Mit jelent az optimalizálás?

Mikroö Mikroökonó konómiai optimumfeladatok megoldá megoldási mó módszerei Alapvetõ deriválási szabályok. Feltételes szélsõ érték feladatok megoldása.

Mit jelent az optimalizá optimalizálás? • • • • • •

feltételes szélsõérték-feladat döntési helyzet feltárása egyszerûsítõ feltevések, modellek döntési változók azonosítása választási lehetõségek, korlátozó feltételek döntési kritérium, célfüggvény, racionális magatartás, optimum: maximum- vagy minimum • a gazdálkodás fogalma, alkalmazási területek Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

A hasznossá hasznosság maximalizá maximalizálása • • • • • •

egyváltozós hasznossági függvények a határhaszon fogalma a határhaszon mint differenciahányados a határhaszon mint differenciálhányados a legfontosabb deriválási szabályok egyváltozós hasznossági függvények szélsõ értékének meghatározása deriválással

Kapcsolódó irodalom: Koppány Krisztián [2005]: Módszertani segédlet... Universitas-Gyõr Kht. 17-19., 36-41., 46-47. o.

Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

1

Egyvá Egyváltozó ltozós hasznossá hasznossági fü függvé ggvény

A hasznossági függvény jelölése U vagy TU. Mind a tankönyvben, mind a példatárban találkozhatunk mindkét jelöléssel! x

U(x)

3,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00 1,00 1,41 1,73 2,00 2,24 2,45 2,65 2,83 3,00 3,16

3,0

U

2,5 2,0

Ez csupán egy példa formulával megadott hasznossági függvényre! Miért jó hasznossági függvények a gyökfüggvény és a logaritmusfüggvény?

1,5 1,0 0,5 0,0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

10 x

9

Az U ( x )  x hasznossági függvény néhány pontja és grafikonja Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

A hatá határhaszon fogalma Total Utility

x

Marginal Utility

TU

0 2 5 10

MU

0 7 13 20

MU 

3,5 2 1,4

TU x Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

A hatá határhaszon mint differenciahá differenciahányados U

tg 1 

20 U ( x 2 )

U ( x1 )  U ( x 0 ) x1  x0

tg  2 

U ( x 2 )  U ( x1 ) x2  x1

U(x) U ( x 2 )  U ( x1 )

2

13 U ( x1 )

x 2  x1

+6

U ( x1 )  U ( x 0 )

1

7 U ( x0 )

x1  x0

x0

2

+3

x1

x2

5

10

x

2

A hatá határhaszon mint differenciá differenciálhá lhányados U

A

U ( x0 )

B

B

B

U(x)

x0

x

dTU ( x ) MU ( x )   TU ( x ) dx


A legfontosabb derivá deriválási szabá szabályok... f ( x)    x 1

f ( x)  x

f ( x)  5 x 4

f ( x)  x5

g ( x)  x

g ( x )  2 x

2

h( x)  1 x 0  1

h( x)  x f ( x)  2 x3

f ( x )  2  3  x 2  6 x 2

h( x)  7

h( x )  0

g ( x)  2 x

g ( x)  2 1  x 0  2


... és alkalmazá alkalmazásuk TU ( x )  x  x 0,5

MU ( x )  TU ( x )  0,5  x 0,5 

TU ( x)  5 x0,2

MU ( x)  5  0, 2  x 0,8 

2

TU ( x )  2 x 3

TU ( x)  6 x  x 2 U ( x)  ln x

1

2 x

1 x0,8

2  4 MU ( x )  2   x 3  3 3 3 x 1

MU ( x)  6  2 x U ( x) 

1 x


3

Szé Szélsõ lsõ érté rték meghatá meghatározá rozása derivá deriválással

• vegyünk egy telítõdési ponttal rendelkezõ hasznossági függvényt pl. U ( x )  6 x  x 2 • ábrázoljuk! • értelmezzük a telítõdési pontot! • határozzuk meg a függvény maximumhelyét a derivált (határhaszon függvény) zérushelye segítségével! • ezzel az optimumfeladatok megoldásának egyik (bár nem minden esetben legkényelmesebb) módszerét elõ is készítettük! Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

Felté Feltételes szé szélsõ lsõérté rték-feladatok megoldá megoldása: a legegyszerû legegyszerûbb mó módszer

• kétváltozós korlátozó feltételek értelmezése és felírása – – – –

gyakorlatias példák költségvetési halmaz és költségvetési egyenes tengelymetszet, meredekség eltolódások, elfordulások

– – – –

az egyik változót kifejezzük a korlátozó feltételbõl a kapott formulát a hasznossági függvénybe írjuk egyváltozós hasznossági függvényt kapunk ennek szélsõ értéke a korábbiak alapján meghatározható

• kétváltozós célfüggvények értelmezése • az optimális megoldás meghatározása

Kapcsolódó irodalom: Koppány [2005] 19-20., 75. és 79. o.


