Elektronický výstup z projektu Perspektiva 2010 reg. č. CZ.1.07/1.3.05/11.0019
Vydalo s podporou Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky Krajské zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků a informační centrum, Nový Jičín, příspěvková organizace, Štefánikova 7/826, 741 11 Nový Jičín. Autor na originále závěrečné práce stvrdil svým podpisem prohlášení, že tento materiál vypracoval samostatně a to včetně grafických a zvukových příloh, a dílo splňuje podmínky uvedené v § 31 zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona. Uveďte autora-Neužívejte dílo komerčně-Nezasahujte do díla 3.0 Česko (CC BY-NC-ND 3.0)
ÚVODNÍ SLOVO Mgr. Blanka Kozáková Projekt Perspektiva 2010 reg. č. CZ.1.07/1.3.05/11.0019, financovaný z operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost, probíhal v období let 2009 – 2011. Tento projekt byl vyústěním dlouhodobé a systematické metodické podpory pedagogickým pracovníkům, kteří se zaměřují na rozvoj ICT ve školách Moravskoslezského kraje, poskytované Krajským zařízením pro další vzdělávání pedagogických pracovníků a informačním centrem, Nový Jičín, příspěvkovou organizací. Významnou vzdělávací aktivitu projektu tvořilo dlouhodobé vzdělávání ICT lídrů. Jedním z výstupů procesu zvyšování jejich digitální gramotnosti byla závěrečná práce, která postihovala oblast, které se v ICT detailněji věnovali. Její úvodní část vždy popsala teoretická východiska a v další části se pak autoři zaměřili na praktické aspekty problému ve školské praxi. Protože se jednalo o práce rozsáhlejšího charakteru, které měly vazbu na současný stav využívání ICT ve školách Moravskoslezského kraje, shrnuli jsme tyto výstupy do motivačního sborníku zajímavých řešení, návodů, postupů a dáváme je tímto k dispozici
pedagogickým
pracovníkům
základních
a
středních
škol
Moravskoslezského kraje. Vlastní příprava závěrečných prací byla řízena v Learning Management System Moodle. Díky tomuto nástroji jsme mohli sledovat postup při zpracování, a to jak u autora práce, tak i u jeho vedoucího. Pro tento účel měli oba v prostředí LMS připraveny komunikační nástroje (fórum, chat) a termínované odevzdávání jednotlivých verzí závěrečné práce. V konečné fázi zpracování dostal do prostředí LMS přístup také oponent práce pro zpracování a vložení svého posudku. Všichni zúčastnění tak měli přehled o aktuálním stavu komunikace a zpracovaného materiálu a mohli neprodleně reagovat, pokud si to situace vyžádala. Děkujeme touto cestou všem pedagogickým pracovníkům, kteří se nechají uváděnými příklady inspirovat ke své další pedagogické práci podpořené využitím ICT ve své škole. Poděkování za vedení přípravy závěrečných prací patří celému realizačnímu týmu projektu Perspektiva 2010.
Využití programu dynamické geometrie GeoGebra při výuce geometrie na 2. stupni ZŠ
Ing. Ladislav Pleva
Obsah ÚVOD ................................................................................................ 3 OBECNÝ POPIS A VYUŽI TÍ PROGRAMŮ DYNAMICKÉ GEOMETRIE .......................................................................................................... 4 2.1 Co je program dynamické geometrie ............................................... 4 2.2 Moţnosti vyuţití programů dynamické geometrie ve výuce .............. 6 2.2.1 Organizace vyučování .......................................................... 6 2.2.2 Vhodné metody vyučování .................................................... 7 2.2.3 Technické příprava učitele na výuku s programy dynamické geometrie .......................................................................................... 9 3 POROVNÁNÍ JEDNOTLIVÝ CH PROGRAMŮ DYNAMICK É GEOMETRIE A PŘEDNOST I GEOGEBRY ........................................... 11 3.1 Cabri Geometrie II Plus ............................................................... 11 3.2 GeoGebra ................................................................................... 12 3.3 Geonext 1.73 .............................................................................. 13 3.4 C.a.R. ........................................................................................ 14 3.5 Dynamická geometri e v rovině 3.1 ............................................... 15 3.6 Shrnutí porovnání a závěrečné zhodnocení .................................... 15 3.7 Výhody Geo Gebry ....................................................................... 16 4 APLIKACE GEOGEBRY VE VÝUCE ............................................... 17 4.1 Výběr učiva z geometrie pro 9. ročník .......................................... 17 4.1.1 Podobnost ........................................................................... 17 4.1.2 Tělesa ................................................................................. 18 4.2 Úlohy na podobnost .................................................................... 18 4.2.1 Určení a použití poměru podobnosti ................................... 18 4.2.2 Dělení úsečky s využitím podobnosti trojúhelníků .............. 20 4.3 Planimetrie ................................................................................. 22 4.3.1 Souvislost mezí Ludolfovým číslem a obvodem kruhu, vztah mezi radiány a stupni. ..................................................................... 22 4.4 Tělesa ........................................................................................ 23 4.4.1 Jehlan ................................................................................. 23 4.4.2 Kužel ................................................................................... 27 4.4.3 Koule .................................................................................. 29 4.5 Ostatní zdroje z internetu ............................................................ 31 5 ZÁVĚR ............................................................................................ 31 6 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ A LITERATURY ........................... 33 1 2
2
1 Úvod Trendem v současné výuce, nejen matematiky, je všeobecné pronikání výpočetní techniky do vyučovacího procesu. Často je důvodem snaha zatraktivnit a zpestřit výuku pro naše málo motivované ţáky a přinést jim jiný pohled na právě probíranou látku. Výsledkem by však mělo být, dle mého názoru, zejména zefektivnění výuky. Tedy dosáhnout toho, aby ţáci lépe a rychleji chápali probíranou látku a aby si ji dokázali vybavit i po delším časovém období. Při výuce matematiky na naší škole jiţ pouţíváme několik programů pro výuku probíraného uči va, ale stále nám chyběl software, který by dokázal zefektivnit výuku geometrie. Po krátkém seznámení s programem Cabri II jsem nabyl přesvědčení, ţe tento t yp programu nám skutečně v naší plejádě programů pro výuku matematiky schází. Vzhledem k tomu, ţe finanční prostředky mal ých základních škol, určené na nákup výukových pomůcek, jsou velmi skromné, jsem se rozhodl prozkoumat, zda existují srovnatelné variant y programů dynamické geometrie , které by pro výuku na základní škole byl y vhodné a které by školu nic nestál y. Výsledkem byla volba programu Geo Gebra a následně výběr tohoto tématu pro mou práci. Tato práce bude také podkladem pro vyuţití programu GeoGebra na naší škole při výuce geometrie na druhém stupni. Současně by měla poskytnout určit ý didaktick ý základ pro učitele, který se rozhodne tento program při výuce vyuţít , ať uţ formou demonstrace či jako nástroj pro praktickou výuku konstrukce geometrických útvarů .
