MŰSZAKI FIZIKA I. Dr. Iványi Miklósné professor emeritus. 5. Előadás

MŰSZAKI FIZIKA I Dr. Iványi Miklósné professor emeritus 5. Előadás PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

Műszaki Fizika-I/EA-V/1

Hálózatszámítás Fizikai valóság modell

Az objektum modellje a rendszer jellemzője a gerjesztés-válasz kapcsolatot leíró operátora

megvalósítás

A rendszer megvalósítása, realizációja a hálózat

PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

y = Φ {s}

y = Φ {s} = A s + B Műszaki Fizika-I/EA-V/2

A rendszer és a hálózat y = Φ {s} operátorának tulajdonságai a) lineáris, ha

Φ (s1 ) = y1 ,

Φ ( s2 ) = y 2 ,

Φ (a1s1 + a2 s2 ) = a1Φ (s1 ) + a2Φ (s2 ) = a1 y1 + a2 y2 , csak akkor, ha B=0 és A=állandó, azaz

b) idő-invariáns, ha

Φ {s(t )} = y(t ) , Φ {s(t − T )} = y (t − T ) ,

c) kauzális, ha

d) passzív, ha

y = A s.

késleltetett gerjesztésre késleltetett válasz,

y (t1 ) = Φ {s(t ), t ≤ t1} , a jövő nem hat vissza a múltra, p(t )

>0, felvesz teljesítményt, passzív elem, fogyasztó, =0, nonenergetikus, a felvett telj. nulla, passzív elem, <0, aktív elem, lead teljesítményt.



Kirchoff típusú hálózatok (lineáris, invariáns, kauzális) 1. Rezisztív hálózatok Komponensek és karakterisztikájuk a) Az ellenállás, karakterisztikája u(t ) = R i (t ) időben állandó gerjesztés esetén a vezetés I = GU , elfajuló, speciális esetek (i) rövidzár, ha R=0, U=0,


U =RI

G =1 R

passzív elem

P = U I = R I2 = U2 R

(ii) szakadás, üresjárás, ha R → ∞ , I=0,


b) a feszültségforrás, aktív elem

ha U s = 0, akkor U=0, azaz rövidzár

U ≡ Us I − tetszőleges

c) az áramforrás, aktív elem

ha I s = 0 akkor I=0, azaz szakadás

I ≡ Is U − tetszőleges



d) a feszültség generátor, aktív elem

karakterisztikája

U = U s + Rb I

e) az áram generátor, aktív elem

I = 0, üresjárás, U = 0, rövidzár,

karakterisztikája

I = I s + GbU



f) passzivitás, az elem teljesítménye

P = UI

>0, felvesz teljesítményt, passzív elem, fogyasztó, =0, nonenergetikus, a felvett telj. nulla, passzív elem, <0, aktív elem, lead teljesítményt.

passzív elem, fogyasztó, ellenállás, vezetés, non-energetikus, rövidzár, szakadás, aktív elem, feszültség és áramforrás, a feszültség és áram generátorok g) szokásos referencia irányok

P = UI > 0

P = −U s IU s < 0


P = −U I s I s < 0 Műszaki Fizika-I/EA-V/7

2. Dinamikus hálózatok Rezisztív hálózatok - egyszerű modellek nem rendelkeznek - késleltetetéssel dinamikus elemek bevezetése - energia tárolással Dinamikus hálózatok komponensei és karakterisztikák a) Független források

b) Rezisztív elemek


c) Dinamikus elemek


c1) Kondenzátor Hálózati elem

Eszköz

Q (t ) = Cu(t )

iC (t ) =

dQ (t ) d u( t ) =C dt dt

• d uC (t ) iC (t ) = C = C u C (t ) dt

1 t 1 t0 1 t uC (t ) = ∫ iC (τ )dτ = ∫ iC (τ )dτ + ∫ iC (τ )dτ C −∞ C −∞ Ct 0 kezdeti feltétel


uC (t0 ) Műszaki Fizika-I/EA-V/9

c2) Tekercs

Hálózati elem

Eszköz

Ψ (t )

Ψ (t ) = Li L (t ) uL (t ) =

ui (t )

ui (t ) = −

dΨ (t ) dt

dΨ (t ) d i (t ) =L L dt dt

• d i L (t ) = L i L (t ) uL (t ) = L dt

1 t i L (t ) = ∫ uL (τ )dτ L −∞ 1 t0 1 t = ∫ uL (τ )dτ + ∫ uL (τ )dτ L −∞ Lt 0 kezdeti feltétel


i L (t 0 ) Műszaki Fizika-I/EA-V/10

c3) Energiaviszonyok A teljesítmény

p(t ) = u(t ) i (t )

a kondenzátor teljesítménye pC (t ) = uC (t ) iC (t ) = uC C

di d ⎛1 ⎞ p L (t ) = uL (t ) i L (t ) = i L L L = ⎜ Li L2 ⎟ dt dt ⎝ 2 ⎠

a tekercs teljesítménye A t időpillanatban az energia

kondenzátor energiája tekercs energiája

duC d ⎛ 1 2 ⎞ = ⎜ CuC ⎟ dt dt ⎝ 2 ⎠

⎧≥ 0, passzív elem, w (t ) = ∫ p(τ )dτ = ⎨ ⎩< 0, aktív elem, −∞ t

1 uC (− ∞ ) = 0, wC (t ) = CuC2 (t ) ≥ 0, C ≥ 0, 2 1 i L (− ∞ ) = 0, w L (t ) = Li L2 (t ) ≥ 0, L ≥ 0, 2 a tekercs és a kondenzátor passzív elemek



a t1-t2 időpillanatok között felvett energia a kondenzátor energiája

t2

[

]

