7- 1 / - ,/Ê6"",Ê" ,
- */ ,ÊÊÓääÈ
LiiÌi]ÊLiÃÌi}iÊiÊÕÌ>Ìià À>Ê7ÀÃÌ]Ê ÀÕiÀÊiÌ
ÀÊ/iÊ À]Ê*ÃÌLÕÃÊ{£]Ê Ç{äÊÊ i««i°Ê/iivÊäxÓÓÊnxxÊ£Çx]Êv>ÝÊäxÓÓÊnxxÊ£ÇÈÊ
>ÊÃ
«J«ÞÌ
>}À>Ã°Õ {ÈÃÌiÊ>>À}>}ÊÕiÀÊ£ -- ÊääÎÎÊ{ÇÈÈÊ *ÞÌ
>}À>ÃÊÜÀ`ÌÊÕÌ}i}iÛiÊ`iÀÊ>ÕëVlÊÛ>Ê`iÊ i`iÀ>`ÃiÊ"`iÀÜÃVÃÃiÊÛÀÊ7ÃÕ`iÊiÊ ÀV
ÌÊâV
ÊÌÌÊ>iÊiiÀ}iÊÛ>ÊÛÜÊiÊ
>Û°Ê*ÞÌ
>} À>ÃÊÃÌiÌÊâV
ÊÌiÊ`iÊ}iÀiÊiÃÊÌiÊ>ÌiÊ>iÊ iÌÊ`iÊiÕiÊiÊÕÌ`>}i`iÊ>ÌiÊÛ>ÊÜÃÕ`i°Ê
LiiÌëÀÃÊÈÊÕiÀÃÊ«iÀÊ>>À}>}® % Óä]ÎxÊ i`iÀ>`®]Ê%ÊÓÓ]xÊ i}l®]Ê%ÊÓÈ]ääÊÛiÀ}Ê LÕÌi>`®]Ê%Ê£Ç]ÓxÊiiÀ}>LiiÌÊ i`iÀ>`®]Ê %ÊÓä]ääÊiiÀ}>LiiÌÊ i}l®]Ê%Ê£ä]ääÊLÕ>L iiÌÊ i`iÀ>`®]Ê%Ê£Ó]ääÊLÕ>LiiÌÊ i}l®°Ê <iÊÜÜÜ°«ÞÌ
>}À>ðÕÊÛÀÊÌiV
Ì}i°Ê
ÀÕÊ iÌ
ÀÊ/iÊ À]Ê i««iÊ
>Ê`ÌÊÕiÀÊÜiÀÌiÊii À°Ê °Ê ii>]Ê>ÕÌiÕÀÊÛ>Ê`ÛiÀÃiÊLÀiLÀiiÀLiiÊ `
°Lii>J
iÌiÌ°®]Ê`Àðʰ°ÊÛ>Ê`iÊ À>`
v]Ê `ViÌÊÜÃÕ`iÊ«Ê
iÌÊ6ÃÃÕÃ}Þ>ÃÕÊÌiÊ ÃÌiÀ`>Ê>iÝJ«ÞÌ
>}À>ðծ]Ê`À°Ê °°Ê ÃÌiÀ]Ê ÜiÌiÃV
>««iÊ`iÀâiiÀÊLÊ
iÌÊ ÃÌiÀiÊÛ>Ê iviÃiÊ>ÌÌ
ÃJ«ÞÌ
>}À>ðծ]Ê`À°Ê ° °ÊÃÜÌ]Ê «ÃÌ`VÊVL>ÌÀÃV
iÊ«Ì>ÃiÀ}Ê>>Ê`iÊ 1ÛiÀÃÌiÌÊÛ>ÊÃÌiÀ`>Ê`J«ÞÌ
>}À>ðծ]Ê`À°Ê°Ê ÕV
i>>À]ÊÛÀ>}Ê`ÀiVÌiÕÀÊÛ>ÊÌiÀVviÃÃiiÊ -V
i}Ài«ÊÃÌiÀ`>Ê>J«ÞÌ
>}À>ðծ]Ê`À°Ê °*°Ê >ÀÌ]Ê`ViÌÊÌ«}iÊ>>Ê`iÊ/1Ê ivÌÊ«J«ÞÌ
>}À>ð Õ®]Ê°Ê>ÕLÀV
]Ê`ViÌÊÜÃÕ`iÊ>>Ê`iÊÌÞÃÊ }iÃV
ÊÌiÊ `
ÛiÊ°
>ÕLÀV
JvÌÞð®]Ê`ÀÃ°Ê °Ê>ëiÀÃ]ÊÜiÌiÃV
>«ÃÕÀ>ÃÌÊ>ÀÕÌJ«ÞÌ
>}À>ð Õ®]Ê`ÀðÊ-°Ê`iÊ `iÀi]Ê>ÊLi`ÀvÃvÀ>ÌV>Ê>>Ê`iÊ 61ÊÃ``iJVðÛÕ°®]Ê°Ê ÀiÌ]ÊÃÌÕ`iÌÊÜÃÕ`iÊ>>Ê `iÊ1 Ê«ÞÌ
ÞJ«ÞÌ
>}À>ðծ]Ê°ÊÛ>Ê ii]ÊV >ÕÌiÕÀÊÛ>Ê`ÛiÀÃiÊLiiÊÛiÀÊV«ÕÌiÀÌi«>ÃÃ}iÊ iÊÀiiiÊ
°Û°iiJV
i°®]Ê`ÀðÊ/°Ê ÌiL]Ê ÛÀ>}Ê`ViÌÊÜÃÕ`iÊ«Ê`iÊ}iÃV
ÊÛ>Ê 1ÌÀiV
ÌÊÌ
ÃJ«ÞÌ
>}À>ðծ]Ê`À°Ê ° °°Ê-Ü>i]Ê`ViÌÊ ÜÃÕ`iÊ«Ê
iÌÊ >>`ÞViÕÊiÊ`iÊ ÛÊÌiÊÃÌiÀ`>Ê ÃÜ>iJ«ÞÌ
>}À>ðծ]Ê`À°À°Ê,°°Ê-Ü>ÀÌÌÕÜ]Ê`ViÌÊ ÜÃÕ`iÊ>>Ê`iÊ61ÊÀiiJ«ÞÌ
>}À>ðծ]Ê`À°Ê °°Ê <>>]Ê`ViÌÊiÊ`iÀÜÃÌÜi>>ÀÊ>>Ê`iÊ1ÛÊ V
ÀÃJ«ÞÌ
>}À>ðծ
1Ì}iÛiÀÊ Ê7ÃÕ`}ÊiÌÃV
>«
"«Ê
iÌÊÃ>}
«ÃÊ}iÌii`ÊÛ}iÃÊ`iÊiÌ
`iÊÛ>Ê`iÊ}>âiÜ>ÃÃiÀ
6iÀ>ÌÜÀ`iÊÕÌ}iÛiÀ
ÀÃÊ<>>ÊÊ
Ûi>ÕÃÞLÌià ÀÌiiÊÊ*ÞÌ
>}À>ÃÊÜ>>ÀÛÀÊLÛiLÕÜiÃÊÛ>Ê`iÊ ÜÃÕ`iÊ`}ÊÃÊÊÌiÊÕiÊÛ}i]ÊÜÀ`iÊLÊ`iÊÌÌiÊ ÛÀâiÊÛ>ÊiiÊÃÞLÊ`>ÌÊ`iÊi
i`Ã}À>>`Ê>> }iivÌ°ÊÀÌiiÊÛÀâiÊÛ>Ê ÊâÊiiÃÌ>ÊÛ>>vÊ`iÊÛiÀ`iÊ >ÃÊÌiÊLi}À«i°Ê6ÀÊ>ÀÌiiÊiÌÊ Ê
iLÊiÊiÃÊÕÌÊ Ê}>>ÊiÌÊ `iÊÛv`iÊvÊâiÃ`iÊ>ÃÊ`}°ÊÀÌiiÊiÌÊÊ iÌÃÊÛiÀ`iÀÊ`>Ê`iÊ``iL>ÀiÃV
ÃÌv°
>Ê vJ«ÞÌ
>}À>ðÕÊ ÌiÀiÌÊ ÜÜÜ°«ÞÌ
>}À>ðÕÊÊ v`Ài`>VÌiÕÀ >ÀVÊ-Ü>i
`Ài`>VÌiÕÀÊ iÝÊÛ>Ê`iÊ À>`
vÊ ,i`>VÌi >ÌÌ
ÃÊ ÃÌiÀ]Ê ÊÃÜÌ]Ê>ÊÕV
i>>À]Ê >>ÃÊ*iÌiÀÊ>ÀÌ]ÊÀÕÌÊ>ëiÀÃ]Ê ,ijÊ-Ü>ÀÌÌÕÜ]Ê
ÀÃÊ<>>Ê >`>>}iÀÊ
ÀÃÊ<>>Ê 6À}iÛ} ->ÊiÊ ÃÌ
iÀ]ÊÃÌiÀ`>
,i`>VÌiÃiVÀiÌ>À>>ÌÊ
ÀÃÊ<>>]Ê ÀÌiÜi}`iÊ6ÀiÃÊÃÌÌÕÕÌÊÛÀÊ7ÃÕ`i] 1ÛiÀÃÌiÌÊÛ>ÊÃÌiÀ`>]Ê*>Ì>}iÊ Õ`iÀ}À>V
ÌÊÓ{] £ä£nÊ/6ÊÃÌiÀ`> iâiÀÃÀi>VÌiÃÊiÊ« ,ijÊ-Ü>ÀÌÌÕÜ]Ê>VÕÌiÌÊ`iÀÊ Ý>VÌiÊ7iÌiÃV
>««i]Ê 6ÀiÊ1ÛiÀÃÌiÌ]Ê iÊ ii>>Ê£än£>]Ê£än£Ê6ÊÃÌiÀ`>°Ê
>ÊÀiiJ«ÞÌ
>}À>ðÕÊ
-«ÃÀÃ *ÞÌ
>}À>ÃÊÜÀ`ÌÊi`iÊ}iÊ}i>>ÌÊ`ÀÊ`iÊL `À>}iÊÛ>Ê`iÊ`iÀÃÌ>>`iÊÃÌÌÕÌiÊiÊÃÌi}i\Ê
"1 Õ ÌÊ ½°Ê iÊ â i Ê ¼À iÊ iÊ i Ê ` Ì
i > Ê Ì i
Ê À Ê i Ê Û> ÀÊ ÀÊ Ã « i iiÊ > Ì
> Ê Ê ° Ì i Ê i
Ê i ] L i iÛ i â iÊ > > ÌÊ }i > ÌÊ Ì iÊ Ê L Ê ` i À>ÃÊ Ã Ì Ì Ü Ì À Ê Ê } Ã i > «
i
Ê À Ê Ì ` iÊ i ÊÌ > Ê * Þ ÀÕi ÀÊ i ` i \ʼ
i iÊ v > }Ê Û Ê i Ê }Ê Û i } i
À ` L V > Ü ¼ > Ã > Õ À Ê iÊ > ½] iÌ Ã iÊ ÊÜ Ê ` iÊ « ii¶ Ì
iÀ > ÌÊ Ü Ê iÕ Ü Ã i Û Ê Ê } i > i Ì â i Ê Ê i â v i Ê Ì À ` i Ê Ê>> Ê â i > \ʼÃÊ` À Lii Ê iÊ
i i¶ ½] Ê > Ê Ê}>> ` iÊ Ì
i ° Ê Õ Ì Ì À Õ Ü Ê Ã L i > « Ê i Õ ` iÊ > i i ÌÊ iÊ ÀÊ} `
i]Ê` « Ã °Ê iÊÛ ÊiV
ÌÊ }Ê i i i > ÃÊ ¼ i Ê â Ê i À Ê Ì Ü Ã Ê ` À i Ê À i > À âi ÊÛ Ê Û i iâiÊÀ à > Ì iÊ Üi Ã Ì >«¶ ½°Ê Ê >À Ìi Ìi À i à ÕÊiÊ` à V
iÊ
Ì Ê V i Ê i à À i À > Ê > À i i i > « Ê¼Ü iÊ > ` iÊi} Û `Ê i¶ ½Êi À
> ` i À }Ê iÊiÊ` i Û ` i Ê > y Ê Ì À > > Ê i i iÊ> Ê Û Ê Ê iiÀ Ã Ì À ÊÜi i À Ê ` i âi } `iâiÊ Ê > ½° } ¶ i >À > > ° À i â iÊ > Õ À Ê ` Ì Ê i
Ê i i Ê > > ÌÊ iiÊi i Ê Ã Ì ÀÕLÀ i â >À Ìi â Õ Ê« Õ Ü` i Ûi À Ì À
£ ÓÊqÊÎÊÊ iiÊÌiÃ
£ÈÊqÊ£ÇÊÊ
iÊÃi>vÀ
{
iÊLÀivÊÛ>ÊiiÊÊ Ü>
«}iÊiâiÀ
£nÊqÊÓÓ
iÊÜÃÕ`iÊÛ>Ê >ÃÊ`iÊ,
xÊqÊn
iÊÌÕ>ÊiÊ`iÊ }>âiÜ>ÃÃiÀ
Ó{ÊqÊÓx
*ÞÌ
>}À>ÃÊ"Þ«>`i
ÓÈqÊÓ
*iÀviVÌÊÛiÀ`ii`iÊÛiÀ>Ìi
ÎäÊqÊΣ
*ÀLiiÊqÊ"«ÃÃ}i
ÎÓÊÊqÎÎ
ÕÀ>>
*ÃÌâi}iÃÊÛÕÜi
£äÊqÊ££
iÊÀii«ÀÃÛÀ>>}
£ÓÊqÊ£Î
iÊÜiÀi`Lii`iÊÛ>Ê ÌÜiiÊÌi}i«i
£{ÊqÊ£x
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
ëiiÌiÃ]ÊvÊ`iÊÊ >>âiÌÊÌÌÊ>ÃÀii}
ÎÎÊÊ
"«ÃÃ}iÊ iiÊÌiÃÊÀ°ÊÈ
`ÀÊ VÊ ii>ÊiÊ>ÊÕV
i>>À iiÊÌiÃÊâÊ«ÕââiÌiÃÊ `iÊÜi}ÊvÊ}iiÊÜÃÕ`}iÊ ÛÀiÃÊÛiÀiÃiÊÊ«}iÃÌÊ ÌiÊÕiÊÜÀ`i°Ê iÊ>ÌÜÀ`iÊÛ`ÊiÊÊ
iÌÊ Û}i`iÊÕiÀÊÛ>Ê*ÞÌ
>}À>ðÊ
ii ÌiÃ
,iëÀÌiii Ê/ÕÀiÊ
iLLiÊ>Ê iÊ ÃÊi`iÀÊÓääÊiÕÀÊÊ`iÊ ÀiëÀÌiiiÊ}i`>>°Ê
xÊiÕÀÊ «iÀÊÃÌÕÊÊiiÊ>>ÀÊ
ÕÃÊÌiÊii°Ê 1Ìi`iÊÜÊ>Ê}iiÊyiÃÊiÊ
ÃÊÜÊiÀÊÜiÊÌÜii°ÊiÛiiÊiÌÊ
ÃÊLÕÌiÊ`iÊ>ÃÊÊ>>Ê>Ê }iÛi¶Ê
Ó
7i}}
Ê
iivÌÊ{Ê}iÜV
ÌiÃÊ iÌÊiiÊÛiÀÃV
i`Ê}iÜV
Ì°Ê
Ê}iÜV
ÌiÊÜii}ÌÊiiÊ}i
iiÊ >>Ì>Ê}À>]Ê`iÊ{Ê}iÜV
ÌiÃÊÃ>iÊ Üi}iÊxäÊ}À>°Ê Ê>>ÌÊ
iÌÊiÃÌiÊ }iÜV
ÌiÊÃÌii`ÃÊ«Ê`iÊiÀ>ÌÊÛ>Ê iiÊL>>ÃÊÃÌ>>°ÊÃÊ
ÊiÌÊ`iÊ>`iÀiÊ ÎÊ}iÜV
ÌiÃÊ>}Ê`iÊÜ>ÌÊ
ÊÜ]Ê >Ê
Ê«ÊÎÊÛiÀÃV
i`iÊ>iÀiÊ iÛiÜV
ÌÊÀ}i°ÊiÊâÜ>>ÀÊ âÊ`iÊ{Ê}iÜV
Ìiö
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
£xÊqÊÈÊrÊ££ iÊâiÌÊ
iÀÊÛvÌiÊÕVviÀÃÊ}}i°Ê iiÊiÀÊâiÃÊÜi}ÊiÊ
Õ`ÊivÊÛiÀ°Ê
"ÌÃ>««i¶Ê ÊiiÊÛiÀ>ÌÊâÜiL>`ÊÛ>Ê £ÈÊLÊ£ÈÊiÌiÀÊLiÛ`ÌÊ>ÊâV
Ê Ê
iÌÊ``iÊ!°Ê*iÌiÀ]Ê`iÊiÌÊ>Ê âÜiiÊ>>ÀÊÛiÀÊiiÀÊâÊ
>À`Ê>Ê «iÊ>ÃÊ>Ê>ÊâÜii]ÊÃÌ>>ÌÊ >>Ê`iÊÀ>`ÊÛ>Ê
iÌÊâÜiL>`ÊLÊ0°Ê >Ê>]Ê`iÊ>iiÊiÛiÜ`}Ê>>Ê iiÊ>ÌÊ>}ÊâÜii]Ê`iÊ>ÌÊ LiÀiiÊÛÀ`>ÌÊ*iÌiÀÊ«Ê `iâiv`iÊ«iÊöÊ
7>>ÀÊÜiÊâi¶ >Ã]Ê`iÊ}iÛiiÀÊ
>ÛiÀÜi}iÊ iiÊÃÌÀ>>ÌÊiÌÊ
`iÀ`Ê
ÕâiÊ ÜÌ]Êâi}ÌÊÌi}iÊâÊÛÀi`iÊ iiÃ]Ê `iÊÌÜiiÊ
ÕâiÊÛiÀ`iÀ«ÊÜÌ]ÊiÊ Ìi}iÊ*iÌÊÛ>Ê`iÊÛiÀ>Ì\Ê ¼ iÕÊ
m]ÊâiÊ
ÕÃÕiÀÃÊâÊ >i>>Ê«Ài°½Ê"«ÊÜiiÊÕ iÀÃÊÜiÊâi¶Ê
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
¶
¶
¶
Î
<Ê>vÊiÊÌiÊÀ}ÌÊ`iÊÀi`>VÌiÊÛ>Ê*ÞÌ
>}À>ÃÊLÀiÛiÊÛ>ÊiâiÀÃ°Ê iÊ`iÀÃÌ>>`iÊLÀivÊÃÊÛ>Ê iiÊiâiÀÊ`iÊ*ÞÌ
>}À>ÃÊÊ
Õ«ÊÛÀ>>}Ì°Ê7iÊâÊLiiÕÜ`ÊvÊiiÊÛ>ÊâiÊiâiÀÃÊÀ>>`ÊÜiiÌ°Ê
%EN BRIEF VAN EEN WANHOPIGE LEZER
`ÀÊ-ÞLÀiÊ`iÊ `iÀiÊ iÊ
ÀÃÊ<>>
{
OEVEEL $E VROUW VRAAGT MIJ DWINGEND @( RS LEZE RAS AGO "ESTE 0YTH IJPEND WAT ER ROZENBLAADJES ZIJN ER .IET BEGR EN VAN EEN 'RAAG JULLIE HULP BIJ HET OPLOSS VEN AAN DE HAND IS ANTWOORD IK @:E
RZEG WAA DE AAN OEK BEZ IJN S M RAADSEL 3IND ZIJN HET ER TIEN OLGT DIT MIJ IN @7EER MIS .U STER VAN CIRCUS $RONTINO ACHTERV RDAT IK KAN )K SNAP ER NIKS VAN MAAR VOO E N ZI TENE BELS DOB OGE NSH MA 6IJF MIJN DROMEN OUDT HEEFT VRAGEN WAT DE VRAAG EIGENLIJK INH @(OEVEEL N ZE EPE R RO KOO )N LEN FROL IJ A P M IK O EER GEGOOID TWOORD ROL DE WAARZEGSTER ALW ROZENBLAADJES ZIE JE !LS IK FOUT AN BOTS TEGEN LEN ZE DICHTERBIJ )K REN WEG MAAR NEN ZETTEN MIJ EEN ENORME MUUR EN DE DOBBELSTE AKKER (OE VOLLEDIG KLEM :WETEND WORD IK W )K HOOP DAT DIT ZO KOMT $AT ZAL IK VERTELLEN ELPEN BIJ HET DE 0YTHAGORASLEZERS MIJ KUNNEN H OPLOSSEN VAN DIT RAADSEL STER OP /P EEN DAG ZOEK IK DE WAARZEG BLAADJES IK 7EER VRAAGT ZE ME HOEVEEL ROZEN UDERWETSE EEN GEHEIMZINNIGE VROUW IN EEN O ER MIS )K VERNEEM AR ZIE 5ITERAARD HEB IK HET WE HA ET IN L M TAFE AN AR A DA ZIT WOONWAGEN :E HAD MOETEN TELLEN E STENEN OVER DAT IK ER NU ACHT LT D E RO N : ENE ELST OBB JF D D VI HAN KIJKT ME $E WAARZEGSTER PAUZEERT :E DE TAFEL DIT IS HET RESULTAAT LIJK DAT DE IDE INDRINGEND AAN EN MAAKT DU JE EEN BE VRAAG @(OEVEEL ROZENBLAADJES TEL KEER LANGRIJKE HINT IS :E GOOIT NOG EEN
ZENBLAADJES :E VRAAGT MIJ ZACHTJES @(OEVEEL RO ASD @(ET IS TEL JE @0ARDON VRAAG IK VERBA DE VROUW EEN EEUWENOUD RAADSEL mUISTERT ÉNDERS @/M HET TE KUNNEN OPLOSSEN MOET JE EGT @)K GA HET :E KIJKT ME AFWACHTEND AAN EN Z DUS IJK N + IJKE EN K UNN EN K NAAR VOORWERP N ONDERTUS ANTWOORD NU NIET MEER VERKLAPPE OEVEEL IJ ( G M N ZE EN E TEN BELS DOB R DE NAA N ZIEN AAG SEN ZOU JE HET ZELF WEL MOETE HAAR VR )N HET VOLGENDE NUMMER VERSCHIJNT DE ROZENBLAADJES ZIE JE )K BESLUIT OP ARREN MOEDE -AAR IK ZIE HELEMAAL NIKS )N E ISPELT D S L @-I ER VI %H EG @ EN Z OPLOSSING AN IN TE GA VER TE NEMEN BESLUIT IK DE WORPEN OP PAPIER O WAARZEGSTER @HET ZIJN ER ZES KEN .ACH ZODAT IK ER THUIS OVER NA KAN DEN EN TEN BELS DOB T DE ME IEUW OPN OIT :E GO KEND OVER TENLANG LIG IK NU AL WAKKER NADEN RS VAN 0YTHA DIT RAADSEL +AN EEN VAN DE LEZE T OPLOSSEN GORAS ME ALSTUBLIEFT HELPEN MET HE N SLAPEN ERVAN ZODAT IK WEER RUSTIG KAN GAA
