Nelineární systémy. Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů

Nelineární systémy

Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů

Numerická konstrukce fázových portrétů Pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic existuje mnoho programů Můžeme je použít ke kreslení fázových portrétů Několik praktických rad, jak nakreslit hezké portréty (další rady v literatuře)

Zimní semestr 2006

SRI | M. Šebek | FEL ČVUT

2

Výpočet trajektorie Trajektorii (řešení) rovnice x = f ( x) , která prochází bodem x0 najdeme tak, že 1. řešíme rovnici x = f ( x) z bodu x(0) = x0 kupředu, tj. v rostoucím (kladném) čase 2. řešíme rovnici x = f ( x) z bodu x(0) = x0 dozadu, tj. v klesajícím (záporném) čase a to tak, že v kladném (normálním) čase řešíme rovnici

= x −= f ( x), x(0) x0 Platí totiž

dx(t ) dx(−t ) dx(−t ) = = − f ( x(−t )) x == f ( x(t )) → f ( x(−t )) → dt d (−t ) d (t )

Zimní semestr 2006


3

Příklad Rovnice x = e x , x(0) = −2 x řešíme dopředu = x e= , x(0) −2 → x(t ) = − ln(−t + e2 ) a dozadu x =−e x , x(0) =−2 → x(t ) = − ln(t + e2 )

fwd=dsolve('Dx=exp(x)','x(0)=-2'), ezplot(fwd), hold on fwd = -log(-t+exp(2)) bwd=dsolve('Dx=-exp(x)','x(0)=-2'),ezplot(bwd) bwd = -log(t+exp(2))

Zimní semestr 2006


4

Použití pro fázový portrét Fázový portrét systému

x1 = f1 ( x1 , x2 ) x2 = f 2 ( x1 , x2 )

kreslíme takto: P P 1. vyberme jeden bod trajektorie [ x1 , x2 ] 2. část trajektorie, vycházející z tohoto bodu („dopředu“) vypočteme integrací rovnic

x1 = f1 ( x1 , x2 ) x2 = f 2 ( x1 , x2 )

P P s počátečními podmínkami = x1 (0) x= , x (0) x 1 2 2

3. část trajektorie, končící v tomto bodě („dozadu“) vypočteme integrací rovnic

x1 = − f1 ( x1 , x2 ) x2 = − f 2 ( x1 , x2 )

s počátečními podmínkami = x1 (0) x= x2 1 , x2 (0) P

Zimní semestr 2006


P

5

Další důležité věci Uvedený postup je jedinou možností, jak dostat hezký portrét v okolí nestabilních uzlů, nestabilních ohnisek nestabilních cyklů Důležitou věcí je také správně zvolit rozsahy: aby portrét obsahoval všechny zajímavé jevy všechna ekvilibria a aby v něm všude integrační metoda fungovala když toho dopředu moc nevíme, postupujeme iteračně

Zimní semestr 2006


6

Přehled Příklady nelineárních systémů Tlumené kyvadlo – podle Newtona Oscilátor – podle Van der Pola Nosník – podle Eulera Klarinet a housle – podle Reyleigho Dravci a oběti – podle Volterry Tunelová dioda Vítr DW oscilátor Adaptivně řízený systém další příklady

Zimní semestr 2006


7

Tlumené kyvadlo – podle Newtona

Isaac Newton Rovnice Simulink Fázový portrét

Zimní semestr 2006

Sir Isaac Newton 1643 – 1727 SRI | M. Šebek | FEL ČVUT

9

Isaac Newton Newton [njútn], sir Isaac, * 4. 1. 1643, † 31. 3. 1727, anglický fyzik, matematik a astronom; člen, v letech 1703 – 27 předseda Královské spol. v Londýně. Roku 1705 povýšen do šlechtického stavu. Zakladatel klasické mechaniky. Objevil gravitační zákon, podílel se (souběžně s G. W. Leibnizem) na vytvoření infinitezimálního počtu. Prováděl optické výzkumy, objasnil rozklad světla, zkonstruoval zrcadlový dalekohled. Zabýval se též alchymií. V díle Philosophiae naturalis principia mathematica (Matematické základy přírodovědy) formuloval tři základní zákony dynamiky (dnes nazývány Newtonovy). Zimní semestr 2006


