MODUL PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER
Disusun oleh: Ir. BALZA ACHMAD, M.Sc.E.
PROGRAM STUDI FISIKA TEKNIK JURUSAN TEKNIK FISIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS GADJAH MADA YOGYAKARTA 2005
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER MODUL I – PENDAHULUAN
Sistem bilangan & ralat pemotongan Sistem bilangan yang sering kita gunakan adalah sistem bilangan desimal. Komputer melakukan perhitungan menggunakan bilangan biner. Konversi bilangan desimal ke biner menyebabkan adanya kesalahan pembulatan. Tulislah program berikut, yang intinya hanya menjumlahkan angka 0.1 sebanyak N buah.. // RALAT.CPP #include
main() { float Step, Jumlah; long int N; Step = 0.1; N = 10; Jumlah = 0; for (long int i=1; i<=N; i++) { Jumlah = Jumlah + Step; } cout << N << "*" << Step << " = " << Jumlah << endl; }
1. 2. 3.
Jalankan program tersebut untuk nilai N = 10, 100, 1000, 10000 dan 100000. Apa yang terjadi? Jalankan dengan nilai N = 10000, serta nilai Step yang bervariasi = 0.1, 0.2, 0.25, 0.33, 0.5, dan 0.125. Apakah yang terjadi? Mengapa bisa begitu? Ubahlah tipe variabel Jumlah menjadi double serta variasikan nilai Step dan N. Bagaimana hasilnya?
Akar persamaan kuadrat Persamaan kuadrat dapat dicari akar-akarnya menggunakan rumus abc biasa maupun dengan cara alternatif. Cara I.:
− b + b 2 − 4ac x1 = 2a
Cara II.:
x1 =
− 2c b + b 2 − 4ac
dan
− b − b 2 − 4ac x2 = 2a
dan
x2 =
− 2c b − b 2 − 4ac
Tulislah program berikut, untuk mencari akar persamaan kuadrat menggunakan rumus abc. // AKARKUAD.CPP #include #include <math.h> PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
1
#include <stdlib.h> main() { float A, B, C, D, X1, X2; cout << "A = "; cin >> A; cout << "B = "; cin >> B; cout << "C = "; cin >> C; D = B*B-4*A*C; if (D < 0) { cout << "D bernilai negatif, akar kompleks" << endl; exit(1); } cout << "Akar D = " << sqrt(D) << endl; cout << "Dengan cara pertama:" << endl; X1 = (-B+sqrt(D))/(2*A); X2 = (-B-sqrt(D))/(2*A); cout << " X1 = " << X1 << endl; cout << " X2 = " << X2 << endl; cout << "Dengan cara kedua:" << endl; X1 = (-2*C)/(B+sqrt(D)); X2 = (-2*C)/(B-sqrt(D)); cout << " X1 = " << X1 << endl; cout << " X2 = " << X2 << endl; }
4.
5.
Jalankan program tersebut untuk nilai-nilai berikut, dan tuliskan hasilnya: a) A = 1, B = -5, C = 4 b) A = 1, B = 10, C = 1 c) A = 1, B = 100.01, C = 1 d) A = 1, B = -1000.001, C = 1 e) A = 1, B = -40.025, C = 1 f) A = 1, B = 80.0125, C = 1 Cara manakah yang lebih tepat untuk mencari akar persamaan kuadrat di atas? Petunjuk: perhatikan nilai B dan √D.