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
Ê
iÌÊÛ}i `iÊÕiÀÊÛiÀ
ÃV
ÌÊ` iÊ«ÃÃ}°Ê
door Marco Swaen
De tuinman & de glazenwasser
5
Om rechte lijnen te trekken gebruik je een liniaal, cirkels maak je met een passer. Maar hoe teken je een ellips? We bekijken twee methoden, de een wordt toegepast door tuinmannen, de ander soms ongewild door glazenwassers. Wat is een ellips? Niet elk rondje is een zuivere cirkel. Zo is ook niet elke ovale vorm een ellips. Cirkels zijn gemakkelijk te herkennen, maar waaraan herken je een ellips? Wil iets een ellips zijn, dan moet het in elk geval twee symmetrieassen hebben die loodrecht op elkaar staan, de lange as en de korte as. Het speciale van een ellips is dit: een ellips krijg je door een cirkel in één richting (gelijkmatig) uit te rekken. Dus als je iets hebt dat op een ellips lijkt, spoor dan de symmetrieassen op, verkort vanuit de korte as tot lengte en breedte gelijk zijn. Dat zou dan een cirkel moeten opleveren. Voor we ellipsen gaan tekenen, voeren we
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
eerst wat termen in. Het snijpunt van de assen noemen we het middelpunt M van de ellips. De snijpunten van de ellips met zijn assen zullen we toppen noemen; de verre toppen V1 en V2 op de lange as, en de nabije toppen N1 en N2 op de korte as. De afstand van M tot een verre top noemen we a, de afstand van M tot een nabije top b. Zie figuur 1.
Figuur 1 Een ellips met symmetrieassen en toppen N1, N2 , V1 en V2
Figuur 2 De methode van de tuinman
6
De tuinman Een bekende manier om ellipsen te tekenen is de zogenaamde tuinmanmethode. Die methode stamt uit de oudheid en wordt nog steeds toegepast door de tuinman om ovale perkjes af te zetten. De tuinman slaat dan twee paaltjes in de grond en neemt een touw dat hij aan beide paaltjes bindt, met wat speling. Dan trekt hij het touw strak met een stok en beweegt die stok terwijl het touw strak blijft. Het spoor dat hij dan trekt is een ellips, zie figuur 3. Dat dit echt een ellips oplevert, bewijzen we in kader 1 op pagina 8. De plaats van de punaises Op een tekenblad kunnen we hetzelfde doen met een koordje en twee punaises, zie figuur 2. Stel je hebt een rechthoek waarin
Figuur 3 De tuinman aan het werk met de paaltjes
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
je een ellips wilt passen. Waar moet je dan de punaises zetten zodat de ellips precies past? De punten waar de punaises moeten staan heten de brandpunten van de ellips, we geven ze aan met F1 en F2 , zie figuur 4. Hieruit kunnen we afleiden waar de brandpunten precies moeten liggen en hoe lang het touwtje moet zijn. Kijk eerst naar de verre top V1. We zien daar dat de lengte van het touwtje gelijk is aan |V1 F1| + |V1 F2 | = (a – |MF1|) + + (a + |MF2 |) = 2a. Het touwtje is dus even lang als de totale lengte van de rechthoek. Kijk nu naar de nabije top N1. Voor N1 loopt het touwtje van F1 via N1 naar F2 . Hier zie je dat |N1 F1| + |N1 F2 | = 2a. Omdat |N1 F1| = |N1 F2 |, is dus |N1 F1| = a. De brandpunten vind je dus door de halve lange as om te cirkelen vanuit N1.
Figuur 4 Waar moeten de punaises staan? (Neem een halve lange as vanaf de nabije toppen)
Figuur 5 De methode van de glazenwasser
Ellipsograaf Probeer het tekenen met punaises en touwtje uit, en je zult merken dat het niet echt gemakkelijk gaat. Geen wonder dat er in het verleden gezocht is naar betere methoden. Dat leverde diverse instrumenten op die bekend staan onder de naam ellipsograaf. Een van de eerste vinden we beschreven in Simon Stevins Meetdaet uit 1605, zie figuur 6. Dit instrumentje werd zo’n halve eeuw eerder in Italië uitgevonden. Het principe achter deze ellipsograaf is goed uit te leggen aan de hand van ‘de glijdende ladder’. De glazenwasser Een glazenwasser heeft zijn ladder tegen de muur gezet en die ladder glijdt langzaam weg, zie figuur 7. Aan de ladder hangt een
emmertje; welke baan zal dat emmertje beschrijven? Pak deze vraag experimenteel aan, zie figuur 5. Knip van karton een rechte hoek, en een strookje dat de ladder voorstelt en zet daar een stip op. Leg de ladder met de uiteinden tegen de twee benen van de hoek, varieer en markeer het spoor van de stip. Zo krijg je de baan van het emmertje, die verdacht veel op een (kwart) ellips lijkt. Dat de baan inderdaad een ellips is, bewijzen we in kader 2 op pagina 8. Bij de ellipsograaf van Stevin bevindt de emmer P zich niet tussen de uiteinden van de ladder, maar in het verlengde van de ladder. Ook dat levert een ellips, hetgeen je bewijzen kunt op ongeveer dezelfde manier als voor de emmer aan de ladder.
Figuur 6 De ellipsograaf van Simon Stevin
Figuur 7 De glazenwasser met de glijdende ladder
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
7
1
8
De kromme van de tuinman is een ellips Dat een ellips een uitgerekte cirkel is, betekent dat je hem ook kunt zien als de doorsnijding van een cilinder met een plat vlak. Pas in de cilinder van beide kanten bollen die zowel het vlak als de cilinder raken. Noem de punten waar de bollen raken aan het doorsnijdingsvlak F1 en F2 . Noem de cirkels waarlangs de bollen de cilinder raken 1 en 2 . Zie figuur 8. We zullen nu laten zien dat voor elk punt P van de ellips |PF1| + |PF2 | constant is, oftewel dat F1 en F2 brandpunten zijn. Neem dus willekeurig een punt P op de doorsnijdingskromme. Kies P1 op 1 zodat PP1 in de lengterichting van de cilinder loopt. Evenzo P2 op 2 . Dan zijn PP1 en PF1 raaklijnen aan dezelfde bol, dus even lang. Evenzo is |PP2 | = |PF2 |. Dus |PF1| + |PF2 | = |PP1| + |PP2 | = = |P1 P2 | = constant. We zien dus dat ellipsen gemaakt kunnen worden op de tuinmanmanier. In een gegeven rechthoek past maar één ellips. En ook de tuinman kan in een gegeven rechthoek maar één kromme passen (de plaats van de brandpunten is bepaald). Blijkbaar zijn die tuinmankromme en de ellips hetzelfde.
2 De kromme van de glazenwasser is een ellips Ga uit van een assenstelsel met O als oorsprong, zie figuur 9. Laat AB de ladder zijn, met A op de verticale as (de muur) en B op de horizontale as (de grond). Op AB ligt P, het punt waar de emmer hangt. Noem |AP| = a en |BP| = b. Trek cirkel 1met middelpunt O en straal |AP|. Trek OQ evenwijdig met AB met Q op .1 Dan is APQO een parallellogram. Spiegel Q in de horizontale as, dat levert Q’. Het snijpunt van Q’Q met de horizontale as noemen we Px. Merk nu op dat $OQPx en $BPPx gelijkvormig zijn. Dus |PPx | : |PxQ’| = |BP| : |OQ’| = |BP| : |AP| = b : a = constant. Dus de baan van de emmer krijg je door de cirkel 1in verticale richting te vermenigvuldigen met een factor b/a. En volgens onze definitie is dat een ellips. Vragen 1. Hoe vind je het middelpunt van een cirkel? 2. Hoe vind je het middelpunt van een ellips? En zijn toppen? De inhoud van dit artikel is terug te vinden in boek I van Meetdaet, Simon Stevin, Leiden 1605. Zie bijvoorbeeld: www.xs4all.nl/~adcs/stevin.
