MODUL PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : STATISTIKA
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN Memahami konsep dalam statistika, serta menerapkannya dalam pemecahan masalah. INDIKATOR Menentukan ukuran pemusatan dan menggunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari Menyajikan dan Menafsirkan data KATA KUNCI Data Tabel Diagram Diagram gambar
Diagram batang Histogram Diagram lingkaran Diagram garis
A. PENDAHULUAN Statistika membantu dalam menyajikan data agar mudah dibaca. Untuk mempermudah pemahaman terhadap sekelompok data dapat digunakan penyajian data dalam bentuk diagram, selanjutnya rangkuman yang mewakili data tersebut yang disajikan berupa nilai rata(mean), median, dan modus yang dikenal dengan istilah ukuran pemusatan B. UKURAN PEMUSATAN 1.
Rata-rata (Mean) Cara Menghitung Nilai Rata-rata Data Tak Tersusun. Jika dimisalkan, nilai ulangan matematika Anto adalah 10, 10, dan 7; maka rata-rata nilai Anto =
10 10 7 3
= 9.
Jadi: Rata-rata =
Jumlah semua nilai Banyaknya
nilai
atau x
x 1 x 2 x 3 ... x n n
1 n
n
x
i
i 1
x (dibaca: “x bar”) = rata-rata, mean, atau rataan;
n = banyak data atau ukuran data; xi = nilai data yang ke-i; dan = (dibaca: sigma) yang menyatakan “penjumlahan” atau “jumlah dari.” 1
2.
Menghitung Rata-rata dengan Tabel Frekuensi. Jika nilai Robi untuk 10 mata pelajaran adalah sebagai berikut: 9, 7, 7, 8, 8, 7, 8, 7, 6, 7. Bagaimana menentukan rata-ratanya? Salah satu cara adalah dengan menggunakan rumus di atas. Tetapi, jika data tersebut diurutkan akan didapat data berikut: 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, sehingga rata-rata =
1 6 5 7 3 8 1 9
10
74
7,40
10
. Apabila banyaknya data
dari suatu pengamatan cukup besar maka cara menghitung rata-rata yang lebih praktis seperti proses di atas adalah dengan menggunakan tabel frekuensi berikut: Tabel Nilai (xi) 6 7 8 9 Rata-rata = x
3.
Frekuensi (fi) 1 5 3 1
1 6 5 7 3 8 1 9 10
(fixi) 6 35 24 9
74 10
7,40
; sehingga rumus rata-ratanya adalah
fi .x i fi
Median Median adalah suatu nilai yang membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Jika banyaknya data (n) ganjil maka mediannya adalah nilai data yang ditengah atau nilai data yang ke- n 1 , sehingga Median = Me = x n 1 . Jika banyaknya 2
2
data (n) genap maka mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang di tengah atau rata-rata data ke 4.
n 2
dan data ke
n 2
1,
jadi Median Me =
1 (x n x n ) . 1 2 2
2
Modus Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang mempunyai frekuensi terbesar. Data 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10 mempunyai dua modus (bimodus) 5 dan 8. Data 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10 memiliki tiga modus (multimodus). Sedangkan data 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 dan data 4, 4, 6, 6, 7, 7, 9, 9 tidak mempunyai modus. Data yang hanya mempunyai satu modus disebut unimodus.
2
C. PENYAJIAN DATA Seringkali data yang diperoleh sulit untuk dipahami maupun ditafsirkan. Untuk mempermudah pemahaman terhadap sekelompok data dapat digunakan tabel dan diagram. Ada berapa macam diagram untuk menyajikan data, antara lain: diagram batang (bar chart), diagram garis (line chart), diagram lingkaran (pie chart), diagram gambar (piktogram), histogram, dan poligon frekuensi. Setiap diagram memiliki kelebihan dan kekurangan. Penyajian data saja tidak cukup. Data yang disajikan dalam bentuk diagram tersebut harus diterjemahkan sehingga lebih bermakna. 1.
Diagram Batang (Bar Chart) Berikut ini adalah tabel dan diagram batang yang menunjukkan jumlah kasus kecelakaan lalu lintas yang dirawat di RS Dr Soetomo selama tiga tahun berturut-turut.
