Milan Hladík. 30. prosince 2016

Milan Hlad´ık

Vzorové Cviˇcen´ı z

Lineárn´ı Algebry 30. prosince 2016

Tento text slouˇz´ı jako podkladov´ y materi´ al ke cviˇcen´ım pro pˇrednáˇsky Lineárn´ı algebra I a II pro prvn´ı roˇcn´ık studia informatiky na Matematicko-fyzikáln´ı fakultˇe Univerzity Karlovy v Praze. Vˇeˇr´ım vˇsak, ˇze m˚ uˇze dobˇre poslouˇzit i student˚ um (a nejen jim) z jin´ ych ˇskol. Text je rozloˇzen do tématick´ ych sekc´ı a kaˇzd´ a z nich se sklád´ a ze dvou ˇcást´ı. Prvn´ı ˇcást je demonstrativn´ı a je v n´ı uvedeno vˇzdy nˇekolik ilustrativn´ıch ukázek jak pracovat s pojmy a metodami pˇredveden´ ymi na pˇrednáˇsce. Slouˇz´ı pˇredevˇs´ım pˇri samostatném studiu. Na zaˇcátku také b´ yv´ a obˇcas v r´ ameˇcku pˇripomenuta nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı vˇeta, definice ˇci metoda. Druh´ a ˇca´st obsahuje pˇr´ıklady na procviˇcen´ı. Pˇr´ıklad˚ u je dost aby pokryly cviˇcen´ı a zbylo jeˇstˇe na pˇr´ıpadné procviˇcen´ı doma. Hvˇezdiˇcka oznaˇcuje n´ aroˇcnˇejˇs´ı u ´lohu. Pˇr´ıklady jsou typové a kaˇzdého typu tam je vˇetˇsinou jen jeden ˇci nˇekolik m´ alo exempláˇr˚ u. Proto tento text neslouˇz´ı jako klasická sb´ırka u ´loh. Vˇetˇsina pˇr´ıklad˚ u nen´ı origin´ aln´ıch, a ani o to nebylo usilováno. Dˇekuji vˇsem, kteˇr´ı pˇrispˇeli pˇeknou u ´lohou, zejména Jaroslavu Horáˇckovi za zpracován´ı ukázek pro prvn´ı ˇctyˇri kapitoly. Pˇripom´ınky, chyby a zaj´ımavé u ´lohy pros´ım zas´ılejte na adresu [email protected].

3

Obsah Obsah

5

I

6

Od soustav rovnic, pˇ res matice a vektorov´ e prostory k line´ arn´ım zobrazen´ım 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

II

Analytická geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soustavy line´ arn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regulárn´ı a inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupy, tˇelesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorové prostory a podprostory . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineárn´ı nez´ avislost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Báze, dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maticové prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineárn´ı zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obraz, jádro, isomorfismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Afinn´ı podprostory, polynomy, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

Od skal´ arn´ıho souˇ cinu, pˇ res vlastn´ı ˇ c´ısla a kvadratick´ e formy k rozklad˚ um 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Skalárn´ı souˇcin, norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gramova–Schmidtova ortogonalizace . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonáln´ı doplnˇek a projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonáln´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adjungovan´ a matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vlastn´ı ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Podobnost, diagonalizovatelnost, Jordanova normáln´ı forma . . Vlastn´ı ˇc´ısla symetrick´ ych a nez´ aporn´ ych matic . . . . . . . . . Odhady a metody na v´ ypoˇcet vlastn´ıch ˇc´ısel . . . . . . . . . . . Positivn´ı (semi-)definitnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Biline´ arn´ı a kvadratické formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maticové rozklady (QR rozklad a SVD) . . . . . . . . . . . . . Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı Humor a zaj´ımavosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Otevˇrené ot´ azky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

7 9 16 20 25 29 32 36 38 41 45 50 54 56

60 . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

61 67 69 74 77 86 88 93 98 102 104 108 114 119 121 122

ˇ sen´ı Reˇ

123

Znaˇ cen´ı

129

Literatura

131

5

ˇ ast I C´

Od soustav rovnic, pˇ res matice a vektorov´ e prostory k line´ arn´ım zobrazen´ım

6

Cviˇcen´ı z line´ arn´ı algebry

1

7

Analytick´ a geometrie

Uk´ azka 1.1 (Popis pˇr´ımky v rovinˇe). Parametrick´ y popis pˇr´ımky p je p : [x, y] = A + t · u,

t ∈ R,

kde A = [a1 , a2 ] je jeden pevn´ y bod pˇr´ımky, u = (u1 , u2 ) je smˇerov´ y vektor a t je parametr reprezentuj´ıc´ı libovolné re´ alné ˇc´ıslo. S t´ım, ˇze jak n´ asob´ıme parametrem t vektor u, tento vektor se prodluˇzuje jedn´ım ˇci druh´ ym smˇerem a dostaneme, tak postupnˇe vˇsechny body [x, y] na pˇr´ımce p. Pˇr´ımku m˚ uˇzeme v rovinˇe R2 definovat i s vyuˇzit´ım jej´ı normály r, coˇz je vektor kolm´ y na pˇr´ımku. Zat´ım berme jako fakt, ˇze dva vektory u, v jsou navzájem kolmé, pokud je jejich skalárn´ı souˇcin u · v roven 0. Mˇejme zadan´ y bod A = [a1 , a2 ] a normálov´ y vektor r = (r1 , r2 ). Od libovolného bodu B = [x, y], kter´ y m´ a leˇzet na pˇr´ımce chceme, aby vektor u = b − a byl kolm´ y na vektor r. Pomoc´ı skalárn´ıho souˇcinu zaps´ ano (B − A) · r = 0. Po rozepsán´ı skal´ arn´ıho souˇcinu dostaneme

(x − a1 )r1 + (y − a2 )r2 = 0. Po rozn´ asoben´ı dostaneme r1 x + r2 y + c = 0, kde c = −a1 r1 − a2 r2 .

Dostáváme takzvanou obecnou rovnici pˇr´ımky. Odtud uˇz se m˚ uˇzeme jednoduch´ ymi u ´pravami pˇresunout k smˇernicové rovnici ve tvaru y = px + q, za pˇredpokladu r2 6= 0. Zat´ımco z parametrické rovnice rovnou vid´ıme smˇerov´ y vektor, v obecné rovnici je pˇr´ımo vidˇet normála n = (r1 , r2 ). Ve smˇernicové rovnici je zase vidˇet, jak n´ azev napov´ıd´ a, smˇernice pˇr´ımky. Plat´ı p = tan α, kde α je u ´hel, kter´ y pˇr´ımka sv´ır´ a s osou x. V´ yˇse zm´ınˇen´ y zp˚ usob vlastnˇe i ukazuje, proˇc obecnou rovnici pˇr´ımky m˚ uˇzeme napsat jen pokud se pohybujeme v rovinˇe R2 . Kdybychom byli v prostoru R3 , tak na normálu r bude kolm´ a nejen pˇr´ımka, kterou chceme popsat, ale i cel´ a rovina tvoˇren´ a pˇr´ımkami kolm´ ymi na r. Uk´ azka 1.2 (Jednoduch´ y pˇrevod popisu pˇr´ımky). Toto je konstrukce, která se m˚ uˇze obˇcas hodit. Urˇcete 2 rovnici pˇr´ımky (ve R ), která proch´ az´ı body A = [a1 , a2 ], B = [b1 , b2 ], kde pˇredpoklád´ ame a1 6= b1 . Urˇcete ji bez jakéhokoli poˇc´ıt´ an´ı smˇerového vektoru. Idea je jednoduch´ a, nejprve si uvˇedomme, ˇze rovnice pˇr´ımky obsahuje promˇenné x, y pouze v prvn´ı mocninˇe a souˇcasnˇe koeficienty u x, y nejsou 0. Budeme vytváˇret rovnici pˇr´ımky tak, aby pokud za x dosad´ıme a1 , dostaneme v´ ysledek y = a2 a podobnˇe pro x = b1 dostaneme y = b2 . Naˇse rovnice by pro zaˇcátek mohla vypadat takto y = a 2 · . . . + b2 · . . . Nyn´ı pˇrid´ ame k a2 , b2 dalˇs´ı prvky tak, aby kdyˇz do rovnice dosad´ıme a1 , ˇclen s b2 bude nulov´ y a vypadne. Stejnˇe tak pro b1 . To se udˇel´ a jednoduˇse y = a2 · (x − b1 ) + b2 · (x − a1 ). Nyn´ı vid´ıme, ˇze po dosazen´ı a1 n´ am sice vypadne druh´ y ˇclen, ale na pravé stranˇe jeˇstˇe poˇra´d nen´ı a2 , je tam nˇeco nav´ıc. To vyˇreˇs´ıme tak, ˇze ˇcleny jeˇstˇe vhodnˇe podˇel´ıme jin´ ym ˇclenem. Snadno m˚ uˇzeme dosazen´ım ovˇeˇrit, ˇze takto je to uˇz v poˇra´dku x − a1 x − b1 + b2 · . y = a2 · a 1 − b1 b1 − a1 Uk´ azka 1.3 (Dost´ aváme se k rovinˇe). Je jasné, ˇze bod a smˇerov´ y vektor pro urˇcen´ı roviny nestaˇc´ı. Mus´ıme m´ıt smˇerové vektory dva. Rovinu ̺ tedy definujeme pomoc´ı dvou r˚ uzn´ ych (line´ arnˇe nez´ avisl´ ych, jeden nen´ı n´ asobek druhého) smˇerov´ ych vektor˚ u u, v a jednoho bodu A a dvou re´ aln´ ych parametr˚ u s, t takto ̺ : [x, y, z] = a + t · u + s · v. Rovinu m˚ uˇzeme zadat i pomoc´ı rovnice

ax + by + cz + d = 0, kde (a, b, c) je normálov´ y vektor a aspoˇ n jedna jeho sloˇzka je nenulová.

8

Analytick´ a geometrie

Uk´ azka 1.4 (Poˇc´ıt´ ame pr˚ useˇc´ık). Urˇcete pr˚ useˇc´ık roviny ̺ : 2x + 4y − 3z + 1 = 0 a pˇr´ımky p : [x, y, z] = [0, 3, −1] + t · (1, −1, 2),

t ∈ R.

ˇ sen´ı: Hledáme bod, kter´ Reˇ y splˇ nuje obˇe rovnice. Dosad´ıme souˇradnice bodu s parametrem t z popisu pˇr´ımky do rovnice roviny a dostaneme 2 · (t) + 4 · (3 − t) − 3 · (−1 + 2t) + 1 = 0 Po vyˇreˇsen´ı rovnice dost´ aváme t = 2. Pr˚ useˇc´ık P dostaneme tak, ˇze zpˇetnˇe parametr dosad´ıme do parametrické rovnice pˇr´ımky. P = [0, 3, −1] + 2 · (1, −1, 2) = [2, 1, 3].

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Cv. 1.1 Jaké jsou moˇzné popisy pˇr´ımky v rovinˇe? Cv. 1.2 Pˇreved’te rovnicov´ y popis na parametrick´ y a naopak. Cv. 1.3 Zjistˇete zda bod [3, 1] leˇz´ı na pˇr´ımce p definované parametricky p : [x, y] = [2, 3] + t · (−1, 2). Cv. 1.4 Jaké jsou moˇzné popisy roviny v prostoru? Cv. 1.5 Jaké jsou moˇzné popisy pˇr´ımky v prostoru? Cv. 1.6 Najdˇete rovnicové vyjádˇren´ı roviny s bodem [1, 1, 1] a smˇernicemi (1, 2, 3), (2, 0, 1). Cv. 1.7 Najdˇete parametrické vyjádˇren´ı roviny 3x1 − x2 + 2x3 = 5. Cv. 1.8 Urˇcete parametrick´ y popis pˇr´ımky: −x + y + z = 1, −x + 2y = 3. Cv. 1.9 Najdˇete dvˇe rovnice popisuj´ıc´ı pˇr´ımku [2, 1, 1] + t(1, 2, 0). Cv. 1.10 Zjistˇete, zda bod D = [−1, −1, 3] leˇz´ı v rovinˇe dané body A = [1, 2, −1], B = [3, 1, 1], C = [−1, 1, 0]. Cv. 1.11 Urˇcete vˇsechny moˇzné vzájemné polohy dvou pˇr´ımek v prostoru R3 . Dále, popiˇste, jak lze dané polohy zjistit, pokud jsou obˇe pˇr´ımky definovány parametrick´ ymi rovnicemi nebo obecn´ ymi rovnicemi. Cv. 1.12 Urˇcete vzájemnou polohu tˇr´ı pˇr´ımek zadan´ ych bodem a smˇernic´ı p : [1, 0, 1], (1, 2, 3), q : [0, 1, 2], (0, 1, 1), r : [1, 0, 1], (0, 2, 2). Cv. 1.13 Urˇcete mnoˇzinu bod˚ u stejnˇe vzdálen´ ych od bod˚ u [2, 1, 2] a [0, 1, 0]. Cv. 1.14 Urˇcete vzdálenost mezi bodem A = [1, 2, 3] a rovinou ̺ : 2x + y + 2z − 6 = 0. Cv. 1.15 Na pˇr´ımce urˇcené rovnicemi x + y + 2z = 1, 3x + 4y − z = 29 najdˇete bod Q, kter´ y je stejnˇe vzdálen´ y od bodu A = [3, 4, 11] jako od bodu B = [−5, −2, −13].


2

9

Soustavy line´ arn´ıch rovnic

Uk´ azka 2.1 (Element´ arn´ı operace). Uvaˇzujme elementárn´ı ˇra´dkové operace: 1. vyn´ asoben´ı i-tého ˇra´dku ˇc´ıslem α 6= 0, 2. pˇriˇcten´ı j-tého ˇra´dku k i-tému, 3. pˇriˇcten´ı α-n´ asobku j-tého ˇra´dku k i-tému, i 6= j, 4. v´ ymˇena i-tého a j-tého ˇra´dku. Posledn´ı dvˇe operace se daj´ı vyjádˇrit pomoc´ı prvn´ıch dvou. Vyjádˇrete je. ˇ sen´ı: Tˇret´ı operaci jednoduˇse udˇeláme n´ Reˇ asledovnˇe, pokud je α = 0 logicky nedˇeláme nic. Pokud je nenulové, j-t´ y ˇra´dek vyn´ asob´ıme α, pˇriˇcteme ho k i-tému a pak j-t´ y ˇra´dek zp´ atky vydˇel´ıme α. ˇ Ctvrtou operaci vyjádˇr´ıme n´ asledovnˇe:       .. .. .. . . .        ui  j-tý pˇriˇcteme  ui + uj  i-tý odeˇcteme  ui + uj         ..  k i-tému   od j-tého   .. .. ∼ ∼  .      . .        uj      uj      −ui  .. .. .. . . .     .. ..  .   .    uj  j-t´ y j-t´ y pˇriˇ cteme   uj    vyn´ a sob −1 k i-t´ emu  ..   ..  ∼ ∼  .   . .      −ui   ui      .. .. . .

Uk´ azka 2.2. Dokaˇzte form´ alnˇe, ˇze elementárn´ı ˇra´dkové u ´pravy nemˇen´ı mnoˇzinu ˇreˇsen´ı soustavy. ˇ sen´ı: Necht’ (A | b) o rozmˇerech m×n je p˚ Reˇ uvodn´ı soustava, a necht’ (A∗ | b∗ ) je soustava s provedenou elementárn´ı ˇra´dkovou operac´ı. Staˇc´ı ukázat pro prvn´ı dvˇe elementárn´ı ˇra´dkové u ´pravy, ˇze kdyˇz nˇejak´ y ∗ ∗ vektor x ˇreˇs´ı (A | b), tak ˇreˇs´ı i (A | b ) a naopak. Jin´ ymi slovy, ˇze mnoˇzina ˇreˇsen´ı obou soustav je stejn´ a. A tedy element´ arn´ı ˇra´dkové u ´pravy zachovávaj´ı mnoˇzinu ˇreˇsen´ı. Je nutno podotknout, ˇze zat´ım jsme si neˇrekli, co vlastnˇe m˚ uˇze vˇsechno b´ yt mnoˇzina ˇreˇsen´ı soustavy rovnic, i bez takového vysloven´ı bude n´ asleduj´ıc´ı d˚ ukaz korektn´ı. Uvˇedomme si d´ ale, ˇze jedin´ y ˇra´dek, kter´ y je v obou soustavách rozd´ıln´ y je ˇra´dek i-t´ y. Proto zkoum´ ame jen onu rovnici reprezentovanou t´ımto ˇra´dkem. 1. ⇒“ Necht’ x je ˇreˇsen´ı (A | b). Zkus´ıme zda x bude vyhovovat i pro i-t´ y ˇra´dek soustavy (A∗ | b∗ ): ” A∗i1 x1 + . . . + A∗in xn = αAi1 x1 + . . . + αAin xn = α(Ai1 x1 + . . . + Ain xn ) = α(bi ) = b∗i . Prvn´ı rovnost dostaneme z definice operace n´ asoben´ı ˇra´dku skalárem, druhou z distributivity n´ asoben´ı re´ aln´ ych ˇc´ısel, tˇret´ı z toho, ˇze v´ıme, ˇze x ˇreˇs´ı soustavu (A | b), a tedy i jej´ı i-t´ y ˇra´dek, a posledn´ı rovnost m´ ame opˇet z definice n´ asoben´ı ˇra´dku skalárem. ⇐“ Vektor x necht’ ˇreˇs´ı (A∗ | b∗ ). Zkus´ıme, zda ˇreˇs´ı i (A | b). ” A∗ x1 + . . . + A∗in xn b∗ αbi α = i = = bi . Ai1 x1 + . . . + Ain xn = (Ai1 x1 + . . . + Ain xn ) = i1 α α α α Prvn´ı rovnost jsme dostali jedn´ım pˇekn´ ym trikem, druhou z definice n´ asoben´ı ˇra´dku skalárem, tˇret´ı z toho, ˇze x ˇreˇs´ı (A∗ | b∗ ) a pˇredposledn´ı opˇet z definice n´ asoben´ı ˇra´dku skal´ arem.

2. ⇒“ Necht’ x je ˇreˇsen´ı (A | b). Pak ”

A∗i1 x1 + . . . + A∗in xn = (Ai1 + Aj1 )x1 + . . . + (Ain + Ajn )xn = (Ai1 x1 + . . . + Ain xn ) + (Aj1 x1 + . . . + Ajn xn ) = bi + bj = b∗i .

10

Soustavy line´ arn´ıch rovnic ⇐“ Vektor x necht’ ˇreˇs´ı (A∗ | b∗ ). Pak ” Ai1 x1 + . . . + Ain xn = (Ai1 x1 + . . . + Ain xn ) + (Aj1 x1 + . . . + Ajn xn ) − (Aj1 x1 + . . . + Ajn xn ) = (A∗i1 x1 + . . . + A∗in xn ) − bj = b∗i − bj = bi + bj − bj = bi .

U d˚ ukaz˚ u je potˇreba si uvˇedomit, co uˇz zn´ am (uˇz v´ım, ˇze x mi nˇeco ˇreˇs´ı), a ve správn´ y ˇcas to pouˇz´ıt. Uk´ azka 2.3 (Soustava rovnic). Vyˇreˇste soustavu rovnic 2x + y + z 6x + 2y + z −2x + 2y + z ˇ sen´ı: Nap´ıˇseme rozˇs´ıˇrenou matici soustavy a Reˇ    1 2 1 1 2 1  6 2 1 −1 II. −∼3×I.  0 −1 −2 2 1 −2 2 7  2 1 III. + 3×II.  0 −1 ∼ 0 0

= 1, = −1, = 7.

aplikujeme postupnˇe elementárn´ı ˇra´dkové u ´pravy.    1 1 1 2 1 1 III. + I.  −2 −4 0 −1 −2 −4 ∼ ∼ 1 0 3 2 7 8  1 1 −2 −4 . −4 −4

Zpˇetnou substituc´ı smˇerem od posledn´ıho ˇra´dku k prvn´ımu dost´ aváme z posledn´ıho rovnici z = 1. Z druhé rovnice −y − 2z = −4 dost´ aváme y = 2 a koneˇcnˇe z prvn´ı rovnice 2x + y + z = 1 dostaneme x = −1. ˇ sen´ı je tedy pouze jedno a to vektor (x, y, z) = (−1, 2, 1). Reˇ Uk´ azka 2.4 (Homogenn´ı soustava). Najdˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 0, 2x1 + 4x2 + x3 + 3x4 = 0, 3x1 + 6x2 + x3 + 4x4 = 0. ˇ sen´ı: Nap´ıˇseme rozˇs´ıˇrenou matici soustavy a eliminujeme postupnˇe pomoc´ı elementárn´ıch ˇra´dkov´ Reˇ ych u ´prav.       1 2 2 3 0 1 2 2 3 0 1 2 2 3 0 3×I.  2 4 1 3 0 II. −∼2×I. 0 0 −3 −3 0 III. − 0 0 −3 −3 0 ∼ ∼ 3 6 1 4 0 3 6 1 4 0 0 0 −5 −5 0   1 2 2 3 0 III. − 53 ×II.  0 0 −3 −3 0 . ∼ 0 0 0 0 0

Je vidˇet, ˇze matice m´ a menˇs´ı hodnost neˇz 4, a tedy budeme m´ıt volné promˇenné, které budou fungovat jako parametry. Jsou to neb´ azicke promˇenné x2 a x4 . Budeme s nimi provádˇet normálnˇe klasicky zpˇetnou substituci a pomoc´ı nich parametricky vyjádˇr´ıme vˇsechna moˇzn´ a ˇreˇsen´ı. Z druhé rovnice −3x3 − 3x4 = 0 dostaneme x3 = −x4 . A z prvn´ı rovnice x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 0 dostaneme x1 = −2x2 − 2x3 − 3x4 = ˇ sen´ı tedy je ve tvaru −2x2 − x4 . Reˇ x4 = x4 , x3 = − x4 ,

x2 = x2 ,

x1 = − 2x2 − x4 .


11

Jin´ y uˇziteˇcn´ y z´ apis ˇreˇsen´ı je v n´ asleduj´ıc´ı podobˇe. Kdyˇz se pod´ıváme na maticové operace po ˇra´dc´ıch dostaneme v´ yˇse zm´ınˇen´ y z´ apis. kde x2 , x4 ∈ R.

(x1 , x2 , x3 , x4 ) = x2 · (−2, 1, 0, 0) +x4 · (−1, 0, −1, 1), | {z } {z } | h1

h2

Vˇsimnˇeme si, ˇze vˇsechna ˇreˇsen´ı této soustavy jsme schopni popsat jako nˇejakou kombinac´ı dvou vektor˚ u ’ h1 a h2 . Dále je dobré si povˇsimnout, ˇze h1 i h2 jsou také ˇreˇsen´ımi soustavy, nebot staˇc´ı vˇzdy u jednoho parametru zvolit 0 a u druhého 1. Na pravé stranˇe zadané soustavy jsou samé nuly. Taková soustava se naz´ yv´ a homogenn´ı. Na druhou stranu m´ ame i soustavu nehomogenn´ı, ta na pravé stranˇe obsahuje alespoˇ n jednu nenulu. Homogenn´ı soustava m´ a vˇzdy alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı, jedná se o nulov´ y vektor, tzv. trivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı. Uk´ azka 2.5 (Soustava se nekoneˇcnˇe ˇreˇsen´ımi). Vezmeme si nyn´ı stejnou soustavu jako v ukázce 2.4, akor´ at nenulovou pravou stranou. x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 4, 2x1 + 4x2 + x3 + 3x4 = 5, 3x1 + 6x2 + x3 + 4x4 = 7. A aplikujeme na ni tytéˇz eliminaˇcn´ı kroky jako na soustavu dˇr´ıvˇejˇs´ı.       4 0 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 4 3×I.  2 4 1 3 5 II. −∼2×I. 0 0 −3 −3 −3 III. − 0 0 −3 −3 −3 ∼ ∼ 3 6 1 4 7 3 6 1 4 0 0 −5 −5 −5 7   1 2 2 3 0 III. − 53 ×II. 0 0 −3 −3 −3 . ∼ 0 0 0 0 0

Zpˇetnou substituc´ı dostaneme ˇreˇsen´ı

x4 = x4 , x3 = 1 − x4 ,

x2 = x2 ,

x1 = 2 − 2x2 − x4 . Po rozepsán´ı do druhého tvaru m´ a ˇreˇsen´ı x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) tvar x = (1, 0, 1, 0) +x2 · (−2, 1, 0, 0) +x4 · (−1, 0, −1, 1) , | {z } | {z } {z } | u

h1

kde x2 , x4 ∈ R.

h2

Dostali jsme zde stejné vektory h1 , h2 . Je vidˇet, ˇze celé ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy je posunuté oproti ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné homogenn´ı soustavy o nˇejak´ y nenulov´ y vektor u. Tud´ıˇz vˇsechna ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy lze vyjádˇrit jako jedno konkrétn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy plus mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné homogenn´ı soustavy. Uk´ azka 2.6 (Poˇc´ıt´ an´ı s omezenou pˇresnost´ı). Jak vypadá floating point number? Odpov´ıd´ a tvaru ±d1 , d2 d3 . . . dt × β ǫ P´ısmeno t znaˇc´ı pˇresnost, neboli poˇcet ˇc´ıslic reprezentace, a p´ısmeno β pˇredstavuje základ, ve kterém ˇ ıslo reprezentujeme tak, ˇze d1 6= 0. P´ısmeno ǫ je poˇc´ıtáme – na pap´ıˇre to b´ yv´ a 10, na poˇc´ıtaˇci 2. C´ exponent. Plat´ı 0 ≤ di ≤ β − 1 pro vˇsechna i > 1. Oznaˇcme fl (v) poˇc´ıtaˇcovou reprezentaci ˇc´ısla v ∈ R, v naˇsem pˇr´ıpadˇe uvaˇzujeme zaokrouhlen´ı k nejbliˇzˇs´ımu reprezentovatelnému ˇc´ıslu.

