MODEL-MODEL LEBIH RUMIT

1

MAKALAH

MODEL-MODEL LEBIH RUMIT

DISUSUN OLEH : SRI SISKA WIRDANIYATI – 12611125

JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 2014

2

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Sejauh ini telah membahas secara rinci model linear ordo-pertama dengan satu peubah peramal. Selain dari itu juga sudah membahas tentang gagasan model yang memadai, uji ketidakpasan model, dan analisis matematis. Analisis matematis diucapkan dalam notasi matriks sehingga perluasan dari model-model ordo-pertama dengan satu peubah peramal ke model umum yang linear dalam parameter dan mengandung beberapa peubah peramal, dapat dilakukan secara efisien. Beberapa kriteria untuk pemeriksaan persamaan regresi berganda juga telah dibahas, dan rumus untuk selang kepercayaan bagi 𝛽 dan nilai ramalan bagi 𝑌 telah ditunjukkan. Dalam makalah ini akan membahas berbagai ilustrasi model-model yang rumit. Sebagian model itu mengharuskan transformasi terhadap satu atau lebih peubahnya dan adapula yang menggunakan peubah boneka (dummy variable). 1.2 Rumusan Masalah 1.

Apakah kegunaan polinom ortogonal?

2.

Bagaimanakah persamaan regresi polinom ortogonal?

1.3 Tujuan 1.

Menjelaskan model polinom ortogonal untuk berbagai ordo

2.

Memberikan informasi mengenai kegunaan polinom ortogonal

3.

Menjelaskan pentransformasian matriks X untuk memperoleh kolomkolom ortogonal

4.

Menjelaskan persamaan regresi polinom ortogonal

3

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Model Polinom Berbagai Ordo Model linear yang paling umum dalam peubah-peubah 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 dapat dituliskan dalam bentuk: 𝑌 = 𝛽0 𝑍0 + 𝛽1 𝑍1 + 𝛽2 𝑍2 + ⋯ + 𝛽𝑃 𝑍𝑃 + 𝜀

(2.1.1)

𝑍0 = 1 merupakan dummy variable yang selalu bernilai satu dan biasanya tidak dituliskan. Model-model polinom dapat terdiri dari ordo yang lebih dari dua. Berikut ini model polinom untuk berbagai ordo: 1. Model ordo-pertama Jika p = k dan 𝑍𝑗 = 𝑋𝐽 , diperoleh model ordo-pertama dengan k peubah peramal : 𝑌 = 𝛽0 𝑋0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑘 + 𝜀

(2.1.2)

2. Model ordo-kedua Jika diketahui p = 5, 𝑍1 = 𝑋1 , 𝑍2 = 𝑋2 , 𝑍3 = 𝑋12 , 𝑍4 = 𝑋22 , 𝑍5 = 𝑋1 𝑋2 , 𝛽3 = 𝛽11 , 𝛽4 = 𝛽22 , dan 𝛽5 = 𝛽12 diperoleh model ordo kedua dengan peubah peramal: 𝑌 = 𝛽0 𝑋0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽11 𝑋1 + 𝛽22 𝑋2 + 𝛽12 𝑋𝑘 + 𝜀

(2.1.3)

3. Model ordo-ketiga Jika p = 9 dan identifikasi yang tepat dilakukan terhadap dan diperoleh model ordo-ordo ketiga dengan peubah peramal: 𝑌 = 𝛽0 𝑋0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽11 𝑋12 + 𝛽12 𝑋1 𝑋2 + 𝛽22 𝑋22 + 𝛽111 𝑋 3 + 𝛽112 𝑋12 𝑋2 + 𝛽122 𝑋1 𝑋22 + 𝛽222 𝑋23 + 𝜀

(2.1.4)

Jika model ordo-kedua tidak memadai, model ordo-ketiga dicoba. Namun sebaiknya membiasakan menambahkan suku-suku berordo lebih tinggi. 2.2 Model yang Diperoleh Melalui Transformasi Tentang 𝑿𝒋 Saja

4

Model polinom yang terdapat pasal 2.1 melibatkan pangkat dan hasil kali pangkat pada peubah peramal 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 berikut akan dikemukakan beberapa jenis transformasi lain yang berguna di dalam pembentukan model. 1.

Model yang Diperoleh Melalui Transformasi Selain Pangkat Bulat a.

