.-t
^ a
"
Xátematk,a III . cvičení
http://www.fsid.cvut. czlczJUTUl/mat3cv.htm
Ý B
Ý
Matematika III . cvičení
Obsah PŤíkladvna 1. - 3. tÝden PŤíkladvna 4. - 6. t,Íden PŤíkladvna 7. . 8. t,Íden PŤíkladvna 9.t.Íden PŤíkladyna 10.t'Íden PŤíkladvna 11. . l2.t'Íden I
PŤíkladvna 13. - 14. t'Íden
7.-3.tden Metody Ťešení diferenciálních rovnic 1.Ťádutypu J'= /(x) ,J'= P(*) Éfu),/'+p(x).y= q(x) ,.y,+p(r).y = q(x).y. a exakfitích rovnic. (obecnéŤešení, od 2.cvičenímorimální Ťešení Cauchyovy rilohy). Pňík|ady : fi * 1
{r-r'-
1.) UrčeteobecnéŤešení x2 _ 5r * 6 . diferenciá|nírormice 2.) UrčeteobecnéŤešení diferenciálď rovnice .)l,=J,Ir sin r 3.) UrčeteobecnéŤešení diferenciáInírovnice
1-fi'4 * x ). d x +tr 3 * h yÝ). dÝy =o x,
\ 4l
4.) UrčeteobecnéŤešení diferenc iá|nirovnice J. =}2 . sin 3x . 2Y y'+ =r*2 .r(x + 2) 5.) UrčeteobecnéŤešení diferenciálnírovnice 6.) UrčeteobecnéŤešení diferenc iáInírormice
_ y--í
2y= 4.F
;
L)
?-
v,'-i1ffi1 z vÚ 7.) UrčeteobecnéŤešení diferenciáLnírovnice 8.) Zapištepodmínky existence a jednoznačnostiŤešení rovnice
y' =tn(-xt- J) +t6F - a
Zapištea graficky znázorněte všechnyoblasti existence a jednoznačnostiŤešení danérovnice. "u Í 1 l = 4 . 9.) Určetemaximální Ťešení diferenciálnírovnice zpÍ.4pŤi počáteční podmínce \4/ 10.)Určetemaxi máLníŤešení diferenc iá|nírovnice zpÍ.5pŤipočáteční podmínc.
I of7
J[-']=
+.
2.10.2006 I 1:55
Matematika III - cvičení
http://www.fsid.cvut.czl czIÍJ2\i iinat3 cv.htm
11.)UrčetemaximríIní Ťešení diferenciríIďrormicez pŤ'6pfi počáteční podmíncey[t) = E . 12.)UrčetemaximálníŤešení diferenciálnírovnice zpi.l pil pot,áteční podmínce a)
a)y[o)=-2, al y{-r)=-r
4.- 6. tÚ,den Linerámísystémy.Existence a jednozrračnost Ťešení. IntervalymaximálníchŤešení. Frrndamentrí1ní systémŤešení.Řešení liirerámíchdiferencirílních rovnic 2'Íáduskonstantnímikoeficienty. PĚftlady: 1.)Drínaror,rrice tl;ť+2r*-6x= 0. l"
p,= ' '' ='. a) tJkažle,Žefi.urkce F *on fi'rndamentrí|ní systémŤešení danérovnicev nějakfch intervďech. Určetet5ztointervaly. b) UrčetemaximiíJní Ťešení Cauchyovyulohypii počátečních podmínkácr'*(- t)= o ' *{- t)= s ' 2.) Drínasoustavarovnic _7
2 Í'a ' \ x=--.--=F.x-Íy) i,=v
t
r \
-|x_ťr)'
a) UkaŽe, ževektorovéfirnk." Q, = p' '')" 'o, = (t'r)r fuoŤí fundamentiílrrí systémŤešení danésoustavyv nějalcjch intervalech.Urěetetyto intervďy. b) Urěete maximrálníŤešení Cauchyovy ulohy pŤipočáteční poa-in"" "{o)= z '/{oJ = t 3.) ZapištefundamentálnísystémŤešení darréror'nice a určetejejíobecnéiešení: e \ a ) X * * - 1 2 r = 0 } ) j ť - 4 ; t + 1 3 x0= c ) * - z * t x = 0 d ) * + x = 0 e ) ; ť - x = 0 bJ ť-J*=n 8) x=n ot) "f) :) 4.) Určeteamplitudl a počálrcčni fázi tlumenfch kmit popsanfch rovnicí a počátečními r. . t
p o d m í n k .aam)ii+ 4 x = o ' * ( o ) = t , * ( o ) =b2) i + z i + s * = o ' " ( o ) = i ' * { o ) = .o
..-..'/
5.) ZapišteťvarpartikulrámíhoŤešení nehomogennírovnice : 'i-4x=tz.ext a) b1 it 4* +4x = simlt+e2tcJ t+Z*+Zx=e,.sinr s) c) _ d) .ť ?,**5r - {'' + t}e'+ '.e2'.