1
Figuur 8 De cilinder met ellips en bollen
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
Figuur 9 De ellips en de ladder
`ÀÊ >ÀVÊ-Ü>i
*ÃÌâi}iÃÊÛÕÜi Ê
iÊÃÌÀiÊ«ÃÌâi}iÃÊÕÊiÊ« ÊÛiÀÃV
i`iÊ>iÀiÊÛÕÜi\ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊLÛÀLii`ÊâÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊvÊâ
<Ê
iÌÊ`ÀiÊâi}ià iÊ}iivÊiÊâiÊiÌÌiÀÃÊ]Ê ]Ê
ÊÊ`>ÊÕÊiÊÀ}iÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ>>ÀÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊiÊ
ÊiÊ ÊâÊiÌÊiV
ÌÊÛiÀÃV
i`°Ê
ÀÊâÊ`ÕÃÊÊÌÌ>>ÊÌÜiiÊ>iÀi°
ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊiÛiiÊ>iÀi ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊâÊiÀÊiÌÊÛiÀÊ âi}iö ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊiÌÊÛv¶
À\Ê V
>iÊÌ]Ê ÀiÊ >Ì
Ê*ÕââiÃÊEÊ>iÃ] Ê7>iÀÊ>`Ê «>Þ]Ê£Çn°
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
door Matthijs Coster
De Rekenprijsvraag
10
Twee seizoenen geleden hadden we de priemgetallenprijsvraag en vorig jaar de zeven-prijsvraag. Ook dit jaar heeft Pythagoras weer een uitdaging in petto voor iedereen die van rekenen houdt, en schrijft daarom uit: de rekenprijsvraag. Coster-getallen Bij de rekenprijsvraag draait het om Costergetallen. Een Coster-getal is een geheel getal dat je met +, –, x en : kunt maken uit zijn eigen cijfers, waarbij elk cijfer precies twee keer wordt gebruikt. In de berekening mag je de rekenvolgorde zelf bepalen, je mag dus haakjes zetten zoveel je wilt. ‘Cijfers plakken’ (bijvoorbeeld van een 1 en een 2 het getal 12 maken) is niet toegestaan. Voorbeelden Het getal 25 is een Coster-getal, want 25 = 5 x 5 + 2 – 2. En ook 256 is ‘Coster’, want 256 = (2 x 5 + 6) x (2 x 5 + 6). De opdracht Er zijn twee categorieën, elk met een eigen vraag.
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
Coster-klein is bestemd voor leerlingen tot en met veertien jaar. Ook hele klassen (tot en met klas 2 in het voortgezet onderwijs) kunnen meedoen. De opdracht is: vind alle Costergetallen van 1 tot en met 200. Je inzending bestaat uit een lijst van de Coster-getallen die je gevonden hebt. Uiteraard vermeld je bij elk getal hoe het uit tweemaal zijn eigen cijfers gemaakt kan worden. Onder de complete inzendingen wordt het Pythagoras-verrassingspakket verloot, inclusief 100 zelf vrij te besteden euro’s. Coster-groot staat open voor iedereen. De opdracht is: zoek zo groot mogelijke Coster-getallen. Er is een prijs voor degene die het grootste Coster-getal instuurt, tientallig uitgeschreven, uiteraard met bijbehorend bewijs. In deze categorie zal de redactie ook een schoonheidsprijs toekennen voor de fraaiste, elegantste, of indrukwekkendste vondst op het gebied van de Coster-getallen. Je mag meer dan één Coster-getal insturen.
12 775 0=
5
Het vinden van grote Coster-getallen zal niet meevallen. De redactie geeft bij dezen al een voorzetje met 127750 dat Coster is, want 127750 = 5 x 5 x 7 x (7 x (7 x (7 x 2 + 1) – 1) + 2) + 0 + 0. Inzenden Je oplossingen kun je mailen of posten naar: René Swarttouw Afdeling Wiskunde Faculteit der Exacte Wetenschappen Vrije Universiteit De Boelelaan 1081a 1081 HV Amsterdam e-mail: [email protected]
Friedman-getallen De Coster-getallen zijn speciaal voor deze rekenprijsvraag door Matthijs Coster bedacht. Wel bekend zijn de Friedman-getallen. Een getal is een Friedman-getal als je het kunt maken uit zijn eigen cijfers met de bewerkingen +, –, x, : en ^ (machtsverheffen), waarbij je elk cijfer precies één keer gebruikt, en waarbij ‘cijfers plakken’ is toegestaan. Zo zijn 125 = 51+2 , 126 = 6 x 21 en 128 = 28–1 Friedman-getallen. De Friedmangetallen tot en met 100.000 zijn inmiddels bekend. Meer informatie over Friedman-getallen kun je vinden op http://www.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.
Vermeld bij de oplossingen de naam van de opdracht: Coster-klein of Coster-groot. Vermeld verder je naam en adres, en als je scholier bent, de naam en het adres van de school, je leeftijd en je klas. Bij een klasseninzending moet bovendien de naam van de wiskundedocent opgegeven worden. Inzendingen moeten bij ons binnen zijn vóór 15 januari 2007.
html http://en.wikipedia.org/wiki/Friedman_number
11
2–2 + 5 )+0+0 2 + x ) 1 5 1) – = + ) 2 6 x 25 + (7 5 x 50 = x (7 x 2 7 ( ( 5x5x7x 2 56 = ( 2 x 5 + 6 ) x
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ`ÀÊÀÕÌÊ>ëiÀÃ
ÃÃ
>Õ
°°Ê
°ÊÛ Ê Õ
iÌÊiÌiÊÛ>Ê`iÊÜiÀi`ÊÊLiLiëÀi}Ê
£Ó
ÌÊ>>ÀÊÛiÀÃV
iiÊ`iÊ i`iÀ>`ÃiÊ ÛiÀÌ>}ÊÛ>Ê >iÊ i
>ÃÊÊ
ÃÌÀÃV
iÊÀ>Ê iÊ6iÀiÃÃÕ}Ê `iÀÊ7iÌÊÛiÀÊÌÜiiÊ}ÀÌiÊ ÕÌÃiÊ ÜiÌiÃV
>««iÀÃ\Ê`iÊÜÃÕ`}iÊ
>ÀÊÀi`ÀV
Ê>ÕÃÃÊiÊ`iÊ}i}À>>vÊ iÝ>`iÀÊÛÊÕL`Ì°Ê V
Ì Ìi`iÊiiÕÜ]ÊÜ>ÀiÊiÀÊiÕÜÃ}iÀ}iÊ iÃiÊ`iÊiÛiÀÊÌ
ÕÃLiÛi°Ê >ÀÊ Ài`ÀV
Ê>ÕÃÃÊÜ>ÃÊâÊi>`Ê`iÊ iÛiÃ>}Ê«ÊÌ`i}ÃÀiÃÊÜ>ÃÊ Êâ½Êi}iÊÃÌÕ`iiÀ>iÀ]Ê`>ÌÊ
Ê ÜÃÕ`}iÊÜ>ÃÊqÊ`iÊ}ÀÌÃÌiÊ>iÀÊÌ `i]ÊÛ`iÊÃ}i°Ê<½Ê>LÃÕÌiÊ Ìi}i«]ÊiÝ>`iÀÊÛÊÕL`Ì]Ê ÀiÃ`iÊ>ÃÊiiÊLiâiÌiiÊ`iÊÜiÀi`Ê >vÊÊviÌiÊÌiÊÛiÀâ>ii]ÊÛiÀÊ`iÊ >ÌÕÕÀ]ÊÛiÀÊÛÀii`iÊÛiÀi]ÊÛiÀÊ }i}i]ÊÛiÀÊVi>>ÃÌÀ}i]Ê i}iÊÛiÀÊ>iÃÊÜ>ÌÊ«ÊâÊÜi}Ê Ü>°Ê ÊÊÊÊ,`Ê`iâiÊÌÜiiÊ
ÃÌÀÃV
iÊw}ÕÀiÊ Üiiv`iÊ`iÊ}iÊ ÕÌÃiÊÃV
ÀÛiÀÊ >iÊ i
>ÊiiʵÕ>Ã
ÃÌÀÃV
Ê ÛiÀ
>>Ê`>ÌÊÊ ÕÌÃ>`ÊiiÊLiÃÌÃi iÀÊÜiÀ`°Ê>ÕÃÃÊiÊ6ÊÕL`ÌÊ
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
À}iÊÊ
iÌÊ}ÀÌÃÌiÊ`iiÊÛ>Ê
iÌÊ LiÊÊiÊÊiiÊ
v`ÃÌÕÊÌiLi `ii`]Ê`>ÌÊâiÊÌÌ>>ÊÛiÀÃV
i`iÊ iÛiÃÊi``iÊiÊi>>ÀÊ«>ÃÊÌ iÌÌiÊ«Ê
iÌÊi`ÊÛ>Ê
ÕÊiÛi]Ê «ÊiiÊV}ÀiÃÊÊ£nÓn°Ê /i}i«i i
>ÊLÕÌÊ`iÊÌi}iÃÌi}Ê ÌÕÃÃiÊ`iÊÌÜiiÊÌiÊÛiÊÕÌ\Ê6Ê ÕL`ÌÊÃÊiiÊÀiÊ>ÀÃÌVÀ>>Ì]Ê >ÕÃÃÊÃÊÛ>ÊiiÛÕ`}iÊ>v°Ê6Ê ÕL`ÌÊÀ}ÌÊ>ÌÕÕÀÊ`iÊLiÃÌÊ }iiÊ«i`}]Ê>>ÀÊ`Ü>>ÌÊ>ÃÊ `ÊiÛiÀÊ`ÀÊ`iÊ>ÌÕÕÀ°Ê iÊ}iÊ >ÕÃÃÊâÕÊiÌÊÛiÀ`iÀÊâÊ}iiÊ `>Ê
iÌÊ`À«ÃÃV
Ìi]Ê>ÃÊiÌÊiiÊ `iÀÜâiÀÊqÊ`iÊÌÀÕÜiÃÊ>ÃÊÃiV
ÌÊ Êâ½ÊÛ>ÊiÊÛiÀâÕÕÀ`ÊÜÀ`ÌÊ>v}i ÃV
`iÀ`ÊqÊâÊÌ>iÌÊÌ`iÌÊ
>`ÊiÊ
iÊiiÊLiÕÀÃÊÛÀÊ
iÌÊ}Þ>ÃÕÊ
>`ÊLiâÀ}`°Ê ÊÊÊÊ i>>ÊÛÜ>ÃÃi]Ê
iivÌÊ>ÕÃÃÊ âV
ÊÌÜi`ÊÌÌÊiiÊiÌ>ÀiÊ VÞVÕÃ]ÊÜiÃÊÛÀ>>ÃÌiÊâÀ}ÊÃÊ âV
Ê`iÊ`iÊi`iiÃÊÛ>Ê
iÌÊvÊ ÌiÊ
Õ`iÊiÊ`iÊiÌÃÊLi>}ÀiÀÊ Û`ÌÊ`>Ê`iÊÛ}i`iÊÜÃÕ`}iÊ ÃÌi}Ê`iÊ
Ê}>>ÌÊLi`ii°Ê6Ê
L
x ® £n ÇÈ Ê£
Ê
®
`Ì
£Ç
xx £n ÇÇ
iÊÜiÀi`Lii`iÊ Û>ÊÌÜiiÊ Ìi}i«i
ÕL`ÌÊÃÊ`iÊÛ>>ÌiÊÛ>`Ì]Ê iiÊÜ>`ii`ÊiiÌÃÌ>ÌÊ`>ÌÊ«Ê âÊiÝ«i`ÌiÃÊ`iÊ}LiiÊÛ ÃV
ÀvÌÊiÌÊ}i}iÛiÃ]Ê>>ÀÊâivÊ>>Ê iÛiÊiÌÊÌiÌ°Ê<Êi}iÊÃV>iÊ L>`ÊÃÊ`iÊiÌÊâÊ>ÃÃÃÌiÌ]ÊjÊ «>`]Ê`iÊ`iÊiÃiiÊâÜ>
i`ÊÛiÀÌi}iÜÀ`}Ì°Ê «>`ÊÃÊ ÜjÊL>}Ê>ÃÊ
Ê>V
ÌiÀÊ6ÊÕL`ÌÊ >>Ê`iÊâiÛiÊiÌiÀÊ
}iÊLiÀ}Ê
LÀ>âÊLiÌ°Ê «>`Ê}>>ÌÊ ÜjÊÊ«Ê`iÊÌi>`iÀ}ë}}iÊ Û>Ê`iÊ>`ÃiÊÃV
iÊ`iÊâiÊ«Ê
ÕÊÀiâiÊÌiÌi° *««i>ÃÌ iÌÊÜ>ÃÊ`Õ`iÊiÌÊ i
>ÃÊ Li`i}ÊÊiÌÊiÌÊiÌiÊÛ>Ê`iÊ ÜiÀi`ÊiiÊ«ÃÞV
}ÃV
iÊÀ>Ê iÌÊ}ivÜ>>À`}iÊ«iÀÃ>}iÃÊ ÌiÊÃV
ÀÛi°Ê"ÊÛiÀÊ`iÊÜiÌi ÃV
>««iiÊ«ÀiÃÌ>ÌiÃÊÛ>Ê`iÊÌÜiiÊ
v`«iÀÃiÊÜÀ`ÊiÊ>ÕÜiÃÊ iÌÃÊÜâiÀ°Ê >>ÀÊiÌÊ>>ÃÌiiÊ«i âiÀÊÌÀiÌÊ`iÊ>ÕÌiÕÀÊ>>Ê`iÊÌÕÜÌiÃÊ Û>ÊâÊâiv}iÃV
>«iÊ>ÀiÌÌi]Ê `iÊiiÊ«««i>ÃÌÛÀÃÌi}Ê «ÛiÀiÊÛiÀÊ`iÊÛÀ>>}ÊÜ>ÌÊÜ>ÀiÊ iÃÊÃ]ÊvÜiÊÜiÌiÃV
>«°ÊiÌÊÃÊ iiÊ>ÃÃiiÊÌi}iÃÌi}\Ê>ÕÃÃÊ ÃÊiiÊ«>ÌÃÌ]Êi>`ÊÛÀÊÜiÊ iV
ÌiÊÜ>>À
i`Ê>iiÊÌiÊÛ`iÊÃÊÊ qÊÛii>ÊÜÃÕ`}iÊqÊ`iil]Ê`iÊiÊ >V
ÌiÀÊiÊÃV
ÀvÌ>viÊÕÌÊÌ`ii°Ê iÊÀi>ÃÌÊ6ÊÕL`Ì]Ê`iÊÜ>>À
i`Ê`iÌÊÌiÊ
>iÊÕÌÊ
iÌÊV>Ì> }ÃiÀiÊÛ>ÊâÊÛiiÊ}iÊviÌi]Ê â`iÀÊÛiiÊ>>ÞÃi]Ê`>>ÀÊÌÊ>ÕÃÃÊ «ÊiiÀ\ʼ7>ÌÊÊ`iÊÛiÀÌiÊÛiÀLÀ}iÊ >}]ÊÊ}>Ìi]ÊÛÕ>iÊvÊi]ÊÜ>ÃÊ ÌiÛ>ÊiÊLi>}À°Ê iÊÜiÀi`Ê ÜiÀ`ÊiÀÊ«Ê`iÊ>iÀÊiÌÊ`Õ`iiÀÊ `À°½Ê
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
ÊÊÊÊÃÊ>ÕÃÃÊiÊ6ÊÕL`ÌÊÌiÊ ÃÌÌiÊÊ iÀÊ`ÀÊiiÊÃ>i«Ê Û>ÊÃÌ>`}
i`iÊ}>ÊÜ>ÌÊÌ`Ê Ã>iÊ`ÀLÀi}i]ÊLvÌÊiiÊiV
ÌiÊ VvÀÌ>ÌiÊÕÌ]ÊÜ>ÌÊ`iÊL}iÊ Õ`iÊ
iÀiÊ«À>ÌiÊÛÀ>Ê>}ÃÊi>>ÀÊ
ii]Êi`iÀÊ}iÛ>}iÊÊâ½Êi}iÊ ÜiÀi`Lii`°Ê Ûi`iÊÀ}iÊâiÊ
iÌÊ«ÌÃi}Ê}Ê`ÀÕÊiÌÊiiÊ ÃÕL«Ì]Ê`>ÌÊ>ÕÃýÊâÊ Õ}iÊ ÀiÛÕÌ>ÀiÊÃÞ«>Ì
ilÊ
iivÌÊiÊ ÕÌÊ
>`iÊÛ>Ê`iÊ}i
iiÊ«ÌiÊ }i
Õ`iÊiÌÊÜÀ`i°ÊiÌÊLiÊ i`}ÌÊiÀiiÊ`>ÌÊ Õ}iÊÛÀÊâ½Ê i}iÊLiÃÌÜÊ«Ê`iÊLÌÊ>>ÀÊi À>ÊÜÀ`ÌÊ}iâiÌ°Ê iÊ>«ÌiÊ
ÀÌÊ `>ÌÊ
ÊiÌÃÊÛ>ÊÜÃÕ`iÊÜiiÌ]Ê`}ÌÊ
iÊÕÌÊÊ`iÊÃÌÕÕÀ
ÕÌÊiÊÛÀ>>}ÌÊvÊ
Ê Ê>Û}>ÌiÊ}iÌiÀiÃÃiiÀ`Êðʼ iÌÊ Ê
iÌÊÃÌ]½Ê>ÌÜÀ`ÌÊ
°Ê Õ}iÊ ÃV
ÀvÌÊiÛiÀÊ}i`V
Ìi°
Ê >iÊ i
>]Ê iÊ6iÀiÃÃÕ}Ê`iÀÊ7iÌ]Ê ,iLi]Ê,Ü
Ì]ÊÓääx]Ê- ÊÎ{näÎxÓnÓ°Ê i`iÀ>`ÃiÊÛiÀÌ>}Ê`ÀÊ>VµÊ6}i>>À\Ê iÌÊiÌiÊÛ>Ê`iÊÜiÀi`]ÊÃÌiÀ`>]Ê+ÕiÀ`]Ê ÓääÈ]Ê- ÊäÓ£{ÇäÎäÈ°Ê
£Î
door Alex van den Brandhof
Gokspelletjes, of de aanzet tot kansrekening
14
In de geschiedenis van de wiskunde wordt 1654 gezien als het ‘geboortejaar’ van de kansrekening. In dat jaar ontstond een briefwisseling tussen de Franse wiskundigen Pierre de Fermat (1601-1665) en Blaise Pascal (1623-1662), over kansproblemen die aan hen door gokkers werden voorgelegd. Toch was er ook vóór 1654 sprake van enig kansbesef. Uit de tiende eeuw dateert een manuscript waarin een monnik een opsomming geeft van de mogelijke uitkomsten bij het gooien met twee dobbelstenen. In een boek van de Indiër Bháscara Acharia uit de twaalfde eeuw komen we enkele vraagstukken over telproblemen tegen. En de Italiaan Gerolimo Cardano uit de zestiende eeuw – vooral bekend vanwege een formule waarmee de oplossingen van een derdegraadsvergelijking te vinden zijn – hield zich bezig met theorieën over dobbelspelen. Zijn boek Liber de ludo aleae (‘Het boek over het dobbelspel’) werd in zijn tijd echter niet uitgegeven. Briefwisseling In 1654 maakte Pascal kennis met de edelman Antoine Gombauld, Chevalier de Méré. Het verhaal gaat dat De Méré verzot was op kansspelen en het vermogen had om daarbij veel geld te verdienen. Toen hij ontdekte dat spelletjes anders verliepen dan hij op grond van zijn theorie mocht verwachten, wendde hij zich tot de wiskundige Pascal. Op zijn beurt legde Pascal de vraagstukken per brief aan Fermat voor. Dit was het begin van een briefwisseling tussen Pascal en Fermat over kansproblemen. De hele correspondentie is bewaard gebleven en tegenwoordig
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
beschikbaar (ook in Engelse vertaling) op het internet, zie de literatuur aan het einde van het artikel. Na de briefwisseling volgde een reeks publicaties over kansrekening. In 1657 schreef onze landgenoot Christiaan Huygens het eerste boek over dit onderwerp, getiteld De ratiociniis in ludo aleae (‘Over berekeningen bij het dobbelspel’). Vanaf 1660 gebruikte Johan de Witt kansrekening voor berekeningen van lijfrenten. Het reeds genoemde Liber de ludo aleae van Cardano werd in 1663, lang na zijn dood, alsnog uitgegeven. Een dobbelstenenprobleem Wat is voordeliger: de weddenschap om ten minste eenmaal ‘zes’ te werpen in 4 worpen met één dobbelsteen, of de weddenschap om ten minste eenmaal ‘dubbel-zes’ te werpen in 6 x 4 = 24 worpen met twee dobbelstenen? Dit is een van de problemen die door De Méré aan Pascal werden voorgelegd. De Méré redeneerde als volgt: de verhouding 4 : 6 (4 worpen, bij het werpen met één dobbelsteen zijn er 6 mogelijke uitkomsten) is gelijk aan de verhouding 24 : 36 (24 worpen, bij het werpen met twee dobbelstenen zijn er 36 mogelijke uitkomsten), dus beide situaties zijn even waarschijnlijk. Na vele spelletjes merkte hij echter dat deze theorie niet strookte met de ervaring: hij constateerde dat de eerste weddenschap gemakkelijker te winnen is dan de tweede. Pascal rekende De Méré vóór dat kansen zich niet volgens evenredigheidsprincipes gedragen, zoals De Méré veronderstelde. In kader 1 kun je lezen hoe je de twee kansen kunt uitrekenen.
