Model Optimasi Alokasi Gas Injeksi Sumur Dual Gas Lift

Bab 4 Model Optimasi Alokasi Gas Injeksi Sumur Dual Gas Lift

Sebagaimana yang telah diuraikan pada bab 2, sumur dual gas lift merupakan sumur dengan dua tubing, long string dan short string. Gas injeksi dari permukaan akan terbagi dua, masuk ke dalam long string dan sisanya masuk ke dalam short string.

Gambar 4.1: Ilustrasi Kurva Performansi Gas Lift untuk Short String dan Long String untuk satu kondisi tertentu Hubungan antara laju injeksi gas dan laju produksi pada short string dan long string 31

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT32 dinyatakan melalui kurva performansi gas lift, seperti yang telah dijelaskan pada subbab (3.1). Kurva performansi gas lift untuk long string dan short string masingmasing diberikan oleh persamaan (4.1) dan (4.2),

qLls = ϕls qgls qLss = ϕ ss qgss

(4.1) (4.2)

Persamaan (4.1) memenuhi

dPls = f2ls Pls , hls ; qLls , qgls . dhls

(4.3)

Pls (0) = Pwhls ,

(4.4)

P(Lls ) = Pw fls = f1ls qLls .

(4.5)

dP ss = f2ss P ss , h ss ; qLss , qgss . dh ss

(4.6)

P ss (0) = Pwhss ,

(4.7)

dengan

Persamaan (4.2) memenuhi

dengan

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT33 P(L ss ) = Pw fss = f1ss qLss .

(4.8)

Agar sistem dual gas lift berjalan stabil, qgls , qgss harus terletak pada daerah kestabilan, yakni:

n o ls ls ls ss ss ss ss qgls , qgss ∈ D = Dls ∪ D ∪ D ∩ D × D ∪ D ∪ D ∩ D |0 ≤ q + q ≤ q g g g ss ls tersedia 1 2 3 4 1 2 3 4

dengan,    2  ρ B J q  gls gls ls gls   2 Dls = q , q ∈ R |0 < q <  L g L 2  , ls 1  ls ls EAils      qL , qg ∈ R2 |0 < qL < Dls = ls 2  ls ls  

qgls

1−F1ls

Vt Pt ls 1 ls Vc gLi ρ f −ρg ls ls

     ,  − 1 

 Atls Ptls qgls   g ρ fls −ρgls ls  2  D3 =  qLls , qgls ∈ R |0 < qLls <  rv µv  1 − F1ls µvls ls − ls

   ls  D4 =  qLls , qgls ∈ R2 |0 < qLls <   dimana: rvls =

Ptls Pc ,

µvls =

(zls T ls )t (zT )c

2−rvls

q2gls ρ fls Bgls Jls 2 EAils µvls rv − µvls ls

    !  , Atls Ptls qgls   

g ρ fls −ρgls

     . 

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT34

D1ss

   ρgss Bgss J ss q2gss  2  , =  qLss , qgss ∈ R |0 < qLss < EAiss 2

   ss  D2 =  qLss , qgss ∈ R2 |0 < qLss <  

qgss (1−F1ss ) Vt ss 1 Pt ss Vc gLi ss ρ f ss −ρg

     , − 1 

  At ss Pt ss qg ss     g(ρ f ss −ρg ss ) ss  2  , D3 =  qLss , qgss ∈ R |0 < qLss < A P ss qg ss   µ r  1 − F1ss µvvss (2−rvss ) − g(tρss t−ρ ) ss

   D4ss =  qLss , qgss ∈ R2 |0 < qLss < 

v ss

q2g ss ρ f ss Bg ss J ss

(EAiss )2 µv ss rv − µv ss ss

f ss

g ss

    .  

dimana: rvss =

Pt ss Pc ,

µvss =

(z ss T ss )t (zT )c

ls ss ss Dls 1 , D2 dan D1 , D2 masing-masing menyatakan daerah kestabilan Asheim unls ss ss tuk long string dan short string. Dls 3 , D4 dan D3 , D4 masing-masing menyatakan

daerah kestabilan Alhanati untuk long string dan short string.

