NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF SIPUT Shapbian Novindasari34, Slamin35, Dafik36 Abstract. Let G=(V,E) be a simple graph, a labeling π: π βͺ πΈ β {1,2, β¦ , π} is called an edge irregular total k-labelling of G if for any two different edges e and f of G there is, ππ‘(π) β ππ‘(π). The total edge irregularity strength denoted by tes G is the smallest positive integer k for which G has an edge irregular total k-labelling. In this paper, we will determine the total edge irregularity strengths of a Snail graph, the union isomorphic and non-isomorphic union of Snail graph, and shackle graph of Snail π(3π+7)+2 graph. We show that π‘ππ (ππ ) = π + 3, for π β₯ 1, π‘ππ (πππ ) = β β, for π β₯ 1 (3π+7)+β―+(3π+7)+2
and π β₯ 2, π‘ππ (ππ βͺ β¦ βͺ ππ ) = β
numbers, and π‘ππ (πβπππ(ππ , π)) = β
3 π(3π+7)+2 3
3
β, for π β π where π, π β natural
β, for π β₯ 1 and π β₯ 2.
Key Words: Total edge irregular labeling, Total edge irregularity strength, Snail graph.
PENDAHULUAN Salah satu cabang matematika yang cukup populer yaitu teori graf mengenai pelabelan graf (graph labelling). Terdapat beberapa jenis pelabelan graf, salah satunya adalah pelabelan total sisi irreguler pada graf G yaitu pemberian label bilangan bulat positif (label boleh berulang) dengan nilai label seminimum mungkin pada himpunan titik dan sisi pada graf G sedemikian hingga bobot total di setiap sisinya berbeda serta mengacu pada Teorema berikut, BaΔa et al (2002), yaitu: β
|πΈ|+2 3
β β€ π‘ππ (πΊ) β€ |πΈ|.
Dalam penelitian ini akan dicari pelabelan total sisi irregular pada graf Siput dengan mengetahui nilai tes pada graf Siput tunggal, gabungan isomorfis maupun nonisomorfis serta graf belenggu (shackle graph) dari graf Siput. Graf Siput (Sn) Graf siput adalah salah satu family dari graf siput. Graf ini merupakan salah satu contoh graf (well-defined), yang dinotasikan dengan Sn dimana n merupakan jumlah pasang titik pada punggung graf Siput. Graf Siput dikembangkan dari graf roda (wheel) dan belum memiliki famili graf. Graf Siput memiliki himpunan titik π = {π, π, π΄, πΌ, πΏ, πΈ, π
, ππ , ππ ; 1 β€ π β€ π}
34
dan
himpunan
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember Dosen Program Studi Sistem Informasi Universitas Jember 36 Dosen Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember 35
sisi
πΈ=
106 _______________________
Β©Kadikma, Vol. 6, No. 1, hal 105-114, April 2015
{π
πΈ, πΈπ1 , ππ ππ , ππ ππ+1 , ππ π, ππ, ππ΄, π΄πΏ, πΌπΏ, πΏπΈ, πΏππ ; 1 β€ π β€ π}. Graf Siput memiliki 2π + 7 titik dan 3π + 7 sisi.
METODE PENELITIAN Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah deduktif aksiomatik dan pendeteksian pola. Adapun teknik penelitian graf Siput Sn dengan pelabelan total sisi irregular adalah sebagai berikut: (1) menentukan batas bawah dan batas atas dari graf Siput Sn berdasarkan Teorema dasar, (2) menggunakan metode pendeteksian pola untuk melabeli seluruh titik dan sisi pada graf Sn dengan bilangan bulat positif, (3) memeriksa apakah bobot total di setiap sisi graf Siput sudah berbeda, (4) menentukan formulasi yang berupa fungsi yang memetakan himpunan titik dan himpunan sisi pada bilangan bulat positif, (5) menentukan nilai π‘ππ (ππ ), untuk π β₯ 1 dengan menggunakan batas atas dan batas bawah yang sudah diperoleh, (6) melakukan langkah yang sama seperti di atas untuk menentukan nilai tes pada gabungan graf Siput isomorfis, non-isomorfis dan graf belenggu (shackle graph) dengan batasan yang sudah ditentukan.
