Nichols

Bab 7: Tanggapan Frekuensi

EL303: Sistem Kendali

TANGGAPAN FREKUENSI Ì Analisis Tanggapan Frekuensi Ì Penggambaran Bode Plot Ì Polar Plot / Nyquist Plot Ì Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot Ì Kriteria Kestabilan Nyquist Ì Beberapa Contoh Analisis Kestabilan Ì Pembahasan Lanjut (Optional) Ì Analisis Kestabilan Relatif/Transient

_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 65



♦ ANALISIS TANGGAPAN FREKUENSI − Tanggapan frekuensi = tanggapan keadaan mantap suatu

sistem terhadap input sinusoida. − Metoda konvensional dilakukan dengan mengubah frekuensi input dalam cakupan yang diinginkan dan mengamati tanggapannya.

Ada Beberapa Teknik Analisis : 1.

Polar Plot / Nyquist : • Dapat diketahui kestabilan mutlak dan relatif sistem loop tertutup dari karakteristik tanggapan frekuensi loop terbukanya. • Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.

2.

Digram Bode: • Kompensasi unjuk kerja sistem lebih mudah melalui diagram Bode. • Penentuan fungsi alih secara eksperimen dapat dilakukan lebih mudah.

3.

Log Magnitude Vs Phase Plot / Bagan Nichols: • Kenaikan /penurunan konstanta penguat G(jz) hanya menggeser kurva keatas / kebawah, tanpa mengubah bentuknya. • Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudah ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan



- Tanggapan


Frekuensi vs Tanggapan Waktu

• Kestabilan tak perlu ditentukan dengan terlebih dulu mencari akar-akar persamaan karakteristik. • Pengujian tanggapan frekuensi umumnya mudah dan dapat dibuat akurat dengan tersedianya generator sinus dan peralatan pengukuran yang diteliti. • Fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapat ditentukan secara eksperimen melalui pengujian tanggapan frekuensi. • Metoda tanggapan frekuensi dapat diterapkan pada sistem-sistem yang telah memiliki fungsi-fungsi rasional, seperti fungsi dengan transport lags. • Plant yang tak dapat dikarakterisasi dengan tepat dapat ditangani melalui metoda tanggapan frekuensi. • Suatu sistem dapat dirancang melalui pendekatan tanggapan frekuensi sehingga derau yang tak diinginkan dapat dihilangkan. • Analisis tanggapan frekuensi dapat dikembangkan pada sistem kendali non linear tertentu. • Tanggapan waktu alih tak langsung dapat diketahui, tetapi ada hubungannya antara tanggapan frekuensi dengan tanggapan waktu alih.



-Tanggapan


terhadap Input Sinus

• Karakteristik tanggapan frekuensi suatu sistem dapat diperoleh langsung dari fungsi alih sinusoidanya :

(G( s) → G( jω ))

• Pandang sistem linear invarian waktu sebagai berikut : G( s) =

Output : Y (s ) = G (s )x(s ) =

p( s) p( s) = q ( s) ( s + s1)( s + s2 ) L ( s + sn )

p(s ) ωx L 2 q(s ) s + ω 2

Bila Y(s) hanya mengandung pole-pole berbeda, maka a a* b b b Y (s ) = + + 1 + 2 +L+ n s + jω s − jω s + s1 s + s2 s + sn

atau

y( t ) = a e − jωt + a*e jωt + b1e − s1t + b2e− s2t +L+bne− snt t ≥0

Untuk sistem stabil, pada t = ~, diperoleh

yss (t ) = a e − jωt + a *e jωt (hal yang sama diperoleh meskipun ada pole-pole yang sama) dengan : a = G (s ) a* =

ωx xG (− jω ) (s + jω ) =− 2 s = − jω s +ω 2j 2

xG ( jω ) 2j




Bentuk kompleks dapat dinyatakan sebagai berikut :

G( jω )

