Distribusi Sampling (Distribusi Penarikan Sampel)
1. Pendahuluan Bidang Inferensia Statistik membahas generalisasi/penarikan kesimpulan dan prediksi/ peramalan. Generalisasi dan prediksi tersebut melibatkan sampel/contoh, sangat jarang menyangkut populasi. Sensus = pendataan setiap anggota populasi Sampling = pendataan sebagian anggota populasi = penarikan contoh = pengambilan sampel Pekerjaan yang melibatkan populasi tidak digunakan, karena: 1. mahal dari segi biaya dan waktu yang panjang 2. ketelitian pekerjaan yang melibatkan sampel lebih tinggi dibanding pekerjaan yang melibatkan populasi 3. populasi akan menjadi rusak atau habis jika disensus misal : dari populasi donat ingin diketahui rasanya, jika semua donat dimakan, dan donat tidak tersisa, tidak ada yang dijual? Sampel yang baik Sampel yang representatif Besaran/ciri sampel (Statistik Sampel) memberikan gambaran yang tepat mengenai besaran/ciri populasi (Parameter Populasi) Masih ingat beda antara Statistik Sampel Vs Parameter Populasi? Perhatikan tabel berikut: Ukuran/Ciri Statistik Sampel Parameter Populasi Rata-Rata Selisih 2 Rata-rata Standar Deviasi = Simpangan Baku Varians = Ragam Proporsi Selisih 2 proporsi
x
: myu
1 2 : nilai
x1 x 2 : nilai mutlak s
mutlak : sigma
s² p atau p
² : phi atau p
p1 p2 : nilai mutlak
1 2 : nilai
mutlak
catatan : pada Nilai Mutlak, nilai negatif diabaikan misal : 3 - 7 = -4 = 4 atau gunakan asumsi p1 adalah nilai yang selalu lebih besar dari p2 atau p1 p2
Sampel yang baik diperoleh dengan memperhatikan hal-hal berikut : 1. keacakannya (randomness) 2. ukuran 3. teknik penarikan sampel (sampling) yang sesuai dengan kondisi atau sifat populasi 1
Sampel Acak = Contoh Random dipilih dari populasi di mana setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama terpilih menjadi anggota sampel. Berdasarkan Ukurannya, maka sampel dibedakan menjadi : a. Sampel Besar jika ukuran sampel (n) 30 b. Sampel Kecil jika ukuran sampel (n) < 30 Beberapa Teknik Penarikan Sampel : Probabilitas dan Non-Probabilitas Sampel Probabililitas Sampel a.
Penarikan Sampel Acak Sederhana (Simple Randomized Sampling) Pengacakan dapat dilakukan dengan : undian, tabel bilangan acak, program komputer.
Berdasarkan Penarikan Sampel Acak sederhana, dikenal beberapa teknik penarikan sampel Probabilitas (Probability sampoles), yaitu: b.
Penarikan Sampel Sistematik (Systematic Sampling) Tetapkan interval lalu pilih secara acak anggota pertama sampel Contoh : Ditetapkan interval = 20 Secara acak terpilih : Anggota populasi ke-7 sebagai anggota ke-1 sampel maka : Anggota populasi ke-27 menjadi anggota ke-2 sampel Anggota populasi ke-47 menjadi anggota ke-3 sampel, dst.
c.
Penarikan Sampel Berlapis (Stratified Sampling) Populasi terdiri dari beberapa kelas/kelompok. Dari setiap kelas diambil sampel secara acak. Perhatikan !!!! Antar Kelas bersifat (cenderung) berbeda nyata (heterogen). Anggota dalam suatu kelas akan (cenderung) sama (homogen). Contoh : Dari 1500 penumpang KA (setiap kelas memiliki ukuran yang sama) akan diambil 150 orang sebagai sampel, dilakukan pendataan tentang tingkat kepuasan, maka sampel acak dapat diambil dari : Kelas Eksekutif : 50 orang Kelas Bisnis : 50 orang Kelas Ekonomi : 50 orang
d.