6 . ) U r č e t e o b e c n é Ť e š e n í r o v n i c#e+ 4 ' t = 3 + d .
,,
!^] 7.)UrčetemaximálníŤešení Cauchyovy lohy x+r=2.sin;',
x(o)=*(o)=g.
}
8.) Určetemaximální ŤešeníCauchyovy rilohy ff + 2Jť* r'= 2.e-, ' ) = o , 'ť[0) = t . "(0 b + ) 9.) Určetemaximální ŤešeníCauchyovy rilohy
f f+ , ť = 1 + g * , r ( o ) =1 ,* ( o J = o.
10.) Určetevynucenék*ity systémupopsanéhorovnicí # +4'ťf 3x = 5cnsď Určeteamplitudu a počáteční fazí vynucenych kmitri. 7. - 8. tí,den šoustavy dvou lineárních rovnic s konstantnímikoeficienty v normálním tvaru. Maticovy záryis. Zápis v souŤadnicích.Řešení homogenníchsoustavpomocí vlastníchčíselmatice koeficientri. Typy bod rovnováhy.Fázovy obtaz. Grafické znázorněnífázovétrajektoriemaximálního Ťešení dané Cauchyovy rilohy. Tečn;ivektor trajektorie.Řešení nehomogennísoustavyeliminačnímetodou. PŤíklady : 1.)Dána Soustava
2 of7
= ;J" " [_;
2 . 1 0 . 2 0 0l 61 : 5 5
http:/^lww.fsid.cwt.cz]czlU20llmal3cv 'hffi
Matemáiika III - cvičení ...
:
.
x(r)= l,.l \a/ podmínce počíteční při a) UrčetemaximrálnířešeníCauchyoly.ulohy .
t'<\
frízoý obraz. b) Určetetyp bodu rovnovríhya načrbrěte řešenídanéCauchyovyulohy. frízovoutrajektorii maximrálního c) Načrfurěte
' 2 . ) D f u a s o u s t a v at = t r - . t s ' Y = 4 x * P r[o) = 6 ,{ fiJ= 4 Cauchyovy rilohy pŤipočáteěnípodmínce a) Určetemaximální Ťešení b) Určetetyp bodu rovnováhy a načrtnětefázovy obraz. danéCauchyovy rilohy. c) Načrtnětefázovou trajektorii maximálního Ťešení 3.) Dana soustava
2 t'lt 'ť=í' [- 1 4 )
. rťo)=Í.'l \-/
podmínce Cauchyovy rilohy pŤipočáteční a) Určetemaximální Ťešení obraz, fázovy b) Určetetyp bodu rovnováhy a načrtněte danéCauchyovy rilohy. c) Načrtnětefázovou trajektorii maximálního Ťešení -3x = = + 3 +y y 5x + 1' Ji 4.)Danasoustava t'
[0/
soustavy. a) Určetebod rovnováhy a obecnéŤešení
g,r[ilJ= u . podmínce x[n)= Cauchyovy rilohypŤipočáteční b) UrčetemaximálníŤešení rilohy. danéCauchyovy c) NačrtnětefÍzovou trajektorii maximálního Ťešení 3 , Z f i + . y _ : ť = I=3x+4y_? . 5 . )D á n a s o u s t a v a a) Určetevšechnybody rovnováhy soustavy. trajektoriesoustavy.Tytotrajektorie b) Zapišterovnice pŤímek,naniehž\ežípolopŤímkové zněuornětegraficky včetněorientace. lf = [n'u] . c) Znázornětegraficky fázovou trajektorii prochénejícibodem = x +py, } = 3x _ y, izolovanybod I 6.) a) Určetevšechna p E ${,pro něžmá soustava f rovnováhy. gt b) Určetevšechna p E , PÍonéžjebod rovnováhy typu sedlo. fénovétrajektorie soustavy c) Pro F = 1 zapišterovnice pŤímek,na nichž ležípolopŤímkové a tyto graficky znátzornětevčetněorientace. Cauchyovy lohy 7.) Eliminačnímetodou určetemaximální Ťešení Í = J _ c o s l, . y = _ x + s i n Í , " [ 0 ) = o ' y [ 0 ) = t 8.) Určetevšechnybody rovnováhy soustavy
a) b)
/ 1-z'\ ,-f3l 'ť=| ., ' [ - 2: 4]lx+l J
[6/, z \ ( 3l ( 1 . .ť=l |.r+l .| [-2
4)
[-6/
9. t den. -Autonomní Prvrií integrál . soustavy2.Íádu. Existence a jednoznačnostmaximálníhoŤešení.
