Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
Oper´aci´okutat´as I. 2015/2016-2.
Szegedi Tudom´ anyegyetem Informatikai Int´ ezet Sz´ am´ıt´ og´ epes Optimaliz´ al´ as Tansz´ ek
10. El˝ oad´as
CAPM modell
Diverzifik´ aci´ o
Portf´oli´o probl´ema
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Portf´oli´o probl´ema Adott r´eszv´enyek (k¨otv´enyek,tev´ekenys´egek, stb.) egy halmaza K´ erd´ es : Hogyan ´all´ıtsunk ¨ ossze bel˝ ol¨ uk portf´ oli´ ot ? Egy r r´eszv´enybe val´o befektet´es v´arhat´ o hozama : E(r) (A befektet´es hozam´anak m´ ultb´eli megfigyel´eseib˝ ol sz´am´ıtott v´arhat´o ´ert´ek) C´ el : Maxim´alis hozam´ u portf´ oli´ o¨ ossze´all´ıt´as´ara n darab befektet´es eset´en Fel´ırhat´o egy LP feladat: n X
xi = 1
[t˝oke]
xi ≥ 0
[ri -be fektetett r´esz]
i=1
max
n X i=1
E(ri )xi
[v´ arhat´o nyeres´eg]
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Portf´oli´o probl´ema
Ha E(r1 ) ≥ E(r2 ) ≥ . . . ≥ E(rn ) (ez feltehet˝ o), akkor az optim´alis megold´as x∗1 = 1, x∗2 = · · · = x∗n = 0, a nyeres´eg pedig E(r1 ). ´ aban igaz, ha ezt a strat´egi´at ism´etelj¨ Altal´ uk, akkor 1 val´osz´ın˝ us´eggel cs˝odbe megy¨ unk. ⇒ t¨obbf´ele pr´ob´alkoz´as sz¨ uletett (s˝ ot, a ter¨ ulet most is nagyon akt´ıv) a megold´asra. Ebb˝ol kett˝ ot vizsg´alunk : 1
Markowitz-modell, 1952 ; Nobel-d´ıj 1990
2
MAD modell (Konno-Yamazaki, 1990)
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Portf´oli´o probl´ema – p´elda Legyen egy r r´eszv´enybe val´ o befektet´es kock´azata D(r) (A befektet´es hozam´anak m´ ultb´eli megfigyel´eseib˝ ol sz´am´ıtott sz´ or´as). Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o befektet´esek hozamait az ut´obbi 3 ´evben : 1. ´ev
2. ´ev
3. ´ev
Ingatlan
0.05
-0.03
0.04
´ ekpap´ır Ert´
-0.05
0.21
-0.10
A v´arhat´o hozamok: E(ri ) =
0.05−0.03+0.04 3
= 0.02 ´es E(re ) =
−0.05+0.21−0.10 3
= 0.02
A kock´ azatok: q 2 2 +(0.02−0.04)2 D(ri ) = (0.02−0.05) +(0.02+0.03) ≈ 0.036 ´es 3 q 2 2 2 +(0.02+0.10) D(re ) = (0.02+0.05) +(0.02−0.21) ≈ 0.164 3
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Portf´oli´o probl´ema – p´elda
Ha a t˝ok´enk 75%´at ingatlanba, 25%-´at k¨ otv´enybe fektetj¨ uk, akkor a portf´ oli´ o hozama: + (0.75·−0.03+0.25·0.21) + E(rp ) = (0.75·0.05+0.25·−0.05) 3 3 = 0.02 az egyes ´evekben val´o hozamokat ´atlagolva.
