No title

SPŠ a VOŠ KLADNO

MECHANIKA I. - STATIKA

5. Prutové soustavy /příhradové nosníky/ - nosné konstrukce mostů, jeřábů, stožárů, střech, letadel apod. - skládají se z prutů spojených nýty, šrouby nebo svary v kloubech – styčnících Výhody – oproti plným nosníkům mají při stejné únosnosti menší hmotnost (úspora materiálu)

5.1. Základní pojmy Pruty označujeme čísly, styčníky písmeny velké abecedy.

osamělá síla

prut

F1

C

3

FA

8 7

5

2

F3

G

4 1

A

F2

E

11

9 10

6

F

D

FB

styčník

pevná podpěra (kloub)

B

volná podpěra

Vnější síly - F1 , F2 ,...FA , FB (působí na konstrukci z vnějšku z jiných těles) Vnitřní (osové) síly - S1 , S2 ,..., Sn (síly v prutech) Vnější síly (včetně reakcí v uložení) se na soustavu přenášejí ve styčnících. Vyvolávají v ose prutů síly vnitřní, osové Prutové soustavy mohou být rovinné nebo prostorové (viz příloha)

1

SPŠ a VOŠ KLADNO


Statická a tvarová určitost prutových soustav Soustava je staticky určitá, je-li počet neznámých veličin (síly v prutech a složky vnějších reakcí) roven počtu rovnovážných rovnic (podmínek rovnováhy) z nichž je možné tyto veličiny vypočítat. Podmínka statické určitosti: 2s  p  n rovinná prutová soustava 3s  p  n

p n s

prostorová rovinná soustava, kde počet prutů počet složek vnějších reakcí ( p + n je počet neznámých) počet styčníků (rovnic)

Zdůvodnění: Každý prut soustavy představuje jednu neznámou veličinu (osovou sílu v prutu). Je-li počet prutů p, je těchto neznámých osových sil rovněž p. Další neznámé v soustavě jsou složky reakcí v uložení, jejichž počet je n . Souhrnný počet neznámých v soustavě je tedy p  n . Každý kloub (styčník) představuje bod, na který působí osové síly prutů a vnější síly ve styčnících (různé zatěžující síly a síly v uložení). Tyto síly musí být v každém styčníku v rovnováze. Jde o soustavu sil procházejících jedním bodem, pro kterou platí v rovině dvě podmínky rovnováhy, v prostoru tři podmínky. Je-li počet styčníků s , máme k dispozici u rovinné prutové soustavy 2 s rovnic, u prostorové 3s rovnic. Podmínkou statické určitosti soustavy je předpoklad, že počet rovnic musí být roven počtu neznámých. Staticky neurčitá je soustava, kdy počet neznámých je větší než počet rovnovážných rovnic. U rovinné soustavy: 2s  p  n Jestliže samotná prutová soustava (bez rámu) je vzhledem ke kterémukoliv svému členu nehybná (tvoří tuhý celek), říkáme, že soustava je tvarově určitá. Pro staticky a tvarově určitou soustavu platí 2s  p  3 Prutové soustavy, které po uvolnění od rámu jsou pohyblivé, jsou tvarově neurčité. Pro rovinnou soustavu: 2s  p  3 Tvarově neurčitá soustava

2

SPŠ a VOŠ KLADNO


5.2. Početní řešení rovinných prutových soustav Styčníková metoda – postupné řešení rovnováhy jednotlivých styčníků (= soustavy sil se společným působištěm) ze dvou podmínek rovnováhy. Z toho je zřejmé, že řešit lze jen takové styčníky, kde kromě známých sil jsou nejvíce dvě síly neznámé.

