1
III. MENGUJI KESAMAAN / PERBEDAAN HARGA DUA PARAMETER 1. Pengertian Menguji kesamaan / perbedaan dua buah parameter, bisa kita gambarkan sebagai berikut. Misalkan kita mempunyai 2 buah populasi yaitu Populasi 1 dan Populasi 2. Populasi 1 θ1
n1
Populasi 2
Ada dugaan atau hipotesa yang bentuknya : H0 : θ1= θ2 H1 : θ1 ≠ θ2
θ2
n2
Kita tidak bisa menguji hipotesis di atas dengan cara memeriksa seluruh unit yang ada dalam populasi dengan alasan ukuran populasi besar, sehingga apabila setiap unit diperiksa akan memerlukan waktu yang lama dan biaya yang besar. Oleh karena itu, untuk menguji hipotesis kita mengambil sampel dari masing-masing populasi dengan ukuran sampel masing-masing n1 dan n2. Dari sampel ini kita melakukan pengujian secara statistis apakah hipotesis kita terima atau harus kita tolak. Pola umum pengujian masih tetap berlaku, demikian pada saat menentukan daerah dan titik kritis. 2. Menguji Kesamaan / Perbedaan Harga Dua Buah Parameter Persentase atau Proporsi Statistik uji yang digunakan untuk menguji perbedaan dua persentase adalah : Z
P1 P2 1 1 P (1 P )( ) n1 n2
Pi
xi ni
,
i = 1 atau 2
xi = Banyaknya unit yang ada dalam sampel ke-i
yang mempunyai karakteristik yang dicari ni = Ukuran sampel yang ke- i P
x1 x 2 n1 n2
1
2
Contoh : Berdasarkan pengamatan pemerintah daerah A dan daerah B, diperkirakan bahwa persentase pengangguran di daerah A lebih besar dari persentase pengangguran di daerah B. Untuk menguji perkiraan ini diambil sampel melalui SRS dari daerah A dan daerah B masing-masing dengan ukuran nA = 150 dan nB = 180. setelah dilakukan wawancara ternyata dalam sampel yang diambil dari daerah A dan daerah B masing-masing terdapat 32 responden yang menyatakan tidak punya pekerjaan. Berdasarkan hasil survey ini dilakukan pengujian apakah perkiraan yang dilontarkan oleh kepala-kepala daerah tersebut bisa diterima atau ditolak. Gunakan level of significance sebesar 5 %. Langkah pengujian : 1.
Parameter yang akan diuji perbedaannya adalah persentase pengangguran ( ). Kita sebut saja % pengangguran di daerah A → 1, daerah B → 2. Berdasarkan dugaan yang dilontarkan oleh kepala-kepala daerah, HP tersebut diterjemahkan ke dalam hipotesis statistis yang bentuknya: H0 : 1 = 2 H1 : 1 > 2
2. Level of significance yang akan digunakan adalah α = 0,05 3. Data dikumpulkan
P1 P2
4. Statistik uji yang digunakan adalah Z
P (1 P )(
1 1 ) n1 n2
5. Berdasarkan bentuk Ho dan H1dan berdasarkan statistik uji yang akan dipakai, maka daerah dan titik kritis pengujian bisa digambarkan sebagai berikut :
α = 0,05 0 0,81
Z = 1,645
6. Atas dasar data yang diperoleh dihitung statistik uji : Z
32
32 150 180 = 0,813421255 0,81 32 32 32 32 1 1 ( (1 )( ) 150 180 150 180 150 180
Ternyata nilai statistik hitung jatuh di luar daerah kritis. Pengujian non significant. Isyaratnya H0 diterima.