Transformasi resiprokal, dengan mengambi p = 2, 𝑍1 = 1/𝑋1 , 𝑍2 = 1/𝑋2 , maka diperoleh model: Y  0  1 (1 / X 1 )   2 (1 / X 2 )  

b.

(2.2.1)

Transformasi logaritma, dengan mengambil p = 2, 𝑍1 = 𝑙𝑛 𝑋1 , 𝑍2 = 𝑙𝑛 𝑋2 , maka diperoleh model:

c.

Y  0  1 ln X 1   2 ln X 2   Transformasi akar

(2.2.2)

Misalnya Y   0  1 X 11/ 2   2 X 21/ 2.  

(2.2.3)

Tujuan transformasi semacam ini adalah agar dapat menggunakan model regresi yang bentuknya sederhana dalam peubah yang ditransformasikan, bukan model yang jauh lebih rumit dalam peubah asalnya. 2.

Model Nonlinear yang Secara Intrinsik Linear Jika suatu model adalah linear intrinsik, maka model ini dapat dinyatakan melalui transformasi yang tepat terhadap peubahnya ke dalam model linear baku. a.

Model Eksponensial 𝑌 = 𝑒 𝛽0 +𝛽1 𝑋1 +𝛽2 𝑋2 . 𝜀

dengan

melogaritmakan

kedua

ruas

persamaan, maka diperoleh: ln Y   0  1 X 1   2 X 2  ln 

b.

Model Resiprokal 𝑌=𝛽 1 𝑌

c.

(2.2.4)

1 0 +𝛽 1 𝑋1 +𝛽2 𝑋2 +𝜀

dengan membalik persamaan, maka diperoleh:

= 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝜀

Model Eksponensial yang lebih rumit

(2.2.5)

5

1

𝑌 = 1+𝑒 𝛽 0 +𝛽 1 𝑋 1 +𝛽 2 𝑋 2 +𝜀 dengan membalik dan mengurangi 1 dan kemudian melogaritmakan (dengan basis e) kedua ruas itu, maka diperoleh: 1  ln   1   0  1 X 1   2 X 2   Y 

(2.2.6)

Tujuan transformasi teriterasi terhadap peubah tidak bebas untuk mengubah model nonlinear yang rumit menjadi model linear. Harus diingat bahwa analisis kuadrat terkecil diterapkan pada model yang telah ditransformasikan, sehingga keofisien regresinya merupakan “nilai kuadrat terkecil” hanya dalam kaitan dengan model yang telah ditransformasi. 2.3 Famili Transformasi 1.

Transformasi pada Peubah Respons Suatu famili transformasi pada peubah respon Y (positif) diberikan oleh transformasi kuasa (power transformation) 𝑊=

𝑌 𝜆 − 1/𝜆, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆 ≠ 0 ln 𝑌, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆 = 0

(2.3.1)

Famili transformasi yang kontinu bergantung pada satu parameter, untuk menduga parameter ini maupun vektor paramater, model yang digunakan adalah sebagai berikut: (2.3.2)

𝑊 = 𝑋𝛽 + 𝜀

Ada 2 cara menduga 𝜆, salah satunya dengan metode kemungkinan maksimum dengan asumsi 𝜀~𝑁(0, 𝐼𝜎 2 ). 2.

Metode Kemungkinan Maksimum untuk Penduga 𝜆 1.

Pilih dari kisaran yang ditetapkan, biasanya berkisar (-2,2) atau (1,1) dan kemudian memperlebar kisaran bila diperlukan.

2.

Untuk 𝜆 yang terpilih, hitunglah dengan rumus sebagai berikut: 1

𝐿𝑚𝑎𝑘𝑠 𝜆 = − 2 𝑛 ln 𝜎 2 𝜆 + ln 𝐽(𝜆, 𝑌) 3.

(2.3.4)

Untuk menggunakan 𝜆 dalam perhitungan dengan menggunakan salah satu nilai dalam barisan yang telah ditentukan pada metode I

6

yansg paling dekat dengan kemungkinan maksimum dengan memeriksa nilai yang ada dalam kisaran tersebut. 3.

