Stati
a zprávy
z
výzkumu
NESNÁZE PŘI BUDOVÁNÍ PŘEDSTAV ČÍSLA* Milan Hejný Anotace: Poznávací proces od motivace přes izolované modely, generický model, až po schéma je vyložen a aplikován na ranou aritmetiku. Jsou popsány příčiny některých potíží, které mají žáci s porozuměním čísla a aditivních operací. Uvedeny jsou návrhy prevence i reedukace těchto potíží. Klíčová slova: zobecňování, metika'.
izolovaný
1.Úvod Budování představ čísla a porozumění operacím sčítání a odčítání i relaci porovnávání čísel je součástí rozvoje obecnějších kognitivních schopností, jako jsou zobecňování, abstrakce, třídění, experimentování, objevování, argumentace, modelování apod. Některé děti již v předškolním věku mohou úspěšně pracovat s dvoumístnými čísly, jiné na konci první třídy mají potíže i s čísly do 10. Speciální pedagogové a psychologové věnovali a věnují této problematice značnou pozornost. Autor této stati není ani speciální pedagog, ani psycholog. Odvahu přispět do diskuse mu dal kolega Boris Titzl ujištěním, že myšlenky o rané aritmetice, rozpracované autorem a jeho spolupracovníky, mohou být zajímavé i pro čtenáře Speciální pedagogiky.
a generický model, schéma, vyučování,
raná arit-
Cílem článku je 1) hledat příčiny nesnází, které při budování představ čísla mají žáci na 1. stupni ZŠa 2) hledat možnosti překonávání těchto nesnází. Oba cíle budou diskutovány až v poslední, čtvrté kapitole. Dříve musíme popsat a ilustrovat nástroje, kterými problematiku zkoumáme. Ve 2. kapitole se zaměříme na proces zobecňování a v kapitole 3. na koncept schématu. Poznávací proces je zkoumán v mnoha psychologických studiích. Z nich vycházejí i studie, které patří do didaktiky matematiky. Naším nástrojem výzkumu bude teorie generických modelů 2 , již koncipoval na začátku sedmdesátých let minulého století autorův otec, Vít Hejný. Jeho hlavní snahou bylo srozumitelně popsat pozná-
* Článek prezentuje výsledky výzkumu grantového projektu MSM 002 162 0862. 1 Anglický t e r m í n „early" překládáme „raná". Jeví se n á m vhodnější než „počáteční"'. 2 Novější verze teorie je popsána v s e d m é kapitole knihy Hejný; Kuřina 2009.
vací proces tak, aby učitel pomocí tohoto nástroje dokázal 1) diagnostikovat kvalitu konkrétního žákova poznatku a 2) v případě poznatku nekvalitního (formálního), najít vhodný způsob reedukace. Z mnoha badatelů, kteří ovlivnili teorii generického modelu, jmenujme aspoň dva. Teze „akty senzorimotorické inteligence záleží výlučně ve vzájemném koordinování po sobě jdoucích vjemů a ... nikdy nevyústí v představu celku" (J. Piaget 1970, s. 103) ovlivnila koncept izolovaného a generického modelu. Idea abstrakčních zdvihů v teorii V. Hejného je osnovaná na hluboké analýze pojmového myšlení L. S. Vygotského (1970) a na jeho chápání rozvoje intelektu jako sledu verbalizace kategorizace racionalizace, jak výstižně píše M. A. Cholodnaja (1997, s. 59). V posledních sedmi letech, v souvislosti s psaním učebnic matematiky pro 1. stupeň ZŠ, byla teorie rozšířena o část, která zkoumá proces implementace nových přístupů k vyučování matematice. Příslušnou edukační strategii jsme pracovně nazvali „vyučování zaměřené na budování schémat" (scheme-oriented education). Výsledky našeho bádání jsou popsány v mnoha statích z nichž si čtenáři dovolíme doporučit tři česky psané studie autorů 5
Jirotkové, Slezákové a Hejného z roku 2007 (viz Literatura).
2.Zobecňování je mentální proces, který mění konkrétní dílčí poznatky na poznatek obecnější platnosti. Teorie generického modelu rozkládá tento proces do tří etap: Motivace zrod a nárůst izolovaných modelů -> zrod a rozvoj generického modelu
2.1 Motivaci3 chápeme jako.potřebu poznávání, která pramení z • rozporu mezi „nevím" a „potřebuji znát", • potřeby opakovaně prožívat „toxickou rozkoš náhlého porozumění 4 ", • někdy i z j iných potřeb, jako například potěšit rodiče dobrou známkou apod. Dítě je zvídavé, má silnou potřebu poznávání. Ptá se na vše, co se octne v jeho poli vnímání. Motivace dítěte se od motivace dospělého člověka liší zejména v naléhavosti potřeby poznávat a v motivačním spektru. Dítě chce např. papír a nůžky a dožaduje se toho ihned, teď. Právě teď je jeho připravenost získávat nové manipulativní zkušenosti intenzivní. Za nějakou chvíli tato připravenost odezní. Dospělý dokáže na realizaci svého motivačního impulzu
Ne vždy je žák k matematice motivován. Nezřídka bývá nucen. Pak nemluvíme o motivaci, ale stimulaci. Rozdíl vychází z latinských slov: moveó = hýbat, pohybovat, stimuló = ostnem bodat.
' Exprese intoxicating delight ofsudden understanding je převzata z B. Russella (1961, s. 53).