3
2 Obecný popis a využití programů dynamické geometrie 2.1
Co je program dynamické geometrie geometrie
Dynamická
je
moderní,
rychle
se
rozvíjející
oblast
geometrie, která je s úspěchem začleňována do výuky na všech t ypech škol. Počítačové programy umoţňují oprostit se od statické geometrie, ve školní praxi reprezentované rýsováním do sešitu respekt ive na tabuli, kde jednou narýsované objekt y jiţ dále nelze výrazně měnit. Základním rysem dynamické geometrie je více neţ jen její interaktivnost, neboli moţnost změny parametrů (např. polohy, rozměrů, barvy) narýsovaných objektů. Interaktivní jsou v podstatě téměř všechny geometrické program y, neboť umoţňují vzájemné ovlivňování uţivatele a geometrické situace na displeji.
Zde je jedna
z moţných definicí programů dynamické geometrie včetně popisu jejich klíčové vlastnosti. „Software, v němţ nejsou sestroj ené objekt y statické, ale lze s nimi po jejich vytvoření dále manipulovat, měnit jejich tvar, velikost a polohu v nákresně i pozici vzhledem k ostatním objektům (při zachování určit ých invariantů, jimiţ jsou definované vztahy mezi objekt y), nazýváme progra m y dynamické geometrie. Tu oblast geometrie, v níţ má pohyb některého objektu podstatný vliv na vhled do situace, na řešení úlohy, pak naz ývejme geometrií dynamickou.“ [ 1 ] Nejdůleţitější charakteristikou je tedy zachování zadaných vztahů mezi objekt y během pohybu. Dynamický přístup umoţňuje hlubší pochopení souvislostí a snadné zobrazení zadané konstrukce při změně výchozích parametrů. Schopností podněcovat představivost a kreativnost je dynamická geometrie
předurčena
pro výzkumnou
k výuce,
činnost
zároveň
v různých
je
však
oblastech.
vhodným O dynamické
pojednává například Jiří Vaníček. 1
1
VA NÍ Č EK , J iř í. D yn a mi c ká g eo me tri e. [ O nl i n e] led e n 2 0 1 1 . ht tp : // www. p f.j c u. cz /ca b r i/ te ma ta /d yn a mg eo /d y n geo . ht m
4
prostře dkem geometrii
Dynamická geometrie nutí ţáky dodrţovat správný postup konstrukce daného objektu proto, ab y byl y dodrţeny návaznosti a vztahy jednotlivých elementárních částí objektu. Výsledkem pak je, ţe při změně některého parametru se nám objekt překresluje, ale jsou zachovány jeho základní vlastnosti. Tyto parametry, jako je změna polohy, velikosti částí, tvaru, se mění metodou „táhni a pusť“. Pro ilustraci mohu uvést jako příklad některé důsledky výše uvedeného:
rovnostranný trojúhelník mění současně délku všech stran stejně , tedy zůstává stále rovnostranným trojúhelníkem;
obecný čt yřúhelník můţe přejít v čtverec, ovšem (řádně sestrojený) čtverec nemůţe přejít v obecný čt yřúhelník ;
správně sestrojená tečna ke kruţnic i je tečnou i při změně poloměru či změně polohy kruţnice
O brá z e k 1 – st o pa o b ec né ho a ro v no stra n né ho tro jú he l ní ku .
Vlevo
je
stopa
obecného
trojúhelníku
bez
zadaných
podmínek
při konstrukci a vpravo je stopa rovnostranného trojúhelníku při manipulaci s vrcholem C.
5
2.2
Možnosti využití programů dynamické geometrie ve výuce Vyuţití programů dynamické geometrie ve výuce vyţaduje od ţáků
základní dovednosti spojené s ovládáním počítače a dodrţování pravidel a návazností v konstrukci konkrétních objektů. Na učitele je pak kladen poţadavek vysvětlit a naučit ţáky ovládat a samostatně pouţívat program dynamické geometrie. Je třeba dát dětem dostatek času, aby mohl y objevit, jak program funguje a jaké je jeho ovládání, aby jej mohli zaţít a některé činnosti zautomatizovat. Při této seznamovací činnosti není nutno ţáky úkolovat, jejich badatelská činnost tak bude více podporová na, bude-li se učitel zajímat, co jiţ který ţák objevil. Odměnou je pak atraktivnější výuka, soustředění dětí na vlastní proces konstrukce, jednoduchá zpětná vazba při konstrukci,
rychlejší
a
trvalejší
pochopení
relačních
vztahů
dané
konstrukce, také větší motivace ţáků atd. Jednoduchým pohnutím objekt y dané konstrukce si učitel můţe snadno ověřit, zda ţák postupoval při konstrukci správně, coţ při klasické konstrukci pomocí rýsovacích potřeb lze velmi obtíţně. Tím se u ţáků pěstuje logické myšlení, předst avivost a sm ysl pro pravidla konstrukce a její souvislosti , a to účinněji, neţ při klasické konstrukci. Nasazení programů interaktivní geometrie do výuky přináší moţnost či nutnost změnit st yl vyučování, jeho organizaci, přípravu učitele na vyučování atd. Teprve změnou st ylu výuky lze uplatnit výhody a eliminovat nevýhody pouţití dynamické geometrie při vyučovací hodině.