10

Tlumené kyvadlo - rovnice Pohybová rovnice v tečném směru

−mg sin ϕ − klϕ mlϕ = Pro stavové proměnné

= x1 ϕ= , x2 ϕ dostaneme model Podobné rovnice:

x1 = x2

• synchronní generátor připojený na nekonečné vedení

k g x2 = − x2 − sin( x1 ) m l

• Josephsonovy obvody Zimní semestr 2006


11

Tlumené kyvadlo - Simulink Model v Simulinku

pend_damp

, x2 0 = x1 π=

cokoli jiného Zimní semestr 2006


12

Tlumené kyvadlo - fázový portrét fázový portrét tlumeného kyvadla

demoph2

Zimní semestr 2006


13

Oscilátor – podle van der Pola

Balthasar van der Pol Oscilátor Fázový portrét

Balthasar van der Pol Balthasar van der Pol, 1889-195918 Holandský elektroinženýr. Jako jeden z prvních studoval experimentálně dynamiku v laboratoři v dvacátých a třicátých letech. Zkoumal elektrické obvody s vakuovými lampami a objevil, že mohou mít stabilní oscilace, dnes nazývané limitní cykly. V rovce 1927 publikoval (s kolegou van der Markem) v Nature článek o „nepravidelném šumu“, který pozoroval pro některé budící frekvence. Z rekonstrukce jeho pokusí dnes víme, že objevil deterministický chaos. Sestrojil mnoho elektronkových modelů lidského srdce a na nich studoval jeho dynamiku. Zkoumal vliv buzení analogický vlivu kardiostimulátoru. Snažil se najít způsob, jak stabilizovat srdeční arytmie.

Zimní semestr 2006


15

Oscilátor RLC obvod s lineárními L, C a nelineárním rezistorem s kubickou charakteristikou 2

= i α v(v − 1)

Pro stavy = x1 iL= , x2 jsou stavové rovnice

vC

1 x2 L 1 2 x2 = x1 + α x2 ( x2 − 1) − C x1 =

(

Zimní semestr 2006

)


16

Oscilátor - fázový portrét Fázový portrét pro

L= C= 1

demophVanDerPol

nestabilní ekvilibrium triviální řešení

limitní cyklus periodické řešení

Zimní semestr 2006


17

Nosník – podle Eulera

Leonard Euler Rovnice Netlumený nosník Malé zatížení Větší zatížení Ekvilbria Bifurkace Tlumený nosník

Leonard Euler 1707 – 1783 Zimní semestr 2006


19

Leonard Euler Euler [ojlr] Leonhard * 15. 4. 1707, † 18. 9. 1783, švýcarský matematik, fyzik a astronom. Působil v Petrohradě a v Berlíně. Napsal řadu učebnic matematiky. Pracoval v teorii čísel a integrálů; zabýval se diferenciálními rovnicemi, variačním počtem, exponenciálními a goniometrickými funkcemi i úlohami geometrickou tematikou. Známá je např. Eulerova hypotéza (později přesně dokázaná), že tzv. úloha o 36 důstojnících nemá řešení. Pro geofyziku má význam zejména jeho studie rotace tuhého tělesa. Viz též Eulerova perioda.

