MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

Projekt:

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

Reg.č.:

CZ.1.07/1.5.00/34.0903

Operační program:

Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Škola:

Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Poděbrady

Tematický okruh:

Exponenciální rovnice 3

Jméno autora:

Mgr. Karel Lhotský

Datum:

30. listopadu 2013

Ročník:

2. ročník HŠ

Anotace:

Učební materiál určený nejen k výkladu v hodinách matematiky, ale především k samostudiu, popřípadě

Exponenciální rovnice 3 řešené logaritmováním

Příklad z praktického života Klient postižený povodněmi si u úvěrové společnosti půjčil 280.000,- Kč na roční úrok (p. a.) pouze 10 %. Půjčka bude jednorázově splatná částkou 410.000,- Kč. Vypočítejte dobu splatnosti, tj. za kolik let bude (má být) půjčka splacena? K vyřešení úlohy potřebujeme znát učivo o logaritmech.

3

Řešení příkladu z praktického života (1) Jedná se o složené úročení, Ze vzorce je třeba vyjádřit pro které platí vzorec: neznámou n.

p   K n  K 0  1    100  K0 = 280.000,- Kč Kn = 410.000,- Kč p = 10 % n=?

n

Pro výpočet čísla n využijeme vlastnosti logaritmů.

4

Definice a vlastnosti logaritmů Logaritmus o základu a čísla x je exponent, na který musíme umocnit základ a, abychom získali logaritmované číslo x. x > 0, a > 0, a  1, y  R y = logax  x = ay u > 0, v > 0, a > 0, a  1, r  R 1. logauv = logau + logav 2. loga(u:v) = logau  logav 3. r ·logau = logaur

5

Řešení příkladu z praktického života (2) n

p  K n  K 0  1    100  n   p    log K n  log K 0  1     100    p  log K n  log K 0  log1   100  

n

p  log K n  log K 0  n  log1    100 

Rovnají-li se dvě čísla, rovnají se i jejich logaritmy. Obě strany rovnice zlogaritmujeme. Na pravé straně se logaritmus součinu rovná součtu logaritmů (1). Z exponentu se přesune n jako koeficient před logaritmus (3).

6

Řešení příkladu z praktického života (3) p   n  log1    log K n  log K 0 Výraz obsahující  100  proměnnou n převedeme na jednu stranu rovnice, ostatní výrazy na druhou stranu. log K n  log K 0 Vyjádříme číslo n. n p   log 1    100 

7

Řešení příkladu z praktického života (4) log 410.000  log 280.000 n  10  log 1    100  log 410.000  log 280.000   log 1,1

=4 Úvěr je splatný za 4 roky.

Můžeme použít odvozený vzorec pro výpočet doby splatnosti nebo tento výpočet provést se zadanými hodnotami. Oba postupy vedou ke stejnému závěru. Výpočet provedeme najednou na kalkulačce. 8

Další příklady (už ne přímo ze života) Po vyřešení předchozího příkladu by aspoň jeden student mohl připustit, že znalost logaritmů při řešení exponenciálních rovnic, může být pro praktický život užitečná. Ukážeme si několik dalších typů exponenciálních rovnic, k jejichž řešení užijeme logaritmy.

9

Příklad 1: 2  9 x

Pokud by na pravé straně bylo místo čísla 9 číslo 8, vyřešili bychom rovnici okamžitě. Kořenem rovnice by bylo číslo 3. Pokud bude na pravé straně místo čísla 9 číslo 16, bude kořenem rovnice číslo 4. x Funkce y  2 je rostoucí. Z toho je zřejmé, že kořen naší rovnice leží v intervalu (3; 4). S takovou přesností se jistě nespokojíme. Jestliže si vzpomeneme na definici logaritmu, můžeme z této rovnosti vyjádřit x  log 2 9 . Na běžných kalkulačkách však logaritmus o základu 2 nemusí být k dispozici. 10

Řešení příkladu 1. 2x  9 log 2  log 9 x

x  log 2  log 9 log 9 x  log 2

x  3,1699

Rovnici zlogaritmujeme o základu 10. Podle 3. vlastnosti logaritmů převedeme x z exponentu jako koeficient před logaritmus. Vydělíme rovnici číslem log 2. Přibližnou hodnotu vyčíslíme pomocí kalkulačky. Vidíme, že kořen rovnice opravdu leží v intervalu (3; 4). 11

Příklad 2: log 6

x2

6

 log 5

x2

x

 x  2  log 6  x  log 5 x  log 6  2  log 6  x  log 5

x  log 6  log 5   log 62  log 36 x log 6  log 5 log 36 x log 1,2

5

x

Protože pro čísla 5 a 6 nelze nalézt společný základ, rovnici zlogaritmujeme jako v př. 1. Exponenty převedeme jako koeficienty před logaritmy. Rovnici (lineární) dořešíme běžným způsobem.

x   19,6549 12

Příklad 3: 4  3  10 000 000 x

4  3  10 x 7 log 4  3   log 10 x

7

log 4  log 3  7 x

Řešení rovnice je obdobné jako u předchozích příkladů. Využijeme, že na pravé straně je mocnina (sedmá) čísla 10.

x  log 3  7  log 4 7  log 4 x log 3 x  13,4095 13

Příklad 4: 4  4 x

4  4  4  51 x x 4  16  4  51 x 17  4  51 x 4 3 x log 4  log 3 x

x

2

x  log 4  log 3 log 3 x log 4

x2

 51

Rovnici nelze logaritmovat (pro logaritmus součtu nemáme žádný vzorec). Nejprve je třeba upravit pravou stranu rovnice na tvar vhodný k logaritmování. Ještě zkrátíme. Nyní už můžeme logaritmovat.

x  0,7925 14

Příklady k procvičení (1): 1. 2. 3. 4. 5. 6.

3 7 x 4  25 2 x 1 5  75 3x 2 2 3 x 1 x 3 4 3x  2 x 1 10 5 x

x  1,7712 x  2,3219 x  0,8413 x  1,1950 x  3,8188 x  1,1729 15

Příklady k procvičení (2): 7. 3  2  2 x

8. 3  3 x

9. 3  5

10. 2  6

x2

 60

x  3,5850

 100

x  2,0959

 5  20

x  6,5229

 6  142

x  0,3869

x2

x 1

x 1

x

x

16