MODEL PRO VÝPOČET OTEPLOVACÍCH CHARAKTERISTIK SILOVÝCH KABELŮ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV ELEKTROENERGETIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF ELECTRICAL POWER ENGINEERING

MODEL PRO VÝPOČET OTEPLOVACÍCH CHARAKTERISTIK SILOVÝCH KABELŮ MODEL FOR THE CABLE THERMAL CHARACTERISTIC CALCULATION

DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER'S THESIS

AUTOR PRÁCE

Bc. ZDENĚK STARÝ

AUTHOR

VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR

BRNO 2009

Ing. JAROSLAVA ORSÁGOVÁ, Ph.D.

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Ústav elektroenergetiky

Diplomová práce magisterský navazující studijní obor Elektroenergetika Bc. Zdeněk Starý 2

Student: Ročník:

ID: 83232 Akademický rok: 2008/2009

NÁZEV TÉMATU:

Model pro výpočet oteplovacích charakteristik silových kabelů POKYNY PRO VYPRACOVÁNÍ: 1.Teorie oteplování silových kabelů elektrickým proudem. 2.Model tepelného pole jednofázového silového kabelu v MATLABu Simulinku. 3.Parametrizace modelu na základě údajů výrobce a způsobu uložení kabelu. 4.Verifikace modelu měřením oteplení vodiče při průchodu elektrického proudu. DOPORUČENÁ LITERATURA: Podle pokynů vedoucího. Termín zadání:

9.2.2009

Vedoucí práce:

Ing. Jaroslava Orságová, Ph.D.

Termín odevzdání:

25.5.2009

doc. Ing. Petr Toman, Ph.D. Předseda oborové rady

UPOZORNĚNÍ: Autor diplomové práce nesmí při vytváření diplomové práce porušit autorská práve třetích osob, zejména nesmí zasahovat nedovoleným způsobem do cizích autorských práv osobnostních a musí si být plně vědom následků porušení ustanovení § 11 a následujících autorského zákona č. 121/2000 Sb., včetně možných trestněprávních důsledků vyplývajících z ustanovení § 152 trestního zákona č. 140/1961 Sb.

LICENýNÍ SMLOUVA POSKYTOVANÁ K VÝKONU PRÁVA UŽÍT ŠKOLNÍ DÍLO uzavĜená mezi smluvními stranami: 1. Pan Jméno a pĜíjmení: Bc. ZdenČk Starý Bytem: Družstevní 5, 594 01, Velké MeziĜíþí Narozen (datum a místo): 14.05. 1983, MostištČ - Velké MeziĜíþí (dále jen „autor“) a 2. Vysoké uþení technické v BrnČ Fakulta elektrotechniky a komunikaþních technologií se sídlem Údolní 53, Brno, 602 00 jejímž jménem jedná na základČ písemného povČĜení dČkanem fakulty: doc. Ing. Petr Toman, Ph.D. (dále jen „nabyvatel“)

ýl. 1 Specifikace školního díla 1. PĜedmČtem této smlouvy je vysokoškolská kvalifikaþní práce (VŠKP): Ƒ disertaþní práce : diplomová práce Ƒ bakaláĜská práce Ƒ jiná práce, jejíž druh je specifikován jako ....................................................... (dále jen VŠKP nebo dílo) Název VŠKP:

Model pro výpoþet oteplovacích charakteristik silových kabelĤ

Vedoucí/ školitel VŠKP:

Ing. Jaroslava Orságová, Ph.D.

Ústav:

Ústav elektroenergetiky

Datum obhajoby VŠKP:

15.06.2009

VŠKP odevzdal autor nabyvateli v*: : tištČné formČ

*

–

poþet exempláĜĤ 1

: elektronické formČ –

poþet exempláĜĤ 1

hodící se zaškrtnČte

2. Autor prohlašuje, že vytvoĜil samostatnou vlastní tvĤrþí þinností dílo shora popsané a specifikované. Autor dále prohlašuje, že pĜi zpracovávání díla se sám nedostal do rozporu s autorským zákonem a pĜedpisy souvisejícími a že je dílo dílem pĤvodním. 3. Dílo je chránČno jako dílo dle autorského zákona v platném znČní. 4. Autor potvrzuje, že listinná a elektronická verze díla je identická. ýlánek 2 UdČlení licenþního oprávnČní 1. Autor touto smlouvou poskytuje nabyvateli oprávnČní (licenci) k výkonu práva uvedené dílo nevýdČleþnČ užít, archivovat a zpĜístupnit ke studijním, výukovým a výzkumným úþelĤm vþetnČ poĜizovaní výpisĤ, opisĤ a rozmnoženin. 2. Licence je poskytována celosvČtovČ, pro celou dobu trvání autorských a majetkových práv k dílu. 3. Autor souhlasí se zveĜejnČním díla v databázi pĜístupné v mezinárodní síti : ihned po uzavĜení této smlouvy Ƒ 1 rok po uzavĜení této smlouvy Ƒ 3 roky po uzavĜení této smlouvy Ƒ 5 let po uzavĜení této smlouvy Ƒ 10 let po uzavĜení této smlouvy (z dĤvodu utajení v nČm obsažených informací) 4. NevýdČleþné zveĜejĖování díla nabyvatelem v souladu s ustanovením § 47b zákona þ. 111/ 1998 Sb., v platném znČní, nevyžaduje licenci a nabyvatel je k nČmu povinen a oprávnČn ze zákona. ýlánek 3 ZávČreþná ustanovení 1. Smlouva je sepsána ve tĜech vyhotoveních s platností originálu, pĜiþemž po jednom vyhotovení obdrží autor a nabyvatel, další vyhotovení je vloženo do VŠKP. 2. Vztahy mezi smluvními stranami vzniklé a neupravené touto smlouvou se Ĝídí autorským zákonem, obþanským zákoníkem, vysokoškolským zákonem, zákonem o archivnictví, v platném znČní a popĜ. dalšími právními pĜedpisy. 3. Licenþní smlouva byla uzavĜena na základČ svobodné a pravé vĤle smluvních stran, s plným porozumČním jejímu textu i dĤsledkĤm, nikoliv v tísni a za nápadnČ nevýhodných podmínek. 4. Licenþní smlouva nabývá platnosti a úþinnosti dnem jejího podpisu obČma smluvními stranami.

V BrnČ dne: …………………………………….

……………………………………….. Nabyvatel

………………………………………… Autor

Bibliografická citace práce: STARÝ, Z. Model pro výpoþet oteplovacích charakteristik silových kabelĤ . Brno: Vysoké uþení technické v BrnČ, Fakulta elektrotechniky a komunikaþních technologií, 2009. 63 s. Vedoucí diplomové práce Ing. Jaroslava Orságová, Ph.D.

Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracoval samostatnČ a použil jsem pouze podklady (literaturu, projekty, SW atd.) uvedené v pĜiloženém seznamu. …………………………… DČkuji vedoucí diplomové práce Ing. JaroslavČ Orságové, Ph.D., za cenné rady, pĜipomínky a metodické vedení práce.

VYSOKÉ UýENÍ TECHNICKÉ V BRNċ

Fakulta elektrotechniky a komunikaþních technologií Ústav elektroenergetiky

Diplomová práce

Model pro výpoþet oteplovacích charakteristik silových kabelĤ Bc. ZdenČk Starý

vedoucí: : Ing. Jaroslava Orságová, Ph.D. Ústav elektroenergetiky, FEKT VUT v BrnČ, 2009

Brno

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Faculty of Electrical Engineering and Communication Department of Electrical Power Engineering

Master’s Thesis

Model for the Cable Thermal Characteristic Calculation by

Bc. ZdenČk Starý

Supervisor: Ing. Jaroslava Orságová, Ph.D. Brno University of Technology, 2009

Brno

Abstrakt

8

ABSTRAKT V rámci této práce byl vytvoĜen model pro výpoþet oteplovacích charakteristik silových kabelĤ. PĜipravený pĜehled se nejprve vČnuje základním pojmĤm z kabelové techniky. Navazuje jednoduché popsání jednotlivých možností pĜestupu tepla do okolí. V práci je zmínČna fyzikální podstata oteplování kabelĤ. Je zde popsán výpoþet venkovních tepelných odporĤ kabelĤ. Lze se zde seznámit s metodou výpoþtu oteplení silových kabelu. V rámci práce byl vytvoĜen a parametrizován model pro výpoþet oteplovacích charakteristik silových kabelĤ, který je založen na metodČ uvedené Van Wormerem. V závČru práce probČhla verifikace vytvoĜeného modelu s reálným kabelem. ProbČhlo mČĜení a porovnání výsledkĤ modelování a mČĜení.

KLÍýOVÁ SLOVA:

kabel; Matlab Simulink; oteplení; pĜenos tepla; tepelný odpor; tepelná kapacita; teplota; Van Wormer; zatČžovací proud

Abstract

9

ABSTRACT The result of this assignment is the Model for the Cable Thermal Characteristic Calculation. Firstly, there is a prepared overview that is focused on the essential ideas of cable technology. The following part describes the simple possibilities of passaging the heat. Secondly,the physical essence of warming cables as well as the possibility to discover the methods how to calculate the warming cables are also mentioned in this task.There is an opportunity to find the methods for calculating the warming cables as well. The model was verificationed in the conclusion of my assignment. The measurement was done and the empirical results were compared with the results that were achieved by modeling.

KEY WORDS:

cable; heat transfer; temperature; thermal resistance; thermal capacitance; temperature; Van Wormer; load current; warming

Obsah

10

OBSAH SEZNAM OBRÁZKģ................................................................................................................................12 SEZNAM TABULEK ................................................................................................................................13 SEZNAM SYMBOLģ A ZKRATEK .......................................................................................................14 CÍLE PRÁCE .............................................................................................................................................16 1 ÚVOD .......................................................................................................................................................17 2 ZÁKLADNÍ POJMY KABELOVÉ TECHNIKY ................................................................................18 2.1 MATERIÁLOVÉ VLASTNOSTI KABELOVÉHO VEDENÍ .....................................................................18 2.2 MECHANICKÉ VLASTNOSTI KABELOVÉHO VEDENÍ .......................................................................18 2.2.1 SKINEFEKT, JEV BLÍZKOSTI KABELOVÝCH VEDENÍ .................................................................19 2.2.2 STÍNċNÍ KABELOVÝCH VEDENÍ ...............................................................................................19 2.3 ELEKTRICKÉ POLE KABELOVÝCH VEDENÍ .....................................................................................19 2.4 MAGNETICKÉ POLE KABELOVÝCH VEDENÍ ....................................................................................20 3 PěENOS TEPLA ....................................................................................................................................21 3.1 DRUHY ŠÍěENÍ TEPLA .......................................................................................................................21 3.2 VLASTNOSTI ŠÍěENÍ TEPLA..............................................................................................................21 3.3 PěESTUP TEPLA KONDUKCÍ VÁLCOVOU STċNOU ...........................................................................21 4 FYZIKÁLNÍ PODSTATA OTEPLOVÁNÍ KABELģ ........................................................................23 4.1 URýENÍ VELIKOSTI OTEPLENÍ .........................................................................................................27 4.2 OTEPLOVÁNÍ VODIýģ PěI PěETÍŽENÍ .............................................................................................27 4.3 OKOLNÍ TEPLOTA ............................................................................................................................28 4.4 TEPELNÝ ODPOR PģDY.....................................................................................................................28 5 VENKOVNÍ TEPELNÉ POLE A VENKOVNÍ TEPELNÝ ODPOR KABELģ..............................29 5.1 SILOVÝ KABEL ULOŽENÝ V PģDċ ....................................................................................................29 5.2 SILOVÝ KABEL VE VZDUCHU ...........................................................................................................31 6 TEPELNÝ VÝPOýET KABELU V USTÁLENÉM STAVU .............................................................33 7 PěECHODNÉ TEPELNÉ JEVY SILNOPROUDÝCH KABELģ ....................................................36 7.1 ěEŠENÍ NESTACIONÁRNÍCH STAVģ KABELģ ULOŽENÝCH VE VZDUCHU; METODA PODLE VAN WORMERA ..............................................................................................................................................37 7.2 ěEŠENÍ TEPELNÝCH JEVģ KABELģ ULOŽENÝCH V PģDċ ..............................................................40 8 VÝPOýTY A SIMULACE V PROGRAMU MATLAB A SIMULINK ............................................41 8.1 PROGRAMOVÁ REALIZACE POýÍTAýOVÉHO MODELU OTEPLOVACÍCH CHARAKTERISTIK........41 8.2 MODEL OTEPLOVACÍCH CHARAKTERISTIK V MATLAB SIMULINKU............................................43 8.2.1 POPIS VSTUPģ A VÝSTUPģ MODELU OTEPLOVACÍCH CHARAKTERISTIK SILOVÝCH KABELģ .45 8.3 PARAMETRIZACE MODELU OTEPLOVACÍCH CHARAKTERISTIK ...................................................45 8.3.1 MECHANICKÉ VLASTNOSTI KABELU .......................................................................................45

Obsah

11

8.3.2 MATERIÁLOVÉ VLASTNOSTI KABELU .....................................................................................47 8.3.3 VÝPOýET ZATċŽOVACÍHO PROUDU PRO MODEL OTEPLOVACÍCH CHARAKTERISTIK ..............48 8.3.4 VÝPOýET JEDNOTLIVÝCH TEPELNÝCH KAPACIT A TEPELNÝCH ODPORģ ...............................49 8.3.5 VÝPOýET DIELEKTRICKÝCH ZTRÁT PRO KABEL AXEKVCEY 1×70MM2 ..............................50 8.4 VÝSLEDKY DOSAŽENÉ MODELOVÁNÍM OTEPLENÍ SILOVÉHO KABELU AXEKVCEY 1×70 MM2 .................................................................................................................................................................51 9 VERIFIKACE MODELU MċěENÍM OTEPLENÍ KABELU ..........................................................54 10 ZÁVċR ...................................................................................................................................................60 POUŽITÁ LITERATURA ........................................................................................................................62

Seznam obrázkĤ

12

SEZNAM OBRÁZKģ Obr. 3-1 PĜestup tepla pro válcovou stČnu .................................................................................... 21 Obr. 4-1 Oteplovací charakteristika .............................................................................................. 26 Obr. 4-2 Oteplovací charakteristika u zaĜízení s pĜerušovaným provozem ................................... 26 Obr. 5-1 Schematické znázornČní kabelu uloženého ve vzduchu[2] .............................................. 31 Obr. 6-1 Tepelné schéma kabelu pro výpoþet ustáleného stavu .................................................... 33 Obr.7-1 Náhradní tepelná síĢ pro Ĝešení pĜechodných tepelných jevĤ pro kabely uložené ve vzduchu ................................................................................................................................... 37 Obr. 7-2 Radiální prĤbČh teploty v izolaci jednožilového kabelu s kovovým pláštČm ................... 38 Obr. 8-1 Model vstupĤ a výstupĤ oteplovacích charakteristik ....................................................... 43 Obr. 8-2 Model sestavený z odvozených diferenciálních rovnic .................................................... 44 Obr. 8-4 Popis kabelu AXEKVCEY 1×70mm2 ............................................................................... 46 Obr. 8-5 Oteplovací charakteristika kabelu pĜi konstantním zatížení ........................................... 52 Obr. 8-6 Oteplovací charakteristika kabelu pĜi konstantním zatížení ........................................... 52 Obr. 8-6 Oteplovací charakteristika kabelu pĜi konstantním zatížení proudem sinusového prĤbČhu ................................................................................................................................... 53 Obr. 9-1 Schéma zapojení pro verifikaci výpoþtu oteplovacích charakteristik ............................. 54 Obr. 9-2 Oteplovací charakteristika výpoþtem a mČĜením pro 285 A ........................................... 55 Obr. 9-3 Oteplovací charakteristika výpoþtem a mČĜením pro 285 A ........................................... 57 Obr. 9-4 Oteplovací charakteristika povrchu kabelu pro 400 A .................................................... 57 Obr. 9-5 Oteplovací charakteristika jádra kabelu pro 400 A ........................................................ 58