Penarikan Sampel Gerombol/Kelompok (Cluster Sampling) Populasi juga terdiri dari beberapa kelas/kelompok Sampel yang diambil berupa kelompok bukan individu anggota 2
Perhatikan !!!! Antar Kelas bersifat (cenderung) sama (homogen). Anggota dalam suatu kelas akan (cenderung) berbeda (heterogen). Contoh : Terdapat 40 kelas untuk tingkat II Jurusan Ekonomi-GD, setiap kelas terdiri dari 100 orang. Populasi mahasiswa kelas 2, Ekonomi-UGD = 40 100 = 4000. Jika suatu penelitian dilakukan pada populasi tersebut dan sampel yang diperlukan = 600 orang, maka sampel dapat diambil dari 6 kelas.... Dari 40 kelas, ambil secara acak 6 kelas. e.
Penarikan Sampel Area (Area Sampling) = Multistage Sample Prinsipnya sama dengan Cluster Sampling. Pengelompokan ditentukan oleh letak geografis atau administratif. Contoh: Pengambilan sampel di daerah JAWA BARAT, dapat dilakukan dengan memilih secara acak KOTAMADYA tempat pengambilan sampel, misalnya terpilih, Kodya Bogor, Sukabumi dan Bandung.
Sampel acak menjadi dasar penarikan sampel dalam kelompok sampel probablitas Selanjutnya, pembahasan akan menyangkut Penarikan Sampel Acak. Penarikan Sampel Acak dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu : a. b.
Penarikan sampel tanpa pemulihan/tanpa pengembalian: setelah didata, anggota sampel tidak dikembalikan ke dalam ruang sampel Penarikan sampel dengan pemulihan: bila setelah didata, anggota sampel dikembalikan ke dalam ruang sampel.
Non-Probabilitas Sampel Sampel diambil tidak berdasarkan konsep keacakan. Ukuran sampel biasanya kecil. Beberapa jenis non-probabilitas sampel, adalah: a.
Sampel Kuota (Quota) Ukuran kelompok sampel (gerombol atau strata) ditetapkan secara proporsional sesuai ukuran populasi
b.
Sampel Purposive = Judgmental Sample Pengambilan sampel dilakukan untuk tujuan pendataan kasus (a) ekstrem (khusus) vs. tipikal (umum), (b) sampel homogen vs. heterogen. Pendapat pakar menjadi pertimbangan
c.
Sampel Bola Salju (Snowball Sampel) Penarikan sampel dimulai dengan hanya satu (atau beberapa) kasus, yang dibiarkan bergulir sehingga terkumpul data yang lebih banyak
3
d.
Sampel Self-selection Peneliti membuka kesempatan (dengan mengumumkan penarikan sampel di media massa) responden mendaftar menjadi anggota sampel
e.
Sampel Convenience = haphazard sample Pada populasi yang sangat besar dan cenderung homogen, peneliti dapat menarik sampel sedapatnya. Hal ini meminimalkan biaya dan kendala teknis.
Distribusi Penarikan Sampel = Distribusi Sampling Jumlah Sampel Acak yang dapat diambil dari suatu populasi adalah sangat banyak. Nilai setiap Statistik Sampel akan bervariasi/beragam antar sampel. Suatu statistik dapat dianggap sebagai peubah acak yang besarnya sangat tergantung dari sampel yang kita ambil. Karena statistik sampel adalah peubah acak maka ia mempunyai distribusi peluang yang kita sebut sebagai : Distribusi peluang statistik sampel = Distribusi Sampling = Distribusi Penarikan Sampel Statistik sampel yang paling populer dipelajari adalah Rata-Rata ( x ) 2.
