Modul Praktikum. Logika Dasar. Dosen Pengampu: Anie Rose Irawati M.Cs. Penyusun:

Daftar Isi

Modul Praktikum Logika Dasar

Dosen Pengampu: Anie Rose Irawati M.Cs.

Penyusun: Arif munandar Dinora Refiasari Gandi Laksana Putra Muhammad Saleh Firmansyah Feri Krisnanto Muammar Rizki F.I.

Edisi 1 (2017) Laboratorium Komputasi Dasar Jurusan Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung

Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila

i

Daftar Isi

Deskripsi Mata Kuliah Kebanyakan orang setuju bahwa logika memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan, bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Logika terkait erat dengan berbagai ilmu lain yang berhubungan dengan komputer, misalnya matematika, statistika, algoritma,dan mata kuliah-mata kuliah pemrograman. Materi logika, yaitu dasar-dasar logika, tabel kebenaran, proposisi majemuk, tautologi, ekivalensi logis, pembuktian logika dan analisis argument, kuantor, dan rangkaian logika.

Tujuan Perkuliahan Agar

mahasiswa

dapat

memahami

mata

kuliah

logika

dan

dapat

mengimplementasikannya. Deskripsi Isi Perkuliahan Materi pembelajaran dalam Mata Kuliah Logika disusun dalam 6 pokok bahasan, yaitu: konsep logika proposisi yang mencangkup operator, hukum, dan tabel logika, konsep logika predikat yang mencangkup tentang kuantor, terjemahan kalimat berkuantor, dan teorema kalimat berkuantor, Teori inferensi yang mencangkup argumentasi, tautologi, dan validitas argumen, deskripsi teori himpunan yang mencangkup operasi, hukum dan sifat operasi himpunan, jenis himpunan, perkalian himpunan, Aljabar Boolean yang mencangkup ekspresi boolean, prinsip dualitas, hukum aljabar boolean, bentuk kanonik, penyederhanaan fungsi, dan Rangkaian Logika yang mencangkup cara pembuatan rangkaian.


ii

Daftar Isi

Daftar Isi

Daftar Isi ........................................................................................................................... iii Memahami Konsep Logika Proposisi ............................................................................. 4 Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)............................................................... 10 Memahami Konsep Logika Predikat ............................................................................ 17 Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2) ............................................................... 19 Teori Inferensi ................................................................................................................. 24 Teori Inferensi (bag.2) .................................................................................................... 26 Mendeskripsikan Teori Himpunan ............................................................................... 29 Aljabar Boolean .............................................................................................................. 34 Aljabar Boolean (bag.2).................................................................................................. 38 Aljabar Boolean (bag.3).................................................................................................. 41 Aljabar Boolean (bag.4).................................................................................................. 44 Rangkaian logika ............................................................................................................ 50


iii

Memahami Konsep Logika Proposisi

Pertemuan 1 Memahami Konsep Logika Proposisi Tujuan Instruksional : Pengantar Tujuan dari materi ini adalah untuk memahami konsep dari logika proposisi. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa dapat mengerti tentang konsep logika proposisi Waktu Pertemuan

: 100 menit

Sebelum membahas lebih jauh tentang logika proposisi, terlebih dahulu kita bahas pengertian dari logika proposisi. Logika proposisi / kalkulus proposisi adalah bidang logika yang membentuk proposisi pada peryataan yang mengandung peubah. Proposisi itu sendiri adalah peryataan dalam bentuk kalimat yang mengandung nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus mengandung nilai benar dan salah. Benar diartikan sebagai adanya kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan fakta yang sebenarnya. Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil (misal: p, q, r). Contoh dari proposisi: p : 13 adalah bilangan ganjil. q : Soekarno adalah almnus UGM. r:2+2=4

Mengkombinasikan proposisi Beberapa proposisi tunggal, dapat dikombinasikan menjadi satu kesatuan. Contoh:


4


Misalkan p dan q adalah proposisi. 1. Konjungsi (conjunction) : p dan q Dinotasikan dengan p ∧ q 2. Disjungsi (disjunction) : p atau q

Dinotasikan dengan p ∨ q 3. Ingkaran (negation) dari p : tidak p

Dinotasikan dengan ~p Dalam hal ini, p dan q disebut sebagai proposisi atomik. Sedangkan kombinasi dari proposisi tersebut menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition).