G ( jω ) = G ( jω ) e jφ = G ( jω ) ∠ φ

= magnitude G(jω) φ = ∠G( jω ) = pergeseran fasa antara input sinus dengan output sinus =

[ [

]  ] 

 I m G( jω ) tan −1  Re G( jω )

ω = frekuensi yang cakupannya ditentukan dan frekuensi kerjanya. Untuk

G ( − jω ) = G ( − jω ) e − jφ = G ( jω ) − jφ e

Sehingga : yss ( t ) = x

G ( jω )

e

j(ωt +φ )

− j ωt +φ ) −e ( 2j

= x G( jω ) sin(ωt + φ ) = y sin(ωt + φ )




Kesimpulan : 1.

Bila sistem stabil linear invarian waktu diberi input sinus, maka akar memiliki output sinus dengan frekuensi sama dengan inputnya, meskipun amplitudo dan phasanya mungkin berbeda.

2.

Fungsi alih sinus sistem dapat diperoleh melalui

G ( jω ) =

y( jω ) x( jω )

sedang fasa alih G(s) dapat diperoleh dengan mengganti jω menjadi s pada G(jω).

G ( jω ) =

y( jω )

x( jω )

: magnitude fungsi alih

merupakan perbandingan amplitudo output sinus terhadap input sinus. ∠G( jω ) = ∠

y( jω ) x( jω )

; sudut phasa fungsi alih merupakan pergeseran

phasa output sinus terhadap inputnya.




Tanggapan Frekuensi dari Plot Pole-Zero Anggap :

k ( s + z) s( s + p) dengan tanggapan frekuensi G( s) =

G( jω ) =

k ( jω + z)

jω ( jω + p )

Magnitude :

G ( jω ) =

k jω + z jω jω + p

=

k AP OP ⋅ BP

∠G ( jω ) = ∠jω + z − ∠jω − ∠jω + p ω ω = tan −1 − 90o − tan −1 z p = φ −θ 1 −θ 2 _____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 7 dari 65



Untuk sistem dengan akar kompleks sekawan p1 dan p2 :

G ( s) =

Magnitude :

K ( s + p1 )(s + p2 )

G ( jω ) =

k jω + p1 jω + p2

=

k AP BP

Sudut fasa : ∠G ( jω ) = θ 1 − θ 2 Untuk pole-pole kompleks sekawan yang dekat dengan sumbu maya :

G( jω ) = besar sekali

Dihasilkan tanggapan frekuensi dengan simpangan amplitudo besar sekali. Sebaliknya bila tanggapan frekuensi tak memiliki simpangan yang besar, berarti sistem tak memiliki pole kompleks sekawan yang dekat dengan sumbu maya.




♦ PENGGAMBARAN BODE PLOT • Diagram Bode terdiri dari 1. Kurva magnitude fungsi alih sinus 20 log G( jω ) terhadap frekuensi dengan skala logaritmis 2. Kurva sudut fasa fungsi alih sinus ∠G( jω ) terhadap frekuensi dengan skala logaritmis.

• Keuntungan menggunakan kurva logaritma : ∗ Perkalian magnitude dikonversi menjadi penjumlahan ∗ Sketsa pendekatan kurva log magnitude dapat dilakukan dengan mudah melalui penjumlahan asimtotasimtot fungsi-fungsi (sederhana) penyusunannya. ∗ Penentuan fungsi alih secara ekperimen dapat dilakukan lebih mudah bila data tanggapan frekuensi tersedia seperti pada Diagram Bode. ∗ Karakteristik frekuensi rendah dan tinggi dari fungsi alih terekam dalam satu diagram. Memperluas cakupan frekuensi rendah memungkinkan analisis pada _____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 9 dari 65



frekuensi rendah yang merupakan hal penting dalam sistem-sistem sebenarnya.

