Projekt:
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Reg.č.:
CZ.1.07/1.5.00/34.0903
Operační program:
Vzdělávání pro konkurenceschopnost
Škola:
Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Poděbrady
Tematický okruh:
Kvadratické rovnice
Jméno autora:
Mgr. Karel Lhotský
Datum:
30. listopadu 2013
Ročník:
1. ročník HŠ
Anotace:
Učební materiál určený nejen k výkladu v hodinách matematiky, ale především k samostudiu, popřípadě k samostatnému opakování a procvičování učiva.
Kvadratické rovnice
ax + bx + c = 0 2
Základní pojmy Každá rovnice, kterou lze převést na tvar ax2 + bx + c = 0, kde a ≠ 0 se nazývá kvadratická. (a, b, c ∈ R) Hledané číslo x se nazývá neznámá. (a = 0 … bx + c = 0 je rovnice lineární) Příklady: a) x2 + 2x – 15 = 0 … a = 1, b = 2, c = −15 b) 9x2 – 25 = 0 …….. a = 9, b = 0, c = −25 c) 11x2 + 7x = 0 …… a = 11, b = 7, c = 0 ax2 + bx + c … kvadratický trojčlen ax2 … kvadratický člen bx … lineární člen c ….. absolutní (prostý) člen 3
Rozdělení kvadratických rovnic ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) b≠0ac≠0
b = 0 nebo c = 0
úplná kvadratická rovnice
b=0 ryze kvadratická rovnice
ax 2 + c = 0
neúplná kvadratická rovnice
c=0 kvadratická rovnice bez absolutního členu
ax 2 + bx = 0 4
Řešení ryze kvadratické rovnice (1) 9 x 2 − 25 = 0 9 x 2 = 25 25 2 x = 9
Př. 1:
x1 =
25 5 = 9 3
25 5 x2 = − = − 9 3
5 K = ± 3
V rovnici se vyskytuje neznámá x na jediném místě a jako druhá mocnina. Vypočítáme nejprve x2. Odmocníme obě strany rovnice. Kořen rovnice může být kladný i záporný (po umocnění se záporné číslo stane kladným). Rovnice má dva kořeny navzájem opačné. O správnosti výsledku bychom se mohli přesvědčit zkouškou. 5
Řešení ryze kvadratické rovnice (2) Př. 2:
2x 2 + 9 = 0
2x
2
x2
= −9 9 = − 2
K = ∅
Z rovnice vyjádříme x2. Na prvé straně rovnice je záporné číslo, které nemůže být druhou mocninou reálného čísla. Rovnice nemá reálné kořeny. Množina kořenů je prázdná. K tomuto závěru jsme mohli dojít hned ze zadání: 2x2 ≥ 0 ; 9 > 0 Součet nezáporného a kladného čísla se nerovná nule. 6
Řešení ryze kvadratické rovnice (3) Př. 3:
2 ⋅ x2
x2
= 0
= 0
x1 = 0 = x2
x1,2 = 0 K = {0}
Vydělíme koeficientem u x2. Nebo jinak: Součin dvou čísel se rovná 0, právě když se aspoň jeden činitel rovná 0. Protože 2 ≠ 0 , musí být . x2 = 0 Rovnice má jeden dvojnásobný kořen, a to nulu.
7
Řešení ryze kvadratické rovnice (4) ax 2 + c = 0 ; a ≠ 0
ax = − c c 2 x = − a 2
Obecný postup řešení ryze kvadratické rovnice je zřejmý.
c c K = ± − − > 0 ..... a a c − = 0 ..... K = {0} a c − < 0 ..... K = ∅ a 8
Řešení kvadratické rovnice bez absolutního členu (1) Př. 4:
x1
11x 2 + 7 x = 0 x ⋅ (11x + 7 ) = 0
= 0
11x + 7
= 0
11 x = − 7
7 x2 = − 11 K
7 = 0; − 11
Na levé straně rovnice můžeme vytknout neznámou x. Součin dvou čísel se rovná 0, právě když se aspoň jeden činitel rovná 0. Kořen nula dostáváme hned, druhý kořen najdeme prostřednictvím lineární rovnice. Kvadratická rovnice bez absolutního členu má vždy jeden kořen roven nule. 9
Řešení kvadratické rovnice bez absolutního členu (2) ax 2 + bx = 0 ; a ≠ 0 x (ax + b ) = 0 x1 = 0
K
ax + b = 0 ax = − b b x2 = − a
Obecný postup řešení ryze kvadratické rovnice je zřejmý. Jedním z kořenů kvadratické rovnice bez absolutního členu je číslo 0.
