http://meetabied.wordpress.com Matematika X – Semester 1 | SMAN 1 Bone-Bone
Kita dibentuk oleh sesuatu yang kita lakukan berulang kali. Keunggulan, bukan hasil dari satu tindakan, melainkan dari kebiasaan. (Aristoteles)
[BAB 2 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN & FUNGSI KUADRAT]
Pengertian Fungsi Kuadrat | Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat ================================================================================ Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. J Salam hangat selalu … Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com
BAB 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat Standar Kompetensi: 2. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat. Kompetensi Dasar 2.1 Memahami konsep fungsi 2.2 Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat 2.3 Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat 2.4 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat 2.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat 2.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya Alokasi Waktu 26 Jam pelajaran (13x pertemuan) Indikator Pencapaian Hasil Belajar 1. Siswa dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dengan rumus abc. 2. Siswa dapat menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. 3. Siswa dapat menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi kondisi tertentu. 4. Siswa dapat menentukan sumbu simetri, titik puncak, syarat fungsi kuadrat, definit positif atau negatif serta grafiknya. 5. Siswa dapat menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel persamaan atau fungsi kuadrat, serta menentukan penyelesaian dari model matematika.
Matematika X – semester 1 | SMAN 1 Bone-Bone
51
Pertemuan Ke-23 s.d. 26 Ranguman Materi a. Pengertian fungsi kuadrat Suatu fungsi dalam himpunan bilangan yang dinyatakan dengan rumus fungsi y = f(x) = ax2 + bx +c dengan a, b, c, Î R dan a ¹ 0 disebut fungsi kuadarat dalam x. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris. b. Sketsa grafik fungsi kuadrat Langka -langkah membuat sketsa grafik fungsi kuadrat fungsi kuadrat : 1. Menentukan titik potong dengan sumbu x, ® y = 0 (jika ada) 2. Menentukan titik potong dengan sumbu y, ® x = 0 (jika ada) -b 3. Mentukan persamaan sumbu simetri x = 2a -b - D 4. Menentukan titik puncak , atau koordinat titik balilk. 2a 4a 5. Titik Bantu - Jika a > 0 grafik terbuka ke atas, maka parabola memiliki nilai minimum - Jika a < 0 grafik terbuka ke bawah, maka parabola memiliki nilai maksimum Contoh: Sketsalah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x + 5 ! Jawab: 1. Titik potong dengan sumbu x ® y = 0 x2 – 4x + 5 = 0 (tidak mempunyai titik potong karena D < 0). 2. Titik potong dengan sumbu y ® x = 0 x = 0 ® y = 5 …. (0,5) -b 3. Sumbu simetri x = 2a 4 = ®x=2 2 -b - D - D 16 - 20 4. Puncak á , ñ ® = 2a 4 a 4a - 4(1) =1 Puncak ( 2, 1) 5. Titik bantu X 0 1 2 3 4 Y 5 2 1 2 5 x,y (0,5) (1,2) (2,1) (3,2) (4,5) y y = x2 – 4x + 5
(2,1)
x
Matematika X – semester 1 | SMAN 1 Bone-Bone
52
b. Defenitif posistif dan negative 1. Syarat definit positif (selalu positif untuk setiap harga x) a > 0 dan D < 0 2. Syarat defenitif negative (selalu negative untuk setiap harga x) a < 0 dan D < 0 c. Menentukan fungsi kuadrat Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui dengan cara sebagai berikut. 1. Jika grafik fungsi kuadratnya memotong sumbu x di titik (x 1 , 0 ) dan (x 2 , 0 ) maka persamaanya y = a(x – x 1 ) (x – x 2 ) 2. Jika grafik fungsi kuadratnya mempunyai titik balik (p,q), maka persamaannya y = a(x - p)2 + q Contoh : 1. Tentukan persamaan yang grafiknya sebagai berikut !