Distribusi Sampling 1 Nilai Rata-Rata
Beberapa notasi : n : ukuran sampel : rata-rata sampel x s : standar deviasi sampel
x x
N
: ukuran populasi : rata-rata populasi : standar deviasi populasi
: rata-rata dari semua rata-rata sampel : standar deviasi antar semua rata-rata sampel = standard error = galat baku
Dalil 1 JIKA Sampel: berukuran = n 30 rata-rata = x
diambil DENGAN PEMULIHAN dari Populasi berukuran = N Terdistribusi NORMAL Rata-rata = ; simpangan baku =
MAKA Distribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :
x =
dan x
n
dan nilai z
x n
4
Dalil 2 JIKA Sampel: berukuran = n 30 rata-rata = x
MAKA
diambil TANPA PEMULIHAN dari Populasi berukuran = N Terdistribusi NORMAL Rata-rata = ; simpangan baku =
Distribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan : x N n x = dan x dan nilai z N n n N 1
( / n )
N 1
N n disebut sebagai FAKTOR KOREKSI populasi terhingga. N 1
Faktor Koreksi (FK) akan menjadi penting jika sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang terhingga/ terbatas besarnya Jika sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang sangat besar maka N n 1 , hal ini mengantar kita pada dalil ke-3 yaitu FK akan mendekati 1 N 1 DALIL LIMIT PUSAT = DALIL BATAS TENGAH = THE CENTRAL LIMIT THEOREM Dalil 3 DALIL LIMIT PUSAT JIKA Sampel: berukuran = n rata-rata = x
diambil dari
Populasi berukuran = N yang BESAR distribusi : SEMBARANG Rata-rata = ; simpangan baku =
MAKA Distribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :
x =
dan x
n
dan nilai z
x n
5
Dalil Limit Pusat berlaku untuk : - penarikan sampel dari populasi yang sangat besar, - distribusi populasi tidak dipersoalkan Beberapa buku mencatat hal berikut : Populasi dianggap BESAR jika ukuran sampel KURANG DARI 5 % ukuran populasi atau
n 5% N
Dalam pengerjaan soal DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA perhatikan asumsiasumsi dalam soal sehingga anda dapat dengan mudah dan tepat menggunakan dalil-dalil tersebut! Contoh 1: PT AKUA sebuah perusahaan air mineral rata-rata setiap hari memproduksi 100 juta gelas air mineral. Perusahaan ini menyatakan bahwa rata-rata isi segelas AKUA adalah 250 ml dengan standar deviasi = 15 ml. Rata-rata populasi dianggap menyebar normal. 1.
2.
Jika setiap hari diambil 100 gelas AKUA sebagai sampel acak DENGAN PEMULIHAN, hitunglah: a. standard error atau galat baku sampel tersebut? b. peluang rata-rata sampel akan berisi kurang dari 253 ml? Jika sampel diperkecil menjadi 25 gelas, hitunglah : a. standard error atau galat baku sampel tersebut? b. peluang rata-rata sampel akan berisi lebih dari 255 ml?
Jawab: 1. Diselesaikan dengan DALIL 1 karena PEMULIHAN Diselesaikan dengan DALIL 3 karena POPULASI SANGAT BESAR
x = = 250
N = 100 000 000
= 15
n = 100
P( x < 253) = P(z < ?) GALAT BAKU =
x
z
n
15 15 15 . 100 10
253 250 3 2.0 15 . 15 .
Jadi P( x < 253) = P(z < 2.0) = 0.5 + 0.4772 = 0.9772
6
2. Diselesaikan dengan DALIL 3 karena POPULASI SANGAT BESAR
x = = 250
N = 100 000 000
= 15
n = 25
P( x > 255) = P(z > ?) GALAT BAKU =
x
z
n
15 15 3.0 25 5
255 250 5 1.67 3.0 3.0
Jadi P( x > 255 ) = P(z > 1.67) = 0.5 - 0.4525 = 0.0475 Contoh 2 : Dari 500 mahasiswa FE-GD diketahui rata-rata tinggi badan = 165 cm dengan standar deviasi = 12 cm, diambil 36 orang sebagai sampel acak. Jika penarikan sampel dilakukan TANPA PEMULIHAN dan rata-rata tinggi mahasiswa diasumsikan menyebar normal, hitunglah : a. galat baku sampel? b. peluang sampel akan memiliki rata-rata tinggi badan kurang dari 160 cm? Diselesaikan dengan DALIL 2 TANPA PEMULIHAN x = = 165 N = 500 = 12 n = 36 n 36 Catatan Dalil Limit Pusat tidak dapat = 0.072 = 7.2% > 5% N 500 digunakan P( x < 160) = P(z < ?) FK =
N n 500 36 N 1 500 1
GALAT BAKU
x
464 0.929... 0.964... 499
x FK =
12 0.964... = 2 x 0.964... = 1.928... 36
n 160 165 z 2.59... 1.928...