Selang Kepercayaan Hampiran bagi 𝜆 Suatu 𝜆 selang kepercayaan hampiran bagi 𝜆 terdiri atas nilai-nilai yang memenuhi pertidaksamaan: 1

𝐿𝑚𝑎𝑘𝑠 𝜆 − 𝐿𝑚𝑎 𝑘𝑠 𝜆 ≤ 2 ≤ 𝜒12 (1 − 𝛼) Dimana

1 2

(2.3.5)

≤ 𝜒12 (1 − 𝛼) adalah titik persentase sebaran khi-kuadrat

dengan satu derajat bebas yang luas wilayah di sebelah kanan sebesar 𝛼. 4.

Pentingnya Pemeriksaan Sisaan Transformasi terhadap peubah respons mempengaruhi galat. Asumsi bahwa setelah transformasi, galat pada respons yang telah ditransformasi mengikuti sebaran 𝑁(0, 𝐼𝜎 2 ), maka sangat penting memeriksa sisaan model yang digunakan terkahir untuk melihat apakah ada gejala asumsi-asumsi yang dilanggar.

2.4 Penggunaan Peubah “Boneka” dalam Regresi Berganda Peubah boneka (dummy variable) adalah variabel yang digunakan untuk mengkuantitatifkan variabel yang bersifat kualitatif yang bersifat kategonal yang diduga mempunyai pengaruh terhadap variabel yang bersifat kontinu. Untuk ilustrasi khusus dengan mempunyai dua gagasan data peubah repsons Y dan satu perubah peramal X dengan menggunakan model yang sama 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋 + 𝛽11 𝑋 2 + 𝜀. Dengan menentukan koefisien-koefisien salah satunya dengan cara menerapkan pada kedua gugus data, seperti model berikut: 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋 + 𝛽11 𝑋 2 + 𝛼0 𝑍 + 𝛼1 𝑋𝑍 + 𝛼11 𝑋 2 𝑍 + 𝜀

(2.4.1)

Dimana Z adalah peubah boneka dengan taraf 0 untuk gugus data yang satu dan 1 untuk gugus data yang lain. Uji kuadrat ekstra dengan memeriksa berbagai kemungkinan dengan cara sebagai berikut:

7

1.

𝐻0 : 𝛼0 = 𝛼1 = 𝛼11 = 0 lawan 𝐻1 , setidaknya ada satu 𝛼 tidak sama dengan nol. Jika 𝐻0 ditolak maka model kedua gugus data tidak sama, jika ditolak anggap model untuk keduanya sama.

2.

Jika 𝐻0 ditolak (1) dengan menguji 𝐻0 : 𝛼0 = 𝛼1 = 𝛼11 = 0 lawan 𝐻1 , setidaknya ada satu 𝛼 tidak sama dengan nol. Disimpulkan bahwa kedua gugus data hanya menunjukkan perbedaan taraf respons, namun mempunyai kemiringan yang sama.

3.

Jika 𝐻0 ditolak (2) dengan menguji 𝐻0 : 𝛼11 = 0 lawan 𝐻1 : 𝛼11 ≠ 0 dengan mengindikasikan tidak ditolaknya 𝐻0 pada suku-suku ordo kenol dan pertama.

2.5 Pemusatan dan Penyekalaan: Regresi dalam Bentuk Korelasi Bila dalam suatu model regresi hanya ada satu atau dua peubah peramal,

perhitungan

langsung

𝑏 = (𝑋 ′ 𝑋)−1 𝑋′𝑌,

biasanya

tidak

menimbulkan kesulitan asalkan angka-angka di belakang titik desimalnya tidak banyak yang dipotong selama proses perhitungannya. Ada dua penyebab kesalahan pembulatan sebagai berikut: 1.

Bilangan-bilangan yang terkait dalam proses perhitungan regresi sangat besar bedanya.

2.

Bila determinan suatu matriks kecil dibandingkan dengan bilanganbilangan lain dalam perhitungan itu, dikatakan berkondisi buruk (iil or badly conditioned). Bila diantara kolom-kolom matriks X terdapat ketidakbebasan, artinya

bila satu (atau lebih) kolom dapat diucapkan sebagai kombinasi linear kolomkolom lainnya, maka det 𝑋 ′ 𝑋 = 0. Bila kebergantungan atau ketidakbebasan itu tidak berlaku sepenuhnya, pengkondisian buruk terjadi pada 𝑋 ′ 𝑋 dan kedua pilihan di atas harus tetap diambil atau diterapkan teknik regresi gulud. Maka untuk memperbaiki bentuk perhitungan tersebut harus dilakukan suatu langkah-langkah yang bisa diambil. Langkah-langkah yang dimaksud adalah pemusatan data dan penggunaan matrisk korelasi alih-alih matriks 𝑋 ′ 𝑋.

