No title

Line
rn algebra II podle p
ednek prof. Frantika ika

Sazbu v LATEXu p
ipravil Duan Dobe

Obsah

1 2 3 4 5 6 7 8

Diagonalizovatelnost matic Symetrick transformace Hermitovsk matice a kongruentnost Pozitivn refundn matice Kvadratick formy Jordanova kanonick forma matice Polynomiln matice Minimln polynom matice

1 4 5 7 11 13 17 20

1 DIAGONALIZOVATELNOST MATIC

1

1 Diagonalizovatelnost matic Denice 1.1

Charakteristick
matice A (nad C) je matice A =
I , kde I je jednotkov matice. Charakteristick polynom matice A je polynom jA ;
I j Charakteristick koeny matice A jsou ko
eny jej ho charakteristick ho polynomu. Charakteristick koeny line
rn transformace ' v unitrn m prostoru U jsou charakteristick

ko
eny matice transformace ' vzhledem k libovoln bzi.

Denice 1.2

Bu U n unitrn prostor, ' linern transformace v U n , b nenulov vektor z U n 
2 C . Kdy 'b =
b, pak b se naz v vlastn vektor ',
vlastn hodnota (vl.  slo) '.  kme, e b je vlastn vektor p
slun vlastn hodnot
. ( )

( )

0

( )

0

0

0

Denice 1.3

Nech A je matice
du n nad C , b nenulov vektor z C n,
2 C . Kdy Ab =
b, pak b nazveme vlastnm vektorem matice A,
vlastn hodnotou matice A.  kme, e vlastn vektor b p
slu vlastn hodnot
. 0

0

0

0

Poznmka 1.4

Mno ina vech vlastn ch vektor p
slun ch dan vlastn hodnot je linern podprostor.

Poznmka 1.5

Nech ' je linern transformace v U n , (e) bze v U n , 0 6= b 2 U n ,
2 C , b] sloupec sou
adnic vektoru b vzhledem k bzi (e). Pak 'b =
b , AT b] =
b], kde A je matice transformace ' vzhledem k bzi (e). ( )

( )

0

( )

0

0

Dkaz: '(e) = A(e) b]T (e) = b b]T A(e) = b]T 'e = 'b =
0 b =
0 b]T , b]T A =
0 b]T , AT b] =
0 b] 2

Vta 1.6

Nech ' je linern transformace v U n, (e) bze v U n  0 6= b 2 U n ,
2 C , b] sloupec sou
adnice vektoru b vzhledem k bzi (e). Pak 'b =
b () AT b] =
b], kde A je matice ' vzhledem k bzi (e). ( )

0

0

0

Vta 1.7

Ka d charakteristick ko
en matice je jej vlastn hodnotou a obrcen.

Denice 1.8

N
sobnost vlastn hodnoty je nsobnost ko
ene
0 charakteristick ho polynomu matice A. Mno ina vech vlastn ch hodnot matice A, kde ka d vl. hodnota se po t tolikrt, jako je jej nsobnost se naz v spektrum matice A.

Vta 1.9

Podobn matice maj tyt

vlastn hodnoty vetn nsobnosti.

Dkaz: Nech A, B jsou matice a S ;1 AS = B . jA ;
I j = jB ;
I j = jS ;1AS ;
I j = jS ;1jjA ;
I jjS j = jA ;
I j

2

1 DIAGONALIZOVATELNOST MATIC

2

Denice 1.10

tvercov matice se naz v diagonalizovateln, kdy je podobn diagonln .

Vta 1.11

Matice A
du n je diagonalizovateln, prv kdy existuje n vzjemn nezvisl ch vlastn ch vektor.

Vta 1.12

Nech
 : : : 
k jsou navzjem rzn vlastn hodnoty matice A
du n (n  k). Pak odpov daj c vlastn vektory tvo
linern nezvisl syst m. Je-li k = n, matice A je diagonalizovateln. 1

Dkaz: eknme, e x1  : : :  xk jsou vlastn vektory A p
slun vlastn m hodnotm
1  : : : 
k . P
edpokldejme, e x1  : : :  xk jsou linern zvisl . Pak existuje netriviln nulov linern kombinace tchto vektor,
eknme, e 0 = 1 x(1) + : : : + r x(r) je nulov netriviln kombinace s nejmen m potem nenulov ch koecient. Aplikujme A na tuto rovnici:

0 =  Ax + : : : + r Ax r = 
x + : : : + r
r x r 1

(1)

( )

Vynsobme tuto rovnici
r

1

1

(1)

( )

0 = 
r x r + : : : + r
r x r ( )

1

odeten m

( )

0 =  (
;
r )x + : : : + r; (
r; ;
r )x r; Dostaneme nulovou netriviln kombinaci, kter m m n nenulov ch koecient ne r. To je spor. 1

1

(1)

1

1

(

1)

2

Denice 1.13

Permutan matice je tvercov matice, kter m v ka d m
dku a v ka d m sloupci jednu jedniku, ostatn prvky jsou nulov . Permutan matice P odpov d permutaci




!

p = i1 i2 :: :: :: in  n 1

2

kdy na pozic ch i  1] i  2] : : :  in n] m jedniky, jinde nuly. 1

2

Vta 1.14

Nech A je matice
du m, P permutan matice p
slun permutaci




!

p = i1 i2 :: :: :: im : m 1

2

Pak AP je matice, jej sloupce se z skaj permutac sloupc A pomoc permutace p (ix-t p
ejde na x-tou pozici). P T A je matice, jej
dky se z skaj permutac
dk A pomoc permutace p. P T AP tedy d souasn permutaci sloupc i
dk. Diagonln prvky matice P T AP se z skaj permutac p diagonln ch prvk matice A.