P( x < 160) = P(z < -2.59) = 0.5 - 0.4952 = 0.0048
7
3.
Distribusi Sampling Bagi Beda 2 Rata-rata
Dalil 4 JIKA Dua (2) Sampel berukuran n1 dan n2 diambil dari rata-rata = x1 dan x2
Dua (2) Populasi berukuran BESAR Rata-rata 1 dan 2 Ragam 12 dan 2 2
MAKA Distribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :
x x 1 2 1
dan standard error =
2
nilai z
z
x x 1
2
12 22 n1
n2
dan
x1 x2 1 2
12 22 n1
n2
Beda atau selisih 2 rata-rata = 1 2 ambil nilai mutlaknya atau tetapkan bahwa 1 > 2 Melibatkan 2 populasi yang BERBEDA dan SALING BEBAS Sampel-sampel yang diambil dalam banyak kasus (atau jika dilihat secara akumulatif) adalah sampel BESAR Contoh 4: Diketahui rata-rata IQ populasi mahasiswa Eropa = 125 dengan ragam = 119 sedangkan rata-rata IQ populasi mahasiswa Asia = 128 dengan ragam 181. Diasumsikan kedua populasi berukuran besar Jika diambil 100 mahasiswa Eropa dan 100 mahasiswa Asia sebagai sampel, berapa peluang terdapat perbedaan IQ kedua kelompok akan kurang dari 2? Jawab : Parameter
populasi ke-1 (Mhs. Eropa)
populasi ke-2 (Mhs. Asia)
Rata-rata () Ragam (²)
125 = 2 119 = ²2
128 = 1 181 = ²1
Beda 2 Rata-rata =
x x 1 2 = 128 - 125 = 3 1
2
8
Sampel : n1 = 100
n2 = 100
P( x 1 x2 <2 ) = P ( z < ?)
z
x1 x2 1 2
2 1
n1
2 2
n2
23 1 0577 . ... 058 . 181 119 3 100 100
P(z <-0.58) = 0.5 - 0.2190 = 0.2810
selesai
9
Pendugaan Parameter 1
Pendahuluan
• Pendugaan Parameter Populasi dilakukan dengan menggunakan nilai Statistik Sampel, Misal : x 1. digunakan sebagai penduga bagi µ 2. s digunakan sebagai penduga bagi σ $ p atau p digunakan sebagai penduga bagi π 3. • Pendugaan parameter diwujudkan dalam pembentukan selang kepercayaan, karena hampir tidak pernah ditemukan nilai statistik tepat sama dengan nilai parameter. • Selang Kepercayaan = Konfidensi Interval = Confidence Interval ☺ Didekati dengan distribusi Normal (Distribusi z atau Distribusi t) ☺ Mempunyai 2 batas : batas atas (kanan) dan batas bawah (kiri) ☺ Derajat Kepercayaan = Tingkat Kepercayaan = Koefisien Kepercayaan = 1-α ☺ α kemudian akan dibagi ke dua sisi, α/2 di atas batas atas dan α/2 di bawah batas bawah • Selang kepercayaan menurut Distribusi z dan Distribusi t ☺
Selang Kepercayaan dengan Distribusi z (Tabel hal 175) Nilai α dan Selang kepercayaan yang lazim digunakan antara lain: Selang kepercayaan 90 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 9 α = 10 % → α/2 = 5 % → z5% = z0.05 = 1.645 Selang kepercayaan 95 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 95% α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96 Selang kepercayaan 99 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 99% α=1%→
α/2 = 0.5 %
z 0.5% = z 0.005 = 2.575
Contoh Distribusi z untuk SK 95 % Nilai z ini diketahui dari luas daerah tidak terarsir ini dalam Tabel Normal (z)
Luas = 0.95 × ½ = 0.4750. Luas daerah terarsir = 0.05 × ½ = 0.0025 """
-z0.025 = -1.96
Luas = 0.5 """
Luas daerah terarsir = 0.05 × ½ = 0.0025
z0.025 = 1.96
1
☺
