Model transformátoru v grafech signálových toků Jitka Mohylová Josef Punčochář Abstrakt V elektrotechnice lze využívat pro analýzu obvodů různé analytické nástroje. Možnou metodou je i analýza pomocí grafů signálových toků. Analýza elektronických obvodů pomocí MB grafů je podrobně popsána v [2, 3]. Odvozeny jsou modely (grafy) pasívních prvků (R, L, C) i známých zesilovacích struktur. Nejsou však popsány modely transformátoru – obvodového prvku se vzájemnou indukčností (M). Tento článek se proto bude zabývat modelem transformátoru v grafech signálových toků. In electrical engineering we can use various analytical tools for the circuit analysis. One possible method is the analysis by means of signal flow graphs. Analysis of electronic circuits using the MB graph is in detail described in [2, 3]. There are derived MB models (graphs) of passive elements (R, L, C) and of known amplifier structures, too. However, there are not described the transformer models – the circuit element with mutual inductance (M). In this article will be derived a signal flow graph of the transformer, therefore. Keywords: transformer, flow graph 1 Úvod Na obr.1 jsou modely transformátoru, jehož ztráty jsou representovány odpory R1 a R2, indukčnosti vinutí jsou L1 a L2 a vzájemná indukčnost je M. Důsledně bude dodržena dvojbranová spotřebičová konvence a běžně používaná konvence pro vyznačení smyslu vinutí cívek. Elementárními postupy, např.[1], lze určit, že
L1 =
µ ⋅S
kde
l
⋅ N 12 ; L2 =
µ ⋅S l
⋅ N 22 ; M = k ⋅ L1 ⋅ L2
N1, N2 jsou počty závitů vinutí k je stupeň (koeficient) vazby µ je permeabilita jádra S je průřez jádra l je délka (střední) uzavřené dráhy magnetického obvodu (jádra).
Při zvolené konvenci platí pro situaci na obr.1a, 1b, že
U 1 = ( R1 + pL1 ) I 1 + pMI 2 U 2 = pMI 1 + ( R2 + pL2 ) I 2
(1a) (2a)
Pro poměry na obr.1c, 1d platí
U 1 = ( R1 + pL1 ) I 1 − pMI 2 U 2 = − pMI 1 + ( R2 + pL2 ) I 2 V ustáleném harmonickém stavu je
(1b) (2b)
p = jω .
Vyjádříme – li z rovnic (1a), (2a) proudy jako funkci napětí, získáme admitanční model transformátoru:
U 1Y11 − U 2Y12 = I 1 − U 1Y12 + U 2Y22 = I 2
(3) (4)
kde platí
1
Y11 = ( R2 + pL2 ) / D; Y12 = Y21 = pM / D; Y22 = ( R1 + pL1 ) / D D = R1 R2 + p ⋅ ( R1 L2 + R2 L1 ) + p 2 ( L1 L2 − M 2 )
(5) (6)
Vyjdeme – li z rovnic (1b) a (2b), obdržíme vztahy (7) a (8):
U 1Y11 + U 2Y12 = I 1 U 1Y12 + U 2Y22 = I 2
(7) (8)
přičemž vztahy (5, 6) platí i nyní. Je zřejmé, že vztahy (7) a (8) získáme ze vztahů (3) a (4) jednoduchou substitucí M → − M , tedy Y12 → −Y12 .
2 MB graf transformátoru Vyjdeme z admitančního modelu transformátoru – vztahy (3) a (4) – a využijeme metodiku z [2, 3] pro sestrojení MB grafu transformátoru (obr.1a,1b).
