Mizan Ahmad, Tri Atmojo Kusmayadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret. 1

DIMENSI PARTISI PADA GRAF Cm ∗ Kn , GRAF Cm [Pn ], DAN GRAF t-FOLD WHEEL Mizan Ahmad, Tri Atmojo Kusmayadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret

Abstrak. Misal G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) = {v1 , v2 , . . . , vn } dan himpunan edge E(G) = {e1 , e2 , . . . , en }. Himpunan vertex V (G) dibagi menjadi beberapa partisi, yaitu S1 , S2 , . . . , Sk . Untuk setiap vertex v ∈ V (G) dan k-partisi terurut Π = {S1 , S2 , . . . , Sk }, representasi v terhadap Π adalah r(v|Π) = (d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . , d(v, Sk )), dengan d(v, Si ) merupakan jarak dari vertex v ke tiap partisi pada Π. Himpunan Π dikatakan sebagai partisi pembeda dari G jika setiap vertex di G mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π. Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G yang dinotasikan dengan pd(G). Dalam penelitian ini ditentukan dimensi partisi pada kelas graf Cm ∗ Kn , graf Cm [Pn ], dan graf t-fold wheel. Kata Kunci: Dimensi partisi, partisi pembeda, graf Cm ∗ Kn , graf Cm [Pn ], graf t-fold wheel.

1. Pendahuluan Teori graf merupakan kajian ilmu matematika yang banyak digunakan untuk menyatakan persoalan dalam kehidupan nyata agar lebih mudah dimengerti dan diselesaikan. Konsep graf dapat diterapkan pada masalah transportasi, jejaring sosial, penentuan rute terdekat, dan lain-lain. Suatu graf terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis. Titik-titik yang disebut vertex direpresentasikan sebagai objek diskrit, sedangkan garis yang disebut edge merupakan penghubung antar objek diskrit tersebut. Dimensi partisi adalah salah satu topik dalam teori graf yang banyak dipelajari. Misalkan di Indonesia terdapat beberapa pulau besar dan terdapat beberapa kota pada pulau tersebut. Kota-kota tersebut dikelompokkan menjadi beberapa kelompok dengan ketentuan setiap kota hanya boleh menempati tepat satu kelompok. Jika terdapat minimal dua kota yang memiliki jarak minimum yang sama terhadap semua kelompok, maka pembagian kelompok diatur kembali sehingga diperoleh jarak minimum tiap kota berbeda. Banyaknya kelompok yang dibuat seminimal mungkin dinamakan dimensi partisi. Menurut Chartrand et al. [2], misalkan G adalah graf yang memiliki himpunan vertex V (G), maka V (G) dapat dibagi menjadi beberapa himpunan partisi S. 1

Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel

M. Ahmad, T. A. Kusmayadi

Himpunan Π dengan S ∈ Π disebut himpunan pembeda dari graf G jika setiap vertex di G mempunyai representasi berbeda terhadap Π, dan Π merupakan himpunan dari k-partisi yang terurut. Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda terhadap V (G) adalah dimensi partisi pada graf G yang dinotasikan dengan pd(G). Banyak peneliti yang telah meneliti dimensi partisi untuk kelas-kelas graf tertentu. Pada tahun 2007, Tomescu et al. [6] meneliti rumus dimensi partisi pada graf wheel dan pada tahun 2015, Hidayat [5] meneliti rumus dimensi partisi pada graf double cones. Penelitian tersebut menjadi acuan bagi penulis untuk mencari dimensi partisi pada graf t-fold wheel karena graf double cones merupakan graf 2fold wheel. Pada tahun 2012, Asmiati [1] meneliti dimensi partisi pada graf bintang dan pada tahun 2016, Dewi [4] meneliti rumus dimensi partisi pada graf Cm ∗2 Kn . Penelitian tersebut menjadi acuan bagi penulis untuk mencari dimensi partisi pada graf Cm ∗ Kn . Penulis tertarik untuk meneliti graf Cm [Pn ] karena graf dengan operasi komposisi masih belum banyak yang meneliti terutama untuk bidang dimensi partisi. 2. Dimensi Partisi Berikut ini diberikan definisi dan lema menurut Chartrand et al. [3]. Definisi 2.1. Misalkan G adalah graf terhubung. Untuk suatu subhimpunan S pada V (G) dan suatu vertex v pada G, jarak antara v dan S didefinisikan sebagai d(v, S) = min{d(v, x)|x ∈ S}. Selanjutnya, untuk suatu k-partisi terurut Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } pada V (G) dan suatu vertex v pada G, representasi v terhadap Π didefinisikan sebagai r(v|Π) = (d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . , d(v, Sk )). Himpunan Π disebut partisi pembeda jika r(v|Π) berbeda, untuk setiap v ∈ V (G). Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G yang dinotasikan dengan pd(G). Lema 2.1. Misalkan Π partisi pembeda dari graf G dengan u, v ∈ V (G). Jika d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V (G) − {u, v}, maka u dan v termuat pada kelas partisi yang berbeda. Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , . . . , Sk }, dengan u dan v termuat pada kelas partisi yang sama pada Π, misal Si , maka d(u, Si ) = d(v, Si ) = 0. Diketahui bahwa d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V (G) − {u, v}, maka d(u, Sj ) = d(v, Sj ) untuk 1 ≤ j ̸= i ≤ k sehingga r(u|Π) = r(v|Π) dan Π bukan merupakan partisi pembeda. 2

2017



Lema 2.2. Misal G adalah graf terhubung, maka (1) pd(G) = 2 jika dan hanya jika G = Pn untuk n ≥ 2, dan (2) pd(G) = n jika dan hanya jika G = Kn . 3. Hasil dan Pembahasan 3.1. Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗Kn . Graf Cm ∗Kn adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex atau menggabungkan satu vertex dari graf Cm dan satu vertex graf Kn menjadi satu vertex yaitu vertex x. Vertex x juga merupakan vertex yang dimiliki oleh Cm dan Kn . Teorema 3.1. Misalkan Cm ∗ Kn dengan m, n ≥ 3 adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex dari graf Cm dan graf Kn , maka pd(Cm ∗ Kn ) = n. Bukti. Misalkan graf Cm ∗ Kn dengan m, n ≥ 3 adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex dari graf Cm dan graf Kn dan V (Cm ∗ Kn ) = V (Cm ) ∪ V (Kn ) dengan V (Cm ) = {u1 , u2 , ..., um−1 , x} dan V (Kn ) = {v1 , v2 , ..., vn−1 , x}. Selanjutnya, ditunjukkan graf Cm ∗ Kn memiliki dimensi partisi pd(Cm ∗ Kn ) = n. Untuk setiap u, v, x ∈ V (Cm ∗ Kn ), dipilih partisi pembeda Π = {S1 , S2 , ..., Sn }, dengan S1 = {u1 , u2 , ..., um−2 } S2 = {um−1 , x, vn−1 } Si = {vi−2 }, dengan 3 ≤ i ≤ n Diperoleh jarak untuk setiap vertex di V (Cm ) terhadap Π r(uk |Π) = (0, k, k + 1, k + 1, ..., k + 1), 1 ≤ k ≤ ⌊ m2 ⌋ r(uk |Π) = (0, m − k − 1, m − k + 1, m − k + 1, ..., m − k + 1), ⌊ m2 ⌋ < k ≤ m − 2 r(um−1 |Π) = (1, 0, 2, 2, ..., 2). Jarak setiap vertex di V (Kn ) terhadap Π    0, untuk Si ∈ Π, 3 ≤ i ≤ n d(vi−2 , Sj ) = 1, untuk S2 ∈ Π   2, untuk S1 ∈ Π, untuk 1 ≤ j ≤ n dengan r(vi |Π) = (d(vi , S1 ), d(vi , S2 ), ..., d(vi , Sn )), r(vn−1 |Π) = (2, 0, 1, 1, ..., 1) dan r(x|Π) = (1, 0, 1, 1, ..., 1). Setiap vertex mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π. Oleh karena itu, Π = {S1 , S2 , ..., Sn } adalah partisi pembeda pada graf Cm ∗ Kn dengan n elemen. Akan ditunjukkan graf Cm ∗ Kn memiliki pd(Cm ∗ Kn ) ≥ n. Andaikan Π adalah partisi pembeda pada graf Cm ∗ Kn dengan pd(Cm ∗ Kn ) < n. Hal ini mengakibatkan untuk setiap vertex v ∈ V (Cm ∗ Kn ) memiliki representasi yang 3