Berikut ini adalah contoh dari kalimat logika proposisi. Diketahui : p : hari ini hujan. q : murid-murid diliburkan dari sekolah. p ∧ q : hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah. p ∨ q : hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah. ~p : tidak benar bahwa hari ini hujan (atau : hari ini tidak hujan)

Berikut ini adalah contoh penotasian (bentuk simbolik) dari kalimat proposisi majemuk.


5


Diketahui : p : pemuda itu tinggi q : pemuda itu tampan 1. Pemuda itu tinggi dan tampan p

∧

q

2. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan p

∧

~q

3. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan ~

(p

q)

∧

4. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan ~

(

~p

~q

∨

)

5. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan p

∨

(~p

∧

q)

6. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan ~

(~p

∧

q)

Operator logika dan Tabel logika Didalam konsep logika, terdapat beberapa operator-operator logika. Operator tersebut berfungsi untuk menggabungkan proposisi-proposisi atomik. Berikut ini adalah macam-macam operator logika: -

Negasi (NOT)

-

Konjungsi (AND)

-

Disjungsi (OR)

-

Eksklusif or (XOR)

-

Implikasi (jika - maka)

-

Bikondisional (jika dan hanya jika)


6


Tabel logika (tabel kebenaran / truth table) adalah tabel yang digunakan untuk mencari nilai kebenaran dari suatu proposisi majemuk. Tabel ini berisi semua kemungkinan dari nilai proposisi. Berikut ini adalah tabel kebenaran yang ada dari dari tiap operator logika: -

-

-

-

Negasi (NOT) : operator uner, lambang: ~ p

~p

Benar

Salah

Salah

Benar

Konjungsi (AND) : operator biner, lambang: ∧ p

q

p∧ q

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Benar

Salah

Salah

Salah

Salah

Disjungsi (OR) : operator biner, lambang: ∨ p

q

p∨ q

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Benar

Salah

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Eksklusif or (XOR) : operator biner, lambang: + p

q

p+q

Benar

Benar

Salah


7


-

-

Benar

Salah

Benar

Salah

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Implikasi (jika - maka) : operator biner, lambang: → p

q

p→q

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Bikondisional (jika dan hanya jika) : operator biner, lambang: ↔ p

q

p↔q

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Benar

Salah

Salah

Salah

Benar

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator sebelumnya, dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan yang baru. Contohnya: p

q

p↔q

p ∨ (p ↔ q)

~q

( p ∨ (p ↔ q)) ∧(~q)

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Salah

Salah

Benar

Benar

Benar

Salah

Benar

Salah

Salah

Salah

Salah

Salah

Salah

Benar

Benar

Benar

Benar


8


Pernyataan-pernyataan dapat memiliki nilai kebenaran yang sama dengan suatu pernyataan yang lain. Kondisi ini disebut ekivalen. Contoh dari pernyataan ekivalen dapat dilihat pada tabel berikut: p

q

~(p∧q)

(~p) ∨ (~q)

(~(p∧q)) ↔ ((~p) ∨ (~q))

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Benar

Salah

Benar

Benar

Benar

Salah

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Benar

Benar

Pernyataan ~(p∧q) dan (~p)∨(~q) adalah ekivalen secara logis, karena nilai (~(p∧q)) ↔ ((~p) ∨ (~q)) selalu benar.

Catatan : urutan pengerjaan untuk operasi logika adalah: (…), negasi, disjungsi dan konjugsi, implikasi, biimplikasi.


9

Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)

Pertemuan 2 Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)

Tujuan Instruksional : Pengantar Pokok bahasan ini menjelaskan tentang konsep dari logika proposisi secara lebih lanjut. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa dapat mengerti tentang konsep logika proposisi secara lebih lanjut. : 100 menit

Waktu Pertemuan

Tautologi dan Kontradiksi

Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar pada semua kasus. Contoh: r ∨ (~r) ~(p∧q) ↔ (~p)∨(~q) Jika s → t sebuah tautologi, kita tulis s ⇒ t Jika s ↔ t sebuah tautologi, kita tulis s ⇔ t

Jika proposisi majemuk selalu bernilai salah untuk semua kasus, maka proposisi majemuk tersebut disebut dengna kontradiksi.