8

1.

Pemusatan Misalkan mempunyai matriks data berbentuk di bawah ini, berikut dengan nilai tengah kolomnya: 𝑍0

𝑍1

𝑍2

…

𝑍𝑃

𝑌

1

𝑍11

𝑍21

…

𝑍𝑃1

𝑌1

1

𝑍12

𝑍22

…

𝑍𝑃1

𝑌2

…

…

…

…

…

…

1

𝑍1𝑛

𝑍2𝑛

…

𝑍𝑃𝑛

𝑌𝑛

Jumlah Kolom

𝑍1𝑖

Nilai Tengah

𝑍1

𝑍2𝑖

… …

𝑍2

𝑍𝑃𝑖

𝑌𝑖

𝑍𝑃

𝑌

Sehingga model diperoleh sebagai berikut: (2.5.1)

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑍1 + 𝛽2 𝑍2 + ⋯ + 𝛽𝑃 𝑍𝑃 + 𝜀 Selanjutnya model ini dituliskan dalam bentuk lain: 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑍1 + 𝛽2 𝑍2 + ⋯ + 𝛽𝑃 𝑍𝑃 + 𝜀 + 𝛽1 𝑍1 − 𝑍1 +

(2.5.2)

𝛽2 𝑍2 − 𝑍2 + ⋯ + 𝛽𝑃 𝑍𝑃 − 𝑍𝑃 + 𝜀

Dimana 𝑍1 , 𝑍2 , … , 𝑍𝑃 adalah nilai tengah yang dihitung dari data. Karena ini selalu benar dan karena

𝑍𝑗𝑖 − 𝑍𝑗 𝑌𝑖 =

𝑍𝑗𝑖 − 𝑍𝑗 𝑌𝑖 − 𝑌

suku ekstranya menjadi 𝑌𝑧𝑗 = 0, dapat menduga model: (2.5.3)

𝑌 − 𝑌 = 𝛽1 𝑍1 − 𝑍1 + 𝛽2 𝑍2 − 𝑍2 + ⋯ + 𝛽𝑃 𝑍𝑃 − 𝑍𝑃 + 𝜀′ 2.

Matriks Korelasi Korelasi 𝑠𝑗𝑦 =

𝑛 𝑗 =1

antara

𝑍𝑗𝑖 − 𝑍𝑗

𝑍1

dan

𝑍2

adalah 𝑟𝑗𝑦 =

𝑆12

1

dengan

𝑆𝑗𝑗 𝑆𝑦𝑦 2

𝑌𝑖 − 𝑌 sebagai korelasi 𝑍𝑗 dengan 𝑌, maka

persamaan baru model ini menjadi: 𝑟1𝑦 1 𝑟12 𝑎1 = 𝑟2𝑦 𝑟21 1 𝑎2

(2.5.4)

2 Dimana 𝑎1 = (𝑟1𝑦 -𝑟12 𝑟2𝑦) /𝐷, 𝑎2 = (𝑟2𝑦 -𝑟12 𝑟1𝑦) /𝐷, dan 𝐷 = 1 − 𝑟12 .

2.6 Polinom Ortogonal

9

Polinom ortogonal digunakan untuk menduga model polinom ordo berapa pun di dalam satu peubah. Gagasan yang mendasarinya adalah sebagai berikut. Misalkan mempunyai n

amatan (𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 ), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, dengan X

sebagai peubah peramal dan Y sebagai peubah respons. Misalkan pula kita menduga model 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋 + 𝛽2 𝑋 2 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑋 𝑃 + 𝜀

(2.6.1)