Jawab: Puncak parabola (1,2) dan melalui titik (0,3), maka persamaannya adalah : y = a (x – p)2 + q y = a (x – 1)2 + q melalui (0,3) maka 3 = a (0 – 1)2 + 2 3 =a+2 a =1 Jadi persamaan parabolanya : y = a (x – p)2 + q = 1 (x – 1)2 + 2 = 1 (x2 – 2x + 1) + 2 y = x2 – 2x + 3 2. Tentukan persamaan parabola yang memotong sumbu x di (2,0) dan (6,0) serta melalui titik (4,5) ! Jawab : y = a (x – x1) (x – x2) y = a (x – 2) (x – 6) melalui (4,5), maka 5 = a (4 – 2) (4 – 6) 5 = a(2) (-2) 5 A =4 Jadi persamaan parabolanya y = a (x - x1)( x – x2) 5 y = - (x - 2)(x – 6) 4 5 y = - (x2 - 8x + 12) 4 Matematika X – semester 1 | SMAN 1 Bone-Bone
53
y =-
5 2 x + 10x – 15 4
E. Pemakaian Fungsi Kuadrat Selain dalam matematika, fungsi kuadrat dipakai juga untuk menyelesaikan masalah pelajaran lain seperti fisika, ekonomi, dan juga dalam kehidupan sehari-hari. Contoh : Seorang peternak sapi mempunyai pagar 100 m. Untuk memagari ternaknya, pagar itu akan dibuat kandang berbentuk persegi panjang. Berapakah ukuran kandang itu agar dapat menampung ternak sebanyakbanyaknya/maksimum? Jawab: Panjang pagar adalah p dan lebar pagar adalah l maka: 2p + 2 l = 100 2(p + l ) = 100 p + l = 50 p = 50 - l Dapat menampung sapi sebanyak-banyaknya berarti luas maksimum L = panjang x lebar = p(50 – p) = 50p – p2, a = -1, b = 50, c = 0 Maksimum dicapai untuk - b - 50 - p= = = 25 2a 2(-1) - L maksimum dicapai untuk D b 2 - 4ac 50 2 - 4(-1)(0) 2.500 = = = = 625 - 4a - 4a - 4(-1) 4 Jadi ukuran luas maksimum kandang adalah 625 m2 dengan ukuran panjang 25 m dan lebar = 30 – p = 50 – 25 = 25 m Latihan Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Lukislah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 6x + 8! Jawab : y = x2 – 6x + 8 a = ..., b = ...., c = .... a. Titik potong dengan sumbu x ® y = 0 x2 – 6x + 8 = 0 (x - ...)(x - ...) = 0 x = .... atau x = .... Titik potongnya A( ...., .... ) atau B ( ...., .... ) b. Titik potong dengan sumbu y ® x = 0 x = 0 ® y = (....)2 - 6(....) + 8 y = .... Titik potongnya C( ..., .... )
Matematika X – semester 1 | SMAN 1 Bone-Bone
54
-b 2a ...... x = ...... x = .... d. Koordinat titik balik/puncak -b - D , ® ( ...., .... ) 2a 4a e. Titik bantu x 0 1 2 y 8 .... .... x,y (0,8) (...., ....) (...., ....)
c. Persamaan sumbu simetri x =
3 .... (...., ....)
4 .... (...., ....)
5 .... (...., ....)
f. Grafik
2. Tentukan persamaan grafik dari gambar berikut !
Jawab: a. Parabola memotong sumbu x di (..., ....) dan ( ..., ....) serta melalui titik (...., ....) Persamaan parabolanya : y = a(x – x1) (x – x2) y = a(x – ....) (x – ....) melalui titik ( ...., ....) maka .... = a ( .... - ....)( .... - .....) .... = a ( ....) ( .... ) .... = .... a .... a = .... a = .... Jadi persamaan parabolanya : y = a(x – x1)(x – x2) y = a(x – ....)(x – ....) y = ....(x2 + .... + .....) y = .... b. Puncak parabola (1,9) dan melalui (0,8) maka persamaannya : Matematika X – semester 1 | SMAN 1 Bone-Bone
55
y = a(x – p)2 + q y = a(x – ....)2 + .... melalui titik (0,8) maka .... = a(x – p)2 + q .... = a(.... – ....) + .... a = .... Jadi persamaannya : y = a(x – p)2 + q y = ....(x – ....)2 + a = .... y = .... 3. Suatu persegi panjang x dan lebarnya 8 – x. Tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut! Jawab : Luas persegi = p x l L = .... x .... L = .... Luas merupakan fungsi kuadrat dengan variabel x dan a = ...., b = ...., c = .... b 2 - 4ac L maks = 4a (....) 2 - 4(...)(...) = 4(....) = ..... ..... = ...... Jadi luas maksimum adalah ...m2 Uji Kompetensi 6 A. Berilah tanda silang (x) huruf a,b,c,d atau e pada jawaban yang paling benar! 1. Parabola y = 3x2 – 12x + 1 mempunyai sumbu simetri ... 1 a. x = 1 c. x = -1 e. x = 2 b. x = 2 d x = -2 2. Jika parabola f(x) = x2 – 6x + 7 puncaknya berabsis 4, maka ordiatnya adalah .... a. 9 c. 0 e. -9 b. 8 d. -8 3. Jika parabola y = -x2 + 2x - p selalu berada dibawah sumbu x, nilai p yang memenuhi adalah... a. p < 1 c. p > -1 e. -1 < p < 4 b. p > 1 d. p > 4 4. Kurva y = -x2 - 5x + 6 memotong sumbu y dititik .... a. (6,0) c. (-6,0) e. (0,0) b. (0,6) d. (0,-6) 5. Parabola yang mempunyai puncak (-4,5) adalah . . . . a. y= 5x2 + 10x – 35 c. y = 3x2 + 14x + 13 e. y = -x2 - 16x – 37 b. y = 4x2 + 12x – 11 d. y = 2x2 + 16x + 37 6. Koordinator titik balik grafik y = 3x2 – 12x + 13 adalah . .... a. (2,-1) c. (6,-2) e. (-1,2) Matematika X – semester 1 | SMAN 1 Bone-Bone
56
b. (-2,1) d. (1,-2) 7. Persamaan kuadrat yang mempunyai grafik di bawah ini adalah ....