HASIL DAN PEMBAHASAN Langkah awal dalam menentukan pelabelan total sisi irregular adalah menentukan jumlah sisi pada graf yang diteliti, menentukan batas bawah, menentukan label titik dan label sisi sehingga didapat bobot total sisi yang berbeda pada graf Siput dan gabungan yang isomorfis dan non-isomorfis serta graf belenggu (shackle graph) dari graf Siput. Teorema 1: Nilai ketakteraturan total sisi pada graf Siput tunggal adalah π‘ππ (ππ ) = π + 3, untuk π β₯ 1. Bukti: Akan dibuktikan batas bawah π‘ππ (ππ ), yaitu π‘ππ (ππ ) β₯ β
(3π+7)+2 3
β berdasarkan
Teorema dasar, dengan mensubstitusikan jumlah sisi ππ = (3π + 7) maka didapat π‘ππ (ππ ) β₯ β
|πΈ|+2
(3π+7)+2
3
3
β=β
β = π + 3.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa batas atas dari π‘ππ (ππ ) dengan melabeli seluruh titik dan sisi pada graf Siput ππ dengan formulasi pelabelan sebagai berikut. ο·
Label titik π(π) = 3
Shapbian dkk: Nilai Ketakteraturan Total Sisi Dari Graf β¦___________________ 107 π(π) = π(π΄) = 2 π(πΌ) = π(πΏ) = 1 π(πΈ) = π(π
) = π + 3
ο·
π(ππ ) = π + 3 β π,
π = 1,2, β¦ , π
π(ππ ) = π + 4 β π,
π = 1,2, β¦ , π
Label sisi π(πΏπΌ) = π(πΏπ΄) = π(πΏπΈ) = 1 π(πΏππ ) = 1,
π = 1,2, β¦ , π
π(πΈπ
) = π + 3 π(πΈπ1 ) = π(ππ π) = π(ππ΄) = π(ππ) = π + 2 π(ππ ππ ) = π + 2,
π = 1,2, β¦ , π
π(ππ ππ+1 ) = π + 2,
π = 1,2, β¦ , π β 1
Berdasarkan label titik dan sisi di atas maka dapat ditentukan formulasi bobot total di setiap sisi yaitu: π(πΏπΌ) = 3 π(πΏπ΄) = 4 π(πΏππ ) = π + 5 β π,
π = 1,2, β¦ , π
π(πΏπΈ) = π + 5 π(ππ΄) = π + 6 π(ππ) = π + 7 π(ππ π) = π + 8 π(ππ ππ ) = 3π + 9 β 2π,
π = 1,2, β¦ , π
π(ππ ππ+1 ) = 3π + 10 β 2π,
π = 1,2, β¦ , π β 1
π(πΈπ1 ) = 3π + 8 π(πΈπ
) = 3π + 9 Dari formula di atas, nilai label terbesarnya adalah π + 3, dimana nilai tersebut merupakan nilai π‘ππ (ππ ). Jadi batas atas π‘ππ (ππ ) sama dengan batas bawahnya, sehingga terbukti bahwa π‘ππ (ππ ) = π + 3, untuk π β₯ 1. Selanjutnya akan disajikan teorema tentang nilai ketakteraturan total sisi dari gabungan saling lepas graf Siput isomorfis.
108 _______________________
Β©Kadikma, Vol. 6, No. 1, hal 105-114, April 2015
Teorema 2: Nilai ketakteraturan total sisi pada gabungan saling lepas graf Siput isomorfis adalah π‘ππ (πππ ) = β
π(3π+7)+2
β, untuk π β₯ 1 dan π β₯ 2.