Příklad

1

DÁNO:

2

F1  3kN F2  6kN URČIT: S1  S7 - síly v prutech A

B

Kontrola statické určitosti:

2s  p  n 2.5  7  3 10  10

( n = 3 .... 2 neznámé složky představuje kloubové uložení A, 1 neznámou podpěra B)

podmínka je splněna

ŘEŠENÍ: 1. Výpočet neznámých vnějších sil – reakcí v uložení - z podmínek rovnováhy

FA  F1  F2  FB  0 (2) (3)A F1.2,5  F2 .7,5  FB .10  0 ________________________ F1.2,5  F2 .7,5 3.2,5  6.7,5  10 10 FB  5,25kN

(3)

FB 

(2)

FA  F1  F2  FB  3kN  6kN  5,25kN FA  3,75kN

3

SPŠ a VOŠ KLADNO


2. Řešení rovnováhy jednotlivých styčníků Předpokládejme, že neznámé osové síly táhnou ze styčníků Styčník A Podmínky rovnováhy: S1 (1) S1 cos   S2  0 (2) S1 sin   FA  0 α _____________________  FA  3,75kN S2 FA (2) S1    6kN sin  sin 38,66 (1) S2  S1 cos   (6kN) cos 38,66  4,7kN Znaménko - u výsledku síly S1 znamená, že skutečný smysl síly je opačný, než jsme předpokládali, a proto jej změníme. Správné šipky sil doplníme do obrázku soustavy ke styčníku A a na opačné konce prutů zakreslíme šipky opačné (pruty jsou v rovnováze tehdy, působí-li na jejich koncích stejné síly opačného smyslu). Na závěr zapíšeme výsledky do tabulky vypočtených hodnot. Styčník C

(1) S1 cos   S 3 cos   S 4  0 (2)  F1  S1 sin   S3 sin   0 ____________________________ S sin   F1 (2) S3  1  1,2kN sin  S4  S1 cos   S3 cos   5,6kN (1)

S4

F1

α

S1

S3

Styčník D

S3

S5 α

α

S2

S6

 S2  S3 cos   S5 cos   S6  0 (1) S 3 sin   S 5 sin   0 (2) _______________________________  S3 sin  (2) S5    S3  1,2kN sin  S6  S2  S3 cos   S5 cos   6,57kN (1)

Styčník B

S7 α

S6

FB

 S6  S7 cos   0 (1) FB  S7 sin   0 (2) ______________________  FB S7   8,4kN (2) sin 

4

SPŠ a VOŠ KLADNO


Výsledky 1

2

A

B

FA

3,75kN

S5

1,2kN

FB

5,25kN

S6

6,6kN

S1

6,0kN

S7

8,4kN

S2 S3

4.7kN 1,2kN

S4

5,6kN

Pozn. Šipky osových sil orientované ze styčníků předznamenávají namáhání prutů na tah a naopak, šipky směřující do styčníků představují namáhání prutů na tlak, případně vzpěr.

Průsečná metoda Prutovou soustavu přerušíme myšleným řezem nejvýše ve třech prutech /máme jen tři podmínky rovnováhy/, z nichž pouze dva mohou vycházet z téhož styčníku. V přerušených prutech předpokládáme neznámé osové síly, které řešíme z podmínek rovnováhy pro část soustavy na jedné straně od zvoleného řezu

Příklad DÁNO: F = 50 kN

FA

α

URČIT: S4, S5, S6

FB 2,5  083 3   39,8 tg 

5

SPŠ a VOŠ KLADNO


1. Určení neznámých reakcí v uložení Soustava zatížena symetricky, není třeba řešit pomocí podmínek rovnováhy

F 50kN   25kN 2 2

FA  FB 

2. Výpočet neznámých vnitřních sil – použijeme část soustavy (tu jednodušší, tedy levou) po zvolený řez. V přerušených prutech předpokládáme neznámé síly (táhnou ze styčníků D a C)

S6

D

1

α

S5

3 2

3m

C

2,5  083 3   39,8 tg 

α 2,5m

A

Podmínky rovnováhy: S4  S5 cos   S6  0 (1)

S4

(2) FA  S5 sin   0 (3)D FA ,3  S4 .2,5  0 _______________________

myšlený řez (3)

S4 

FA .3 25kN.3   30kN 2,5 2,5

(2)

S5 

FA 25kN   39,1kN sin  sin 39,8

(1)

S6  S4  S5 cos   30kN  39,1kN. cos 39,8  60,14kN

(záporné znaménko znamená, že síla působí v opačném smyslu oproti předpokladu) Výsledek

