No title

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA

RNDr. Petr Budinský, CSc.

FINANČNÍ MATEMATIKA Budoucí hodnota při různých typech úročení

VŠFS


2



Příklad: Příklad: Uvažujme FV = 100.000 Kč a úrokovou sazbu r = 12 %. Jak se zhodnotí uvedená investice během 3 let.

… …

VŠFS


3

Současná hodnota vypočtená z budoucí hodnoty

VŠFS


4



VŠFS

Příklad: Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: a) jedenkrát ročně


5



VŠFS

Příklad: Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: b) spojitě


6

Výnosové procento (výnos) při pevných peněžních tocích

VŠFS


7

Rovnosti a nerovnosti mezi výnosy

VŠFS


8



VŠFS

Příklad: Příklad: Investujeme částku P = 10.000 Kč na dobu 5 let, přičemž po 5 letech inkasujeme částku FV = 21.000 Kč.


9

Příklad: Příklad: Uvažujme půjčku 1.000.000. Kč na 10 let. Tato půjčka je splácena v pravidelných ročních splátkách (ve stejné výši) tak, aby poskytovala výnos y(1) = 8 % p. a.



1.000.000 = C (1/(1+ y) + 1/(1+ y)2 + ... +1/(1+ y)10) 1.000.000 = C[1C[1-1/(1 + y)10]/y C = 1.000.000 ⋅ 0,08/[1 −1/1,0810 ] = 149.029,49 Kč



VŠFS

Z této splátky bude 80.000 činit splátka úroků a o zbylou částku 69.029,49 Kč se sníží splácená částka zbytková část bude tedy činit 930.970,51 Kč.


10

Tabulka splátek

VŠFS


11

Dluhopisy

VŠFS


12

Součtový vzorec pro cenu dluhopisu

VŠFS


13

Pravidla pro dluhopisy 



VŠFS

Pravidlo 1: 1: Je--li výnos y roven kupónové sazbě c, potom je cena Je dluhopisu P rovna jeho nominální hodnotě FV; FV; je je--li výnos y větší, resp. menší než kupónová sazba c, potom cena dluhopisu P je menší, resp. větší než nominální hodnota FV.

Pravidlo 2: 2: Jestliže cena dluhopisu vzroste, resp. klesne, má to za následek snížení, resp. zvýšení výnosu dluhopisu. Obráceně: pokles, resp. vzestup úrokových sazeb (výnosů) má za následek vzestup, resp. pokles cen dluhopisů FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA

14




VŠFS

Pravidlo 3: 3: Prodává--li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v Prodává případě, že se výnos dluhopisu nezmění, snižuje se výše diskontu, resp. prémie se zkracováním doby do splatnosti dluhopisu. Pravidlo 4: 4: Prodává--li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v Prodává případě, že se výnos dluhopisu nemění, diskont, resp. prémie se snižuje se zvyšující se rychlostí s tím, jak se doba do splatnosti dluhopisu zkracuje.


15




Pravidlo 5: 5: Pokles ve výnosu dluhopisu vede ke zvýšení ceny dluhopisu o částku vyšší než je částka (v absolutní hodnotě) odpovídající snížení ceny dluhopisu stejně velkém vzestupu ve výnosu dluhopisu. Příklad: Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = 1.000 Kč, kupónovou sazbou c = 10 % a výnosem y = 14 %. Výnos Cena Přírůstek

VŠFS

12 %

13 %

14 %

15 %

16 %

927,90 894,48 862,68 832,39 803,54 65,22

31,80

0


-30,29

-59,14

16


VŠFS

Pokračování příkladu: příkladu:


17

Závislost ceny dluhopisu na zbytkové době do splatnosti

VŠFS


18

Oceňování dluhopisu - obecně

VŠFS


19



VŠFS

A + B = 360


20



VŠFS

Příklad: Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = 10.000 Kč vydaný 6. 2. 1998 se splatností 6. 2. 2003 a s kupónovou sazbou C = 14,85 %. Výnos toho to dluhopisu byl y = 7 % ke dni 9. 11. 1999.


21

Citlivost cen dluhopisů na změny ve výnosech



VŠFS

Modifikovaná durace dluhopisu Dmod je kladné číslo, které vyjadřuje, o kolik procent se zvýší, resp. sníží cena dluhopisu, jestliže se výnosy sníží, resp. zvýší o 1 %.