1 DIAGONALIZOVATELNOST MATIC

3

Lemma 1.15

Nech A, B jsou matice
d m, n,

! A 0 C= 0 B : Pak C je diagonalizovateln, prv kdy A i B jsou diagonalizovateln .

Vta 1.16




Schurova v
ta o unitrn triangularizaci

Nech A je matice
du n,
: : :
n jej vlastn hodnoty (v njak m po
dku). Pak existuje matice U tak, e U  AU = T , kde T je horn (doln ) trojheln kov matice s diagonln mi prvky tii =
i  i = 1 : : : n. Jinak
eeno libovoln matice je unitrn ekvivalentn s trojheln kovou matic , jej diagonln prvky jsou vlastn hodnoty dan matice v p
edem p
edpokldan m po
dku. Je-li A reln a jej vlastn hodnoty jsou reln , pak U je mo no vybrat jako relnou a ortogonln . Dkaz: Indukc vzhledem k n. 2 1

Vta 1.17

Zobecn
n Schurova v
ta o triangularizaci (neunitrn)

Nech A je matice
du n, nech m navzjem rzn vlastn hodnoty
 : : : 
k ,
i m nsobnost ni (i = 1 : : :  k). Potom A je neunitrn podobn matici tvaru 0 T 0  0 1 BB . C BB 0 T 0 .. CCC B@ ... 0 . . . 0 CA 0    0 Tk Nech Ti jsou trojheln kov matice
du ni s diagonln mi prvky
i (i = 1 : : :  k). Je-li matice A reln a vechny jej vlastn hodnoty jsou reln , pak transformuj c matic m e b t reln matice. 1

1

2

Denice 1.18

Matice
du n se naz v norm
ln, kdy pro ni plat AA = A A.

Denice 1.19

Matice A, kter je unitrn ekvivalentn s diagonln matic , se naz v unit
rn diagonalizovateln
. V reln m p
pad mluv me o ortogon
ln diagonalizovatelnosti.

Vta 1.20

Charakteristick znaky normlnch matic

Nech A je matice
du n,
 : : : 
n jej vlastn hodnoty. Pak nsleduj c podm nky jsou ekvivalentn : 1. A je normln 2. A je unitrn diagonalizovateln 3. Pni jaiij = Pni j
ij 4. existuje ortonormln syst m vlastn ch vektor matice A. 1

2

=1

Dsledek 1.21

2

=1

Trojheln kov normln matice je diagonln .

2 SYMETRICK TRANSFORMACE

4

2 Symetrick transformace Denice 2.1

Linern transformace ' unitrn ho prostoru U n (Euklidovsk ho prostoru E n ) se naz v symetrick
, kdy plat pro libovoln a b 2 U n (a b 2 E n ) ('(a) b) = (a '(b)). ( )

( )

( )

( )

Denice 2.2

tvercov matice Q nad C se naz v hermitovsk
resp. symetrick
, kdy Q = Q resp. QT = Q.

Vta 2.3

Symetrick transformace unitrn ho prostoru m vzhledem k libovoln ortonormln bzi hermitovskou matici. Obrcen, m-li linern transformace unitrn ho prostoru vzhledem k jedn ortonormln bzi hermitovskou matici, pak je tato transformace symetrick. Dkaz: 1. ' je symetrick transformace. Jej matice Q = (qij ) vzhledem k jedn ortonormln bzi fe  : : :  eng. ) ('(ei) ej ) = (PkP qik ek  ej ) = qi
j =) Q = Q (e  '(e )) = (e  q e ) = q 1

i

j

j

k ik k

j
i

2. Q = (qij ) hermitovsk matice linern transformace ' vzhledem k njak ortonormln bzi e  : : :  en. Mme dokzat, e pro libovoln a, b dan ho prostoru plat ('a b) = (a 'b). a = Pi i ei b = Pi i ei ('a b) = (a 'b) 1

2

Poznmka 2.4

Symetrick transformace Euklidovsk ho prostoru je charakterizovna podobn jako v p
edchoz vt. M sto hermitovsk matice je reln symetrick matice.

