y.a c.i d BAB 4
ANALISIS STRUKTUR BALOK
4.1. Kekakuan Balok (Beam)
un
Struktur beam merupakan suatu sistem struktur yang merupakan gabungan dari sejumlah elemen (batang) yang lurus (a = 0) di mana pada setiap titik simpulnya dianggap berperilaku sebagai jepit dan setiap
do do @
elemennya dapat menerima gaya berupa gaya aksial, geser dan momen lentur. Pembahasan dalam bab ini hanya dipelajari struktur balok yang tidak menerima pengaruh (beban) aksial.
Y
X
sw i
Gambar 4.1. Struktur Beam
Sumbu X-Y adalah sistem koordinat global struktur, yang nantinya diacu semua elemen. Sedangkan sumbu Z tegak lurus terhadap bidang gambar (mengarah pembaca) mengikuti kaidah tangan kanan, sehingga
ail :
terbentuk sistem koordinat yang mengikuti right-handed rule. Sumbu x-y merupakan sistem koordinat lokal elemen, yang hanya berlaku untuk satu
elemen tertentu saja, yang orientasinya disesuaikan dengan arah elemen
em
yang bersangkutan. Setiap elemen balok selalu memiliki dua nodal (titik simpul) ujung.
Ujung awal elemen diberi notasi nodal i sedangkan ujung lainnya diberi
notasi j. Pusat sumbu lokal elemen adalah nodal i , dan arah sumbu x lokal
41
y.a c.i d
positif selalu dibuat dari nodal i ke nodal j dari elemen tersebut. Sumbu y lokal dibuat tegak lurus sumbu x, sedangkan sumbu lokal arah z dibuat
searah dengan sumbu Z global dan tegak lurus terhadap bidang struktur (bidang X-Y).
Orientasi elemen secara global dapat dikenali berdasarkan sudut α,
yang dibuat oleh sumbu x lokal dari elemen yang ditinjau dengan sumbu
un
X global dari struktur. Sudut α diberi tanda positif berdasarkan kaidah
tangan kanan (right-handed rule), yaitu diukur dari sumbu X global berputar menuju sumbu x lokal dengan poros sumbu Z positif.
do do @
Selanjutnya karena semua elemen tersusun segaris (lurus), seperti terlihat pada gambar 4.1, maka sudut transformasi (α) akan bernilai nol. Hubungan antara aksi dan deformasi pada elemen balok secara umum dapat diformulasikan dengan orientasi sumbu lokalnya sebagai berikut :
Konvensi Arah Tanda Positif ui, fi
sw i
vi, gi
vj, gj uj, fj
θi , m i
θj , m j
em
ail :
Transalasi Melintang (satu satuan)
mi = m j =
6 EI
gi = − g j =
L2 12 EI L3
42
y.a c.i d
mi = m j = −
6 EI L2
gi = − g j = −
L3
un
Rotasi Akibat Lentur (satu satuan)
12 EI
2 EI ; L
do do @
mi =
gi = − g j =
mi =
4 EI ; L
gi = − g j =
mj =
4 EI L
6 EI L2
mj =
2 EI L
6 EI L2
sw i
Gambar 4.2. Hubungan Aksi-Deformasi pada Elemen Beam Persamaan hubungan antara aksi dan deformasi elemen balok dalam sistem koordinat lokal yang diperoleh berdasarkan prinsip superposisi
ail :
dapat diuraikan sebagai berikut : 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI gi = .v + .θ + − .v + .θ 3 i 2 i 3 j 2 j L L L L
em
6 EI 6 EI 4 EI 2 EI mi = .v + .θ i + − 2 .v j + .θ j 2 i L L L L 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI g j = − .vi + − .θ i + .v j + − .θ j L3 L2 L3 L2