2.2.1 Organizace vyučování Práce s geometrickými program y, tak jako jiná činnost na počítači , podporuje samostatnou práci dítěte . Je vhodná i pro skupinovou výuku po dvou u počítače (např. ţák matematicky zdatnější vede slabšího, který při práci ovládá počítač nebo dvojice schopnějších ţáků pracuje na obtíţnějším úkolu). Velmi příjemným jevem je individualizace učebního procesu, kdy ţák můţe dostávat úlohy adekvátní jeho schopnostem. Učitel se zabývá ţákem,
6
který nejvíce potřebuje jeho pomoc , neboť má na to časový prostor. To je obecný charakter práce při výuce pomocí počítačů. Ţáci se nebojí učitele zeptat, protoţe v tu chvíli nejsou sledováni celou třídou. Vyšší motivace je příčinou větší kázně při hodině a vytvoření aktivního a motivovaného pracovního prostředí, které přináší dobré učební výsledky. Program y dynamické geometrie lze také vyuţít k zadávání domácích úkolů. To nám umoţňuje nasaze ní programů dynamické geometrie s volnou licencí, kdy si je ţák můţe zdarma nainstalovat na svůj počítač doma nebo můţe vyuţívat k přípravě počítače ve školní učebně během hodin k tomu vyhrazených. Díky zpětnovazební vlastnosti těchto programů můţe ţák dojít ke správnému řešení kombinací získaných znalostí a metody „pokus -om yl“, coţ jej vede k experimentování.
2.2.2 Vhodné metody vyučování Paleta
metod
vyučování ,
pouţitelných
s program y
dynamické
geometrie, je velmi široká. Od vyuţití při výkladu nové látky , přes instruktáţ a demonstraci nové konstrukce k řešení neproblémových a problémových úloh.
Velmi
silným
momentem
je
moţnost
experimentování
s tímto
programem, coţ zdůrazní objevnou činnost ţáků a ve výsledku bohatší a trvalejší znalosti a dovednosti v oblasti geometrie. Program y interaktivní geometrie usnadňují práci a není nutno učit ţák y náročný matematický jaz yk zápisu postupu geometrické konstrukce. Pomocí menu a ukazování na zvolené objekt y se také ţáci mohou vyhnout sloţitému popisování bodů a obraz ců. Toto má význam především u slabších ţáků neschopných se dostatečně rychle naučit pouţívat formální matematický jaz yk pro zápis postupu. Vlastní zápisy postupu konstrukce v matematickém jaz yce si mohou ţáci bezprostředně zkontrolovat jejím sestrojením, případně mohou provést konstrukci podle postupu daného učitelem či knihou. Při
výkladu
nové
látky
lze
vyuţít
dynamických
konstrukcí
k demonstraci obrázků, které znají ţáci z učebnice, a které jsou přímo určeny k dynamizaci (zvláště u důkazů některých vět , při hledání nových poznatků).
7
Mnoho jich je k dispozici ke staţení na stránkách podpory jednotlivých programů dynamické geometrie. Má-li dostatečné technické vybavení, má tak učitel pomůcku, s níţ můţe při svém zaţitém a vyzkoušeném způsobu práce pracovat efektivněji neţ s tabulí. V současné době lze pro tuto metodu s výhodou vyuţít interaktivních tabulí. Jako příklad je moţné pouţít důkaz Pythagorovy vět y.
O brá z e k 2 – g ra f ic ký d ů ka z Py t ha g o ro v y v ěty .
Metoda problémového vyučování se přímo nabízí, neboť nástroje interaktivní
geometrie,
jsou
velmi
vhodným
prostředkem
k řešení
geometrických problémů. Například příklady 1, 2 , níţe, kde je zde vţdy srozumitelný úkol, sada nástrojů k dispozici a chybějící řešení. 1. Sestroj rovnostranný trojúhelník, tak aby bylo moţno měnit pomocí jednoho bodu velikost všech tří stran současně. 2. Za
jakých
podmínek
se
průsečík
výšek
bude
trojúhelníku a kdy vně trojúhelníku .
O brá z e k 3 – v ý š ky a tě žni ce t ro jú h el ní ku .
8
nacházet
uvnitř
Všechny
základní
geometrické
konstrukce
lze
pomocí
programů
interaktivní geometrie učit různými způsoby a t yto způsoby kombinovat . 1. Můţeme zkoumat hotovou konstrukci a manipulovat s ní a provést následný rozbor pomocí jiţ vytvořeného návodného příkladu, v němţ: a. je hotova jen část konstrukce , b. nebo v něm lze objevit novou informaci, poznatek, který ţák v konstrukci můţe pouţít (např. při hledání středu kruţnice lze ukázat, ţe střed leţí na ose těti vy, nebo např. při motivaci ke studiu Thaletovy vět y apod.), c. je konstrukce provedena špatně a ţák má za úkol najít chybu v konstrukci a opravit ji . 2. Je také moţno provést konstrukci podle zadaného postupu, ať uţ slovního či matematick y zapsaného. 3. Ţák provede vlastní konstrukci na základě jiţ získaných znalostí a dovedností kombinovaných se samostatným objevováním nových postupů a souvislostí. Rozbor úlohy s diskusí moţných řešení významně usnadňuje právě systém práce s dynamicky se měnícími objekt y, kdy ţák můţ e manipulací s těmito objekt y měnit různé vstupní parametry konstrukce , a tak nacházet nová řešení. Současně s tím vnímá vztahy mezi jednotlivými objekty jako je např. kolmost, rovnoběţnost, průnik a další.
2.2.3 Technická příprava učitele na výuku s programy dynamické geometrie Technická příprava učitele spočívá v přípravě materiálů pro výuku s respektováním zvolené metody. Je třeba mít nejen připravená zadání úkolů, ale také jejich řešení. Pro demonstraci a experimentální manipulaci je vhodné mít připravený o bjekt ve formátu, který manipulaci umoţní, ale současně neposkytne moţnost ţákům objekt smazat či ho nevhodně pozměnit . Z tohoto hlediska je důleţité, aby daný program umoţnil export ve formátu tzv. java appletů. Je to velmi uţitečný prvek www stránky, po skytující komfort, interaktivitu i kvalitní zobrazení. Stačí mít k dispozici internetový prohlíţeč
9
a nainstalovanou tzv. Java konzoli a je pak jiţ bez jakýchkoliv problémů moţné t yto java applet y spouštět a pouţívat , ať jsou umístěny na vašem počítači, v sítí nebo na internetových stránkách. V současné době je na internetu k dispozici mnoho geometrických aplikací v java appletech, takţe učitelé mohou z počátku, alespoň pro demonstraci, vyuţívat jiţ hotové dynamické obrázky. Samozřejmě další výhodou je, ţe n ezáleţí, ve kterém programu byl y t yto java applet y vytvořeny.