Korlá Korlátozó tozó felté feltételek a fogyasztá fogyasztásban

• egy egyetemi hallgató a félév elején 5000 Ft-os kártyával töltötte fel mobilját • a mobiltelefont csak két célra használja

– szülõk hívása: vezetékes hálózatba történõ hívás, kedvezményes idõszakban, 30 Ft/perc – barátnõ/barát hívása: hálózaton belüli hívás, éjszaka, díja 15 Ft/perc


4

Jelö Jelölések • jövedelem vagy a fogyasztásra költött pénzösszeg: I (esetünkben I = 5000 Ft) • a termékekbõl vásárolt (vásárolható) mennyiség: x és y – szülõkkel való beszélgetési idõ percben (x) – barátnõvel/baráttal való beszélgetési idõ percben (y)

• az egyes termékek árai: px és py

– hívás vezetékes hálózatba, kedvezményes idõszakban (px = 30) – éjszakai hívás, hálózaton belül (py = 15) Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

Költsé ltségveté gvetési halmaz és költsé ltségveté gvetési egyenes általá ltalában y

I / py

I  px  x  py  y

függõleges ten gely

I  px  x  py  y

metszet

y

re me

I / px

I p  xx py py

ég ks de

A költségvetési egyenes felírása, meredeksége és tengelymetszetei az elõzõ számpéldában. x


A kö költsé ltségveté gvetési egyenes elmozdulá elmozdulásai y

y

I↑

px ↓

x

A fenti változások értelmezése a korábbi konkrét példánkban.

x Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

5

A cé célfü lfüggvé ggvény és a teljes optimumfeladat

• tételezzük fel, hogy a telefonhívásokból származó hasznosság a következõ függvény szerint alakul: U ( x, y )  x  y • hogyan használja fel a fenti fogyasztó a leghasznosabb módon az 5000 Ft-os egyenleget? • a célfüggvény és a korlátozó feltétel felírása Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

A megoldá megoldás lé lépései • fejezzük ki az egyik változót a korlátozó feltételbõl • a kapott formulát helyettesítsük be a célfüggvénybe • a célfüggvény egyváltozóssá alakult • keressük meg az egyváltozós célfüggvény maximumhelyét • a korlátozó feltételbe való visszahelyettesítéssel határozzuk meg a másik változó optimális értékét Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

•

• • • • • •

Optimumfeladatok egy má másik megoldá megoldási mó módszere fontos elõzetes tudnivalók

– ez a megoldási módszer bír a legtöbb közgazdasági tartalommal – a megoldás lényege grafikusan jól szemléltethetõ – kétváltozós esetben a leginkább ajánlott eljárás

a kétváltozós hasznossági függvények szintvonalai, közömbösségi görbék az optimális megoldás grafikus szemléltetése a helyettesítési ráta és helyettesítési határráta a parciális deriválás, kétváltozós hasznossági függvények parciális deriváltjai MRS meghatározása parciális deriváltak segítségével az MRS = költségvetési egyenes meredeksége optimumfeltétel alapján történõ megoldás menete

Kapcsolódó irodalom: Koppány [2005] 75-78. o.


6

Kétvá tváltozó ltozós hasznossá hasznossági fü függvé ggvény diagramja és szintvonalai U

U

y

y

x

x Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

Jól viselkedõ viselkedõ közömbö mbössé sségi gö görbé rbék

U y

y

x x Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

A fogyasztó fogyasztó optimá optimális vá választá lasztása y

A költségvetési egyenes érinti az elérhetõ maximális hasznossági szinthez tartozó közömbösségi görbét.