2017



berbeda. Jika dipilih Π = {S1 , S2 , ..., Sn−1 } partisi pembeda maka terdapat suatu kelas partisi yang memuat dua vertex vi dan vj dengan 1 ≤ i ̸= j ≤ n − 1. Jelas bahwa d(vi , w) = d(vj , w) dengan w ∈ V (Cm ∗ Kn ) − {vi , vj } sehingga vertex vi dan vj termuat dalam kelas partisi yang berbeda. Akibatnya terdapat vertex x ∈ V (Cm ∗ Kn ) dan vertex vi termuat dalam kelas partisi yang sama dengan r(x|Π) = r(vi |Π) dan Π = {S1 , S2 , ..., Sn−1 } bukan partisi pembeda sehingga pd(Cm ∗ Kn ) ≮ n. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian, sehingga pd(Cm ∗ Kn ) ≥ n. Selanjutnya, jika terdapat partisi pembeda dengan n elemen dan lebih dari sama dengan n elemen, maka dipilih nilai minimumnya, sehingga |Π| = n. Jadi, pd(Cm ∗ Kn ) = n untuk m, n ≥ 3. 3.2. Dimensi Partisi pada Graf Cm [Pn ]. Graf Cm [Pn ] diperoleh dari hasil operasi komposisi graf Cm dengan graf Pn . Graf Cm [Pn ] dengan m ≥ 3, n ≥ 2 dengan himpunan vertex V (Cm [Pn ]) = V (Cm ) × V (Pn ) dengan V (Cm ) = {u1 , u2 , ..., um } dan V (Pn ) = {v1 , v2 , ..., vn } serta dimisalkan himpunan vertex V (Cm [Pn ]) = {u11 , u12 , ..., u1n , u21 , u22 , ..., u2n , ..., um1 , um2 , ..., umn }. Lema 3.1. Misalkan graf Cm [Pn ], dengan m ≥ 3 dan n ≥ 2. Jika Sn = {unn }, maka {umn |m ̸= n} termuat dalam kelas partisi yang berbeda untuk setiap n. Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Cm [Pn ]. Misalkan Sn = {unn }, diperoleh d(umb , unn ) = d(umc , unn ), dengan m ̸= n dan 1 ≤ b, c ≤ n. Berdasarkan Lema 2.1, {umn |m ̸= n} termuat dalam kelas partisi yang berbeda untuk setiap n. Teorema 3.2. Misalkan Cm [Pn ], m ≥ 3, n ≥ 3 adalah graf hasil operasi komposisi dari graf Cm dan Pn , maka 4 ≤ pd(Cm [Pn ]) ≤ 2n − 2 dengan ”=” dicapai hanya jika n = 2, m ≥ 4 dan n > 4, m = 4. Bukti. Misalkan pd(Cm [Pn ]) = k dan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Cm [Pn ]. Ditentukan batas bawah dan batas atas dimensi partisi pada graf Cm [Pn ]. (1) Batas bawah Dipilih n terkecil (n = 2) sehingga pd(Cm [Pn ]) memiliki nilai terkecil. • Untuk m = 3 dan n = 2 Diberikan graf Cm [Pn ] dengan m = 3 dan n = 2. Setiap vertex dalam C3 [P2 ] adjacent dengan vertex lainnya sehingga C3 [P2 ] ∼ = K6 . Berdasarkan Lema 2.2 diperoleh pd(C3 [P2 ]) = 6. 4

