Veletrh nápadĤ uþitelĤ fyziky 10
Náhoda v chování fyzikálních objektĤ VLADIMÍR VÍCHA Gymnázium Dašická Pardubice PETR FORMÁNEK Speziallabor Triebenberg, Technická universita Drážćany Abstrakt V elektronovém mikroskopu lze vytvoĜit dvČ elektronové vlny, pĜi jejichž pĜekrytí dochází k interferenci. PĜi krátké expoziþní dobČ mĤžeme velmi dobĜe pozorovat dopady jednotlivých elektronĤ na film, tedy þásticový charakter elektronĤ. PĜi dlouhé expoziþní dobČ je na filmu patrný interferenþní obrazec, který prokazuje vlnový charakter jednotlivých elektronĤ. Dopady jednotlivých elektronĤ jsou náhodné, pĜi pozorování velkého množství elektronĤ se však projeví zákonitosti. Elektrony se shlukují v místech s vyšší pravdČpodobností dopadu. Analogicky, zhotovený mechanický model kuliþek padajících mezi rozptylovými centry studentĤm názornČ demonstruje funkci náhody ve fyzice a matematické zpracování je zase ukázkou využití poþtu pravdČpodobnosti.
Spory o podstatu svČtla V 17. století se zaþaly formovat dvČ základní teorie na podstatu svČtla – teorie þásticová (korpuskulární) a teorie vlnová (undulaþní), které spolu soupeĜily. Zastáncem teorie þásticové byl Isaac Newton, který svojí obrovskou vČdeckou autoritou zastínil vlnovou teorii Christiana Huyghense. Je tĜeba však Ĝíci, že obČ teorie uspokojivČ vysvČtlovaly odraz a lom svČtla. S objevy nových vlastností svČtla (ohyb, interference, polarizace) pozvolna zaþala vítČzit vlnová teorie. V 19. století ji rozvinuli Young a Fresnel, kteĜí vysvČtlovali pozorované jevy jako vlnČní éteru. V témže století však Maxwell teoreticky odvodil, že svČtlo není vlnČní éteru, ale jde o vlnČní elektromagnetické. Jeho teorie vysvČtlovala všechny známé vlastnosti svČtla a zdála se být dokonalá. Pak byl ale objeven vnČjší fotoelektrický jev a ComptonĤv jev, které vlnová teorie vysvČtlit nedokázala. ěešení problémĤ vymyslel Einstein ve století dvacátém. V slavném roce 1905 (letos slavíme sté výroþí) uveĜejnil svoji rovnici fotoelektrického jevu hf Wv E k , kde þlen hf pĜedstavuje energii dopadajícího svČtelného kvanta, Wv je výstupní práce elektronĤ a Ek je kinetická energie fotoelektronu. Teorie svČtelných kvant (fotonĤ) vysvČtlila fotoelektrický i ComptonĤv jev natolik úspČšnČ, že byla vČdeckou veĜejností pĜijata a Einstein obdržel Nobelovu cenu. Fyzikové museli pĜipustit dualismus svČtla – svČtlo se chová jako vlnČní i jako proud þástic.
180
V. Vícha, P. Formánek: Náhoda v chování fyz. objektĤ
Vlnové vlastnosti þástic V roce 1924 uveĜejnil teoretický fyzik Louis de Broglie následující hypotézu: Když se svČtlo chová jako vlnČní i jako proud þástic, proþ by se þástice (elektrony, neutrony, atomy…) nemohly chovat jako vlny? ZároveĖ navrhl, že vlnová délka pĜiĜazená þástici by mohla být dána vzorcem: O
h , p
kde p je hybnost þástice. ýekalo se 3 roky, než experimentátoĜi Davisson a Germer pĜi studiu elektronĤ rozptýlených po dopadu na monokrystal niklu objevili jejich interferenci. Navíc potvrdili de BrogliĤv vztah pro vlnovou délku. PĜíroda ukázala svoji symetrii ve svČtČ elementárních þástic.
Elektronový mikroskop Ke studiu malých objektĤ byl vyvinut optický mikroskop, který sehrál obrovskou roli nejen ve fyzice, ale i v materiálovém výzkumu, biologii, medicínČ… Jeho rozlišovací schopnost v Ĝádu mikrometrĤ je však omezena vlnovou délkou viditelného svČtla. Pro studium objektĤ na úrovni atomárních rozmČrĤ bylo tĜeba použít vlnČní o kratších vlnových délkách. Zde se právČ nabídl svazek elektronĤ, u nichž lze vlnovou délku nastavit urychlujícím napČtím. Vznikl elektronový mikroskop, s rozlišením ĜádovČ 0,1 nm Popišme si špiþkový elektronový mikroskop Philips CM200, který používá Technická universita v Drážćanech. Bude nás zajímat, jak mikroskop demonstruje vlnový a zároveĖ i þásticový charakter elektronĤ.
