3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro náš vlastní prospěch. Joseph Ford
Kvantitativní metody B
Co se dozvíte Náhodná veličina, zákon rozdělení pravděpodobnosti. Diskrétní náhodná veličina. Pravděpodobnostní funkce. Spojitá náhodná veličina. Funkce hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce. Charakteristiky náhodné veličiny – střední hodnota a rozptyl.
Kvantitativní metody B
2
Zamyslete se Paretův zákon 80 - 20 Cca 20% obyvatel vlastní 80% bohatství, naopak 80% občanů se dělí pouze o 20% majetku. Nelze určit, jaký majetek má náhodně vybraný občan, ale rozdělení majetku mezi všemi občany je možné vyjádřit matematickou funkcí. Lorenzova křivka 100
Bohatství občana je náhodnou veličinou.
kumulativní majetek
80
60
40
20
0 0
20
40
60
80
100
kumulativní počet
Kvantitativní metody B
3
Náhodná veličina číselná veličina, jejíž hodnota je jednoznačně dána výsledkem náhodného pokusu při hodu kostkou padne na kostce X ok X – náhodná veličina x – hodnota (realizace) náhodné veličiny
X – výsledek hodu kostkou (obecně) x – výsledek hodu kostkou (konkrétní hod) Kvantitativní metody B
x1 = 3 x2 = 5 x3 = 2 x4 = 1 x5 = 3 . . .
4
Diskrétní a spočetná veličina diskrétní náhodná veličina nabývá hodnot ze spočetné množiny (konečné nebo nekonečné) počet studentů zapsaných na ekonomickou fakultu počet zákazníků v obchodě životnost výrobku ve dnech
spojitá náhodná veličina nabývá hodnot ze spojité množiny (z daného intervalu) kurs eura vůči koruně hmotnost výrobku při výstupní kontrole
Kvantitativní metody B
5
Rozdělení diskrétní náhodné veličiny pravidlo (předpis), přiřazující každé hodnotě náhodné veličiny pravděpodobnost jejího výskytu pravděpodobnostní funkce
vlastnosti pravděpodobnostní funkce
0 ≤ P( x) ≤ 1
omezení pro pravděpodobnost
∑ P( x) = 1
součet všech pravděpodobností je 1
x
Kvantitativní metody B
6
Příklad X – výsledek hodu kostkou pravděpodobnostní funkce
řada rozdělení
x
1
2
3
4
5
6
P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
0,25
polygon rozdělení
0,2 0,15 0,1 0,05 0 0
Kvantitativní metody B
1
2
3
4
5
6
7
Charakteristiky náhodné veličiny číselné charakteristiky vyjadřují rozložení náhodné veličiny míry polohy: střední hodnota E(X) modus Mod(X) míry variability: rozptyl D(X) směrodatná odchylka σ(X) Kvantitativní metody B
8
Míry polohy střední hodnota E(X)
E(X) – expected value (očekávaná hodnota) modus Mod(X)
Kvantitativní metody B
9
Míry variability rozptyl D(X)
výraz lze upravit jako
směrodatná odchylka Kvantitativní metody B
10
Příklad X – výsledek hodu kostkou střední hodnota veličina X nemá modus – PROČ ? rozptyl
směr. odchylka Kvantitativní metody B
11
Zamyslete se Analogie náhodná proměnná - statistická proměnná náhodná proměnná
statistická proměnná
pravděpodobnostní fce střední hodnota rozptyl náhodné veličiny
relativní četnost střední hodnota výběrový rozptyl
teoretický model (zobecnění, abstrakce)
Kvantitativní metody B
praktická realizace (výběrový soubor)
12
Rozdělení spojité náhodné veličiny pravidlo, které přiřazuje každému intervalu hodnot náhodné veličiny pravděpodobnost, že veličina nabude hodnoty z tohoto intervalu distribuční funkce vlastnosti distribuční funkce Distribuční funkce 1
0 ≤ F ( x) ≤ 1
0,8
F(x)
x1 < x2 ⇒ F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
0,6
0,4
lim F ( x) = 0 ∧ lim F ( x) = 1
x →−∞
0,2
x →+∞
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Kvantitativní metody B
13
Hustota pravděpodobnosti f(x) vyjadřuje rychlost změn pravděpodobnostního rozdělení spojité náhodné veličiny – frekvenční funkce
vlastnosti hustoty pravděpodobnosti
f ( x) ≥ 0
Frekvenční a distribuční funkce 0,16
0,14
∞
f ( x)dx = 1
−∞
0,1
f(x)
∫
0,12
F(x) 0,08
0,06
0,04
lim f ( x) = 0
x →±∞
Kvantitativní metody B
0,02
0
x
14
Výpočet pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné z distribuční funkce
z hustoty pravděpodobnosti
POZOR: znaménka nerovnosti mohou být i neostrá Kvantitativní metody B
15
Charakteristiky spojité náhodné veličiny střední hodnota E(X)
rozptyl D(X)
Kvantitativní metody B
16
Kvantily spojité náhodné veličiny kvantil xp – inverzní funkce k distribuční funkci F(x)
x0,5 x0,25 x0,1 x0,01
x0,5 x0,2 x0,02
x0,75 … …
Kvantitativní metody B
x0,9 x0,99
medián kvartily decily percentily
17
Příklad Náhodná veličina X je definována distribuční funkcí
1 F ( x) = 1 − 4 x
pro x > 1
Určete: a) hustotu pravděpodobnosti b) střední hodnotu c) rozptyl a směrodatnou odchylku d) kvartily (sestrojte box plot) e) pravděpodobnost P(2<X<4) Kvantitativní metody B
18
Příklad - řešení hustota pravděpodobnosti
dF ( x) 4 f ( x) = = 5 dx x Distribuční funkce
Frekvenční funkce
1
4 3,5
0,8 3 2,5
F(x)
F(x)
0,6
0,4
2 1,5 1
0,2 0,5 0
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
x
Kvantitativní metody B
4
4,5
5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
x
19
Příklad střední hodnota E(X) +∞
E( X ) =
∫ 1
4 x ⋅ 5 dx = x
+∞
∫ 1
+∞
4 4 4 dx = − 3 = = 1,33 4 x 3 3 x 1
rozptyl D(X) +∞
D( X ) =
∫ 1
+∞
4 2 2 x ⋅ 5 dx − 1,33 = − 2 − 1,332 = 0, 223 x x 1 2
směrodatná odchylka σ(X)
σ ( X ) = D ( X ) = 0, 223 = 0, 47 Kvantitativní metody B
20
Příklad dolní kvartil x0,25
1 1 − 4 = 0, 25 x
x0,25 = 1, 075
medián x0,5
1 1 − 4 = 0,5 x
x0,50 = 1,189
horní kvartil x0,75
1 1 − 4 = 0, 75 x
Kvantitativní metody B
x0,75 = 1, 414
21
Příklad box plot
x
Box plot
0
0,5
1
1,5
2
2,5
pravděpodobnost P(2<X<4)
P(2 < X < 4) = F (4) − F (2) = 0, 059 Kvantitativní metody B
22
Co Vás čeká příště 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny Rovnoměrné rozdělení. Binomické a hypergeometrické rozdělení. Poissonovo rozdělení. Normální rozdělení. Normované normální rozdělení, tabulky normálního rozdělení. Aproximace binomického rozdělení.
Kvantitativní metody B
23