Menampilkan grafik fungsi Program berikut ini menampilkan grafik y = x4-2x3-4x2+4x+4 yang didefinisikan dalam fungsi f(x). Perhatian: untuk dapat menggunakan perintah-perintah yang berhubungan dengan grafik dari Borland Graphics Interface, pada saat membuat project, pilihlah Target Type: Application [*.exe], Platform: DOS (Standard), Libraries: BGI. // GRAFIK.CPP #include #include #include #include
<stdio.h> <math.h>
int lebarLayar, tinggiLayar; float xMin = -3.1; float xMaks = 3.1; float yMin = -6.1; PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
2
float float float float
yMaks = 6.2; xStep = 1; yStep = 2; plotStep = 0.1;
float f(float x) { return x*x*x*x-2*x*x*x-4*x*x+4*x+4; } void konversi(int &kolom, int &baris, float x, float y) { kolom = lebarLayar*(x-xMin)/(xMaks-xMin); baris = tinggiLayar*(1-(y-yMin)/(yMaks-yMin)); } main() { int grDriver = DETECT, grMode, grErr; int k1, b1, k2, b2; char s[5]; float i; initgraph(&grDriver, &grMode, "C:\\BC5\\BGI"); grErr = graphresult(); if (grErr != grOk) { printf("BGI error: %s\n", grapherrormsg(grErr)); return grErr; } lebarLayar = getmaxx(); tinggiLayar = getmaxy(); setfillstyle(SOLID_FILL, WHITE); bar(0, 0, lebarLayar, tinggiLayar); setcolor(BLUE); konversi(k1, b1, xMin, 0); konversi(k2, b2, xMaks, 0); line(k1, b1, k2, b2); setcolor(BLUE); konversi(k1, b1, 0, yMin); konversi(k2, b2, 0, yMaks); line(k1, b1, k2, b2); setcolor(GREEN); settextjustify(CENTER_TEXT, CENTER_TEXT); settextstyle(DEFAULT_FONT, HORIZ_DIR, 1); for (i=ceil(xMin); i<=floor(xMaks); i=i+xStep) { sprintf(s, "%.0f", i); konversi(k1, b1, i, 0); line(k1, b1-2, k1, b1+2); outtextxy(k1, b1+10, s); } for (i=ceil(yMin); i<=floor(yMaks); i=i+yStep) { sprintf(s, "%.0f", i); konversi(k1, b1, 0, i); line(k1-2, b1, k1+2, b1); outtextxy(k1-10, b1, s); } setcolor(RED); konversi(k1, b1, xMin, f(xMin)); moveto(k1, b1); PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
3
for (i=xMin; i<=xMaks; i=i+plotStep) { konversi(k2, b2, i, f(i)); lineto(k2, b2); } getch(); closegraph(); return 0; }
6. 7.
Modifikasi nilai plotStep, xMin, xMaks, yMin, yMax, xStep, yStep. untuk Apakah kegunaan masing-masing variabel tersebut? Modifikasi program di atas untuk menampilkan fungsi berikut ini, gambarlah hasilnya, serta tentukan kira-kira nilai x untuk y = 0. a) y = ex - x - 2 b) y = x2 – 3*x – 4
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
4
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER MODUL II – MENCARI AKAR PERSAMAAN
Metode Bisection Program berikut untuk mencari akar persamaan (zeros) y = x4-2x3-4x2+4x+4 menggunakan metode Bisection. // BISECT.CPP #include #include #include <math.h> double f(double x) // fungsi yang dicari zerosnya { return x*x*x*x-2*x*x*x-4*x*x+4*x+4; } main() { int i, Nmax; double a, b, x, xp, Emax, e; i = 1; cout << "Mencari akar persamaan dengan metode Bisection\n" << "Tebakan awal bawah (a) = "; cin >> a; cout << "Tebakan awal atas (b) = "; cin >> b; cout << "Galat maksimum (Emax) = "; cin >> Emax; cout << "Iterasi maksimum (Nmax) = "; cin >> Nmax; cout << " i a b x" << " f(a) f(b) f(x) e" << endl; xp = a; while (i <= Nmax) { x = (a+b)/2; e = fabs((x-xp)/x); cout << setw(3) << i << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(5) << setw(10) << a << setw(10) << b << setw(10) << x << setw(10) << f(a) << setw(10) << f(b) << setw(10) << f(x); if (i > 1) { cout << setw(10) << e; } cout << endl; if (e <= Emax) { break; } if (f(a)*f(x) < 0) PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
5
{ b = x; } else { a = x; } i++; xp = x; } cout << "Jadi akarnya adalah " << x << endl; }
1. 2. 3.