Seznam tabulek

13

SEZNAM TABULEK Tab. 4-1 Dovolené provozní teploty a maximální teploty vodiþĤ pro rĤzné druhy izolace (podle tab. 43-NA1z [8]) ................................................................................................................... 23 Tab. 8-1 Mechanické vlastnosti kabelu AXEKVCEY 1×70 mm2................................................... 46 Tab. 8-2 RozmČry jednotlivých þástí kabelu AXEKVCEY 1×70 mm2 ........................................... 47 Tab. 8-3 Materiálové vlastnosti kabelu AXEKVCEY 1×70 mm2 .................................................. 48

14

Seznam symbolĤ a zkratek

SEZNAM SYMBOLģ A ZKRATEK Znaþka B Ca Cj Cp C1 C2 C3 c D He H1 H h IN Im Iz I l m mΣ p P dQ dQ1 dQ2 r1 r2 R0 Rϑ rk S t T1 T2 tgδ Uf ĮR Įs

∆ϑ

Veliþina magnetická indukce tepelná kapacita izolace tepelná kapacita jádra provozní kapacita kabelu tepelná kapacita reprezentující jádro kabelu tepelná kapacita reprezentující þást izolace tepelná kapacita reprezentující stínČní kabelu mČrná tepelná kapacita prĤmČr kabelu venkovní tepelný odpor tepelný odpor reprezentující danou þást kabelu magnetická intenzita hloubka uložení kabelu v pĤdČ jmenovitá proudová zatížitelnost kabelu nadproud dovolené proudové zatížení zatČžovací proud délka kabelu hmotnost vodiþe poþet jader kabelu, která jsou zatížena proudem koeficient respektující logaritmické chování teploty celkový ztrátový výkon kabelu teplo vyvinuté prĤchodem proudu kabelem teplo akumulované v kabelu teplo odevzdané do okolí polomČr izolace kabelu polomČr jádra kabelu odpor vodiþe pĜi teplotČ okolí ϑ0 elektrický odpor jádra pĜi dané teplotČ polomČr kabelu plochy povrchu vodiþe þas prĤchodu proudu teplota jádra kabelu zpĤsobená prĤchodem proudu teplota okolí ztrátový þinitel izolace kabelu fázové napČtí kabelu teplotní souþinitel odporu teplotní konduktivita daného prostĜedí oteplení jádra (povrchu) kabelu

Znaþka jednotky T J⋅K-1 J⋅K-1 F⋅m-1 J⋅K-1 J⋅K-1 J⋅K-1 J⋅kg-1⋅K-1 m K⋅W-1 K⋅W-1 A⋅m-1 m A A A A m kg W J J J m m

Ω Ω m m2 s °C °C V K-1 W⋅m-1⋅K-1 °C

15

Seznam symbolĤ a zkratek

∆ϑm ∆ϑτ ∆ϑ∞ ϑ(t) ϑ0 λ λg λ1 , λ2

ϑm λz ρ1 µ µ0 µr τ ω

maximální ustálené oteplení jádra (povrchu) kabelu velikost oteplení za dobu τ ustálené oteplení jádra (povrchu) kabelu pĜi nadproudu promČnná teplota vodiþe teplota okolí souþinitel pĜestupu tepla vedením a proudČním tepelná vodivost souþinitele pĜídavných ztrát v kabelu nejvČtší ustálené oteplení jádra (povrchu) kabelu tepelná konduktivita zemČ vzdálenost daného bodu permeabilita prostĜedí permeabilita vakua relativní permeabilita þasová oteplovací konstanta kabelu úhlová rychlost frekvence napČtí

°C °C °C °C °C W⋅K-1⋅m-1 W⋅m-1⋅K-1 °C m2 ⋅s-1 m H⋅m-1 H⋅m-1 s rad⋅s

Cíle práce

16

CÍLE PRÁCE Cílem této diplomové práce je teoreticky popsat oteplování silových kabelĤ a uvést þtenáĜe do této problematiky. Jedná se o oteplování prĤchodem elektrického proudu silnoproudým kabelem. S oteplením souvisí stárnutí a degradace izolaþního stavu kabelu. Práce bude obsahovat model pro výpoþet oteplovacích charakteristik silových kabelĤ, vytvoĜený v programu Matlab Simulink, a následnou parametrizaci modelu. Parametry pro model budou získány z katalogu výrobce NKT Cables. Model bude vytvoĜen pro konkrétní kabel 22-AXEKVCEY 1×70 mm2. Výsledky získané modelováním budou verifikovány srovnáním s hodnotami namČĜenými na uvedeném kabelu.

Úvod

17

1 ÚVOD PĜi zatČžování protéká jádry kabelĤ elektrický proud, který v tČchto jádrech zpĤsobuje Jouleovy ztráty, v kovovém plášti a stínČní pak vznikají pĜídavné ztráty víĜivými nebo i cirkulujícími proudy. V pĜípadČ, že kabely mají i pancíĜ, pĜedevším z feromagnetického materiálu, mohou v této þásti kabelĤ vznikat mimo ztrát víĜivými a cirkulujícími proudy i ztráty hysterezní. KromČ Jouleových ztrát v jádrech kabelu se za hlavní považují i ztráty v jeho izolaci, oznaþované jako ztráty dielektrické. Aby došlo k rovnovážnému stavu, uvedené ztráty se musejí z kabelu odvést do prostĜedí a potom dále do vzdálenČjšího okolí. V ustáleném tepelném stavu tedy platí, že teplo, které v kabelu vzniká za jednotku þasu, tzv. ztrátový výkon, se musí rovnat teplu, které je z kabelu odvedeno za jednotku þasu. Aby se teplo urþitým prostĜedím šíĜilo, musí být vytvoĜen tepelný spád. Teplo se potom šíĜí z míst s vyšší teplotou do míst s nižší teplotou. PĜi šíĜení tepla se v kabelech a jejich okolí vytváĜejí tepelná pole, charakterizovaná mapou, tedy rozdČlením ekvipotenciálních ploch a siloþar, þar charakterizujících smČr toku tepla.

Základní pojmy kabelové techniky

18

2 ZÁKLADNÍ POJMY KABELOVÉ TECHNIKY Elektrická energie se z center výroben elektrické energie pĜivádí do spotĜebních míst dvČma zpĤsoby: ⋅

venkovním vedením,

⋅

kabelovým vedením.

Kabelová vedení jsou obvykle uložena v zemi. Výrobny elektrické energie jsou þasto velmi vzdálené od míst spotĜeby elektrické energie. Vodní elektrárny se budují v blízkosti vodních tokĤ. Aby se palivo pro uhelné elektrárny nemuselo dopravovat na velké vzdálenosti, budují se elektrárny v lokalitách, kde se nacházejí zdroje využitelné energie. Taktéž i jaderné elektrárny se budují ve velké vzdálenosti od míst spotĜeby. Elektrická energie se proto musí dopravovat do míst spotĜeby – obcí, prĤmyslových oblastí a podobnČ. Z ekonomických dĤvodĤ jsou výhodnČjší pĜenosové cesty venkovním vedením. Mimo ekonomické hledisko je kabelové vedení limitované tepelnČ. Kabel uložený v zemi je tepelnČ hĤĜ ochlazovaný než venkovní vedení. PĜi pĜekroþení dovolené teploty jader dochází k rychlejšímu stárnutí izolace. Proto je þasto potĜeba pĜenášet daný výkon více paralelními kabely [2].

2.1 Materiálové vlastnosti kabelového vedení V souþasné dobČ se kabelová vedení pro pĜenos stĜídavého výkonu vyrábČjí v rozmezích od nízkého napČtí 230 V až do hodnot velmi vysokého napČtí, tedy 400 kV. Provozní kapacita kabelového vedení je parametr dĤležitý pro návrh elektroenergetické sítČ, pĜípadnČ systému. Kapacitu kabelového vedení mĤžeme kompenzovat, þímž se ale zvyšuje cena na vybudování kabelového vedení. Kapacita kabelového vedení je pĜímo úmČrnČ závislá na permitivitČ izolace kabelu. Provozní kapacita kabelového vedení je mnohem vČtší než u venkovního vedení. Z tohoto dĤvodu je tĜeba pĜi návrhu sítČ kabelového vedení dbát zvýšené pozornosti na nabíjecí proudy vedení a s tím související podmínky provozu. Další vlastností elektroizolaþního systému materiálu kabelu je þinitel dielektrických ztrát tgδ. Tento parametr omezuje pĜenosovou schopnost kabelového vedení tak, že se vzrĤstajícím jmenovitým napČtím kabelu rostou v dané izolaci i dielektrické ztráty, které zvyšují oteplení kabelu. Z hlediska oteplení kabelu jsou dĤležité všechny druhy ztrát, které vznikají v kabelu. Aby se zvýšila pĜenosová schopnost kabelového vedení, je tĜeba tyto ztráty omezit na minimum, aby nezpĤsobovaly významné zvýšení teploty [2].

2.2 Mechanické vlastnosti kabelového vedení Izolovaný vodiþ je jen takový vodiþ, jehož vodivý a izolaþní materiál tvoĜí jeden celek. Holé vodiþe jsou navzájem izolované venkovním prostĜedím. Ale toto prostĜedí netvoĜí jednotný konstrukþní celek.


19

Kovová þást kabelu, která tvoĜí vodivou cestu pro pĜenos elektrické energie, se oznaþuje jako jádro. Jádra sestavená z jednoho drátu se oznaþují jako plná. Jádra tvoĜená z více drátĤ se oznaþují jako složená. Tato mohou být lisovaná nebo nelisovaná. Z hlediska tvaru prĤĜezu mohou být jádra kruhová, sektorová, dutá, segmentová a podobnČ. PrĤĜez sektorových jader má tvar kruhové výseþe se zaoblenými hranami. Segmentová jádra mají kruhový prĤĜez, jsou rozdČlena na 4, 6 nebo i více kruhových výseþí. Segmenty mohou být navzájem izolované tenkou vrstvou izolaþního materiálu, a to kvĤli snížení vlivu skinefektu nebo jevu blízkosti. Všechny segmenty jednoho jádra jsou však segmenty jedné fáze [2].

2.2.1 Skinefekt, jev blízkosti kabelových vedení V porovnání se stejnosmČrným proudem nebývá stĜídavý proud rovnomČrnČ rozdČlený po prĤĜezu jádra, ale proudová hustota se smČrem od povrchu k ose jádra zmenšuje. Toto vytlaþování proudu na povrch jádra vlastním magnetickým polem se pro stĜídavý proud nazývá povrchový jev – skinefekt. KromČ povrchového jevu je znám i jev blízkosti – vytlaþování proudu cizím magnetickým polem, obvykle magnetickým polem sousedního paralelního vodiþe. Znalosti o povrchovém jevu a jevu blízkosti jsou dĤležité zejména pro kabely s velkým prĤĜezem (240 mm2), pĜi vysokofrekvenþních pĜenosech a podobnČ. Vlivem uvedených jevĤ dochází ke zvýšení þinného odporu jader a tím ke zvýšení ztrátového výkonu v jádrech. Proto se jádra velkého prĤĜezu konstruují tak, aby zvýšení ztrát v nich vlivem povrchového jevu a jevu blízkosti byla co nejmenší. Velikost vlivu obou jevĤ na velikost Jouleových ztrát v jádĜe se posuzuje prostĜednictvím þinitele zvýšení þinného odporu jádra. To je pomČr nárĤstu þinného odporu jádra vlivem stĜídavého proudu k odporu jádra pĜi stejnosmČrném proudu. Oba uvedené jevy ovlivĖují i vnitĜní reaktanci kabelu. Toto však nemá vliv na zvýšení þinných ztrát, jako je tomu pĜi odporu jádra [2].

2.2.2 StínČní kabelových vedení Pro jádra kabelĤ pro vyšší napČtí, napĜ. pro jmenovité napČtí od 6 kV a vyšší, se kabely konstruují se stínČním jádra kabelu za úþelem vyrovnání povrchu složených jader. StínČní jader kabelĤ se vytváĜí ovinutím jednou nebo dvČma vrstvami polovodivého materiálu nebo kovové fólie. Jeho funkcí je homogenizace elektrického namáhání na povrchu kovového jádra, a to tak, že se jeho povrch upraví na hladký válcový tvar. Obal jádra, pĜípadnČ vþetnČ jeho stínČní, urþený na elektrické odizolování od venkovního prostĜedí se oznaþuje jako izolace. Vrstva vodivého nebo polovodivého materiálu, která má za úkol ohraniþit elektrické pole žíly kabelu, se nazývá stínČní izolace. Na polovodivou þást stínČní se obvykle navíjí mČdČný pásek, který zabezpeþí nulový potenciál na povrchu kabelu po celé jeho délce. Tento pásek mĤže vést nabíjecí a ve znaþné míĜe i zkratové proudy. MĤže i þásteþnČ mechanicky ochraĖovat kabel [2].

2.3 Elektrické pole kabelových vedení Z hlediska provozní spolehlivosti je nutné, aby elektroizolaþní materiál použitý na izolaci kabelu mČl co nejvČtší elektrickou pevnost a aby maximální elektrické namáhání izolace bylo


20

ve stanovených mezích, tedy aby nebylo vČtší, než je dovolené elektrické namáhání elektroizolaþního materiálu. PĜi daném napČtí závisí elektrické namáhání na tvaru elektrického pole, které je dané konstrukcí kabelu a velikostí izolace. Zvyšování provozní bezpeþnosti kabelĤ zvČtšováním izolace je znaþnČ neekonomické. Se zvyšováním velikosti izolace vzrĤstá nejen spotĜeba materiálu na izolaþní a ochranné obaly, ale i tepelný odpor kabelu. Tím se snižuje proudová zatížitelnost kabelu. Elektrická izolace kabelu je zároveĖ i tepelnou izolací, a tak zvČtšení izolace pĤsobí pĜíznivČ z hlediska elektrického namáhání, ale opaþnČ je to z hlediska odvádČní tepla z jádra kabelu. ěešení elektrických polí kabelu je potĜebné pĜi urþování provozní kapacity kabelu a pĜi výpoþtu dielektrických ztrát v izolaci. Znalost provozní kapacity je nutná pro stanovení velikosti nabíjecích proudĤ [2].