Zimní semestr 2006


20

Ohnutý nosník – rovnice Pohybová rovnice ve směru x

mx + dx − µ x + λ x + x = 0 3

tlumení

zatížení

pružná síla v nosníku

Pro stavové proměnné

= x1 x= , x2 x x1 = x2 dostaneme model

Zimní semestr 2006

d µ −λ 1 3 x2 = x1 − x1 − x2 + m m m SRI | M. Šebek | FEL ČVUT

21

Nosník netlumený - malé zatížení Pro malé zatížení

µ <λ

se nosník stlačí, ale neprohne demophBuckledBeam1eq

d =0 Hamiltonovský systém Zimní semestr 2006


22

Nosník netlumený - větší zatížení Pro velké zatížení

µ >λ

se nosník prohne demophBuckledBeam2eq

d =0

Zimní semestr 2006


23

Ohnutý nosník - ekvilibria x1 = x2 d 1 3 µ −λ x2 = x1 − x1 − x2 + m m m

0 = x2 −dx2 + ( µ − λ ) x1 − x13 0=

x2 0,= x1 0 = x2= 0, x12= µ − λ 1 ekvilibrium

µ ≤ λ : x1 == x2 0 µ > λ : x1 =0, ± µ − λ ; x2 =0

Zimní semestr 2006

3 ekvilibria


24

Nosník - Bifurkace Přechod mezi neohnutým a ohnutými stavy

µ <λ

µ =λ

Bifurkace

µ >λ Zimní semestr 2006


25

Nosník - tlumený demophBuckledBeam1eqDumped

d = 0.3 λ =1 µ = 0.8

není Hamiltonovský

Zimní semestr 2006


26

Nosník – tlumený, větší zatížení demophBuckledBeam2eqDumped

d = 0.3 λ =1 µ =3

Zimní semestr 2006


27

Klarinet a housle – podle Rayleigho

Baron Rayleigh Zvuk hudebních nástrojů Foukání na klarinet Vliv parametrů Smyčec a housle Fázový portrét

| M. Šebek | FEL ČVUT 1842 – 1919 29 John WilliamSRIRayleigh,

Zimní semestr 2006

Baron Rayleigh Rayleigh [rejli] John William, baron, 12. 11. 1842, † 30. 6. 1919, britský fyzik; profesor na univerzitě v Cambridgi. 1879 – 84 ředitel Cavendishovy laboratoře, člen a 1905 – 08 ředitel Královské společnosti v Londýně. Zabýval se optikou, akustikou a elektromagnetismem, objevil (spolu s W. Ramsayem ) argon a zákon o záření absolutně černého tělesa. Rayleighovy výzkumy přispěly k rozšíření fyzikálních znalostí o stavu hmoty. Nobelova cena v roce 1904 za výzkumy o hustotě nejdůležitějších plynů a za objev argonu.

Zimní semestr 2006


30

Teorie zvuku hudebních nástrojů J. W. Rayleigh: The Theory of Sound: Vols. I and II. Dover (1945 edition), 1887. Rayleigh rozlišuje dva druhy hudebních nástrojů: „perkusní (bicí)“: bubny, kytary, piána modeluje tlumenými oscilacemi, jednoduchá dynamika vlastně jen přechod do ustáleného stavu „udržované“: smyčcové a dechové moduluje „udržovanými oscilacemi“ = uzavřenými orbity

Zimní semestr 2006


31

Foukání na klarinet – podle Rayleigho Rayleigh popisuje jazýček klarinetu jako lineární oscilátor

 x + kx = 0 a efekt klarinetistova foukání členem

α x − β ( x )3 , α , β > 0 na pravé straně (záporné tlumení pro malé Tedy celkem

x a kladné pro velké).

 x − α x + β ( x )3 + kx = 0 nebo

x1 = x2 x2 = α x2 − β x23 − kx1

Zimní semestr 2006


32

Klarinet - fázový portrét Fázový portrét

Zimní semestr 2006

demophClarinet


33

Klarinet – Vliv parametrů na zvuk α= β= k= 1 tužší jazýček (tužší pružina, větší k)

α ,= β 1,= k 3 bohatší tón tvrdší foukání (širší charakteristika tření, menší β )

