Model-model Variogram

GD4113 - Statistik Spasial

B. Setyadji, September 2005

Model-model Variogram

Sebuah model matematika harus disesuaikan pada variogram, sebelum variogram dapat dipakai dalam estimasi. Variogram yang dipilih harus memenuhi suatu kondisi tertentu. Kekeliruan dalam memilih variogram dapat menyebabkan terjadinya variansi negatif. Variansi dari kombinasi linier • Estimator-estimator, biasanya merupakan kombinasi linier (rata-rata dengan pemberatan) sehingga perlu dihitung variansinya. – Diketahui variabel stasioner Z(x) dengan kovariansi C(h) ∗ – Kombinasi linier Z adalah P Z ∗ = λiZ(xi) i – Typeset by FoilTEX –

1



dengan λi adalah pembobotan dan xi adalah lokasi-lokasi sampel. – Perdefinisi, variansinya adalah 2 Var(Z ∗) = E (Z ∗ − E(Z ∗)) P ∗ – Bila nilai menengah Z(x) adalah m, maka E(Z ) = m λi. i

– Sehingga 2 P ∗ λi (Z(xi) − m) Var(Z ) = E

i

= λ21 C(x1 − x1) + λ22 C(x2 − x2) + . . . + λ2n C(xn − xn) +2λ1λ2 C(x1 − x2) + . . . + 2λn−1λn C(xn−1 − xn) atau PP ∗ Var(Z ) = λiλj C(xi − xj ) i

j

– Nilai Var(Z ∗) ini harus positif berapapun titik maupun pembobotannya. fungsi C(h) yang memenuhi kondisi ini disebut “definit positif”. – Typeset by FoilTEX –

2



• Situasi berbeda bila muncul kasus variabel intrinsik tetapi tidak stasioner dimana variansi untuk kombinasi linier antara (arbitrary) tidak harus ada. Tetapi, variansi pasti ada untuk kombinasi linier perubahan (xi − xj ). – Kombinasi disebut “admissible” bila jumlah dari pembobotannya adalahPnol. λi = 0 – Setiap kombinasi linier dari penubahan akan memenuhi kondisi ini karena setiap perubahan tunggal melibatkan bobot -1 dan +1. – Sebaliknya juga, setiap kombinasi yang memenuhi kondisi ini dapat ditulis sebagai satu kombinasi linier perubahan. • Karena kovariansi tidak perlu muncul dalam fungsi acak intrinsik, maka rumusan harus ditulis dalam bentuk variogram – Typeset by FoilTEX –

3



P PP Var λi Z(xi) = − λiλj γ(xi − xj ) karena variansi ini harus non-negatif, maka model variogram harus memenuhi kondisi: – Untuk suatu himpunan titik-titik x1, x2, . . . , xn, suatu P himpunan λi = 0 pembobotan λ1, λ2, . . . , λn, sedemikian rupa sehingga disyaratkan PP − λiλj γ (xi − xj ) ≥ 0 selanjutnya, −λ ini disebut sebagai definit positif kondisional. – Kondisi ini lebih lemah daripada kovariansi sebelumnya, yang harus mengakomodir semua bobot yang mungkin, karena kovariansi ini hanya harus mengakomodir himpunan bobot yang jumlahnya nol. konsekwensinya, kelas variogram “admissible” lebih kaya dibandingkan untuk kovariansi. – Kovariogram ini mengandung variogram terbatas (bounded variogram) yang berhubungan dengan kovariansi dan juga yang tanpa batas yang – Typeset by FoilTEX –

4



tidak memiliki pasangan kovariansi. • Kesimpulan: ada trade-off antara kedua hipotesa. – Hipotesa intrinsik memperbolehkan penggunaan variogram dengan rentang lebar, tetapi jumlah pembobotan harus nol. – Rentang model variogram admissible lebih terbatas untuk hipotesa stasioner tetapi dengan bobot berapa saja.

