu n-rnmu prediktov
mu symbolu z jazyka J odpovd n-rn relace, ka d
mu n-rnmu funknmu symbolu odpovd zobrazen n-tic prvku z M do M a ka d
konstant z jazyka J odpovd prvek z mno iny M .

Relan strukturu pro jazyk J nkdy nazv me t interpretace jazyka J (viz d le).

3.2.3 Booleovy algebry Algebrou rozumme libovolnou nepr zdnou mnoinu spolu s konenm potem operac denovanch na tto mnoin. Nejprve denujeme o nco jednodu relan strukturu, kter se obvykle nazv svaz.

Denice 3.2.5 Svaz S na mno in S je algebra se dvma binrnmi operacemi spojen a pruseku (oznaen:  \), kter
spl'uj nsledujc podmnky: Pro ka d
a b c 2 S 1. 2. 3. 4. 5. 6.

(a b) c = a (b c) (a \ b) \ c = a \ (b \ c) a b=b a a\b=b\a (a b) \ a = a (a \ b) a = a

Svaz nazveme distributivn, kdy pro vechna a b c 2 S navc plat a \ (b c) = (a \ b) (a \ c). Svaz nazveme komplementrn, kdy existuj takov dva ruzn prvky 0 1 2 S , e ke kadmu prvku a 2 S existuje takov prvek a4 2 S , e a \ a4 = 0 a a a4 = 1. Prvek a4 pak nazv me komplement prvku a.

Denice 3.2.6 Svaz, kter je distributivn a komplementrn, se nazv Booleova algebra.

Booleovu algebru mueme ovem denovat i pmo. Booleova algebra je algebra se dvma bin rnmi operacemi spojen a pruseku, s jednou un rn operac komplementu a dvma vytenmi prvky (nulovm a jednotkovm), kter spluj shora uveden podmnky. Duleitm pkladem Booleovy algebry je potenn mnoina P (M ) 3 libovoln nepr zdn mnoiny M , kde prusek odpovd mnoinovmu pruniku, spojen odpovd 3 Poten n mnoinou P (M ) mnoiny M rozumme mnoinu v
ech podmnoin mnoiny M . Pipomeme, e poten n mnoina n-prvkov mnoiny m 2n prvku. Kdy nap. M = fa bg, tak P (M ) = f  fag fbg fa bgg.

sjednocen a komplement mnoinovmu doplku, nulov prvek odpovd pr zdn mnoin a jednotkov prvek odpovd mnoin M . Poznamenejme jet, e pojem Booleovy algebry mueme denovat tak jako strukturu B = +B ] s  stenm uspo d nm denovanm na nosii B struktury B, kdy spojen resp. prusek dvou prvku z B denujeme rovnostmi: a b = b, kdy a b, a \ b = a, kdy a b. /k me, e  sten uspo d n generuje na mnoin B Booleovu algebru.

3.2.4 Interpretace Dosud pro n s byly vrazy predik tov logiky pouze form lnmi z pisy bez bliho vznamu. Abychom mohli rozhodnout, zda dan formule predik tov logiky je pravdiv i nepravdiv , musme nejprve interpretovat z kladn termny (predik tov symboly, funkn symboly, jsou-li jak, a konstanty) a formule jazyka. Tato interpretace by pitom mla mt tu vlastnost, e se d jednoznan rozit do interpretace vech (i odvozench) termnu a formul jazyka v dan struktue. Znamen to tedy, e vem vrazum jazyka postupn piazujeme objekty konstruovan z prvku dan struktury, kterou chceme pomoc uvaovanho jazyka popsat a zkoumat. Tento proces interpretace formul nyn popeme podrobnji. Nech( je d n jazyk J predik tov logiky, tj. seznam konstant, funknch a predik tovch symbolu. Nech( M je interpretace jazyka J . Zobrazen (valuace) val : VAR 7! M vech individuovch promnnch do univerza M , tj. do nosie struktury M, nazveme ohodnocen promnnch v dan
struktu e. Znamen to, e kad promnn piadme urit prvek z mnoiny M . Toto ohodnocen lze pak jednoznanm zpusobem rozit na vechny termy jazyka. Jestlie M je interpretace jazyka J , val je ohodnocen promnnch prvky nosie struktury M, pak ekneme, e formule ' je pravdiv v M pro ohodnocen val (oznaen: M j= '+val]), kdy plat: 1. Jsou-li t1  : : :  tn termy jazyka, P je n- rn predik tov symbol, pak M j= P (t1  : : :  tn )+val] pr v tehdy, kdy +t1 +val] : : :  tn +val]] 2 P , kde P je n- rn relace na mnoin M . 2. Je-li ' formule, pak M j= :'+val], pr v kdy neplat M j= '+val]. M

M

3. Jsou-li ' a  formule, pak M j= (' ) )+val], pr v kdy neplat M j= '+val] nebo plat M j= +val]. Jinmi slovy, v ppad, e plat M j= '+val], tak plat i M j=  +val] . 4. Je-li x promnn , ' formule, pak M j= 9x'+val], pr v kdy pro njak individuum m 2 M plat M j= '+val(x=m)].

Denice 3.2.7 ekneme, e formule ' je pravdiv ve struktue M (oznaen: M j= '), jestli e pro ka d
ohodnocen val je M j= '+val].

Pklad 3.2.1 Nech% ' je atomick formule ' = P (x) a nech% M = (M S ) je relan struktura, kde M je mno ina p irozench sel a S unrn relace ( = vlastnost) bti sudm slem. Jestli e val : V AR ! M je denovno p edpisem val(x) = 2, pak M j= '+val] (neboli formule ' je pravdiv v M pro ohodnocen val), ale neplat M j= '

(ili formule ' nen pravdiv ve struktu e M). Snadno toti nahl
dneme, e nap . pro val1(x) = 3, nen ' pravdiv v M.

Vimnme si, e plat

M j= ', pr v kdy M j= (8x)'.

Po tto pprav n s nepekvap tato denice:

Denice 3.2.8 Formule ', kter je pravdiv v ka d
struktu e M, se nazv logicky pravdiv nebo t
tautologie. (Oznaen: j= ').

Pklad 3.2.2 Formule

' = 8x(P (x) _ Q(x)) je pravdiv ve struktu e M = (M S L), kde M je opt mno ina p irozench sel, S vlastnost bti sudm slem a L vlastnost bti lichm slem. Skuten, ka d
p irozen


slo je bu sud
nebo lich
. Formule vak nen logicky pravdiv, nap . v relan struktu e M = (M S T ), kde M a S jsou jako na zatku tohoto p kladu a T je vlastnost bti dliteln temi, pravdiv nen.

Tautologie vrokov logiky jsou t tautologiemi logiky predik tov | je vak teba si uvdomit, e jde o vrokov formule nad formulemi predik tov logiky. Dalmi vznamnmi tautologiemi jsou: :8x' , 9x:', :9x' , 8x:'.

Cvien 3.2.3

1. Nech% F a G jsou jednomstn
predikty, R je dvoumstn predikt a a konstanta. Pro ka dou z nsledujcch formul naleznte interpretaci, kter ukazuje, e to NEN+ tautologie# tj. interpretaci, v n je formule nepravdiv: a) 8x(F (a) ) F (x)) b) 8x(F (x) ) F (a)) c) (9xF (x)) ) F (a) d) F (a) ) 8xF (x) e) 9xF (x) ) 8xF (x) f) 9x9yR(x y) ) 9xR(x x) g) 8x(F (x) _ G(x)) ) (8xF (x) _ 8xG(x)) h) (9xF (x) ^ 9xG(x)) ) 9x(F (x) ^ G(x)) i) 8x(F (x) ) G(x)) ) 9x(F (x) ^ G(x)) j) (8xF (x) ) 8xG(x)) ) 8x(F (x) ) G(x)) 2. Bu ' libovoln formule prediktov
logiky,  formule neobsahujc x jako volnou promnnou. P esvdte se, e nsledujc formule jsou tautologie prediktov
logiky: a) (8x)( ) ') ) ( ) (8x)') b) (8x)' ) (9x)' c) (8x)' ) :(9x):' 3. Nalezenm modelu proka te, e nsledujc mno iny formul jsou splniteln
: a) f9xF (x) 9x:F (x)g# b) f8x(F (x) ) G(x)) 8x(F (x) ) :G(x)g.

3.3 Odvozovn v prediktov logice Podobn jako ve vrokov logice, budeme se nyn zabvat relac odvoditelnosti mezi formulemi predik tov logiky. To, co ji zn me z vrokov logiky, samozejm s vhodou vyuijeme.

3.3.1 Axiomatizace prediktov logiky Podobn jako ve vrokov logice, budeme se i v predik tov logice zabvat problmem axiomatizace. Axiomatick systm predik tov logiky bude v jistm smyslu rozenm axiomatickho systmu vrokov logiky. To znamen , e bude sest vat z axiomu vrokov logiky 4 , k nim pid me dva axiomy, kter se tkaj kvantik toru:

Axiom P4 8x' ) '(x=t), kde t je konstanta anebo promnn , kter nen voln v  dn podformuli formule ' (sch
ma specikace)

Axiom P5 8x(' ) ) ) (' ) 8x), pokud x nen voln ve ' (distributivnost obecn
ho kvantiktoru v ui implikaci)

Odvozovacmi pravidly budou pravidla vrokov logiky (modus ponens, substituce a nahrazen ekvivalentnch podformul, a dal pravidlo generalizace, podle kterho z formule ' pro libovolnou promnnou x odvodme formuli 8x'.

Cvien 3.3.1 Rozhodnte, zda plat 1. F (a) ` 9xF (x), 2. 9xF (x) ` F (a), 3. 4. 5. 6. 7. 8.

8xF (x) ` F (a),

F (a) ` 8xF (x), ` 8x(F (x) _ :F (x)), ` 8x:(F (x) ) :F (x)), 8x:F (x) ` :8xF (x), :9x:F (x) ` 8xF (x).

Odpov): 1., 3., 5., 7., 8. | ano, 2., 4., 6. | ne.

Cvien 3.3.2 Otzka k zamylen. Vysvtlete v em jsou nsledujc sudky chybn
. 1. Madelain Albrightov se narodila v ,eskoslovensku. ,eskoslovensko neexistuje. Tud : Madelain Albrightov neexistuje. 4

Musme si bt ale st le vdomi toho, e jde o vrokov formule nad formulemi predik tov logiky.

2. ,erti jsou v pekle. Peklo neexistuje. Tud : ,erti neexistuj. 3. ,erti jsou v pohdkch. Je hodn pohdek. Tud : Je hodn ert u. Odpov: Existence v tchto pkladech neznamen vdy kvantikaci, jde spe o predik t.

Cvien 3.3.3 Sylogismy. Kter
z nsledujcch sudku jsou korektn? 1. Vichni aritmetici jsou matematici. Nkte  logikov
jsou matematici. Tud Nkte  logikov
jsou aritmetici. 2. dn
motocykly nejsou automobily. Vechny motocykly jsou rychl vozidla. Tud Nkter rychl vozidla nejsou automobily. 3. dn l
krnk nen prvnk. Nkte  uitel
jsou prvnci. Tud Nkte  uitel
nejsou l
krnci. 4. Nkte  politikov
jsou vzdlan. Nkte  prvnci nejsou politikov
. Tud Nkte  prvnci nejsou vzdlan. 5. Nkte  -v
dov
jsou protestanti. Nkte  protestanti nejsou -v
dov
. Tud Nkte  -v
dov
nejsou protestanti.

Odpov): 2., 3. ano, 1., 4., 5. ne.

3.3.2 Vlastnosti prediktov logiky Stejn jako ve vrokov logice, klademe si i v predik tov logice ot zku, zda form ln systm predik tov logiky m podobn vlastnosti jako systm vrokov logiky, tj. pt me se, zda je korektn, bezesporn, pln, rozhodnuteln apod.

Na z klad toho, co u o predik tov logice vme, je mon nahldnout, e form ln systm predik tov logiky je

korektn

bezesporn

pln

Na rozdl od vrokov logiky je predik tov logika obecn nerozhodnuteln, tj. neexistuje obecn algoritmus, kter by pro kadou formuli rozhodoval, zda je tautologi, kontradikc, anebo jen splniteln , ale nikoli tautologi. Jak uvidme v dalm textu, rozhodnuteln jsou pouze jist fragmenty predik tov logiky obsahujc jen urit typy formul.

3.4 Automatick dokazovn V tomto odstavci se budeme snait odpovdt na ot zku, zda se dokazov n v predik tov logice d mechanizovat, a tedy penechat stroji. Jet ped tm ale musme vnovat svoji pozornost dvma pojmum (a s nimi spojenm procedur m), kter pro n s budou velmi uiten pi prav formul do tvaru vhodnho pro automatick dokazov n.

3.4.1 Prenexn normln forma a Skolemovy funkce Nejprve si vimneme toho, e kadou formuli predik tov logiky lze pepsat do tvaru, v nm formule zan vemi kvantik tory, kter se v n vyskytuj, a ty jsou n sledov ny bezkvantik torovou  st. K tomu n m poslou n sledujc denice.

Denice 3.4.1 (Prenexn normln forma) ekneme, e formule ' je v prenexn norm ln form, jestli e m tvar

Q1x1  : : :  Qnxn,

kde symbol Qi zastupuje obecn nebo existenn kvantiktor, xi je promnn a  je formule neobsahujc dn
kvantiktory.

O formulch predik tov logiky plat, e ke kad formuli ' lze sestrojit formuli ' v prenexn norm ln form tak, e `',`',

0

0

co snadno ovme indukc podle sloitosti formule '. Obvykl postup pi hled n prenexnho norm lnho tvaru formule je tento: 1. Nejprve se zbavme zbytench kvantik toru. 2. Pejmenujeme promnn tak, aby vechny kvantik tory v zaly ruzn promnn a  dn promnn pitom ve formuli nebyla souasn volnou i v zanou promnnou. 3. Eliminujeme spojku ekvivalence podle schematu A , B : : : (A ) B ) ^ (B ) A). 4. Negaci pesuneme dovnit a kvantik tory doleva podle schemat :(8x') : : : 9x:' :(' )  ) : : : ' ^ : :(' _  ) : : : (:' ^ : ) :(' ^  ) : : : (:' _ : ) ::' : : : ' a pokud x se nevyskytuje ve formuli  (Qx') _  : : : Qx(' _ ) (Qx') ^  : : : Qx(' ^ ) (Qx') )  : : : Qx(' ) )  ) Qx' : : : (Qx( ) ')), kde Q opt oznauje jeden z kvantik toru 8 9.

Pklad 3.4.1 Formuli 8xP (x) ) (9yQ(y) _ 9xR(x)) upravme postupn takto: 8xP (x) ) (9yQ(y ) _ 9z R(z )) 8xP (x) ) (9y 9z (Q(y ) _ R(z ))) 8x(P (x) ) 9y 9z (Q(y ) _ R(z ))) 8x9y 9z (P (x) ) (Q(y ) _ R(z )))

Cvien 3.4.1 Naleznte prenexn normln formu formul 1. 8xP (x y ) ) 9x(Q(x) _ R(y z )) 2. 8x(9yP (x y) ) 9xR(y z )) ) 8xQ(x y)

3. 9x8y(P (x y ) ) 9xQ(x x))

Odpov): 1. 8x9wP (x y ) ) ((Q(w) _ R(y z )), 2. 8x9y8w(P (x y ) ) R(v z )) ) Q(w v), 3. 9x8y9z (P (x y) ) Q(z z)),

Pro ely automatizace procesu dokazov n bude navc vhodn odstranit v prenexn norm ln form vechny existenn kvantik rory. Tm dostaneme gener ln uzavenou formuli, take se pak soustedme pouze na bezkvantik torovou  st formule. Existennch kvantik toru se zbavme metodou, kterou navrhl norsk logik Thoralf Skolem. Metoda byla po nm nazv na skolemizac. Jestlie tedy formule m tvar 8x1 : : : 8xn 9yP (x1  : : :  xn  y ), pak podmnku pro existenci objektu y mueme ch pat jako podmnku existence zobrazen f , kter pro dan hodnoty promnnch x1  : : :  xn vybere poadovanou hodnotu promnn y. Puvodn formuli s existennm kvantik torem tedy mueme nahradit formul 8x1 : : : 8xn P (x1  : : :  xn  f (x1  : : :  xn )). V ppad, e formule zan existennm kvantik torem, je vc snadn . Pro existujc y zvolme njak dosud nepouit jmno | konstantu.

Cvien 3.4.2 Naleznte generln uzvr formul ze cvien 3.4.1. Odpov): 1. 8xP (x y ) ) ((Q(f (x)) _ R(y z )), 2. 8x8w(P (x f (x)) ) R(v z )) ) Q(w v), 3. 8y (P (a y ) ) Q(f (y ) f (y ))).

3.4.2 Automatick dokazovn | klauzule Ji jsme dobe poznali, e klasick odvozovac pravidla jsou pro strojov dokazov n zcela nevhodn . Budeme proto hledat jinou cestu, a k tomu vyuijeme princip vyvracen, kter formulujeme takto:

Tvrzen 3.4.1 Uzav en formule ' vyplv z teorie T prv tehdy, kdy T f:'g je nesplniteln neboli kontradiktorick.

Metoda odvozov n bude tedy spovat v tom, e msto toho, abychom hledali pm dukaz formule, budeme se snait vyvr tit negaci dokazovan formule. K tomu bude vhodn vechny formule, s nimi budeme pracovat, nejprve pevst do tvaru, kter je lpe pizpusoben strojovmu dokazov n. Takov tvar formule budeme nazvat klauzulrn a formuli v klauzul rnm tvaru nazveme klauzul.

Denice 3.4.2 Klauzule je literl nebo disjunkce literlu. Liter l je atomick formule

nebo jej negace. Mezi klauzule z dobrch technickch d uvod u adme i pr zdnou klauzuli, kterou obvykle zname symbolem 2.

Pkladem klauzul jsou formule: :P (f (x) a)

Q(g(x y)) _ P (x y) Jak zsk me klauzul rn tvar formule? 1. Formuli nejprve pevedeme do prenexn nom ln formy, tj. do tvaru kdy vechny kvantik tory jsou na za tku formule (prex), kter je n sledov n bezkvantik torovou  st (matic). 2. Vytvome disjunktivn tvar matice, co je znalost zaloen na vrokov logice. 3. Skolemizac eliminujeme existenn kvantik tory. (Formuli 9x8yP (x y) nahradme formul 8yP (a y) a formuli 8y9xP (x y) nahradme formul 8yP (f (y) y). Skolemova funkce zde pmo reprezentuje objekt, o jeho existenci mluv puvodn formule.) 4. Vynech me obecn kvantik tory.

Pro libovolnou mnoinu K klauzul te) denujeme Herbrandovo5 univerzum nad jazykem mnoiny klauzul K , kter poslou jako model.

Denice 3.4.3 Nech% K je mno ina klauzul. Herbrandovo univerzum H(K ) je mno ina vraz u, kter obsahuje:

1. Vechny individuln konstanty z K . 2. Jestli e termy t1 : : :  tn 2 H(K ), potom pro ka dou n-rn funkci f 2 K je term f (t1 : : :  tn) 2 H(K ). 3. Jin
prvky v H(K ) nejsou.

Poznamenejme, e do Herbrandova univerza vstoup i symboly, kter se do K dostaly v podob Skolemovch funkc. Protoe se Herbrandovo univerzum skl d z termu, je obvykle nekonen, pouze tehdy, kdy jazyk neobsahuje  dn funkn symboly, je poet prvku univerza konen, nebo( poet konstant jazyka je vdy (podle denice) konen. Duleitm tvrzenm pro automatizovan dokazov n je n sledujc vta.

Tvrzen 3.4.2 (Herbrandova vta) Mno ina formul v klauzulrnm tvaru je nesplni-

teln prv tehdy, kdy existuje konen mno ina zkladnch jejch klauzul, kter je logicky sporn.

Pklad 3.4.2 Nech% T = f8x(P (x) ) Q(x)) 8y(P (f (y))g,  = 8y(Q(f (y))). Otzkou je, zda plat T ` .

K tomu je t eba dokzat nesplnitelnost mno iny K = f8x(P (x) ) Q(x)) 8y(P (f (y))) :8yQ(f (y))g. T et formuli z mno iny K m u eme ekvivalentn p epsat na formuli 9y :Q(f (y )) a dle, pou itm Skolemovy konstanty na formuli :Q(f (a)). Klauzulrn tvar mno iny K pak bude nsledujc f:P (x) _ Q(x) P (f (y )) :Q(f (a)) g a Herbrandovm univerzem bude nekonen mno ina obsahujc termy fa f (a) f (f (a)) : : :g. Z Herbrandova univerza mno iny K a z predikt u P Q u itch ve formulch mno iny K , vytvo me smantick strom pro mno inu K : Herbrand byl francouzsk logik, jeho vsledky ze tic tch let byly vznamnm pspvkem k vah m o monostech automatickho dokazov n formul. 5

; P (a)

Q(a)

P (f (a))

Q(f (a))

:Q(a)

:P (f (a))

:Q(f (a))

P (f (a))

Q(f (a))

:P (a)

Q(a)

:Q(a)

:P (f (a)) P (f (a))

:Q(f (a)) Q(f (a))

Obr zek 3.1: Smantick strom

:P (f (a))

:Q(f (a))



Takto vytvoen smantick strom je vak velmi sloit, proto byly hled ny jin, vpotov jednodu, metody. V roce 1965 J. A. Robinson +54] nalezl metodu, kter byla nazv na rezolun metodou6 a kterou podrobnji popeme v n sledujcm odstavci.

3.4.3 Rezolun metoda odvozovn

Idea rezolunho odvozov n spov v tom, e k puvodnm klauzulm budeme vhodnm zpusobem pid vat i odvozen klauzule, a tm urychlovat vpoet. Nejprve ji vylome na jednoduchm pkladu. Pedpokl dejme, e mnoina formul (klauzule) f:P (x) Q(x)g je splnna v interpretaci i. Pak v te interpretaci je splnna kad jej instance, a tud i klauzule f:P (f (a)) Q(f (a))g. Avak liter l Q(f (a)) nemue bt splnn souasn s tet klauzul f:Q(f (a))g, a tud mus bt splnn liter l :P (f (a)), a proto jej mueme pidat k naim tem vchozm klauzulm. Znovu vytvome smantick strom,

P (a)

Q(a)

P (f (a))

:Q(a)

:P (f (a))

P (f (a))

Q(f (a))

:P (a)

Q(a)

:Q(a)

:P (f (a)) P (f (a))

:Q(f (a)) Q(f (a))

:P (f (a))

:Q(f (a))

Obr zek 3.2: Nov smantick strom

ze kterho ihned vidme, e spor byl nalezen o jednu rove ve. 6

N zev metody je odvozen z angl. resolution, co zde lze peloit slovy nov een.

Odvozen lze zn zornit schematem: :P (x)_Q(x) :Q(f (a)) :P (f (a))

Klauzuli :P (f (a)) nazv me rezolventou dvou hornch klauzul. Rezolun pravidlo tak kombinuje substituci, modus ponens a ruzn druhy tautologi.

Pklad 3.4.3 Mno ina ty klauzul fP (x) Q(x)g, f:Q(f (z ))g, f:P (f (z )) R(z )g, f:R(w)g

je nesplniteln, jak je patrno z Obr. 3.3.

fP (x) Q(x)g

f:Q(f (z ))g

fP (f (z ))g

f:R(w)g

f:P (f (z )) R(z )g

fR(z )g

2 Obr zek 3.3: Rezolun strategie

Pklad 3.4.4 (viz .14]) Vyjdeme z tchto pti tvrzen o zloinech, zloinnosti a zloincch:

1. Ka d zloin je nkm spchn. 2. Pouze zloinci pchaj zloiny. 3. Pouze zloinci jsou uvznni. 4. Zloinci, kte  jsou uvznni, nepchaj zloiny. 5. Byl spchn aspo' jeden zloin. Chceme dokzat, e z tchto pti vrok u plyne vrok ' = Existuj zloinci, kte nejsou uvznni. Nejprve vechna tvrzen formalizujeme. Symboly Zn Z U budou oznaovat po ad jednomstn
predikty zloin, zloinec a uvznn a symbol P bude oznaovat dvouargumentov predikt x p ch y. Formalizovan tvrzen budou pak mt tento tvar: 1. 8x(Zn(x) ) 9yP (y x)) 2. 8x8y((Zn(x) ^ P (y x)) ) Z (y)) 3. 8y (U (y) ) Z (y)) 4. 8y ((Z (y ) ^ U (y )) ) :9x(Zn(x) ^ P (y x))) 5. 9x(Zn(x)) K tmto formulm p idme negaci vroku ', tj. formuli :9y (Z (y ) ^ :U (y )) a budeme dokazovat jejich nesplnitelnost. Vech est formul nejprve p evedeme do klauzulrn podoby a nesplnitelnost prok eme odvozenm przdn
klauzule. Klauzulrn podoba vchozch formul je (s vyu itm Skolemovy konstanty v 5. formuli) tato: 1. :Zn(x) _ P (f (x)) x)

2. :Zn(x) _ :P (y x) _ Z (y) 3. :U (y) _ Z (y) 4. :Z (y ) _ :U (y ) _ :Zn(x) _ :P (y x) 5. Zn(a) 6. :Z (y ) _ U (y ) a przdnou klauzuli odvodme v tchto krocch 7. P (f (a) a) z formul 1 a 5. 8. :Zn(a) _ Z (f (a)) z formul 7 a 2. 9. Z (f (a)) z 8 a 5. 10. :Z (f (a)) _ :U (f (a)) _ :Zn(a) z formul 4 a 7. 11. :Z (f (a)) _ :U (f (a)) z 10 a 5. 12. :U (f (a)) z 11 a 9. 13. :Z (f (a)) ze 12 a 6. A konen 14. 2 z 13 a 9.

V obecnm ppad vak generov n vech monch rezolvent pesahuje i monosti potae. Jsou proto studov ny rozmanit heuristiky a strategie zjemov n | vybraj se jen nkter rezolventy, nebo se pouv vhodnho uspo d n klauzul k urychlov n vpotu. Jsou pouv ny t statistick metody odvozov n, z hlediska potaov realizace jde nejastji o interaktivn metody.

Cvien 3.4.3 A na zvr kapitoly opt nkolik kontrolnch cvien. 1. Nech% R S jsou prediktov
symboly, f funkn symbol. Kter
z nsledujcch vraz u jsou a kter
nejsou sprvn utvo enmi formulemi prediktov
logiky? a) S (x f (y)) , R(y x) b) S (S (y ) x) ) R(y x) c) R(x y ) _ S (y 8x(R(x z))

Odpov): a) ano, b), c) | ne.