4.1

Model Optimasi

Akan dibangun model optimasi sumur dual gas lift yang dikaitkan dengan equal slope. Masalah memaksimumkan produksi minyak pada sumur dual gas lift dapat dituliskan sebagai berikut.


max ϕ1 qgls + ϕ2 ξ qgls

(4.9)

0 0 dimana, qgss = ξ qgls yang memenuhi ϕ1 qgls = ϕ2 qgss . dengan qgls , qgss ∈ D. Untuk kondisi laju gas injeksi yang sangat sedikit, maka solusi optimum untuk model dual gas lift mungkin jatuh dibawah kurva performansi gas lift. Kondisi ini tidak diharapkan, karena tidak memberikan interpretasi kemampuan produksi sumur gas lift. Pada penelitian ini, laju gas injeksi optimum akan dicari pada daerah kestabilan sepanjang kurva performansi gas lift. Daerah pencarian laju gas injeksi optimum dinyatakan dalam Dqg

o n Dqg = qgls , qgss |q+gls ≤ qgls ≤ qgtersedia , q+gss ≤ qgss ≤ qgtersedia

(4.10)

q+gls dan q+gss adalah nilai laju gas injeksi terkecil sehingga titik q+gls , q+Lls dan q+gss , q+Lss berada pada kurva performansi gas lift didalam daerah kestabilan.

4.2

Skema Numerik

Untuk suatu nilai qgls dan qgss yang diberikan, nilai ϕ1 qgls dan ϕ2 qgss dapat diperoleh dari solusi persamaan implicit, Pls Lls ; qgls , qLls − Pw fls qLls = 0 P ss L ss ; qgss , qLss − Pw fss qLss = 0

(4.11) (4.12)

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT36 Dimana Pls Lls ; qgls , qLls memenuhi masalah nilai awal (4.3), (4.4) dan (4.5). P ss L ss ; qgss , qLss memenuhi masalah nilai awal (4.6), (4.7) dan (4.8). Dalam skema numerik, Pls Lls ; qgls , qLls dan P ss L ss ; qgss , qLss akan dihitung dengan metode Runge-Kutta orde 4. Nilai qLls dan qLss akan dihitung dengan metode shooting, (prosedur metode shooting dapat dilihat di lampiran). Dalam skema numerik, permasalahan optimasi (4.11) dapat dinyatakan sebagai masalah pemaksimuman produksi liquid dari short string dan long string. max qL¯ ls + qL¯ ss

(4.13)

dengan, q∗L¯ ls − qL¯ ls = q∗L¯ ss − qL¯ ss

(4.14)

qgls + qgss ≤ qqtersedia

(4.15)

dan, qgls , qgss ∈ D(qg ) .

Nilai qL¯ ls dan qL¯ ss diperoleh dengan metode shooting untuk nilai qgls dan qgss yang berpadanan. Nilai q∗L¯ ls dan q∗L¯ ss diperoleh dengan metode shooting untuk nilai qgls + c dan qgss + c yang berpadanan, untuk suatu nilai c yang cukup kecil. Permasalahan optimasi ini akan diselesaikan dengan menggunakan algoritma genetika. Untuk menyelesaikan permasalahan dengan algoritma genetika diperlukan mengubah masalah optimasi dengan kendala menjadi masalah optimasi tanpa kendala, dengan menggunakan pendekatan fungsi penalti. Permasalahan pemaksimuman (4.13), (4.14) dan (4.15) dapat dituliskan menjadi masalah peminimuman,


min f =

1 1 + qL¯ ls + qL¯ ss

+ r1 g + r2 h

(4.16)

qgls , qgss ∈ Dqg . h i2 g = max 0, qgss + qgls − qgtersedia . 2 h = q∗L¯ ls − qL¯ ls = q∗L¯ ss − qL¯ ss .

dengan,

r1 dan r2 merupakan faktor penalti yang nilainya diambil cukup besar. Dalam algoritma genetika, r1 dan r2 akan dipilih sebagai fungsi yang naik terhadap generasi.

