1. rész - 10/1. 12, 21, 30, 32 1. rész - 10/2. 19 1. rész - 10/3. 37 569 69 849 71 482 73 295 103 402
16
26
10
100
250
150
3 979 7 458 2 850 3 084 4 002
1. rész - 10/4. 39, 44, 52, 61, 67 63, 69, 76, 84, 93 460, 530, 620, 700, 750 1. rész - 11/5. 9, 18, 32, 72 1. rész - 11/6. 7 1. rész - 11/7. 31 562 33 796 59 468 95 998
12
5
7
3 972 5 672 2 837 6 297
1. rész - 11/8. 70, 63, 57, 48, 44 38, 31, 22, 14, 9 530, 470, 400, 320, 230 1. rész - 11/Kockákkal játszuk 1 1. feladat: 6 négyzet, 8 golyó, 12 pálca 2. feladat: 10 négyzet, 12 golyó, 20 pálca 3. feladat: 18 négyzet, 20 golyó, 36 pálca 4. feladat: a.) 406 négyzet, 408 golyó, 812 pálca b.) 398 négyzet, 400 golyó, 794 pálca 1. rész - 12/9. 1 358 1 394 2 696 2 759
1 754 3 389
5 354 9 689
1. rész - 12/10. 907 1 001
3 565
6 036
1. rész - 12/12.
70
20
50
1 267
1 267
4 195
6 486
1. rész - 12/13. 7 685 7 649 9 346 9 274
7 389 7 289
3 689 1 354
1. rész - 12/14. 2 812 3 507 3 172 4 227
7 712 8 522
2 404 2 944
48/1. 5·7 4 · 12 7·5 6 · 23 10 · 31 48/2. 7·2+7.8 6 · 30 + 6 · 300 48/4. a.) 30-cal b.) 12-vel
c.) 25-tel d.) 324-gyel
e.) 156-tal f.) 2 · 40 = 80-nal
49/5. Ha 6 · 8 = 48, akkor 7 · 8 = (6 · 8) + 8 = 48 + 8 = 56 Ha 11 · 9 = 99, akkor 12 · 9 = (11 · 8) + 9 = 99 + 9 = 56 Ha 14 · 15 = 210, akkor 15 · 15 = (14 · 15) + 15 = 210 + 15 = 225 Ha 14 · 15 = 210, akkor 13 · 15 = (14 · 15) − 15 = 210 − 15 = 195 Ha 30 · 19 = 570, akkor 29 · 19 = (30 · 19) − 19 = 570 − 19 = 551 49/6. 45 2 · 28 = 56
19
49/7. 8-cal 5-tel
247-tel 2 · 240 = 480-nal
49/8. 7 · 7 = 49
12-vel 450-nel
7 · 11 = 77
7 · 12 = 84
49/10. 14-szer 9-szer 6-szor 5-ször 9-szer 49/11. 56 + 7 = 63 96 − 4 = 92 3 600 − 200 = 3400 6 000 − 150 = 5 850 49/12. a.) 24, 36, 60, 92 b.) 54, 66, 72, 90 49/13. 18, 36, 54, 72, 90 50/1. 6 72
20 0
0 63
14 49
36 54
36 56
50/2. 4 6
7 9
9 7
3 6
8 8
5 4
50/3. a.) 1 · 9 3·3 9·1
50/4. 42 16
b.) 1 · 15 3·5 5·3 15 · 1
c.) 1 · 20 2 · 10 4·5 5·4 10 · 2 2 · 10
72 32
56
50/5. 6 · 9 = 5 · 9 + 9 = 45 + 9 = 54 7 · 9 = 5 · 9 + 9 + 9 = 45 + 18 = 63 8 · 9 = 5 · 9 + 9 + 9 + 9 = 45 + 27 = 72
54
51/6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
51/7. 18
10
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 140
14
59/6. 24; 18; 12; 6 60/7. 4; 3; 7; 9; 9 60/8. 6-szor 60/9. A befőttesüvegek száma 56 56 72 72 34 Marci ennyit br egyszerre elvinni 7 8 8 9 6 Ennyiszer kell fordulnia 8 7 9 8 6 60/10. a.) 90 : 15 = 6 b.) 90 : 10 = 9 c.) 90 : 9 = 10 d.) 90 : 6 = 15 60/11. Ugyanaz, mint a 10. feladatban 60/12. Ugyanaz, mint az 10. feladatban 60/13. 13 12
14
12
60/Emlékeztető 60/14 12 8 9 11
6 7
4 19
3 29
2 20
20
200
10
10 000-nél nagyobb számok 84/1. 1 - egy 10 - tz 100 - száz 1 000 - ezer 10 000 - tzezer 100 000 - százezer 1 000 000 - millió 10 000 000 - tzmillió 100 000 000 - százmillió 1 000 000 - ezermillió vagy milliárd 10 000 000 000 - tzezer millió (tzmilliárd) 100 000 000 000 - százezer millió (százmilliárd) 1 000 000 000 000 - billió 84/2. 4478, 4487, 4748, 4784, 4847, 4874, 7448, 7484, 7844, 8447, 8474, 8744 84/3. százezresek 8
tzezresek 3
ezresek 7
százasok 2
7 százezres, 8 tzezres, 2 ezres, 4 százas, 5 tzes, 2 egyes 6 százezres, 7 tzezres, 3 ezres, 5 százas, 2 tzes, 9 egyes 4 százezres, 3 tzezres, 5 ezres, 7 százas, 2 tzes, 8 egyes 9 százezres, 2 tzezres, 1 ezres, 7 százas, 3 tzes, 5 egyes 84/4. 230343 woni 85/5. 10 · 100 000 = 1 000 000 (millió) 100 · 100 000 = 10 000 000 (tzmillió) 1 000 . 100 000 = 100 000 000 (százmillió) 85/6. 1 000 000 000 (ezer millió vagy milliárd) 85/7. 1 000 000 000 000 (billió) 85/8. 1 000 000 (millió) 100 000 000 (százmillió) 1 000 000 000 (milliárd) 10 000 000 000 (tzmilliárd) 1 000 000 000 000 (billió) 85/zöld
tzesek 6
egyesek 4
37 765 765 98 765 832 76 453 213 85 548 327 97 658 543 87 367 564 98 659 321 87/9. 5 003 208 3 milliós, 4 tzezres, 5 tzes, 3 egyes 2 milliós, 2 ezres, 5 százas, 3 tzes 5 tzmilliós, 3 százezres, 2 ezres, 4 egyes 3 ezres, 4 tzezres, 2 tzes, 5 milliós 13 milliós, 4 tzezres, 2 százas, 87/10. a.) 302 604 000 = 3 · 100 000 000 + 0 · 10 000 000 + 2 · 1 000 000 + 6 · 100 000 + 0 · 10 000 + + 4 · 1 000 + 0 · 100 + 0 · 10 + 0 · 1 — hogyan lehet ezt rövidebben lerni? b.) 9 270 008 8 457 564 6 756 987 6 567 271 5 678 542 9 787 532 10 653 786 87/11. a.) 2 374 520 000 b.) 40 800 263 c.) 9 603 080 50 0000 + 70 000 + 600 + 4 87/12. a.) 70 000, 700 000 b.) 50 000 000, 500 000 000 560 870 900 = 500 000 + 6 000 000 + 800 000 + 7 000 + 90 102 340 801 = 10 000 000 + 2 000 000 + 300 000 + 4 000 + 80 + 1 87/13. a.) 100 000 b.) 999 999 c.) 100 000 d.) 999 999
e.) 1 000 000 f.) 9 999 999 g.) 10 000 000 h.) 99 999 999