(0.75·0.04+0.25·−0.10) 3
A portf´ oli´ o kock´ azata : q 2 2 +(0.02−0.005)2 D(rp ) = (0.02−0.025) +(0.02−0.03) ≈ 0.019 3 A befektet´esek ´ atlagos kock´ azata: 0.75 · 0.036 + 0.25 · 0.164 = 0.068 ⇒ a diverzifik´ aci´ o cs¨ okkenti a kock´ azatot
=
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Portf´oli´o probl´ema – p´elda 1. ´ev
2. ´ev
3. ´ev
Ingatlan
0.05
-0.03
0.04
´ ekpap´ır Ert´
-0.05
0.21
-0.10
Kovariancia : k´et f¨ uggetlen (v´eletlen) v´altoz´ o (line´aris) egy¨ uttmozg´as´anak m´ert´eke: + (0.02+0.03)·(0.02−0.21) + Ci,e = (0.02−0.05)·(0.02+0.05) 3 3 (0.02−0.04)·(0.02+0.10) = −0.005 + 3 Korrel´ aci´ o : normaliz´alt kovariancia ρi,e =
−0.005 0.036·0.164
= −0.84
−1 ≤ ρ ≤ 1 ρ > 0 azonos ir´any´ u egy¨ uttmozg´as ρ = 0 nincs egy¨ uttmozg´as (∼ f¨ uggetlens´eg, de 6= f¨ uggetlens´eg) ρ < 0 ellent´etes ir´any´ u egy¨ uttmozg´as
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Portf´oli´o probl´ema – p´elda
1. ´abra. Coca-Cola ´es Procter&Gamble r´eszv´enyek ´arfolyama ´arfolyama 1990-ben
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
Portf´oli´o probl´ema – Markowitz-modell Mindez ´ altal´ anosan : (r1 , r2 , . . . , rn ) a portf´ oli´ oban l´ev˝ o r´eszv´enyek x = (x1 , x2 , . . . , xn ) az egyes befektet´esek ar´anya a portf´oli´oban Pn es xi ≥ 0(∀i) i=1 xi = 1 ´ Kock´azat: variancia (sz´ or´asn´egyzet a sz´ or´as helyett) Kovariancia m´atrix: a r´eszv´enyek hozamainak p´aronk´enti kovarianci´ait tartalmaz´o m´atrix C11 C12 · · · C1n C21 C22 · · · C1n C= . .. .. .. .. . . . Cn1 Cn2 · · · Cnn Cii = D2 (ri ) = Var(ri )
CAPM modell
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Portf´oli´o probl´ema – Markowitz-modell
A portf´oli´o kock´azata: X X n n X n Var E(ri )xi = Cij xi xj = xT Cx i=1
i=1
j=1
Hat´ ekony portf´ oli´ o : hozama nem n¨ ovelhet˝ o a kock´azat´anak n¨oveked´ese n´elk¨ ul, illetve kock´azata nem cs¨ okkenthet˝ o a v´arhat´o hozam´anak cs¨okken´ese n´elk¨ ul A hat´ekony portf´oli´o egyfajta optimum: adott hozam mellett minim´alis kock´azat adott kock´azat mellett maxim´alis hozam
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Portf´oli´o probl´ema – Markowitz-modell Legyen R egy elv´ art minim´ alis hozamszint. Fel´ırhat´o egy kvadratikus programoz´asi feladat: n X
E(ri )xi ≥ R
i=1 n X
xi = 1
i=1
xi ≥ 0
i = 1,2, . . . , n
min xT Cx Azaz minimaliz´ aljuk a kock´ azatot egy elv´ art hozam el´ er´ ese melett. A feladat egy megold´as´at optim´alis portf´ oli´ onak nevezz¨ uk.
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Portf´oli´o probl´ema – Markowitz-modell
N´eh´any megjegyz´es: kvadratikus c´elf¨ uggv´eny˝ u optimaliz´al´asi feladattal nem foglalkoztunk k¨ ul¨on vannak hat´ekony algoritmusok a megold´as´ara m´asik neh´ezs´eg: C m´atrix elemeinek sz´am´ıt´asa (becsl´ese a m´ ult alapj´an) helyette ut elt´er´es P haszn´alhatjuk pl. az ´atlagos abszol´ E(| i (ri − E(ri ))xi |) maximaliz´al´as´at 1
1
ha r = (r1 , . . . , rn ) t¨ obbv´ altoz´ os norm´ alis eloszl´ ast k¨ ovet, akkor a k´et m´ odszer ekvivalens
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
MAD modell
Mean Absolute Deviation Konno ´es Yamazaki ´altal kidolgozott modell a megfigyelt adatokat k¨ ozvetlen¨ ul haszn´ alja fel ´es elker¨ uli E(ri ) ´es C kisz´am´ıt´as´at Legyen T megfigyel´es¨ unk az n befektet´esre ´es jel¨olje rit az i. befektet´es hozam´anak t-edik megfigyel´es´et Vezess¨ uk be az al´abbi jel¨ ol´eseket ri =
T 1X rit ´es ait = rit − ri T t=1
azaz az ´atlagos megfigyelt hozam, ´es az egyes megfigyel´esek elt´er´ese az ´atlagt´ol.
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
Portf´oli´o probl´ema – MAD modell
A k¨ovetkez˝o optimaliz´ al´ asi feladat ´ırhat´ o fel : n X
ri xi i=1 n X
≥R
xi = 1
i=1
xi ≥ 0 n T 1 X X min ait xi T t=1 i=1
A feladat nem LP, de azz´a alak´ıthat´ o!