čekat. Motivační spektrum dítěte je široké a těkavé. Motivace dospělého člověka je stálá a selektivní. Dítě se zajímá o pejska, pak o mapu, pak o šachy... Zájmy dospělého člověka jsou soustředěny do několika málo oblastí. Uvedená odlišnost motivační charakteristiky dítěte a dospělého bývá příčinou nedorozumění. Přirozená těkavost zájmů dítěte se dospělému často jeví jako nežádoucí, protože „chaotická a nesystematická práce k ničemu nevede". Naléhavost potřeby dítěte poznávat bezodkladně, vnímá dospělý často jako tvrdohlavost, nebo dokonce drzost. Jenže jak těkavost, tak naléhavost dětské motivace má svoje opodstatnění. Je to potřeba poznávat sebe sama a své možnosti v nejrůznějších situacích a je to často potřeba chvilková, ale intenzivní. Příběh 1. Marie, posluchačka primární pedagogiky Pedagogické fakulty UK v Praze, v rámci praxe učila v 1. třídě. Kmenová učitelka ji požádala, aby dovedla žáky k poznání, že když z 5 objektů o d s t r a n í m 2, zůstanou objekty 3 bez ohledu na to, které dva objekty odstraním. Marie úkol úspěšně zvládla. Posadila žáky na koberec do kruhu a do středu dala pět velkých krychlí. Ukázala na jednu z nich a zeptala se „Když tuto krychli odeberu, kolik jich zde zůstane?" Po správné odpovědi třídy ukázala na jinou krychli a dala stejnou otázku Lenka řekla „opět zůstanou čtyři; pokaždé". Spolužáci souhlasili a Marie chtěla začít s odebráním dvou krychlí. Jenže Jiřík nejprve tiše a pak hlasitě na-
mítal, že když krychle postaví jako věž, bude moci odebrat jen tu horní krychli. Vstal a chtěl krychle stavět na sebe. Marie jej zastavila, řekla mu ať nevymýšlí a pokračovala ve svém scénáři. Jiřík vybral z krabice několik malých kostek a stavěl z nich věž. Marie to nejprve tolerovala, ale když se Jiříkův soused začal s ním tiše bavit, přikázala Jiříkovi vrátit malé krychle zpět do krabice. Po hodině následoval rozbor, kterého se kromě Marie a autora zúčastnilo ještě 6 dalších posluchačů. Všichni posluchači souhlasili s postupem Marie. Požádal jsem Marii, aby se pokusila uhodnout, co se asi odehrálo v důsledku jejího počínání v hlavě Jiříka. Marie po chvíli řekla, že hoch si musí být vědom, že nemůže narušovat vyučování. Právě v té chvíli si dvě další posluchačky něco šeptaly. Poprosil jsem je, aby nám prozradily, co si povídají. Uršula řekla, že se radí, zda Marie neměla těm dvěma říci, ať se jdou bavit kousek vedle. Řekl jsem, že podle této rady bych já teď měl požádat Uršulu a její kamarádku, aby se šly bavit někam stranou. Všichni se zasmáli a následovala velice plodná diskuse o problematice, kdy umožnit žákovi nebo dvěma žákům osamostatnit se ve svých myšlenkách od toho, co dělá třída. Pěkný závěr diskuse udělala Uršula, když řekla: „Celá tato zajímavá diskuse vzešla z toho, že my s Magdou jsme vlastně vyrušovaly, ale pan profesor místo toho, aby nás vyhodil, nebo aspoň napomenul, dal nám možnost říci, o čem si povídáme. Asi totéž měla udělat i Marie. Měla požádat Jiříka, ať vy-
loží dětem svoji myšlenku. Jenže ono je to těžké. Já jako učitel mám svůj scénář a chci jej dodržet." Uršula mne inspirovala, abych popovídal o tom, jak jsem se nejméně rok učil vnímat podněty žáků nejako narušení toho, co jsem si doma naplánoval, ale jako reakci žáků na danou situaci. Když jsem této spontánní reakci třídy dal prostor, skoro vždy jsem hodnotil následnou diskusi jako přínosnější, než byl původní scénář. Komentář. Marie vnímala Jiříkovu poznámku jako rušivý zásah do svého scénáře. Nevyužila možnost nechat podnětnou myšlenku rozdiskutovat spolužáky. Nepovolila ani experimentování dvou žáků. Následující diskuse posluchačů o tomto problému byla velice plodná a hodnotná zejména tím, že si posluchači zvědomovali vlastní zkušenosti a překročili v úvahách úzký rámec pedagogické konvence a tradice. Bylo jasné, že vstup Uršuly byl asi největším přínosem pro naši diskusi, byť z mého pohledu, z pohledu učitele, to byl vstup neplánovaný a tedy „rušivý".
2.2 Izolovaný model je konkrétní případ příští znalosti. Ze série takových dílčích zkušeností si člověk vytvoří obecnější poznání. Někdy je tento proces kratičký, často trvá ale hodiny i dny, a v takovém případě je užitečné rozdělit etapu izolovaných modelů na 4 podetapy: 1. Ve vědomí se objeví první konkrétní zkušenost, první model - zárodek příštího poznání. 2. Postupný příchod druhého a dalších izolovaných modelů, které zatím nejsou
propojeny. Mohou se objevit i modely falešné a být zamítnuty modely správné (příběhy 3. a 4.). 3. Některé modely začnou na sebe navzájem poukazovat a shlukovat se do skupin a oddělovat od jiných. Vzniká předtucha, že tyto modely jsou v jistém smyslu „stejné". 4. Zjištění podstaty oné „stejnosti" vede k vytvoření komunity modelů. Zásadní roli zde hraje třetí etapa - vytvoření vazby mezi izolovanými modely. Bez ní si dítě nemůže vytvořit generický model. Člověk, který má tuto vazbu u daného poznatku vytvořenu, umí k danému izolovanému modelu vytvořit paralelní model v jiné sémantické situaci. Bez takové představy je jeho poznání formální. Příběh 2. Pětiletý Filip spočítal, že 2 jablíčka a 3 jablíčka je dohromady 5 jablíček. Potom měl spočíst 2 bonbony a 3 bonbony. Hoch začal počítat. Otec jej přerušil a ukázal mu, že nemusí počítat to, co již bylo spočítané. Stačí využít předcházející výsledek. Otec chlapci ukázal, že vztah 2 + 3 = 5 je stejný, ať již k počítání použijeme prsty, židle, autíčka nebo sirky. Hoch tátovo vysvědování pochopil, ale nadšení z nové znalosti neprojevoval. Komentář. Otec správně zvážil, že z jednoho výpočtu s konkrétními předměty Filip ještě neví, že vztah 2 + 3 = 5 platí obecně. Proto mu k prvnímu izolovanému modelu (jablíčka) nabídl druhý (bonbóny). Jenže do druhé podetapy hocha neuvedl, protože přeskočil dvě další podetapy a hned nabídl synovi podetapu poslední,
když mu řekl že druhý izolovaný model je stejný, jako byl první. Otec ve snaze urychlit synův poznávací proces připravuje hocha o radostný zážitek autonomního objevu a zpomaluje rozvoj jeho schopnosti objevovat. Připomíná zahradníka, který ve snaze urychlit růst kytek, každé ráno je povytahuje kousek nahoru. Otcovo počínání má ještě další a hlubší důsledek. Negativně ovlivňuje Filipovu strategii učení se. Orientuje hocha k přebírání hotových poznatků, a ne ke konstrukci poznatků vlastních. Nešťastně ovlivňuje Filipův styl učení ve směru od hloubkového k povrchovému. Dodejme, že polarita hloubkového a povrchového stylu učení, která osvětluje d o m i n a n t n í část námi zkoumaného problému, je skvěle rozpracována v monografii J. Mareše (1998). Základní informaci o této polaritě získá čtenář z názorného grafu, který je na straně 39 uvedené monografie. Následující dva příběhy vypravují matky o svých dětech. Ve 3. příběhu objeví Ivo model falešný, když při sčítání veličin nebere v úvahu jednotky. V příběhu č. 4 Šárka zamítá model správný, protože její představa pojmu „polovina" je omezena. Příběh 3. (Z dopisu kolegyně Ľudky Hrinkové) Moja dcéra, piatačka, písala dnes domácu úlohu. Napísala 2 dm + 7 cm = 27 cm. Syn, prvák Vilko, povedal, že to má zle, že 2 + 7 = 9. Soňa mu ukázala kolko sú 2 decimetre a koľko 7 centimetrov. Vilko trval na svojom. Povedal, že na velkosti nezáleží, lebo keď zráta 2 velké melóny a 7 malých čerešní, že to i tak bude
9 kusov ovocia. Sama som sa to pokúsila Vilkoví vysvetliť, ale nepodarilo sa mi to. Musím dodať, že mi včera zápalisto vykladal, ako im pani učitelka ukazovala, že pri počítaní nezáleží na velkosti toho, čo sa počíta (ľudia, ovocie, hračky), ale iba na počte. ... O svojej pravde bol skalopevne presvedčený. Neviem, ako to môžem prvákovi vysvetliť, aby to pochopil. Poradíte? Komentár. Ivo se zatím nesetkal s číslem v kontextu veličiny. Navíc má ve vědomí čerstvé poznání, že pro součet není důležitá velikost počítaných objektů, pouze jejich počet. Řekla to paní učitelka, a tak je to svaté. Mamince jsem odepsal, že hocha nutno navést k pochopení rozdílu mezi počtem a veličinou. Nutno k tomu použít veličinu, se kterou má životní zkušenosti. Asi nejlépe peníze. Nic nevysvětlovat, ale dát Ivovi otázky jako: Co je víc - 1 pětikoruna, nebo 3 koruny? Lízátko stojí 5Kč. Ty máš 2 dvoukoruny a l korunu. Stačí ti to? Kolik je 1 pětikoruna a 4 koruny? Důležité je, aby veličiny (psané zde italikem) byly napsány na papíře. Aby Ivo viděl napsáno 1 pětikoruna + 4 koruny = 9 korun. Příběh 4. (Marcela Sasková) Mé děti se kdysi dohadovaly, kdo snědl víc rohlíků. Ondra snědl jeden celý, Šárka měla rohlík podélně rozkrojený a tvrdila, že snědla dva. Ondra se hádal, že snědli oba dva stejné, protože Šárka má dvě půlky. Šárka řekla, že toto nejsou dvě půlky, protože jsou stejně dlouhé, jako celý rohlík, dvě půlky by údajně byly tehdy, pokud by byl rohlík rozkrojen napříč."