– Typeset by FoilTEX –

5



Model-model “admissible”

• Karena cukup sulit untuk mengenali fungsi-fungsi yang memenuhi persyaratan di atas, maka yang paling mudah adalah memilih modelmodel variogram dari sejumlah rentang fungsi-fungsi yang cocok daripada membentuk sendiri. • Beberapa model dapat saling dijumlahkan untuk memperoleh model admissible lain karena hal ini sama saja dengan penambahan fungsifungsi acak independen, tetapi pengurangan tidak diperbolehkan. Juga tidak bisa digabungkan sebagian. • Sebuah fungsi dapat ditentukan negatif atau positif definitnya dengan menghitung tranformasi Fourier-nya. – Typeset by FoilTEX –

6



Model-model Variogram

1. Model Nugget (Nugget effect) ( 0 h=0 γ(h) C |h| > 0 Model ini berhubungan dengan fenomena yang murni acak (white noise) dengan tanpa-korelasi antar nilai-nilainya. 2. Model bola (Spherical model)  3 |h| |h|  C 3 −1 3 |h| < a 2 a 2 a γ(h)  C |h| ≤ 0 – Typeset by FoilTEX –

7



Merupakan model yang paling umum dipakai. Model ini menggunakan ekspresi polinomial yang sederhana dan bentuknya sesuai dengan berbagai jenis fenomena yang diamati: Satu pertumbuhan yang hampir linier sampai pada satu jarak tertentu, kemudian tercapai stabilitas. Garis singgung (tangen) pada titik √ asal (origin) berpotongan dengan sill pada satu titik dengan absis 2a 3. 3. Model eksponensial (Exponential model) “ ” |h| − γ(h) = C 1 − e a Range (a) praktis untuk model ini adalah 3a, karena nilai ini adalah jarak ketika nilai batas mencapai 95%. Garis singgung di titik asal memotong nilai sill pada satu titik dengan absis a. Dibandingkan dengan model spherical, model eksponensial pada awalnya meningkat lebih cepat tetapi hanya mengarah pada sill dan tidak betul-betul mencapai nilai tersebut. – Typeset by FoilTEX –

8



4. Fungsi pangkat (Power functions) γ(h) = C|h|α

dengan 0 < α ≤ 2

model linier γ(h) = |h| adalah satu kasus khusus. 5. Model Gaussian (Gaussian model) „ «! 2 |h|

γ(h) = C

1−e

− 2 a

Range praktis adalah 1.73a. Model ini menggambarkan fenomena yang sangat kontinyu. Hasil eksperimen memperlihatkan bahwa ketidakstabilan secara numeris seringkali muncul bilamana digunakan tanpa efek nugget. 6. Model kubus (Cubic model) – Typeset by FoilTEX –

9


(


2

3

5

C 7r − 8.75r + 3.5r − 0.75

7

r<1

γ(h) C

yang lain

r = h/a Model ini memiliki sifat parabolik di titik asal dan secara umum mirip dengan model gaussian, kecuali bahwa model ini tidak diferensiabel secara tak terbatas, 7. Model efek lubang 2D (2D hole effect model) (−|r|) γ(h) = C 1 − e J0 (2πr2) dengan r = h/2, r2 = h/λ, dan J0 adalah fungsi Bessel. mengatur magnitude efek lubang.

nilai λ

8. Model sinus Cardinal (Cardinal sine model) – Typeset by FoilTEX –

10



r γ(h) = C 1 − sin |r|

dengan r = h/a. Model ini termasuk model yang langka dengan sebuah efek lubang 3D, dan berhubungan dengan struktur yang kontinyu. 9. Model Prismato Model Prismato-magnetic 1 γ(h) = C 1 − (1+r2)1.5 dengan r = h/a Model Prismato-gravimetric 1 γ(h) = C 1 − (1+r2)0.5 dengan r = h/a – Typeset by FoilTEX –

11



Kedua model ini dipakai untuk memodelkan jenis data anomali gravimetris atau magnetik. → Variogram-variogram eksperimental. gd4113-4c.tex

– Typeset by FoilTEX –

12

Model-model Variogram

Recommend Documents