2.1 Vývody b,d spojeny s referenčním bodem (uzlem) obvodu Jedná se o nejjednodušší případ (z hlediska složitosti MB grafu). Napětí U 1 = U a a U 2 = U b definují přímo uzlová napětí obvodu (jedná se o uzly obvodu). Rovnice (3) a (4) upravíme vložením „vhodné nuly“ ke každému uzlovému napětí na diagonále systému rovnic (úprava typu B) – rovnice se nemění:
[(U 1 − U 1 ) + U 1Y11 ] − U 2Y12 = I1 − U 1Y12 + [(U 2 − U 2 ) + U 2Y22 ] = I 2 Po úpravě získáme ekvivalentní systém rovnic
U 1 = I 1 + (1 − Y11 ) ⋅ U 1 + Y12U 2 U 2 = I 2 + Y12U 1 + (1 − Y22 ) ⋅ U 2 který již umožní konstrukci MB grafu (pro obr.1a, 1b – vývody b, d spojeny s referenčním uzlem), přiřadíme –li každé obvodové veličině I1, I2, U1,U2 jeden uzel grafu – obr.2. Nyní již lze zkoumat poměry na obr.3a. S využitím postupů uvedených v [2, 3] získáme MB graf na obr.3b a Masonův graf na obr.3c. Z Masonova grafu lze určit výstupní napětí
Uc = Ua ⋅
Y12 Y22 + Y
(9)
a vstupní impedanci
Z vst =
Ua Y22 + Y = I 1 Y11 (Y22 + Y ) − Y122
Předpokládejme nejdříve, že určíme, že
Uc = Ua ⋅
(10)
R1 = R2 = 0 - bezeztrátový transformátor. Potom ze vztahů (5), (6) a (9)
pM pL1 + Y ⋅ p 2 ( L1 L2 − M 2 )
(9a)
2
a ze vztahu (10)
Z vst =
pL1 +Y ⋅ p 2 ( L1 L2 − M 2 ) 1 + pL2Y
(10a)
Pro k = 1 – dokonalý transformátor – potom platí
Uc = Ua ⋅ Z vst =
( L1 L2 − M 2 ) = 0 , proto
L2 N pM = Ua ⋅ = Ua ⋅ 2 pL1 L1 N1
(9c)
pL 1 pL 1 N2 = pL2Y 〉〉 1 = = 12 ⋅ Z 1 + pL2Y pL2Y N 2
Je správné, že pro
Y → 0 ( Z → ∞) je Z vst = jωL1 .
Je také zřejmé, že substitucí obr.1c,d:
Uc = Ua ⋅
(10c)
M → − M , tedy Y12 → −Y12 , získáme všechny výsledky pro situaci na
N L2 − pM = −U a ⋅ = −U a ⋅ 2 , N1 L1 pL1
Z vst se nemění. 2.2 Vývody b,d nejsou spojeny s referenčním bodem (uzlem) obvodu V tomto případě je model sice složitější, ale postup je stále stejný. Modelová situace je znázorněna na obr.4. Stále platí rovnice (3) a (4) a Kirchhoffovy zákony, proto
I a = I 1 = Y11U 1 − Y12U 2 = Y11 (U a − U b ) − Y12 (U c − U d ) I b = − I1 I c = I 2 = −Y12 (U a − U b ) + Y22 (U c − U d ) I d = −I 2 Po doplnění „vhodných nul“ (postupně
U a − U a , U b − U b , U c − U c a U d − U d ) a úpravách obdržíme
soubor rovnic, ze kterých můžeme sestrojit MB graf (model) na obr.5:
U a = I a + (1 − Y11 ) ⋅ U a + Y11U b + Y12U c − Y12U d U b = I b + Y11U a + (1 − Y11 ) ⋅ U b − Y12U c + Y12U d U c = I c + Y12U a − Y12U b + (1 − Y22 ) ⋅ U c + Y22U d U d = I d − Y12U a + Y12U b + Y22U c + (1 − Y22 ) ⋅ U d MB graf pro situaci na obr.1c,d získáme jednoduše substitucí
Y12 → −Y12 , − Y12 → Y12 .
Tento graf je již složitý, protože všechny prvky výchozí matice dvojbranu jsou nenulové. Platí ovšem obecně. Volíme – li U b = U d = 0 (spojíme vývody b, d s referenčním bodem), vypustíme z grafu větve, které do uzlů (grafu) Ub, Ud vstupují i větve, které z uzlů Ub, Ud vystupují [2, 3]. MB graf z obr.5 přejde v MB graf na obr.2. Pro příklad analyzujme situaci na obr.6. Budíme- li vývod a ze zdroje napětí Ua, všechny větve vstupující do uzlu Ua (grafu) se „ruší“ [2, 3]. Vývod b je uzemněn, všechny vstupující i vystupující větve uzlu Ub (grafu) se
3
„ruší“. Postupnými úpravami získáme Masonův graf na obr.7a. Přímé určení přenosu z obr.7a vede k nenulovému determinantu grafu. Proto zavedeme substituci 1 → 1 + ∂ (obr.7b) a postupně určíme
− Y12 ∂ ∂ Y12 ⋅ ⋅U a ; Ud = ⋅U a ⋅ 2 Y22 + Y − 2∂ − ∂ 2 Y22 + Y − 2∂ − ∂ Y12 Y12 2∂ ⋅ U2 = Uc −Ud = ⋅U a = ∂ → 0 = ⋅U a 2 Y22 + Y 2∂ + ∂ Y22 + Y Uc =
To je stejný výsledek jako u zapojení na obr.3a, další diskuse tedy není nutná. Ke stejným výsledkům vede i substituce „z leva“ – tedy 1 → 1 − ∂ .
