STKIP PB KOTABARU Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan Paris Barantai Kotabaru
BAB VI UKURAN DISPERSI
(MOMEN, KEMENCENGAN, DAN KERUNCINGAN)
(PERTEMUAN KE-10) Oleh :
Abdul Rahman, S.Pd
UKURAN KEMENCENGAN KURVA Definisi
Ukuran kemencengan kurva adalah derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian suatu distribusi data.
Rumus
Ukuran kemencengan kurva terdiri dari : 1. Rumus Pearson 2. Rumus Momen 3. Rumus Bowley
1
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data : 1) Jika nilai ketiganya sama maka kurvanya berbentuk simetri. 2) Jika Mean > Med > Mod, maka kurva miring ke kanan. 3) Jika Mean < Med < Mod, maka kurva miring ke kiri.
2
UKURAN KEMENCENGAN KURVA MENURUT PEARSON
Kurva Menceng ke Kanan Mean > Median > Modus
Kurva Normal Mean = Median = Modus
Kurva Menceng ke Kiri Mean < Median < Modus
4
UKURAN
KEMENCENGAN
Kelas 2,5 - 7,4 7,5 - 12,4 12,5 - 17,4 17,5 - 22,4 22,5 - 27,4 27,5 - 32,4 32,5 - 37,4
A 2 4 6 9 6 4 2
Frekuensi B 2 10 8 6 4 2 1
KURVA
C 1 2 4 6 8 10 2
5
UKURAN KEMENCENGAN (RUMUS PEARSON)
KURVA
Pada kelompok A, data menyebar secara normal, sehingga histogram yang terbentuk mengikuti kurva normal.
6
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
Pada kelompok B, data lebih menyebar ke data yang lebih kecil, sehingga histogram yang terbentuk panjang ke kanan.
7
UKURAN KEMENCENGAN (RUMUS PEARSON)
KURVA
Pada kelompok C, data lebih menyebar ke data yang lebih besar, sehingga histogram yang terbentuk panjang ke kiri.
8
UKURAN KEMENCENGAN (RUMUS PEARSON)
KURVA
K X Mo K = ukuran kemencengan Mo = modus X = rata-rata Apabila K bernilai positif, maka keragaman disebut dengan distribusi positif (ekor bagian kanan lebih panjang). Sebaliknya, apabila K bernilai negatif, maka keragaman disebut dengan distribusi negatif (ekor bagian kiri lebih panjang)
9
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) X Mod CK S
3X Med CK S
X Mod 3X Med
CK = S = Mod = Med = X =
koefisien kemencengan simpangan baku modus median rata-rata
CK = 0 Distribusi data simetris CK < 0 Distribusi data menceng ke kiri CK > 0 Distribusi data menceng ke kanan
10
UKURAN KEMENCENGAN (RUMUS BOWLEY)
KURVA
K Q1 Q3 2Q2 K Q1 Q2 Q3
= = = =
ukuran kemencengan kuartil pertama kuartil kedua kuartil ketiga
11
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS BOWLEY) K CK Q 3 - Q1 CK K Q1 Q2 Q3
= = = = =
koefisien kemencengan ukuran kemencengan kuartil pertama kuartil kedua kuartil ketiga 12
UKURAN KEMENCENGAN (RUMUS MOMEN)
KURVA
Konsep Rata-rata dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran lain yang disebut momen. Momen juga dapat digunakan sebagai cara untuk mengukur ketidaksimetrisan terhadap distribusi data dalam suatu variabel.
Lambang Momen dapat ditulis “ Mr (momen ke-r) “
13
UKURAN KEMENCENGAN (RUMUS MOMEN)
Momen Data Tunggal
1 n r M r X i X n i 1
KURVA
Momen Data Berkelompok
1 k r M r f i X i X n i 1
Untuk r = 1, maka M1 (momen pertama) = mean Untuk r = 2, maka M2 (momen kedua) = varians Untuk r = 3, maka M3 (momen ketiga) = kemencengan Untuk r = 4, maka M4 (momen keempat) = keruncingan 14
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN)
Data Tunggal
M3 1 3 3 3 S nS α3 M3 S n Xi X
= = = = = =
n
X i 1
X
3
i
koefisien kemencengan momen ketiga, mengukur kemencengan simpangan baku banyaknya data pengamatan data frekuensi ke-i rata-rata hitung atau mean
15
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN)
Data Berkelompok
M3 1 k 3 3 3 3 f i X i X S nS i 1
α3 M3 S n k fi
X
= = = = = = =
koefisien kemencengan momen ketiga, mengukur kemencengan simpangan baku banyaknya data pengamatan banyaknya kelas frekuensi kelas ke-i rata-rata hitung atau mean
16
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN)
Data Berkelompok 3 k k k c 3 1 k 1 1 1 3 2 3 3 f i d i 3 f i d i f i d i 2 f i d i S n i 1 n i 1 n i 1 n i 1
α3 M3 S n k c fi di
X
= = = = = = = = =
koefisien kemencengan momen ketiga, mengukur kemencengan simpangan baku banyaknya data pengamatan banyaknya kelas besarnya kelas interval frekuensi kelas ke-i simpangan kelas ke-I terhadap titik asal asumsi rata-rata hitung atau mean
17
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Jika
α3 = 0, maka distribusi datanya simetris.