2
3
7. Kesimpulan Statistis Berdasarkan hasil pengujian, mengindikasikan bahwa persentase pengangguran di daerah A ternyata sama dengan persentase pengangguran di daerah B. Oleh karena itu dugaan yang dilontarkan kepala-kepala daerah tersebut tidak bisa diterima. 3. Menguji Kesamaan / Perbedaan Simpangan Baku (Varians)
Dua
Buah
Parameter
Untuk menguji kesamaan / perbedaan 2 buah simpangan baku tidak bisa dilakukan secara langsung, tetapi harus dilakukan melalui pengujian terhadap varians. Untuk melakukan pengujian diperlukan pengetahuan mengenai tabel SNEDECOR`S F . Statistik uji yang digunakan untuk menguji perbedaan 2 varians adalah : F
S12 S 22
→ ν1 → ν2
Contoh : Sebuah perusahaan industri memproduksi sebuah produk A melalui 2 buah mesin M1 dan M2. M2 baru saja diperbaiki, sehingga produk A yang dihasilkan keadaannya belum begitu stabil. Yang diperhatikan mengenai produk A adalah rata-rata diameter produk A dan keseragamannya. Oleh karena mesin M2 baru saja diperbaiki, maka diperkirakan bahwa keseragaman diameter produk A yang dihasilkan mesin M2 berbeda dengan keseragaman produk A yang diproses oleh mesin M1.. Untuk menguji dugaan tersebut maka secara random / acak dipilih 10 buah produk A yang diproses oleh M1 dan 8 buah produk yang diproses oleh M2. Hasil pengukuran terhadap diameter produk A dari sampel tersebut memberikan data sebagai berikut : M1 M2 X 1 = 15,2 mm X 2 = 15,8 mm S1 = 0,2 mm S2 = 0,6 mm n1 = 10 n2 = 8 Berdasarkan data tersebut lakukan pengujian dengan level of significant sebesar 5 %. Berikan kesimpulan dan apakah perkiraan di atas bias diterima atau tidak. Langkah kerja : 1) Yang akan kita uji adalah keseragaman. Keseragaman ini secara statistis yang menjadi parameter adalah σ2. Oleh karena itu, bentuk H0 dan H1 untuk pengujian ini adalah H0 : σ1 2 = σ2 2 H1 : σ1 2 ≠ σ2 2
3
4
2) Untuk pengujian ini diambil α = 0,05 3) Data telah terkumpul
S12 4) Statistik uji yang digunakan adalah : F 2 S2
ν1 = n1 – 1
, ν2 = n2 – 1
5) Daerah dan titik kritis untuk pengujian ini bisa digambarkan sebagai berikut :
α = 0,05
α = 0,05 0,30
3,68
6) Masukkan data yang diperoleh ke dalam statistik uji : F
0,2 2 1,111.... 0,6 2
Ternyata statistik hitung jatuh di luar daerah kritis, pengujian non significant, Isyaratnya H0 diterima. 7) Kesimpulan statistis Berdasarkan hasil pengujian terhadap data yang dikumpulkan, ternyata apa yang diduga bahwa produk A yang diproduksi oleh M1 mempunyai keseragaman yang berbeda dengan produk A yang dihasilkan oleh mesin M2 tidak dapat diterima, karena ternyata berdasarkan pengujian keseragamannya masih sama. 4. Menguji Kesamaan / Perbedaan Dua Buah Parameter RataRata Menguji kesamaan / perbedaan dua buah parameter rata-rata rumus yang digunakan ada 3 kemungkinan, dengan alternatif sebagai berikut : 1) Diketahui sebelum penelitian berdasarkan pengalaman bahwa σ1 dan σ2 atau σ12 dan σ22 nilainya diketahui 2) Sebelum penelitian diperoleh keterangan atau dari hasil pengujian diketahui bahwa σ1= σ2 atau σ12 = σ22 meskipun nilai σ tidak diketahui. 3) Sebelum penelitian diperoleh keterangan atau dari hasil pengujian diketahui bahwa σ1 ≠ σ2 atau σ12 ≠ σ22 meskipun nilai σ tidak diketahui.