i = 1,2, . . . , n
CAPM modell
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
Portf´oli´o probl´ema – MAD modell MAD modell LP-re ´at´ırva : n X ait xi ≥ −yt
t = 1,2, . . . , T
i=1 n X
ait xi ≤ yt
i=1 n X
ri xi i=1 n X
t = 1,2, . . . , T
≥R
xi = 1
i=1
xi ≥ 0
i = 1,2, . . . , n
yt ≥ 0
t = 1,2, . . . , T
T 1X min yt T t=1
CAPM modell
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
Portf´oli´o probl´ema – szemi-MAD modell
A MAD modell jav´ıthat´ o A t. id˝opontban a portf´ oli´ o becs¨ ult el˝ ojeles elt´er´ese a v´arhat´o hozamt´ol n n X X ait xi = (rit − ri )xi i=1
i=1
A pozit´ıv elt´er´es kedvez˝ o A negat´ıv elt´er´es a probl´em´as
Vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝ o jel¨ ol´est x, x ≤ 0 − x = 0, x > 0 azaz a sz´am negat´ıv r´esze
CAPM modell
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
Portf´oli´o probl´ema – szemi-MAD modell
A portf´oli´o optimaliz´ al´ as fel´ırhat´ o a k¨ ovetkez˝ o alakban n X
ri xi i=1 n X
≥R
xi = 1
i=1
xi ≥ 0
i = 1,2, . . . , n
− T n 1 X X min ait xi T t=1 i=1
Az LP-v´e alak´ıt´as m´eg egyszer˝ ubb, mint a MAD eset´eben !
CAPM modell
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
Portf´oli´o probl´ema – szemi-MAD modell A semi-MAD modell LP-re ´at´ırva : n X
ait xi ≥ −yt
i=1 n X
ri xi i=1 n X
t = 1,2, . . . , T
≥R
xi = 1
i=1
min
yt ≥ 0
t = 1,2, . . . , T
xi ≥ 0
i = 1,2, . . . , n
T 1X yt T t=1
CAPM modell
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Portf´oli´o probl´ema – MAD vs. szemi-MAD
N´eh´any megjegyz´es: A k´et m´odszer nagyj´ab´ ol ekvivalens, ha az optim´alis portf´oli´ok hozamainak eloszl´asa k¨ ozel szimmetrikus ...ez nem sz¨ uks´egszer˝ uen van ´ıgy... ...ez´ert a szemi-MAD hasznosabbnak t˝ unik, mert a v´arhat´o sz´am´ıt´asi id˝o r¨ovidebb
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
CAPM modell Capital Asset Pricing Model2 = T˝ okepiaci eszk¨oz¨ok ´araz´as´anak modellje A modell alapfelt´ etelez´ esei:
2
1
T¨ ok´ eletes verseny (∼ nincsenek start´egiai l´ep´esek az ´arfolyamok megv´altoztat´as´ara)
2
K¨ olts´egmentes ´es azonnali inform´aci´ o´araml´as
3
Nincsenek ad´ ok ´es tranzakci´ os k¨ olts´egek
4
Egyperi´ odusos modell
5
A befektet˝ ok kock´ azatker¨ ul˝ ok, azonos az inform´aci´ohalmazuk
6
Csak (korl´atlanul oszthat´ o) p´enz¨ ugyi eszk¨ oz¨ ok (∼ r´eszv´eny, k¨otv´eny)
7
Mindenki sz´am´ara azosan el´ erhet˝ o kock´ azatmentes kamatl´ ab (∼ alapkamat)
Treynor, Sharpe (Nobel d´ıj), Lintner, Mossin
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
Legyen a kock´ azatmentes kamatl´ab rf egy glob´alis piaci (kock´ azatos) kamatl´ab rm egy ri r´eszv´eny (kock´ azatos) v´arhat´ o hozama E(ri ) Sharpe : l´etezik egy β mennyis´eg u ´gy, hogy E(ri ) − rf = β(E(rm ) − rf ) ahol β=
Cri ,rf E(ri rf ) − E(ri )E(rf ) = Var(rf ) E(rf2 ) − (E(rf )2
E(ri ) − rf : kock´azati pr´emium E(rm ) − rf : piaci pr´emium
CAPM modell
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell Ha β = 0, akkor E(ri ) = rf Ha β = 1, akkor E(ri ) = E(rm ) E(ri ) a β line´aris f¨ uggv´enye : E(ri ) = rf + β(E(rm ) − rf ) Mi a kock´ azat ? Sz´amoljuk ki Var(ri )-t. Legyen ε = ri − E(ri ) − β(rm − E(rm )) L´athat´o, hogy E(ε) = 0, tov´abb az is, hogy Crm ,ε = 0 (hf.) Kapjuk, hogy ri − E(ri ) = β(rm − E(rm )) + ε ahol a jobboldali ¨osszeg k´et tagja korrel´ alatlan.
CAPM modell
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
CAPM modell
A korrel´alatlans´ag miatt Var(ri ) = β 2 Var(rm ) + Var(ε). Itt β 2 Var(rm ) a szisztematikus (elker¨ ulhetetlen) kock´azat Var(ε) alkalmi (diverzifik´alhat´ o) kock´azat Azaz β tulajdonk´eppen a rendszerszint˝ u, vagy piaci kock´ azat´ at m´ eri az adott r´ eszv´ enynek. β a m´ ultbeli adatokb´ol, az ´atlag, a variancia ´es a kovariancia szok´asos” ” statisztikai becsl´eseivel sz´amolhat´ o
Diverzifik´ aci´ o
Markowitz-modell
MAD modell
CAPM modell
2. ´abra. A β ´es az u ´n. security market line” ”
CAPM modell