10
3 Porovnání jednotlivých programů dynamické geometrie a přednosti GeoGebry V současné době existuje na trhu softwaru více programů dynamické geometrie. K porovnání těchto programů jsem vyb ral t y, které jsou dostupné na našem trhu v české jaz ykové variantě. V porovnávání jsem se zaměřil na následující vlastnosti : cena, rychlost vykreslování,
moţnosti
exportu ,
on-line
provoz,
mnoţství
nástrojů,
uţivatelská přívětivost, tvorba maker (nových nástrojů), uţivatelská podpora softwaru.
3.1
Cabri Geometrie II Plus Nejznámější software hojně propagovaný v našem školství za cenu
18490 Kč v neomezené multilicenci. Při srovnávání programů dynamické geometrie se pouţívá jako srovnávací standard. Má kompletně počeštěná menu a nástroje. Manuál je k dispozici v elektronické
formě
v češtině
a
je
výborně
zpracovaný.
R ychlost
vykreslování je výborná a nástroje velmi dobře rozmístěné a kombinované s textem. Paleta nástrojů je velmi bohatá , a pokud by nějaký chyběl, lze jej vytvořit
pomocí
makroinstrukcí.
Obsahuje
nástroje
pro
body,
přímky,
mnohoúhelníky, křivky, měření délek a úhlů. Nechybí také nástroje pro konstrukce jako kolmice, rovnoběţky, osy, středy úseček, nástroje pro různá zobrazení a moţnost vkládání te xtu. Lze také nastavit různé grafické atributy jako tloušťku bodů, tloušťku a t yp čar. Je moţné ukládat vytvořené projekt y ve formě souboru Cabri, v bitmapovém a vektorovém formátu. Pro export k vytvoření java a ppletů je třeba stáhnout a pouţít software CabriJava. Pro vytváření webových stránek s CabriJava applet y je třeba nainstalovat program CabriWeb. U nás je výborná podpora i s rozcestníkem na webu Jihočeské univerzity. 2
2
VA N ÍČ EK , J iř í. Od kaz y d o s vě ta C ab ri. Ca b r i Geo m et ri e [O nl i ne] 1 9 9 9 . ht tp :/ / www. p f.j c u. cz /cab r i/o d k a z y. h t m.
11
– če ský výu k o vý p o rtá l.
3.2
GeoGebra Tento
software
vytvořil
student
Markus
Hohenwarter
jako
svou
diplomovou práci na univerzitě v Salcburku v roce 2001. V současnosti je vyvíjený
pod
vedením
autora
na
Floridské
univerzitě
v Tallahassee.
Program je k dispozici v licenci GPU, tedy volně šiřitelný software. Získala i několik mezinárodních ocenění. Nejnovější verze je 3.2. 46.0. Je moţné vyuţít instalovanou verzi WebStart, která umoţní práci i v reţimu offline nebo verzi AppletStart (bez instalace), která otevře plně funkční java applet GeoGebry v internetovém prohlíţe či. Vývoj programu i nadále pokračuje. Má také kompletně počeštěná menu a nástroje. Příklady lze nalézt na velmi dobře provedeném webu podpory, který je i v české mutaci. 3 Manuál je k dispozici v elektronické formě v češtině a je dobře zpracovaný. R ychlost vykreslování
je
výborná
a
nástroje
velmi
dobře
rozmístěné
a
také
kombinované s textem. Jsou větší a lépe viditelné neţ v Cabri. Paleta nástrojů je velmi bohatá, a pokud by nějaký chyběl, lze jej vytvořit pomocí volby „Vytvořit nový nástroj“ . Obsahuje nástroje pro body, přímky, mnohoúhelníky, křivky, kuţelosečky, měření délek a úhlů. Nechybí také nástroje pro konstrukce jako kolmice, rovnoběţky, osy, středy úseček, nástroje pro různá zobrazení a moţnost vkládání textu. Lze také nastavit různé grafické atri buty jako tloušťku a typ bodů, tloušťku a t yp čar. Je moţné ukládat vytvořené projekt y ve formě souboru GeoGebra, v bitmapovém a otevřeném vektorovém formátu. Pro export k vytvoření java appletů není třeba nic instalovat, neboť GeoGebra umí vyexportovat webovou stránku i s java appletem přímo v programu . Má velmi dobře
udělaný
geometrické
algebraický
objekty
pomocí
vstup,
coţ
vzorců
či
umoţňuje zadávání
vykreslovat
vektorů.
Taktéţ
nejen umí
vygenerovat postup konstrukce, coţ je vhodný nástroj pro kontrolu správnosti postupu ţáků při konstrukci. Velmi dobrý program , který více neţ zdatně konkuruj e Cabri Geometrii.
3
H o he nw a rt e r, M a r kus . Geo Geb ra – Do mo v ská st rá n ka p ro g ra mu . [ O nl i ne] 2 0 0 1 . ht tp : // www. g e o geb r a.o r g/ c ms /
12
3.3
Geonext 1.73 Geonext je freewarový program vyvinut ý na německé Universität
Bayreuth
a
šířený
pod
GNU
General
Public
bezproblémová a je moţné také on -line spouštění.
License.
Instalace
je
4
Má také kompletně počeštěná menu a nástroje. Manuál je k dispozici v elektronické formě v češtině, ale je velmi stručný. 5 V programu je obsah nápověd y
v češtině,
ale
jednotlivé
popisy
jsou
v angličtině.
Podpora
uţivatelských materiálů je u nás malá, je nutné pátrat na internetu po materiálech kolegů. R ychlost vykreslování je velmi dobrá a pro aplikace v geometrii na ZŠ je dostatečná. Nástroj e jsou velmi dobře rozmístěné a také kombinované s textem. Paleta nástrojů je velmi bohatá , ale nenašel jsem nástroj
pro
tvorbu
maker .