Vta 2.5

Linern transformace ' unitrn ho prostoru je symetrick, kdy aspo pro jednu ortonormln bzi plat ('ei ej ) = (ei  'ej ) 8i j . Dkaz: Je ve druh sti dkazu p
edchoz vty. 2

Vta 2.6

Vechny charakteristick ko
eny (tedy i vechny vlastn hodnoty) hermitovsk matice jsou reln . Dkaz: Nech x je vlastn vektor (normovan - jxj = x) hermitovsk matice A p
slun vlastn hodnot
.
=
xx = x Ax (x Ax) = x A x = x Ax ) x Ax =
2 R 2

Dsledek 2.7

Vechny charakteristick ko
eny a vechny vlastn hodnoty symetrick linern transformace jsou reln .

Vta 2.8

Linern transformace ' unitrn ho prostoru U n je symetrick, prv kdy v U n existuje ortonormln bze slo en z vlastn ch vektor matice transformace ' a vechny jej vlastn hodnoty jsou reln . ( )

( )

3 HERMITOVSK MATICE A KONGRUENTNOST

5

3 Hermitovsk matice a kongruentnost Vta 3.1

Libovoln tvercov matice A se d zapsat jako A = S + iT , kde S a T jsou hermitovsk matice.

Dkaz: S = 1=2(A + A ) T = (;i=2)(A ; A ) ) A = S + iT jednoznanost: A = E + iF A F hermitovsk 2S = A + A = E + iF +(EiF ) = E + E  + iF ; iF = 2E ) S = E T = F 2

Vta 3.2

Matice A
du n je hermitovsk, prv kdy plat kterkoli z nsleduj c ch podm nek: 1. funkce x Ax je reln pro vechny x 2 C n. 2. matice A je normln (existuje ortonormln syst m vektor matice A a vechny jej vlastn hodnoty jsou reln ). 3. matice S  AS je hermitovsk pro libovolnou matici S
du n 4. matici A je mo no vyjd
it ve tvaru A = UDU  , kde U je unitrn a D reln diagonln .

Poznmka 3.3

Diagonln prvky matice D jsou vastn hodnoty matice A, za matici V lze vz t matici, jej sloupce jsou vlastn vektory A a to takov , kter tvo
ortonormln syst m.

Vta 3.4

Reln matice A je symetrick, prv kdy A = QT Q, kde Q je reln ortogonln a reln diagonln . Dkaz: 1. A je reln symetrick matice. Podle Schurovy vty A = QT TQ, kde Q je ortogonln reln, T je reln trojheln kov. Trojheln kov normln matice je diagonln .

2. A = QT Q, Q je reln ortogonln , je reln diagonln . AT = QT T Q = QT Q = A

2

Denice 3.5

Nech A, B jsou matice t ho
du. Kdy existuje regulrn matice S tak, e

B = SAS , pak B se naz v hermitovsky kongruentn s A (kongruentn )

B = SAS T , pak B se naz v kongruentn s A (T kongruentn )

Denice 3.6

Nech A je tvercov matice
du n. Inercie (setrvanost) matice A je trojice i(A) = (i (A) i;(A) i (A)), kde

i (A) je poet vlastn ch hodnot, kter maj relnou st kladnou +

+

0

3 HERMITOVSK MATICE A KONGRUENTNOST

6

i; (A) je poet vlastn ch hodnot, kter maj relnou st zpornou

i (A) je poet vlastn ch hodnot, kter maj relnou st nulovou  slo i (A) ; i;(A) se naz v signatura matice A. Poznmka 3.7 Pro hermitovsk matice plat i ; i; =  (signatura) a i + i; = r (hodnost) Vta 3.8 (Sylvestrova) v
ta o setrvanosti (o inercii) 0

+

+

+

Je-li A hermitovsk nebo reln symetrick matice a plat -li i(A) = i(B ), pak existuje regulrn matice G tak, e A = GBG

Vta 3.9

Nech A je matice
du n. Pak existuje unitrn matice U a horn trojheln kov matice , ob
du n tak, e A = U U T , prv kdy jsou nezporn vlastn hodnoty matice AA. P
i splnn podm nky lze brt  jako diagonln s nezporn mi diagonln mi prvky. Je-li A (reln nebo komplexn ) symetrick, pak se matice  d brt jako diagonln , sloupce matice U pak tvo
ortonormln syst m vlastn ch vektor matice AA, odpov daj c diagonln prvky matice  jsou nezporn druh odmocniny z vlastn ch hodnot matice AA.

2

Dkaz: Stoj p
li mnoho sil.

Vta 3.10

Nech A, B jsou (reln nebo komplexn ) matice t ho
du. Pak existuje regulrn matice S tak, e A = SBS T prv tehdy, kdy A, B maj tyt

vlastn hodnoty. Dkaz:

1. Kdy A = SBS T , pak A, B maj tut

hodnost. 2. P
edpokldejme, e A, B maj tut

hodnost. Podle p
edchoz vty existuje A = U  U T , U je unitrn ,  diagonln . A = diag( : : : n )  = diag(d : : : dn), kde 1

1

1

1

1

1

1

1

1

( p 0 di = + 1i i > = i 0

A = U D I (A)D U T = S I (A)S T  B = S I (B )S T , S , S regulrn . h(A) = h(I (A)) h(B ) = h(I (B )), h(A) = h(B ) ) h(I (A)) = h(I (B )) ) I (A) = I (B ). A = S I (A)S T = S S ; B (S T ); S T = SBS T I (A) = I (B ) = S ; B (S T ); a S S ; = S je regulrn . 2 1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

1

1

4 POZITIVN REFUNDN MATICE

7

4 Pozitivn refundn matice Denice 4.1

Hermitovsk nebo reln symetrick matice A se naz v pozitivn de nitn, kdy pro libovoln nenulov komplexn , resp. reln vektor plat (Ax x) > 0.