1 Een verdeelde pot Een tweede probleem waarvoor De Méré hulp inriep bij Pascal, gaat over het verdelen van een gezamenlijke inzet, de ‘pot’. Twee spelers, A en B, spelen een spel dat uit meerdere ronden bestaat. In iedere ronde heeft elk van hen kans 12 om een punt te scoren. Wie het eerst vijf punten heeft gehaald, wint de pot. Als het spel niet wordt uitgespeeld, wat is dan een rechtvaardige verdeling van de pot? Stel dat de spelers na zes ronden moeten ophouden, en wel bij de volgende stand:
Wat is waarschijnlijker: a. ten minste eenmaal ‘zes’ in 4 worpen met één dobbelsteen; b. ten minste eenmaal ‘dubbel-zes’ in 6 x 4 = 24 worpen met twee dobbelstenen. Als we met X het aantal keer ‘zes’ in 4 worpen met één dobbelsteen noteren, dan is P X 1 1 P X 0 1 56 4
P X 1 1 P X 0
AABABA. Welke verdeling van de pot lijkt nu fair? Hadden de spelers gewoon doorgespeeld totdat er een winnaar is, dan waren er nog de volgende uitkomsten mogelijk geweest: A, BA, BBA, BBB. In de eerste drie gevallen zou A het spel gewonnen hebben, alleen in het laatste geval B. De kans dat B alsnog zou hebben gewonnen, lijkt dus 14 . Dat dit onjuist is, en dat de pot dus niet in de verhouding 3 : 1 verdeeld moet worden, kun je lezen in kader 2. Literatuur J.H. van der Vlis & E.R. Heemstra, Geschiedenis van kansrekening en statistiek. Pandata Uitgeverij 1988. H.G. Dehling & J.N. Kalma, Kansrekening, het zekere van het onzekere. Epsilon Uitgaven, deel 36, tweede druk 2005. H. Tijms, Spelen met kansen, Epsilon Uitgaven, deel 43, 1999. P. Tannery & C. Henry, Oeuvres de Fermat, vol. II, p.288 e.v. Beschikbaar in University of Michigan History of math collection (www.hti.umich.edu) met zoekwoord “si j’entreprends”. Voor een Engelse vertaling, zie www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/pascal.pdf.
1 56 4
671 1296
671 1296
05177 .
05177
Als we met Y het aantal keer ‘dubbel-zes’ in 24 worpen met twee dobbelstenen noteren, dan is 24 04914 . P Y 1 1 35 36 De eerste situatie is dus waarschijnlijker!
2 Bij een spel voor twee spelers, A en B, dat uit meerdere ronden bestaat, wint de speler die het eerst vijf ronden heeft gewonnen. Hoe moet de pot tussen de spelers worden verdeeld, als het spel wordt afgebroken bij de stand AABABA? Om de pot eerlijk te verdelen, moeten de winstkansen van A en B uitgaande van de situatie na de eerste zes ronden berekend worden. Hiertoe voeren we het volgende gedachte-experiment uit: we spelen nog drie ronden, ook al staat de uitslag eerder vast. De mogelijke uitkomsten voor die drie ronden zijn: AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. Speler A wint bij elk van de eerste zeven mogelijke uitkomsten, terwijl speler B alleen bij de laatste uitkomst wint. Hun winstkansen zijn dus 78 respectievelijk 18 . De pot moet dus in de verhouding 7 : 1 worden verdeeld.
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
15
door Henk van Lienen
DE SEMAFOOR 16
Ook vóór de tijd van telecommunicatie werden berichten over grote afstanden doorgegeven. Simpele berichten verstuurde je met rookwolken, tromslag of klokgelui. Voor een ingewikkelder bericht was er de semafoor: een mast met bijvoorbeeld vlaggen die de boodschap volgens een kleurcode letter voor letter doorgaven. Het woord semafoor is een samenstelling van de Griekse woorden (teken) en o (dragen). De eerste goed opgezette semafoor stamt uit 1793. De gebroeders Chappe bouwden toen in de omgeving van Parijs een netwerk van torens die onderling op gezichtsafstand lagen. Op elke toren stond een mast met armen die vanaf de grond bewogen konden worden. In vereenvoudigde vorm zag het er uit als in figuur 1. Zowel de dwarsverbinding (régulateur) als elk van de beide armen (indicateur) kon draaien. Dat leverde in totaal 4 x 8 x 8 = 256 verschillende standen op, die niet allemaal gebruikt werden omdat sommige op afstand moeilijk van elkaar te onderscheiden zijn. Zo waren er standen om cijfers en letters door te geven, en om het doorgeven van de berichten te reguleren (bijvoorbeeld ‘einde bericht’). In figuur 2 zie je 36 standen. Napoleon zag wel wat in de semafoor van de Chappes en niet lang daarna verbond
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
een dicht netwerk van torens de belangrijkste steden van Frankrijk. In het kielzog van Napoleons veroveringsoorlogen werd het netwerk van Chappe verder uitgebouwd. Duizenden verdienden hun brood met het instand houden van de torens en het bedienen van de armen. De geoefende sein-bediende haalde een snelheid van vijftien tekens per minuut. Berichten reisden langs het netwerk met een snelheid van zo’n 500 kilometer per uur. Zoals onze computers tegenwoordig gesaboteerd kunnen worden door virussen, werden toen soms torens overvallen om valse berichten de wereld in te sturen, de aangrenzende torens gaven elk bericht immers trouw door. De uitvinding van de telegraaf met het morse-alfabet maakte de seinpalen van Chappe overbodig. In 1860 werd de laatste Chappe-semafoor buiten gebruik gesteld, maar wie op reis door Frankrijk goed oplet zal de torens van Chappe nog kunnen herkennen.
De moderne versie Een systeem dat verwant is aan de semafoor is het seinen met vlaggetjes. Bovenaan deze twee pagina’s zie je hoe het woord SEMAFOOR met vlaggen wordt uitgebeeld. Naast morse was het vlaggenseinen een vast onderdeel in de opleiding tot seiner/marconist en officier bij de koopvaardij of marine. Tegenwoordig is het vlaggenseinen door moderne communicatiemiddelen verdrongen. Je kunt je wel voorstellen dat een lang bericht voor de seiner een aardige gymnastische oefening was. Het systeem kende geen cijfers; getallen in een bericht werden als tekst weergegeven. In vereenvoudigde vorm is deze seintaal nog steeds in gebruik op vliegvelden en vliegdekschepen om de piloot aanwijzingen te geven bij het taxiën. De vlaggen zijn vervangen door een soort tafeltennisbatjes, in het donker worden lichtgevende sticks gebruikt. Regelmatig kregen de marine- en koopvaardijofficieren in het verleden bij hun opleiding de opdracht een analyse van de
Figuur 1 Schematische tekening van de semafoor van Chappe
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
semafoortekens te maken, vaak aangevuld met de opdracht zelf een alfabet te ontwerpen. Je bent nu even marineofficier in opleiding: zoek op internet het vlaggenalfabet op en analyseer de tekenreeks. Zijn er nog meer tekens mogelijk? Zit er een systeem in de reeks, en is er niet een handiger systeem te bedenken?
17
Figuur 2 36 standen van de semafoor
door Marco
Swaen
N A V E D N DE W I SK U
18
H A NS DE RIJK arschijnlijk , besef je wa je r o o v g n a verarg jaar geleden de nieuwe ja ig n a rt v e e 1 v r n e fe m oras al vij Me t n u m eide het den dik, gro erste Pythag ij z re e d ll la a b e d le e t k a n e erling niet d r had elke le loos blaadje ft te a la k r n a e ja e r n a a a scheen. V goras. a n t ee n p en begrip, w ent op Pytha e m t e n to n it o u b a ig n d r da n spoe wiskunde ee vontuurlijke a in n e e ss r e re d te n in le e met enige in dat ook was sprank l een stukje Pythagoras e in w r e e d n d u n k o is De w n. Altijd st laten. schoolboeke iet los wilde n e r d a a in f m o je st t e a d ertje d e n ee n de n k jij begreep,
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
De drijvende kracht achter de Pythagoras van de beginjaren was Hans de Rijk. Hij schreef zelf een groot deel van de kopij, deed de redactie, maakte foto’s en illustraties, en zette het nummer op een zaterdagochtend met schaar en lijmpot in elkaar. Door de week gaf hij les in scheikunde, natuurkunde en wiskunde. Een opleiding tot leraar wiskunde heeft hij nooit gehad, de lesbevoegdheid werd hem later door het ministerie verleend mede op grond van het werk dat hij voor Pythagoras had gedaan. Als leraar vond hij het belangrijker enkele mooie ideeën over te brengen, dan een veelheid aan technieken en trucjes. Dat was ook zijn uitgangspunt bij Pythagoras. Zijn stukjes leiden zonder veel technische omhaal altijd tot iets om je over te verwonderen, iets dat je als lezer aan het denken zet. De vele artikelen in Pythagoras zijn maar een klein gedeelte van hetgeen hij schreef. Over talloze onderwerpen schreef hij boeken, de beroemdste gaan over het werk van Escher en over onmogelijke figuren, die in vele talen zijn uitgegeven. Hans de Rijk, die inmiddels zijn tachtigste verjaardag heeft gevierd, heeft nog niets ver-
loren van zijn jeugdige nieuwsgierigheid. En hij bezit de gave bij anderen die nieuwsgierigheid te prikkelen. Dat lukte hem niet alleen als leraar en publicist, maar ook door mensen bij elkaar te brengen die zijn interesses delen. Zo was hij medeoprichter van de stichting Ars et Mathesis, van de Zonnewijzerkring en van de volkssterrenwacht Simon Stevin. Hans de Rijks belangstelling bestrijkt gebieden in wijd uiteenlopende richtingen. Toch is zijn belangstelling zeker niet ongericht. In wat hem wel en niet interesseert is hij juist heel selectief. Om uit te leggen wat voor wiskunde hem trekt, gebruikt Hans de Rijk de volgende beeldspraak. Zie de wiskunde als een prachtige tuin. Midden in de tuin staat een enorme boom met takken die naar de hemel reiken. Aan de stam van de boom zijn de namen van grote wiskundigen verbonden uit het verre verleden: Pythagoras, Archimedes, Euclides. Hoger in de boom prijken de namen van knappe koppen als Euler, Gauss en Hilbert. Wil je de prachtige wiskunde helemaal bovenin die boom bewonderen, dan moet je flink klimmen. Maar de tuin bestaat niet uit die ene boom alleen, er zijn ook bloemperken
19
en struiken. Daar kun je zonder klimpartijen minstens zo van genieten. En gewoon op de grond, tussen het gras staat soms onverwacht een prachtig madeliefje. Dat is de wiskunde waar Hans de Rijk het meest van houdt: madeliefjeswiskunde. Wie in het gelukkige bezit is van Pythagorassen uit die beginjaren, herkent de madeliefjes die Hans de Rijk erin plantte: de platlanders, onmogelijke figuren, perspectief, gezichtsbedrog, wiskunst, elegante bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Nu, vijfenveertig jaargangen verder, laat hij ons er weer eentje zien, één die hij zelf gevonden heeft. Het gaat om een elegant bewijs voor een verschijnsel dat allang bekend is, maar nooit afdoende verklaard.