4
5
4.1. Menguji Kesamaan / Perbedaan Harga 2 Buah Parameter Rata-Rata Jika σ1 dan σ2 nilainya diketahui Statistik uji yang digunakan : Z
X1 X 2
1 n1
2 n2
Contoh : Ada perkiraan bahwa tingkat sadar wisata orang-orang di daerah perkotaan tidak berbeda dengan tingkat sadar wisata di daerah pedesaan. Untuk memeriksa dugaan ini dilakukan survey terhadap 8 orang penduduk perkotaan dan 10 orang penduduk pedesaan. Keadaan tingkat sadar wisata diukur melalui Likert`s Summated Ratings. Yang ditransformasikan ke dalam skala interval melalui Method of successive interval. Skor yang diperoleh para responden dari daerah perkotaan dan pedesaan adalah sebagai berikut : Perkotaan Pedesaan 175 160 180 159 170 170 168 181
168 184 155 172 165 181 175 169 180 172
Menurut pengalaman simpangan baku skor sadar wisata untuk perkotaan dan pedesaan sama besarnya, masing-masing = 8 Berdasarkan data yang ada dari hasil survey lakukanlah pengujian, untuk mengetahui apakah dugaan di atas bisa diterima atau tidak dengan menggunakan level of siginificance 1 %. Langkah kerja : 1. Parameter yang akan diuji perbedaan / kesamaannya adalah ratarata (µ) tingkat sadar wisata. Misalkan saja rata-rata skor sadar wisata daerah perkotaan dan pedesaan masing-masing sebagai µ1 dan µ2. Atas dasar bentuk dugaan yang dilontarkan (HP), maka kita memperoleh bentuk HS sebagai berikut : H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 ≠ µ2 2. α yang digunakan = 0,01 3. Data terkumpul
5
6
4. Oleh karena sebelum penelitian ada keterangan bahwa simpangan baku untuk kedua daerah diketahui nilainya, yaitu sama besarnya, masing-masing = 8, maka Statistik uji yang digunakan : Z
X1 X 2
1 n1
X 1 = 170,375 X 2 = 172,1
2 n2
5. Daerah dan titik kritis
α/2 = 0,005
α/2 = 0,005
Z = -2,575
-0,45 0
Z = 2,575
6. Hitung statistik uji. Z
170,275 172,1 8 8 8 10
= -0,45457741 -0,45
Harga statistik hitung jatuh di luar daerah kritis, maka Hasil pengujian non significant. Isyaratnya H0 diterima. 7. Kesimpulan statistis Berdasarkan hasil survey, dan berdasarkan hasil pengujian, maka skor sadar wisata di daerah perkotaan dan daerah pedesaan adalah sama. Dugaan diterima. 4.2. Menguji Kesamaan / Perbedaan Harga 2 Buah Parameter Rata-Rata Jika σ1= σ2 tetapi nilainya tidak diketahui Statistik uji yang digunakan : t
X1 X 2 (n1 1) S1 2 (n2 1) S 2 2 1 1 n1 n2 2 n1 n2
ν = n1 + n2 – 2 Perhatikan contoh mengenai skor sadar wisata. Dugaan pun sama. Sebelum penelitian, dianggap tidak ada keterangan mengenai nilai simpangan baku populasinya. lakukan pengujian dengan α = 0,01. Langkah kerja : 1)
H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 ≠ µ2
6
7
2) α = 0,01 3)
Data terkumpul
4)
Oleh karena sebelum penelitian tidak ketahui berapa harga simpangan baku populasinya, maka perlu dilakukan pengujian terhadap nilai simpangan baku populasinya berdasarkan nilai simpangan baku sampel, dengan cara menguji kesamaan / perbedaan varians pada sub bab 3 di atas. Pasangan hipotesis :
H0 : σ1 2 = σ2 2 H1 : σ1 2 ≠ σ2 2
Untuk pengujian ini diambil α = 0,01 Statistik uji yang digunakan adalah : F
S12 S 22
ν1 = n1 – 1
,ν2 = n2 – 1
Daerah dan titik kritis untuk pengujian ini bisa digambarkan sebagai berikut :
α = 0,01
α = 0,01
0,96
F = 0,15
F = 5,61
Masukkan data dua varians sampel ke dalam statistik uji : F
8,192984804 0,956082839 0,96 8,569325234
Ternyata statistik hitung jatuh di luar daerah kritis, pengujian non significant, Isyaratnya H0 diterima berarti σ1 2 = σ2 2 Maka untuk menguji 2 parameter rata-rata tersebut di atas statistik uji yang digunakan : t
5)
Daerah dan titik kritis
α/2 = 0,005 Z = -2,92