89/19. 89/20. 270 000 000-val 89/21. USA: 397 063 000 Pakisztán és Indonézia: 344 170 000 + 311 335 000 = 655 505 000 India: 1 572 055 000 90/22. 9 000 000 000 6 800 000 000 7 000 000 000 100 000 000 000 10 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 6 000 000 000
Római számok 1 − Imre 5 − Viktor 10 − Xavér 50 − Lakkos 100 − Cipőjüket 500 − Drágán 1 000 − Megvették 5 000 − V ¯ 10 000 − X ¯ 50 000 − L ¯ 100 000 − C ¯ 500 000 − D ¯ 1 000 000 − M ¯ I, X, C, M - maximum háromszor rhatjuk egymás mellé V, L, D - csak egyszer rhatjuk a számban ha a szám után kisebb vagy egyenlő szám áll, akkor a számokat összeadjuk. Pl. II = 1 + 1 = 2 VI = 5 + 1 = 6, CII = 100 + 1 + 1 = 102 ha a szám után nagyobb szám áll, akkor a nagyobb (jobb oldali) számból kivonjuk a kisebb (bal oldali) számot: Pl. IV = 5 − 1 = 4; IC = 100 − 1 = 99 ezek kombinációja: XCV = 100 − 90 + 5 = 95 CMLXXX = 1000 − 100 + 500 + 10 + 10 + 10 = 980 LXXXIX = 50 + 10 + 10 + 10 − 1 = 89 XXIX = 10 + 10 + (10 − 1) = 29
Természetes számok ábrázolása a számegyenesen Mi a számegyenes? Ábrázold a számegyenesen az alábbi számokat: 1, 2, 3, 4, 5. Milyen hosszúnak kell lennie a számegyenesnek? A számköz legyen 1 cm. 2, 4, 10, 5, 3, 6 23, 24, 25, 26, 27 108, 120, 119, 113, 116 Milyen számok ábrázolásánal használjuk kisebb számközt? Ábrázold az alábbi számokat: 20, 50, 70, 80 70, 200, 80, 60, 90 80, 90, 160, 70, 50 86, 41, 96, 67, 39 120, 230, 570, 320, 870
Természetes számok kerektése Lefelé kerektés Ha lefelé kerektünk tzesekre (százasokra, ezresekre, ...), akkor megkeressük az adott számnál kisebb, vagy vele egyenlő legközelebbi olyan számot, amely egy (kettő, három, ...) nullára végződik (azaz a 10 [100, 1000, ....] többszöröse) 1.) kerektsd az alábbi számokat 10-esekre lefelé: 2 234 234, 678 321, 78 546, 7 870, 784, 78, 5 (2 234 230, 678 320, 78 540, 7 870, 780, 70, 0)
2.) kerektsd az alábbi számokat 100-asokra lefelé: 52 678 324, 6 567 453, 782 567, 89 654, 6 800, 560, 89 (52 678 300, 6 567 400, 782 500, 89 600, 6 800, 500, 0)
3.) kerektsd az alábbi számokat 1 000-esekre lefelé: 678 456 323, 54 678 600, 5 672 456, 568 564, 84 789, 7 000, 786
(678 456 000, 54 678 000, 5 672 000, 568 000, 84 000, 7 000, 0)
4.) kerektsd az alábbi számokat 10 000-esekre lefelé: 7 879 678 621, 890 430 000, 65 678 345, 8 780 700, 898 345, 65 070, 5 060 (7 879 670 000, 890 430 000, 65 670 000, 8 780 000, 890 000, 60 000, 0)
Töltsd ki a táblázatot: 10-esekre lefelé 100-asokra lefelé 1 000-esekre lefelé 10 000-esekre lefelé
2 000 45 700 894 310 3 768 584 2 000
45 700
894 310
3 768 580
2 000
45 700
894 300
3 768 500
2 000
45 000
894 000
3 768 000
0
40 000
890 000
3 760 000
Felfelé kerektés Ha felfelé kerektünk tzesekre (százasokra, ezresekre, ...), akkor megkeressük az adott számnál nagyobb, vagy vele egyenlő legközelebbi olyan számot, amely egy (kettő, három, ...) nullára végződik (azaz a 10 [100, 1000, ....] többszöröse) 1.) kerektsd az alábbi számokat 10-esekre felfelé: 2 234 234, 678 321, 78 546, 7 870, 784, 78, 5 (2 234 240, 678 330, 78 550, 7 870, 790, 80, 10)
2.) kerektsd az alábbi számokat 100-asokra felfelé: 52 678 324, 6 567 453, 782 567, 89 654, 6 800, 560, 89 (52 678 400, 6 567 500, 782 600, 89 700, 6 800, 600, 100)
3.) kerektsd az alábbi számokat 1 000-esekre felfelé: 678 456 323, 54 678 600, 5 672 456, 568 564, 84 789, 7 000, 786 (678 457 000, 54 679 000, 5 673 000, 569 000, 85 000, 7 000, 1 000)
4.) kerektsd az alábbi számokat 10 000-esekre felfelé: 7 879 678 621, 890 430 000, 65 678 345, 8 780 700, 898 345, 65 070, 5 060 (7 879 680 000, 890 430 000, 65 680 000, 8 790 000, 900 000, 70 000, 10 000)
Töltsd ki a táblázatot: 10-esekre felfelé 100-asokra felfelé 1 000-esekre felfelé 10 000-esekre felfelé
2 000 45 700 894 310 3 768 584 2 000
45 700
894 310
3 768 590
2 000
45 700
894 400
3 768 600
2 000
46 000
895 000
3 769 000
10 000
50 000
900 000
3 770 000
Kerektés Ha kerektünk tzesekre (százasokra, ezresekre, ...), akkor megkeressük a legközelebbi olyan számot, amely egy (kettő, három, ...) nullára végződik (azaz a 10 [100, 1000, ....] többszöröse). Ha a szám két tzes (százas, ezres, ...) között pontosan középen van, akkor felfelé kerektünk. 1.) kerektsd az alábbi számokat 10-esekre: 2 234 234, 678 321, 78 546, 7 870, 784, 78, 5 (2 234 230, 678 320, 78 550, 7 870, 780, 80, 10)
2.) kerektsd az alábbi számokat 100-asokra: 52 678 324, 6 567 453, 782 567, 89 654, 6 800, 560, 89 (52 678 300, 6 567 500, 782 600, 89 700, 6 800, 600, 100)
3.) kerektsd az alábbi számokat 1 000-esekre: 678 456 323, 54 678 600, 5 672 456, 568 564, 84 789, 7 000, 786 (678 456 000, 54 679 000, 5 672 000, 569 000, 85 000, 7 000, 1000)