43
di mana :
y.a c.i d
6 EI 6 EI 2 EI 4 EI m j = .v + .θ i + − 2 .v j + .θ j 2 i L L L L
(4.1)
: sumbu batang
x, y
: sistem koordinat lokal (elemen)
vi
: displacement arah tegak lurus sumbu batang pada nodal i
θi
: rotasi pada titik nodal i
gi
: gaya tegak lurus sumbu batang pada titik nodal i yang sesuai dengan vi
: momen lentur pada titik nodal i yang selaras dengan θi
do do @
mi
un
x
Persamaan hubungan aksi-deformasi yang ditunjukkan Persamaan (4.1) dapat dinyatakan dalam bentuk matrix :
gi 6 L − 12 6 L vi 12 m 6 L 4 L2 − 6 L 2 L2 θ i EI . i = 3 g j L − 12 − 6 L 12 − 6 L v j 2 m j − 6 L 4 L2 θ j 6L 2L
(4.2)
sw i
sehingga diperoleh matrix kekakuan elemen lokal sebagai berikut :
ail :
6 L − 12 6 L 12 6 L 4 L2 − 6 L 2 L2 . [ki ] = EI3 L − 12 − 6 L 12 − 6 L 2 − 6 L 4 L2 6L 2L
(4.3)
4.2. Beban Sepanjang Elemen balok (Element Loads) Analisis struktur dengan metode matrix kekakuan mensyaratkan
bahwa beban yang bekerja harus berada tepat di titik simpul, sehingga
em
dapat
disusun
sistem
persamaan
kekakuan
struktur.
Dalam
kenyataannya, struktur balok maupun portal pada umumnya juga menerima beban yang bekerja di sepanjang bentang elemen struktur (element load). Agar dapat dibentuk persamaan kekakuan struktur, maka 44
y.a c.i d
beban-beban yang berupa element load harus dipindahkan menjadi beban setara yang bekerja di dua nodal dalam elemen yang bersangkutan. Beban setara pada dua titik nodal akibat adanya beban yang bekerja di sepanjang
bentang elemen disebut sebagai equivalent joint load, di mana kasus yang sering dijumpai berikut cara perhitungannya disajikan pada Tabel 4.1.
Apabila semua komponen equivalent joint load yang dibutuhkan
un
telah terhitung, maka sekarang semua beban telah terletak di titik nodal dalam sistem struktur, selanjutnya dapat dibentuk sistem persamaan kekakuan struktur total dalam orientasi sumbu global sebagai berikut :
di mana;
do do @
{F } = [K s ]{D} − {F0 }
(4.4)
{F0 } : vektor beban berupa equivalent joint load.
{F0i } = [T ]T { f 0i }
{F }
: vektor beban yang berupa nodal load.
[K s ]
: Matrix Kekakuan Struktur Total.
{D}
: vektor displacement sumbu global.
selanjutnya sistem persamaan kekakuan elemen struktur dalam orientasi
sw i
sumbu lokal dinyatakan dalam persamaan berikut :
{ fi } = [ki ]{di } − { f 0i } atau
(4.5)
{ f i } = [Ti ][K i ]{Di } − [Ti ]{F0i }
em
ail :
di mana;
{ fi }
: gaya dalam elemen (sumbu lokal).
{ f 0i } : vektor beban yang berupa equivalent joint load (sumbu lokal).
[ki ]
: matrix kekakuan elemen lokal.
{di }
: vektor displacement elemen sumbu lokal.
[Ki ]
: matrix kekakuan elemen global.
[Di ]
: vektor displacement elemen sumbu global.
[Ti ]
: matrix transformasi elemen.
45
Tabel 4.1. Beban Titik Ekuivalen No. 1.
2.
3.
4.
