KALKULUS 1 Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail :
[email protected]
Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company. 2. Yusuf Yahya, D. Suryadi H. S. Dan Agus S, Matematika untuk Perguruan Tinggi, Gahlia Indonesia. 3. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Penerbit Erlangga
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
1 FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
1. Pengertian Fungsi Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunanan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut. Pandang himpunan A dan B. R adalah suatu cara yang menghubungkan elemen A dengan elemen B. Dikatakan terdapat suatu relasi R antara A dan B. Misalkan f suatu relasi antara A dan B dengan sifat f menghubungkan setiap elemen A, dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A → B Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B Contoh : a) Misalkan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} Definisikan suatu fungsi f : A → B sebagai berikut : a → 1, b → 3,c → 2, d → 3 atau f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 3
Gambarnya : Dikatakan bahwa peta dari a adalah a
1
b
2
c
3
1 atau a merupakan prapeta dari 1.
Fungsi dapat ditulis : F = {(a, 1), (b, 3), (c, 2), (d, 3)}
d
A
KALKULUS 1
B
BY: SRI ESTI
b) Yang berikut ini bukan fungsi (merupakan relasi biasa) a
1
a
1
b
2
b
2
c
3
c
3
d
A
d
B
A
B
Tidak semua elemen dari A
Ada elemen A yang
dihubungkan dengan elemen B
dihubungkan dengan lebih dari satu elemen B
c) Misalkan f menghubungkan setiap bilangan riil dengan kuadratnya. Jelaskan f : R → R suatu fungsi himpunan bilangan riil R ke himpunan bilangan riil R antara lain : f(o) = 0, f(1) = 1, f(1 1/2) = 21/4, f(√2) = 2, f(-1) = 1, dll. Untuk menyatkan fungsi riil kita dapat mencari rumus umumnya. Jadi secara singkat f dapat ditulis : f(x) = x2 atau y = x2 atau dapat ditulis f = { (x, y), y = x2, x riil) Latihan soal : 1. Dari relasi berikut, manakah yang merupakan fungsi : a) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} b) {(1, 2), (1, 3), (2, 4)} c) {(x, y)│y = 2x +4} d) {(x, y)│x + y2 = 1} e) {(x, y)│y + x2 = 1} f) {(x, y)│(x – 2)2 – y2 = 4} g) {(x, y)│x + 1/y = 7} h) {(x, y)│x =│y│}
2. Diketahui A = {0, 1, 2, 3} merupakan daerah definisi dari fungsi-fungsi dengan rumus berikut. Tuliskan fungsi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan terurut. a) f(x) = x2 KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
b) g(x) = 2x c) h(x) = 2x d) j(x) = 1
3. Dari relasi dibawah ini mana yang merupakan fungsi : a) {(1, 1)} b) {(1, 1), (1, 2) c) {(-2, 2), (2, 2), (3, -2), (-2, 3)} d) {(a, b), (1, b), (2, 2), (b, 1)}
2. Daerah Definisi dan Daerah Nilai Pandang suatu fungsi f : A → B.
Himpunan A disebut daerah definisi
(domain) dari f, ditulis A = Df. Himpunan B disebut codomain dari f. Rf ={ y│y = f(x), x ϵ A}. Suatu himpunan bagian dari B merupakan himpunan semua peta dari f. Himpunan Rf disebut daerah nilai (range) dari fungsi t. Pada diagram panah berikut :
Himpunan A = {1 , 2 , 3 } dinamakan Domain / daerah asal Himpunan B = { a , b , c } dinamakan Kodomain / daerah kawan Himpunan { a , b } dinamakan Range / daerah hasil Pemasangan yang terjadi oleh fungsi f adalah : Fungsi f memetakan semua anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B,yaitu : f:1→b f:2→a f:3→b
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
Notasi dan Rumus Fungsi Jika suatu fungsi f memetakan setiap x anggota himpunan A ke y anggota himpunan B, maka dapat ditulis dengan notasi fungsi yaitu: f : x → y Fungsi f seperti dalam notasi tersebut di atas dapat juga dituliskan rumus fungsinya, yaitu: f(x) = y
Contoh : Diketahui himpunan A = { 1, 2, 3 } dan B = { 4, 5, 6,7,8 }. Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B. a. Nyatakan fungsi tersebut dengan diagram panah b. Nyatakan notasi fungsi tersebut c. Nyatakan rumus fungsi tersebut d. Nyatakan daerah asal e. Nyatakan daerah kawan f. Nyatakan daerah hasil Jawaban : Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B. a. diagram panah 4 1 2 3
5 6 7 8
A
B
b. notasi fungsi adalah f : x → x + 4 c. rumus fungsi adalah f (x) = x + 4 d. daerah asal adalah { 1, 2, 3 } e. daerah kawan adalah { 4, 5, 6, 7, 8 } f. daerah hasil adalah { 5, 6, 7 }
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
P = Himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, …} N = Himpunan bilangan asli = {1, 2, …} Z = Himpunan bilangan bulat = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Q = Himpunan bilangan rasioanal (bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan
b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0) R = Himpunan bilangan riil (bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri). Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, atau
bilangan
yang
bukan
bilangan
rasional.