4.) kerektsd az alábbi számokat 10 000-esekre: 7 879 678 621, 890 430 000, 65 678 345, 8 780 700, 898 345, 65 070, 5 060
(7 879 680 000, 890 430 000, 65 680 000, 8 780 000, 900 000, 70 000, 10 000)
Töltsd ki a táblázatot: 2 000 45 700 894 310 3 768 584 2 000 45 700 894 310 3 768 580 10-esekre 2 000 45 700 894 300 3 768 600 100-asokra 2 000 46 000 894 000 3 769 000 1 000-esekre 0 50 000 890 000 3 770 000 10 000-esekre Töltsd ki a táblázatot 10-esekre lefelé 10-esekre felfelé 10-esekre 100-asokra lefelé 100-asokra felfelé 100-asokra 1 000-esekre lefelé 1 000-esekre felfelé 1 000-esekre 10 000-esekre lefelé 10 000-esekre felfelé 10 000-esekre
3 450 000 656 000 67 500 89 670 3 450 000
656 000
67 500
89 670
3 450 000
656 000
67 500
89 670
3 450 000
656 000
67 500
89 670
3 450 000
656 000
67 500
89 600
3 450 000
656 000
67 500
89 700
3 450 000
656 000
67 500
89 700
3 450 000
656 000
67 000
89 000
3 450 000
656 000
68 000
90 000
3 450 000
656 000
68 000
90 000
3 450 000
650 000
60 000
80 000
3 450 000
660 000
70 000
90 000
3 450 000
660 000
70 000
90 000
Összeadással és kivonással kapcsolatos szöveges feladatok I-24/6. I-24/7. 76 + 24 = 100 I-24/8. 81 − 24 + 46 = 103 I-24/9. L + P + S = 25 L = 5 ebből következik, hogy P + S = 20 L 5 5
P S 14 6 13 7
I-24/10. B = 546 − 20 = 526 Sz = 416 + 30 I-24/12. (96 − 28) : 2 = 68 : 2 = 34 I-29/9. 47 − 25 = 22 I-30/10. 37 + 19 = 56 I-30/11. M = 50 T = 50 − 14 = 36 H = 50 + 9 = 59 I-31/12. D = 20 + 21 = 41 I = 41 − 31 = 10 S = 20 I-30/13 P = 580 − 125 = 455 J = 455 − 130 = 325 14. Édesapa fizetése 521 €, és édesanyáé 59 €-val kevesebb. Mennyit keresnek összesen?
15. A mai ebéd elkésztéséhez a szakácsnőknek 50 kg lisztet, 6 kg répát, 2 kg hagymát, 123 kg krumplit és 87 kg húst kell elhozniuk a raktárból. Erre a célra van egy kocsijuk, ami egyszerre 250 kg-ot képes elvinni. El tudják hozni az alapanyagokat egyszerre? 16. Éva néni egy kabátot vett Pozsonyban 79 €-ért. Édesanyának nagyon megtetszett ez a kabát, és amikor néhány hét múlva Pozsonyban volt iskolázáson, akciósan ő is megvette a kabátot 39 €-ért. Mennyit spórolt meg? 17. Tamás 73 € értékben és Laura 54 € értékben kaptak ajándékokat. Mennyibe kerültek az ajándékok összesen? 18. Kati 14 €-ért vonalzót és 17 €-ért körzőt vett. Mennyibe kerültek ezek a szerkesztési segédeszközök együtt? 19. Szlovákia legmagasabb pontja a Gerlachovský štt 2 655 m magas, ami 612 m-rel magasabb, mint Alacsony-Tátra legmagasabb pontja, a Ďumbier. Milyen magas a Ďumbier? 20. Szlovákia Közép-Európában fekszik, és a legközelebb az Adriai-tengerhez van, ahonnét légvonalban a távolság 361 km. A Fekete-tengertől való légvonalbeli távolsága 325 km-rel több. Mekkora a légvonalbeli távolsága a Fekete.tengertől? 21. Szlovákiában a legtöbbet Ógyallán süt a nap, évente 2190 órát. Legkevesebbet Trstená - Ústie nad priehradom városában süt, fele annyit időt, mint Ógyallán. Mennyit süt a nap Trstená-n. 22. Mekkora Szlovákia három legmagasabb pontjának összmagassága, ha a Gerlachovský štt 2655 m magas, ami 21 m-rel magasabb, mint a Lomnický štt, ill. 25 m-rel magasabb, mint a Zadný Gerlach? 23. Szlovákia legmagasabb pontja a Gerlachovský štt, ami 2655 m magas, és a legalacsonyabb pontja az a hely, ahol a Bodrog folyó elhagyja Szlovákiát, ami 94 m magasan fekszik. Mekkora a két pont közötti szintkülönbség? 24. Mekkora Szlovákia három leghosszabb folyójának összhosszúsága, ha a Váh a Fekete-Vág mellékágával együtt 403 km, a Garam a Vágnál 105 km-rel rövidebb, és az Ipoly a Vágnál 171 km-rel rövidebb? 25.
Mekkora Szlovákia legmagasabban fekvő tavának, a Modré pleso-nak a tengerszint feletti magassága, ha csak 463 m-rel fekszik lejjeb, mint Szlovákia legmagasabb pontjának, a Gerlachovský štt-nek a magassága? 26. A legtarkább karsztvölgy a Prosiecka dolina, melyet 1967-ben nyilvántottak védetté. 28 évvel később nemzeti természeti rezervátummá nyilvántották. Ez melyik évben volt? 27. Az útkereszteződésen 1 óra alatt 42 teherautó és 23-mal több személyautó haladt át. A következő órában az áthaladó személyautók száma 13-mal több, és a teherautók száma 9cel kevesebb volt, mint az előző órában. Hány autó haladt át az útkereszteződésen 2 óra alatt? 28. A Nezábudkovo falu lakossága 10 évvel ezelőtt 2346 fő volt. 10 év alatt a falu lakossága 234 fővel gyarapodott, de 183 lakos elköltözött vagy meghalt. Mekkor a falu jelenlegi lakossága? 29. A Duna teljes hossza 2857 km. Ebből Szlovákiában 172 km folyik. Mennyi folyik a többi országban? 30. Szlovákia országhatára Magyarországgal 678 km. Legrövidebb határa Ukrajnával van, 98 km a hossza. Mennyivel több a határ Magyarországgal mint Ukrajnával?