Berikut ini tabel kebenaran dari sebuah tautologi: p

q

~(p∧q)

(~p) ∨ (~q)

(~(p∧q)) ↔ ((~p) ∨ (~q))

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Benar

Salah

Benar

Benar

Benar

Salah

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Benar

Benar

Berikut ini tabel kebenaran dari sebuah kontradiksi:


10


p

q

(p∧q)

(p∨q)

~(p∨q)

(p∧q) ∧ (~(p∨q))

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Salah

Salah

Benar

Salah

Salah

Salah

Benar

Salah

Benar

Salah

Salah

Salah

Salah

Salah

Salah

Benar

Salah

Hukum-hukum logika

Didalam konsep logika, terdapat hukum-hukum yang sering juga disebut hukumhukum aljabar proposisi. Macam-macam dari hukum aljabar proposisi yaitu: 1. Hukum identitas p ∨ False ⇔ p p ∧ True ⇔ p 2. Hukum null/dominasi p ∧ False ⇔ False p ∨ True ⇔ True 3. Hukum negasi p ∨ ~p ⇔ True p ∧ ~p ⇔ False 4. Hukum idempoten p∧p⇔p p∨p⇔p 5. Hukum involusi (negasi ganda) ~(~p) ⇔ p 6. Hukum penyerapan (absorpsi) p ∨ (p∧q) ⇔ p p ∧ (p∨q) ⇔ p


11


7. Hukum komutatif p∧q ⇔ q∧p p∨q ⇔ q∨p 8. Hukum asosiatif p∧(q∧r) ⇔ (p∧q)∧r p∨(q∨r) ⇔ (p∨q)∨r 9. Hukum distributif p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r) 10. Hukum De Morgan ~(p∧q) ⇔ ~p ∨~q ~(p∨q) ⇔ ~p ∧~q

Hukum-hukum diatas dapat kita buktikan kebenarannya. Contoh pembuktian dari hukum penyerapan pada kasus p∧(p∨q) ⇔ p : p∧(p∨q)

⇔ (p ∨ False) ∧ (p∨q)

(hukum identitas)

⇔ p ∨ (False ∧ q)

(hukum distributif)

⇔ p ∨ False

(hukum Null)

⇔p

(hukum identitas)

Terbukti.

Contoh soal. Diberikan pernyataan “tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak belajar Matematika”. a.nyatakan pernyataan diatas dalam notasi simbolik. b.berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut.

Penyelesaian:


12


Missal: p = Dia belajar Algoritma q = Dia belajar Matematika Maka, a. ~ (p∧~q) b. ~ (p∧~q) ⇔ ~p ∨ q (hukum De Morgan) dengan kata lain:”dia tidak belajar algoritma atau dia belajar matematika”

disjungsi eksklusif kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam salah satu dari dua cara: 1. Inclusive or ( ∨ ) Kata “atau” berarti “p atau q atau keduanya” Contoh: “tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai C++ atau Java” 2. Exclusive or ( + ) Kata “atau” berarti “p atau q tapi tidak keduanya” Contoh: “ia dihukum 5 tahun penjara atau denda 10 juta rupiah” Tabel kebenaran Inclusive or

Tabel kebenaran Exclusive or

p

q

p∨ q

p

q

p+q

Benar

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Benar

Salah

Benar

Benar

Salah

Benar

Salah

Benar

Benar

Salah

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Salah

Salah

Salah

Proposisis bersyarat (kondisional atau implikasi)


13


Bentuk dari proposisi ini adalah “jika p maka q”. Notasi dari proposisi ini yaitu: p → q. Proposisi p disebut dengan hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi. Sedangkan proposisi q disebut konklusi atau konsekuen. Proposisi ini dapat dianggap sebagai sebab-akibat, contohnya: “jika besok tidak hujan, maka saya akan pergi ke pantai”

Cara mengekspresikan implikasi ada beberapa macam, yaitu: - jika p, maka q - jika p, q - p mengakibatkan q - q jika p - p hanya jika q - p syarat cukup untuk q - q syarat perlu untuk p - q bilaman p

Contoh kalimat proposisi dalam berbagai bentuk kalimat: - jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. - jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang. - es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. - orang itu mau barangkat jika ia diberi ongkos jalan. - ahmad bisa mengambil mata kuliah teori bahasa formal hanya jika ia telah lulus mata kuliah matematika diskrit. - syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan dari api rokok. - syarat perlu bagi Indonesia agar dapat ikut piala dunia adalah dengan mengontrak pemain asing ternama. - banjir bandang terjadi bilamanahutan ditebangi.