5817 1998 1999 2000
Jumlah 7531 6482 5817
Apakah bagian-bagian pada diagram batang? Tabel? Apakah kelebihan dan kekurangan masing-masing? Pada tahun berapakah jumlah kasus kalantas paling banyak? Pada tahun berapakah kasus berjumlah 6482? Bagamanakah kecenderungan kasus tersebut? Apabila pola ini terus berlanjut, berapa kasuskah yang akan dirawat di RS Soetomo pada tahun 2009. Apakah hal itu pasti terjadi? Mengapa? Adakah diagram lain untuk menyajikan data di atas? Apakah bagian-bagiannya? Gambarlah diagram lain tersebut. Pembuatan diagram batang diawali dengan membuat dua buah sumbu yang tegak lurus satu sama lain. Skala pada tiap sumbu harus sama panjang, sedangkan skala pada sumbu datar tidak perlu sama dengan skala pada sumbu tegak. Diagram perlu dilengkapi dengan judul, skala maupun penjelasan terhadap satuan yang digunakan. Dalam menggambar diagram batang, batangnya dapat dibuat tegak lurus sumbu mendatar (dengan batang vertikal atau tegak), atau batangnya dibuat tegak lurus sumbu tegak (diagram batang 3
horizontal atau mendatar). Setiap batang sebaiknya lebarnya sama sedangkan tinggi batang harus sesuai dengan frekuensi masing-masing komponen. Contoh: a. Berdasarkan hasil sensus, diketahui bahwa angkatan kerja di Indonesia yang bekerja diberbagai sektor disajikan dalam Tabel berikut: No Sektor Banyaknya 1 Pertanian 40 juta 2 Jasa 20 juta 3 Perdagangan 15 juta 4 Industri 5 juta Jumlah 80 Juta (Sumber: Pengantar Statistika, Winarno, hal 8)
Apabila data pada Tabel tersebut disajikan dalam bentuk diagram batang didapat gambar seperti Gambar 1 berikut: F r e k
40
40 35 30 25 20 15 10 5 0
20
15 5
Pertanian
Jasa
Perdagangan
Industri
Gambar 1 Jumlah Angkatan Kerja di Indonesia (Dalam jutaan)
Dapat pula data pada tabel disajikan dalam bentuk diagram batang horisontal sebagai berikut 0
In d u s t r i
Pe r d ag an g an
Jas a
Pe r t an ian
10
20
30
40
50
5
15
20
40
J e Gambar 2 Jumlah Angkatan Kerja di Indonesia (Dalam jutaan) n i s
4
2.
Diagram Garis Jika terdapat suatu rentetan peristiwa yang mengalami perubahan yang terus-menerus atau tanpa terputus (kontinu), misalnya berat badan bayi yang selalu berubah sepanjang waktu, maka pada periode tertentu data seperti itu dapat disajikan dengan diagram garis. Data berkala adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk mengetahui perkembangan suatu hal/kegiatan, misalnya perkembangan produksi, perkembangan penduduk, jumlah kecelakaan lalu-lintas dan sebagainya, juga sangat cocok jika disajikan dengan diagram garis. Untuk menggambarkan diagram garis akan lebih mudah jika dikaitkan dengan pengertian koordinat titik pada bidang kartesius. Oleh karena itu sebaiknya digunakan kertas berpetak atau kertas milimeter. Contoh: Berat badan seorang bayi dicatat setiap dua minggu selama enam belas minggu pertama, dicatat dalam tabel berikut Tabel . Berat Badab Bayi per 16 Minggu. Umur dalam minggu
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Berat dalam kg
3,2
3,3
3,6
3,9
4,1
4,1
4,4
4,9
5,3
Diagram garis dari data pada tabel di atas digambar pada Gambar 4.7. Sumbu mendatar untuk umur dalam minggu dan sumbu tegak untuk menyatakan berat badan dalam kg. B e r a t
6 5 4 3 2 1 0 0
2
4
B 10 12 14 16 a 8 Gambar d 4.7 Berat Badan Bayi Pada 16 Minggu a Pertama (Dalam kg) n 6
5
Diagram garis seperti di atas disebut diagram garis tunggal (single line chart). Terlihat jelas pada diagram di atas, perkembangan berat badan si bayi. Dari data seperti ini, seorang dokter anak akan dengan cepat dapat menentukan normal tidaknya perkembangan si bayi untuk jangka waktu selama 16 minggu tersebut. Contoh Banyaknya korban kecelakaan lalu lintas, menurut jenis korban dan waktu di Jawa Tengah tahun 1973 s.d. 1980 dinyatakan dalam Tabel berikut. Jenis korban
1973 1974
1975
1976
1976
1978
1979
1980
Meninggal
882
1060
1497
1648
1922
1996
2042
2099
Luka Berat
1749 2310
2824
3198
3361
3036
3166
3025
Luka Ringan
3808 4136
5328
5115
4343
4266
4218
3588
Jumlah
6439 7516
9649
9961
9626
9298
9426
8712
Diagram garis tersebut dinamakan diagram garis berganda (multiple line chart). Salah satu kelebihan dari diagram garis berganda adalah kita dapat melihat perbandingan frekuensi antar tiap kategori dan pada saat yang sama dapat melihat perkembangan tiap kategori setiap tahunnya. 3.