2.4 Magnetické pole kabelových vedení PĜi zatČžování kabelĤ teþe jejich jádry elektrický proud, který v jádrech a jejich okolí vytváĜí magnetické pole charakterizované vektorem magnetické intenzity H nebo magnetické indukce B. Mezi tČmito veliþinami platí vztah: B = µ⋅H

kde:

µ = µ0 ⋅ µr

− permeabilita prostĜedí

µ0

− permeabilita vakua µ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 H⋅m-1

µr

− relativní permeabilita

(2.1)

Pokud je elektrické pole kabelu uzavĜené v objemu izolace, tak magnetické pole kabelu zasahuje do blízkého okolí, a to i tehdy, pokud má kabel magnetické stínící vrstvy. StĜídavá magnetická pole vyvolaná stĜídavým proudem zpĤsobují: ⋅ zvýšení elektrického odporu jádra vlivem skinefektu a jevu blízkosti, ⋅ indukovaná napČtí, proudy a ztráty v kovových þástech kabelu, pĜípadnČ i v kovových þástech konstrukcí v jeho okolí, ⋅ elektrodynamické silové pĤsobení, namáhání kabelĤ pĜi zkratech, vnitĜní a venkovní pĜepČtí a podobnČ. Elektrodynamické úþinky se projevují pĜedevším pĜi zkratech trojfázových vedení jednožilových kabelĤ. Vlivem tČchto úþinkĤ by mohlo v pĜípadČ kabelĤ uložených v zemi nebo kabelových kanálĤ za urþitých okolností dojít ke zniþení kabelĤ poškozením izolace [2].

21

PĜenos tepla

3 PěENOS TEPLA 3.1 Druhy šíĜení tepla Teplo se prostĜedím šíĜí tĜemi základními zpĤsoby: • • •

Vedením – PĜi vedení (neboli kondukci) se tepelná energie postupnČ šíĜí v nepohyblivé hmotČ. ProudČním – PĜi proudČní (neboli konvekci) dochází k pĜenosu tepla v dĤsledku proudČní a promíchávání rĤznČ ohĜátých þástí hmoty. Tepelným záĜením – PĜi tepelném záĜení (neboli sálání þi radiaci) dochází k vyzaĜování energie ze zdroje ve formČ elektromagnetických vln a k jeho následnému pohlcování ozaĜovaným tČlesem.

3.2 Vlastnosti šíĜení tepla Teplo se vždy šíĜí od místa s vyšší teplotou k místu s nižší teplotou. Tepelná energie se mĤže šíĜit vedením a proudČním pouze v prostĜedí, které je vyplnČno látkou. PĜíþinou šíĜení je neustálý pohyb þástic hmoty. Vzájemným pĤsobením mezi jednotlivými þásticemi (napĜ. srážkami) dochází k pĜedávání kinetické energie, a to tak dlouho, dokud nedojde k vyrovnání teplot. Tepelné záĜení se svojí povahou odlišuje od vedení a proudČní, neboĢ tepelná energie se mĤže pĜenášet i v prostoru, který není vyplnČn látkou (tedy ve vakuu). DĤvodem je skuteþnost, že sálání pĜedstavuje elektromagnetické záĜení, které ke svému pĜenosu hmotu nepotĜebuje.

3.3 PĜestup tepla kondukcí válcovou stČnou Kabel je tvoĜen z jádra (Cu, Al) a vnČjších vrstev. Ty se mohou skládat z izolace kabelu, stínČní, PVC obalu atd. Izolaci kabelu mĤžeme zahrnout do jedné vrstvy s jednou tepelnou vodivostí. PĜestup tepla kondukcí pro válcovou stČnu je zobrazen na obr. 3-1. λ

T2 T1

r1 r2

Q

T1 > T2

Obr. 3-1 PĜestup tepla pro válcovou stČnu

PĜenos tepla

22

Pro šíĜení tepla kondukcí pro jednu vrstvu platí vztah: Q=

kde:

Q l λ T1 T2 r2 r1 t

2 ⋅ π ⋅ l ⋅ λ ⋅ (T1 − T2 ) ⋅t r2 ln r1

(3.1)

− teplo vyvinuté prĤchodem proudu − délka kabelu − tepelná vodivost − teplota jádra kabelu zpĤsobená prĤchodem proudu − teplota okolí − polomČr jádra kabelu − polomČr izolace kabelu − þas prĤchodu proudu

ObecnČ pak pro šíĜení tepla válcovou stČnou platí vztah pro n vrstev: Q=

2 ⋅ π ⋅ l ⋅ λ ⋅ (T1 − Tn+1 ) ⋅t n ri +1 1 ⋅ ln ¦ ri i =1 λi

(3.2)

Vzorec (3.2) je zobecnČní pro n vrstev materiálĤ izolace kabelu. Je to obecný zápis odvodu tepla z válcového tČlesa.

23

Fyzikální podstata oteplování kabelĤ

4 FYZIKÁLNÍ PODSTATA OTEPLOVÁNÍ KABELģ PrĤchodem elektrického proudu kabelem vzniká teplo. Kabel proto zvyšuje svoji teplotu tak dlouho, až rozdíl teploty okolí umožní pĜestup tepla vznikajícího v kabelu do okolního prostĜedí. Ustálené oteplení kabelu proti teplotČ okolí závisí na materiálu, ochlazovací ploše materiálu, zpĤsobu chlazení vodiþe a pĜedevším na velikosti procházejícího proudu. Doba, za kterou ustálené oteplení vznikne, závisí kromČ jmenovaných vlivĤ i na tepelné kapacitČ vodiþe. Tepelná kapacita vodiþe je závislá na hmotnosti a mČrném teple dané þásti kabelu. Stanovením tČchto závislostí lze zvolit prĤĜez kabelového vedení podle provozního proudu tak, aby nebyla pĜekroþena dovolená provozní teplota. Viz tab. 4-1. Tab. 4-1 Dovolené provozní teploty a maximální teploty vodiþĤ pro rĤzné druhy izolace (podle tab. 43-NA1z [8])

Druh izolace vodiþe

Polyvinylchlorid mČkþený Elastomery na bázi pĜírodního nebo umČlého kauþuku

Základní teplota okolního vzduchu

Nejvyšší dovolená provozní teplota

Zkratka názvu

Znaþka

PVC

Y

30

G

G

Nejvyšší dovolená teplota pĜi proudovém pĜetížení

pĜi zkratu

70

120

140-160

30

60-120

120-150

200-250

30

60

30

90

guma pryž kauþuk

do 10kV

150

Etylenpropylenová pryž

EPR

Polyetylen

PE

E

30

70

ZesítČný polyetylen

XE

X

30

90

120

250

Polytetraflouretylen

PTFE

90

200

300

300

Propylen

FEP

90

200

250

250

120

200

130

250 130-150

normální

N

30

80

nemigrující

M

30

80

300

do 6 kV

N

30

80

200

do 10 kV

N

30

75

150

22 kV

N

30

70

150

35 kV

N

30

65

150

24

Fyzikální podstata oteplování kabelĤ SklenČné vlákno

90

130

180

300

PĜi delším pĤsobení nadproudĤ a pĜi zkratech vzroste teplota vodiþe nad povolenou mez a dochází ke zniþení izolace vodiþe a poté ke zniþení samotného vodiþe. Tato teplota tedy nesmí pĜesáhnout urþitou mezní hodnotu. Hlavní roli v urþení této hodnoty hraje teplotní odolnost izolací použitých na vodiþi. Nejvyšší dovolená teplota pĜi nadproudech je 120 °C, a to u nejpoužívanČjší izolace z PVC. Vysoké teploty pĜi nadproudech mají také vliv na samotné vodiþe, kde zpĤsobují nezvratné zmČny vlastností materiálu, zejména mechanické a elektrické pevnosti. Velikost teploty vodiþe ovlivĖuje délku jeho životnosti. To znamená, že vyšší teploty zkracují životnost vodiþe. NapĜ. pĜi krajních teplotách je doba jeho života asi 10 let pĜi nepĜerušovaném zatížení [1]. Abychom vylouþili vliv teploty okolí, stanovíme závislost oteplení na þase:

τ (t ) = ϑ (t ) − ϑ0 kde:

ϑ(t) ϑ0

(4.1)

− promČnná teplota vodiþe − teplota okolí, kterou považujeme za stálou

Závislost τ (t ) odvodíme za tČchto zjednodušujících pĜedpokladĤ: Proud ve vodiþi se nemČní, jeho rozložení po prĤĜezu je konstantní. Vodiþ je holý, pĜímý, vodorovnČ uložený, bez podpČr a bez vlivu koncových svorek na pĜestup tepla do nich. Tepelný spád vzniká pouze v radiálním smČru. ⋅ Zanedbáváme složku tepla sdílenou do okolí radiací. ⋅ Materiálové konstanty uvažujeme jako nezávislé na teplotČ. ⋅ Materiál vodiþe je homogenní. V každém þasovém intervalu dt platí: ⋅ ⋅

dQ = dQ1 + dQ2

kde:

dQ dQ1 dQ2

(4.2)

− teplo vyvinuté prĤchodem proudu kabelem − teplo akumulované v kabelu na ohĜátí hmoty v kabelu − teplo odevzdané do okolí (ochlazování) vedením a proudČním

Rozepsáním pĜedchozí rovnice (4.2) získáme následující vztah: R0 (1 + α R ⋅τ ) ⋅ I 2 dt = m ⋅ c dτ + λ ⋅ S ⋅τ dt

kde:

R0

− odpor vodiþe pĜi teplotČ okolí ϑ0

ĮR I c

− teplotní souþinitel odporu − zatČžovací proud − mČrná tepelná kapacita − hmotnost vodiþe

m

(4.3)

25

Fyzikální podstata oteplování kabelĤ −souþinitel pĜestupu tepla vedením a proudČním do okolí vodiþe −plochy povrchu vodiþe − þasová oteplovací konstanta kabelu

λ S

τ

Úpravou rovnice (4.3) získáme nehomogenní lineární diferenciální rovnici 1. Ĝádu pro funkci τ (t ) , kde t ∈ 0, ∞ ) .

τ ⋅ (λ ⋅ S − R0 ⋅ α R ⋅ I 2 ) + c ⋅ m

dτ = R0 ⋅ I 2 dt

(4.4)

Laplaceovou transformací rovnice (4.3) a následnou úpravou získáme tvar: R0 ⋅ I 2 + c ⋅ m ⋅ τ (0 ) ⋅ p τ ( p) = p ⋅ λ ⋅ S − R0 ⋅ α R ⋅ I 2 + c ⋅ m ⋅ p

(

(4.5)

)

kde pĜedmČt obrazu operátorové rovnice má následující podobu: § · − λ ⋅S − Rc⋅0m⋅α R ⋅I R0 ⋅ I 2 R0 ⋅ I 2 ¸⋅e + ¨τ (0 ) − τ (t ) = λ ⋅ S − R0 ⋅ α R ⋅ I 2 ¨© λ ⋅ S − R0 ⋅ α R ⋅ I 2 ¸¹

2

⋅t

(4.6)

což je exponenciální funkce þasu s þasovou konstantou T=

c⋅m λ ⋅ S − R0 ⋅ α R ⋅ I 2

(4.7)

a ustáleným oteplením

τ (∞ ) =

R0 ⋅ I 2 λ ⋅ S − R0 ⋅ α R ⋅ I 2

(4.8)

PrĤbČh tČchto teplot – pĜi oteplování nebo ochlazování kabelu – v urþitém þasovém úseku lze znázornit pomocí oteplovací charakteristiky kabelu. Vztah pro prĤbČh oteplovací charakteristiky kabelu je: t − § τ ¨ ∆ϑ = ∆ϑm ⋅ ¨1 − e ©

kde:

· ¸ ¸ ¹

(4.9)

ϑm = ϑ0 + ∆ϑm ∆ϑ ∆ϑm ϑ0 ϑm t

τ

− oteplení jádra (povrchu) vodiþe za þas t od zaþátku prĤchodu proudu − nejvČtší ustálené oteplení jádra (povrchu) kabelu − poþáteþní teplota jádra (povrchu) kabelu v okamžiku, kdy zaþne procházet proud − nejvČtší ustálené oteplení jádra (povrchu) kabelu, jež je zpĤsobeno procházejícím proudem − þas od poþátku prĤchodu proudu nebo nadproudu − þasová oteplovací konstanta kabelu, viz obr. 4-1

26

Â

PD[

&@


Obr. 4-1 Oteplovací charakteristika PĜi pĜerušení obvodu pĜestane kabelem procházet proud a nevzniká žádné teplo. Naakumulované teplo pĜechází z kabelu do okolí, a tím se kabel ochlazuje, viz obr. 4-2.

&@

WUYDOpKRFKRGX

SĜHUXãRYDQpKRFKRGX

W >V@ ]DWtåHQt

NOLG

]DWtåHQt

NOLG

Obr. 4-2 Oteplovací charakteristika u zaĜízení s pĜerušovaným provozem


27

4.1 Urþení velikosti oteplení Pro urþení prĤbČhu oteplování kabelu je dĤležitou veliþinou nejvČtší ustálené oteplení povrchu jádra kabelu [1]. ∆ϑmax

§I = ∆ϑ z ⋅ ¨¨ m © Iz

· ¸¸ ¹

X

(4.10)

Celkové oteplení kabelu je pak: §I ∆ϑ = ∆ϑ z ⋅ ¨¨ m © Iz

kde:

X

t − · § ¸¸ ⋅ ¨1 − e τ ¨ ¹ ©

· ¸ ¸ ¹

(4.11)

∆ϑmax − ustálené oteplení povrchu (jádra) kabelu pĜi nadproudu ∆ϑz − oteplení povrchu (jádra) kabelu pĜi proudu Iz x Im Iz t

τ

− mocnitel stanovený na základČ mČĜení − nadproud − dovolené proudové zatížení podle ýSN 33 2000-5-523 − þas od poþátku prĤchodu proudu nebo nadproudu − þasová oteplovací konstanta kabelu

4.2 Oteplování vodiþĤ pĜi pĜetížení V každém elektrickém zaĜízení se setkáváme jak s normálními provozními stavy, tak i se stavy poruchovými. V normálních provozech mĤže docházet k pĜetížení a pĜi poruchách dochází ke zkratĤm. PĜetížení se vyskytuje þastČji než zkrat, ale u zkratĤ jsou úþinky procházejícího proudu vČtší. PĤsobením nadproudĤ na vodiþ vzniká teplo, které zþásti pĜechází do okolí a zbytek slouží k oteplování kabelu, rovnice (4.1). Do doby, než se teplota vodiþe zvýší na teplotu okolního prostĜedí, je všechno teplo spotĜebováno na oteplování kabelu. Po vyrovnání teplot þást tepla pĜechází do okolí a druhá þást zĤstává v kabelu a zvyšuje tak jeho teplotu. PĜi dosažení nejvyšší možné teploty kabelu pĜechází všechno další vznikající teplo z vodiþe do okolí. PrĤbČh oteplování vodiþe má tvar exponenciály. V dobČ, kdy jsou mezi teplotou vodiþe a teplotou jeho okolí malé rozdíly, dochází k oteplování vodiþe rychle, ale se zvyšujícím se rozdílem teplot se kabel otepluje pomaleji, viz rovnice (4.5) [1]. Vztahy pro urþení prĤbČhu oteplení a ochlazování kabelu: t − § ∆ϑ = ∆ϑ∞ ⋅ ¨¨1 − e τ ©

∆ϑ = ∆ϑ∞ ⋅ e

−

· ¸ pro oteplování kabelu ¸ ¹

(4.12)

pro ochlazování kabelu

(4.13)

t

τ


28

Z tČchto rovnic se dá urþit násobek maximálního dovoleného oteplení za dobu τ od zaþátku prĤchodu proudu:

(

∆ϑτ = ∆ϑ∞ ⋅ 1 − e −1

∆ϑ = ∆ϑ∞ ⋅ e −1

kde:

t

τ ∆ϑ∞ ∆ϑ ∆ϑτ

)

oteplování kabelu

ochlazování kabelu

(4.14)

(4.15)

− þas od poþátku prĤchodu proudu nebo nadproudu − þasová oteplovací konstanta kabelu − ustálené oteplení povrchu (jádra) kabelu pĜi nadproudu − oteplení povrchu (jádra) kabelu − velikost oteplení za dobu τ

4.3 Okolní teplota Okolní teplota prostĜedí má velký vliv na teplotu vodiþe. Je to teplota v okolí nezatíženého vodiþe. Jako referenþní hodnoty tČchto teplot jsou udávány: ⋅ ⋅

30 °C u izolovaných vodiþĤ a kabelĤ uložených ve vzduchu, 20 °C u kabelĤ uložených v zemi, a to v trubkách nebo volnČ.

