No title

INFORMATIKA Dokazov n a objevov n vt v geometrii pomoc metod potaov algebry PAVEL PECH Pedagogick fakulta JU, esk Budjovice

1. vod

V posledn tetin dvactho stolet byly vyvinuty inn metody v automatickm dokazovn vt elementrn geometrie. Pomoc tto teorie byly dokzny a dokonce objeveny stovky netriviln ch vt. V semini, kter jsem vedl v posledn ch letech na Pedagogick fakult Jihoesk univerzit, jsme pomoc teorie automatickho dokazovn vt na po tai eili adu problm elementrn geometrie. Studenti, kte tento voliteln semin navtvovali, byli vtinou ve tvrtm ron ku studia uitelstv matematiky pro zkladn koly a pro koly stedn , t.j mli znalosti zkladn ho kurzu geometrie. Pomoc po tae i klasick m zp sobem jsme vyetovali adu loh { Heronovu formuli pro v poet obsahu trojheln ka a jej zobecnn { Brahmaguptovu formuli pro v poet obsahu ttivovho tyheln ka pomoc dlek jeho stran. Dle Staudtovu formuli, Wallace{Simsonovu vtu a jej zobecnn , Napoleonovu vtu a dal podobn problmy. Zat mco klasick (syntetick) metoda dv lep vhled do dan geometrick situace a t m umouje i lep porozumn problmu a v ce ukazuje krsu geometrie, pomoc po taov algebry na druh stran m eme eit sloit lohy, kter jsou klasick m zp sobem obt n eiteln. Pomoc po taov algebry lze provdt dokazovn matematick ch vt (automatic Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

295

theorem proving), odvozovn (automatic derivation) a objevovn (automatic discovery) nov ch vt. Lze t provdt konstrukce, kter nen snadn sestrojit pomoc prav tka a kru tka, atd. V tomto lnku podme strun pehled tto teorie. Pokud je mi znmo, v etin literatura k tto problematice neexistuje a tak zjemc m o hlub studium doporuuji vynikaj c publikaci 4], viz t 7], 10]. Na nkolika p kladech elementrn geometrie v rovin je ukzno pouit metod po taov algebry, kter je vtinou doplnno i klasickou zp sobem een .

2. Automatick dokazovn vt Nejprve trochu teorie. Automatick dokazovn vt se zab v geometrick mi tvrzen mi, kter maj tvar H ) c, kde H je mnoina pedpoklad a c je zvr. Prvn m krokem je algebraizace geometrickho problmu ve zvolen soustav souadnic. Tato fze je charakterizovna sestaven m mnoiny pedpoklad H, kter maj tvar polynomick ch rovnic

h1 (x1 x2 : : : xn ) = 0 h2 (x1 x2 : : : xn ) = 0 : : : hr (x1 x2 : : : xn ) = 0 a zvru c, kter je vyjden rovnic

c(x1 x2 : : : xn ) = 0 kde koecienty polynom jsou racionln sla. Tedy algebraick tvar naeho tvrzen je

8xf(h (x) = 0 ^ h (x) = 0 ^ ^ hr (x) = 0) ) c(x) = 0:g 1

2

(1)

C lem dal ho kroku je oven pravdivosti neboli verikace tvrzen (1). Mme rozhodnout, zda zvr tvrzen plyne z dan ch pedpoklad , nebo, co je tot, zda nulov mnoina zvru c obsahuje nulovou mnoinu pedpoklad H, tj. zda plat Zero(H) Zero c): K tomu sta ukzat, e polynom c pat do idelu (h1 : : : hr ): Zde krtce pipomeme denici idelu. Idelem I kter je generovn polynomy (h1 : : : hr ) zna me I = (h1 : : : hr ) rozum me mnoinu vech polynom tvaru c1 h1 + c2 h2 + + cr hr kde c1 c2 : : : cr jsou libovoln polynomy. Rozhodnut , zdali polynom c pat do danho idelu I bylo jet donedvna velmi obt n m problmem (tzv. ideal membership problem). 296

Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

V sedmdest ch letech 20. stolet tento problm vyeil Bruno Buchberger z univerzity v Linci pouit m algoritmu, kter se na poest svho objevitele naz v Buchbergerv algoritmus. Ve vtin znm ch matematick ch program (nap. Mathematica, Maple) je implementovn p kaz NF(c,I), zaloen na Buchbergerov algoritmu, pomoc kterho um me danou otzku rozhodnout. Jednodue eeno, p kaz NF(c,I) nebo t normln forma polynomu c vzhledem k idelu I dv zbytek pi dlen polynomu c polynomy h1 : : : hr kter mi je idel I generovn. Pokud NF(c,I)=0, potom je zbytek roven nule a polynom c nle idelu I , tj. lze pst c = c1 h1 + c2 h2 + + cr hr kde c1 c2 : : : cr jsou njak polynomy. Cel proces je zobecnn m Euklidova algoritmu pi dlen polynomu polynomem o jedn promnn, viz 4], kde je cel problm podrobn vyloen. Nejjednodu zp sob, jak ukzat podstatu automatickho dokazovn vt, je demonstrace na p kladu. Mjme nsleduj c p klad. Dokate, e se v ky trojhelnka protnaj v jedin m bod. Nejprve zvol me vhodnou soustavu souadnic, tj. takovou, aby vztahy, kter mi budeme analyticky popisovat geometrickou situaci byly co nejjednodu , obr. 1.

;

Obr. 1 Vky troj heln ka ABC proch zej jedn m bodem { po ta ov d kaz

Ozname A = 0 0] B = a 0] C = b c] vrcholy trojheln ka ABC: Nyn vyjd me rovnice v ek va vb vc : va : (b ; a)x + cy = 0 vb : bx + cy ; ab = 0 vc : x ; b = 0: Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

297

Pedpokldejme, e se v ky vb a vc prot naj v bod O = s t], tj. e plat O 2 vb , bs + ct ; ab = 0 O 2 vc , s ; b = 0: Chceme ukzat, e v ka va obsahuje bod O, tj. O 2 va , (b ; a)s + ct = 0: Tedy mme dokzat nsleduj c tvrzen

8s tf(bs + ct ; ab = 0) ^ (s ; b = 0) ) (b ; a)s + ct = 0g:

(2)

V tomto velmi jednoduchm p pad jsme schopni ukzat, e tvrzen (2) je pravdiv, dokonce run { bez uit po tae. Uvdomme si toti, e plat (b ; a)s + ct = 1 (bs + ct ; ab) ; a (s ; b):

(3)

Vyjdili jsme polynom zvru (b ; a)s + ct jako linern kombinaci polynom pedpoklad bs + ct ; ab and s ; b: Z platnosti rovnic bs + ct ; ab = = 0 s ; b = 0 plyne z (3) platnost rovnice (b ; a)s + ct = 0: Ukzali jsme, e polynom (b;a)s+ct nle idelu I = (bs+ct;ab p;b): V programu CoCoA ), kter budeme pou vat, nap eme Use R::=Qabcst] I:=Ideal(bs+ct-ab,s-b) NF((b-a)s+ct,I)

Dostaneme odpov! 0, tj. NF((b-a)s+ct,I)=0 a tvrzen (2) je pravdiv. "Po taov # d kaz je hotov. Ukame jet klasick d kaz tvrzen , e v ky trojheln ka se prot naj v jednom bod. M eme pou t nsleduj c postup: Vrcholy A B C trojheln ka vedeme rovnobky s protj mi stranami BC AC AB obr. 2. Dostaneme nov trojheln k A B C v nm v ky va vb vc trojheln ka ABC tvo osy stran. Nyn sta ukzat, e se osy stran trojheln ka A B C prot naj v jednom bod. D kaz tohoto tvrzen penechvme teni. 0

0

)

0

0

0

0

Software CoCoA je zdarma k dispozici na adrese http://cocoa.dima.unige.it

298


;

Obr. 2 Vky va vb vc troj heln ka ABC proch zej jedn m bodem { klasick d kaz

K d kazu tvrzen jsme nap. mohli pou t i Cevovu vtu apod. Klasick d kaz, kter jsme prv ukzali, ml krom ady klad jeden podstatn nedostatek { potebovali jsme m t kl ov npad, kter vede k een problmu. Nkdy se vak m e stt, e dn kl ov npad nedostaneme.