3
Bukti: Akan dibuktikan batas bawah π‘ππ (πππ ), yaitu π‘ππ (πππ ) β₯ β
π(3π+7)+2 3
β
berdasarkan Teorema dasar, dengan mensubstitusikan jumlah sisi |πΈ(πππ )| = π(3π + 7) maka didapat π‘ππ (πππ ) β₯ β
|πΈ|+2
π(3π+7)+2
3
3
β=β
β.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa batas atas dari π‘ππ (πππ ) dengan melabeli seluruh titik dan sisi pada gabungan graf Siput isomofis πππ dengan formulasi pelabelan sebagai berikut untuk 2 β€ π β€ π. ο·
Label titik πΎ(π π ) = π(π) + β
(πβ1)(3π+7)
πΎ(π π ) = π(π) + β πΎ(π΄π ) = π(π΄) + β πΎ(πΌ π ) = π(πΌ) + β
(πβ1)(3π+7) 3
(πβ1)(3π+7) 3
β
β
(πβ1)(3π+7)
πΎ(πΏπ ) = π(πΏ) + β
β
3
(πβ1)(3π+7)
πΎ(πΈ π ) = π(πΈ) + β
3
β
(πβ1)(3π+7)
πΎ(π
π ) = π(π
) + β
3
β
(πβ1)(3π+7) 3
πΎ(πππ ) = π(ππ ) + β πΎ(πππ ) = π(ππ ) + β ο·
β
3
β
(πβ1)(3π+7) 3
(πβ1)(3π+7) 3
β,
π = 1,2, β¦ , π
β,
π = 1,2, β¦ , π
Label sisi πΎ(πΏπ πΌ π ) = π(πΏπΌ) + (π β 1)(3π + 7) β 2 β
(πβ1)(3π+7)
πΎ(πΏπ π΄π ) = π(πΏπ΄) + (π β 1)(3π + 7) β 2 β
3
β
(πβ1)(3π+7)
πΎ(πΏπ πΈ π ) = π(πΏπΈ) + (π β 1)(3π + 7) β 2 β
β
3
(πβ1)(3π+7)
πΎ(πΏπ πππ ) = π(πΏππ ) + (π β 1)(3π + 7) β 2 β πΎ(πΈ π π
π ) = π(πΈπ
) + (π β 1)(3π + 7) β 2 β
β
3
(πβ1)(3π+7)
β,
3
(πβ1)(3π+7)
πΎ(πΈ π π1π ) = π(πΈπ1 ) + (π β 1)(3π + 7) β 2 β
3
β
(πβ1)(3π+7) 3
β
π = 1,2, β¦ , π
Shapbian dkk: Nilai Ketakteraturan Total Sisi Dari Graf β¦___________________ 109 πΎ(πππ π π ) = π(ππ π) + (π β 1)(3π + 7) β 2 β πΎ(π π π΄π ) = π(ππ΄) + (π β 1)(3π + 7) β 2 β πΎ(π π π π ) = π(ππ) + (π β 1)(3π + 7) β 2 β
(πβ1)(3π+7) 3
(πβ1)(3π+7) 3
β
β
(πβ1)(3π+7)
πΎ(πππ πππ ) = π(ππ ππ ) + (π β 1)(3π + 7) β 2 β
β
3
(πβ1)(3π+7)
β,
3
π πΎ(πππ ππ+1 ) = π(ππ ππ+1 ) + (π β 1)(3π + 7) β 2 β
π = 1,2, β¦ , π
(πβ1)(3π+7) 3
β,
π=
1,2, β¦ , π β 1 Berdasarkan label titik dan sisi di atas maka dapat ditentukan formulasi bobot total di setiap sisi untuk 2 β€ π β€ π, yaitu: π(πΏπ πΌ π ) = π(πΏπΌ) + (π β 1)(3π + 7) π(πΏπ π΄π ) = π(πΏπ΄) + (π β 1)(3π + 7) π(πΏπ πππ ) = π(πΏππ ) + (π β 1)(3π + 7),
π = 1,2, β¦ , π
π(πΏπ πΈ π ) = π(πΏπΈ) + (π β 1)(3π + 7) π(π π π΄π ) = π(ππ΄) + (π β 1)(3π + 7) π(π π π π ) = π(ππ) + (π β 1)(3π + 7) π(πππ π π ) = π(ππ π) + (π β 1)(3π + 7) π(πππ πππ ) = π(ππ ππ ) + (π β 1)(3π + 7),
π = 1,2, β¦ , π
π π(πππ ππ+1 ) = π(ππ ππ+1 ) + (π β 1)(3π + 7),
π = 1,2, β¦ , π β 1
π(πΈ π π1π ) = π(πΈπ1 ) + (π β 1)(3π + 7) π(πΈ π π
π ) = π(πΈπ
) + (π β 1)(3π + 7) Dari formula di atas, nilai label terbesarnya adalah β
π(3π+7)+2 3
β, dimana nilai
tersebut merupakan nilai π‘ππ (πππ ). Jadi batas atas π‘ππ (πππ ) sama dengan batas bawahnya, sehingga terbukti bahwa π‘ππ (πππ ) = β
π(3π+7)+2
β, untuk π β₯ 1 dan π β₯ 2.