Komentář. Rohlík rozpůlený příčné je pro Šárku izolovaný model slova „polovina", ale rohlík rozkrojený podélné není. Pěkný příklad zamítnutí správného modelu, o němž píšeme v druhé podetapě tvorby izolovaného modelu. Dodejme, že pojem poloviny, který představuje okno do světa zlomků, je podstatně náročnější, než se běžné předpokládá. Ukážeme to na příbězích 7 a 8.
2.3 Generický model se rodí z komunity izolovaných modelů a má k této komunitě dvě vazby: a) je sjednotitelem komunity izolovaných modelů a b) je prototypem každého jedince této komunity. Generický model se do vědomí člověka nedostává importem zvenčí jako informace. Rodí se z lůna komunity izolovaných modelů zobecněním. V příběhu 2 jsme viděli neúspěšnou snahu otce dát synovi generický model jako hotový produkt. V následujícím příběhu uvidíme, jak moudrá babička úspěšně pomůže vnučce generický model objevit. Příběh 5. Pětiletá Františka ráda počítá. Zejména s babičkou. Již několikrát na různých objektech vypočítala že 2* + 3* = 5*5. Jednou, když opět přišla Františka k babičce na návštěvu, měla již babička pro vnučku připravenu náročnou úlohu. Řekla: „Tady pod ubrouskem jsou dvě 5
jahody a pod moji rukou jsou tři jahody. Kolik je tady jahod dohromady?" Dívka j a h o d y neviděla. Chvíli na ubrousek i babiččinu ruku hleděla, pak k ubrousku dala dva prsty levé ruky a k babiččině ruce tři prsty pravé ruky a prsty spočítala. Radostně zvolala: „Pět." Babička ji velice pochválila. Františce zasvítila očka a řekla: „To pokaždé bude pět. Dvě a tři je pokaždé pět". Komentář. Při práci s malými čísly si běžně pomáháme prsty. Lhostejno, zda počítáme holuby na střeše nebo dny strávené na služební cestě. Prsty jsou tedy generický nástroj na práci s malými čísly. Františka již dříve počítala i na prstech, ale teď sama objevila tento nástroj na počítání objektů, které nevidí. Objevila nejen generický nástroj, ale i generický poznatek 2 + 3 = 5. Mnohé předchozí součty 2* + 3* = 5* zde slouží jako izolované modely, součet uskutečněný na prstech je model generický. Je sjednotitelem všech předchozích součtů 2* + 3* a současně je prototypem všech dalších podobných součtů, které bude dívka počítat v budoucnu. V objevu je již předznamenán hlubší objev, že totiž výsledek součtu jakýchkoliv objektů závisí pouze na číslech, nikoli na tom, co se počítá. Právě tento hluboký objev způsobil velikou radost dívky. Z didaktického hlediska je poučné porovnat přístup babičky a přístup Filipova otce z příběhu 2. V obou případech chce
Znak 2* představuje dva objekty: například 2 bonbóny, 2 panenky, 2 židle, 2 lidi ... Stejně i znaky 3*, nebo 11*. Hvězdička zastupuje jakýkoliv objekt.
m
dospělý navést dítě na pochopení vztahu 2 + 3 = 5. Otec volí cestu poučení. Babička cestu úlohy. Babička Františce nic nevysvětlovala, ale když viděla vnuččin zájem o počítání, dala jí náročnou úlohu. Řešení vyžadovalo od dívky novou strategii: objekty nebylo možné počítat přímo, bylo nutné situaci modelovat na prstech. Františka ji objevila. Její poznání, na rozdíl od poznání Filipa, je hlubší, trvalejší a je provázené radostí dítěte z objevu. Prsty jako generický model na počítání lze použít v mnoha případech. Existují ale úlohy, kde s tímto modelem nevystačíme. Například k řešení následující úlohy. Úloha 1. Do autobusu nastoupili 2 lidé a 3 lidé z něj vystoupili; jak se změnil počet cestujících? Některé děti jsou schopny tuto úlohu řešit pomocí prstú, ale některé nikoli. Těm musíme nabídnout jiný generický model, například krokování. Příběh 6. V první třídě řeší žáci úlohy na krokování. Na podlaze je přímá řada 10 značek. Každé dvě s o u s e d n í jsou vzdáleny 30 cm. Anička a Boris stojí bok po boku vedle první značky. Lenka velí: „Aničko, tři kroky dopředu, jeden dozadu a pak dva kroky dopředu, začni teď!" Anička odkrokuje. Učitelka se ptá třídy: „Kolik kroků má udělat Boris, aby byl opět vedle Aničky?" Žáci na prstech ukazují svá řešení. Učitelka vyvolá Mirka, ten řekne „čtyři" a velí: „Borisi, čtyři kroky dopředu, začni tedl" Boris odkrokuje a opět stojí vedle Aničky. Třída Mirkovi zatleská, že to dobře vyřešil.