1 ∆WC (t1 , t 2 ) = ∫ p(τ )dτ = C uC2 (t 2 ) − uC2 (t1 ) 2 t 1

a tekercs energiája

t2

∆W L (t1 , t 2 ) = ∫ p(τ )dτ = t1

[

]

1 2 L i L (t 2 ) − i L2 (t1 ) 2

ha t1 = t2 = t0, akkor Dt=t2-t1=0, és ekkor DW=0, (mivel az energia ugrásszerűen nem változik) t1 = t0 − 0 baloldali határérték

t 2 = t0 + 0 jobboldali határérték

uC (t1 = t 0 ) = uC (t 2 = t 0 )

i L (t1 = t0 ) = i L (t 2 = t 0 )


folytonosan változik, nincs ugrása


d) A csatolt kondenzátor

Hálózati modell

Eszköz

•

•

•

•

i1 = C10 u1 + C12 u 2

Π helyettesítő kép

C12 = C 21

i2 = C 21 u1 + C 20 u 2 •

• • ⎛• • ⎞ i1 = C a u1 + C d ⎜⎜ u1 − u 2 ⎟⎟ = (C a + C d ) u1 − C d u 2 ⎝ ⎠ • • • ⎛• • ⎞ i2 = C d ⎜⎜ u 2 − u1 ⎟⎟ + C b u 2 = −C d u1 + (C b + C d ) u 2 ⎠ ⎝

C10 = C a + C d , C12 = −C d , C 20 = C b + C d , C a = C10 + C12 , C d = −C12 , C b = C 20 + C12 . PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


e) A csatolt tekercs

Hálózati modell

Eszköz

• • u1 = L1 i 1 + L12 i 2 • • u2 = L21 i 1 + L2 i 2

T helyettesítő kép


u1 =

L12 = L21

• ⎛• • ⎞ La i 1 + Lc ⎜⎜ i 1 + i 2 ⎟⎟ = ( La

+

• • Lc ) i 1 + Lc i 2

⎝ ⎠ • • • ⎛• • ⎞ u2 = Lc ⎜⎜ i 1 + i 2 ⎟⎟ + Lb i 2 = Lc i 1 + ( Lb + Lc ) i 2 ⎝ ⎠ L1 = La + Lc , L12 = Lc , L2 = Lb + Lc , La = L1 − L12 , Lc = L12 , Lb = L2 − L12 . Műszaki Fizika-I/EA-V/14

3. A hálózati elemek összekapcsolása (Kirchhoff típusú hálózat) Összekapcsolási kényszerek –Kirchhoff törvények a) Kirchhoff csomóponti törvény

r r ∫ J ⋅ da = 0,

a

− I be + I ki = 0

∑ Ik = 0 k

anyag-, és tömeg megmaradási törvény, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

b) Kirchhoff huroktörvény

r r ∫ E ⋅ dl = 0 l

∑Uk = 0 k

energia megmaradási törvény, Műszaki Fizika-I/EA-V/15

Hálózati egyenletek felírása és megoldás ágtörvények, karakterisztikák, összekapcsolási kényszerek, a hálózatban n-csomópont--- c = n − 1 b-ág b x feszültség = b ismeretlen, számú csomóponti egyenlet, n-csomópont b x áram = b ismeretlen, 2b ismeretlen b-ág---- h = b − (n − 1) - b számú karakterisztika számú hurok egyenlet. összesen= b számú egyenlet Hálózati egyenletek =

A hálózati egyenletek megoldhatók, ha reguláris a hálózat pl. nem reguláris hálózatok:



4. Kirchoff típusú hálózat hálózati egyenletek felírása Rezisztív hálózat, hálózati egyenletek a) Karakterisztikák, ágtörvények

U1 = R1 I1 U 2 = R2 I 2 U 3 = R3 I 3 b) Összekapcsolási kényszerek (i) Kirchhoff csomóponti törvény

(ii) Kirchhoff hurok törvény

(1)

I1 − IU s = 0,

(I )

(2)

U1 + U I s − U s = 0,

− I1 − I s + I 2 = 0,

( II )

(3)

U 2 + U 3 − U I s = 0.

− I 2 + I 3 = 0.



Dinamikus hálózat, hálózati egyenletek a) Karakterisztikák, ágtörvények u1 = R1i1 ,

•

iC = C uC •

u2 = R2 i2 , uL = L i L

b) összekapcsolási kényszerek, (Kirchhoff egyenletek) (i) Kirchhoff csomóponti törvény

(ii) Kirchhoff hurok törvény

(1)

i1 − iU s = 0,

(I )

(2)

u1 + uC − us = 0,

− i1 + iC + i2 = 0,

( II )

(3)

u2 + uL − uC = 0.