Obsahuje
nástroje
pro
body,
přímky,
mnohoúhelníky, křivky, měření délek a úhlů. Nechybí také nástroje pro konstrukce jako kolmice, rovnoběţky, osy, středy úseček a moţnost vkládání textu. Chybí mi tu bohatší nástroje pro zobrazení, má jen nástroj pro osově a bodově souměrný bod. Lze také nastavit různé grafické atributy jako tloušťku a typ bodů, tloušťku a t yp čar. Je moţné ukládat vytvořené projekt y ve formě souboru Geonext, v bitmapovém a otevřeném vektorovém formátu. Pro export k vytvoření java appletů není třeba nic instalovat , neboť Geonext umí vyexportovat
webovou
Algebraický vstup
je
stránku omezen
i
j ava
pouze
na
appletem zadávání
přímo funkcí.
v
programu. Taktéţ
umí
vygenerovat „protokol konstrukce“, coţ je vhodný nástroj pro kontrolu správnosti postupu ţáků při konstrukci. Stejně jako GeoGebra jej umí vygenerovat i s jiţ hotových souborů, které je moţné stáhnout z webu tvůrce. Velmi slušný program, který sice nedosahuje zcela kvalit programu Cabri Geometri e, ale je zdarma a má dostatečné nástroje pro výuku geometrie
4
B a y reu th, U niv erz it a . GEO NE XT – Do mo v ská st rá n ka . [O n li n e] ht tp : // geo n e xt. u n i b a yr e ut h.d e/ i nd e x.p hp ? i d =2 4 5 3 5
PR IK N E R, M ila n. Geo ne x t – d yn a mic k á geo me trie zd ar ma . Mi la n P r ik n er – ZŠ Filo so f s ká . [ O nl i ne] 2 2 . b ř eze n 2 0 1 1 . ht tp : //p ri k ner . wz .cz / fi le s/ n a vo d _ geo ne x t.p d f? P HP SE SS ID=7 d 4 d fb b c5 a 4 6 6 d b 3 8 3 d 9 d e9 a4 9 e ec3 8 b
13
na ZŠ. V současné době je k dispozici verze z roku 2008, z čehoţ pl yne, ţe se program pravděpodobně dá le nevyvíjí. 3.4
C.a.R.
Autorem program je profesor René Grothmann z Katholische Universität Eichstätt. Je k dispozici v licenci GNP, tedy volně šiřitelný software . 6 Na rozdíl od ostatních programů je tento ve slovenské jaz ykové verzi. To
samozřejmě
není
ideální,
al e
domnívám
se,
ţe
by
děti
neměl y
s porozuměním ovládacích prvků výraznější problém y. Pro ovládání
je
k dispozici pouze kontextová nápověda, která není v podstatě rozumně pouţitelná. Program lze spouštět i on -line na internetu z domovského webu bez instalace na počítač. R ychlost vykreslování je velmi dobrá. N ástroje jsou však oproti předchozím programům trochu nepřehledně rozmístěné, ale jsou naštěstí kombinované s textem. Při častějším pouţití by si však uţivatel měl na rozmístění zvyknout. Naproti tomu j sou větší a lépe viditelné neţ v Cabri. Paleta nástrojů je velmi bohatá , a kdyby nějaký chyběl, lze jej vytvořit pomocí volby „Makrá“. Obsahuje nástr oje pro body, přímky, mnohoúhelníky, křivky, měření délek a úhlů. Nechybí také nástroje pro konstrukce jako kolmice, rovnoběţky, osy, středy úseče k, nástroje pro různá zobrazení a moţnost vkládání textu. Lze také nastavit různé grafické atribut y jako tloušťku a t yp bodů, tloušťku a t yp čar. Je moţné ukládat vytvořené projekt y ve formě souboru C.a.R., v bitmapovém a otevřeném vektorovém formátu a také do formátu pdf. Pro export k vyt voření java appletů není třeba nic instalovat, neboť C.a.R. umí vyexportovat webovou stránku i s java appletem přímo
v programu
s bohat ým
nastavením
ovládacích
prvků .
Umoţňuje
vykreslovat funkce zadané algebraicky. Postup konstrukce se zaznamenává postupně v levém okně, a to volitelně, coţ lze pouţít jako nástroj pro kontrol u správnosti postupu ţáků při konstrukci. Velmi dobrý program , který v mnohém Cabri Geometrii můţe nahradit. Tutoriál je velmi příjemným bonusem tohoto programu. 6
G RO TH M AN N, Re né. C.a . R., Co mp a s s a n d Ru le r, Co n st ru c t a n d Ru le. [O nl i ne] 2 0 0 1 . ht tp : // zir k el. so ur ce fo r ge .ne t/d o c_ e n /i nd e x . ht ml
14
3.5
Dynamická geometrie v rovině 3.1 Český výukový software z dílny RNDr. Petra Branta . Distribu torem
softwaru je stejně jako u Cabri firma Pachner. Za cenu 1690 Kč jej lze získat jako školní multilicenci. 7 Program je samozřejmě v češtině. Pro uţivatelskou podporu je na instalačním CD video průvodce. Nápověda programu je sice srozumitelná, ale poněkud stručná s minimem příkladů. Webová podpora k programu není. Program nelze spouštět on -line. R ychlost vykreslování je velmi dobrá. Nástroje
jsou
však
oproti
předchozím
programům
poněkud skromnější
a neobsahuje makroinstrukce. Obsahuje nástroje pro body, p římky a kruţnice, měření délek a úhlů , kalkulačku. Nechybí také nástroje pro konstrukce jako kolmice, rovnoběţky, osy, středy úseček . Nástroje pro různá zobrazení chybí, je třeba tato zobrazení klasicky zkonstruovat. Je zde i moţnost vkládání textu. Lze také nastavit různé grafické atributy jako tloušťku a typ bodů, tloušťku a t yp čar. Neumí nastavit barvu pozadí ani vybarvení objektů. Je moţné ukládat vytvořené projekt y pouze ve formátu tohoto programu a ve formě animace, kterou lze však přehrát pouze v mateřském programu. Ostatní moţnosti exportu chybí. Zadávání funkcí neumí a záznam konstrukce nelze vygenerovat, lze jej vysledovat pouze při přehrávání konstrukce, coţ by se také dalo pouţít pro kontrolu správnosti postupu ţáků. Velmi jednoduchý program ve srovnání s ostatními, coţ můţe být i s cenou určitá výhoda pro učitele, kteří by dali přednost jednoduchosti před bohatostí výbavy. Kaţdopádně by v mnohém postačoval pro výuku geometrie na 2. stupni ZŠ. Video-průvodce je jistě přínosným bonusem tohoto p rogramu.