Hru na krokování již žáci hrají více než měsíc, každý týden tak 5-6 produkcí. V zadní lavici sedí bystrá Verunka a pomalý Patrik. Verunka se na divadlo nedívá, poslouchá povely a krokování si modeluje na prstech. Pokaždé je rychle hotova. Patrik si stoupne, aby viděl na značky. Když Anička odkrokuje, počítá Patrik úseky od Borise k Aničce. Ukazuje si prstem a skoro pokaždé to vyřeší dobře. I tentokrát to vyřešil dobře. Pak si sednul a úlohu řešil znovu, na prstech, podle Verunky. Učitelka si toho všimla a hocha pochválila. Následující úlohu již řešil Patrik jen na prstech. Učitelka dávala povely sama. Zvolila úlohu 3 + 2 a dala si načas, aby to Patrik zvládnul. On pracoval se zaujetím a vysoce nad hlavu zvednul 5 prstú. Učitelka jej vyvolala a on křiknul „pět". Učitelka řekla: „Tak už to Patriku taky umíš na prstech!" Hoch pak radostně opakoval výpočet na prstech. K o m e n t á ř . Počítání p o m o c í prstú a počítání pomocí kroků jsou dva různé generické modely. Verunka viděla jejich souvislost, Patrik nikoli. Hoch viděl, že Verunka počítá kroky pomocí prstů, ale až v popsané epizodě jej napadlo pokusit se o totéž. Když se mu to povedlo, vytvořilo se v jeho mysli propojení mezi oběma generickými modely. Dodejme, že značné mu k tomu pomohla učitelka pochvalou a adresné k Patrikovi volenou následující přiměřeně náročnou úlohou. Příběh ukázal, že kvalita znalosti (pojmu, vztahu, procesu, situace) závisí od bohatosti generických modelů a jejich vzájemného propojení. V budoucnu k těmto
m
dvěma generickým m o d e l ů m Patrika přibudou další a vytvoří v jeho vědomí aditivní schéma, které bude obsahovat vše, co Patrik o sčítání a odčítání čísel ví. Ideu schématu osvětlíme blíže. V p o s l e d n í c h dvou příbězích této kapitoly se vrátíme k pojmu polovina, abychom ukázali, že jak žáci, tak i dospělí mají generický model tohoto pojmu velice často neúplný. Příběh 7. Dvaceti žákům č t v r t é h o ročníku byly dány s časovým odstupem následující dvě úlohy. Úloha 2a. (Na stole leží dva koláče.) Vezmi polovinu z těchto dvou koláčů. Úloha 2b. (Na stole leží dva rozpůlené koláče.) Vezmi polovinu z těchto dvou koláčů. První úlohu vyřešili všichni správně vzali jeden koláč. U druhé úlohy 13 žáků chybovalo. Vzali jen polovinu koláče, nikoli celý koláč. Příběh 8. V učebnici M4 vydané nakladatelstvím Fraus, s. 35, cvičení 20, je následující úloha: Úloha 3. Maminka poslala na nákup polovinu svých dětí a púl dítěte. Doma zůstalo jen jedno její dítě. Kolik má maminka dětí? Na úlohu popudlivě reagovalo více dospělých. Výraz „půl dítěte" vyvolal jejich v myslích morbidní představu. Jejich útok na úlohu přetrval i poté, co se dověděli řešení: maminka má 3 děti; dvě jdou nakupovat, jedno zůstává doma. Komentář. Potíže s výrazem „polovina z X" vznikají, když je ono X trochu slo-
E9
žitější. V úloze 2b. složitost představuje přítomnost čtyř kousků, z nichž každý je polovina koláče. Žáci, kteří jako odpověď vzali tuto polovinu, nevnímali celek, kterým je dvojice koláčů. V úloze 3 je situace ještě náročnější. Nejenže slova „půl dítěte" vyvolávají zděšení, ale navíc se termín „polovina" v úloze objevuje dvakrát. Podobně se objevuje i v dobře známe diagnostické úloze, se kterou má problémy i nemálo vysokoškolsky vzdělaných lidí. Úloha 4. Cihla váží půl cihly a půl kilogramu. Kolik váží cihla? Když se situace modeluje na kuchyňských váhách, nebo aspoň nakreslí, většina žáků 4. ročníku ji vyřeší. Na jednu misku kuchyňských vah položíme cihlu, na druhou polovinu cihly a Vi kg. Slabším žákům poradíme, ať si tu celou cihlu rozpůlí. Pak z obou misek odebereme půl cihly a na jedné misce zůstane polovina cihly, na druhé Vi kg. Váhy zůstanou v rovnováze. Tedy cihla váží 1 kg.
2.4 Schéma Abstraktní poznatek 2 + 3 = 5 může být ve vědomí žáka přítomen v různých generických modelech: a) 2 prsty + 3 prsty = 5 prstů, b) 2 kroky vpřed + 3 kroky vpřed = 5 kroků vpřed, c) z 2. schodu vystoupám 3 schody nahoru; jsem na 5. schodu d) 5letá Jana je o tři roky starší než 2letá Dana. Tyto modely reprezentují týž abstraktní poznatek a vytváří ve vědomí žáka schéma, které je žákovou znalostí daného poznatku. V odborné literatuře najdeme více interpretací termínu schéma. Zde
vycházíme z vymezení R. J. Gerriga (1991, s. 244), které odpovídá i pojetí Graye a Talia (1994): „Teoretici vytvořili t e r m í n schéma k označení paměťové struktury, která zahrnuje klastry informací relevantní k porozumění... Základní vhled do teorií schématu spočívá ve skutečnosti, že v paměti nemáme jenom izolovaná fakta. Informace jsou shlukovány do smysluplných funkčních jednotek. 6 " Ilustraci, kterou R. J. Gerrig uvádí, upravíme na naše reálie. Budeme se ptát na počet svítidel v bytě. Když někdo ode mne chce, abych řekl, kolik máme v bytě svítidel, odpovím až po chvíli. Projdu v představě všemi místnostmi našeho bytu a svítidla spočítám. Znalost počtu svítidel v našem bytě nebyla v mé paměti uložena jako izolovaný údaj. Byla a je uložena ve schématu našeho bytu, které mám vytvořené v představě. Ve tomto s c h é m a t u je k r o m ě svítidel u l o ž e n o množství dalších údajů o našem bytě: počet místností, dveří, oken, koberců, obrazů, stolů, stoliček... Nikdy jsem se tyto údaje neučil, a přece je znám. Je-li to třeba, mohu je zjistit. Ne okamžité, ale po chvíli. Ve školních podmínkách by moje liknavá odpověď byla učitelem shledána jako nedostačující.
6
Schéma mého bytu se v mém vědomí vytvořilo spontánně tím, že jsem v bytě žil a žiji. Stejné je to s mojí znalostí města, ve kterém žiji, učitelského sboru, jehož jsem členem, supermarketu, ve kterém nakupuji apod. Stejně je to i s matematikou. Zít v matematice znamená řešit mnoho úloh z různých matematických prostředí. Diskutovat o tom se spolužáky, vracet se k situacím, které jsem ještě zcela nepochopil. Jako důsledek této činnosti se ve vědomí žáka vytvoří schémata, která obsahují veliké množství různorodých, vzájemně provázaných znalostí. Budování schématu žádá obyčejně více času, než nácvik jednotlivých spojů. Na druhé straně, když je schéma vytvořeno, jsou v něm jednotlivé dílčí spoje uloženy jako prvky sítě, jejíž hustota narůstá každým novým řešitelským postupem a nepodléhá rychlému zapomínání. Tedy účinný způsob edukační strategie v matematice je budování schémat. Ta si žák buduje „pobytem" v různých matematických prostředích. Specifickým schématem je proces řešení Rubikovy krychle. Krychle o rozměrech 3 x 3 x 3 má každou stěnu barvenu jinak. Každá stěna je složena z 9 čtverců a celá krychle se otáčením „stěn" dá upravit tak,
"Theorists have coined the term schémata to refer to the memory structure that incorporate clusters of information relevant to comprehension... A primáry insight to schéma theories is that we do not just have isolated facts in memory. Information is gathered together in meaningful functional units." Dodejme, že slovo „cluster" nemá v českém jazyce přiměřený ekvivalent. Označuje shluk, chumel, seskupení, hlouček, trs nebo hrozen.