3. Automatick odvozovn vt

V dal sti se zam me na automatick odvozovn vt, kter vtinou odliujeme od automatickho objevovn vt, o kterm budeme hovoit v dal kapitole. Pod automatick m odvozovn m vt rozum me hledn geometrick ch tvrzen pedepsan ch vlastnost , kter plynou z dan ch pedpoklad .

3.1 Staudtova formule

Obvykle za nme se studenty odvozen m Heronovy formule pro obsah trojheln ka. Protoe se vak jedn o velmi znm p pad, viz. nap. 7], ukeme danou metodu na nsleduj c m mn znmm p kladu. Nech ABCD je rovinn tyhelnk se stranami d lek a b c d a hlop kami e f . Vyjdete obsah p tyhelnka ABCD pomoc a b c d e f . Ukame nejprve een tto lohy metodou automatickho odvozovn . Pot ukeme een klasick, abychom mohli ob metody porovnat. Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

299

Zvolme systm souadnic tak e A = 0 0] B = a 0] C = x y] D = = u v] a ozname a = jAB j b = jBC j c = jCDj d = jDAj e = jAC j f = jBDj obr. 3.

;

Obr. 3 Obsah ty heln ka ABCD vyj den pomoc vzd lenost a b c d e f

Pro dlky stran a hlop ek dostaneme: h1 : (x ; a)2 + y2 = b2 h2 : (u ; x)2 + (v ; y)2 = c2 h3 : u2 + v2 = d2 h4 : x2 + y2 = e2 h5 : (u ; a)2 + v2 = f 2 : Obsah p tyheln ka ABCD m eme vyjdit s pouit m souadnic vrchol nap. tak, e tyheln k rozdl me kolmicemi na stranu AB kter prochzej vrcholy C D na dva pravohl trojheln ky AD D CC B a lichobn k D C CD: Potom snadno zjist me, e pro obsah p plat h6 : p = 1=2(ay + xv ; uy): Z rovnic h1 h2 : : : h6 budeme eliminovat promnn x y u v: Jinak eeno, v idelu I = (h1 h2 : : : h6 ) hledme polynomy, kter obsahuj pouze promnn a b c d e f p: Mezi tmito polynomy budeme hledat na formuli. V CoCoA nap eme 0

0

0

0

Use R::= Qxyuvabcdefp] I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(u-x)^2+(v-y)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+ y^2-e^2, (u-a)^2+v^2-f^2,p-1/2(ay+xv-uy)) Elim(x..v,I)

Jako odpov! dostaneme dva polynomy. Jeden z nich dv po prav hledan vztah 16p2 = 4e2 f 2 ; (a2 ; b2 + c2 ; d2 )2 :

(4)

Tuto formuli, kter vyjaduje obsah tyheln ka pomoc vech esti vzjemn ch vzdlenost mezi jeho tymi vrcholy, publikoval Ch. R. Staudt v roce 1842, viz 9]. 300


Druh polynom dv vztah pro vzjemnou zvislost mezi vemi esti vzdlenostmi a b c d e f vrchol tyheln ka. Jak dobe v me, tyheln k je zadn pti prvky, nap. tymi dlkami stran a jednou hlop kou (nikoliv jednoznan). %est vzdlenost tedy mus b t vzjemn zvisl ch, co vyjaduje prv nalezen Eulerova tybodov relace 6]: e4 f 2 + e2(a2 b2 ; a2c2 ; b2d2 + c2 d2 ; a2f 2 ; b2f 2 ; c2 f 2 ; d2 f 2 + f 4) + 4 a c2 ; a2 b2c2 + a2 c4 ; a2 b2 d2 + b4 d2 ; a2 c2 d2 ; b2c2 d2 + b2 d4 ; a2 c2 f 2 + b2 c2 f 2 + a2 d2 f 2 ; b2 d2 f 2 = 0: Eulerova tybodov relace plyne z Cayley{Mengerova determinantu 2] pro objem V tystnu, znme-li dlky jeho vech esti hran a b c d e f 0 1 288 V 2 = 1 1 1

1 1 1 1 0 b2 f 2 a2 b2 0 c2 e2 f 2 c2 0 d2 a2 e2 d2 0

(5)

polo me-li V = 0. Vztah (5) se li od Eulerovy tybodov relace pouze o konstantn nsobek 2: Poznmky: 1) Mli bychom si uvdomit, e Staudtova formule (4) plat pi danm oznaen pro vechny tvary tyheln ka ABCD: Tedy nap. i v p pad, e tyheln k nen konvexn nebo dokonce kdy sm sebe prot n. Obsah p tyheln ka dan formul h6 zahrnuje i tyto p pady a naz v se orientovan obsah. 2) Polo me-li v (4) nap. d = 0 potom se tyheln k zmn na trojheln k a dostaneme Heron v vzorec. Staudtova formule (4) je tedy zobecnn m Heronova vzorce. Nyn ukeme klasick zp sob nalezen Staudtovy formule (4). Z pravohl ch trojheln k AED a DEC dostaneme

jDE j

2

= d2 ; jAE j2 jDE j2 = c2 ; jEC j2

a odtud Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

301

;

Obr. 4 Klasick d kaz Staudtovy formule

d2 ; jAE j2 = c2 ; jEC j2 : Analogicky z pravohl ch trojheln k AFB a CFB dostaneme a2 ; jAF j2 = b2 ; jFC j2 :

(6) (7)

Seten rovnost (6) a (7) dv

a2 ; b2 + c2 ; d2 = jAF j2 ; jFC j2 + jEC j2 ; jAE j2 :

(8)

Pravou stranu (8) m eme napsat ve tvaru (jAF j + jFC j)(jAF j;jFC j)+(jEC j + jAE j)(jEC j;jAE j) = 2ejEF j tedy

(a2 ; b2 + c2 ; d2 )2 = 4e2 jEF j2 : Dle plat jEF j = f cos '. Dosazen do (9) dv

(a2 ; b2 + c2 ; d2 )2 = 4e2f 2 cos2 ':

(9) (10)

Nyn pouijeme formuli pro obsah tyheln ka znme-li dlky hlop ek

e f a hel ' jimi seven , viz nap. 1]

p = 12 ef sin ':

(11)

Konen dosazen m (10) do (11) s pouit m vztahu sin2 ' = 1 ; cos2 ' z skme Staudtovu formuli (4). Na tomto p kladu m eme vidt, e automatick odvozen m e b t v uritm smyslu "snaz # ne pi pouit klasick metody. 302


3.2 Brahmaguptova formule

Staudtovu formuli (4), kterou jsme odvodili v pedchoz sti pouijeme k odvozen vzorce pro obsah ttivovho tyheln ka. Je dn ttivov tyhelnk ABCD (tj. jeho vrcholy le na krunici) o stranch d lek a b c d: Ur ete obsah p tyhelnka ABCD: Uvaujme nejprve p pad konvexn ho ttivovho tyheln ka, viz obr. 5 vlevo.