Selang Kepercayaan dengan Distribusi t (Tabel hal 177) Nilai α (dan tentu saja α/2) sudah diterakan dalam Tabel. Perhatikan derajat bebas (db). Nilai t tabel tergantung dari nilai derajat bebas (db) dan nilai α/2 (Tabel hal 177) Misal : Selang kepercayaan 95 %; db = 13 → 1 - α = 95% α = 0.5 % → α/2 = 2.5 % t tabel (db=13;α/2 = 2.5%) = 2.160 Contoh Distribusi t untuk SK 95 % ; db = 13 Nilai t ini diketahui dari nilai α/2 dan db dalam Tabel t
Luas daerah terarsir = 0.05 × ½ = 0.0025 """
-t(α/2 0.025; db=13) = -2.160
Luas = 0.5
Luas daerah terarsir = 0.05 × ½ = 0.0025
"""
-t(α/2 0.025; db=13) = -2.160
Selang Kepercayaan yang baik? Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek dengan derajat kepercayaan yang tinggi. Banyak Selang Kepercayaan yang dapat dibentuk dalam suatu populasi adalah Tidak terhingga, anda bebas menetapkan derajat kebebasan dan lebar selangnya. Contoh 1: Di bawah ini terdapat 4 selang kepercayaan mengenai rata-rata umur mahasiswa. Semua selang dibuat untuk populasi yang sama, manakah yang paling baik? A. B. C. D.
Selang kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 25 tahun Selang kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 27 tahun Selang Kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 27 tahun Selang Kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 25 tahun
Jawab : D, karena................................
2
• Bentuk Umum Selang Kepercayaan Batas Bawah < (Simbol) Parameter < Batas Atas • Untuk Sampel Berukuran Besar : Statistik - ( zα /2 ×Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( zα /2 × Std Error Sampel) atau Parameter = Statistik ± ( zα /2 ×Standard Error Sampel) • Untuk Sampel Berukuran Kecil : Statistik - ( t ( db;α / 2 ) × Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( t ( db;α / 2 ) ×Std Error Sampel) atau Parameter = Statistik ± ( t ( db;α / 2 ) × Standard Error Sampel) 2.
Pendugaan 1 Nilai Rata-rata
2.1.
Pendugaan 1 Nilai Rata-rata dari sampel besar (n ≥30)
• Nilai simpangan baku populasi (σ) diketahui • Jika nilai simpangan baku populasi σ tidak diketahui → gunakan simpangan baku sampel (s) Selang Kepercayaan 1 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi adalah :
σ σ x - zα 2 × < µ < x + zα 2 × n n Jika σ tidak diketahui, dapat digunakan s • Ukuran Sampel bagi pendugaan µ Pada Derajat Kepercayaan (1-α) ukuran sampel dengan Error (galat) maksimal = E adalah
n=
[ ] zα/2 ×σ 2 Ε
n dibulatkan ke bilangan bulat terdekat terbesar (fungsi ceiling) jika σ tidak diketahui, gunakan s E : error maksimal → selisih x dengan µ; E dinyatakan dalam persen (%)
3
Contoh 2: Dari 36 mahasiswa tingkat II diketahui bahwa rata-rata IPK = 2.6 dengan simpangan baku = 0.3. a.
Buat selang kepercayaan 95 % untuk rata-rata IPKseluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96 x = 2.6s = 0.3 s s x - z 0.025 × < µ < x + z0.025 × n n 0.3 0.3 2.6 - 1.96 × ) < µ < 2.6 + 1.96 × ) 36 36 < µ < 2.6 + 0.098 < µ < 2.698
2.6 - 0.098 2.502
b.
Buat selang kepercayaan 99 % untuk rata-rata IPK seluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % → z0.5% = z0.005 = 2.575 (selanjutnya.....selesaikan sendiri!!!)
c.
Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 95 % tidak lebih dari 6 %? E = 6 % = 0.06
s = 0.3
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96
n=
d.
[ ] [ zα /2 σ 2 Ε
=
] = (9.8) = 9604 .