že barvy jsou zcela proházeny. Uvést je opět do původní polohy je velice náročná úloha. Před 35 lety, v době veliké obliby této hračky, mnozí -náctníci byli schopni rozházenou krychli uspořádat v průběhu jedné minuty pouze kombinací série triků, které si vzájemné odevzdávali. Ani já, ani žádný z mých kamarádů jsme to nedokázali, byť nám naši synové triky ukázali. Nebyli jsme schopni rychle danou situaci na krychli vyhodnotit a najít ten správný trik. Asi bychom se to naučili, ale vyžádalo by si to hodně času. Naši synové si dynamické schéma Rubikovy krychle vytvořili rychle. Schopnost dětí a žáků rychle si budovat zejména procesní schémata využívá naše edukační strategie jako klíčový nástroj výuky. V příběhu 6 jsme viděli, jak Patrik propojil dva generické modely operace sčítání: prsty a kroky. Propojení výrazně zvýšilo kvalitu hochova schématu aditivní aritmetiky. Budování schématu začalo izolovanými modely, které po shlukování se do klastrů vytvořily půdu pro vznik schématu. Schéma vzniká až objevením se prvního generického modelu. Všechny dřívější izolované modely, i ty, které se objeví dodatečné, náleží do schématu. Ale opornými sloupy schématu jsou jeho modely generické a jejich organizace, tj. síť vazeb, jimiž jsou modely provázány. Z didaktického hlediska je velice důležité uvědomit si, že mentální schémata jsou dynamická, že se v čase mění. Jednak tím, že se v nich objeví další generické modely, jednak propojováním různých generic-
kých modelů daného schématu navzájem. Dynamismus změn i propojování generických modelů dobře ilustruje následující příběh, kterým uzavřeme druhou kapitolu. Příběh 9. (Vypravuje matematik Ján Perenčaj, otec 6leté Veroniky.) Opět, po asi dvou měsících, jsem hrál s Verčou Člověče nezlob se. Její počítání se neuvěřitelné zlepšilo. Dříve vše počítala po jedné a mýlila se. Teď ihned poznala číslo, které padlo. Jednou hodila po sobě 2 šestky a trojku. Radostí skočila, chviličku na desku upřené hleděla a zvolala „šest a devět". Na své vstupní pole si postavila figurku a ihned ukázala na pole, na némž stála moje figurka, těsně před vstupem do domečku. Postavenou vlastní figurkou Veronika vítězně odpochodovala „jeden, dva, ... devět" na ukázané pole a moji figurku se smíchem vyhodila. „Je možné, aby se za tak krátkou dobu ta holka tak zlepšila?" Komentář. H r d é m u tatínkovi jsem rád odpověděl kladné. Rychlost, s jakou silně motivované dítě někdy rozvíjí vstup do světa čísel, nás překvapí, až zaskočí. Většinou se silná mentální akcelerace odehraje bez přítomnosti dospělého člověka. Ten pouze dodatečně tento skok eviduje, někdy i nešťastně dotváří a koriguje, aby odpovídal jeho představám. Překvapivý skok ve vývoji Veroniky způsobilo prostředí hry. Počítání zde nebylo samoúčelné a nebylo přikázáno „shůry". Bylo pouze nástrojem hry, která dívku přitahovala. V o k a m ž i k u , když Veronice p a d l o 6 + 6 + 3, mohla buď postupovat figurkou, kterou již měla na hracím plánu, nebo
vyhodit tátovu figurku. V prvním případě by první šestka byla operátorem změny, ve druhém je to volba adresy. Veronika volila druhou možnost. Obdivuhodně rychlé řešení složité situace ukazuje, jak dokonale má dívka vytvořeno propojení hozených číselných dat se situací na hracím plánu.
3. Schéma „číslo" a jeho generické modely V předchozí kapitole jsme připravili instrumentaci na kognitivní analýzu jevů z oblasti didaktiky matematiky. V této kapitole tímto nástrojem prozkoumáme ranou aritmetiku, tedy to, jak dítě v předškolním a raně školním věku vnímá různá sémantická ukotvení přirozeného čísla a operace sčítání a odčítání. První etapa budování představy malých přirozených čísel v předškolním a raně školním věku má rozhodující vliv na celý další proces rozvoje představ pojmu číslo. Jestliže se v této první etapě žák nesetká, nebo jen nedostatečně setká s číslem jako operátorem nebo číslem jako identifikátorem, objeví se tento nedostatek,
když bude žák poznávat větší přirozená čísla, čísla záporná i zlomky. Tradiční výuka matematiky v 1. ročníku rychle spěchá k zavedení číslic a rozšiřování souboru probíraných čísel, ale zanedbává seznamování žáka s různými reprezentacemi čísla, s různými jeho sémantickými kontexty. Na základě našich (i mnoha zahraničních) výzkumů a zkušeností závisí kvalita rozvoje představy pojmu číslo na poznání osmi, potažmo deseti různých generických modelů čísla. Každý z těchto modelů je charakterizován vlastním sémantickým ukotvením čísla. Jestliže pomineme číslo jako symbol (například číslo 13 ve vazbě „13 je číslo nešťastné"), neboť to nenáleží do aritmetiky, máme dva základní typy sémantického kotvení čísla: kvantita a identifikátor.
3.1 Kvantita Číslo jako kvantita má 7 případů uvedených v tabulce 1. Z nich poslední dva, vztahující se ke skaláru, nenáleží do prvního ročníku a uvádíme je jen kvůli úplnosti.
Tabulka 1
Stav S
počet
Mám 7 kuliček. Beethoven složil 9 symfonií.
veličina
Zmrzlina stojí 10 Kč. Auto jelo stovkou. 5 kg masa. Každý sedmý den je neděle. Každý desátý los vyhraje.
jak často?
změny OZ
Vyhrál 3 kuličky. Boty byly zlevněny o 100 Kč.
porovnání OP
Iva je o 3 cm vyšší a o 2 kg těžší než Eva.
o kolik? kolik?
změny
Kriminalita se zdvojnásobila. Vody trojnásobně ubylo.
porovnání
Rozloha Anglie je 5násobek rozlohy SR.
Frekvence 0 — u a. O
aditivní multiplikativní
kolik?
kolikanásobně?
m
Stav říká, co je a jak je. Veličinou (mírou) nazýváme to, co měříme pomocí jisté jednotky (metr, litr, gram, hodina, Kč, hektar, 1°, km/hod...). Jednotkou pro počet je „jeden kus". Pořadí je blízké k adrese, o které mluvíme dále. Frekvence udává h u s t o t u ( r y t m u s ) jistého jevu v souboru jevů. Neděle se rytmicky o p a k u j e každý sedmý den, ale výpověď o tom, že kaidý desátý los vyhrává, nemluví o rytmu, ale o hustotě výskytu. Operátor popisuje vztah dvou stavů. Když se jedná o stavy dvou různých objektů, jde o porovnání, když se jedná o dva stavy jednoho objektu v různých časech, mluvíme o změně. Aditivní operátor se vztahuje k operacím sčítání a odčítání a multiplikativní operátor se vztahuje k operacím násobení
nebo dělení. Multiplikativní operátor nazýváme skalárem.