3 Závěr Úplný MB graf signálových toků (model) transformátoru je poměrně složitý a nepříliš vhodný pro „ruční“ výpočty. Jeho složitost však významně klesá, uzemníme – li některý vývod. Předložený materiál rozšiřuje katalog MB grafů, které jsou presentovány v [2, 3]. Umožní analyzovat elektrické i elektronické obvody, jejichž součástí jsou obvody se vzájemnou indukčností. Vzhledem k tomu, že v citovaných materiálech je jednoznačně definována i souvislost mezi grafy MB a grafy MC (Mason – Coatesovy grafy), lze z MB grafů na obr.2 a obr.5 snadno určit i grafy MC. Některé další možné grafové modely (a diskuse k nim) lze nalézt i v [4].
Literatura [1] Mohylová, J. – Punčochář, J.: Elektrické obvody II. VŠB – TU Ostrava, Ostrava 2007 (ISBN 978-80-248-1338-7) [2] Punčochář, J.: Přiřazení grafů signálových toků zesilovacím strukturám pomocí admitančních modelů. www.elektrorevue.cz, 2010/61 – 23. 9. 2010, (ISSN 1213 – 1539, str. 61 – 1 až 61 – 16) [3] Punčochář, J., Mohylová, J., Orság, P.: Řešení obvodů grafy signálových toků. VŠB – TU Ostrava, Ostrava 2011 (mi21.vsb.cz/modul-reseni-obvodu-grafy-signalovychtoku) [4] Biolek, D.: Řešíme elektronické obvody. BEN – technická literatura, Praha 2004 (ISBN 80-7300-125-X) [5] Kvasil, J.: Elektrické lineární obvody. NADAS, Praha 1967 [6] Laughton, M.A., Warne, D.J.: Electrical Engineer´s Reference Book (Sexteenth edition). Elsevier Science 2003 (ISBN 0 7506 46373) [7] Mason, J. S., Zimmermann, J. H.: Electronic Circuits, Signals, and Systems. John Wiley & Sons, Inc., 1960 [8] Coates, C., L.: Flow – graph solutions of linear algebraic equations. IRE TRANSACTIONS ON CIRCUIT THEORY, June 1959, pp. 170 až 187
4
I1
R1 L1 L2 R2
I2
a
I1
c U2
U1 b
(a) I1
R1
U1 = Ua
d R2
c
U2 = U c
I1
1 Ua
Y12
Uc (b)
(b) I1
R1
R2
[1-Y11]
I2 U2
U1
I1
(c) I1
R1
Z
(a)
I2 U2
U1
I2
R1 L1 L2 R2
a
Ua
Y12
[1-Y22 -Y]
Y12/Y11
R2
U1
Y12/( Y22 +Y)
I2 U2
(c)
Uc
1/Y11
Obr. 3 a) Transformátor zatížený impedancí Z; b) MB graf obvodu; c) Masonův graf
(d) Obr. 1 Modely transformátoru se ztrátovými odpory
Ia
a
I1
I2 c
R1 L1 L2 R2
U1 = U a
U2 = Uc
Ib I1
1 Ua
Y12
Id d
b Uc 1
Ub
I2
Ud Uc
Ua [1-Y11]
Y12
[1-Y22]
Obr. 2 MB graf transformátoru (obr.1a,b), vývody b, d spojeny s referenčním bodem
Ic
EXTERNÍ REF. BOD
Obr. 4 Šipková konvence transformátoru vůči externímu referenčnímu bodu
5
[1-Y11]
[1-Y22 ]
1
Ia
1
Y11
Ic Y22
Ib
Id 1
1
[1-Y11]
[1-Y22 ] +Y12 -Y12
Obr. 5 MB graf transformátoru s vývody b, d nepřipojenými k referenčnímu uzlu (obr.1a,b).
R1 L1 L2 R2
a
c
U 1 = Ua
Z
b d Obr. 6 Transformátor zatížený impedancí Z
Y12/( Y22 +Y) Ua
Uc 1
(a)
1
-Y12/( Y22 +Y) Ud Y12/( Y22 +Y) Ua (b)
(1+δ)
Uc (1+δ)
-Y12/( Y22 +Y) Ud Obr. 7 a) Masonův graf pro zapojení na obr.6; b) úprava pro určení přenosu, δ → 0
6