Pokud je teplota okolí vyšší než teplota referenþní, je ztížen odvod tepla z vodiþe a musí se použít pĜíslušný korekþní souþinitel. Tento souþinitel nemusíme použít u kabelĤ uložených v zemi, jelikož její teplota zĤstává po vČtšinu roku stejná. Souþinitel také neuvažuje zmČnu teploty pĤsobením infraþerveného záĜení na vodiþe nebo kabely [1].

4.4 Tepelný odpor pĤdy Na tepelném odporu pĤdy závisí, jak moc a jak rychle se bude odvádČt teplo vytvoĜené ve vodiþi dále do prostoru. Hodnota tepelného odporu se mĤže na trase mČnit, závisí napĜ. na nadmoĜské výšce, intenzitČ srážek, hloubce uložení aj. NejþastČji se používá hodnota mČrného tepelného odporu 2,5 K⋅m⋅W-1, pĜiþemž tato hodnota je stanovena pro neznámé typy pĤd v neznámé zemČpisné poloze s ohledem na bezpeþnost. Pokud je tato hodnota ve skuteþnosti vyšší, napĜ. u velmi suchých pĤd nebo pĤd složených z materiálĤ s velkým mČrným tepelným odporem, je tĜeba pĤdu v blízkosti kabelu nahradit nebo snížit dovolené proudy. Naopak u pĤd s menším mČrným tepelným odporem lze proud zvýšit [2].

29

Venkovní tepelné pole a venkovní tepelný odpor kabelĤ

5 VENKOVNÍ TEPELNÉ POLE A VENKOVNÍ TEPELNÝ ODPOR KABELģ NejbČžnČjším uložením silových kabelĤ je uložení v pĤdČ. KromČ toho se kabely instalují ve vzduchu tČsnČ nebo v malé vzdálenosti od stČn místností výrobních hal a jiných prostorĤ v kabelových kanálech. A to jednotlivČ nebo ve skupinách [2].

5.1 Silový kabel uložený v pĤdČ V pĤdČ se kabely ukládají jednotlivČ nebo ve skupinách více kabelĤ s tČsným uložením nebo s mezerami. Hloubka uložení kabelu v zemi je 0,4–1,2 m. Hloubka uložení závisí na jmenovitém napČtí kabelĤ. Obvyklá hloubka uložení je 0,7 m od povrchu zemČ. Kabely se ukládají do pískového úložištČ. Toto je realizováno ve vČtšinČ pĜípadĤ prosívkou, a to v okolí 150–200 mm okolo kabelu. Zbytek výkopu se zasype pĤvodní zeminou. Tepelné pole silového kabelu uloženého v pĤdČ se principiálnČ Ĝeší jako elektrické pole dlouhé válcové elektrody proti rovinČ. A to buć jako pole elektrostatické, nebo pole proudové. To znamená, že elektrickému potenciálu tepelného pole pĜísluší jako ekvivalent teplota a náboj. Respektive proudu odpovídá ztrátový výkon. Namísto permitivity a konduktivity prostĜedí se zde vyskytuje mČrná tepelná vodivost pĤdy. Povrch kabelu pĜedstavuje ekvipotenciální plochu, která má teplotu ϑp. Povrch pĤdy je také ekvipotenciální plocha, která má teplotu rovnou teplotČ prostĜedí. Tato teplota se rovná teplotČ pĤdy v dostateþnČ velké vzdálenosti od kabelu. Mezi kabelem a povrchem pĤdy jsou další ekvipotenciální plochy. Tepelné pole kabelĤ uložených v zemi se Ĝeší metodou zrcadlení. Rovina zrcadlení je povrch zemČ. Teplota zemČ v libovolném místČ mezi kabelem a povrchem zemČ je daná souþtem potenciálĤ od zdroje a jeho zrcadlového obrazu.

ϑ= kde:

P 2 ⋅π ⋅ λz

§ 1 1 · ⋅ ¨¨ ln − ln ¸¸ + ϑ0 ρ2 ¹ © ρ1

(5.1)

λz − tepelná konduktivita zemČ ρ1, ρ2 − vzdálenosti daného bodu, jehož potenciál (teplotu) poþítáme, od zemČ P ϑ0

− celkový ztrátový výkon v kabelu − teplota povrchu zemČ; teplota zemČ v dostateþnČ velké vzdálenosti od kabelu

PĜi použití kartézských souĜadnic mĤžeme vzdálenosti místa zemČ, ve kterém potenciál poþítáme, vyjádĜit jako funkci souĜadnic x a y:

kde:

x1

ρ1 =

(x − x1 )2 + ( x + h )2

ρ2 =

( x − x1 )2 + ( y − h )2

− x-ová souĜadnice osy kabelu a osy jeho zrcadlového obrazu

(5.2)


y

30

− y-ová souĜadnice osy kabelu a osy jeho zrcadlového obrazu

Úpravou logaritmĤ v rovnici (5.1) dostaneme rovnici, která platí pro elektrostatické pole mezi dvČma paralelními válci. Pro ekvipotenciální plochy Ĝešeného tepelného pole v tomto pĜípadČ platí: §ρ · ln¨¨ 2 ¸¸ = k © ρ1 ¹

(5.3)

Dalším zjednodušováním dospČjeme k vyjádĜení oteplení povrchu kabelu:

ϑ p − ϑ0 =

P ⋅ ln k1 2 ⋅ π ⋅ λz

(5.4)

2

kde:

§h· h k1 = + ¨¨ ¸¸ − 1 rk © rk ¹ kde:

rk h

− polomČr kabelu − hloubka uložení kabelu v pĤdČ

VydČlením rovnice (5.3) výkonem P dostaneme na základČ Ohmova tepelného zákona venkovní tepelný odpor silového kabelu uloženého v pĤdČ: He =

ϑ p − ϑ0 P

2 · § §h· 1 ¸ ¨h = ⋅ ln¨ + ¨¨ ¸¸ − 1 ¸ 2 ⋅ π ⋅ λz ¸ ¨ rk © rk ¹ ¹ ©

(5.5)

Tento vztah je známý jako Kenellyho vztah pro venkovní tepelný odpor kabelu uloženého 2

§h· v pĤdČ. Protože obvykle platí ¨¨ ¸¸ >> 1 , tak s dostateþnou pĜesností vyhovuje i zjednodušená © rr ¹ verze vztahu: He =

2⋅h 1 ⋅ ln rk 2 ⋅π ⋅ λz

(5.6)

V pĜedcházejících vztazích se vyskytuje tepelná konduktivita pĤdy λz. Její pĜevrácená hodnota se oznaþuje jako tepelná rezistivita g. Tepelná rezistivita pĤdy závisí na velkém poþtu þinitelĤ, pĜedevším na druhu pĤdy (písková, jílovitá, hlinitá a podobnČ), na obsahu vlhkosti, kompaktnosti, zrnitosti pĤdy. Tepelná rezistivita závisí i na klimatických podmínkách a roþním období. V závislosti na uvedených pĜedpokladech se tepelná konduktivita pĤdy mĤže pohybovat v rozmezích od 2,5 do 0,003 W⋅K-1⋅m-1. Proto se pro tepelné výpoþty uvažuje normalizovaná hodnota této veliþiny 1,43 W⋅K-1⋅m-1, která odpovídá tepelné rezistivitČ pĤdy g = 0,7 K⋅m⋅W-1. KromČ uvedených vlivĤ se mČrná tepelná vodivost pĤdy – nejvíce v okolí kabelu – snižuje vlivem vysušování pĤdy zvýšenou teplotou tepelného pole kabelu. Aby se zabránilo


31

velkému vysušování zemČ v okolí kabelu, volí se tepelná konduktivita pĤdy 1,2 W⋅K-1⋅m-1. Nebo se volí nižší hodnoty dovolené teploty jader kabelĤ [2].

5.2 Silový kabel ve vzduchu V pĜípadČ kabelĤ uložených ve vzduchu se teplo z jejich povrchu odvádí volnou konvekcí a sáláním do okolí. ýásteþnČ se teplo odvádí i vedením, které se pro zanedbatelný podíl zahrnuje do volné konvekce. V takovémto pĜípadČ uložení se pĜedpokládá, že vzduch v halách a kabelových prostorech je klidný. Další pĜedpoklad je, že kabely jsou chránČny pĜed pĜímým sluneþním záĜením. Kabely se mohou ukládat jednotlivČ nebo v seskupení dvou a více kabelĤ ve vodorovné poloze a ve zvláštních pĜípadech i ve svislé poloze. PĜi seskupení se mohou vyskytovat rĤzné pĜípady. NapĜíklad seskupení vedle sebe, nad sebou, seskupení s mezerami, ve vrstvách a podobnČ. Toto je dĤležité, protože volná konvekce závisí na poloze a tvaru tČlesa, které je ochlazované, a podobnČ i odvádČní tepla sáláním je ovlivnČno poþtem a vzájemnou polohou kabelĤ v seskupení. Venkovní tepelné pole kabelu uloženého ve vzduchu je z hlediska volné konvekce ohraniþené na malou oblast okolo kabelu, protože pĜi volné konvekci se ohĜátý vzduch (je lehþí) pohybuje v tenké vrstvČ smČrem zdola nahoru okolo kabelu po jeho obou stranách. To je vidČt z obr. 5-1 [2].

Obr. 5-1 Schematické znázornČní kabelu uloženého ve vzduchu[2]

ProudČní vzduchu pĜi volné konvekci mĤže být laminární nebo turbulentní. PĜi laminárním proudČní vzduch obtéká kabel, aniž by došlo k jeho turbulenci. Nad kabelem postupuje teplý


32

vzduch nahoru a rychle se ochlazuje. ProudČní zpĤsobuje, že tepelné pole kabelu je v þásti nad ním více nebo ménČ roztáhnuté, což závisí na prĤmČru kabelu a na velikosti ztrátového výkonu, který v nČm vzniká [2]. PĜi sálání se teplo šíĜí paprskovitČ na všechny strany z povrchu kabelu. VýmČna tepla sáláním probíhá mezi povrchem kabelu a povrchem stČn nebo pĜedmČtĤ, které se nacházejí i ve vČtší vzdálenosti od kabelu. Proto pro výmČnu tepla sáláním není rozhodující teplota prostĜedí, jako je tomu pĜi volné konvekci, ale teplota povrchu stČn místností a pĜedmČtĤ v okolí kabelu. Intenzita výmČny tepla mezi povrchem kabelu a prostĜedím nebo obklopujícími pĜedmČty je charakterizována souþinitelem pĜestupu tepla α. PĜi uložení kabelu ve vzduchu je tento souþinitel dán souþtem pĜestupu tepla volnou konvekcí αc a souþinitele pĜestupu tepla sálánímαs.

α = αc + αs

(5.7)

Pomocí souþinitele pĜestupu tepla se stanoví venkovní tepelný odpor kabelu: He =

kde

D = 2 ⋅ rk

1 π ⋅ D ⋅α

(5.8)

− prĤmČr kabelu

Na základČ uvedeného vzorce se vypoþítá venkovní tepelný odpor na jednotku délky s ohledem na uložení kabelu ve vzduchu. Ve vzorci (5.2) je prĤmČr kabelu D buć znám, nebo ho mĤžeme zmČĜit. Naproti tomu je souþinitel pĜestupu tepla veliþina závislá na celé ĜadČ þinitelĤ. Jejich vliv je sice známý, ale jejich hodnoty mohou být v rámci urþitého rozmezí rĤzné. Proto se pro orientaþní výpoþty hodnota α volí pĜibližnČ 10–12 W⋅K-1⋅m-2 [2].

Tepelný výpoþet kabelu v ustáleném stavu

33

6 TEPELNÝ VÝPOýET KABELU V USTÁLENÉM STAVU Tepelným výpoþtem kabelu rozumíme výpoþet teploty jader, pĜípadnČ i nČkterých dalších dĤležitých þástí kabelu, obvykle je to povrch kabelu, pro danou hodnotu zatČžovacího proudu, nebo máme zadanou teplotu jader a teplotu prostĜedí a potĜebujeme stanovit intenzitu zatČžovacího proudu kabelu. Tomuto druhému zpĤsobu Ĝíkáme také výpoþet trvalé proudové zatížitelnosti kabelu. Pro tepelný výpoþet kabelu sestavíme jeho náhradní tepelný obvod, který se skládá ze soustavy sériovČ Ĝazených dílþích tepelných odporĤ. PĜi sestavování náhradního tepelného schématu postupujeme z hlediska konstrukce kabelu a z hlediska jeho uložení. Z hlediska konstrukce kabelu sestavíme pĜíslušnou þást tepelného schématu tak, že uvážíme, ve kterých místech kabelu vznikají hlavní a pĜídavné ztráty, nebo mĤžeme tyto ztráty zanedbat, pĜípadnČ je mĤžeme zanedbat z hlediska uložení. Postupujeme pĜitom od jádra kabelu k jeho povrchu a potom dále do prostĜedí [2].