3.2 Identifikátor je bud adresa nebo jméno. Adresa určuje lokalitu (místo), čas, objekt, nebo událost. Adresy tvoří strukturu, jména ji netvoří. Matematicky zajímavé jsou jen adresy. Ty jsou buď lineární, pokud směrují stále dopředu, nebo cyklické, pokud chodí dokola. Cyklické adresy vstupují výrazné do počítání. Když je 20 hodin, tak za 8 hodin budou 4 hodiny, nikoli 28 hodin. Když je 30. března, tak za 2 dny nebude 32. března, ale 1. dubna. U cyklických adres navíc nelze mluvit o porovnávání. Když je malá ručička na dvanáctce a velká na šestce, nelze říci, která je před a která za. Všechny tři případy sumarizuje následující tabulka:
Tabulka 2 Identifikátor n I«M •o « Jméno
místo
objekt/událost
čas
Lineární AL
Sborovna je ve 3. podlaží.
J. S. Bach zemřel v roce 1750.
Cyklická AC
Malá ručička stojí na čísle 12.
Pepa se narodil v 7:05 hodin ráno.
39. Mozartova symfonie je v e-moll. Hitler rozpoutal druhou světovou válku. Na vrchol nás vyvezla sedačka č. 15. Štědrý večer je 24. prosince.
Tramvaj číslo 3. Telefonní číslo sekretářky je 233 154
Uvedený přehled sémantických reprezentací čísla není klasifikací. Stejnou výpověď mohou různí lidé vnímat různé a nelze r o z h o d n o u t , který z nich má pravdu. Půvabný příběh o nedorozumění, ke kterému došlo u výrazu „tři lžičky", mi poslala v roce 2004 posluchačka kombi-
novaného studia, která, žel, neuvedla své jméno. Příběh 10. Připravovala jsem podle kuchařky salát a moje čtyřletá Karin mi pomáhala. Nahlas jsem přečetla z receptu slova „tři lžíce oleje". Vzala jsem lžíci a požádala jsem Karin, aby mi přinesla olej.
Ona to udělala, ale hned mi z příborníku ochotně nesla další dvě lžíce. Slovo „tři" již dobře znala a uměla počítat do šesti. Aktivita Karin mne tak pobavila, že jsem obě přinesené lžíce použila. Karin se na to dívala a pak se zeptala, proč se to nedá udělat s jedinou lžící, proč musí být tři. Nevěděla jsem, jak odpovědět. Něco jsem blekotala, ale Karin tomu asi nerozuměla. Komentář. Příběh ukazuje nádherné nedorozumění. Pro recept i pro maminku bylo číslo 3 veličinou a lžíce byla jednotkou objemu. Pro dívenku číslo 3 bylo počet. Když dívka viděla, jak maminka použila všechny tři lžíce, nechápala, proč to tak má být. Jak byste reagovali v roli maminky? Co byste řekli Karin? Následující příběh ilustruje důležitou skutečnost, že někdy pouze transformací reprezentace čísla lze dítěti osvětlit náročnou situaci. Příběh 11. Na procházce se ptám pětiletého vnuka Iva, za kolik let bude starší než jeho sedmiletý bratr Pavel. Ivo neví. Nakreslím hůlkou na zemi číselnou osu a vyznačím na ni čísla 1, 2 ... 9 zapsaná příslušným počtem čárek. Ivo spolehlivé počítá do 10, ale číslice zatím moc nezná. Pavla postavím k číslu 7 a řeknu „Pavlovi je sedm, tak jej postavíme na číslo sedm; tobě, Ivo, je pět, a tak té postavíme..." Ivo mi skočí do řeči „na pět" a již se sám na příslušnou značku staví. Pokračuji: „Teď jako že oba dva zestárnete o jeden rok, jo? Jak to bude tedy v příštím roce?" Oba hochy posunu o jeden rok kupředu. Ivo hned křičí „Nikdy! On bude pořád o dva roky napřed."
Komentář. Ivo dosud vnímal svůj věk jako počet, neboť již od tří let na otázku „kolik ti je?" ukazuje věk na prstech. Jednotkou je jeden rok (což je míra), reprezentovaný prstem (což je počet). Teď poprvé Ivo vidí jinou možnou interpretace věku. Je to adresa na číselné ose. Proces plynutí času, pro Iva těžko uchopitelný v reprezentaci počtu, je transformován na pohyb po číselné ose, tedy na reprezentaci změny adresy. Tuto reprezentaci Ivo chápe ihned. Z příběhu plyne obecné poučení: dítě, jehož představa čísla je omezena na počet, má méně kvalitní porozumění číslu než díté, jehož představa čísla obsahuje i číslo jako adresu, číslo jako operátor porovnání i operátor změny. Uvedený přehled sémantických reprezentací čísla umožní učiteli orientaci v náročné problematice. Například učitel může zjistit, které reprezentace jsou v učebnicích, které používá, zastoupeny nedostatečně, a vlastními úlohami je může doplnit tak, aby se žák již v prvním ročníku setkal se všemi reprezentacemi čísla. V následující kapitole ukážeme způsob tvorby úloh požadovaného typu i požadované náročnosti.
3.3 Slovní situace a konstrukce úloh Východiskem k o n s t r u k c e je slovní situace s jednou aditivní operací. Je to trojice výroků, obsahující po řadě čísla X, Y a Z vázána vtahem X + Y = Z, nebo X - Y = Z. Každé číslo má jisté sémantické ukotvení. Například, když se rozhodneme,
m
že X a Z budou stavy (počty) a Y bude operátor změny, tak východiskem může být situace daná třemi výroky: A. Měl jsem 3 kuličky. B. Vyhrál jsem 2 kuličky. C. Teď mám 5 kuliček. (*) Čísla X = 3, Y = 2 a Z = 5 splňují vazbu X + Y = Z, tj. 3 + 2 = 5. Číslo 3 z výroku A je počáteční stav Sp, číslo 2 z výroku B je operátor změny OZ a číslo 5 z výroku C je koncový stav Sk. Tato slovní situace je typu Sp + OZ = Sk. Z každé slovní situace můžeme vytvořit 3 základní typy úloh tím, že jedno z čísel situace utajíme. Když utajíme číslo 5 = Sk. mámeúlohu5,kterájetypuS + O Z = Sk(?): Úloha 5. Měl jsem 3 kuíičky. Vyhrál jsem 2 kuličky. Kolik mám teď kuliček? Když utajíme číslo 2 = OZ, dostaneme úlohu typu Sp + OZ(?) = Sfc: Úloha 6. Měl jsem 3 kuličky. Několik kuliček jsem vyhrál. Teď mám 5 kuliček. Kolik kuliček jsem vyhrál? Když v utajíme číslo 3 = S , dostaneme úlohu typu Sp(?) + OZ = Sk: ' Úloha 7. Měl jsem několik kuliček. Vyhrál jsem 2 kuličky. Teď mám 5 kuliček. Kolik kuliček jsem měl před hrou? Úloha 5 je jednoduchá, protože si její děj lze dobře představit a navíc ji lze řešit strategií signálu: žák si podtrhne čísla 3 a 2 a slovo „vyhrál", signalizující přičítání. Najde výsledek 3 + 2 = 5. Obě další úlohy jsou výrazně náročnější, protože obsahují antisignál. V obou totiž signální slovo „vyhrál" napovídá, že se bude sčítat, ale správná operace je odčítání. Úlo-
hy s antisignálem slouží jako diagnostický nástroj. Žák, který u úlohy 3 odpoví „vyhrál jsem 8 kuliček", evidentně nedokáže situaci úlohy uchopit. V takovém případě je třeba přistoupit k dramatizaci. Dát řešiteli 3 kuličky, které měl před hrou, pak mu dopřát výhru 8 kuliček, a ptát se, zda to odpovídá tomu, co úloha popisuje. Úloha 7 je ještě náročnější než úloha 6. Nejenže obsahuje antisignál, ale navíc začíná operátorem a nenabízí vstupní stav, od něhož je možné se odrazit. Náročnost operátoru spočívá v tom, že přináší s sebou kromě čísla daného i dvě virtuálně přítomná čísla. Jestliže řeknu, že na stole jsou tři jablka, je to informace uzavřená. Nevyžaduje další osvětlení. Jestliže ale řeknu, že v košíku je o 3 jablka více než na talíři, vyvolává tato informace v mé mysli otázky: kolik je těch jablek v košíku a kolik na talíři? Proto jsou úlohy, v nichž se objevují pouze operátory, hodné náročné. Navíc je u těchto úloh někdy velice složitý i jev signálu a antisignálu, jak naznačuje poslední příklad této kapitoly níže. Proces tvorby úloh je možné dále rozšířit. Z každé základní úlohy můžeme, teoreticky vzato, vytvořit dalších 5 úloh tím, že změníme pořadí, ve kterém čísla Sp, OZ a Sk vstoupí do úlohy. Například, když z textu úlohy 7 první větu vypustíme, dostaneme zadání, ve kterém čísla vstupují v pořadí OZ, Sk, Sp. Tato úloha je pro žáka 1. ročníku velice náročná. Závěrem uvedeme dvě slovní situace. První je typu AL - OP = AL, druhá je typu - OP + OZ = OP.