14


Perhatikan, bahwa dalam implikasi yang dipentingkan adalah nilai kebenaran premis dan konsekuen. Bukan hubungan sebab dan akibat diantara keduanya.

Beberapa implikasi dibawah ini valid meskipun secara bahasa tidak memiliki makna. -

Jika 1+1=2, maka paris ibukota perancis Jika n adalah bilangan bulat, maka hari ini hujan

Notasi ~p ∨ q memiliki nilai kebenaran yang sama (ekivalen) dengan notasi implikasi p → q. p

q

~p

p→q

~p ∨ q

Benar

Benar

Salah

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Salah

Salah

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Benar

Benar

Varian proposisi bersyarat

Bentuk umum dari implikasi : p → q Bentuk konvers (kebalikan) : q → p Bentuk invers

: ~p → ~q

Bentuk kontraposisi

: ~q → ~p

p

q

~p

~q

p→q

q→p

~p → ~q

~q → ~p

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Salah

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Benar

Salah

Benar

Salah

Salah

Benar

Salah

Salah

Benar

Benar

Benar

Benar

Benar

Benar


15


Contoh varian proposisi bersyarat dalam kalimat: Implikasi

: jika amir memiliki mobil, maka ia orang kaya

Konvers

: jika amir orang kaya, maka ia memiliki mobil

Invers

: jika amir tidak memiliki mobil, maka ia bukan orang kaya

Kontraposisi : jika amir bukan orang kaya, maka ia tidak memiliki mobil

Bikondisional (bi-implikasi)

Bentuk proposisi dari bikondisional adalah : “p jika dan hanya jika q” Bentuk notasi dari bikondisional : p ↔ q. Pernyataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “jika p maka q dan jika q maka p”. perhatikan tabel. p

q

p↔q

p→q

q→ p

(p → q) ∧ ( q→p)

Benar

Benar

Benar

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Benar

Salah

Salah

Benar

Salah

Benar

Salah

Salah

Salah

Salah

Benar

Benar

Benar

Benar

Bila dua buah proposisi majemuk yang ekivalen di-bikondisionalkan, maka hasilnya adalah tautologi. Teorema : dua buah proposisi majemuk, P(p,q,…) dan Q(p,q,…) disebut ekivalen secara logika, dilambangkan dengan P(p,q,…) ⇔ Q(p,q,…), jika P↔Q adalah tautologi.


16

Memahami Konsep Logika Predikat

Pertemuan 3 Memahami Konsep Logika Predikat

Tujuan Intruksional : Pokok Bahasan ini menjelaskan konsep dari logika predikat. Kompetensi Yang Diharapkan : Mahasiswa dapat memahami tentang konsep-konsep dari logika predikat Waktu Pertemuan

: 2 x 120 Menit

Ada beberapa kasus dimana kita tidak dapat menotasikan kalimat dalam notasi logika. Contohnya pada kasus berikut: -

Semua laki-laki adalah makhluk hidup Socrates adalah laki-laki Oleh karena itu, Socrates adalah makhluk hidup.

Oleh sebab itu, kita memerlukan logika predikat yang memungkinkan untuk memanipulasi pernyataan tentang semua atau sesuatu. Logika predikat memperlihatkan struktur pernyataan atomik, yakni memperhatikan subjek dan predikat dari suatu kalimat.

First order logic => subjek kalimat berupa obyek tunggal. Contoh : Socrates adalah laki-laki Second order logic => subjek kalimat berupa obyek lain. Contoh : Semua laki-laki adalah makhluk hidup Dengan logika proposisi diubah menjadi : Untuk semua X, jika x adalah laki-laki maka X adalah makhluk hidup.