Denice 4.2

Hermitovsk nebo reln symetrick matice A se naz v pozitivn semide nitn, kdy pro libovoln nenulov komplexn , resp. reln vektor plat (Ax x)  0. denic ch se m sto (Ax x) d pou t x Ax x = x  : : :  xn]T  A = (ij ) (Ax x) = P V obou i
j ij xi xj 1

Denice 4.3

Nech A = (ij ) je matice typu (m n), 1  i < i < : : : < ij  m, 1  k < k < : : : < kl  n Pak pod A(i  : : :  ij jj  : : :  jl ) rozum me (k l) podmatici v A, kter z A vznikne vynechn m vech prvk, krom prvk na pozic ch (i k )  = i  : : :  j   = k  : : :  kl Je-li A tvercov, pak podmatice A(i  : : :  ij ji  : : :  ij ) se naz v hlavn podmatice v A. P
slun minor se naz v hlavn minor. Ozna me-li fi  : : :  ij g jako Nj (podobn Ml ), pak m sto A(i  : : :  ij jj  : : :  jl ) p eme A(Nj  Ml ). 1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

Vta 4.4

Nech A = (ij ) je
du n, nech m vlastn hodnoty
 : : : 
n. Pak plat 1. Pni
i = Pni ii 2.
: : :
n = det(A) 3. Ek (x  : : :  xn) = P det(A(M jM )) card(M ) = k, kde P Ek (x  : : :  xn) je k-t elementrn symetrick polynom o n neurit ch, toti Ek (x  : : :  xn) = x"1 : : : x"nn , "i = 0 nebo 1 a Pni ki = k. 1

=1

=1

1

1

1

1

Vta 4.5

1

Hlavn v
ta o pozitivn
definitnch maticch

=1

Nech A je hermitovsk resp. reln symetrick matice
du n. Potom nsleduj c podm nky jsou ekvivalentn . 1. Matice A je pozitivn denitn . 2. Vechna hlavn  sla vech hlavn ch podmatic matice A jsou pozitivn . 3. Vechny hlavn minory matice A jsou kladn . 4. det(A(Nk jNk )) > 0, pro k = 1 : : :  n, kde Nk = f1 2 : : :  kg (vedouc hlavn minory). 5. (F. . vynechal) 6. Existuje regulrn matice C tak, e A = CC  . (C m e b t komplexn i pro A relnou). 7. Souty hlavn ch minor k-t ho
du matice A jsou kladn pro k = 1 : : :  n. 8. Vechny vlastn hodnoty matice A jsou kladn .

4 POZITIVN REFUNDN MATICE

8

9. Existuje unitrn (p
i reln A ortogonln ) matice U a diagonln matice D s pozitivn mi diagonln mi prvky tak, e A = UDU  . Dkaz: Dokazuje se 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 1, 3 ) 7 ) 8 ) 9 ) 6 ) 1. (1 ) 2) A pozitivn denitn , A(M jM ) (0 6= M N ),
vlastn hodnota matice A(M jM ) p
slun vlastn mu vektoru x(M ). A(M jM )x(M ) =
x(M ) 0 < (Ax x) = (A(M jM )x(M ) x(M ) = (
x(M ) x(M )) > 0 )
> 0 (2 ) 3) 6= M N det(A(M jM )) = souin vech vlastn ch hodnot matice A(M jM ) > 0, proto det(A(M jM )) > 0. (3 ) 7) evidentn (7 ) 8)  = jA ;
I j = (;
)n + c (;
) + : : : + cn > 0 a p
edpokldme, e
 n pro libovolnou vlastn hodnotu matice A . . . spor. (8 ) 9) A = UDU  , U unitrn , D diagonln , A hermitovsk. D je reln, U  unitrn , diagonln prvky D jsou vlastn hodnoty matice A a ty jsou podle p
edpokladu kladn . (9 ) 6) A = UDU  , D = WW , kde 0p 1
0 CC B ... W =B @ A p
n 0 A = UWW U = (UW (UW ) ) . . . UW je regulrn . (6 ) 1) A = CC  , C je regulrn , (Ax x) = (CC x
) = (C  x C x) > 0. 1