Szorzás fejben a százas számkörben I.-56/4. 5 · 13 = (5 · 10) + (5 · 3) = 50 + 15 = 65 4 · 14 = (4 · 10) + (4 · 4) = 40 + 16 = 56 5 · 14 = 50 + 20 = 70 3 · 23 = 69 84 78 93 96 84 I.-56/6. 65; 96 I.-56/7. 36 69 56 84 70 78
93 96 84
I.-57/8. 68 92 72 84 96 91
94 48 96
76 42 95
Oszthatósági szabályok Oszthatóság 10-zel
Végezzük el az osztást: a.) 5 680 : 10 b.) 8 560 : 10 c.) 85 957 : 10 d.) 75 456 : 10 e.) 256 890 : 10 f.) 7 568 250 : 10 Egy szám akkor osztható 10-zel, ha utolsó számjegye 0 (0-ra végződik) Mikor nem osztható a szám 10-zel? Mely számok oszthatók 10-zel?: 54, 8, 60, 560, 5 895, 85 620, 895 205, 5 236 210, 100, 8 900, 5 020, 89 560 502, 895 203 500, 4 569 256 120 Milyen számot kell rni a téglalap helyére, hogy a szám osztható legyen 10-zel? 50 12 8 96 58 63 874 50 1 565 0 58 650 0 0
Oszthatóság 5-tel Végezzük el az osztást: a.) 5 680 : 5 b.) 8 568 : 5 c.) 85 955 : 5 d.) 75 452 : 5 e.) 256 890 : 5 f.) 7 568 257 : 5 g.) 15 342 415 : 5 h.) 895 241 560 : 5 Egy szám akkor osztható 5-tel, ha utolsó számjegye 0 vagy 0 (0-ra vagy 5-re végződik) Miért van az, hogy a 0-ra végződő számok oszthatók 5-vel és 10-zel is? Mikor nem osztható a szám 5-vel? Mely számok oszthatók 5-tel?: 55, 8, 60, 560, 5 895, 85 620, 895 205, 5 236 210, 100, 8 900, 5 020, 89 560 502, 895 203 500, 4 569 256 120 Milyen számot kell rni a téglalap helyére, hogy a szám osztható legyen 2-vel? 50 12 8 96 58 63 874 55 1 565 0 58 650 0 5
Oszthatóság 2-vel Végezzük el az osztást: a.) 5 684 : 2 b.) 8 568 : 2 c.) 85 955 : 2 d.) 75 452 : 2 e.) 256 896 : 2 f.) 7 568 257 : 2 g.) 15 342 410 : 2 h.) 895 241 569 : 2 Egy szám akkor osztható 2-zel, ha páros (utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 0 [0-ra, 2-re, 4-re, 6-ra vagy 8-ra végződik]) Miért van az, hogy a 0-ra végződő számok oszthatók 2-vel, 5-tel és 10-zel is? Mikor nem osztható a szám 2-vel? Mely számok oszthatók 10-zel?: 54, 8, 60, 560, 5 895, 85 620, 895 205, 5 236 210, 100, 8 900, 5 020, 89 560 502, 895 203 500, 4 569 256 120 Milyen számot kell rni a téglalap helyére, hogy a szám osztható legyen 2-vel? 50 12 8 96 58 63 874 54 1 565 2 58 650 0 6
Oszthatóság 3-mal Végezzük el az osztást: a.) 5 684 : 3 b.) 8 568 : 3 c.) 85 955 : 3 d.) 75 453 : 3 e.) 256 896 : 3 f.) 7 568 257 : 3 g.) 15 342 410 : 3 h.) 895 241 569 : 3 8 . 1000 + 5 . 100 + 6 . 10 + 8 . 1 = 8 . (999 + 1) + 5 . (99 + 1) + 6 . (9 + 1) + 8 = = 8 . 999 + 8 . 1 + 5 . 99 + 5 . 1 + 6 . 9 + 6 . 1 + 8 . 1 = = 8 . 999 + 5 . 99 + 6 . 9 + 8 + 5 + 6 + 8 Egy szám akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege is osztható 3-mal Mikor nem osztható a szám 3-mal? Mely számok oszthatók 3-mal?: 54, 8, 60, 560, 5 895, 85 620, 895 205, 5 236 210, 100, 8 900, 5 020, 89 560 502, 895 203 500, 4 569 256 120 Milyen számot kell rni a téglalap helyére, hogy a szám osztható legyen 3-mal? 50 12 8 96 58 63 874 54 1 565 2 58 650 0 6
Oszthatóság 9-cel Végezzük el az osztást: a.) 234 : 9 b.) 123 : 9 c.) 5 265 : 9 d.) 75 453 : 9 e.) 256 896 : 9 f.) 7 568 257 : 9 g.) 15 342 410 : 9 h.) 895 241 569 : 9 8 . 1000 + 5 . 100 + 6 . 10 + 8 . 1 = 8 . (999 + 1) + 5 . (99 + 1) + 6 . (9 + 1) + 8 = = 8 . 999 + 8 . 1 + 5 . 99 + 5 . 1 + 6 . 9 + 6 . 1 + 8 . 1 = = 8 . 999 + 5 . 99 + 6 . 9 + 8 + 5 + 6 + 8 Egy szám akkor osztható 9-cel, ha számjegyeinek összege is osztható 9-cel Mikor nem osztható a szám 9-cel? Mely számok oszthatók 9-cel?: 54, 8, 60, 560, 5 895, 85 620, 895 205, 5 236 210, 100, 8 900, 5 020, 89 560 502, 895 203 500, 4 569 256 120 Milyen számot kell rni a téglalap helyére, hogy a szám osztható legyen 9-cel? 50 12 8 96 58 63 874 54 1 565 2 58 650 0 6
Háromszög (Trojuholnk) A háromszög csúcsai (vrcholy) (A, B, C) A háromszög oldalai (strany) (a = BC = CB, b = AC = CA, c = AB = BA) szemközti csúccsal szembeni oldal A háromszög szögei (uhly) (α = CAB ī = BAC ī; β = ABC ī = CAB ī; γ = BCA ī = ACB ī) Rajzoljunk háromszöget Oldalai szerint: általános (Rôznostranný t.) egyenlő szárú (rovnoramenný t.) egyenlő oldalú (rovnostranný t.) Egy háromszög akkor szerkeszthető meg, ha bármelyik két oldal hosszának összege nagyobb, mint a harmadik oldal. (Bizonytás) Az általános háromszög kerülete: a + b + c Az egyenlő szárú háromszög kerülete: 2 ∙ a + c Az egyenlő oldalú háromszög kerülete: 3 ∙ a
Kisbetű: α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω Kisbetű: α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω
A görög ábécé betűi Nagybetű: Kiejtés: A alfa B béta gamma Γ delta Δ E epszilon Z dzéta H éta théta Θ I iota K kappa lambda Λ M mű N nű Ξ O
ksz omikron
Π P
p ró szigma tau ipszilon
Σ T Y f Φ ch X psz Ψ omega Ω A görög ábécé betűi Nagybetű: Kiejtés: A alfa B béta gamma Γ delta Δ E epszilon Z dzéta H éta théta Θ I iota K kappa lambda Λ M mű N nű Ξ O
ksz omikron
Π P
p ró szigma tau ipszilon
Σ T Y Φ X Ψ Ω
f ch psz omega
Kisbetű: α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω Kisbetű: α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω
A görög ábécé betűi Nagybetű: Kiejtés: A alfa B béta gamma Γ delta Δ E epszilon Z dzéta H éta théta Θ I iota K kappa lambda Λ M mű N nű Ξ O
ksz omikron
Π P
p ró szigma tau ipszilon
Σ T Y f Φ ch X psz Ψ omega Ω A görög ábécé betűi Nagybetű: Kiejtés: A alfa B béta gamma Γ delta Δ E epszilon Z dzéta H éta théta Θ I iota K kappa lambda Λ M mű N nű Ξ O
ksz omikron
Π P
p ró szigma tau ipszilon
Σ T Y Φ X Ψ Ω
f ch psz omega
