MODAL - ANALÍZIS ÉAÜLT Dr. Pápai Ferenc KÉRDÉSEK FELADATOK

MODAL - ANALÍZIS ÉAÜLT Dr. Pápai Ferenc 2007-04-04

KÉRDÉSEK FELADATOK

1. Esettanulmány: Elemezze a Tacoma híd leszakadásának (1940) körülményeit és okait szerkezetdiagnosztikai szempontból. 2. Írja fel a véges szabadságfokú állandó együtthatós lineáris lengőrendszerek mozgásegyenletét, és magyarázza meg a mennyiségek jelentését. Megoldás:

Mx  (C  G)x  (K  R)x  f ha n a rendszer szabadságfokainak a száma, a lengőrendszer modelljének általánosított elmozdulás koordinátáiból alkotott n elemű oszlopvektor, mint az idő függvénye. x  x(t ) . Ponttal az idő szerinti deriválást jelöljük. M, C, G, K, R n-edrendű kvadratikus állandó elemű mátrixok. Tömegmátrix. Szimmetrikus, pozitív definit. A modell tehetetlenségi (tömeg-) hatásait foglalja M magába. Csillapítási mátrix. Szimmetrikus, a rendszer sebességgel arányos (viszkózus) csillapító C és/vagy szító hatásait képviseli. Giroszkópikus mátrix. Ferdén szimmetrikus, a sebességtől függő, de állandóan zérus G teljesítményű, általában forgó tömegek okozta – giroszkópikus - hatásokat írja le. Merevségi mátrix. Szimmetrikus, pozitív szemidefinit, a helyzettől függő konzervatív K visszatérítő hatások kifejezője. R Cirkulatórikus mátrix. Ferdén szimmetrikus, a helyzettől függő nemkonzervatív erőhatásokat írja le. (A követő erőhatások mátrixának szimmetrikus része K -hoz adható.) f  f (t ) A rendszer mozgása által nem befolyásolt gerjesztő hatások n elemű oszlopvektora.

ahol:

x

3. Írja fel a rendszermátrixot általános alakban. Megoldás:

H( )  2 M   (C  G)  (K  R) 4. Írja fel a karakterisztikus polinomot általános alakban. Megoldás:

det(H( ))  det(2 M   (C  G)  (K  R))  0

5. Mit értünk sajátértékek alatt? Megoldás: det(H( ))  det(2 M   (C  G)  (K  R))  0 A

karakterisztikus polinom gyökeit. "n" szabadságfokú lengőrendszer rendszermátrixa "n"-edrendű, karakterisztikus polinomjának fokszáma "2n", ezért a sajátértékek száma "2n". Valós elemű M, C, G, K, R mátrixok esetén a sajátértékek vagy valósak (túlcsillapított eset), vagy konjugált komplex párok. D:\papai\modal\jegyzetek\tantárgy_03_kerdesek-feladatok.doc

2 6. Mit értünk sajátvektorok alatt? 7. Írja fel a frekvencia-átviteli mátrixot általános alakban a sajátvektorokból képezett diád-összeg formájában.. Megoldás:

W( )  H 1 ( )  X(E  Λ) 1 YT ahol:

~ ~ ~ Λ  1 , 2 ,..., n , 1 , 2 ,..., n , a sajátértékek diagonál mátrixa, X  [x1 , x 2 ..., x n , ~ x1 , ~ x 2 ,..., ~ x n ] , jobboldali sajátvektorok mátrixa, Y  [y , y ,...y , ~ y ,~ y ,..., ~ y ] , a baloldali sajátvektorok mátrixa. 1

2

n

1

2

n

8. A modális paraméterek felhasználásával írja fel az " l "-edik általánosított koordináta mentén ható gerjesztés és a " k "-adik elmozdulás koordináta válasza közötti frekvencia-átviteli függvényt modal paraméteres (parciális tört) alakban. Megoldás: n  Q  jZ ikl Qikl  jZ ikl  xk ( j )    ikl  ~  f l ( j ) j  i  i 1  j  i

ahol:

j



f l ( j ) xk ( j ) n

i

Qikl  jZ ikl

képzetes egység körfrekvencia (változó) gerjesztő erő spektruma válaszjel spektruma módusok száma i-edik módushoz tartozó sajátérték i-edik módus reziduma.

9. Mi a jelentése a i sajátérték valós és képzetes részének? 10. A i sajátértékből hogyan képezzük a LEHR féle csillapítás értékét? (mértékegységek) Megoldás: Ha i   i  j i , akkor a csillapítatlan rendszer i-edik saját-körfrekvenciája: rad  i  i   i2   i2 [ ] sec  i [1] . A LEHR féle csillapítás:  i  i 11. Rajzolja fel jelleghelyesen egy egy-szabadságfokú lineáris lengőrendszer frekvencia-átviteli függvényének amplitúdó-frekvencia, fázis frekvencia, és Nyquist diagramját. 12. Hogyan végezzük az impulzusgerjesztéses vizsgálatot? 13. Rajzolja fel a komplex diagnosztikai rendszer vázlatát. 14. Mit nevezünk módusok interferenciájának? D:\papai\modal\jegyzetek\tantárgy_03_kerdesek-feladatok.doc