22

Macaulayova durace

VŠFS


23

Macaulayova durace

VŠFS


24



VŠFS

Příklad: Příklad: Parametry dluhopisu jsou následující: FV = 1.000 Kč, n = 5, c = 10 %, y = 14 %.


25

Závislost durace na C, Y a n 

1.



2.

VŠFS


26

Závislost durace na době do splatnosti

n

VŠFS


27

Odhad změny ceny dluhopisu



Příklad:



a)



b)

VŠFS


28

Konvexita dluhopisu



Konvexita je někdy nazývána „zakřivením“ dluhopisu.

VŠFS


29

Výpočet konvexity



VŠFS

CX = 2/y2


30

INVESTIČNÍ MATEMATIKA Rizika při investicích do dluhopisových portfolií

VŠFS


31



VŠFS

Příklad: Příklad: Uvažujme pětiletý bezkupónový dluhopis, který má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje výnos y = 4 %. Do tohoto dluhopisu investujeme a) na 3 roky


32



VŠFS

Příklad b) na 7 let


33

Investiční horizont X Durace 



VŠFS

Investujeme-li do konkrétního dluhopisu a jeInvestujemeje-li náš investiční horizont příliš: krátký - utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů („kapitálová ztráta“ > „vnos z reinvestic“) dlouhý - utrpíme ztrátu při poklesu výnosů („ztráta z reinvestice“ > „kapitálový výnos“) Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci Jedluhopisu, potom je „kapitálová ztráta“, resp. „ztráta z reinvestic“ pokryta „výnosem z reinvestic“, resp. „kapitálovým výnosem“, a to při vzestupu i při poklesu výnosů.


34



VŠFS

Příklad: Uvažujme 8letý dluhopis, který má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč s kupónovou sazbou c = 9,2 % a výnosem y = 9,2 %. Pomocí tohoto dluhopisu budeme postupně investovat na 1 rok, 2 roky, 3 roky, …, 8 let. Budeme tedy postupně předpokládat 8 nákupu uvedeného dluhopisu. Tyto scénáře předpokládají postupně výnosy ve výši 8,4 %, 8,8 %, 9,2 % (nezměněný výnos), 9,6 % a 10 %. Kombinací zvolené investiční strategie s konkrétním scénářem vývoje výnosů dostaneme 40 různých možností. Pro každou z těchto možností vypočteme výnos k příslušnému investičnímu horizontu. Všechny výsledky jsou shrnuty v tabulce s tím, že každá možnost je popsána blokem, který nazveme hnízdem. Cena dluhopisu P = 1.000 Kč.


35

VŠFS


36

VŠFS


37

Durace dluhopisového portfolia

VŠFS


38



VŠFS

Příklad:


39

Změna hodnoty V0 při změně výnosového procenta

VŠFS


40

Konvexita dluhopisového portfolia

VŠFS


41

Vliv konvexity na chování dluhopisových portfolií

VŠFS


42

A…

FVA = 1 000 000 x 1,084 = 1 360 489 V4(A) = 1 000 000 x 1,084 = 1 360 489

Benchmark

B … V4(B) = 500 000 x 1,083 x 1,081 + 500 000 x 1, 085 / 1,08 = 1 360 489 V4+(B) = 500 000 x 1,083 x 1,081 + 500 000 x 1, 085 / 1,08 = 1 360 547 V4-(B) = 500 000 x 1,083 x 1,071 + 500 000 x 1, 085 / 1,07 = 1 360 548 C … V4(C) = 500 000 x 1,082 x 1,082 + 500 000 x 1, 086 / 1,08 2 = 1 360 489 V4+(C) = 500 000 x 1,082 x 1,092 + 500 000 x 1, 086 / 1,09 2 = 1 360 720 V4-(C) = 500 000 x 1,082 x 1,072 + 500 000 x 1, 086 / 1,07 2 = 1 360 724 D … V4(D) = 500 000 x 1,081 x 1,083 + 500 000 x 1, 087 / 1,08 3 = 1 360 489 V4+(D)= 500 000 x 1,081 x 1,093 + 500 000 x 1, 087 / 1,09 3 = 1 361 009 V4-(D) = 500 000 x 1,081 x 1,073 + 500 000 x 1, 087 / 1,07 3 = 1 361 019

V4+ (D) > V4+ (C) > V4+ (B) > V4 (A) V4- (D) > V4- (C) > V4- (B) > V4 (A)