Dengan logika predikat “x adalah laki-laki” dipecah menjadi:


17

Memahami Konsep Logika Predikat

Subyek = x

=> disebut term, dilambangkan dengan huruf kecil

Predikat = adalah laki-laki =>dilambangkan dengan huruf besar (misal: L) Contoh penulisan : Lx (predikat dahulu sebelum term) Penyebutan

: x adalah laki-laki

Selanjutnya: Jika M menyatakan “adalah makhluk hidup” Maka Mx menyatakan simbol untuk “x adalah makhluk hidup”

Dengan demikian, pernyataan “jika x adalah laki-laki, maka x adalah makhluk hidup” ditulis sebagai Lx → Mx Sehingga untuk menuliskan secara simbolik : “untuk semua x, jika x adalah lakilaki, maka x adalah makhluk hidup” adalah x[Lx→Mx] Simbol disebut kuantor, dibaca “untuk setiap” Macam-Macam Kuantor -

Untuk setiap x, P(x) Disebut kuantor universal. Disimbolkan dengan :

-

Untuk beberapa x, P(x) Disebut kuantor eksistensial. Disimbolkan dengan :

Kuantor Universal -misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. - x, P(x) dibaca : “untuk setiap x, P(x)” -Pernyataan x, P(x) bernilai benar jika berlaku untuk semua x pada domain D -Pernyataan x, P(x) bernilai salah jika berlaku hanya sebagian x pada domain D Kuantor Eksistensial -Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. - x,P(x) dibaca: ”untuk beberapax, P(x)”. - Juga dapat dibaca “untuk beberapa”, “ada”, atau “setidaknya ada”. -Pernyataan x,P(x) bernilai benar jika berlaku setidaknya salah satu x dari domain D -Pernyataan x,P(x) bernilai benar jika berlaku setidaknya salah satu x dari domain D


18

Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)

Petemuan 4 Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)

Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan konsep logika predikat secara lebih lanjut. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa dapat memahami konsep logika predikat secara lebih lanjut. Waktu Pertemuan

: 100 menit

Kuantor Dan Teori Kuantifikasi

Term dan variabel -

Variabel/peubah adalah pemegang tempat sementara dalam suatu ungkapan, untuk kemudian diganti dengan nilai yang pasti.

-

Variabel ditulis dengan huruf kecil: x,y,z, atau p,q,r

-

Kumpulan variabel membentuk suatu term: x+ y

Predikat -

Pandang kalimat: “semua mahasiswa unila adalah lulusan SMA”

-

Untuk setiap x, jika x adalah mahasiswa unila, maka x lulusan SMA

-

Ada 2 predikat untuk x: x mahasiswa unila dan x lulusan SMA

-

Predikat ditulis dengan huruf besar: Mx: mahasiswa unila

-

Lx: lulusan SMA

Kalimat diatas ditulis : untuk setiap x, Mx→Lx

Kuantor Universal -

Ditulis dengan lambang

-

pandang kalimat: “semua orang Indonesia adalah orang asia”


19


-

diterjemahkan menjadi : untuk semua x, jika Lx adalah Ax Lx: x orang Indonesia Ax : x orang asia

-

dalam kalimat logika, ditulis : ( x)[Lx→Ax]

-

bentuk ini disebut afirmatif umum

-

pandang kalimat: “semua orang Indonesia bukan orang eskimo”

-

dalam kalimat logika, ditulis : ( x)[Lx→~Ax]

-

bentuk ini disebut negatif umum

Kuantor Ekstensial -

ditulis dengan lambang

-

pandang kalimat ”ada orang Indonesia yang makan nasi” ”ada beberapaorang Indonesia yang makan nasi”

-

diterjemahkan menjadi ada x yang memenuhi sifat :x orang Indonesia dan x makan nasi ada x sehingga x orang Indonesia dan x makan nasi Lx: x orang Indonesia

Nx: x makan nasi

-

dalam kalimat logika ditulis: ( x)[Lx ∧ Nx]

-

bentuk ini disebut afirmatif khusus

.


20



21


Menterjemahkan Kalimat Berkuantor


22



23

Teori Inferensi

Petemuan 5 Teori Inferensi

Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori-teori inferensi. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang teori-teori inferensi. Waktu Pertemuan

: 100 menit

Inferensi adalah cara menarik kesimpulan dalam suatu argumentasi. Argumentasi adalah sederetan pernyataan (premis) yang diakhiri dengan suatu pernyataan yang disebut sebagai kesimpulan. Suatu argumentasi dikatakan valid apabila konjungsi dari semua premisnya berimplikasi secara tautologi pada kesimpulan.

argumentasi Bentuk umum: -

p1 (premis) p2 (premis) . . .