12


Pˇr´ıklad. Soustava −10−4 x + y = 1, x+y =2

1.0002 1 , x2 = 1.0001 . V aritmetice s pˇresnost´ı na 3 ˇc´ıslice (tj., t = 3) vˇsak Gaussova m´ a pˇresné ˇreˇsen´ı x1 = 1.0001 eliminace uprav´ı matici na tvar −10−4 1 1 1 −10−4 1 ∼ , 1 1 2 0 104 104

protoˇze fl (1 + 104 ) = fl(1.0001 × 104 ) = 1.00 × 104 = 104 ,

fl (2 + 104 ) = fl(1.0002 × 104 ) = 1.00 × 104 = 104 .

Zpˇetnou substituc´ı dostaneme ˇreˇsen´ı x2 = 1, x1 = 0, coˇz je hodnˇe daleko od správného“ ˇreˇsen´ı. ” Co s t´ım? Pomoci n´ am m˚ uˇze nˇekdy tzv. ˇcásteˇcn´ a pivotizace, kdy v pivotn´ım sloupeˇcku hled´ am koeficient s maximáln´ı absolutn´ı hodnotou. T´ımto postupem dostaneme 1 1 2 1 1 2 ∼ , −10−4 1 1 0 1 1 protoˇze fl (1 + 10−4 ) = fl (1.0001 × 100 ) = 1.00 × 100 = 1,

fl (1 + 2 · 10−4 ) = fl (1.0002 × 100 ) = 1.00 × 100 = 1. To n´ am d´ avá ˇreˇsen´ı x1 = 1, x2 = 1, coˇz uˇz je bliˇzˇs´ı správnému ˇreˇsen´ı.

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Motivace k soustav´ am rovnic Cv. 2.1 Geometrická interpretace soustav rovnic jako pr˚ uniku nadrovin. Cv. 2.2 Co je ˇreˇsen´ım soustavy 3 × 3? Cv. 2.3 Najdˇete kvadratickou funkci proch´ azej´ıc´ı body [0, 3], [1, 2], [3, 6]. Podot´ azka: kdy pˇri prokl´ ad´ an´ı bod˚ u polynomem existuje ˇreˇsen´ı a je jednoznaˇcné? Cv. 2.4 Urˇcete stˇred kruˇznice proch´ azej´ıc´ı body [0, 1], [−1, 1] a [2, 0]. Cv. 2.5 Biologick´ y laborant chová 100 myˇs´ı ve ˇctyˇrech komor´ ach spojen´ ych n´ asleduj´ıc´ımi pr˚ uchody: 1 − 2, 2 − 3, 2 − 4 a 3 − 4. Empiricky vypozoroval, ˇze v kaˇzdé komoˇre z˚ ustane 40% myˇs´ı a zbytek se rovnomˇernˇe rozpt´ yl´ı do sousedn´ıch komor. Pokud na konci pokusu v komor´ ach bylo 12, 25, 26 a 37 myˇs´ı, kolik jich bylo na zaˇc´ atku? Cv. 2.6 Ethan se na vzduchu spaluje na vodu a oxid uhliˇcit´ y, coˇz se vyjadˇruje chemick´ ym vzorcem C2 H6 + O2 → CO2 + H2 O. Striktnˇe vzato, toto nen´ı chemická rovnice, protoˇze poˇcet jednotliv´ ych atom˚ u vod´ıku, kysl´ıku a uhl´ıku se na levé stranˇe liˇs´ı od tˇech napravo. Doplˇ nte poˇcty molekul, aby rovnost platila. Cv. 2.7 Uvaˇzujme neob´ yvan´ y d˚ um se ˇctyˇrmi m´ıstnostmi dle obr´ azku:


13 5◦ C x1

x2

20◦ C

10◦ C x3

x4 25◦ C

Z jihu je d˚ um ohˇr´ıván pr˚ umˇernou teplotou 25◦ C, z v´ ychodu 10◦ C, ze západu 20◦ C a ze severu ◦ 5 C. Urˇcete teplotu x1 , . . . , x4 v jednotliv´ ych m´ıstnostech pokud zn´ ame (zjednoduˇsenou) fyzikáln´ı pouˇcku, ˇze teplota dané oblasti je pr˚ umˇerem teplot okol´ıch oblast´ı.

Gaussova a Gaussova–Jordanova eliminace Cv. 2.8 Definujte pojem (redukovan´ y) odstupˇ novan´ y tvar matice. Cv. 2.9 Vyˇreˇste Gaussovou a Gaussovou–Jordanovou eliminac´ı soustavy    −3 2 2 1 2 3 7    3 2 −1 (a) 1 −3 2 5 , (b) 1 1 1 3 1 6 −4 Cv. 2.10 Vyˇreˇste soustavy line´ arn´ıch rovnic   5 −3 6 2 3 , (a) 1 −2 1 2 3 3 −1



 2 1 2 1 (b) 3 1 3 2 , 3 2 1 3

line´ arn´ıch rovnic  7 4 . 1



 2 1 3 3 (c) 4 2 2 2 . 4 2 1 1

Cv. 2.11 Vyˇreˇste soustavu line´ arn´ıch rovnic 

 5 −9 5 1 1 −2 1 0 . 2 −3 2 1 Co se stane s mnoˇzinou ˇreˇsen´ı kdyˇz pravou stranu zmˇen´ıme na samé nuly? Nebo jinak? Cv. 2.12 Urˇcete, které homogenn´ı soustavy maj´ı stejné mnoˇziny ˇreˇsen´ı    1 3 4 1 1 1 0 2 2 2 0 0 , (b)  (a) 3 1 0 2 3 2 0 −1 0 2 −2 −4    1 1 1 0 1 1 1 (c)  2 2 2 0 , (d) 2 0 1 −1 −1 −1 0 0 2 1

 0 0 , 0 0  0 0 . 0

Cv. 2.13 Kolik existuje r˚ uzn´ ych REF tvar˚ u (typovˇe bex konkrétn´ıch ˇc´ısel) pro matice 3 × 4? Cv. 2.14 Necht’ matice A je v REF tvaru. Jaké podmatice A jsou také v REF? Cv. 2.15 Proˇc se dˇelaj´ı element´ arn´ı u ´pravy na ˇra´dky a ne na sloupce?

14


Cv. 2.16 Jaké jsou obl´ıbené neekvivalentn´ı ˇra´dkové u ´pravy? Cv. 2.17 Uvaˇzujme soustavu

10−3 −1 1 . 1 1 0

(a) Vyˇreˇste soustavu pˇresnˇe. (b) Vyˇreˇste soustavu s aritmetikou s omezenou pˇresnost´ı na 3 ˇc´ıslice a bez pivotizace. (c) Vyˇreˇste soustavu s aritmetikou s omezenou pˇresnost´ı na 3 ˇc´ıslice a s ˇcásteˇcnou pivotizac´ı (pivotem je kandidát s nejvˇetˇs´ı absolutn´ı hodnotou). Cv. 2.18 Najdˇete (a) soustavu 3 line´ arn´ıch rovnic o 4 promˇenn´ ych s ˇreˇsen´ım (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, 0, 1, 0) + x2 · (−2, 1, 0, 0) + x4 · (−3, 0, 2, 1), kde x2 , x4 ∈ R. (b) ˇctvercovou soustavu s ˇreˇsen´ım (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, 2, 0) + t · (2, 1, 1), kde t ∈ R. Cv. 2.19 Najdˇete soustavu 3 × 4 maj´ıc´ı za ˇreˇsen´ı (a) t · (−2, 1, 0, 0), t ∈ R,

(b) t · (−2, 1, 0, 0) + s · (−3, 0, 2, 1), t, s ∈ R, Cv. 2.20 M˚ uˇze se pˇri element´ arn´ıch ˇra´dkov´ ych u ´pravách matice A objevit ˇra´dek r nebo s? 1 1 1 A= , r = 3 −2 5 , s = 1 4 −1 . 4 −1 6 Cv. 2.21 Vyˇreˇste soustavu line´ arn´ıch rovnic s r˚ uzn´ ymi prav´ ymi stranami       0 2 −3 −9 0 2 −3 1 0 2 −3 −1  1 −5 4 1  ,  1 −5 4 13  ,  1 −5 4 5 . 3 −3 1 2 −3 −3 1 2 −3 1 2 −15 Cv. 2.22 V´ıme, ˇze A ∈ Rn×n , b ∈ Rn , n ≥ 2 a vˇsechny prvky matice (A | b) br´ any postupnˇe po ˇra´dc´ıch tvoˇr´ı aritmetickou posloupnost. V´ıme-li jeˇstˇe, ˇze ˇreˇsen´ı soustavy je jednoznaˇcné, m´ ate vˇsechny indicie jej nalézt!

Neline´ arn´ı soustavy Cv. 2.23 Vyˇreˇste soustavu neline´ arn´ıch rovnic   3 2 sin α − cos β 3 tan γ 4 sin α 2 cos β −2 tan γ 10 . 9 6 sin α −3 cos β 1 tan γ Cv. 2.24 Vyˇreˇste soustavy neline´ arn´ıch rovnic (a) xyz = 1, xy = 2, yz = 3. √ (b) xy 3 z = 12, x y = 2, yz 2 = 6.


15

Soustavy s parametry Cv. 2.25 Vyˇreˇste soustavy line´ arn´ıch rovnic s parametrem a ∈ R a 1 1 a 1 a2 a a + 3 2a + 1 (a) , (b) , (c) , a 1 a 1 1 a 1 2a − 1 2a + 1   2a + 1 a 2a 1 (d)  a 1 a + 1 0 . 2a 0 2a 0 Cv. 2.26 Pro jaké parametry maj´ı soustavy ˇreˇsen´ı?   1 −3 b1 3 1 b2   (a)  1 7 b3  , 2 4 b4

 1 2 3 b1 (b) 2 5 3 b2  . 1 0 8 b3 

Velk´ e soustavy Cv. 2.27 Vyˇreˇste soustavu line´ arn´ıch rovnic n × n 

1 0  −1 1 (a)   .. ..  . . −1 . . .



0 1 .. ..  . .  ..  , 0 . −1 1 1

... .. . .. .



2

 1   (b) 0   .. .

1 .. . .. . .. .

0 ...

0 ... .. .. . . .. .. . . .. .. . . 0 1

0 .. . 0

0 .. . .. .

0 1 n+1 (n + 1) 2 (−1)



    .   

16

3

Operace s maticemi

Operace s maticemi Maticov´ y souˇcin: A ∈ Rm×pP , B ∈ Rp×n , pak AB ∈ Rm×n a (AB)ij = pk=1 Aik Bkj .

Uk´ azka 3.1. Dokaˇzte (AB)T = B T AT . ˇ sen´ı: Aby v´ Reˇ yrazy d´ avaly smysl, mus´ı matice m´ıt rozmˇery A ∈ Rm×p , B ∈ Rp×n . Pak v´ ysledné matice na obou stranách rovnice maj´ı rozmˇer n × m, a prvek na pozici (i, j) jest roven T

((AB) )ij = (AB)ji =

p X

Ajk Bki =

k=1

p X k=1

Rn ,

Bki Ajk

p X = (B T )ik (AT )kj = (B T AT )ij . k=1

Uk´ azka 3.2. Najdˇete takov´ y vektor x ∈ aby platilo     1 1 1 ... 1 1 1 2 2 . . . 2  2     1 2 3 . . . 3      x = 3 .  .. .. .. . .   ..  . . . . . . ..  1 2 3 ... n n

ˇ sen´ı: Je d˚ Reˇ uleˇzité d´ıvat se na soustavu line´ arn´ıch rovnic z pohledu maticového n´ asoben´ı. Zde vlastnˇe chceme, abychom po vyn´ asoben´ı matice vektorem x = (x1 , x2 , . . . , xn )T dostali poˇzadovan´ y vektor napravo. Maticové n´ asoben´ı znamená, ˇze prvn´ı sloupec matice n´ asob´ıme x1 , druh´ y sloupec x2 aˇz n-t´ y sloupec xn , pak to vˇsechno seˇcteme a ve v´ ysledku chceme dostat vektor na pravé stranˇe. Na ˇreˇsen´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic se tud´ıˇz m˚ uˇzeme téˇz d´ıvat jako na vˇsechny moˇzné n-tice ˇc´ısel, které, kdyˇz jimi vyn´ asob´ıme popoˇradˇe sloupce matice, n´ am daj´ı vektor na pravé stranˇe. Zde je vidˇet, ˇze posledn´ı sloupec matice je shodn´ y s vektorem na pravé stranˇe, takˇze jedno z moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı bude x = (0, 0, . . . , 0, 1)T . Pokud provedeme Gaussovu eliminaci, zjist´ıme, ˇze soustava m´ a pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı, a to naˇse x. Uk´ azka 3.3 (V´ ypoˇcetn´ı sloˇzitost n´ asoben´ı matic). Urˇcete kolik operac´ı + a · je potˇreba k vyn´ asoben´ı dvou matic o rozmˇerech n × n. ˇ sen´ı: Pˇredstavme si naˇse obdéln´ıkové schéma na n´ Reˇ asoben´ı matic, v´ ysledn´ a matice m´ a rozmˇer n × n. To znamená, ˇze potˇrebujeme spoˇc´ıtat n2 prvk˚ u v´ ysledné matice. Kaˇzd´ y prvek podle definice n´ asoben´ı dostaneme vyn´ asoben´ım n pˇr´ısluˇsn´ ych prvk˚ u z pˇr´ısluˇsného ˇra´dku a sloupce a (n − 1)-krát pouˇzijeme operaci + na seˇcten´ı tˇechto n produkt˚ u. Celkem tedy pouˇzijeme n3 n´ asoben´ı a n3 − n2 sˇc´ıtán´ı. ˇ Pozn´ amka. Casto se operace + a · berou jako trvaj´ıc´ı stejnou dobu (coˇz ne vˇzdy mus´ı b´ yt pravda) a oznaˇcuj´ı se jako element´ arn´ı operace. Zavád´ı se notace O(f (n)) tzv. asymptotick´ a sloˇzitost, která ˇr´ıká, ˇze algoritmus provede zhruba“ f (n) operac´ı na vstupu o rozmˇeru n. Napˇr´ıklad pro polynomy n´ as zaj´ım´ a ” nejvyˇsˇs´ı mocnina, a to bez koeficientu. Je to rozumné z toho d˚ uvodu, ˇze kdyˇz za n dosad´ıme hodnˇe velké ˇc´ıslo, pˇreváˇz´ı jen ty ˇcleny s nejvˇetˇs´ı mocninou. T´ımto dokáˇzeme algoritmy klasifikovat do tˇr´ıd podle O(f (n)). Algoritmus n´ asoben´ı matic se vstupem o rozmˇerech n vykon´ a celkem 2n3 − n2 operac´ı, coˇz je O(n3 ). Uk´ azka 3.4 (Blokové matice). Urˇcete, jaké rozmˇery mus´ı m´ıt dané podmatice, aby mˇelo smysl blokové n´ asoben´ı AE + BG AF + BH E F A B . = CE + DG CF + DH G H C D

ˇ sen´ı: Vyjdeme z podm´ınek, ˇze poˇcet ˇra´dk˚ Reˇ u matic A, B je stejn´ y, a podobnˇe pro p´ ary (C, D), (E, F ) a (G, H). Analogicky, poˇcet sloupc˚ u matic A, C je stejn´ y, a podobnˇe pro ostatn´ı. Dále, souˇciny AE, BG, . . . mus´ı d´ avat smysl. Dohromady n´ am z toho vypl´ yvaj´ı takovéto rozmˇery: A : m1 × n 1 ,

C : m2 × n 1 ,

B : m1 × n 2 ,

D : m2 × n 2 ,

E : n 1 × p1 ,

G : n 2 × p1 ,

F : n 1 × p2 ,

H : n 2 × p2 .


17

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Cv. 3.1 Vyjmenujete vlastnosti maticového sˇc´ıtán´ı, n´ asoben´ı a transpozice. Cv. 3.2 Najdˇete pˇr´ıklad nekomutativnosti n´ asoben´ı ˇctvercov´ ych matic 2 × 2. Cv. 3.3 Dokaˇzte z definice: (a) (A + B)T = AT + B T , (b) α(AB) = (αA)B = A(αB), (c) A(B + C) = AB + AC, (d) In A = A. Cv. 3.4 Dokaˇzte: (a) (ABC)T = C T B T AT , (b) AT A je symetrická matice pro kaˇzdé A ∈ Rm×n . Cv. 3.5 Matice A m´ a nulov´ y i-t´ y ˇra´dek. Co m˚ uˇzeme ˇr´ıci o v´ ysledku (a) AB? (b) BA? Cv. 3.6 Rozhodnˇete zda plat´ı pro ˇctvercové matice: (a) AB = 0 ⇔ (A = 0 ∨ B = 0).

(b) AB = AC ⇒ B = C.

Cv. 3.7 Najdˇete vˇsechny matice A ∈ R2×2 takové, ˇze: (a) A2 = 0. (b) A2 = I2 . Cv. 3.8 V´ ypoˇcetn´ı sloˇzitost. (a) Bud’ A matice ˇra´du 10 × 5, B matice ˇra´du 5 × 20, a C matice ˇra´du 20 × 1. Jak co nejefektivnˇeji (co do poˇctu aritmetick´ ych operac´ı) spoˇc´ıtat souˇcin ABC? (b) Bud’ A ∈ Rn×n , b ∈ Rn . Chceme-li urˇcit Ak b, je rychlejˇs´ı (=stoj´ı ménˇe aritmetick´ ych operac´ı) spoˇc´ıtat to pomoc´ı A(A(. . . (Ab))) nebo pomoc´ı (Ak )b, kde Ak vypoˇc´ıtáme ˇsikovn´ ym mocnˇen´ım A (tj., s vyuˇzit´ım mocnin typu A, A2 , A4 , A8 , . . . )? Existuje jeˇstˇe jin´ y, rychlejˇs´ı zp˚ usob? Zkuste konkrétnˇe pro k = 28 a n = 30. !n n n n 211 In n1 1n a 1 7 4 1 0 1 1 . , , , , Cv. 3.9 Spoˇc´ıtejte 0 a −9 −5 a 1 0 1 0n n1 1n  0 ... 0 1  .. . . . Cv. 3.10 Co je v´ ysledkem souˇcinu  . . 1 . 0.  A? 0 . . . . .. 1 0

... 0

Cv. 3.11 Ukaˇzte, ˇze souˇcin horn´ıch troj´ uheln´ıkov´ ych matic je zase horn´ı troj´ uheln´ıková matice. (A je horn´ı troj´ uheln´ıková pokud aij = 0 pro vˇsechna i > j.)

Cv. 3.12 Co dˇelaj´ı matice element´ arn´ıch ˇra´dkov´ ych u ´prav pˇri n´ asoben´ı matice A zprava? Cv. 3.13 Hodnost. (a) Bud’ a, b ∈ Rn . Urˇcete rank(abT ).

18

Operace s maticemi (b) Rozhodnˇete zda pro kaˇzdé A, B ∈ Rn×n je rank(AB) = rank(BA).

(c) Rozhodnˇete zda existuj´ı A, B ∈ Rn×n tak, ˇze rank(AB) < min{rank(A), rank(B)}.

Cv. 3.14 Urˇcete eTi Aej . Cv. 3.15 Máme A, B T ∈ R4×2 takové, ˇze 

 1 0 −1 0 0 1 0 −1 . AB =  −1 0 1 0 0 −1 0 1 Spoˇc´ıtejte BA. (Hint: rozdˇelen´ı matice do blok˚ u.) Cv. 3.16 Najdˇete matici Q ∈ R3×3 Je matice Q jednoznaˇcn´ a?



 1 2 3 4 tak, aby QA = RREF(A) pro A = 2 4 6 7 . 1 2 3 6

Cv. 3.17 Najdˇete ˇctvercovou matici A ˇra´du n splˇ nuj´ıc´ı I − A = A2 . Cv. 3.18 Bud’te A, B ∈ Rn×n takové, ˇze ABAB = 0. Mus´ı pak BABA = 0? Cv. 3.19 Bud’ A ∈ Rn×n a k ≥ 1. Plat´ı vˇzdy rank(Ak ) = rank(RREF(A)k )? Cv. 3.20 Bud’ A ∈ Rn×n taková, ˇze A ≥ 0 a Ak > 0 pro nˇejaké k ∈ N. Ukaˇzte, ˇze Ak+1 > 0. (Nerovnost se mysl´ı v kaˇzdé sloˇzce matice.) Cv. 3.21 Matice A, B ∈ Rn×n spolu komutuj´ı pokud AB = BA. (a) Najdˇete vˇsechny matice A ∈ Rn×n , které komutuj´ı se vˇsemi maticemi téhoˇz ˇra´du.

(b) Popiˇste matice A ∈ Rn×n , které komutuj´ı s matic´ı sloˇzenou ze sam´ ych jedniˇcek.

(c) Bud’ D ∈ Rn×n diagon´ aln´ı matice s r˚ uzn´ ymi prvky na diagon´ ale. Ukaˇzte, ˇze D komutuje jen s diagon´ aln´ımi maticemi. P (d) Pro A, B ∈ Rn×n komutuj´ıc´ı dokaˇzte maticovou binomickou vˇetu: (A+B)n = nk=0 nk Ak B n−k .

Cv. 3.22 Ukaˇzte, ˇze souˇcin matic A ∈ Rm×k , B ∈ Rk×n je moˇzné vyjádˇrit jako AB = a1 bT1 + . . . + ak bTk , kde ai = A∗i , bi = Bi∗ . Cv. 3.23 Matice A ∈ Rn×n je stochastick´ a (nebo téˇz markovsk´ a, srov. Sekce 23) pokud prvky leˇz´ı v intervalu [0, 1] a souˇcet kaˇzdého sloupce je 1. Dokaˇzte, ˇze souˇcin markovsk´ ych matic je markovsk´ a matice. Cv. 3.24 Matice A ∈ Rn×n je dvojitˇe stochastick´ a pokud prvky leˇz´ı v intervalu [0, 1] a souˇcet kaˇzdého ˇra´dku i sloupce je 1. Dokaˇzte, ˇze dvojitˇe stochastické matice jsou uzavˇrené (a) na souˇcin, n×n dvojitˇ (b) na e stochastické, α1 , . . . , αk ≥ 0, Pkkonvexn´ı kombinace Pk (tj., jsou-li A1 , . . . , Ak ∈ R e stochastická). i=1 αk = 1, pak i=1 αk Ak je dvojitˇ

Cv. 3.25 Reprezentujte komplexn´ı ˇc´ısla spolu se sˇc´ıt´ an´ım a n´ asoben´ım pomoc´ı re´ aln´ ych matic 2 × 2. Cv. 3.26 Symetrické matice. (a) Je v´ ysledkem souˇcinu symetrick´ ych matic symetrická matice? (b) Bud’ AB = C a matice B, C symetrické. Mus´ı pak b´ yt A také symetrická?


19

(c) Komutuj´ı symetrické matice? To jest, plat´ı AB = BA pro A, B ∈ Rn×n symetrické?

(d) Bud’te A, B ∈ Rn×n symetrické. Ukaˇzte, ˇze C := AB − BA je antisymetrická (tj., C T = −C). P Cv. 3.27 Stopa matice A ∈ Rn×n je ˇc´ıslo trace(A) = ni=1 Aii . (a) Dokaˇzte trace(A + B) = trace(A) + trace(B) pro libovolné A, B ∈ Rn×n .

(b) Dokaˇzte trace(AB) = trace(BA) pro libovolné A ∈ Rm×n a B ∈ Rn×m . (c) Ukaˇzte, ˇze trace(ABC) = trace(CBA) obecnˇe neplat´ı.

(d) Dokaˇzte trace(AB T ) = trace(AT B) pro libovolné A, B ∈ Rm×n . (e) Dokaˇzte trace(AT A) = 0 pr´ avˇe tehdy kdyˇz A = 0. (f) Najdˇete A, B ∈ R2×2 takové, aby AB − BA = I2 .

(g) Bud’ A ∈ Rn×n antisymetrická, tj. AT = −A. Specifikujte co nejv´ıc hodnotu trace(A) a trace(A2 ). (h) Bud’te A, B ∈ Rn×n symetrické. Ukaˇzte, ˇze trace(AB)2 ≤ trace(A2 B 2 ). (Hint: Uvaˇzuj trace(AB− BA)2 .) Cv. 3.28 Matice A ∈ Rn×n se naz´ yv´ a involutorn´ı pokud A2 = In , idempotentn´ı pokud A2 = A, a k nilpotentn´ı pokud A = 0 pro nˇejaké k ∈ N. (a) Rozhodnˇete, zda involutorn´ı, idempotentn´ı a nilpotentn´ı matice jsou uzavˇrené na souˇcin. (b) Dokaˇzte, ˇze A je involutorn´ı pr´ avˇe tehdy kdyˇz 12 (A + I) je idempotentn´ı. (c) Najdˇete nˇejakou netrivi´ aln´ı tˇr´ıdu involutorn´ıch matic. (d) Dokaˇzte, ˇze A je idempotentn´ı pr´ avˇe tehdy kdyˇz In − A je idempotentn´ı. P k (e) Bud’ A nilpotentn´ı matice. Dokaˇzte (In − A)−1 = ∞ k=0 A .