20
Hol lijkt bol Als een beeld zo vaag is dat er niets in te herkennen valt, zie je er vaak een gezicht in. Zo word je gezichten gewaar in wolken, in een inktvlek en in de schaduwen op de maan. Onze hersenen zijn behept met gezichten. Enkele signaaltjes zijn voldoende om een gezicht uit duizenden te herkennen. Die rappe gezichtsherkenning bedriegt ons echter ook, in welk geval we heel dubbelzinnig te maken hebben met gezichtsbedrog. Een bekend geval van zulk dubbel gezichtsbedrog is de
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
illusie van het holle gezicht. Kijk naar de holle afdruk van een gezicht, zoals bijvoorbeeld de achterkant van een masker, zie onderstaande foto’s. Je zult dan al gauw een gewoon bol gezicht zien. Zeker als dat holle gezicht in een vlakke muur zit, is de illusie bijzonder sterk. Het is die beheptheid van onze hersenen overal gezichten in te willen zien, en gezichten zijn nu eenmaal bol. De holle-gezicht-illusie is al vaak toegepast in souvenirs en andere huiskamer-snuisterijen. Als je een beetje zoekt, bijvoorbeeld op internet, dan kun je holle portretten vinden van beroemdheden als Charlie Chaplin, Boeddha, Einstein, en de heilige Maria. Het verrassende effect van zo’n hol gezicht is te zien op foto’s, maar je ervaart het pas echt als je er fysiek voor staat. Beweeg je je hoofd, dan merk je dat het bolle gezicht draait. Over dat draaien schrijft Hans de Rijk zelf op de volgende twee pagina’s.
door Hans de Rijk Onverwachte draaiing Merkwaardig is, dat een hol gezicht zich niet van ons afkeert, als we er langs lopen (we zien immers een bol gezicht eerst en face en daarna van de zijkant), maar dat het zich naar ons toekeert, alsof het ons na blijft kijken. Nog merkwaardiger is dat deze draaiing veel sneller is dan we verwachten. Met vernuftige opstellingen is in psychologische laboratoria vastgesteld dat deze draaiing twee maal zo snel verloopt als bij het lopen langs een normaal bol gezicht. Van verschillende kanten werd mij verteld dat voor dit feit een eenvoudig wiskundig bewijs te geven was. Omdat ik een hekel heb aan het zoeken naar dingen die anderen reeds gevonden hebben, zocht ik lange tijd (tevergeefs) naar literatuur waar dit bewijs te vinden zou zijn. Mijn nieuwsgierigheid en mijn ongeduld wonnen het van mijn luiheid en ik begon zelf te puzzelen. Tot mijn verbazing vond ik binnen een kwartier een heel elementair bewijs. Hier volgt het. Het simpele bewijs We vereenvoudigen het driedimensionale voorwerp tot een lijnstuk AB, waarbij A dichter bij het oog ligt dan B. Kijken we naar A vanuit O1 en verplaatsen we het oog naar
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
O2 , dan draait de gezichtslijn over een hoek ; dit komt overeen met een draaiing van AB in tegengestelde richting over een hoek . Zie figuur 1.
Figuur 1
Dat is niets bijzonders, we zien dat dagelijks om ons heen gebeuren als we langs een gezicht of een bos bloemen lopen. Kijken we naar figuur 2, dan ligt B op de zichtlijn OB. Er zijn echter geen gegevens over de afstand waarop wij B zien. Maar we kiezen het beeld B’ zo, dat I ABI = I AB’I. Dat is niet zo willekeurig als het lijkt. Als we een hol masker bekijken, waarbij de punt van de neus
21
Dit gaat als volgt. Omdat A, B, O1 en O2 op het verste van ons af is, zien we een normaal (bol) masker met het punt van de neus het een cirkel liggen en de driehoeken ABB’ en dichtste bij het oog. En dat zonder vervorAB”B gelijkbenig zijn, zijn de bijbehorende mingen: de neus wordt bijvoorbeeld niet basishoeken gelijk ( en + ). Daaruit volgt , 180 2 ) en + 180 2 2 = 180 – 2( = 180 – 22 dat plotseling een heel lange Pinocchio-neus! + – 180 2 . Daaruit volgt dat = 180 – 22 dus In figuur 3 is eerst een cirkel getekend 180 2 )= 180 = 180 – 22 ( + – 22 door A en B en door de beginpositie van het – 2 = – . Dus = 2 . – 22 = 180 oog O1. Het oog beweegt zich naar rechts, naar O2 . Voor een eenvoudige bewijsvoering Meer informatie is O2 ook op de cirkelomtrek getekend. Als Over Hans de Rijk: de afstand van het oog tot AB niet al te klein Zsofia Ruttkay, ‘Een man met zes pseudoniemen’, Nieuw archief voor wiskunde 5/1 nr. 3, pp. 282-286 (sept. 2000) is, zal de praktische uitkomst weinig afwijken Over de holle-gezicht-illusie (inclusief animatie en van de theoretische draaiing, namelijk twee bouwplaat): keer zo snel. www.michaelbach.de/ot/fcs_hollow-face www.arsetmathesis.nl (Bruno’s column, januari tot en met Nu volgt het bewijs. Vanuit O1 zien we AB mei 2003) als AB’ en vanuit O2 zien we AB als AB”. Het inverse beeld van AB is dan gedraaid over een hoek en het niet-inverse beeld (dat we dus niet waarnemen) over een hoek . We moeten dus bewijzen dat = 2 .
22
Figuur 2
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
Figuur 3
WISKUNDE
de garantie voor een zekere toekomst “Als consulent Asset & Liability Management bij ORTEC geef ik advies aan pensioenfondsen over het beleid wat ze het beste kunnen voeren. Mijn opleiding tot wiskundige maakt het mogelijk om daarvoor de lange termijn modellen te ontwikkelen.” drs. Marnix Engels
Ontdek wiskunde op het Studiefestival en de Open dag. Kijk voor meer informatie op
www.science.leidenuniv.nl
Universiteit Leiden. Universiteit om te ontdekken.
*ÞÌ
>}À>ÃÊ Ê"Þ«>`i
Ê
Ê
`ÀÊÀÊ ÀiÌ]Ê/
ÃÊ ÌiL]Ê iÊ`iÊ>>ÊiÊÀÃÊ-Ì
Ó{
1Ì`>}i`iÊ«}>ÛiÊ`iÊiÊ`À}>>ÃÊ iÌÊÊ`iÊÃV
LiiÊÌi}iÌ\Ê `>ÌÊÃÊ`iÊ*ÞÌ
>}À>ÃÊ"Þ«>`i°ÊÊiÊ ÕiÀÊÌÀivÊiÊÌÜiiÊ«}>ÛiÊ>>]ÊiÊ ÌÜiiÊ«ÃÃ}iÊÛ>Ê`iÊ«}>ÛiÊÕÌÊ ÌÜiiÊ>yiÛiÀ}iÊÌiÀÕ}°Ê>Ê`iÊÕÌ `>}}Ê>>ÊiÊÃÌÕÕÀÊÃÊiÊ«ÃÃ}tÊ "`iÀÊ`iÊ}i`iÊiiÀ}âi`iÀÃÊ ÜÀ`ÌÊ«iÀÊ«}>ÛiÊiiÊLiiLÊÛ>Ê ÓäÊiÕÀÊÛiÀÌ°Ê>Ê
iÌÊi`ÊÛ>Ê`iÊ >>À}>}ÊÜÀ`ÌÊ}iiiÊÜiÊÊÌÌ>>Ê `iÊiiÃÌiÊ«}>ÛiÊ
iivÌÊ«}iÃÌ°Ê iâiÊ«iÀÃ]Ê`iÊ}iiÊiiÀ}Ê
ivÌÊ ÌiÊâ]ÊÜÌÊiiÊLiiLÊÛ>Ê£ääÊ iÕÀ°Ê
iÊÊÌiÊâi`i ÃÌÕÀiÊ>Ê«iÀÊi>\Ê «ÞÌ