Négyszög A négyszög olyan sokszög, melynek négy oldala és négy csúcsa van. A négyszögek felosztása: 1.) paralelogrammák – olyan négyszögek, melyeknek szemközti oldalai párhuzamosak egymással és egyforma hosszúak. Lehetnek: a.) romboidok – az egymás melletti oldalak nem egyenlők b.) rombuszok – mind a négy oldal egyforma hosszú c.) téglalapok – az egymás melletti oldalak nem egyenlők és merőlegesek egymásra d.) négyzetek – mind a négy oldal egyforma hosszú, és az oldalak merőlegesek egymásra 2.) trapézok – két szemközti oldal párhuzamos egymással, a másik két oldal nem 3.) deltoid – két-két egymás melletti oldal azonos hosszúságú
Rajzoljuk: a.) romboidot (a = 4 cm; b = 6 cm) b.) rombuszt (a = 6 cm) c.) téglalapot (a = 3 cm; b = 4 cm) d.) négyzetet (a = 4 cm) e.) trapézt (a = 7 cm; b = 4 cm; c = 5 cm) f.) deltoidot (a = 5 cm; d = 3 cm)
A háromszög kerülete A háromszög kerülete egyenlő a három oldal hosszának összegével. k = a + b + c. Jópont: Hogyan lehet kiszámtani rövidebben az egyenlő oldalú háromszög kerületét? Hogyan lehet kiszámtani rövidebben az egyenlő szárú háromszög kerületét? 1.) Számtsd ki az ABC háromszög a oldalának hosszát, ha a kerülete 15 cm, b = 4 cm; c = 6 cm 2.) Számtsd ki az DEF háromszög e oldalának hosszát, ha a kerülete 60 cm, d = 1 dm; f = 300 mm 3.) Számtsd ki az GHI egyenlő oldalú háromszög oldalainak hosszát, ha a kerülete 9 dm 4.) Számtsd ki az LMN egyenlő szárú háromszög alapjának hosszát, ha a kerülete 8 m, és szárainak hossza 30 dm. 5.) Számtsd ki az OPQ egyenlő szárú háromszög szárainak hosszát, ha a kerülete 16 dm, és alapjának hossza 500 mm.
A négyszög kerülete A négyszög kerülete egyenlő a négy oldal hosszának összegével. k = a + b + c + d. Négyzet és rombusz: k = 4 . a Téglalap, romboid és deltoid: k = 2 . a + 2 . b = 2 . (a + b) 1.) Számtsd ki az ABCD négyszög kerületét, ha a = 2000 mm, b = 300 cm, c = 40 m, d=5m 2.) Számtsd ki az EFGH téglalap (romboid, deltoid) kerületét, ha e = 200 cm, f = 50 dm 3.) Számtsd ki az LMNO négyzet (rombusz) kerületét, ha oldalának hossza 30 cm 4.) Számtsd ki a PQRS négyszög s oldalának hosszát, ha a kerülete 1000 mm, p = 200 cm, q = 30 dm, r = 4 m 5.) Számtsd ki a TUVW téglalap (romboid, deltoid) másik oldalának hosszát, ha kerülete 22 dm, t = 50 cm. 6.) Számtsd ki a WXYZ négyzet (rombusz) oldalának hosszát, ha a kerülete 24 cm.
Bonyolultabb alakzatok kerülete
Szöveges feladatok a négyszögek kerületére 1.) Egy hatemeletes házban minden emeleten két lakás található. A lakások 3 szobásak. Ez egyik szoba szélessége 5 m hosszúsága 3 m, a másik szoba méretei 4 m × 50 dm, a harmadik szoba méretei 500 cm × 200 cm. Az összes emeleten minden lakásban ki szeretnék festeni a falakat. Ahhoz hogy kifessük, szükségünk van ragasztószalagra, a padló leragasztására. Mennyibe fog kerülni a ragasztószalag, ha egy tekercs 50 m-re elegendő, és egy tekercs ára 2 €. [24 €] 2.) Egy újonnan épült 100 emeletes felhőkarcolón minden emeleten 30 ablak van. Az ablakok méretei 5 m × 6 m. Ezeket az ablakokat le kell szigetelni a hideg ellen. Egy szigetelőszalag-tekercsen 20 m szigetelőszalag található. Egy tekercs ára 12 €. Mennyibe fog kerülni a szigetelés, ha egy ablakot 2 munkás 1 óra alatt szigeteli le, és 200 munkás dolgozik a szigetelésen. A szigetelő munkás órabére 35 €. [606 000 €]
Statisztika A statisztika feladata összegyűjteni bizonyos adatokat (pl. az országok lakossága, kinek milyen jegyei vannak matematikából, ki hol született) és ezeket aztán értékelni. Félévi dolgozat. Gyakoriság. Kinek hány testvére van Ki milyen faluból van Grafikon, átlag, medián, módusz
Halmazok A halmaz azonos tulajdonságú dolgok összessége. A halmazban található dolgokat a halmaz elemeinek nevezzük. Halmaz lehet olyan dolgok összessége is, amelyeknek nem sok közük van egymáshoz. A halmazokat nagybetűvel jelöljük. Ha a halmazok elemeit is fel szeretnénk sorolni, akkor a jelölése után runk egy egyenlőségjelet, és a halmaz elemeit zárójelben adjuk meg. A = {1; 2; 3} B = (5; 10) C = 〈5; 10〉 D = 〈5; 10) E = (5; 10〉
minden elemét külön soroljuk fel 5-től nagyobb és 10-nél kisebb számok 5-től 10-ig terjedő számok 5-től terjedő számok, amik kisebbek 10-nél 5-től nagyobb számok, amik tzig terjednek
Ha azt szeretnénk megadni, hogy egy bizonyos dolog beletartozik-e a halmazba, a következőképp jelöljük. 2 ∈ A; 6 ∈ B 5 í B; 12 í C
a 2 beletartozik az A halmazba; a 6 beletartozik a B halmazba az 5 nem tartozik bele az A halmazba; a 12 nem tartozik bele a C halmazba
1. p.) Válaszd ki az alább felsoroltak közül, melyik esetben van szó halmazról, és a halmazok esetén döntsd el, hogy mely elemek tartoznak a halmazba. A = {kék; sárga; piros; zöld; fekete} B = {ikes igék} C = {a világ legjobb gitárosai} D = {páratlan természetes számok} E = {a jövő héten kihúzott lottószámok} Megoldás: Az A megadás valóban halmazt jelöl, hiszen egyértelműen eldönthető, mi tartozik bele, és mi nem. Ez rendszerint gy van, ha az elemeket felsoroljuk, hiszen az lesz eleme a halmaznak, amit ott van a felsorolásban. Ennek a halmaznak elemei sznek. Nem eleme a halmaznak a piros labda, de a fehér szn sem. A B jelű megadás is halmazt jelöl. Igaz, itt nem soroltuk fel a halmaz elemeit, de aki tudja a magyar nyelvtant, felismeri, hogy e halmaznak eleme a „fésülködik” szó, de nem eleme a „mos” ige. C-ben nem halmazt adtunk meg. Sokan úgy gondolják, egyértelműen el tudják dönteni, hogy kik azok, akik beletartoznak a halmazba, de még a halmazba tartozó gitárosok számában sem lenne egyezés köztük. Ha egy halmazt úgy akar megadni valaki, hogy szubjektv tényezők is szerepelnek a meghatározásban, akkor az nem vezet sikerre. D-ről mindenki érzi, hogy ez a korrekt meghatározás halmazt ad meg. Itt pár szóval olyan halmazt rtunk le, amelynek elemeit nem tudtuk volna felsorolni, bármennyire is igyekszünk, ugyanis végtelen sok eleme van. Az E megadás nem halmaz, hiszen ha ismernénk az elemeit, akkor a jövőbe látnánk.