Berapa iterasi yang diperlukan agar galat tidak lebih dari 0.001, jika tebakan awal a = 1 dan b = 4? Berapakah nilai akar yang diperoleh? Carilah ke-4 nilai akar dari persamaan tersebut. Modifikasi program tersebut untuk menghitung akar dari persamaan y = ex - x - 2. Tentukan kedua nilai akarnya.
Metode Newton-Raphson Program metode Newton-Raphson untuk mencari akar persamaan y = x4-2x3-4x2+4x+4. // NEWTON.CPP #include #include #include <math.h> double f(double x) // fungsi yang dicari zerosnya { return x*x*x*x-2*x*x*x-4*x*x+4*x+4; } double f1(double x) { return 4*x*x*x-6*x*x-8*x+4; } main() { int i, Nmax; double x, x1, Emax, e; i = 1; cout << "Mencari akar persamaan dengan metode Newton-Raphson\n" << "Tebakan awal = "; cin >> x; cout << "Galat maksimum (Emax) = "; cin >> Emax; cout << "Iterasi maksimum (Nmax) = "; cin >> Nmax; cout << " i x f(x) f'(x)" << " xi+1 e" << endl; while (i <= Nmax) { x1 = x - f(x)/f1(x); e = fabs((x1-x)/x1); cout << setw(3) << i << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(5) PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
6
<< setw(10) << setw(10) << setw(10) << setw(10) << setw(10) if (e <= Emax) { break; } x = x1; i++;
<< << << << <<
x f(x) f1(x) x1 e << endl;
} cout << "Jadi akarnya adalah " << x1 << endl; }
4. 5.
Berapa iterasi yang diperlukan agar galat tidak lebih dari 0.0001, jika tebakan awal = -2, 0, 2, dan 5? Berapakah nilai akar yang diperoleh? Modifikasi program tersebut untuk menghitung akar dari persamaan y = ex - x - 2. Tentukan kedua nilai akarnya.
Metode Secant Program berikut untuk mencari akar persamaan y = x4-2x3-4x2+4x+4 menggunakan metode Secant. // SECANT.CPP #include #include #include <math.h> double f(double x) { return x*x*x*x-2*x*x*x-4*x*x+4*x+4; } main() { int i, Nmax; double x, x1, xp, Emax, e; i = 1; cout << "Mencari akar persamaan dengan metode Secant\n" << "Tebakan awal x(0) = "; cin >> xp; cout << "Tebakan awal x(1) = "; cin >> xp; cout << "Galat maksimum (Emax) = "; cin >> Emax; cout << "Iterasi maksimum (Nmax) = "; cin >> Nmax; cout << " i x f(x)" << " x(i+1) e" << endl; while (i <= Nmax) { x1 = x - (f(x)*(x-xp))/(f(x)-f(xp)); e = fabs((x1-x)/x1); cout << setw(3) << i << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(5) << setw(10) << x PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
7
<< setw(10) << f(x) << setw(10) << x1 << setw(10) << e << endl; if (e <= Emax) { break; } x = x1; i++; } cout << "Jadi akarnya adalah " << x1 << endl; }
6. 7.
Modifikasi program tersebut untuk menghitung akar dari persamaan y = x2 – x – 1. Tentukan kedua nilai akarnya. Modifikasi program Bisection di atas untuk mencari akar persamaan dengan metode Regula Falsi. Berikan contoh tabel hasil interasi untuk persamaan y = x4-2x3-4x2+4x+4.
