Kalkulus: Fungsi Satu Variabel Oleh: Prayudi Editor: Kartono
Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2006
Hak Cipta © 2005 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.
Candi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta 55511 Telp./Fax. : 0274-882262 Website : www.grahailmu.com E-mail :
[email protected]
Prayudi Kalkulus: Fungsi Satu Variabel/Prayudi - Edisi Pertama Yogyakarta; Penerbit Graha Ilmu, 2006 viii + ....... hlm, 1 Jil. : 21.5 cm. ISBN: 979-756-118-2 1. Matematika
I. Judul
KATA PENGANTAR Pada awalnya buku ini merupakan diktat kuliah yang digunakan oleh mahasiswa pada Fakultas Teknik beberapa perguruan tinggi swasta di DKI Jakarta, yang pertama kali dipublikasikan sekitar awal tahun 1995. Setelah mengalami berbagai revisi setelah mendapatkan masukan dari mahasiswa, dan beberapa rekan sejawat, akhirnya terbentuk suatu buku yang sederhana dan cukup lengkap. Buku ini lebih ditujukan untuk membantu mahasiswa semester pertama yang mengambil mata kuliah Kalkulus Diferensial Integral, baik mahasiswa di fakultas teknik dan atau sains dan teknologi lainnya yang mempelajari kalkulus, yang tidak begitu mempermasalahkan bukti dari teorema, tetapi lebih menekankan pada penggunaan teorema. Hal ini sejalan dengan tujuan diterbitkannya buku ini untuk membantu mahasiswa memahami kalkulus, dengan harapan agar kalkulus tidak dijadikan sebagai mata kuliah yang ditakuti mahasiswa. Letak keunggulan dari buku ini adalah bahwa buku ini lebih menekankan pada bagaimana menyelesaikan masalah, namun demikian tidak meninggalkan kaidahkaidah secara teori. Oleh karenanya pendekatan yang digunakan pada pembahasan buku ini adalah pada setiap awal sub bab diupayakan adanya pengantar teori, dan selanjutnya diteruskan dengan teori yang terdiri atas definisi dan teorema, serta contoh-contoh soal. Sehingga teorema-terorema dalam buku ini sengaja tidak dibuktikan, dan bagi pembaca yang menginginkan buktinya disarankan untuk membaca lebih lanjut pada buku referensi yang ditunjuk. Pendekatan ini dicoba ditempuh, supaya mahasiswa dan atau pembaca pada umumnya tidak terjebak pada masalah pembuktian teorema, tetapi lebih menekankan pada penggunaan teorema. Pada setiap pembahasan contoh soal, diupayakan tahapan dan langkahlangkah yang digunakan dapat diikuti dengan mudah oleh mahasiswa. Sehingga
mahasiswa dan atau pembaca pada umumnya lebih mudah memahami kalkulus diferensial dan integral. Selanjutnya pada akhir sub bab diberikan soal-soal latihan, dengan harapan soal-soal tersebut dapat menambah pendalaman materi. Oleh karenanya soal-soal yang disajikan dapat dikerjakan oleh mahasiswa, dengan tingkat kesulitan yang sepadan dengan mahasiswa baru tahun pertama. Materi buku ini dapat diajarkan dalam satu semester dengan bobot empat sks, dengan catatan pembahasan langsung dimulai dari Bab II Fungsi dan Limit Fungsi, atau dapat pula diberikan dalam dua semester dimana pada semester pertama dibahas dari Bab I sampai dengan Bab V Integral, dan sisanya diberikan pada semester kedua. Pada akhirnya penulis berterima kasih kepada istri, anak tercinta atas dorongan dan kasih sayangnya dan waktu yang diluangkan. Tak lupa penulis ucapkan terima kasih kepada mahasiswa, dan rekan-rekan sejawat yang telah memberi masukan dan bantuan sehingga buku ini dapat diselesaikan. Penulis juga berterima kasih pada pihak penerbit yang telah bersedia menerbitkan buku ini.