A matematikában főleg számhalmazokkal fogunk dolgozni. Sokfajta számhalmaz van, de mi csak egyenlőre csak egy számhalmazt fogunk használni: N – természetes számok halmaza (natura - természet), elemei 1-től ∞-ig. N = 〈1; ∞) N0 – természetes számok halmaza, amibe beletartozik a 0 is, N0 = 〈0; ∞)
Két halmazt akkor tekintünk egyenlőnek, ha ugyanazok az elemei. (Az elemek megadásának sorrendje lényegtelen.) 2. p. Döntsd el, hogy az alább felsorolt halmazok közül vannak-e egyenlőek? A = {2; 5; -4} B = {a 6 osztói, kivéve az 1-est és önmagát} C = {A 0-nál kisebb természetes számok} D = {y ∈ N; 2 < y ≤ 5} E = {2; 3} F = {A 18 osztói, kivéve az 1-est és önmagát és 3 többszöröseit} G = {3; 4; 5} H = {z ∈ N; -4 < x ≤ -2} Megoldás: Tudjuk, hogy két halmaz akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemei. Ezért az első lépésben vizsgáljuk meg azokat a halmazokat, amelyek nem elemeikkel vannak megadva. Mivel a 6 osztói a következő számok: 1, 2, 3, 6, ezek közül csak a 2 és 3 prmszámok, ezért B = {2; 3} A C halmazba egyetlen szám sem tartozik. Ilyen halmaz is van, üres halmaznak nevezzük és gy jelöljük: {} vagy ħ C = {} A 18 osztói 1, 2, 3, 6, 9, 18, ezek közül csak a 2 és 3 prmszámok, tehát F = {2; 3} A H halmazban megadott meghatározásnak nincs megoldása, gy Most tekintsük át, mely halmazoknak ugyanazok az elemei: B=E=F C= H, mert mindkettő üres halmaz.
Ha a számok egy olyan részéről akarunk beszélni, amelyek a számegyenes egy bizonyos darabján helyezkednek el, intervallumról beszélünk. A számegyenes egy-egy részét eddig is meg tudtuk adni egyenlőtlenségek segtségével, most egy más jelöléssel és elnevezéssel ismerkedünk meg. Ha azokról a számokról akarunk beszélni, amelyek nagyobbak, mint 2, de kisebbek, mint 10, azt eddig gy jelöltük: 2 < x < 10 Ezek a számok a számegyenesen gy helyezkednek el 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Új jelölésük: (2; 10) nylt intervallum, és azért mondjuk nyltnak, mert a „végei” nem tartoznak bele. Ha az intervallum jelölést használva a 2 ≤ x ≤ 10 egyenlőtlenségnek megfelelő számokat akarjuk lerni, akkor az ilyen lesz: 〈2; 10〉 zárt intervallum, és azért mondjuk zártnak, mert a „végei” is beletartoznak. Ezt a számegyenesen gy jelöljük: 2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Beszélhetünk félig nylt (avagy félig zárt) intervallumról is. Az alábbi példák ezt mutatják: A 2 ≤ x < 10 megfelelője 〈2; 10), vagy
Részhalmazok Bizonyára mindenkinek ismerős a következő mondat: Nem minden rovar bogár, de minden bogár rovar. Szemléltessük.
Minden bogár rovar, ezért a bogarak halmazának minden eleme egyben eleme a rovarok halmazának is. Azt mondjuk, a bogarak halmaza részhalmaza a rovarokének, és gy jelöljük: B⊆R Egy A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha minden A-beli elem a B halmaznak is eleme. Mondjunk további példákat a részhalmazokra: tulipánok ⊆ virágok; autók ⊆ járművek; billentyűzetek ⊆ számtógépes eszközök Pl. Adjuk meg az A = {a; b; c; d} halmaz összes részhalmazát! 4-elemű részhalmaz csak 1 lehet: {a; b; c; d} 3-elemű részhalmazok: {a; b; c}; {a; b; d}; {a; c; d}; {b; c; d} 2-elemű részhalmazok: {a; b}; {a; c}; {a; d}; {b; c}; {b; d}; {c; d} 1-elemű részhalmazok: {a}; {b}; {c}; {d} 0-elemű részhalmaz: {} A fenti példa alapján kimondhatjuk, hogy Minden halmaz részhalmaza önmagának. Minden halmaznak részhalmaza az üres halmaz.
Indokolt olyan részhalmaz fogalmának bevezetése, ami nem azonos az eredeti halmazzal: Egy A halmaz valódi részhalmazának nevezzük azt a B halmazt, amelynek minden eleme eleme A halmaznak is, de van A-nak olyan eleme, amely nem eleme B-nek. Jelölése: A ⊂ B. Például ilyen volt a bevezetőben szereplő {bogarak} ⊂ {rovarok}, mert a hangya rovar, de nem bogár. Pl. Húzz nyilakat a halmazok betűjelei közé úgy, hogy ha A halmaz részhalmaza B-nek, akkor B-ből A felé mutasson a nyl. Ha A ⊂ B, akkor B → A. Könnytésül egy nyilat behúztam. A = {2; 4; 6; 8; 10} B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} C = {7; 9; 11} D = {6; 8} E = {9; 11} F = {7; 11} G = {6} H = {}
Megoldás:
Pl. Valaki a K, L, M és N halmazokról a következő ábrát rajzolta: a.) Ha van olyan nyl, ami biztosan hiányzik, akkor azt pótold b.) Adj meg négy ilyen halmazt! c.) Készts megfelelő Venn-diagrammot! Megoldás:
K = {1; 2; 3; 4} L = {1; 2; 3} M = {2; 3} N = {3}
K = {iskolánk tanulói} L = {az 5. évfolyam tanulói} M = {az 5. a osztály tanulói} N = {az 5. a osztály lány tanulói}
K = {állatok} L = {emlősök} M = {kutyák} N = {pulik}
Pl. Valaki P, S és T halmazokról ezt az ábrát késztette: Adj meg 3 ilyen halmazt! Megoldás: Ilyen halmazhármas csak akkor létezik, ha P = S = T Pl.: A pénztárcámban minden paprpénzből van egy-egy darab (5 €, 10 €, 20 €, 50 €, 100 €, 200 €, 500 €). Ezekből valamelyiket odaadva, hány különböző összeget tudok velük pontosan kifizetni? (Azaz nem kaphatok vissza pénzt) Megoldás: Tekintsük a pénzeket egy 7-elemű halmaz elemeinek. Az egyes kifizetéseket ennek részhalmazainak tekinthetjük. 127-féle összeget tudok kifizetni Pl.: Tudom, hogy A = {7; 8; 9; 10; 11}, B ⊂ A és B kételemű halmaz. Mi lehet a B halmaz? Megoldás: B = {7; 8}; B = {7; 9}; B = {7; 10}; B = {7; 11}; B = {8; 9}; B = {8; 10}; B = {8; 11}; B = {9; 10}; B = {9; 11}; B = {10; 11}