3
Teorema selanjutnya yang akan dibuktikan tentang nilai ketakteraturan total sisi dari gabungan saling lepas non-isomorfis, yaitu: Teorema 3: Nilai ketakteraturan total sisi pada gabungan saling lepas graf Siput nonisomorfis adalah π‘ππ (ππ βͺ β¦ βͺ ππ ) = β bilangan asli.
(3π+7)+β―+(3π+7)+2 3
β, untuk π β π dimana π, π β
110 _______________________
Β©Kadikma, Vol. 6, No. 1, hal 105-114, April 2015
Bukti: Akan dibuktikan batas bawah dari gabungan saling lepas graf Siput nonisomorfis, yaitu π‘ππ (ππ βͺ β¦ βͺ ππ ) β₯ β
(3π+7)+β―+(3π+7)+2 3
β berdasarkan Teorema dasar,
dengan mensubstitusikan jumlah sisi |πΈ(ππ βͺ β¦ βͺ ππ )| = (3π + 7) + β― + (3π + 7) maka terbukti π‘ππ (ππ βͺ β¦ βͺ ππ ) β₯ β
|πΈ|+2
(3π+7)+β―+(3π+7)+2
3
3
β=β
β.
Kemudian akan dibuktikan bahwa batas atas dari tes, yaitu π‘ππ (ππ βͺ β¦ βͺ ππ ) β₯ β
(3π+7)+β―+(3π+7)+2 3
β dengan melabeli seluruh titik dan sisi pada gabungan saling lepas
graf Siput non-isomorfis. Berikut ini merupakan formulasi pelabelan pada sembarang bagian graf Siput dalam gabungan non-isomorfisnya (ππ βͺ β¦ βͺ ππ βͺ ππ βͺ β¦ βͺ ππ ), misalkan pada bagian ππ : ο·
Label titik π½(π π ) = π(π) + β
(3π+7)+β―+(3π+7)
π½(π π ) = π(π) + β π½(π΄π ) = π(π΄) + β π½(πΌ π ) = π(πΌ) + β
(3π+7)+β―+(3π+7)
β+πβπ
3
(3π+7)+β―+(3π+7)
β+πβπ
3
(3π+7)+β―+(3π+7)
π½(πΏπ ) = π(πΏ) + β
β+πβπ
3
(3π+7)+β―+(3π+7)
π½(πΈ π ) = π(πΈ) + β
β+πβπ
3
(3π+7)+β―+(3π+7)
π½(π
π ) = π(π
) + β
3
β
(3π+7)+β―+(3π+7) 3
π½(πππ ) = π(ππ ) + β π½(πππ ) = π(ππ ) + β ο·
β+πβπ
3
β
(3π+7)+β―+(3π+7)
β,
π = 1,2, β¦ , π
β,
π = 1,2, β¦ , π
3
(3π+7)+β―+(3π+7) 3
Label sisi π½(πΏπ πΌ π ) = π(πΏπΌ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) β 2 β
(3π+7)+β―+(3π+7)
π½(πΏπ π΄π ) = π(πΏπ΄) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) β 2 β
(3π+7)+β―+(3π+7)
π½(πΏπ πΈ π ) = π(πΏπΈ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) β 2 β
π = 1,2, β¦ , π
β+πβπ
3
(3π+7)+β―+(3π+7)
π½(πΏπ πππ ) = π(πΏππ ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) β 2 β π,
β+πβπ
3
β+πβπ
3
(3π+7)+β―+(3π+7) 3
β+πβ
Shapbian dkk: Nilai Ketakteraturan Total Sisi Dari Graf β¦___________________ 111 π½(πΈ π π
π ) = π(πΈπ
) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) β 2 β
(3π+7)+β―+(3π+7)
π½(πΈ π π1π ) = π(πΈππ ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) β 2 β
(3π+7)+β―+(3π+7)
π½(πππ π π ) = π(ππ π) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) β 2 β π½(π π π΄π ) = π(ππ΄) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) β 2 β π½(π π π π ) = π(ππ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) β 2 β
β
3
β
3
(3π+7)+β―+(3π+7)
β
3
(3π+7)+β―+(3π+7)
β
3
(3π+7)+β―+(3π+7)
π½(πππ πππ ) = π(ππ ππ ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) β 2 β