1

Vta 4.6

Hlavn v
ta o pozitivn
semidefinitnch maticch

2

Nech A je hermitovsk resp. reln symetrick matice
du n. Potom nsleduj c podm nky jsou ekvivalentn . 1. Matice A je pozitivn semidenitn . 2. Matice A + "I je pozitivn denitn pro ka d " > 0. 3. Vechny vlastn hodnoty vech hlavn ch podmatic matice A jsou nezporn . 4. Vechny hlavn minory matice A jsou nezporn . 5. Souty hlavn ch minor k-t ho
du matice A jsou nezporn pro k = 1 : : :  n. 6. Vechny vlastn hodnoty matice A jsou nezporn . 7. Existuje unitrn (p
i reln A ortogonln ) matice U a diagonln matice D s nezporn mi diagonln mi prvky tak, e A = UDU  . 8. Existuje tvercov matice C tak, e A = CC  . 9. Existuje matice F typu (m n) tak, e A = FF . Dkaz: Analogick s p
edchoz m dkazem. 2

4 POZITIVN REFUNDN MATICE

9

Vta 4.7

Pozitivn semidenitn matice je pozitivn denitn , prv kdy je regulrn .

2

Dkaz: Na zklad hlavn ch vt.

Vta 4.8

Je-li A pozitivn denitn , pak A; existuje a je pozitivn denitn . 1

Dkaz: A je regulrn , tedy A;1 existuje. Vlastn hodnoty od A;1 jsou p
evrcen vlastn hodnoty od A. 2

Vta 4.9

Je-li A pozitivn denitn a  > 0, pak A je pozitivn denitn .

Je-li A pozitivn semidenitn a   0, pak A je pozitivn semidenitn .

Jsou-li A, B pozitivn semidenitn , pak A + B je pozitivn semidenitn .

Je-li A pozitivn denitn a B pozitivn semidenitn , pak A + B je pozitivn denitn . Vta 4.10

Je-li A pozitivn denitn a G regulrn matice, pak matice GAG je pozitivn denitn .

Je-li A pozitivn semidenitn a G vhodn ho typu, pak matice GAG je pozitivn semidenitn . Vta 4.11 1. Mno ina vech vlastn ch vektor matice vzhledem k t

e vlastn hodnot roz
en o nulov vektor tvo
vektorov podprostor (vlastn podprostor). 2. Vlastn vektory dan hermitovsk matice p
slun rzn m vlastn m hodnotm jsou ortogonln . 3. Jsou-li vechny vlastn hodnoty hermitovsk matice navzjem rzn , pak jej vlastn podprostory jsou dimenze 1.

Denice 4.12

Singul
rn sla matice A lib. typu jsou kladn druh odmocniny nenulov ch vlastn ch hodnot matice AA.

4 POZITIVN REFUNDN MATICE

Vta 4.13

10

O singulrnm rozkladu matice

Nech A je matice typu (m n), hodnosti r. Pak existuj unitrn (pro relnou A ortogonln ) matice U
du m, V
du n a diagonln matice S
du r s kladn mi diagonln mi prvky tak, e A = UTV , kde
! S 0 T= 0 0 :

Zde nulov bloky dopluj matici T na matici typu (m n). P
itom matice T je tmito podm nkami urena (a na po
ad prvk v hlavn diagonle) jednoznan. Je-li matice A reln, matice U a V mohou b t brny reln . Diagonln prvky matice S jsou singulrn  sla matice A. Sloupce matice U jsou vlastn vektory matice AA . Sloupce matice V jsou vlastn vektory matice A A (uspo
dan

jako u AA ). Jsou-li vlastn hodnoty matice AA navzjem rzn , je matice U urena jednoznan a na prost diagonln faktor
= diag(  : : :  n) jij = 1 8i. Je-li r = m = n, pak p
i pevn m U je matice V urena jednoznan. 1

Vta 4.14

O polrnm rozkladu

tvercov matice A se d vyjd
it ve tvaru A = PU , kde P je pozitivn semidenitn a U unitrn . Dkaz: Z vty o singulrn m rozkladu




!
! S 0 S 0  A = U 0 0 V = U 0 0 U  UV | {z } = PU | {z } U P

.

2

5 KVADRATICK FORMY

11

5 Kvadratick formy Denice 5.1

Hermitovsk
(kvadratick
) forma f (x) n komplexn ch (reln ch) neurit ch x1  : : :  xn]T = x je P polynom o tchto neurit ch nad C (R) tvaru f (x) = ni=1 ij xi xj . V komplexn m (reln m) p
pad jsou  sla ij komplexn (reln) a neurit mohou nab vat komplexn ch (reln ch) hodnot. Matice A = (ij )ni
j=1 je matice formy f (x), p
edpokld se hermitovsk, v reln m p
pad symetrick. Hodnost formy denujeme jako hodnost matice A.

Vta 5.2

Jestli e na kvadratickou formu f (x) = x Ax aplikujeme linern transformaci x = Qy, pak f (y) = yQ AQy, to jest kvadratick forma f v neurit ch x p
ejde v kvadratickou formu v neurit ch y a jej matice bude QAQ.