− i2 + i L = 0.



Hálózati egyenletek szisztematikus felírása----gráfelméleti alapok A hálózat gráfja---vonalas ábra, irányított gráf (áramirány)

a gráf fája és a kötőélek



A hálózati egyenletek megoldhatósága A hálózati egyenletek megoldhatók, ha a hálózat reguláris, Reguláris az a hálózat, amelyhez normál fa rendelhető, normál fa

fundamentális vágat és hurok

normál fa-elemek

nem-faágak, kötőél-elemek

Nem reguláris hálózatok



Összekapcsolási kényszerek, rezisztív hálózat

normál faágak vágat, (n-1 egyenlet) általánosított csomóponti egyenlet,

(v1 ) (v2 ) (v3 )

I1 + I 4 − I 3 = 0, I 2 − I 3 = 0, I 5 + I 4 − I 3 = 0,


kötőélek hurkok, hurok egyenletek, (h=b-n+1 egyenlet)

( I ) U 4 − U1 − U 5 = 0, ( II ) U1 + U 2 + U 3 + U 5 = 0, Műszaki Fizika-I/EA-V/21

Összekapcsolási kényszerek, dinamikus hálózat a hálózat gráfja

a hálózat egy normál fája, vágat egyenletek a normál fa kötőélei, hurok egyenletek

(v1 ) (v2 ) (v3 )

ius + i1 = 0, i2 − i L = 0, - i1 + iC + i L = 0,


(h1 ) u1 + uC − us = 0, (h2 ) u2 + uL − uC = 0, Műszaki Fizika-I/EA-V/22

5. Kirchoff típusú hálózat számítási módszerei I Hálózati egyenletek szisztematikus felírása, -gráfelmélet alkalmazása, a) ágtörvények, karakterisztikák megadása, b) összekapcsolási kényszerek (Kirchhoff egyenletek) felírása a) Karakterisztikák b) Összekapcsilási kényszerek

U1 = R1 I1 , U 2 = R2 I 2 , U 3 = R3 I 3 ,

A hálózat egy normál fája

A faágak~vágatok~K. csp-i egyenletek A kötőélek~hurkok~K. hurok egyenletek

v1 ) IU s1 − I 2 − I 3 = 0, v 2 ) I 1 − I 2 + I s = 0, v 3 ) I U s 2 + I s + I 3 = 0, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

h1 ) U 1 + U 2 − U s1 = 0 , h2 ) U s 2 − U I s − U1 = 0 , h3 ) U s 2 + U 3 − U s1 = 0, Műszaki Fizika-I/EA-V/23

Hálózati egyenletek szisztematikus felírása a) Karakterisztikák

uR = R i R , •

b) Összekapcsilási kényszerek A hálózat egy normál fája

uL = L i L , •

iC = C u C , A faágak~vágatok~K. csp-i egyenletek

A kötőélek~hurkok~K. hurok egyenletek

v1 ) ius1 − i L − i R = 0, v 2 ) iC − i L + i s = 0, v 3 ) i u s 2 + i s + i R = 0, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

h1 ) uC + u L − us1 = 0 , h2 ) us 2 − ui s − uC = 0 , h3 ) us 2 + uR − us1 = 0, Műszaki Fizika-I/EA-V/24

Hálózati egyenletek szisztematikus felírása a) Karakterisztikák

uR = R i R , •

uL = L i L ,

b) Összekapcsilási kényszerek A hálózat egy normál fája

•

iC = C u C , A faágak~vágatok~K. csp-i egyenletek

A kötőélek~hurkok~K. hurok egyenletek

h1 ) uC + uL = 0 , h2 ) us1 − ui s − uC = 0 , v1 ) iC − i L + i s = 0, v 2 ) i u s 1 + i s + i R = 0, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

h3 ) us1 + uR = 0,


Ellenőrző kérdések 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Ismertesse az hálózatok aktív és passzív, rezisztív és dinamikus elemeit és karakterisztikájukat, Ismertesse a Kirchhoff típusú hálózatok hálózati egyenleteit, Ismertesse a gráfelmélet alkamazását Kirchhoff típusú hálózatok összekapcsolási kényereinek felírásában, Ismertesse a normál fa elemeit, Ismertesse a kötőélek elemeit, Adjon példát a gráfelmélet alkalmazására Kirchhoff típusú hálózatok hálózati egyenleteinek szisztematikus felírására,

Irodalom •Iványi Miklósné, Fizika – I, Villamosságtan, (Előadás) 2006,www.e-oktat.pmmf.pte.hu •Fodor György, Hálózatok és rendszerek, Műegyetemi Kiadó, 2004. (Kód: 55064) •Fodor György, (Szerk) Villamosságtan példatár, Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest, 1998. (Kód: 44 555)



MŰSZAKI FIZIKA I. Dr. Iványi Miklósné professor emeritus. 5. Előadás

Recommend Documents