Obr. 6-1 Tepelné schéma kabelu pro výpoþet ustáleného stavu

Hlavní ztrátový výkon vzniká v jádrech. Ta jsou na obr. 6-1 reprezentována prvním uzlem zleva. Jeden uzel oznaþujeme, i když jde o vícežilový kabel. V takovém pĜípadČ však pod ztrátovým výkonem rozumíme ztrátový výkon vznikající na všech jádrech kabelu, která jsou zatČžována stejným proudem. P = m ⋅ Rϑ ⋅ I 2

kde:

m Rϑ

(6.1)

− poþet jader kabelu, která jsou zatížena proudem I − elektrický odpor jádra pĜi dané teplotČ se zĜetelem na povrchový jev a jev blízkosti, þinitel slaĖování a podobnČ


34

Na tento uzel se pĜipojí tepelný odpor izolace kabelu Hiz, jehož velikost se stanoví z hlediska konstrukce kabelu. Pokud jde o kabel VN a VVN, umístí se do poloviny tepelného odporu kabelu uzel s dielektrickými ztrátami. Ztrátový výkon dielektrických ztrát se vypoþítá: Pd = m ⋅ ω ⋅ C p ⋅ U f ⋅ tgδ

kde:

ω

− úhlová rychlost frekvence napČtí

Cp

− provozní kapacita kabelu

Uf

− fázové napČtí kabelu

tgδ

− ztrátový þinitel izolace kabelu

(6.2)

Tepelný odpor izolace má na druhém konci uzel, do kterého se umístí ztrátový výkon pĜídavných ztrát víĜivými proudy nebo cirkulujícími proudy, pĜípadnČ obojí. To závisí na konstrukci kabelu. Ztrátový výkon pĜídavných ztrát se vypoþítá jako násobek Jouleových ztrát v jádru kabelu: Pd = (λ1 + λ 2 ) ⋅ P = λ ⋅ P

kde:

(6.3)

λ1 a λ2 − souþinitele pĜídavných ztrát víĜivými a cirkulujícími proudy

Na tento uzel je potom pĜipojen tepelný odpor pláštČ, napĜ. z PVC, nebo tepelný odpor podušky, pokud z hlediska konstrukce kabelu následuje stínČní, které také pĜedstavuje uzel se ztrátovým výkonem pĜídavných ztrát víĜivými, cirkulujícím proudy a hysterezními ztrátami, pokud jsou ztráty z hlediska výpoþtu významné. Nad stínČním mĤže být ještČ obal, který také pĜedstavuje tepelný odpor. Povrch kabelu pĜedstavuje urþitý uzel tepelného schématu, který ukonþuje vnitĜní tepelné pole kabelu a zaþíná venkovní tepelné pole kabelu. Do tohoto uzlu se mĤže umístit výkon z venkovního zdroje absorbovaný povrchem kabelu. NapĜíklad výkon ze sluneþního záĜení a podobnČ. Na tento uzel je pĜipojený venkovní tepelný odpor kabelu, který závisí na druhu prostĜedí a obvykle je reprezentovaný jedním odporem. MĤže se však skládat do série Ĝazených odporĤ, a to podle složitosti tepelné cesty dané instalací. NapĜíklad pro kabely uložené v kabelovém kanálu se musí teplo z povrchĤ kabelĤ odvést do vzduchu v kanálu volnou konvekcí a sáláním z povrchu stČn kabelĤ. A také ze vzduchu v kanálu na povrch kanálu opČt volnou konvekcí. Z povrchu kanálu pĜechází teplo pĜes stČny kanálu a zeminy, což pĜedstavuje další tepelný odpor, a potom se teplo z povrchu zemČ nad kanálem musí odvést do vzduchu konvekcí a sáláním. Jednotlivé uzly tepelného schématu jsou charakterizované mimo uvedeného i teplotou. Tak uzel jader má teplotu ϑj, uzel ve stĜedu izolace má teplotu ϑi, uzel kovového pláštČ nebo stínČní má teplotu ϑt, povrch kabelu ϑp a tepelné schéma je ukonþeno uzlem, který má teplotu prostĜedí ϑO.


35

Na základČ tepelného schématu mĤžeme napsat rovnici pro výpoþet teploty jader a pĜípadnČ i jiných uzlĤ tepelného schématu. Pro teplotu jader platí: · § H iz + H o + H p + H e ¸ + λ ⋅ P ⋅ (H o + H p + H e ) + ϑ0 (6.4) ¹ © 2

ϑ j = P ⋅ (H iz + H o + H p + H e ) + Pd ⋅ ¨ Pro teplotu povrchu kabelu platí:

ϑ p = (P + Pd + λ ⋅ P ) ⋅ H e

(6.5)

Po dosazení vzorcĤ (6.1) a (6.3) do (6.4) a po oddČlení proudu na levou stranu rovnice dostaneme vztah pro výpoþet proudové zatížitelnosti:

· § H iz + Ho + H p + He ¸ ¹ © 2 I= m ⋅ Rϑ ⋅ (H iz + (1 + λ ) ⋅ (H o + H p + H e ))

ϑ j − ϑ0 − Pd ⋅ ¨

(6.6)

který je jednou z možných variant Ĝešení. To závisí na konstrukci kabelu a zpĤsobu jeho uložení. Pokud ve vzorci (6.6) za ϑj dosadíme dovolenou teplotu jader kabelu ϑjk, která je pro daný typ kabelu uvedená v ýSN nebo v pĜíslušných pĜedmČtových normách, a pokud za ϑ0 dosadíme základní teplotu prostĜedí, která je podle uvedené normy pro uložení v pĤdČ 20 °C a pro uložení ve vzduchu 30 °C, pĜiþemž v pĜípadČ uložení do zemČ poþítáme s tepelnou konduktivitou pĤdy 1,43 W⋅K-1⋅m-1, respektive tepelnou rezistivitou g=0,7 K⋅m⋅W-1, tak stanovíme jmenovité hodnoty trvalé proudové zatížitelnosti kabelĤ pro uložení ve vzduchu a v pĤdČ. Mimo uvedených podmínek se pĜedpokládá, že jde o uložení jednoho kabelu ve vzduchu ve vodorovné poloze a stejnČ tak i v pĤdČ v hloubce 0,7–1,2 m pod povrchem zemČ. Takto stanovené hodnoty trvalé proudové zatížitelnosti se uvádČjí jako jmenovité proudové zatížitelnosti kabelu. Pro jiné hodnoty teploty prostĜedí, teploty jader, mČrného tepelného odporu pĤdy, hloubky uložení, seskupení více kabelĤ a podobnČ se uvádČjí pĜepoþtové koeficienty proudové zatížitelnosti kn. Pomocí pĜíslušné hodnoty pĜepoþtového koeficientu pro daný pĜípad uložení se stanoví proudová zatížitelnost kabelu jako souþin tohoto koeficientu a jmenovité proudové zatížitelnosti: I = kn ⋅ I N

kde:

IN

(6.7)

− jmenovitá proudová zatížitelnost kabelu pro uložení ve vzduchu

Ve vzorci (6.7) mĤže být souþasnČ i více þinitelĤ kn, a to podle toho, kolik rozdílĤ se v porovnání se standardními podmínkami v daném pĜípadČ vyskytuje. Hodnoty pĜepoþtového koeficientu kn pro zvláštní pĜípady uložení se obvykle stanovují experimentálnČ. Pokud však pro daný pĜípad uložení nebo zatČžovací podmínky existuje matematické Ĝešení, stanovují se hodnoty uvedeného koeficientu výpoþtem [2].

PĜechodné tepelné jevy silnoproudých kabelĤ

36

7 PěECHODNÉ TEPELNÉ JEVY SILNOPROUDÝCH KABELģ V pĜedcházející kapitole jsme pĜedpokládali, že teplota jader a ostatních prvkĤ kabelu se s þasem nemČní, je trvale konstantní. Takovéhoto stavu se dosáhne po urþitém dostateþnČ dlouhém þase od pĜipojení proudového zatížení na kabel nebo od zmČny proudového zatížení. Pro kabely uložené ve vzduchu se ustáleného stavu dosáhne po 3 až 8 hodinách. To závisí na velikosti prĤĜezu jader a na konstrukci kabelu. V pĜípadČ kabelĤ uložených v pĤdČ je to 4 až 12 hodin. PĜi uložení v pĤdČ to závisí na mČrné tepelné vodivosti pĤdy [2]. Pro Ĝešení neustálených tepelných dČjĤ platí parciální diferenciální rovnice, která má pro radiální tepelná pole bez zdrojĤ tvar: ∂ 2ϑ 1 ∂ϑ 1 ∂ϑ + ⋅ = ⋅ 2 r ∂r α s ∂t ∂r

kde:

ϑ

− teplota místa urþeného souĜadnicí r a v þase t

Įs

− teplotní konduktivita daného prostĜedí, tedy materiálu válce

(7.1)

Analytické Ĝešení uvedené parciální diferenciální rovnice je možné pro jednoduchá homogenní tČlesa s konstantními okrajovými podmínkami. Kabel je však z hlediska mČrné tepelné i teplotní vodivosti nehomogenní tČleso – jádra jsou z kovu, izolace je napĜ. z plastu, stínČní je také z kovu, plášĢ je z plastu, pancíĜ je také z kovu a další obaly mohou být z plastu nebo z jiných materiálĤ. ěešit uvedenou rovnici by proto bylo možné jen pro jednožilové vodiþe, které mají izolaci a pĜípadné další obaly z téhož materiálu. ěešení by však bylo i v tomto pĜípadČ jen pĜibližné, protože konstantní okrajovou podmínku – teplotu povrchu vodiþe – není možné z hlediska praxe aplikovat. Teplota povrchu vodiþe se s þasem mČní. Parciální diferenciální rovnici (7.1) je však možno Ĝešit numericky. Rovnice se pĜetransformuje na diferenciální a po pĜíslušné úpravČ je potom možné stanovit rovnici pro výpoþet teploty v pĜíslušném místČ válce v závislosti na þase. V tomto pĜípadČ, zejména s využitím výpoþetní techniky, je možné Ĝešit oteplování tČles, která jsou z hlediska tepelných vlastností nehomogenní, a nevyžaduje se ani konstantní okrajová podmínka. Nevýhody obou uvedených metod do znaþné míry odstraĖuje metoda náhradních tepelných obvodĤ se soustĜedČnými parametry – tepelnými odpory a tepelnými kapacitami konstrukþních þástí kabelu a pĜípadnČ i prostĜedí, pokud jde o uložení kabelu v pĤdČ. Princip této metody spoþívá v tomto: Tepelné pole v kabelu a jeho okolí se modeluje soustĜednými tepelnými prvky – tepelnými odpory a tepelnými kapacitami – a prĤbČh zátČže se urþuje hladkou nebo po úsecích hladkou funkcí, což závisí na možnosti aproximace þasového prĤbČhu zatČžovacího proudu nebo ztrátového výkonu. ěešení pĜechodných tepelných jevĤ v kabelech metodou náhradních tepelných sítí rozpracovali nČkteĜí autoĜi (Van Wormer, Morallo). PĜedevším metoda T-þlánkĤ, kterou vypracoval Van Wormer, se používá v pĜevážné míĜe doposud. Metodu náhradních tepelných ΠþlánkĤ se zamČĜením na Ĝešení tepelných pomČrĤ kabelĤ uložených v pĤdČ zavedl Buller.


37

V pĜípadČ kabelĤ uložených v pĤdČ je situace komplikovanČjší než u kabelĤ uložených ve vzduchu, protože pomocí náhradních tepelných obvodĤ, složených z odporĤ a kapacit, je tĜeba modelovat i venkovní tepelné pole kabelĤ. Vzhledem k obtížnosti numerických výpoþtĤ se i tato problematika Ĝeší jen pĜibližnČ, a to tak, že oteplování kabelu uloženého v pĤdČ je dané souþtem oteplování kabelu pĜi konstantní okrajové podmínce (povrch kabelu má konstantní teplotu) a oteplování okolí kabelu. To dává výsledky, které se hlavnČ v pĜechodové þásti oteplovací charakteristiky odlišují od skuteþného prĤbČhu. PĜesnČjší Ĝešení pĜedpokládají souþasná Ĝešení celého – vnitĜního i venkovního – tepelného pole kabelu, protože mezi uvedenými poli je vazba [2].

7.1 ěešení nestacionárních stavĤ kabelĤ uložených ve vzduchu; metoda podle Van Wormera Metoda byla vypracována pro jednožilový kabel ve vzduchu, ale je možné ji po urþité modifikaci použít i pro vícežilové kabely, ve kterých vzniká konstantní ztrátový výkon.

Obr.7-1 Náhradní tepelná síĢ pro Ĝešení pĜechodných tepelných jevĤ pro kabely uložené ve vzduchu Nestacionární tepelné pole kabelu se podle Van Wormera modeluje náhradní tepelnou sítí sestávající ze tĜí tepelných kapacit a ze tĜí tepelných odporĤ. SíĢ má tĜi hlavní uzly, þíselnČ oznaþené 1, 2 a 3, do kterých jsou pĜipojeny tĜi tepelné kapacity, které pĜísluší k urþitým místĤm v kabelu [2]. Do uzlu 1, který reprezentuje jádro kabelu, je pĜipojena tepelná kapacita C1, þást tepelného odporu izolace Hiz a vzniká na nČm ztrátový výkon P (Jouleovy ztráty). Uvedená tepelná kapacita, vyjádĜená na jednotku délky, je daná souþtem tepelné kapacity jádra a þásti p tepelné kapacity izolace, nacházející se mezi jádrem a místem r=x v izolaci, tedy: C1 = C j + p ⋅ C a

(7.2)

PĜechodné tepelné jevy silnoproudých kabelĤ kde:

Cj

− tepelná kapacita jádra

Ca

− tepelná kapacita uvedené þásti izolace

38

Veliþina p ve vzorci (7.1) se stanoví pomocí: p=

1 1 − § r2 · § r · 2 2 ⋅ ln¨¨ ¸¸ ¨ 2 ¸ − 1 © r1 ¹ ¨© r1 ¸¹

(7.3)

Velikost p oznaþuje skuteþnost, že teplo akumulované v izolaci v ustáleném stavu pĜi logaritmickém radiálním rozdČlení teploty v izolaci (viz obr. 7-2) zĤstane konstantní pĜi rozdČlení izolace na dané þásti a pĜipojení jejích tepelných kapacit do uzlĤ tepelné sítČ, ve kterých jsou urþité teploty nezávislé na radiální souĜadnici. A následnČ s nimi mĤže být zacházeno jako se soustĜednými parametry [2].