;

Obr. 5 Obsah ttivovho ty heln ka vyj den pomoc stran a b c d

Podle Ptolemaiovy vty plat vztah ef = ac + bd: Pidme-li tuto podm nku k formuli (4), dostaneme eliminac promnn ch e f hledanou formuli (eliminaci lze provst v tomto p pad i run pouh m dosazen m). V CoCoA zadme Use R::=Qabcdefp] I:=Ideal(16p^2-4e^2f^2+(a^2-b^2+c^2-d^2)^2,ac+bd-ef) Elim(e..f,I)

Vyjde jedin polynom, kter vede na rovnici 16p2 = ;(a4 +b4 +c4 +d4 )+2(a2 b2 +a2 c2 +a2 d2 +b2c2 +b2 d2 +c2 d2 )+8abcd (12) nebo 16p2 = (;a + b + c + d)(a ; b + c + d)(a + b ; c + d)(a + b + c ; d) a nebo, co je tot

p = (s ; a)(s ; b)(s ; c)(s ; d) p


(13) 303

kde s = 12 (a + b + c + d). To je znm Brahmaguptova formule, (Brahmagupta, il v letech 598 - asi 665 v Indii). Na obr. 5 vpravo vid me jet jin tvar ttivovho tyheln ka ABCD pi t ch dlkch stran a b c d: V tomto p pad podle Ptolemaiovy vty plat ef = bd ; ac: Pidme-li tuto podm nku ke vztahu (4), dostaneme eliminac promnn ch e f hledanou formuli pro p pad nekonvexn ho ttivovho tyheln ka. Zadme Use R::=Qabcdefp] I:=Ideal(16p^2-4e^2f^2+(a^2-b^2+c^2-d^2)^2, (ac-bd-ef)(ac-bd+ef)) Elim(e..f,I)

a dostaneme polynom, kter vede na rovnici 16p2 = ;(a4 + b4 + c4 + d4 )+2(a2 b2 + a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 + c2 d2 ) ; 8abcd (14) nebo 16p2 = (a + b + c + d)(a + b ; c ; d)(a ; b + c ; d)(;a + b + c ; d):

Ke stejnmu v sledku vede zb vaj c monost ef = ac ; bd: Poznmka: Pro volbu a = 2 b = 1 c = 1 d = 1 dostaneme pouze jedin tvar tyheln ka, ve vzorci (14) vyjde toti napravo zporn slo. M eme tedy konstatovat, e pro dan dlky a b c d existuj nejv e dva tyheln ky s r zn mi obsahy p kter vypoteme podle vzorc (12) a (14). Klasick d kaz vynechvme. Je mono jej naj t nap. v 2].

3.3 Kiepertova hyperbola

Automatick dokazovn a odvozovn si ukeme jet v nsleduj c m p kladu. Nad stranami trojhelnka ABC sestrojme podobn rovnoramenn trojhelnky ABC , BCA , CAB obr. Potom se pmky AA BB CC protnaj v jednom bod. Zvolme soustavu souadnic tak, e A = 0 0] B = a 0] C = b c] A = = k1 k2 ] B = l1 l2 ] C = m1 m2 ] obr. 6. 0

0

0

0

0

0

0

0

304

0


;

Obr. 6 P mky AA0 BB0 CC 0 se prot naj v bod S

Nad stranami trojheln ka ABC sestrojme podobn rovnoramenn trojheln ky ABC BCA CAB (vechny vn trojheln ka ABC nebo dovnit). Rovnoramenn trojheln k BCA pop eme nsleduj c m zp sobem. Vrchol A je koncov m bodem vektoru, jeho potek je ve stedu strany BC o dlce vjBC j kde v je njak slo, a m t smr jako vektor B ; C otoen o 900 v kladnm smyslu, tj. plat (k1 ; (a + b)=2 k2 ; c=2) = v(c a ; b): Analogicky postupujeme u vrchol B a C : P mky AA BB CC maj po ad rovnice 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

k1 y ; k2 x = 0 (l1 ; a)y ; (x ; a)l2 = 0 (b ; m1 )(y ; m2 ) ; (x ; m1 )(c ; m2 ) = 0:

Pedpokldejme, e S = s1 s2 ] je spolen bod p mek AA a BB . Chceme dokzat, e bod S le tak na p mce CC . Nap eme 0

0

0

Use R::=Qk1..2]l1..2]m1..2]s1..2]abcv] I:=Ideal(2k1]-a-b-2vc,2k2]-c-2va+2vb,2l1]-b+2vc,2l2]-c -2vb,2m1]-a,m2]+va,k1]s2]-k2]s1],(l1]-a)s2] -(s1]-a)l2]) NF((b-m1])(s2]-m2])-(s1]-m1])(c-m2]),I)

Odpov! je 0 co znamen, e se p mky AA BB CC prot naj v jednom bod. Nsleduje krtk a elegantn klasick d kaz posledn ho tvrzen , kter

publikoval O. Bottema 3], a kter si zaslou pozornost. D kaz je zaloen 0


0

0

305

na tzv. areln metod 10], viz obr. 6. Plat

jAC j=jC Bj = obsah 4ACC =obsah 4BCC = = jAC jjAC j sin(A + ')=jBC jjBC j sin(B + ') = = jAC j sin(A + ')=jBC j sin(B + ') 00

00

0

0

0

a podobn

0

jBA j=jA C j = jABj sin(B + ')=jAC j sin(C + ') jCB j=jB Aj = jBC j sin(C + ')=jABj sin(A + '): Vid me, e plat jAC j jBA j jCB j jC Bj jA C j jB Aj = 1 00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

a v sledek nyn plyne z obrcen Cvovy vty. Opt si povimnme, e k tomu, abychom tvrzen dokzali klasick m zp sobem, jsme potebovali kl ov npad. Posledn v sledek pouijeme k nalezen mnoiny bod dan vlastnosti. Naleznte mnoinu bod S pi mncm se hlu ' podobn ch trojhelnk z poslednho pkladu. Pi oznaen jako v posledn m p kladu, eliminujeme v idelu I promnn k1 k2 l1 l2 m1 m2 v . Eliminan idel bude v tomto p pad obsahovat pouze polynomy v promnn ch a b c s1 s2 : Dostaneme jedin polynom, kter dv rovnici kueloseky (kde p eme x y] m sto s1 s2 ])

x2 c(a ; 2b) + 2xy(a2 ; ab + b2 ; c2 ) + y2 c(2b ; a) + xac(2b ; a)+

+ya(c2 ; ab ; b2 ) = 0 (15) kter se naz v Kiepertova hyperbola, obr. 7. Body S tedy le na hyperbole (15). Vypln body S celou hyperbolu nebo jen jej st? Pro libovoln bod S = x y] vypo tme hodnotu v: Po krtkm v potu zjist me, e pro hodnoty x = b y = (a ; b)b=c kter odpov daj pr se ku v ek trojheln ka, hodnota v neexistuje. Hledanou mnoinou bod je tedy hyperbola (15) bez pr se ku v ek trojheln ka

ABC: 306


; Obr. 7 Bod S le na Kiepertov hyperbole

Kiepertova hyperbola m mnoho zaj mav ch vlastnost , nap. je to rovnoos hyperbola, kter prochz vrcholy trojheln ka ABC (pro kter rovnoramenn trojheln ky?). Obsahuje tak dal v znamn body trojheln ka ABC jako tit, pr se k v ek, vnj a vnitn Fermat v atd. Kiepertova hyperbola je zce svzna rovn s Wallace-Simsonovou p mkou a Feuerbachovou krunic . (Pokra ovn) Literatura 1] Bartsch, H. J.: Matematick vzorce. SNTL, Praha 1983. 2] Berger, M.: Geometry I. Springer-Verlag, Berlin { Heidelberg 1987. 3] Bottema, O.: Hoofstukken uit de elementaire meetkunde. Servire, Den Haag, 1944, Epsilon, Utrecht 1987. 4] Cox, D. { Little, J. { O'Shea, D.: Ideals, Varieties, and Algorithms. Second Edition, Springer 1997. 5] Coxeter, H. S. M. { Greitzer, S. L.: Geometry revisited. Toronto { New York 1967. 6] Drrie, B. H.: Triumph der Mathematik. Breslau 1933. 7] Hora, J. { Pech, P.: Using computer to discover some theorems in geometry. Acta Acad. Paed. Agriensis 29 (2002), 67-75. 8] Karger, A.: Classical Geometry and Computers. Journal for Geometry and Graphics 2 (1998), 7-15.