(f) Dokaˇzte, ˇze komutuj´ıc´ı nilpotentn´ı matice jsou uzavˇrené na souˇcin i souˇcet.

20

4

Regul´ arn´ı a inverzn´ı matice


Uk´ azka 4.1 (Inverze matice – obecn´ y postup). Uk´ aˇzeme si jak vypoˇc´ıtat inverzn´ı matici a dvˇe zd˚ uvodnˇen´ı proˇc to plat´ı. Zaˇc´ın´ ame s matic´ı (A | In ), kde A je matice, kterou chceme invertovat a In je jednotková matice odpov´ıdaj´ıc´ıch rozmˇer˚ u. Provád´ıme ˇra´dkové u ´pravy na celou velkou matici dokud ji nepˇrevedeme do RREF tvaru. Pokud v levé ˇc´ asti je jednotková matice, na pravé stranˇe pak stoj´ı inverzn´ı matice k A. Proˇc to ale plat´ı? Uk´ aˇzeme dvˇe vysvˇetlen´ı: 1) V´ıme, ˇze ˇra´dkové u ´pravy jdou reprezentovat jako n´ asoben´ı p˚ uvodn´ı matice zleva odpov´ıdaj´ıc´ımi elementárn´ımi (regul´ arn´ımi) maticemi. Budeme je znaˇcit Ei pro i-tou ˇra´dkovou operaci. V matici to pak bude vypadat takto Ek . . . E2 E1 A Ek . . . E2 E1 I {z } {z } . | A | In ∼ E1 A | E1 In ∼ E2 E1 A | E2 E1 In ∼ | B

B

Posledn´ı matice odpov´ıd´ a tvaru (In | B), kde B = Ek . . . E2 E1 In . Levá ˇcást této matice je In = BA. Pokud bychom chtˇeli b´ yt d˚ usledn´ı, ˇrekli bychom, ˇze to plyne z asociativity n´ asoben´ı matic a sice, ˇze plat´ı Ek (. . . (E2 (E1 A)) . . .) = (Ek . . . E2 E1 )A.

Protoˇze souˇcin BA d´ avá jednotkovou matici, B = A−1 je tedy hledaná inverzn´ı matice. 2) P˚ uvodn´ı u ´lohu rozdˇel´ıme na n pod´ uloh podle jednotliv´ ych sloupc´ıch. V i-té pod´ uloze budeme hledat ˇ i-t´ y sloupeˇcek inverzn´ı matice B k matici A. Reˇs´ıme rovnici Axi = ei , kde ei je i-t´ y jednotkov´ y vektor a xi je nezn´ am´ y vektor. Soustavu budeme ˇreˇsit Gaussovou–Jordanovou eliminac´ı. Pokud je p˚ uvodn´ı matice A regul´ arn´ı, tak po proveden´ı eliminace m´ ame na levé stranˇe jednotkovou matici a na pravé stranˇe se n´ am rovnou objev´ı ˇreˇsen´ı soustavy. Je vidˇet, ˇze kdyˇz tento postup provedeme pro vˇsechny sloupce i spoˇc´ıt´ ame postupnˇe inverzn´ı matici. Bude n´ am platit       | | | |  ·  x1 . . . xn  =  e1 . . . en  .  A | | | |

Co n´ am ale br´ an´ı, abychom Gaussovu–Jordanovu eliminaci provedli pro vˇsechny sloupce prav´ ych stran najednou? Nic, protoˇze postup eliminace z´ avis´ı jen na matici A. M˚ uˇzeme uvaˇzovat soustavu, která bude m´ıt nˇekolik prav´ ych stran – vˇsechny jednotkové vektory z jednotkové matice. Rozˇs´ıˇrenou matice (A | In ), pokud to lze, eliminujeme na (In | B) a nyn´ı by jiˇz mˇelo b´ yt jasné, proˇc B je inverzn´ı matice k A. Uk´ azka 4.2 (Inverze matice). Najdˇete inverzn´ı matici k matici   1 1 1 3 3 A = 2 −1 −3 −2 ˇ sen´ı: Reˇ  1  2 −1  1  ∼ 0 0  1 ∼ 0 0

Element´ arn´ımi ˇra´dkov´ ymi u ´pravami pˇrevedeme (A | I3 ) na redukovan´ y odstupˇ novan´ y tvar      1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 3 3 0 1 0 ∼ 0 1 1 −2 1 0  ∼  0 1 1 −2 1 0  ∼ −3 −2 0 0 1 −1 −3 −2 0 0 1 0 −2 −1 1 0 1      1 1 1 1 1 1 0 4 −2 −1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 −2 1 0  ∼  0 1 0 1 −1 −1  ∼  0 1 0 1 −1 −1  ∼ 0 1 −3 2 1 0 0 1 −3 2 1 0 0 1 −3 2 1  0 0 3 −1 0 1 0 1 −1 −1  . 0 1 −3 2 1


Máme tedy A−1

21



 3 −1 0 =  1 −1 −1  a správnost ovˇeˇr´ıme vyn´ asoben´ım AA−1 . −3 2 1

Uk´ azka 4.3 (Maticové v´ yrazy). S vyuˇzit´ım vlastnost´ı matic m˚ uˇzeme s maticov´ ymi v´ yrazy pracovat skoro tak dobˇre jako s klasick´ ymi aritmetick´ ymi v´ yrazy. Napˇr´ıklad, mˇejme A, B, X ∈ Rn×n , kde A je regul´ arn´ı. Vyjádˇrete nezn´ amou matici X z v´ yrazu (AX)T = B. ˇ sen´ı: Obˇe strany rovnice transponujeme a dostaneme Reˇ AX = B T . Nyn´ı rovnici vyn´ asob´ıme zleva matic´ı A−1 a dostaneme X = A−1 B T . Zde je nutné nahlédnout, ˇze n´ asoben´ı regul´ arn´ı matic´ı (coˇz A−1 jest) je ekvivalentn´ı u ´pravou – zpˇet se mohu dostat vyn´ asoben´ım rovnice matic´ı A. Druh´ a vˇec, která vyˇzaduje pozornost, je ta, ˇze jsme n´ asobili A−1 zleva. Maticové n´ asoben´ı nen´ı komutativn´ı, proto záleˇz´ı na poˇrad´ı n´ asoben´ı. Pˇri n´ asoben´ım zleva dostane levá strana rovnice tvar A−1 AX = In X = X, kde m´ ame hledanou matici X. Naopak, pˇri n´ asoben´ı zprava by levá strana rovnice mˇela tvar AXA−1 , coˇz obecnˇe nen´ı rovno X.

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Regul´ arn´ı matice Cv. 4.1 Necht’ A ∈ Rn×n m´ a jeden nulov´ y sloupec. Je singulárn´ı nebo regul´ arn´ı? A co kdyˇz A ∈ Rn×n m´ a jeden nulov´ y ˇra´dek?

Cv. 4.2 Bud’ A, B ∈ Rn×n , kde A je regul´ arn´ı a B singulárn´ı. Jak´ y je souˇcin AB? Cv. 4.3 Ukaˇzte, ˇze pokud A2 − A + In = 0, pak matice A je regul´ arn´ı. Cv. 4.4 Bud’ A ∈ Rn×n regul´ arn´ı a a ∈ Rn . Rozhodnˇete, zda A + aaT je také regul´ arn´ı. Cv. 4.5 Rozhodnˇete, pro která a, b ∈ R je matice ˇra´du n ≥ 2  a b ...  b a . . . A=  .. . . .. . . . b ... b

regul´ arn´ı  b ..  . .  b a

Cv. 4.6 Matice A ˇra´du n m´ a na diagon´ ale lich´ a ˇc´ısla a jinde sudá ˇc´ısla. M˚ uˇze b´ yt matice singulárn´ı? ∗ Cv.

4.7 (Souboj o regularitu) René a Simona hraj´ı hru s matic´ı ˇra´du n ≥ 2. René pˇriˇrad´ı nˇejakému pol´ıˇcku libovolné re´ alné ˇc´ıslo, pak Simona pˇriˇrad´ı jinému pol´ıˇcku ˇc´ıslo atd. dokud se nezapln´ı cel´ a matice. René vyhraje, pokud je matice regul´ arn´ı, a Simona vyhraje, pokud je singulárn´ı. Má nˇekdo v´ıtˇeznou strategii? A jak´ a bude situace, kdyˇz zaˇcne Simona?

22


Inverzn´ı matice Cv. 4.8 Spoˇc´ıtejte

2 1 1 3

−1 −1 cos ϕ − sin ϕ , . sin ϕ cos ϕ

−1  −1  −1 −2 −1 3 1 2 1 1 2 3 1 −1 ,  3 −1 5  . Cv. 4.9 Spoˇc´ıtejte  3 2 −1 ,  1 2 1 −2 −1 5 −3 −1 0 1 

 d1  Cv. 4.10 Spoˇc´ıtejte  0

0 ..

. dn

Cv. 4.11 Upravte:

−1  

.

(a) (ABC)−1 , (b) A(B T A)−1 (AB)T . Cv. 4.12 Invertujte matice element´ arn´ıch ˇra´dkov´ ych u ´prav. Cv. 4.13 Matice A, B se liˇs´ı z´ amˇenou 2. a 3. ˇra´dku. Jak se liˇs´ı matice A−1 , B −1 ? Cv. 4.14 Bud’ A symetrická regul´ arn´ı matice. Bude A−1 také symetrická? −1 Cv. 4.15 Jak co nejefektivnˇeji urˇcit A−1 ∗j , Ai∗ ?

Cv. 4.16 Jak co nejefektivnˇeji urˇcit hodnotu A−1 Bd + A−1 Cd? Cv. 4.17 Bud’ A, B, C, D, X ∈ Rn×n , kde A, B, C jsou regul´ arn´ı. Vyjádˇrete nezn´ amou matici X ze vztahu (a) A(BX)T C = D, (b) ((X −1 A−1 )T − (B T )−1 )B −1 = 0. Cv. 4.18 Souˇcet kaˇzdého sloupce regul´ arn´ı matice A ∈ Rn×n je roven α. Ukaˇzte, ˇze souˇcet kaˇzdého sloupce −1 A je roven 1/α. Cv. 4.19 Bud’ A ∈ Rn×n regul´ arn´ı s kladn´ ymi ˇc´ısly. Dokaˇzte, ˇze poˇcet nul v A−1 je nanejv´ yˇs n(n − 2). Cv. 4.20 Spoˇc´ıtejte 

1 0  .. . . . . (a)   .. . 1 ...

... .. . .. . ...



1 1 1 ... 1 2 2 . . .   (d) 1 2 3 . . .  .. .. .. . . . . . . 1 2 3 ...

Cv. 4.21 Bud’ α 6= 0. Spoˇc´ıtejte

−1 0 ..  .  ,  0 1



1 2  .. . . . . (b)   .. . 1 ...  −1 1 1  a1 2    ∗ 3  , ( e)  a1  ..   ..  . . n a1

αIn In In αIn

−1

... .. . .. . ...

−1 2 ..  .  ,  2 1

1 ... .. .. . . .. . a2 .. . . . . a2 . . .

... .. ..

.

. an−1



0

1  . 1 . . (c)   .. . . . . 1 ... −1 1 ..  .  ..  . .   1 1

.

Cv. 4.22 Dokaˇzte, ˇze pro A, B ∈ Rn×n , A regul´ arn´ı, plat´ı (ABA−1 )n = AB n A−1 .

... .. . .. . 1

−1 1 ..  .  ,  1 0


23

Cv. 4.23 Dokaˇzte A(In − A)−1 = (In − A)−1 A. Cv. 4.24 Bud’ A ∈ Rn×n tak, ˇze A4 = 0. Dokaˇzte, ˇze (I − A)−1 = I + A + A2 + A3 . Cv. 4.25 Necht’ A2 m´ a inverzn´ı matici B. Dokaˇzte, ˇze A je regul´ arn´ı a vyjádˇrete jej´ı inverzi. Cv. 4.26 Dokaˇzte pro matici A ∈ Rn×n : (a) Je-li A2 = 0, pak In − A je regul´ arn´ı.

(b) Je-li Ak = 0 pro nˇejaké k ∈ N, pak In − A je regul´ arn´ı. (c) Je-li Ak = 0 pro nˇejaké k ∈ N, pak In + A je regul´ arn´ı.

Cv. 4.27 Bud’ A ∈ Rn×n tvaru A = In − B, kde bij = 0 pro i ≤ j. (a) Ukaˇzte, ˇze B n = 0. (b) Ukaˇzte, ˇze A−1 = I + B + B 2 + . . . + B n−1 . (c) Spoˇc´ıtejte podle pˇredchoz´ıho vztahu A−1 pro matici 

 1 0 0 A = −2 1 0 . 0 −3 1 ∗ Cv.

4.28 Bud’ A, B ∈ Rn×n splˇ nuj´ıc´ı AB + A + B = 0. Dokaˇzte AB = BA, tedy matice spolu komutuj´ı.

Cv. 4.29 Jaké jsou hodnoty v matici A−1 kdyˇz prvky A jsou z oboru Z (resp. Q, R, C)? Cv. 4.30 Porovnejte mnoˇziny ˇreˇsen´ı soustavy Ax = b a soustavy (QA)x = Qb. Cv. 4.31 Najdˇete netrivi´ aln´ı matici A ∈ Rn×n splˇ nuj´ıc´ı: (a) A = A−1 (b) A = −A−1 Cv. 4.32 Dokaˇzte trace(A) = trace(BAB −1 ). Cv. 4.33 Rozhodnˇete zda plat´ı (AB)−1 = A−1 B −1 pro matice 

 1 0 2 A = 2 3 1 , 4 1 0

  4 2 2 B = 2 0 2 . 1 3 4

Blokov´ e matice Cv. 4.34 Vyjádˇrete: −1 A 0 (a) pro A ∈ Rm×m , B ∈ Rn×n regul´ arn´ı. 0 B −1 A C pro A ∈ Rm×m , B ∈ Rn×n regul´ arn´ı. (b) 0 B  −1 I A C (c) 0 I B  pro A, B, C ˇctvercové. 0 0 I

24

Regul´ arn´ı a inverzn´ı matice (d) Jak vypadá n´ asleduj´ıc´ı matice s α 6= 0 po jedné iteraci Gaussovy eliminace? α aT β . c A b

Cv. 4.35 Pro matici A ∈ Rn×n definujme A+ , A− , |A| ∈ Rn×n s prvky (A+ )ij := (aij )+ , (A− )ij := (aij )− , (|A|)ij := |aij | jako matice kladn´ ych ˇc´ ast´ı, záporn´ ych ˇcást´ı a absolutn´ıch hodnot. Dokaˇzte, ˇze obˇe matice A, |A| jsou z´ aroveˇ n regul´ arn´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz je regul´ arn´ı matice + A A− ˜ . A := A− A+ Hint: Vyuˇzijte vlastnosti r = r + − r − a |r| = r + + r − pro libovolné r ∈ R.

Shermanova–Morrisonova formule (A + bcT )−1 = A−1 −

1 A−1 bcT A−1 . 1+cT A−1 b

Cv. 4.36 Jak se zmˇen´ı inverzn´ı matice k A pokud k prvku aij pˇriˇcteme α ∈ R? Cv. 4.37 Najdˇete vzoreˇcek pro (In + abT )−1 , kde a, b ∈ Rn jsou takové, ˇze aT b 6= −1. Cv. 4.38 Invertujte matici ˇra´du n s dvojkami na    1 2 0 −1 Cv. 4.39 V´ıme A = −1 1 1  , A−1 = 0 1 −1 0 1

diagon´ ale a jedniˇckami jinde.  0 1 1 −1 . Bez pˇr´ımého v´ ypoˇctu urˇcete 0 2

−1 2 0 −1 (a) −1 1 1  , −1 2 1 

−1 2 0 −1 (b) −1 1 1  . −1 2 2 


5

25

Grupy, tˇ elesa

Uk´ azka 5.1. Dokaˇzte, ˇze v grupˇe s operac´ı · a neutráln´ım prvkem 1 plat´ı: Pokud a · b = c · a = 1, pak b = c. ˇ sen´ı: Reˇ c

[neutr´ aln´ı prvek 1]

=

c·1

[ze zad´ an´ı]

=

c · (a · b)

[asociativita ·]

=

(c · a) · b

[za zad´ an´ı]

=

1·b

[neutr´ aln´ı prvek 1]

=

b.

Uk´ azka 5.2 (Poˇc´ıt´ an´ı v Zp ). Spoˇc´ıt´ ame 4 + 4, 3 ∗ 2, 2 − 3, 4−1 , 3/4 v tˇelese Z5 . Kaˇzd´ a operace v Z5 se poˇc´ıtá modulo 5 (zbytek po dˇelen´ı 5), aby v´ ysledek opˇet patˇril do mnoˇziny {0, 1, 2, 3, 4}. Neoficiáln´ı kroky znaˇc´ıme do uvozovek – jsou zde uvedeny pro pˇredstavu, jak doj´ıt k v´ ysledku. 4+4=

8 mod 5“ = 3, ” 3 · 2 = 6 mod 5“ = 1, ” 2 − 3 = 2 + (−3) = 2 + 2 = 4, 3−1 = 2, nebot’ 2 · 3 = 1, 3/4 = 3 · 4−1 = 3 · 4 = 2.

Uk´ azka 5.3. Spoˇc´ıtejte 22011 v Z5 ˇ sen´ı: Staˇc´ı si vˇsimnout, ˇze Reˇ 20 = 1, 21 = 1, 22 = 4, 23 = 8 mod 5 = 3, 24 = 16 mod 5 = 1. Tedy 22011 = 22008 · 23 = 1 · 3 = 3. Druh´ a moˇznost je vyuˇz´ıt Malou Fermatovu vˇetu, která ˇr´ıká: Pro ” kaˇzdé prvoˇc´ıslo p a kaˇzdé a ∈ {1, . . . , p − 1} plat´ı ap−1 = 1 v tˇelese Zp .“ Pak dostaneme hned, ˇze 24 = 1 v Z5 . ˇ ste n´ Uk´ azka 5.4 (Soustava rovnic nad Zp ). Reˇ asleduj´ıc´ı soustavu nad Z3 bez prohazován´ı ˇra´dk˚ u.   2 1 0 2 1 0 2 1 . 0 2 1 0

ˇ sen´ı: Provád´ıme klasickou Gaussovu eliminaci, pouze s t´ım rozd´ılem, ˇze operace jsou nad tˇelesem Reˇ Z3 . Nav´ıc si m˚ uˇzeme uvˇedomit, ˇze prvky pod pivotem lze vynulovat pˇriˇcten´ım vhodného n´ asobku ˇra´dku s pivotem.       2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 1 0 2 1 ∼ 0 1 2 0 ∼ 0 1 2 0 . 0 2 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0

Po proveden´ı zpˇetné substituce dost´ aváme ˇreˇsen´ı (1, 0, 0)T + x3 · (1, 1, 1)T . Matice m´ a hodnost menˇs´ı neˇz 3, avˇsak nedostáváme nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, nebot’ parametr x3 m˚ uˇze nab´ yvat pouze hodnot ze Z3 , tedy 0, 1, 2. Celkovˇe tedy m´ ame tˇri ˇreˇsen´ı (1, 0, 0)T , (2, 1, 1)T , (0, 2, 2)T .

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

26

Grupy, tˇelesa

Grupy Cv. 5.1 Zjistˇete zda je grupou (a) (Q, ·),

(b) (Q, −),

(c) (Q \ {0}, ◦), kde a ◦ b = |ab|,

(d) (Q, ◦), kde ◦ je pr˚ umˇer ˇc´ısel a, b (aritmetick´ y, . . . ), (e) (Q, ◦), kde ◦ je definováno: a ◦ b := a + b + 3,

(f) mnoˇzina re´ aln´ ych funkc´ı f : R → R se sˇc´ıtán´ım (F, +),

(g) mnoˇzina otoˇcen´ı v R2 podle poˇc´ atku se sklád´ an´ım, (h) mnoˇzina posunut´ı v R2 se sklád´ an´ım. Cv. 5.2 Najdˇete vlastn´ı pˇr´ıklady grup a negrup.

Cv. 5.3 Bud’ (G, ◦) grupa a x ∈ G pevné. Rozhodnˇete zda je grupou (G, ⋆) s operac´ı a ⋆ b := a ◦ x ◦ b. Cv. 5.4 Rozhodnˇete, zda je (Abelovou) grupou: (a) mnoˇzina {( 10 1z ); z ∈ Z} s maticov´ ym n´ asoben´ım.

(b) mnoˇzina {( aa aa ); a ∈ R \ {0}} s maticov´ ym n´ asoben´ım. C 0 −1 k×k (c) mnoˇzina S 0 0 S ; C ∈ R je regul´ arn´ı s maticov´ ym n´ asoben´ım, kde S ∈ Rn×n , n ≥ k, je pevná regul´ arn´ı matice. Cv. 5.5 Bud’ IR mnoˇzina re´ aln´ ych uzavˇren´ ych interval˚ u s operacemi [a1 , a2 ] + [b1 , b2 ] = [a1 + b1 , a1 + b2 ], [a1 , a2 ] · [b1 , b2 ] = [min(a1 b1 , a1 b2 , a2 b1 , a2 b2 ), max(a1 b1 , a1 b2 , a2 b1 , a2 b2 )]. Vyˇsetˇrete algebraické struktury (IR, +), (IR, ·). Cv. 5.6 V grupˇe (G, ◦) s neutráln´ım prvkem e a inverzn´ım a−1 k a proved’te: (a) najdˇete e−1 , (b) upravte (a ◦ b)−1 .

(c) dokaˇzte z definice, ˇze pokud ab = a, tak nutnˇe b = e,

(d) rozhodnˇete zda a4 = b4 implikuje a = b, (e) rozhodnˇete zda a3 = b3 implikuje a = b. Cv. 5.7 Zjistˇete zda je podgrupou (a) (R \ Q, +) ≤ (R, +),

(b) (Q+ , ·) ≤ (Q \ {0}, ·), kde Q+ = {q ∈ Q | q > 0}, (c) (sudá cel´ a ˇc´ısla, +) ≤ (Z, +),

(d) (lich´ a cel´ a ˇc´ısla, +) ≤ (Z, +), (e) (Zn , +) ≤ (Z, +).

Cv. 5.8 Najdˇete nejmenˇs´ı podgrupu (Z, +) obsahuj´ıc´ı prvky 6 a 15. Cv. 5.9 Ukaˇzte, ˇze vˇsechny podgrupy (Z, +) jsou tvaru {az; z ∈ Z} pro urˇcité a ∈ Z. Plat´ı totéˇz i o podgrupách (R, +)? Cv. 5.10 Bud’ (G, ◦) grupa. Ukaˇzte, ˇze ∅ = 6 H ⊆ G je podgrupou pr´ avˇe tehdy, kdyˇz ab−1 ∈ H pro kaˇzdé a, b ∈ H.


27

Cv. 5.11 Najdˇete nˇejakou netrivi´ aln´ı podgrupu grupy funkc´ı (F, +). Cv. 5.12 Najdˇete nˇejakou netrivi´ aln´ı podgrupu grupy matic (Rn×n , +). Cv. 5.13 Najdˇete nˇejakou netrivi´ aln´ı podgrupu grupy regul´ arn´ıch matic (GLn , ·). Cv. 5.14 Najdˇete nˇejakou operaci, která je komutativn´ı, ale ne asociativn´ı. Cv. 5.15 Bud’te H1 , H2 podgrupy grupy (G, ◦). Ukaˇzte, ˇze (a) H1 ∩ H2 je také podgrupa,

(b) H1 ∪ H2 je podgrupa pr´ avˇe tehdy, kdyˇz H1 ⊆ H2 nebo H1 ⊇ H2 ,

(c) nejmenˇs´ı podgrupa obsahuj´ıc´ı H1 ∪ H2 je tvoˇrena vˇsemi prvky a1 ◦ b1 ◦ . . . ◦ an ◦ bn pro vˇsechna a1 , . . . , an ∈ H1 , b1 , . . . , bn ∈ H2 , n ∈ N.

Tˇ elesa Cv. 5.16 Rozhodnˇete, zda je tˇelesem mnoˇzina (a) {−1, 0, 1} s klasick´ ym sˇc´ıt´ an´ım a n´ asoben´ım. √ √ (b) Z( 2) := {p + 2q; p, q ∈ Z} s klasick´ ym sˇc´ıtán´ım a n´ asoben´ım. √ √ ym sˇc´ıtán´ım a n´ asoben´ım. (c) Q( 2) := {p + 2q; p, q ∈ Q} s klasick´ (d) Q(i) := {p + iq; p, q ∈ Q} s klasick´ ym sˇc´ıtán´ım a n´ asoben´ım.

(e) Z5 (i) := {p + iq; p, q ∈ Z5 } s klasick´ ym sˇc´ıtán´ım a n´ asoben´ım.

(f) Kartézsk´ y souˇcin Z2 × Z3 , kde operace +, · jsou po souˇradnic´ıch.