Denice 5.3

ekneme, e forma f (x) je v kanonickm tvaru, kdy f (x) = Pni dixi xi, kde di i = 1 : : :  n jsou reln  sla. =1

Vta 5.4

Ke kvadratick form f (x) = x Ax existuje unitrn transformace (s matic U ) vektoru neurit ch x tak, e transformovan kvadratick forma je v kanonick m tvaru. Pro relnou kvadratickou formu existuje reln unitrn (t.j. ortogonln ) transformace uveden ch vlastnost . P
itom v obou p
padech koecienty kanonick formy budou vlastn hodnoty matice A. Dkaz: Pro A hermitovskou existuje unitrn U tak, e A = U  DU , kde D je diagonln s reln mi prvky# x = U  y je dan transformace, f (y) = yU  DUy = xDx, A a D maj stejn vlastn hodnoty, tedy na hlavn diagonle D jsou vlastn hodnoty matice A. 2

Vta 5.5

O inercii (setrvanosti) kvadratickch forem

Nech f (x) je kvadratick forma (komplexn nebo reln) s matic A, nech P a Q jsou matice regulrn ch linern ch transformac , p
evdj c ch f (x) na kanonick tvar. Pak pro matice P AP a Q AQ kanonick ch forem plat : inercie In(P AP ) = In(Q AQ) = In(A), t.j. ob kanonick formy maj t poet kladn ch koecient, t poet zporn ch a t poet nulov ch koecient. Dkaz: Plyne bezprost
edn ze Sylvesterovy vty. 2

Dsledek 5.6

Dv kanonick formy (ob komplexn nebo reln ) se daj linern mi transformacemi p
ev st jedna na druhou, prv kdy maj stejn hodnosti a stejn signatury.

Denice 5.7

Kvadratick forma o n neurit ch se naz v pozitivn de nitn (pozitivn semide nitn), kdy se d p
ev st na kanonick tvar s n kladn mi (n nezporn mi) koecienty.

Vta 5.8

Kvadratick forma f (x) = x Ax je pozitivn denitn (pozitivn semidenitn ), prv kdy pro libovoln vektor x 6= 0 plat xAx > 0 (x Ax  0). Dkaz: Plyne z hlavn vty o pozitivn denitn ch (resp. semidenitn ch) matic ch. 2

5 KVADRATICK FORMY

Poznmka 5.9

12

Praktick v poet matice U unitrn transformace, kter p
evd kvadratickou formu f (x) = k hlavn m osm. P
slun kanonick tvar m za koecienty vlastn hodnoty matice A. U  AU = D = diag(
 : : : 
n) AU = UD AUi = Ui D, AUi =
iUi Ax =
ix, (A ;
iI )x = 0 je fundamentln syst m. een tohoto syst mu ortonormalizujeme, obdr me ortonormln syst m vlastn ch vektor matice A, p
slun hodnoty jsou
i. Ui Ki je ortonormln syst m vektor matice A i U.

x Ax

1

6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE

13

6 Jordanova kanonick forma matice Denice 6.1

Jordanv blok Jk (
) je horn trojheln kov matice
du k, tvaru 0
1 1 0 BB ... C CC
B Jk (
) = B ... 1 C B@ CA 0
Jordanova matice (matice v jordanov tvaru, jordanova kanonick forma, jordanova normln forma matice) J je blokov diagonln matice
du n, jej bloky jsou jordanovy bloky: 0 J (
) 0 1 n1 1 BB CC Jn2 (
2 ) B CC J =B ... @ A 0 Jns (
s) kde n1 + : : : + ns = n,
1  : : : 
s jsou komplexn  sla.

Vta 6.2

Jordanova v
ta

Nech A je komplexn matice
du n. Pak existuje regulrn matice
du n tak, e 0 J (
) 1 0 n1 BB CC Jn2 (
) B CC S ; A=SB . . . @ A 0 Jnk (
k ) kde n + : : : + nk = n,
 : : : 
k jsou komplexn  sla. Jordanova matice J je denovna jednoznan a na po
ad blok. Je-li matice A reln, pak podobnost m e b t zprost
edkovna relnou matic S. Dkaz:

Podle Schurovy vty je A = U  TU , U unitrn , T horn trojheln kov matice, jej hlavn diagonla je tvo
ena vlastn mi hodnotami matice A.

Zobecnn m Schurovy vty plyne, e T je podobn s blokov diagonln matic , diagonly blok maj stejn prvky. 1

2

1

1

1

Lemma 6.3 Pro k  1 a pro jordanv blok

2

00 1 1 0 BB ... C CC 0 B Jk (0) = B ... 1 C B@ CA 0

0

6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE plat

14




!

0 0  0 Ik; Jk (0)]p = 0 pro p  k, Jk (0)li = li  i = 1 : : :  b ; 1 Ik; je jednotkov matice
du k ; 1, Ik ; JkT (0)Jk (0)]x = (xT e )e pro libovoln x 2 C k

JkT (0)Jk (0) =

1

+1

1

1

1

2

Dkaz: P
m m v potem.

Denice 6.4

Horn oste trojhelnkov
matice je horn trojheln kov matice, jej hlavn diagonla je nulov.