α= β 0.5 , k 1,=

hlasitější zvuk demophClarinet,demophClarinet2,demophClarinet3 Zimní semestr 2006


34

Smyčec a houslová struna Rayleigh navrhl model analogický systému hmotnost-pružina položenému na pásovém dopravníku s konstantní rychlostí struna bez smyčce ~ hmotnost-pružina použití smyčce ~ tření mezi pásem a tělesem

Tedy celkem

mx + kx + f ( x − b) = 0

nebo stavově

x1 = x2 k 1 x2 = − x1 − f ( x2 − b) m m Zimní semestr 2006


35

Smyčec a struna - fázový portrét limitní cyklus - asi špatně kreslí ?

demophBowingString Zimní semestr 2006


36

Dravci a oběti – podle Volterry

Vito Volterra Dravec a oběť Omezený růst Soutěžící populace

Zimní semestr 2006


Vito Volterra 1860-1940 38

Vito Volterra Vito Volterra, 1860 - 1940 Volterra publikoval články o parciálních diferenciálních rovnicích, zejména o rovnicích cylindrických vln. Nejslavnější je jeho práce o integrálních rovnicích, zejména o té, které se dnes říká „Volterrova integrální rovnice“. Další info na: www-history.mcs.standrews.ac.uk/history/ Mathematicians/Volterra .html Zimní semestr 2006


39

Dravec a oběť Hrabě Vito Volterra: Model vývoje dvou populací v Jaderském moři: oběť x dravec y

= x ax − bxy = y cxy − dy

a , b, c , d , x , y > 0

Model je velmi zjednodušený. Možno přidat např. omezený růst (o. bez d. a d. s o.) kvůli sociálním faktorům

x = (a − by − λ x) x y = (cx − d − µ y ) y

a , b, c , d , λ , µ > 0

soutěžící druhy (každý druh jí ten druhý)

= x ax − bxy = y dy − cxy Zimní semestr 2006


40

dravci

Dravec a oběť

další kvadranty nemají fyzikální smysl oběti

xe = (0, 0);(1,1); Zimní semestr 2006


41

dravci

Dravec a oběť s omezeným růstem

oběti

= xe (0, 0);(1, 0); (0, −1) Zimní semestr 2006


42

druh 2

Soutěžící populace

druh1

xe = (0, 0);(1,1); Zimní semestr 2006


43

Obvod s tunelovou diodou RLC obvod s tunelovou diodou

dvc iC = C dt diL vL = L dt iR = h(vR ) 1 x1 = ( −h( x1 ) + x2 ) C 1 x2 = ( − x1 + Rx2 + u ) L Zimní semestr 2006


44

Charakteristika tunelové diody Polynomiální charakteristika

iR = h(vR )

h ( vR ) = 17.76vR − 103.79vR + 229.62vR − 226.31vR + 83.72vR 2

3

4

5

až 3 rovnovážné stavy podle zátěže

Zimní semestr 2006


45

Fázový portrét x=0:.01:1;plot(x,tunneldiode(x)) demophTunnel

iR [mA]

vR [V ]

Zimní semestr 2006


46

Počet rovnovážných stavů

Zimní semestr 2006


47

Vítr – podle

Oscilace vynucené větrem

Systém s oscilacemi vynucenými větrem Sastry, s. 342

x1 = − µ1 x1 − µ 2 x2 + x1 x2 x2 = µ 2 x1 − µ1 x2 +

1 2 2 ( x1 + x2 ) 2

tlumení µ1 = 0 rozladění µ 2 = 1

Zimní semestr 2006


49

Vítr případ

µ1 = 0 µ2 = 1

limitní cykly (heteroklinické orbity)

xe = (-2,0),(0, 0) Zimní semestr 2006


50

Vítr případ

µ=1 µ=2 1

xe = (-2.383,0.704),(0, 0) Zimní semestr 2006


51

Double Well oscilátor

Rovnice Vliv buzení Chaos Citlivost na počáteční podmínky Poincarého řez Bifurkace