3 of1
1l:55 2.10.2006
Matematika III . cvičení
souvislost s fázo,.ymi trajektoriemt. PŤíklady soustavy Ý ., ' | -^^l^!^1-.'o-iofanné lsti maximálního Ťešení 1.)a)Zaptštepostačujícípodmínkyexistenceajednoznaěnc
*=I , y="**: v-7, J
danésoustavy. jednoznačnostiŤešení b) Zapištevšechnyoblasti existencea dané Ťešení všechnyoblasti existence a jednoznačnosti c) Ve féuovéroviněznéuornéte soustavY. soustavy Ťešení podmínky existencea jednoznačnostimaximálního 2.) a) Zapšštepostačující
x=lnl+=..;ffi
v
, J- xy3+2.F
danésoustavy. jednoznačnostiŤešení b) Zapištevšechnyoblasti existencea dané Ťešení jednoznačnosti oblasti existence a c) Ve fžzovérovině znázornětevšechny
soustavY
*=4*y
integrál soustavy 3.) Určeteoblasti, v nichž existuje první a určetejej. - -x2 -J f =r +"y', "y 4.)Dánasoustava soustavy. a) Určetevšechnybody rovnováhy dané
y,
' J=+-hx J.
= "{ lCI,1] . ázejícíbodem proch ífázovétrajektorie rovnic b) Určete j - ?xy : i= x t - y ' - 1 , 5 . )D á n as o u s t a v a soustavy. a) Urěete všechnybody rovnováhy dané *t+Jt-1-* je dán první integrál soustavy (v kteqfch oblastech?). J b) ověŤte, žerovnicí M __[n,- ts] ututo trajektorii ázejícíbodem proch ífáyovétrajektorie b) Určeterovnic znžnornětegraficky ve fánovérovině. 10. t den Kritéria konvergencečíseln:ichŤad divergence,součet. a jejich konvergence Ťady . Geometrické a na podílovésrovnávací kritérium t'ito,ium D-,Alembertouo ďirazna s nezápornfmi členy relativní Ťady- Leibnizovo kritérium. Absolutní a srovnání s Dirichletovou Ťadou.Alternující konvergence. PŤíklady :
;2[r-rJ& 1.) Dána rada #'
3[-1
součet S+ Ťady. a) Zapíštečástečny . .| '-'^--' její první ělen a kvocient. b) UkaŽte, Že ďanáÍaďaje geometrická,určete která diverguje. c) Zaptšte,pro která ruau r.onvergujea pro " d) UrčetesoučetŤady. 1
T#rÍ& -v.nějakém . x : ^ l ' intervalu1 a určete je součtemŤady# 2.)IJkaŽte,Žefunkce 4* tétoŤady. tento interval. Určetekoeficienty relativně nebo divergují(zdrivodněte!). 3.) Zjistě te, zďadanéŤadykonvergu3iausotutně, = [ x l_;Jť|áJ
,
2.10.200611:5 4of'l
a
MatemagíkaIII . cvičení
czl czU201 /mat3cv.hfin http://www.fsid.cvut. r
- / ze - [t + t) (-r)* .{-l Í.,.L (t-)' c) ?^ TI\
4.) Zjistéte'zda danéŤadykonvergujíabsolutně,relativněnebo divergují(zdt1vodněte!).
" í-t)'Ízt+r)
Ť-l
-I
\
\
3k2+7
a) ?"