Jakarta, 2 Maret 2006
Penulis
vi
Kalkulus: Fungsi Satu Variabel
DAFTAR ISI KATAPENGANTAR DAFTAR ISI BAB I
BAB II
BAB III
BAB IV
PENDAHULUAN 1.1 Bilangan Riil dan Pertidaksamaan 1.2 Sistem Koordinat Kartesius 1.3 Grafik Persamaan Derajd Dua dan Kubik FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafik Fungsi 2.2 Topik Khusus Yang Berkaitan Dengan Fungsi 2.3 Fungsi Trigonometri 2.4 Limit Fungsi 2.5 Kekontinuan Fungsi 2.6 Limit di Tak Hingga, Limit Tak Hingga dan Asimtot Grafik TURUNAN FUNGSI 3.1 Turunan Fungsi 3.2 Aturan Menentukan Turunan Fungsi 3.3 Turunan Fungsi Trigonometri 3.4 Penurunan Secara Implisit 3.5 Laju Yang Berkaiatan 3.6 Turunan Tingkat Tinggi 3.7 Diferensial dan Hampiran PENGGUNAAN TURUNAN 4.1 Maksimum dan Minimum 4.2 Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Kecekungan Grafik
4.3 Maksimum dan Minimum Relatif 4.4 Penerapan Ekstrim dan Model Matematika BAB V INTEGRAL 5.1 Integral Tak Tentu 5.2 Persamaan Diferensial 5.3 Integral Tentu 5.4 Teorema Dasar Kalkulus BAB VI PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU 6.1 Luas Bidang Datar 6.2 Volume Benda Putar, Metode Silinder 6.3 Volume Benda Putar, Metode Sel Silinder 6.4 Panjang Busur Kurva 6.5 Luas Permukaan Benda Putar 6.6 Momen dan Pusat Massa BAB VII FUNGSI-FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi Eksponensial Asli 7.3 Fungsi Eksponensial Umum dan Fungsi Logaritma Umum 7.4 Penerapan Fungsi Eksponensial dan Logaritma 7.5 Fungsi Invers Fungsi Trigonometri 7.6 Fungsi Hiperbolik dan Inversnya BAB VIII TEKNIK PENGINTEGRALAN 8.1 Integral Dengan Substitusi 8.2 Integrasi Parsial 8.3 Integral Fungsi Trigonometri 8.4 Substitusi Trigonometri 8.5 Pengintegralan Fungsi Rasional 8.6 Pengintegral Fungsi Rasional dari Sinus dan Cosinus BAB IX LIMIT BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRALTAK WAJAR 9.1 Limit Bentuk Tak Tentu 0/0 9.2 Limit Bentuk Tak Teknik (∞/∞) 9.3 Limit Bentuk Tak Tentu Lainnya 9.4 Integral Tak Wajar, Batas Tak Berhingga 9.5 Integral Tak Wajar, Integran Tak Berhingga DAFTAR PUSTAKA TENTANG PENULIS -oo0ooviii
Kalkulus: Fungsi Satu Variabel
BAB
1
PENDAHULUAN 1.1 Bilangan Riil dan Pertidaksamaan 1.1.1 Bilangan Riil Bilangan riil adalah himpunan bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan rasional adalah himpunan bilangan-bilangan bulat positip, bulat negatif, nol dan pecahan (a/b), dimana a dan b ≠ 0 adalah bilangan bulat. Bilangan rasional disebut pula dengan bilangan desimal berulang. Perhatikanlah contoh berikut ini : 3 = 0,428571 428571 428571 7
Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk (a/b), dimana a dan b ≠ 0 bilangan bulat. Bilangan irrasional disebut juga dengan bilangan desimal tak berulang. Contoh bilangan irrasional : √3 = 1,732050875 π = 3,1415926535 Bilangan riil dinyatakan dengan notasi R. Bilangan-bilangan riil dapat dipandang sebagai pengenal (label) untuk titik-titik sepanjang sebuah garis mendatar. Garis mendatar ini dikenal dengan garis bilangan riil. Bilangan ini disebut dengan koordinat titik, dan garis yang dihasilkan disebut dengan garis bilangan riil, seperti terlihat pada gambar 1.1.
√2 π ←⎯⎯+⎯⎯+⎯⎯+⎯⎯+⎯⎯+⎯⎯+⎯⎯+⎯⎯+⎯⎯⎯→ R -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Gambar 1.1 Sifat-sifat Medan Bilangan Riil : 1. Hukum komutatif, x + y = y + x dan xy = yx 2. Hukum asosiatif, x + (y + z) = (x + y) + z dan x(zy) = (xy) z 3. Hukum distributif, x (y + z) = xy + xz 4. Elemen-elemen indentitas. Terdapat dua bilangan riil 0 dan 1 yang memenuhi, x + 0 = x dan, x 1 = x 5. Invers (balikan). Setiap bilangan x mempunyai invers aditif/penjumlahan (disebut sebuah negatif), -x, yang memenuhi x + (-x ) = 0. Demikian juga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai invers perkalian (disebut kebalikan) x-1 , yang memenuhi x x-1 = 1. Sifat-sifat Urutan Bilangan Riil : 1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka berlaku satu diantara x < y atau y = x atau x > y 2. Transitif. Jika x < y dan y < z maka x < z. 3. Penambahan. x < y ⇔ x + z < y + z. 4. Perkalian. Bilangan z positif, x < y ⇔ x z < y z. Bilamana z negatif, x < y ⇔ xz > yz. Sifat-sifat urutan diatas berlaku juga untuk relasi, ≤ atau > atau ≥. Relasi urutan ≤ (dibaca kurang dari atau sama dengan). Relasi urutan ini didefinisikan oleh, x ≤ y ⇔ y x positif atau nol.
1.1.2 Bilangan Komplek Bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang berbentuk, z = x + yi, dimana i = √-1 atau i2 = 1, x dan y bilangan riil. Bilangan riil x disebut bagian real z, ditulis x = Re(z) dan y disebut bagian imajiner z ditulis y = Im(z). Sebagai contoh z = 4 + 3i, maka x = Re(4 + 3i) = 4, dan y = Im(4 + 3i) = 3.
1.1.3 Variabel, Konstanta dan Parameter Dalam sistem bilangan riil dikenal istilah variabel, konstanta dan parameter. Variabel adalah lambang yang mewakili unsur suatu himpunan. Konstanta adalah lambang yang mewakili unsur di himpunan berunsur satu (tunggal). Parameter adalah lambang yang mewakili di himpunan konstanta. Sebagai ilustrasi untuk menyatakan anggota himpunan bilangan riil digunakan lambang x, dalam hal ini x menyatakan variabel. 2
Kalkulus: Fungsi Satu Variabel