VŠFS


43

SCÉNÁŘE

Změna hodnoty V4 při změně výnosového procenta

VŠFS

A 5% 1 360 489 6% 1 360 489 7% 1 360 489 8% 1 360 489 9% 1 360 489 10% 1 360 489 11% 1 360 489

REALIZOVANÉ VÝNOSY B C 1 361 029 1 362 649 1 360 727 1 361 440 1 360 548 1 360 724 1 360 489 1 360 489 1 360 547 1 360 720 1 360 718 1 361 405 1 361 000 1 362 532


D 1 365 350 1 362 629 1 361 019 1 360 489 1 361 009 1 362 532 1 365 088

44

Portfolio E: 700 000 Kč (n=1) a 300 000 Kč (n=11) n = 1 … FV = 540 000 Kč … D1 = 1 n = 11 … FV = 1 165 819 Kč … D2 = 11

w1 D1 + w2 D2 = w1 + w2 w1 + 11 w1 + w1 = 0,7 ;

DP = IH =1 w2 = 4 w2 = 1 w2 = 0,3

DE = 0,7 x 1 + 0,3 x 11 = 4 CXE (1,082) = 0,7 x 1 x 2 + 0,3 x 11 x 12 = 41

IH = 4 • 1

11 3 7/10

VŠFS

7 3/10


45

BENCHMARK … V4 (A) = 1 360 489 V4 (E) = 700 000 x 1,081 x 1,083 + 300 000 x 1,0811 / 1,087 = 1 360 489 V4+ (E) = 700 000 x 1,081 x 1,093 + 300 000 x 1,0811 / 1,097 = 1 361 688 V4- (E) = 700 000 x 1,081 x 1,073 + 300 000 x 1,0811 / 1,077 = 1 361 741

DA = DB = Dc = DD = DE = 4 CXA < CXB < CXc < CXD < CXE

V4+ (E) > V4+ (D) > V4+ (C) > V4+ (B) > V4+ (A) V4- (E) > V4- (D) > V4- (C) > V4- (B) > V4- (A)

VŠFS


46



Příklad:

Chceme investovat částku 2 800 000 Kč na dobu 5 let, přičemž k dispozici máme dva bezkupónové dluhopisy A, B: A … n = 3, y = 4% B … n = 10, y = 4%

Sestavíme portfolio zajištěné proti úrokovému riziku a vypočteme jeho výnos k investičnímu horizontu za předpokladu, že se výnosy den po nástupu portfolia zvýšily, resp. snížily o 1%. 3wA + 10 wB = 5 wA + wB =1 7wB = 2 5 wA = /7, wB =2/7 A … 2 000 000 Kč B … 800 000 Kč V5 = 2 000 000 x 1,043 x 1,042 + 800 000 x 1,0410 / 1,045 = 3 406 628 Kč V5+=2 000 000 x 1,043 x 1,052+ 800 000 x 1,0410/ 1,055 = 3 408 173 Kč V5-= 2 000 000 x 1,043 x 1,032 + 800 000 x 1,0410/ 1,035 = 3 408 234 Kč

VŠFS


47

Derivátové kontrakty

VŠFS


48

Forwardový kontrakt

VŠFS


49

Opční kontrakt

VŠFS


50

Grafy zisku a ztrát z opcí

VŠFS


51

Portfolia složená z opcí

VŠFS


52

Býčí strategie (Bullish Spread)

VŠFS


53

Medvědí strategie (Bearish Spread) Spread)

VŠFS


54

Motýlí strategie (Butterfly Spread)

VŠFS


55

Strategie kondora (Condor Spread)

VŠFS


56

Dolní V - kombinace opcí put a call (Bottom Straddle)

VŠFS


57

Dolní U - kombinace opcí put a call (Bottom Strangle)

VŠFS


58

Zajištění akcie proti poklesu (Hedging)

VŠFS


59



VŠFS

Příklad:


60

VŠFS


61

Parita put put--call

VŠFS


62



Příklad: Uvažujme 6měsíční call opci s uplatňovací cenou X = 100 Kč na akcii, jejíž cena St = 100 Kč. Cena této opce ct = 10 Kč, úroková míra r = 8 % p.a p.a.. (spojité úročení). Vypočteme „spravedlivou“ cenu put opce se stejnou uplatňovací cenou.

Cena put opce je p = 5 Kč místo ceny vypočtené na základě parity put a call opcí (6,08 Kč). Put opce je tedy nadhodnocena (nebo call opce podhodnocena), což umožňuje realizovat čistý zisk ve výši

VŠFS


63



Dlouhá pozice



Krátká pozice

VŠFS


64

No title

Recommend Documents