• Bentuk-Bentuk Dasar Fungsi G( jω )H ( jω )

1. Penguatan k 2. Faktor-faktor Integral dan turunan ( jω )+1 3. Faktor-faktor orde-1

(1 + jωT )+1

4. Faktor-faktor kuadratis

+1  jω   jω  2    1 + 2ζ  ω  +  ω   n n  



•


Penguatan k G( jω ) H ( jω ) = k Magnitude G( jω )H ( jω ) = 20log k db Sudut fasa ∠G( jω ) = 0 db

20 log

ω 0,1

1

10

100

φ

0 ω 0,1

1

10

100




‚ Faktor-faktor Integral dan Turunan  1  jω 

atau

 jω  

Untuk : G( jω ) H ( jω ) =

1 jω

Magnitude G ( jω )H ( jω ) = 20 log

1 = −20 log ω jω

db

Sudut fasa ∠G( jω ) H ( jω ) = −90o Untuk : G( jω ) H ( jω ) = jω , diperoleh Magnitude : 20 log ω db Sudut fasa : 90o

Catatan: Bila

G ( jω ) H ( jω ) =

Magnitude

1 ( jω ) n

, maka

: -20 n Log z db; Sudut fasa

: -900x n



ƒ


Faktor-faktor orde-1 : 1 + 1jωT 

Untuk

G ( jω ) H ( jω ) =

Magnitude : Sudut fasa :

 atau 1 + jωT  

1 1 + jω T

1 = −20 log 1 + ω 2 T 2 db 1 + jωT φ = − tan −1 ωT 20 log

• Pada frekuensi rendah :

ω 〈〈

Magnitude ~ − 20 log 1 = 0 db Sudut fasa ~0o • Pada frekuensi tinggi :

1 T

,

maka

= −20 log ωT

(asimtot kedua)

1 T T φ = − tan −1 = −45o T

• Pada frekuensi sudut Sudut fasa

, maka

(asimtot pertama)

ω 〉〉

Magnitude ~ − 20 log ω 2T 2 Sudut fasa ~90o

1 T

ω=




Galat Magnitude Akibat Pendekatan dengan Asimtot

Pada

ω=

1 T

galat =

Pada

ω=

1 2T

galat = Pada

ω=

2 T

galat =

− 20 log 1 + 1 + 20 log 1 = −3,03db

(1 octave dibawah frekuensi sudut) − 20 log

1 + 1 + 20 log 1 = −0,97 db 4

(1 octave diatas frekuensi sudut) − 20 log 22 + 1 + 20 log 2 = −0,97db

dst.




Untuk G( jω )H ( jω ) = 1 + jωT dengan mengingat faktor reciprocal :

20 log + jωT = −20 log

1 1 + jωT

∠1 + jωT = tan −1 ωT = −∠

dan

1 1 + jωT

Maka kurva Bodenya dapat diperoleh dengan mencerminkan 1 kurva terhadap sumbu frekuensi pada titik 0. 1 + jωT




• Faktor-Faktor Kuadratik Untuk G( jω )H ( jω ) =

1  ω   ω 2  + j  1 + 2ζ  j  ωn   ωn 

Bila ζ 〉 1 , maka faktor orde-2 tersebut dapat dipecah menjadi 2 faktor orde-1. Untuk 0 〈 ζ 〈 1 Magnitude : 20 log

:

1  ω   ω 2  + j  1 + 2ζ  j  ωn   ωn 

= −20 log

2  ω2 2  1 −  +  2ζ ω     ωn   ωn2 

Sudut fasa :    2ζ ω   ωn  φ = − tan −1  2  ω    1 −  ω   n  

Pada frekuensi rendah : ω 〈〈 ωn: Magnitude : − 20 log 1 = 0 db Sudut fasa : φ ~ − tan−1 0 = 0o (asimtot 1) ω 〉〉 ω n ω2 ω Magnitude : − 20 log 2 = −40 log ωn ωn Sudut fasa : φ ~ − 180o

Pada frekuensi tinggi :

db

(asimtot 2)

Pada frekuensi sudut ω = ωn: Mangitude : − 20 log 2ζ _____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 16 dari 65


Sudut fasa :


 2ζ  θ = − tan −1  = −90o  0



Untuk


 ω   ω 2  ,  +j G( jω ) H ( jω ) = 1 + 2ζ  j  ωn   ωn 

diagram Bodenya dapat diperoleh dengan membalik tanda pada magnitude dan sudut fasa dari faktor sebelumnya.