2017



• Untuk m ≥ 4 dan n = 2 Misal Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Cm [Pn ]. Misalkan S1 = {u11 } dan S2 = {u22 }, berdasarkan Lema 3.1 diperoleh {um1 |m ̸= 1} dan {um2 |m ̸= 2} termuat dalam kelas partisi yang berbeda misal S3 = {um1 |m ̸= 1} dan S4 = {um2 |m ̸= 2} sehingga pd(Cm [P2 ]) = 4, m ≥ 4. Jadi, diperoleh batas bawah pd(Cm [Pn ]) ≥ 4. (2) Batas atas Dipilih m = 4 karena memiliki sifat-sifat berikut d(uab , ude ) = d(u(a+2)b , ude ), a ̸= d ̸= a + 2 d(uab , uac ) = d(u(a+2)e , uac ), |b − e| ≥ 2 d(uab , ude ) = d(uac , ude ), 1 ≤ a, d ≤ m, 1 ≤ b, c, e ≤ n    0, untuk b = c d(uab , uac ) = 1, untuk |b − c| = 1   2, untuk |b − c| ≥ 2. Misal Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Cm [Pn ]. Misal S1 = {u12 }, S2 = {u22 }, S3 = {u32 }, dan S4 = {u42 }, berdasarkan sifat-sifat tersebut dapat dibentuk kelas-kelas partisi sebagai berikut S5 = {u13 , u14 , u23 , u24 , u31 , u41 } S6 = {u33 , u34 , u43 , u44 , u11 , u21 } Si = {u1( i+1 +1) , u2( i+1 +1) }, i ganjil dan 6 < i ≤ k 2

2

Si = {u3( i +1) , u4( i +1) }, i genap dan 6 < i ≤ k. 2 2 Jelas untuk 6 < i maka n > 4. Oleh karena itu, |Π| = k (dengan k dicapai ketika i maksimum) = 2n − 2 sehingga pd(C4 [Pn ]) = 2n − 2, n > 4. Jadi, diperoleh batas atas pd(Cm [Pn ]) ≤ 2n − 2.

3.3. Dimensi Partisi pada Graf t-fold wheel . Menurut Wallis [7], graf t-fold wheel diperoleh dari join Cn dengan komplemen Kt , dituliskan sebagai Wnt = Cn + Kt . Misal graf Wnt dan V (Wnt ) = V (Cn ) ∪ V (Kt ) dengan V (Cn ) = {vj |1 ≤ j ≤ n} dan VKt = {ui |1 ≤ i ≤ t}. Graf Wnt memiliki order |V (Wnt )| = n + t. Lema 3.2. Misalkan Wnt adalah graf t-fold wheel dengan n ≥ 3 dan t ≥ 1, Π partisi pembeda dari Wnt dan {ui |1 ≤ i ≤ t} ∈ V (Kt ) pada Wnt . Jika d(u1 , v) = d(u2 , v) = ... = d(ut , v) untuk setiap v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t}, maka vertex {ui |1 ≤ i ≤ t} termuat pada kelas partisi yang berbeda untuk setiap i. 5