A. Adamovi je 9 let. B. Boris je o 3 roky mladší. C. Borisovi je 6 let.
(**)
A. V lednu byl Mirek o 3 cm nižší než stůl. B. Do října vyrostl o 5 cm. C. V říjnu je Mirek o 2cm vyšší než stůl. (***) Každá situace nabízí tři základní typy úloh. První: AL - OP = AL(?), AL - OP(?) = AL, AL(?) - OP = AL; jen poslední typ je s antisignálem. Druhá - OP + OZ = OP(?), - OP + OZ(?) = OP, - OP(?) + OZ = OP.
4. Odpovědi na otázky z úvodu Popsaná teorie generického modelu a vyučování matematice, které je zaměřené na budování schémat, umožňují popsat příčiny nesnází, jež při budování představ čísla mají někteří žáci, a naznačit možné cesty překonávání těchto nesnází.
4.1 Příčiny nesnází Z výše uvedeného vyplývá, že kvalita porozumění číslu je dána kvalitou schématu „číslo" ve vědomí žáka. Kvalita schématu závisí od bohatství generických modelů a jejich vazeb. Generický model se do vědomí člověka nedostává importem zvenčí jako informace. Rodí se z lůna komunity izolovaných modelů zobecněním. Nerespektování této kognitivní zákonitosti je, podle našich zkušeností, hlavní příčinou nízké úrovně matematického vzdělání
našich žáků a hlavní příčinou nesnází v porozumění matematice. To, že kvalita poznatku 2 + 3 = 5 u Filipa z příběhu 2 je nižší než kvalita tohoto poznatku u Františky z příběhu 5, se na první pohled nepozná. Oba dva, až budou druháci, odpoví na otázku kolik je 2 + 3 stejně dobře a stejně rychle. Bude-li ale i nadále Filip veden k přebírání poznatků a Františka k jejich objevování, bude již ve třetím ročníku rozdíl obou žáků evidentní. Nikoli v rychlosti a správnosti počítání, ale v uvažování. Například v řešení slovních úloh. Nám dospělým se tento rozdíl jeví osudově. Řekneme, že Františka má, a Filip nemá buňky na matematiku. Nevidíme, že rozdíl byl způsoben edukační strategií učitelů. Druhou závažnou příčinou nízké úrovně matematického vzdělání našich žáků je přesvědčení učitelů i rodičů, že základní spoje jako 7 + 6 = 1 3 , 9 - 5 = 4 , 4 x 8 = 32 a 81:9 = 9 musí žák ovládat zpaměti. Proto se nácviku „sloupečků" věnuje mnoho času a energie. Tato činnost není pro žáky přínosem, protože jen málo přináší rozvoji jejich myšlení. Navíc pro ty, kteří mají již spoje automatizovány, je to nuda, až otrava, a pro ty, kteří si spoje zapamatovat neumí, je to činnost frustrující. Třetí příčinou je strach z chyby. Chybu žáka považujeme za jev nežádoucí. Chybu učitele za jev nepřípustný. V křesťanské kultuře je tento pohled na chybu asi důsledkem pojetí hříchu, který bylo nutno zmenšit pokáním. Ve starém Řecku i v židovské kultuře je chyba přirozenou součástí života a je dokonce příležitostí
k urychlení vývoje. Cesta k tomu ale nevede přes pokání, ale přes analýzu příčin chyby. Čtvrtou příčinou je netrpělivost nás učitelů a rodičů. Neuvědomujeme si, že proces zrodu nového poznání vyžaduje čas a dobu zrání nelze urychlit. Byli jsme svědky mnoha situací, kdy ať již jeden žák, nebo celá třída se zájmem hloubali nad náročným problémem, avšak rodič nebo učitel ve snaze urychlit objev, prozradil pointu. Tím samozřejmě nic neurychlil, ale znehodnotil. Poznávací proces byl zničen. Nutno zdůraznit, že objevování náročných myšlenek si někdy vyžádá ne měsíce, ale léta. Například otázku, zda čísla 0,999999... a 1 jsou nebo nejsou stejná, nedořešili mí žáci ani po 4 letech. Série diskusí na toto téma však přinesla všem mnohé dílčí hodnotné poznatky. Seznam příčin nesnází, které se objevují ve vyučování matematice, může být dále prodlužován. V této studii se spokojíme s uvedenou čtveřicí příčin, které se nám dnes jeví jako nejzávažnější a nejfrekventovanější.