3
β
(3π+7)+β―+(3π+7)
β,
3
π = 1,2, β¦ , π π π½(πππ ππ+1 ) = π(ππ ππ+1 ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) β 2 β
(3π+7)+β―+(3π+7)
β,
3
π = 1,2, β¦ , π β 1 Berdasarkan label titik dan sisi di atas maka dapat ditentukan formulasi bobot total di setiap sisi, yaitu: π(πΏπ πΌ π ) = π(πΏπΌ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) π(πΏπ π΄π ) = π(πΏπ΄) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) π(πΏπ πππ ) = π(πΏππ ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7),
π = 1,2, β¦ , π
π(πΏπ πΈ π ) = π(πΏπΈ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) π(π π π΄π ) = π(ππ΄) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) π(π π π π ) = π(ππ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) π(πππ π π ) = π(ππ π) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) π(πππ πππ ) = π(ππ ππ ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7),
π = 1,2, β¦ , π
π π(πππ ππ+1 ) = π(ππ ππ+1 ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7),
π = 1,2, β¦ , π β 1
π(πΈ π π1π ) = π(πΈππ ) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) π(πΈ π π
π ) = π(πΈπ
) + (3π + 7) + β― + (3π + 7) Dari formula di atas, nilai label terbesarnya adalah β
(3π+7)+β―+(3π+7)+2 3
β, dimana
nilai tersebut merupakan nilai π‘ππ (ππ βͺ β¦ βͺ ππ ). Jadi batas atas π‘ππ (ππ βͺ β¦ βͺ ππ ) sama dengan β
batas
bawahnya,
sehingga
terbukti
bahwa
π‘ππ (ππ βͺ β¦ βͺ ππ ) =
(3π+7)+β―+(3π+7)+2 3
β, untuk π β π dimana π, π β bilangan asli.
Teorema selanjutnya yang akan dibuktikan yaitu tentang nilai ketakteraturan total sisi pada graf belenggu (shackle graph) dari graf Siput.
112 _______________________
Β©Kadikma, Vol. 6, No. 1, hal 105-114, April 2015
Teorema 4: Nilai ketakteraturan total sisi pada graf belenggu (shackle graph) dari graf Siput adalah π‘ππ (πβπππ(ππ , π)) = β
π(3π+7)+2
β, untuk π β₯ 1 dan π β₯ 2.
3
Bukti: Akan dibuktikan batas bawah yaitu π‘ππ (πβπππ(ππ , π)) β₯ β
π(3π+7)+2 3
β
berdasarkan Teorema dasar, dengan mensubstitusikan jumlah sisi π(3π + 7) maka didapat π‘ππ (πβπππ(ππ , π)) β₯ β
|πΈ|+2
π(3π+7)+2
3
3
β=β
β.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa batas atas dari π‘ππ (πβπππ(ππ , π)) dengan cara melabeli seluruh titik dan sisi pada graf belenggu dari graf Siput dengan formulasi pelabelan sebagai berikut. ο·
Label titik π(π π ) = π(π) + β
(πβ1)(3π+7) 3
π(π π ) = π(π) + β π(π΄π ) = π(π΄) + β π(πΌ π ) = π(πΌ) + β
(πβ1)(3π+7)
(πβ1)(3π+7) 3 3 3
β
β
(πβ1)(3π+7)
β
π(πΈ π ) = π(πΈ) + β
(πβ1)(3π+7)
π(π
π ) = π(π
) + β
(πβ1)(3π+7)
3
π(πππ ) = π(ππ ) + β
β β
3
π(πππ ) = π(ππ ) + β
ο·
β
3
(πβ1)(3π+7)
π(πΏπ ) = π(πΏ) + β
β
(πβ1)(3π+7) 3
(πβ1)(3π+7) 3