2017



Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt . Andaikan {ui |1 ≤ i ≤ t} ∈ V (Wnt ) termuat pada kelas partisi yang sama pada Π yaitu {ui |1 ≤ i ≤ t} ∈ Sa , untuk suatu 1 ≤ a ≤ k maka d(u1 , Sa ) = d(u2 , Sa ) = ... = d(ut , Sa ) = 0. Diketahui bahwa d(u1 , v) = d(u2 , v) = ... = d(ut , v) untuk setiap v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t} sehingga r(u1 |Π) = r(u2 |Π) = ... = r(ut |Π) dan Π bukan partisi pembeda. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian dan berdasarkan Lema 2.1, {ui |1 ≤ i ≤ t} termuat pada kelas partisi yang berbeda untuk setiap i. Lema 3.3. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt . Jika vertex ∑ ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t, maka ti=1 |Si | ≤ t2k−t untuk k > t. Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt . Misalkan ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t dan sembarang vertex v ∈ S1 − {u1 }. Diperoleh representasi r(u1 |Π) = (0, 1, 1, ..., 1) atau r(u1 |Π) = (0, 2, 1, ..., 1), r(u2 |Π) = (1, 0, 1, ..., 1), r(u3 |Π) = (1, 1, 0, 1, ..., 1), ..., dan r(v|Π) = (0, ..., ). Diameter graf Wnt adalah 2 sehingga elemen pada r(v|Π) dari v ∈ S1 − {u1 } selain posisi pertama dapat diisi dengan angka 1 dan 2. Terdapat paling tidak t − 1 angka 1 pada representasi selain posisi pertama karena d(v, Sj ) = 1, dengan 1 < j ≤ t. Oleh karena itu, k − t posisi pada representasi vertex v ∈ S1 dapat diisi paling banyak k − t angka 2 dan sisanya k−t k−t k−t diisi dengan angka 1. Terdapat paling banyak (k−t 0 )+( 1 )+( 2 )+...+(k−t ) representasi yang berbeda dari semua vertex v ∈ S1 − {u1 }. Selanjutnya, vertex u1 memiliki ∑ k−t representasi tunggal sehingga diperoleh |S1 | ≤ 1+ k−t j=0 ( j ). Jika setiap Si memuat ∑ ∑t ∑k−t k−t k−t k−t vertex v maka |S1 | ≤ k−t j=0 ( j ). Jadi, diperoleh i=1 |Si | ≤ t j=0 ( j ) = t2 untuk k > t. Lema 3.4. Misalkan Π = {S1 , S2 , S3 , . . . , Sk } partisi pembeda pada graf Wnt . Jika ∑ vertex ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t, maka kj=t+1 |Sj | ≤ (k − t)2k−t−1 untuk k > t. Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , S3 , . . . , Sk } partisi pembeda pada graf Wnt . Pandang kelas partisi selain Si dengan 1 ≤ i ≤ t. Misalkan vertex ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t, dan vertex w ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t} termuat pada kelas partisi St+1 , maka representasi dari w adalah r(w|Π) = (1, 1, ..., 1, 0, ...). Oleh karena itu, k−t−1 posisi pada representasi dari vertex w ∈ St+1 dapat diisi dengan paling banyak k − t − 1 angka 2 dan sisanya diisi dengan angka 1. Terdapat paling banyak (k−t−1 )+(k−t−1 )+ 0 1 k−t−1 ... + (k−t−1 ) representasi yang berbeda dari semua vertex w ∈ St+1 yang memuat ∑ k−t−1 )) = ) + (k−t−1 ) + ... + (k−t−1 angka 1. Jadi diperoleh kj=t+1 |Sj | ≤ (k − t)((k−t−1 0 1 k−t−1 (k − t)2 untuk k > t. 6

2017



Teorema 3.3. Jika Wnt adalah graf t-fold wheel untuk n ≥ 3, maka n+t )⌉. t Bukti. Misalkan pd(Wnt ) = k dan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt . Ditentukan batas atas dan batas bawah dimensi partisi pada graf Wnt . t ≤ pd(Wnt ) ≤ t + 1 + ⌈2 log(