4.2 Překonávání nesnází Základní odpověď dává edukační strategie, která je zaměřená na budování schémat. U této strategie učitel není nositelem nových myšlenek. Nové poznatky odhalují žáci sami při řešení problémů a kaskád problémů, které třídě jako celku i jednot7
livým skupinám žáků předloží učitel. On řídí diskusi třídy i dlouhodobé bádání nad složitými problémy, které probíhá na nástěnce. On tvoří pracovní a přejné klima ve třídě. On přináší sebedůvěru žákům, kteří ji začínají ztrácet. Žák řeší p ř e d l o ž e n é úlohy a svoje myšlenky diskutuje se spolužáky. Zde participuje na dvou činnostech. První je artikulace vlastních myšlenek, druhá je interpretace toho, co řeknou spolužák nebo učitel. Artikulace vlastních myšlenek žáka bývá úspěšnější, když tento svůj výklad provází činností, například výpočtem. Vzhledem k tomu, že ve vyučování zaměřeném na budování schémat hraje komunikace třídy klíčovou roli, je nutné komunikaci ve třídě cílevědomě pěstovat. Rada pro učitele je prostá: nechte mluvit žáky. Jejich myšlenky neopravujte a nerozšiřujte; k pravdivosti těchto myšlenek se nevyjadřujte; požádejte o vyjádření třídu. Kromě celotřídní diskuse dochází při vyučování, ale i m i m o ně, k diskusím k o m o r n ě j š í m , na kterých participuje jen několik žáků, nebo dochází k diskusi dvojic. Běžný případ komunikující dvojice má charakter vyučování. Žák A učí žáka B. Jednou, když jsem takovému „učiteli" děkoval, že svého „žáka" něco dobře naučil, řekl mi tento: „Rád ho to učím, vždy tam ještě na něco přijdu." Hoch řek] starou latinskou pravdu: Docendo discimus (učíce, sami se učíme 7 ).
Původní citát zní: Homines, dum docent, discunt. - Lidé, učíce, sami se učí (Men learn while they teach).
m
Všechny typy komunikace jsou pro rozvoj schopnosti artikulovat a interpretovat velice důležité. Jako učitel ZŠ jsem často pozoroval, že žáci v diskusi používají nepřesnou, až chybnou terminologii a pomýlenou argumentaci. Když jsem odolal nutkání vstoupit do jejich debaty, skoro vždy jsem viděl, jak si žáci sami věci ujasňují a nepřesnosti odstraňují. Impulzem k projasňování bývá obyčejné nedorozumění, které v diskusi mezi žáky vznikne. Poslední naše poznámka o překonávání potíží se týká nácviků, o nichž jsme uvažovali ve druhé příčině - ve 4.1. Když
tam kritizujeme „sloupečky", netvrdíme, že mnohé počítání do výuky nepatří. Patří, ale nikoli jako samoúčelná, tedy únavná činnost. Výpočty je třeba vložit do kontextu, který je pro žáka motivující. Příkladem mohou být následující úlohy: Úloha 8. Kolika různými způsoby lze zaplatit 11 Kč pomocí a) dvou, b) tří, c) čtyř, d ) pěti mincí. Úloha 9. Pokračuj v řadě: 2, 9, 16, 23, 3, 10, 17, 24, 4, Úloha 10. Do prázdných oken dopíš čísla tak, aby součet každých tří sousedních byl 10. |
Například úlohu 10 řešily dvě dívky z d r u h é h o ročníku bezmála 30 minut. Pracovaly intenzivně, používaly metodu pokus-omyl. Po m n o h a neúspěšných pokusech, kde se v psaní střídaly, objevily důležitou věc: hledaná čísla jsou pouze čísla 2,3 a 5. Žádná jiná. Když tuto zákonitost objevily, šlo to již rychle. Nejprve daly vedle prvního čísla 3 číslo 5. To nevedlo k řešení. Pak tam daly 2, a to již bylo řešení. Byly velice šťastné a v učebnici hledaly další podobné úlohy, protože je počítání a úspěch přitahovaly.
Závěr Autor se spolupracovníky připravil pro učitele prvního stupně, kteří se chtějí pokusit o vyučování matematice orientované na budování schémat, sérii učebnic a příruček pro učitele. Učebnice se v sou-
|
1
|
|
|
|
|5
časnosti používají v několika stovkách tříd v ČR. Tam, kde učitel pracuje výše popsaným způsobem, jsou výsledky vyučování povzbudivé. Zejména pokud jde o vztah žáků k matematice. Zatím, pokud je nám známo, žádné podobné texty pro žáky se speciálními vzdělávacími potřebami napsány nebyly. Uvítáme, když se někdo, kdo problematiku vzdělávání této mládeže důvěrně zná, pokusí o tvorbu textů podporujících vyučování matematice orientované na schémata. Literatura: GERRIG, R.J. Text comprehension. In STERNBERG, R.J.; SMITH, E.E.(ed.). The Psychology of Human Thought. Cambridge : Cambridge University Press, 1991, s. 244-245.
m
GRAY, E.; TALL, D. Duality, ambiguity and flexibility: A proceptual view of simple arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education. 1994, 25, no. 2, s. 116-141. HEJNÝ, M. Budování matematických schémat. In HOŠPESOVA, A.; STEHLÍKOVA, N.; TICHÁ, M. (ed.). Cesty zdokonalování kultury vyučování matematice. České Budějovice : JČU, České Budějovice, 2007, s. 81-122. HEJNÝ, M.; KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika. Praha: Portál, 2009. C H O L O D N A J A , M „ A. Psichologija intelekta: p a r a d o k s y issledovania. Moskva; Tomsk : Rossijskaja akademija nauk, 1997. (XO/IOflHAfl, M.A. ncMXO/iorwfl WHTeneKTa - napaflOKCbi MCC/ieflOBaTeHHafl. MocKBa; Tomck : PoccMMCKaa aKafleMMH HayK, 1997.) JIROTKOVÁ, D. Budování s c h é m a t u sítě krychle. In HOŠPESOVA, A.; STEHLÍKOVÁ, N.; TICHÁ, M. (ed.).
Cesty zdokonalování kultury vyučování matematice. České Budějovice : JČU, České Budějovice, 2007, s. 143-174. MAREŠ, J. Styly učení žáků a studentů. Praha: Portál, 1998. PLAGET, J. Psychologie inteligence. Praha : SPN, 1970. RUSSELL, B. History of western philosophy. Unwin university books, Great Britain, [b. m.], 1961. SLEZÁKOVÁ, J.: Prostředí krokování. In HOŠPESOVA, A.; STEHLÍKOVÁ, N.; TICHÁ, M. (ed.). Cesty zdokonalování kultury vyučování matematice. České Budějovice : JČU, České Budějovice, 2007, s. 123-142. VYGOTSKIJ, L.S. Myšlení a řeč. Praha : SPN, 1970. Série učebnic a příruček pro učitele pro 1. až 5. ročník ZŠ vydaných v nakladatelství Fraus v letech 2007 až 2011 od autorů: Hejný, M., Jirotková, D., Slezáková, J., Michnová, J., Bomerová, E.
LECHTÁ, V., a kol. Terapie narušené komunikační schopnosti. Praha : Portál, 2011. 392 s. ISBN 978-80-7367-901-9. Komunikační schopnost člověka je narušená v případě, že některá rovina jeho jazykového projevu působí rušivě vzhledem ke komunikačnímu záměru. Může jít o různě závažná narušení, mezi něž patří jak špatná výslovnost sykavek či koktavost, tak neschopnost artikulovat po cévní mozkové příhodě. Terapie, která musí být podložená důkladnou diagnostikou, se snaží problém odstranit nebo nalézt způsoby kompenzace. Kniha navazuje na publikaci Diagnostika narušené komunikační schopnosti (Portál, 2003). Popisuje východiska, cíle, metody a formy terapie u široké škály poruch komunikace. Zabývá se terapií narušeného vývoje řeči, palatolalie a velofaryngální dysfunkce, poruch hlasu, dyslalie, afázie, koktavosti, dysartrie, breptavosti a specifických poruch čtení. Autory knihy jsou přední slovenští a čeští odborníci.