β,
π = 1,2, β¦ , π
β,
π = 1,2, β¦ , π
Label sisi π(πΌ1 πΏ1 ) = 1 π(πΏπ π΄π ) = π(πΏπ πΈ π ) = π(3π + 7) β 2 β π(πΏπ πππ ) = π(3π + 7) β 2 β π(πΈ π π
π ) = π(3π + 7) β 2 β
π(3π+7)+2 3
ββπ
π(3π+7)+2
β β π,
3
π(3π+7)+2 3
β+2
π(πΈ π π1π ) = π(πππ π π ) = π(π π π΄π ) = π(π π π π ) = π(3π + 7) β 2β
π(3π+7)+2 3
β+1
π = 1,2, β¦ , π
Shapbian dkk: Nilai Ketakteraturan Total Sisi Dari Graf β¦___________________ 113 π(πππ πππ ) = π(3π + 7) β 2 β
π(3π+7)+2
π π(πππ ππ+1 ) = π(3π + 7) β 2 β
β + 1,
3
π = 1,2, β¦ , π
π(3π+7)+2 3
β + 1,
π=
1,2, β¦ , π β 1 π(π
πβ1 πΏπ ) = (π β 1)(3π + 7) β β
(πβ1)(3π+7)+2
π(3π+7)+2
3
3
βββ
β+π+5
Berdasarkan label titik dan sisi di atas maka dapat ditentukan formulasi bobot total di setiap sisi, yaitu: π(πΏ1 πΌ) = 3 π(π
πβ1 πΏπ ) = π(3π + 7) β 3π β 4 π(πΏπ π΄π ) = π(3π + 7) β 3π β 3 π(πΏπ πππ ) = π(3π + 7) β 2π β 2 β π π(πΏπ πΈ π ) = π(3π + 7) β 2π β 2 π(π π π΄π ) = π(3π + 7) β 2π β 1 π(π π π π ) = π(3π + 7) β 2π π(πππ π π ) = π(3π + 7) β 2π + 1 π(πππ πππ ) = π(3π + 7) + 2 β 2π π π(πππ ππ+1 ) = π(3π + 7) + 3 β 2π
π(πΈ π π1π ) = π(3π + 7) + 1 π(πΈ π π
π ) = π(3π + 7) + 2 Dari formula di atas, nilai label terbesarnya adalah β
π(3π+7)+2 3
β, dimana nilai
tersebut merupakan nilai dari π‘ππ (πβπππ(ππ , π)). Jadi batas atas π‘ππ (πβπππ(ππ , π)) sama dengan batas bawahnya, sehingga terbukti bahwa π‘ππ (πβπππ(ππ , π)) = β
π(3π+7)+2 3
β, untuk π β₯ 1 dan π β₯ 2.
KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan, maka dapat disimpulkan bahwa: 1. Nilai ketakteraturan total sisi pada graf Siput tunggal π‘ππ (ππ ) = π + 3, untuk π β₯ 1; 2. Nilai ketakteraturan total sisi pada gabungan saling lepas graf Siput isomorfis adalah π‘ππ (πππ ) = β
π(3π+7)+2 3
β, untuk π β₯ 1 dan π β₯ 2;
114 _______________________
Β©Kadikma, Vol. 6, No. 1, hal 105-114, April 2015
3. Nilai ketakteraturan total sisi pada gabungan saling lepas graf Siput nonisomorfis adalah π‘ππ (ππ βͺ β¦ βͺ ππ ) = β
(3π+7)+β―+(3π+7)+2
β, untuk π β π
3
dimana π, π β bilangan asli; 4. Nilai ketakteraturan total sisi pada graf belenggu (shackle graph) dari graf Siput adalah π‘ππ (πβπππ(ππ , π)) = β
π(3π+7)+2 3
β, untuk π β₯ 1 dan
π β₯ 2.
DAFTAR PUSTAKA BaΒ·ca, M., Jendrol., Miller,M. dan Ryan,J. 2007. On Irregular Total Labelling. Discrete Mathematics, 307(1): 1378-1388. Inayah, N. 2013. Pelabelan (a,d)-H Anti Ajaib pada Beberapa Kelas Graf. Disertasi. Bandung: Institut Teknologi Bandung. Maryati, T.K., Salman, A.N.M., Baskoro, E.T., Ryan, J., dan Miller, M. 2010. On HSupermagic Labellings for Certain Shakles and Amalgamations of a Connected Graph. Discrete Mathematica. Slamin. 2009. DESAIN JARINGAN: Pendekatan Teori Graf. Jember: Jember University Press.