X1 X 2 (n1 1) S1 2 (n2 1) S 2 2 1 1 n1 n2 2 n1 n2
ν = n1 + n2 – 2
α/2 = 0,005 -1,25…
S12 = 8,192984804 S22 = 8,569325234
Z = 2,92
7
8
6) Hitung statistik uji. t
170,375 172,1 (18 1)(8,192984804) (10 1)(8,569325239) 1 1 8 10 2 8 10
1,25440375
Harga statistik hitung jatuh di di luar daerah kritis. Hasil pengujian non significant. Isyaratnya H0 diterima. 7) Kesimpulan Statistis Berdasarkan hasil survey dan hasil pengujian, maka skor sadar wisata di daerah perkotaan dan pedesaan adalah sama. Dugaan dapat diterima. 3.3. Menguji Kesamaan / Perbedaan Harga 2 Buah Parameter Rata-Rata JIKA σ1 ≠ σ2 tetapi nilainya tidak diketahui Statistik Uji yang digunakan : t
X1 X 2 2
2
S1 S 2 n1 n2
Rumus Welch → Rumus asli Welch → uji konservatif yaitu uji hatihati untuk menolak H0. maka derajat bebasnya dihitung dengan : 2
S1 2 S 2 2 n n 1 2 2 2 2 S1 2 S 2 n 1 n2 n1 1 n2 1
Contoh perhatikan masalah dibawah ini : 1)
H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 ≠ µ2
2)
α = 0,05
3)
Data yang diketahui : n1 = 6 X 1 = 160 S1 = 4,1 S12 = 16,81
n2
=9 X 2 = 170 S2 = 10,8 S22 = 116,64
Ada keterangan sekunder yang diperoleh sebelum penelitian bahwa σ1 ≠ σ2
8
9
4)
Apabila ada keterangan σ1 ≠ σ2, maka statistik uji untuk menguji perbedaan 2 buah rata-rata adalah : 2
X1 X 2
t
5)
2
2
S1 S 2 n1 n2
S1 2 S 2 2 n n dengan derajat bebas 1 2 2 2 S1 2 S 22 n 1 n2 n1 1 n2 1
Daerah dan titik kritisnya Titik kritis belum bisa ditentukan apabila ν / derajat bebasnya belum dihitung. 2
16,81 116,64 6 9 2 11,00950126 2 9,00950126 9 2 2 16,81 116,64 6 9 6 1 9 1
Setelah ν diperoleh, maka daerah dan titik kritisnya :
α/2 = 0,025 -2,54
6)
α/2 = 0,025 t = -2,262
t = 2,262
Statistik hitung : t
160 170 4,12 10,8 2 6 9
2,53883042 -2,54
Harga statistik hitung jatuh di daerah kritis. Hasil pengujian significant. Isyaratnya H0 ditolak. 7)
Kesimpulan statistis Maka nilai rata-rata kedua populasi memang berbeda.
Catatan : Keterangan mengenai apakah σ1= σ2 atau σ1 ≠ σ2, bisa diperoleh dari: 1. 2.
Berdasarkan keterangan sekunder sebelum penelitian Berdasarkan pengujian kesamaan / perbedaan dua buah parameter varians.
9
10
8) Menguji Kesamaan / Perbedaan dua Parameter Rata-Rata Jika Sampelnya Tidak Independen atau Tidak Bebas 5.1. Pengertian 2 Sampel Independen dan Sampel tidak Independen Dua buah sampel masing-masing berukuran n1 dan n2 dikatakan independen satu sama lain (bebas satu sama lain ) apabila pada saat memilih unit-unit samplingnya untuk sampel yang pertama tidak mempengaruhi pemilihan unit-unit sampling untuk sampel yang kedua. Contoh : Populasi 1
n1
kita berhadapan dengan 2 buah populasi. Ada populasi 1 dan populasi 2. Populasi 2
n1 independent terhadap n2, apabila pemilihan n1 pada populasi 1 ≠ mempengaruhi pemilihan n2 pada populasi 2
n2
Semua uji yang telah kita bicarakan di atas mengenai perbedaan / kesamaan 2 parameter yang didasarkan kepada 2 sampel yang independen ( saling bebas ). Dua buah sampel masing-masing berukuran n1 dan n2 dikatakan tidak independen, apabila pemilihannya mengikuti salah satu pola dibawah ini. 1) Pola Matching (Pairing / Pasangan) Bayangkan bahwa kita mempunyai 2 buah populasi. Dari populasi 1 dipilih n = 10 orang dari populasi 2 harus dipilih 10 orang, tetapi pemilihan itu didasarkan pada matching. Berdasarkan matching mengenai variabel tertentu. Misalnya saja mengenai variabel jenis kelamin. Contoh : Populasi 1
L ♀ P ♂
Populasi 2
L ♀ P ♂
Pemilihan populasi 2 didasrkan pada populasi 1, dan harus berpasangan. Jadi n1 ≠ independent n2. Banyaknya pasangan ≠ selalu harus sama jumlahnya. Misalnya : n1 = 10 maka n2 dapat 30. Matching by three ÷ one.