307

9] Staudt, Ch. R.: ber die Inhalte der Polygone und Polyeder. Journal fr die reine und angewandte Mathematik 24 (1842), 252-256. 10] Wang, D.: Gr bner Bases Applied to Geometric Theorem Proving and Discovering. In: Gr bner bases and applications. B. Buchberger, F. Winkler (eds), Lecture Notes of Computer Algebra, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998, 281-301. 11] Pech. P.: Klasick vs. po ta ov metody pi een loh v geometrii. Jiho esk univerzita, . Budjovice, 2005.

stka slovy STANISLAV TRVNEK P rodovdeck fakulta UP, Olomouc

Pedkldme dal tma vhodn pro programov zpracovn . Neklade p li velk nroky na pouit programov ch prostedk , ale pitom je zaj mav komplikovan. Kad , kdo vyploval njak doklad na pedvn penz, se setkal s poadavkem "(stka) slovy:# a vypsal nap. "jedentis cdvstdvacetjedna#. A to je n problm: do programu se na klvesnici zad stka od 1 do 999 999 a na obrazovku vystoup p slun slovn vyjden (jako jedno slovo, tj. bez mezer). Jazykov vyjden m e m t r zn varianty, my si zvol me tuto (jde tu vlastn u o anal zu poadovanho v stupu): a) 1000 nepojmenovvme "tis c#, ale "jedentis c#, 100 ne jen "sto#, ale "jednosto# (to se u penz zpravidla vyaduje)' b) vyjden stovek se pou v ve tvarech "jednosto#, "dvst#, "tista#, "ptset#' c) vyjden potu tis c se pou v ve tvaru "dvatisce#, (podobn i "ti-# a "tyitisce#), ve vech ostatn ch p padech ve tvaru "tis c# ("jedentisc#, "pttisc#, ale i "dvacetdvatisc#, "stotitisc#, apod.' d) jednika se interpretuje ve tvaru "jeden# ("jedentis c#), "jedno# ("jednosto#) a "jedna# (nap. "dvacetjedna#)' e) dvojka se interpretuje ve tvaru "dv# jen ve slov "dvst#, jinak ve vech p padech jako "dva# (nap. "ticetdva#' 308


f) pamatujeme na to, e sla od 11 do 19 maj sv speciln vyjden , nap. 35 je "ticetpt#, 25 je "dvacetpt#, ale 15 nen "desetpt#, n br "patnct#. A dle: g) Kad zadan slo lze rozdlit na dv sti, na poet tis c a na zb vaj c poet jednotek, ob sti jsou maximln trojm stn a zp sob jejich slovn ho vyjden se do znan m ry shoduje, ale je tu rozd ln vyjden jedniky na konci: nap. 521 521 je "ptsetdvacetjedentis cptsetdvacetjedna#. Pokud tedy bude na zpracovn obou st pipravena njak spolen procedura, mus se tento rozd l zohlednit. Dle uvd me v pis jedn z monost zpracovn programu e c ho nai lohu. Programov anal za je patrn z komente, kter m v pis jednotliv ch st programu doprovz me. program SlovyKc {Slovni vyjadreni castky od 1 do 999 999} uses Crt const Jedn: array 0..9] of string = ('','','dva','tri','ctyri','pet', 'sest','sedm','osm', 'devet') Desit: array 0..9] of string = ('','','dvacet','tricet','ctyricet','padesat','sedesat', 'sedmdesat','osmdesat','devadesat') Nact: array 0..9] of string = ('deset','jedenact','dvanact','trinact','ctrnact', 'patnact','sestnact','sedmnact','osmnact','devatenact') var Castka: Longint Zaklad: Integer Slovy: string Z: array 1..3] of Integer

Vstupn Castka se v programu rozdl na dv sti, tis ce a zb vaj c jednotky, nap. 35 519 na 35 a 519. Tyto dv hodnoty tvo Zaklad (eknme Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

309

"vy # a "ni #), kter je v procedue ZpracujZaklad postupn pojmenovvn a v stup se ukld do Slovy. Promnn (pole) Z zprostedkovv pojmenovn stovek, des tek a jednotek a sel na {nct. Standardn nzvy jednotek a stovek jsou uloeny v konstantch Jedn, nzvy des tek v konstantch Desit a nzvy sel od 10 do 19 v konstantch Nact. Vid me, e 0, kter nen v des tkch, je interpretovna jako przdn

etzec, slovka 1 se vzhledem k d) f) g) interpretuje individuln. procedure ZpracujZaklad begin Z1] := Zaklad div 100 Z2] := (Zaklad div 10) mod 10 Z3] := Zaklad mod 10 case Z1] of 1: Slovy := Slovy + 'jednosto' 2: Slovy := Slovy + 'dveste' 3, 4: Slovy := Slovy + JednZ1]] + 'sta' 5, 6, 7, 8, 9: Slovy := Slovy + JednZ1]] + 'set' end if Z2] = 1 then Slovy := Slovy + NactZ3]] else Slovy := Slovy + DesitZ2]] + JednZ3]] end

Procedura ZpracujZaklad nejprve rozdl zklad na stovky, des tky a jednotky. Pi pojmenovn stovek jsou rozlieny p pady s odlin m vyjden m. Pi pojmenovn des tek je zvl( uven nestandardn p pad 10 { 19 a zvl( standard, kde se celkov pojmenovn skld z pojmenovn des tek a jednotek' pedem je v hlavn m programu dosazeno Jedn1] = 'jeden' pro "vy # zklad a Jedn1] = 'jedna' pro zklad "ni #. begin {program} ClrScr repeat Write('Vyjadrit slovy castku (1 az 999 999, 0 = konec): ') repeat

310


ReadLn(Castka) if Castka = 0 then Exit until (Castka < 1000000) and (Castka > 0) WriteLn Zaklad := Castka div 1000 Slovy := '' Jedn1] := 'jeden' ZpracujZaklad if Zaklad <> 0 then Slovy := Slovy + 'tisic' if (Z3] in 2,3,4]) and (Zaklad < 10) then Slovy := Slovy + 'e' Zaklad := Castka mod 1000 Jedn1] := 'jedna' ZpracujZaklad WriteLn(Castka, ' je ', Slovy) WriteLn until false end. {program}

Hlavn program nate vstup, ov jeho rozsah, vypote "vy # zklad, v procedue jej zpracuje a pojmenuje, pid slovo "tis c# nebo "tis ce#, vypote a v procedue pojmenuje "ni # zklad a na obrazovku vystoup v sledek. Pro pohodl testovn programu je program vytvoen jako nekonen smyka, z n se vysko po zadn stky 0. Zadanou lohu lze r zn pozmovat, zdokonalovat i komplikovat. Uve!me si nkter nvrhy: 1. Roz it lohu o zadvn milion , tj na stky od 1 do 999 999 999. 2. Ve vhodn ch p padech zmnit "dva# na "dv#. 3. Zadn pij mat jako text, tj. i ve tvaru s mezerou mezi tis ci a stovkami, nap. 12 712. 4. *stku pij mat textov i se zadn m oznaen mny, nap. K, $, ;. V souvislosti se zadanou jednotkou zmnit ve vhodn ch p padech (K, ;) "dva# na "dv#, pro $ ponechat "dva#. 5. Vytvoit anglickou verzi programu (po zjitn pravidel, jak se slovn vyjaduj stky v anglitin).