Vta 6.5

Nech A je horn ost
e trojheln kov matice
du n. Pak existuje regulrn matice S
du n a cel  sla n  n  : : :  nm  1 n + : : : + nm = n, 0 1 J 0 n1 (0) B CC ; . . A=SB . @ AS : 0 Jnm (0) 1

2

1

1

2

Dkaz: Indukc vzhledem k n.

Dsledek 6.6

Dv matice v jordanov tvaru jsou podobn , prv kdy se li pouze po
ad m blok.

Vta 6.7

Nech A je matice
du n, " 6= 0  slo. Pak existuje regulrn matice S = S (")
du n tak, e 0 1 J 0 n1 (
 ") B CC ; ... A=SB @ AS  0 Jnk (
k  ") 1

1

kde

0 BB
i " . . 0 Jni (
i ") = B BB
i . . . . " @ 0
i Je-li A reln a " reln  slo, lze vybrat S (") relnou.

1 CC CC : CA

Vta 6.8

Nech matice A, B jsou podobn v komplexn m oboru. Pak jsou podobn i v reln m oboru.

Dkaz: A, B jsou reln matice, B = TAT ;1, T je regulrn komplexn , T = P + iQ, kde P , Q jsou reln . BT = TA, BP = PA, BQ = QA, det(P + iQ) 6= 0. det(P + Q) je polynom promnn

, kter nen toto n rovn nule, to znamen, e m pouze konen poet ko
en. Potom existuje reln  slo 0 tak, e det(P + 0Q) 6= 0, t.j. P + 0Q je regulrn matice. T0 = P + 0 Q, B = T0AT0;1, T0 je reln matice. 2

6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE

Vta 6.9 Plat

15

0
!
!
! k k k BB
k 1
k;
k;    m ; 1
k;m 2 BB BB
!
! BB 0 k k k;    k;m
k 1
m;2
Jm(
)]k = B BB BB BB ... ... BB @ 0  0
k 1

Je-li j
j < 1, je

Dkaz: Indukc a z

k

lim J (
)] k!1 m

2

+1

1

+2

1 CC CC CC CC CC : CC CC CC CA

= 0:


!
!
! k + k k + 1 j j+1 = j+1

Vta 6.10

2

Nech A je matice
du n, f (x) polynom. Jsou-li
 : : : 
n vlastn hodnoty matice A, pak matice f (A) m vlastn hodnoty f (
) : : :  f (
n). Je-li g(x) polynom, pro kter g(
i) 6= 0, i = 1 : : :  n, pak matice f (A) je regulrn a f (A)g(A)]; m jako svoje vlastn hodnoty prv  sla f (
)=g(
) : : :  f (
n)=g(
n). Je-li x vlastn vektor matice A p
slun vlastn hodnot
, je vlastn m vektorem tak matic f (A) f (A)g(A); odpov daj c vlastn hodnot f (
), f (
)=g(
). 1

1

1

1

1

1

Denice 6.11

Spektr
ln polom r (A) tvercov matice A denujeme

(A) = maxfj
j
je vlastn hodnota matice Ag.

Vta 6.12

Oldenburgerova v
ta

Nech A je tvercov matice. Pak plat lim Ak = 0

k!1

prv kdy (A) < 1. Dkaz:

1. lim Ak = 0, mme dokzat (A) < 1. lim Ak = 0 ) klim Ak = 0 ) klim
k = 0 !1 j !1

k!1

pro vechny vlastn hodnoty
matice A ) j
j < 1 ) (A) < 1.

6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE

16

2. (A) < 1 ) j
j < 1 pro vechny vlastn hodnoty matice A

) klim J (
)]k = 0 ) klim Ak = 0: !1 n !1 2

Vta 6.13

Je-li A tvercov matice, kter spluje podm nku (A) < 1, potom konverguje geometrick
ada I + A + A + : : : a jej souet je (I ; A); . 2

1

P Ak = (I ; A);1 Dkaz: (A) < 1 ) I ; A je regulrn . I + A + A2 + : : : + Ak = (I ; Ak+1 )(I ; A);1 1 k=0 limk!1 = 0 (podle Oldenburgerovy vty) 2

7 POLYNOMI LN MATICE

17

7 Polynomi ln matice Denice 7.1

Matice, jej prvky jsou polynomy jedn promnn (zpravidla znaen
, odtud
-matice), se naz v polynomi
ln matice. Koecienty polynom bebreme v C nebo v R.
-matice pova ujeme za tvercov .
-matici, jej prvky jsou  sla, nazveme skal
rn matice.

Denice 7.2

Element
rnmi transformacemi
-matice naz vme nsleduj c zobrazen :

Nsoben nkter ho
dku  slem  6= 0.

K i-t mu
dku p
iteme f (
)-nsobek j -t ho
dku (i 6= j , f (
) je polynom). Analogicky denujeme sloupcov transformace.

Denice 7.3

Dv
-matice jsou ekvivalentn, kdy se jedna v druhou d p
ev st konen m potem elementrn ch transformac .