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
8
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER MODUL III – PENYELESAIAN PERSAMAAN SIMULTAN
Eliminasi Gauss Program berikut merupakan penyelesaian persamaan simultan menggunakan cara eliminasi Gauss untuk sistem persamaan simultan berikut: x1 - x2 + 2x3 - x4 = -8 2x1 - 2x2 + 3x3 - 3x4 = -20 x1 + x2 + x3 = -2 x1 - x2 + 4x3 + 3x4 = 4 // GAUSS.CPP #include #include <math.h> #include <stdlib.h> main() { double A[4][5] = {{1, -1, 2, -1, -8}, {2, -2, 3, -3, -20}, {1, 1, 1, 0, -2}, {1, -1, 4, 3, 4}}; double x[4], M, jumlah, temp; int N = 3, i, j, k, p, q; for (p=0; p<=N; p++) { for (q=0; q<=N+1; q++) { cout << A[p][q] << " } cout << endl; } cout << endl;
";
for (j=0; j<=N-1; j++) { for (k=j+1; k<=N; k++) { if (fabs(A[k][j]) > fabs(A[j][j])) { for (i=j; i<=N+1; i++) { temp = A[j][i]; A[j][i] = A[k][i]; A[k][i] = temp; } } } if (A[j][j] == 0) { cout << "Matriks singular!" << endl; exit(1); } for (k=j+1; k<=N; k++) PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
9
{ M = A[k][j]/A[j][j]; for (i=j; i<=N+1; i++) { A[k][i] = A[k][i]-M*A[j][i]; } } } if (A[N][N] == 0) { cout << "Matriks singular!" << endl; exit(1); } x[N] = A[N][N+1]/A[N][N]; for (k=N-1; k>=0; k--) { jumlah = 0; for (i=k+1; i<=N; i++) { jumlah = jumlah+A[k][i]*x[i]; } x[k] = (A[k][N+1]-jumlah)/A[k][k]; } for (k=0; k<=N; k++) { cout << "x[" << k << "] = " << x[k] << endl; } cout << endl; for (p=0; p<=N; p++) { for (q=0; q<=N+1; q++) { cout << A[p][q] << " "; } cout << endl; } }
1. 2. 3.
Tuliskan nilai akhir dari matriks augmented A. (keterangan: angka dengan pangkat negatif tinggi, misalnya 10-16 atau 10-17 dianggap nol). Berapakah nilai x untuk sistem persamaan di atas? Selesaikan sistem persamaan berikut: x1 + 2x2 + x3 + 4x4 = 13 2x1 + 4x3 + 3x4 = 28 4x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 20 -3x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 6
Eliminasi Gauss-Jordan Program berikut merupakan penyelesaian persamaan simultan menggunakan cara eliminasi Gauss-Jordan untuk sistem persamaan simultan di atas. // GJORDAN.CPP #include #include <math.h> #include <stdlib.h> main() { PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
10
double A[4][5] = {{1, -1, 2, -1, -8}, {2, -2, 3, -3, -20}, {1, 1, 1, 0, -2}, {1, -1, 4, 3, 4}}; double x[4], M, jumlah, temp; int N = 3, i, j, k, p, q; for (p=0; p<=N; p++) { for (q=0; q<=N+1; q++) { cout << A[p][q] << " } cout << endl; } cout << endl;
";
for (j=0; j<=N; j++) { for (k=j+1; k<=N; k++) { if (fabs(A[k][j]) > fabs(A[j][j])) { for (i=0; i<=N+1; i++) { temp = A[j][i]; A[j][i] = A[k][i]; A[k][i] = temp; } } } if (A[j][j] == 0) { cout << "Matriks singular!" << endl; exit(1); } M = A[j][j]; for (i=0; i<=N+1; i++) { A[j][i] = A[j][i]/M; } for (k=0; k<=N; k++) if (j != k) { M = A[k][j]/A[j][j]; for (i=0; i<=N+1; i++) { A[k][i] = A[k][i]-M*A[j][i]; } } } if (A[N][N] == 0) { cout << "Matriks singular!" << endl; exit(1); } for (k=0; k<=N; k++) { x[k] = A[k][N+1]; cout << "x[" << k << "] = " << x[k] << endl; } cout << endl; for (p=0; p<=N; p++) PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
11
{ for (q=0; q<=N+1; q++) { cout << A[p][q] << " } cout << endl;
";
} }
4.
Tuliskan nilai akhir dari matriks augmented A dan nilai x untuk sistem persamaan di atas. Bandingkan hasilnya dengan metode eliminasi Gauss.