Jika
α3 < 0, maka distribusi datanya menceng ke kiri.
Jika
α3 > 0, maka distribusi datanya menceng ke kanan.
18
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
Contoh Berikut ini data tinggi badan 40 siswa dalam suatu sekolah. Tentukan ukuran kemencengan data tersebut.
Kelas
Frekuensi (fi)
118 – 126
3
127 – 135
5
136 – 144
9
145 – 153
12
154 – 162
5
163 – 171
4
172 – 180
2
Jumlah
40
19
KILAS BALIK fX X f
S c
fd n
2
fd n
2
n -F Med L 0 c 2 f
20
UKURAN KEMENCENGAN KURVA kelas
f
Xi
f Xi
d
fd
fd2
118 – 126
3
122
366
-3
-9
27
127 – 135
5
131
655
-2
-10
20
136 – 144
9
140
1260
-1
-9
9
145 – 153
12
149
1788
0
0
0
154 – 162
5
158
790
1
5
5
163 – 171
4
167
668
2
8
16
172 – 180
2
176
352
3
6
18
Jumlah
40
-9
95
5879
21
UKURAN KEMENCENGAN KURVA f Xi 5879 X 146,975 f 40 40 17 Med 144,5 9 2 12 20 - 17 144,5 9 12 146,75
S c
fd n
2
fd n
95 9 9 40 40
2
2
13,72
22
UKURAN KEMENCENGAN KURVA 3X Med CK S 3146,975 146,75 13,72 0,049
CK > 0 Distribusi data menceng ke kanan
23
UKURAN KERUNCINGAN KURVA Jenis
Kurtosis terdiri dari: 1. Leptokurtis, puncak kurva tinggi 2. Mesokurtis, puncak kurva normal 3. Platikurtis, puncak kurva rendah
24
UKURAN KERUNCINGAN KURVA Leptokurtik Mesokurtik
Platikurtik
25
UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN)
Momen Data Tunggal
1 n r M r X i X n i 1
Momen Data Berkelompok
1 k r M r f i X i X n i 1 26
UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN)
Data Tunggal
M4 1 4 4 4 S nS α4 M4 S n Xi X
= = = = = =
n
X i 1
X
4
i
koefisien keruncingan momen ketiga, mengukur keruncingan simpangan baku banyaknya data pengamatan data frekuensi ke-i rata-rata hitung atau mean
27
UKURAN KERUNCINGAN (RUMUS MOMEN)
Data Berkelompok
M4 1 4 4 4 S nS
KURVA
α4 M4 S n k fi
X
= = = = = = =
k
f X i 1
i
X
4
i
koefisien keruncingan momen keempat, mengukur keruncingan simpangan baku banyaknya data pengamatan banyaknya kelas frekuensi kelas ke-i rata-rata hitung atau mean
28
UKURAN KERUNCINGAN (RUMUS MOMEN)
KURVA
Jika
α4 > 3, maka bentuk kurva leptokurtis (meruncing)
Jika
α4 = 3, maka bentuk kurva mesokurtis (normal)
Jika
α4 < 3, maka bentuk kurva platikurtis (mendatar)
29
UKURAN KERUNCINGAN (RUMUS MOMEN)
Contoh Berikut ini data tinggi badan 50 siswa dalam suatu sekolah. Tentukan ukuran keruncingan data tersebut.
KURVA
Kelas
Frekuensi (fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
Jumlah
50
30
UKURAN KERUNCINGAN (RUMUS MOMEN)
Jawaban
KURVA
Nilai Kelas f i ( X i X ) 2 f i ( X i X ) 4 (Xi)
Kelas
Frekuensi (fi)
93 – 97
2
95
426
90.874
98 – 102
10
100
922
84.935
103 – 107
12
105
254
5.373
108 – 112
10
110
2
0
113 – 117
7
115
204
5.952
118 – 122
4
120
433
46.794
123 – 127
3
125
711
168.735
128 – 132
1
130
416
173.189
133 – 137
0
135
0
0
138 – 142
1
140
924
854.072
Jumlah
50
4.292
1.429.924
31
UKURAN KERUNCINGAN (RUMUS MOMEN)
KURVA
Jawaban
1 k r M r f i X i X n i 1
M
2
1 4 . 292 85 ,84 50
1 M 4 1.429.924 28.598,48 50 32
UKURAN KERUNCINGAN (RUMUS MOMEN)
Jawaban
M 4 28.598,48
S 4 9,26 7.352,65 M4 4 4 S 28.598,48 4 7.352,65 4
KURVA
1 M 2 4.292 85,84 50 M 2 var ians S 85,84 9,26 S 4 9,26 7.352,65 4
4 3,89 Jadi kurva yang leptokurtis (α4 > 3)
terbentuk
adalah
kurva
33
SOAL-SOAL Persentase penduduk berumur 20 tahun ke atas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu. Jam Kerja
Persentase
0–9
3
10 – 19
7
20 – 29
20
30 – 39
15
40 – 49
30
50 – 59
10
60 – 69
15
Hitunglah tingkat kemencengan dan keruncingan kurva.
34