3 15. Mikor szükséges többpontos gerjesztést alkalmazni? 16. Statikus merevség értelmezése skaláris esetben. 17. Statikus merevségi hiszterézis-görbe mechanikai jelentése. 18. Statikus merevség értelmezése skaláris vektoriálisan. 19. Statikus merevségi főirányok (2D, 3D) geometriai interpretációja. 20. Frekvencia-átviteli függvény kísérleti meghatározásakor az 1 körfrekvencián három egymás utáni mérés során az alábbi értékek adódtak: m m m W1 (1 )  3  4 j [ ] W2 (1 )  4  3 j [ ] W3 (1 )  3  4 j [ ] N N N Határozza meg a mérés megbízhatóságát (jóságát) kifejező koherencia értékét. Megoldás: A koherencia értéke: a három vektor eredőjének abszolút értéke osztva az abszolút értékek összegével. 3

COH (1 ) 

W ( ) i 1 3

i

1

 W ( ) i 1

i



3  4  32  4  3  42 555



10 2  112 100  121 221 14.866     0.991 15 15 15 15

1

21 Határozza meg az egy-szabadságfokú lengőrendszer csillapított saját-körfrekvenciáit, ha N N m  2 kg, c  4 , k  3202 m/ s m Megoldás: A rendszer pólusai, vagyis a 22  4  3202  0 karakterisztikus egyenlet gyökei: 2

2

2

c k 4 3202 3202  4   c   4  1, 2        1  j          2m m 22 2 2  2m  22 22 rad  1  j  1601  1  1  j 40 s

A csillapított saját-körfrekvencia a sajátérték képzetes része, tehát  1, 2  Im(1, 2 )  40

rad s

22. Határozza meg az egy-szabadságfokú lengőrendszer csillapítatlan saját-körfrekvenciáit, ha N N m  2 kg, c  4 , k  3200 m/ s m Megoldás: A rendszer karakterisztikus egyenlete 2 m  c  k  0 . A csillapítatlan saját-körfrekvenciákat a c  0 helyettesítéssel és a karakterisztikus egyenlet gyökeinek meghatározásával nyerjük. Tehát a csillapítatlan rendszer karakterisztikus egyenlete 2 m  k  0 . Ebből k k 3200 rad 1,2    j  j   j 1600   j 40 m m 2 s rad A csillapítatlan saját-körfrekvencia tehát  1, 2  Im(1, 2 )  40 s D:\papai\modal\jegyzetek\tantárgy_03_kerdesek-feladatok.doc

4 23. Adja meg egy olyan egy-szabadságfokú lineáris csillapított lengőrendszer tömeg, csillapítás,  rad  merevség együtthatóit, melynek sajátértékei: 1  1  4 j  , 2  ~1 .   sec  Megoldás: Az m, c, k együtthatójú egy-szabadságfokú lengőrendszer karakterisztikus egyenlete

2 m  c  k  0 A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja (  1 ).(  2 )  0 Ez utóbbiba a megadott sajátértékeket behelyettesítve   (1  4 j).   (1  4 j)  0 Az egyenletet a másodfokú egyenlet általános alakjára alakítva   1  4 j .   1  4 j)  0 2    4 j    1  4 j  4 j  4 j  16  0

2  2  17  0 A másodfokú polinom együtthatói rendre az m tömeg, c csillapítás, k merevségi együtthatóit adják: tömeg csillapítás merevség 2 Ns N Ns c2 k  17 m 1 m m m A fenti m, c, k együtthatóhármas tetszőleges   0 skalárszorosa is helyes megoldás, mert ugyanazokat a

   c   2  c2  4   m   k  c 4  2  m  k   2  c2 c 4  m  k  c2   j   j  2   m 2   m 2m 4  2  m2 4  m2 gyököket eredményezi.

1, 2 

24. Egy kis csillapítású egy-szabadságfokú lineáris lengőrendszerre igazolja, hogy a csillapított rendszer sajátértékeinek abszolút értéke megegyezik a csillapítatlan rendszer sajátkörfrekvenciájával. Megoldás: Legyenek a sajátértékek 1, 2    j  . Képezzük a sajátérték abszolút-értékét: 2

2 2   c   4  m  k  c  1, 2           4  m2  2  m    ami a csillapítatlan rendszer saját-körfrekvenciája. 2

2

c2 4  m  k  c2   4  m2 4  m2

4mk  4  m2

k , m

25. Az alábbi ábrán egy befogott rúd és hajlító sajátlengési módusai láthatók. A módusalakok ábráján jelölje be azt a szerkezeti pontot, amelyik pontban elhelyezett koncentrált póttömeg a legkevésbé módosítja a második módus sajátfrekvenciáját.

D:\papai\modal\jegyzetek\tantárgy_03_kerdesek-feladatok.doc







X4( y )  E4 U k4 y  F4 V k4 y

5



0.8

0.6

l 0.4

0.2

0

0.2

0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Megoldás: 





X4( y )  E4 U k4 y  F4 V k4 y

A második módusnak az x  1.02 m helyen csomópontja van, ezért a második sajátfrekvencia az ezen a helyen elvégzett tömegmódosításra a legkevésbé érzékeny:



0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x  1.02 m

-.-

D:\papai\modal\jegyzetek\tantárgy_03_kerdesek-feladatok.doc