MODEL PENJADWALAN BATCH DENGAN WAKTU KETAKTERSEDIAAN MESIN SEBAGAI PROPORSI PRODUCTION RUN DENGAN KRITERIA MINIMASI TOTAL ACTUAL FLOW TIME

MODEL PENJADWALAN BATCH DENGAN WAKTU KETAKTERSEDIAAN MESIN SEBAGAI PROPORSI PRODUCTION RUN DENGAN KRITERIA MINIMASI TOTAL ACTUAL FLOW TIME Zahedi Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jl. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480 [email protected]

ABSTRACT This study developes a model of batch scheduling involving interruption time as a proportion of production machinery run by criteria of minimizing total actual flow time. This model is considered necessary in order to understand the effect of the interruption of the machine in various proportions production run and to see the effect on the schedule. Results of this study indicate that if the hose is getting close to the machine unavailability due date, batch number will be more and more. We give a hypothetical example of how the models and algorithms developed complete the problem examples. Keywords: batch, total actual flow time, production run, models, algorithms

ABSTRAK Penelitian ini mengembangkan model penjadwalan batch dengan melibatkan waktu ketaktersediaan mesin sebagai proporsi production run dengan kriteria minimasi total actual flow time. Model ini dipandang perlu untuk dapat memahami pengaruh ketaktersediaan mesin pada berbagai proporsi production run dan melihat pengaruhnya pada jadwal yang terjadi. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa jika selang ketaktersediaan mesin semakin dekat ke due date, jumlah batch akan semakin banyak. Diberikan contoh hipotetis bagaimana model dan algoritma yang dikembangkan menyelesaikan contoh problem. Kata Kunci: batch, total actual flow time, production run, model, algoritma

112

Jurnal Mat Stat, Vol. 13 No. 2 Juli 2013: 112-120

PENDAHULUAN Banyak penelitian mengenai penjadwalan produksi yang tidak memperhatikan aspek ketidaktersediaan mesin, misalnya waktu perawatan, baik penjadwalan job maupun batch. Penelitian tentang penjadwalan job di antaranya dilakukan oleh Olafson dan Shi (2000), Tansel, et al. (2001) serta Xiao dan Li (2002). Dalam penelitian tersebut permasalahan yang dibahas adalah penjadwalan pengerjaan job dengan waktu pemrosesan job diketahui, tapi tidak memperhatikan selang ketidaktersediaan mesin. Penelitian tentang penjadwalan batch di antaranya dilakukan oleh Dobson, at al. (1987, 1989), Halim (1993), Halim dan Ohta (1994, 1996), Hali, et al. (2001), Buckchin, at al. (2002), serta Meng dan Heragu (2004). Permasalahan yang dibahas adalah penjadwalan batch di mana ukuran batch adalah variabel keputusan, tapi mesin diasumsikan tersedia secara bebas tanpa ketidaktersediaan untuk memproses part sepanjang horizon perencanaan produksi. Beberapa literatur tentang perawatan yang tidak memperhatikan aspek penjadwalan produksi dikemukakan oleh Barlow dan Proschan (1965), Sherwin dan Bossche (1993), Ebeling (1997) serta Rigdon dan Basu (2000). Mereka mengemukakan tentang teori peluang kerusakan, teorireliabilitas, maintainabilitas dan model life-cycle cost (LCC) serta optimasi profit suatu siklus perawatan. Fleischer, at al. (2008) menaksir lifecyclecost dengan menggunakan simulasi Monte-carlo. Pertama dilakukan penaksiran distribusi kerusakan mesin, kemudian menaksir lifecyclecost dengan simulasi Monte-Carlo. Tujuannya adalah meminimasi penalti pihak pabrikan mesin terhadap variabilitas mesinmesin yang diproduksi. Dalam literatur-literatur ini tidak melibatkan penjadwalan produksi dalam pembahasannya. Makalah ini mengusulkan suatu model penjadwalan batch dengan melibatkan waktu ketaktersediaan mesin sebagai proporsi production run dengan kriteria minimasi total actual flow time.