Contohnya : √2, √3, √5 C = Himpunan bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a + bi)
Contoh : a) f : R →R dimana x → x2. Maka Df = R, sedangkan Rf = {y│y ≥ 0} = himpunan bilangan nonnegatif. b) Diketahui suatu fungsi riil dengan rumus f(x) = y = √1-x2 Maka Df = { x│1-x2 ≥ 0} atau interval -1 ≤ x ≤ 1 Rf = { y│0 ≤ y ≤ 1}, karena harga dibawah tanda akar harus ≥ 0. Grafik f merupakan setengah lingkaran diatas sumbu x, pusat (0, 0), jarijari 1 Latihan Soal : 1. Carilah Df dan Rf dari fungsi berikut : a) {(1, 1)} b) {(a, b), (1, b), (2, 2), (b, 1)} c) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} d) {(1, 2),(2, 4), (3, 3), (4, 4)}
2. Carilah Df dari a) f(x) = √ b) f(x) = c)
KALKULUS 1
√
√| |
√
BY: SRI ESTI
3. Jika diketahui a. f(0)
, tentukan:
b. f(-1) c. f(2a) d. f(1/x) e. f(x+h)
4. Jika f(x) = 24, tunjukkan bahwa: a. f(x+3) – f(x-1) = b.
5. Tentukan domain dari fungsi-fungsi: a.
√
b.
√
c. d. e.
6. Untuk f(x) = 3x3 + x, hitunglah masing-masing nilai. a. F(-6)
d. F(1/2)
b. F(3,2)
e. F(√ )
c. F( )
f. F(1/x)
3. Grafik Fungsi Suatu fungsi dapat digambar grafiknya dengan cara menggambar pasanganpasangan terurut dari fungsi tersebut. Contoh : a)
B
c)
3 2 1
a
b
c
d
A
f = {(a, 1), (b, 3), (c, 2), (d, 3)}
KALKULUS 1
y
-1
1
x
Y = x2
BY: SRI ESTI
Grafik hanya pada interval tertentu Contoh : a) Grafik y = x2 pada -1 ≤ x ≤ 2 y 4
x
b) Grafik y ={
y
Untuk x ˂ o grafik berbentuk garis lurus sedangkan untuk x ≥ o grafik berbentuk parabola
4
0
x
2
Grafik yang mengandung harga mutlak Untuk menggambarnya kita ingat definisi harga mutlak sebagai berikut: | |
{
Contoh : a) Grafik y = | | { y
x
0
b) Grafik
|
|
{
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
y
4
o |
c)
|
2
|
4
x
| |
Misalkan y = y1 + y2 di mana
|,
|
|
{
{
–
Daerah terdefinisi terbagi 3 interval yaitu : x < -1, -1 ≤ x < 1, x ≥ 1 Untuk
x < -1
: y = (-x – 1) + (-x + 1) = -2x
-1 ≤ x < 1
: y = (x + 1) + (-x + 1) = 2
x≥1
: y = (x + 1) + (x - 1) = 2x
y 2
-1
0
1
x
Latihan Soal : a. Gambarlah grafiknya : 1) y = { 2)
KALKULUS 1
{
BY: SRI ESTI
3)
{
4)
{
5)
{
6)
|
7)
|
8)
|
9)
|
10)
|
| |
|
|
| | |
| |
b. Gambarlah grafik-grafik dari fungsi-fungsi berikut, dan tentukan domain dan rangenya: 1) f(x) = -x2 + 1 2)
{
3) 4) 5)
√
4. Bentuk Fungsi a) Fungsi Eksplisit Kalau rumus suatu fungsi ditulis dengan y dinyatakan secara langsung oleh x : y = f(x), dimana variabel y dan x terpisah pada ruas kiri dan kanan, maka fungsi disebut berbentuk eksplisit. Contoh : y = x2 + 3x -2 y = -3x3 + cos x y = x ex, dll.