2. Formul prvnho du vyjd ete, e existuj aspo' t i individua, kter maj vlastnost :P , prv kdy nemaj vlastnost R.

Odpov): 9x9y9z ((:P (x) , :R(x)) ^ (:P (y) , :R(y)) ^ (:P (z) , :R(z)) ^ ^ x 6= y ^ y 6= z ^ x 6= z ). 3. Je pravda, e ka d nepravdiv formule PL je nedokazateln? 4. Rozhodnte, kter
dvojice formul jsou ekvivalentn: a) :8xQ(x) 9x(:Q(x)) b) :(:(P (x) _ Q(x))) :(:P (x) ^ :Q(x)) c) (P (x) ) (Q(x) ) P (x))) ((P (x) ) Q(x)) ) (Q(x) ) P (x)))

Odpov): a), b) ano# c) ne. 5. Formalizujte nsledujc sudky a rozhodnte, zda jsou logicky sprvn
(korektn): a) Vichni ,ei pij pivo. Nkte  pijci piva jsou gurmni. Tud : Nkte  ,ei jsou gurmni. b) Nkte  ,ei nepij vno. Nkte  pijci vna nejsou gurmni. Tud : Nkte  ,ei nejsou gurmni.

Odpov): a) 8x(C (x) ) P (x)) 9x(P (x) ^ G(x)) tud 9x(C (x) ^ G(x)). Tento sudek nen logicky korektn. M u eme se o tom p esvdit nap . Vennovm diagramem. b) 9x(C (x) ^ :P (x)) 9x(P (x) ^ :G(x)) tud 9x(C (x) ^ :G(x)). Rovn tento sudek nen korektn. 6. Rozhodnte, kter
z nsledujcch formul PL jsou otev en
, kter
jsou uzav en
, pop . ani otev en
ani uzav en
: a) 8x(P (x) ) 8yQ(y )) b) 8y (P (x) ) 8xQ(y)) c) 8x(1 > 0) a) uzav en, b) ani uzav en, ani otev en, c) uzav en.

7. Kdy re)exivnost binrn relace R znamen, e 8xR(x x), co znamen, e R nen re)exivn?

Odpov): Znamen, e :8xR(x x) a tedy, e 9x:R(x x). 8. Kdy ire)exivnost relace R znamen, e 8x:R(x x), co znamen, e R nen ire)exivn?

Odpov): Znamen, e :8x:R(x x) a tedy, e 9x::R(x x) a tud 9xR(x x). Pozn mka: Z p edchozch dvou p kladu plyne, e nere)exivnost a ire)exivnost jsou r uzn
relace. 9. Pro ka dou z nsledujcch formul najdte v dy interpretaci, kter ukazuje, e dan formule nen logicky platnou formul, tj. naleznte interpretaci, v n je dan formule nepravdiv: (P , Q jsou jednomstn
predikty, a je konstanta). a) P (a) ) 8xP (x) b) 9xP (x) ) P (a) c) (9xP (x) _ Q(x)) ) (8xP (x) _ 8xQ(x)) d) (9xP (x) ^ 9xQ(x)) ) 9x(P (x) ^ Q(x)) e) 9xP (x) ) 8xP (x) f) 9x(P (x) ^ Q(x)) ) 9x(P (x) ^ :Q(x)) g) 8x(Q(x) ) P (x)) ) 9x(P (x) ^ Q(x)) 10. Co znamen, e formule prediktov
logiky je nedokazateln? 11. Je pravda, e formule 8y9xR(x y) a 9x8yR(x y) jsou ekvivalentn?

Odpov): Nikoli. Mu eme se o tom p esvdit nalezenm vhodn
interpretace pro predikt R(x y ). Kdy nap . vraz R(x y) budeme st jako x < y na mno in p irozench sel, tak prvn formule k, e ke ka d
mu p irozen
mu slu existuje slo men, zatmco druh formule k, e existuje takov
p irozen
slo,

e vechna ostatn p irozen sla jsou vt. (Takov
p irozen
slo se obvykle nazv nula.) Jin p klad: Kdy vraz R(x y) budeme st jako "x je p edkem y" mezi lidmi (anebo "y je potomkem x"), tak prvn formule k, e ka d lovk m aspo' jednoho p edka, zatmco druh k, e existuje takov lovk, e vichni lid
jsou jeho potomci. V jedn
tradici se takov lovk nazv Adam. V t
e tradici je ale prvn formule dokonce nepravdiv. 12. Nech% P Q jsou prediktov
symboly, c konstanta. Kter
z nsledujcch formul prediktov
logiky nejsou tautologie?

a) 9xP (x) ) 8xP (x) b) 8xP (x) ) :9xP (x) _ P (c) c) 8x:P (x) ) :9xP (x)

Odpov): a). 13. Nech% P Q R jsou prediktov
symboly, c konstanta. Rozhodnte, kter z nsledujcch teori je bezesporn: T 1 = f9xP (x) 9xQ(x) :9xR(x)g T 2 = f8xP (x) 8y:P (y) 8z (P (z) _ :P (z))g T 3 = f8x(P (x) ) Q(x)) :P (c) Q(c)g T 4 = f8x(P (x) ) Q(x)) ::9y(:Q(x))g T 5 = f:(8x(P (x) ) Q(x))) 8z P (z) ((8yP (y)) ) 8yQ(y))g T 6 = f:P (c) :9xQ(x) 8(P (x) ) Q(x))g T 7 = mno ina vech formul prediktov
logiky T8 =  T 9 = f:8xP (x) 9y(:P (y)g T 10 = f'0 ' = atomick formuleg T 11 = f'0 ' = negovan atomick formuleg T 12 = f'0 ' = libovoln formuleg T 13 = f8x(P (x) ) :P (x))g T 14 = f8x(:P (x) ) P (x))g T 15 = T 13 T 14

Odpov): T 5 T 7 T 12 T 15 sporn
, ostatn bezesporn
. 14. Je pravda, e ka d model formule 9x9y (P (x) ^ Q(y)) obsahuje aspo' dva prvky? Uvete d uvody.

Odpov): Nikoli. Formule mu e bt splnna i v jednoprvkov
interpretaci. Snadno nalezneme interpretaci, v n je formule splnna, ale plat p itom x = y . 15. Nech% P Q jsou prediktov
symboly, c konstanta. T = f8x(P (x) _ Q(x)) :Q(c)g je teorie. Rozhodnte, zda plat a) T ` P (c) _ Q(c) b) T ` 8yP (y)

Odpov): a) ano, b) ne.

16. V jazyce PL zapite vty: a) Ka d student zn aspo' jednoho uitele, kter ho neu. b) dn dobr uitel nenadr uje dn
mu ku.

Odpov): a) 8x9y (S (x) ^ U (y) ^ Z (x y) ^ :V (y x)) b) :9x9y(D(x) ^ Z (y ) ^ N (y x)) neboli 8x8y ((D(x) ^ Z (y )) ) :N (y x)) 17. Nech% P (x y z) je ternrn predikt. Naleznte intepretaci (model), v n je formule a) 9x9y 8z P (x y z ), b) 8x8y (P (x y) ) P (y x)) pravdiv, a jinou interpretaci, v n je nepravdiv.

Odpov): Ad a) P klad pravdiv
interpretace: na uzav en
m intervalu +a b], P (x y z) znamen x y z. P klad nepravdiv
interpretace: stejn relace na mno in p irozench sel. Ad b) P klad pravdiv
interpretace: P (x y) ti \x = y na mno in p irozench sel" anebo \x je p mka rovnob n s p mkou y ". P klad nepravdiv
interpretace: P (x y) ti \x < y na mno in p irozench sel". Jist najdete mnoho jinch pravdivch interpretac (model u) danch formul i mnoho nepravdivch. 18. Rozhodnte, kter z nsledujch t  sudk u je logicky korektn: a) Tato kniha m aspo' 300 stran. Tat kniha m nejve 200 stran. Tud : je to velmi zajmav kniha. b) Tato kniha m aspo' 300 stran. Tat kniha m nejve 200 stran. Tud : je to velmi nezajmav kniha. c) Tato kniha m aspo' 300 stran. Tat kniha m nejve 200 stran. Tud : dnes je krsn.

Odpov): Vechny t i sudky jsou z logick
ho hlediska korektn, proto e premisy (p edpoklady) nemohou bt nikdy splnny souasn, a proto e zvr mus bt pravdiv v dy, kdy premisy (p edpoklady) jsou nepravdiv
, tak zde zvr m u e bt libovoln.

19. Kter z nsledujcch pravidel odvozovn jsou korektn? a) 8PxP(x()x) b) P:P(x()x))QQ((xx)) (x)8xQ(x) c) 98xxP (P (x))Q(x))

Odpov): a), b), c) ano.

Kapitola 4 Formalizovan teorie a jejich vlastnosti 4.1 Logick struktura teori Te) u m me dostatek materi lu na to, abychom se mohli vnovat obecnm vlastnostem teori formulovanm jak v teorich prvnho  du, tak v jinch (form lnch) jazycch. Proto v tto kapitole pojedn me o logick struktue teori. Teorie budeme ch pat jako mnoiny formul. Teorie jsou systemizovan poznatky. Jedny poznatky souvisej s jinmi, nebo dokonce cel mnoiny poznatku souvisej s jinmi mnoinami poznatku. Chceme-li sdlit svoje poznatky, pouv me jazyka. V pedch zejcch odstavcch o vrokov a predik tov logice jsme se mohli pesvdit, e je zk souvislost mezi faktickm obsahem naich tvrzen a jejich jazykovm vyj denm. Jazyk J je d n, kdy je d na mnoina vech vrazu (formul) F , njak mimojazykov oblast pedmtu M (kterou jsme si zvykli nazvat struktura pro jazyk J , a nakonec jet relace interpretace, kter uv d do vztahu vrazy jazyka J (tj. formule z F ) a pedmty, o nich je e, tedy objekty ze struktury M. Vidli jsme tak, e chceme-li hovoit o logick vstavb njakho systmu poznatku, sta asto br t v vahu pouze form ln vlastnosti vrazu, tzn. e mueme odhldnout od mnoiny vznamu a od zamlen interpretace. Pak k me, e studujeme syntaktickou str nku teori, ostatn aspekty jsou pak z leitost s
mantick
ho, pop. pragmatick
ho zkoum n.

Denice 4.1.1 Je-li dna mno ina F vech sprvn utvo ench formul jazyka J ,

ekneme, e libovoln neprzdn mno ina T je teori v jazyce J , kdy T je podmno inou F.

81

Logik se tedy nezajm o to, jak teorie vznikla, o em mluv, zajm se pouze o logick souvislosti mezi formulemi (vtami), z nich teorie sest v , a chce poznat vz jemn souvislosti mezi tvrzenmi teorie. Jde mu pedevm o to, zda z tvrzen dan teorie nevyplv spor, zda existuje model dan teorie, ppadn jak jsou vztahy mezi vemi modely teorie apod. Pro vytv me teorie? Duvody mohou bt ruzn. Kdy nap. prodovdec navrhuje njak experiment, in tak proto, aby ovil sv hypotzy, kter formuloval na z klad dvjch pozorov n, nebo aby odhalil nov fakta i z konitosti o objektech a jevech, kter uinil pedmtem svho z jmu. A je pitom samozejm, e nekonstruuje sloit pokusy k tomu, aby nalezl ji dobe zn m skutenosti nebo fakta, kter z nich dedukc vyplvaj. Vdy se pochopiteln sna mylenkovmi postupy pedem se dovdt co nejvce o studovanm jevu, aby mu vsledek experiment ln innosti pinesl maximum uitku. Fyzika tohoto stolet dovedla tuto snahu v podob mylenkovho experimentu do ist podoby. Jak jsou ovem z ruky, e mylenkov pochody, kter realizujeme ve vd (a nejen ve vd), jsou spr vn? Jak se mueme zabezpeit proti chybnm sudkum, proti nim rozhodn nejsme imunn? Ji prost trnink v logickm usuzov n zmue mnoho. Avak vdy jet as od asu vznikaj situace, kdy prost duvra v tzv. zdrav rozum nevede k cli. Vdy( nap. fyzika se paradoxy jen hem. Proto se v n sledujcm odstavci budeme vnovat form lnm systmum detailnji. Budeme si ovem st le vdomi toho, e teorie form lnch systmu nen jen samoelnm rigor$znm matematickm popisem, ale e jej role je z velk  sti epistemologick . Lze toti pozorovat, e rozvoj urit vdn disciplny m zkou souvislost pr v se stupnm formalizace dan disciplny. V matematice je to zejm, ve fyzice a informatice patrn. Formalizace i matematizace ale postupn zasahuje i do dalch prodnch vd jako je nap. biologie (velmi vrazn je to nap. v genetice), ale i do spoleenskch vd, vetn vd ekonomickch.

4.2 Formln systmy Abychom si navz jem rozumli, musme ch pat jazykov vrazy, kter pouv me pi sdlov n (komunikaci). K tomu, abychom rozumli jazykovm vrazum, musme vdt, jak z dan sady z kladnch symbolu vytv et sloitj vrazy, tzn. e musme umt rozezn vat dobe utvoen vrazy danho jazyka od ostatnch nahodile vytvoench posloupnost symbolu z dan sady, z dan abecedy. Budi d na konen 1 nepr zdn mnoina A symbolu (abeceda). Symbolem A? ozname mnoinu vech konench posloupnost symbolu z abecedy A a nazveme je vrazy nebo tak slova v abeced A nebo nad abecedou A. Mezi vrazy pat i pr zdn vraz, 1

Vt
ina na
ich vah z tohoto odstavce bude platit i v ppad nekone nch, ale spo etnch abeced.

kter, bude-li teba, ozname symbolem
. Kdy nap. A = f0 1g je dvouprvkov abeceda, tak do mnoiny vech vrazu pat mj. vrazy: 0 1 01101 11101, pr zdn vraz
, a samozejm i nekonen mnoho dalch vrazu. Pipomeme si, e tda A? vech vrazu nad abecedou A (teba i jen jednoprvkovou) je vdy nekonen .

Denice 4.2.1 Form ln jazyk je libovoln (rekurzvn2) mno ina J  A? . Uve)me pklady ruznch form lnch jazyku nad abecedou A = f0 1g: J1 = f0 1g J2 = f1 11 111 1111g J3 =  J4 = f111 : : : 1(n-krt)0 8n 2 N g J5 = A? J6 = f
g

Kdy mnoina dobe utvoench formul je rekurzvn, mue bt vymezena pomoc produknch pravidel (gramatikou). S pravidly pro konstrukci spr vnch formul jazyka jsme se sezn mili ji dve, proto si tato pravidla nyn pipomeneme formou cvien.

Cvien 4.2.1 Denujte formln jazyk vrokov
logiky a formln jazyk prediktov
logiky.

Mnoina axiomu A  F bude libovoln nepr zdn rekurzvn mnoina formul. Odvozovac pravidla, nkdy t nazvan pravidla inference, jsou rozhodnuteln predik ty denovan nad mnoinou vech dobe utvoench formul. Budeme vdy pedpokl dat, e odvozovacch pravidel je konen mnoho. Ze smantickho hlediska je duleit, aby tato pravidla byla korektn, tj. aby od pravdivch premis vedla k pravdivm z vrum. Pojem rekurzvn mno iny je matematickou precizac vy sliteln mnoiny, tj. mnoiny vy sliteln (po ta ovm) programem. Podrobnji se s rekurzvnmi mnoinami a rekurzvnmi funkcemi mue ten  sezn mit nap. v knize Manna, Z.: Matematick teorie programu. SNTL, Praha 1981. 2

Dosavadn znalosti teori v jazyce predik tov logiky te) mueme rekapitulovat tak, abychom vidli, e jde o z kladn pojmy, spolen ad rozmanitch realizac. Teorie prvnho  du je mnoina formul konstruovanch ve shod s pravidly tvoen formul predik tov logiky, jak jsme je denovali v pedchoz kapitole. Pro teorie prvnho  du je charakteristick, e kvantikov ny mohou bt pouze individuov promnn, nikoli predik ty, nemueme v nich formulovat nap. tvrzen, kter se tk vech vlastnost nebo vech vztahu. Mezi formule prvnho  du tedy nepat nap. takov vrazy jako 8P 9Q8x(P (x) , Q(x)),

x = y , 8P (P (x) , P (y)), kterm mon dobe rozumme, ale nemueme s nimi zach zet stejn jako s formulemi prvnho  du. Jsou to formule jazyku vych  du. V obou ve uvedench pkladech se kvantikuje pes predik ty, zatmco my vme, e v jazyce prvnho  du lze kvantikovat pouze pes promnn individu. Logick systmy vych  du jsou tak studov ny, jsou ale mnohem komplikovanj, jen m lo vlastnost takovch systmu je dobe uchopitelnch (tj. rozhodnutelnch, efektivnch apod.). Teorie vych  du tak vych zej za r mec tto publikace. Je vak teba poznamenat, e vyjadovac prostedky teori prvnho  du jsou natolik bohat, e v bnch situacch jde o akceptovateln omezen. Vra(me se proto k teorim prvn  du a pipomeme nkter pojmy duleit z metodologickho hlediska. Dukazem formule ' rozumme takovou konenou posloupnost formul danho jazyka, e kad formule je bu) axi$mem, nebo je zsk na z pedchozch formul pomoc njakho odvozovacho pravidla, a posledn formule v posloupnosti je '. Kdy k dan formuli existuje dukaz (ale nemusme ho zn t), k me, e formule je dokazateln . Pesvdili jsme se ji, e k dan dokazateln formuli mue existovat poppad i vce dukazu, dokonce nekonen mnoho. Ruzn dukazy mohou mt i ruznou dlku. /ekneme, e mnoina formul X je deduktivn syst
m, kdy je uzaven na dusledky, tj. kdy je rovna mnoin vech svch dusledku, nebo jet jinak, kdy se odvozov nm ji nedaj zskat  dn formule, kter by v X ji nebyly obsaeny. Vimnme si, e tato denice m tu pednost, e se opr pouze o pojem dusledku, a e je tedy pouiteln pro jakkoli form ln logick systm, kter je denov n nad libovolnm jazykem. Podobn i pojem bezespornosti mnoiny formul lze denovat v takov obecnosti, e nen teba se odvol vat na symboly pouvan v danm jazyce. Proto k me, e mnoina formul X danho jazyka je bezesporn , kdy mnoina vech jejch dusledku je ruzn od mnoiny vech spr vn utvoench formul danho jazyka. Jinak je sporn . Jinmi slovy, bezespornost v tomto smyslu znamen , e existuj formule, kter

nejsou z mnoiny X dokazateln. Je to i pirozen denice, protoe teorie, ve kter je dokazateln cokoliv, je jist ponkud podivn a pro usuzov n bezcenn . Vidli jsme ji, e bezespornost teorie prvnho  du z rove znamen , e v n nen dokazateln  dn formule spolu se svoj negac. Pednost prvn denice vak spov v tom, e je pouiteln i v ppad jazyku, kter negaci neobsahuj. Nakonec jet pipomeneme pojem deduktivn pln mnoiny formul. O mnoin formul X jazyka J k me, e je pln , kdy kad jej nadmnoina (tj. takov mnoina Y , e X  Y ^ Y 6= X ) je sporn . #pln mnoiny jsou tedy maxim ln bezesporn mnoiny v  stenm uspo d n danm inkluz. K deduktivn pln mnoin formul nelze  dnou novou formuli bezesporn pidat. O tchto metodologickch pojmech plat ada uitench tvrzen, jejich platnost nen pli obtn ovit, a kter jsou velmi duleit pi vstavb speci lnch formalizovanch teori. Nech( X  F , kde F je mnoina vech spr vn utvoench formul danho jazyka J . Potom plat

Tvrzen 4.2.1 Mno ina vech dusledku libovoln
mno iny formul X je deduktivn syst
m, nebo% je sama ji uzav ena na logick
d usledky.

Tvrzen 4.2.2 Ka d pln mno ina formul je deduktivn syst
m. Pro kadou mnoinu formul X je tedy mnoina vech jejch dusledku deduktivnm systmem.

Tvrzen 4.2.3 Prunik ani sjednocen dvou ruznch deduktivn plnch mno in nejsou

pln
mno iny.

Toto tvrzen je zejm z toho, co jsme konstatovali ve, toti e pln mnoiny formul jsou pr v maxim ln bezesporn mnoiny.

Tvrzen 4.2.4 Ka d st bezesporn
mno iny je bezesporn. Prunik dvou bezespornch mno in je opt bezesporn mno ina.

Pozn mka. Sjednocen dvou bezespornch mnoin ovem ji nemus bt bezesporn mnoina. O tom se ihned pesvdme, kdy nap. jedna z mnoin bude obsahovat formuli ' a druh formuli :'.

Tvrzen 4.2.5 (Lindenbaumova vta) Ke ka d
bezesporn
mno in formul X existuje pln mno ina formul obsahujc X .

Tvrzen Lindenbaumovy vty je vak u netrivi ln v tom smyslu, e vyaduje dosti silnch dokazovacch prostedku z teorie mnoin, speci ln se k dukazu pouv tzv. Zornova lemmatu,

4.3 Teorie prvnho du a modely formalizovan ch teori V tomto odstavci budeme uvaovat o relanch struktur ch, kter maj tu vlastnost, e vechny formule dan teorie T jsou v nich pravdiv. Takov struktury, jak vme, v logice nazv me modely dan teorie. Nech( tedy M je relan struktura pro teorii T . Ta je modelem teorie T , kdy kad formule ' 2 T je pravdiv v M, tj. M j= '. Je zejm, e mohou existovat teorie, kter maj vce ne jeden model.3 O teorich, kter maj (a na izomorzmus) pr v jeden model, k me, e jsou kategorick
. Zajmav a velice duleit je ot zka, zda existuj teorie, kter nemaj  dn model. Takov teorie jsou, jak vme z pedch zejcch kapitol, v jistm smyslu bezcenn, protoe formule takov teorie nelze splnit souasn. Duleit ale je, e je nelze splnit souasn. Kad formule sama o sob vak splniteln bt mue. Pro jistou, dosti irokou tdu teori lze ovem uk zat, e plat duleit G2delova vta o tom, e teorie T m alespo jeden model pr v tehdy, kdy je bezesporn . Bezespornost je tedy v logice ch pana jako uskutenitelnost. Nalezenm libovolnho smantickho modelu teorie prokazujeme jej bezespornost. Co je bezesporn, je uskuteniteln a naopak, co je uskuteniteln, je bezesporn.4 Pro teorie prvnho  du navc pro n  syntaktick pojem bezespornosti plat

Tvrzen 4.3.1 (Vta o kompaktnosti.) Teorie T je bezesporn prv tehdy, kdy ka d Pkladem takov teorie je teba line rn uspo d n na alespo dvouprvkov mnoin. Je zejm, e takovch uspo d n lze denovat vce. 4 Kad z obou implikac v
ak zd urazuje ponkud odli
nou str nku ekvivalence. Prvn stran rozumu, druh evidenci. Zajmav pojedn n na toto tma, v nm je vystien vvoj pedstav o logickm pojmu bezespornosti, mue ten  nalzt v knize Petra Vopnky: Rozpravy s geometri, Panorama, Praha 1989. 3

jej konen st je bezesporn.

Dukaz: (viz nap. +30]).

4.3.1 Axiomatizovatelnost Nech( S je tda struktur pro jazyk J . Tda struktur S se nazv axiomatizovateln, existuje-li v jazyce J takov teorie T , e kad struktura M 2 S je modelem tto teorie, a nazv se konen axiomatizovateln, kdy existuje takov konen podmnoina T0 teorie T , e kad formule ' 2 T je dokazateln z T0 a kad struktura M 2 S je modelem teorie T0 . Pojem axiomatizovatelnosti, a speci ln konen axiomatizovatelnosti tedy vystihuje monost popsat danou tdu struktur pomoc form lnch vlastnost danho jazyka.

4.3.2 Elementrn ekvivalentn modely Dv struktury M1 M2 se nazvaj elementrn ekvivalentn, kdy pro kadou formuli ' jazyka J plat, e M1 j= ' pr v tehdy, kdy M2 j= '. Tedy nap. dv izomorfn struktury jsou element rn ekvivalentn. Navc lze uk zat, e kdy M1 M2 jsou element rn ekvivalentn a M1 je konen struktura (tj. nosi M1 je konen mnoina), tak M1 M2 jsou izomorfn. Tuto vlastnost element rn ekvivalentnch struktur mueme tedy dobe vyut pi studiu konench struktur, speci ln teba konench grafu.

4.4 Abstraktn operace logickho d
usledku Nyn ji mueme pistoupit k obecnho pojmu logickho dusledku, kter uinme nez vislm na volb jazyka. Budeme pedpokl dat, e jazyk je d n, co znamen , e jsou d na pravidla pro tvorbu formul. Ozname tedy F mnoinu vech spr vn utvoench formul danho jazyka a P (F ) mnoinu vech podmnoin mnoiny F tj. P (F ) = fX 0 X  F g.

Denice 4.4.1 Zobrazen Cn : P (F ) 7! P (F ) (tj. zobrazen mno in formul do mno in formul) nazveme operace logickho dusledku na F , pokud pro ka dou dvojici mno in X Y  F plat 1. X  Cn(X ) (re)exivnost)#

2. X  Y , potom Cn(X )  Cn(Y ) (monot3nnost)# 3. Cn(Cn(X ))  Cn(X ) (tranzitivnost).

Pozn mka: Oznaen Cn je z angl. consequence, co znamen dusledek. Nkter tvrzen z odst. 4.1 a nkter dal tvrzen te) mueme vyj dit pehledn. Napklad plat

Cn(X ) = Cn(Cn(X )). Jestlie X  Cn(Y ), potom Cn(X )  Cn(Y ). Jestlie X  Cn(Y ) a Y  Cn(Z ), potom X  Cn(Z ). Cn(X \ Y )  (Cn(X ) \ Cn(Y ))  Cn(X ). Cn(X Y ) = Cn(Cn(X ) Y ) = Cn(X Cn(Y )) = Cn(Cn(X ) Cn(Y )). Za zmnku jet stoj dv n sledujc tvrzen:

Tvrzen 4.4.1 (Restrikn vta) Jestli e g : P (F ) 7! P (F ) je takov
zobrazen, e pro

danou mno inu A  F plat g(X ) = A \ Cn(X ), kde X je libovoln mno ina X  F , pak g je re)exivn, monot3nn a tranzitivn.