b = 0; − a 10
Řešení ryze kvadratické rovnice (4) 9 x 2 − 25 = 0
(3x )2 − 52 = 0
(3x − 5)(3x + 5) 3x − 5 = 0 3x = 5 5 x1 = 3
= 0
3x + 5 = 0 3x = − 5 5 x2 = − 3
5 K = ± 3
Vrátíme se k příkladu 1. Ryze kvadratickou rovnici lze rovněž řešit pomocí rozkladu v součin. Levou stranu můžeme rozložit v součin podle vzorce: A 2 − B 2 = ( A − B )( A + B ) Součin dvou čísel se rovná 0, právě když se aspoň jeden činitel rovná 0. Kořeny kvadratické rovnice najdeme prostřednictvím řešení lineárních rovnic. 11
Řešení úplné kvadratické rovnice (1) x 2 + 2 x − 15 = 0
Př. 5:
x 2 + 2 x + 1 − 1 − 15 = 0 ( x + 1)2 − 16 = 0 ( x + 1)2 − 42 = 0 [( x + 1) − 4][( x + 1) + 4] = 0 ( x − 3)( x + 5) = 0 x−3 = 0 x1 = 3
K
=
x+5= 0 x2 = − 5
{3; − 5}
Kvadratický trojčlen na levé straně rovnice lze často rozložit v součin lineárních dvojčlenů. Kdo tuto operaci zvládl, jistě náš trojčlen bez problémů rozloží. Ukážeme si univerzální postup. K výrazu na levé straně rovnice přičteme a odečteme 1, abychom získali x2 + 2x + 1, což je druhá mocnina dvojčlenu. Dále postupujeme stejně jako v předešlém. 12
Řešení úplné kvadratické rovnice (2) 2 Př. 6: x + 7 x + 12 = 0
2
2
7 7 7 x 2 + 2 ⋅ x ⋅ + − + 12 = 0 2 2 2 2 7 49 x + − + 12 = 0 2 4 2 x + 7 − 49 + 48 = 0 2 4 4 2 7 1 x+ − = 0 2 4 2 2 7 1 x+ − = 0 2 2
Rozklad trojčlenu na levé straně je zřejmý: (x+3)(x+4). Ukážeme si řešení jako u př. 5. Upravíme podle vzorce: 2 A2 + 2 AB + B 2 = ( A + B ) , kde A = x, 2AB = 7x. 7 Z toho plyne, že B = . 2 Dále postupujeme stejným způsobem. 13
Řešení úplné kvadratické rovnice (3) 7 1 7 1 x + 2 − 2 x + 2 + 2 = 0
( x + 3)( x + 4) = 0 x+3= 0
x+4=0
x1 = − 3
x2 = − 4
K
=
{− 3; − 4}
14
Řešení úplné kvadratické rovnice (4) Př. 7: x 2 − 6 x + 10 = 0 x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 + 9 − 9 + 10 = 0
( x − 3)2 + 1 = 0
K = ∅
Do třetice stejná situace? (x – 3)2 ≥ 0; 1 > 0 Součet těchto dvou výrazů se nemůže rovnat nule. Rovnice nemá reálný kořen.
15
Řešení úplné kvadratické rovnice (5) Př. 8:
x 2 + 20 x + 100 = 0
( x + 10) = 0 2
x + 10 = 0 x1, 2 = − 10
K
=
{− 10}
Na levé straně rovnice je přímo vzorec (A + B)2. Druhá mocnina se rovná nule, právě když se její základ rovná nule. Tato kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný kořen. Proč dvojnásobný? ( x + 10)2 = ( x + 10)( x + 10) = 0 Obě závorky jsou stejné, a proto určují stejný kořen. 16
Řešení úplné kvadratické rovnice (6) Vyřešili jsme několik příkladů kvadratických rovnic. Stejně můžeme postupovat pro obecné koeficienty a, b, c a odvodit vzorec pro kořeny libovolné kvadratické rovnice. ax2 + bx + c = 0, pro a ≠ 0.
−b+ D −b− D , x2 = x1 = , D = b 2 − 4ac 2a 2a Číslo D se nazývá diskriminant kvadratické rovnice. Je vhodné jej vždy stanovit nejdříve. Na jeho hodnotě závisí počet kořenů rovnice. Vzorce pro x1, x2 lze použít i při řešení neúplných kvadratických rovnic. Tento postup je však zbytečně pracný a zdlouhavý.
17
Řešení úplné kvadratické rovnice (7) Je-li D > 0 má kvadratická rovnice dva různé reálné kořeny (x1 ≠ x2). Je-li D = 0 má kvadratická rovnice jeden reálný kořen (dvojnásobný, x1 = x2). Je-li D < 0 nemá kvadratická rovnice reálné kořeny. Vyřešte všechny dosud uvedené příklady dosazením do vzorců.
18
Řešení kvadratických rovnic podle vzorců (1) Př. 9: 2 x 2 − 7 x + 4 = 0 a = 2, b = −7, c = 4
D = b 2 − 4ac =
= (− 7 ) − 4 ⋅ 2 ⋅ 4 = = 49 − 32 = 17 2
−b± D x1, 2 = = 2a − (− 7 ) ± 17 7 ± 17 = = 2⋅2 4 K
Pro přehlednost můžeme vypsat hodnoty koeficientů. D > 0 … dva různé reálné kořeny Vypočítáme x1, x2. Číslo 17 nelze odmocnit. Necháme jej pod odmocninou.