Double Well oscilátor magneto-elastický mechanický systém v klidu má 2 ustálené stavy periodická budící síla popsán Duffingovou rovnicí

 x + bx − x + x 3 = F cos(ω t ) b F

ω

tlumení amplituda budící síly budící frekvence

Zimní semestr 2006

x1 = x2 −bx2 + x1 − x13 + F cos(ω t ) x2 =


53

DW Oscilátor - bez buzení Bez buzeni b = 0.05 F =0 ω =1 double well = dvojitá jáma

xe= 0, ±1

Zimní semestr 2006


54

DW Oscilátor Bez buzeni= b 0.05,= F 0,= ω 1 ( x1= (0) 1.5, x2 = (0) 1)

xe= 0, ±1

DWoscilatorMS

Zimní semestr 2006


55

DW Oscilátor - malé buzení Malé buzeni

b = 0.25 F = 0.22 ω =1

2 stabilní limitní cykly

Zimní semestr 2006


56

DW Oscilátor Malé buzeni = b 0.25, = F 0.22, = ω 1

= ( x1 (0) 1,= x2 (0) 0)

DWoscilatorMS

Stabilní limitní cyklus je tam ještě jeden Zimní semestr 2006


57

DW Oscilátor - větší buzení Větší buzeni – přechodný chaos b = 0.25 F = 0.245 ω =1

jako dříve 2 stabilní limitní cykly ale přechodový jev je chaotický při malé změně počát. podmínek může skončit na druhé straně hranice oblastí počátečních podmínek vedoucích k jednotlivým cyklům jsou složité: mají fraktální charakter Zimní semestr 2006


58

DW Oscilátor Větší buzeni b = 0.25, F = 0.245, ω = 1 x1 (0) = 0.985

x1 (0) = 1.01

Zimní semestr 2006

( x1 (0) ≅ 1, x2 (0) = 0) x1 (0) = 1

x1 (0) = 1.02


59

DW Oscilátor Ještě větší buzeni - chaos

b = 0.25 F = 0.4 ω =1

chaotické chování Zimní semestr 2006


60

DW Oscilátor Ještě větší buzeni = = = ω 1 b 0.25, F 0.4,

(= x1 (0) 1, x= 0) 2 (0)

Chaos

Zimní semestr 2006


61

DW Při dalším zvětšování buzení se chování zase mění Např. pro F = 0.5 se zdá být zase limitní cyklus

obdobně při změnách dalších parametrů = b 0.15, = F 0.3, = ω 1 zkuste sami

Zimní semestr 2006


62

DW Citlivost na počáteční podmínky Co to znamená velká citlivost na počáteční podmínky? Jak se rozpliznou blízké počáteční stavy po

0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 a 4.0 cyklech délky 2*pi

Zimní semestr 2006


63

DW Citlivost na počáteční podmínky A takhle to vypadá po 25 cyklech: Poznámka: Výpočet těchto 25 cyklů při 200 krocích integrace v cyklu pro 40000 počátečních podmínek trval přes 7 hodin na rychlém počítači s 9000 mips!

www.apmaths.uwo.ca/ ~bfraser/

Poznáte, kde to začalo? Zimní semestr 2006


64

DW další zajímavý obrázek: extrém vs. extrém

extrém v kroku i Zimní semestr 2006


65

DW – Poincarého řezy Přidáme-li jako třetí rozměr velikost budící síly, dostaneme třírozměrný fázový portrét. Jeho dvourozměrný řez (třeba pro cos(2π n) F ) odhalí, že to je = sílu f F=

(3-D) podivný atraktor. je překvapivé že po 2pi skáče po tak hezké křivce (srovnej obr Zimní semestr 2006


66

I zde jsou bifurkace b= 1, F ∈ [1.0,1.1], ω = 1

animace bifurkací

Zimní semestr 2006


67

Nelineární systémy. Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů

Recommend Documents