311

ZKU ENOSTI T den v tureck kole V jnu minulho roku jsem ml monost navt vit v r mci vzdl vac ho programu EU ARION z kladn kolu Emina Saglamera v tureckm hlavn m mst, poznat jej klima, materi ln vybaven , zp sob vuky i vz jemn vztahy k a u itel . Jako u itele fyziky mne zaj mala hlavn vuka vztahuj c se k tomuto pedmtu. Jeliko lo o kolu pouze s 1. { 5. ro n kem, tedy jaksi ekvivalent naemu prvn mu stupni Z", m j z jem se soustedil zejmna na p rodovdu ve 4. { 5. ro n ku. Vuka p rodovdy je v Turecku vysoce innostn . Kad pojem, kad nov poznatek ci z sk vaj sou asn prostednictv m r znch smysl s vyuit m co nejvt ho mnostv pom cek. V jedn hodin p rodovdy jsem mohl nap. sledovat, jak ci pozn vaj vlastnosti r znch vl ken t m, e s nimi velijak experimentuj . Mli k dispozici r zn nit, prov zky, gumi ky a dr tky, kter r zn tvarovali, v zali, nam eli do barvy a pak zase istili, sou asn s materi lem vytv eli nejr znj ornamenty, ryb sk s t, z vsy, apod. Pi zkoum n pevnosti vytv eli r zn prov zky z v ce vl ken, kter se snaili petrhnout. Vsledkem byl pehled n sleduj c ch vlastnost : prunost, pevnost, tv rnost, schopnost nas t a udret vodu, odolnost proti stihu, apod. sou asn s monost vyuit pro konkrtn ely. Pro vuku p rodovdy mla kola zvl tn u ebnu, pi stn ch byly prosklen sk n s velmi kvalitn m vybaven m zejmna fyzik ln ho a p rodopisnho zamen (obr. 1). # k 5. ro n ku ji m voltmetrem, pracuje s v hami, laboratorn m

312

sklem, funk n mi elektrickmi za zen mi (n zkonap$ovmi motory, induktory), modely st lidskho tla apod.

;; ; Obr. 1

Tureck u ebnice p rodovdy jsou opravdu pkn. Jsou pomrn siln (asi 100 stran form tu 25 20 cm), obsahuj

velmi mnoho obr zk , ale pekvapil mne i pomrn zna n rozsah textu vzhledem k vku dt . Z d vod jazykovch jsem jen z gra%ky mohl usuzovat na jejich vcn obsah. U ivo v nich obsaen u n s bv v tomto rozsahu zaazeno a na 2. stupni Z" v jednotlivch p rodovdnch pedmtech. Jako p klad si dovoluji uvst u ivo o vesm ru. Ture t p $ ci se u pomrn hodn o pohybu Ms ce, o jeho f z ch a d le pak o zatmn . Na to navazuj poznatky o Slunci, obz ch planet, galaxi ch. Jde se i do takovch detail , jako je existence a pohyb meziplanet rn hmoty a d sledky jej ho dopadu na planety (ms ce), pop. na Zemi. Rozsah tohoto u iva mne velmi pekvapil { v na vuce je mu vnov no na Z" jak ve fyzice, tak i v zempise podstatn mn. Ve volnch dnech jsem si podrobn prohldl region koly { perifern st hlavn ho


msta. Jako turista, kterho nevedou pr vodci, jsem se pod val i do velmi chudch tvrt . Tam jsem pozoroval nuzn oble en dti { nkter ebraj c , a jen z oprskanch fas d dom a nezasklench oken jejich domov , jsem odhadoval jejich dom c podm nky pro vzdl v n . Velmi dobr motiv pro koln debaty. Tyto dti vypadaj ve kole zcela jinak. Svoje pouli n

aty vymn za ist stejnokroje, v nich se nepochybn c t lpe. "kola je pro n zejm velmi zaj mav prosted , kter jim otev r mnoho monost . Tyto dti neznaj c vys l n televize a hran si s mobily si hraj ve kole s vcmi, kter budou pro n jednou snad uite n. Z skal jsem dojem, e pr v tyto chud rodiny si koly velmi v .

; ; ; ; ; ;

O to v c mne ve kole pekvapilo, jak koly dti dost vaj dom . Jsou to pedev m koly experiment ln povahy, k jejich splnn ovem potebuj jen pedmty z bnho denn ho ivota. V dob m n vtvy mli ci na svpomocn zhotovenm modelu pedvst innost plic. Tematicky u ivo souviselo s ch p n m tlaku vzduchu a se stavbou tla savc . Chlapec na obr. 2 pouil velkou PET l hev, jej dno nahradil bal&nkem. Z tkou vedl dovnit trubi ku (dchac cesta), kter se uvnit rozdvojovala a kad z jej ch konc stil do bal&nku (prav a lev pl ce). Pohybem bal&nku na m st dna PET l hve k ukazovat rozp n n nebo stla ov n

hrudn ku (pop. bicha), co se projevovalo zmnou objemu vzduchu v bal&nc ch uvnit (vlastn dch n ). Z reakce u itelky jsem vy etl, e chlapec celou innost plic velmi dobe tak popsal a vysvtlil. Zaj mav bylo, e tento model si do koly pinesl kad k. Jak jsem se mohl pesvd it, cel model byl z hlediska nutn tsnosti velmi pe liv zhotoven. A jsou ve kole dti z velmi r znch soci ln ch prosted , z jejich chov n to nelze vy st. Jejich sluiv stejnokroje je sbliuj . Pr si navz jem nez vid , ani si neubliuj , jen se vechny (zejmna bhem pest vek) projevuj ponkud hlasitji ne u n s. S dtmi jsem hovoil v r mci velmi omezen anglick slovn z soby. Mly vak snahu mluvit a domluvit se, tedy snaily se ciz jazyk u t v maxim ln mon m e. Jejich spont nnost a aktivita je pro mne jedn m z nejcennj ch suvenr z Turecka.

Franti ek Jchim

Obr. 2


313

ZPRVY Jak uit matematice ky ve vku 11 { 15 let Konference s ve uvedenm n zvem m dlouhou tradici, kter zapo ala v Hradci Kr lov a postupn se konala ve Frdku-M stku a v Litomyli, aby se letos uskute nila { s mezin rodn ast { ve dnech 13. { 15. jna opt v Hradci Kr lov. Na uspo d n konference se pod lela Jednota eskch matematik a fyzik , Spole nost u itel matematiky JMF, Centrum vzdl v n Kr lovhradeckho kraje, Katedra matematiky pedagogick fakulty Univerzity Hradec Kr lov, Stedn zdravotnick kola Hradec Kr lov a Stedn odborn u ilit obchodn Hradec Kr lov. Na konferenci se setkalo zhruba 150 astn k , kte byli zejmna u iteli z kladn ch kol a ni ch stup' v celetch gymn zi , ale i vysokokolt pedagogov a pracovn ci pedagogickch center a vzkumnch stav z esk republika a Slovenska. Zamen m konference byly metody pr ce u itele matematiky (Rozvoj u itelovch a kovskch kompetenc ve vyu ov n matematice). Tma je vzhledem k prob haj c kurikul rn reform spojen s povinnost kol vytv et sv vlastn koln vzdl vac programy nanejv aktu ln . Zamen konference bylo pojedn no z r znch hl pohledu v plen rn ch vystoupen ch, kterm byl vnov n program ve tvrtek. Zde vystoupil s pohledy obecnho didaktika Otto Obst z Pedagogick fakulty UP v Olomouci s p spvkem (Metody pr ce u itele matematiky z hlediska obecn didaktiky), pohledy didaktik matematiky na p padn skal aktu ln situace ve kol ch nast nil ve svm refer tu

314

(Kultivace kompetenc ve vyu ov n matematice) Franti ek Ku ina z po daj c

Univerzity Hradec Kr lov. (Konstruktivistick p stupy k vyu ov n a praxe) byly obsahem refer tu Nadi Stehlkov z Pedagogick fakulty UK v Praze. Z tho pracovit byl i V clav Skora, kter se zabval konkretizac pojmu kompetence ve vyu ov n matematice. Vte nou monost pro vz jemnou vmnu zkuenost mezi u iteli je ast na hodin ch nkterch svch koleg a n sledn diskuse p mo na kol ch. Proto byla takov monost astn k m organiz tory nab dnuta a setkala se s velm pijet m. V p tek dopoledne jsme navt vili vybran koly v Hradci Kr lov a je na m st podkovat vem ochotnm a obtavm u itel m, kte si uk zkov hodiny pro kolegy nachystali. P te n odpoledn i sobotn jedn n bylo vnov no jin form vmny a prezentace zkuenost { probhly d lny, kulat stoly a v samm z vru bylo plnum sezn meno s nkolika kr tkmi sdlen mi souvisej c mi s tmaty jedn n . Potuj c m konstatov n m je skute nost, e veden d len a diskus se ujali nejen pracovn ci a studenti vysokch kol, ale i kantoi ze z kladn ch a stedn ch kol. Jedn n konference bylo doprov zeno prodejn mi vstavkami pedagogickch nakladatelstv v ele s Prometheem, z jemci mli monost sezn mit se a vyzkouet interaktivn tabuli. Za uspo d n velmi zdail akce pat

d k vem jej m organiz tor m, zejmna vak pan Lence Tak ov z Centra vzdl v n Kr lovhradeckho kraje.