2) Pola Repeated Measuruses (Pengukuran Berulang / Harus Diulang) Dipilih sebuah sampel berukuran n, kepada orang-orang yang dalam sampel itu diukur variabel x-nya, kepada orang-orang tersebut
10
11
kemudian diberikan sesuatu perlakuan (treatment). Setelah beberapa lamanya, terhadap orang-orang itu juga diukur lagi variabel x-nya. Contoh : X Treatment X ♀ ♀ ♀ ♀ 5.2. Bentuk H0 Dan H1 Dalam Pengujian Rata-Rata Dalam 2 Sampel Yang tidak Independent N Sampel o. Independent 1. H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 ≠ µ2 2. H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 > µ2 3. H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 < µ2
Sampel ≠ Independent H0 : =0 H1 : ≠0 H0 : =0 H1 : >0 H0 : =0 H1 : <0
µ1 - µ2 → H0 0 µ1 - µ2 H1 0 µ1 - µ2 → H0 0 µ1 - µ2 H1 0 µ1 - µ2 → H0 0 µ1 - µ2 H1 0
:S= :S≠ :S= :S> :S= :S<
5.3. TEKNIK PENGUJIAN Contoh : seorang olahragawan menciptakan sejenis olahraga senam yang menurut pendapatnya senam tersebut bisa menurunkan berat badan. Untuk menguji pendapat ini dipilih 10 orang secara acak. Ke-10 orang itu diukur berat badannya (sebelum senam). Kemudian orang-orang tersebut diberi pelakuan yaitu harus melakukan senam (treatment). Setelah beberapa lamanya mengikuti senam, diukur lagi berat badan masing-masing (setelah senam). a. Yang akan diperiksa dari hasil pengukuran ini adalah rat-rata berat badan. Nyatakan H0 dan H1 nya. Apabila diperkirakan bahwa senam bisa menurunkan berat badan, maka rata-rata berat badan sebelum senam lebih berat dari ratrata berat badan sesudah senam. Apabila kedua sampel independent maka bentuk H0 dan H1 nya : H0 : µ1 = µ2 → Tetapi karena sampel ini ≠ independent (pengukuran yang berulang), maka bentuk H0 dan H1 nya : H0 : S = 0 H1 : µ1 > µ2 H1 : S > 0
Untuk menguji hipotesis diatas dengan α = 0,05. Hasil pengukuran menunjukkan : Berat badan sebelum (X) dan sesudah (Y) senam. X Y di = Xi - Yi di 60 65 60 51 0 -1 58 60 60 59 -2 1 70 62 62 62 8 0 68 70 65 68 3 2 65 58 60 55 5 3 Jumlah 19 117 11
12
b. Uji atas data yang ada apakah pernyataan olahragawan tersebut dapat diterima atau ≠. Langkah pengujian : 1) H0 : S = 0 H1 : S > 0 2) α = 0,05 3) Data terkumpul 4) Apabila keadaan sampel tersebut ≠ independent, maka statistik uji yang digunakan : t
Sd
n d i2 d i
d
, ν = n – 1 , n
d
1 di n
,
2
Sd
n(n 1)
5) Daerah dan titik kritisnya
6) Hitung statistik uji
1 d i = 1,9 d i 19 n 1,9 t = 2,004013279 2,998 10 d
d
2 i
117
S d 2,998147576
Harga hitung statistik uji jatuh di daerah kritis. Pengujian significant . Isyaratnya H0 ditolak. 7) Kesimpulan statistis Berdasarkan data hasil experiment ternyata berat badan ratrata sesudah olahraga senam < dibandingkan dengan rata-rata berat badan sebelum senam. Atas dasar pengujian ini kita menerima pernyataan ahli olahraga tersebut.
12