7 + 17 7 − 17 = ; 4 4 19
Řešení kvadratických rovnic podle vzorců (2) Př. 10: 100 x 2 − 140 x + 49 = 0 a = 100, b = −140, c = 49
D = b 2 − 4ac = 2 = (− 140) − 4 ⋅ 100 ⋅ 49 =
Vypočítáme diskriminant. D = 0 … jeden dvojnásobný kořen Vypočítáme x1,2.
= 19600 − 19600 = 0 −b± D = x1, 2 = 2a − (− 140) ± 0 = = 2 ⋅100 =
140 7 = = 0,7 200 10
K = {0,7} 20
Řešení kvadratických rovnic podle vzorců (3) Př. 11: 3x 2 + 4 x + 5 = 0 a = 3, b = 4, c = 5 D = b 2 − 4ac = = 42 − 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = = 16 − 60 = −44 < 0
Diskriminant je záporný. Rovnice nemá reálné kořeny.
K = ∅
21
Řešení kvadratických rovnic podle vzorců (4) 7 = x
1 x Neznámá x se vyskytuje ve − Př. 12: 2 x +x x + 1 jmenovatelích zlomků, proto musí být splněny podmínky: 7( x + 1) = 1 − x 2 x ≠ 0, x ≠ −1 7 x + 7 = 1− x2 Vynásobením obou stran x2 + 7x + 6 = 0 výrazem x(x + 1) se zbavíme a = 1, b = 7, c = 6 zlomků. 2 2 D = b − 4ac = 7 − 4 ⋅1⋅ 6 = 25 První kořen nevyhovuje podmínkám. − b ± D − 7 ± 25 = x1, 2 = Rovnice má jen jeden kořen. 2a 2 ⋅1
x1 = −1, x2 = −6
K = {− 6} 22
Příklady k procvičení (1): 1. 16 x − 9 = 0 2 2. 25 x − 64 = 0 3. 12 x 2 + 11 = 0 4x 7 4. = 7 4x 2
x + 5 12 5. = 12 x−5 x − 3 72 6. = 6 x+3
3 K = ± 4
8 K = ± 5 K =∅
7 K = ± 4
K = {± 13} K = {± 21}
23
Příklady k procvičení (2): 7. x 2 + 6 x = 0
K = {0 ; − 6}
8. 3 x 2 − 51x = 0
K = {0 ;17}
9. x 2 ⋅ 2 + x ⋅ 6 = 0
K = {0 ; − 3}
x−6 x+4 10. = x −3 2 x +8 x −4 11. = x − 2 1− x
K = {0 ;1}
12.
( x + 3) + 5 = 2 ⋅ ( x + 7 ) 2
K = {0 ; − 0,5} K = {0 ; − 4} 24
Příklady k procvičení (3): 13. x − 3 x + 2 = 0 2 14. x − x − 30 = 0 2
15. 16. 17. 18. 19.
x 2 + 7 x + 10 = 0 2 x + 4 x − 45 = 0 x 2 + 10 x + 21 = 0 x 2 − 6 x + −55 = 0 x 2 + 14 x + 49 = 0
20. x 2 − 26 x + 169 = 0
K = {1; 2} K = {6 ; − 5} K = {− 2 ; − 5} K = {5 ; − 9}
K = {− 3 ; − 7} K = {11; − 5} K = {− 7} K = {13} 25
Příklady k procvičení (4): 21. 2 x 2 − x − 6 = 0 22. 3 x 2 + 35 x − 12 = 0 23. 12 x 2 − 19 x − 21 = 0
24. 10 x 2 − 31x + 15 = 0
25. 30 x 2 + x − 1 = 0
26. 18 x 2 − 95 x − 22 = 0
3 K = 2 ; − 2 1 K = ; −12 3 7 3 K = ;− 3 4 5 3 K = ; 2 5 1 1 K = ;− 6 5 11 2 K = ;− 2 9 26
Příklady k procvičení (5): 2x + 3 3x + 5 7 x −1 27. + = x +1 x−2 ( x + 1). ( x − 2) x +1 x x2 28. − = x+2 x +1 ( x + 1). ( x + 2) x+3 x −1 29. + = 4 x−3 x−5
K = {1}
5 2.( x − 18) x+3 30. = − 2 x x − 4x 4− x
K = {− 4}
x 4 31. − x+2 2− x
=
8 x2 − 4
K = {0}
K = {4 ; 9}
K = {0} 27
Příklady k procvičení (5): =
2 x2 −1
K = {0}
4 3.( x − 7 ) 33. − = 2 x x − 3x
x +1 x −3
K = {− 3}
x 2 32. − x +1 1− x
34.
( x + 1)
= x.( x + 2 ) − 11
35.
( x − 2)
=
x.( x + 1) − 47
36.
( x + 2)
=
( x + 9) − 73
3
2
3
3
2
2
K = {− 4 ; 3}
13 K = 3; − 8 K = {0 ;1;−6} 28