(g) (2M , △, △′ ), kde A△B := (A\B)∪(B \A) je symetrick´ y rozd´ıl mnoˇzin, a A△′ B := M \(A△B) je jeho doplnˇek. Cv. 5.17 Procviˇcka v tˇelese Zp . Napˇr´ıklad: (a) spoˇc´ıtejte v Z5 hodnoty 4 + 3, −3, 4 · 3, 3−1 , 4/3,

(b) spoˇc´ıtejte v Z11 hodnoty 6 + 7, −7, 6 · 7, 7−1 , 6/7. ˇ ste soustavy rovnic Cv. 5.18 Reˇ  2 (a) 1 1

bez prohazován´ı ˇra´dk˚ u    0 1 1 1 1 1 0 0 2 1 nad Z3 , (b) 1 0 1 1 nad Z2 a Z5 . 1 2 2 1 1 0 1

Cv. 5.19 Spoˇc´ıtejte v Z7 mocninu matice

100 3 2 . 1 4

Cv. 5.20 Invertujete matici (a)

2 1 2 2

nad Z3 a Z5 ,

(b)

5 2 3 1

Cv. 5.21 Pro která prvoˇc´ısla p je matice nad Zp singulárn´ı?   2 4 1 2 3 0 5 4   4 0 2 3 . 3 5 1 4

nad Z7 a Z11 .

28

Grupy, tˇelesa

Cv. 5.22 Urˇcete poˇcet regul´ arn´ıch matic ˇra´du 2 nad tˇelesem Zp . Cv. 5.23 Najdˇete polynom p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 nad Z5 takov´ y, aby p(1) = 1 a p(2) = p(3) = p(4) = 2. Cv. 5.24 V Z5 najdˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice x4 + 3x3 + 2x + x−1 = 0. Cv. 5.25 Spoˇc´ıtejte: (a) 22010 v Z5 , (b) 32008 v Z7 , (c) (87 + 78 )12 v Z17 , (d) 244 + 322 211 v Z17 , (e) zbytek pˇri dˇelen´ı 37n+2 + 16n+1 + 23n ˇc´ıslem 7, (f) 52008 v Z31 . Cv. 5.26 Proˇc nem˚ uˇze b´ yt charakteristika tˇelesa rovna 1? Cv. 5.27 Najdˇete co nejv´ıce tˇeles charakteristiky 2. Cv. 5.28 Jde v kaˇzdém tˇelese T rozloˇzit kaˇzd´ y prvek a ∈ T na souˇcet jedniˇcek? Cv. 5.29 Ukaˇzte, ˇze komutativitu sˇc´ıt´ an´ı v tˇelese lze odvodit z ostatn´ıch vlastnost´ı.

Mal´ a Fermatova vˇ eta ap−1 = 1 v Zp , kde p je prvoˇc´ıslo, a 6= 0. Cv. 5.30 Jak naj´ıt a−1 pro a ∈ Zp ? Cv. 5.31 Spoˇc´ıtejte: (a) 203332 v Z31 , (b) 22008 v Z11 , (c) 260 + 730 v Z13 .


6

29

Permutace sklád´ an´ı: znaménko:

(q ◦ p)(i) = q(p(i)) u = (−1)poˇ cet transpozic sgn(p) = (−1)n−poˇcet cykl˚

Uk´ azka 6.1 (Cykly, znaménko, a sklád´ an´ı permutac´ı). Mˇejme permutace 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 p= , q= . 2 3 4 1 6 5 1 3 2 5 6 4 Najdˇete jejich cykly, znaménka, inverze a sloˇzte je mezi sebou. ˇ sen´ı: Permutace p zobrazuje 1 7→ 2, d´ Reˇ ale 2 7→ 3, 3 7→ 4 a 4 7→ 1. Tud´ıˇz jeden cyklus je (1, 2, 3, 4), a analogicky najdeme druh´ y cyklus (5, 6). Cykly permutace p jsou proto (1, 2, 3, 4)(5, 6) a podobnˇe permutace q m´ a cykly (1)(2, 3)(4, 5, 6). Permutace p je zadan´ a na n = 6 prvn´ıch a sklád´ a se z c = 2 cykl˚ u, proto m´ a znaménko sgn(p) = n−c 6−2 6−3 (−1) = (−1) = 1. Podobnˇe spoˇc´ıt´ ame sgn(q) = (−1) = −1. Inverzn´ı permutaci k p m˚ uˇzeme naj´ıt nˇekolika zp˚ usoby. Pokud vyjdeme z tabulkového zad´ an´ı p, tak staˇc´ı prohodit oba ˇra´dky, ˇc´ımˇz se ze vzor˚ u stanou obrazy a naopak, a pak jen setˇr´ıdit sloupce od nejmenˇs´ıho. Dostaneme p−1 vyjádˇrené tabulkou 1 2 3 4 5 6 . p= 4 1 2 3 6 5 Pokud vyuˇzijeme z´ apisu p pomoc´ı cykl˚ u, staˇc´ı pouze prohodit poˇrad´ı ˇc´ısel v kaˇzdém cyklu, tj. p−1 = (4, 3, 2, 1)(6, 5). Zde si m˚ uˇzeme uvˇedomit, ˇze cykly délek 1 a 2 nemus´ıme invertovat, protoˇze jsou sami sobˇe inverz´ı. Permutace sklád´ ame jako kaˇzdé jiné zobrazen´ı, tedy p ◦ q zobraz´ı prvek i na p(q(i)). Tabulkovˇe vyjádˇreno, 1 q ↓ 1 p ↓ 2 ˇcili p◦q =

2 ↓ 3 ↓ 4

3 ↓ 2 ↓ 3

4 ↓ 5 ↓ 6

5 ↓ 6 ↓ 5

6 ↓ 4 ↓ 1

1 2 3 4 5 6 . 2 4 3 6 5 1

Podobnˇe m˚ uˇzeme postupovat pˇres cykly a dospˇejeme k vyjádˇren´ı p ◦ q = (1, 2, 4, 6)(3)(5). Pro srovnán´ı, sloˇzen´ı v opaˇcném poˇrad´ı je q ◦ p = (1, 3, 5, 4)(2)(6). To ilustruje, ˇze sklád´ an´ı permutac´ı nen´ı komutativn´ı.

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Cv. 6.1 Mˇejme permutace p=

1 2 3 4 5 6 , 2 1 3 6 4 5

q=

1 2 3 4 5 6 . 3 4 5 2 1 6

Spoˇc´ıtejte q ◦ p, p ◦ q, sgn(p), p−1 , sgn(p−1 ). Tabulkou i pˇres cykly.

30

Permutace

Cv. 6.2 Mˇejme permutaci p = (1, 3, 4)(2, 5)(6, 11, 10, 9, 8, 7). Spoˇc´ıtejte p9 a p−14 . Pro jakou nejmenˇs´ı mocninu k ≥ 1 dostaneme pk = id? Cv. 6.3 Najdˇete permutaci p ∈ S10 aby pi 6= id pro i = 1, 2, . . . , 29. Cv. 6.4 Rozloˇzte (1, 2, 3, 4, 5) na sloˇzen´ı transpozic. Rozloˇzte to jeˇstˇe jin´ ym zp˚ usobem. Jak´ y je nejmenˇs´ı moˇzn´ y poˇcet transpozic? Cv. 6.5 Dokaˇzte, ˇze kaˇzdou permutaci p ∈ Sn lze sloˇzit z n − 2 nebo n − 1 transpozic. Cv. 6.6 Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdou permutaci p a index i takov´ y, ˇze i < p(i) existuje j tak, ˇze j > p(j). Cv. 6.7 Dokaˇzte, ˇze sloˇzen´ım permutac´ı dostaneme permutaci. Cv. 6.8 Bud’ q ∈ Sn pevné. Dokaˇzte, ˇze zobrazen´ı p 7→ p ◦ q na bijekce na Sn . Jak se mˇen´ı znaménka permutac´ı p pˇri tomto zobrazen´ı? Cv. 6.9 Urˇcete znaménko permutace p=

1 2 3 ... n n − 1 n − 2 ...

n−1 n . 2 1

Cv. 6.10 Urˇcete znaménko n´ asleduj´ıc´ıch permutac´ı: (a) (1, 3, 5, . . . , 2n − 1, 2, 4, 6, . . . , 2n),

(b) (1, 4, 7, . . . , 3n − 2, 2, 5, 8, . . . , 3n − 1, 3, 6, 9, . . . , 3n), (c) (2, 5, 8, . . . , 3n − 1, 3, 6, 9, . . . , 3n, 1, 4, 7, . . . , 3n − 2),

(d) (3, 6, 9, . . . , 3n, 2, 5, 8, . . . , 3n − 1, 1, 4, 7, . . . , 3n − 2).

Cv. 6.11 Dokaˇzte, ˇze znaménko permutace p lze ekvivalentnˇe definovat jako sgn(p) = (−1)s , kde s je cykl˚ u p sudé délky. Cv. 6.12 Ukaˇzte, ˇze pro n ≥ 2 je poˇcet lich´ ych a sud´ ych permutac´ı v Sn stejn´ y. Cv. 6.13 Bud’ p ∈ Sn a uvaˇzujme relaci R na mnoˇzinˇe {1, . . . , n} definovanou vztahem (x, y) ∈ R pr´ avˇe i tehdy, kdyˇz x = p (y) pro nˇejaké i ∈ N. Ukaˇzte, ˇze relace R je ekvivalence a jej´ı tˇr´ıdy jsou cykly permutace p. Cv. 6.14 Najdˇete vˇsechny permutace komutuj´ıc´ı s (a) p = (1, 2)(3). (b) p = (1, 2)(3, 4). Cv. 6.15 Najdˇete vˇsechny permutace splˇ nuj´ıc´ı: (a) p ∈ S10 a p2 = (1, 3)(2, 4)(7, 8, 9, 10),

(b) p ∈ S10 a p5 = (1, 3, 4, 7, 8, 9, 10)(2, 6),

(c) p ∈ S2n a p2 = (a1 , . . . , an )(b1 , . . . , bn ), kde a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn jsou navzájem r˚ uzn´ a ˇc´ısla z {1, . . . , 2n},

(d) p ∈ S2n a p2 = (a1 , b1 )(a2 , b2 ) . . . (an , bn ). (Staˇc´ı n´ am jen jejich poˇcet.)


31

Cv. 6.16 Spoˇc´ıtejte p27 ◦ q −27 pro p = (1, 3, 5, 7) ◦ (2, 5, 8, 1) ◦ (9, 10),

q = (6, 4, 1) ◦ (9, 10, 8) ◦ (4, 8, 7, 1, 5).

Cv. 6.17 Najdˇete co nejv´ıce permutac´ı p ∈ S6 splˇ nuj´ıc´ıch p = p−1 . Cv. 6.18 Kolem stolu sed´ı kolektiv matfyz´ ak˚ u. Z daného rozesazen´ı (A) se pˇrem´ıst´ı do rozesazen´ı (B) pomoc´ı 17 vzájemn´ ych v´ ymˇen dvou lid´ı. Lze pˇrej´ıt zpˇet pomoc´ı 31, 26, resp. 13 v´ ymˇen? Cv. 6.19 Spoˇc´ıtejte pr˚ umˇern´ y poˇcet cykl˚ u v n-prvkové permutaci. Cv. 6.20 Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze n´ ahodnˇe zvolen´ a permutace p ∈ Sn m´ a cyklus obsahuj´ıc´ı prvek 1 dlouh´ y pˇresnˇe k.

Symetrick´ a grupa permutac´ı Cv. 6.21 Rozhodnˇete, zda je (Abelovou) grupou (Sn , ◦). Cv. 6.22 Najdˇete vˇsechny symetrie obdéln´ıku, popiˇste je permutacemi a ovˇeˇrte, ˇze tvoˇr´ı podgrupu (S4 , ◦). 1

2

3

4

Cv. 6.23 Najdˇete vˇsechny symetrie ˇctverce, popiˇste je permutacemi a ovˇeˇrte, ˇze tvoˇr´ı podgrupu (S4 , ◦). 1

2

3

4

Cv. 6.24 Ukaˇzte, ˇze postupn´ ym sklád´ an´ım mohu z transpozic (1, 2), (2, 3), . . . , (n − 1, n) vygenerovat celé Sn . Cv. 6.25 Ukaˇzte, ˇze pokud n je prvoˇc´ıslo, tak postupn´ ym sklád´ an´ım a invertován´ım mohu z jedné transpozice a cyklu na n prvc´ıch vygenerovat celé Sn .

32

7

Vektorové prostory a podprostory

Vektorov´ e prostory a podprostory

Uk´ azka 7.1 (Podprostory). Rozhodnˇete, zda n´ asleduj´ıc´ı mnoˇziny jsou podprostory prostoru Rn nad R (a) A = {(2s, s, |s|); s, t ∈ R}, (b) B = {(s, 5t, 2s − t); s, t ∈ R}. ˇ sen´ı: V zásadˇe, mus´ıme ovˇeˇrit, jestli mnoˇziny obsahuj´ı nulov´ Reˇ y vektor a jsou uzavˇrené na sˇc´ıt´ an´ı a n´ asobky. (a) Triviálnˇe 0 ∈ A, staˇc´ı volit s = 0. Uzavˇrenost na souˇcty ani n´ asobky ale neplat´ı (pouze na nez´ aporné n´ asobky), coˇz prok´ aˇzeme protipˇr´ıkladem. Vezmˇeme napˇr. vektor (2, 1, 1), kter´ y n´ aleˇz´ı do A d´ıky volbˇe s = 1. Jeho opaˇcn´ y vektor −(2, 1, 1) = (−2, −1, −1) ale do A nen´ aleˇz´ı, protoˇze tˇret´ı sloˇzka vektoru v A nem˚ uˇze b´ yt z´ aporn´ a. (b) Opˇet zˇrejmˇe 0 ∈ B. Ukaˇzme uzavˇrenost na souˇcty vektor˚ u. Vezmˇeme si libovolné dva vektory z B, ty se daj´ı obecnˇe vyjádˇrit jako (s, 5t, 2s − t) a (s′ , 5t′ , 2s′ − t′ ) pro vhodné volby s, s′ , t, t′ ∈ R. Jejich souˇcet je (s, 5t, 2s − t) + (s′ , 5t′ , 2s′ − t′ ) = (s + s′ , 5(t + t′ ), 2(s + s′ ) − (t + t′ )), coˇz je opˇet vektor n´ aleˇz´ıc´ı do mnoˇziny B. Podobnˇe se ukáˇze uzavˇrenost na n´ asobky. Bud’ α ∈ R a (s, 5t, 2s − t) ∈ B. Pak α(s, 5t, 2s − t) = ((αs), 5(αt), 2(αs) − (αt)) m´ a také vyjádˇren´ı z definice B a proto do mnoˇziny n´ aleˇz´ı. Uk´ azka 7.2 (Lineárn´ı obal). Rozhodnˇete, zda vektor (4, −1, 1) n´ aleˇz´ı do line´ arn´ıho obalu vektor˚ u (2, 1, 1) (1, 2, 1). ˇ sen´ı: Lineárn´ı obal koneˇcné mnoˇziny je charakterizován jako mnoˇzina vˇsech line´ Reˇ arn´ıch kombinac´ı vektor˚ u této mnoˇziny. Tedy vektor n´ aleˇz´ı do daného line´ arn´ıho obalu pr´ avˇe tehdy, kdyˇz lze vyjádˇrit jako line´ arn´ı kombinace techto vektor˚ u. Konkrétnˇe, hled´ ame α, β ∈ R aby (4, −1, 1) = α(2, 1, 1) + β(1, 2, 1). Toto vyjadˇruje soustavu tˇr´ı rovnic o dvou nezn´ am´ ych   4 2 1 1 2 −1 . 1 1 1

Soustavu vyˇreˇs´ıme a najdeme ˇreˇsen´ı α = 3, β = −2, tud´ıˇz odpovˇed’ zn´ı: Ano“. ”

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Vektorov´ e prostory Cv. 7.1 Jmenujte pˇr´ıklady vektorov´ ych prostor˚ u. Cv. 7.2 Rozhodnˇete, zda tvoˇr´ı vektorov´ y prostor: (a) Rn nad Q, (b) Rn nad C, (c) Znp nad Zp , (d) Rn nad R s operacemi x ⊕ y = x + y, α ⊙ x = −α · x, (e) Rn nad R s operacemi x ⊕ y = x + y, α ⊙ x = |α| · x, (f) R∞ nad R, tedy posloupnosti re´ aln´ ych ˇc´ısel.

Cv. 7.3 Rozhodnˇete, zda tvoˇr´ı vektorov´ y prostor:


33

(a) 2M nad tˇelesem Z2 , kde M je dan´ a mnoˇzina, souˇcet mnoˇzin A, B ⊆ M je definován A + B = (A \ B) ∪ (B \ A), a n´ asobek mnoˇziny jako 0A = ∅ a 1A = A.

(b) V n nad T, kde V je vektorov´ y prostor nad T, sˇc´ıtán´ı a n´ asobky jsou definovány po sloˇzkách.

(c) U × V nad T, kde U, V jsou vektorové prostory nad T, sˇc´ıtán´ı a n´ asobky jsou definovány po sloˇzkách. (d) mnoˇzina vˇsech zobrazen´ı f : M → V nad tˇelesem T, kde M je dan´ a mnoˇzina a V vektorov´ y prostor nad T. (e) Zn5 nad Z2 s pˇrirozen´ ym souˇctem a n´ asobky. (f) mnoˇzina V = {0, 1, . . . , 6} nad Z5 s operacemi souˇcet x ⊕ y = (x + y) mod 6 a n´ asobek α ⊙ x = (αx) mod 6.

(g) kladn´ a re´ aln´ a ˇc´ısla R+ nad R, je-li x ⊕ y = xy a α ⊙ x = xα .

Cv. 7.4 Rozhodnˇete, zda tvoˇr´ı vektorov´ y prostor R3 nad R s pˇredefinovan´ ymi operacemi: (a) x ⊕ y = o, α ⊙ x = αx

(b) x ⊕ y = (x1 + y1 , x2 , y3 ), α ⊙ x = αx

(c) x ⊕ y = x + y, α ⊙ x = (αx1 , αx2 , x3 )

(d) x ⊕ y = x + y, α ⊙ x = (αx1 , 2αx2 , 3αx3 ) Cv. 7.5 Najdˇete vektorov´ y prostor s pr´ avˇe 25 vektory. Najdˇete jeˇstˇe dalˇs´ı dva. Cv. 7.6 Dokaˇzte, ˇze v kaˇzdém vektorovém prostoru V nad T plat´ı (a) αo = o,

∀α ∈ T,

(b) (−1)v = −v,

∀v ∈ V .

Cv. 7.7 Mˇejme U, V prostory nad tˇelesem T. M˚ uˇze U ∩ V = ∅?

Podprostory Cv. 7.8 Rozhodnˇete, zda n´ asleduj´ıc´ı tvoˇr´ı podprostor R2 : (a) {(s, s2 ); s ∈ R},

(b) {(s + t, 1); s, t ∈ R}, (c) {(s − 2, 3s); s ∈ R},

(d) {(s − t, 2t); s, t ∈ R}, (e) {(s, 5s); s ∈ R},

(f) {(s, t) ∈ R2 ; |s| = |t|}.

Cv. 7.9 Bud’ A ∈ Rm×n . Rozhodnˇete, zda {x ∈ Rn ; Ax = 0} tvoˇr´ı podprostor Rn . Cv. 7.10 Rozhodnˇete zda jsou podprostorem Rn×n nad Rn : (a) magické ˇctverce (tj. matice u nichˇz souˇcet libovolného ˇra´dku, sloupce i obou diagon´ al d´ a stejné ˇc´ıslo), (b) latinské ˇctverce (tj. matice, u nichˇz je v kaˇzdém ˇra´dku i sloupci kaˇzdé z ˇc´ısel 1, 2, . . . , n pr´ avˇe jednou), (c) singulárn´ı matice, (d) regul´ arn´ı matice, (e) horn´ı troj´ uheln´ıkové matice, (f) matice X ∈ Rn×n komutuj´ıc´ı s danou A ∈ Rn×n , tj. AX = XA.

34

Vektorové prostory a podprostory

Cv. 7.11 Rozhodnˇete, zda matice A ∈ Rn×n splˇ nuj´ıc´ı trace(A2 ) = trace(A)2 tvoˇr´ı podprostor Rn×n . Cv. 7.12 Rozhodnˇete, zda n´ asleduj´ıc´ı tvoˇr´ı podprostor prostoru re´ aln´ ych posloupnost´ı R∞ : (a) posloupnosti tvaru (a, b, c, a, b, c, a, b, c, . . . ) pro a, b, c ∈ R,

(b) posloupnosti s nekoneˇcnˇe mnoha nulami, (c) posloupnosti s koneˇcnˇe mnoha nenulami

(d) rostouc´ı, neklesaj´ıc´ı, monot´ onn´ı posloupnosti, (e) konvergentn´ı posloupnosti, (f) omezené posloupnosti, (g) aritmetické posloupnosti (xi − xi−1 = konst.),

(h) fibonacciovské posloupnosti (xi+1 = xi + xi−1 ). Cv. 7.13 Rozhodnˇete zda {p ∈ P 3 ; p(2) = p(7)} tvoˇr´ı podprostor P 3 . Cv. 7.14 Rozhodnˇete, zda n´ asleduj´ıc´ı tvoˇr´ı podprostor prostoru re´ aln´ ych funkc´ı F: (a) po ˇcástech line´ arn´ı funkce, (b) periodické re´ alné funkce.

Line´ arn´ı obal Cv. 7.15 Bud’ V vektorov´ y prostor a M, N ⊆ V . Rozhodnˇete zda plat´ı: (a) span(span(M )) = span(M ), (b) M ⊆ N ⇒ span(M ) ⋐ span(N ),

(c) M ⊆ N ⇐ span(M ) ⋐ span(N ),

(d) M ⊆ N ⊆ span(M ) ⇒ span(M ) = span(N ), (e) span(M ∩ N ) = span(M ) ∩ span(N ), (f) span(V \ M ) = span(V \ span(M )).

Cv. 7.16 Rozhodnˇete zda vektory (1, 2)T , (3, 4)T generuj´ı R2 . Cv. 7.17 Vyjádˇrete 7x − 7 jako souˇcet n´ asobk˚ u polynom˚ u x2 + x, x + 2 a x2 − x + 3. Cv. 7.18 Rozhodnˇete zda existuje line´ arn´ı kombinace zadan´ ych vektor˚ u d´ avaj´ıc´ı vektor x = (1, 2, 3) a pokud ano, tak ji najdˇete: (a) (1, 0, 0), (0, 0, −2),

(b) (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, −3), (c) (1, 1, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 5),

(d) (2, 1, 3), (3, 1, 2), (1, 1, 1), (e) (2, 1, 3), (3, 1, 4), (1, 1, 2). Cv. 7.19 Rozhodnˇete zda vektory (1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1) generuj´ı R4 resp. Z42 . Cv. 7.20 Rozhodnˇete, zda U = V pro (a) U = span{(1, 2, 0), (0, 1, −1)}, V = span{(2, 1, 3), (−1, 0, −2)},

(b) U = span{(1, 2, −1), (2, 1, 1)}, V = span{(0, 3, −3), (3, 3, −1)}.

Cv. 7.21 Bud’ M = {a, b, c, d, e} a uvaˇzujme vektorov´ y prostor 2M vˇsech podmnoˇzin mnoˇzny M nad tˇelesem Z2 , kde sˇc´ıt´ an´ı je ch´ ap´ ano jako v´ yluˇcn´ a disjunkce a n´ asobky pˇrirozenˇe.


35

(a) najdˇete nulov´ y vektor o, (b) urˇcete opaˇcn´ y vektor −v k vektoru v = {a, b, c},

(c) vyhodnot’te line´ arn´ı kombinaci u+v−w−z, kde u = {a, d}, v = {b, e}, w = {c, e} a z = {a, b, c}.

(d) rozhodnˇete, zda vektor {a, b, c, d, e} lze vyjádˇrit jako line´ arn´ı kombinaci vektor˚ u u, v, w, z, (e) Nahlédnˇete, ˇze vektorov´ y prostor se chová podobnˇe jako prostor Z52 nad Z2 .

Cv. 7.22 Bud’ V vektorov´ y prostor a M ⊆ V mnoˇzina vektor˚ u (koneˇcn´ a ˇci nekoneˇcn´ a). Dokaˇzte, ˇze span(M ) je tvoˇren´ y vˇsemi koneˇcn´ ymi line´ arn´ımi kombinacemi vektor˚ u z M.

36

8

Line´ arn´ı nez´ avislost

Line´ arn´ı nez´ avislost

Uk´ azka 8.1 (Lineárn´ı nez´ avislost). Rozhodnˇete, zda vektory (1, 3, 2), (2, 5, 3), (2, 3, 1) jsou line´ arnˇe nez´ avislé. ˇ sen´ı: Vektory jsou line´ Reˇ arnˇe nez´ avislé pokud pouze jejich jediná line´ arn´ı kombinace d´ a nulov´ y vektor, a to triviáln´ı, kdy vˇsechny koeficienty jsou nulové. Hledejme tedy line´ arn´ı kombinace d´ avaj´ıc´ı nulov´ y vektor: α(1, 3, 2) + β(2, 5, 3) + γ(2, 3, 1) = (0, 0, 0), coˇz vede na soustavu line´ arn´ıch rovnic

  1 2 2 0 3 5 3 0 . 2 3 1 0

Soustavu vyˇreˇs´ıme upraven´ım matice na tvar 

 1 0 −4 0 0 1 3 0 . 0 0 0 0

Soustava m´ a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı a urˇcitˇe najdeme nˇejaké nenulové, napˇr. α = 4, β = −3, γ = 1. To znamená, ˇze dané vektory jsou line´ arnˇe z´ avislé.