Halmazok metszete, uniója 1. pl. Milyen közös elemei vannak az A = 〈2; 10〉 és B = 〈5; 15〉 Két vagy több halmaz metszetének nevezzük azt a halmazt, melyek mindkét halmaznak elemei. Jelölése: A ∩ B
Szélkerék
1. pl.: Egy ökofaluban 65 család él. 40 családnak van napeleme a házuk tetején, 30-nál kis szélkerék felhasználásával csökkentik a vezetékes áram szükségletüket. 15 családnak nincs sem szélkereke, sem napeleme. Hogyan lehetséges ez? Napelem Van Nincs Összesen Van 20 20 40 Nincs 10 15 25 Összesen 30 35 65
3. pl.: Egy pékmester megsütött 250 kakaóscsigát, 100 túróstáskát és 100 dióskiflit. Mivel 25 éves érettségi találkozójára készülődött, kivételesen 20 éves fiára bízta az árusítást, csak másnap reggel kereste fel újra az üzletet. Félt, hogy kecskére bízta a káposztát, hiszen tudta, hogy fia (barátaival együtt) szívesen csemegézik a potya finomságokból. A pénztárgépbe vásárlónként ütötték be a fizetendő összegeket. Egy kakaóscsiga 110 Ft, egy túróstáska 120 Ft, egy dióskifli pedig 140 Ftba került. A pénztárgépben összesen 269 tétel szerepelt, közte 22 tételben volt 300 Ft-nál nagyobb összeg, 138 tételen szerepelt 120Ft-nál kisebb összeg, 150 Ft-nál kisebb összeg pedig 177 volt a szalagon. Megszámolták még, hogy 21 számla 120 Ft-ot, 30 számla 250 Ft-ot, 10 pedig 260 Ft-ot mutat. A pék fia úgy emlékezett, nem volt olyan vevő, aki ugyanabból a termékből egynél többet vásárolt volna, a kosarakban pedig csak 10-10 sütemény maradt minden fajtából. Hány darabot adtak el az egyes süteményekből? Hány sütemény fogyott el a pék fia és barátai jóvoltából?
Megoldás: Először szabaduljunk meg a fölösleges adatoktól és információktól. Ilyen most a pék fiának életkora, és az érettségi találkozó. Ahhoz, hogy válaszolni tudjunk a feltett kérdésekre, érdemes egy Venn-diagramot rajzolni, melybe berjuk az információkat. Legyen K a kakaóscsigát, T a túrósbuktát, D a dióskiflit vásárlók halmaza. 120 Ft-nál kisebb összeg csak a kakaóscsiga ára lehet, tehát csak kakaóscsigát 138-an vásároltak.
120 Ft-os számla túróstáskát jelenthet, tehát beírhatjuk, a halmazábrába, hogy csak túróstáskát 21 ember vásárolt. 250 Ft-os számla csak úgy keletkezhetett, mint 110 és 140 Ft összege, tehát kakaóscsiga és dióskifli vásárlásából. 260 Ft-os számla csak úgy keletkezhetett, mint 120 és 140 Ft összege, tehát túróstáska és dióskifli vásárlásából. 300 Ft-nál nagyobb összeg csak úgy keletkezhetett, hogy három különböző süteményre költötték (ha a pék fia jól emlékezett), tehát mindhárom süteményből 22-en vásároltak egyet-egyet. 150 Ft-nál kisebb összeg azok számát mutatja, akik pontosan 1 süteményt vásároltak. Mivel tudjuk, hogy csak kakaósból és csak túrósból 138+21 fogyott, így csak diósból 177-(138+21)=18an vásároltak. A halmazábránkat már majdnem teljesen kitöltöttük. Már csak azt nem tudjuk, hogy hányan voltak azok, akik kakaóscsigát és túróstáskát vásároltak. Ezt viszont megkaphatjuk, ha az összes tételből levonjuk a beírtak összegét: 269-(138+21+30+22+10+18)=269-239=30. Ha ezt is beírtuk az ábrába, már csak meg kell nézni az egyes halmazok számosságát: Maradnia kellett volna 30 kakaóscsigának, 17 túróstáskának és 20 dióskiflinek. De csak 10-10 maradt, tehát a fiúk megettek 20 kakaóscsigát, 7 túróstáskát és 10 dióskiflit. Két halmaz, A és B uniójának (egyesítésének) nevezzük azt a halmazt, amelynek elemei legalább az egyik halmaznak elemei. Jelölése: A ∪ B Pl.: Add meg az A és B halmazok metszetét és unióját! a.) A = {alapiskolások} B = {5. évfolyamosok} b.) A = {az 5. a osztály tanulói} B = {az 5. c osztály tanulói} Megoldás: a.) A ∪ B = B A∪B=A b.) A ∪ B = 0/ A ∪ B = {az 5. a és 5. c osztály összes tanulója} Ha B ⊂ A, akkor A ∪ B = B és A ∪ B = A Feladatok: a.) Fogalmazd meg, kik tartoznak az A ∪ B és A ∪ C, B ∪ C halmazokba, ha A = {okosak} B = {szépek} C = {csúnyák) Megoldás: A ∪ B = {okos, szép emberek} A ∪ C = {okosak vagy csúnyák és okos, csúnya emberek} B ∪ C = 0/ b.) Fogalmazd meg, kik tartoznak a B ∪ C és az A ∪ B halmazba! És az A ∪ (B ∪ C) és (A ∪ B) ∪ C halmazba? A = {jogosítvánnyal rendelkezik} B = {18 éven aluliak} C = {legalább három gyermekük van} Megoldás: B ∪ C = {legalább 3 gyermekük van vagy 18 éven aluliak} A ∪ B = {18 éven aluliak és van jogosítványuk} A ∪ (B ∪ C) = {18 éven aluliak vagy legalább három gyermekük van, de mindenképpen van jogosítványuk} (A ∪ B) ∪ C = {jogosítvánnyal rendelkező 18 éven aluliak, vagy van legalább három gyermekük}
c.) Nyolc család igen jó barátságban van. Azért, hogy egymást bármikor el tudják érni, elkészítették a következő táblázatot: Név: Kovács
Vezetékes tel. 6511 111
Kiss
6511 112
Molnár
Nagy
Fekete
6511 113 6411 114 6511 115 6511 116 6511 117
Fehér Szabó Balog
V
M Fehér
Molnár
Szabó Kovács Kiss Balog Fekete
Nagy
E
Mobil telefon 0903/111 111 0904/111 111 0903/111 112 0904/111 112 0914/111 112 0903/111 113 0904/111 113 0908/111 113 0914/111 113 0903/111 114 0904/111 114 0908/111 114 0914/111 114 0903/111 115 0904/111 115 0905/111 116 0904/111 117 0905/111 118
E-mail
[email protected] [email protected]
[email protected]
[email protected]
[email protected]