Frekuensi Resonansi ωr dan Simpangan Puncak Resonansi Mr Perhatikan lagi : G ( jω ) =

1 2  ω2 2  1 −  +  2ζ ω   ω2   ωn   n

Nilai maksimum terjadi bila : 2  ω22  ω    ( ) g ω = 1 −  +  2ζ ω n   ω n2 

minimum

atau

(

 ω 2 − ω 2 1 − 2ζ 2 n  g (ω ) =  ωn2  g (ω ) =minimum

bila

)

2  2 2  + 4ζ 1 − ζ 

(

)

ω = ωn 1 − 2ζ 2

Sehingga : frekuensi resonansi ω r = ω n 1 − 2ζ 2 ( 0 ≤ ζ ≤ 0,707)




Bandingkan dengan frekuensi natural teredam pada respons transient : ωd =ωn 1−ζ 2




Simpangan Puncak Resonansi : M r G ( jω )

max

(

= G ( jωr

)

=

1 2ζ 1 − ζ 2

Sudut Fasa pada Frekuensi Resonansi :    2ζ ωr   ωn  φr = − tan−1  2   ωr    1 −  ω   n   dengan ωr = ωn 1 − 2ζ 2 , diperoleh

φr = − tan−1

1 − 2ζ 2 ζ = −90o + sin −1 ζ 1− ζ 2




Tahapan Membuat Diagram Bode 1. Ubah fungsi alih sinus G( jω )H ( jω ) menjadi perkalian faktorfaktor dasar yang telah dibahas sebelumnya. 2. Tentukan frekuensi-frekuensi sudut setiap faktor-faktor dasar yang bersangkutan. 3. Gambar kurva-kurva asimtot masing-masing faktor dasar dengan memperhatikan kemiringan kurva (0,±20 db, ±40 db, dst) dibawah dan diatas frekuensi sudut. 4. Jumlahkan kurva-kurva asimtot pada butir 3 untuk setiap sedang frekuensi sudut. 5. Kurva sebenarnya yang terletak dekat dengan kurva asimtot pada butir 4 dapat diperoleh dengan melakukan koreksikoreksi (terutama pada frekuensi-frekuensi sudut). 6. Kurva sudut fasa G( jω )H ( jω ) dapat digambarkan dengan menjumlahkan kurva-kurva sudut fasa masing-masing faktor dasar pada butir 1.




Contoh: Suatu sistem orde 4 dengan umpanbalik satuan memiliki fungsi alih loop terbuka sbb:







∗ Sistem Phasa Minimum : Sistem dengan fungsi alih yang tak memiliki pole ataupun zero pada daerah tak stabil bidang-s.

∗ Sistem Phasa Non Minimum : Sistem dengan fungsi alih yang memiliki pole dan / atau zero pada daerah tak stabil bidang-s.




◊ Hubungan antara Tipe Sistem dan Kurva Magnitude Tipe sistem menentukan kemiringan kurva Magnitude pada frekuensi rendah. Tipe-0 Tipe-1 Tipe-2

→ kemiringan

0 db/dec → kemiringan -20 db/dec → kemiringan -40 db/dec

◊ Penentuan Konstanta Galat Stabil melalui kurva Magnitude 1) k p = lim s→0 G( s) H ( s)

Dalam domain frekuensi : lim G( jω ) H ( jω ) k p =ω →0

Terlihat bahwa untuk

ω→0

:

20 log G( jω ) H ( jω ) = 20 log kp



2)


k v = lim s→0 sG( s) H ( s) Dalam domain frekuensi : k G( jω ) H ( jω ) = v untuk jω

ω 〈〈1

Sehingga k 20 log v jω

ω =1

= 20 log k v

atau :

20 log G( jω ) H ( jω ) ω =1 = 20 log k v

Alternatif lain : Perpotongan kurva -20 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi pada 0 db, sehingga

kv =1 jω1



3)


ka = lim G( s) H ( s) s→0 Dalam domain frekuensi : G ( jω ) H ( jω ) =

kv

untuk

( jω ) 2

ω 〈〈1

sehingga :

20 log

kv

( jω )2 ω =1

= 20 log kv

atau

20 log G( jω ) H ( jω )

= 20 log k v ω =1

Alternatif lain :




Perpotongan kurva -40 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi pada 0 db, sehingga : 20 log

diperoleh :

ka

( jω a )

2

= 0,

k a = ω a2



n


POLAR PLOT / NYQUIST PLOT Kurva magnitude G(jω) terhadap sudut fasa G(jω) pada koordinat polar dengan ω dinaikkan dari 0 sampai ~

Untuk sistem yang dihubungkan seri sebagai berikut : G1( s)

G2 ( s)

Maka kurva Nyquist G( jω ) = G1( jω )G2 ( jω ) diperoleh dengan melakukan perkalian vektor. Bandingkan dengan Diagram Bode • Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi. • Kurva Nyquist tak menunjukkan secara jelas kontribusi setiap faktor fungsi alih loop terbuka.




PENGGAMBARAN POLAR PLOT 1. Faktor-faktor Integral dan turunan Untuk G( jω ) =

G ( jω ) =

1 jω

1 ω

Im

bid G(jω)

∠G( jω ) = −90o

Untuk

G ( jω ) = jω

G( jω ) = ω

∠G( jω ) = 90o

ω →~ G ( jω ) =

Re

1 jω

ω→0 ω →~ Im

bid G(jω)

ω=0 Re




2. Faktor-Faktor Orde-1 Untuk

G ( jω ) =

G ( jω ) =

1 1 + jωT

1

1 + ω 2T 2 ∠G( jω ) = − tan−1 ωT

Pada ω=0

G( jω ) = 1∠ 0o Pada ω = 1 T 1 G ( jω ) = ∠ − 45o 2

pada

ω →~

G( jω ) = 0∠ − 90o

Kurva Nyquist berupa setengah lingkaran dikuadran IV dengan titik pusat -0,5+j0 dan jari-jari 0,5.




Bukti :

G( jω ) = x + jy

dengan x=

1 1 + ω 2T 2

dan

y=

− ωT 1 + ω 2T 2

Pers lingkaran : 1 2   x −  + y2 = r2  2  1 1 − ω 2 T 2  2  − ωT  2  1  2      2 1 + ω 2T 2  +  1 + ω 2 T 2  =  2   

Untuk

G( jω ) = 1 + jωT

G( jω ) = 1 + ω 2 T 2 ∠ tan −1 ωT pada ω = 0 G( jω ) = 1∠0o 1 T

pada

ω=

pada

ω →~

G( jω ) = 2∠ 45 o G( jω ) = ~ ∠ 90o



Untuk G ( jω ) =


1 + j ωT




3. Faktor-Faktor Kuadratik Untuk

G ( jω ) =

G ( jω ) =

pada

ω=0

pada

ω = ωn

ωn

 ω   ω 2  + j  1 + 2ζ  j  ωn   ωn 

; ζ 〉0

ω 1 ωn ∠ − tan −1 ω 2  2  ω  ω 1− ωn 1 −  +  2ζ   ωn   ωn  2ζ

G( jω ) = 1∠ 0o G ( jω ) =

pada

1

1 ∠ − 90o 2ζ

ω →~

G( jω ) = 0∠ − 180o

dicari dari perpotongan G(jω) dengan sumbu maya.