b) Fungsi Implisit Adalah suatu fungsi dimana variabel y dan x terdapat dalam satu ruas.
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
Contoh : yx2 + 3x = 4 sin (x + y) = e-2x2y + xy, dll. Suatu fungsi implisit kadang-kadang sukar (bahkan tidak bisa) diubah ke bentuk eksplisit. Untuk mempermudah kita sebut saja fungsi berharga banyak. Contoh : 3x – 2y2 + 4 = 0 Y2 = 11/2x + 2 Bentuk ini bukan fungsi, hanya relasi biasa, karena misalnya untuk x = 4 → y = ±√8. Bentuk ini kita sebut fungsi berharga dua. Contoh lainnya fungsi berharga dua : x2 + y2 = 9 y2 - 4x2 =16 y2 = 4
c) Fungsi Parameter y = f(x) dinyatakan dalam parameter t sebagai : {
, yang mana pelenyapan t menghasilkan y = f(x)
Contoh :
{ → x2 + y2 = 9 sin2 t + 9 cos2 t = 9 (sin2 t + cos2 t) x2 + y2 = 9, pusatnya (0, 0), jari-jarinya 3
{ Dari persamaan pertama t = 1/2x yang disubstitusikan ke persamaan kedua y = 4(1/2x)2 – 3 (1/2x)
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
y = x2 - 11/2x ; suatu parabola Fungsi kadang-kadang lebih mudah dinyatakan dalam bentuk parameter. Beberapa contoh fungsi dalam bentuk parameter : Sikloida Kalau suatu lingkaran berjari-jari sama dengan a dijalankan diatas sumbu x; suatu titik pada roda akan menjalani lintasan berupa sikloida. Persamaannya adalah : { y 2a
0
x = πa t=π
x = 2πa t = 2π
x
Hiposikloida Kalau sebuah lingkaran dijalankan pada tepi dalam lingkaran lain yang lebih besar (jari-jat=ri a), terjadi sutu hiposikloida. Bila a = 4b, persamaaan berbentuk : {
KALKULUS 1
atau disebut Astroida
BY: SRI ESTI
Latihan Soal : 1. Jika f(x) = x2 -4x + 6, tentukan : a) f(0) b) f(3) c) f(-2) Tunjukkan bahwa f(1/2) = f(7/2) dan f(2-h) = f(2 +h) 2. Jika
, tentukan
a) f(0) b) f(1) c) f(-2) Tunjukkan bahwa f(1/x) = -f(x) dan -f(1/x) = 3. Ubah ke bentuk biasa persamaan-persamaan berikut : a) { b) { c) { d) {
5. Jenis Fungsi Beberapa jenis fungsi riil : a) Fungsi Linier Fungsi linier adalah fungsi berderajat satu y = f(x) = ax + b Contoh : y = 6x + 5 y = 10x y = 2x – 9
b) Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi berderajat dua
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
y = f(x) = ax2 + bx +c Contoh : y = 3x2 + 2x + 1 y = x2 - 7x - 8 y = 2x2 + x – 5
c) Fungsi Polinom Fungsi polinom adalah fungsi berderajat n y = f(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an Dimana : a1 = bilangan riil a0 ≠ 0 n = bilangan bulat positif Contoh : f(x) = 5x3 – 6x2 +2x – 8 adalah polinom berderajat 3 g(x) = 7x5 – 8x + 12 adalah polinom berderajat 5 h(x) = x4 + 3x3 – 2x + 9 adalah polinom berderajat 4
d) Fungsi Rasional Bentuk umum fungsi rasional adalah f x=
dengan p(x) dan q(x)
merupakan fungsi polinom. Fungsi rasional f(x) tidak terdefinisi pada nilai x yang menyebabkan penyebut sama dengan nol atau q(x) = 0. Sedangkan pembuat nol dari pembilang atau p(x) tetapi bukan pembuat nol penyebut merupakan pembuat nol dari fungsi rasional f(x).