C

yopt

A

E D

B xopt

U0

U1

x

U2

A költségvetési egyenes meredeksége megegyezik a közömbösségi görbe adott pontban mért meredekségével. Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

7

A helyettesí helyettesítési rá ráta U ( x, y ) U ( x , y ) MU y  y x U  x  MU x U  y  MU y

MU x 

y

A

6

RS 

∆y

x  MU x  y  MU y  0

y x

x  MU x  y  MU y

B

2

U1

∆x

U0

1

MU x y y   MU y x x

x

6



A helyettesí helyettesítési hatá határrá rráta y 20

MRS 

15

B

10

B

B

A

5

U0

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

dy dx

U ( x, y ) MU x x MRS   MUy U ( x, y ) y

10



Parciá Parciális derivá deriválás U ( x, y )  x  y

U ( x, y )  3  x 2  y 3 U ( x, y ) 

xy

U ( x, y ) y x

 U ( x, y ) x y

U ( x, y )  6  x  y3 x

 U ( x, y )  9  x2  y2 y

 U ( x, y ) 1 y  x 2 x

 U ( x, y ) 1 x  2 y y



8

A megoldá megoldás lé lépései – a telefonos mintapé mintapéldá ldán keresztü keresztül

• a határhasznossági függvények meghatározása • az optimumfeltétel formális felírása • az optimumfeltétel egyik változóra való rendezése és visszahelyettesítési a korlátozó feltételbe • az ily módon egyváltozóssá alakult korlátozó feltétel megoldása • a másik változó optimális értékének meghatározása visszahelyettesítéssel Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

Optimá Optimális megoldá megoldás egy má másfajta preferenciapreferencia-rendezé rendezés eseté esetén

• legyen most a fogyasztó hasznossági függvénye U ( x, y )  x  y 2 • hogyan értelmezhetjük a preferenciák ilyen fajta változását? • hogyan alakulnak ebben az esetben az optimális beszélgetési idõtartamok? • optimális megoldás x  55,56 y  222,22


Optimumfeladatok a mikroö mikroökonó konómia tananyagban

• optimális fogyasztási szerkezet: a maximális hasznosságot biztosító fogyasztói kosár • optimális munkavállalói döntés: a maximális életminõséget biztosító szabadidõ-jövedelem kombináció • optimális intertemporális választás: a maximális hasznosságot biztosító jelenbeli és jövõbeli fogyasztás kombináció • optimális erõforrás-felhasználás – adott költségkerettel megvalósítható maximális kibocsátás – adott kibocsátás minimális költséggel

• mindig adott preferenciákkal és technológiákkal dolgozunk


9

Példa: optimá optimális munkavá munkavállaló llalói dö dönté ntés

• Egy munkavállaló számára a szabadidõ és a bérjavak együttes hasznosságát az U(sz,j)=(sz-8)j függvény írja le, ahol sz a napi szabadidõ mennyisége órákban, 8<sz<=24, j pedig a napi jövedelmet jelöli.

– Ábrázolja az életminõség közömbösségi térképét néhány közömbösségi görbe segítségével! – Ábrázolja az életminõség költségvetési egyenesét 300, 420 és 650 Ft-os órabér mellett! – Mekkora az optimális munkamennyiség 300 Ft-os órabér esetén? Mekkora a napi bérjövedelem? Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

Példa: optimá optimális intertemporá intertemporális alloká allokáció ció

• Tamás most írt alá egy kétéves, 8 millió Ft összegû megbízási szerzõdést. A megbízási díjat két részletben kapja: idén 5 millió Ft-ot, jövõre 3 milliót. A kamatláb 10 százalékos, Tamás intertemporális hasznossági függvénye U(C1,C2)=lnC1+lnC2.

– Határozza meg Tamás optimális intertemporális allokációját! – Ábrázolja a szituációt! – Megtakarító vagy hitelfelvevõ pozícióban van Tamás az elsõ idõszakban Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

Példa: optimá optimális tényezõ nyezõfelhaszná felhasználás

• A termelési technológiát egy Q=2K0,4L0,6 alakú Cobb-Douglas-féle termelési függvény írja le. • A rendelkezésre álló költségkeret 75 millió Ft, a munka után fizetett tényezõjövedelem 120 ezer Ft, a tõke utáni kamat pedig 20 százalékos. – Határozza meg az adott költségkeretbõl megvalósítható maximális kibocsátási szintet és az ehhez tartozó optimális tényezõkombinációt! – Határozza meg a 100 ezer darabos kibocsátási szinthez tartozó, minimális költséget biztosító, optimális tényezõkombinációt! Mekkora ez a minimális költség?


10

Tová További nehezebb té témakö makörök • rugalmassági mutatók • profitmaximalizálás, optimális kibocsátási nagyság • piaci szerkezetek

– versenypiac és monopólium – árdiszkriminációs stratégiák monopolerõ esetén – Cournot- és Stackelberg-duopólium

• vállalatok munkakereslete, optimális tényezõfelhasználás és kibocsátás az inputpiac oldaláról Koppá Kopp á ny Krisztiá Krisztián, SZE

11

Mit jelent az optimalizálás?

Recommend Documents