METODE Misalkan sekumpulan q part (satu order) dari item sejenis akan diproses pada sebuah mesin dengan ketaktersediaan mesin merupakan proporsi dari seluruh waktu proses (production run). Setiap part hanya perlu satu operasi untuk menyelesaikannya (single stage). Permasalahan yang dibahas adalah menentukan ukuran-ukuran batch dan menjadwalkan batch tersebut sehingga waktu tinggal aktual (actual flow times) total minimum, dengan memperhatikan selang ketaktersediaan mesin. Parameter-parameter yang diketahui adalah waktu proses per part t, waktu setup antar batch s, jumlah part yang akan dijadwal q, dan waktu penyerahan seluruh part d (common due date). Akan ditinjau pengaruh selang ketaktersediaan mesin yang berbeda-beda pada jadwal batch dan waktu tinggal aktual total. Model konseptual dari penjadwalan batch dengan kriteria minimasi waktu tinggal actual total akan memiliki susunan batch sebagaimana Gambar 1 berikut.

Model Penjadwalan Batch …... (Zahedi)

113

Gambar 1 Model Gantt-chart penjadwalan batch kasus single item single machine dengan selang ketaktersediaan mesin dengan pendekatan backward

Jika terdapat g production cycle dengan g-1 interval ketaktersediaan mesin maka formulasi waktu tinggal aktual total dapat dirumuskan sebagai:

1

1

Jika hanya terdapat 2 production cycle dengan 1 interval ketaktersediaan mesin, formulasi waktu tinggal aktual total adalah

1

2

di sini adalah variable keputusan jumlah part dalam batch L[ik], yaitu jumlah part urutan ke-i dalam production cycle ke-k secara backward. Variable biner Xjk akan bernilai 1 apabila batch ke-i dalam adalah panjang interval waktu production cycle-k tak kosong dan bernilai o apabila batch kosong. ketidaktersediaan mesin. Beberapa kendala pada problem penjadwalan satu item satu mesin dengan satu selang ketaktersediaan mesin dapat diuraikan sebagai berikut: 1. Keseimbangan jumlah part dalam semua batch akan sama dengan jumlah keseluruhan part yang dijadwal, dengan proses sempurna tanpa kerusakan, dirumuskan sebagai jumlah dari jumlah part dalam batch ke-i pada production cycle ke-j atau

3 2. Setiap batch terjadwal diasumsikan datang tepat pada saat akan diproses dan harus rapat ke due date, atau dapat ditulis sebagai

,

114

1,2, … ,

1,2

4


3. Untuk pengaturan sequencing antar batch akan digunakan variable biner yang bernilai 0 atau 1, di mana bernilai 1 apabila batch ke-i pada production cycle-j mendahului batch kek pada production cycle ke-l secara backward, dan bernilai 0 untuk sebaliknya. Untuk semua batch terjadwal dapat dirumuskan sebagai

,

1,2, … ,

1 ,

1,2

5

Di mana M adalah suatu bilangan yang cukup besar untuk menjamin sequencing, dalam prakteknya dapat diambil M=q(s+t). 4. Selang ketidaktersediaan mesin yang akan ditinjau dibagi menjadi 3 yaitu, berada ditengah production run, sepertiga dari waktu mulai production run dan dua pertiga dari waktu mulai productin run: a. Selang ketaktersediaan mesin ditengah production run, dapat dirumuskan waktu mulai ketidaktersediaan mesin APM dan waktu berakhirnya ketaktersediaan mesin BPM sebagai

6 (7)

1 2

8

2

b. Selang ketaktersediaan mesin sepertiga dari waktu mulai production run, dapat dirumuskan waktu mulai ketidaktersediaan mesin APM dan waktu berakhirnya ketaktersediaan mesin BPM sebagai

9 (10)

1 2

11

3

c. Selang ketaktersediaan mesin dua pertiga dari waktu mulai production run dapat dirumuskan waktu mulai ketidaktersediaan mesin APM dan waktu berakhirnya ketaktersediaan mesin BPM sebagai

1 2

12 (13)

2 3

14

5. Jumlah batch maksimum dihitung dengan persamaan

1 Dengan demikian Nmax=

(15) 1

(16)

6. Dibutuhkan juga syarat-syarat kenonnegatifan variable keputusan dan variable biner sebagai

1 0 q 1


(17) (18) (19) (20)

115

HASIL DAN PEMBAHASAN Akan ditinjau beberapa skenario proporsi ketaktersediaan mesin pada production run dan pengaruhnya pada jadwal batch dan nilai total actual flow time. Skenario-1 Model satu item satu mesin dengan selang ketaktersediaan mesin berada ditengah production run adalah sebagai model berikut. Model