e) Fungsi Aljabar Fungsi aljabar adalah fungsi f(x) yang memenuhi persamaan berbentuk : p0(x)yn +p1(x)yn-1+ ... + pn-1(x)y + pn(x) = 0 Dimana : pi(x) suatu polinom dalam x
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
Contoh : Tunjukkan bahwa f(x) = x + √
adalah fungsi aljabar
Penyelesaian : F(x) = y = x + √ y–x=√ y2 -2xy + x2 = x –x2 y2 -2xy + (2x2 – x) = 0 → merupakan bentuk diatas, jadi benar fungsi aljabar
f) Fungsi Transenden Merupakan fungsi yang bukan fungsi alajbar : 1. Fungsi Eksponensial f(x) = ax , a ≠ 0, 1
2. Fungsi Logaritma F(x) = alog x, a ≠ 0, 1 Jika a = e = 2,71828 Kita tulis f(x) = elog x = ln x disebut logaritma natural dari x Bila y = ln x maka ey = x
3. Fungsi Trigonometri Sin x, cos x, tg x =
,
,
,
Variabel x biasanya dinyatakan dalam radian (π radian = 180o)
Beberapa sifat dari fungsi trigonometri :
KALKULUS 1
sin2 x + cos2 x = 1
tg2 x + 1 = sec2 x
ctg2 x + 1 = cosec2 x
sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos (x ± y) = cos x cos y ± sin x sin y
tg (x ± y) =
sin (-x) = - sin x
BY: SRI ESTI
cos (-x) = - cos x
tg (- x) = - tg x
sin (
-x) = cos x
cos (
-x) = sin x
tg (
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2x –sin2x = 2 cos2x - 1 = 1- 2 sin2 x
-x) = ctg x
Sin x + sin y =
cos x + cos y =
sin x sin y = -½ [cos (x + y) – cos (x – y)]
cos x cos y = ½ [cos (x + y) + cos (x – y)
sin x cos y = ½ [sin (x + y) + sin (x – y)]
(
) (
)
( (
) )
Fungsi siklometri (fungsi invers trigonometri) :
y = arc sin x artinya x = sin y sehingga bila x = 1/2 → y = arc sin 1/2 = π/6 (harga utama –π/2 ≤ y ≤ π/2)
y = arc cos x (harga utama 0 ≤ y ≤ π)
y = arc tg x (harga utama –π/2 < y < π/2)
y = arc ctg x = π/2 – arc tg x (harga utama 0 < y < π)
y = arc sec x = arc cos 1/x (harga utama 0 ≤ y ≤ π)
y = arc cosec x = arc sin 1/x (harga utama –π/2 ≤ y ≤ π/2)
Beberapa sifat :
KALKULUS 1
arc sin x + arc cos x =π/2
arc tg x + arc ctg x = π/2
arc sin x = arc cos √
arc tg x = arc ctg 1/x
BY: SRI ESTI
KETERANGAN : td artinya tidak terdefinisi atau tidak memiliki nilai Contoh : 1. cos (arc sin √3/2) = cos 60 = ½ 2. sin (arc tg -√3) = sin (120) = sin 120 = 1/2 √3 3. ctg (arc tg √3) = ctg 60 =
√
√
Latihan soal : 1. tg (
)
7. Tg (
2. sec π
8. Ctg (
3. sec
9. Tg ( -
4. cosec (
KALKULUS 1
)
) )
10. Sec
5. ctg(
)
11. Cosec (
6. tg (-
)
12. Cos
BY: SRI ESTI
Buktikan ! 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. (1 – cos2 x) (1 + ctg2 x) = 1 12. Sin t (cosec t – sin t) = cos2 t 13. 14. 15. 16.
KALKULUS 1
= sec2t = cosec2t
BY: SRI ESTI