5.
f1y
− PL 8
− Pb 2 ( L + 2a )
− Pab 2
L3
L2
−P
− α (1 − α )PL
− 7wL 20
− wL 4
li :
P
− wL2 20
− 5wL2 96
@ o
b
d o id
w s
− wL 12
−P 2
L/2
a
2
− w.L 2
n u
P L/2
P
P
aL
aL
w L w L
m2 PL 8
− Pa 2 ( L + 2b)
Pa 2b
L3
L2
−P
α (1 − α )PL
− w.L 2
wL2 12
− 3wL 20
wL2 30
− wL 4
5wL2 96
w
L
a . y
f2y
Kasus Pembebanan
−P 2
a m e 6.
m1
d i . c
46
y.a c.i d
4.3. Contoh Penerapan
Contoh 4.1 : Suatu struktur balok kantilever sepanjang l = 10 ft seperti ditunjukkan pada Gambar 4.3, menerima beban merata
searah gravitasi sebesar w = 1800 lb/ft di sepanjang batang.
Tentukan besarnya displacement ke arah X dan Y serta besarnya gaya dalam pada masing-masing nodal, jika
un
diketahui nilai Elastisitas (E) = 3x107 psi dan inersia
Y
do do @
tampang (I) = 200 in4.
w
X
l
wl 2 12
sw i
wl 2
wl 2
wl 2 12
Dalam kasus ini hanya terdapat satu elemen balok, sehingga matrix kekakuan struktur global dapat disusun sebagai berikut :
em
ail :
ϑ1 D2 y θ2 D1 y 12 6 L − 12 6 L [K s ] = EI3 6 L 4L2 − 6 L 2 L2 L − 12 − 6 L 12 − 6 L 6 L 2 L2 − 6 L 4 L2
(4.6)
mengingat nodal 1 merupakan tumpuan jepit, maka kondisi batas
(boundary conditions) yang dapat diterapkan dalam kasus ini adalah : D1X = 0
dan
θi = 0
47
y.a c.i d
sehingga diperoleh sistem persamaan kekakuan struktur yang telah direduksi dalam bentuk sebagai berikut :
{F } + {F }0 = [K s ]{D} F2 y F2 y EI 12 − 6 L D2 y + = 3 2 M 2 M z 0 L − 6 L 4 L θ 2
(4.7)
un
{F }0 merupakan vektor equivalent joint load
di mana
Persamaan di atas dapat diselesaikan untuk memperoleh besaran D2X dan
θ2 sebagai berikut : 4 L2 6 L
atau; D2 y L = θ 2 6 EI
2 L2 3L
− wL 6 L 2 2 12 wL 12
do do @
D2 y 1 L3 . = 2 θ 2 12 L EI
− wL 3L 2 2 6 wL 12
(4.8)
sehingga diperoleh :
sw i
− wL4 − (1800 / 12)(10 x12) 4 − 0,648 inchi 7 D2 y 8 EI 8 x 3 x 10 x 200 = = = − 0,0072 rad 3 3 θ 2 − wL − (1800 / 12)(10 x12) 7 6 EI 6 x3 x10 x 200
(4.9)
ail :
Gaya dalam pada setiap titik nodal dapat dihitung menurut persamaan berikut :
{F } = [K s ]{D} − {F }0
em
atau;
48
y.a c.i d
ϑ1 D2 y θ 2 0 D1 y F1 y F1 y 12 6 L − 12 6 L 0 4 M 1 EI − wL M1 2 2 6L 4L − 6L 2L = − F2 y L − 12 − 6 L 12 − 6 L 8 EI F2 y − wL3 M M 2 2 0 6 L 2 L2 − 6 L 4 L2 6 EI
(4.10)
(4.11)
18000 lb F1 y M 1080000 lb.in 1 = F 2y 0 M 2 0
(4.12)
do do @
un
wL − wL 2 2 F1 y 5wL2 − wL2 wL2 (1800 / 12) x(10 x12) wL (1800 / 12) x(10 x12) 2 M 1 12 12 = − wL − − wL = 2 = 2 F2 y 0 0 M 2 2 2 0 0 wL2 wL2 12 12
em
ail :
sw i
di mana F1y dan M1 merupakan reaksi pada tumpuan jepit di nodal 1.
49