1.96 × 0.3 2 0.06
2
= 97
Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 99 % tidak lebih dari 6 %? (Kerjakan sebagai latihan)
4
2.2.
Pendugaan 1 Nilai Rata-rata dari sampel kecil (n < 30) dan nilai simpangan baku populasi (α) tidak diketahui → gunakan simpangan baku sampel (s)
Selang Kepercayaan 2 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi µ adalah :
x - t ( db;α 2 ) ×
s < µ < x + t ( db;α 2 ) × n
s n
db = derajat bebas = n-1 Contoh 3: 9 orang mahasiswa FE-GD rata-rata membolos sebanyak 10 hari/tahun dengan standar deviasi 1.8 hari. Buat selang kepercayaan 95 % bagi rata-rata banyaknya hari membolos setiap tahun untuk seluruh mahasiswa! Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % = 0.025 = 10 s = 1.8 db = n-1 = 9 -1 = 8 t (db=8; α/2 =0.025) = 2.306 x
x - t ( db ;α 2 ) ×
s < n 18 . 10 - 2.306 × < 9 10 - 1.3836 < 8.6164 <
µ < x + t ( db;α 2 ) ×
s n 18 . µ < 10 + 2.306 × 9 µ < 10 + 1.3836 µ < 11.3836
3.
Pendugaan Beda 2 Rata-rata
3.1
Pendugaan Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel besar dan nilai ragam populasi 2 2 2 2 ( σ1 dan σ 2 ) diketahui dan jika nilai ragam populasi ( σ1 dan σ 2 ) tidak 2 2 diketahui → gunakan ragam sampel ( s1 dan s2 )
5
Selang Kepercayaan 3 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi
x1 - x2 2
- z α 2 ×
µ1 − µ2 adalah :
σ 12 σ 2 2 < µ1 - µ2 + n1 n2
2
2
<
x1 - x2 + z α 2 ×
σ 12 σ 2 2 + n1 n2
2
tidak diketahui → gunakan s1 dan s2 σ1 dan σ 2 Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2 Contoh 4: 64 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka makan 48 kg ikan dengan ragam = 8. 56 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka makan 28 kg ikan dengan ragam = 7. Tentukan selang kepercayaan 95 % untuk beda rata-rata banyak ikan yang dimakan setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris x1 = 48 x2 = 28 x1 − x2 = |48 - 28| = 20 n1 = 64 n2 = 56 2 2 s1 = 8 s2 = 7 Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96 x1 - x2
- z α 2 ×
σ 12 σ 2 2 < µ1 - µ2 + n1 n2
<
x1 - x2 + z α 2 ×
σ 12 σ 2 2 + n1 n2
8 7 8 7 < µ1 − µ2 < 20 + 196 20 - 196 . × + . × + 64 56 64 56 20 - 0.98 < |µ1 − µ 2 | < 20 + 0.98 19.02 < |µ1 − µ 2 | < 20.98 3.2.
Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecil 2 2 dan nilai kedua ragam populasi tidak sama ( σ1 ≠σ 2 ) dan tidak diketahui → gunakan ragam sampel (s12 dan s22 )
6
Selang Kepercayaan 4 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ1 − µ 2 | adalah:
s12 s2 2 < x1 - x 2 - t ( db;α 2 ) × + n n 1 2 2
µ1 - µ2 <
s12 s2 2 der x1 - x 2 + t ( db;α 2 ) × + n n 1 2
2
(s1 n1+ s2 n2) 2 ajat bebas (db) =
2
2
(s1 n1) 2 (n1 − 1) + (s2 n2) 2 (n2 − 1)
db : dibulatkan ke bilangan bulat terbesar terdekat (fungsi Ceiling) Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2 Contoh 5: 12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter ( x 2 = 22 ) teh dengan Ragam = 16. ( s22 = 16 ) 10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter ( x1 = 36 ) teh dengan Ragam = 25. ( s12 = 25 ) Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai tidak sama, hitung : a.
derajat bebas bagi distribusi t 2
db = = b.