Tvrzen 4.4.2 Nech% S  P (F ). Zobrazen f : P (F ) 7! P (F ), kter
je denovan
tak, e f (X ) je rovno pr uniku vech mno in Y 2 S , kter
obsahuj X , a jindy je rovno F , je operace logick
ho dusledku na F . Jinmi slovy, libovoln tda mnoin formul z F uruje pr v jednu operaci logickho dusledku na F . Ob tvrzen snadno dok eme ovenm vech t vlastnost operace logickho dusledku. Uve)me nkolik pkladu operace logickho dusledku:

Pklad 4.4.1 Kdy F je mno ina formul vrokov
logiky, Ax mno ina axiomu v-

rokov
logiky, R mno ina odvozovacch pravidel (modus ponens, pravidlo o substituci a pravidlo o nahrazen ekvivalentnch podformul), pak zobrazen c : P (F ) 7! P (F ) denovan
tak, e c(X ) je nejmen mno ina obsahujc X Ax, kter je uzav en na vechna pravidla z R, je operace konsekvence na F .

Pklad 4.4.2 Nech% nyn F je t da vech formul jazyka prvnho du a M je t da

relanch struktur pro F . Operaci Cn(X ) nyn denujeme takto: Pro ka dou formuli

' 2 F je ' 2 Cn(X ) prv tehdy, kdy ka d model mno iny formul z X je t
modelem formule '. Prvn pklad ukazuje, e n  abstraktn pojem logick konsekvence zahrnuje syntaktick pojem logickho dusledku, druh zas ukazuje, e je v nm zahrnut i pojem smantickho dusledku. Pat sem ale t zcela abstraktn pojmy, nae denice toti denuje jist typ uz vrov operace. Na dan mnoin F lze denovat mnostv operac konsekvence. Meznmi ppady jsou operace a) Cn(X ) = X , kter ke kad mnoin formul jako logick uz vr nepiazuje nic ne mnoinu samu, b) Cn(X ) = F , co je operace konsekvence, ve kter je mnoina dusledku libovoln mnoiny sporn . Ob tyto operace jsou samozejm nezajmav, ty zajmav jsou vechny mezi nimi, je ale dobr si takto uvdomit, o em vlastn mluvme. #vahy v terminologii abstraktn logick konsekvence ch peme spe jako vahy metodologick.

Cvien 4.4.1 A na zvr opt nkolik kontrolnch otzek. 1. Co znamen, e formule ' teorie T prvnho du je nedokazateln? 2. Vyjd ete t emi r uznmi zp usoby, co znamen, e je teorie bezesporn. 3. O teorii T prvnho du bylo zjitno, e v n je dokazateln libovoln formule. Co lze ci o bezespornosti t
to teorie?

Odpov): Teorie T je sporn.

4.5 Gdelovy v sledky Tento odstavec se tk snad nejduleitjch vsledku logiky dvac tho stolet, kterch dos hl brnnsk rod k Kurt G"del ve tic tch letech. Jejich negativn podoba, tvrzen typu, e neho podstatnho nelze dos hnout, byla pro mnoh logiky a matematiky, ale ve svm dusledku pro mnoh vdce nejen pekvapenm, ale nkdy i frustrac. Mimo jin to bylo denitivn a zeteln pozn n nerealizovatelnosti Hilbertova programu formalizace.

4.5.1 Gdelova loha (1931) Popeme nejprve jednoduchou lohu, v n je naznaena G"delova idea dukazu neplnosti nkterch dostaten bohatch teori prvnho  du. V pkladu pujde o velmi

jednoduchou situaci, i spe o velmi jednoduch jazyk prvnho  du a o jednoduchou teorii. Vpotov stroj (pota), kter tiskne vrazy sloen z n sledujcch pti znaku: P N ( )

Vraz je nepr zdn konen etzec znaku. Jazyk bude obsahovat intuitivn srozumiteln predik t tisknuteln(X ) a jednu operaci norma vrazu(X ) = X (X ). P.: normou vrazu P  je vraz P  (P ). Sentence je vraz nkterho z n sledujcch tvaru:

P (X ), PN (X ),  P (X ),  PN (X ) Te) jet uvedeme denici \pravdivosti" pro sentence. /ekneme, e sentence P (X ) je pravdiv, kdy vraz X je tisknuteln, PN (X ) je pravdiv, kdy norma vrazu X je tisknuteln ,  P (X ) je pravdiv, kdy vraz X nen tisknuteln, a konen  PN (X ) je pravdiv, kdy norma vrazu X nen tisknuteln . D le budeme pedpokl dat, e n  vpotov stroj je dokonale korektn, co znamen , e vechny sentence, kter vytiskne, jsou pravdiv. To mj. znamen , e kdy nap. stroj tiskne P (X ), tak X je skuten tisknuteln (X bude strojem dve nebo pozdji vytitna). Tak kdy PN (X ) je tisknuteln , tak i X (X ) (norma vrazu X ) je tisknuteln . Pedpokl dejme nyn, e X je tisknuteln . Znamen to, e tak P (X ) je tisknuteln ? Ne nutn. Jestlie X je tisknuteln , pak P (X ) je jist pravdiv , ale nem me nikde zarueno, e stroj je schopen vytisknout vechny pravdiv sentence, vme pouze, e stroj nikdy nevytiskne nepravdivou sentenci. Te) u mueme formulovat g"delovskou ot zku:

Je mon , aby stroj mohl vytisknout vechny pravdiv sentence? Odpov) je nikoli. Abychom to ovili, sta u jen vyeit jinou, snaz lohu: Naleznte pravdivou sentenci, kterou stroj nemue vytisknout!

+Nvod: Naleznte sentenci, kter tvrd svoji vlastn netisknutelnost { t.j. sentenci, kter je pravdiv , pr v tehdy, kdy nen tisknuteln strojem.] /eenm, jak snadno ovme, je sentence:  PN ( PN ) nebo( podle denice \pravdy" je sentence pravdiv , pr v tehdy, kdy norma vrazu  PN nen tisknuteln . Ale normou vrazu  PN je pr v sentence  PN ( PN )! Tud tato sentece je pravdiv , pr v kdy nen tisknuteln . To znamen , e sentence je bu) pravdiv a netisknuteln , nebo je tisknuteln a nepravdiv . Druh alternativa

poruuje pedpoklad, e stroj nikdy netiskne sentence, kter nejsou pravdiv.5 Tud nae sentence mus bt pravdiv , ale stroj ji nemue vytisknout. Vimnme si jet, e sentence PN ( PN ) je nepravdiv (protoe jej negace je pravdiv ). Avak tato sentence je rovn nedokazateln v systmu (vzhledem k pedpokladu, e systm je korektn). A tak sentence PN ( PN ) je pkladem sentence, kter je nerozhodnuteln v danm systmu.

4.5.2 Varianta Gdelovy lohy Budeme uvaovat trochu jin stroj, kter tiskne vrazy sloen z tchto pti znaku: P N 1 0 D le v tto variant budeme jet pracovat s pirozenmi sly. Ta zde budeme reprezentovat bin rnm z pisem (jako etzce z jedniek a nul) a pro ely tto lohy ztotonme pirozen sla s bin rnmi numer ly, kter je reprezentuj.

Gdelovo slo g(X ) vrazu X denujeme n sledovn: Pti jednotlivm znakum

 PN 10 piadme postupn G"delova sla 10, 100, 1000, 10000, 100000. G"delovo slo sloenho vrazu pak zsk me sloenm odpovdajcch G"delovch sel znaku z nich se skl d . Take nap. vraz PNP m G"delovo slo 1001000100.

Norma vrazu bude denov na rovnost norma(X ) = Xg(X ). Napklad norma vrazu (PNP ) je vraz PNP 1001000100.

Sentence maj nyn tvar: PX , PNX ,  PX ,  PNX , kde X je libovoln vraz (zapsan v bin rn notaci).

Denice pravdivosti bude pozmnna takto:

PX je pravdiv, kdy X je G"delovo slo tisknutelnho vrazu, PNX je pravdiv, kdy X je G"delovo slo vrazu, jeho norma je tisknuteln ,  PX je pravdiv, kdy PX nen pravdiv (X nen G"delovo slo tisknutelnho vrazu),  PNX je pravdiv, kdy PNX nen pravdiv . A konen loha je stejn jako v prvnm ppad: Naleznte pravdivou sentenci, kterou stroj nemue vytisknout. Te) u je zejm, e een modikovan lohy je  PN 101001000. 5

Zde je msto, kde je korektnost stroje podstatn vyuita.

Po tchto dvou loh ch by se mohlo zd t, e je to sice zajmav vlastnost systmu, ale e jde jen o jakousi singularitu, a tedy vlastnost pr v tohoto systmu. Kurt G"del ale uk zal, e je to velmi podstatn vlastnost kadho \dostaten bohatho" systmu. Pitom dostaten bohatm systmem se rozum form ln systm, kter obsahuje element rn aritmetiku. G"deluv \trik" spov v dumyslnm k$dov n formul form lnho jazyka pirozenmi sly, ktermu se k g"delizace. Pro samu aritmetiku je pochopiteln podstatn sloitj ne v pedchozm pklad, je zaloen na prvoselnch rozkladech. Idea z uvedenho pkladu ale prosvt . Je mon zajmav, e tento pklad zapadl a byl znovu \objeven" Raymondem Smullyanem a reprodukov n v jeho knize o G"delovch dukazech neplnosti +60], kter vyla v roce 1992. K tm z vanm dusledkum pak nap. pat to, e nen mon dok zat bezespornost matematiky, pesnji aritmetiky, jejmi vlastnmi prostedky, ale ppadn jen v systmu silnjm. G"delovy vsledky siln ovlivnily nejen nae porozumn logice a matematice, ale vznamn ovlivnily i mnoh dal vdn disciplny. Mezi n nap. zcela jist pat i lingvistika, ale i kognitivn vda, kter se sna porozumt lidsk mysli.

Kapitola 5 Neklasick logiky 5.1 Dal logick kalkuly Uk zali jsme, e v logice, na rozdl od bnho vyjadov n, mus bt ust len a pesn stanoven vznam jednotlivch termnu. Tak napklad vznamy vrokovch spojek mueme denovat tabulkou, kter stanov, pro kter kombinace pravdivostnch hodnot element rnch vroku je vsledn sloen vrok pravdiv a pro kter nepravdiv, nebo jinak, kdy m pravdivostn hodnotu 1 a kdy 0. /k me, e pracujeme v oboru dvouhodnotov nebo tak klasick vrokov logiky. To ovem mue vst k tomu, e nepostihneme vdy vechny vlastnosti odpovdajcch vrazu bn uvanho jazyka a asto i jazyka vdy. Snaha logiku dos hnout co mon nejir shody exaktnch logickch termnu bn v jazyce vdy uvanch vedla k vytvoen ady novch logickch kalkulu, v nich jsou bu) jin, nebo odlin ch pan logick termny, anebo jsou zkoum ny vroky, o nich nemueme s uritost ci, zda jsou pravdiv, i nepravdiv, a kterm tud pipisujeme dal pravdivostn hodnoty. Obor pravdivostnch hodnot, kter byl dosud reprezentov n dvouprvkovou mnoinou, se napklad roz o dal hodnoty a poet tchto hodnot se neomezuje. Puvodn formulace vcehodnotovch logik vych z z principu trojhodnotovosti. Jej tvurce, polsk logik L5 ukasiewicz, uk zal, e se v bnm vyjadov n setk v me se smysluplnmi vroky, kter nenabvaj  dn ze dvou obvyklch pravdivostnch hodnot, a proto jim musme pipsat tet pravdivostn hodnotu, kterou pak interpretoval jako mo nost. Pozdji bylo nalezeno i axiomatick vyj den trojhodnotov logiky a byla t prok z na jej plnost. Vyuit z konitost vcehodnotov logiky mue ve vdeckm vzkumu pijt v vahu nap. pi zpracov n bin rnch dat, kdy nkter daje, kter mly bt na pozorovanch objektech zjitny, n m nejsou zn my, a to bu) z principi lnch duvodu, anebo prost chyb, teba proto, e selhal mc pstroj. Idea trojhodnotov logiky byla v dalm vvoji zobecnna na logiky s libovolnm konenm potem pravdivostnch hodnot. I kdy byly realizov ny nkter zajmav aplikace, st le se jet vedou diskuse o problmu intuitivn adekv tn 93

interpretace vrokovch spojek v takto denovanch vcehodnotovch kalkulech. Zajmavch vsledku bylo dosaeno, kdy za abstraktn pravdivostn hodnoty bylo pouito kontinuum re lnch sel (nap. interval mezi nulou a jednikou). Byly uinny pokusy interpretovat takov kalkuly jako logiky pravdpodobnostn. S motivy vzniku vcehodnotovch logik souvisej i motivy vzniku modlnch logik. V mod lnch logik ch jde o to, jak exaktn popsat modality monosti a nutnosti a poppad dal. Mod ln logiky vznikaly z kritiky psn extenzion lnho charakteru klasick dvouhodnotov logiky. Dnes je ji zn ma ada kalkulu zahrnujcch nkter duleit vlastnosti ve uvedench modalit. N  vet neklasickch logickch systmu vak nen ani zdaleka pln, nehovoili jsme nap. vubec o intuicionistick logice. Tyto systmy, i kdy samy o sob velice zajmav, toti pesahuj r mec na publikace, nebo( jejich clem nen ani tak aplikan pouit, jako samotn budov n z kladu matematiky. %ten e, kter by se o neklasick logick kalkuly zajmal podrobnji, odkazujeme nap. na knihu +45] nebo na knihu +51], kter u ovem pedpokl d hlub znalosti matematiky, speci ln obecn algebry. Nakonec se jet zmime o tzv. induktivn logice. Induktivn logika nepat k srii ve diskutovanch logickch kalkulu, nebo( se od nich podstatn li metodami zkoum n i prostedky popisu. %asto se induktivn logika klade jako protiklad logiky deduktivn, co je d no zpusobem, jakm se v induktivn logice zsk vaj z vry z pedpokladu. Zatmco pi dedukci zsk v me z vry s jistotou, tj. vych zme-li z pravdivch premis, vedou n s pravidla dedukce opt k pravdivm z vrum, je naopak kad induktivn usuzov n zateno vt i men mrou nejistoty. Problematikou indukce a induktivnch metod se zabvali mnoz autoi, asto byla tato problematika pojedn v na jako lozock problematika. J. S. Mill, kter byl inici torem tzv. eliminan indukce (zn mch 5 Millovch k nonu indukce), vytvoil faktick pechod mezi ryze induktivn a ryze deduktivn metodou. Matematizac induktivn logiky se ponejvce zabval Rudolf Carnap, jeho kalkul je vlastn matematickou precizac, formalizac a axiomatizac pojmu potvrzen (konrmace) hypotzy a zce souvis s ot zkami pravdpodobnosti. V souasn dob bylo ji pod no nkolik alternativnch kalkulu majcch za z kladn (primitivn) termn potvrzen z kladn hypotzy h za pedpokladu e. Z rove vak tak bylo uk z no (Dana Scott), e existuj obory (mnoiny), na nich principi ln nemue existovat  dn funkce, kter by mohla bt mrou potvrzen hypotzy. Tm vznik motivace pro tvorbu novch kalkulu induktivn logiky, kter by adekv tnji vystihovaly uvaovan pojmy. Na druh stran lze povaovat modern matematickou statistiku za matematizaci induktivnch postupu pouvanch v empirickch vd ch. Tato matematizace m z logickho hlediska mnoho nedostatku, ale v jej prospch mluv kritrium praxe0 bylo ji dostaten prok z no, e v bn vdeck pr ci je matematick statistika innm n strojem indukce. V matematick statistice jsou hypotzami tvrzen (vroky) vypo-

vdajc o pravdpodobnostnch rozloench a jejich charakteristik ch0 pkladem mue bt asto pouvan a testovan (z kladn, nulov ) hypotza o rovnosti stednch hodnot dvou norm lnch rozden n hodn veliiny ve dvou ruznch skupin ch a k n alternativn hypotza kajc, e jedna ze stednch hodnot je vt. Bn postup je pak zaloen na akceptovn alternativn hypotzy na z klad hodnoty urit funkce vypoten z namench dat. Akceptov n probh tak, aby byla kontrolov na pravdpodobnost chyby, tj. akceptov n nepravdiv hypotzy. Podstat statistick indukce je vnov na rozs hl literatura0 nicmn dosud neexistuje  dn jednotn n zor na tuto problematiku (viz nap. vodn partie skript Jaroslava H jka a Dany Vorlkov1 , z logickho hlediska pak pr ce Petra H jka a Tom e Havr nka2 ). V souvislosti se snahami modelovat na potai lidskou inteligenci dolo v poslednch letech k prudkmu rozvoji vzkumu v ad tch typu usuzov n, kter se - podobn jako induktivn usuzov n - musej vyrovn vat s absenc informace. Takov usuzov n se asto oznauje jako nemonot3nn, protoe pid n nov informace mue vst k n sledn revizi znalost. O nemonot$nnm usuzov n bude podrobnji pojedn no v n sledujc kapitole.

5.2 Vcehodnotov a modln logiky Vcehodnotov a mod ln logiky jsou rozenm klasick dvouhodnot logiky, v nich se zkoumaj takov situace, kdy nejsme schopni urit pravdivostn hodnotu vroku s jistotou, anebo se studuj pojmy jako modality monosti a nutnosti. K nim pat i kondicion ln logiky, v nich jde o studium podmnnch vroku, co je problematika dobe zn m nap. program torum.

5.2.1 Trojhodnotov logika V tomto odstavci se na vroky budeme dvat trochu jinak ne jako na dvouhodnotov tvrzen typu ano/ne. Abychom postihli i situace, kdy nevme, zda je vrok A pravdiv i nepravdiv, zavedeme tet "pravdivostn\ hodnotu, kter bude znamenat nevm, a kterou ozname symbolem . Vrokov spojka negace : bude pak denov na n sledujc tabulkou: H jek, J. - Vorl kov , D.: Matematick statistika. SPN (skripta MFF UK), Praha 1977. H jek, P. - Havr nek, T.: Mechanizing Hypothesis Formation - Mathematical Foundations for a General Theory. Springer-Verlag 1978 a Havr nek, T.: Towards A Model Theory of Statistical Theories. Synthese 36 (1977), 441 - 458. 1 2

' :' 1 0 0 1

 

Tato tabulka jist nen pekvapujc. Pro klasick pravdivostn hodnoty pravda a nepravda se shoduje s n m dobe zn mou tabulkou negace, pro hodnotu  pirozenm zpusobem d v negaci opt hodnotu , protoe nevm-li nic o pravdivostn hodnot vroku ', nevm samozejm nic ani o hodnot vroku :'. Jde tedy o informan pojet negace. Na tomto mst vak musme pipomenout, e jsme se dopustili jist neduslednosti v oznaen. Symbol negace zde vlastn zmnil svuj vznam, jde o modikovan pojem, take kdybychom chtli bt dusledn, mli bychom spr vn tuto novou, trojhodnotovou negaci oznaovat jinm symbolem, nap :3 . Pokud ovem nevznikne nebezpe nedorozumn, nebudeme tak init, zvl t kdy nae trojhodnotov negace je rozenm klasick dvouhodnotov negace. Podobn budeme postupovat i u ostatnch vrokovch spojek. Faktickou odlinost novch spojek vak budeme mt st le na mysli. To, co vme o klasick disjunkci, n s vede k tto tabulce trojhodnotov disjunkce, kterou bychom opt mli znait spe symbolem _3 :

' 1 1 1 0 0 0

 '_ 1 1 0 1  1 1 1 0 0

  1  0  

 1  

Pozn mka: Vimnme si jet, e tuto \dlouhou" tabulku mueme zapsat i jinou, spornj, formou '_ 1  0 1 1 1 1  1   0 1  0 Trojhodnotovou spojku konjunkce mueme te) zavst dvma zpusoby. Opt tabulkou, anebo jako zkratku za sloenou formuli :(:' _ : ) .

Snadno se pesvdme, e pi tto denici bude tabulka trojhodnotov konjunkce n sledujc:

' 1 1 1 0 0 0

 '^ 1 1 0 0   1 0 0 0  0  1   0 0    Pi konstrukci tabulky konjunkce jsme postupovali analogickm zpusobem jako pi konstrukci pravdivostnch tabulek klasick vrokov logiky, ale s tm rozdlem, e vchoz tabulky pro negaci a disjunkci byly jin. Podobn jako v klasick dvouhodnotov logice mueme uvaovat o vech myslitelnch jedno-, dvou- a pop. i vce-argumentovch vrokovch spojk ch. Zustame na chvli u jednoargumentovch. Ve dvouhodnotov logice, jak jsme vidli, jsou tyi (negace, asserce, true a false). V trojhodnotov logice takovch spojek ovem mueme denovat 32  3, tedy 27. To je ctyhodn slo!3 V bnm jazyce je rozhodn nepouv me vechny. Nkter jsou ovem velmi zajmav, a proto se jim budeme vnovat podrobnji v n sledujcm odstavci. Zatm jsme denovali pouze ti trojhodnotov spojky. Ot zkou zust v , jak denovat implikaci. Tady se ale cesty rozch zej. Z le toti na tom, jak budeme rozumt pojmum implikace, tautologie a vyplv n. Touto problematikou vcehodnotovch logik se zabvali zejmna L5 ukasiewicz a Kleene. Uvedeme dv ruzn tabulky implikace. Budeme je rozliovat pomoc indexu podle jejich autoru L5 ukasiewicze a Kleeneho:

3

ten  si jist snadno vytvo tabulku v
ech sedmadvaceti jednoargumentovch spojek.

' 1 1 1

   0 0 0

 )K )L 1 1 1 0 0 0

 1 0  1 0 

 1   1 1 1

 1  1 1 1 1

Jak je vubec mon, e m me dv ruzn denice implikace? To souvis s motivac pro tyto pojmy, a kad z nich tedy vyjaduje ruzn vci. L5 ukasiewiczova koncepce je historicky star a je vedena vahami o budoucch ud lostech. U vroku \Dnes bylo kr sn." i \Ted pr." jsme schopni jednoznan rozhodnout o jejich pravdivosti i nepravdivosti, avak u nkterch vroku, kter se tkaj budoucch ud lost, to tak snadn bt nemus. Kdy nap. ekneme, e \Za rok budu v Praze.", tak mohu mt v pravdivost tohoto vroku vt i men duvru, ale o pravdivosti i nepravdivosti nemueme nic ci s jistotou. Je mon, e tomu tak bude, je ale t mon, e tomu tak nebude. Naproti tomu Kleeneho koncept trojhodnotov implikave je motivov n absenc informace: \Kdy nevm, tak nevm." Ruzn denice implikace maj pochopiteln za dusledek platnost ruznch formul. Tak nap. ani v L5 ukasiewiczov logice ani v Kleeneho logice neplat z kon vylouen tetho (princip tercium non datur), ani z kon sporu. V Kleeneho logice navc neplat z kon dvojit negace, tj. ::' ) ' . (protoe pro val(') =  nabv hodnoty ), zatmco v L5 ukasiewiczov logice tento princip plat. V dalch odstavcch se sezn mme s tm, jak trojhodnotov pstup mue bt vyuit k denici modalit. Ideu trojhodnotovch logik lze t snadno zobecnit na vcehodnotov logiky. Pak ovem vznik ot zka, co budeme rozumt pod pojmem tautologie. Jedna monost je striktn, e to jsou pr v jen ty formule, kter (stejn jako v klasick logice) nabvaj hodnoty 1 pi kadm ohodnocen promnnch. Jin monost je hovoit o A-pravdivch formulch, tj. formulch, kter pro libovoln ohodnocen promnnch nabvaj hodnoty z vyten mnoiny A pravdivostnch hodnot.

Cvien 5.2.1

1. Uka te, e v L4 ukasiewiczov logice plat zkony dvojit
negace, tj. formule ' ) ::' a ::' ) ', zatmco v Kleeneho logice nikoli.

2. Doka te, e princip tercium non datur, tj. formule ' _ :', nen tautologi ani L4 ukasiewiczovy ani Kleeneho logiky. 3. Ov te, e v L4 ukasiewiczov logice, podobn jako v logice klasick
, plat (jsou tautologiemi) formule: ' ) ((' ) ) ) ) ' ) ( ) ') :' ) (' )  ) (:' ) :) ) ( ) ') 4. Ov te, e na rozdl od klasick
dvouhodnotov
logiky v L4 ukasiewiczov logice neplat zkon Dunse Scotta, tj. formule (' ^ :') )  . (Kontradikce nen explozivn.) 5. Ov te, e mno ina f: )g je v L4 ukasiewiczov i Kleeneho logice funkn nepln. (Nvod: Uka te, e nap . jednoargumentov opertor T , kter ka d
pravdivostn hodnot p i azuje hodnotu  nen denovateln.) 6. Ov te, e p idnm opertoru T z p edchozho p kladu k trojhodnotov
negaci a L4 ukasiewiczov implikaci dostaneme funkn plnou mno inu opertor u (S4lupecki).

5.2.2 Extern negace a opertory jistoty a monosti V pedelm odstavci jsme navrhli jedno mon rozen klasick negace vzhledem ke tet pravdivostn hodnot. Trojhodnotovou spojku negace mueme kombinatoricky pr v vzhledem ke tet pravdivostn hodnot ch pat jet dvma dalmi zpusoby: optimisticky (vslednou hodnotou bude 1) nebo pesimisticky (vslednou hodnotou bude 0). Ob takto denovan negace vlastn eliminuj tet pravdivostn hodnotu. Nkdy se jim tak k extern negace.4 Proto nad le, budeme-li hovoit o extern negaci a nebude-li eeno jinak, budeme mt vdy na mysli optimistickou extern negaci. Tabulka extern optimistick negace (ozname ji symbolem ) tedy bude tato:

' ' 1 0 0 1  1 zatmco tabulka pesimistick negace (ozname ji symbolem p ) bude tato: V dal
m je
t uvidme, e sta , aby jazyk obsahoval jednu z nich, druhou pak snadno dodenujeme. 4

' p ' 1 0 0 1  0 N sledujc tabulka pak pehledn ukazuje souvislost mezi trojhodnotovou negac a extern (optimistickou) trojhodnotovou negac:

' ' 1 0 0 1  1

:' ::'  ' :  '  :' 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0   0 0 1

Pomoc extern a intern negace nyn mueme denovat dal symboly jazyka 2, 3, kter budeme ch pat jako uiten zkratky. Symbol 2 pro extern asserci i jistotu, nebo tak nutnost a symbol 3 pro mo nost:

Denice 5.2.1 Denin rovnosti pro 2 a 3 jsou 2' =def :  ' 3' =def  :' Zejm plat :2' = ' :3' = :'

To, co vyplv z denic oper toru jistoty a monosti, lze pehledn shrnout do tchto tabulek:

' 2'  2' 2  ' :2' 2:' 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1  0 1 1 1 0 ' 3'  3' 3  ' :3' 3:' 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1  1 0 1 0 1

Vimnme si, e se ob tabulky li pouze ve tetm  dku, co znamen , e oba oper tory 2 a 3 jsou opt rozenm klasickch (dvouhodnotovch) oper toru monosti a nutnosti. Z tchto tabulek mueme vyst adu ekvivalenc (v klasickm, tj. dvouhodnotovm smyslu). Lze ovem denovat i trojhodnotov ekvivalence. Jednak ve striktnm ch p n (dv formule jsou ekvivalentn, maj-li tou pravdivostn hodnotu) nebo v optimistickm pojet (dv formule jsou ekvivalentn, je-li mon, aby mly tou pravdivostn hodnotu).