ωr

dicari dengan menentukan


G( jω )

maximum.




Sedang simpangan resonansi dihitung sebagai berikut : Mr =

G( jω )

ω =ωr

G( jω )

Untuk

ω =0  ω   ω 2  + j  G( jω ) = 1 + 2ζ  j  ωn   ωn 

G ( jω ) =

pada

ω→0

pada

ω = ωn :

;ζ 〉 0

ω 2 2 ζ 2 2  ω  ωn 1 −  +  2ζω  ∠ tan −1    ωn  ω2  ωn2  1− ωn2

:

G( jω ) = 1∠ 0o

G( jω ) = 2ζ ∠ 90o

pada

ω →~

G( jω ) = ~ ∠180o




2

Untuk

 ω   ω  G ( jω ) = 1 + 2ζ  j  +  j  ; ζ 〉 0  ω n   ωn 




Contoh:




Transport Lag




Bentuk Umum Polar Plot

Untuk sistem tipe-0 (λ λ =0) : Kurva berawal (ω=0), dan sumbu nyata positif dengan magnitude berhingga dan sudut fasa = -90o pada titik tersebut kurva berakhir (ω=~). Pada salah satu sumbu (tergantung pada (n-m) Untuk sistem tipe-1 (λ λ =1) : Pada ω=0, kurva asimtotis terhadap sumbu maya negatif, akibat kontribusi suku jω pada penyebut. Kurva berakhir pada titik asal dan bersudut pada salah satu sumbu. Untuk sistem tipe-2 (λ λ =2) : Kurva asimtotis terhadap sumbu nyata negatif untuk frekuensi rendah dan berakhir pada salah satu sumbu.




Bagian pembilang G(jω) menentukan kerumitan bentuk kurva Nyquist (kontanta waktu pembilang).







◊ Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot Merupakan kurva log magnitude vs sudut fasa atau phase margin untuk cakupan frekuensi kerja.

• Kenaikan konstanta penguatan G(jω) hanya menggeser kurva keatas/kebawah, tanpa mengubah bentuknya. • Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudah ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan. • Kurva G(jω) simetris terhadap titik asal dengan mengingat

1 G ( jω )

 1  20 log  = −20 log G( jω )  G ( jω  1 ∠ = −∠G( jω ) G ( jω )







◊ KRITERIA KESTABILAN NYQUIST

C ( s) G ( s) = R( s) 1 + G( s) H ( s) • Sistem

stabil bila akar-akar persamaan 1 + G ( s) H ( s) = 0 terletak disebelah kiri bidang-s.

karakteristik

• Sistem tetap stabil bila kondisi diatas dipenuhi meskipun pole-pole/zero-zero fungsi alih loop terbuka ada yang terletak disebelah kanan bid-s. • Kriteria Nyquist menghubungkan tanggapan frekuensi loop terbuka G( jω ) H( jω ) terhadap jumlah pole dan zero loop tertutup 1 + G ( s) H ( s) yang terletak di daerah tak stabil pada bid-s. • Kestabilan dapat ditentukan dari kurva tanggapan frekuensi loop terbuka (diperoleh secara analisis eksperimen) tanpa perlu menentukan letak pole-pole loop tertutup. • Perlu pemahaman konsep pemetaan bidang-s ke bidang F ( s) = 1 + G ( s) + H ( s).







Beberapa Catatan Penting dari Pemetaan 1. Bila ada n pole dikelilingi oleh kurva tertutup bidang-s, maka titik asal akan dikelilingi n kali berlawanan arah jarum jam pada di bidang F(s). 2. Bila ada pole dan zero dengan jumlah sama pada kurva tertutup di bidang -s, maka kurva tertutup di bidang F(s) tak mengelilingi titik asal. 3. Bila ada zero yang dilingkupi oleh kurva tertutup dibidang-s, maka kurva tertutup pada bidang F(s) nya akan mengelilingi titik asal searah jarum jam sebanyak jumlah zero tersebut. 4. Bila kurva tertutup di bidang-s tak mencakup pole atau zero, maka kurva pemetaannya di bidang F(s) tak mengelilingi titik asal pula. 5. Pemetaan dari bidang-s ke bidang T(s) merupakan pemetaan 1-1, sebaliknya tidak.