2 2 4 2 4 x + x+4 c. y = x 2 + x - 4 e. y = 2x2 – 4x + 4 9 3 9 3 2 4 2 4 b. y = x 2 - x + 4 d. y = x 2 - x - 4 9 3 9 3 8. Parabola yang mempunyai koordinat puncak (1, -4) dan melalui titik (3,4 ) adalah ... a. y = 2(x – 1)2 – 4 c. y = (x – 1)2 + 4 e. y = 2(x + 1)2 – 4 2 2 b. y = (x – 1) – 4 d. y = 2(x – 1) + 4 9. Persamaan Parabola yang grafiknya seperti berikut ini adalah ....
a. y =
1 1 a. y= x 2 + 2 x + 2 2 2 1 1 b. y = x 2 - 2 x + 2 2 2
1 2 1 x +2 x-2 2 2 1 1 d. y = x 2 - 2 x - 2 2 2
c. y=
e. y= x2 – 5x + 4
10. Grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x + a tidak memotong sumbu x di dua titik jika ... a. a < 0 c. a ≤ 4 e. a ≥ 4 b. a < 4 d. a > 4 11. Jika parabola melalui titik (-1,0), (3,0) dan (1,4) adalah .... a. y= -x2 + 2x + 3 c. y=x2 + 2x + 3 e. y= 2x2 - x + 3 b. y = -x2 + 3x + 4 d. y = x2 - 2x - 3 12. Diketahui sebuah fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dengan f(0) = 5, f(1) = 8, f(2) = 15, maka f(5) = .... a. 50 c. 60 e. 70 b. 55 d. 65 13. Dua buah bilangan berjumlah 18, hasil kali akan maksimum jika kedua bilangan tersebut adalah ... a. 11 dan 7 c. 8 dan 10 e. 15 dan 3 b. 9 dan 9 d. 12 dan 6 14. Keliling suatu persegi panjang 24 cm, maka luas maksimum persegi panjang tersebut adalah ... a. 144 cm2 c. 72 cm2 e. 12 cm2 b. 100 cm2 d. 36 cm2 Matematika X – semester 1 | SMAN 1 Bone-Bone
57
15. Selisih dua bilangan sama dengan 32, maka hasil kali terkecil kedua bilangan tersebut adalah .... a. -256 c. -120 e. 125 b. -128 d. 60 B. Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar ! 1. Tentukan persamaan parabola yang grafiknya memotong sumbu x di (2,0), (6,0) serta melalui titik (4,8)! Jawab .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
2. Buatlah grafik fungsi kuadrat y = 2x – 8 + x2 ! Jawab
.................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
3. Tentukan persamaan parabola yang mempunyai titik balik (-3,7) dan melalui titik (0,1) ! Jawab .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
Matematika X – semester 1 | SMAN 1 Bone-Bone
58
4. Tentukan nilai n agar persamaan y = nx2 + 3x – (n + 5) defenitif negatif Jawab
.................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
5. Jumlah dua bilangan asli sama dengan 16, tentukan masing-masing bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum! Jawab .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
Matematika X – semester 1 | SMAN 1 Bone-Bone
59