Cvien 5.2.2

1. Naleznte co nejvce ekvivalentnch vztah u mezi formulemi, v nich jsou pou ity pouze symboly :  2 a 3. 2. Denujte trojhodnotov
ekvivalence. Kolik je mo no denovat takovch trojhodnotovch ekvivalenc? 3. Kolik r uznch dvouargumentovch trojhodnotovch spojek je mo no denovat?

%ten  te) ji snadno ov, e analogickch vsledku dos hneme tak, kdy vyjdeme od extern pesimistick negace p.

Denice 5.2.2 Denin rovnosti pro 2 a 3 jsou pak tyto: 3' =def : p ' 2' =def p :'.

5.2.3 Axiomatizace a odvozovn v trojhodnotov logice Podobn jako v klasick vrokov logice byl hled n systm axiomu, ze kterho by bylo mono odvodit vechny tautologie trojhodnotov logiky v L5 ukasiewiczov smyslu. Takov systmy nalezli L5 ukasiewiczovi  ci, Wajsberg a Slupecki. Wajsberguv systm trojhodnotov logiky obsahuje tyto axiomy

Axiom T1 ' ) ( ) ') Axiom T2 (' ) ) ) (( ) ) ) (' ) )) Axiom T3 ((' ) :') ) ') ) ' Axiom T4 (:' ) :) ) ( ) ') a obvykl odvozovac pravidla, tj. modus ponens a pravidlo o substituci. Wajsberguv axiomatick systm je pln a bezesporn.

5.2.4 Axiomatizace a odvozovn v modlnch logikch V tomto odstavci si vimneme mod ln logiky z hlediska jej axiomatick vstavby. Samozejm nejjednodum systmem je mod ln vrokov logika. Jej jazyk vznikne z jazyka klasick dvouhodnotov logiky prostm pid nm dalho symbolu 2, kter z vroku vytv  nov vrok, co znamen , e kdy V je vrok, tak 2V je tak vrok, kter budeme ve shod s tm, co bylo eeno v pedchozch odstavcch, st nutn plat V. Axiomatickch systmu vrokov logiky je zn ma cel ada. Historicky nejstarm, snad proto e pat k nejjednodum, je systm S5 5 , kter (viz d le) vedle axiomu klasick vrokov logiky obsahuje tyto axiomy tkajc se pojmu nutnosti:

2' ) ' :2:' ) 2:2:' a distributivnost nutnosti vui implikaci, tj.

2(' ) ) ) (2' ) 2) a pro odvozov n modus ponens a nov pravidlo zaveden opertoru nutnosti ' 2' . Aby vak bylo zejm, o em je e, je nezbytn ci nco bliho o smantice mod lnch logik. Ta byla pod na v Kripkeho publikaci +39]. Kripke vych z z Leibnizova pojet mo nch svtu, co pro n s z logickho hlediska bude libovoln nepr zdn (nekonen ) mnoina, kterou ozname W . Pro n s v tuto chvli bude duleit, e na mnoin W je denov na bin rn relace R  W  W , kter uruje dosaitelnost i alternativnost monch svtu. To tedy znamen , e ke kadmu svtu w 2 W je urena mnoina monch svtu z nj dosaitelnch (s nm alternativnch). Potom ekneme, e formule 2' je pravdiv ve svt w, jestlie ' je pravdiv ve vech svtech dosaitelnch z w. Analogicky, 3' je pravdiv ve svt w, jestlie existuje svt alternativn svtu w, v nm je pravdiv formule '. Nyn je zejm, e ale z le na tom, jak vlastnosti m konkrtn relace R dosaitelnosti (i alternativnosti). Byly studov ny ruzn systmy mod lnch logik vzhledem k vlastnostem relace dosaitelnosti. Mezi nejzn mj pat systmy K D T S 4 a S 5. Pro n mj. plat (+65]): Systm K neklade  dn omezen na relaci alternativnosti, je tedy nejslabm mod lnm systmem. Jestlie od relace R poadujeme, aby ke kadmu svtu existoval aspo jeden 5

Ozna en poch z od C. I. Lewise.

alternativn svt, pak mluvme o systmu D, v nm plat 2' ) 3'. Jestlie R je re3exivn, jde o systm T a plat 2' ) ', Jestlie navc R je tranzitivn, jedn se o systm S 4, v nm plat 2' ) 22', A konen, jestlie R je re3exivn, symetrick a tranzitivn, tj. je-li to relace ekvivalence, jedn se o Lewisuv systm S 5, ve kterm navc plat formule 3' ) 23'. Z vlastnost relac R je zejm, e kad n sledujc systm mod ln logiky v poad K D T S 4 S 5 je rozenm pedchozho. Zajmav je interpretace termnu monosti, kdy R je line rnm uspo d nm. Pak lze takovou mod ln logiku interpretovat jako asovou logiku (tense logic). Jestlie R je uspo d n reprezentovan konenmi stromy, lze termn nutnosti interpretovat jako dokazatelnost (v njakm form lnm kalkulu). Te) se vr tme k axiomatizaci mod lnch logik. Uvidme, e takovch systmu bude vce. Budeme pracovat s n sledujcmi axiomy: Axiom M 3' , :2:' Axiom K 2(' ) ) ) (2' ) 2) Axiom T 2' ) ' Axiom E 3' ) 23' (varianta) :2' ) 2:2' Axiom D 2' ) 3' Axiom 4 2' ) 22' Axiom B :' ) 2:2' (tzv. Brouwerova formule) Systmy S5 a S4 budou denov ny takto:

S5 = K + T + E (+ M) S4 = K + T + 4 (+ M) Pro tyto a dal mod ln systmy napklad plat n sledujc vztahy obsaen:

Cn(K )  Cn(T )  Cn(S 4)  Cn(S 5) Cn(K )  Cn(T )  Cn(B )  Cn(S 5)

Poznmka: Prvn axiom, kter jsme zde oznaili M, je mono ch pat spe jako denici modality monosti na z klad nutnosti a negace. Ostatn oznaen je v literatue o modalit ch obvykl.

Odvozovac pravidlo: Z formule ' odvo 2'.

Te) se jet podrobnji sezn mme s mod lnm systmem S5. Ten pov mezi ostatnmi mod lnmi systmy jaksi vsadn postaven0 duvod lze hledat nap. v tom, e smantick relace alternativnosti mezi monmi svty je zde relace ekvivalence. N sledujc formule jsou pklady teor m u platnch v systmu S5: ` ' ) 3' ` 2' , :3:' ` :3(' ^ :') ` 22' ) ' ` 32' ) 2' ` 2' ) 22' ` ' ) 33' ` :3' , 2:' ` 3' , :2' ` :3:3(' _ :') ` 2(' ^  ) , (2' ^ 2 ) ` :3(' _  ) , (:3' ^ :3 )

Nkter z nich postupn dok eme: Dokame: ` ' ) 3' 1. 2. 3. 4. 5. 6.

` 2:' ) :' (axiom T) ` ::' ) :2:' (kontrapozice) ` ' ) :2:' (dvoj negace) ` 3' , :2:' (axiom M) ` :2:' ) 3' (  st u 4) ` ' ) 3' (3,5 hypotetick sylogismus)

(1)

Dokame: ` 2' , :3:'

(2)

1. ` 3:' , :2::' (axiom M, substituce :' za ') 2. ` 3:' , :2' (dvoj negace) 3. ` 3:' ) :2' (if  st u 2) 4. ` :2' ) 3:' (  st u 2) 5. ` ::2' , :3:' (kontrapozice) 6. ` 2' , :3:' (dvoj negace) Dokame: ` :3(' ^ :')

(3)

1. ` :(' ^ :') (tautologie) 2. ` 2:(' ^ :') (odvozovac pravidlo) 3. ` 2:(' ^ :') , :3::(' ^ :') (pedchoz teorm (2), substituce :(' ^ :') za ' ) 4. ` 2:(' ^ :') ) :3::(' ^ :') (if  st u 3) 5. ` :3::(' ^ ') (2, 4 modus ponens) 6. ` :3(' ^ :') (dvoj negace) Dokame: ` 22' ) '

(4)

1. ` 2' ) ' (axiom T) 2. ` 2(2' ) ') (odvozovac pravidlo) 3. ` 2(2' ) ') ) (22' ) 2') (axiom K) 4. ` 22' ) 2' (2, 3 modus ponens) 5. ` 22' ) ' (hypotetick sylogismus 4, 1) Dokame: ` 32' ) 2'

(5)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

` 32' , :2:2' (axiom M) ` 32' ) :2:2' (if  st 1) ` 2' , :3:' (teorm (2)) ` 2' ) :3:' (if  st teormu 3) ` ::3:' ) :2' (kontrapozice 4) ` 3:' ) :2' (dvoj negace) ` 2(3:' ) :2') (odvozovac pravidlo) ` 2(3:' ) :2') ) (23:' ) 2:2') (axiom K) ` 23:' ) 2:2' (7, 8 modus ponens) ` :2:2' ) :23:' (kontrapozice 9) ` 32' ) :23:' (2, 10 hypotetick sylogismus) ` 3:' ) 23:' (axiom E) ` :23:' ) :3:' (kontrapozice 12) ` 32' ) :3:' (11, 13 hypotetick sylogismus) ` :3:' ) 2' (  st 3) ` 32' ) 2' (14, 15 hypotetick sylogismus)

Dokame: ` 2' ) 22' 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

` 2' ) 32' (teorm 1, substituce 2' za ' ) ` 32' ) 232' (axiom E) ` 2' ) 232' (1,2 hypotetick sylogismus) ` 32' ) 2' (teorm 5) ` 2(32' ) 2') (odvozovac pravidlo) ` 2(32' ) 2') ) (232' ) 22') (axiom K) ` 232' ) 22' (5,6 modus ponens) ` 2' ) 22' (3,7 hypotetick sylogismus)

(6)

5.3 Vlastnosti vcehodnotov ch a modlnch logik V tomto odstavci si vimneme z kladnch vlastnost neklasickch logickch systmu, a pak uvedeme nkolik zajmavch vlastnost tchto systmu, kter se opraj o pojem stupn informanho uspo dn.

5.3.1 plnost a rozhodnutelnost modln logiky V r mci Kripkeho smantiky plat: Systm mod ln logiky S5 je podobn jako vrokov kalkul pln a rozhodnuteln. (Viz nap. +39].)

5.3.2 Dal vlastnosti logickch kalkul u Nejprve nkolik denic.

Denice 5.3.1 Logick syst
m je 1. perzistentn, kdy pravdiv
(resp. nepravdiv
) formule z ustvaj pravdivmi (resp. nepravdivmi), i kdy jsou p idny dal formule. 2. koherentn, jestli e libovoln formule nem u e bt souasn pravdiv i nepravdiv v t
m e modelu. 3. determinovan, jestli e ka d formule je determinovan, tj. pravdivost nebo nepravdivost formule je jednoznan urena v pln
m modelu. 4. spolehliv, jestli e pravdivost (resp. nepravdivost) formule v sten
m modelu m za nsledek jej pravdivost (resp. nepravdivost) i v ka d
m informanm zplnn.

Mueme ovit, e plat n sledujc tvrzen:

Tvrzen 5.3.1 Jestli e syst
m je perzistentn a determinovan, pak je spolehliv. Tvrzen 5.3.2 Kleeneho trojhodnotov logika je koherentn, determinovan, perzistentn, a tud i spolehliv.

5.3.3 Varianty modlnch logik V poslednch desetiletch se intenzivn studuj varianty mod lnch logik, kter jsou motivov ny rozmanitmi idejemi od epistemickch po vpotov. Pro orientaci uvedeme alespo odkazy na hlavn smry. Duleit zde je to, e z jednoho spolenho vchodiska pak v z vislosti na urit motivaci vytv me aplikan zamen systmy. Tak nap. ve vech uvedench systmech pouijeme nco, co bychom mohli nazvat de Morganovy z kony mod lnch logik, tj. 3' =df :2:'. Musme si ale bt vdomi toho, jak se promuje koncept negace. Mezi nejintenzivnji studovan pat napklad:

Epistemick logika 2' : : : je zn mo, e ' 3' : : : opak tvrzen ' nen zn m

Logika pesvden (logic of beliefs) 2' : : : v se, e (panuje n zor, e) ' 3' : : : v opak ' se nev (nepanuje n zor)

Deontick logika 2' : : : mus bt ' 3' : : : je (mor ln) dovoleno, e '

asov logika (tense logic) 2' : : : vdy bude pravda, e ' 3' : : : nkdy bude pravda '

Dynamick (algoritmick) logika 2' : : : po kadm ukonen bhu programu je pravda ' 3' : : : existuje bh programu, po jeho ukonen je pravda '

5.4 Vcehodnotov a fuzzy logiky Snad nejpopul rnj neklasickou logikou je v souasn dob fuzzy logika. Tato popularita je d na pedevm praktickm pov nm vsledku fuzzy logiky v ad oblast, zejmna v regulaci. Vtina vrobcu praek se dnes chlub fuzzy regul tory, tmi jsou dnes vybaveny i nkter fotoapar ty, automatick pevodovky aj. N s ovem budou zajmat matematick z klady fuzzy logiky jako n stroje piblinho

usuzov n (approximate reasoning). V tomto smyslu je fuzzy logika zobecnnm logiky vcehodnotov. My se budeme vnovat pouze vrokov fuzzy logice, kter je samozejm nejjednodu (existuje ovem i predik tov fuzzy logika), a uvedeme zde pouze nkter ideje a ppadn v n z jemce odk eme na knihu Petr H jka Metamathematics of fuzzy logic +22]. Obor pravdivostnch hodnot rozme tak, e jm bude interval +0 1], kde 1 oznauje absolutn pravdu, 0 absolutn nepravdu. Pro se bere pr v interval +0 1]? % stenou odpovd je to, e chceme, aby fuzzy logiky byly zobecnnm klasickch logik, co znamen , e 0 a 1 musej bt krajnmi hodnotami oboru hodnot. Oborem hodnot by tedy mohla bt njak podmnoina tohoto intervalu obsahujc ob krajn hodnoty. Interval +0 1] je vak dostaten obecn0 pirozen uspo d n re lnch sel zde hraje duleitou roli | nae pravdivostn hodnoty lze line rn uspo dat.6 Duleitou vlastnost fuzzy logik, stejn jako logik klasickch i vcehodnotovch (a narozdl od logik mod lnch, i logiky intuicionistick) je jejich extenzionalita. To znamen , e nap. pravdivostn hodnotu formule ' _  urme na z klad pravdivostnch hodnot formul ' a  pomoc njak pravdivostn funkce _? : +0 1]2 ! +0 1]. Tato funkce ovem nemue bt libovoln | st le musme mt na pamti, e fuzzy logika m bt roz enm logiky klasick, a tedy pro krajn hodnoty 0 a 1 se funkce _? mus chovat \klasicky", tj. mus splovat rovnosti _?(1 1) = 1, _? (1 0) = 1, _? (0 1) = 1 a _? (0 0) = 0. Z kladn spojkou (a samozejm i pravdivostn funkc) fuzzy logiky bude pro n s tzv. siln konjunkce &,7 vechny ostatn spojky z n budou odvozeny. Nae intuitivn ch p n konjunkce je n sledujc: \velk " hodnota '& by mla naznaovat, e pravdivostn hodnoty jak ' tak i  jsou \velk". Je tud pirozen pepokl dat, e hledan pravdivostn funkce je neklesajc v obou promnnch. Tento poadavek je (spolen s ve uvedenm poadavkem, aby se krajn hodnoty intervalu chovaly \klasicky") splnn v n sledujc denici.

Denice 5.4.1 Binrn opertor t na +0 1] (tj. t : +0 1]2 ! +0 1]) nazveme triangulrn normou (zkrcen t-normou) t, jestli e spl'uje nsledujc t i podmnky: (i) okrajov
podmnky: pro libovoln
a 2 +0 1] plat t(1 a) = a t(0 a) = 00 Jsou ov
em studov ny i fuzzy logiky s hodnotami v e ste n uspo danch struktur ch, nap. ve svazech. 7 V klasick kogice splv s bnou konjunkc ^ pozdji uvidme, jak je vztah siln konjunkce a konjunkce ve fuzzy logice. 6

(ii) izotonicita: pro libovoln
a1  a2  b1  b2 2 +0 1] takov
, e a1 a2 b1 b2 plat

t(a1  b1 ) t(a2 b2 )0 (iii) asociativita a komutativita: pro libovoln
a b c 2 +0 1] plat

t(t(a b) c) = t(a t(b c)) t(a b) = t(b a): t-norma t se nazv spojit, je-li t spojit funkce.8 Z tto denice je zejm, e libovoln t-norma je zobecnnm spojky konjunkce a spluje n  poadavek tkajc se \velkch" hodnot.

Pklad 5.4.1 T i nejvznamnj spojit
t-normy jsou: (i) G2delova t-norma: tG(a b) = min(a b)# (ii) souinov t-norma: tp(a b) = a  b# (iii) L4 ukasziewiczova t-norma: tL (a b) = max(0 a + b ; 1).

%ten  zajist snadno ov, e ve uveden t-normy spluj podmnky uveden v denici 5.4.1. Nyn vnujeme svoji pozornost implikaci, co je pro logiku vdy tma z nejduleitjch. Ve dvouhodnotov logice, jak vme, je implikace ' )  pravdiv , je-li pravdivostn hodnota ' men nebo rovna pravdivostn hodnot . Tento fakt lze zobecnit v n sledujcm smyslu: \velk " pravdivostn hodnota implikace ' )  naznauje, e pravdivostn hodnota formule ' \nen o moc vt" ne pravdivostn hodnota jejho z vru, tj. formule . To vede k poadavku, aby pravdivostn funkce implikace i(x y) byla nerostouc v promnn x a neklesajc v promnn y. K tomu n m dobe poslou n sledujc pojem.

Denice 5.4.2 Nech% x y 2 +0 1] a t je spojit t-norma. t-reziduum it (x y) je deno-

vno rovnost

it (x y) = supfz 2 +0 1]0 t(x z) yg:

Nahradme-li okrajov podmnky (i) podmnkami t(1 a) = 1 t(0 a) = a dostaneme denici t-conormy, kter v
ak z hlediska budoucho vkladu nem hlub
 smysl. 8

Pro libovolnou spojitou t-normu t je t-reziduum it (a b) nejvtm eenm rovnice t(a x) = t(x a) = b: Tato vlastnost zaruuje, e se pravidlo modus ponens bude ve fuzzy logice chovat \rozumn", tj. e z pravdivostn hodnoty x formule ' a pravdivostn hodnoty i(x y) formule ' )  \spote" doln hranici pravdivostn hodnoty y formule . Na druhou stranu denuje pravdivostn hodnotu i(x y) formule ' )  co nejvt, aby bylo toto dedukn pravidlo dostaten siln.

Pklad 5.4.2 Pro libovolnou spojitou t-normu t plat it (x y) = 1, jestli e x y a pro ve uveden
t-normy dostvme pro x > y nsledujc t-rezidua: (i) G2delova implikace: iG (x y) = y , (ii) Goguenova implikace: ip (x y ) = xy , (iii) L4 ukasziewiczova implikace: iL (x y) = 1 ; x + y .

Zvolme-li njakou spojitou t-normu, je tm ji urena vrokov fuzzy logika. Pesnji eeno, dost v me n sledujc duleit denice.

Denice 5.4.3 Jazyk vrokov fuzzy logiky V L(t), kter je uren t-normou t sestv

z vrokovch promnnch '   : : : (p padn opat ench indexy), vrokovch spojek siln
konjunkce & a implikace ) a z vrokov
konstanty 40.

Denice 5.4.4 Formule jsou denovny obvyklm zpusobem (srovnej s denic formule v klasick
vrokov
logice): 1. 2. 3. 4.

Ka d vrokov promnn je formule. 40 je formule. Jsou-li ' a  formule, pak i '& a ' )  jsou formule. dn
jin
formule neexistuj.

Denice 5.4.5 Ostatn vrokov
spojky jsou denovny nsledujcm zpusobem: (:') (' ^ ) (' _ ) (' , )

, def , def , def , def

(' ) 40) ('&(' ) )) ((' ) ) ) ) ^ (( ) ') ) ')) ((' ) )&( ) ')):

Denice 5.4.6 Ohodnocen vrokovch promnnch je zobrazen val p i azujc ka d
vrokov
promnn
' jej pravdivostn hodnotu val(') 2 +0 1]. Na ostatn formule se toto ohodnoven roz  jednoznan podle nsledujcch pravidel:

val(40) = 0 val('&) = t(val(') val()) val(' ) ) = it (val(') val()): Vyskytuj-li se ve formuli jin spojky ne siln konjunkce & a implikace ), je samozejm teba pi hled n ohodnocen tto formule vyut deninch rovnost tchto spojek uvedench v denici 5.4.5. Ne vdy je to vak nutn, nebo( plat n sledujc

Lemma 5.4.1 Pro libovoln
formule ' a  plat: val(' ^ ) = minfval(') val()g val(' _ ) = maxfval(') val()g: Z tohoto lemmatu je ihned vidt, e v G"delov logice, tj. V L(tG ) je siln konjunkce & ekvivalentn obvykl konjunkci ^. Z rove se ukazuje, pro se konjunkci & k siln | pro libovolnou t-normu t toti plat:

t(x y) min(x y) co plyne pmo z denice t-normy, a tud plat val('&) val(' ^ ):

Denice 5.4.7 Formule ' je 1-tautologie V L(t), jestli e val(') = 1 pro libovoln
ohodnocen val.

To znamen , e 1-tautologie jsou absolutn pravdiv pi libovolnm ohodnocen. Je vak teba ci, e pro dv ruzn t-normy t1 a t2 jsou mnoiny jejich 1-tautologi obecn ruzn. N sledujc formule jsou vak 1-tautologiemi libovoln V L(t) (pro spojitou tnormu t).

Axiom VL(t)1 (' ) ) ) (( ) ) ) (' ) )) Axiom VL(t)2 ('&) ) ' Axiom VL(t)3 ('&) ) (&')

Axiom VL(t)4 ('&(&)) ) (('&)&) Axiom VL(t)5a (' ) ( ) )) ) (('&) ) ) Axiom VL(t)5b (('&) ) ) ) (' ) ( ) ) Axiom VL(t)6 ((' ) ) ) ) ) (((' ) ) ) ) ) ) Axiom VL(t)7 40 ) ' Deduknm pravidlem vrokov fuzzy logiky je modus ponens. Pojmy dukaz a dokazateln formule jsou denov ny obvyklm zpusobem. Dost v me tud

Lemma 5.4.2 Jsou-li ' a ' )  1-tautologie V L(t), pak i  je 1 tautologie V L(t). Tud : Ka d formule dokazateln z ve uvedench axiom u je 1-tautologie V L(t).

Z ve uvedench axiomu lze odvodit adu uitench vlastnost jednotlivch spojek jako jsou komutativita a asociativita konjunkce a disjunkce, distributivita konjunkce vzhledem k disjunkci a naopak, ale t distributivita siln konjunkce vzhledem ke konjunkci i disjunkci. Zajmav je obdoba zn m (a hojn vyuvan) vty o dedukci, kterou zde uvedeme.

Tvrzen 5.4.1 Nech% T je teorie a '  jsou formule. T f'g ` , prv kdy existuje n takov
, e T ` 'n )  (kde 'n zna '&    &', n-krt).

Nutno poznamenat, e v obecn V L(t) nelze dok zat dedukn vtu tak, jak je zn m z klasick vrokov logiky. Plat vak

Tvrzen 5.4.2

1. Nech% t = tG , pak pro ka dou teorii T nad V L(tG ) a pro ka d
dv formule '  plat: T f'g ` , prv kdy T ` ' ) .

2. V L(tG) je jedin V L(t), v n plat klasick vta o dedukci, tj. jestli e ve V L(t) plat vta o dedukci, pak t = tG.

Cvien 5.4.1 Uka te, e: 1. Ve V L(tG ) a V L(tp) plat zkon sporu :(' ^ :'), zatmco ve V L(tL ) neplat. 2. Ve V L(tL ) plat zkon vylouen
ho t etho ' _:', zatmco ve V L(tG ) ani V L(tp ) neplat.

3. Ve V L(tG), V L(tp) i V L(tL ) plat implikace ' ) ::', zatmco obrcen implikace ::' ) ' plat pouze ve V L(tL ). Zkon dvoj negace tedy plat pouze v L4 ukasziewiczov logice. Odpov: Vechna cvien jsou zaloena na pr ci s t-normami a t-rezidui. Uvedeme podrobnj n vod k 1. cvien | ostatn dukazy jsou analogick.

1. Nech( val(') = a 2 (0 1).9 Pak (vzhledem k denici negace) dost v me pro G"delovu t-normu valG(:') = iG (a 0) = 0 a obdobn pro souinovou t-normu

valP (:') = ip(a 0) = 0 zatmco pro L5 ukasziewiczovu t-normu m me

valL(:') = iL (a 0) = 1 ; a: M me tud zatmco

valG(':') = valp(':') = min(a 0) = 0

val(':') = min(a 1 ; a) 6= 0: Odtud konen dost v me pro G"delovu i souinovou t-normu valG(:(':')) = valp(:(':')) = 1 neb it (0 0) = 1 pro libovolnou spojitou t-normu t, ale

valL (:(':')) = 1 min(a 1 ; a) 6= 1:

5.5 Intuicionistick logika Vznik intuicionistick logiky byl motivov n ponkud jinak ne vznik vcehodnotovch a mod lnch logik. V intuicionistick logice lo pedevm o reakci na krizi v z kladech matematiky. Soubn s axiomatizac teorie mnoin se rozvinula hlubok a radik ln kritika klasick matematiky ze zcela jinch pozic. Bylo pouk z no na to, e v klasick teorii mnoin je Pokud val(') = 0 nebo val(') = 1, jedn se o klasickou dvouhodnotovou logiku a z kon sporu plat pro libovolnou souvislou t-normu. 9

nedostaten a nejasn vymezen pojem nekonena, kter je pro matematick uvaov n ivotn duleit. D le bylo pouk z no na to, e matematika se za stalet nedok zala oprostit od residu tomistick absolutizace aristotelsk logiky. Veker logika, kter byla a dosud v matematice pouv na, byla odvozena ze zkuenosti o konench mnoin ch a byla nekriticky penesena i do vah o nekonenu. Z tohoto hlediska pak byly antinomie sekund rnm jevem, kter se objevil v teorii mnoin pr v proto, e pojem nekonena je zde tak asto, iroce a nepesn pouv n.