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Cv. 8.1 Je pod/nadsystém line´ arnˇe (ne)z´ avislého systému vektor˚ u line´ arnˇe (ne)z´ avisl´ y? Cv. 8.2 Diskutujte, kdy je systém jednoho resp. dvou resp. tˇr´ı vektor˚ u line´ arnˇe závisl´ y. Cv. 8.3 Zjistˇete zda jsou vektory line´ arnˇe nez´ avislé: (a) (2, 3, −5), (1, −1, 1), (3, 2, −2),

(b) (2, 0, 3), (1, −1, 1), (0, 2, 1),

Cv. 8.4 Rozhodnˇete, zda vektory (0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0) jsou line´ arnˇe závislé v R4 resp. v Z43 . Cv. 8.5 Najdˇete mnoˇzinu aritmetick´ ych vektor˚ u se sloˇzkami z {0, 1, 2} tak, aby (a) byly line´ arnˇe z´ avislé v Rn i v Zn3 , (b) byly line´ arnˇe nez´ avislé v Rn i v Zn3 , (c) byly line´ arnˇe nez´ avislé v Rn , ale z´ avislé v Zn3 , (d) byly line´ arnˇe z´ avislé v Rn , ale nez´ avislé Zn3 . Cv. 8.6 Pro které hodnoty parametru a ∈ R jsou vektory (1, a, 1), (1, 1, 1) a (2, 2, a) line´ arnˇe nez´ avislé? Cv. 8.7 Najdˇete ˇctyˇri line´ arnˇe z´ avislé vektory z R4 tak, aby: (a) pr´ avˇe jeden vektor byl line´ arnˇe z´ avisl´ y na ostatn´ıch, (b) pr´ avˇe dva vektory byly line´ arnˇe z´ avislé na ostatn´ıch, (c) pr´ avˇe tˇri vektory byly line´ arnˇe z´ avislé na ostatn´ıch, (d) kaˇzd´ y z nich byl line´ arnˇe z´ avisl´ ych na ostatn´ıch, Cv. 8.8 Bud’te u, v, w line´ arnˇe nez´ avislé vektory z prostoru V nad R. Rozhodnˇete zda jsou line´ arnˇe nez´ avislé:


37

(a) o, u, v (b) u, 2u, w, (c) w, v, u, (d) u, v + w, (e) u + v, u − v, u + w, u − w,

(f) u − v, 2v + w, −u − v + 3w,

Cv. 8.9 Ukaˇzte, ˇze vektory v1 , . . . , vn ∈ V jsou line´ arnˇe nez´ avislé pr´ avˇe tehdy, kdyˇz v1 , v1 +v2 , . . . , jsou line´ arnˇe nez´ avislé.

Pn

i=1 vi

Cv. 8.10 Bud’te u1 , . . . , un line´ avislé vektory z prostoru V nad R. Rozhodnˇete kdy jsou line´ arnˇe Panrnˇe nez´ nez´ avislé vektory vi = j=1 aij uj . Cv. 8.11 Zjistˇete zda jsou vektory z prostoru re´ aln´ ych funkc´ı F line´ arnˇe nez´ avislé: (a) 2x − 1, x − 1, 3x,

(b) sin x, cos x,

Cv. 8.12 Bud’te U, V podprostory prostoru W . Dokaˇzte, ˇze U ∩ V = {o} pr´ avˇe tehdy, kdyˇz kaˇzd´ y vektor x ∈ U + V se d´ a jednoznaˇcnˇe zapsat jako x = u + v, kde u ∈ U , v ∈ V . ∗ Cv.

8.13 Dokaˇzte, ˇze sloupce A ∈ Rm×n jsou line´ arnˇe nez´ avislé pr´ avˇe tehdy, kdyˇz AT A je regul´ arn´ı.

Cv. 8.14 Dokaˇzte, ˇze n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı pro nekoneˇcnou mnoˇzinu vektor˚ u M prostoru V : (a) M je line´ arnˇe nez´ avislá, (b) existuje v ∈ M , kter´ y je line´ arn´ı kombinac´ı nˇekolika jin´ ych vektor˚ u z M, (c) neexistuje koneˇcn´ a netrivi´ aln´ı line´ arn´ı kombinace vektor˚ u z M rovna o,

(d) pro kaˇzdou vlastn´ı podmnoˇzinu N $ M je span(N ) $ span(M ).

38

9

B´ aze, dimenze

B´ aze, dimenze

Uk´ azka 9.1 (Báze, souˇradnice). Rozhodnˇete, zda vektory (1, 2, 1), (2, 5, 1), (3, 2, 1) tvoˇr´ı b´ azi prostoru R3 nad R, a pokud ano, najdˇete souˇradnice vektoru v = (5, 1, 2) vzhledem k této b´ azi. ˇ sen´ı: Nejprve ovˇeˇr´ıme, ˇze vektory jsou line´ Reˇ arnˇe nez´ avislé. Protoˇze jsou tˇri a dimenze R3 je rovnˇeˇz tˇri, mus´ı tvoˇrit b´ azi. Souˇradnice hled´ ame tak, ˇze najdeme line´ arn´ı kombinaci b´ azick´ ych vektor˚ u, která je rovna v α(1, 2, 1) + β(2, 5, 1) + γ(3, 2, 1) = (5, 1, 2). Pˇrep´ıˇseme to jako soustavu rovnic

  1 2 3 5 2 5 2 1 . 1 1 1 2

Soustava mus´ı m´ıt jediné ˇreˇsen´ı, a skuteˇcnˇe, po vyˇreˇsen´ı dostaneme α = 1, β = −1, γ = 2. Tedy souˇradnice vektoru v vzhledem k b´ azi jsou (1, −1, 2). Uk´ azka 9.2 (Báze). Bud’ V podprostor R2×2 tvoˇren´ y maticemi, jejichˇz oba ˇra´dky maj´ı stejn´ y souˇcet prvk˚ u. Najdˇete b´ azi a spoˇc´ıtejte dimenzi V . ˇ sen´ı: Matice tohoto podprostoru maj´ı tvar Reˇ a c−a , b c−b kde a, b, c ∈ R jsou libovolné. Takto je souˇcet prvn´ıho i druhého ˇra´dku roven c, a pˇritom takto pop´ıˇseme vˇsechny poˇzadované matice. Obecn´ y tvar si rozloˇz´ıme a c−a 1 −1 0 0 0 1 =a +b +c . b c−b 0 0 1 −1 0 1 0 0 01 Nyn´ı je vidˇet, ˇze matice 10 −1 ı V . Vzhledem k tomu, ˇze ˇzádn´ a z tˇechto matic se 0 , 1 −1 , ( 0 1 ) generuj´ ned´ a vygenerovat z ostatn´ıch (m´ a na urˇcité pozici nenulu, kde ostatn´ı maj´ı nuly), matice jsou line´ arnˇe nez´ avislé a tud´ıˇz pˇredstavuj´ı b´ azi V . T´ım p´ adem dim V = 3.

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

B´ aze Cv. 9.1 Najdˇete b´ azi a urˇcete dimenzi prostor˚ u: (a) R2 nad R, (b) C2 nad C, (c) C2 nad R, (d) P 2 ,

(e) R2×2 nad R, (f) Rm×n nad R,

(g) symetrické matice v R2×2 nad R. Cv. 9.2 Tvoˇr´ı vektory (1, 0, 2), (2, 1, 3), (0, 0, 2), (0, 1, 0) b´ azi prostoru R3 ? Cv. 9.3 Najdˇete b´ azi prostoru R4 obsahuj´ıc´ı vektor (1, 2, 3, 4).


39

Cv. 9.4 Zjistˇete zda (−1, 5, 3) ∈ span{(1, 2, 2), (4, 1, 3)} a pokud ano tak urˇcete souˇradnice vektoru vzhledem k dané b´ azi. Cv. 9.5 V prostoru P 2 najdˇete souˇradnice vektoru x2 + 2 vzhledem k b´ azi x2 + 1, x − 2, 2x2 + x − 1. Cv. 9.6 Najdˇete b´ azi prostoru {p ∈ P 5 ; p(x) = −p(−x) ∀x ∈ R}. Cv. 9.7 Najdˇete b´ azi prostoru {x ∈ R5 ; x1 + x3 = x2 + 2x4 = x5 }. Cv. 9.8 Najdˇete pˇr´ıklad vektorového prostoru jehoˇz b´ azi tvoˇr´ı on s´ am. Cv. 9.9 Bud’ B b´ aze vektorového prostoru V . Dokaˇzte, ˇze v1 , . . . , vn ∈ V jsou line´ arnˇe nez´ avislé pr´ avˇe tehdy, kdyˇz jejich souˇradnice [v1 ]B , . . . , [vn ]B ∈ V jsou line´ arnˇe nez´ avislé. Cv. 9.10 Souˇradnice vektoru u vzhledem k b´ azi B = {v1 , v2 , v3 , v4 } jsou [v]B = (a1 , a2 , a3 , a4 ). Urˇcete souˇradnice vektoru u vzhledem k b´ azi (a) B ′ = {v4 , v3 , v2 , v1 }.

(b) B ′ = {v1 + v4 , v2 , v3 , v4 }.

(c) B ′ = {v1 + v4 , v2 + v3 , v4 , v2 }.

Cv. 9.11 Upravován´ım pouze jediné matice rozhodnˇete, zda vektory (2, 3, 2), (1, 1, −1) tvoˇr´ı b´ azi prostoru span{(1, 2, 3), (5, 8, 7), (3, 4, 1)}. Cv. 9.12 Uvaˇzme b´ aze R2 : B = {(1, 1), (1, 2)} a B ′ = {(3, 4), (2, 3)}. V´ıme-li, ˇze pro jisté u, v ∈ R2 je [u]B = (1, 1) a [v]B = (2, 1), tak najdˇete b´ azi B ′′ aby [u]B ′ = [v]B ′′ a [v]B = [u]B ′′ . Cv. 9.13 Bud’ B b´ aze prostoru matic Rn×n . Ukaˇzte, ˇze vˇsechny matice z B nemohou navzájem komutovat (mohou jen nˇekteré). Cv. 9.14 Ukaˇzte, ˇze prostor re´ aln´ ych posloupnost´ı R∞ nem´ a spoˇcetnou b´ azi.

Dimenze dim U + dim V = dim(U + V ) + dim(U ∩ V ) Cv. 9.15 Najdˇete vˇsechny podprostory R2 nad R. Cv. 9.16 Urˇcete poˇcet podprostor˚ u Z2p nad Zp . Cv. 9.17 Bud’ V = {v1 , . . . , vn } mnoˇzina vektor˚ u nˇejakého prostoru nad R, dim (span V ) = n − 1, n ≥ 3. Kolika zp˚ usoby lze z V vybrat b´ azi span(V ) pokud v´ıme, ˇze (a) v1 = o (b) v1 = 2v2 (c) v1 = u2 − u3 Cv. 9.18 Bud’te U, V podprostory W a necht’ dim U = 7, dim V = 8, dim W = 13. (a) Odhadnˇete zdola a shora hodnotu dim (U + V ) a najdˇete konkrétn´ı pˇr´ıklad kdy se nabydou meze. (b) Odhadnˇete zdola a shora hodnotu dim (U ∩ V ). Cv. 9.19 Oznaˇcme U prostor symetrick´ ych matic ˇra´du 3 a V prostor horn´ıch troj´ uheln´ıkov´ ych matic ˇra´du 3. (a) Najdˇete b´ azi a urˇcete dimenzi prostoru U a V ,.

40

B´ aze, dimenze (b) Co pˇredstavuje prostor U ∩ V a jak´ a je jeho dimenze?

(c) Co pˇredstavuje prostor U + V a jak´ a je jeho dimenze?

Cv. 9.20 Bud’te U ⋐ V prostory takové ˇze, 1 + dim U = dim V , a bud’ B b´ aze U . Dokaˇzte, ˇze B ∪ {x} je b´ aze V pr´ avˇe tehdy kdyˇz x ∈ V \ U . Cv. 9.21 Spoˇc´ıtejte dim(U ∩ V ) pro (a) U = span{(1, 2, 0, 0), (1, 0, 0, −1)}, V = span{(0, 1, 1, 0), (1, 1, −1, 1)} podprostory R4 ,

(b) U = span{(0, 1, 0), (1, 1, 0)}, V = span{(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} podprostory R3 , (c) pˇredchoz´ı br´ ano v Z32 .

Cv. 9.22 Rozhodnˇete, zda kaˇzd´ y polynom stupnˇe nanejv´ yˇs 2 (sic! ) lze vyjádˇrit jako line´ arn´ı kombinaci polynom˚ u x3 − x2 + 2, 2x2 + x, x3 + x2 − x a x3 + x2 + 1. Cv. 9.23 Najdˇete b´ azi a urˇcete dimenzi prostoru R2 × P 2 . Cv. 9.24 Bud’ M prostor re´ aln´ ych matic 3×3 takov´ ych, ˇze souˇcty v ˇra´dkách a sloupc´ıch se rovnaj´ı. Urˇcete dimenzi tohoto prostoru a najdˇete libovolnou b´ azi. Cv. 9.25 Bud’ u1 , . . . , um b´ aze U , a bud’ v1 , . . . , vn b´ aze V . Najdˇete b´ azi a urˇcete dimenzi prostoru U ×V . Cv. 9.26 Urˇcete dimenzi prostor˚ u nad tˇelesem Q √ √ √ √ (a) Q( 2, 3) = {a + 2b + 3c; a, b, c ∈ Q}. √ √ √ √ (b) Q( 2 + 3) = {a + 2b + 3b; a, b ∈ Q}. Cv. 9.27 Rozhodnˇete zda plat´ı zobecnˇen´ı vˇety o dimenzi a spojen´ı na 3 podprostory U, V, W : dim (U + V + W ) = dim U + dim V + dim W − dim (U ∩ V ) − dim (U ∩ W ) − dim (V ∩ W ) + dim (U ∩ V ∩ W ).

Cv. 9.28 Bud’ (G, +) grupa taková, ˇze a + a = e pro kaˇzdé a ∈ G. Ukaˇzte, ˇze poˇcet prvk˚ u grupy je 2n pro urˇcité n ∈ N. (Hint: Uvˇedomte si, proˇc je pˇr´ıklad zaˇrazen v této sekci.) Cv. 9.29 Bud’ x1P , . . . , xm ∈ V , dim(V ) = P n a bud’ m ≥ n + 2. Ukaˇzte, ˇze existuje netriviáln´ı line´ arn´ı m m kombinace i=1 αi xi = o taková, ˇze i=1 αi = 0.

Direktn´ı souˇ cet

Cv. 9.30 Dokaˇzte: Je-li U ∩ V = {o}, pak kaˇzd´ y vektor w ∈ U + V lze zapsat jedin´ ym zp˚ usobem ve tvaru w = u + v, kde u ∈ U a v ∈ V . Cv. 9.31 Bud’ W direktn´ım souˇctem sv´ ych podprostor˚ u U, V . Je-li u1 , . . . , um b´ aze U a v1 , . . . , vn b´ aze V , pak u1 , . . . , um , v1 , . . . , vn je b´ aze W . Cv. 9.32 Bud’ U podprostor Rn . Ukaˇzte, ˇze z vektor˚ u e1 , . . . , en lze vybrat b´ azi prostoru V tak, ˇze Rn = U ⊕V. Cv. 9.33 Bud’te B1 , . . . , Bn b´ aze podprostor˚ u V1 , . . . , Vn prostoru V . Ukaˇzte, ˇze V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . . ⊕ Vn pr´ avˇe tehdy, kdyˇz b´ aze B1 , . . . , Bn jsou po dvou disjunktn´ı a jejich sjednocen´ım dostaneme bázi V . Dále rozhodnˇete, zda Vi ∩ Vj = {o} pro vˇsechna i 6= j implikuje, ˇze V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . . ⊕ Vn . Cv. 9.34 Bud’te U, V podprostory stejné dimenze v prostoru Z. Ukaˇzte, ˇze existuje podprostor W takov´ y, ˇze Z = U ⊕ W = V ⊕ W .


10

41

Maticov´ e prostory

Uk´ azka 10.1 (V´ ybˇer b´ aze). Uvaˇzujme vektory z R5 (1, 2, 3, 4, 5), (1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 5, 7, 9), (2, 1, 1, 0, 0). Najdˇete dimenzi a urˇcete dimenzi prostoru V , generovaného zadan´ ymi vektory. ˇ sen´ı: Sestav´ıme matici A, jej´ıˇz sloupce pˇredstavuj´ı dané vektory. Nyn´ı m´ Reˇ ame V = S(A). Pˇrevedeme matici na RREF tvar:     1 0 2 0 1 1 1 2   2 1 3 1  RREF 0 1 −1 0     A = 3 1 5 1 ∼ 0 0 0 1  0 0 0 0 4 1 7 0 0 0 0 0 5 1 9 0 RREF tvar matice m´ a 3 b´ azické sloupce (3 pivoty), proto m´ a hodnost 3, a tud´ıˇz i dim(V ) = 3. Bázické sloupce jsou prvn´ı, druh´ y a ˇctvrt´ y, coˇz n´ am ˇr´ıká, které z p˚ uvodn´ıch vektor˚ u tvoˇr´ı b´ azi – je to: (1, 2, 3, 4, 5)T , T T (1, 1, 1, 1, 1) , (2, 1, 1, 0, 0) . Pˇr´ımo z ˇra´dk˚ u ˇci sloupc˚ u matice RREF(A) b´ azi nevyˇcteme! Mimochodem, tˇret´ı z vektor˚ u je z´ avisl´ y na ostatn´ıch a z RREF tvaru vid´ıme, ˇze je roven dvojnásobku prvn´ıho minus druh´ y. Jin´ y postup je naopak vloˇzit zadané vektory do ˇra´dk˚ u do matice B a opˇet upravit na RREF tvar (nyn´ı m´ ame V = R(A)): 

1 1 B= 1 2

2 1 3 1

3 1 5 1

4 1 7 0

 5 1  9 0

RREF

∼

 1 0  0 0

0 1 0 0

 0 −1 −1 0 1 0  1 1 2 0 0 0

Hodnost matice je 3, tud´ıˇz ve shodˇe s pˇredchoz´ım je dim(V ) = 3. Nyn´ı ale b´ azi vyˇcteme pˇr´ımo ze ˇra´dk˚ u v´ ysledné matice: (1, 0, 0, −1, −1)T , (0, 1, 0, 1, 0)T , (0, 0, 1, 1, 2)T . Na druhou stranu, RREF tvar zde nic neˇr´ıká o tom, které z p˚ uvodn´ıch vektor˚ u lze vybrat do b´ aze. Uk´ azka 10.2 (J´ adro matice). Urˇcete dimenzi a najdˇete b´ azi jádra matice 

 2 4 4 4 A = −3 −4 2 0 . 5 7 −2 1

ˇ sen´ı: Uprav´ıme matici na RREF tvar Reˇ 

 2 4 4 4 A = −3 −4 2 0 5 7 −2 1

RREF

∼



 1 0 −6 −4 0 1 4 3 0 0 0 0

Hodnost matice je 2, tud´ıˇz dle vzorce dim Ker(A) = n − rank(A), kde n je poˇcet sloupc˚ u matice A, spoˇc´ıtáme dim Ker(A) = 4 − 2 = 2. Bázi Ker(A) z´ıskáme vyˇreˇsen´ım soustavy Ax = o, k ˇcemuˇz vyuˇzijeme RREF tvaru nahoˇre. Staˇc´ı si jen pˇredstavit nulovou pravou stranu (kterou nemus´ıme ps´ at, protoˇze se nezmˇen´ı), neb´ azické promˇenné x3 , x4 za parametry a vyjádˇrit ˇreˇsen´ı ve tvaru (6x3 + 4x4 , −4x3 − 3x4 , x3 , x4 )T = x3 (6, −4, 1, 0)T + x4 (4, −3, 0, 1)T . Bázi jádra A tvoˇr´ı tedy napˇr. vektory (6, −4, 1, 0)T , (4, −3, 0, 1)T . Tento postup funguje pro kaˇzdou matici, protoˇze neb´ azick´ ych promˇenn´ ych je pˇresnˇe tolik jak´ a je dimenze jádra, a proto vektory u tˇechto promˇenn´ ych (v naˇsem pˇr´ıpadˇe (6, −4, 1, 0)T , (4, −3, 0, 1)T ) mus´ı d´ at b´ azi Ker(A).

42

Maticové prostory

A ∈ Rm×n : rank(A) = dim S(A) = dim R(A) = n − dim Ker(A)

Cviˇ cen´ı

............................................

............................................

Cv. 10.1 Postupnˇe nad tˇelesy R, Z5 a Z7 rozhodnˇete zda pro A =

1 2 plat´ı 3 1

(a) (1, 2)T ∈ Ker(A)

(b) (1, 2)T ∈ S(A)

Cv. 10.2 Urˇcete a, b, c ∈ R tak, aby

  1 −a 1 (1, 2, 3)T ∈ b 1 −1 . 2 −1 c

Cv. 10.3 Najdˇete matici A takovou, ˇze R(A) obsahuje vektory (1, 1), (1, 2) a S(A) obsahuje (1, 0, 0)T , (0, 0, 1)T . Cv. 10.4 Najdˇete matici A takovou, ˇze R(A) = R4 a S(A) = R3 . Cv. 10.5 Pro matici



 1 2 2 3 A = 2 4 1 3 3 6 1 4

najdˇete b´ aze prostor˚ u S(A), R(A), Ker(A).

Cv. 10.6 Bud’ A ∈ Rm×n , b ∈ Rm a v ∈ R(A). Ukaˇzte, ˇze v T x je konstantn´ı pro vˇsechna ˇreˇsen´ı soustavy Ax = b. Cv. 10.7 Urˇcete dimenzi prostoru generovaného vektory (a) (1, 3, 5, 6), (3, 9, 15, 18), (0, 0, 0, 0) (b) (1, 2, 3, 4), (1, 5, 1, 2), (1, 1, 2, 3) (c) (1, 2, 2, −2), (2, 1, 1, 1), (0, 3, 3, −5)

(d) (1 + i, 1 − i, i), (1 − i, 1 + 3i, 1 + i), (1 + i, 1 − i, 1) Cv. 10.8 Urˇcete dimenzi prostoru V = {x ∈ Rn ; x1 + . . . + xn = 0}. Cv. 10.9 Urˇcete dimenzi a b´ azi prostoru V = {x ∈ R4 ; x1 + x2 = x3 + x4 = x1 + x3 = x2 + x4 }. Cv. 10.10 Pˇripomeˇ nme, ˇze e = (1, . . . , 1)T . Urˇcete dimenzi prostoru {A ∈ R3×3 ; ∃α ∈ R : Ae = αe}. Dok´ aˇzet zobecnit v´ ysledek pro ˇctvercové matice ˇra´du n? A dokáˇzete zobecnit v´ ysledek pro obecné tˇeleso T? Cv. 10.11 Najdˇete matici A takovou, aby b´ aze R(A) i S(A) byla (1, 1, 1)T a b´ aze Ker(A) byla (1, −2, 1)T . Cv. 10.12 Rozˇsiˇrte vektory (1, 2, 1), (2, −2, −1) na b´ azi R3 . Cv. 10.13 Z vektor˚ u vyberte b´ azi a pro ostatn´ı najdˇete souˇradnice v˚ uˇci této b´ azi:


43

(a) v1 = (1, 2, −1), v2 = (−1, 8, −1), v3 = (−4, 2, 2),

(b) v1 = (1, 0, 2, −3), v2 = (3, 2, 1, −5), v3 = (−1, 2, 1, −2), v4 = (−3, 0, 2, 0), (c) v1 = (3, 1, 5, 4), v2 = (2, 2, 3, 3), v3 = (1, −1, 2, 1), v4 = (1, 3, 1, 2).

Cv. 10.14 V prostoru Z37 urˇcete kter´ y z vektor˚ u (2, 5, 5), (4, 4, 0), (4, 1, 2) je závisl´ y na ostatn´ıch. Cv. 10.15 Zjistˇete zda se rovnaj´ı prostory U = span{(1, 2, 0), (0, 1, −1)} a V = span{(2, 1, 3), (1, 0, 2)}.

Cv. 10.16 Najdˇete vˇsechny symetrické matice A ∈ R3×3 s jedniˇckami na diagon´ ale a vektorem (1, 2, 3)T v jádru A. Cv. 10.17 Bud’ A ∈ Rm×n hodnosti k. Ukaˇzte, ˇze existuj´ı B ∈ Rm×k , C ∈ Rk×n takové, ˇze A = BC. Cv. 10.18 Báze jádra matice A ∈ Rm×n , m ≤ n. (a) Necht arn´ımi ˇra´dkov´ ymi u ´pravami na tvar (Im | B). Ukaˇzte, ˇze Ker(A) = ’ A jde pˇrevést element´ −B R I , tedy sloupce matice vpravo tvoˇr´ı jádro matice A. n−m

(b) Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a matice A lze pˇrevést na tvar (Im | B) po vhodné permutaci sloupc˚ u a po vynech´ an´ı line´ arnˇe z´ avisl´ ych ˇra´dk˚ u. Jak se pak zmˇen´ı jej´ı jádro? A BT n×n m×n Cv. 10.19 Bud’ A ∈ R regul´ arn´ı a B ∈ R . Spoˇc´ıtejte rank . B BA−1 B T Cv. 10.20 Jak´ y je vztah mezi prostory Ker(AB) a Ker(B)? Cv. 10.21 Rozhodnˇete zda plat´ı pro matice A, B ∈ Rm×n : (a) S(A) = S(B) a R(A) = R(B) implikuje A = B.