Levý obrázek znázorĖuje, jak vznikne interference svČtla po prĤchodu napĜ. 181
Veletrh nápadĤ uþitelĤ fyziky 10 sklenČným hranolem. Pravý obrázek je analogie pro svazek elektronĤ. Elektrony procházejí kondenzátorem, v nČmž je nataženo vodivé kladnČ nabité vlákno. Paprsky jsou zakĜiveny elektrickým polem (vynálezci elektronového dvojhranolu jsou G. Möllenstedt a H. Düker [1]). V obou pĜípadech mĤžeme na filmu nebo CCD kamerou registrovat soustavu interferenþních proužkĤ. Vzhled je ovlivĖován napČtím na vláknČ.
NapČtí na vláknČ
V elektronovém dČlu jsou elektrony extrahovány napČtím 3 kV až 4 kV z wolframové špice o prĤmČru 0,5 Pm. ve vakuu ĜádovČ 10-6 Pa. Urychlující napČtí je bČžnČ 100 kV až 300 kV. Kondensor a objektiv se sestávají z elektromagnetických þoþek a upravují elektronový svazek. Vakuum -5 v kondensoru je ĜádovČ 10 Pa. Vakuum v pozorovací komoĜe má hodnotu 7.10-5 Pa, obraz se snímá CCD kamerou. Vodivé vlákno v elektronovém dvojhranolu se vyrábí tažením skelného vlákna o prĤmČru 0,5 Pm v kyslíkovodíkovém plameni. Na sklo se napaĜí 50 nm silná vrstva zlata. Celý mikroskop váží pĜes 1 tunu. Philips CM200
182
V. Vícha, P. Formánek: Náhoda v chování fyz. objektĤ Na fotografii poĜízené v jiném elektronovém mikroskopu university v Tübingenu sledujeme chování dopadajících elektronĤ [2]. Po 0,02 s je rozložení zcela chaotické. Ani po 10 s není pĜíliš zĜejmá zákonitost v dopadu elektronĤ. Po 120 s se však již jasnČ rýsují místa s maximální pravdČpodobností dopadu a mezi nimi minima. Z fotografie jsou patrné dvČ dĤležité skuteþnosti: vlnovČ þásticový charakter elektronĤ a náhodnost v kvantové mechanice. ýásticový charakter je zĜejmý z toho, že každý elektron – jedna þástice – dopadnuvší na film, vytvoĜí svČtlý bod. Vlnový charakter je zĜejmý z toho, že se elektrony shlukují do interferenþních proužkĤ, což je typické pro skládání vln. Hustota toku elektronĤ v mikroskopu (tedy elektrický proud emitovaný z elektronového dČla) je zvolena tak, že v každém okamžiku se v mikroskopu nachází pouze jeden elektron. To znamená, že každý jednotlivý elektron má zároveĖ þásticový i vlnový charakter. Náhoda se projevuje následujícím zpĤsobem. O jednotlivém elektronu se nedá dopĜedu prohlásit, kam dopadne. Napohled vzniká chaos. Pokud však použijeme velký soubor elektronĤ, najdeme pravidelnost – místa se známou, teoreticky pĜedpovČditelnou pravdČpodobností dopadu elektronu – interferenþní proužky. Názornou ukázku tohoto procesu umožĖuje bezplatný program Dualismus.exe (dostupný na adrese: http://kdf.mff.cuni.cz/veletrh/2005/dalsi_cz.php), který byl vytvoĜen pro tento referát.
183
Veletrh nápadĤ uþitelĤ fyziky 10
Galtonova deska ̛ teorie Je vidČt, že k popisu chování elektronĤ je tĜeba používat pravdČpodobnost. Matematika zná pojem Galtonova deska.