Obr. 7-2 Radiální prĤbČh teploty v izolaci jednožilového kabelu s kovovým pláštČm Kapacity jsou vzájemnČ propojeny teplotními odpory, jejichž hodnoty odpovídají teplotní vodivosti každé vrstvy. Tepelná kapacita C2 podle obr. 7-1 je koncentrovaná do uzlu 2, který odpovídá místu r=x v izolaci kabelu, je daná souþtem (1-p)−násobku tepelné kapacity þásti izolace a p−násobku tepelné kapacity zbylé þásti izolace. To je izolace nacházející se mezi místem r=x a kovovým pláštČm (stínČním) kabelu, tedy r2: C 2 = (1 − p ) ⋅ C a + p ⋅ Cb

(7.4)

39


Do uzlu 3, který pĜedstavuje kovový plášĢ (stínČní) kabelu, je pĜipojena tepelná kapacita C3, daná souþtem tepelných kapacit (1-p)−násobku tepelné kapacity Cb, tepelné kapacity kovového pláštČ (stínČní) Cg a tepelné kapacity všech obalĤ nad pláštČm kabelu Cr, tedy:

C3 = (1 − p) ⋅ Cb + C g + C r

(7.5)

Tepelné odpory H1, H2 a H3 se stanoví pomocí vztahĤ: H 1 = H 2 = 0,5 ⋅ H iz =

r 1 1 ⋅ ⋅ ln 2 r1 2 2 ⋅π ⋅ λ

a

(7.6)

H3 = Hr + He

kde:

Hr

− tepelný odpor všech obalĤ kabelu, které se nacházejí nad stínČním kabelu

He

− venkovní tepelný odpor kabelu uloženého ve vzduchu daný vztahem: He =

kde:

D = 2 ⋅ rk

1 π ⋅ D ⋅α

(7.7)

− prĤmČr kabelu

Na základČ uvedeného vzorce se vypoþítá venkovní tepelný odpor na jednotku délky s ohledem na uložení kabelu ve vzduchu. Náhradní tepelné schéma podle obr. 7-1 má tĜi hlavní uzly, ve kterých jsou teploty ϑ1, ϑ2 a ϑ3, vztahující se na urþité místo v kabelu. A to na jádro, izolaci, izolaci v místČ x, tedy v polovinČ tepelného odporu izolace a kovového pláštČ. KromČ toho je dĤležitý uzel s teplotou povrchu kabelu ϑp, do kterého však není pĜipojena tepelná kapacita, ale jen venkovní tepelný odpor kabelu He, pokud jde o uložení kabelu ve vzduchu, nebo odpovídající tepelný obvod modelující venkovní tepelné pole kabelu uloženého v zemi. Tepelná síĢ je ukonþená uzlem, ve kterém je teplota prostĜedí ϑ0. Do druhého uzlu se umísĢují dielektrické ztráty a do tĜetího ztráty v kovovém plášti, pokud tyto ztráty nemĤžeme zanedbat [2]. ěešení tepelné sítČ je možné realizovat buć pĜímo Ĝešením systému lineárních diferenciálních rovnic 1. Ĝádu, vyjadĜujících tepelné bilance v hlavních uzlech tepelné sítČ, nebo Ĝešením systému algebraických rovnic získaných použitím Laplaceovy transformace na rovnice tepelných bilancí. Pro každý uzel, do kterého je pĜipojena tepelná kapacita, mĤžeme napsat rovnici tepelné bilance. Teplo, které za jednotku þasu v daném uzlu vzniklo a bylo pĜivedeno do uzlu, se rovná teplu, které za uvedenou þasovou jednotku bylo z uzlu odvedeno a akumulovalo se v tepelné kapacitČ pĜipojené k danému uzlu. Pro 1. uzel tepelné sítČ na obr. 7-1, do kterého se teplo nepĜivádí, mĤžeme napsat rovnici tepelné bilance:


C1 ⋅

dϑ1 1 + ⋅ (ϑ1 − ϑ 2 ) = P dt H 1

40

(7.8)

kde první výraz rovnice vyjadĜuje výkon akumulovaný v tepelné kapacitČ C1, druhý výraz prezentuje ztrátový výkon odvedený tepelným odporem H1 do uzlu þ. 2 a výraz na pravé stranČ rovnice zase pĜedstavuje ztrátový výkon, který v uzlu vzniká. Pro druhý uzel sítČ, to znamená pro izolaci, je možné podle pĜedchozích pĜedpokladĤ napsat rovnici tepelné bilance: C2 ⋅

dϑ 2 1 1 + ⋅ (ϑ2 − ϑ3 ) − ⋅ (ϑ1 − ϑ2 ) = 0 dt H2 H1

(7.9)

Pro tĜetí uzel tepelného schématu, to je pro stínČní kabelu, platí následující rovnice tepelné bilance:

C3 ⋅

dϑ3 1 1 + ⋅ (ϑ3 − ϑ0 ) − ⋅ (ϑ2 − ϑ3 ) = 0 dt H3 H2

(7.10)

Pro povrch kabelu je možné odvodit algebraickou rovnici: 1 1 ⋅ (ϑ3 − ϑ p ) = ⋅ (ϑ p − ϑ0 ) Hr He kde:

ϑp

(7.11)

− teplota povrchu kabelu

7.2 ěešení tepelných jevĤ kabelĤ uložených v pĤdČ V porovnání s kabely uloženými ve vzduchu je Ĝešení pĜechodných tepelných jevĤ kabelĤ uložených v pĤdČ složitČjší, protože u kabelĤ uložených ve vzduchu pĜedstavuje vzduch jen zanedbatelnou tepelnou kapacitu a náhradní tepelnou síĢ staþí ukonþit jen tepelným odporem, venkovním odporem kabelu. Pro kabely uložené v pĤdČ pĜedstavuje toto prostĜedí nejen tepelný odpor, ale i znaþnou tepelnou kapacitu, pĜiþemž tato tepelná kapacita se nenabíjí na konstantní hodnotu teploty, ale teplota pĤdy je urþitou funkcí liniového zdroje tepla [2].

Výpoþty a simulace v programu Matlab a Simulink

41

8 VÝPOýTY A SIMULACE V PROGRAMU MATLAB A SIMULINK Matlab americké firmy The MathWorks, Inc., (www.mathworks.com) je univerzální matematický systém urþený zejména pro maticové výpoþty. Tento otevĜený systém je dostupný prakticky na všech poþítaþových platformách. Pro simulaþní výpoþty v prostĜedí Matlabu slouží nadstavba Simulink, která umožĖuje vytváĜet simulaþní modely zakreslením blokových schémat. Jedná se o modelování problémĤ, analýzu a simulaci dynamických systémĤ. Simulink poskytuje uživateli dokonalou fikci, že svĤj model vytváĜí ze stavebnice dostupných blokĤ; v grafické podobČ sestavuje na obrazovce blokové schéma modelu. Model Ĝešeného projektu je rozložen na jednoduché bloky a z nich je sestavena jeho výsledná uzavĜená struktura.

8.1 Programová realizace poþítaþového modelu oteplovacích charakteristik Verze Matlabu, která byla používaná pro výpoþty a modelování byla 7.1.0.246 (R14) Service Pack 3. Pro sestavení modelu v Simulinku jsme použili základní diferenciální rovnice: C1 ⋅

dϑ1 1 + ⋅ (ϑ1 − ϑ2 ) = P dt H 1

C2 ⋅

dϑ 2 1 1 + ⋅ (ϑ2 − ϑ3 ) − ⋅ (ϑ1 − ϑ2 ) = 0 dt H2 H1

C3 ⋅

dϑ3 1 1 + ⋅ (ϑ3 − ϑ0 ) − ⋅ (ϑ2 − ϑ3 ) = 0 dt H3 H2

(8.1)

a ještČ jednoduchou algebraickou rovnici (7.11). Pro pĜevod do Simulinku je nutná úprava tČchto diferenciálních rovnic (8.1). Je tĜeba na jedné stranČ diferenciální rovnice osamostatnit diference, druhá strana rovnice pak bude obsahovat ostatní þleny. Nejprve provedeme úpravu diferenciální rovnice platící pro první uzel tepelného schématu (7-1). Za výkon P dosadíme Jouleovy ztráty s tou podmínkou, že se vzrĤstající teplotou se bude mČnit i ohmický odpor kabelu (indukþnost kabelu se v tomto modelu neuvažuje). R = R0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆T ) kde:

R

− þinný odpor jádra kabelu

α

− teplotní souþinitel odporu jádra

(8.2)

ýinný odpor jádra kabelu získáme z katalogu výrobce NKT Cables. Tento parametr je uveden v PĜíloze A.


C1 ⋅

dϑ1 1 + ⋅ (ϑ1 − ϑ2 ) = P dt H1

C1 ⋅

dϑ1 1 = R⋅I2 − ⋅ (ϑ1 − ϑ2 ) dt H1

dϑ1 R ⋅ I 2 1 = − ⋅ (ϑ1 − ϑ2 ) dt C1 C1 ⋅ H1

42

(8.3)

1 dϑ1 = ⋅ R ⋅ I 2 ⋅ H1 − (ϑ1 − ϑ2 ) dt C1 ⋅ H1

[

]

1 dϑ1 = ⋅ R0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆T )I 2 ⋅ H 1 − (ϑ1 − ϑ2 ) dt C1 ⋅ H1

[

]

∆T = ϑ1 − ϑ0 kde:

ϑ1

− teplota jádra kabelu

ϑ0

− okolní teplota

Následují úpravy diferenciálních rovnic pro další dva uzly. Pro druhý uzel: C2 ⋅

dϑ 2 1 1 + ⋅ (ϑ2 − ϑ3 ) − ⋅ (ϑ1 − ϑ2 ) = 0 dt H2 H1

C2 ⋅

dϑ 2 1 1 = ⋅ (ϑ1 − ϑ2 ) − ⋅ (ϑ2 − ϑ3 ) dt H1 H2

(8.4)

dϑ 2 1 1 = ⋅ (ϑ1 − ϑ2 ) − ⋅ (ϑ2 − ϑ3 ) dt H1 ⋅ C2 H 2 ⋅ C2 Dielektrické ztráty, pokud je nemĤžeme zanedbat, se objevují na pravé stranČ diferenciální rovnice definované pro druhý uzel. Pro tĜetí uzel podle tepelného schématu (7-1):

C3 ⋅

dϑ3 1 1 + ⋅ (ϑ3 − ϑ0 ) − ⋅ (ϑ2 − ϑ3 ) = 0 dt H3 H2

C3 ⋅

dϑ3 1 1 = ⋅ (ϑ2 − ϑ3 ) − ⋅ (ϑ3 − ϑ0 ) dt H2 H3

(8.7)

dϑ3 1 1 = ⋅ (ϑ2 − ϑ3 ) − ⋅ (ϑ3 − ϑ0 ) dt H 2 ⋅ C3 H 3 ⋅ C3 Pokud mĤžeme pĜídavné ztráty zanedbat, bude na pravé stranČ nula. V opaþném pĜípadČ budou na pravé stranČ vystupovat ztráty. Ty mohou vznikat napĜíklad nesymetrickou zátČží, protože stínČní kabelu je galvanicky spojeno se zemí, tudíž tímto stínČním mĤže protékat vyrovnávací proud. MĤže se zde objevit i rozdílový proud pĜi poruše jedné fáze v trojfázovém vedení. Tyto ztráty mĤžeme opČt vyjádĜit Jouleovými ztrátami. Pro modelování teploty povrchu musíme upravit i algebraickou rovnici (7.11):


43

1 1 ⋅ (ϑ3 − ϑ p ) = ⋅ (ϑ p − ϑ0 ) Hr He

ϑ p − ϑ0

(ϑ

Hr p

=

ϑ3 − ϑ p He

− ϑ0 )⋅ H e = (ϑ3 − ϑ p )⋅ H r

(8.8)

ϑ p ⋅ H e − ϑ0 ⋅ H e = ϑ3 ⋅ H r − ϑ p ⋅ H r ϑ p ⋅ (H e + H r ) = ϑ3 ⋅ H r + ϑ0 ⋅ H e ϑp =

ϑ3 ⋅ H r + ϑ0 ⋅ H e He + Hr

Uvedené výsledné diferenciální rovnice jsou pĜevedeny do schématu v Matlab Simulinku.

8.2 Model oteplovacích charakteristik v Matlab Simulinku Model byl sestaven v programu Matlab Simulink podle upravených diferenciálních rovnic (8.3), (8.4), (8.7) a podle algebraické rovnice (8.8). Tento model je na obr. 8-2. Na obr. 8-1 je znázornČn sestavený model oteplovacích charakteristik kabelu, kde jsou zobrazeny vstupy a výstupy modelu.

Obr. 8-1 Model vstupĤ a výstupĤ oteplovacích charakteristik


44

Obr. 8-2 Model sestavený z odvozených diferenciálních rovnic V modelu jsou použity Subsystem a Subsystem1, které reprezentují nárĤst ohmického odporu se vzrĤstající teplotou. Subsystem (viz obr. 8-3a) odpovídá jádru kabelu a Subsystem1 (viz obr. 8-4b) je stínČní kabelu.

Obr. 8-3a Subsystem odpovídající rĤstu ohmického odporu jádra s teplotou


45

Obr. 8-3b Subsystem1 odpovídající rĤstu ohmického odporu stínČní s teplotou

8.2.1 Popis vstupĤ a výstupĤ modelu oteplovacích charakteristik silových kabelĤ V bloku I_n je konstantní zatČžovací stejnosmČrný proud, který je jedním ze vstupĤ. Dále je zde sinusový zatČžovací proud a následuje promČnné zatížení. Toto promČnné zatížení je realizováno dvČma signály, které jsou seþtené, pomocí bloku Signal Builder. Blok Multiport Switch zajišĢuje pĜepínání mezi jednotlivými druhy vstupních signálĤ (proudĤ). Vliv okolní teploty je zobrazen také jako jeden ze vstupĤ a navíc je zde i možnost pĜiĜadit proud stínČním. To proto, že pokud jde o nesoumČrné tĜífázové vedení, mĤže se na stínČní, které je spojeno se zemí, objevit vyrovnávací proud. Výstupy Subsystem1 jsou jednotlivé teploty kabelu. Tyto teploty jsou realizované blokem To Workspace kvĤli použití v dalších výpoþtech simulace.

8.3 Parametrizace modelu oteplovacích charakteristik Parametrizace modelu byla provedena na základČ katalogových hodnot výrobce NKT Cables. Tento katalog je uveden v PĜíloze A.

8.3.1 Mechanické vlastnosti kabelu Z tohoto katalogu byly vybrány hodnoty potĜebné pro další výpoþty a modelování. Tyto hodnoty jsou uvedeny v tabulce 8.1.

46

Výpoþty a simulace v programu Matlab a Simulink Tab. 8-1 Mechanické vlastnosti kabelu AXEKVCEY 1×70 mm2 Oznaþení, jednotka

hodnota

Provozní teplota jádra, [ °C]

90

PrĤmČr kabelu, [mm2]

36

Hmotnost kabelu, [kg⋅m-1]

1,15

ýinný odpor kabelu, [Ω⋅m-1]

0,443

Zatížitelnost ve vzduchu, [A]; uložení vedle sebe

268

Kapacita kabelu, [pF⋅m-1]

190

Hmotnost mČdi, [kg⋅m-1]

0,210

Hmotnost hliníku, [kg⋅m-1]

0,157

Další potĜebné parametry byly zmČĜeny pĜímo na vzorku kabelu AXEKVCEY 1×70 mm2. Jedná se pĜedevším o mechanické rozmČry kabelu, které výrobce neudává. Tyto parametry jsou pĜehlednČ zobrazeny v tabulce 8.2 a na obr. 8-4.

Obr. 8-4 Popis kabelu AXEKVCEY 1×70mm2 Konstrukce kabelu: 1. Hliníkové jádro 2. VnitĜní polovodivá vrstva 3. Izolace ze zesítČného polyetylenu 4. VnČjší polovodivá vrstva 5. Polovodivá vodoblokující páska 6. StínČní mČdČnými dráty s protispirálou z mČdČné pásky 7. Vodoblokující páska 8. VnČjší plášĢ PE+PVC


47

Tab. 8-2 RozmČry jednotlivých þástí kabelu AXEKVCEY 1×70 mm2 Oznaþení Popis mechanického rozmČru Oznaþení 1.