Ji Dittrich


12. Mezinrodn semin z djin fy- la zamena na slovensk u ebnice, pou van v pr bhu 19. stolet na n rodn ch ziky Ve dnech 22. a 24. z 2005 probhl v Tren ianskch Teplic ch pod patronac

Slovensk spole nosti pro djiny vd a techniky pi SAV a Slovensk fyzik ln

spole nosti pi SAV 12. Mezin rodn semin z djin fyziky (MESDEF 2005) za asti slovenskch a eskch z jemc o djiny fyziky. Nav zal na tradici d vj ch eskoslovenskch semin , kter od r. 1984 a do rozdlen federace prob haly st dav na Slovensku a v eskch zem ch. Po rozdlen se pak konaly jen na r znch m stech Slovenska, naposledy v z 2002 v #ilin. Dal dva semin e opt probhly na zem R (Lednice 2003, Brno 2004). Z kadho semin e jsou vyd v ny sborn ky refer t , take zat m posledn XXII. Zborn k dej n fyziky (Bratislava 2005, 207 s.) pin s ro n m opodn m p spvky pednesen na 11. MESDEFu, kter se konal ve dnech 9. a 11. z 2004 v Brn v prostor ch pobo ky eskho hydrometeorologickho stavu, Kroftova 43 (viz zpr vu v MFI ro . 14 (2004), . 4, s. 253 { 255). V vodu semin e doc. RNDr. Elena Ferencov , CSc. pipomenula osobnost a d lo vz cnho lovka, dlouholetho aktivn ho astn ka semin RNDr. Alberta Hlav e (1919 { 2005). Vyzvedla jeho velmi spnou pedagogickou innost na stedn ch kol ch, vznamnou a mnohokr t ocennou organiza n innost v Jednot slovenskch matematik a fyzik (JSMF), pedev m jeho pod l na vypracov n a n slednm uskute 'ov n koncepce Fyzik ln pedagogick sekce JSMF, zaloen v r. 1970. Pod veden m A. Hlav e se konaly etn pedn ky a instrukt e pro u itele stedn ch kol zamen na modernizaci, zven kvality a pitalivosti vuky fyziky na kol ch. Pipomenula jeho etn vystoupen na semin ch, kter by-

kol ch a na gymnazi ch. Hlav v nich hodnotil z pedagogickho a odbornho hlediska obsah, rozsah, p stupnost a aktu lnost obsaench fyzik ln ch poznatk , zp sob vkladu l tky a upozor'oval na p nosy jednotlivch autor (J. Beo, J. Fuchs, C. Gallay, I. Gy r*y, M. Jaloveck, G. Kordo, P. Michalko, J. Pribicer, A. Radlinsk, P. Uhr n, I. B. Zoch). Pitom vdy zd raz'oval, do jak m ry autoi pispli ke zven vzdlanostn a obecn kulturn rovn slovenskho lidu. Velkou st svch p spvk potom zahrnul do souborn pr ce (Desa$ vetiev slovenskho fyzik lneho stromu v druhej polovici minulho storo ia) (SAP { Slovac Academic Press, Bratislava 1994, 179 s.). A. Hlav tak na semin ch uv dl i p nosy svch vznamnch vrstevn k , kter bl e poznal z etnch setk n , pedev m na p d JSMF (P. Bal , J. Fischer, J. Chrapan, D. Ilkovi , J. Krmesk, I. Star ek, S. Usa ev, J. Vanovi ). Z rozhodnut +V JSMF se stal v r. 1970 lenem Komise pro zpracov n historie JSMF, kter u p leitosti 15. vro vzniku JSMF vydala publikaci (Jednota slovenskch matematikov a fyzikov, vznik { poslanie { innos$) (#ilina 1985, 228 s.), na jej p prav a vyd n ml vznamn pod l. Pozdji ji jako pedseda zm nn Komise ml hlavn z sluhu na vyd n publikace (Matematici, fyzici a astron&movia na Slovensku) vydan k 25. vro vzniku JSMF (Edi n

centrum MFF UK, Bratislava 1995, 128 s.). Tento soubor obsahuje 102 jmen osobnost , kter se narodily nebo ily na zem

dnen Slovensk republiky. Krom ivotopisnch daj zde nach z me zhodnocen jejich pedagogick, odborn a vdeck innosti. Velk z jem o knihu zp sobil, e A. Hlav se svm kolektivem (J. im r, E. Ferencov , M. T. Morovics, J. "ebesta) pipravil v kr tk dob nov, pod-


315

statn doplnn a roz en vyd n , kter obs hlo ji 255 jmen osobnost ((Matematici, fyzici a astron&movia na Slovensku II). Edi n centrum MFF UK, Bratislava 1999, 213 s.). Velkou oblibu nejen na Slovensku, ale i v eskch zem ch si svho asu z skala Hlav ova popul rn vdeck kniha, ur en zejmna ml dei a irokmu okruhu z jemc o p rodn jevy, s n zvem (Boj te sa blesku?) (Alfa, Bratislava 1986, 205 s.). O kvalit publikace svd i skute nost, e byla v kr tk dob peloena do rutiny. Albert Hlav se svou obs hlou pedagogickou, organiz torskou a publika n innost pr vem zaadil k tm slovenskm matematik m a fyzik m, o nich asto a velmi r d pedn el a psal. Na semin i byly pedneseny n sleduj c p spvky: Karel Ma k (KAM TU, Liberec): Christian Johann Doppler (1803 { 1853) a vuka teorie pravdpodobnosti v eskch zem chMiroslav Randa (PdF ZU, Plze'): Frantiek Josef Smetana (1801 { 1861) { ivot a d loJana Me terov (Slovensk technick muzeum, Koice): Ernst Chladni (1756 { 1827) { fyzik se slovenskmi koenyMiroslav T. Morovics (H+ SAV, Oddlen djin vd a techniky, Bratislava): Chladniho obrazce v pod n Karola Antol ka (1843 { 1905)- Snahy o aplikaci elektromagnetickch jev v d le "tefana Anina Jedl ka (1800 { 1895)Franti ek Cudzi (Liptovsk Mikul ): Podstatn momenty v pr bhu historickho vvoje tepelnch motor Rudolf Kolom (Moravsk Tebov ): Po tky studia elektromagnetickch jev . Vznik Amp rovy elektrodynamikyKarel Kr ka (HM+, Brno): Kvanti%kace v agrometeorologii jako fyzik ln