Besar kemungkinan kolom-kolom matriks-X yang dihasilkan tidak ortogonal. Jika kemudian menambahkan suku 𝛽𝑝+1 𝑋 𝑃+1 ke dalam model semula, nilai-nilai dugaan bagi koefisien regresi lainnya juga akan berubah. Akan tetapi jika membentuk polinom-polinom yang berbentuk 𝜓0 𝑋𝑖 = 1

polinom ordo-kenol

𝜓1 𝑋𝑖 = 𝑃1 𝑋𝑖 + 𝑄1

polinom ordo-pertama

𝜓2 𝑋𝑖 = 𝑃2 𝑋𝑖2 + 𝑄2 𝑋𝑖 + 𝑅2

polinom ordo-kedua

. . . 𝜓𝑟 𝑋𝑖 = 𝑃𝑟 𝑋𝑖𝑟 + 𝑄𝑟 𝑋𝑖𝑟−1 + ⋯ + 𝑇𝑟

polinom ordo ke-r

Dengan sifat bahwa polinom-polinom itu ortogonal, artinya 𝑛 𝑖=1 𝜓𝑗

(2.6.2)

𝑋𝑖 𝜓𝑙 𝑋𝑖 = 0 𝑗 ≠ 𝑙 ,

Untuk semua 𝑗, 𝑙 < 𝑛 − 1, maka dapat menuliskan model semula menjadi 𝑌 = 𝛼0 𝜓0 𝑋 + 𝛼1 𝜓1 𝑋 + ⋯ + 𝛼𝑝 𝜓𝑝 𝑋 + 𝜀.

(2.6.3)

Dengan demikian matriks-X nya adalah 1 𝑋= 1 ⋮ 1

𝜓2 𝑋1

𝜓1 𝑋1 𝜓1 𝑋2

𝜓2 𝑋2

𝜓1 𝑋𝑛

𝜓2 𝑋𝑛

… 𝜓𝑝 𝑋1 … 𝜓𝑝 𝑋2 … … 𝜓𝑝 𝑋𝑛

(2.6.4)

Sehingga 𝐴00

0 𝐴11

𝑋′ 𝑋 =

(2.6.5)

𝐴22 ⋱ 0

𝐴𝑝𝑝

10

Dimana 𝐴𝑗𝑗 =

𝑛 𝑗 =1

𝜓𝑗 𝑋𝑖

2

karena semua suku di luar diagonal

menurut persamaan (2.6.2) karena matriks kebalikan (𝑋 ′ 𝑋)−1 juga diagonal dan diperoleh dengan cara membalik setiap unsur diagonal matriks (𝑋 ′ 𝑋), maka melalu metode kuadrat terkecil diperoleh nilai dugaan bagi 𝛼𝑗 , yaitu 𝛼𝑗 = =

𝑛 𝑖=1 𝑌 𝑖 𝜓 𝑗 𝑋 𝑖 2 𝑛 𝑖=1 𝜓 𝑗 𝑋 𝑖

, 𝑗 = 0,1, 2, … , 𝑝

𝐴𝑗𝑌

(2.6.6)

𝐴𝑗𝑗

Dengan notasi yang maksudnya jelas. Karena 𝑉 𝑏 = (𝑋 ′ 𝑋)−1 𝜎 2 untuk model regresi secara umum maka jelaslah bahwa ragam bagi 𝑎𝑗 adalah 𝑉 𝑎𝑗 =

𝜎2

(2.6.7)

𝐴𝑗𝑗

Dan seperti biasanya 𝜎 2 diduga dari tabel analisis ragamnya. Jumlah kuadrat untuk 𝑎𝑗 dihitung menurut rumus 𝐽𝐾 𝑎𝑗 =

𝐴2𝑗𝑟

(2.6.8)

𝐴𝑗𝑗

Sehingga disusun tabel analisis ragam sebagai berikut: Tabel 2.1 Analisis Ragam Sumber

Db

JK

KT

𝑎0 (nilai tengah)