Iterasi Jacobi Program berikut merupakan penyelesaian persamaan simultan menggunakan cara iterasi Jacobi untuk sistem persamaan simultan berikut. -2x1 + x2 + 5x3 = 15 4x1 - 8x2 + x3 = -21 4x1 - x2 + x3 = 7 // JACOBI.CPP #include #include #include <math.h> main() { double A[3][4] = {{-2, 1, 5, 15}, { 4, -8, 1, -21}, { 4, -1, 1, 7}}; double x[3], x1[3], jumlah, Emax, e; int N = 2, Nmax, i, j, k; Emax = 1e-6; Nmax = 20; x[0] = 0; x[1] = 0; x[2] = 0; e = 1; i = 0; cout << " i "; for (j=0; j<=N; j++) { cout << " x[" << j << "] "; } cout << endl << setprecision(6) << setiosflags(ios::fixed); while ((i <= Nmax) && (e > Emax)) { cout << setw(3) << i; for (j=0; j<=N; j++) { cout << setw(12) << x[j]; } for (j=0; j<=N; j++) { jumlah = A[j][N+1]; for (k=0; k<=N; k++) { if (j != k) PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
12
{ jumlah = jumlah-A[j][k]*x[k]; } x1[j] = jumlah/A[j][j]; } } e = 0; for (j=0; j<=N; j++) { e = e+fabs(x1[j]-x[j]); } for (j=0; j<=N; j++) { x[j] = x1[j]; } cout << endl; i++; } }
5. 6.
Jalankan program di atas, apakah penyelesaiannya diperoleh? Ubahlah urutan persamaan (baris) pertama dengan ketiga, kemudian jalankan. Tentukan penyelesaian sistem persamaan tersebut. Berapakah iterasi yang diperlukan?
Iterasi Gauss-Seidell Program berikut merupakan penyelesaian persamaan simultan menggunakan cara iterasi Gauss-Seidell untuk sistem persamaan simultan yang sama dengan di atas. // GSEIDELL.CPP #include #include #include <math.h> main() { double A[3][4] = {{ 4, -1, 1, 7}, { 4, -8, 1, -21}, {-2, 1, 5, 15}}; double x[3], x1[3], jumlah, Emax, e; int N = 2, Nmax, i, j, k; Emax = 1e-6; Nmax = 20; x[0] = 0; x[1] = 0; x[2] = 0; e = 1; i = 0; cout << " i "; for (j=0; j<=N; j++) { cout << " x[" << j << "] "; } cout << endl << setprecision(6) << setiosflags(ios::fixed); while ((i <= Nmax) && (e > Emax)) { cout << setw(3) << i; for (j=0; j<=N; j++) { cout << setw(12) << x[j]; PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
13
} for (j=0; j<=N; j++) { jumlah = A[j][N+1]; for (k=0; k<=N; k++) { if (j < k) { jumlah = jumlah-A[j][k]*x[k]; } if (j > k) { jumlah = jumlah-A[j][k]*x1[k]; } x1[j] = jumlah/A[j][j]; } } e = 0; for (j=0; j<=N; j++) { e = e+fabs(x1[j]-x[j]); } for (j=0; j<=N; j++) { x[j] = x1[j]; } cout << endl; i++; } }
7. 8.
Jalankan program di atas dan tuliskan penyelesaian sistem persamaan tersebut. Berapakah iterasi yang diperlukan? Bandingkan dengan cara interasi Jacobi. Modifikasilah program eliminasi Gauss-Jordan di atas untuk mencari invers suatu matriks.
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
14
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER MODUL IV – INTERPOLASI
Interpolasi Linier Program berikut merupakan contoh untuk interpolasi linier dengan pasangan data berikut: x
-2
-1
0
1
2
3
y
-5
1.5
1
0.5
3
11.5
// INLINIER.CPP #include #include <stdlib.h> #define N 6 main() { double x[N] = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}; double y[N] = {-5, 1.5, 1, 0.5, 3, 11.5}; double xi, yi; int k; cout << "xi = "; cin >> xi; if ((xi < x[0]) || (xi > x[N-1])) { cout << "x berada di luar batas interpolasi" << endl; exit(1); } for (k=0; k
1. 2. 3. 4.