Diagram Lingkaran Jika kita ingin melihat perbandingan dari beberapa macam data yang berbeda tanpa melihat besarnya tiap-tiap data maka kita cukup menggunakan diagram lingkaran. Setiap bagian atau setiap kategori ditunjukkan dengan juring lingkarannya. Karenanya, untuk menggambar diagram lingkaran yang baik diperlukan pengertian sudut pusat juring lingkaran. Yang perlu diingat, sudut pusat suatu lingkaran adalah 360 o, sehingga persentase setiap bagian akan sebanding dengan besarnya sudut pusat juringnya. Untuk memudahkan siswa selama proses pembelajaran akan diperlukan alat-alat seperti penggaris, jangka dan busur derajat. Sebagai contoh akan dibahas cara membuat diagram lingkaran dari data pada Tabel berikut. Tabel Kegiatan Estrakurikuler SMP Ekstrakurikuler Basket Sepak Bola Seni Tari Karya Ilmiah Jumlah
Banyaknya Siswa 10 20 40 4 40 6
Untuk membuat diagram lingkaran, sebelumnya harus dilakukan perhitungan terlebih dahulu. Jumlah seluruh siswa 40. Banyaknya siswa yang mengkuti kegiatan ekstraurikuler harus dibandingkan dengan jumlah seluruh siswa, sehingga tiap-tiap ekatrakulikuler memiliki nilai-nilai perbandingannya masing-masing. Sebagai misal, siswa penggemar Olah Raga adalah 20 40
1 50 % . 2
Untuk memperoleh juring, nilai perbandingan setiap
bagian itu dikalikan dengan 360 o. Untuk olah raga misalnya akan didapat sudut pusat juringnya sebesar ½ x 3600 = 1800. Artinya, akan didapat ukuran sudut-sudut pusat dari juring-juring lingkaran untuk setiap jenis kegemaran siswa itu sebagai berikut: 10
Menyanyi:
40 20
Olah raga: Seni tari: Seni rupa
360
o
360
o
90 180
o
; o
;
40 6 o o 360 54 ; dan 40 4 o o 360 36 . = 40
Dengan menggunakan busur derajat sudut-sudut pusat dititik 0 ditentukan berdasarkan hasil perhitungan tersebut di atas. Maka didapat diagram lingkaran seperti pada gambar berikut. 25%
50%
O l a h
10%
15%
r Kegiatan Ekstrakulikuler Gambar Diagram Lingaran a
Jika dihitung persentasinya, akan didapat:kan: g Kelas IIIA MK Putera 10 100 % 25 % , Menyanyi: a Olah raga: Seni tari = Seni rupa =
40 20 40 6
100 % 50 %
,
100 % 15 %
, dan
40 4 40
100 % 10 %
S e n i t a r i
M e n y a S n e y n i i r u p a
,. 7
D. CONTOH SOAL Data di bawah ini menyatakan kriminalitas yang menonjol di Surabaya Timur selama bulan Januari 2001. Jenis Jumlah Kasus Pembunuhan 1 Penganiayaan 6 Pencurian 48 Curanmor 49 Narkoba 5
Diagram apa yang cocok untuk menyajikan data tersebut? Mengapa? Buatlah diagramnya. Buatlah beberapa kesimpulan yang berhubungan dengan diagram tersebut.
E. KESIMPULAN 1. Bagian-bagian diagram adalah kuantitas data, judul dan label 2. Diagram garis lebih sesuai untuk melihat kecenderungan, diagram lingkaran cocok untuk membandingkan dengan keseluruhan dan diagram batang lebih cocok untuk membandingkan antar kelompok walaupun dapat digunakan juga untuk melihat kecenderungan. 3. Diagram lingkaran digunakan apabila kita ingin melihat perbandingan dari beberapa macam data yang berbeda tanpa melihat besarnya. Setiap bagian atau setiap kategori ditunjukkan dengan juring lingkarannya
8
F. TUGAS Perhatikan soal pilihan ganda di bawah ini. Grafik berikut ini merupakan diagram garis lomba lari 100 meter yang diikuti tiga orang pelari; A, B, dan C. Grafik lomba lari 100 meter dengan tiga orang peserta m
jarak
B
A
C
det waktu Di antara pernyataan berikut: 1. Pelari B paling cepat sejak detik-detik awal dan memenangi lomba. 2. Pelari C paling cepat pada detik-detik pertama dan memenangi lomba. 3. Pelari B paling lambat pada titik-titik awal tetapi memenangi lomba. 4. Pelari A paling cepat mencapai garis finish dan memenangi lomba. 5. Pelari A dan B bertabrakan setelah berlari sekitar 12 detik. 6. Pelari C paling cepat pada detik-detik pertama tetapi tidak memenangi lomba. yang merupakan pernyataan benar adalah …. a. 1 dan 6 b. 3 dan 6
c. 2 dan 5
d. 4 dan 5
Menggunakan soal di atas, jawablah pertanyaan berikut: a. Tentukan jawaban yang benar. b. Mengapa option yang lain salah? c. Tulis semua istilah matematika pada soal tersebut beserta artinya. d. Sebutkan semua konsep yang terlibat pada soal tersebut. Uraikan secara tertulis konsepkonsep tersebut. Berikan contoh untuk semua konsep.
9