3.6
Shrnutí porovnání a závěrečné zhodnocení Abych mohl t yto program y zhodnotit a seřadit dle vhodnosti pro pouţití
na naší škole, pouţi l jsem následující kritéria. Hodnotil jsem vlastnosti 7
PAC H N E R. AB C v zd ěl á vá n í – e - sh o p . [O n li n e] 2 6 . 3 2 0 1 1 . ht tp : //p ac h ne r .i n s ho p .c z /i n s ho p /.
15
jednotlivých programů dle jejich váhy pro mé rozhodnutí for mou udělovaných bodů (2-10 bodů). Zvaţoval jsem následující vlastnosti : cena, rychlost vykreslování,
moţnosti
exportu,
a uţivatelská
přívětivost,
tvorba
on -line maker
provoz,
(nových
mnoţství
nástrojů),
nástrojů
uţivatelská
podpora softwaru (viz. Tabulka 1).
Ta bu l ka 1 – po ro v ná n í pro g ra mů dy na mi c ké g eo met ri e.
Vlastnosti
Váha
% Cena Rychlost Export On-line Ovládání Podpora Makra Celkem Umístění
25 20 15 5 20 10 5 100
Cabri
GeoGebra
Geonext
C.a.R.
D.G. v rovině
body váţené body váţené body váţené body váţené body váţené 2 10 7 0 10 10 10 49
0,5 2 1,05 0 2 1 0,5 7,05 4.
10 8 9 8 9 9 10 63
2,5 1,6 1,35 0,4 1,8 0,9 0,5 9,05 1.
10 8 8 8 8 6 0 48
2,5 1,6 1,2 0,4 1,6 0,6 0 7,9 2.
10 7 9 6 6 5 10 53
2,5 1,4 1,35 0,3 1,2 0,5 0,5 7,75 3.
8 10 2 0 8 0 0 28
2 2 0,3 0 1,6 0 0 5,9 5.
Ze srovnání vypl ývá, ţe nejlepším produktem pro účel y nasazení v naší škole dle zadaných kritérií je program GeoGebra.
3.7
Výhody GeoGebry Program GeoGebra jsem tedy vybral pro instalaci na naší škole a také
pro aplikaci v této práci pro výuku geometrie na 2. stupni ZŠ. Tento program má mnoho předností a zde bych uvedl jen výčet těch nejdůleţitějších:
je zdarma a díky tomu je vh odný i pro domácí přípravu ţáků a učitelů,
má online i offline verzi ,
je i v českém jaz yce ,
existuje poměrně velké mnoţství jiţ hotových prací na internetu , 16
má přehledné pracovní prostředí ,
má bohatou škálu nástrojů ,
umoţňuje krokování, zápis konstr ukce,
je v současné době velmi rozšířen ve výuce v USA, Francii a Německu, ale i v dalších státech,
je v současnosti i nadále vyvíjen a podporován .
4 Aplikace GeoGebry ve výuce Aplikace programů do výuky geometrie můţe být velmi široká. Vzhledem k tomu, ţe budu příští školní rok pravděpodobně znova učit ţáky 9. a 8. tříd, jsem se rozhodl, ţe se budu věnovat didaktické aplikaci právě pro tyto ročníky. Je to záruka toho, ţe vytvořené materiál y budou prakticky vyuţit y a případně doplňovány a vylepšovány. V kaţdém zvoleném tématu bych rád vytvořil objekt y vhodné pro demonst raci a ilustraci daného učiva, zadání různých úloh dle obtíţnosti a způsobu řešení a samozřejmě také hotové vyřešené úlohy. Demonstrační obrázky budou ve formátu tzv. java appletu, aby je bylo moţno jednoduše prohlíţet a manipulovat s nimi v jakémkoliv internetovém prohlíţeči s nainstalovaným doplňkem Java.
4.1
Výběr učiva z geometrie pro 9. ročník Současně v této kapitole uvádím i ročníkové výstupy, které lépe
vystihují účel a cíl tvořených objektů a úloh pro výuku s program y dynamické geometrie. 4.1.1 Podobnost Učivo: Podobnost, poměr podobnosti, dělení úsečky v daném poměru, vět y o podobnosti trojúhelníků . Ročníkové výstupy:
Ţák určí podobné útvary.
Ţák určí a pouţije poměr podobnosti. 17
Ţák rozdělí úsečku v daném poměru.
Ţák zvětší nebo zmenší útvar v rovině v daném poměru.
Ţák uţívá poměr podobnosti při práci s mapou a plány.
Ţák v yuţívá podobnosti trojúhelníků v příkladech z praxe.
4.1.2 Tělesa Učivo: Jehlan, kuţel, koule. Ročníkové výstupy:
Ţák odhadne a vypočítá povrch a objem těles – jehlan, kuţel, koule.
Ţák načrtne a sestrojí sítě základních těles.
Ţák načrtne a sestrojí ob raz jednoduchých těles v rovině.
Ţák
určuje
a
charakterizuje základní
prostorové útvary (těles a),
anal yzuje jejich vlastnosti.
Ţák odhaduje a vypočítá objem a povrch těles .
Ţák anal yzuje a řeší aplikační geometrické úlohy s vyuţitím osvojeného matematického aparátu .
4.2
Úlohy na podobnost
4.2.1 Určení a použití poměru podobnosti Následující dva pracovní list y slouţí k samostatné práci ţáků, kde objevují poměry při podobnosti trojúhelníků. Na obrázku níţe je pracovní list, na kterém si ověří pomocí výpočtu, ţe při jakékoliv změně trojúhelníků zůstávají poměry stran zachovány stejně jako jejich podobnost. Na tomto pracovním listě si ověří i podobnost podle vět sus a uu.
18
O brá z e k 4 – pra co v n í l ist "Po do bno st tro j úh e ln í ků " .
Pracovní list „Neznámá strana u podobných trojúhelníků“
slouţí
k poznávání, jak lze u podobných útvarů vypočítat neznám ý rozměr, známe -li poměr a rozměr na vzorovém útvaru.
O brá z e k 5 – pra co v n í l ist " Nez ná má stra na u po do b ný c h tro j ú he ln í ků".
19
Pracovní list „Podobný čt yřúhelník“ na příkladu obecného čt yřúhelníku demonstruje podobnost geometrických útvarů s tím, ţe úkolem ţáka je manipulací
s objekty
nastavit
příslušný
poměr
podobnosti,
porovnávat
podobné objekt y při překrytí a stanovit minimální počet shodných úhlů pro zjištění podobnosti čtyřúhelníků.