Tuliskan cara menghitung integral fungsi di atas dengan cara analitis (rumus) dengan batas bawah 0 dan batas atas 1. (jawaban: 1.718282) Menggunakan program di atas, berapakah nilai integral fungsi tersebut untuk variasi nilai N = 5, 10, 50, dan 100. Berapakah galat masing-masing terhadap nilai yang sebenarnya? Modifikasilah program tersebut untuk metode Pendekatan Jumlah Kanan dan metode Pendekatan Nilai Tengah. Berdasarkan variasi nilai N seperti pada nomor 2, metode manakah yang terbaik di antara ketiga metode tersebut?
Aturan Trapezoidal Program berikut menghitung integral fungsi ∫ e x dx menggunakan aturan trapezoidal. // TRAPEZ.CPP #include #include <math.h>
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
18
double f(double x) { return exp(x); } main() { double a, b, h, x, jumlah, integral; int N; a = 0; b = 1; N = 10; h = (b-a)/N; jumlah = 0; for (int i=1; i<=N-1; i++) { x = a+i*h; jumlah = jumlah+2*f(x); } integral = h*(f(a)+jumlah+f(b))/2; cout << "Integralnya adalah " << integral << endl; }
5. 6.
Hitunglah integral dan galat berdasarkan variasi nilai N seperti pada nomor 2. Apakah aturan trapezoidal lebih baik daripada metode sebelumnya? Gunakan program tersebut untuk menghitung nilai integral untuk fungsi f(x) = 1/x antara x = 1 dan x = 9. (Bandingkan dengan hasil cara analitis: 2.197225)
Aturan Simpson Program berikut menghitung integral fungsi f(x) = 1/x menggunakan aturan Simpson. // SIMPSON.CPP #include #include <math.h> double f(double x) { return 1/x; } main() { double a, b, h, x, jumlah, integral; int N; a = 1; b = 9; N = 8; h = (b-a)/N; jumlah = 0; for (int i=1; i<=N-1; i++) { x = a+i*h; if (i%2==1) { jumlah = jumlah+4*f(x); } else { PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
19
jumlah = jumlah+2*f(x); } } integral = h*(f(a)+jumlah+f(b))/3; cout << "Integralnya adalah " << integral << endl; }
7. 8.
Variasikan nilai N = 10, 11, 24, 25, 49, dan 50. Simpulkan hasilnya. Buktikan aturan Simpson memberikan hasil lebih baik daripada aturan trapezoidal.
Aturan Trapezoidal Berulang Program berikut menghitung integral fungsi f(x) = (x2+x+1)*cos(x) dengan batas [0, π/2] menggunakan aturan trapezoidal berulang. Nilai integral yang sesungguhnya adalah 2.03819743. // TRAPEZ2.CPP #include #include #include <math.h> #define PI 3.1415926535897932384626433832795 double f(double x) { return (x*x+x+1)*cos(x); } main() { double a, b, h, jumlah; double R[20]; int N; a = 0; b = PI/2; N = 5; R[1] = (b-a)*(f(a)+f(b))/2; cout << " i R[i]" << endl; cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(8) << " 1" << setw(12) << R[1] << endl; for (int i=1; i<=N-1; i++) { h = (b-a)/pow(2,i); jumlah = 0; for (int k=1; k<=pow(2,i-1); k++) { jumlah = jumlah+f(a+(2*k-1)*h); } R[i+1] = R[i]/2+h*jumlah; cout << setw(2) << (i+1) << setw(12) << R[i+1] << endl; } cout << "Integralnya adalah " << R[N] << endl; cout << "Galatnya adalah " << (R[N]-2.03819743) << endl; }
9. Tuliskan tabel yang dihasilkan oleh program di atas. 10. Berapa iterasi yang diperlukan untuk mencapai galat tak lebih dari 0.00001?