4.3

Algoritma Genetika

Algoritma genetika merupakan metode optimasi dengan menggunakan teknik pencarian acak berdasarkan mekanisme seleksi alam. Algoritma genetika dapat menyelesaikan permasalahan optimasi dengan kendala maupun masalah optimasi tanpa kendala. Masalah optimasi dengan kendala terbagi menjadi kendala persamaan (equality constraints) dan atau kendala pertaksamaan (inequality constraints). Algoritma Genetika bekerja pada sekumpulan titik calon solusi optimum yang disebut sebagai populasi [10],[11]. Setiap titik di dalam populasi disebut sebagai individu, dan setiap individu dinyatakan oleh sejumlah bit yang merepresentasikan sifat dan karakteristik dari individu itu sendiri. Dalam thesis ini digunakan string biner untuk menyatakan sejumlah bit tersebut. Untuk suatu populasi akan diproses melalui beberapa iterasi sehingga diperoleh individu terbaik sebagai solusi optimum dari permasalahan yang diberikan. Ukuran baik atau tidaknya suatu individu dilihat dari nilai fitness-nya, dimana nilai fitness merupakan harga dari suatu individu yang diperoleh dengan cara memetakan

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT38 individu tersebut menjadi suatu fungsi fitness. Individu yang memiliki nilai fitness tertinggi di dalam suatu populasi merupakan individu terbaik. Secara umum langkah-langkah pada algoritma genetika dijelaskan pada sub bab berikut ini.

4.3.1

Populasi Awal Pada Algoritma Genetika

Pada tahap awal, Algoritma Genetika akan membangkitkan sebanyak N individu, dari bilangan acak, yang disebut sebagai ukuran populasi. N individu ini disebut sebagai populasi awal. Setiap individu dinyatakan oleh sejumlah bit, yang dalam thesis ini direpresentasikan dalam string biner. Namun, sebelum membangkitkan individu-individu tersebut, perlu ditentukan panjang dari string biner yang akan digunakan untuk merepresentasikan masing-masing individu dalam populasi. Panjang string biner dalam algoritma genetika didefinisikan sebagai berikut: Misalkan diberikan suatu permasalahan yang memiliki M variabel x1 , x2 , . . . , x M dengan xi ∈ [ai , bi ] dan ki merupakan ketelitian angka di belakang koma yang dikehendaki untuk variabel ke-i, untuk i = 1, 2, . . . , N. Misalkan li adalah panjang string biner yang akan ditentukan untuk variabel ke-i, maka li yang optimal adalah bilangan bulat li terkecil yang memenuhi persamaan berikut : 1 + (bi − ai ) · 10ki ≤ 2li . untuk i = 1, 2, . . . , N. Panjang string biner yang mewakili suatu individu l merupakan jumlah dari panjang

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT39 string biner untuk setiap variabel: l=

N X

li .

i=1

Selanjutnya, populasi awal dibangun dengan membangkitkan bilangan acak yaitu bilangan 1 dan 0 sebanyak ukuran populasi dikalikan dengan panjang string satu individu, yaitu N × l. Bilangan acak diperoleh dengan menggunakan fungsi pembangkit bilangan acak yang tersedia dalam perangkat lunak komputer.

4.3.2

Fungsi Fitness

Setelah terbentuk populasi awal yang berupa string biner dilanjutkan dengan menghitung nilai objektif, f (x) dengan merubah terlebih dahulu dari string biner ke real. Dalam algoritma genetika untuk mengukur tingkat adaptif suatu individu terhadap lingkungannya digunakan fungsi fitness. Fungsi fitness F (x) merupakan hasil transformasi dari fungsi objektifnya. Karena permasalahan yang dihadapi adalah masalah meminimumkan suatu fungsi objektif f maka fungsi fitness F yang digunakan adalah: F (x) = max ( f (x1 ) , f (x2 ) , . . . , f (xN )) − f (xi ) .

Untuk i = 1, 2, . . . , N menyatakan banyaknya individu.


4.3.3

Elitis

Elitis merupakan pemilihan individu terbaik dalam populasi pada suatu generasi untuk terus memasuki generasi berikutnya. Elitis bertujuan untuk menjamin individu dengan nilai fitness tertinggi untuk tetap bertahan ke tahap lebih lanjut. Biasanya jumlah individu yang dipilih dalam elitis adalah dua individu.

max F (x) . Dengan F (x) = max ( f (x1 ) , f (x2 ) , . . . , f (xN )) − f (xi ).