Hodnota mechanického rozmČru

PrĤmČr jádra

djádro

10,4 mm2

TloušĢka izolace

liz

6,5 mm

PrĤmČr drátu

dstínČní

1,2 mm2

TloušĢka pláštČ

lplášĢ

4,6 mm

2. 3. 4. 5.

6. 7. 8.

Pozn. Vzhledem k tomu, že kabel má hodnČ vrstev, které by znaþnČ zkomplikovaly výpoþet jednotlivých teplených odporĤ, jsou vrstvy 2.–5. považovány za jednu vrstvu s homogenními parametry. Totéž platí i pro vrstvy 7.–8. Vrstva 2.–5. bude považována za izolaci kabelu a vrstva 7.–8. za plášĢ kabelu.

8.3.2 Materiálové vlastnosti kabelu Materiálové vlastnosti jsou uvedeny v tabulce 8.3. Znalost jejich hodnot je nutná pro další výpoþty jednak tepelných odporĤ jednotlivých þástí kabelu a jednak tepelných kapacit kabelu.

48

Výpoþty a simulace v programu Matlab a Simulink Tab. 8-3 Materiálové vlastnosti kabelu AXEKVCEY 1×70 mm2 Název

Oznaþení

Velikost, jednotka

Hustota hliníku

ρjádra

2300 kg⋅m-3

Hustota mČdi

ρstínČní

8960 kg⋅m-3

MČrná tepelná kapacita izolace, zesítČný polyetylen

ciz

2500 J⋅kg-1⋅K-1

MČrná tepelná kapacita hliníku

cjádro

896 J⋅kg-1⋅K-1

MČrná tepelná kapacita mČdi

cstínČní

383 J⋅kg-1⋅K-1

MČrná tepelná kapacita pláštČ, PVC+PE

cplášĢ

1800 J⋅kg-1⋅K-1

Tepelná vodivost izolace

λiz

0,4 W⋅m-1⋅K-1

Tepelná vodivost pláštČ

λpl

0,16 W⋅m-1⋅K-1

Ohmický odpor jádra

R

0,443⋅10-3 Ω⋅m-1

Ohmický odpor stínČní

RstinČní

1,15⋅10-3 Ω⋅m-1

Teplotní souþinitel odporu jádra

αRjádro

0,00377 K-1

Teplotní souþinitel odporu stínČní

αRstínČní

0,00392 K-1

α

12 W⋅m-1⋅K-1

Souþinitel pĜestupu tepla

8.3.3 Výpoþet zatČžovacího proudu pro model oteplovacích charakteristik Výpoþet proudu pro model a kabel AXEKVCEY 1×70 mm2 je odvozen ze vzorce (6.6) za pĜedpokladu nČkterých zjednodušujících podmínek. Teplota jádra se uvažuje 90 °C a teplota okolí je 30 °C. Protože ohmický odpor kabelu se se vzrĤstající teplotou jádra kabelu mČní, musíme tento faktor zahrnout do výpoþtu zatČžovacího proudu. Rtheta = R0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆T )

(8.9)

− ∆T = ϑ1 − ϑ0 ,

kde

ϑ1

− teplota jádra kabelu

ϑ2

− teplota okolního prostĜedí

R0

− ohmický odpor kabelu

α

− teplotní souþinitel elektrického odporu

Pro výpoþet použijeme zjednodušený vztah (6.6), vztah se zjednoduší, protože v daném modelu neuvažujeme pĜídavné ztráty Pd a koeficient pĜestupu tepla λ je také roven nule. Jedná


49

se totiž o samostatný kabel uložený ve vzduchu. Proto si toto zjednodušení mĤžeme dovolit. Jelikož kabel nemá podušku, nabízí se zde další zjednodušující pĜedpoklad H0=0. Po všech výše uvedených pĜedpokladech mĤžeme napsat zjednodušený vzorec pro výpoþet zatČžovacího nominálního proudu pro zadaný kabel uložený ve vzduchu.

I=

kde

ϑ j − ϑ0

m ⋅ Rϑ ⋅ (H iz + H p + H e )

m

− poþet jader kabelu

Hiz

− tepelný odpor izolace kabelu

Hp

− tepelný odpor pláštČ kabelu

He

− tepelný odpor okolí kabelu

(8.10)

8.3.4 Výpoþet jednotlivých tepelných kapacit a tepelných odporĤ Pro výpoþet tepelných odporĤ byly použity tab. 8-1, tab. 8-2 a tab. 8-3. Tepelný odpor izolace kabelu se stanoví pomocí následujícího vztahu: d jádro 1 H iz = ⋅ ln 2 ⋅ π ⋅ λiz

+ liz 2 d jádro

(8.11)

2

Tepelný odpor pláštČ se urþí podobnČ jako tepelný odpor izolace:

H iz =

d kabel 2

1 ⋅ ln d kabel 2 ⋅ π ⋅ λ pl − l plášĢ 2

(8.12)

Venkovní tepelný odpor kabelu se vypoþítá podle vzorce (7.7), kam dosadíme pĜíslušné geometrické rozmČry a materiálové vlastnosti. Tepelná kapacita jádra kabelu, izolace, stínČní a pláštČ kabelu se urþuje ve všech pĜípadech podobnČ, jen s tím rozdílem, že musíme dosadit správné materiálové a mechanické rozmČry. ObecnČ je platný vzorec:

C = mX ⋅ c X kde

C

− tepelná kapacita obecného prvku kabelu

mX

− hmotnost daného poþítaného prvku kabelu

(8.12)


cX

50

− mČrná tepelná kapacita poþítaného prvku kabelu

8.3.5 Výpoþet dielektrických ztrát pro kabel AXEKVCEY 1×70mm2 Pro výpoþet dielektrických ztrát v kabelu je tĜeba znát provozní kapacitu kabelu. Ta se stanoví podle PĜíhohy A, kde je uveden katalog firmy NKT Cables. Hodnota udávaná tímto výrobcem je Cp=190 pF⋅m-1. Provozní kapacitu mĤžeme také stanovit ze vzorce: Cp =

kde:

ε

2 ⋅π ⋅ε ⋅l r ln 2 r1

(8.5)

− permitivita ε = ε 0 ⋅ ε r , za relativní permitivitu εr dosadíme hodnotu pro zesítČný polyetylen 2, 3

r2

− polomČr izolace kabelu r2=11,7 mm

r1

− polomČr jádra kabelu r1=5,2 mm

l

− délka kabelu, v našem pĜípadČ l=1 m

Dosazením uvedených hodnot do vzorce (8.5) a výpoþtem získáme výpoþtovou provozní kapacitu kabelu: Cp =

2 ⋅ π ⋅ 8,8542 ⋅ 10 −12 ⋅ 2,3 ⋅ 1 = 157,8 pF ⋅ m −1 11,7 ln 5,2

Porovnáním vypoþítané provozní kapacity a kapacity uvedené výrobcem zjistíme, že se tyto hodnoty liší o 47,8 pF⋅m-1, což mĤže být zpĤsobené nepĜesným mČĜením rozmČrĤ kabelu. Dále tedy budeme uvažovat provozní kapacitu stanovenou výše uvedeným výrobcem. Dielektrické ztráty v izolaci kabelu stanovíme podle vzorce: Pd = m ⋅ ω ⋅ C p ⋅U f ⋅tgδ

kde:

m

− poþet jader kabelu m=1

ω

− úhlová rychlost frekvence napČtí

Cp

− provozní kapacita kabelu Cp=0,190 pF⋅m-1

Uf

− fázové napČtí kabelu

tgδ

− ztrátový þinitel izolace kabelu

Ztrátovému þiniteli izolace kabelu pro zesítČný polyetylen pĜísluší hodnota tgδ=0,0005.

(8.6)


51

Dosazením hodnot do vzorce (8.6) získáme dielektrické ztráty kabelu AXEKVCEY 1×70 mm2:

Pp = 1⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅190 ⋅10 −12

22 ⋅10 3 ⋅ 0,0005 = 8,1023 ⋅10 −4 W ⋅ m −1 3

Dielektrické ztráty jsou velmi malé. Proto je pĜi výpoþtech a modelování mĤžeme zanedbat.

8.4 Výsledky dosažené modelováním oteplení silového kabelu AXEKVCEY 1×70 mm2 Cílem modelování oteplení konkrétního silového kabelu je získání výsledné oteplovací charakteristiky. Pro výpoþet zatČžovacího proudu byl použit vztah (8.10), tento výpoþet by mČl odpovídat proudu uvádČnému výrobcem. Vypoþtený nominální zatČžovací proud se však liší. To je zpĤsobeno jednak velikou citlivostí modelu na vstupní parametry a jednak zjednodušeními, kterých jsme se pĜi modelování dopustili. Jedná se pĜedevším o zpĤsob uložení kabelu ve vzduchu. Výrobce udává nominální proud pĜi uložení ve vzduchu pro uložení kabelĤ do trojúhelníka nebo vedle sebe. Ovšem my uvažujeme jen jeden kabel uložený ve vzduchu. To ovlivní výpoþet nominálního zatČžovacího proudu, protože v modelu se neuvažují okolní tepla kabelĤ, kterými by mČl procházet tentýž proud. Výrobce udává zatČžovací proud 268 A pĜi uložení vedle sebe. Pro náš model byl vypoþítán pomocí uvedeného zjednodušeného vztahu (8.10) 285 A. Výsledná oteplovací charakteristika pĜi zatížení nominálním výpoþtovým proudem je zobrazena na obr. 8-5. Teplota povrchu kabelu musí odpovídat materiálovým vlastnostem kabelu. Jelikož se jedná o kabel se zesítČným polyetylenem, odpovídá tato maximální teplota povrchu kabelu hodnotČ 90 °C, jak je uvedeno v tab. 4-1. Teplota jádra kabelu je stanovena pomocí rovnic (8.3), pĜiþemž je nutné, aby probČhl výpoþet diferenciálních rovnic a byly zde zahrnuty jednotlivé parametry rovnice. Tuto teplotu reprezentuje jeden z výstupĤ modelu pro výpoþet oteplovacích charakteristik, proto je tvoĜen v modelu blokem To Workspace s pĜíslušným názvem promČnné.


52

Obr. 8-5 Oteplovací charakteristika kabelu pĜi konstantním zatížení Pro urþení þasové oteplovací konstanty kabelu AXEKVCEY 1×70 mm2 je nutné, aby teplota jádra kabelu byla pĜi své maximální hodnotČ 120 °C. Pak þasová oteplovací konstanta je násobkem 0,632 maximální teploty a zobrazení v þasové ose. Oteplovací charakteristika pĜi požadované teplotČ jádra je zobrazena na obr. 8-6. Pro tuto teplotu jádra kabelu byl stanoven proud 490 A.

Obr. 8-6 Oteplovací charakteristika kabelu pĜi konstantním zatížení Z pĜedchozího obrázku si mĤžeme stanovit þasovou oteplovací konstantu. Vzhledem k tomu, že výrobce tohoto kabelu neposkytl žádná žádaná data ohlednČ postupu urþování þasové oteplovací konstanty pĜi výrobČ kabelu, je nutné brát tento postup jako jedno z možných Ĝešení.


53

Podle kapitoly 4 (Fyzikální podstata oteplování kabelĤ) je tato konstanta stanovena 560 sec pro daný kabel. Výrobce však udává tuto konstantu 271 sec. Vzhledem k tomu, že pĜi verifikaci modelu bude zdroj proudu dodávat sinusový prĤbČh proudu, je na obr. 8-7 zobrazena charakteristika pro zatČžování kabelu proudem sinusového prĤbČhu. Tento sinusový proud má efektivní hodnotu 285 A.

Obr. 8-6 Oteplovací charakteristika kabelu pĜi konstantním zatížení proudem sinusového prĤbČhu Z obr. 8-6 je patrné, že sinusový prĤbČh napájecího proudu nemá vliv na výpoþet teploty povrchu kabelu ani teploty jádra kabelu, a to z toho dĤvodu, že uvažujeme pouze ohmický odpor kabelu a indukþnost kabelu zanedbáváme.

54

Verifikace modelu mČĜením oteplení kabelu

9 VERIFIKACE MODELU MċěENÍM OTEPLENÍ KABELU Pro mČĜení oteplení kabelu prĤchodem elektrického proudu jsme použili zapojení podle obr. 9-1.

WHUPRþOiQN\7

SĜHYRGQtN

3&

NDEHO$;(.9&(< SURXGRYê VHQ]RU

=GURM 20,&521&3&

$QDO\]iWRU =,00(5/*0

Obr. 9-1 Schéma zapojení pro verifikaci výpoþtu oteplovacích charakteristik Použité mČĜicí pĜístroje: ⋅

zdroj OMRICON CPC 100 + booster CP CB2,

⋅

pĜipojovací kleštČ,

⋅

multimetr Agilent U1241A,

⋅

Multi Channel Protection Power Analyzer ZIMMER LMG 500,

⋅

current transducer 600A, pĜevod 1:1500, Tectra, a. s.,

⋅

termoþlánek typu T 5ks,

⋅

pĜevodník Advantech USB4871 Portable Data Acquisition module,

⋅

poþítaþ.

Pro mČĜení teploty povrchu kabelu byly použity termoþlánky typu T. Obrazová dokumentace z mČĜení je v PĜíloze C. Pomocí analyzátoru ZIMMER LMG 500 byl mČĜen úbytek napČtí a proud, který protéká zkušebním kabelem.

55

Verifikace modelu mČĜením oteplení kabelu Hodnoty, které byly zaznamenávány: ⋅

teplota povrchu kabelu na þtyĜech rĤzných místech (pomocí termoþlánkĤ),

⋅

kontrolní teplota povrchu kabelu a termoþlánkové sondy typu K),

⋅

úbytek napČtí na mČĜeném kabelu (pomocí Omicron a LMG 500),

⋅

ohmický odpor kabelu,

⋅

aktuální proudové zatížení (pomocí Omicron a LMG 500).

(pomocí

multimetru

Agilent

U1241

Jeden termoþlánek byl použit jako kontrolní pro zjištČní okolní teploty kabelu, takže byl umístČn v dostateþné vzdálenosti, aby nedošlo k ovlivnČní termoþlánku kabelem. Tento termoþlánek zaznamenával aktuální teplotu okolního vzduchu. Termoþlánky byly zapojeny do pĜevodníku Advantech USB4871 Portable Data Acquisition module a tento pĜevodník byl zapojen pĜes USB rozhraní do poþítaþe. Data byla zpracovávána v programu WaveScan 2.0. Výstupem tohoto programu je soubor s hodnotami vytvoĜený v Excelu. Tyto hodnoty byly dále zpracovávány v Matlabu. Na obr. 9-2 je zobrazen prĤbČh teploty povrchu kabelu pĜi mČĜení se sinusovým zatížením 280 A. Pro srovnání je zobrazena i vypoþtená charakteristika. Okolní teplota byla na zaþátku mČĜení 26 °C a tento parametr byl zanesen do výpoþtu pĜi modelování charakteristiky.