5.5.1 Zkladn intuicionistick ideje Snad nejzn mj intuicionistickou tez je odmt n platnosti principu vylouen tetho (tercium non datur) v logice. Nen to vak zdaleka teze nejduleitj, protoe je pouhm dusledkem vubec naprosto odlinho ch p n matematiky, ne jak tomu bylo v do-intuicionistick e bn. Intuicionist pedevm ch pou matematiku jako mylenkovou innost. Pedmtem matematiky, podle jejich pedstav, jsou vysoce abstraktn racion ln konstrukce. Tm je vyzvednut konstruktivn charakter veker matematick innosti. Konstruktivnost se tak st v nutnou a postaujc podmnkou existence matematickch pedmtu. Tmto ztotonnm existence a konstruktivnosti je podle intuicionistu urena samotn povaha matematiky. Konstruktivnost je tak nejduleitjm kriteriem, kter umouje urit ppustnost dan matematick innosti (odvozovacch a dokazovacch prostedku apod.). V dusledku toho je bnm matematickm a logickm vrazum d v n jin smysl, ne jak tomu bylo dve. Napklad univerz ln vrok vechna p irozen sla n maj vlastnost F je v intuicionistickm pojet nutno ch pat jako hypotetick vrok, kter n s zpravuje o tom, e jestlie je d no njak (ale jinak libovoln) pirozen slo n, potom toto slo m vlastnost F . To souvis s odlinm ch p nm podstaty nekonena. Na rozdl od klasick matematiky, kter , jak jsme vidli, ch pe nekoneno existenciln, jako zavren a nemnn soubor pedmtu, z nich kad je aktu ln poznateln, uzn vaj intuicionist nekoneno pouze v konstruktivnm smyslu, tj. ve smyslu promnnho, vytv ejcho se souboru pedmtu, jeho proces konstruov n pr v nemue bt nikdy ukonen. Na z klad tto pedstavy nen vlastn  dn univerz ln vrok v nekonen oblasti konstruktivn, co je pr v zpusobeno nemonost aktu lnho prozkoum n nekonen utv ejc se ady. Toto je tak duvod, pro z intuicionistickho hlediska nemueme vdy beztrestn pejt (podle de Morganovch pravidel) od univers lnch vroku k existennm, i naopak. Te) u mueme snadno uk zat, jak motivy vedly intuicionisty k dnes u a pli proslulmu zeknut se platnosti principu tertium non datur. Pedevm je teba ci,

e tento princip byl zachov n v vah ch o konench oblastech a e jeho revize byla vyvol na pr v radik ln zmnou v pojet nekonena, nebo pesnji, poadavkem konstruktivnosti. Princip vylouen tetho k , e pro libovolnou vtu p plat p _ :p. Uvaujme tedy ppad, kdy vta p je vta existuje prvek x mno iny M takov, e x m vlastnost F . Potom :p je vta nen pravda, e existuje takov prvek x mno iny M , e m vlastnost F , jinmi slovy, ka d prvek x mno iny M m vlastnost :F . Princip tertium non datur tedy pro nai vtu k , e existuje prvek x mno iny M , kter m vlastnost F nebo ka d prvek x mno iny M m vlastnost :F . Jestlie mnoina M je konen , a jestlie vlastnost F je takov , e o kadm prvku dan mnoiny lze rozhodnout, zda m vlastnost F i nikoli, je principi ln mon bu) takov prvek x nalzt, anebo se pesvdit o tom, e vechny prvky mnoiny maj vlastnost :F . V takovm ppad nen nutn pochybovat o platnosti principu vylouen tetho. Zcela odlin je situace v nekonench mnoin ch, nebo( zde nen v dusledku intuicionistickho ch p n  dn monost ukonit prozkoum v n dan nekonen mnoiny M . Z tohoto hlediska se ukazuje, e princip tertium non datur vyjaduje v matematickch vah ch oekvn eitelnosti lohy, pitom toto oek v n je podle intuicionistu spe skeptick (to je srovnateln s podobnm vsledkem G"delovy vty o neplnosti). Nen ovem vyloueno, e njakou vahou se n m v nkter konkrtn loze poda zjistit, e  dn z prvku mnoiny M nem vlastnost F , nebo nalezneme prvek, kter tuto vlastnost m . To ale nic nemn na obecn neplatnosti tohoto principu. Mueme to demonstrovat na dvou zn mch matematickch problmech. Prvnm je probl
m ty barev, ot zka, zda je mono geograckou mapu (graf v matematickm slova smyslu), kter obsahuje n zem, obarvit nejve tymi barvami tak, aby  dn dv zem, majc spolenou hranici, nebyla obarvena stejnou barvou. Tento problm nebyl jet ned vno obecn rozeen (pro dosti mal n bylo zn mo, e je pravdiv), ale een problmu je principi ln mon, protoe pro libovoln pevn n pedpokl d sice velk (budou znan praktick obte), ale konen poet kroku.10 Jinho druhu je problm Fermatovy vty, kter k , e neexistuje trojice pirozench sel, kter by vyhovovala rovnici xn + yn = zn, kde n je libovoln pirozen slo vt ne 2. Zde je situace podstatn odlin , protoe pro libovoln pevn n je teba prozkoumat nekonen mnoho trojic pirozench sel. Je pznan, e pes veker sil, kter bylo problmu vnov no, dlouho nebyla zn ma trojice sel, kter by uveden podmnce vyhovovala pro njak n a rovn pro nekonen mnoho n nebyla zn ma platnost i 10

Problm ty barev byl ned vno roze
en s podstatnm vyuitm po ta e.

neplatnost tto vty11 , a pesto nen dokazateln formule (8n > 2):(9x9y9z) xn + yn = zn .

5.5.2 Filozock zklady intuicionismu Intuicionistick ideje pusobily na rozvoj matematickho mylen nejen extenzvn (byla vypracov na intuicionistick logika, intuicionistick analza apod.), ale i smrem k vnitn stavb a struktue intuicionismu. Uvedli jsme u nkolik z kladnch principu a uk zali souvislosti mezi nimi. Fakt, e matematika byla ch p na jakoto mylenkov innost, ml svuj vrazn obraz ve zcela novm pohledu na funkci jazyka v matematice a ve vd vubec, a na jejich vz jemnou souvislost. Jestlie a dosud byl vztah jazyka a matematiky d v n obvykle do pm souvislosti a rozvoj matematiky a vdy podmiov n rozvojem jazyka, je v pojet holandsk koly jazyk odsouzen do velmi podadn role jakhosi velmi nedokonalho zprostedkovatele. Proces mylen je odpout n od jazyka, a ten je pouv n pouze jako prostedek sdlov n mylenek. Avak toto sdlov n je znan nepesn, je zateno nedokonalost jazykovch vrazu, a to jak vrazu bnho jazyka, tak jazyka formalizovanho. Navc urit sign ly jsou u ruznch lid asociov ny s ruznmi pedmty a asto jsou i tyto asociace promnliv. Jazyk v nejlepm ppad mue u posluchae vyvolat uritou excitaci vule, kter jej mue (ale nemus) pivst k mylenkovm operacm podobnm tm, kter prov dl ten, kdo sdloval. Dusledn tedy vzato, pstov n matematiky se v ist form dje v podob koexistence matematiku. Vubec z tohoto hlediska je spr vnj kl st ne ot zku co je matematika, ale spe jak se dje matematika. Tak podle Brouwera jsou matematika a jazyk specick lidsk innosti, jejich z klad spov v operacch tech druhu. V matematick konstrukci, matematick abstrakci a v excitaci vule prostednictvm uritch sign lu (psmen, zvuku apod.). Tato tet sloka se pr v tk jazyka. Voln akt, kter byl realizov n v matematick abstrakci nebo na vy rovni v matematick konstrukci, se projevuje v jazyce, aby opt pusobil ke vzbuzen vule, co m za n sledek vznik novch mylenkovch operac. Je tm z rove zprostedkov na jak si nepesn komunikace, jejm clem je z duvodu nedokonalosti spe dal rozvjen volnch aktu ne pm penos informace. Tato nemonost pmho penosu informace nen zpusobena pouze jazykem, ale hlavn tou ruznost asociac, kter u netkv v povaze jazyka. Plyne z toho tedy, e nemue existovat  dn Tsn ped odevzd nm tohoto textu do tisk rny pro prvn vyd n byla publikov na zpr va (P. Vopnka: Lidov noviny, 13. 7. 1993) o tom, e 23. ervna 1993 Andrew Wiles na pedn
ce v Cambridge tento 350 let star problm vye
il tak, e vtu dok zal. Bylo, a st le je
t je zajmav sledovat jednak, jak ovov n toho, e e
en je spr vn, postupovalo s n mahou, protoe dukaz je nesmrn komplikovan, jednak jak to bude mt dusledky pro dal
 rozvoj matematiky a logiky. Ve v
e zmnnm l nku P. Vopnka podal zajmav rozbor monch dusledku. My te u vme, e duvra ve spr vnost Wilesova vsledku je velmi vysok , take ty spr vn dusledky u mueme vyzna it. 11

pro matematiku vhodn jazyk, kter by zabezpeil dokonal sdlen. Prototypem matematick konstrukce je metoda matematick indukce neboli prvotn intuice (Urintuicion) pirozenho sla. Pitom se, pesn eeno, pijm vlastn jen princip konstruov n nekonen vytv ejc se ady sel, nikoli mnoina tchto sel. V tzv. konstruktivistick matematice m tato prvotn intuice podobu intuice o opakov n njak jednoduch operace, kter mue bt kdykoli a libovolnkr t realizov na, nap. pipisov n  rky zprava. To, e intuici o pirozench slech m me, je jist pravda. Zda je to vak jedin z klad matematiky, mue bt ovem pedmtem diskuse. Co je vak pekvapujc, je neobyejn shoda v tto intuici u ruznch lid. Jak jsou duvody tto shody? Vznik tak ot zka, zda nen tato prvotn intuice sloitji strukturovan a odkud se takov intuice bere (poppad dal intuice). Zda je urena pedchoz zkuenost lidstva nebo v prubhu jakch innost je zsk v na, pomineme-li monost jejho apriornho charakteru.

5.5.3 Syntaktick systm intuicionistick logiky Filozoi intuicionistu vlastn tvorba axiomatickho systmu pr v neodpovdala, Brouwer  dn takov systm nenavrhl, ale pesto byl takov axiomatick systm pozdji vytvoen. Hlavn podl na tom ml Arend Heyting (viz t n sledujc odstavec). Zaneme axiomy pro vrokovou intuicionistickou logiku. Jazyk obsahuje tyi vrokov spojky : ) _ ^. Axiomy vyslovme se syntaktickmi promnnmi, kter budou zastupovat libovoln dobe utvoen formule intuicionistick logiky. Jde tedy o schemata axiomu.

Axiom I1 ' ) ( ) ') Axiom I2 (' ) ) ) ((' ) ( ) )) ) (' ) )) Axiom I3 ' ) ( ) ' ^ ) Axiom I4 (' ^ ) ) ' Axiom I5 ' ) (' _ ) Axiom I6 (' ) ) ) (( ) ) ) (' _  ) )) Axiom I7 (' ) ) ) ((' ) :) ) :') Axiom I8 ' ) (:' ) ) Odvozovacm pravidlem je obvykl modus ponens. Pro axiomatiku intuicionistick logiky je zajmav, e zde nen mon nalzt jedno-

du systm axiomu, kter by obsahoval mn vrokovch spojek, jak to dobe zn me z klasick vrokov logiky. %tyi intuicionistick spojky negace, implikace, konjunkce a disjunkce nejsou vz jemn denovateln, nejsou pochopiteln ani extenzion ln pi pouit dvou pravdivostnch hodnot. Extenzion ln (tabulkov ) charakteristika vech ty intuicionistickch vrokovch spojek byla nalezena a pozdji. Krom vlastnho lozockho z kladu intuicionistick logiky, kter spov v odlinm n hledu na nekoneno, nach z tato logika uplatnn pr v pi studiu samotnho pojmu dokazatelnosti. +6].

5.5.4 Vztah intuicionistick logiky a trojhodnotov logiky Arend Heyting12 nalezl pravdivostn tabulky pro tyi z kladn spojky intuicionistick logiky, kdy uil t pravdivostnch hodnot: 1, 0, . Heytingovy tabulky jsou pro negaci, konjunkci a disjunkci shodn s n m dobe zn mmi tabulkami Kleeneho trojhodnotov logiky. Tabulka pro implikaci je n sledujc: '  ) 1 1 1 1 0 0 1   0 1 1 0 0 1 0  1  1 1  0 0   1 To tedy znamen , e tet hodnota je interpretov na jako monost. V tto interpretaci je mon uk zat, e vechny axiomy intuicionistick logiky nabvaj hodnoty 1 a e i odvozovac pravidla jsou korektn, tj. e od formul s hodnotou 1 vedou k formulm s hodnotou 1. To vak neplat obr cen. Existuj formule, kter, a nabvaj hodnoty 1 pro vechny hodnoty promnnch, nejsou dokazatelnmi formulemi intuicionistick logiky. Pkladem je formule (' ) ) _ ( ) '). Tato formule nen platnou formul intuicionistick logiky, avak pro vechna udlen hodnot promnnm '  nabv hodnoty 1. Polsk logik Ja8skowski nalezl adekv tn interpretaci intuicionistick logiky s nekonen hodnotami. Kurt G"del naopak uk zal, e pro intuicionistickou logiku nejen, neexistuje 12

Holandsk matematik, kter poloil form ln z klady intuicionistick logiky.

 dn trojhodnotov interpretace, ale dokonce pro libovoln pirozen slo n neexistuje ani  dn n-hodnotov interpretace.

5.5.5 Topologick interpretace intuicionistick logiky Zajmavou interpretaci intuicionistick logiky nalezl Alfred Tarski. Je to interpretace topologick a je zaloena na pojmu topologickho prostoru, kter lze denovat nap. v terminologii okol bodu anebo v terminologii otev ench mno in. Strukturou (topologickm prostorem), ve kter budeme interpretovat z kony intuicionistick logiky, bude pro jednoduchost geometrick rovina, tj. mnoina E2 s obvyklmi operacemi pruniku, sjednocen a doplku. Nech( M  E2 . Vnit kem M ? mnoiny M ozname mnoinu fx 2 E2 0 x 2 M a existuje okol bodu x, kter
cel
le  v M g. /ekneme, e mnoina M je otev en, kdy M = M ? . Pr zdn mnoina i cel rovina E2 jsou oteven. Formulm piadme pr v oteven mnoiny. Vzhledem k tomu, e sjednocen i prunik dvou otevench mnoin jsou opt oteven mnoiny (to je element rn cvien z teorie mnoin), je patrn, jak takovou interpretaci realizujeme. Vdy nepravdiv formuli false piadme pr zdnou mnoinu , vdy pravdiv formuli true piadme celou rovinu E2. Konjunkci denujeme jako prunik odpovdajcch otevench mnoin, disjunkci jako sjednocen. Protoe vak doplnk oteven mnoiny nemus bt oteven mnoina, denujeme negaci jako (E2 ; M )? , tj. jako maxim ln otevenou mnoinu disjunktn s M. V tto interpretaci zejm plat zkon sporu M ^:M = , avak neplat princip tercium non datur. K tomu, abychom se o tom pesvdili, sta vzt za M polorovinu v E2 .

5.6 Vztahy mezi klasickou logikou a neklasick mi systmy V tto kapitole jsme zbn nahldli do oblasti logickch systmu, kter vznikly ze znan rozmanitch motivu. Kad z neklasickch logickch systmu je kriticky zamen na nkter z aspektu klasick logiky, kter byl z metodologickho hlediska ch p n jako znan omezen vyjadovacch prostedku. Vtina kritickch postoju vych z ze snahy piblit form ln logick systmy bnmu zpusobu vyjadov n znalost a sudku, tak jak to inme v pirozenm jazyce. Je ovem vlastnost pirozenho jazyka, e termny, kter uv me, jsou asto v gn a nepesn. Existence mnoha neklasickch logickch systmu n s vede k ot zk m:

Jak je mo n
, e vedle sebe existuj r uzn
logick
syst
my? Je jedna logika nebo jsou r uzn
logiky? Kter logika je ta sprvn?

Pesvdili jsme se, e existuje ada form lnch systmu, kter aspiruj na to, e budou hr t lohu logickho systmu, kter je formulov n v termnech implikace, negace, konjunkce a disjunkce. Kad z tchto systmu njak zp es'uje vznam uvedench spojek pirozenho jazyka. Pr v v gnost pirozenho jazyka vede k tomu, e vznikaj ruzn zpesnn. Kad z alternativnch neklasickch logickch systmu pin  zpesnn termnu uvanch v pirozenm jazyce a jazyce vdy z ponkud odlinho hlediska. Klasick logika (vrokov a predik tov ) je ovem nejlpe prozkoumanm form lnm systmem. Jej pednost je to, e disponuje velmi jednoduchou a pesnou interpretac (pravdivostn tabulky ve vrokov logice), kter z n in snadno ovladateln operativn n stroj, co bv rozhodujcm momentem pro volbu logickho systmu. To je ostatn patrn i z toho, e klasick vrokov a predik tov poet je samozejmou sou st vech z kladnch kursu logiky. Konfrontace form lnch logickch systmu trv ji vce ne sedmdes t let. St le zetelnji se ale ukazuje, e nejde o konfrontaci i konkurenci v pravm slova smyslu, e jde spe o hled n a studium alternativnch pohledu. Pedstava, e ruzn systmy jsou si navz jem ciz, nebo si dokonce odporuj, se dnes jev jako pli rigor$zn. Lze toti uk zat, e nap. klasick vrokov spojky jsou v alternativnch neklasickch systmech denovateln, a e tedy klasick logika je v neklasickch v jistm smyslu obsaena.

5.7 Princip tolerance Na z vr je ale teba upozornit na to, e vztah obsaen se netk jen obsaen klasick dvouhodnotov logiky v neklasickch logik ch, ale e i neklasick logiky lze ch pat jako obsaen v klasick logice. V publikaci +45] jsou uk z ny vztahy vz jemnho obsaen klasick logiky a neklasickch logickch systmu. To n s vede k tomu, e neklasick logiky ch peme spe ne jako konkurentn systmy, ale jako rozen klasick logiky o dal vyjadovac prostedky, jejich studium je pro rozvoj logiky nejen zajmav, ale i nezbytn. Konstatov n, e neklasick logiky jsou v jistm smyslu v klasick logice obsaeny, si ovem vyaduje vysvtlen. /k me-li nap., e dva systmy obsahuj tut formuli, nen to zcela pesn, protoe termny v n obsaen jsou v ruznch systmech ch p ny ruzn. Mli bychom spe kat, e dv formule '  patc do dvou ruznch systmu jsou analogick
, kdy formule ' jednoho systmu vznikne z formule  druhho sys-

tmu nahrazenm vech termnu odpovdajcmi termny prvnho systmu. Takov pojem analogie formul dvou ruznch logickch systmu n m umon precizovat pojem obsaen jednoho kalkulu v jinm. Vidme nap., e intuicionistick vrokov kalkul je obsaen v klasickm dvouhodnotovm vrokovm potu, ale ne naopak. Pesto ale mueme, ovem v jinm smyslu, mluvit o obsaen klasick logiky v intuicionistick, uvdomme-li si, e kad formule platn v klasick logice se stane platnou formul intuicionistick logiky, jestlie ji pevedeme na ekvivalentn (z hlediska klasick logiky) tm, e ji dvakr t negujeme. Tak nap. formule ::(' _ :') je platnou formul v obou systmech. To vak neplat pro formuli ' _:'. To je vsledek Kurta G"dela z po tku tic tch let.13

Kurt G"del: Zur intuitionistischen Aritmetik und Zahlentheorie. Ergeb. Math. Koll. 4, 1931-2, Wien. 13

Kapitola 6 Logika, znalosti, usuzovn 6.1 Nemonotnn usuzovn Znalosti, kter se tkaj vnjho svta se asto mn. Postihnout dynamiku takovch zmn znamen mj., e musme bt pipraveni na to, e bude teba mnit i dusledky dve odvozen. Usuzov n, kter prov dme za takov situace se nkdy nazv nemonot$nn, nebo( ji dve odvozen dusledky mohou bt zpochybnny ve svtle nov pchoz informace. Nemonot$nnm usuzov nm se tedy obvykle rozum usuzov n pi mncch se znalostech. Kdy jsme nuceni usuzovat nemonot$nn? Takovch situac, kdy musme revidovat svoje dosavadn znalosti a sudky, je dost. Nejvc v bnm ivot. V kontextu informatiky je dobrm pkladem jazyk Prolog. V Prologu, pid n by( i jedin klauzule do programu mue zpusobit, e clov klauzule, kter byla z programu odvoditeln , u odvoditeln nebude. Kdo ml co dlat s datab zovmi systmy, zn dobe problmy, kter pin  pedpoklad uzavenosti svta pi zodpovd n dotazu. V bnm ivot, ale i v uml inteligenci, se asto setk v me s \drami ve znalostech", tj. s neplnou informac o popisovanm svt nebo dokonce o svt mncm se v ase. Tyto situace logika postihuje jen s obtemi a ony si pirozen vynucuj, e nae usuzov n je nemonot$nn. Jejich neform ln vklad je obsahem tto kapitoly.

6.2 Nepln informace Mluvme-li o neplnch znalostech, pak tm nejsp chceme ci, e jsou nedostaujc k tomu, abychom na jejich z klad mohli dlat pesn logick z vry. Z tohoto hlediska pln znalost je nco perfektnho, denitivnho i konenho. Naproti tomu nepln znalosti jsou nco nedokonalho, nco dosud nehotovho, neukonenho. Nen ani teba pli sostikovan vahy k tomu, abychom si poloili ot zku: Jak rozpozn me, e nae 123

znalosti jsou nepln? Jedno z monch een je v odpovdi: Vechny nae znalosti jsou nepln
! Ale to nen pr v konstruktivn postoj. Poohldnme se proto nejprve, jak se s problmem vypo d vaj jinde.

6.2.1 Databze Kdo se nkdy zajmal o datab ze, v, e k tomu, aby mohl odvozovat z faktu uloench v datab zi, potebuje nejen pravidla logickho odvozov n, ale tak njak dal pedpoklady o svt, kter je datab zovm systmem popisov n. Snad nejvznamnjm takovm glob lnm pedpokladem je p edpoklad uzav enosti svta, kter (velmi zhruba) k , e pravdiv je pesn to, co je obsaeno v datab zi. Ale jet jin pedpoklady jsou nezbytn:

Jednoznanost jmen objektu (unique names assumption). Podle tohoto pedpokladu ruzn jmna pojmenov vaj ruzn objekty.

Vechny objekty jsou pojmenov ny, to je pedpoklad uzavenosti tdy objektu (domain closure assumption). To znamen , e nen bezejmennch objektu.

A konen u zmnn

Pedpoklad uzavenosti svta (closed world assumption).

Uvaujme jednoduchou datab zi, kter obsahuje informace o uitelch katedry a pedmtech, kter vyuuj: u(pavel,lisp) u(pavel,pascal) u(petr,prolog) ... Objekty a relace jsou v datab zovch systmech obvykle ch p ny jako z kladn (angl. ground) atomy a odpov) pavel na dotaz Kdo u lisp nebo pascal? se ch pe jako z vr, vyplvajc z toho, e datab ze obsahuje daje, kter mohou bt ch p ny jako teormy, tj. platn formule, nap.:

u(pavel,lisp) _ u(pavel,pascal). V ppad na uitelsk datab ze umouj ve uveden pedpoklady popsat datab zi formulemi: pavel 6= petr, pavel 6= lisp, petr 6= prolog, lisp 6= prolog, : : : (8x)(x = pavel _x = petr _x = lisp _x = prolog : : : (8x)(8y)(u(x y) ) (x = pavel ^y = lisp) _ (x = petr ^y = prolog) _ : : :) a z vry, kter jsou podporovan datab z nyn, ji budou vyplvat z teormu. Naznaen logick interpretace datab zovho systmu vak nen monot$nn v tom smyslu, e prost pid n nov informace (expanze) nem za n sledek pouh pid n dalch formul, ale znamen vlastn nahrazen starch formul novmi. To, konec koncu, nen pekvapujc. Zmny obsahu datab ze vedou k nemonot$nnosti dusledku, zatmco logick odvozov n zust v monot$nn. Nicmn to naznauje cesty, jak mohou bt logickmu odvozov n vtisknuty rysy nemonot$nnho usuzov n, nap. dod nm dal podmnky analogick pedpokladu uzavenosti svta. To n s povede mj. k preferennm logikm a k omezenm (circumscription).

6.2.2 Aktualizace znalost a odvozen Aktualizace znalost, kter jsou ch p ny jako oduvodnn, je asi nejduleitjm pkladem nemonot$nnho usuzov n. Protoe m velmi tsn vztah k logickmu programov n, vnujeme j trochu vc msta. Denujeme pojem z vislosti (nkdy se pouv t termnu justikace, zduvodnn, i ospravedlnn) element rnch poloek znalost a hled me podmnky pro nalezen z kladn (grounded) interpretace dan konen mnoiny z vislost. Vyhneme se tomu, abychom pro systmy aktualizace znalost a inferenc pouvali oznaen TMS (Truth Maintenance Systems)1, protoe nevystihuje dostaten pesn n  problm. Systmem aktualizace znalost a inferenc budeme rozumt program, kter zpracov v (konenou) mnoinu vroku a znalost (pravidel), kter uruj z vislosti mezi polokami b ze znalost. Z vislost k , e poloku b ze znalost (v dalm budeme mt pro jednoduchost na mysli vroky) je mono akceptovat, kdy jin poloky b ze jsou akceptovateln a kdy pop. jin akceptovateln nejsou. To vede k n sledujc denici:

Denice 6.2.1 Z vislost je libovoln klauzule2 tvaru c (  ^ ,

Viz nap. Doyle, J. 1979, Reinfrank, M. 1989. ten  se snadno pesvd , e je opr vnn formuli tvaru c (  ^  nazvat klauzul, protoe mue bt pevedena na formuli v klauzul rnm tvaru jak byla denov na v odst. 3.4. 1 2

kde c je atom,  je konjunkce atom u a  je konjunkce negovanch atom u.

Pro jednoduchost budeme pedpokl dat, e atomy jsou vrokov konstanty.

Denice 6.2.2 B z znalost budeme rozumt libovolnou konenou mno inu zvislost. Protoe z vislost je denov na tak, e hlava klauzule (atom c) je vraz bez negace, lze b zi znalost reprezentovat st, pesnji grafem se dvma druhy uzlu (vroky) a se dvma druhy spojen, jeden pro pozitivn liter ly, druh pro negativn liter ly. Z kterkoli grafov reprezentace b ze znalost je zejm, co znamen , e b ze znalost obsahuje cyklus. Ve shod s tm, e pedpokl d me, e atomy jsou vrokov konstanty, je n sledujc denice motivov na grafovou reprezentac a je opt ve shod s vrokovou logikou.