-

pn (premis) q (kesimpulan)


24

Teori Inferensi

Tautologi dan argumentasi

Validitas sebuah argumentasi dan kesimpulannya harus dipastikan (terutama tautologi implikasi dan tautologi ekivalensi → mengarah pada aturan penalaran)

Ada beberapa aturan penalaran yang sudah terbukti validitasnya: 1. Modus ponen

2. Modus tollen

p→q

p→q

p

~q

--------------

∴q

3. Silogisme disjungtif p∨ q ~p --------------

--------------

∴~p

4. Simplifikasi p∧ q --------------

∴p

∴q

5. penjumlahan

6. Konjungsi

p

p

--------------

q

∴ p∨ q

--------------

∴ p∧ q 7. transitifitas p→q q→r --------------

∴ p→r


25

Teori Inferensi (bag.2)

Petemuan 6 Teori Inferensi (bag.2)

Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori-teori inferensi lebih lanjut. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang teori-teori inferensi secara lebih lanjut. : 100 menit

Waktu Pertemuan

Berikut ini beberapa argumen yang sudah terbukti sahih (Tautologi ekivalensi) Negasi ganda p

∴~ ~p

Hukum Komutatif p∧q

p∨q

∴ q∧p

∴ q∨p

Hukum asosiatif (p∧q)∧r

p∧(q∧r)

∴p∧(q∧r)

∴ (p∧q)∧r

(p∨q)∨r

p∨(q∨r)

∴p∨(q∨r)

∴ (p∨q)∨r

Hukum De Morgan


26


~(p∧q)

~(p∨q)

∴~p∨~q

∴~p∧~q

~p∨~q

~p∧~q

∴~(p∧q)

∴~(p∨q)

Hukum distributif p∧(q∨r)

p∨(q∧r)

∴ (p∧q)∨(p∧r)

∴ (p∨q)∧(p∨r)

Hukum idempoten p∧ p

∴p

p∨ p

∴p

Switcheroo (hukum ekivalensi untuk implikasi dan disjungsi) p→q

~p∨q

∴~p∨q

∴p→q

kontrapositif p→q

∴~q→ ~p

~q→ ~p

∴p→q

Hukum bikondisional p↔q

∴ (p→q) ∧ (q→p)

p↔q

∴ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)

Validitas Argumen


27


- sebuah argument dikatakan sahih/valid jika konklusi benar bilamana semua hipotesisnya benar, dan sebaliknya. - konklusi mengikuti hipotesis, atau menunjukkan bahwa (p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn) → q adalah benar/tautologi


28

Mendeskripsikan Teori Himpunan

Petemuan 7 Mendeskripsikan Teori Himpunan

Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori himpunan. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat mendeskripsikan teori himpunan secara baik. Waktu Pertemuan

: 100 menit

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangan yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan huruf kapital A, B, C, … sedangkan untuk menyatakan anggotanya digunakan huruf kecil a, d, c, … Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan : 1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u, e, o}. 2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R adalah himpunan bilangan riil. 3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu denganmenuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif} 4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat.


29


Operasi-Operasi Dalam Himpunan


30



31


Hukum Dan Sifat-Sifat Operasi Himpunan Jenis operasi Gabungan (union)

Hukum dan sifat-sifat operasi

A∪B=B∪A ; disebut sifat komutatif gabungan (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ; disebut sifat asosiatif gabungan A∪∅=A A∪U=U A∪A’=U ; disebut sifat komplemen gabungan

Irisan (intersection)

A∩B=B∩A ; disebut sifat komutatif irisan (A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) ; disebut sifat asosiatif irisan A∩U=A A∩A’ = ∅ ; disebut sifat komplemen isiran

Distributif

A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) ; disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) ; disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan

Selisih

A-A=∅ A-∅=A A-B=A∩B’ A-(B∪C)=(A-B) ∩ (A-C) A-(B∩C)=(A-B) ∪ (A-C)

Komplemen

(A’)’=A U’=∅ ∅’=U

Jenis-Jenis Himpunan jenis Himpunan A yang

notasi

keterangan

A={a,b,c,d,…}

A adalah nama yang diberikan kepada

anggotanya adalah semua

suatu himpunan

huruf kecil dalam abjad Himpunan bagian

A⊂B

A himpunan bagian dari himpunan B


32


Himpunan kosong

{ } atau ∅

Himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali

Himpunan yang sama

A=B

Himpunan A dikataan sama dengan himpunan B jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya

Himpunan universal /

U atau S

semesta Himpunan komplemen

Adalah himpunan dari semua unsur yang dibicarakan

A’ atau Ac

Jika: U={1,2,3,4,5,6} A={3,5} Maka : A’ = Ac = {1,2,4,6}

Perkalian Himpunan (Cartesian product) Jika kita menemukan soal tentang perkalian himpunan, kita dapat mengerjakan seperti contoh berikut:

A={a,b,c}

B={p,q}

A x B = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)}


33

Aljabar Boolean

Petemuan 8 Aljabar Boolean

Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini memberikan penjelasan tentang aljabar boolean Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang dasar-dasar aljabar boolean. Waktu Pertemuan

: 100 menit

Misalkan terdapat - Dua operator biner: + dan ⋅ - Sebuah operator uner: ’. - B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ⋅ , dan ’ - 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Tupel (B, +, ⋅ , ’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:


34

Aljabar Boolean

Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat Huntington

Aljabar Boolean Dua-Nilai

- B = {0, 1} - operator biner, + dan ⋅ - operator uner, ’ - Kaidah untuk operator biner dan operator uner:

Cek apakah memenuhi postulat Huntington: • Closure : jelas berlaku • Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: 0+1=1+0=1 1⋅0 =0⋅1=0 • Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner. • Distributif: (i) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:


35

Aljabar Boolean

(ii) Hukum distributif a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i). • Komplemen: jelas berlaku karena pada Tabel memperlihatkan bahwa: a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1 a ⋅ a = 0, karena 0 ⋅ 0’= 0 ⋅ 1 = 0 dan 1 ⋅ 1’ = 1 ⋅ 0 = 0

Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan ⋅ operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.

Ekspresi boolean Misalkan (B, +, ⋅, ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ⋅, ’) adalah: (i) setiap elemen di dalam B, (ii) setiap peubah, (iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 ⋅ e2, e1’ adalah ekspresi Boolean Contoh :

0 1 ab a+ba⋅b a’⋅ (b + c) a ⋅ b’ + a ⋅ b ⋅ c’ + b’, dan sebagainya


36

Aljabar Boolean

Mengevaluasi Ekspresi Boolean

Contoh: a’⋅ (b + c) jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi: 0’⋅ (1 + 0) = 1 ⋅ 1 = 1 Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh: a ⋅ (b + c) = (a . b) + (a ⋅ c)

Perjanjian: tanda titik (⋅) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan: (i) (ii) (iii)

a (b + c) = ab + ac a + bc = (a + b) (a + c) a ⋅ 0 , bukan a0


37

Aljabar Boolean (bag.2)

Petemuan 9 Aljabar Boolean (bag.2)

Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang aljabar Boolean materi selanjutnya Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami aljabar Boolean lebih dalam Waktu Pertemuan

: 100 menit

Prinsip Dualitas

Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, ⋅, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti: ⋅ dengan + + dengan ⋅ 0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S. Contoh. (i)

(a ⋅ 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 ⋅ a’) = 1

(ii)

a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b

Hukum-Hukum Aljabar Boolean


38


Hukum identitas:

Hukum idempotent:

Hukum komplemen:

- a+0=a

-a+a=a

- a + a’ = 1

- a⋅1=a

-a⋅a=a

- aa’ = 0

Hukum dominansi: -a⋅0 =0

Hukum involusi:

Hukum penyerapan:

-a+1=1

- a + ab = a

-a+1=1

Hukum komutatif:

- a(a + b) = a

Hukum asosiatif:

Hukum distributif:

-a+b=b+a

- a+(b+c) = (a+b)+c

- a+(b c) = (a+b) (a+c)

- ab = ba

- a (b c) = (a b) c

- a (b + c) = a b + a c

Hukum De Morgan:

Hukum 0/1

- (a + b)’ = a’b’

- 0’ = 1

- (ab)’ = a’ + b’

- 1’ = 0

Fungsi Boolean

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai: f : Bn → B yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z


39


Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga : f(1, 0, 1) = 1 ⋅ 0 ⋅ 1 + 1’ ⋅ 0 + 0’⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .

Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain: 1. f(x) = x 2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’ 3. f(x, y) = x’ y’ 4. f(x, y) = (x + y)’ 5. f(x, y, z) = xyz’

Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal. Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.