ÞJ«ÞÌ
>}À>Ã°Õ vÊ«Ê«>«iÀÊ>>ÀÊ
iÌÊÛ}i`iÊ>`ÀiÃ\ *ÞÌ
>}À>ÃÊ"Þ«>`i >Ì
i>ÌÃV
ÊÃÌÌÕÕÌ 1ÛiÀÃÌiÌÊ i`i *ÃÌLÕÃÊx£Ó ÓÎääÊ,ÊÊ i`i 6ÀâiÊ
iÌÊ>ÌÜÀ`ÊÛ>ÊiiÊ`Õ`iiÊ ÌiV
Ì}Ê`>ÌÊÜÊâi}}i\ÊiiÊLiÀii }ÊvÊiiÊLiÜî°Ê6iÀi`ÊLi
>ÛiÊiÊ >>]ÊÊiÊ>`ÀiÃ]ÊÃV
ÊiÊ>Ã°Ê ÊÊÊÊiÊâi`}ÊiÌÊLÊÃÊLiÊâÊÛÀÊÊ ÊÊÊÊΣÊÌLiÀÊÓääÈ°
*9/",-Ê*, ÊÓääÈ *9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
"*6
£Î{ 6iÀ`iÀÃÌiÊ`>ÌÊNÊÊÊiiÊ}i
iiÊ}iÌ>ÊÃ°Ê iÃÌ>>ÌÊiÀÊiiÊ
iÊαÊiÌÊcÊÊαÊ c]Ê âÊ`>ÌÊSINÊαÊiÊCOSÊαÊLi`iÊiiÊN`iÊ>V
ÌÊ âÊÛ>ÊiiÊÀ>Ì>>Ê}iÌ>¶Ê
Ê
iÊâÌÊ`>ÌÊ>ÃÊNÊrʶÊ
"*6
£Îx ÃÊ
iÌÊ}iÊÊ`iÊ}iÌ>iÊ]Ê]Ê]Ê°°°]Ê ÊÊ`iÊ
iÃÊÛ>ÊiiÊÀÃÌiÀÊÛ>Ê LÊ ÊÛiÀ>ÌiÃÊÌiÊÃV
ÀÛiÊ`iÀÊÛ}i`iÊ ÛÀÜ>>À`i\Ê £°ÊÌÜiiÊ}iÌ>iÊ`iÊ«ÀiViÃÊÊÃV
iiÊÃÌ>>Ê ÊÌÜiiÊÛiÀ>ÌiÃÊ`iÊjjÊâ`iÊ}iii ÃV
>««iÊ
iLLiÆÊ Ó°Ê`iÊÜ>`À>ÌiÊ]Ê]Ê]Ê°°°]Ê ÃÌ>>ÊÊ `iâiv`iÊ°Ê
"* "--
"* "--
£ÎäÊÊ £Î£ -ÌiÊN ÃÊiiÊ«ÃÌivÊ}i
iiÊ}iÌ>°Ê iÜÃÊ `>ÌÊiÀÊi`}ÊÛiiÊ}i
ii]Ê«ÃÌiÛiÊ}iÌ> i A]ÊBÊiÊCÊiÌÊAÊ≠ÊBÊLiÃÌ>>ÊâÊ`>ÌÊÊ a n bn cn °
"«ÃÃ}°Ê7iÊ>ÌiÊâiÊ`>ÌÊ`iÊÛiÀ}i}Ê i`}ÊÛiiÊ«ÃÃ}iÊ
iivÌÊ`ÀÊi `}ÊÛiiÊ«ÃÃ}iÊÌiÊ}iÛi°Ê iÀÊ«Ê`>ÌÊ ÜiÊiÌÊ?iÊ«ÃÃ}iÊ
iÛiÊÌiÊ}iÛitÊ -V
ÀvÊC rÊX ³Ê]Ê`>Ê}i`Ì\Ê cn x n x x n x x n x n
ÃÊXÊr TNÊiiÊN`iÊ>V
ÌÊÃÊÛ>ÊiiÊ}i
iiÊ }iÌ>ÊT]Ê`>ÊÕiÊÜiÊ`Õà AÊrÊTTN ³Ê®Ê iÊBÊrÊTNʳÊÊiiÊ>ÃÊ«ÃÃ}ÊÛ>Ê`iÊ ÛiÀ}i}°ÊÃÊTÊ}ÀÌiÀÊ`>ÊÊÃ]Ê`>ÊÃÊ>>Ê `iÊÛÀÜ>>À`iÊA ≠ÊBÊÛ`>>°Ê6ÀÊi`iÀÊ }i
iiÊ}iÌ> TÊÊÊ
iLLiÊÜiÊiiÊ«ÃÃ}Ê Û>Ê`iÊÛiÀ}i}°Ê ÌÊâÊi`}ÊÛiiÊ «ÃÃ}i°Ê iâiÊ«}>ÛiÊÜiÀ`Ê}i`Ê«}iÃÌÊ`À\Ê7ÕÌiÀÊ iÀi >ÃÊ Û>Ê
iÌÊ >À>iÕÃ}Þ>ÃÕÊ ÌiÊ ÃÌiÀ`>]Ê `Ê Ê Û>Ê "-Ê ÕÞ}iÜ>>À`Ê ÌiÊ iiÀ
Õ}Ü>>À`]Ê >ÃÊ °Ê ÕÃÃ>ÌÊ`iÃÊÀiÊÕÌÊ >ÃÌÀVÕ]Ê iÃiÌÌiÊÛ>Ê`iÊ > «ii]Ê ÊÛ>ÊÃÌiÊÛ>Ê,-Ê*>Ì>ÀÊÌiÊ7>}i }i]ÊiÃÊ6>`iÊ >ÛiÞÊÛ>Ê
iÌÊi}i ÀiÛÕ`}
i`à Vi}iÊÌiÊ iÕÛi°Ê iÊLiiLÊ}>>ÌÊ>>ÀÊ7ÕÌiÀÊ iÀi>ð
iÊiÀÊÜ>`iÌÊÛiÀÊ
iÌÊ
iÀ`iÀÊ}iÌi i`iÊLÀ`Ê
ÊÃÌ>ÀÌÊLÊ3®°Ê6>ÕÌÊi`iÀiÊ VÀiÊ«ÌÊ
ÊiÌÊ>ÃÊ ÊÊ`iÊÀV
Ì}ÊÛ>Ê iiÊÛ>Ê`iÊÌÜiiÊÕÌ}>>`iÊ«i°Ê<`À>Ê`iÊ iÀÊÛ>Ê
iÌÊLÀ`ÊÛ>Ì]ÊÃÌ«ÌÊ
ÊiÌÊÜ>`i i°Ê iÀiiÊ`iÊ>ÃÊ`>ÌÊ`iÊiÀÊLÊ`iÊVÀiÊ Ü>>ÀÊ
ÊLi}iÊÃÊÛ>Ê
iÌÊLÀ`ÊÛ>Ì°Ê S
"«ÃÃ}°ÊÃÊ`iÊiÀÊÛ>ÕÌÊ3ÊÜi}Ü> `iÌ]Ê>Ê
Ê«ÊÌÜiiÊ>iÀiÊÜiiÀÊLÊ3Ê ÕÌi\ÊÛ>ÊiiÊÀÌÊ«>`Ê→↓←↑®ÊvÊÛ>Ê iiÊ>}Ê«>`\Ê→→↓←←↑®°Ê iÊ>ÃÊ`>ÌÊ`iÊ iÀÊ
iÌÊÀÌiÊ«>`Ê«Ì]Êà iÊ Ê `iÊ>ÃÊ`>ÌÊ`iÊiÀÊ
iÌÊ>}iÊ«>`Ê«Ì]Ê °Ê iÊ>ÃÊ`>ÌÊ`iÊiÀÊÛ>ÕÌÊ3Ê ÃÊ >>ÀÊ3ÊÜ>`iÌÊâ`iÀÊ`iÀÜi}Ê>}ÃÊ3Ê ° ÌiÊi®]ÊÃÊ`ÕÃ Ê Ê ÊÊÊ6À`>ÌÊ`iÊiÀÊÛ>Ê
iÌÊLÀ`ÊÛ>Ì]Ê>Ê`iÊ iÀÊiiÊÜiiÕÀ}Ê>>Ì>ÊiÀiÊÛ>Ê3Ê>>ÀÊ 3Ê«i°Ê iÊ>ÃÊ`>ÌÊ`iÊiÀÊNÊiiÀÊÛ>Ê3Ê >>À 3ÊÜ>`iÌÊiÊiÀÊÛiÀÛ}iÃÊ>vÛ>Ì]ÊÃÊ n °Ê iÊÌÌ>iÊ>ÃÊPÊ`>ÌÊ`iÊiÀÊLÊ3Ê Û>Ê
iÌÊLÀ`ÊÛ>Ì]ÊÃÊ`ÕÃÊ n p ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ n
Ê
1ÌÊ`iâiÊvÀÕiÊÛ}ÌÊ`>Ì p p Ê °Ê }i`Ì°Ê Ê`ÕÃÊ}i`Ì\ p Ê Ê
iâiÊ«}>ÛiÊÜiÀ`Ê}i`Ê«}iÃÌÊ`À\Ê7ÕÌiÀÊ iÀi >ÃÊ Û>Ê
iÌÊ >À>iÕÃ}Þ>ÃÕÊ ÌiÊ ÃÌiÀ`>]Ê >ÃÊ
°Ê ÕÃÃ>ÌÊ`iÃÊÀiÊÕÌÊ >ÃÌÀVÕ]Ê iÃiÌÌiÊÛ>Ê`iÊ
>«ii]Ê ÊÛ>Ê ÃÌiÊÛ>Ê,-Ê*>Ì>ÀÊÌiÊ7>}i }i]Ê >ÀiiÊ >ÊÛ>Ê
iÌÊ
ivviÀVi}iÊÌiÊ
>ÃÌÀVÕ]Ê >Ê Ü>VâÞÊÕÌÊÃÌiÀ`>ÊiÊ->`iÀÊÛ>Ê `iÀÊ >>ÌÊÛ>Ê
iÌÊ,>`ÃÊ ÞViÕÊÌiÊ->ÃÃi
i° iÊLiiLÊ}>>ÌÊ>>ÀÊ ÊÛ>ÊÃÌi°
*9/",-Ê*, ÊÓääÈ *9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
Óx
`ÀÊ>VµÕiÃÊ>ÕLÀV
Ê Ê
ÓÈ
*iÀviVÌÊÛiÀ`ii`iÊ ÛiÀ>Ìi
Ê
iÌÊ>«ÀÕiÀÊÛ>Ê`iÊÛÀ}iÊ>>À}>}Ê Ü>Ê*ÀLiiÊxÊÛ>Ê
iÌÊ-V
ÌÃiÊLiÊ >>Ê`iÊÀ`i\ÊÕÊiÊiiÊÛiÀ>ÌÊÛiÀ`iiÊ ÊÛiÀ>ÌiÊ`iÊ`iÀ}Ê>i>>ÊÛiÀ ÃV
i`ÊÛ>Ê}ÀÌÌiÊâ¶ÊiÌÊ>ÌÜÀ`Ê Õ`Ìʼ>½]Ê>>ÀÊâivÃÊ`iÊiiÛÕ`}ÃÌiÊ«Ã Ã}ÊÃÊâÊ}iÜi`Ê`>ÌÊiÊiÊ>vÛÀ>>}ÌÊ
iÊ i>`Ê`iÊ>ÊÛ`i°Ê>VµÕiÃÊ>ÕLÀV
]Ê ÌÊâivÊLÊ
iÌÊ`iÀâiÊ>>ÀÊÛiÀ>Ì ÛiÀ`i}iÊLiÌÀi]Ê>>ÌÊiÌÃÊÛ>Ê`iÊ ÌiV
ÃV
iÊ>V
ÌiÀ}À`iÊâi°Ê }ÕÕÀÊ£ÊÊ iÊÛiÀ`i}ÊÛ>Ê À
iÌÊ«ÀLii ,ÕÊiiÊiiÕÜÊ}ii`i]Ê>iÊÊ£äÎ]Ê Li
>`i`iÊ °Ê i
Ê
iÌÊ«ÀLiiÊvÊ
iÌÊ }iÊÃ]ÊiiÊÀiV
Ì
iÊ«ÊÌiÊ`iiÊÊ iiÊi`}Ê>>Ì>ÊÛiÀ>ÌiÊÛ>Ê`iÀ }ÊÛiÀÃV
i`iÊ}ÀÌÌi°Ê i
Ê}>vÊâivÊ }iiÊ«ÃÃ}ÊÛÀÊ`ÌÊ«ÀLii]Ê>>ÀÊ
ÊLiÜiiÃÊÜiÊ`>ÌÊiiÊ`iÀ}iiÊÛiÀ`i }Ê>Ì`ÊâÕÊÀiÃÕÌiÀiÊÊÛiÀ>ÌiÊiÌÊ â`iÊiÌÊÀ>Ì>iÊÛiÀ
Õ`}iÊÌÌÊ`iÊ â`iÊÛ>Ê`iÊÌÌ>iÊÀiV
Ì
i°Ê*>ÃÊÊ£ÓxÊ ÜiÀ`Ê`iÊiiÀÃÌiÊ«ÃÃ}Ê}i«ÕLViiÀ`Ê iÊÜiÊ`ÀÊ<°Ê À°ÊÊÛiÀ`ii`iÊiiÊ ÀiV
Ì
iÊÛ>Ê ÝÊÊÊÊ}iiÊÛiÀ >ÌiÊâ>ÃÊ>>}i}iÛiÊÊw}ÕÕÀÊ£°Ê ÊÊÊÊ"`>ÌÊ`iÊÀiV
Ì
iÊÃÊÛiÀ`ii`ÊÊÊ ÛiÀ>Ìi]ÊëÀiiÊÜiÊÛ>ÊiiÊÛiÀ`i}Ê Û>ÊÀ`i °ÊiÊÛiÀ>ÌiÊâÊÛiÀÃV
i`ÊÛ>Ê}ÀÌÌiÆÊ`iÊÛiÀ`i}Ê
iiÌÊ `>>ÀÊ«iÀviVÌ°Ê ÊÊÊÊÊ ÀÊÃÊ}ÊjjÊ>`iÀiÊ>iÀÊÊiiÊ ÀiV
Ì
iÊÌiÊÛiÀ`iiÊÊÊ}iiÊ
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
ÛiÀ>Ìi°Ê iÊ
Ì\Ê`iÊÀiV
Ì
iÊ
iivÌÊ >viÌ}iÊÊÝÊ iÊ
iÌÊiÃÌiÊÛiÀ >ÌÊ`>ÌÊiÀÊÛÀÌÊ
iivÌÊâ`iÊ°Ê ÊÊÊÊ*>ÃÊÊ£{äÊÜiÀ`ÊLiÜiâiÊ`>ÌÊ`iâiÊ ÌÜiiÊÛiÀ`i}iÊÊ`iÊ«iÀviVÌiÊ ÛiÀ`i}iÊâÊÛ>Ê`iÊ>>}ÃÌÊ}iiÊ À`i°ÊiÌÊÃÊ`ÕÃÊiÌÊ}iÊiiÊÀiV
Ì
iÊ«iÀviVÌÊÌiÊÛiÀ`iiÊÊ`iÀÊ`>ÊÊ }iiÊÛiÀ>Ìi°Ê iÊÛiÀ>ÌÊ«iÀviVÌÊ ÛiÀ`ii`ÊÊÛiÀ>ÌiÊÜ>ÃÊiV
ÌiÀÊ}ÊiÌÊ }iÛ`i°Ê7iÊi`iÊiÊiÌÊ>ÌÕÕÀÊ i`iÀiiÊiiÊÛiÀ`i}ÊÛ>ÊiiÊÛiÀ>ÌÊÊ ÛiÀÊ}iiÊÛiÀ>Ìi]Ê>>ÀÊ`iÊÛiÀ`i}Ê ÃÊâÊiÀÊ«iÀviVÌ°°°tÊiÌÊâÕÊÌÌÊ£ÎÊ `ÕÀiÊÛÀÊ,°Ê-«À>}ÕiÊ
iÌÊiiÀÃÌiÊ«iÀ viVÌÊÊÛiÀ>ÌiÊÛiÀ`ii`iÊÛiÀ>ÌÊÊ Û>>À}\Ê«iÀviVÌÊõÕ>Ài`ÊõÕ>Ài®ÊÛ`Ê iÊÜiÊjjÊÛ>ÊÀ`iÊ°Ê iâiÊÛiÀ`i}]Ê âiÊw}ÕÕÀÊÓ]ÊÃÊ
i>>ÃÊÃ>i}iÃÌi`ÊV «Õ`®\ÊÊ`iÊÛiÀ`i}ÊâÌÊiiÊÀiV
Ì
iÊ `iÊâivÊÛiÀ`ii`ÊðÊ-«À>}ÕiÃÊÛiÀ>ÌÊÜ>ÃÊ
Ã>i}iÃÌi`ÊÕÌÊÌÜiiÊ}ÀÌiÊÛiÀ>ÌiÊ iÌÊ>ÌiÊÊiʮʫÕÃÊÌÜiiÊÊ ÛiÀ>ÌiÊÛiÀ`ii`iÊÀiV
Ì
ii]ÊLi`iÊ iÌÊ>ÌiÊ Ý iÊLi`iÊâivÊÊ ÜiiÀÊÃ>i}iÃÌi`°Ê ÊÊÊÊÊiÌÊ`ÕÕÀ`iÊ}ÊÌÌÊ£ÈÇÊÛÀÊ/°°Ê 7VVÃÊ`iÊiÃÌiÊV«Õ`Ê«iÀviVÌÊ ÃµÕ>Ài`ÊõÕ>ÀiÊÛ`]ÊiiÌiÊiÌÊÃiV
ÌÃÊ ÊÛiÀ>Ìi°Ê ÌÊÛiÀ>ÌÊÃÊ>v}iLii`Ê Ê
iÌÊ>«ÀÕiÀÊÛ>Ê`iÊÛÀ}iÊ>>À }>}°Ê iÊÀiV
Ì
iÊÛ>Ê ÝÊ Ê`iÊ iÀÊLÛi
iÊÛ>ÌÊiÌiiÊ«ÆÊ`iâiÊ >>ÌÊ`iÊÛiÀ`i}Ê`ÕÃÊÃ>i}iÃÌi`°ÊÊ £xÓÊ
>`Ê i>À`Ê ÀÃÊÛiÀ}iÃÊ>Ê`iÊ iiÀÃÌiÊ«iÀviVÌiÊÛiÀ`i}ÊÛ>ÊiiÊÛiÀ>ÌÊ }iÛ`i\ÊiiÊÛiÀ>ÌÊiÌÊâ`iÊ ÛiÀ`ii`Ê Ê}iiÊÛiÀ>Ìi°Ê
iÊÛ`ÊiÊâÕiÊÛiÀ>Ìi¶ -«À>}ÕiÊ}iLÀÕÌiÊiiÊÃiÊÌÀÕVÊÊ iiÊ«iÀviVÌÊÛiÀ`ii`ÊÛiÀ>ÌÊÌiÊÛ`i°Ê Ê}}ÊÕÌÊÛ>Ê`iÊÀii`ÃÊLii`iÊÀiV
Ì
iÛiÀ`i}iÊÊÊiÊÊÛiÀ>Ìi]Ê ÛiÀ}ÀÌÌiÊ`iâiÊiÌÊÛiÀÃV
i`iÊv>VÌ Ài]ÊÛi}`iÊiÀÊiiÊ
>`ÛÊÛiÀ>ÌiÊ>>Ê Ìi]ÊiÊÛDtÊÊ`iÊÌii}ÊÃÊ`iâiÊÃÌÀÕV ÌÕÕÀÊ}i>iÊÌ`ii°Ê7VVÃÊ `ii`Ê
iÌÊiÌÊ}iÜÊ«ÀLiÀi°Ê ÊÊÊ >>ÀÊ
iÌÊLiiÊÃÞÃÌi>ÌÃV
iÀÊÌiÊÕ i°Ê6iÀÊÃÌÕ`iÌiÊÊ >LÀ`}iÊÛ`iÊ Ê`iÊ>ÀiÊ£ÎȽÎnÊiiÊiÌ
`iÊiÊ «ÕLViiÀ`iÊ`iÊÊ£{ä°Ê i>À`Ê ÀÃ]Ê
i`ÀVÊ-Ì
]ÊÀÌ
ÕÀÊ-ÌiÊiÊ7>Ê /ÕÌÌiÊiÌiÊâiÊ`>ÌÊiiÊÊÛiÀ>ÌiÊ ÛiÀ`ii`iÊÀiV
Ì
iÊÛiÀiiÌÊiÌÊ
ÓÇ
}ÕÕÀÊÓÊÊÊÊiÌÊiiÀÃÌi]Ê`ÀÊ-«À>}ÕiÊ}iÛ`iÊ«iÀviVÌÊÛiÀ`ii`iÊÛiÀ>Ì
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
}ÕÕÀÊÎÊÊÊ iÊÛiÀ`i}ÊÛ>Ê ÀÊiÊ
iÌÊiÀiiÊVÀÀië`iÀi`iÊiÌÜiÀ
Ón
`iÊÃÌÀiÊÊiiÊÜiiÀÃÌ>`ÃiÌÜiÀÊ>ÃÊ `>ÌÊ>>ÊiiÊÃÌÀLÀÊÃÊ>>}iÃÌi°Ê ÕÃÊ iiÀÃÌÊiÛiÊiiÊLiiÌiÊiiiÌ>ÀiÊ>ÌÕÕÀ Õ`i°Ê iÊÀiV
Ì