a technick problm v historickm pehledu-

316

Drahomr Du tko (Vojensk geogra%ck a hydrometeorologick ad, Dobruka): Ur ov n vek ve fyzik ln m prostoru tlesa ZemJosef Hube k (Pdf UHK): Od uhl kov rovky k modern m zdroj m svtla (pedn ka s demonstrac )Vladimr te (KTF a AF PF MU, Brno): K ur ov n dr hy Saturna v geocentrick a heliocentrick soustavIngrid Hymp nov (FMFI UK, Bratislava): Legenda ikm veAndrej perka (H+ SAV, Oddlen djin vd a techniky, Bratislava): Dissertatio historico-physica de montibus Hungariae (1714) { jedna z nejstar ch z Trnavsk univerzityElena Ferencov { Elena Kukurov (LF UK, Bratislava): Karol Otto Moller (1670 { 1747) { vznamn slovensk lka, pr kopn k l ze'sk l by, uzn van farmaceut a vestrann p rodovdec, podporovatel hornickho podnik n na SlovenskuJ. Chrapan (Fakulta ekologie a environmentalistiky TU, Zvolen): Atom na Slovensku. Vuka, vzkum a aplikace atomov a jadern fyzikyJlius Suja-iak (Martin): Profesor J n Fischer (1905 { 1980). Uplynulo sto let od narozen pedn ho slovenskho teoretickho fyzika a vznamnho pedagoga. Z uvedenho pehledu pedn ek je zejm, e tematick z br semin e se roz il, objevily se nap. matematicky, astronomicky a technicky orientovan p spvky, co bylo podle vyj den astn k v tanm zpesten m n pln celho t denn ho zased n . Jako kadoro n, tak i letos byla sou st semin e exkurze. Tentokr t se astn ci za odbornho veden bl e sezn mili s histori a sou asnou situac v m stn ch l ze'skch za zen ch, kter pro sv nadpr mrn l ebn vsledky pat na Slovensku k velmi vyhled vanm.


Za p pravu a zd rn pr bh celho semin e zaslou srde n podkov n Odborn skupina dej n a metodol&gie fyziky Slovensk fyzik ln spole nosti pod veden m RNDr. Miroslava T. Morovicse, CSc. Podle pedbn dohody by se p t semin ml uskute nit v prvn polovin z r. 2006 ve Slovenskm technickm muzeu v Koic ch. Bli informace o term nu a m st kon n pod RNDr. Ingrid Hymp nov z KZDF FMFI UK Mlynsk dolina, 842 15 Bratislava 4 { ([email protected]). Vichni z jemci o tuto problematiku jsou srde n zv ni.

Rudolf Kolom

: : : aby fyzika ky bavila : : : 2 Ve dnech 19. { 22. 10. 2005 se ve Vlachovic ch (u Novho Msta na Morav) konal jubilejn 10. semin , po dan OS pro vyu ov n fyzice na Z" pi FPS JMF. Semin e se z astnilo pes 80 u itel z kladn ch, stedn ch i vysokch kol, v etn koleg ze Slovenska a Polska. V vodu semin e sezn mila astn ky z stupkyn EZu M. Dufkov s aktu ln

nab dkou vukovch materi l , program a exkurz pro koly. Sou st semin e byly i prodejn vstavky u ebnic nakladatelstv Prometheus a Prodos. Bhem semin e si u itel vym'ovali zkuenosti a n pady. C lem astn k je poskytovat dtem i sob st le ivou a zaj mavou vuku fyziky. Dle aktu ln ho z jmu pedagog byly p spvky rozdleny do nkolika okruh . Krom vstup mli u itel monost vz jemn prezentovat kovsk pr ce a dal materi ly a tak z sk vat nov n mty pro pr ci s dtmi. Zaj mav pokusy v vodu semin e pedvedli L. Dvo k a Z. Ondr ek. O. Janda prezentoval monosti vyuit

elektrotechnickch modul . E. Svoboda, S. Ciemuchowska a Z. Pinkavov sezn mili astn ky s vsledky vzkum z jm k a jejich oblibou pedmtu fyzika v esk republice, Polsku a It lii. D. Mand kov zaujala poslucha e problematikou intuitivn ch pedstav, se ktermi by mli u itel po tat pi vuce fyziky. Velmi zaj mav podnty k zamylen { pro by se mli ci u it fyziku a k emu jim tyto znalosti jsou { pinesly p spvky O. Lepila a J. Dirlbecka. St le aktu ln ot zkou je, jak vhodn za lenit internet a po ta ov programy do vuky. Se svmi zkuenostmi se podlili kolegov L. Dvo k, R. Holubov a E. Mllerov . Netradi n lohy i zp soby zad n prezentovali J. Jan s, P. Horv th, J. Sal k, J. Tesa, I. Volf. Velmi inspirativn byly i p klady zpesten hodin fyziky anagramy (L. Lep k) i fyzik ln mi detektivkami (M. Vesel). Na to, e v pedagogick praxi m st le sv m sto i projektov vuka, upozornili P. er'ansk a R. Horylov . P klady zpesten vuky zaj mavmi pokusy nab dli V. Bdinkov , M. Bar kov , J. Reichl, I. Koudelkov , L. Dvo k. Pomrn velk z jem ml okruh Soute, kde kolegov A. M ek, Z. Pol k, L. Lep k, L. "tbnarov a V. Piska prezentovali rozli n zp soby koln ch i mezikoln ch sout . Semin se vnoval i nejaktu lnj m problm m v eskm kolstv . Proto byly se z jmem o ek v ny vstupy na tma "koln vzdl vac programy, kdy se se svmi zkuenostmi s tvorbou a ovov n m "VP podlili kolegyn H. Tesaov a V. Kar skov . Nemn inspirativn vstupy na toto tma pednesli I. Volf, R. Kol ov , E. Hejnov a V. Votruba. Po letech k n m na semin zav tal i z stupce M"MT. Jsme velmi r di, e I. Jupa vystoupil s problematikou rovn v praxi pomrn nezn mou, jak sepsat spn


317

grant, jak m monosti z kladn kola z skat grant v r mci Evropskch soci ln ch fond . Jeho vystoupen bylo doplnno praktickmi zkuenostmi kolegyn V. Kar skov. U itel se od fyziky neodlou ili ani pi zd nlivch odpo inkovch ve ern ch aktivit ch. Jeden ve er jsme si mohli dle vlastn ho z jmu vybrat z nab zench d len: fyzik ln

software (J. Dirlbeck), hr tky s magnety (Z. Pol k), vroba fyzik ln ch samohyb (V. Piska ), fyzik ln zv ata { pap rov mechanika, vroba (V. Bdinkov ), molekulov fyzika s pou$ovmi bal&nky (M. J lek), fyzika hrou (J. Reichl). P vodn se z asovch d vod kad z jemce ml astnit jen jedn d lny (prob haly sou asn). Pro velk z jem pokra ovali vedouc d len i nad vymezen as, aby si mohli pokusy a vrobky vyzkouet i ti, kdo se do prvn ho kola neveli, i byli v jin d ln.

; ; ; ;

Dal odpoledne bylo vnov no fyzik ln vych zce po danou Z. Pol kem a V. Piska em. Bhem n jsme si v praxi zkoueli men radia n ho pozad , tlaku, teploty, petahov n pomoc kladek a kladkostroj . Na z vr vych zky n m V. Piska pedvedl vypoutn horkovzdunho bal&nu z mikrotenovho s ku (obr. 1). Z vre n spole ensk ve er byl zpesten fyzik ln mi hr tkami, kter pipravili V. Bdinkov a V. Piska . Dkujeme vem, kdo se pod leli na realizaci a organizaci semin e i zpracov n

p spvk . Oce'ujeme pr ci tch, kte

pili se zaj mavmi vstupy, n mty a aktivitami pro sv kolegy. R di bychom podkovali EZu a nakladatelstv Prometheus za poskytnut d rk pro astn ky. V neposledn ad pat d k i vem astn k m, kte aktivn pin eli nov n pady a ochotn se dlili o sv zkuenosti v diskus ch, byli ochotni spolupracovat si i hr t a problematice efektivn ho vyu ov n se vnovali i v rozhovorech prob haj c ch mimo o%ci ln program. Vz jemn spolupr ce vech z astnnch pomohla vytvoit p jemnou tvoivou atmosfru a snad dodala ad z n s el n do dal ch dn koln ho roku. Vechny pednesen p spvky budou shrom dny ve sborn ku, kter bude dostupn i dal m z jemc m. O vyd n sborn ku a monosti jeho zakoupen budeme na str nk ch MFI v nejbli dob informovat.