1

𝐽𝐾𝑎0

-

𝑎1

1

𝐽𝐾𝑎1

𝐽𝐾𝑎1

𝑎2

1

𝐽𝐾𝑎2

𝐽𝐾𝑎2

⋮

⋮

⋮

⋮

𝑎𝑝

1

𝐽𝐾𝑎𝑝

𝐽𝐾𝑎𝑝

Sisa

n-p-1

Melalui pengurangan

𝑠2

Total

N

𝑛 2 𝑖=1 𝑌𝑗

Sumber: Analisis Regresi Terapan Norman Draper Harry Smith

11

2.7 Pentransformasian

Matriks

X

untuk

Memperoleh

Kolom-kolom

Ortogonal Matriks X dalam masalah regresi haruslah memiliki kolom-kolom yang tidak saling berkombinasi, begitu juga dengan barisnya. Banyaknya baris yang tidak saling tergantung sama banyaknya dengan parameter yang harus diduga. Untuk mendeteksi keterkaitan pada masalah regresi sering kali sulit. Jika terdapat ketergantungan maka matriks X’X-nya akan singular sehingga tidak dapat balik. Bila kolom-kolom matriks X hampir saling tergantung, matriks X’X-nya akan hampir singular sehingga kesalahan dalam pembalikan dan pembulatannya akan menjadi sulit juga. Salah satu prosedur yang dapat diprogramkan dan digunakan sebagai pengecakan rutin terhadap matriks X (apakah untuk semua kasus atau kasus yang dicurigai saja) adalah berupa pentransformasian berturut-turut kolomkolomnya sehingga setiap kolom yang baru ortogonal terhadap semua kolom sebelumnya yang telah ditransformasi, sehingga dapat diketahui bahwa: 1.

Kalau ada ketergantungan kolom, maka nilai kolom tersebut adalah 0.

2.

Kalau kolom hampir tergantung, maka akan diperoleh kolom yang unsurnya sangat kecil atau bahkan ada beberapa 0.

Transformasi kolom berlangsung sebagai berikut: 𝑍𝑖𝑇 = 𝑍𝑖 − 𝑍 𝑍 ′ 𝑍

−1

− 𝑍′𝑍𝑖

(2.7.1)

Dimana: 𝑍

= matriks vektor kolom yang telah ditransformasikan

𝑍𝑖

= vektor kolom yang akan ditransformasikan berikutnya

𝑍𝑖𝑇 = vektor yang telah ditransformasi yang ortogonal terhadap vektorvektor yang sudah ada dalam 𝑍

12

Untuk mengilustrasikan proses ini menggunakan kasus khusus yang akan membawa memperoleh polinom ortogonal untuk 𝑛 = 5. Misalkan nilainilai 𝑌 dicatat pada 𝑋 =1,2,3, dan 5 dan model yang dipostulatkan adalah 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋 + 𝛽2 𝑋 2 + 𝛽3 𝑋 3 + 𝜀

(2.7.2)

Matriks 𝑋 asalnya adalah 1 1 𝑋= 1 1 1

1 1 2 4 3 9 4 16 5 25

1 8 27 64 125

(2.7.3)

Kemudian pada tahap pertama ambil satu vektor kolom untuk memprosesnya, sehingga

1.

2.

3.

1 1 𝑍1𝑇 = 1 = 𝑍 1 1 1 2 𝑍2 = 3 4 5

(2.7.4)

(2.7.5)

Maka menurut persamaan (2.7.1), maka 𝑍2𝑇

3 1 −2 2 3 −1 3 − 3 = 0 4 3 1 5 3 2

Sehingga diperoleh 𝑍 = 𝑍1𝑇 , 𝑍2𝑇

1 1 2 1 = 3 − 1 4 1 5 1

(5)−1 −(15)

=

(2.7.6)

1 −2 1 −1 0 = 1 1 1 1 2

(2.7.7)

13

Cara perhitungan untuk kolom ke-3 dan 4 juga sama, hingga diperoleh hasil akhir 1 −2 1 −1 1 0 1 1 1 2

2 −1 −2 −1 2

−1.2 2.4 0 −2.4 1.2

(2.7.8)

Dari proses tersebut dapat diketahui bahwa: 1.

Tiga kolom pertama adalah 𝜓0 , 𝜓1 , 𝜓2 yakni polinom ortogonal ordo kenol, pertama, dan kedua untuk 𝑛 = 5. Kolom keempat adalah 1.2 kali 𝜓3 , polinom ortogonal ordo ketiga untuk 𝑛 = 5.

2.

Proses ini berlaku umum. Ketergantungan kolom juga dapat dideteksi dengan memperhatikan determinasi matriks 𝑋′𝑋-nya (matriks korelasinya) adalah 0.

3.

Kelebihan prosedur ini adalah bisa menunjukkan pada kolom-kolom yang bersifat tergantung.