Denice 7.4

ekneme, e
-matice je v kanonickm tvaru, kdy m tvar

0 BB f (
) . . . @ 1

0

1

0 C C

f n (
)

A

kde 8i fi(
) je dlitelem fi (
) a vechny nenulov polynomy maj vedouc koecienty 1. +1

Vta 7.5

Ka d
-matice se d konen m potem elementrn ch transformac p
ev st na kanonick tvar.

Dkaz: Bu G
-matice. Pro G = 0 nen co dokazovat. 0 BB f11..(
)    f1n..(
) G=@ . . fn1 (
)    fnn(
)

1 CC A

P
edpokldejme, e f (
) m nejmen stupe mezi vemi maticemi ekvivalentn mi s G. Potom f (
) je dlitelem vech prvk v prvn m
dku i v prvn m sloupci. Lze tedy G p
ev st na tvar 0 f (
) 0    0 1 BB 0 f (
)    f n(
) CC BB .. ... ... C CA @ . 0 fn (
)    fnn(
) atd. Dkaz podv metodu na p
eveden
-matice na kanonick diagonln tvar. 2 11

11

11

22

2

2

7 POLYNOMI LN MATICE

18

Poznmka 7.6

dFk (
) budeme znait nejvt spolen dlitel vech minor stupn k v
-matici F .

Vta 7.7

Ekvivalentn
-matice maj stejn nejvt spolen dlitele minor stupn k (k = 1 2 : : :  n).

Vta 7.8

Bu di Dk (
) (k = 1 2 : : :  n) nejvt spolen dlitel kanonick diagonln formy dV (
) : : : dVk (
) = M , v < v < : : : < vk . Pak d (
) je dlitelem dV (
) . . . di (
) je dlitelem dVi(
). Nejvt spolen dlitel Dk (
) = d (
) : : : dn(
). 1

1

2

1

1

1

Denice 7.9

Polynomy dF (
) : : :  dFn (
) se naz vaj invariantn faktory
-matice F (jsou jednoznan stanoveny). 0

Vta 7.10

Prvn podmnka ekvivalence
-matic

Podm nkou ekvivalence
-matic je shoda invariantn ch faktor dk (
) tchto matic.

Vta 7.11

Druh podmnka ekvivalence
-matic Dv
-matice jsou ekvivalentn , prv kdy existuj matice P a Q tak, e G = PFQ, p
iem P a Q jsou matice, jejich determinanty jsou konstantn nenulov .

Denice 7.12

V razy " (
)]k1  : : :  "m(
)]km se naz vaj element
rn d litel invariantnho faktoru dk (
) a souet elementrn ch dlitel vech invariantn ch faktor d (
) : : :  dn(
),
-matice F se naz v soubor elementrn ch dlitel
-matice F . 1

1

Vta 7.13

d, hodnost a syst m vech elementrn ch dlitel
-matice F pln uruje syst m invariantn ch faktor matice F a tud uruje F a na ekvivalentnost.

Lemma 7.14

Syst m elementrn ch dlitel libovoln diagonln
-matice je soubor elementrn ch dlitel jednotliv ch diagonln ch prvk t to matice.

Vta 7.15

Syst m elementrn ch dlitel blokov diagonln
-matice je souhrn elementrn ch dlitel jej ch blok.

Vta 7.16

Weierstrassova

Je-li (
; a )k1  (
; a )k2  : : :  (
; as)ks soubor vech elementrn ch dlitel
-matice
I ; A P n (kde A je dan matice), pak jordanv kanonick tvar matice A je i Jki (ai ). 1

2

=1

7 POLYNOMI LN MATICE

19

Dkaz: A je  seln matice
du n, J je jordanova normln forma matice A. SAS ;1 = J , S (
I ; A)S ;1 =
I ; SAS ;1 =
I ; J
I ; A 
I ; J

0 1
; a ; 1 0 BB CC
; a ;1 BB CC ... ...
I ; Jk (a) = B CC BB ;1 CA @ 0
;a

Nejvt spolen dlitel od Jk (a)
du k je (
; a)k . Matice
I ; J je (
; a )k1  : : :  (
; an)kn . 1

2

8 MINIM LN POLYNOM MATICE

20

8 Minim ln polynom matice Denice 8.1

Bu A matice
du n. Pak polynom (
) = a
p + : : : + ap (a 6= 0) se naz v minim
ln polynom matice A, kdy je to polynom nejmen ho stupn, pro nj  (A) = 0. 0

Vta 8.2

0

Cayley-Hamiltonova

Pro libovolnou matici A
du n a jej charakteristick polynom '(
) plat '(A) = 0.

Vta 8.3

Je-li A matice
du n a g(
) spluje g(A) = 0, pak (
) je dlitelem polynomu g(
).

Dkaz: g(
) = '(
)q(
) + r(
), r(
) = 0 nebo st(
) < st('(
)). 0 = g (A) = '(A)g (A) + r(A), r(
) = 0 2

Dsledek 8.4

Minimln polynom je uren jednoznan a na konstantn faktor.

LITERATURA

Literatura $1] marda, B.: Linern algebra. SPN, Praha 1985 $2] Musilov, J., Krupka, D.: Linern a multilinern algebra. SPN, Praha 1989

21