iÊÛ>ÊLÛÀLii`Ê «iÀ«>>Ì]ÊiÌÊiiÊ«iÀviVÌÊ}ii`i`iÊ LÛiÊiÊ`iÀÀ>`]Ê
iivÌÊ>iÊiiÊ "
Ãi®ÊÜiiÀÃÌ>`Ê`iÊiÛiÀi`}ÊÃÊiÌÊ `iÊ
}ÌiÊÛ>Ê`iÊÀiV
Ì
iÊiÊ}iiiÀ`Ê iÛiÀi`}ÊiÌÊ`iÊLÀii`ÌiÊiÀÛ>°Ê ÕÃÊ>ÃÊiÊ `iÊÀiV
Ì
iÊ`Ài>>ÊâÊ
}Ê>>Ì]ÊÜÀ`ÌÊ Ê`iÊÜiiÀÃÌ>`Ê`Ài>>ÊâÊ}ÀÌ°ÊiÊ
iLÌÊ`>ÊÊviÌiÊ`ÀiÊÛ>ÊâÕiÊÜiiÀÃÌ>`iÊ ÊÃiÀiÊ}iÃV
>i`°Ê >>ÀÊ>ÃÊiÊ`iÊÀiV
Ì
iÊ ÛiÀ>>ÊâÊLÀii`Ê>>Ì]ÊÜÀ`ÌÊ`iÊÜiiÀ ÃÌ>`ÊÕÃÌÊ`ÀÊÛiÀÊ}i`ii`°ÊiÊ
iLÌÊÊ`>ÌÊ }iÛ>ÊiÀÃÊÛiÀÊÛ>ÊâÕiÊÜiiÀÃÌ>`iÊ «>À>iÊ}iÃV
>i`°Ê ÛiÊ`À`iiÊiÊiÊ âiÌÊÊ`>ÌÊ>iÊÛiÀ>ÌiÊ«>ÌiÊÛ>Ê`>Ìâiv`iÊ >ÌiÀ>>ÊÊ>i>>Ê«ÀiViÃÊ`iâiv`iÊ ÜiiÀÃÌ>`Ê
iLLi]Ê`iÊ}i>Ã
>ÛiÊ}iÊ >>ÊÊΩÊ"
®Ê}iÃÌi`Ê>ÊÜÀ`iÊiÊ`>ÌÊ >ÊÊLÊ`iÊÕÃÌiÊ`ÌiÊÛ>Ê`iÊ«iÀ«>>Ì®°Ê ÊÊÊÊ7iÊÕiÊÕÊ>ÃÊ}i`>V
ÌiiÝ«iÀ iÌÊ`iÊÀiV
Ì
iÊÛ>Ê ÀÊÕÌÊwÊ}ÕÕÀÊ£Ê «}iLÕÜ`Ê`iiÊÕÌÊ`iÀ}iÊ>ÌiÀ>>°Ê 6iÀ`iÀÊ`iiÊÜiÊ
iÊÛiÀ`ii`ÊÊÊ`iÊ LÀii`ÌiÊÛ>Ê`iÊÀiV
Ì
i®ÊÛiÀÌV>iÊÀi«iÊ Û>ÊÊii
i`ÊLÀii`ÊiÊÊii
i`iÊ
}°Ê
ÊÛ>Ê`iÊÀi«iÊ
iivÌÊ`>ÊiiÊÜiiÀÃÌ>`Ê Û>ÊÊΩ°Ê`ÊiiÊë>}ÊÛ> 6]Ê`>Êâ>Ê`ÀÊ iiÊÀii«ÊiiÊÃÌÀÊÛ>Ê«ÀiViÃÊÊ«mÀiÊ «i°Ê>}iâiÊiÊÛiÀ>ÌÊLiÃÌ>>ÌÊÕÌÊ jjÊvÊiiÀÊÀi«iÊ>>ÃÌÊi>>À]Êâ>Ê`ÀÊiÊ ÛiÀ>ÌÊ`ÕÃÊiiÊÃÌÀÊ«iÊÛ>ÊiÛiÛiiÊ >«mÀiÃÊ>ÃÊ`iÊLÀii`ÌiÊÛ>Ê`>ÌÊÛiÀ>ÌÊiÊ
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
â>ÊÌiÛiÃÊ`iÊë>}ÃÛ>ÊÊÛÌÃÊÛiÀÊ
iÌÊ ÛiÀ>ÌÊ}iÊâÊ>>Ê`iÊ
}ÌiÊÛ>Ê
iÌÊ ÛiÀ>Ì°Ê ÊÊÊ iÊÊÛiÀ>ÌiÊÛiÀ`ii`iÊÀiV
Ì
iÊ
iivÌÊ`ÕÃÊiiÊiiÌÀÃV
Ê>>}\ÊiiÊ iÌÜiÀÊLiÃÌ>>`iÊÕÌÊÜiiÀÃÌ>`iÊÛ>Ê Ω `iÊiÌÊi>>ÀÊâÊÛiÀL`iÊÊ««Õ ÌiÊ`iÊÛiÀiiiÊiÌÊ`iÊ
ÀâÌ>iÊ Ãi}iÌiÊÊ`iÊÀiV
Ì
iÛiÀ`i}Ê«Ê «>>ÌÃiÊÜ>>ÀÊLÛiÊvÊ`iÀÀ>`iÊÛ>Ê ÛiÀ>ÌiÊÌi}iÊi>>ÀÊi°Ê >ÌÊÌÊ iÛiÊi]Ê`ÕÃÊiiÃÊ`iÊÛÀ}iÊâÊ}ÊiiÊ «>>ÀÊiiÀÊiÊÊ`>ÊÛÀÊ`iÊÛiÀ`Õ`i }Ê>>ÀÊwÊ}ÕÕÀÊÎ\Ê`iÊÛiÀ`i}ÊÕÌÊwÊ}ÕÕÀÊ£Ê «iÕÜ]ÊiÌÊ
iÌÊLLi
Ài`iÊiiÌÀÃV
iÊ iÌÜiÀ°Ê iÊÜiiÀÃÌ>`iÊÛ>Ê ΩÊÊiiÊ Ì>ÊâÊiiÛÕ`}
i`Ã
>ÛiÊÜi}}i>Ìi°Ê ÊiiÊÌÌ>iÊÃÌÀÊ) !Êâ>Ê`ÀÊÌ>Ê !#ÊiiÊÃÌÀÊÛ>Ê !Ê«i]Ê`ÀÊ!" iiÊ ÃÌÀÊÛ>ÊÊ!]ÊiâÛÀÌ°Ê iÊ}iÌ>iÊ }iÛiÊ`ÕÃÊÌiiÃÊ`iÊÃÌÀÃÌiÀÌiÊ>>Ê iÊ`iÊ«iÊ`iÊÀV
Ì}ÊÛ>Ê`iÊÃÌÀ°Ê Ê ««ÕÌÊÊ
iÌÊiÌÜiÀÊÌÊÛiÀiiÊiÌÊ iiÊ
ÀâÌ>>ÊÃi}iÌÊÊ`iÊÀiV
Ì
i ÛiÀ`i}]Ê`ÕÃÊiÌÊ`iÊ`iÀÊiÊLÛiÀ> `iÊÛ>ÊÛiÀ>Ìi°Ê iÊ«iÊ!ÊiÊ&ÊVÀÀià «`iÀiÊiÌÊ`iÊLÛiÊiÊ`iÀÀ>`ÊÛ>Ê `iÊÀiV
Ì
i°ÊÊiÊ««ÕÌÊÌʼÛ>Ê LÛi½ÊiÛiÛiiÊÃÌÀÊLiÊ>ÃÊiÀʼ>>ÀÊ `iÀi½ÊÜiiÀÊÕÌ}>>Ì]Ê`ÕÃÊ`>ÌÊ`iÊÃÌÀ ÃÌiÀÌiÃÊ««i]ÊÃÊ}i>iÊÊÌiÊâi°Ê iÌÊÃÌÊÜ>ÌÊiiÀÊiÌiÊ`iâiÊÃÌÀiÊÌiÊ LiÀiiiÊ>ÃÊâiÊ}ÊiÌÊLii`Êâ°Ê >ÌÊ ÃÊ}iÕ}ÊÊ«ÀV«iÊâivÃÊÛÀÊiiÛÕ`}Ê }iÊ`>âÊ`iÊÜiÌÌiÊÛ>Ê ÀV
vv\Ê Û}iÃÊâÊiiÀÃÌiÊÜiÌÊÃÊÊiÊ««ÕÌÊ
`iÊÃÊÛ>Ê`iÊLii`iÊÃÌÀiÊ }iÊ>>Ê`iÊÃÊÛ>Ê`iÊÕÌ}>>`iÊÃÌÀi]Ê iÊÛ}iÃÊâÊÌÜii`iÊÜiÌÊÃÊ`iÊÃÊÛ>Ê `iÊë>}iÊÀ`ÊiiÊ>>ÃÊ}iÊ>>Ê]Ê
iÌ}iiÊLÊÜiiÀÃÌ>`iÊÛ>Ê ΩÊLiÌiiÌÊ `>ÌÊ`iÊÃÊÛ>Ê`iÊÃÌÀiÊÀ`ÊiiÊ>>ÃÊ }iÊ>>ÊÊÃ°Ê >ÌÊi`ÌÊÛÀÊ
iÌÊiÌÜiÀÊÕÌÊ wÊ}ÕÕÀÊÎÊÌÌÊ`iÊÛ}i`iÊÛiÀ}i}i\Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê
«ÕÌÊ!\ÊI !# I !" ) «ÕÌÊ"\ I !" I"$ I"% «ÕÌÊ#\ I !# I#& I#$ «ÕÌÊ$\ÊI#$ I"$ I$% I$& «ÕÌÊ%\ I$% I"% I%& >>ÃÊ!#$" I!# I#$ n I"$ n I!" >>ÃÊ#$& I#& n I$& n I#$ >>ÃÊ"$% I"$ I$% n I"% >>ÃÊ$%& I$& n I%& n I$%
iÊÛiÀ}i}ÊÛÀÊ«ÕÌÊ&ÊÃÊÜi}}i>Ìi\Ê `iâiÊâÕÊi`iÊÌÌÊiiÊ>v
>iÊÃÌiÃi]Ê
iÌ}iiÊâÜiÊÜÃÕ`}Ê>ÃÊiiÌÀÃV
Êii ÛÕ`}ÊÛ>ÌÊÊÌiÊâi°Ê iÊ}iÛ`iÊi}iÊ ÛiÀ}i}iÊLiÛ>ÌÌiÊ«ÀiViÃÊi}iÊLi i`iÊiÊ
iÌÊÃÌiÃiÊÛ>ÌÊ`ÕÃÊÊ«ÀV«iÊ«Ê ÌiÊÃÃi°ÊiÌÊÃÊ}iiÊi]Ê>>ÀÊÜiÊiiÊ ÛiÀÛii`ÊÜiÀiÊ`>ÌÊ`iÊ`}iÊ>ÕÜ}iâiÌ
i`ÊÛiÀiÃÌ]ÊÊ
iÀÕÌÊ`iÊi}iÊLii`iÊ ÃÌÀiÊÌiÊLi«>i]Ê`iÊ`>ÊÌiiÃÊâÛiiÊ ÃÌiÊÛ>Ê) LiÊÌiÊâ°Ê iÃÊ`ÕÃÊ)ÊrÊ !Ê iÊ>iÊÃÌÀiÊâÊ«ÀiViÃÊ`iÊ}i
iiÊ}iÌ> iÊ`iÊÊ`iÊÀiV
Ì
iÊÛ>Ê ÀÊiÊ
iÌÊ ÛiÀ>ÌÊÛ>Ê-«À>}ÕiÊÃÌ>>Ê>>}i}iÛi°Ê ÊÊÊÊ/>]ÊiÊÌiÊ ÀÃ]Ê-Ì
]Ê-ÌiÊiÊ/ÕÌÌiÊ ii>>ÊÌ`iÌÊ
>``iÊ`>ÌÊiÊ`ÕÃÊiÌÊÜ>ÌÊ ÀiiÜiÀÊÕÌÊiÊiiÌÀÃV
ÊiÌÜiÀÊiiÊÛiÀ
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
`i}ÊÊÛiÀ>ÌiÊÊÛ`i]ÊÜ>ÃÊ`iÊÛÀÊ `iÊ
>`Ê}}i`iÊÛ}i`iÊÃÌ>«ÊÊ>iÊ }iiÊiÌÜiÀiÊÌi}iÜÀ`}Ê`ÀÊ ÜÃÕ`}iÊiiÃÌ>Ê}À>viÊ}ii`®ÊÌiÊ Ìiii]Ê`>>ÀÊÃÌÀÊ«ÊÌiÊâiÌÌi]Ê`iÊÛiÀ}i }iÊÕÌÊÌiÊÃV
ÀÛiÊiÊ«ÊÌiÊÃÃi]ÊiÊ >ÃÊÛ>âivÊÌÃÌ>>ÊÊ>iÊÛiÀ`i}iÊÛ>Ê ÀiV
Ì
iiÊÊÛiÀ>Ìi°Ê ÀÃ]Ê-Ì
]Ê -ÌiÊiÊ/ÕÌÌiÊ`i`iÊ`>ÌÊÛÀÊ>iÊiÌÜiÀ iÊiÌÊ£ÎÊvÊ`iÀÊÌ>i]ÊiÌÜiÀiÊ`ÕÃÊ `iÊi`iÊÌÌÊiiÊÛiÀ`i}ÊÊ£ÓÊvÊ`iÀÊ ÛiÀ>ÌiÊiÊâiÊÛ`iÊÌÜiiÊÛiÀ`i}iÊ Û>ÊÀ`i ÊâiÃÊÛ>ÊÀ`iÊ ÓÓÊÛ>ÊÀ`i ÊiÊÈÇÊÛ>ÊÀ`iÊ°ÊiÌÊ}iÊ`Õ`iÊ âÊ`>ÌÊiiÊiÊ>`iÀÊ}>ÊÜ>ÌÊÀiiÜiÀÊ ÛiÀiÃÌi]Ê`iÃÌ`ÃÊ}Êâ`iÀÊV«ÕÌiÀÊiÊ â`iÀÊâ>>«>iÀ]Ê`ÕÃÊ}iÜÊiÌÊ«iÊiÊ «>«iÀÊiÊ}i`Õ`tÊ ÊÊÊÊ/iÊÊ`iÊ>ÀiÊâiÃÌ}Ê`iÊÀiiÀ>V
ÌÊ Û>ÊV«ÕÌiÀÃÊÃiÊÌi>]ÊÀ>>ÌiÊ`iÊ Ã«iÕÀÌV
ÌÊ>>ÀÊÛiÀ>ÌiÊÛ>ÊÛiÀ>ÌiÊÊ iiÊÃÌÀÛiÀÃi}°Ê >>ÀLÊëii`iÊ`iÊ i`iÀ>`ÃiÊÜÃÕ`iÊ° °Ê ÕÜ>«ÊiiÊ Li>}ÀiÊÀ°ÊÊ`iÊÛ}i`iÊ*ÞÌ
>}À>ÃÊ iiÃÊiÊiiÀÊÛiÀÊ ÕÜ>«ÃÊL`À>}iÊ>>Ê `ÌÊÜiÀ°Ê ÌiÀ>ÌÕÕÀ °Ê i
]½4LiÀÊÌ
°Ê>iÊxÇ]Ê««°ÊΣ{ÎÎÓÊ£äή°Ê <°Ê À]ʼ"ÊÀâ>`>V
Ê«ÀÃÌ>ÌÜÊ>ÊÜ>`À>ÌÞ½]Ê *Àâi}>`Ê >Ì°Êâ°ÊÎ]Ê««°Ê£xÓ£xÎÊ£Óx®°Ê ,° °Ê ÀÃ]Ê °° °Ê-Ì
]Ê°°Ê-Ìi]Ê7°/°Ê/ÕÌÌi]ʼ/
iÊ `ÃÃiVÌÊvÊÀiVÌ>}iÃÊÌÊõÕ>Àiý]Ê ÕiÊ >Ì
°Ê°ÊÇ]Ê ««°ÊΣÓÎ{äÊ£{ä®°Ê
°°Ê ÕÜ>«]ʼ"ÊÌ
iÊ`ÃÃiVÌÊvÊÀiVÌ>}iÃÊÌÊõÕ> ÀiÃÊ]ÊÊEʽ]Ê*ÀV°Ê °Ê i`iÀ°Ê>`°Ê7iÌiÃV
°]ÊÃÌiÀ`>Ê {]Ê««°Ê££ÇÈ££nnÊ£{È®ÆÊxä]Ê««°ÊxnÇ£]ÊÇÓÇnÊ£{Ç®°Ê °>ÕLÀV
]ʼ° °Ê ÕÜ>«ÊiÊ`iÊ-µÕ>Ài`Ê-µÕ>Àiý]Ê iÕÜÊ ÀV
ivÊÛÀÊ7ÃÕ`iÊxÉ{ÊÀ°Ê{]Ê««°ÊÎÓ£ÎÓÈÊ`iV°ÊÓääή°Ê
Ó
Problemen door Dion Gijswijt
Knippen en plakken Knip de zespuntige ster in vijf stukken en vorm daarmee een gelijkzijdige driehoek.
Dozen stapelen Hieronder zie je vier gelijke rechthoekige ‘dozen’ die op een ‘zolderkamertje’ zijn gepakt. Wat zijn de afmetingen van een doos?
2
30
Kopieermachine Het vlak is betegeld met vierkante cellen, waarvan er eindig veel bezet zijn, en de rest leeg is. Nu wordt het volgende ‘spel’ gespeeld. Bij elke spelronde veranderen sommige cellen van bezet naar leeg of andersom. De spelregel is, dat een cel in de nieuwe ronde bezet is, precies dan als in de vorige ronde een oneven aantal van zijn vier buurcellen bezet was. Hieronder zie je een voorbeeld van een beginsituatie en de twee erop volgende spelrondes.
Bij een andere beginsituatie ziet het bord er na twee rondes als volgt uit:
Wat was hier de beginsituatie?
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
Wandeling In de onderstaande figuur is het de bedoeling om over de lijntjes van knooppunt naar knooppunt te lopen, waarbij je steeds een horizontale/verticale stap afwisselt met een diagonale stap. Je mag je eigen pad niet doorkruisen. Kun je op deze manier elk van de 36 kruispunten precies eenmaal aandoen? Je mag beginnen en eindigen waar je wilt.