4.3.4

Reproduksi

Setelah populasi mengalami proses elitis, selanjutnya populasi akan mengalami reproduksi, yang merupakan pemilihan individu dalam populasi secara acak berdasarkan nilai fitness-nya. Semakin tinggi nilai fitness suatu individu berarti semakin besar peluangnya untuk terpilih memasuki tahap selanjutnya, bahkan memungkinkan suatu individu terpilih lebih dari satu kali. Reproduksi yang digunakan dalam Algoritma Genetika Sederhana adalah reproduksi yang berdasarkan mekanisme roda rolet (roulette wheel). Semakin tinggi nilai fitness suatu individu, semakin besar proporsi areanya di roda rolet. Pemilihan individu dilakukan dengan memutar roda rolet secara acak sebanyak ukuran populasi. Individu yang proporsi areanya ditunjuk oleh pin roda rolet berarti berhak memasuki tahap selanjutnya. Oleh karena itu, individu yang memiliki proporsi area yang lebih besar memiliki peluang untuk terpilih yang lebih besar pula. Misalkan suatu populasi terdiri dari lima individu dengan nilai fitness masing-

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT41 masing. Setiap individu memiliki peluang seleksi yang besarnya bergantung pada nilai fitness-nya. Selanjutnya, ilustrasi roda rolet dapat digambarkan pada gambar(3.2).

Gambar 4.2: Roulette Wheel Langkah-langkah proses reproduksi:

1. Hitung total nilai fitness populasi Ftotal =

N X

f (xi ) , i = 1, 2, . . . , N

i=1

2. Hitung peluang seleksi setiap individu Pi =

F (xi ) , i = 1, 2, . . . , N Ftotal

3. Hitung peluang kumulatif setiap individu: Qk =

k X

Pi , k = 1, 2, . . . , N

i=1

4. Acak bilangan r antara 0 dan 1, kemudian tentukan bilangan bulat terkecil j

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT42 sehingga r ≤ Q j , maka individu ke- j merupakan individu yang bertahan ke tahap selanjutnya 5. Ulangi langkah 4 sampai diperoleh sebanyak N − e individu, e merupakan banyak individu dalam elitis.

4.3.5

Persilangan (Crossover)

Setelah populasi mengalami proses elitis dan reproduksi, selanjutnya di dalam populasi akan mengalami persilangan, yang merupakan pertukaran substring antara dua individu secara acak sehingga menghasilkan dua individu yang baru. Dalam proses persilangan terdapat peluang persilangan (Pc ) yang menentukan apakah di antara dua individu yang dipilih secara acak tersebut akan mengalami persilangan atau tidak. Metode persilangan yang digunakan dalam thesis ini adalah one point cut, dimana dipilih suatu bilangan acak di antara 1 dan n − 1 sebagai posisi persilangan, dengan n adalah panjang string dari suatu individu. Misalkan bilangan acak yang diperoleh adalah tiga maka persilangan terjadi pada posisi di antara bit ketiga dan bit keempat. Skema metode one point cut dapat digambarkan sebagai berikut.

Langkah-langkah persilangan: j k 1. Semua individu dalam populasi dipasangkan dua-dua sehingga terbentuk N2 j k pasangan ; N2 = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan N 2.

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT43 2. Acak bilangan rk antara [0, 1], k = 0, 1, . . . ,

j k N 2

=; jika rk < Pc maka pasan-

gan ke-k mengalami persilangan jika tidak, pasangan ke-k tidak mengalami persilangan.

4.3.6

Mutasi

Mutasi adalah proses evolusi terakhir yang dialami oleh populasi setelah mengalami elitis, reproduksi, dan persilangan. Mutasi merupakan perubahan nilai bit individu secara acak dari 1 menjadi 0 dan dari 0 menjadi 1. Dalam proses mutasi juga terdapat peluang mutasi (Pm ) yang menentukan apakah suatu bit dari individu dalam populasi mengalami mutasi atau tidak. Langkah-langkah mutasi: 1. Acak bilangan rk ∈ [0, 1], k = 0, 1, . . . , R R merupakan banyak bit dalam populasi, yakni ukuran populasi dikalikan dengan panjang satu individu 2. Jika rk < Pm maka ubah nilai bit ke-k dari 0 menjadi 1 atau dari 1 menjadi 0 Jika tidak maka bit ke -k tidak mengalami mutasi

4.3.7

Uji Penghentian

Terdapat dua pengujian yang dilakukan untuk menentukan kriteria penghentian iterasi, yakni : Uji kekonvergenan dan uji iterasi.