1

21

Kendala 22 ,

1,2, … , ,

1 2 1 1 0 q 1

2

1,2, … ,

1,2 1 ,

1,2

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Untuk menyelesaikan model ini dirancang suatu algoritma sehingga model ini dapat dioperasikan. Algoritma Model Step 1: Hitung Tmin = q.t ≤ d. Lanjutkan Step 3. Jika Tmin + > d, problem Step 2: Problem layak jika dan hanya jika Tmin + tidak layak, stop. Step 3: Hitung N(max) dengan persamaan (28). Step 4: Substitusikan nilai-nilai dari N dengan N = ⎣ Nmaks ⎦, q, t, s, d dan ke dalam model. j Step 5: Set = 1, jika ij < kl, ∀ i, j, i≠j, dan Yi = 0 untuk yang lainnya. Step 6: Set F11a = n2t + 1 Step 7: Untuk i = 1, j=1, set Xij= 1, untuk i=1,2,…, Nj(max), j = 1,2, dan Xij= 0, untuk yang lain. Step 8: Set i = 1, j=1, k = 1, l=2, untuk i=1,2,…, Nj(max), j = 1,2, k=i+1, l= 1,2,…, Nj{max). Step 9: Selesaikan Model pada Step 8.

116


Step 10: Apakah B[kl] ≥ 0, - Jika ya, tulis Fkla, - Apakah Fkla< F(k-1)ja, - Jika ya, setk = k + 1, lanjutkan ke step 7. - Jika tidak, lanjutkan ke step 10. -Jika tidak, Solusi optimal tercapai, lanjutkan step 10. Step 11: Tulis nilai fungsi tujuan dan semua nilai variabel keputusan. Numerical Experiences Misalkan suatu problem penjadwalan batch satu mesin dengan jumlah part q = 200, waktu setup antar batch s = 30, waktu proses per part t = 20, panjang interval ketidaktersediaan mesin tPM = 60, serta waktu penyerahan seluruh part d = 5000 Step 1 sampai step 3 memberikan Tmin= 4000, 4000+60 < 5000, dan Nmax=34, sehingga problem layak untuk model. Step-5 sampai 11 pada prinsipnya adalah meningkatkan jumlah batch pada production cyclepertama secara backward sampai diperoleh kenaikan waktu tinggal aktual total, kemudian dilanjutkan dengan peningkatan jumlah batch pada production cycle 2 sampai tercapai waktu tinggal aktual yang paling minimal. Solusi optimal adalah sebagaimana Tabel 1. Tabel 1 Solusi optimal contoh Model-1 Qij Q11=28,4 Q21=26,9 Q31=25,4 Q41=23,9 Q12=16,3 Q22=14,8 Q32=13,3 Q42=11,8 Q52=10,3 Q62=8,8 Q72=7,3 Q82=5,8 Q92=4,3 Q102=2,8

Bij B11=4432,5 B21=3865,0 B31=3327,5 B41=2820,0 B12=2404,0 B22=2078,0 B32=1781,0 B42=1516,0 B52=1280,0 B62=1074,0 B72=898,0 B82=752,0 B92=636,0 B102=550,0

APM

BPM

Fa

2730,0

2790,0

469237,1

Solusi optimal problem model 1 dalam Gantt-chart adalah sebagaimana terlihat pada Gambar 2 di bawah ini.

Gambar 2 Model Gantt-chart penjadwalan batch kasus single item single machine dengan selang ketaktersediaan mesin dengan pendekatan backward


117

Skenario 2 Model satu item satu mesin dengan selang ketaktersediaan mesin sepertiga dari waktu mulai production run akan diperoleh hanya dengan mengganti persamaan (27) Model 1 dengan persamaan (11). Algoritma yang sama apabila diterapkan pada contoh diatas akan memberikan solusi optimal sebagaimana Tabel 2 di bawah ini.

Tabel 2 Solusi optimal Model-2 Qij Q11=30,67 Q21=29,17 Q31=27,67 Q41=26,17 Q51=24,67 Q12=13,31 Q22=11,81 Q32=10,31 Q42=8,81 Q52=7,31 Q62=5,81 Q72=4,31

Bij B11=4386,7 B21=3773.3 B31=3190,0 B41=2636,7 B51=2113,3 B12=1757,1 B22=1490,9 B32=1254,8 B42=1048,6 B52=872,4 B62=729,2 B72=610,0

APM

BPM

Fa

2023,3

2083,3

469649,8

Solusi optimal problem model 2 dalam Gantt-chart adalah sebagaimana terlihat pada Gambar 3 di bawah ini.