(b) S(A) = S(B) a R(A) = R(B) implikuje A = QB pro nˇejakou regul´ arn´ı matici Q. (c) R(A) = R(B) pr´ avˇe tehdy kdyˇz RREF(A) = RREF(B).

(d) S(A) = S(B) pr´ avˇe tehdy kdyˇz RREF(A) = RREF(B). Cv. 10.22 Rozhodnˇete zda plat´ı pro matici A ∈ Rn×n : (a) R(A) ∩ Ker(A) = {o}.

(b) S(A) ⊆ Ker(A) ⇒ A2 = 0.

(c) Ker(A) = Ker(A2 ) ⇔ S(A) = S(A2 ).

Cv. 10.23 Bud’ A ∈ Rm×n hodnosti r. Navrhnˇete postup jak sestojit matice B ∈ Rm×r a C ∈ Rr×n tak, aby A = BC. Jaké hodnosti mohou matice B, C nab´ yvat? Cv. 10.24 Rozhodnˇete zda plat´ı: rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B). Cv. 10.25 Bud’te A, B ˇctvercové matice ˇra´du 2n + 1 takové, ˇze AB = 0. Ukaˇzte, ˇze (a) aspoˇ n jedna z matic A, B m´ a hodnost nanejv´ yˇs n, (b) aspoˇ n jedna z matic A + AT , B + B T je singulárn´ı. Cv. 10.26 Dokaˇzte (v tomto poˇrad´ı), ˇze pro A ∈ Rm×n , B ∈ Rn×p , C ∈ Rp×q plat´ı ∗ (a)

dim Ker(AB) ≤ dim Ker(A) + dim Ker(B).

(b) rank(AB) ≥ rank(A) + rank(B) − n.

44

Maticové prostory (c) rank(ABC) ≥ rank(AB) + rank(BC) − rank(B). (Hint: Rozloˇzte B = B1 B2 , kde B1 ∈ Rn×r , B2 ∈ Rr×p a r = rank(B)).

Cv. 10.27 Bud’ A ∈ Rn×n a k ∈ N. Dokaˇzte rank(Ak ) − rank(Ak+1 ) ≥ rank(Ak+1 ) − rank(Ak+2 ). (Hint: Pouˇzijte jádro matice.) Speciálnˇe, bud’ A ∈ R5×5 taková, ˇze A3 = 0 a A2 6= 0. Jaké jsou moˇznosti pro rank(A) a rank(A2 )? ∗ Cv.

10.28 (a) Mˇesto Lichosudov m´ a n obyvatel a m klub˚ u. Kaˇzd´ y klub m´ a lich´ y poˇcet ˇclen˚ u, ale kaˇzdé dva kluby maj´ı v pr˚ uniku sud´ y poˇcet ˇclen˚ u. Dokaˇzte m ≤ n.

(b) V tichomoˇrském souostrov´ı Darwinlandia roste m druh˚ u kvˇetin na n ostrovech. Nav´ıc je zn´ amo, ˇze kaˇzd´ y druh rostliny se vyskytuje pr´ avˇe na k ostrovech a kaˇzdé dva druhy rostlin se spolu vyskytuj´ı pr´ avˇe na ℓ 6= k ostrovech. Dokaˇzte m ≤ n.


11

45

Line´ arn´ı zobrazen´ı

Uk´ azka 11.1 (Test linearity zobrazen´ı). Dokaˇzte, ˇze zobrazen´ı f : R3 → R2 zadané pˇredpisem f (x, y, z) = (x − y, z) je line´ arn´ı. ˇ sen´ı: Staˇc´ı ovˇeˇrit dvˇe podm´ınky z definice. Reˇ • Bud’te (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 libovolné. Pak f ((x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 )) = f (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) = (x1 + x2 − (y1 + y2 ), z1 + z2 ), f (x1 , y1 , z1 ) + f (x2 , y2 , z2 ) = (x1 − y1 , z1 ) + (x2 − y2 , z2 ) = (x1 + x2 − y1 − y2 , z1 + z2 ).

Obˇe hodnoty se rovnaj´ı, tedy f (u + v) = f (u) + f (v) pro vˇsechna u, v ∈ R3 . • Bud’te α ∈ R a (x, y, z) ∈ R3 libovolné. Pak f (α(x, y, z)) = f (αx, αy, αz) = (αx − αy, αz), αf (x, y, z) = α(x − y, z) = (αx − αy, αz).

Obˇe hodnoty se rovnaj´ı, tedy f (αu) = αf (u) pro vˇsechna α ∈ R a v ∈ R3 . Uk´ azka 11.2 (Matice otoˇcen´ı). Najdˇete matici line´ arn´ıho zobrazen´ı f : R2 → R2 vzhledem ke kanonické b´ azi, representuj´ıc´ı otoˇcen´ı podle poˇc´ atku v rovinˇe o u ´hel α proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek. T T ˇ Reˇsen´ı: Prvn´ı kanonick´ y vektor (1, 0) se otoˇc´ı na (cos α, sin α) , a druh´ y kanonick´ y vektor (0, 1)T se T otoˇc´ı na (− sin α, cos α) . Matice je tedy cos α − sin α . sin α cos α Uk´ azka 11.3 (Matice pˇrechodu). Najdˇete matici pˇrechodu v R3 od b´ aze B1 = {(1, 1, −1), (3, −2, 0), (2, −1, 1)} k b´ azi B2 = {(8, −4, 1), (−8, 5, −2), (3, −2, 1)}.

ˇ sen´ı: Bez poˇc´ıt´ Reˇ an´ı m´ ame d´ılˇc´ı matice matic jsou tvoˇreny dan´ ymi vektory b´ aze:  1 3  1 −2 kan [id]B1 = −1 0

pˇrechodu od dané b´ aze ke kanonické b´ azi, protoˇze sloupce  2 −1 , 1

kan [id]B2



 8 −8 3 = −4 5 −2 . 1 −2 1

Hledanou matici pˇrechodu pak m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat napˇr´ıklad ze vztahu B2 [id]B1

=

B2 [id]kan kan [id]B1

=

−1 kan [id]B2 kan [id]B1

.

Efektivn´ı zp˚ usob jak vzoreˇcek aplikovat je upravit do RREF tvaru rozˇs´ıˇrenou matici ( kan [id]B2 | tedy     1 3 2 8 −8 3 1 0 0 2 −1 1 RREF −4 1 −2 −1 ∼ 0 1 0 3 −4 3 . 5 −2 1 −2 1 −1 0 0 1 3 −7 6 0 1

Pravá ˇcást v´ ysledné matice je hledaná matice pˇrechodu,   2 −1 1 3 −4 3 . B2 [id]B1 = 3 −7 6

kan [id]B1 ),

46


Uk´ azka 11.4 (Matice zobrazen´ı s obecnou b´ az´ı). Mˇejme d´ anu matici line´ arn´ıho zobrazen´ı f : U → V vzhledem k b´ az´ım B1 , B2 , tj. B2 [f ]B1 , a mˇejme d´ any b´ aze B3 , B4 prostor˚ u U, V . Navrhnˇete postup jak naj´ıt matici f vzhledem k b´ az´ım B3 , B4 , tj. B4 [f ]B3 . ˇ sen´ı: Podle vˇety o matici sloˇzeného zobrazen´ı, kdy sklád´ Reˇ ame id ◦ f ◦ id = f s vhodn´ ymi b´ azemi, dostaneme B4 [f ]B3 = B4 [id]B2 B2 [f ]B1 B1 [id]B3 . Tedy veˇskerou pr´ aci vykonaj´ı matice pˇrechodu mezi b´ azemi. ............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Line´ arn´ı zobrazen´ı Cv. 11.1 Rozhodnˇete zda n´ asleduj´ıc´ı zobrazen´ı f : R2 → R2 jsou line´ arn´ı: (a) (b) (c) (d)

f (x, y) = (x, y + 3), f (x, y) = (0, 0), f (x, y) = (x + 2y, y), f (x, y) = (x2 , y),

Cv. 11.2 Rozhodnˇete zda n´ asleduj´ıc´ı zobrazen´ı F → F jsou line´ arn´ı (F je prostor re´ aln´ ych funkc´ı): (a) (b) (c) (d) (e) (f)

f (x) 7→ α · f (x), kde α ∈ R je pevné, f (x) 7→ x · f (x), f (x) 7→ x2 · f (x), f (x) 7→ f (x) − 7x, f (x) 7→ f (x) − 7α, kde α ∈ R je pevné, f (x) 7→ f (x − sin x),

Cv. 11.3 Rozhodnˇete zda n´ asleduj´ıc´ı zobrazen´ı z prostoru Rn×n jsou line´ arn´ı: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

f (A) = AT , f (A) = trace(A), f (A) = A + B, kde B ∈ Rn×n je pevná, f (A) = In , f (A) = A2 , f (A) = a11 , f (A) = RREF(A),

Cv. 11.4 Rozhodnˇete zda je zobrazen´ı f : Cn → Cn s pˇredpisem f (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn ) line´ arn´ı. Cv. 11.5 Rozhodnˇete zda zobrazen´ı (x1 , x2 , x3 , . . . ) 7→ (x2 , x3 , . . . ) na prostoru re´ aln´ ych posloupnost´ı je line´ arn´ı. Cv. 11.6 Rozhodnˇete zda zobrazen´ı log : R+ 7→ R je line´ arn´ı pro prostor ze Cv. 7.3(g). Cv. 11.7 Cha,bi je prostor spojit´ ych re´ aln´ ych funkc´ı na intervalu ha, bi. Rozhodnˇete zda n´ asleduj´ıc´ı zobrazen´ı F : Cha,bi → R jsou line´ arn´ı: (a) F (f ) = maxx∈ha,bi f (x), (b) F (f ) = f (c), kde c ∈ ha, bi je pevné. Cv. 11.8 Bud’ V vektorov´ y prostor nad T, dimenze n a B = {v1 , . . . , vn } nˇejak´ a jeho b´ aze. Ukaˇzte, ˇze zobrazen´ı f : V → Tn definované pˇredpisem f (x) = [x]B je line´ arn´ı, a vymyslete nˇejak´ y pˇr´ıklad tohoto zobrazen´ı.


47

Matice line´ arn´ıho zobrazen´ı vzhledem ke kanonick´ e b´ azi Cv. 11.9 Najdˇete obraz vektoru (−1, 1, 2) pˇri line´ arn´ım zobrazen´ı definovaném: f (1, 0, 0) = (1, 1), f (0, 1, 0) = (−1, 2), f (0, 0, 1) = (0, 0).

Cv. 11.10 Najdˇete matici n´ asleduj´ıc´ıch line´ arn´ıch zobrazen´ı v rovinˇe vzhledem ke kanonické b´ azi: (a) Otoˇcen´ı o 90◦ proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek. (b) Pˇreklopen´ı podle osy (1, 1). (c) Projekce na pˇr´ımku sv´ıraj´ıc´ı s osou x u ´hel α proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek. Cv. 11.11 Bud’ V ⋐ F s b´ az´ı B = {sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, cos2 x}. Urˇcete matici zobrazen´ı derivace vzhledem k b´ azi B.

Matice pˇ rechodu Cv. 11.12 Najdˇete matici pˇrechodu od b´ aze v1 , v2 , v3 , v4 k b´ azi v2 , v4 , v1 , v3 . Cv. 11.13 Bud’ A ∈ Rn×n a d´ıvejme se na n´ı jako na matici pˇrechodu. (a) Jakou b´ azi pˇrevád´ı A na kanonickou? (b) Na jakou b´ azi pˇrevád´ı A kanonickou b´ azi? Cv. 11.14 V R3 uvaˇzujme dvˇe b´ aze: B = {(1, 1, 1), (0, 1, −1), (2, 0, 1)},

B ′ = {(3, 2, 2), (1, 0, 1), (1, 2, 2)}.

(a) Sestrojte matici pˇrechodu od b´ aze B do kanonické. (b) Sestrojte matici pˇrechodu od kanonické b´ aze do B. (c) Urˇcete souˇradnice vektoru (1, 2, 0) vzhledem k b´ azi B. (d) Sestrojte matici pˇrechodu od b´ aze B ′ do B. Cv. 11.15 Urˇcete matici pˇrechodu od b´ aze B do b´ aze B ′ prostoru P 2 , je-li B = {x2 + 1, x2 − 3x + 1, x2 + x + 3},

B ′ = {x2 + 2x + 1, 2x2 + 1, x2 − x}.

Cv. 11.16 Bud’   1 0 −1 A = 0 1 0  , 1 1 0

B ′ = {(1, 1, 0)T , (1, 0, 0)T , (0, 1, −1)T }.

(a) Najdˇete b´ azi B, tak aby A byla matic´ı pˇrechodu od b´ aze B do b´ aze B ′ , tj.

B ′ [id]B .

B′

(b) Najdˇete b´ azi B, tak aby A byla matic´ı pˇrechodu od b´ aze do b´ aze B, tj. B [id]B ′ . aze B1 = {u, v} do b´ aze B2 = {x, y}. Najdˇete Cv. 11.17 Bud’ B2 [id]B1 = 13 24 matice pˇrechodu od b´ matici pˇrechodu (a) od b´ aze {v, u} do b´ aze {x, y},

(b) od b´ aze {5u, 2v} do b´ aze {x, y},

(c) od b´ aze {u + v, v} do b´ aze {x, y}.

Cv. 11.18 Bud’ B = {(0, −1, 2), (−2, 2, −1), (−1, 2, 1)}. Najdˇete b´ azi B ′ tak, aby pro kaˇzd´ y vektor x ∈ R3 platilo x + [x]B + [x]B ′ = o.

48


Matice line´ arn´ıho zobrazen´ı – obecn´ y tvar Cv. 11.19 Najdˇete matici line´ arn´ıho zobrazen´ı (vzhledem ke kanonické b´ azi) zobrazuj´ıc´ı: (a) (1, 3) na (4, −1),

(b) (1, 3) na (1, 1), a (2, −1) na (−1, −1), (c) (1, 3) na (1, 1), a (2, 6) na (−1, −1),

Cv. 11.20 Uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı f : R2 → R3 zadané: f (e1 ) = (1, −1, 1), f (e2 ) = (0, 1, 1). Mˇejme b´ aze B1 = {(1, −1), (1, 1)} a B2 = {(1, −1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}. Spoˇc´ıtejte: (a) matici zobrazen´ı vzhledem ke kanonick´ ym b´ az´ım, tj. (b) matici zobrazen´ı od B1 ke kanonické b´ azi, tj. (c) matici zobrazen´ı od kanonické b´ aze k B2 , tj. (d) matici zobrazen´ı od B1 k B2 , tj.

kan [f ]kan ,

kan [f ]B1 , B2 [f ]kan ,

B2 [f ]B1 .

Cv. 11.21 Matice line´ arn´ıho zobrazen´ı f : R3 → R2 vzhledem k b´ az´ım B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} a ′ B = {(1, 1), (2, 0)} m´ a tvar 1 0 −1 . A= 1 2 3 Urˇcete obraz vektoru (x, y, z). Cv. 11.22 Uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı f : P 2 → P 2 zadané   1 2 3 0 1 2 B [f ]B = 1 0 0 vzhledem k b´ azi B = {1, 1 + x, x2 }. Najdˇete

B ′ [f ]B ′ ,

je-li B ′ = {1, x, 1 + x2 }.

Cv. 11.23 Mˇejme line´ arn´ı zobrazen´ı f : P 2 → P 2 zadané f (2x2 + x − 3) = x + 1, f (x2 + 2x + 1) = x2 − 2x, f (−3x3 − 2x + 4) = −x2 − x a b´ azi B = {2x2 + x − 2, −2x + 1, x2 − 1}. Najdˇete matici zobrazen´ı v˚ uˇci b´ azi B a kanonické, tj. [f ] . kan B Cv. 11.24 Zvolte si b´ azi B prostoru R2×2 a pro line´ arn´ı zobrazen´ı f : R2×2 → R2×2 zadané f (X) = T 1 0 1 1 ( 1 0 ) X + ( 1 1 ) X urˇcete matici vzhledem k B. Cv. 11.25 Bud’ f : R3 → R3 line´ arn´ı zobrazen´ı zadané f : a(1, 1, 3) + b(2, 0, 2) + c(2, 3, 1) → a(1, 1, 1) + b(1, 2, 2, ) + c(1, 1, 0). Najdˇete matici inverzn´ıho zobrazen´ı vzhledem ke kanonické b´ azi. Cv. 11.26 Bud’ f : R3 → R3 line´ arn´ı zobrazen´ı zadané f (1, 1, 1) = (2, 1, 0), f (2, 0, 5) = (1, 2, 3), f (3, 1, 3) = (0, 1, 2), a bud’ V podprostor R3 s b´ az´ı B = {(5, 3, 2), (1, 1, 4)}. Najdˇete matici zobrazen´ı f s omezen´ ym definiˇcn´ım oborem na podprostor V vzhledem k b´ azi B a kanonické b´ azi. Cv. 11.27 Bud’ f line´ arn´ı zobrazen´ı a B1 , B2 , B3 , B4 odpov´ıdaj´ıc´ı b´ aze. (a) M˚ uˇze

B2 [f ]B1

=

B4 [f ]B3

pro B1 6= B3 a B2 6= B4 ?


(b) M˚ uˇze

B2 [f ]B1

=

49

B4 [f ]B1

pro B2 6= B4 ?

(c) Ovlivn´ı nˇejak pˇredchoz´ı ot´ azky situace, kdy f je isomorfismus? Cv. 11.28 Ukaˇzte, ˇze pro line´ arn´ı zobrazen´ı f : U → V existuj´ı b´ aze prostor˚ u U a V takové, ˇze matice f vzhledem k tˇemto b´ az´ım m´ a tvar Ir 0 . 0 0 Cv. 11.29 Urˇcete

kan [f

◦ g]kan pro line´ arn´ı zobrazen´ı f, g : R3 → R3 zadan´ a f (a, b, c) = (a − c, b − a, b + c)T , g(a, b, c) = (a + b + c, b + c, c)T .

Cv. 11.30 Uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı f, g : R3 → R3 zadan´ a maticemi     1 1 1 3 1 3 1 2 1 , 1 0 1 . B [f ]kan = B [g]kan = 1 1 3 2 1 2 kde B = {(1, 0, −1)T , (1, 1, 0)T , (1, −2, 1)T }. Urˇcete

kan [f

◦ g]kan .

Cv. 11.31 Uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı f, g : R3 → R3 zadan´ a maticemi     1 2 0 2 1 1 1 1 1 , 1 2 1 . B [f ]kan = kan [g]B = 3 1 1 1 1 2 kde B = {(2, 1, 1)T , (1, 0, 1)T , (0, 0, 1)T }. Urˇcete

kan [f

+ g]kan .

50

12

Obraz, j´ adro, isomorfismus


Uk´ azka 12.1 (Obraz a jádro line´ arn´ıho zobrazen´ı). Mˇejme line´ arn´ı zobrazen´ı f : R3 → P 2 dané matic´ı   1 1 1 3 2 0 , B2 [f ]B1 = A = 0 1 3 kde uvaˇzované b´ aze R3 a P 2 jsou

B1 = {(1, 2, 1), (0, 1, 1), (1, 2, 4)},

B2 = {x2 − 2x + 3, x − 1, 2x2 + x}.

Urˇcete dimenzi obrazu a jádra f , a najdˇete jejich b´ aze. ˇ sen´ı: Dimenze obrazu je rovna hodnosti matice zobrazen´ı, tedy dim f (R3 ) = rank(A) = 2. Dimenzi Reˇ jádra spoˇc´ıtáme ze vzoreˇcku dim U = dim Ker(f )+dim f (U ), podle kterého dim Ker(f ) = 3−rank(A) = 1. Abychom urˇcili b´ azi obrazu, najdeme nejprve b´ azi sloupcového prostoru matice A; tu tvoˇr´ı napˇr´ıklad prvn´ı dva sloupce. Tyto dva vektory pˇredstavuj´ı souˇradnice hledané b´ aze vzhledem k b´ azi B2 , takˇze staˇc´ı uˇz jen vyjádˇrit odpov´ıdaj´ıc´ı line´ arn´ı kombinace 1(x2 − 2x + 3) + 3(x − 1) + 0(2x2 + x) = x2 + x,

1(x2 − 2x + 3) + 2(x − 1) + 1(2x2 + x) = 3x2 + x + 1, a b´ azi obrazu tvoˇr´ı vektory x2 +x, 3x2 +x+1. Zd˚ uvodnˇen´ı postupu je n´ asleduj´ıc´ı: Podle základn´ı vlastnosti matice zobrazen´ı je pro kaˇzdé x ∈ R3 [f (x)]B2 =

B2 [f ]B1 [x]B1

= A[x]B1 .

Tud´ıˇz souˇradnice vˇsech obraz˚ u jsou ve sloupcovém prostoru matice A a naopak. Podobnˇe postupujeme pˇri hled´ an´ı b´ aze jádra f . Nejprve najdeme b´ azi jádra matice A, coˇz je jeden T vektor (2, −3, 1) . Tento vektor pˇredstavuje souˇradnice hledaného vektoru b´ azi vzhledem k b´ azi B1 , tedy odpov´ıdaj´ıc´ı line´ arn´ı kombinace 2(1, 2, 1) − 3(0, 1, 1) + 1(1, 2, 4) = (3, 3, 3) n´ am d´ avá vektor (3, 3, 3)T jakoˇzto b´ azi jádra f . Zd˚ uvodnˇen´ı postupu je n´ asleduj´ıc´ı: Vektor x ∈ Ker(f ) mus´ı splˇ novat f (x) = o, tedy i [f (x)]B2 = o. Podle základn´ı vlastnosti matice zobrazen´ı je o = [f (x)]B2 =

B2 [f ]B1 [x]B1

= A[x]B1 .

Tud´ıˇz souˇradnice vektor˚ u z jádra f jsou v jádru A a naopak. Uk´ azka 12.2 (Isomorfismus). Rozhodnˇete, zda zobrazen´ı s pˇredpisem f (x, y, z) = (x+y −2z, y −z, x−y) je isomorfismem na prostoru R3 . ˇ sen´ı: Sestav´ıme matici zobrazen´ı f vzhledem ke kanonické b´ Reˇ azi   1 0 1  1 1 −1 . kan [f ]kan = −2 −1 0 Pˇrevodem na odstupˇ novan´ y tvar zjist´ıme, ˇze jej´ı hodnost je 2, a proto f neni isomorfismem (matice by musela b´ yt regul´ arn´ı). Nav´ıc to ukazuje, ˇze f nen´ı ani prostá, ani na.

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................


51

Isomorfismus Cv. 12.1 Najdˇete isomorfismus mezi prostory: (a) R4 a R2×2 , (b) R4 a P 3 ,

(c) Rm×n a Rn×m,

(d) Rn nad R a Cn nad C, Cv. 12.2 Rozhodnˇete, zda jsou isomorfn´ı: (a) prostor R2 a prostor {x ∈ R4 ; x1 + x2 = x3 + x4 = 0}.

(b) prostor polynom˚ u P a re´ aln´ ych posloupnost´ı R∞ .

Cv. 12.3 Bud’te f : U → V , g : V → W isomorfismy. Dokaˇzte, ˇze g ◦ f je isomorfismus, speciálnˇe: (a) Jsou-li f, g prosté, pak g ◦ f je prosté.

(b) Jsou-li f, g na, pak g ◦ f je na.

Cv. 12.4 Dokaˇzte, ˇze isomorfismus v Rn zobrazuje pˇr´ımky na pˇr´ımky. Cv. 12.5 Bud’ f : U → V isomorfismus a x1 , . . . , xn ∈ U . Dokaˇzte: (a) Jsou-li x1 , . . . , xn line´ arnˇe nez´ avislé, pak i f (x1 ), . . . , f (xn ) jsou line´ arnˇe nez´ avislé. (b) Jsou-li x1 , . . . , xn gener´ atory U , pak f (x1 ), . . . , f (xn ) jsou gener´ atory V . (c) Jsou-li f (x1 ), . . . , f (xn ) line´ arnˇe nez´ avislé, pak i x1 , . . . , xn jsou line´ arnˇe nez´ avislé. Cv. 12.6 Ukaˇzte, ˇze pro dan´ y vektorov´ y prostor V mnoˇzina vˇsech isomorfism˚ u f : V → V s operac´ı sklád´ an´ı tvoˇr´ı grupu. Cv. 12.7 Ukaˇzte, ˇze line´ arn´ı zobrazen´ı f : U → V je isomorfismus pr´ avˇe tehdy, kdyˇz existuje line´ arn´ı zobrazen´ı g : V → U takové, ˇze g ◦ f a f ◦ g jsou identity. Nav´ıc, g je isomorfismus a je jednoznaˇcné.