Teori Pemetaan :

Anggap

F ( s) =

p( s) q ( s)

Bila :P = jumlah pole F(s) yang terletak di dalam beberapa lintasan tertutup dibidang-s.

Z = jumlah zero F(s) yang terletak di dalam beberapa lintasan tertutup di bidang-s. (lintasan tersebut tidak melalui pole-pole / zero-zero tersebut).

Lintasan-lintasan tersebut dipetakan pada bidang F(s).

Maka :

Total jumlah N lintasan tertutup di bidang-s yang mengelilingi titik asal searah jarum jam = Z - P.




Aplikasi Teori Pemetaan pada Analisis Kestabilan • Lintasan tertutup pada bid-s mencakup semua bidang sebelah kanan (lintasan Nyquist).

• Semua pole dan zero 1 + G(s) H(s) yang memiliki bagian nyata positip tercakup pada lintasan Nyquist. • Sistem stabil bila tak ada akar-akar 1+G(s)H(s) = 0 didalam lintasan Nyquist.




Pemetaan Loop Tertutup ke Loop Terbuka

• Pengelilingan titik asal oleh kurva 1 + G(jω) H(jω) berubah menjadi pengelilingan titik -1 + j0 oleh kurva G(jω) H(jω).




Kriteria Kestabilan Nyquist [Untuk kasus G(s)H(s) tak memiliki pole/zero pada sumbu maya jω].

• Bila fungsi alih loop terbuka G(s)H(s) memiliki k pole di sebelah kanan bidang-s dan lim s→~ G(s)H(s) = konstan, maka sistem stabil bila kurva G(jω)H(jω) mengelilingi titik -1 + j0 sebanyak k kali berlawanan searah jarum jam. • Lintasan Nyquist tak boleh melalui pole/zero 1+G(s)H(s). • Bila ada satu atau lebih pole G(s)H(s) dititik asal (pada bid-s), maka lintasan Nyquist harus tidak mencakupnya).




• Banyaknya akar F(s)=1+G(s)H(s) yang terletak di daerah tak stabil sama dengan banyaknya pole G(s)H(s) di daerah tak stabil ditambah dengan berapa kali kurva F(s) mengelilingi titik asal searah jarum jam Z = N + P.

Z=N+P Z = banyaknya akar 1+G(s)H(s) disebelah kanan bidang-s N = Berapa kali titik -1+j0 dikelilingi searah jarum jam. P = banyaknya pole loop terbuka G(s)H(s) disebelah kanan bidang-s. ∗ Sistem stabil bila Z = 0 : 1) 2)

P = 0 dan N = 0 Bila P ≠ 0, maka N = -P

∗ Sistem multi loop harus dianalisis kestabilannya secara hatihati. Lebih mudah gunakan kriteria Routh. ∗ Bila ada fungsi transendental (misal e-Ts) pada G(s)H(s), dekati fungsi tersebut dengan 2 suku pertama deret .

e −Ts

Ts (Ts ) 2 (Ts )3 1− + − + ••• 2 8 48 = ⇒ Ts (Ts ) 2 (Ts )3 1+ + + + ••• 2 8 48

e −Ts

Ts 2 = 2 − Ts ≈ Ts 2 + Ts 1+ 2 1−

selanjutnya gunakan kriteria Routh. ∗ Bila kurva G(jω)H(jω) melalui titik -1+j0, berarti ada polepole loop tertutup pada sumbu jω : sistem berosilasi.