• Batas bawah Misalkan Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } partisi pembeda dari graf t-fold wheel Wnt , dengan n < t. Berdasarkan Lema 3.2 diperoleh ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t. Jika terdapat v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t}, dengan n < t, d(vj , ui ) = 1, dan d(ua , ub ) = 2, dengan 1 ≤ j ≤ n 1 ≤ a, b ≤ i, maka setiap Si memuat paling banyak satu vertex vn . Terdapat t kelas partisi pembeda, sehingga pd(Wnt ) = t, dengan n < t. Akan ditunjukkan bahwa pd(Wnt ) > t, dengan n ≥ t. Andaikan Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } partisi pembeda dari graf t-fold wheel Wnt , dengan n ≥ t dan pd(Wnt ) ≤ t. Berdasarkan Lema 3.2 diperoleh ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t. Jika terdapat v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t}, dengan n ≥ t, d(v, ui ) = 1, dan d(ua , ub ) = 2, dengan 1 ≤ j ≤ n dan 1 ≤ a, b ≤ i maka terdapat Si memuat paling sedikit satu vertex v. Jika setiap Si memuat paling sedikit satu vertex v, misal vi ∈ Si , maka r(vi |Π) = r(ui |Π) dan Π bukan partisi pembeda. Jika terdapat Si yang memuat lebih dari satu vertex v, misal vc , vd ∈ Sa , dengan 1 ≤ c, d ≤ n dan 1 ≤ a ≤ i, maka r(vc |Π) = r(vd |Π) dan Π bukan partisi pembeda. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian sehingga paling tidak terdapat vertex v termuat dalam kelas partisi St+p , dengan p ≥ 1 dan berakibat pd(Wnt ) > t, untuk n ≥ t. Jadi pd(Wnt ) ≥ t. • Batas atas ∑ Berdasarkan Lema 3.3 didapatkan ti=1 |Si | ≤ t2k−t dan berdasarkan Lema ∑ 3.4 didapatkan kj=t+1 |Sj | ≤ (k − t)2k−t−1 untuk k > t. Jelas a < n dengan 3 ≤ a < n dan 3 < t ≤ n jika dan hanya jika pd(Wat ) ≤ pd(Wnt ). Jika pd(Wnt ) = k, dengan n ≥ t maka pd(Wat ) ≤ k. Karena k > t, k > 3 dan pd(Wat ) ≥ t, maka terdapat pd(Wat ) = k − 1. Ambil a sedemikian sehingga pd(Wat ) = k − 1 berakibat a+t < n+t ∑k−1 ∑t j=t+1 |Sj | ≤ n + t i=1 |Si | + k−t−1 t2 + (k − t − 1)2k−t−2 ≤ n + t, karena pd(Wat ) = k − 1

7

2017


(k + t − 1)2k−t−2 (2t)2k−t−2 t2k−t−1 k Sehingga diperoleh


≤ n+t ≤ n + t, karena k > t ≤ n+t ≤ t + 1 +2 log( n+t ). t t 2 )⌉. pd(Wn ) ≤ t + 1 + ⌈ log( n+t t

4. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan, yaitu dimensi partisi dari graf Cm ∗ Kn tertera dalam Teorema 3.1, dimensi partisi dari graf Cm [Pn ] tertera dalam Teorema 3.2, dan dimensi partisi dari graf Wnt tertera dalam Teorema 3.3. Pustaka [1] Asmiati, Partition Dimension of Amalgamation of Stars, Bulletin of Mathematics Vol 04 no. 2 (2012), 161-167. [2] Chartrand, G., E. Salehi, and P. Zhang, On the Partition Dimension of a Graph, Congress Numer. 131 (1998), 55-66. [3] Chartrand, G., E. Salehi, and P. Zhang, The Partition Dimension of a Graph, Aequation Math. 55 (2000), 45-54. [4] Dewi, M. P. K., Dimensi Partisi dari Graf Lollipop, Graf Generalized Jahangir, dan Graf Cm ∗2 Kn , Tugas Akhir, FMIPA Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2016. [5] Hidayat, D. W., Dimensi Partisi pada Beberapa Kelas Graf, Tugas Akhir, FMIPA Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2015. [6] Tomescu, I., I. Javaid, and Slamin, On the Partition Dimension and Connected Partition Dimension of Wheels, Ars Combin. 84 (2007), 311-317. [7] Wallis, W. D., Magic Graph, Birkh¨ auser, Basel, Berlin, 2001.

8

2017

Mizan Ahmad, Tri Atmojo Kusmayadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret. 1

Recommend Documents