Jde o panel, ve kterém padající kuliþka naráží do pĜekážek (rozptylových center) uspoĜádaných do tvaru trojúhelníku a nakonec zapadne do nČkteré z pĜihrádek. Dopad jedné vybrané kuliþky je nepĜedvídatelný. Pokud však vhodíme velké množství kuliþek, dojdeme k urþitému zákonitému rozdČlení. PĜedpokládejme, že na každém rozptylovém centru je pravdČpodobnost 1/2 odrazu kuliþky vlevo a 1/2 pravdČpodobnost odrazu kuliþky vpravo. Kuliþka by mČla narážet v každé ĜadČ. Kolik „cest“ vede Galtonovou deskou?
poþet cest pravdČpodobnost PĜiĜadíme každému rozptylovému centru hodnotu, která znaþí poþet cest vedoucích do tohoto centra. Kuliþka padá na vrchol po jediné cestČ, pĜiĜadíme tedy vrcholu hodnotu 1. Ve druhé ĜadČ jsou dva body a každý bude mít také hodnotu 1. Ve tĜetí ĜadČ
184
V. Vícha, P. Formánek: Náhoda v chování fyz. objektĤ mají oba krajní body hodnotu 1. Do prostĜedního bodu tĜetí Ĝady se dá dostat z dvou bodĤ druhé Ĝady dvČma cestami. Seþteme tedy jejich hodnoty a získáme þíslo 2. Do libovolného bodu vede tolik cest, kolik získáme seþtením cest dvou bodĤ, které jsou v ĜadČ nad ním. Tento princip lze opakovat do nekoneþna. To je ale známá vlastnost kombinaþních þísel, takto se vytváĜí PascalĤv trojúhelník. V 10 pĜihrádkách jsou zapsána þísla, která vyjadĜují poþet cest, jež do nich vedou. Všech cest je zde 512 a z tČchto údajĤ lze vypoþítat pravdČpodobnost zasažení pĜihrádky. Vzniká binomické rozdČlení n pĜihrádek, které pro n o f pĜejde na Gaussovu kĜivku.
Binomické rozdČlení pro 200 kuliþek a 9 rozptylových Ĝad
Galtonova deska ̛ provedení
1060 480
185
Veletrh nápadĤ uþitelĤ fyziky 10 DĜevČná deska má rozmČry 480 mm x 1060 mm. Rozptylová centra jsou tvoĜena 45 vruty o prĤmČru 4 mm a délce 40 mm, na každém vrutu je navleþena bužírka. Vzdálenosti vrutĤ byly urþeny experimentálnČ a jsou uvedeny na obrázku.
20
40
PĜihrádky jsou vyrobeny z elektrikáĜské lišty o šíĜce 21 mm. Kuliþky jsou sklenČné o prĤmČru 16 mm, je jich 200. Vhazují se do mČdČného oka o prĤmČru 20 mm, které je ve výšce 26 mm nad nejvyšším vrutem. V dolní þásti je deska uzpĤsobena k vypouštČní kuliþek do nádoby. PĜi experimentování je deska ponČkud naklonČna. Na fotografiích vidíme výsledky dvou pokusĤ, které jistým zpĤsobem odpovídají teorii. Odlišnosti od teorie jsou zpĤsobeny pĜedevším skuteþností, že jen velmi tČžko se dá u padající a rotující kuliþky dosáhnout, aby pĜi nárazu byla pravdČpodobnost odchýlení vlevo i vpravo na všech rozptylových centrech stejná.
ZávČr Mechanický model padajících kuliþek studentĤm názornČ pĜibližuje složité chování elementárních þástic. Jako u konkrétní kuliþky nelze pĜedpovČdČt místo dopadu, tak také místo dopadu jednotlivého fotonu þi elektronu je nejisté - náhodné. PĜi použití velkého množství þástic však nejsou všechna místa dopadu stejnČ pravdČpodobná. U Galtonovy desky vzniká binomické rozdČlení pravdČpodobnosti dopadu a v elektronovém mikroskopu zase interferenþní proužky. AutoĜi referátu vyvinuli bezplatnČ šiĜitelný program pro simulaci zmínČného jevu Dualismus.exe, pĜipravili fotodokumentaci a popis elektronového mikroskopu Philips CM200 a sestrojili mechanický model - Galtonovu desku.
Literatura [1] G. Möllenstedt, H. Düker: Fresnelscher Interferenzversuch mit einem Biprisma für Elektronenwellen, Zeitschr. für Physik 42 (1955) 41 [2] Fotografii laskavČ poskytl Dr. Michael Lehmann z Technické university v Drážćanech [3] obr. pĜevzat z E. Völkl, L. F. Allard, D. C. Joy (Editors), Introduction to Electron Holography, Kluwer Academic / Plenum Publishers, New York, 1999, ISBN 0-306-44920-X, str. 7 186