Gambar 3 Model Gantt-chart penjadwalan batch kasus single item single machine dengan selang ketaktersediaan mesin sepertiga dari waktu mulai production run

Skenario 3 Skenario 3 merupakan model satu item satu mesin dengan selang ketaktersediaan mesin dua pertiga dari waktu mulai production run, diperoleh hanya dengan mengganti persamaan (27) Model 1 dengan persamaan (14). Algoritma yang sama apabila diterapkan pada contoh diatas akan memberikan solusi optimal sebagaimana Tabel 3 di bawah ini.

118


Tabel 3 Solusi optimal Model-3 Qij Q11=35,6 Q21=34,1 Q12=19,1 Q22=17.6 Q32=16,1 Q42=14,6 Q52=13,1 Q62=11,6 Q72=10,1 Q82=8,6 Q92=7,1 Q102=5,6 Q112=4,1 Q122=2,6

Bij B11=4288,3 B21=3576,7 B12=3104,4 B22=2722,2 B32=2370,0 B42=2047,8 B52=1755,6 B62=1493,3 B72=1261,1 B82=1058,9 B92=886,7 B102=744,4 B112=632,2 B122=580,0

APM

BPM

Fa

3486,7

3546,7

473384,1

Solusi optimal problem dengan model-3 pada Gantt-chart adalah sebagaimana terlihat pada Gambar 4 di bawah ini.

Gambar 4 Model Gantt-chart penjadwalan batch kasus single item single machine dengan selang ketaktersediaan mesin dua pertiga dari waktu mulai production run

SIMPULAN Dari berbagai skenario yang di-input ke dalam model yang dikembangkan, dapat disimpulan bahwa jika selang ketaktersediaan mesin semakin dekat ke due date, jumlah batch akan semakin banyak. Penelitian berikutnya dapat dilakukan dengan melihat pengaruh kerusakan mesin pada jadwal produksi dalam kasus multi item dan waktu proses sebagai fungsi dari kekerasan material yang diproses.

DAFTAR PUSTAKA Barlow, R. E. dan Proschan, F. (1965). Mathematical Theory of Reliability. New York: John Willey & Sons. Buckchin, J., Tzur, M., dan Jaffe, M. (2002). Lot Splitting to Minimize Average Flow- Time in a Two-Machines Flow Shop, IEE Transactions, Vol. 34, hal. 953- 970.


119

Ebeling, C.E. (1997). Reliability and Maintainability Engineering. Singapore: McGraw-Hill. Fleischer, J., Waweria, M., Niggeschmidt, S. (2008): Machine life cycle cost estimation via montecarlo simulation. Proceeding of 4th CIR Conference on Life Cycle Engineering, 449 – 453. Halim, A. H. (1993): Batch Scheduling for Production Systems under Just in Time Environment, Disertasi Doktor, University Osaka Perfecture, Japan. Halim, A.H., dan Ohta, H. (1994). Batch scheduling problems to minimize inventory cost in the shop with both receiving and delivery just in times. International Journal of Production Economics, 33, 185 – 195. Halim, A.H., dan Ohta, H., (1996). A dynamic batch scheduling model for a flow shop with just in time environment. Proceedings of The 1996 Pacific Conference on Manufacturing, Korea, 398 – 403. Meng, G., dan Heragu, S. (2004): Batch size modelling in a multi-items discrete manufacturing system via an open queuing network. IEE Transactions, 36, 743 – 753. Olafson, S. dan Shi, L. (2000). A method for scheduling in parallel manufacturing flexible resources. IEE Transactions, 32, 135 – 146.

systems with

Rigdon, S.E., dan Basu, A.P. (2000). Statistical Methods for Reliability of Repairable Ontario, Canada: John Willey & Sons.

Systems.

Sherwin, D. J. dan Bossche, A. (1993). The Reliability, Availability and Productiveness of Systems. Hongkong: Chapman & Hall. Tansel, B. C., Kara, B.Y., dan Sabuncouglu, I. (2001). An efficient algorithm for the machine total tardiness problem. IEE Transactions, 33, 661 676. Xiao, W., dan Li, C. (2002). Approximation algorithms for common due date scheduling on parallel machines. IEE Transactions, 34, 467 – 477.

120

single

assignment and job


MODEL PENJADWALAN BATCH DENGAN WAKTU KETAKTERSEDIAAN MESIN SEBAGAI PROPORSI PRODUCTION RUN DENGAN KRITERIA MINIMASI TOTAL ACTUAL FLOW TIME

Recommend Documents