2.8 Analisis Regresi untuk Data Ringkasan Misalkan

mempunyai

gugus

𝑘

amatan

berulang

𝑌𝑖𝑢 , 𝑢 = 1,2, … , 𝑛𝑗 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑘, namun karena datanya telah diringkaskan, amatan aslinya tidak lagi diketahui melainkan 𝑘 rata-rata 𝑌𝑖 dan 𝑘 ragam contoh (yang merupakan dugaan bagi 𝜎 2 adalah 𝑠𝑖2 =

𝑛𝑖 𝑢

𝑌𝑖𝑢 − 𝑌𝑖 2 /(𝑛𝑖 − 1)

(2.8.1)

Untuk tujuan memperoleh koefisien regresi, maka lanjutkan seolah-olah 𝑌𝑖𝑢 = 𝑌𝑖 . Misalkan jika 𝑌𝑖 adalah rataan antara seluruhnya, maka sumbangan pada 𝑌𝑖

2

jumlah kuadrat

terkoreksi (yang

salah)

= 𝑛𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌 2 , padahal sesungguhnya adalah Akan

𝑛𝑖 𝑢 =1{

tetapi

dapat

ditunjukkan

𝑌𝑖𝑢 − 𝑌𝑖 + 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌𝑖 } =

𝑛𝑖 𝑢 =1

𝑌𝑖𝑢 − 𝑌𝑖

𝑛𝑖 𝑢 =1

menjadi 2

𝑛𝑖 𝑢 =1

menjadi

𝑌𝑖𝑢 −

𝑌𝑖𝑢 − 𝑌𝑖 2 . 𝑛𝑖 𝑢 =1

𝑌𝑖𝑢 − 𝑌𝑖

2

=

= 𝑛𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌 2 .

Karena suku hasil kali saling menghilangkan dalam proses penjumlahan itu. Untuk memperoleh sumbangan yang benar maka harus menambahkan 𝑛𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌

2

besaran

𝑛𝑖 𝑢 =1

𝑌𝑖𝑢 − 𝑌𝑖

2

= (𝑛𝑖 − 1)/ 𝑠𝑖2 .

14

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Soal Studi Kasus Diketahui data tahunan suatu perusahaan sebagai berikut: Tabel 3.1 Data Tahunan x (tahun)

1980

1981

1982

1983

1984

1985

y (hasil)

10,0

11,2

13,5

15,4

16,3

16,8

Sumber: Analisis Regresi RK Sembiring Dengan menggunakan polinom ortogonal, tentukan persamaan polinom ordo-ketiga dan tariklah kesimpulan yang memadai atau tidaknya model tersebut? 3.2 Penyelesaian Studi Kasus Tabel 3.2 Koefisien Polinom Ortogonal n=5

𝑛

{𝜓1 (𝑋𝑗 )2

n=6

𝑋𝑗

𝜓1

𝜓2

𝜓3

𝜓4

𝜓1

𝜓2

𝜓3

𝜓4

𝜓5

𝜓1

𝜓2

𝜓3

𝜓4

𝜓5

1

-2

2

-1

1

-5

5

-5

1

-1

-3

5

-1

3

-1

1

2

-1

-1

2

-4

-3

-1

7

-3

5

-2

0

1

-7

4

-6

3

0

-2

0

6

-1

-4

4

2

-10

-1

-3

1

1

-5

15

4

1

-1

-2

-4

1

-4

-4

2

10

0

-4

0

6

0

-20

5

2

2

1

1

3

-1

-7

-3

-5

1

-3

-1

1

5

15

5

5

5

1

1

2

0

-1

-7

-4

-6

3

5

1

3

1

1

6

𝑗 =1

n=7

7

𝜆

𝜓6

10

14

10

70

70

84

180

28

252

28

84

6

154

84

924

1

1

5 6

36 12

2

3 2

5 3

7 12

21 10

1

1

1 6

7 12

7 20

77 60

Sumber: Analisis regresi terapan Norman Draper Harry Smith Pada tabel 3.2 untuk 𝑛 = 6, dapat dibaca nilai polinom 𝜓1 , 𝜓2 , 𝜓3 , 𝜓4 , dan

𝜓5

pada

masing-masing

ditransformasikan), nilai

𝑥1 , … , 𝑥6

𝑛 2 𝑗 =1 𝜓𝑖 (𝑥𝑗 ),

(setelah

peubah

bebas

𝑥

dan nilai koefisien 𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆3 , 𝜆4 , dan

𝜆5 . Berikut diberikan kelima polinom ortogonal bila 𝑥 menyatakan ratarata 𝑥 yang semula dan 𝑑 jarak antara pengamatan 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