Denice 6.2.3 Zvislost c (  ^  podporuje uzel c v modelu M , jestli e formule

 ^  je pravdiv v M .

Pojem modelu a pravdivosti je beze zmny pevzat z vrokov logiky.

Denice 6.2.4 Nech% Z je bze znalost. Model M mno iny zvislost Z nazveme z kladn (angl. grounded, esky tak set dn), kdy M = fc1 : : :  cng, kde pro ka d atom ci existuje aspo' jedna zvislost s hlavou ci , tj. ci (  ^  , kter podporuje ci a fa1  : : :  ak g  fc1  c2  : : :  ci 1 g, kde aj (j = 1 : : :  k) jsou vechny atomy vyskytujc se v . ;

Jinmi slovy, to, e model je z kladn znamen , e zduvodnn jsou prov dna acyklicky. Srovnej Goodwin 1987. To je pirozen poadavek na to, jak maj bt prov dny dukazy. Ve znalostnch systmech prvn generace to bylo eeno poadavkem acyklinosti kad mnoiny znalost, ale to je pli znan omezen. Pro znalosti je typick, e cykly obsahuj, ty vak nesmj bt v dukazech. Pipomeme, e v vah ch o znalostech a duvodech je duleit smr z vislost a e tud dv z vislosti, kter jsou ekvivalentn z hlediska klasick logiky, mohou vst k ruznm z vrum. O tom, e tomu tak je, a e to nen nic pekvapujcho, n s pesvd jednoduch pklad.

Pklad: B ze Z1 = fa ( :bg a Z2 = fb ( :ag jsou ob logicky ekvivalentn mnoin

formul fa _ bg, maj vak ruzn z kladn modely.

Poznmka 6.2.1 Je z ejm
, e ka d model M dan
mno iny zvislost mu e bt

zapisovn ve tvaru M = fa1  : : :  an g, kde fa1 : : :  an g je mno ina atom u pravdivch v M.

Pojem z kladnho modelu ilustrujeme n sledujcm pkladem: Nech( Z = fa ( :b a ( :c b ( a c ( :d d ( :cg. Snadno ovme, e mnoina M = fa b dg je modelem b ze znalost Z . Kdy a je v modelu, tak, podle tet klauzule, i b mus bt v modelu. Pitom ale b anebo c nesm bt v modelu, aby aspo jedna z vislost podporovala a. Poadavek acyklinosti dukazu d le k , e z kandid tu c a d je teba vybrat jen jednoho. Vbr c by ovem nevedl k z kladnmu modelu. Model M = fa b dg je z kladn, protoe a je podporov no z vislost a ( :c, b je podporov no z vislost b ( a a a je v modelu ped b. Konen d je podporov no z vislost d ( :c. Existuje jet jin z kladn model b ze Z ? Nikoli. To, e z kladn model, pokud existuje, je uren jednoznan, vyplv ze smantickch vah, kter provedli Gelfont a Lifschitz 1988 a Elkan 1990.

Denice 6.2.5 Nech% I je interpretace atomu z mno iny zvislost Z . Symbolem ZI ozname mno inu vech pozitivnch atom u platnch v interpretaci I .

Jinmi slovy, ZI vznikne ze Z tak, e vynech me takov z vislosti s negativnm antecedentem :b (b je atom), pro n M j= b a ze zbvajcch z vislost odstranme vechny negativn antecedenty.

Denice 6.2.6 Interpretace I se nazv stabiln model bze znalost Z , jestli e je to

(ve smyslu inkluze) minimln model mno iny zvislost ZI , tj. kdy neexistuje takov interpretace I , e I  I a I je modelem ZI . 0

0

0

0

Denice z kladnho a stabilnho modelu jsou duleit, nebo( bylo uk z no (Elkan 1990), e pojem z kladnho modelu pro nemonotonn odvozov n v z vislostnch stch pesn odpovd pojmu stabilnho modelu v z vislostnch stch ch panch jako logick programy. Plat toti

Tvrzen 6.2.1 Ka d model M bze znalost Z je modelem bze ZM . Navc, ka d zkladn model bze Z je zkladnm modelem bze ZM .

D le plat

Lemma 6.2.1 Ka d zkladn model je minimln (ve smyslu inkluze) a ka d model bze znalost, kter neobsahuje negaci, je minimln, prv tehdy, kdy je to zkladn model. A konen

Tvrzen 6.2.2 Model bze znalost je stabiln prv tehdy, kdy je zkladn. Navc bylo jet uk z no, e aktualizace b z znalost mue bt ch p na jako speci ln ppad autoepistemick logiky. 3 O autoepistemickch logik ch bude jet e v ptm odstavci.

6.3 Hierarchie ddn vlastnost Smantick st a objektov orientovan b ze dat rovn vyaduj nemonot$nn usuzov n. Objektov orientovan systm je charakterizov n n sledujcmi vlastnostmi:

Ddinost: Objektov typy jsou vztaeny k jinm typum tak, e podazen typy dd vlastnosti nadazench typu.

Homogennost: Vechno jsou objekty, vetn typu. To umouje dynamick pid v n novch typu.

Datov abstrakce: Objekty jsou charakterizov ny svm chov nm, nikoli svou implementac .

Posln zprv: Interakce s objektem probh tak, e je mu zasl na zpr va a objekt s m rozhodne, jak odpov.

Pro nae ely je nejduleitj ddinost. Hierarchie ddn vlastnost (inheritance hierarchies), jsou zajmavm pkladem systmu aktualizace znalost s pravidly vyjadujcmi ISA-hierarchii pojmu v smantickch stch. St s ISA-hierarchiemi (z angl. "... is a ...\) jsou obvykle denov ny jako acyklick st atomickch vroku, kter jsou spojeny pozitivnmi nebo negativnmi vazbami vyjadujcmi hierarchii ddn vlastnost. Pozitivn vazby jsou tvaru "x je y\. Negativn vazby jsou tvaru "x je ne-y\ (oznaen: x 6) y). Intuitivn "x je normln ne-y\. 3

Viz nap. #47].

Cesta v sti pravidel je pirozenm zpusobem denov na jako (orientovan ) posloupnost souvisejcch spojen, z nich pouze posledn mue bt negativn. Cesty slou k denov n ruznch inferennch stroju.

Uve)me aspo dva pklady jednoduchch, ale nejednoznanch st:

Pklad 1: (Nixon diamond) n ) r n ) q q ) p r 6) p, chcete-li, muete jmna uzlu st takto: n = Nixon, r = republik n, q = quaker, p = pacista.

Pklad 2: a ) b a ) c b ) d c 6) d c ) e d ) f e 6) f . (Pro vt n zornost si namalujte grafovou reprezentaci st.) Ve vtin metod en informace mezi uzly se preferuje specitj informace, take nap. v sti a ) b b ) c a 6) c, bude z a odvozen z vr ne-c. Podobn jako aktualizace znalost souvis s logickmi programy, tak usuzov n v hierarchich ddn vlastnost zce souvis se stratikovanmi logickmi programy. 4

6.4 Teorie akc Teorie akc, vetn pl nov n akc, tvo rozs hlou a relativn samostatnou kapitolu nemonot$nnho usuzov n. I formalismus bv dosti odlin, take se zde pouze pro jakousi plnost vkladu omezme na upozornn, e problematika pl nov n akc zce souvis s nemonot$nnm usuzov nm, protoe proveden akce mue mt za n sledek zmnu datab ze. Pl nov n akc lze v jistm smyslu ch pat jako dukaz formule popisujc clov stav svta, z mnoiny formul, kter popisuj jeho vchoz stav. Je zejm, e hodn z le na povaze element rnch akc. Praddekem tchto systmu byl zn m STRIPS Richarda Fikese a Nilse Nilssona. Cel vc je navc komplikov na tm, e akce se dj v ase a do hry vstupuj temporln logiky. V souvislosti s tempor lnmi logikami a nemonot$nnm usuzov nm je teba v souasn dob na prvnm mst vyzdvihnout jmno Yoava Shoama, kter v poslednch letech snad nejvc ovlivnil vzkum v tto oblasti. +55], +56] 4

Viz nap. #50].

6.5 Formln teorie nemonotnn inference M me vyhovujc teorii nemonot$nn inference? Patrn ne, kdy takto klademe ot zku. Pesnji, teori m me mon a pli mnoho, neust le vznikaj dal, asto dost partikul rn. Chyb jednotc hledisko. Zmnme se proto jen o tch nejduleitjch.

6.5.1 Logika default u K nejzn mjm a z rove nejdiskutovanjm teorim pat logika defaultu i p eddenovanch pravidel +52], v n se k pekon n trhlin ve znalostech pouv tentativnch odvozovacch pravidel tvaru (x) :  (x)= (x), kde (x)  (x) a  (x) jsou formule prvnho  du s volnmi promnnmi x = fx1  : : :  xng. V angl. literatue se pro n nkdy pouv oznaen precondition, test condition a consequent. Default a vhodn n-tice a = fa1 : : :  ang z kladnch termu dovol odvodit formuli  (x) z formule (x) za pedpokladu, e : (a) nen odvoditeln. Tak nap. dobe zn m a ve znalostnch systmech u hodn otepan default ptk(x) : l
t(x) / l
t(x) dovol odvodit l
t(pepe) ze znalosti ptk(pepe). Kdy se ale zjist, e pt k pepe z njakho duvodu nelt , mus bt defaultov pravidlo blokov no. Je ale zejm, e defaulty se mohou vz jemn blokovat. N  default nap s defaultem nem k dla(x) : : l
t(x) / : l
t(x) Kon3ikty mezi defaulty charakterizuje pojem extenze teorie s defaulty. Denice je komplikovan , proto, abychom se vyhnuli technickm podrobnostem, omezme se na teorie s normlnmi defaulty, tj. s defaulty tvaru: (x) :  (x)= (x).

Denice 6.5.1 E je extenze teorie T s (normlnmi) defaulty D, je-li to nejmen deduktivn uzav en mno ina obsauhjc T takov, e pro ka d default (x) :  (x)= (x) z D plat, e bu E ` : (x) nebo  (x) 2 E .

Podrobn o teorii defaultu viz nap. +52] a +5].

Pklad: Nech( T =  D = fd1 d2g, kde

d1 = ptk(x) : l
t(x) / l
t(x), d2 = zrann(x) : : l
t(x) / : l
t(x). Tato teorie m dv rozen: E1 = fptk(pepe), zrann(pepe), l
t(pepe) g, E2 = fptk(pepe), zrann(pepe), : l
t(pepe) g. Teorie s defaulty vak nemusej mt  dn rozen anebo mohou mt naopak mnoho rozen. V takovm ppad by bylo vhodn vzt nejmen, ale to nemus existovat. V dalm budeme pedpokl dat, e jak mnoina faktu, tak i teorie sest vaj z formul prvnho  du, a to z uzavench formul. Z kladn denice vak mohou bt vysloveny nez visle na pouitm jazyce i na operaci logickho dusledku, kter je pedpokl d na v pozad defaultovho systmu. Take pedpokl d me, e je xov n jazyk, tj. je d na mnoina F dobe utvoench formul spolu s deduktivn (monotonn) operac Cn denovanou na F , kter je idempotentn, monot$nn, a tranzitivn. Teori s defaulty budeme rozumt mnoinu formul (vtinou mnoinu faktu vyj dench z kladnmi instancemi v jazyce prvnho  du) spolu s mnoinou D defaultu.

Denice 6.5.2 Default nazveme uzaven, kdy neobsahuje dnou volnou promnnou (v obvykl
m slova smyslu, jak jsme tento pojem zavedli v kapitole o prediktov
logice)# jindy je oteven. Default nazveme norm ln, jestli e jeho ospravedlnn i zvr jsou logicky ekvivalentn formule (vzhledem k operaci d usledku Cn).

Nam clem je te) denovat pojem extenze teorie s defaulty, kter bude analogi deduktivnho uz vru. Zde je ale situace ponkud komplikovanj, protoe vlastn budeme rezignovat na striktn logickou korektnost. To, jak uvidme, bude mj. znamenat, e v nkterch ppadech bude mt teorie s defaulty vce ne jedno rozen, v jinch ppadech naopak nebude mt rozen  dn.

Denice 6.5.3 Mno ina formul E se nazv extenze, rozen teorie T = +F D]

s fakty F a defaulty D, jestli e je to nejmen deduktivn uzav en mno ina formul, kter obsahuje F a pro ka d default d 2 D (d = (0 = )) takov, e Cn(E f g) 6= Fle (tj.  mu e bt konzisten p idno 5 k vsledn
mno in E )  2 E .

Poznmka: Pokud n  jazyk obsahuje negaci a operace konsekvence je charakterizo-

v na standardn relac dokazatelnosti (tj. relac `), pak podmnka, e extenze teori s defaulty maj bt uzaven na vechny aplikovateln defaulty, mue bt lpe vyj dena tak, e pro kad default plat: E ` : or  2 E .

Termn \konsistentn pid no" zde zejm znamen , e konzistence je tu ch p na vu i operaci logickho dusledku, kter je skryta v pozad. 5

Denice 6.5.4 Nech% T = +F D] je teorie s defaulty, F je mno ina faktu, D je mno ina default u. Nech% ;(X ) je nejmen mno ina takov, e:

F  ;(X )

Cn(;(X )) = ;(X )

Jestli e (0 1 : : :  n = ) 2 D a  2 ;(X ) and :1  : : :  :n 62 ;(X ), potom  2 ;(X ).

ekneme, e mno ina E formul je extenz teorie T s defaulty D, kdy ;(E ) = E , tj. kdy E je pevn bod zobrazen ;.

Tvrzen 6.5.1 Nech% T = +F D] je teorie s defaulty D a E je mno ina uzav ench formul prvnho du. Denujeme

E0 = F Pro i  0 : Ei+1 = Cn(Ei) f : (0 1 : : :  n= ) 2 D  2 E , a :1  : : :  :n 62 E g. S Potom E je extenze teorie T = +F D] s defaulty prv kdy E = i=0 Ei . 1

Jinmi slovy, E je mnoina (uzavench) formul obsahujc F , kter je uzaven jak na logick dusledky, tak na defaultov pravidla. Na tomto mst je teba upozornit na to, e i kdy E se vyskytuje v denici Ei , nejde o denici kruhem! Je to denice korektn.

Dukaz: Snadno ovme vechny podmnky z pedch zejc denice extenze (tet pod-

mnka je dusledkem minimality oper toru ;). Implikace zleva doprava: Nech( E je extenze. Indukc mueme dok zar, e pro kad i  0S : Ei  E a tud Si=0 Ei  E a v souladu s tm, e E = ;(E ) dost v me E = i=0 Ei  E . Implikace zprava doleva: Pedpokl dejme, e E = Si=0 Ei  E . Analogicky pedchoz  sti dukazu lze uk zat, e pro vechna i  0 : Ei  ;(E ), a tak E = Si=0 Ei  E  ;(E ). 1

1

1

1

Tvrzen 6.5.2 (Minimalita extenze) Nech% E1 E2 jsou dv ruzn
extenze teorie T = +F D] s defaulty. Jestli e E1  E2 , pak E1 = E2.

Dukaz: Podle pedchozho teormu m me E1 = Si=0 Ei , E2 = Si=0 Ei . Jeliko E1  1

0

1

00

E2 , sta uk zat, e tak E2  E1. To lze prok zat indukc podle konstrukce extenze.

Snadno ovme, e E0  E0 , protoe ob se rovnaj F . Pedpokl dejme navc, e Ei  Ei a uvaujme formuli  2 Ei+1. Chceme dok zat, e tak  2 Ei+1. Je jist pravda, e kdy  2 Cn(Ei+1 ), tak Ei  Ei a  2 Cn(Ei )  Ei+1 0 jinak existuje takov default d = (0 1 : : :  n= ), e  2 Ei a :i  : : :  :n 62 E . Jeliko Ei  Ei a E  E , m me  2 Ei a :i : : :  :n 62 E . Take  2 Ei+1 . 00

00

0

0

00

00

0

00

0

0

0

00

0

00

0

00

00

0

0

Zejm, teorie s defaulty m sporn rozen, pr v kdy T je sporn .

Tvrzen 6.5.3 Nech% E je extenze teorie T = +F D] s defaulty. Nech% X  E . Pak E je extenze teorie s fakty F X a defaulty D.

Dukaz: (Indukc). Tato vta k , e Reiteruv koncept extenze teorie s defaulty spluje podmnku opatrn monot$nnosti.

6.5.2 Pklady extenz teori s defaulty Zanme s pklady extenz ruznch teori s defaulty. Vtina je

E1. Teorie se dvmi extenzemi:

Nech( T je teorie s fakty F = fb ) :a ^ :cg a defaulty D = f(0 a=a) (0 b=b) (0 c=c)g. Potom tato teorie m dv extenze:

E1 = Cn(F fa cg) E2 = Cn(F fbg).

E2. Teorie s jedinou extenz:

F = , D = f(0 a=:b) (0 b=:c) (0 c=d)g. Tato teorie m pr v jednu extenzi. E = Cn(f:b dg).

E3. Teorie se temi ruznmi extenzemi:

F = fb c ) d _ a a ^ c ) :eg. D = f(0 a=a) (0 c=c) (d _ a0 e=e) (c ^ e0 :a d _ a =f g. Tato teorie m tyto ti ruzn extenze: E1 = Cn(F fa cg) E2 = Cn(F fa eg) E3 = Cn(F fc e f g).

E4. Teorie se dvmi extenzemi, kter jsou zaloeny na ruznch ontologich:

F = , D = f(a0 (9x)P (x)=(9x)P (x)) (0 a=a) (0 :a =:a)g. E1 = Cn(f:ag) E2 = Cn(fa (9x)P (x)g).

E5. Teorie, kter nem dnou extenzi: F = fag, D = f(a0 b ^ c=c) (c0 :b=:b)g.

E6. Jin pklad teorie bez extenze: F = , D = f(0 a=:a)g.

Je ovem pravdou, e toto je ponkud \patologick" default, kter paradoxn spojuje pozitivn ospravedln s negativnm z vrem. N sledujc pklady uk , jak pid n novho faktu k danm faktum mue dokonce ovlivnit i poet extenz.

E7. Uvaujme mnoinu defaultu:

D = f(0 a=a) (a _ b0 :a=:a)g a dv mnoiny faktu: F1 =  F2 = fa _ bg. Potom teorie T1 = +F1  D] m pr v jednu extenzi E = Cn(fag), zatmco teorie T2 = +F2  D] m dv extenze E = Cn(F1 fag) a E = Cn(F2 f:a bg). 0

00

6.5.3 Restrikce default u Teorie s libovolnmi defaulty jsou pli sloit a maj nkter ne douc dusledky, kter je obtn popsat na obecn rovni. Hlavnm problmem neomezench defaultu je to, e takov pravidla mohou bt aplikov na dokonce i tehdy, kdy o z vru pravidla je zn mo, e je nepravdiv. Abychom se tto obti vyhnuli, obvykle poadujeme, aby se podmnka pravdivosti z vru vyskytovala v ospravedlnn defaultovho pravidla. To znamen , e pracujeme s tzv. seminormlnmi defaulty, tj. s defaulty tvaru (0  ^ = ) To je rozumn omezen, kter nem postatn vliv na vyjadovac slu logiky defaultu. Navc J9rgen Dix +16] uk zal, e nkter duleit vlastnosti jako kumulativnost a exis-

tence nemohou bt splnny ani pro seminorm ln defaultov pravidla bez standardnch premis, tj. pro pravidla tvaru (true0  ^ = ) Ano, n zev pro norm ln defaulty je zvolen velmi dobe, protoe kad \vskutku norm ln" default m pr v tento tvar, zatmco ostatn tvary pravidel jsou vce i mn \patologick" jako nap. ve ve uvedenm pkladu E5. Zkuste nalzt opravdu p irozen pklad rozumnho defaultu, kter nen norm ln! Teorie s norm lnmi defaulty maj dobr vlastnosti, zejmna maj zaruenou existenci extenz, co vyjaduje n sledujc vta.

Tvrzen 6.5.4 Ka d (bezesporn) teorie, kter obsahuje pouze uzav en
normln defaulty m aspo' jedno bezesporn
roz en.

Dukaz: Nech( T = +F D] je teorie s norm lnmi defaulty. Kdy F je inkonzistentn, tak m inkonzistentn extenzi (viz dusledek teormu o minimalit extenz). Pedpokl dejme, e F je konzistentn. Poadovanou extenzi sestrojme takto: E0 = F Nech( pro kad i  0 let Fi je maxim ln uzaven mnoina formul takov , e 1. Ei Fi je bezesporn a 2. kdy ' 2 Fi, tak existuje default d = (0 = ) 2 D, e ' =  a  2 Ei . Denujme Ei+1 = Cn(Ei) Fi a E = Si=0 Ei . 1

To, e E je extenze teorie T lze dok zat ovenm toho, e

Fi = f : (0 = ) 2 D kde  2 Ei a : 62 E g a aplikac Teormu 1. Abychom mohli srozumiteln vyslovit n sledujc vtu zavedeme nejprve pojem defaultu generujcch extenzi E vzhledem k teorii T = +F D].

Denice 6.5.5 Nech% T = +F D] je teorie s uzav enmi defaulty a E je jej roz en. Denujeme mno inu generujcch defaultu pro E vzhledem k T nsledovn gd(E +F D]) = fd 2 D#  2 E and : 62 E g.

Nyn je zejm, e kdy E je extenze teorie T = +F D], tak potom E mueme ch pat jako deduktivn uz vr mnoiny formul, kter obsahuje fakta F a vechny dusledky generujcch defaultu, tj. E = Cn(F consq(E T )).

Tvrzen 6.5.5 (Semimonot3nnost) Nech% T = +F D] je teorie s uzav enmi normlnmi defaulty. D  D a E je extenze teorie T = +F D ]. Potom T m takov
roz en E , e 0

0

0

0

1. E  E a 2. gd(E  D )  gd(E D). 0

0

0

Dukaz: Denujme F0 = F Fi+1 = Cn(Fi) f 0 (0 = ) 2 D, kde  2 Fi a : 62 E g. Uk eme, e mnoina E = Si=0 Fi je extenz teorie T = +F D] (podle Teormu 2). 1

Avak teorm o semimonot$nnosti neplat pro libovoln defaulty. Zde je protipklad: Nech( T = +F D] je takov teorie, e F =  and D = f(0 = )g. T m jedinou extenzi E = Cn(f g). Kdy pid me nov default d = (0 :=: ) k D dostaneme teorii T = +F D ], D = D fd g s jedinou extenz E = Cn(f: g), ale E 6 E . 0

0

0

0

0

0

0

Tvrzen 6.5.6 (Ortogonalita extenz) Jestli e teorie T = +F D] s uzav enmi norml-

nmi defaulty m dv r uzn
extenze E  E (tj. E 6= E ), pak mno ina E E je sporn. Dukaz: Podle teormu 1 E = Si=0 Ei a E = Si=0 Ei kde E0 = F a pro i  0 Ei+1 = Cn(Ei ) f 0 (0 = ) 2 D, kde  2 Ei a : 62 E g. Analogicky pro E : Jeliko E a E jsou ruzn, tj. E 6= E , a E0 = E0 tak mus existovat takov i  0, e Ei = Ei a Ei+1 6= Ei+1. To znamen , e existuje takov default d, e  2 Ei = Ei , pro kter : 62 E a z rove  2 Ei+1 , ale  62 Ei+1. Avak kdy  2 Ei a  62 Ei+1 , tak : 2 E . Tud  2 E a : 2 E . To znamen , e E E je inkonsistentn. 0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

00

00

0

0

00

0

00

0

00

00

0

00

0

00

00

0

00

00

00

0

00

0

00

0

0

00

00

00

Jestlie T = +F D] je takov teorie s uzavenmi norm lnmi defaulty, e E consq(D) je bezesporn , tak T m pr v jednu bezespornou extenzi.

Dukaz: Pedpokl dejme opak, e toti T m dv ruzn extenze E1  E2. Potom

E1 = Cn(F consq(gd(E1 F ))) E2 = Cn(F consq(gd(E2 F ))) Nyn E1  Cn(F consq(D)) E2  Cn(F consq(D))

Avak podle pedpokladu je F consq(D) konzistentn, co je ve sporu s tm, e sjednocen E1 E2 obou extenz je konzistentn. A nakonec jet uk eme, e pro danou mnoinu formul poet extenz teorie s defaulty neroste nutn s rostoucm potem defaultu. To mueme vyslovit jako teorm.

Tvrzen 6.5.7 Nech% T = +F D] a D  D a nech% E1 a E2 jsou dv ruzn
extenze 0

0

0

teorie T = +F D ]. Potom T m dv r uzn
extenze E1  E2 takov
, e E1  E1 a E2  E2 . 0

0

0

Dukaz: Vzhledem k semimonot$nnosti existuj dv ruzn extenze E1 a E2 takov, e

E1  E1 a E2  E2. Pedpokl dejme, e E1 = E2. Potom E1 E2  E1 , ale E1 E2 je sporn . To znamen , e E1 mus bt tak sporn a tud i T (tj. F ) mus bt sporn . 0

0

0

0

0

0

6.5.4 Problmy usuzovn v teorich s defaulty St le jet zust vaj oteven problemy usuzov n v teorich s defaulty, kter pich zej z mimologickch zdroju. K tm nejduleitjm jist pat nemonost rozliit mezi standardnmi a defaultovmi z vry. Navc nen zejm jak pev dt (formalizovat) defaulty na odpovdajc tvar, tj. na norm ln, seminorm ln i obecn defaulty. Z vpotovho hlediska je vznamn, e v r mci vyjadovacho apar tu teori prvnho  du jsou asto obs hlej teorie nezpracovateln (+52])0 to se tk i seminorm lnch teori. (Etherington 1988, Selman and Kautz 1988). To je dobr duvod ke zkoum n modikac pojmu extenze teorie s defaulty, c provedl nap. Witold L5 ukaszewicz +40], kter zkoumal modikaci konceptu extenze Reiterovy logiky, kter zaruuje existenci extenze spolu s vlastnost semimonot$nnosti. L5 ukaszewiczova modikace je zaloena na odlinm een kon3iktu souasn aplikovatelnch pravidel. V Reiterov pstupu je snaha aplikovat vechna aplikovateln pravidla, co nkdy nen mon. Avak Poole opt nalezl pklady, kdy ani L5 ukaszewiczova modikace nepomue. Navc, Brewkova zkuenost s +7] kumulativn logikou defaultu ukazuje, e st le jet existuj oteven problmy. Zd se, e patrn nemohou bt eeny uniformn cestou. Spr vn cesta patrn povede k jaksi rovnov ze mezi form lnmi omezenmi pro defaultov pravidla a  douc volnost vyjadovac sly jazyka. N sledujc Makinsonuv pklad dobe ilustruje problm:

d1 = (true0 p=p) d2 = (p _ q0 :p=:p). Opt je to jist druh \patologie".