Zdeka Pinkavov

Obr. 1

318


LITERATURA Michal K ek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 lectures on Fermat numbers: From number theory to geometry, CMS Books in Mathematics, vol. 9, Springer-Verlag, New York, 2001, xxiv+257 stran. Recenzovan monogra%e je vnov na francouzskmu matematikovi Pierru de Fermatovi (1601{1665) k jeho 400. narozenin m. V pedmluv, kterou napsala Alena "olcov , je Fermat pedstaven jako jeden ze zakladatel modern teorie sel, diferenci ln ho a integr ln ho po tu, varia n ho po tu, teorie pravdpodobnosti a analytick geometrie. Dovedl nap. vypo tat ur it integr l z polynomu mnohem d ve ne Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz. V prvn kapitole autoi pipom naj , e se Fermat proslavil zejmna Velkou Fermatovou vtou, kterou a o 350 let pozdji dok zali A. Wiles a R. Taylor. Zanechal n m ale i jeden d leit problm, kter dodnes nen vyeen. V roce 1640 prohl sil, e vechna sla tvaru Fm = 22m + +1 pro m = 0 1 2 : : : (tzv. Fermatova sla) jsou prvo sla. Prvn ch pt len tto posloupnosti 3, 5, 17, 257 a 65 537 jsou skute n prvo sla. V roce 1732 vak L. Euler zjistil, e slo F5 je sloen. Vznikla tak pirozen ot zka, kter dosud nen zodpovzena, zda existuje nekone n mnoho Fermatovch prvo sel. A do roku 1796 byla Fermatova sla povaov na sp e za matematickou kuriozitu. Pak ale z jem o n dramaticky vzrostl, nebo$ C. F. Gauss objevil pekvapivou nutnou a posta uj c podm nku,

kter d v do souvislosti Fermatova prvo sla s eukleidovsky konstruovatelnmi pravidelnmi mnoho heln ky (tj. pomoc

kru tka a prav tka). V kapitol ch 2 a 3 jsou uvedeny z kladn vlastnosti Fermatovch sel a nejd leitj tvrzen teorie sel (nap. Eukleidova prvo seln vta, z kladn vta aritmetiky, Mal Fermatova vta, nsk vta o zbytc ch), kter jsou doplnna velkm mnostv m obr zk . ten tak snadno z sk geometrickou pedstavu o tom, co je nejvt spole n dlitel, nejmen spole n n sobek, Eukleid v algoritmus, pojem kongruence aj. tvrt kapitola je vnov na nejkr snj m tvrzen m o Fermatovch slech. Za n Goldbachovou vtou, kter tvrd , e Fermatova sla jsou vz jemn nesoudln . D le je uk z no, jak jsou eukleidovsky konstruovateln pravideln mnoho heln ky ukryty v Pascalov troj heln ku a jak to ve souvis se Sierpi1nskho frakt ln

mnoinou. Pipom n se Abelova vta, kter na z klad vlastnost Fermatovch prvo sel k , kdy lze rozdlit lemnisk tu pomoc prav tka a kru tka na stejn dlouh d ly. Je t uvedena Lucasova vta, kter ur uje obecn tvar dlitel Fermatovch sel. V 5., 6. a 7. kapitole jsou shrnuty nejd leitj vty tkaj c se prvo selnch rozklad Fermatovch sel. Jedn m z nejuite nj ch tvrzen je tzv. Pepin v test, kter ud v nutnou a posta uj c podm nku pro prvo selnost Fm . Ned vno byl pouit k po ta ovmu d kazu toho, e slo F24 , kter m pes 5 milion cifer, je sloen. Kapitoly 8 a 13 se zabvaj dal mi speci ln mi vlastnostmi Fermatovch sel. Je uk z na nap. souvislost Heronova troj heln ku (jeho vechny strany i obsah jsou celo seln) s Fermatovmi prvo sly. Vyetuje se pojem pseudoprvo sla a superpseudoprvo sla, zav dj se zobec-


319

nn Fermatova sla aj. Ve 14. kapitole je pod n pehled zn mch otevench problm tkaj c ch se Fermatovch sel. Nejd leitj praktick aplikace Fermatovch sel jsou obsahem 15. kapitoly. V celo seln aritmetice se de%nuje Fermatova transformace, kter je analogi Fourierovy diskrtn transformace. Zav d se bin rn aritmetika modulo Fermatovo slo, kter umo'uje podstatn sn it po et operac pi n soben dvou velkch sel. Fermatova prvo sla lze pou t i pro konstrukci gener tor pseudon hodnch sel. Na z vr jsou uk z ny zaj mav souvislosti mezi teori chaosu, Mandelbrotovou frakt ln mnoinou a Fermatovmi sly. V 16. kapitole je pod n podrobn d kaz Gaussovy vty o konstruovatelnosti pravidelnch mnoho heln k pomoc prav tka a kru tka. Posledn 17. kapitola obsahuje n vod, jak lze eukleidovsky zkonstruovat pravideln sedmn cti heln k. Je pozoruhodn, e k tomu sta umt eit kvadratick rovnice. Kniha je doplnna tabulkami prvo initel Fermatovch sel, z kladn mi vsledky o Mersennovch slech, ale i adou fotogra% Fermatovch soch, obraz aj. V z vru se uv d velk mnostv dostupn literatury o Fermatovch slech (z toho 20 l nk napsali autoi knihy). Recenzovan monogra%e pod v ucelen pehled o sou asnm stavu vzkumu v oblasti Fermatovch sel. Lze ji vele doporu it vem z jemc m o element rn teorii sel. Jej vesms pozitivn recenze vyly v Zentralblatt fr Didaktik der Mathematik 2002b.01702, v Mathematical Reviews 2002i:11001 aj. Na knize si nejv ce cen m d razu, kter je kladen na geometrickou interpretaci seln-teoretickch pojm , co je ostatn obsaeno i v jej m podtitulu: Od teorie sel ke geometrii.

Ji Bajer: Mechanika 1 a 2, 1. vyd. Univerzita Palackho, Olomouc 2004, broovan v tisk 322 + 458 stran. Osvd enou vstupn branou do spnho studia fyziky je klasick mechanika. Proto je pedmtem z jmu vysokokolskho studia fyziky hned v prvn ch semestrech- jak se poslucha nau a jak vztah z sk k mechanice, tak bude pozdji pistupovat k obor m dal m i k cel fyzice. Proto je teba pr v j vnovat maxim ln

pozornost, ale tak udlat ve pro z sk n

intelektu i srdce nastupuj c generace. Tato recenze dvoud ln (Mechaniky) mladho univerzitn ho profesora Univerzity Palackho v Olomouci, RNDr. Ji ho Bajera, CSc., chce pedev m upozornit na fakt, e toto nov d lo spl'uje vechny uveden poadavky svrchovanm zp sobem, nebo$ z kad str nky je patrn jak mimo dn matematick erudice autora, tak hlubok %lozo%ck a historick pojet cel problematiky, co in l tku oproti tradi n m u ebnic m nejen velmi srozumitelnou, ale i neotelou a zaj mavou. Prvn svazek obsahuje 1. vod do fyziky, kapitoly 2. Prostor, as a hmota, 3. Vektory a sou adnice, 4. Kinematika, 5. Statika a 6. Dynamika hmotn ho bodu. Tmatika druhho svazku je patrn z n zvu kapitol 7. Relativita pohybu a setrvan sly, 8. Dynamika soustavy hmotnch bod, 9. Dynamika tuh ho tlesa, 10. Sr ky a r zy, 11. Analytick mechanika, 12. vod do astronomie, 13. Planety a modely kosmu, 14. Gravitace. Na uveden svazky v budoucnu nav e Mechanika 3, je m pokrvat mechaniku kontinua a nauku o vlnn s akustikou. (Dokonen na s. 273.)

Ale Krop

320


No title

Recommend Documents