40



Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan secara lebih rinci tentang aljabar boolean Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami materi-materi aljabar Boolean secara lebih lanjut Waktu Pertemuan

: 100 menit

Komplemen Fungsi

1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka: f’’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’ = x’ + (y’z’ + yz)’ = x’ + (y’z’)’ (yz)’ = x’ + (y + z) (y’ + z’)

2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut. Contoh: Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka dual dari f : x + (y’ + z’) (y + z) kemudian komplemenkan tiap literalnya :

x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’

Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)


41


Bentuk Kanonik Ada dua macam bentuk kanonik: 1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP) 2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS) Contoh: 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP Setiap suku (term) disebut minterm 2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’) (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS Setiap suku (term) disebut maxterm Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap

Konversi Antara Bentuk Kanonik

Misalkan f(x, y, z) = Σ (1, 4, 5, 6, 7)


42


dan f ’adalah fungsi komplemen dari f, f ’(x, y, z) = Σ (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3 Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS: f’(x, y, z) = (f ’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3)’ = m0’ . m2’ . m3’ = (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’ = (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’) = M0 M2 M3 = ∏ (0,2,3) Jadi, f(x, y, z) = Σ (1, 4, 5, 6, 7) = ∏ (0,2,3). Kesimpulan: mj’ = Mj

Bentuk Baku

Tidak harus mengandung literal yang lengkap. Contohnya: f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’)

(bentuk baku SOP) (bentuk baku POS)


43



Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang materi terakhir dari aljabar boolean Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat mengerti secara total tentang materi aljabar boolean Waktu Pertemuan

: 100 menit

Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh:

f(x, y) = x’y + xy’ + y’ disederhanakan menjadi f(x, y) = x’ + y’

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara: 1. Secara aljabar 2. Menggunakan Peta Karnaugh 3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

1. Penyederhanaan Secara Aljabar Contoh: • f(x, y) = x + x’y = (x + x’)(x + y) = 1 ⋅ (x + y ) =x+y • f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’ = x’z(y’ + y) + xy’ = x’z + xz’


44


• f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’) = xy + x’z + xyz + x’yz = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

2. Peta Karnaugh

Peta karnaugh dengan dua peubah

Peta karnaugh dengan tiga peubah

Peta karnaugh dengan empat peubah

Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh 1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga


45


Sebelum disederhanakan:

f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’

Hasil Penyederhanaan:

f(w, x, y, z) = wxy

Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’ 4. wxy(z + z’) 5. wxy(1) 6. wxy

2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga

Sebelum disederhanakan : f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’ Hasil penyederhanaan

: f(w, x, y, z) = wx

Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wxy’ + wxy = wx(z’ + z) = wx(1) = wx


46


Contoh lain:

Sebelum disederhanakan:

f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wx’y’z’ + wx’y’z

Hasil penyederhanaan:

f(w, x, y, z) = wy’

= Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga

Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’ + wx’y’z’ + wx’y’z + wx’yz + wx’yz’ Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wy’ + wy = w(y’ + y) =w


47


Kondisi Don’t Care

Kondisi ini hanya digunakan untuk bantuan dalam meminimalisir fungsi Boolean. Jika kita tidak membutuhkan bantuan, maka kita perlu memperdulikan literal tersebut.


48


Contoh: Dari tabel berikut, minimisasi fungsi f sesederhana mungkin.

Jawab:

Hasil penyederhanaan: f(a, b, c, d) = bd + c’d’ + cd


49

Rangkaian logika

Petemuan 12 Rangkaian logika

Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang bagaimana cara membuat rangkain logika Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat membaca simbol-simbol dari rangkaian logika sekaligus dapat merangkai sebuah rangkaian Waktu Pertemuan

: 100 menit

Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang rangkaian logika, disini akan di jelaskan sedikit tentang aplikasi dari aljabar Boolean.

Contoh dari aplikasi aljabar Boolean yaitu: 1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network) Saklar merupakan objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup. Tiga bentuk gerbang paling sederhana dari jaringan pensaklaran yaitu:

Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka ⇒ x

Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka ⇒ xy

Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka ⇒ x + y

Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik: a. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND


50

Rangkaian logika

b. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR

2. Rangkaian Logika

Gerbang-Gerbang Turunan :


51

Rangkaian logika

ekivalen dengan

ekivalen dengan

ekivalen dengan

Contoh Soal: Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika.

Jawab: (a) Cara pertama


52

Rangkaian logika

(b) Cara kedua

(c) Cara ketiga


53

Modul Praktikum. Logika Dasar. Dosen Pengampu: Anie Rose Irawati M.Cs. Penyusun:

Recommend Documents