6.5.5 Omezen (circumscription) Jedn se o techniku minimalizace extenze predik tu. To lze v logice prvnho  du modelovat tak, e pro denici relace vyplv n jsou do vahy vzaty nikoli vechny, ale jen nkter modely (v jistm smyslu minim ln).

Denice 6.5.6 Nech% M1 a M2 jsou modely formule . P je prediktov symbol. Mezi modely formule  denujeme relaci uspo dn takto: M1 P M2 , jestli e

nosie model u M1 a M2 jsou shodn
,

vechny prediktov
symboly, krom P , vyskytujc se ve formuli , maj v obou modelech stejnou extenzi,

extenze prediktu P v M1 je st extenze P v M2 .

ekneme, e model M je minim ln vzhledem k relaci P ), jestli e pro ka d model M takov, e M P M je M = M . 0

0

0

Na z klad pojmu minim lnho modelu pak mueme modikovat pojem vyplv n n sledovn:

Denice 6.5.7 Formule  m-vyplv z formule  (vhledem k P ), jestli e  je pravdiv ve vech modelech formule  minimlnch vzhledem k relaci P .

Chceme-li nap. modelovat situaci s atypickou (dce se vyskytujc vlastnost) jako je u n s vlastnost mt zrzav
vlasy, budeme se snait odvodit z premis Marie 6= Jan, zrzav(Marie) nco o Janovi a jeho vlasech. Zajist existuj modely, v nich Jan m zrzav vlasy. My ovem hled me jen takov modely, kter jsou minim ln vui predik tu zrzav, tj. takov, v nich tento predik t m nejmen extenzi. Take potom formule : zrzav(Jan) m-vyplv z ve uvedench dvou premis. Ot zkou ovem zust v , jak m-vyplv n charakterizovat syntakticky? Jednou z monost, jak eliminovat nezajmav modely, je specickm zusobem omezit vchoz premisy. Nemonot$nn dusledky z dan formule se pak dostanou jako monot$nn dusledky z tto formule a jet neho. Clem je vybrat to \nco" (omezen, angl. circumscription) tak, abychom dostali pr v minim ln modely vchoz formule s omezenm extenze danho predik tu.

To se obvykle e tak +9], e omezenm predik tu P ve formuli  je schma (formule druhho  du) tvaru (:) ^ (((8x):(x) ) P (x)) ) ((8x)P (x) ) :(x))), kde x = fx1 : : :  xng a symbolem (:) jsme oznaili vsledek nahrazen vech vskytu predik tu P ve formuli  parametrem :. Tm se ovem dost v me za hranice teori prvnho  du. Pi odvozov n se proto pouij vechny instance schematu. Predik tov parametr : bude nahrazen jinm nargumentovm predik tovm symbolem.

6.5.6 Autoepistemick logika V autoepistemickch logik ch se roz jazyk o dal mod ln oper tor (obvykle 2), kter vyjaduje pesvden o platnosti formule '. Puvodn formulace autoepistemickch logik poch z od R. C. Moorea, +47]. V poslednch letech jsou autoepistemick logiky intenzvn studov ny.

Denice 6.5.8 Stabiln rozen autoepistemick
teorie T denujeme jako mno inu formul

S (T ) = Cn(T f2'0 ' 2 S (T )g f:2'0 ' 62 S (T )g),

kde Cn je operace logick
ho d usledku.

Stabiln rozen maj re3ektovat mon modely pesvden ide lnho racion lnho agens, kter jsou uzaven na pozitivn i negativn introspekci. Podobn jako v Reiterov logice defaultu, existuj autoepistemick teorie, kter nemaj stabiln rozen, jin jich maj mnoho, dokonce i nekonen mnoho. Autoepistemick logiky byly spn vyuity nap. pi budov n smantiky logickch programu a systmu aktualizace znalost. Charakterizace je pirozen a pm , pouze se logick negace nahrad autoepistemickou negac, neboli, liter l :' se nahrad liter lem :2'. Pednost autoepistemickch logik je to, e je to vlastn jedin systm, v nm je je mono rozliit mezi pesvdenm v platnost propozice a absenc pesvden v platnost jej negace. Autoepistemick logika tak in, a to ve prospch absence informace. Velmi zajmou roli v autoepistemickch m smantika monch svtu Carl Lewise pro mod ln systm S5. Moore uk zal. e autoepistemick teorie T je mnoina formul pravdivch v kadm svt njak pln struktury pro S5 pr v kdy je to stabiln autoepistemick teorie.

Denice 6.5.9 Modelem autoepistemick
teorie zde rozumme dvojici S = +S val],

kde S je pln struktura pro syst
m S5 a val : V AR 7! f0 1g je ohodnocen neboli valuace (tj. zobrazen z vrokovch promnnch do pravdivostnch hodnot), kter
uruje, co je pravdiv
v aktulnm svt.

Pklady: Nech( A = f:2p ) qg je mnoina po tench pesvden. 1. Pedpokl dejme, e T obsahuje vrok q, ale neobsahuje p. V takovm ppad pln struktura pro S5 popisujc teorii T je S = ffp qg f:p qgg. Formule :2p ) q je pravdiv pouze ve dvou ppadech: val0 = fp qg, val1 = f:p qg. Kad z obou ohodnocen odpovd njakmu monmu svtu ve struktue pro S v teorii T se stabiln expanz vchozch pesvden A. 2. Pedpokl dejme te), e teorie T obsahuje p, ale neobsahuje q. Potom S = ffp q g fp :q gg. Druh valuace, tj. val1 = f:p q g je jist autoepistemickou interpretac teorie T v n A je pravda. Avak protoe val1 neodpovd  dnmu monmu svtu ve struktue S , tak T nemue bt stabilnm rozen mnoiny A. 3. Pedpokl dejme nakonec, e teorie T neobsahuje ani p ani q. Potom S = ffp qgg. Stejn argument (se stejnou valuac valuac) n s vede k analogickmu z vru jako v pedchozm pkladu.

Kapitola 7 Filozock logika a analytick lozoe 7.1 Logika a lozoe V tradici evropskho mylen byla vdy logika ch p na jako sou st lozoe, i kdy k jejmu rozvoji asto doch zelo spe v jinch discipln ch. Z  sti jsme nahldli, e tomu tak bylo hlavn na pud matematiky. Ale i na pud lozoe samotn se role logiky a jej ch p n v prubhu asu mnily. Ve 20. stolet se logika (nkdy nazvan lozock logika) st v v vznamnou sou st mohutnho lozockho proudu - analytick
lozoe. Co je lozock logika a co je analytick lozoe? Pro n s je analytick lozoe spojena pedevm s tradic Vdeskho krouku a se jmny vznanch lozofu a logiku jako Rudolf Carnap, Gottlob Frege, Montague, Willard van Orman Quine, Bertrand Arthur William Russell, Ludwig Wittgenstein, Alfred North Whitehead, abychom jmenovali aspo nkter jmna patc k nejvznamnjm. To je ovem tma na samostatn skriptum. V souasn esk lozock a logick literatue je vztahu logiky a lozoe bohuel vnov no jen m lo pozornosti. %ten i je mono nyn doporuit publikaci Jaroslava Peregrina: Logika ve lozoi, lozoe v logice. (Historick vod do analytick lozoe). Herrmann a synov, Praha 1992. Analytick lozoe je hled nm  du v naem zpusobu vyjadov n (tedy v jazyce) i v naem sloitm svt. Je mon ji charakterizovat jako logickou analzu jazyka, nebo( svt mueme uchopit vdy pr v jen prostednictvm jazyka. Logick analza jazyka ale nen jednoznan vymezenou ani jednoznan vymezitelnou disciplnou. %asto je ch p na dost odlin. Jednak v russelovsk, carnapovsk a tarski nsk tradici, jednak v tradici wittgensteinovsk. V t prvn jde spe o pesvden, e lozoe je vlastn 141

jen aplikac logiky a ani jin ambice mt nemue. V t druh nejde o nalz n  du vc Jestlie jsme na za tku ekli, e logik si klade ot zku, jak uchopit  d vc, jak mu porozumt, co je to pravda, pak musme skonit konstatov nm, e kad, kdo chce porozumt, by ml prostudovat nebo alespo pest jedno z nejz vanjch lozockch dl tohoto stolet Krizi evropskch vd a transcendent ln fenomenologii Edmunda Husserla.1 Je to patrn nezbytn pedpoklad k pochopen vznamu logiky pro porozumn  du naeho komplikovanho svta. Pak mon pochopme, e pravda nen jen shoda vroku se skutenost, ale e z le na tom kdo, komu, kdy, kde a co k . Nen to jen vlastnost vpovdi sam, je to mnohorozmrn vztah. To si ostatn dobe uvdomoval u ped skoro esti sty lety rektor Karlovy univerzity, realista (ve stedovkm smyslu tohoto slova) mistr Jan z Husi.

1

Academia, Praha 1972.

Kapitola 8 Strun pehled vznamnch logiku Aristotel s ze Stageiry (384{322 p. n. l) Nejvznamnj  k Platonuv, zakladatel

systematick lozoe a form ln logiky, kterou ch pal jako logiku pojmu (sylogistika, teorie kategorickho sylogismu) na rodl od stoick logiky vroku. Hlavn spisy o logick problematice: Organon I-VI: Kategorie, O vyjad ovn, Prvn analytiky, Druh
analytiky, Topiky, O sostickch d ukazech.

Babbage, Charles (1792{1871) Anglick matematik, profesor na univerzit v Cambridge. Vynalezl princip analytickho stroje, kter lze povaovat za pedchudce elektronickho potae v dnenm slova smyslu. Jeho stroj ml bt mechanick, avak programovateln (drnmi ttky). Prvn program torkou byla Ada Augusta Lovelance, dcera lorda Byrona. Jakousi men verzi sestrojil koncem 19. stolet Babbeguv syn. Hlavn spis: On the Economy of Machinery and Manufacturers (1984)

Bolzano, Bernard Placidus Johan Nepomuk (1781{1848) Prask lozof, mate-

matik a logik. Profesor lozoe a n boenstv v Praze od r. 1805. Vypracoval teorii vdy zaloenou na logice, v n pedjm Tarskho pojem logickho vyplv n. V roce 1820 zbaven profesury pro sv racionalistick tendence v theologii. Hlavn dla: Wissenschaftslehre (Vdoslov) 1837 a Paradoxien des Undendlichen (Paradoxy nekonena) 1851.

Boole, George (1815{1864) Anglick matematik, jeden ze zakladatelu modern lo-

giky (Booleova algebra). Zabval se ovem t potem pravdpodobnosti a matematickou analzou (calculus). V letech 1849-1864 profesor matematiky na Queen's College v Corku (Irsko). Hlavn dla: Mathematical Analysis of Logic (Matematick analza logiky) 1847 a Laws of Thought (Z kony mylen) 1854.

Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881{1966) Nizozemsk matematik a logik, od

r. 1912 profesor matematiky na univerzit v Amsterdamu. Zakladatel intuicionismu v logice a lozoi. Hlavn dla: Zur Begr6ndung der intuitionistischen Mathematik 1924{ 143

26, Historical background, principles and methods of intuitionism (Historick z klad, principy a metody intuicionismu) 1952.

Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp (1845{1918) Zakladatel teorie mnoin,

kde nejvznamnj byl pojem kardin lnho sla. Doktor t zskal v r. 1867 na univerzit v Berln. Od r. 1869 profesorem na univerzit v Halle a do penze v r. 1913.

Carnap, Rudolf (1891{1970) Nejprve docent na univerzit ve Vdni, profesor lozoe v Praze a pozdji (1936) v USA. Jedna z hlavnch postav Vdeskho krouku. Zabval se pedevm form ln logikou a jejmi aplikacemi v z kladnch problmech epistemologie. Hlavn dla: Logische Aufbau der Welt (Logick vstavba svta). Logische Syntax der Sprache (Logick syntaxe jazyka). Meaning and Necessity (Vznam a nutnost). Testability and Meaning (Testovatelnost a vznam). Ko-editor sp. The Journal of United Science (Erkenntnis).

De Morgan, Augustus (1806{1871) De Morgan byl profesorem matematiky na Uni-

vesity College v Londn. Byl t zakladatelem Londnsk matematick spolenosti. V roce 1838 zavedl termn matematick indukce. Zn my jsou de Morganovy z kony vro kov logiky, kter uv dj du ln spojky konjunkce a disjunkce do vztahu k negaci. Pozdji se uk zalo, e analogick z kony lze formulovat i v predik tov logice, mod lnch a jinch logik ch.

Eukleides z Alexandrie (asi 365{300 p. n.l.) Jeden z nejvznamnjch matematiku starovku. Proslul axiomatizac geometrie v dle Zklady.

Euler, Leonard (1707{1783) vcarsk matematik, kter pusobil v Petrohrad a

v Berln. Eulerovy diagramy slou k reprezentaci operac a relac na td ch (mnoin ch). Zaslouil se t o geometrii, matematickou analzu (kalkulus) a teorii sel. Na pozv n Kateiny I (manelka Petra Velikho) pusobil v Petrohradsk akademmi vd. Od r. 1730 profesorem fyziky a od r. 1733 profesorem matematiky tamt. Hlavn dla: Mechanica (1736{37) a Dopisy nmeck princezn (3 dly) (1768{72).

Frege, Gottlob (1848{1925) Nmeck matematik a logik. Od r. 1874 docentem matematiky, od r. 1886 mimo dnm a od 1896  dnm profesorem na univerzit v Jen. Uk zal, e logika mue bt ch p na jako prostedek uchopen smyslu jazykovch vrazu. Filozoi redukoval na logickou analzu jazyka. Jeden ze zakladatelu analytick lozoe. Hlavn dla: Begrischrift (Pojmov psmo) 1879, Die Grundlagen der Aritmetik (Z klady aritmetiky) 1884, 7ber Sinn und Bedeutung (O smyslu a vznamu) 1892, Logische Untersuchungen (Logick zkoum n) 1918-23.

Gentzen, Gerhard (1909{1945) Nmeck matematik a logik. Studoval v Greifswaldu

a pozdji v G"ttingen, kde se r. 1940 habilitoval. (Tehdy zde pusobili i D. Hilbert, H. Weyl a dal vznan matematikov.) Od r. 1943 na prodovdeck fakult nmeck Karlovy univerzity v Praze. Zemel v r. 1945 v Praze. Jeho clem bylo dok zat bezespornost matematick analzy. Hlavn dla: Untersuchungen 6ber das logische Schlie8en

(Zkoum n o logickm uz vru) 1935 a Die Wiederspruchtsfreiheit der reinen Zahlentheorie 1936.

Gdel, Kurt (1906{1978) Rakousk matematik a snad nejvznamnj logik tohoto

stolet. Narodil se Brn. Svmi vsledky ze 30tch let (vta o neplnosti) prok zal omezenost programu formalizace, tj. nemonost formalizovat dukaz bezespornosti logickho systmu uvnit systmu samho. Spolu s Bernaysem tvurce jedn varianty axiomatick teorie mnoin. Dok zal bezespornost axiomu vbru a Cantorovy hypotzy kontinua. Od 1941 profesor matematiky na univerzit v Princetonu (New Jersey).

Herbrand, Jean (1908{1931) Francouzsk logik. V sedmn cti letech, tedy mimo dn brzy, vstoupil na Ecole Normale Sup
rieur. Tmatem jeho doktorsk disertace byla matematick logika, co v t dob bylo pekvapiv, nebo( logika se ve Francii tehdy nepstovala. Bhem sv velmi kr tk vdeck kariry { zahynul pi horolezeckm vstupu v Alp ch { dos hl vznamnch vsledku. Hlavn vsledek, zn m dnes jako Herbranduv teorm uv d do souvislosti teorii kvantikace (jistou formu predik tov logiky) a vrokovou logikou. V souasn dob Herbranduv teorm tvo z klad pro studium metod automatickho dokazov n teormu.

Heyting, Arend (1898{1980) Holandsk matematik a logik. Tvurce form lnho sys-

tmu intuicionistick logiky. Hlavn dla: Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik (Form ln pravidla intuicionistick logiky) 1930, Logique et intuitionisme (Logika a intuicionismus) 1952, After thirty years (Po ticeti letech) 1962.

Hilbert, David (1862{1943) Nmeck matematik, od r. 1895 profesorem matematiky na univerzit v G"ttingen. Vznamn vsledky v geometrii, matematick analze, teorii sel i algebe. V logice pedstavitel programu formalizace. Hlavn dla: Grundlagen der Geometrie (Z klady geometrie) 1899 a Gesammelte Abhandlungen I-III s Paulem Bernaysem, 1932-35.

Husserl, Edmund (1859-1938) Jeden z pednch evropskch fenomenologu. Hlavn

dla: Logische Untersuchungen (Logick zkoum n) 1900, Formale und traszendentale Logik (Form ln a transcendent ln logika) 1929, Die Krisis der europ9ischen Wissenschaften und die transzendentalen Ph9nomenologie (Krize evropskch vd a transcendent ln fenomenologie) 1936.

Church, Alonzo (1903{1974) Americk logik a matematik. Tvurce tzv.
-kalkulu,

jeho prostednictvm byla dok z na ekvivalence teorie rekurzvnch a teorie vyslitelnch funkc.

Jevons, William Stanley (1835{1882) Studoval prodn vdy na University College v Londn. Zabval se politickou ekonomi a matematickou logikou, t potem pravdpodobnosti. Zkonstruoval mechanick logick stroje (logick pravtko a logick klavr). Nejzn mnj dlo: Principles of Science (Principy vdy) 1874.

Kleene, Stephen Cole (1909{1994) Studoval na Amherst College, doktor t zskal

v r. 1934 na universit v Pricetonu, kde jeho kolitelem byl Alonzo Church. Pat spolu s Churchem, G"delem a Turingem k tvurcum teorie rekurze. Pispl k rozvoji idej intuicionistick logiky. Nejzn mnj publikace Introduction to Metamathematics (1952), Mathematical Logic (1967).

Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716) Nmeck matematik a lozof, v matema-

tice zakladatel logicismu, je mon ho povaovat za pedchudce modern form ln logiky ch pan jako kalkul. Nez visle na Issacu Newtonovi poloil z klady innitessim lnho potu, kde se dodnes pov jeho symbolika. Hlavn dla: Th
odic
e (Theodicea) 1710, Monadologie 1714.

Lewis, Clarence Irving (1883{1964) Profesor lozoe na Harvardov univerzit. Za-

kladatel modern mod ln logiky. Zavedl a obhajoval pojem striktn implikace v protikladu k materi ln implikaci. Survey of Symbolic Logic (Pehled symbolick logiky) a Symbolic Logic s C. H. Langfordem.

L! ukasiewicz, Jan (1878{1956) Polsk lozof a logik. Profesor na univerzit ve Lvov

a Varav. Jeden ze zakladetelu modern form ln mod ln logiky. Hlavn dla: Elementy logiki matematycznej (Z klady matematick logiky) 1929, Zur Geschichte der Aussagenlogik (K djin m vrokov logiky) 1936, A system of modal logic (Systm mod ln logiky) 1952, Aristotle's syllogistic from the standpoint of modern formal logic (Aristotelova sylogistika z hlediska modern form ln logiky) 1957.

Mill, John Stuart (1806{1873) Zakladatel induktivn logiky. Hlavn dla A System of

Logic (Systm logiky) 1843, The principles of science, a treatise on logic and scientic method (Principy vdy, pojedn n o logice a vdeck metod) 1874.

Peirce, Charles Sanders (1839{1914) Studoval na Harvardu. Zbval se geodezi, kde

se sezn mil s konformnmi projekcemi map pro kter vzuil eliptickch funkc. V logice nav zal na pr ci svho otce Benjamina Peirce o asociativnch algebr ch, matematick logice a teorii mnoin. Zab val se t problmem ty barev.

Post, Emil Leon (1897{1954) Narodil se v polskm Augost$w. Jeho rodina odela

do USA, kdy mu bylo sedm let. Zemel v New Yorku. V l nku o tabulkov metod zavedl pojem konzistence (bezespornost) a pojem plnosti. Ve sv disertaci dok zal bezespornost dvouhodnotho vrokovho kalkulu. Zabval se i trojhodnotovou logikou v algebraickm pojet. Rovn se vnoval teorii rekurze.

Quine, Willard van Orman (* 1908) Od r. 1948 profesorem na Harvardu. Zabval se

nejen logikou, ale i lozo jazyka a analytickou lozo. Ml velmi blzko k Vdeskmu kruhu, ve lozoi navazoval na Rudolfa Carnapa. Hlavn dla: On what there is (O tom, co je) 1948, Two Dogmas of Empiricism (Dv dogmata empirismu) 1951, From Logical Point of View (Z logickho hlediska) 1953, Word and Object (Slovo a objekt) 1960.

Russell, Bertrand Arthur William (1872{1970) Anglick logik, matematik, lozof a veejn initel. %len snmovny lordu. Nositel Nobelovy ceny za literaturu 1950. Od r. 1895 Fellow of Trinity College, Cambrige. 1910{16 University of Cambridge, pozdji ruzn instituce. Vznamn ovlivnil studium logickch z kladu matematiky. Hlavn dla z logiky a matematiky: Principia Mathematica, 3 dly s A. N. Whiteheadem 1910{13, Introduction to Mathematical Philosophy (#vod do matematick lozoe) 1918, An Inquiry into Meaning and Truth (Zkoum n vznamu a pravdy) 1940. Skolem, Albert Thoralf (1887{1963) Norsk matematik a logik. Po nm je pojmenov na metoda eliminace existennch kvantik toru.

Tarski, Alfred (1901{1983) Polsk matematik a logik, len lvovsko{varavsk koly.

Od tyic tch let il v USA. V logice denoval pojem pravdy, modelu a smantickho vyplv n. Hlavn dla: Der Warheitsbegri in den formalisierten Sprachen (Pojem pravdy ve formalizovanch jazycch) 1936, Undecidable theories (Nerozhodnuteln teorie)1953, Logic, Semantics, Metamathematics (Logika smantika, metamatematika), 1956.

Turing, Alan Mathinson (1912{1954) Anglick matematik a logik, dnes bychom

asi pidali oznaen informatik (ve smyslu anglickho computer science). Zavedl mj. teoretick matematick koncept potae, kter je dnes nazv n Turinguv stroj.

Venn, John (1834{1923) Je zn m jako jeden z tvurcu booleovsk matematick logiky

diagramov metody reprezentace mnoin a jejich sjednocen a pruniku. Vennovy diagramy maj vztah k Eulerovm diagramum. Hlavn dla: Symbolic logic (1881), The Principles of Empirical Logic (Principy empirick logiky), 1889.

Wiles, Andrew John (* 1953) V r. 1993 pozitivn rozeil tzv. velkou Fermatovu vtu jej een se hledalo 350 let.

Whitehead, Alfred North (1861{1947) Britsk lozof a matematik. Studoval na

Trinity College, Cambridge. Profesor na ad univerzit, v letech 1924{38 na Harvardov univerzit. Spolupracovnk B. Russela, s nm napsal Principia Mathematica. Dal dla: An Enquiry concerning the Principles of Natural Knowledge (Zkoum n tkajc se pirozench znalost) 1919, Science and the Modern World (Vda a modern svt) 1926, Symbolism (Symbolismus) 1928, Adventures of Ideas (Dobrodrustv ide) 1933.

Wittgenstein, Ludwig (1889{1951) Rakousk lozof,  k Russeluv. Od r. 1929 a

do sv smrti pusobil na univerzit v Cambridge. Od r. 1939 profesorem. Jeden ze zakladatelu analytick lozoe. Hlavn dla: Logish-philosophische Abhandlung (Logickolozock pojedn n) 1921, druh vyd n nazvan Tractatus logico-philosophicus 1922, Philosophische Untersuchungen (Filozock zkoum n), Oxford 1953. Tento strun pehled m samozejm daleko k plnosti. %ten  mue najt dal informace v reprezentativn publikaci manelu Knealeovch +33], v n se autoi zab-

vaj hlavnmi proudy ve vvoji logiky od Aristotela a po dneek. Uitenou informaci mohou pinst nkter specializovan datab ze jako nap. Hypatia, http://wwwgroups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Mathematicians/ a dal.

Kapitola 9 Dodatek: Matematick zzem 9.1 Zkladn matematick pojmy V tomto dodatku uv dme pro plnost z kladn matematick pojmy, se ktermi je patrn ten  z dvjho studia dobe sezn men, ale nkdy mon m pochybnosti o pesnch denicch, kter tvo nezbytn pojmov z zem. Clem je sjednotit terminologii a ppadn osvit z kladn pojmy.

9.1.1 Mnoiny a vztahy mezi mnoinami Mnoinou rozumme soubor njakch vc i objektu, kter obvykle nazv me prvky. Mluvme napklad o mnoin pirozench sel, mnoin re lnch sel, mnoin vech pmek v rovin, mnoin vech dt narozench na uritm zem v uritm asovm obdob, mnoin pznaku dan choroby apod. Mnoiny jsou z kladn objekty, se ktermi budeme pracovat. Mnoinu lze vymezit ruznmi zpusoby. Vet prvku (seznam) je zpusob vymezen mnoiny. kterho je vhodn pout pi malm potu prvku. Mnoina obsahujc vechna lich sla men ne 13 mue bt snadno zad na seznamem, co zapeme takto: f1 3 5 7 9 11g. Protoe se v mnoin star me pouze o prvky samotn, nez le n m na jejich poad, seznam f11 5 1 3 7 9g vymezuje tedy tut mnoinu. Nkter mnoiny - a v matematice je jich velmi mnoho, d se ci vtina - nemohou bt zad ny seznamem. Tuto vlastnost maj vechny nekonen mnoiny, a proto je teba, abychom je vymezili jinak. Napklad tak, e pro prvky denovan mnoiny vytkneme uritou charakteristickou vlastnost, tj. vlastnost, kterou maj vechny prvky uvaovan mnoiny a kterou  dn jin vci nemaj. Pkladem mue bt mnoina vech celoselnch n sobku sla ti. Jinm pkladem bude mnoina vech pirozench sel dlitelnch 149

sedmi nebo mnoina vech prvosel. V taxonomii napklad je takov jednoznan vymezen mnoiny asto clem. Jde teba o mnoinu vech zvat danho druhu. Zpravidla se hled nejmen soubor vlastnost i znaku, kter takovou mnoinu vymezuje. I konen mnoiny mohou bt zad ny charakteristickou vlastnost. Tak napklad hovome o mnoin vech koenu rovnice n-tho stupn (co je nejve n-prvkov , tedy konen mnoina), o mnoin vech symbolu uitch v tomto textu (co je mnoina konen , sice o velkm potu prvku, kter by se nicmn daly spotat), o mnoin pznaku vedovho onemocnn aludku apod. Nech( ' je njak vlastnost0 mnoinu vech prvku x, kter maj vlastnost ', budeme oznaovat fx0 '(x)g, nap. fx0 slo 7 dl slo x g. Dalm pkladem vymezen prvku nkterch typu mnoin je rekurentn (nkdy k me induktivn) denice. Rekurentn vymezme mnoinu takto: Alespo o jedn vci (o jednom objektu) uk eme, e je prvkem denovan mnoiny M . Na z klad pravidla, kter k , jak ze znalosti njakho prvku mnoiny M zkonstruovat jin prvek mnoiny M , mueme postupn generovat vechny prvky mnoiny M . Pkladem mue bt zad n mnoiny, jej prvky tvo geometrickou posloupnost, vzorcem: ao = 2 an+1 = an q q = 3. Podle tohoto pedpisu mueme postupn konstruovat prvky a1 = 6 a2 = 18 a3 = 54 atd. Kdy q = 2, pak jde o tzv. bin rn dlen (nap. kad buka se v kad generaci, tj. pro kad n, rozdl na dv nov buky). Je vak patrn, e rekurentn denic nelze vymezit kadou mnoinu. Pro vt strunost a pehlednost vyjadov n pouv me ruznch zkratek. Napklad vraz x 2 M je zkratkou vrazu x je prvkem mno iny M . Z pisem x 62 M vyj dme, e x nen prvkem mnoiny M . Dv mnoiny se rovnaj, maj-li stejn prvky.