2
2
(s1 n1) 2 (n1 − 1) + (s2 n2) 2 (n2 − 1) ( 2.5 + 1333 . )2
. ) [(2.5) 9] + [(1333 2
( 2510 + 1612) 2
2
(s1 n1+ s2 n2) 2
2
]
11
=
=
[(
25
10
] [
) 2 (10 − 1) + (1612) 2 (12 − 1)
]=
14.6944... 14.6944... = = 17.165 = 18 [ 0.6944] + [ 01616 0.8560... . ...]
Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005 db = 18 Nilai t (db = 18; α/2 = 0.005) = 2.878
7
s12 s2 2 < µ1 - µ2 < x1 - x2 - t ( db;α 2 ) × + n n 2 1
s12 s2 2 x1 - x2 + t ( db;α 2 ) × + n n 2 1
25 16 25 16 < µ1 - µ2 < 36 − 22 + 2.878 × + + 36 − 22 - 2.878 × 10 12 10 12 14 - 5.53 < |µ1 − µ 2 | < 14 + 5.63 8.37 < |µ1 − µ 2 | < 19.63
3.3
Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecil 2 2 dan nilai kedua ragam populasi sama ( σ1 =σ 2 ) dan tidak diketahui 2 → gunakan ragam sampel gabungan (sgab )
Selang Kepercayaan 5 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ1 − µ 2 | adalah:
x1 - x2 - t (db;α 2 ) × sgab × s
2 gab
1 1 + < µ1 - µ2 < x1 - x2 + t (db;α 2 ) × sgab × n1 n2
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s22 = dan n1 + n2 − 2
2 sgab = sgab
dan derajat bebas (db) =
1 1 + n1 n2
n1 + n2 − 2
Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2 Contoh 6: 12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter ( x 2 = 22 ) teh dengan Ragam = 16. ( s22 = 16 ) 10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter ( x1 = 36 ) teh dengan Ragam = 25. ( s12 = 25 ) Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai sama, hitung : a. b. c a.
derajat bebas Ragam dan Simpangan baku gabungan kedua sampel Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris. db = n1 + n2 − 2 = 10 +12 - 2 = 20
8
b.
s
2 gab
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s22 (9 × 25) + (11 × 16) 401 = = 20.05 = = 20 20 n1 + n2 − 2
2 sgab = sgab = 20.05 = 4.477...
c.
Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005 db = 20 Nilai t (db = 20; α/2 = 0.005) = 2.845
1 1 1 1 x1 - x2 - t (db;α 2) × sgab × + < µ1 - µ2 < x1 - x2 + t (db;α 2) × sgab × + n1 n2 n1 n2 1 1 < + 36 − 22 - 2.845 × 4.477...× 10 12 14 - 5.45 8.55 3.4
< <
1 1 µ1 - µ2 < 36 − 22 + 2.845 × 4.477...× + 10 12 |µ1 − µ 2 | < 14 + 5.45 |µ1 − µ 2 | < 19.45
Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari data berpasangan (paired data) sampelsampel kecil
Data berpasangan didapat dari 1 individu (yang relatif) sama yang dikenai 2 perlakuan. Selang Kepercayaan 6: Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ1 − µ 2 | adalah:
s s d − t db;α / 2 × d < µ1 − µ2 < d + t db;α / 2 × d n n derajat bebas (db) = n-1 Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2 x1 n: banyak pasangan data di : x1i- x2i: selisih pasangan data ke-i untuk i = 1,2,3,...n
9
d
:
rata-rata dI
d =
2 d
:
ragam nilai d
sd
:
simpangan baku d
s
Contoh 7:
Nama A B C D
i
n
∑ (d =
− d )2 n −1
2 d
s
i
sd = sd2
Banyak produk rusak pada 2 shift diukur dari 4 karyawan.
Banyak Produk yang rusak Shift malam Shift Pagi (x1) (x2) 10 3 15 5 9 4 12 2
di
d
(di - d )
(di - d )²
7 10 5 10 Σ di=32
8 8 8 8
-1 2 -3 2
1 4 9 4 Σ(di - d )²=18
n=4
sd2 =
∑d
d =
∑ (d
−d) 18 = =6 n −1 3 2
i
dan
∑d n
i
=
32 =8 4
sd = sd2 = 6 = 2.449...