O brá z e k 6 – pra co v n í l ist „ Po do b ný čty řú he l n í k“ .
4.2.2 Dělení úsečky s využitím podobno sti trojúhelníků Dalším praktickým modelem je dynamický pracovní list vhodný pro demonstraci konstrukce dělení úsečky s vyuţitím podobnosti trojúhelníků. Je moţné konstrukci krokovat, spustit animaci a pohybovat. Výhodou těchto typů java appletů je, ţe poslouţí učiteli pro vysvětlení postupu, pravidel, souvislostí a současně mohou být pouţity samotnými ţáky pro objevování vztahů a postupů při konstrukci. Na pracovním listu „Dělení úsečky“ je zadání příkladu podobného výše uvedenému s tím rozdílem, ţe jde o java applet bez konstrukce a ţák provede konstrukci samostatně nebo ve dvojici. Navíc má vyvodit při konstrukci odpovědi na doplňující otázky o této konstrukci. Pro případ nutné nápovědy
20
je přiloţen postup konstrukce v symbolické textové podobě, dle kteréh o se ţák můţe řídit, či jen do něj nahlíţet pro kontrolu postupu.
O brá z e k 7 – pra co v n í l ist „ Dě le ní ú se č ky “ .
21
4.3
Planimetrie
4.3.1 Souvislost mezí Ludolfovým číslem a obvodem kruhu, vztah mezi radiány a stupni. Připravil jsem téma jako dokumentační java applet (obrázek 13) a připomenutí co je to π. Nastavením úhlu s e zobrazí tento úhel na obrázku a současně se přepočítá na radiány. Změnou r si pouze ţák ověří, ţe na poloměru nezávisí počet radiánů úhlu. Je to příprava na učivo o po vrchu a objemu těles a na goniometrické funkce.
O brá z e k 8 – pra co v n í l ist „ Ra diá ny a π“ .
22
4.4
Tělesa
4.4.1 Jehlan Následující
obrázek
je
z java
appletu
francouzského
profesora
matematiky, Daniela Mentranda 8. Vypracoval více témat, která ve formátu html nabízejí univerzální pouţití. Jedinou chybičkou je francouzský jaz yk, ale i to se dá překonat v dnešní době pomocí on -line překladačů. Tento java applet umoţňuje modelovat i víceboké jehlany s nastavením základních rozměrů. Zajímavá je také moţnost natáčení v prostoru, coţ podpoří prostorovou představivost ţáků.
O brá z e k 9 – je h la n
8
M ENT RA ND , Da ni el. 2 0 1 1 . Le s P yra mi d e s a b a se s P o l yg o n ale s. LES M ATH EM ATI QU ES AVE C G EO GEBR A. [ O nl in e] 2 0 1 1 . ht tp : //d me nt r ar d . fr ee. fr / GEO GEB R A/M at h s/ Esp ace/ Le sp yra mi d e. h t ml
23
Následující konstrukce je zajímavá t ím, ţe modeluje čt yřboký jehlan a
na
něj
v návaznosti
síť
tohoto
jehlanu.
Síť
jehlanu
je
opatřena
nastavitelnými okraji ke slepení pro případ, ţe dáme ţákům za úkol jehlan z papíru vyrobit. Opět jsou zde uvedeny úkol y, které ţák poté musí splnit.
O brá z e k 1 0 – je h la n a j eho sí ť
Na dalším obrázku je ilustrační příklad zadání konstrukce s výpočtem povrchu. Je na učiteli, zda ţákům dá k dispozici postup konstrukce či nikoli. V případě motivovaných ţáků slouţí postup konstrukce jen jako kontrola správnosti postupu jak pro ţáka, tak i pro učitele, kt erý si aktuální postup konstrukce vygeneruje přímo na ţákově ploše, nebo si konstrukci jen přehraje. To však učitel provádí jen tehdy, není -li z dynamické konstrukce při manipulaci s ní zřejmé, zda je konstrukce provedena správně.
24
O brá z e k 1 1 – sí ť a po v rch tro j bo kého je hla n u
25
Následující příklad slouţí k samostatnému zkoumání vztahů u objemu a povrchu čt yřbokého jehlanu. Ţákům lze zadat v tomto případě různé úloh y na výpočet objemu či povrchu jehlanu, a pomocí java appletu si ţáci sami ověřují správnost řešení. Nebo ke konkrétnímu objemu či povrchu ţáci hledají optimální rozměry atd.
O brá z e k 1 2 – o bje m a po v rc h j eh la n u
26
4.4.2 Kužel Další java applet je z dílny Daniela Mentranda. 9 Pracovní list umoţňuje modelovat pomocí animace rotaci pravoúhlého trojúhelníku tak, ţe vzniká rotační kuţel. Vyuţívá zde nastavení stopy na přeponu a „stojící“ odvěsnu, které pak svými stopami před očima ţáků vytvářejí obraz kuţelu. Je zde moţné nastavit i základní rozměry. Zajímavá je také moţnost přizpůsobení rychlosti otáčení a automatická animace.
O brá z e k 1 3 – ro t uj íc í, pra v o úh lý tro jú he ln í k ( ku že l)
Následující obrázek je z java appletu, v němţ si ţáci vyzkouší, jak se mění s parametry kuţelu i jeho síť. Je to spíše demonstrační java applet, který můţe být doplněn úkolem na téma obsah a povrch kuţelu.
9
M ENT RA ND , Da ni el. 2 0 1 1 . Co n e d e r é vo l u tio n . [O nl i ne] 2 0 1 1 . ht tp : //d me nt r ar d . fr ee. fr / GEO GEB R A/M at h s/ Esp ace/ Co n e. ht ml .
27
O brá z e k 1 4 – ku že l a j eho sí ť
28
4.4.3 Koule Třetí produkt z ruky Daniela Mentranda. 10 Java applet poskytuje animaci vyplnění vnitřního prostoru koule s následným vypsáním příslušného vzorce pro výpočet objemu koule. I kdyţ je tento java applet poněkud jednodušší, je dle mého názoru vhodný pro demonstraci zobrazení koule a jejího vnitřního prostor u.