Obr. 9-2 Oteplovací charakteristika výpoþtem a mČĜením pro 285 A Z obr. 9-2 je patrné, že modelováním a mČĜením byly dosaženy podobné oteplovací charakteristiky pro zatížení proudem sinusového prĤbČhu. Rozdíl teplot neþiní v žádném místČ grafu více než 5 °C. Protože þasová oteplovací konstanta se urþuje z teploty jádra kabelu, je na dalším obr. 9-3 zobrazena teplota jádra kabelu získaná jak mČĜením, tak modelováním v Simulinku. Teplota jádra kabelu se však dost obtížnČ urþuje, protože je tĜeba, aby kolem jádra kabelu byla izolace, kdyby


56

jádro bylo holé, nastal by zde odvod tepla do okolí. Proto byla do kabelu vyvrtána díra o prĤmČru 4 mm2 a do ní vložen jeden termoþlánek typu T. Toto se však projevilo jako znaþnČ neefektivní, protože na jádĜe kabelu se mĤže objevit potenciál, který by mČĜení pomocí termoþlánku mohl znaþnČ ovlivnit. Proto byla teplota jádra mČĜením stanovena podle hodnoty ohmického odporu kabelu, který byl v prĤbČhu mČĜení zaznamenáván. Z logických úvah jsme odvodili možný zpĤsob urþení teploty jádra kabelu. Byl použit vzorec (8.9) a po úpravách získána hodnota teploty jádra kabelu. Po úpravách byl tento výsledný vzorec zpracován v programu Matlab. Rkabel = R0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ ) kde:

∆ϑ

− rozdíl teploty jádra kabelu a okolní teploty ∆ϑ = ϑ jadro − ϑokolí

R0

− omický odpor kabelu na zaþátku mČĜení

(9.1)

Rkabelu − omický odpor kabelu v prĤbČhu mČĜení (pĜi zvyšující se teplotČ) α

− teplotní souþinitel odporu jádra

Odvození rovnice pro výpoþet teploty jádra kabelu mČĜením:

Rkabel = R0 + R0 ⋅ α ⋅ ϑ jádro − R0 ⋅ α ⋅ ϑokolí Rkabel + R0 ⋅ (α ⋅ ϑokolí − 1) = R0 ⋅ α ⋅ ϑ jádro

ϑ jádro =

Rkabel + R0 ⋅ (α ⋅ ϑokolí − 1) R0 ⋅ α

ϑ jádro = ϑokolí

(9.2)

· § Rkabel ¨¨ − 1¸¸ R ¹ +© 0

α

Na obr. 9-3 je zobrazen prĤbČh teploty jádra kabelu pĜi jmenovitém zatížení. Pro pĜehlednost je zde uvedeno srovnání namodelovaných a zmČĜených teplot pĜi jmenovitém zatížení kabelu.


57

Obr. 9-3 Oteplovací charakteristika výpoþtem a mČĜením pro 285 A

Podle modelu by teplotČ jádra (120 °C) odpovídal proud 490 A. Avšak pĜi mČĜení pĜi této proudové zatížitelnosti by pravdČpodobnČ teplota dosáhla vyšších hodnot. Protože vČtšina parametrĤ, které model ovlivĖují, je závislá na teplotČ, byla zvolena nižší proudová zatížitelnost, tedy 400 A. Pro toto proudové zatížení je zobrazena charakteristika teploty povrchu kabelu na obr. 9-4.

Obr. 9-4 Oteplovací charakteristika povrchu kabelu pro 400 A Z grafu je patrné, že výsledky nejsou stejnČ uspokojivé jako pĜi nižším proudovém zatížení. Trend teploty kabelu získaný mČĜením, jak je vidČt z posledního grafu, by nepokraþoval do ještČ


58

vyšších teplot, protože v þasovém okamžiku, kdy bylo mČĜení ukonþeno, se teplota témČĜ pĜestala mČnit. Vzhledem k vývoji teploty mĤžeme proto tuto hodnotu považovat za ustálenou koneþnou teplotu povrchu kabelu. To proto, že teplota povrchu kabelu se bČhem poslední 0,5 hodiny mČnila pouze nepatrnČ. Tyto výsledky mČĜení jsou pravdČpodobnČ zpĤsobeny velkým vlivem teploty na vlastnosti materiálĤ kabelu. Jedná se zejména o koeficient pĜestupu tepla do okolí, který znaþnČ ovlivĖuje výpoþet. Toto však není jediný parametr, který je ovlivnČn teplotou. Vliv na výpoþet mohou mít i zmČny hustoty materiálĤ kabelu vlivem teploty. Dále se jedná o mechanické parametry kabelu a o fyzikální vlastnosti jednotlivých vrstev kabelu – mČrné tepelné kapacity. Pro urþení þasové oteplovací konstanty je tĜeba, aby teplota jádra kabelu byla 120 °C. Postupujeme podle kapitoly 4 (Fyzikální podstata oteplování kabelĤ). Pro porovnání je na obr. 9-5 uvedena teplota jádra kabelu namodelovaná a teplota jádra kabelu získaná mČĜením.

Obr. 9-5 Oteplovací charakteristika jádra kabelu pro 400 A

Z grafu je patrné, že oteplovací charakteristika je znaþnČ odlišná od teoretického výpoþtu. Tato chyba mĤže být zpĤsobena vlivem pĜechodových odporĤ pĜi pĜipojení kabelu na zdroj. V tomto ohledu je mČĜení znaþnČ ovlivnČno. Abychom zjistili, jakým zpĤsobem byla stanovena katalogová hodnota þasové oteplovací konstanty kabelu, kontaktovali jsme jeho výrobce. Ten nám ale i pĜes nČkolikanásobné pokusy tuto informaci neposkytl. Proto byly pro naše potĜeby pro výpoþet þasové oteplovací konstanty zvoleny následující metody. 1. ýasová oteplovací konstanta se urþí z teploty jádra kabelu. V okamžiku, kdy teplota jádra kabelu dosáhne 120 °C a bude maximální a ustálená, vynásobí se 0,632. ýasový okamžik, v nČmž oteplovací charakteristika dosáhla tohoto bodu, budeme pak považovat za þasovou oteplovací konstantu.


59

2. ýasová oteplovací konstanta se urþí z teploty povrchu kabelu pĜi jmenovitém zatížení. V našem pĜípadČ 286 A. Další postup je totožný s pĜedchozím. Oba tyto postupy jsou souþástí programu v Matlabu. Grafy pro urþení þasových oteplovacích konstant mČĜením jsou uvedeny v pĜíloze D. Výrobce udává v katalogu pro kabel AXEKVCEY 1×70 mm2 þasovou oteplovací konstantu 271 sekund pĜi uložení kabelĤ vedle sebe.

Podle bodu 1 pĜi modelování vychází þasová oteplovací konstanta 542 sekund. Pro bod 1 vychází pĜi mČĜení þasová oteplovací konstanta 1650 sekund, ale vzhledem k výše popsaným chybám, k nimž došlo pĜi mČĜení, je tato hodnota znaþnČ zkreslená, a to z toho dĤvodu, že jádro kabelu mČlo pravdČpodobnČ vyšší teplotu, než byla požadována. PĜi urþování þasové oteplovací konstanty podle bodu 2 pro modelování vychází þasová oteplovací konstanta 266 sekund. Pro mČĜenou charakteristiku pĜi jmenovitém zatížení (286 A) je þasová oteplovací konstanta 670 sekund. Ovšem i tato hodnota podléhá znaþné chybČ. PĜi urþování þasové oteplovací konstanty mČĜením dochází ke znaþným chybám vlivem pĜechodového odporu pĜi pĜipojování kabelu ke zdroji. RovnČž pĜesné urþení teploty jádra kabelu je velmi obtížné. Z tČchto dĤvodĤ jsou þasové oteplovací konstanty získané mČĜením znaþnČ nepĜesné.

ZávČr

60

10 ZÁVċR Základem pro teorii oteplování silových kabelĤ elektrickým proudem je kalorimetrická rovnice a základní kalorimetrické výpoþty, založené na pĜenosu tepla. To se dČje vedením (kondukce), proudČním (konvekce) a sáláním (vyzaĜování, radiace). U silových kabelĤ se uplatĖuje pĜedevším složka pĜenosu tepla vedením, pĜípadnČ kombinací zmiĖovaných zpĤsobĤ. Pokud jádrem kabelu protéká elektrický proud, zpĤsobuje v nČm oteplení, a aby se teplo šíĜilo urþitým prostĜedím, musí být vytvoĜen teplotní spád. Teplo se potom šíĜí z míst s vyšší teplotou do míst s nižší teplotou. PĜi uvažování silových jednožilových kabelĤ jde o šíĜení tepla z jádra pĜes jeho konstrukþní prvky do okolí. Záleží však také na uložení kabelu. ObecnČ je analogie mezi teplotním polem a elektrickým polem používána pro modelování þasovČ promČnných teplotních polí. Toto se provádí za použití Van Wormerovy metody, s jejíž pomocí si mĤžeme teplotní pole jednožilového silového kabelu pĜevést na jednoduché elektrické schéma, kde jednotlivé prvky pĜedstavují tepelné odpory a kapacity jednotlivých þástí kabelu. V této práci byl vytvoĜen model pro výpoþet oteplovacích charakteristik silových kabelĤ, konkrétnČ pro kabel AXEKVCEY 1×70 mm2. Model byl vytvoĜen na základČ odvozených diferenciálních rovnic a následnČ byl parametrizován pomocí materiálových a fyzikálních vlastností jednotlivých vrstev kabelu. Další potĜebné mechanické parametry byly zmČĜeny na konkrétním typu mČĜeného kabelu. Dále byl pro parametrizaci použit katalog firmy NKT Cables. Jednotlivé oteplovací charakteristiky jsou uvedeny v prĤbČhu textu práce. Pro vypoþítání nominálního proudu za laboratorních podmínek byl použit zjednodušený vztah (8.10). Tento nominální zatČžovací proud je 286 A. Výrobce kabelu udává nominální zatČžovací proud pĜi uložení na vzduchu vedle sebe 268 A. Námi vypoþítaná hodnota je vyšší z toho dĤvodu, že máme jen jednotlivý kabel uložený ve vzduchu. Výrobce uvažuje i ovlivĖování kabelu ostatními kabely uloženými v jedné trase. PĜi modelování se neuvažují dielektrické ztráty, které jsou oproti ztrátám Jouleovým v jádĜe kabelu zanedbatelnČ malé. Teoretický model vytvoĜený v prostĜedí Matlab Simulik pĜibližnČ odpovídá mČĜení pro jmenovité zatížení kabelu. Avšak pro vyšší zatížení je charakteristika odlišná. To je zpĤsobeno citlivostí vstupních parametrĤ modelu na zmČny, jichž doznávají nČkteré vlastnosti kabelu pĜi nárĤstu teploty. Jedná se pĜedevším o mČrnou tepelnou kapacitu a tepelný odpor jednotlivých vrstev kabelu. Dalším parametrem, který znaþnČ ovlivĖuje modelování, je souþinitel pĜestupu tepla do okolí. Uvedené parametry mohou být dále zkoumány, a pokud zaneseme vliv teploty na nČ do výpoþtového modelu, dosáhneme tak pro konkrétní kabel dalšího zpĜesnČní výsledkĤ. K optimalizaci dosažených výsledkĤ by vedlo mimo jiné také pĜesnČjší mČĜení jednotlivých teplot kabelu. Použité termoþlánky typu T byly na povrch kabelu instalovány pomocí izolaþní pásky, zde se tedy nabízí další možnost zlepšení, a to využití termoþlánkĤ urþených pĜímo pro mČĜení teploty povrchu kabelu. Naskýtá se také možnost spolupráce s výrobcem kabelĤ. Protože ten nám nesdČlil podmínky, pĜi nichž urþuje þasovou oteplovací konstantu, byly pro úþely této práce použity dvČ metody,

ZávČr

61

popsané v kapitole 9 Verifikace modelu mČĜením oteplení kabelu. I to je zdrojem odlišných výsledkĤ pĜi urþování þasové oteplovací konstanty. Výsledné þasové oteplovací konstanty jsou zatíženy chybami, které jsou popsány v pĜíslušné kapitole, a proto jsou odlišné od teoretických pĜedpokladĤ.

Použitá literatura

62

POUŽITÁ LITERATURA [1]

BLAŽEK, Vladimír, SKALA, Petr. Distribuce elektrické energie. [s.l.] : [s.n.], 2006. 140 s.

[2]

SLANINKA, Pavel. Káblová technika I. Bratislava : Ediþné stredisko SVŠT v BratislavČ, 1988. 190 s. ISBN 80-227-0025-8.

[3]

RADA, Josef, et al. Elektrotepelná technika. Praha : SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1985. 344 s. ISBN 04-525-85.

[4]

BAXANT, Petr, DRÁPELA, JiĜí, LÁZNIýKOVÁ, Ilona. Elektrotepelná technika. FEKT Vysokého uþení technického : [s.n.], 172 s.

[5]

PLCH, JiĜí. Elektrické teplo. 1988. vyd. [s.l.] : Ediþní stĜedisko VUT Brno, 1988. 192 s.

[6]

ORSÁGOVÁ, Jaroslava, TOMAN, Petr. Application of thermal models of digital protective relays in cable protection. In The 9th International Conference on Developments in Power Systems Protection.

[7]

KUýERA, Drahoš. PĜenos a rozvod elektrické energie. FEKT Vysokého uþení technického [s.l.] : [s.n.], 1986. 198 s.

[8]

ýSN 33 2000-4-43 Elektrická zaĜízení ýást 4 – Bezpeþnost. Oddíl 43 – Ochrana proti nadproudĤm

[9]

ZÍTEK, Pavel, PETROVÁ, RĤžena. Matematické a simulaþní modely. Praha : Vydavatelství ýVUT, 1996. 128 s.

[10] KARBAN, Pavel. Výpoþty a simulace v programech Matlab a Simulink. [s.l.] : [s.n.], 2006. 220 s. Computer press. [11] RAýEK, JiĜí. Technická mechanika : Mechanika tekutin a termomechanika. 2004. vyd. [s.l.] : [s.n.], 2004. 212 s. ISBN 80-214-2838-4 [12] MATLAB Documentation [online]. [2009] [cit. 2009-04-20]. Dostupný z WWW: . [13] Katalog výrobkĤ NKT Cables [online]. 2009 [cit. 2009-02-24]. Dostupný z WWW: . [14] BENEŠOVÁ, Zdenka. Heating of power cables with respekting of infuuence of imperfect insulation. [s.l.] : [s.n.], 2001. Západoþeská univerzita, PlzeĖ. s. 151–154. [15] KONŠEL, Ladislav. JištČní vedení proti pĜetížení a zkratu. [s.l.], 2008. 23 s. Fakulta elektrotechniky, VUT. Vedoucí semestrální práce Ing. JiĜí VALENTA, Ph.D.

MODEL PRO VÝPOČET OTEPLOVACÍCH CHARAKTERISTIK SILOVÝCH KABELŮ

Recommend Documents