Selang kepercayaan 99% untuk data berpasangan tersebut adalah: Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005 db = n-1 = 4-1 = 3 Nilai t (db = 3; α/2 = 0.005) = 5.841
s s d − t db;α / 2 × d < µ1 − µ2 < d + t db;α / 2 × d n n 2.449... 2.449... 8 − 5.841 × < µ1 − µ2 < 8 + 5.841 × 4 4
8 − 7.15... < µ1 − µ2 < 8 + 7.15.. 0.85 < µ1 − µ < 1515 .
10
4.
Pendugaan Proporsi
• Pengertian proporsi π = proporsi populasi p = proporsi "sukses" dalam sampel acak 1 - p = q = proporsi "gagal" dalam sampel acak Misal : kelas "sukses" → "menyukai seafood" kelas "gagal" → "tidak menyukai seafood" 4.1
Pendugaan 1 Nilai Proporsi dari sampel besar
Pendugaan Proporsi lebih lazim menggunakan sampel besar, jadi lebih lazim menggunakan Distribusi z. Selang Kepercayaan 7: Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi π adalah :
p - zα 2 ×
p×q < π < p + zα 2 × n
p×q n
ingat→ 1 - p = q • Ukuran Sampel untuk pendugaan proporsi Ukuran Sampel pada Selang Kepercayaan (1-α) dengan Error (galat) maksimal= E
zα2 /2 × p × q n= E2
n di ceiling!
n : ukuran sampel E : error maksimal → selisih p dengan π Contoh 8: Dari suatu sampel acak 500 orang diketahui bahwa 160 orang menyukai makan seafood. a.
Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi proporsi populasi yang menyukai seafood
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96 p = 160/500 = 0.32 q = 1 - p = 0.68
11
p - zα 2 ×
p×q < π < p + zα × n 2
p×q n
0.32 × 0.68 0.32 × 0.68 < π < 0.32 + 1..96 × 0.32 - 1..96 × 500 500 0.28 < b.
π < 0.36
Berapa ukuran sampel agar kita dapat percaya 95 % dan Error maksimal = 2% 196 z2 × p × q . 2 × 0.32 × 0.68 n = α /2 2 = = 2089.8304 = 2090 E 0.02 2
4.2.
Pendugaan Beda 2 Proporsi dari sampel-sampel besar
Selang Kepercayaan 8 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi p1 - p2 - zα 2 ×
π 1 − π 2 adalah :
p1 × q1 p2 × q2 < π1 - π2 < p1 - p2 + zα × + n1 n2 2
p1 × q1 p2 × q2 + n1 n2
Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan p1 > p2 Contoh 9: Dari 1000 penduduk Jakarta, 700 menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru ( p2 =0.70) Dari 800 penduduk Surabaya, hanya 200 yang tidak menyetujui aturan lalulintas baru ( q1 = 0.25 ) Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi beda proporsi penduduk Jakarta dan Surabaya yang menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru. kelas "sukses" = menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru. p2 = 0.70 q1 = 0.25
→ →
q 2 = 1 − p2 = 1 - 0.70 = 0.30 p1 = 1 − q1 = 1 - 0.25 = 0.75
p1 − p2 = |0.75 - 0.70| = 0.05 Selang kepercayaan 90 % → α = 10 % → α/2 = 5 % → z5% = z0.05 = 1.645
12
p1 - p2 - z α 2 ×
p1 × q1 p2 × q 2 < π1 - π 2 + n1 n2
< p1 - p2 + z α 2 ×
p1 × q1 p2 × q 2 + n1 n2
0.75 × 0.25 0.7 × 0.3 0.75 × 0.25 0.7 × 0.3 < π 1 - π 2 < 0.05 + 1.645 × 0.05 - 1.645 × + + 800 1000 800 1000 0.05 - (1.645 × 0.02108...) < π1 - π 2 < 0.05 + (1.645 × 0.02108...) 0.05 - 0.03467... < π1 - π 2
< 0.05 + 0.03467...
0.01532... < π1 - π 2 < 0.08467... selesai
13