1. Uji Kekonvergenan Iterasi akan dihentikan apabila populasi telah mengalami kestabilan. Suatu populasi dikatakan stabil apabila populasi tersebut memenuhi definisi kesta-

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT44 bilan populasi sebagai berikut. Definisi Populasi Stabil(Offersman 1995): Misalkan P suatu populasi yang terdiri dari n individu. l banyaknya gen dari suatu individu. Ai = Ai (1), Ai (2), . . . , Ai (l) kromosom untuk individu ke-i pada P. Gen Ai dikatakan stabil jika dan hanya jika terdapat lebih dari 90% individu dalam populasi dengan Ai (p) = c; c = 1, 2, . . . , n c bernilai 0 atau 1 untuk suatu p (p = 1, 2, . . . , l). Permutasi dikatakan stabil apabila semua gen dalam P tersebut stabil. Pada praktiknya, kriteria ini sulit untuk dicapai, terutama bila panjang string yang digunakan cukup besar. 2. Uji Iterasi Selain kriteria kekonvergenan di atas, suatu iterasi akan mengalami penghentian apabila telah mencapai iterasi maksimum yang telah ditentukan sebelumnya.

4.3.8

Fungsi Penalti

Permasalahan alokasi gas injeksi untuk mendapatkan total produksi maksimum merupakan permasalahan optimisasi dengan kendala. Algoritma genetika akan menyelesaikan permasalahan optimisasi tersebut dengan mengubahnya menjadi fungsi tanpa kendala atau dengan kendala yang sederhana (domain constraints). Kendala ditambahkan pada fungsi objektif melalui parameter penalti apabila terjadi pelanggaran terhadap kendala. Secara umum, fungsi penalti yang tepat harus memberikan penalti positif untuk titik infeasible dan meniadakan penalti untuk titik feasible. Apabila diberikan suatu masalah optimasi yang disertai kendala seperti berikut: gi (X) ≤ 0, untuk i = 1, 2 . . . , m.

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT45 h j (X) = 0, untuk i = 1, 2 . . . , n. Maka fungsi penalti P yang sesuai untuk masalah tersebut adalah:

P (X) =

m l X X φ gi (X) + ϕ [hi (X)] i=1

i=1

dengan φ dan ϕ fungsi kontinu yang memenuhi: φ(y) = 0 jika y ≤ 0 dan φ(y) ≥ 0 jika y > 0. ϕ(y) = 0 jika y = 0 dan ϕ(y) > 0 jika y , 0. Bentuk fungsi yang memenuhi persamaan diatas: φ(y) = max (0, y) q dan ϕ(y) = |y|q q merupakan bilangan bulat positif. Oleh karena itu, fungsi penalti P biasanya berbentuk:

m n X q X P (X) = max (0, gi (x)) + |hi (x)|q i=1

4.4

i=1

Penerapan algoritma genetika dalam masalah optimasi alokasi gas injeksi dalam sumur dual gas lift

Prosedur metode algoritma genetik dalam mencari solusi optimum dalam daerah kestabilan bagi permasalahan dual gas lift:

1. Menentukan banyaknya generasi.

BAB 4. MODEL OPTIMASI ALOKASI GAS INJEKSI SUMUR DUAL GAS LIFT46 2. Menentukan banyaknya individu dalam sebuah generasi. 3. Menentukan peluang persilangan (cross over). 4. Menentukan peluang mutasi. 5. Menentukan ketelitian yang diinginkan. 6. Dalam kasus optimasi pada sumur dual gas lift ini dibutuhkan 2 (dua) buah kromosom yang berada pada sebuah populasi. Dimana dua buah kromosom tersebut mewakili qgss , qgls . Daerah pencarian dibatasi pada daerah kestabilan produksi masing-masing string. 7. Menghitung nilai qL untuk masing-masing tubing dengan metode Shooting dan Runge-Kutta orde 4 dimana nilai qg diperoleh dari variabel acak pada nomor 6. 8. Melakukan proses evolusi yaitu menghitung nilai kendala, nilai fungsi objektif dan nilai fungsi fitness. 9. Melakukan proses seleksi (elitis dan reproduksi) dan proses evolusi (mutasi dan cross over). 10. Memeriksa kriteria pemberhentian, bila belum terpenuhi kembali ke nomor 7.

Diagram alir penyelesaian optimasi alokasi gas injeksi diilustrasikan pada Gambar (4.3). Sedangkan diagram alir mengenai proses optimasi dengan menggunakan algoritma genetika diilustrasikan pada gambar (4.4).


Gambar 4.3: Diagram alir tesis

Gambar 4.4: Diagram alir proses optimasi dengan algoritma genetika

Model Optimasi Alokasi Gas Injeksi Sumur Dual Gas Lift

Recommend Documents