◊


Kasus Khusus Bila Ada Pole/Zero G(s)H(s) pada Sumbu jω ω k s( s + 1)

Ambil

G( s) H ( s) =

• Pemetaan dengan

s = εe jθ ; ε → 0 θ;−90o sampai + 90o ,

( )( )

G εe j θ H εe j θ =

maka

k k = e − jθ εe j θ ε

(setengah lingkaran dengan jari-jari ~ dan bermula dari +900 hingga -900)

N = 0;

P = 0 → Z = 0 (stabil)




k ( ) ( ) G s H s = Ambil s2 ( Ts + 1) jφ Pemetaan s = ε e ;

t → 0; θ :− 90 o sampai

+ 90o ,

diperoleh : k − j 2θ lim ( ) ( ) G s H s = e θ j 2 s→te ε

(lingkaran dengan jari-jari ~ dan berawal dari 180o hingga 180o).

Terlihat: N=2; P=2, sehingga Z=2

(tak stabil)




BEBERAPA CONTOH ANALISIS KESTABILAN Contoh 1:




Contoh 2:




Contoh 3:




Contoh 4:




Contoh 5:




Pembahasan Lanjut (Optional):

1. Invers Polar untuk Memudahkan Analisis Kestabilan Nyquist pada Sistem Multiple Loop.

2. Analisis kestabilan Relatif / Transient melalui modifikasi Lintasan Nyquist.




◊ Analisis Kestabilan Relatif/Transient • Sistem harus stabil dan tanggapan transientnya memadai. • Kurva Nyquist dapat menunjukkan keduanya dan bagaimana kestabilan diperbaiki bila diperlukan. • Asumsi pada analisis. 1. Sistem Balikan Satuan

2. Sistem fasa minimum (tak memiliki pole loop terbuka didaerah tak stabil bidang-s) • Analisis melalui 1)

Pemetaan Konformal (optional)

2)

Pemetaan Phase Margin dan Gain Margin




∗ Phase Margin dan Gain Margin

• Untuk k besar, sistem tak stabil. • Untuk k lebih kecil, kurva G(jω) melewati titik -1+j0, sistem berosilasi (batas kestabilan). • Untuk k kecil, sistem menjadi stabil. • Makin dekat kurva G(jω) mengelilingi titik -1+j0, tanggapan sistem makin berosilasi. • Kedekatan kurva G(jω) ketitik -1+j0 merupakan ukuran batas kestabilan : phase margin dan gain margin. ◊ Phase margin : jumlah phase lag tambahan pada frekuensi gain crossover (ωgco ) yang diperlukan untuk membuat sistem tak stabil. ωgco : frekuensi pada saat

γ = 180 o + φ ;

G( jω ) = 1

(

φ : sudut fasa G jω gco

)







• Gain margin : kestabilan magnitude phase crossover ω pco ω pco

: frekuensi pada saat kg

Bila

kg 〉 1

(

1

G jω pco

G( jω )

pada frekuensi

∠G( jω ) = −180o

)

: gain margin positip

Untuk sistem phase minimum : gain margin positip (negatip) menunjukkan berapa besar penguatan masih dapat dinaikkan (diturunkan) sebelum sistem menjadi tak stabil (stabil) • Sistem phase minimum stabil bila gain margin dan phase margin positip. • Untuk sistem stabil kondisional : ada 2 atau lebih frekuensi phase crossover. • Untuk sistem orde tinggi mungkin memiliki 2 atau lebih frekuensi gain crossover : phase margin dihitung pada frekuensi gain crossover tertinggi. • Tanggapan transient “optimum” bila : phase margin 300 sampai 600 gain margin > 6 db • Untuk sitem phase minimum, phase margin 300-600 berarti kemiringan kurva Bode G( jω ) pada ωgco harus lebih landai dari -40db/dec. (yaitu -20db/dec) agar stabil. Bila kemiringan tersebut mencapai -60 db/dec, sistem hampir pasti tak stabil.


Nichols

Recommend Documents