O brá z e k 1 5 – a ni ma c e ko u le
Poslední java applet, který zde představím, je z kategorie dynamických pracovních listů. Jedná se o vzorce a výpočt y objemu a povrchu koule. Ţák má pro poznání látky splnit úkol y, které jsou uvedené pod vygenerovaným java appletem. Jedná se o úkol y nejprve na hledání ob jemů k daným různým poloměrům, poté k opačnému postupu. K hledání poloměru, kdyţ známe
10
M ENT RA ND , Da ni el. 2 0 1 1 . Vo l u me d ´u n e B o ul e. L ES MAT HE MA TIQ U ES AVE C GEO GEB RA. [ O nl i ne] 2 0 1 1 . ht tp : //d me nt r ar d . fr ee. fr / GEO GEB R A/M at h s/ Esp ace/ Vo lb o u le. h t ml
29
povrch nebo objem. Nakonec je pak ţákovi předloţena slovní úloha pro pouţití výpočtu objemu koule.
O brá z e k 1 6 – o bje m a po v rc h ko ule
30
4.5
Ostatní zdroje z internetu Na internetu je mnoho zdrojů java appletů pro geometrii vytvořených
v různých programech. Valná většina jich je vytvořených v programech, které uvádím ve srovnání v kapitole 3.6. Díky univerzálnosti těchto materiálů má učitel moţnost jich vyuţít pro demonstrační účel y bez ohledu na to, ve kterém programu dynamické geometrie se na škole pracuje. Je samozřejmě lepší, pokud
i
t yto
demonstrační
java
applet y
jsou
vytvořeny
„domáckým“
programem dynamické geometrie. Kaţdopádně dynamické pracovní list y, ve kterých si má ţák něco vyzkoušet či doplnit konstrukci, je třeba exportovat ze známého prostředí programu dynamické geometrie. To je důvod, proč js em i já tvořil t yto dynamické list y a demonstrační java applet y.
5 Závěr Po prostudování pramenů, t ýkajících se dynamické geometrie, jsem nucen potvrdit to, co jsem uváděl v úvodu mé práce. Ţe t yto program y mohou skutečně výrazně zefektivnit výuku geometrie na druhém stupni ZŠ. Není to tím, ţe by ţáci rychleji sestavovali konstrukce na počítači v porovnání s klasickým rýsováním (i kdyţ časem to můţe být pravda). Spíše lze odpozorovat ze strany ţáků zvýšený zájem a motivaci, které zákonitě vedou k efektivnějšímu učení. V kapitole, která se věnuje výčtu a porovnávání vlastností jednotlivých programů dynamické geometrie, jsem dospěl k závěru, ţe program Cabri Geometrie jiţ není jediný kvalitní produkt vhodný pro dynamické geometrické konstrukce. Z porovnání vyšel jako nejlepší produkt program GeoGebra, který je stále aktivně vyvíjený, obsahuje nespočet nástrojů, velmi dobrou podporu a je pro nekomerční vyuţití zcela zdarma. Proto jsem tento program zvolil i jako kmenový software pro vyuţití dynamické geometrie při výuce na naší škole. Program je v současnosti
31
k dispozici na všech počítačích určených k výuce a ţáci jej v m ých hodinách matematiky jiţ vyuţívají. Vzhledem k náročnosti a šíři učiva vztahující se ke geometri i jsem zvolil učivo pouze pro 9. tří du. A to i proto, ţe jej mohu sám zkoušet v praxi. Všechny java applety jsem jiţ s počátečním úspěchem ve svých hodinách vyzkoušel a je vidět, ţe ţáci tuto moţnost alternativní výuky geometrie více neţ vítají. Velmi úspěšně se mi podařilo také výsledky mé práce odzkoušet na interaktivní tabuli SMART, která se jeví jako velmi vhodný prostředek pro počáteční uvedení do ovládání Geo Gebry a pro demonstraci geometrických konstrukcí. Ve své práci jsem se snaţil najít a prozkoumat cestu k aplikaci dynamické geomet rie na druhém stupni, zejména na naší škole. To byl hlavní důvod, proč jsem si toto téma zvolil. Tuto práci chci vyuţít pro obohacení výuky geometrie na naší škole a tato práce bude základem k rozšiřování škál y vzdělávacích materiálů, vyuţívajících dynamickou geometrii.
32
6 Seznam použitých zdrojů a literatury
[1] Bayreuth, Univerzita. GEONEXT – Domovská stránka. [Online] http://geonext.uni -bayreuth.de/index.php?id=2453. [2] GROTHMANN, René. 2001. C.a.R., Compass and Ruler, Construct and Rule. [Online] 2001. http://zirkel.sourceforge.net/doc_en/information.html [3] Hohenwarter, Markus. 2001. GeoGebra - Domovská stránka pro gramu. [Online] 2001. http://www.geogebra.org/cms/ cz. [4] KRUPKA, Petr. 1995. Geometrie – sbírka úloh z matematiky pro 2. stupeň základní školy. Praha : Global s.r.o., 1995. [5] ODVÁRKO, Oldřich a KADLEČEK, Jiří. 2000. Matematika [2] pro 9. ročník zákaldní školy. Praha : Prometheus, 2000. [6] ODVÁRKO, Oldřich a KADLEČEK, Jiří .2001. Matematika [3] pro 9. ročník zákaldní školy. Praha : Prometheus, 2001. [7] ODVÁRKO, Oldřich a KADLEČEK, Jiří .2004. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. Praha : Prometheus, 2004. [8] PACHNER. 2011. ABC vzdělávání – e-shop. [Online] 2. 3 2011. http://pachner.inshop.cz/inshop/. [9] MENTRAND, Daniel. 2011. Les P yramides a bases Pol ygonales. LES MATHEMATIQUES AVEC GEOGE BRA. [Online] 2011. http://dmentrard.free.fr/GEOGEBR A/Maths/Espace/Lespyramide.html Obrázek 1 pouţit z odkazu: VANÍČEK, Jiří. Dynamická geometrie. [Online] leden 2011. http://www.pf.jcu.cz/cabri/temata/dynamgeo/dyngeo.htm
Ilustrační
sejmutí
obrazovky
programu
Geo Gebra
konstrukcí
vytvořených autorem u obrázků 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 16 – vytvořil autor práce . Ilustrační
sejmutí
obrazovky
programu
Geo Gebra
konstrukcí
vytvořených Danielem Mentrandem u obrázků 9, 13, 15 – vytvořil autor práce. Odkaz y uvedeny na straně s obrázky.
33