Line´ arn´ı zobrazen´ı: obraz, j´ adro Cv. 12.8 Pro line´ arn´ı zobrazen´ı f : P 3 → P 4 dané pˇredpisem p(x) 7→ x · p(x) rozhodnˇete, které vektory patˇr´ı do jádra a které do obrazu: (a) 0, (b) 123, (c) x2 , (d) x2 − 2x + 1. Cv. 12.9 Pro line´ arn´ı zobrazen´ı f : R2×2 → R2×2 dané pˇredpisem A 7→ A − AT rozhodnˇete, které vektory patˇr´ı do jádra a které do obrazu: (a) I2 . (b) 0. 1 1 (c) , 1 1 0 1 (d) . −1 0 Cv. 12.10 Jak pozn´ ame ze zadané matice A ∈ Tm×n line´ arn´ıho zobrazen´ı f : U → V , ˇze f je prosté resp. na“? ”

52


Cv. 12.11 Rozhodnˇete zda line´ arn´ı zobrazen´ı je prosté a zda je na“: ” (a) f : R2×2 → R3 s pˇredpisem f ac db = (a + b + c, a + b, a). (b) f : R2×2 → R4 s pˇredpisem f ac db = (a + b + c + d, a + b + c, a + b, a). (c) f : R2×2 → P 2 s pˇredpisem f ac db = (a + b)x2 + (c + d)x + c.

(d) f : P 2 → R4 s pˇredpisem f (ax2 + bx + c) = (a − b + c, b + c, a + 2c, a − c). (e) f : P 2 → R3 s pˇredpisem f (ax2 + bx + c) = (a + b, 2b − c, a − b + c).

(f) f : P 2 → R3 s pˇredpisem f (ax2 + bx + c) = (a + b, 2b − c, a − b + 2c).

Cv. 12.12 Bud’ A ∈ Rm×n a uvaˇzme line´ arn´ı zobrazen´ı f (x) = Ax. Co pˇredstavuje Ker(f ) a f (Rn )? Cv. 12.13 Uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı f : P 2 → P 3 dané pˇredpisem f : p(x) → xp(x). Popiˇste obraz f (P 2 ) a jádro Ker (f ). Cv. 12.14 Co je obrazem prostoru span{sin x, cos x} pˇri zobrazen´ı s matic´ı ( 01 00 ) vzhledem k b´ az´ım {cos x− sin x, sin x} a {cos x + sin x, cos x}? Cv. 12.15 Bud’ f : R3 → R2 line´ arn´ı zobrazen´ı zadané f (1, 0, 1) = (0, 1), f (0, 1, 1) = (−1, 0), f (1, 1, 0) = (1, 0). (a) Urˇcete dim f (R3 ) a dim Ker (f ). (b) Najdˇete b´ azi f (R3 ) a Ker (f ). Cv. 12.16 Bud’ f : R3 → P 2 line´ arn´ı zobrazen´ı zadané f (1, 0, 1) = 2x2 + 2x + 2, f (0, 1, 1) = 3x2 + 4x + 1, f (1, 1, 0) = 2x2 + x + 4. (a) Urˇcete dim f (R3 ) a dim Ker (f ). (b) Najdˇete b´ azi f (R3 ) a Ker (f ). Cv. 12.17 Najdˇete jádro a obraz line´ arn´ıch zobrazen´ı (a) f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x2 − x3 , x1 + x3 , 2x1 + x3 ),

(b) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + 2x2 + x4 , x2 − 2x3 , x1 + 4x3 + x4 ), Cv. 12.18 Najdˇete jádro a obraz line´ arn´ıch zobrazen´ı (a) f : R2×2 → P 2 dané pˇredpisem f ac db = ax2 + b + c + d. (b) f : R2×2 → P 2 dané pˇredpisem f ac db = (a + c)x2 + (a + c)x + (a + c).

Cv. 12.19 Uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı F → F dané pˇredpisem dole. Najdˇete jádro a obraz (a) f (x) 7→ f (x) + f (−x),

(b) f (x) 7→ f (x) − f (−x), Cv. 12.20 O line´ arn´ım zobrazen´ı f : R3 → R2 je zn´ amo, ˇze vektory (1, 2, 0) a (2, 0, 1) n´ aleˇz´ı do jádra a f (1, 1, 1) = (3, 6). (a) Zjistˇete, zda je f urˇceno jednoznaˇcnˇe. (b) Urˇcete dim(f (R3 )). (c) Najdˇete matici vzhledem ke kanonické b´ azi. Cv. 12.21 Najdˇete jádro a obraz line´ arn´ıho zobrazen´ı A ∈ Rn×n 7→ A + AT . Cv. 12.22 Najdˇete jádro a obraz line´ arn´ıho zobrazen´ı P n → P n pˇredstavuj´ıc´ı druhou derivaci, n ≥ 2.


53

Cv. 12.23 Uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı x 7→ Dx, kde D ∈ Rn×n je regul´ arn´ı. (a) Co je obrazem mnoˇziny {x ∈ Rn ; aT x = β}, kde a ∈ Rn a β ∈ R?

(b) Co je obrazem mnoˇziny {x ∈ Rn ; Ax = b}, kde A ∈ Rm×n a b ∈ Rm ? (c) Co se zobraz´ı na mnoˇzinu {x ∈ Rn ; Ax = b}?

(d) Jak se zmˇen´ı pˇredchoz´ı v´ ysledky kdyˇz D nebude regul´ arn´ı? Cv. 12.24 Ukaˇzte, ˇze pro matice A ∈ Rm×p , B ∈ Rp×n plat´ı: dim(Ker(A) ∩ S(B)) = rank(B) − rank(AB). Cv. 12.25 Bud’ f : U → V line´ arn´ı zobrazen´ı a W podprostor f (U ). Dokaˇzte, ˇze {x ∈ U ; f (x) ∈ W } je podprostor U . Cv. 12.26 Dokaˇzte, ˇze line´ arn´ı zobrazen´ı f : U → V je (a) prosté pr´ avˇe tehdy, kdyˇz existuje line´ arn´ı zobrazen´ı g : V → U takové, ˇze g ◦ f = id (na U ).

(b) prosté pr´ avˇe tehdy, kdyˇz kdyˇz pro libovoln´ a line´ arn´ı zobrazen´ı h1 , h2 : W → U s vlastnost´ı f ◦ h1 = f ◦ h2 plat´ı h1 = h2 .

(c) na“ pr´ avˇe tehdy, kdyˇz existuje line´ arn´ı zobrazen´ı g : V → U takové, ˇze f ◦ g = id (na V ). ” (d) na“ pr´ avˇe tehdy, kdyˇz pro libovoln´ a line´ arn´ı zobrazen´ı h1 , h2 : V → W s vlastnost´ı h1 ◦ f = ” h2 ◦ f plat´ı h1 = h2 .

Du´ aln´ı prostory Pˇripomeˇ nme, ˇze je-li v1 , . . . , vn b´ aze V , pak du´ aln´ı b´ aze je f1 , . . . , fn ∈ V ∗ , kde fi (vi ) = 1 a fi (vj ) = 0 pro i 6= j. Cv. 12.27 Bud’ v1 , . . . , v4 b´ aze prostoru V nad R a bud’ f1 , . . . , f4 du´ aln´ı b´ aze. Najdˇete du´ aln´ı b´ azi pro b´ azi (a) v2 , v1 , v4 , v3 , (b) v1 , 2v2 , 12 v3 , v4 , (c) v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v4 , v4 , Cv. 12.28 Bud’ B = {v1 , . . . , vn } b´ aze prostoru V a B ∗ = {f1 , . . . , fn } du´ aln´ı b´ aze du´ aln´ıho prostoru V ∗ . Ukaˇzte, ˇze pro kaˇzdé v ∈ V a f ∈ V ∗ je [f ]B ∗ = (f (v1 ), . . . , f (vn ))T , [v]B = (f1 (v), . . . , fn (v))T .

∗ Cv.

12.29 Ukaˇzte, ˇze pro b´ azi B ∗ = {f1 , . . . , fn } du´ aln´ıho prostoru V ∗ existuje pr´ avˇe jedna b´ aze B = ∗ {v1 , . . . , vn } prostoru V taková, ˇze B je du´ aln´ı k B.

Cv. 12.30 Bud’ g : V → V line´ arn´ı zobrazen´ı na prostoru V a definujme du´ aln´ı zobrazen´ı g∗ na du´ aln´ım ∗ ∗ ∗ ∗ prostoru V pˇredpisem (g (f ))(v) = f (g(v)). Ukaˇzte, ˇze g je line´ arn´ı zobrazen´ı na V . Cv. 12.31 Bud’ A matice line´ arn´ıho zobrazen´ı g : V → V vzhledem k b´ azi B. Ukaˇzte, ˇze AT je matice du´ aln´ıho line´ arn´ıho zobrazen´ı g ∗ vzhledem k du´ aln´ı b´ azi B ∗ . Cv. 12.32 Zobecnˇete Cv. 12.30 a Cv. 12.31 na pˇr´ıpad line´ arn´ıho zobrazen´ı g : U → V . Cv. 12.33 Bud’ g : V → V line´ arn´ı zobrazen´ı na prostoru V . Ukaˇzte, ˇze g je isomorfismus pr´ avˇe tehdy, kdyˇz du´ aln´ı zobrazen´ı g ∗ je isomorfismus na du´ aln´ım prostoru V ∗ .

54

13

Afinn´ı podprostory, polynomy, . . .

Afinn´ı podprostory, polynomy, . . .

Uk´ azka 13.1 (Afinn´ı nez´ avislost). Rozhodnˇete, zda vektory x0 = (1, 2, 3), x1 = (2, 3, 1), x2 = (1, 3, 2), x3 = (2, 1, 3) jsou afinnˇe nez´ avislé. ˇ Reˇsen´ı: Spoˇc´ıtáme si vektory x1 − x0 = (1, 1, −2), x2 − x0 = (0, 1, −1), x3 − x0 = (1, −1, 0). Tyto tˇri vektory jsou line´ arnˇe z´ avislé (generuj´ı dvou-dimenzionáln´ı podprostor), proto jsou p˚ uvodn´ı vektory afinnˇe závislé (geometricky leˇz´ı v jedné rovinˇe).

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Afinn´ı podprostory Cv. 13.1 Ukaˇzte, ˇze mnoˇzina ˇreˇsen´ı re´ alné soustavy Ax = b je afinn´ı, a to tak, ˇze je uzavˇren´ a na afinn´ı kombinace. Cv. 13.2 Necht’ mnoˇzina ˇreˇsen´ı Ax = b je 2-dimenzionáln´ı afinn´ı podprostor. Co m˚ uˇzeme ˇr´ıct o mnoˇzinˇe ˇreˇsen´ı Ax = b′ ? Najdˇete pˇr´ıklady ilustruj´ıc´ı tu kterou situaci. Cv. 13.3 Bud’ M = V + a afinn´ı podprostor. Dokaˇzte, ˇze prostor V je d´ an jednoznaˇcnˇe. Cv. 13.4 Bud’ M afinn´ı podprostor ve V . Ukaˇzte, ˇze M − M = {u − v; u, v ∈ M } je vektorov´ y podprostor ve V . Cv. 13.5 Dokaˇzte: (a) U + a = U + b pr´ avˇe tehdy, kdyˇz a − b ∈ U ,

(b) U + a = V + b pr´ avˇe tehdy, kdyˇz a − b ∈ U a U = V . Cv. 13.6 Bud’ S = {a, v1 , . . . , vn } souˇradn´ y systém re´ alného afinn´ıho podprostoru M = a + V , a oznaˇcme B = {v1 , . . . , vn }. Dokaˇzte: (a) Pro kaˇzdé u, v ∈ M je [u − v]B = [u]S − [v]S .

(b) Pro kaˇzdé u ∈ M a kaˇzdé v ∈ V je [u + v]S = [u]S + [v]B . Cv. 13.7 Ukaˇzte, ˇze afinn´ı podprostory U + a a U + b jsou bud’to shodné, nebo disjunktn´ı. Cv. 13.8 Ukaˇzte, ˇze pr˚ unik afinn´ıch podprostor˚ u je zase afinn´ı podprostor nebo pr´ azdn´ a mnoˇzina. Cv. 13.9 Bud’te U +a, W +b rovnobˇeˇzné. Ukaˇzte, ˇze pak jsou disjunktn´ı pr´ avˇe tehdy kdyˇz a−b 6∈ U ∪W . Cv. 13.10 Bud’te U + a, W + b nerovnobˇeˇzné. Ukaˇzte, ˇze pak jsou r˚ uznobˇeˇzné právˇe tehdy kdyˇz a − b ∈ U + W. Cv. 13.11 Ukaˇzte, ˇze dvˇe pˇr´ımky a + span{u}, b + span{v} jsou mimobˇeˇzné pr´ avˇe tehdy, kdyˇz vektory a − b, u, v jsou line´ arnˇe nez´ avislé. Cv. 13.12 Bud’ f : U → V line´ arn´ı zobrazen´ı a U + a afinn´ı podprostor U . Ukaˇzte, ˇze jeho obraz je afinn´ı podprostor V a najdˇete jeho popis. Cv. 13.13 (Analogie vˇet o isomorfismu vektorov´ ych prostor˚ u.) Ukaˇzte, ˇze afinn´ı prostory U + a, W + b maj´ı stejnou dimenzi pr´ avˇe tehdy, kdyˇz existuje prosté afinn´ı zobrazen´ı U + a na W + b.


55

Cv. 13.14 Dokaˇzte: (a) Obraz prostoru pˇri afinn´ım zobrazen´ı je afinn´ı podprostor. (b) Sloˇzen´ım dvou afinn´ıch zobrazen´ı dostaneme opˇet afinn´ı zobrazen´ı. (c) Bud’ f : U → V line´ arn´ı zobrazen´ı a v ∈ V . Pak vzor vektoru v f −1 (v) := {u ∈ U ; f (u) = v}

je afinn´ı podprostor v U . Cv. 13.15 Rozhodnˇete, zda U = V pro (a) U = (1, 1) + span{(1, 2)}, V = (2, 3) + span{(2, 4)}, (b) U = (1, 0, 0) + span{(1, 2, 1), (2, 1, 0)}, V = (2, −1, −1) + span{(0, 3, 2), (3, 0, −1)}. Cv. 13.16 Bud’ U podprostor V . Ukaˇzte, ˇze V se d´ a vyjádˇrit jako disjunktn´ı sjednocen´ı afinn´ıch podprostor˚ u urˇcen´ ych posunut´ ym podprostorem U . Dok´ aˇzete toto sjednocen´ı vyjádˇrit explicitnˇe? Cv. 13.17 Bud’ U podprostor V . Na afinn´ıch podprostorech V zadefinujme operace sˇc´ıtán´ı a n´ asoben´ı skalárem takto: (U + a) + (U + b) = U + (a + b),

α(U + a) = U + αa.

(a) Ukaˇzte, ˇze mnoˇzina vˇsech afinn´ıch podprostor˚ u V /U = {U + a; a ∈ V }, urˇcen´ ych posunut´ ym podprostorem U , tvoˇr´ı se zv´ yˇse zm´ınˇen´ ymi operacemi vektorov´ y prostor. (b) Urˇcete dimenzi V /U . (c) Kdy je W/Z podprostorem V /U ? (d) Uvaˇzujme zobrazen´ı f : V → V /U definované f (a) = U + a. Ukaˇzte, ˇze f je line´ arn´ı zobrazen´ı a urˇcete jeho jádro a obraz. (e) Bud’ U ⋐ W ⋐ V . Dokaˇzte, ˇze (V /U )/(W/U ) je isomorfn´ı s V /W . Je (V /U )/(V /W ) je isomorfn´ı s W/U ? (f) Bud’ U, W ⋐ V . Dokaˇzte, ˇze U/(U ∩ W ) je isomorfn´ı s (U + W )/W .

Polynomy Cv. 13.18 Dokaˇzte: je-li z koˇrenem re´ alného polynomu p(x) pr´ avˇe tehdy kdyˇz (x − z) dˇel´ı p(x), tj. p(x) se d´ a vyjádˇrit p(x) = (x − z)q(x), kde q(x) je polynom niˇzˇs´ıho stupnˇe. Cv. 13.19 Urˇcete n´ asobnost koˇrene 1 v polynomu p(x) = x4 + 3x3 − 3x2 − 7x + 6 a dopoˇc´ıtejte zb´ yvaj´ıc´ı koˇreny. Cv. 13.20 Najdˇete koˇreny n´ asleduj´ıc´ıch polynom˚ u a rozloˇzte polynomy na koˇrenové ˇcinitele: (a) x4 + 1, (b) x3 + 8, (c) x5 + x4 − 12x3 + 32x2 − 36x + 20, (zde prozrad´ıme, ˇze 1 + i je jeho dvojnásobn´ ym koˇrenem). Cv. 13.21 Najdˇete n´ asleduj´ıc´ı polynom˚ u a rozloˇzte polynomy na koˇrenové ˇcinitele: (a) x4 + 1, (b) x3 + 8. Cv. 13.22 Dokaˇzte: p(x) je re´ aln´ y polynom s koˇrenem z ∈ C, pak i z je koˇrenem p(x). Cv. 13.23 Ukaˇzte, ˇze dˇelen´ı dvou polynom˚ u se zbytkem je jednoznaˇcné. Cv. 13.24 Ukaˇzte, ˇze polynomy p(x), q(x) stupˇ n˚ u m, n maj´ı spoleˇcn´ y koˇren pr´ avˇe tehdy, kdyˇz existuj´ı polynomy r(x), s(x) stupˇ n˚ u nanejv´ yˇs n − 1, m − 1 takové, ˇze r(x)p(x) + s(x)q(x) = 0.

56

14

Opakov´ an´ı Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı Opakován´ı

Opakov´ an´ı Opakován´ı

Opakov´ an´ı Opakov´ an´ı

Opakov´ an´ı

Opakov´ an´ ı

Opakov´ an´ı

Opakov´ an´ ı

V této sekci uvád´ıme rekapitulaˇcn´ı u ´lohy pro pˇredeˇslé sekce 2–13. Cv. 14.1 Karel mˇel na fyzikáln´ıch praktikách za u ´kol mˇeˇrit závislost v´ yˇsky hozeného m´ıˇcku na ˇcase. Vybral si k tomu vysokou budovu, z jej´ıˇz stˇrechy hodil m´ıˇcek (v´ıcekrát mu to kv˚ uli bezpeˇcnosti chodc˚ u nedovolili) a jeho kamar´ ad Jenda mˇeˇril v jednotliv´ ych ˇcasov´ ych u ´sec´ıch v´ yˇsku nad zem´ı. V ˇcase 0 s, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s mu vyˇsla v´ yˇska 99 m, 110 m, 93 m, 60 m, a 7 m. Jednou ale udˇelal chybu. Objev´ıte kdy? Cv. 14.2 Uvaˇzujme n´ asleduj´ıc´ı zp˚ usob ˇsifrován´ı textov´ ych zpr´ av. Kaˇzdému p´ısmenu A aˇz Z pˇriˇrad´ıme postupnˇe ˇc´ısla 1 aˇz 26 A→1 B→2 C→3 D→4 E→5 F→6 G→7

H→8 I→9 J → 10 K → 11 L → 12 M → 13 N → 14

O → 15 P → 16 Q → 17 R → 18 S → 19 T → 20 U → 21

V → 22 W → 23 X → 24 Y → 25 Z → 26

T´ım p´ adem m´ısto vstupn´ıho textu m´ ame posloupnost ˇc´ısel. Nyn´ı rozdˇel´ıme posloupnost do n-tic. ˇ Kaˇzd´ a n-tice odpov´ıd´ a vektoru v = (v1 , . . . , vn )T ∈ Rn . Sifrov´ an´ı prob´ıh´ a potom tak, ˇze vekn×n tor pˇren´ asob´ıme pˇredem danou matic´ı A ∈ R . Tedy kaˇzd´ a n-tice v se zaˇsifruje na n-tici Av. Zaˇsifrovanou posloupnost ˇc´ısel poˇsleme a pˇr´ıjemce deˇsifruje zpr´ avu jednoduˇse tak, ˇze rozdˇel´ı posloup−1 nost ˇc´ısel do n-tic a kaˇzdou n-tici w vyn´ asob´ı matic´ı A a dostane A−1 w. Z tabulky pak pˇreloˇz´ı ˇc´ısla zpˇet na znaky. Konkrétnˇe, deˇsifrujte posloupnost ˇc´ısel 15, 29, 49, 80, 9, 14, 15, 29, 30, 55, 15, 29, 38, 67, 53, 85, za pˇredpokladu, ˇze n = 2 a podaˇrilo se vám odhalit, ˇze slovo PIVO“ se zaˇsifruje jako 34, 59, 52, ” 89. Cv. 14.3 Pˇet pir´ at˚ u uloˇzilo nahromadˇen´ y lup do trezoru Banky de Tortuga. Trojˇc´ıselné heslo si nechali zajat´ ym matematikem zakódovat do ˇreˇsen´ı soustavy   1 1 1 18 1 1 −1 6   1 2 −3 0   2 0 −1 6 1 2 2 30 tak, aby ˇzádn´ı dva pir´ ati se nemohli dostat k lupu, ale libovoln´ a trojice uˇz ano. Odvedl matematik poˇzadovanou pr´ aci? Najdete podobnou ˇsifru pro 6 pir´ at˚ u? Cv. 14.4 Máme tˇrin´ act minc´ı a v´ıme, ˇze kaˇzd´ a mnoˇzina dvan´ acti z nich lze rozdˇelit na dvˇe ˇsestice tak, ˇze souˇcet hodnot obou ˇc´ ast´ı je stejn´ y. Ukaˇzte, ˇze vˇsechny mince maj´ı stejnou hodnotu. (Hint: Sestavte vhodnou soustavu a dle Cv. 4.6 nahlédnˇete, ˇze matice m´ a hodnost 12.) Cv. 14.5 Necht’ obdéln´ık o stranách a, b ∈ R je rozdˇelen´ y na ˇctverce o stranách x1 , . . . , xn ∈ R. Dokaˇzte, ˇze xai , xbi ∈ Q pro vˇsechna i. Cv. 14.6 Uvaˇzujme ˇsachovnici n×n n´ ahodnˇe obarvenou ˇcern´ ymi a b´ıl´ ymi pol´ıˇcky. Pˇr´ıpustn´ y tah je zmˇenit barvu vybraného pol´ıˇcka a jeho ˇctyˇr soused˚ u. Vymyslete postup jak pomoc´ı sekvence tah˚ u dospˇet k b´ılé ˇsachovnici nebo rozhodnout, ˇze to nen´ı moˇzné.


57

Cv. 14.7 Dokaˇzte, ˇze soustava Ax = b m´ a ˇreˇsen´ı pr´ avˇe tehdy kdyˇz AT y = 0, bT y = 1 nem´ a ˇreˇsen´ı. Cv. 14.8 Bud’ A ∈ Rn×n a definujme dvˇe mnoˇziny matic: C = {B ∈ Rn×n ; AB = BA},

P = {ak Ak + . . . + a1 A + a0 In ; k ∈ N, a0 , a1 , . . . , ak ∈ R}.

(a) Ukaˇzte, ˇze C, P jsou podprostory Rn×n . (b) Ukaˇzte, ˇze P ⊆ C.

(c) Najdˇete co nejvˇetˇs´ı tˇr´ıdu matic z C.

Cv. 14.9 Bud’ x1 , . . . , xn b´ aze Rn a bud’ A, B ∈ Rn×n . Ukaˇzte, ˇze A = B pr´ avˇe tehdy, kdyˇz xTi Axj = T xi Bxj pro vˇsechna i, j. Cv. 14.10 Popiˇste vˇsechny matice A takové, ˇze A i A−1 obsahuj´ı pouze nez´ aporn´ a ˇc´ısla. A B ( x ) = ( c ). Cv. 14.11 Uvaˇzujme blokovou soustavu C y d D

(a) Upravte matici do blokovˇe odstupˇ novaného tvaru. Jak vypadá matice representuj´ıc´ı tuto u ´pravu?

(b) Jak byste nyn´ı vypoˇc´ıtali ˇreˇsen´ı x, y? Cv. 14.12 Najdˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı soustavy λ1 + . . . + λn = 0, λ21 + . . . + λ2n = 0, .. . λn1 + . . . + λnn = 0. (Hint: Vandermondova matice a uvaˇzujte navzájem r˚ uzn´ a ˇreˇsen´ı nejprve.) P Cv. 14.13 Necht’ vektory v1 , . . . , vn generuj´ı prostor Rn . Dokaˇzte, ˇze matice ni=1 vi viT je regul´ arn´ı. Cv. 14.14 Dokaˇzte, ˇze hodnost matice A ∈ Tm×n se d´ a ekvivalentnˇe definovat jako:

(a) velikost nejvˇetˇs´ı regul´ arn´ı podmatice (podmatice vznikne odstranˇen´ım urˇcitého poˇctu, i nulového, ˇra´dk˚ u a sloupc˚ u). (b) nejmenˇs´ı z rozmˇer˚ u matic B, C ze vˇsech moˇzn´ ych rozklad˚ u A = BC. Cv. 14.15 (a) Jak moc jde zjednoduˇsit“ matice A ∈ Tm×n jsou-li povoleny nejenom elementárn´ı ˇra´dkové, ” ale i sloupcové u ´pravy? (b) Bud’te A, B ∈ Tm×n . Dokaˇzte, ˇze rank(A) = rank(B) pr´ avˇe tehdy, kdyˇz existuj´ı regul´ arn´ı S ∈ Tm×m a R ∈ Tn×n tak, ˇze A = SBR. Hint: Ukaˇzte, ˇze vlastnost A = SBR matic A, B je relace ekvivalence a zkuste naj´ıt vhodného reprezentanta tˇr´ıd ekvivalence. ∗ (c) Bud’ A ∈ Rm×n , B ∈ Rm×k , C ∈ Rℓ×n . Ukaˇ zte, ˇze maticová soustava A = BXC je ˇreˇsiteln´ a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz jsou ˇreˇsitelné soustavy A = BY a A = ZC (pro nezn´ amé matice Y, Z). Hint: Pouˇzijte ˇreˇsen´ı (a). Cv. 14.16 Ukaˇzte, ˇze matice A ∈ Tn×n je regul´ arn´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz rank(AB) = rank(B) pro kaˇzdou n×n matici B ∈ T . (A analogicky pro n´ asoben´ı zleva.) Cv. 14.17 Ukaˇzte, ˇze pro matici A ∈ Tm×n hodnosti r lze naj´ıt vektory x1 , . . . , xr ∈ S(A) a y1 , . . . , yr ∈ R(A) tak, ˇze A = x1 y1T + . . . + xr yrT . (Srov. Cv. 3.22) Nav´ıc, vektory x1 , . . . , xr lze volit pˇr´ımo jako vhodné sloupce A, nebo vektory y1 , . . . , yr jako ˇra´dky A, ale ne z´ aroveˇ n.