Oplossingen nr. 6
Breukvrije betegeling Een 6 x 6 vierkant heeft geen breukvrije betegeling. Iedere lijn die het vierkant in twee rechthoeken verdeelt, moet in een breukvrije betegeling door minstens één domino worden doorsneden. Omdat beide rechthoeken aan weerszijden van de lijn een even aantal vakjes hebben, moet een even aantal domino’s deze lijn doorsnijden, minstens 2 dus. In zo’n betegeling zijn dus minstens 2 x 10 = 20 domino’s nodig, terwijl er maar 18 in het vierkant passen!
wanneer |MB| maximaal is. Dit is wanneer B op de lijn RM ligt. Er geldt dan |MB| = 18 – 5 = 13 en AB |AB| = 132 52 12 .
R
M
A
B
Getalfabriek Voor iedere n kan Vincent ±n (n of –n) maken. Als n even is, dus als n = 2k, dan maakt hij eerst ±k en ±(k – 1), en daarna n = 2k = = k2 – (k – 1) 2 + 1. Als n oneven is, dus als n = 4k + 1 of n = 4k + 3, gebruikt hij dat n = 4k + 1 = (k + 1) 2 – (k – 1) 2 + 1 en –n = –4k – 3 = k2 – (k + 2) 2 + 1. Via 2006 = = 10032 – 10022 + 1 maakt hij 2006. Cirkels Laat R het punt zijn waar de twee cirkels raken, en M het middelpunt van de kleine cirkel. Als |AB| maximaal is, dan raakt de lijn door AB aan de kleine cirkel (ga na). Er geldt dan: |AB| 2 = |MB| 2 – 52 . Dus |AB| is maximaal
PYTHAGORAS SEPTEMBER 2006
Kop of munt Als je de stoptijden berekent (zoals in het februarinummer van de vorige jaargang), vind je 8 voor Amber (MKK) en 7 voor Benjamin (KKM of KKK). Toch is Amber in het voordeel en wint met kans 34 . In het diagram zie je waarom. Gegeven de laatste drie worpen, geven de pijlen aan wat de uitkomst na een verdere worp is. Na de eerste drie worpen wint Benjamin in 2 gevallen direct. Maar in de overige 6 gevallen zal (vroeg of laat) Amber winnen, omdat ieder pad naar KKM en KKK via MKK loopt.
KKK
KKM
MKK
KMK KMM MKM MMM MMK
31
*OURNAAL 0YTHAGORAS
3EPTEMBER
.UMMER
DOOR !LEX VAN DEN "RANDHOF
0ERELMAN WEIGERT PRESTIGIEUZE PRIJS
ÎÓ
/P AUGUSUTUS WERDEN TIJDENS HET )NTERNA TIONAAL 7ISKUNDIG #ONGRES IN -ADRID DE WINNAARS VAN DE PRESTIGIEUZE &IELDS -EDAL BEKENDGEMAAKT DE 2USSEN !NDREI /KOUNKOV EN 'RIGORI 0ERELMAN DE !USTRALIÑR 4ERENCE 4AO EN DE &RANSMAN 7ENDE LIN 7ERNER $E &IELDS -EDAL WERD IN VOOR HET EERST UITGEREIKT $E TWEEDE UITREIKING VOND PLAATS IN 3INDSDIEN WORDT DE &IELDS -EDAL ELKE VIER JAAR UITGEREIKT AAN TEN HOOGSTE VIER WISKUNDIGEN -ET DE !BELPRIJS DIE SINDS EENMAAL PER JAAR WORDT UITGEREIKT IS HET DE BELANGRIJKSTE PRIJS VOOR WISKUNDIGEN $E VIER WINNAARS WERDEN ENKELE WEKEN VOOR DE UITREIKING BENADERD OM BIJ HET )NTERNATIONAAL 7IS KUNDIG #ONGRES AANWEZIG TE ZIJN 0ERELMAN DIE WE KENNEN VAN ZIJN VERMEENDE BEWIJS VAN HET 0OINCARÏ VERMOEDEN DAT HIJ EIND ALS PREPRINT OP INTERNET ZETTE WE SCHREVEN OVER DIT TOPOLOGISCHE PROBLEEM IN
HET FEBRUARINUMMER VAN DE VORIGE JAARGANG BE DANKTE ECHTER VOOR DE EER EN WAS DAAROM NIET AANWE ZIG BIJ DE FEESTELIJKHEDEN (IJ IS WARS VAN MEDIA AAN DACHT EN HEEFT GEEN INTERESSE IN PRIJZEN $E LAATSTE TIJD BEANTWOORDT HIJ GEEN E MAILS MEER (IJ SCHIJNT ONTSLAG TE HEBBEN GENOMEN BIJ HET ONDERZOEKSINSTI TUUT WAAR HIJ WERKZAAM WAS 6AKGENOTEN HEBBEN IEDER CONTACT MET DE SCHUWE 0ERELMAN VERLOREN $RIE JAAR LANG HEBBEN WISKUNDIGEN ZICH HET HOOFD GEBOGEN OVER 0ERELMANS BEWIJS VAN HET 0OINCARÏ VERMOEDEN )NMIDDELS ZIJN ZE ZOVER DAT ZE 0ERELMAN VOLLEDIG BEGRIJPEN &OUTEN IN ZIJN BEWIJS HEBBEN ZE NIET ONTDEKT )N LOOFDE HET #LAY -ATHEMATICS )NSTITUTE EEN MILJOEN DOLLAR UIT VOOR DEGENE DIE EEN VAN DE ZEVEN MILLENNIUM PROBLEMS WAARONDER HET 0OINCARÏ VERMOEDEN WEET OP TE LOSSEN )N DE REGLE MENTEN STAAT DAT HET MILJOEN PAS TWEE JAAR NA PUBLI CATIE IN EEN VOORAANSTAAND VAKTIJDSCHRIFT KAN WOR DEN UITGEREIKT :OVER IS HET NOG NIET MAAR HET ZOU NIEMAND VERBAZEN ALS DE GENIALE EXCENTRIEKELING HET MILJOEN AAN ZIJN NEUS VOORBIJ LAAT GAAN -EER OVER DE VIER WINNAARS WWWICMORG
PIADE HIJ HOUDT LEZINGEN
*AN VAN DE #RAATS OVER UITEENLOPENDE ONDER WINT .7/ WERPEN IN DE WISKUNDE HIJ HEEFT DIVERSE BOEKEN %UREKAPRIJS 0ROFDR *AN VAN DE #RAATS HEEFT DE .7/ %UREKAPRIJS GEWONNEN 6OOR 0YTHAGO RASLEZERS IS 6AN DE #RAATS GEEN ONBEKENDE $E VORIGE JAARGANG OOGSTTE HIJ VEEL SUCCES MET ZIJN ARTIKELEN OVER ONOPGELOSTE PROBLE MEN IN DE WISKUNDE $AT IS SLECHTS EEN VAN DE VELE BIJDRAGEN DIE HIJ LEVERT AAN POPULARISERING VAN DE WISKUNDE 4OT VORIG JAAR WAS HIJ VOORZITTER VAN DE 3TICHTING .EDER LANDSE 7ISKUNDE /LYM
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈ
OP ZIJN NAAM STAAN HIJ SCHRIJFT MATERIAAL VOOR HET NIEUWE VAK 7ISKUNDE $ EN HIJ ORGANISEERT WEB KLASSEN VOOR MIDDELBARE SCHOLIEREN $E %UREKA PRIJS WORDT JAARLIJKS TOE GEKEND AAN DE PERSOON MET DE BESTE PRESTATIES OP HET GEBIED VAN HET POPULARISEREN VAN WE TENSCHAP EN KENNIS NAAR HET BREDE PUBLIEK $E PRIJS BESTAAT UIT EEN %U REKABEELDJE VAN BEELDEND KUNSTENAAR 2ICHARD DE 6RIJER EN EURO
$OOR DENKER $E OMSLAGEN VAN DE VORIGE JAARGANG VAN 0Y THAGORAS RIEPEN BIJ SOMMIGE LEZERS DE VRAAG OP WAT STELLEN DIE GRILLIG GEVORMDE WITTE VLAKKEN VOOR ,EG DE ZES OMSLAGEN NEER ZOALS HIERBOVEN IS TE ZIEN EN HET RAADSEL IS OPGELOST (ET BEELD $E DENKER VAN 2ODIN LEEK DE REDACTIE EEN MOOIE VERWIJZING NAAR HET JAARTHEMA DAT OPEN PROBLE MEN WAS
0RIEMPALINDROOM %EN PALINDROOM IS EEN WOORD ZIN OF GETAL DAT VAN LINKS NAAR RECHTS GELEZEN HETZELFDE IS ALS VAN RECHTS NAAR LINKS 6OORBEEL DEN ZIJN @MEETSYSTEEM @$E MOOIE ZEEMAN NAM !NNA MEE ZEI OOM %D EN @ 3OMMIGE MENSEN VINDEN HET LEUK OM TE ZOEKEN NAAR PRIEMPALINDROMEN %EN PRIEMPALINDROOM IS EEN PRIEMGE TAL DAT PALINDROOM IS %EN KLEIN PRIEMPALINDROOM IS BIJVOORBEELD )N DE ZOMER VAN WERDEN VIER PRIEMPALINDROMEN GEVONDEN DIE DE TOP VAN GROOTST BEKENDE PRIEMPALINDROMEN HEBBEN GE HAALD q CIJFERS q CIJFERS q CIJERS EN q CIJFERS "RON HTTPPRIMESUTMEDUTOP PAGEPHP ID
"«ÃÃ}i iiÊÌià À°ÊÈ
,iV
Ì
ii Ý Ý ]Ê`ÕÃÊLi
>ÛiÊ ÊLÊÊ>Ê ÕiÊ`iÊÛ}i`iÊ ÀiV
Ì
iiÊ>i\ÊÊLÊ]Ê ÊLÊÊiÊÊL °Ê
*9/",-Ê- */ ,ÊÓääÈÊ
)NTERNATIONALE 7ISKUNDE /LYMPIADE 6AN TOT JULI VOND DE )NTER NATIONALE 7ISKUNDE /LYMPIADE PLAATS IN ,JUBLJANA 3LOVENIÑ %R WAREN DEELNEMERS AFKOMSTIG UIT LANDEN #HINA WON MET EEN TOTAAL AANTAL PUN TEN VAN )N TOTAAL WAREN ER PUNTEN TE VERDIENEN 4WEEDE DERDE VIERDE EN VIJFDE WERDEN ACHTEREENVOL GENS 2USLAND +OREA $UITSLAND EN DE 6ERENIGDE 3TATEN (ET .EDERLANDSE TEAM WIST DIT JAAR HELAAS GEEN MEDAIL LE IN DE WACHT TE SLEPEN 7EL KREGEN VIJF VAN DE ZES .EDERLANDSE DEELNEMERS EEN EERVOLLE VERMELDING WAT OOK EEN MOOIE PRESTATIE IS .EDERLAND EINDIGDE MET PUNTEN OP DE STE PLAATS $E "ELGEN DEDEN HET WAT BETER ZIJ WERDEN STE MET PUNTEN 6AN ALLE DEELNE MERS WAREN ER DRIE DIE ALLE OPGAVEN FOUTLOOS HADDEN GEMAAKT EEN #HI NEES EEN 2US EN EEN -OLDAVIÑR /P GAVEN EN OPLOSSINGEN KUN JE VINDEN OP HTTPIMODMFASI
6>ÃÊ}i` iÊ>ÌÊÛiÀ>>ÌÊ`iÊÜiÊiÌÊiiÊ «>>ÀÊÃV
iiÊÛ>Ê%näÊiÊiiÊLiÌÊ Û>Ê%Óä]ÊÌiÀÜÊ`iÊÛiÀ«iÀÊiÌÊiiÊ Û>ÃÊLÀiviÊÛ>Ê%£ääÊLvÌÊâÌÌiÆÊâÊ ÃV
>`iÊÃÊ`ÕÃÊ%£ää°Ê
"}iiiÀ` iÌÊ}iÌ>ÊÃÊ°Ê
&LATLAND VERlLMD
%DWIN !BBOTT !BBOTT EEN %NGELSE SCHOOLMEES TER EN THEOLOOG WERD BEKEND ALS AUTEUR VAN DE WISKUNDIGE SATIRE &LATLAND !BBOTT LEGT HIER IN OP INFORMELE WIJZE DE MOGELIJK HEID VAN MEERDERE DIMENSIES UIT &LATLAND VOLGT DE AVONTUREN VAN ! 3QUARE DIE OP EEN DAG WORDT BEZOCHT DOOR EEN CIRKEL DIE EI GENLIJK EEN BOL BLIJKT TE ZIJN DIE ALS CIRKEL VERSCHIJNT IN &LATLAND :IJ BELANDEN IN LIJNLAND EN PUNT LAND EN LEREN ZO DAT ER MEER DI MENSIES ZIJN DAN ALLEEN DE TWEE VAN &LATLAND 6AN &LATLAND IS NU EEN ANIMA TIElLM GEMAAKT DIE IN HET NA JAAR VAN UITKOMT %EN TRAI LER VAN DE lLM IS ALVAST TE ZIEN OP WWWmATLANDTHEMOVIECOM
ÎÎ
iÕÀ}iÊ`Ài
ii ii]ÊiÀÊâ>Ê>Ì`ÊiiÊ`Ài
iÊ Û>ÊjjÊiÕÀÊâ°Ê iiÊ«ÕÌÊ]Ê Û>Ê`iÊÊÃÌÕiÊ`iÊÕÌÊ`>ÌÊ«ÕÌÊ ÛiÀÌÀii]ÊâÊiÀÊÃÌiÃÊÊÛ>Ê `iâiv`iÊiÕÀ]Êâi}ÊÀ`°Ê iiÊ`iÊÊ i`«ÕÌiÊÛ>Ê`iâiÊÀ`iÊÃÌÕiÊ iÊiÕÀÊ`iâiÊ`Ài
i°ÊÃÊiiÊÛ>Ê `iÊ`ÀiÊâ`iÊÀ`ÊÃ]ÊÛÀÌÊ `iÊiÌÊ`iÊÌÜiiÊ>`iÀiÊiiÊ À`iÊ`Ài
i°Ê
iÊ>>̶
iÊÛ>Ê`iÊÌÜiiÊÌiÃÌiÊ ¼iiÊÛÀÊii½ÊiÌÊ>ÃÊÌ`ÃÌ«Ê £Ó°xÊÕÕÀ®ÊÜÀ`iÊ}iiâi]Ê`iÊ>`iÀiÊ >Ãʼ>V
ÌiÀÊi>>ÀÊÃÌ>««i½°Ê iÊÌÀiÊÛiÀÌÊ`ÕÃÊÊ££°xÊÕÕÀÊ vÊ£Ó°xÊÕÕÀ°Ê
"«ÊiiÊL Ê-``iLÕÀiÊÜ>ÃÊiiÊL]Ê `iÊ>V
ÌÃÛiÀ
ivÊiÊÜÀÌiÌÀ°Ê iÊLÊ
iivÌÊ>}ÃÊÛiÀÃV
ÀiÊ `iÊÜÀÌiÊÕÌÊâV
âivÊ}iÌÀi]Ê Ü>>À>Ê
Êâ`iÀÊ}iÀivÊ âV
ÊÜiiÀÊÊ
iÌÊÜ>`À>>ÌÊÛiÀ
iv°Ê >>ÀʼÌÊviÌÊÜ>>À`ÀÊ
ÊÛÀÌÊâ>ÊiÛiÊ Ã]Ê`>ÌÊ
Ê>V
ÌiÀ>vÊ}ÊiÛiÊ `iÊ>ÃÃ>Ê`iÊ
iÊ
Õ`}`iÊ iÌÊÛvÊÛiÀi}ÛÕ`}`i° iiÃÊ-Ì«Ê££ÎÓä䣮ÊÉÊ1Ì}iÛiÀÊ ÛiÀÃi
{ÈÃÌiÊ, Ê 1 ,Ê£