Legyen V azon családok halmaza, amelyeknek van vezetékes telefonja. Legyen M azon családok halmaza, amelyeknek van mobiltelefonja. Legyen E azon családok halmaza, amelyeknek van e-mail címe. a.) Töltsd ki a következő Venn-diagrammot (írd be a neveket) b.) írd le a keresett halmazok számosságát: |V| = 7 |V ∪ E| = 1 |M| = 6 |V ∪ M| = 8 |E| = 5 |M ∪ E| = 7 c.) Fejezd be a mondatot: Az adatok alapján nincs olyan család, amelynek csak email címe van Az adatok alapján nincs olyan család, amelynek csak email címe és vezetékes telefonja van
c.) Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak, vagy hamisak, bármely A, B és C halmaz esetén I.) Ha a ∈ A és a í B, akkor a ∈ A ∪ B igaz II.) Ha a ∉ (A ∪ B), akkor a ∉ A és a ∉ B igaz III.) Ha a ∉ (A ∪ B), akkor a ∉ A és a ∉ B hamis IV.) Ha a ∈ A vagy a ∈ B, akkor a ∈ A ∪ (B ∪ C) igaz
Kombinatorika Permutáció Pl. Egy háromtagú család (apa, anya, gyermek) az ebédhez ültek le. Hányféleképpen ülhetnek le három székre? Megoldás: 1, 2, 3 1, 3, 2 2, 1, 3 2, 3, 1 3, 1, 2 3, 2, 1 Pl. Egy három színből álló zászlót szeretnénk készíteni, ahol a sávok vízszintesek. A három szín a következő: piros, zöld, kék. Hányféle zászlót készíthetünk? Megoldás: K, P, Z K, Z, P P, K, Z P, Z, K Z, K, P Z, P, K Pl. Egy négytagú bizottságban elnököt, alelnököt, pénztárost és titkárt választanak. Hányféle sorrend alakulhat ki? Megoldás: A, E, P, T A, E, T, P A, P, E, T A, P, T, E A, T, E, P A, T, P, E E, A, P, T E, A, T, P E, P, A, T E, P, T, A E, T, A, P E, T, P, A P, A, E, T P, A, T, E P, E, A, T P, E, T, A P, T, A, E P, T, E, A T, A, E, P T, A, P, E T, E, A, P T, E, P, A T, P, A, E T, P, E, A Pl. Egy milliomos garázsában négy autó áll: Ferrari, Bugatti, Aston Martin, Maybach. Hányféleképpen parkolhatnak egymás mellé ezek az autók?
Pl. Kata az alábbi jegyeket kapta: 1, 2, 3, 4, 5. Mindegyiket más tantárgyól kapta, csak nem tudjuk, hogy melyiket miből. Hányféleképpen kaphatta ezeket a jegyeket? Megoldás: Az első tantárgyból 5-féle jegyet kaphatott. Ezután a második tantárgy esetén már csak négy számból választhatunk, a 3. tantárgynál már csak 3-ból, a 4. tantárgynál 2-ből és az utolsó tantárgyra már csak 1 jegy marad. Vagyis: 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120. Pl.: Hányféleképpen foglalhat helyet 6 tanuló 6 széken? Megoldás: 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720 Ha n elemet n-féleképpen szeretnénk sorbarakni, akkor permutációról beszélünk! Pl.: Hányféleképpen foglalhattok helyet az osztályban? Megoldás: 24 ⋅ 23 ⋅ …. ⋅ 2 ⋅ 1 = 620 448 401 733 239 439 360 000 25 ⋅ 24 ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1 = 15 511 210 043 330 985 984 000 000 Pl.: Tudjuk, hogy 2006 utolsó ötöslottó sorsolásán a kihúzott számok emelkedő sorrendben a következő voltak: 5, 21, 35, 62, 76. Hány különböző sorrendben történhetett meg ezeknek a számoknak a kihúzása? Pl.: Egy barátodnak CD-t állítasz össze a 10 kedvenc dalából (5 lassú és 5 gyors). a) Hányféleképpen teheted ezt meg? b) Hányféleképpen teheted ezt meg, ha azt akarod, hogy az első szám mindenképpen gyors, az utolsó pedig lassú legyen? c) Hányféleképpen teheted ezt meg, ha azt akarod, hogy a gyors és lassú számok váltogassák egymást? Megoldás: a) 10!= 3628800 b) Az elsőt és az utolsót 5 ⋅ 5 -féleképpen választhatom ki, a középső 8-at 8!-féleképpen rakhatom sorba, így a megoldás: 5 ⋅ 5 ⋅8!= 1008000 . c) Az 1., 3., 5., 7. és 9. helyekre a lassú számokat 5!-féleképpen, a 2., 4., 6., 8. és 10. helyekre a gyors számok is 5!-féleképpen helyezhetők el. A lassú számok bármely rögzített sorrendjéhez 5! gyors szám sorrend tartozik, így a 10 szám lehetséges sorrendje 5!⋅5!. Ugyanennyi lehetőség adódik, ha a lemezt gyors számmal kezdjük, így a megoldás: 2 ⋅5!⋅5!= 28800.
Variáció
Pl.: Van három különböző színű sávunk. Hányféleképpen készíthetünk belőle egy kétszínű zászlót (P, K, Z) Megoldás: K, P K, Z P, K P, Z Z, K Z, P Pl.: Az 1, 2, 3, 4 számjegyekből hány olyan számot tudunk összeállítani, melyekben a számjegyek nem ismétlődhetnek? Megoldás: 123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432 (24 darab) Ha n elemet k-féleképpen szeretnénk sorbarakni úgy, hogy számít az elemek sorrendje, akkor variációról beszélünk.
Pl.: 1, 2, 3, 4, 5 (3-jegyű számok) Megoldás: 5 . 4 . 3 = 60 Pl.: 9 számjegyből 5-jegyű számok Megoldás: 9 . 8 . 7 . 6 . 5 = 15 120 Pl. Egy pályázat eredményhirdetésére az első 10 helyezettet hívták meg. Az első helyezett pénzjutalmat, a második utazást, a harmadik elektronikus berendezést, a többiek pedig oklevelet kaptak. A meghívottak közül hányféleképpen kerülhettek ki azok, akik tárgyjutalmat kaptak? Megoldás: 10 . 9 . 8 = 720 Pl.: A történelem érettségi kezdetén az első 3 vizsgázó még mind a 20 tétel közül húzhat. Hány különböző húzás lehetséges? Megoldás: 20 . 19 . 18 = 6 840
Kombináció Pl.: Soroljuk fel az A = {1, 2, 3} halmaz összes 2-elemű részhalmazát. Megoldás: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} Pl.: Soroljuk fel a B = {1, 2, 3, 4} halmaz összes 3-elemű részhalmazát. Megoldás: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} Pl.: Soroljuk fel a C = {1, 2, 3, 4} halmaz összes 2-elemű részhalmazát. Megoldás: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} Vn, k : k! Ha n elemet k-féleképpen szeretnénk sorbarakni úgy, hogy nem számít az elemek sorrendje, akkor kombinációról beszélünk.