. í-rlt rÍ Et't'
,, L'-' bt &-0
2h
+ 3'r
"l
(r+ t)t ""-o
lI.. 12. ííden MocninnéŤady.obor konvergence.operace s mocninnfmi Ťadami.Tayloruv rozvoj. Aproximace funkce polynomem.Řešenílinelímíďferenciiílrďror.rrices proměnnjmi koeťrcientypomocí
-}
mocninnych Ťad. Pňíklady : 1.) Určeteobor konvergencedanémocninnéÍady
*(r I (-t)*.t4 * z)t*
a)
E-'-
3fr"+ 1
r [' +3J* I [-1)*
11
t
b) *",
_.í
--
frt+1 .,\3&
l Í . + Ir|tf+ rl
c) fiTF1E+4,)u,Funkce
/[-J
- ilrEtE[*J,s{")=
*
v-bodě ro. rozviřte v mocninnouŤaduse stŤedem
b)UžitímnásobeníŤadurěeteprVnítŤinenulovéč1enyrozvojefunkce&(x)=ffiv mocninnou Ťaduse stŤedemv bodě trn. c) Určeteinterval absolutníkonvergence Ťadyzb). r*2 r)Jf f\../ r' + 2 x +2 Taylorovym polynomem 4."stupně v bodě Íu: 0. 3.) Aproximujte funkci 4.) Dána Cauchyova ťrloha J"+Jsinx=*,
J [ 0 )= - 1 , J ' { 0 ) = Z
a) Urěete interval maximálního Ťešení danérilohy (zd vodněte pomocí věty o existenci a jednoznačnosti !). b) Ukažte, že Cauchyovu rilohu lze Ťešitpomocí mocninnéŤadya určeteinterval, v němžje
5 of7
2.10.2006 I 1:55
MatematikaIII - cvičení
http://www.fsid. cvut.cz/czJU2U I irnat3cv.htm
Ťešenírilohy součtem mocninnétaďy se stŤedemv bodé In_ 0. 'š. c) Rešení lohy aproximujte polynomem 5. stupně.
5.) Dana Cauchyova riloha - 1 , y ' [ 1 ] =- t " y "+ x " y '+ * ? " y =x * 2 , . y [ 1 ) = a) Určeteinterval maximálního Ťešení danérilohy (zdrivodnětepomocí věty o existenci a jednoznačnosti!). b) UkaŽte, že Cauchyovu rilohu lze Ťešitpomocí mocninnéŤadya určeteinterval, v němžje Ťešení lohy součtemmocninnéŤadyse stŤedemv bodě tru: 1. c) Řešenírilohy aproximujte polynomem 4. stupně. 13.- 14. tvaden VypočetFourierovych koeficientri danéfunkce.Fourieruv rozvoj funkce. Konvergence Fourierovy Ťady- Dirichletovy podmínky.Fourierovy rozvoje lichych resp.sudychperiodickfch funkcí. PŤíklady 1.) Určeteprimitivní periodu trigonometrickéhopolynomu : a ) c o s . r - 2 s r nx * 3 s i n 2 x - E o s! f f i - s i n Z n x * ? c o s Z r m :í r , ' . a.&x\ El.*cosnfrx*d*srn - |
2J*
b) ilt
2.)v intervalu(-3p ,3 p) načrtněte částgrafu periodickéfunkce f s periodou 2p. Funkcef je periodickym prodlouženímrfunkceg :
g- Lr -x -/ \=I |rot , x E ( - o , o ) l , * = i o ' o ) J b ) s ( * )= Í , f i E ( - f f , , f [ ) a) ") r \ [ ' ' , x'c [ - Í , d , 0 ) l srxJ= iL.,' i--l;:i)r U ,*e[o,o) J d)
e)
s ( * ) =* , , f r E( - o ' o )
nE[-o'0)I ' t | . . *' s(*)= l'* Lo ,nE(o,o) J
3.) VypočtěteFourierovy koeficienty funkcí danych v intervalu :
I 'nE(-"':)
s[.) E \ - - ={ l } L-1 , XE(0,o) J b) a) .l
"'l)} s(,)={1''ffE1
s(*)={:*n,n:L'':) } } ,*e[0,o; j
[0 ,xe(0,rr) J .)É\--t [0
í \ [* ,xE(-1,0)
d)
slx/=lo
,*e{0,1) J e) s(*)=ltl,xE(-z'e).
4.) UrčeteFourierovu Ťadudanéperiodickéfunkce/s periodoup ,načrtnětegraf funkce/ a určete součetFourierovy Ťadyv zák|adnímintervalu včetněkrajních bodri : .l Í \ [o ,fiE(_t,t)
a)
;. _,'l,p=4 SlxJ=1' L l , x e [ l, 3 J J r \ [-t ,*E(-1,0)'l
slx/=1t* ,"e[0,1)J'e c)
:,11s6):X,xÍ6,1),P:2 ^
! 5.) Funkci g (x) -- ff definovanou v intervalu (0 , 1) dodefinujtena interval (-1 , 1) tak aby funkce byla a) sudá, b) lichá , funkci periodickyprodluile s periodov p:2.Určete Fourierovu Ťadu v obou pŤípadechjejí součeta porovnejterychlost klesání Fourierovych koeficientti.
6 o f7
2 . 1 0 . 2 0 016l : 5 5