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
20
Metode Romberg Program berikut menghitung integral fungsi f(x) = (x2+x+1)*cos(x) dengan batas [0, π/2] menggunakan metode Romberg.. // ROMBERG.CPP #include #include #include <math.h> #define PI 3.1415926535897932384626433832795 double f(double x) { return (x*x+x+1)*cos(x); } main() { double a, b, h, jumlah; double R[20][20]; int N; a = 0; b = PI/2; N = 3; R[1][1] = (b-a)*(f(a)+f(b))/2; cout << " i R[i][i]" << endl; cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(8) << " 1" << setw(12) << R[1][1] << endl; for (int i=1; i<=N-1; i++) { h = (b-a)/pow(2,i); jumlah = 0; for (int k=1; k<=pow(2,i-1); k++) { jumlah = jumlah+f(a+(2*k-1)*h); } R[i+1][1] = R[i][1]/2+h*jumlah; cout << setw(2) << (i+1) << setw(12) << R[i+1][1]; for (int k=1; k<=i; k++) { R[i+1][k+1] = R[i+1][k]+(R[i+1][k]-R[i][k])/(pow(4,k)-1); cout << setw(12) << R[i+1][k+1]; } cout << endl; } cout << "Integralnya adalah " << R[N][N] << endl; cout << "Galatnya adalah " << (R[N][N]-2.03819743) << endl; }
11. Tuliskan tabel yang dihasilkan oleh program di atas. 12. Berapa iterasi yang diperlukan untuk mencapai galat tak lebih dari 0.00001? 13. Gunakan program tersebut untuk menghitung integral fungsi f(x) = 1/x dengan batas [1,9].
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
21
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER MODUL VI – TURUNAN FUNGSI
Formula Selisih Maju, Mundur, dan Tengah Program berikut menghitung nilai turunan fungsi f(x) = ln(x) menggunakan formula selisih maju dua titik untuk sebuah nilai x dan h. // SELMAJU.CPP #include #include #include <math.h> double f(double x) { return log(x); } main() { double x, h, f1; int N; cout << "x = "; cin >> x; cout << "h = "; cin >> h; f1 = (f(x+h)-f(x))/h; cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(10); cout << "f(x) = " << f(x) << endl; cout << "f(x+h) = " << f(x+h) << endl; cout << "turunan f(x) = " << f1 << endl; }
1. 2. 3. 4.
Hitunglah nilai turunan fungsi di atas pada x = 1, untuk h = 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, dan 0.00001. Bandingkan dengan nilai yang sebenarnya (secara analitik). Nilai h manakah yang terbaik? Hitunglah nilai turunan untuk f(x) = ex, pada x = 1, untuk h = 0.2, 0.02, 0.002, dan 0.0002. Bandingkan dengan nilai yang sebenarnya. Modifikasi program tersebut untuk menghitung fungsi pada nomor 2 di atas menggunakan formula selisih mundur dua titik. Modifikasi program tersebut untuk menghitung fungsi pada nomor 2 di atas menggunakan formula selisih tengah dua titik. Manakah di antara ketiga formula tersebut yang memberikan nilai yang paling mendekati nilai yang sebenarnya?
Turunan Orde Dua Program berikut menghitung nilai turunan fungsi f(x) = x3-2x2+x-3 menggunakan formula selisih maju dan tengah. // SELORDE2.CPP #include #include #include <math.h>
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
22
double f(double x) { return x*x*x-2*x*x+x-3; } main() { double x, h, f2m, f2t; int N; cout << "x = "; cin >> x; cout << "h = "; cin >> h; f2m = (f(x+2*h)-2*f(x+h)+f(x))/(h*h); f2t = (f(x+2*h)-2*f(x)+f(x-2*h))/(4*h*h); cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(10); cout << "f''(x) maju = " << f2m << endl; cout << "f''(x) tengah = " << f2t << endl; }
5. 6.
Hitunglah nilai turunan orde dua dari fungsi di atas pada x = 1, untuk h = 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, dan 0.00001. Bandingkan dengan nilai yang sebenarnya (secara analitik). Manakah pendekatan yang lebih baik? Hitunglah nilai turunan orde dua untuk f(x) = ex, pada x = 1, untuk h = 0.2, 0.02, 0.002, dan 0.0002. Bandingkan dengan nilai yang sebenarnya.