FA

α

S 4  30kN

S5  39,1kN S6  60,1kN

FB 6

SPŠ a VOŠ KLADNO


5.3. Grafické řešení – Cremonův diagram Grafické řešení osových sil Cremonovou metodou spočívá v grafickém řešení rovnováhy jednotlivých styčníků (soustavy sil se společným působištěm). Podobně jako u styčníkové metody lze tedy řešit styčník, kde jsou nejvíce dvě neznámé osové síly. Silové obrazce rovnováhy jednotlivých styčníků se nekreslí zvlášť, ale přikládáním k sobě vytvářejí Cremonův diagram. Využívá se přitom skutečnosti, že osové síly jednotlivých prutů jsou zastoupeny při řešení rovnováhy dvou styčníků, ovšem s opačnou orientací. Z toho důvodu upustíme v Cremonově obrazci od kreslení šipek

Příklad DÁNO: F1  20kN F2  40kN

smysl obcházení

A

F1 C

1

F2 E

4

2

2,5m

3

D

5

6 2,5

7

8

F

2,5

FA

URČIT: S1  S 9

B

9 2,5

FB

Postup řešení 1. Rozhodneme o smyslu obcházení soustavy a ve zvoleném měřítku délek a měřítku sil graficky určíme neznámé vnější síly (reakce v uložení) 2. Postupně řešíme rovnováhu jednotlivých styčníků. Pořadí sil tvořících uzavřený silový obrazec volíme podle zvoleného smyslu obcházení. Orientace (šipky) zjištěných sil zakreslíme do obrázku soustavy poblíž řešeného styčníku, do tabulky výsledků nakonec zapíšeme velikosti sil 3. Pokračujeme řešením rovnováhy dalšího styčníku s nejvýše dvěma neznámými osovými silami. Tento postup opakujeme do vyřešení všech osových sil.

7

SPŠ a VOŠ KLADNO

F1 C

1

A


F2 E

4

MD:  1mm  100mm

FA 2

5

3

7

F

6

D

MF:  1mm  1kN

8

9

B

FB 4 1 3

2

Výsledky 1 2

3

FA F1

4 7

5

1 2

6 9

FB

4

8

F2

3

Postupná konstrukce Cremonova diagramu na další straně

8

FA FB S1 S2 S3

27 kN 33 kN 27 kN 38 kN 27 kN

S4 S5

33 kN 10 kN

S6

27 kN

S7

7 kN

S8

47 kN

S9

34 kN

SPŠ a VOŠ KLADNO


styčník A

+ styčník D 1 2

1

FA

3

2

FA

F1

F1 6

FB

FB

F2

F2

+ styčník C

+ styčník F

+ styčník B

1

1

1

2

3

FA F1

4 5

2

3 5

FB

5

F1 6

9

FB

FA

4 7

6 9

2

3

F1

4 7

6

FA

FB

8

F2

F2

9

F2

SPŠ a VOŠ KLADNO


Příklady

F1 1.př. 1

2.př.

2

1

3

1 2 3

3.př.

1

2

1 2

4.př.

10

SPŠ a VOŠ KLADNO


Výsledky příkladů 1.př. FA 3,0 kN FB 3,0 kN S1 4,8 kN S 2 3,7 kN S 3 4,8 kN

2.př. 4,6 N FA FB 5,3kN S1 5,4 kN S 2 2,7 kN S 3 1,9 kN

3.př.

FA FB S1 S2 S3

17 kN 13 kN 25,3 kN 23,4 kN 8,7 kN

4.př. 5,85 kN FA FB 13,05 kN 13,1 kN S1 11,7 kN S2 5,9 kN S3

S4 S5

S4 S5

7,5 kN 4,8kN

S4 S5

3,7 kN 1,9 kN

S4 S5

22,7 kN 6,1 kN

S6

3,7kN

S6

4,7 kN

S6

17,3 kN

S7

4,8

S7

3,9kN

S7

4,3 kN

S8

5,1 kN

S8

19,4 kN

S9

3,9 kN

S9

17,9 kN

S10

3,1 kN

S11

6,2 kN

11

11,7 kN 13,7 kN

SPŠ a VOŠ KLADNO


Přílohy Rovinná prutová soustava

Prostorová prutová soustava

12

SPŠ a VOŠ KLADNO


13

No title

Recommend Documents