Pklad: Mnoina vech koenu kvadratick rovnice x2 ; 3x + 2 = 0 a mnoina vech

celch sel z otevenho intervalu (0 3) se rovnaj, co zjistme snadno, porovn me-li seznamy obou mnoin. Interval (0 3) obsahuje z celch sel pouze sla 1 2, co jsou pr v koeny uveden kvadratick rovnice. Rovn f1 3 5 7 9 11g = f11 7 9 5 1 3g. Mnoina M = f1 2 3 4 5 6g se nerovn mnoin N vech dlitelu sla 12, nebo( 5 2 M , ale 5 62 N . Mnoina, kter neobsahuje  dn prvek, se nazv przdn. Mnoina vech celch sel z intervalu (24 27) dlitelnch temi je pr zdn , nebo( tento interval obsahuje pouze dv cel sla, 25 a 26, a ani jedno z nich nen dliteln temi. Pr zdn je tak mnoina psmen arabsk abecedy uitch v tomto textu, o em se mueme pesvdit podrobnm petenm cel knihy. Naproti tomu mnoina vech eckch psmen pouitch v tomto textu je nepr zdn . Jin pklad: Mnoina vech aktivn ltajcch plazu je pr zdn stejn jako mnoina vech slonu ijcch za pol rnm kruhem. Vzhledem

k tomu, e mnoina je urena svmi prvky, existuje jedin pr zdn mnoina, kterou ozname . Nebo jinak, vechny pr zdn mnoiny jsou si rovny - maj stejn vlastnosti. Z mnoin mueme tvoit nov mnoiny i tak, e vchoz mnoiny se stanou prvky novch mnoin. Dost v me tak mnoiny mnoin, mnoiny mnoin mnoin, atd. Mnoina fg nen pr zdn , protoe obsahuje pr v jeden prvek, toti pr zdnou mnoinu. Je to mnoina jednoprvkov . Pr unikem M \ N mnoin M N rozumme mnoinu vech prvku n leejcch jak do M , tak do N , tj. pro kad x plat x 2 M \ N , (x 2 M ^ x 2 N ), Sjednocenm M N mnoin M N rozumme mnoinu vech prvku, n leejcch alespo do jedn z mnoin M N , tj. x 2 M N , (x 2 M _ x 2 N ), Rozdlem M ; N mnoin M N rozumme mnoinu vech prvku z M , kter nepat do N . Nkdy tak hovome o dopl'ku mno iny N v mno in M . Jestie mnoina M je pevn urena, pouv me pro doplnk oznaen ;N .

/ekneme, e N je st (podmnoinou) M (oznaen N  M ), kdy kad prvek z N pat tak do M . Jestlie jedna mnoina je  st druh, k me tak, e ob mnoiny jsou ve vztahu inkluze. Povimnme si, e prunik, sjednocen a rozdl jsou operace na mnoin ch, kter z jednch mnoin vytv ej nov mnoiny, kdeto inkluze je vztah mezi mnoinami. O uvedench mnoinovch operacch a o vztahu inkluze plat ada element rnch tvrzen, kter lze snadno ovovat pomoc grackho zn zornn. Mezi takov duleit tvrzen pat nap. tvrzen, kterho se velmi asto pouv pi dokazov n rovnosti dvou mnoin: Jestli e jedna mno ina je st druh
a naopak, pak se mno iny rovnaj. Symbolicky: M  N a N  M , potom M = N . Snadno se pesvdme o tom, e prunik a sjednocen jsou asociativn a komutativn operace. To vak neplat pro rozdl. Duleitou roli v ad, vah hraje mnoina vech podmnoin dan mnoiny, tzv. potenn mno ina. Nech( N je mnoina sest vajc ze dvou prvku, nap. N = f1 2g. Potenn mnoina P (N ) mnoiny N pak sest v ze ty mnoin, tj. P (N ) = ff1g f2g f1 2g g. Pr zdn mnoina je podmnoinou kad mnoiny. Snadno si rozmyslme, e potenn mnoina n-prvkov mnoiny m 2n prvku, nebo( je pr v tolik podmnoin. Jet pklad pro n = 3. Nech( N = f1 2 3g, potom P (N ) = f f1g f2g f3g f1 2g f1 3g f2 3g f1 2 3gg. Nech( M N jsou mnoiny. Kart
zskm souinem M  N mnoin M N rozumme mnoinu vech uspo danch dvojic +x y] takovch, e x 2 M , y 2 N . Protoe kartzsk

souin1 je denov n pomoc uspo danch dvojic, neplat M N = N M , tj. kartzsk souin nen komutativn, nelze zamnit poad mnoin pr v proto, e jde o uspo dan dvojice prvku. Snadno tak ovme, e M   =   M = . Obecn mueme denovat n- rn kartzsk souin M1  : : :  Mn mnoin M1  : : :  Mn jako mnoinu vech uspo danch n-tic +x1  : : :  x2 ] takovch, e xi 2 Mi (pro i = 1 : : :  n). Jestlie Mi = M pro vechna i = 1 : : :  n, oznaujeme takov kartzsk souin (tj. mnoinu vech uspo danch n-tic prvku z M ) symbolem M n a nazv me jej n-tou mocninou mnoiny M .

9.1.2 Relace, operace, funkce Dosud jsme hovoili o mnoin ch a operacch na mnoin ch. Nyn pejdme k velmi duleitmu pojmu relace, kter je matematickm vyj denm toho, co v obvykl mluv oznaujeme vrazem vztah mezi objekty i prvky njak dan mnoiny. Jestlie v matematice hovome o relaci i vztahu, pak m me obvykle na mysli dvojice (v obecnm ppad n-tice) objektu, kter jsou i nejsou v danm vztahu. Na tyto dvojice se mueme dvat jako na prvky jist mnoiny, pesnji mnoiny uspo danch dvojic, kterou budeme nazvat relace mezi uvaovanmi objekty. V tomto odstavci si tak uk eme, jak souvis pojem relace s pojmem operace na mnoin, a d le to, e zvl tnm ppadem relace je snad nejduleitj matematick pojem - pojem funkce. Bin rn relac R mezi mnoinami M N rozumme libovolnou podmnoinu kartzskho souinu M  N . Tedy R  M  N . Dva prvky x y jsou v relaci R, kdy +x y] 2 R. V takovm ppad peme R(x y) nebo tak xRy. Jestlie M = N , k me strun, e R je relace na M . Mnoinu vech prvku x takovch, e k nim existuje prvek y tak, e +x z] 2 R, nazveme denin obor relace R a ozname jej D(R), tedy D(R) = fx0 +x y] 2 Rg. Inverzn relace R 1 k relaci R je takov relace, kter obsahuje uspo danou dvojici +x y] pr v tehdy, kdy +y x] 2 R. Pomoc inverzn relace snadno denujeme obor hodnot H(R) relace R takto: H(R) = D(R 1). Tedy oborem hodnot relace je denin obor inverzn relace. Denin obor relace spolu s oborem hodnot se nazv pole tto relace. ;

;

Nech( M je libovoln mnoina. Symbolem IM budeme oznaovat identitu na M , tj. relaci IM = f+x y]0 x = y ^ x 2 M g, neboli f+x x]0 x 2 M g. Nech( R S jsou relace. Sloen relace RS je takov relace, e +x y] 2 RS pr v tehdy, kdy existuje z tak, e +x z] 2 S ^ +z y] 2 R. Relace R  S se t nkdy nazv relativn souin relac R S . Skl d n relac nen komutativn, obecn toti neplat R  S = S  R. Termn kartzsk souin se pouv na po est francouzskho matematika a lozofa Ren Descarta, lat. Cartesia. 1

/ekneme, e relace R na mnoin M je re)exivn na M , kdy pro kad x 2 M plat xRx. Relace R je symetrick na M , kdy pro kad x y 2 M plat xRy ) yRx a je tranzitivn na M, kdy pro kad x y z 2 M plat (xRy ^ yRz ) ) xRz . Napklad relace rovnosti mezi sly je re3exivn, nebo( kad slo je rovno samo sob, zatmco relace \bt men ne ", kterou obvykle oznaujeme <, nen re3exivn, nebo( nap. nen pravda, e 5 < 5. Relace rovnosti je jist symetrick , zatmco relace < symetrick nen, protoe nap. 3 < 5, ale neplat 5 < 3. Ob relace jsou vak tranzitivn. Jist nap. plat e kdy 3 < 5 a 5 < 6, tak 3 < 6. /ekneme, e relace R je na M asymetrick, kdy pro kad x y plat xRy ) :(xRy)0 je slab asymetrick na M , kdy (xRy ) ^ (yRx) ) (x = y )0 je souvisl (t trichotomick) na M , kdy pro kad x y 2 M plat (xRy ) _ (yRx), neboli x < y _ x = y _ y < x.

Pklad: Relace < (bt men ne ) je na mnoin pirozench sel asymetrick (x <

y ) y 6< x), ale nen souvisl , protoe nen u ani re3exivn. Snadno toti uv me, e k tomu, aby relace byla souvisl , mus bt re3exivn. Pro relaci < mezi pirozenmi sly jist neplat x < x. Fakt, e relace nen souvisl , vlastn znamen , e existuje dvojice prvku, pro kterou neplat ani xRy, ani yRx, nebo jinak eeno, existuj nesrovnateln prvky. Rovn nen tk si rozmyslet, e relace R je re3exivn na M pr v tehdy, kdy obsahuje identitu, tj. kdy IM  R, je symetrick , kdy R = R 1, a je tranzitivn, kdy obsahuje sloenou relaci R  R.. ;

Pklad: Kdy R = \bt rodiem" na mnoin lid, tak R  R = \bt prarodiem". Relace, kter je na mnoin M re3exivn, symetrick a tranzitivn, se nazv ekvivalence na M . Zejm IM a M  M jsou ekvivalence na M . Pitom IM je v jistm smyslu nejjemnj a M  M je nejhrub mon ekvivalence na M , nebo( pro kadou ekvivalenci E na M plat IM  E  M  M . Nech( E je ekvivalence na M . Faktorizac mnoiny M podle E rozumme mnoinu mnoin (nkdy k me t systm mnoin) M=E = fE (x)0 x 2 M g, kde E (x) = fy0 y 2 M ^ xEyg. Mnoiny E (x) nazv me t dy ekvivalence v E . Faktorizac mnoiny podle ekvivalence dos hneme toho, e v dalch vah ch, kde se vyskytne ekvivalence E , nemusme rozliovat mezi prvky, kter pat do te tdy ekvivalence0 mueme je z hlediska tchto vah ztotonit. Nech( I je opt indexov mnoina. Rozkladem na mno in M budeme rozumt takov systm mnoin Mi(i 2 I ), e pro vechna i 2 I jeSMi  M , kad dv ruzn mnoiny Mk  Mj jsou disjunktn (tj. Mk \ Mj = ) a M = Mi.

Zejm kad relace ekvivalence uruje rozklad na M , co lze vyj dit tak tak, e kad faktorizace mnoiny podle ekvivalence je rozkladem a tak opan. Relace R na M se nazv sten
uspo dn mno iny M , kdy R je re3exivn, tranzitivn a slab asymetrick (tj. kdy plat (xRy) ^ (yRz) ) x = y). /ekneme, e mnoina M je linern uspo dan relac R, kdy R je navc souvisl, tj. kdy kad dva prvky jsou relac R srovn ny. Mnoho mnoin, se ktermi pich zme asto do styku, m a priori njak \pirozen" uspo d n. Tak napklad pirozen sla jsou uspo d na podle velikosti, slova v dan abeced jsou uspo d na lexikogracky, tzn. jako slova ve slovnku, apod. Ovem i na tchto mnoin ch mueme denovat jin relace uspo d n (nap. slova podle dlky). V terminologii uspo danch mnoin neexistuje v literatue pln shoda. %asto se uspo danm mnoin m k pouze uspo dan, nebo naopak se termn  stenho uspo d n ponech v tak, jak jsme jej denovali a mnoiny line rn uspo dan se nazvaj prost uspo dan
. Aby nevznikly zbyten nejasnosti, volme radji obrnj terminologii pouze s pvlastky, abychom zduraznili, e v ppad  stenho uspo d n mohou existovat nesrovnateln prvky a e v ppad line rnho uspo d n si lze prvky uspo dan mnoiny pedstavit seazen do etzce.

9.2 Jet poznmka o nekonenu Porozumn nekonenm mnoin m je duleitm pedpokladem porozumn mnohm problmum modern logiky. Studenti, kte dnes pich zej na vysok koly bohuel toho o nekonenu ani po spn maturit pli nevd.2 Nezbv n m tedy ne nkter fakta pipomenout. Tk se to nap. potu prvku nekonench mnoin neboli kardin lnch sel. Poet prvku konen mnoiny vyjadujeme pirozenm slem, u nekonench mnoin takovou monost nem me. Musme se tedy obr tit k jin monosti, jak porovn vat, kter ze dvou nekonench mnoin obsahuje vce prvku. K tomu obvykle slou pojem zobrazen. /ekneme, e dv mnoiny M N maj stejn poet prvku (a to plat pro vechny, tedy i konen mnoiny), kdy existuje vz jemn jednoznan zobrazen mezi M a N a peme M  N . Kdy existuje jednoznan zobrazen M do N , ale nikoli naopak, tj. zobrazen N do M , ekneme, e prvn mnoina je \men ne" ta druh a peme M  N . To je z kladn monost jak porovn vat mnostv prvku nekonench mnoin. Nekonen mnoiny, jak snad vme, maj tu podivnou vlastnost (kterou nemaj mnoiny konen), e se mue st t, e nekonen mnoina je vz jemn jednoznan zobraziteln na svoji vlastn  st. Nap. mnoinu vech pirozench sel lze snadno vz jemn jednoznan zobrazit na mnoinu vech sudch sel, co je jist Mon k tomu pisplo ponkud problematick zru
en povinnosti skl dat maturitn zkou
ku tak pr v z matematiky. 2

jej podmnoina. Mohlo by se tedy zd t, e touto vlastnost oplvvaj vechny nekonen mnoiny. Ale tak tomu nen. Pipomeneme si proto ji vc ne sto let zn mou vtu, podle kter existuj nekonen mnoiny, kter na sebe zobraziteln nejsou. Z matematiky si mon vzpomn me, e mnoinu vech pirozench sel nelze vz jemn jednoznan zobrazit na mnoinu vech sel re lnch.

9.2.1 Cantorova vta Pro kadou mnoinu M plat: M  P (M ), kde znamnko uspo d n ch peme ve shora uvedenm smyslu, e toti neexistuje zobrazen z druh mnoiny do prvn. Chceme tedy dok zat, e neexistuje vz jemn jednoznan zobrazen mnoiny M na jej potenn mnoinu P (M ). Dukaz (sporem): Nech( f m takovou vlastnost. Uvaujme mnoinu Z = fm 2 M 0 m 62 f (m)g. Zajist Z  M , tj. Z 2 P (M ). Uk eme, e mnoina Z nem vzor v zobrazen f. Kdyby toti njak v bylo vzorem mnoiny Z , tj. kdyby f (v) = Z , tak by (podle denice tto mnoiny) pro kad m 2 M platilo m 62 Z , f (m) a speci ln pro v by platilo

v 2 Z , v 62 f (v), co ale nen mon, protoe f (v) = Z .

Lemma 9.2.1 Ka d
zobrazen f : P (X ) 7! P , kter
je monot3nn (vui inkluzi), tj. pro kter
plat

x  y ) f (x)  f (y), m pevn bod, tj. existuje takov
c 2 P (X ), e f (c) = c). Dukaz:

C = fu  X 0 u  f (u)g c = C Zejm c  X a pro vechna u 2 C plat u  c. Protoe F je mnot$nn, tak pro kad u 2 C: u  f (u)  f (c) . A tud c = C  f (c). A opt dky monot$nnosti zobrazen f f (c)  f (f (c))

co znamen , e tak f (c) 2 C a tud f (c)  c, co jsme mli dok zat.

9.2.2 Vta Cantor-Bernsteinova X Y ^Y X )X Y Dukaz: Sestrojme nejprve zobrazen H : P (X ) 7! P (X ) tak, e pro kad x 2 X H (x) = X ; g(Y ; f (x)) kde H monot$nn vzhledem k inkluzi0 c je xpunkt (pevn bod) zobrazen podle pedchozho lemmatu, tj. c = H (c) = X ; g(Y ; f (c)) Potom

X ; c = X ; (X ; g(Y ; f (c))) X ; c = g(Y ; f (c)) Zobrazen h : X 7! Y pak denujeme takto: h(a) = f (a) pro a 2 c h(a) = g 1(a) pro a 2 X ; c. Zejm h je prost zobrazen X na Y , co jsme chtli dok zat. ;

Literatura +1] Adams, E.: The Logic of Conditionals. D. Reidel, Dordrecht 1975. +2] Ajzerman, Mark Avronovi a kol.: Logika, automaty a algoritmy. Academia, Praha 1971. +3] Bell, John: The Logic of Time. D. Reidel, Dordrecht 1983. +4] Bendov, Kamila: Sylogistika. Karolinum, nakl. Univerzity Karlovy, Praha 1998. +5] Besnard Philippe: An Introduction to Default Logic. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York - London - Tokyo - Hong Kong 1989. +6] Boolos, George: The Logic of Provability. Cambridge University Press, Cambridge 1993. +7] Brewka, Gerhard: Cumulative Default Logic: In Defense of Nonmonotonic Inference Rules. Aritcial Intelligence 50 (1950) 183{205. +8] Brouwer, Luitzen Egbertus Jan: Collected Works. North-Holland, Amsterdam 1975. +9] Mc Carthy, John: Circumscription: A Form of a Non-monotonic Reasoning. Articiall Intelligence 13 (1980) 27-39. +10] Chellas, Brian F.: Modal Logic (An Introduction). Cambridge University Press, Cambridge 1988. +11] Chang, Chin-Liang - Lee, Richard Char-Tung: Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. Academic Press, New York 1973. +12] Church, Alonzo: Introduction to Mathematical Logic. Princeton University Press, Princeton (N. Y.) 1956. +13] Curry, Haskel, B.: Foundations of Mathematical Logic. McGraw-Hill, New York 1963. 157

+14] Delahaye, Jean-Paul: Formal Methods in Articial Intelligence. John Wiley & Sons, New York 1986. +15] Demlov, Marie { Pondlek, Bedich: Matematick logika. Vydavatelstv %VUT, Praha 1997. +16] Dix, J$rgen: Default Theories of Poole-Type ans a Method for Constructing Cumulative Versions of Default Logic. In B. Neumann (ed.) Proc. of the 10th European Conf. on Articial Intelligence ECAI '92. John Wiley & Sons, 1992, 289{293. +17] Gabbay, Dov: What is Negation in a System? In: Drake, F. R. and Truss, J. K. (eds.) Logic Colloquium '86, Elsevier 1988, 95-112. +18] Gabbay, Dov - Guenthner, F. (eds.): Handbook of Philosophical Logic. Vol. I-IV. D. Reidel Publ., Dordrecht, 1983. +19] G%rdenfors, Peter: Knowledge in Flux. MIT Press, 1988. +20] Gupta, Anil - Belnap, Nuel: The Revision Theory if Truth. MIT Press, Cambridge (Mass.) 1993. +21] Grzegorczyk, Andrzej: Zarys Logiki Matematycznej. Pa8nstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1961. +22] Hjek, Petr: Metamatematics of Fuzzy Logic. Kluwer Academic Publishers, Amsterdam 1998. +23] Henkin, Leon: The Completeness of the First-Order Functional Calculus. Journal of Symbolic Logic 14 (1949), 159-166. +24] Heyting, Arend: Intuicionism. Amsterdam 1956. +25] Hughes, G. E. - Cresswell, Max J.: An Introduction to Modal Logic. Methuen Co., New York, 1969. +26] Jirk u, Petr: Theory of Logical Consequence. Acta Universitatis Carolinae, Studia Logica II, Praha 1974, 11-31. +27] Jirk u, Petr - Materna, Pavel: Znalosti, logika, usuzov n. In: Sbornk semin e SOFSEM '90, Jansk L zn 1990, 187-206. +28] Jirk u, Petr - &tpnek, Petr - &tpnkov, Olga: Programov n v jazyku Prolog. SNTL, Praha 1990. +29] Kol, Petr: Argumenty lozock logiky. FILOSOFIA - :I >O?O:IA, Praha 99.

+30] Kol, Ji - &tpnkov, Olga - Chytil, Michal: Logika, algebry a grafy. SNTL/Alfa, Praha 1989. +31] Kleene, Stephen Cole: Introduction to Metamathematics. D. van Nostrand Company, Princeton New Jersey, 1952. +32] Kleene, Stephen Cole: Mathematical Logic. John Wiley & Sons, New York 1968. +33] Kneale, William - Kneale, Martha: The Development of Logic. Clarendon Press, Oxford 1984. +34] Konolige, Kurt: A Deduction Model of Belief (Research Notes in Articial Intelligence Series). Pitman, London 1986. +35] Konolige, Kurt: On the Relation between Default Theories and Autoepistemic Logic. Proceedings IJCAI-87, Milan 1987, 394-401. +36] Kowalski, Robert: Logic for Problem Solving. North-Holland, Amsterdam 1979. +37] Krej, Frantiek: Logika. I. L. Kober nakl., Praha 1914. +38] Kriesel, Georg - Krivine, Jean-Louis: Elements of Mathematical Logic (Model Theory). North-Holland, Amsterdam 1967. +39] Kripke, Saul A.: A Completeness Theorem in Modal Logic. Journal of Symbolic Logic 24 (1959) 1-14. +40] Lukaszewicz, Witold: Non-monotonic Reasoning. Formalism of Commosense Reasoning. Ellis Horwood Ltd. 1990. +41] Lyndon, Roger C.: O logice matematycznej. PWN, Warszawa 1968. +42] Malina, Jaroslav - Novotn, Jan: Kurt G"del. Nadace Universitas Masarzkiana, Brno 1996. +43] Manna, Zohar: Mathematical Theory of Computation. Mc Graw-Hill, New York 1974. +44] Mendelson, Elliot: Introduction to Mathematical Logic. D. van Nostrand Comp., Princeton (N. Y.) 1964. +45] Mleziva, Miroslav: Neklasick logiky. Svoboda, Praha 1970. +46] Monk, J. Donald: Mathematical Logic. Springer-Verlag, Berlin 1976. +47] Moore, Robert C.: Semantical Considerations on Nonmonotonic Logic. Proceedings IJCAI-83, Karlsruhe, FRG, 1983, 272-279.

+48] Nilsson, Nils: Principles of Articial Intelligence. Tioga, Palo Alto 1980. +49] Post, Emil Leon: Introduction to a General Theory of Elementary Propositions. American Journal of Mathematics 43 (1921) 163-185. +50] Przymusi'nski, T. C.: On the Relationship between Logic Programming and Non-monotonic Reasoning. Proceedings AAAI-88, 1988, 444-448. +51] Rasiova, Helena - Sikorski, Roman: The Mathematics of Metamathematics. PWN, Warszawa 1957. +52] Reiter, Raymond: A Logic for Default Reasoning. Articiall Intelligence 13 (1980) 81-132. +53] Rieger, Ladislav: Algebraic Methods of Mathematical Logic. Academia, Praha 1967. +54] Robinson, J. A.: A Machine Oriented Logic Based on the Resolution Principle. Journal ACM 12 (1965), 23-41. +55] Shoham, Yoav: Nonmonotonic Logics: Meaning and Utility. Proc. IJCAI-87. Milano 1987, 388-393. +56] Shoham, Yoav: Reasoning about Change. MIT Press, 1988. +57] Shoeneld J. R.: Mathematical Logic. Addison-Wesley Publ. Comp., Reading (Mass.) 1967. +58] Smullyan, Raymond M.: First-order Logic. Springer-Verlag, Berlin 1968. +59] Smullyan, Raymond M.: Forever Undecided: A Puzzle Guide to G"del. Alfred A. Knopf, 1987. +60] Smullyan, Raymond M.: G"del's Incompleteness Theprems. Oxford University Press, New York - Oxford 1992. +61] &tpn, Jan: Form ln logika. Nakladatelstv a vydavatelstv FIN, Olomouc 1995. +62] Tarski, Alfred: O logice matematycznej i metodzie dedukcyjnej. Lw$w - Warszawa 1936. (%esk peklad: Academia, Praha 1969). +63] Tarski, Alfred: The semantic conception of truth. Philos. Phenomenological Research 4 (1944) 13-47. +64] Tarski, Alfred: Introduction to Logic and to Methodology of Deductive Sciences. Gauthier-Villno, Paris 1971. (%esk peklad: Academia, Praha 1964).

+65] Turner, Raymond: Truth and Modality for Knowledge Representation. Pitman, London 1990. +66] Tugenhat, Ernst { Wolf, Ursula: Logicko-smantick propedeutika. Nakl. Petr Rezek, Praha 1997, +67] Tvrd, Josef: Logika. Melantrich, Praha 1937. +68] W(jcicki, Ryszard: Theory of Logical Calculi (Basic Theory of Consequence Operations). Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1988.