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
23
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER MODUL VII – PERSAMAAN DIFERENSIAL SEDERHANA
Metode Euler Program berikut menghitung penyelesaian persamaan diferensial sederhana f'(x) = x+y, untuk y(1) jika y(0) = 1 menggunakan metode Euler. Penyelesaian analitiknya adalah y = 2exx-1 dan y(1) = 3.43656366 // EULER.CPP #include #include #include <math.h> double f(double x, double y) { return x+y; } main() { double x, y, h; int n; x = 0.0; y = 1.0; h = 0.2; n = 0; cout << " n xn yn err" << endl; do { cout << setw (4) << n << setiosflags(ios::showpoint | ios::fixed) << setprecision(8) << setw(15) << x << setw(15) << y << setw(15) << (y-(2*exp(x)-x-1)) << endl; x = x+h; y = y+h*f(x,y); n++; } while (x<=1.0001); }
1. 2.
Hitunglah nilai penyelesaian persamaan di atas untuk h = 0.2, 0.1, 0.05, 0.01, dan 0.0001. Catatlah nilai y dan error hanya pada x=1. Nilai h manakah yang memberikan hasil terbaik? Modifikasi persamaan di atas untuk menghitung y(1) jika f'(x)=y dan y(0)=1. Penyelesaian analitiknya adalah y = ex dan y(1) = 2.71828183. Gunakan variasi nilai h seperti nomor 1. Apa kesimpulan anda?
Metode Runge-Kutta Program berikut menghitung persoalan pada nomor 2 di atas menggunakan metode RungeKutta orde 2 (metode Heun). // RK2.CPP #include #include #include <math.h>
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
24
double f(double x, double y) { return y; } main() { double x, y, h, k1, k2; int n; x = 0.0; y = 1.0; h = 0.2; n = 0; cout << " n xn yn err" << endl; do { cout << setw (4) << n << setiosflags(ios::showpoint | ios::fixed) << setprecision(8) << setw(15) << x << setw(15) << y << setw(15) << (y-exp(x)) << endl; x = x+h; k1 = h*f(x,y); k2 = h*f(x+h,y+k1); y = y+(k1+k2)/2; n++; } while (x<=1.0001); }
3.
Hitunglah nilai penyelesaian persamaan di atas untuk h = 0.2, 0.1, 0.05, 0.01, dan 0.0001. Catatlah nilai y dan error hanya pada x=1. Manakah yang memberikan hasil lebih baik antara metode Euler dan metode Runge-Kutta orde 2?
Program berikut merupakan modifikasi program di atas untuk menyelesaikan persamaan diferensial sederhana menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 (hanya mengganti bagian pendefinisian variabel dan menghitung y pada program di atas) ... double x, y, h, k1, k2, k3, k4; ... k1 = h*f(x,y); k2 = h*f(x+h/2,y+k1/2); k3 = h*f(x+h/2,y+k2/2); k4 = h*f(x+h,y+k3); y = y+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; ...
4.
Hitunglah nilai penyelesaian persamaan di atas untuk h = 0.2, 0.1, 0.05, 0.01, dan 0.0001. Catatlah nilai y dan error hanya pada x=1. Apakah hasilnya lebih baik daripada metode Euler dan metode Runge-Kutta orde 2?
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER - IR. BALZA ACHMAD, M.SC.E.
25
PRAKTIKUM PEMROGRAMAN KOMPUTER MODUL VIII – REGRESI
Regresi Linier Program berikut menghitung regresi linier, y = Ax+B, dari pasangan data berikut: x
y
12
-1
10
10
0
9
8
1
7
6
2
5
3
4
4
3
5
0
6
-1
4 2 0 -2
-2
0
2
4
6
8
// REGLIN.CPP #include #include main() { int N = 8; double x[] = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; double y[] = {10, 9, 7, 5, 4, 3, 0, -1}; double Sx = 0, Sxx = 0 , Sy = 0, Sxy = 0, A, B; for (int i=0; i