15

𝜓0 𝑥𝑖 = 1 𝑥 𝑖 −𝑥

𝜓1 𝑥𝑖 = 𝜆1

𝑑 𝑥 𝑖 −𝑥 2

𝜓2 𝑥𝑖 = 𝜆2

𝑑 𝑥 𝑖 −𝑥 3

𝜓3 𝑥𝑖 = 𝜆3

𝑑 𝑥 𝑖 −𝑥 4

𝜓4 𝑥𝑖 = 𝜆4

𝑑

− − −

𝑛 2 −1 12 𝑥 𝑖 −𝑥

3𝑛 2 −7

𝑑

20

𝑥 𝑖 −𝑥 2

3𝑛 2 −13

𝑑

14

+

3(𝑛 2 −1)(𝑛 2 −9) 560

Misalkan dicobakan model: 𝑦𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜓1 𝑥𝑖 + 𝑏2 𝜓2 𝑥𝑖 + 𝑏3 𝜓2 𝑥𝑖 𝑛 2 𝑗 =1 𝜓𝑗 (𝑥𝑖 )

Dari tabel 3.1 untuk untuk 𝑛 = 6, dapat dibaca

dan 𝜆𝑗

untuk 𝑗 = 1,2,3,4,5. Jadi (lihat persamaan (2.6.5)) 6 𝑋′ 𝑋 = 0 0 0 𝑋′ 𝑌 =

0 0 0 70 0 0 0 84 0 0 0 180 𝜓0 (𝑥𝑖 )𝑦𝑖 83,2 𝜓1 (𝑥𝑖 )𝑦𝑖 51,2 = −9,1 𝜓2 (𝑥𝑖 )𝑦𝑖 −9,3 𝜓3 (𝑥𝑖 )𝑦𝑖

Sehingga diperoleh 1 6

𝑏 = 𝑋′ 𝑋

−1

𝑋′ 𝑌 =

0

0 1 70

0

0

0

0

0 0 0

0

1

0

84

0

1

83,2 51,2 −9,1 −9,3

=

13,87 0,73 −0,11 −0,05

180

Jadi diperoleh persamaan 𝑦𝑖 = 13,87 + 0,73𝜓1 𝑥𝑖 − 0,11𝜓2 𝑥𝑖 − 0,05𝜓2 𝑥𝑖 Tabel 3.3 Tabel Analisis Variansi Sumber Regresi Sisa Total

JK 38,915 0,158 39,073

dk 3 2 5

KT 12,972 0,079

F 164,35

𝜓 0,06

16

Tabel analisis variansi diberikan di tabel 3.3 kecocokan model polinom derajat 3 terlihat sangat baik dengan data, tetapi dari segi kesederhanaan model barangkali lebih baik menggunakan model polinom berderajat 2, atau mungkin sebaiknya derajat satu saja. Hal ini mengingat ukurannya hanya 𝑛 = 6. Mengambil model derajat 3 berarti memberi kepercayaan yang nisbi tinggi pada data yang dipinggir.

17

BAB IV KESIMPULAN

Polinom ortogonal digunakan dalam menghampiri suatu kurva, artinya suatu kurva selalu dapat dihampiri oleh suatu deret polinom. Melalui polinom ordokedua dapat dibuat suatu garis lurus, melalui polinom ordo-ketiga dapat dibuat suatu parabol, dan seterusnya atau melalui n titik dapat dibuat suatu polinom derajat n-1. Persamaan regresi polinom ortogonal menginginkan derajat serendah mungkin tapi dengan kecocokan yang cukup tinggi. Kesederhanaan model akan selalu merupakan pegangan umum dalam pembentukan suatu model, maka makin sederhana suatu model makin baik model tersebut. Model polinom ortogonal dituliskan 𝑌 = 𝛼0 𝜓0 𝑋 + 𝛼1 𝜓1 𝑋 + ⋯ + 𝛼𝑝 𝜓𝑝 𝑋 + 𝜀.

18

DAFTAR PUSTAKA

Drapher, Norman and Smith, Harry. 1992. Analisis Regresi Terapan Edisi Kedua. PT Gramedia Pustaka Utama: Jakarta Sembiring, R. K. 1995. Analisis Regresi Edisi Kedua. Penerbit ITB: Bandung