58


Opakov´ an´ı

Cv. 14.18 Matice incidence IG ∈ Rn×m orientovaného grafu G = (V, E) s |V | = n vrcholy a |E| = m hranami je definována jako (IG )ie = 1 pokud e = (i, j) ∈ E, (IG )ie = −1 pokud e = (j, i) ∈ E a (IG )ie = 0 jinak (i 6∈ e). (a) Urˇcete hodnost IG . (Hint: Zaˇcnˇete se stromem, pak zobecnˇete na souvisl´ y graf a nakonec uvaˇzujte obecn´ y graf.) (b) Najdˇete jádro IG . Cv. 14.19 Matice sousednosti AG ∈ Rn×n neorientovaného grafu G = (V, E) s |V | = n vrcholy a |E| = m hranami je definována jako (AG )ij = 1 pokud {i, j} ∈ E a (AG )ij = 0 jinak. (a) Interpretujte prvky v matic´ıch (AG )k a (In + AG )k pro pˇrirozené k. (b) Urˇcete jak souvis´ı prvky matic (In + AG )n−1 a (AG )n−2 + (AG )n−1 se souvislost´ı grafu G, tj., zda kaˇzdé dva vrcholy grafu jsou spojeny posloupnost´ı na sebe navazuj´ıc´ıch hran. (c) Ukaˇzte, ˇze matice sousednosti cesty liché délky je singulárn´ı. Cv. 14.20 Dokaˇzte, ˇze prostor W je direktn´ım souˇctem podprostor˚ u U, V (tj., U ∩ V = {o} a U + V = W ) pr´ avˇe tehdy, kdyˇz kaˇzd´ y vektor w ∈ W lze jedin´ ym zp˚ usobem vyjádˇrit jako souˇcet w = u + v, kde u∈U a v ∈V. Cv. 14.21 Vymyslete alternativn´ı d˚ ukaz identity dim Ker(A) + rank(A) = n pro A ∈ Tm×n s vyuˇzit´ım RREF tvaru matice A. Cv. 14.22 Bud’ V vektorov´ y prostor dimenze n nad tˇelesem Zp . (a) Urˇcete poˇcet vektor˚ u V. (b) Urˇcete poˇcet b´ az´ı V . (c) Urˇcete poˇcet isomorfism˚ u f: V →V.

(d) Urˇcete poˇcet k-dimenzionáln´ıch podprostor˚ u ve V . Cv. 14.23 Cirkulant ˇra´du n je libovoln´ a matice A ∈ Rn×n tvaru aij = pi−j mod n , kde p0 , . . . , pn−1 jsou nˇejak´ a re´ aln´ a ˇc´ısla. Dokaˇzte, ˇze cirkulanty ˇra´du n tvoˇr´ı vektorov´ y prostor, najdˇete jeho b´ azi a dimenzi. Cv. 14.24 Bud’ V vektorov´ y prostor nad R a zaved’me mnoˇzinu uspoˇra´dan´ ych dvojic vektor˚ u V 2 := {(u, v); u, v ∈ V }. Na V2 d´ ale zaved’me operace (a) Ukaˇzte, ˇze V 2 je vektorov´ y prostor nad C s operacemi • sˇc´ıt´ an´ı: (u1 , v1 ) + (u2 , v2 ) = (u1 + u2 , v1 + v2 ), • n´ asoben´ı komplexn´ım skal´ arem a + bi ∈ C: (a + bi) · (u, v) = (au − bv, bu + av).

(b) Urˇcete dimenzi V 2 . (c) Bud’te V, W vektorové prostory nad R a bud’ f : V → W line´ arn´ı zobrazen´ı. Ukaˇzte, ˇze zobrazen´ı f ′ : V 2 → W 2 definované pˇredpisem f ′ (u, v) = (f (u), f (v)) je line´ arn´ı. Dále ukaˇzte, ˇze ′ 2 Ker(f ) = Ker(f ) . Cv. 14.25 Mˇejme line´ arn´ı zobrazen´ı x 7→ normály pˇr´ımky?

1 1 −2 4

x. Kam se zobraz´ı pˇr´ımka 2x − y = 5? Lze vyuˇz´ıt obraz

Cv. 14.26 Bud’ v ∈ Rn dané a uvaˇzme zobrazen´ı f : Rn → Rn s pˇredpisem f (x) = vxT v. (a) Ukaˇzte, ˇze f je line´ arn´ı. (b) Najdˇete matici f vzhledem ke kanonické b´ azi. (c) Urˇcete jádro a obraz f . (d) Najdˇete b´ azi B tak, aby

B [f ]B

obsahovala co nejv´ıce nul.


59

Cv. 14.27 Bud’ A ∈ Rn×n idempotentn´ı, tj. A2 = A, bud’ x1 , . . . , xk b´ aze S(A) a xk+1 , . . . , xn b´ aze Ker(A). Pro line´ arn´ı zobrazen´ı f (x) = Ax a b´ azi B = {x1 , . . . , xn } (a) najdˇete matici f vzhledem k b´ azi B, (b) dokaˇzte, ˇze rank(A) = trace(A). Cv. 14.28 Bud’ V vektorov´ y prostor a L mnoˇzina vˇsech isomorfism˚ u f : V → V . Rozhodnˇete, zda L je tˇeleso s operac´ı sˇc´ıt´ an´ı a sklád´ an´ı. Cv. 14.29 (a) Ukaˇzte, ˇze GF(2n ) je nad Z2 vektorov´ y prostor. (b) Ukaˇzte, ˇze GF(2n ) nad Z2 je isomorfn´ı s Zn2 nad Z2 . Cv. 14.30 Co by se stalo, kdybychom z definice vektorového prostoru vypustili podm´ınku 1 · v = v? Cv. 14.31 Bud’ EA = R, kde E je regul´ arn´ı a R je RREF tvar matice A ∈ Rm×n hodnosti r. Ukaˇzte, ˇze posledn´ıch m − r ˇra´dk˚ u matice E tovˇr´ı b´ azi Ker(AT ). Cv. 14.32 LU rozklad je rozklad matice A ∈ Rn×n na souˇcin A = LU , kde L ∈ Rn×n je doln´ı troj´ uheln´ıková matice s jedniˇckami na diagon´ ale a U ∈ Rn×n horn´ı troj´ uheln´ıková matice. Bud’ Ai levá horn´ı podmatice A velikosti i (tj. vznikne z A odstranˇen´ım posledn´ıch n − i ˇra´dk˚ u a sloupc˚ u). (a) Ukaˇzte, ˇze LU rozklad existuje pokud matice A1 , . . . , An jsou regul´ arn´ı. (b) Ukaˇzte, ˇze regul´ arn´ı matice A nem˚ uˇze m´ıt LU rozklad pokud nˇejaké Ai je singulárn´ı. (c) Ukaˇzte, ˇze LU rozklad existuje pr´ avˇe tehdy, kdyˇz matice A1 , . . . , An jsou regul´ arn´ı. (d) Bud’ A regul´ arn´ı. Ukaˇzte, ˇze existuje permutaˇcn´ı matice P ∈ Rn×n taková, ˇze (P A)i jsou regul´ arn´ı pro vˇsechna i = 1, . . . , n. (Hint: Matematická indukce.) (e) Bud’ A regul´ arn´ı. Ukaˇzte, ˇze existuje permutaˇcn´ı matice P ∈ Rn×n taková, ˇze P A m´ a LU rozklad.

Softwarov´ e pˇ r´ıklady Pro v´ ypoˇcet m˚ uˇzete pouˇz´ıt napˇr´ıklad Matlab, Octave, ˇci jin´ y vhodn´ y program. Cv. 14.33 Bud’ A ∈ Rn×n , b ∈ Rn . Navrhnˇete co nejefektivnˇejˇs´ı zp˚ usob v´ ypoˇctu Ak b. Pro jednoduchost mˇeˇrme efektivitu poˇctem souˇcin˚ u re´ aln´ ych ˇc´ısel. Konkrétnˇe, kolik operac´ı mus´ıme vykonat kdyˇz k = 1024 a n = 3000? Vyzkouˇsejte si r˚ uzné zp˚ usoby numericky a porovnejte re´ aln´ y v´ ypoˇcetn´ı ˇcas. Prvky matice A a 1 1 vektoru b volte n´ ahodnˇe v intervalu [− 30 , 30 ]. Cv. 14.34 Bud’ H Hilbertova matice ˇra´du 15, tj. jej´ı prvky jsou Hij = souˇctem sloupc˚ u matice H.

1 i+j−1 .

Dále bud’ b vektor vznikl´ y

(a) Numericky spoˇc´ıtejte ˇreˇsen´ı soustavy Hx = b a porovnejte ho se skuteˇcn´ ym. K v´ ypoˇctu pouˇz´ıvejte v´ yhradnˇe Gaussovu–Jordanovu eliminaci, a ˇzádnou jinou sofistikovanˇejˇs´ı methodu. (b) Alternativnˇe, spoˇc´ıtejte pˇribliˇzné ˇreˇsen´ı pomoc´ı iterac´ı x := b; A := I − H;

for i = 1 : 1000 do x := Ax + b; P i D˚ uvod za tˇemito iteracemi spoˇc´ıvá ve vzorci H −1 = ∞ y plat´ı pro urˇcitou tˇr´ıdu i=0 A , kter´ matic, zahrnuj´ıc´ı i Hilbertovu.

(c) Porovnejte obˇe metody co do pˇresnosti ˇreˇsen´ı a v´ ypoˇcetn´ıho ˇcasu.

ˇ ast II C´

Od skal´ arn´ıho souˇ cinu, pˇ res vlastn´ı ˇ c´ısla a kvadratick´ e formy k rozklad˚ um

60


15

61

Skal´ arn´ı souˇ cin, norma

Uk´ azka 15.1 (Nestandardn´ı skal´ arn´ı souˇcin). Ovˇeˇrte, ˇze hx, yi = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 definuje re´ aln´ y skal´ arn´ı souˇcin na R2 a pro x = (1, 2)T , y = (3, 4)T spoˇc´ıtejte (a) hx, yi, (b) kxk, (c) vzdálenost x od y, ˇ sen´ı: Ovˇeˇr´ıme axiomy z definice skalárn´ıho souˇcinu: Reˇ 1. hx, xi = 2x1 x1 − x1 x2 − x2 x1 + 2x2 x2 = 2x21 − 2x1 x2 + 2x22 = x21 + x22 + (x1 − x2 )2 ≥ 0, a rovnost nastane pouze kdyˇz x1 = x2 = 0. 2. hx + z, yi = 2(x1 + z1 )y1 − (x1 + z1 )y2 − (x2 + z2 )y1 + 2(x2 + z2 )y2 = (2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 ) + (2z1 y1 − z1 y2 − z2 y1 + 2z2 y2 ) = hx, yi + hz, yi, 3. hαx, yi = 2αx1 y1 − αx1 y2 − αx2 y1 + 2αx2 y2 = α(2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 ) = αhx, yi, 4. hx, yi = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 = 2y1 x1 − y1 x2 − y2 x1 + 2y2 x2 = hy, xi. Poznamenejme, ˇze ovˇeˇren´ı prvn´ı vlastnosti nemus´ı b´ yt vˇzdy tak snadné jako v tomto pˇr´ıpadˇe. Obecn´ y postup si ukáˇzeme pozdˇeji (sekce 26). Nyn´ı staˇc´ı dosadit do pˇredpisu skalárn´ıho souˇcinu a spoˇc´ıtat poˇzadované hodnoty: (a) hx, yi = 12, (b) kxk =

p

hx, xi =

√

6,

(c) vzdálenost x od y je d´ ana kx − yk =

√

8.

Uk´ azka 15.2 (Cauchyho–Schwarzova nerovnost). Dokaˇzte, ˇze pro libovoln´ a ˇc´ısla x, y, z ∈ R plat´ı: x 2

+

y z x2 y 2 z 2 ≤ + + + . 3 6 2 3 6

ˇ sen´ı: Nab´ız´ı se pouˇz´ıt Cauchyho–Schwarzovu nerovnost. Pro vektory u, v ∈ R3 m´ Reˇ a tato nerovnost tvar |hu, vi|2 ≤ hu, uihv, vi, neboli rozepsanˇe (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 )2 ≤ (u21 + u22 + u23 )(v12 + v22 + v32 ). Abychom dostali poˇzadovanou nerovnost, nab´ız´ı se zde zase volit za vektor u konkrétnˇe u = ( √12 x, √13 y, √16 z)T , aváme poˇzadovanou nerovnost. z ˇcehoˇz pak vych´ az´ı i volba v = ( √12 , √13 , √16 )T . Po dosazen´ı skuteˇcnˇe dost´

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

62

Skal´ arn´ı souˇcin, norma

Standardn´ı skal´ arn´ı souˇ cin Cv. 15.1 Komplexn´ı ˇc´ısla. (a) Pˇripomeˇ nte si definici komplexn´ıch ˇc´ısel, absolutn´ı hodnotu komplexn´ıho ˇc´ısla a komplexn´ı rovinu. (b) Pˇripomeˇ nte si aritmetické operace. Spoˇc´ıtejte (3 − 4i) + (1 + 2i),

(3 − 4i) · (1 + 2i),

(3 − 4i)2 ,

3 − 4i . 1 + 2i

(c) Pˇripomeˇ nte si komplexnˇe sdruˇzené ˇc´ıslo u ke komplexn´ımu ˇc´ıslu u = a + bi. Rozhodnˇete, zda plat´ı u = u,

u + v = u + v,

uv = u v.

Cv. 15.2 Pˇripomeˇ nte si standardn´ı skal´ arn´ı souˇcin nad R a nad C, vztah skalárn´ıho souˇcinu a u ´hlu mezi vektory, a eukleidovskou normu vektoru. Cv. 15.3 Spoˇc´ıtejte: (a) hx, yi, (b) jsou x, y na sebe kolmé? (c) kxk, kyk, (d) vzdálenost x od y, pro (a) x = (2, 1, 4, −1), y = (4, −1, 0, 2), (b) x = (1, 2, 1, −2i), y = (i, 2i, i − 1, 2). Cv. 15.4 Urˇcete u ´hel mezi: (a) vektory x = (0, 0, 1) a y = (1, 0, −1). (b) hlavn´ı diagon´ alou krychle a jej´ı podstavou. Cv. 15.5 Najdˇete vˇsechny vektory jednotkové délky kolmé na (3, −2). Cv. 15.6 Bud’



 1 2 1 A = 2 4 3 . 3 6 4

Najdˇete nenulov´ y vektor v (pˇr´ıp. vˇsechny), kter´ y je kolm´ y na (a) vˇsechny ˇra´dky matice A, (b) vˇsechny vektory z R(A), (c) vˇsechny vektory z S(A). Cv. 15.7 Jaké jsou vlastnosti kolmosti jako relace? (reflexivita, symetrie, transitivita, . . . )


63

Obecn´ y skal´ arn´ı souˇ cin 1. hx, xi ≥ 0 ∀x ∈ V , a rovnost nastane pouze pro x = 0, 2. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi ∀x, y, z ∈ V , 3. hαx, yi = αhx, yi ∀x, y ∈ V , ∀α ∈ R,

4. hx, yi = hy, xi ∀x, y ∈ V . Cv. 15.8 Proˇc poˇzadujeme ve 4. vlastnosti hx, yi = hy, xi, a ne hx, yi = hy, xi? Cv. 15.9 Ukaˇzte, ˇze: (a) hx, yi = xT y je skal´ arn´ı souˇcin na Rn ,

arn´ı souˇcin na Cn , (b) hx, yi = xT y je skal´

(c) hx, yi = xT y nen´ı skal´ arn´ı souˇcin na Cn .

Cv. 15.10 Rozhodnˇete zda n´ asleduj´ıc´ı je skalárn´ı souˇcin v R2 (a) hx, yi = 3x1 y1 + 2x1 y2 + x2 y1 + 3x2 y2 ,

(b) hx, yi = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 ,

(c) hx, yi = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 2x2 y2 .

Cv. 15.11 Bud’ D ∈ Rn×n diagon´ aln´ı. Za jak´ ych podm´ınek je hx, yi = xT Dy re´ aln´ ym skalárn´ım souˇcinem? Cv. 15.12 Zaved’te v prostoru R2 skal´ arn´ı souˇcin tak, aby u ⊥ v pro (a) u = (1, 2) a v = (2, 3). (b) u = (−5, 2) a v = (10, −4). Cv. 15.13 Definujte re´ aln´ y skal´ arn´ı souˇcin (pokud to jde) pro prostory: (a) Cn nad tˇelesem R. (b) Zn2 nad tˇelesem Z2 . Cv. 15.14 Dokaˇzte, ˇze nad R je x − y ⊥ x + y pr´ avˇe tehdy kdyˇz kxk = kyk. Jak je to nad C? Cv. 15.15 Nad R dokaˇzte obˇe implikace Pythagorova vˇety, tj. x ⊥ y pr´ avˇe tehdy kdyˇz kx + yk2 = kxk2 + kyk2 . Najdˇete protipˇr´ıklad nad C, kdy Pythagorova vˇeta neplat´ı obr´ acenˇe, tj. x, y nejsou kolmé a pˇresto 2 2 2 kx + yk = kxk + kyk . Cv. 15.16 Jsou-li vektory q1 , . . . , qn ∈ Rn ortogon´ aln´ı ve standardn´ım skalárn´ım souˇcinu, pak matice I − T T q1 q1 , . . . , I − qn qn navzájem komutuj´ı. Dokaˇzte. Cv. 15.17 Bud’ u, v ∈ Rn a A = uv T . Najdˇete nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro A2 = 0. Cv. 15.18 Pro skal´ arn´ı souˇcin hx, yi = 5x1 y1 + x2 y2 + 11x3 y3 + x1 y3 + x3 y1 spoˇc´ıtejte: (a) hx, yi,

(b) jsou x, y na sebe kolmé?

64

Skal´ arn´ı souˇcin, norma (c) kxk, kyk, (d) vzdálenost x od y, pro (a) x = (2, 2, 1), y = (1, 1, −1), (b) x = (2, 1, 1), y = (1, 0, −1).

Cv. 15.19 Dokaˇzte, ˇze pro x, y ∈ V existuje α ∈ C a z ∈ V tak, ˇze y = αx + z a z ⊥ x. Cv. 15.20 Bud’ V vektorov´ y prostor nad R a B nˇejak´ a jeho b´ aze. Ukaˇzte, ˇze hx, yi := [x]TB [y]B definuje skalárn´ı souˇcin. Cv. 15.21 Bud’ V prostor nad R a bud’te x1 , . . . , xm ∈ V takové, ˇze hxi , xj i < 0 pro i 6= j. P (a) Necht’ m zte, ˇze vˇsechna αi maj´ı stejná znaménka. i=1 αi xi = o pro αi ∈ R \ {0}. Ukaˇ (b) Je-li m = n + 1, pak kaˇzd´ a n-tice vektor˚ u z x1 , . . . , xm tvoˇr´ı b´ azi V . (c) Ukaˇzte, ˇze m ≤ n + 1.

Cauchyho–Schwarzova nerovnost Obecnˇe: |hx, yi| ≤ kxk · kyk. qP qP P n n 2 2 x Speci´ alnˇe v Rn : | ni=1 xi yi | ≤ i=1 i i=1 yi . p Cv. 15.22 Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé a1 , a2 , a3 , a4 ∈ R plat´ı: 5a1 + a2 + 3a3 + a4 ≤ 6 a21 + a22 + a23 + a24 .

Cv. 15.23 Dokaˇzte vztah mezi aritmetick´ ym a kvadratick´ ym pr˚ umˇerem, tj. pro kaˇzdé a1 , . . . , an ∈ R : r a1 + . . . + an a21 + . . . + a2n ≤ . n n

Cv. 15.24 Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé x, y, z ∈ R plat´ı: xy + yz + zx ≤ x2 + y 2 + z 2 .

−1 Cv. 15.25 Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé a1 , . . . , an ∈ R \ {0} plat´ı: n2 ≤ (a1 + . . . + an )(a−1 1 + . . . + an ).

Cv. 15.26 Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé a1 , . . . , an ∈ R \ {0} plat´ı: a1 + . . . an ≤ a21 /a2 + a22 /a3 + . . . + a2n /a1 . Cv. 15.27 Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé p, r, s, t ∈ R plat´ı:

(1 + prst)4 ≤ (1 + p4 )(1 + r 4 )(1 + s4 )(1 + t4 ).

Cv. 15.28 Dokaˇzte |hx, yi| ≤ 12 (kxk2 + kyk2 ). Pn Cv. 15.29 Pˇripomeˇ nme, ˇze trace(A) := zte, ˇze plat´ı trace(AB) = trace(BA) pro vˇsechny i=1 aii . Ukaˇ A, B T ∈ Rm×n . Proˇc to nen´ı skal´ arn´ı souˇcin? P Pn ’ V Rm×n uvaˇzujme skal´ arn´ı souˇcin hA, Bi := trace (AT B) = m zte: i=1 j=1 aij bij . Proved te/dokaˇ (a) (b) (c) (d) (e)

Ovˇeˇrte, ˇze jde o skal´ arn´ı souˇcin. Speciálnˇe, ˇze plat´ı trace(AT B) = trace(B T A). Zformulujete Cauchyho–Schwarzovu nerovnost. trace(A)2 ≤ n trace(AT A), trace(A2 ) ≤ trace(AT A), trace(AT B) ≤ 21 (trace(AT A) + trace(B T B)).


65

Norma Cv. 15.30 Pro r˚ uzné druhy norem na R2 si nakreslete jednotkovou kruˇznici {x ∈ R2 ; kxk = 1}. Cv. 15.31 Ovˇeˇrte, ˇze kxk := |x1 − x2 | + |x2 | je normou na R2 . Cv. 15.32 Porovnejte hodnoty r˚ uzn´ ych druh˚ u norem na R2 , napˇr. p-normy pro p ∈ {1, 2, ∞}. Cv. 15.33 Proˇc nen´ı p-norma normou pro p ∈ (0, 1)? Které axiomy jsou poruˇseny? Cv. 15.34 Dokaˇzte, ˇze vzdálenost od x k y je stejná jako od y k x, tj. kx − yk = ky − xk. Cv. 15.35 Dokaˇzte: kuk − kvk ≤ ku − vk. Cv. 15.36 Bud’ k · k norma nad R a A ∈ Rn×n regul´ arn´ı matice. Dokaˇzte, ˇze kxkA := kAxk je také norma. Cv. 15.37 Bud’te k ≤ n pevné. Rozhodnˇete, zda je normou na Rn zobrazen´ı, které vektoru x ∈ Rn pˇriˇrad´ı souˇcet k nejvˇetˇs´ıch hodnot z |x1 |, . . . , |xn |. Co dostaneme pro k = 1 a pro k = n? Cv. 15.38 Rozhodnˇete, které pr˚ umˇery (aritmetick´ y, geometrick´ y, harmonick´ y, kvadratick´ y) pˇredstavuj´ı normu. Cv. 15.39 Rozhodnˇete, zda pro kaˇzdou normu na Rn resp. Cn plat´ı: kxk = k|x|k. Cv. 15.40 Norma je monot´ onn´ı pokud pro vˇsechny x, y ∈ Rn nerovnost (po sloˇzkách) |x| ≤ |y| implikuje kxk ≤ kyk. (a) Rozhodnˇete, zda p-norma je monot´ onn´ı pro p ∈ {1, 2, ∞}.

(b) Rozhodnˇete, zda je monot´ onn´ı norma kxk := |x1 − x2 | + |x2 | na R2 . Cv. 15.41 Bud’ kxk norma na Rn a definujme tzv. du´ aln´ı normu kxkD := maxkyk≤1 xT y. (a) Ukaˇzte, ˇze du´ aln´ı norma je skuteˇcnˇe normou. −1 (b) Zavedeme-li normu kxkα := αkxk, pak kxkD α = α kxk.

(c) Vyjádˇrete du´ aln´ı normu k p-normˇe s p ∈ {1, 2, ∞}.

Pozn´ amka. Plat´ı (kxkD )D = kxk pro kaˇzdou normu na Rn resp. Cn . Na nekoneˇcnˇedimension´ aln´ıch prostorech uˇz to neplat´ı. qP P m n 2 Cv. 15.42 Ukaˇzte, ˇze tzv. Frobeniova norma kAkF := i=1 j=1 aij je normou na prostoru matic Rm×n .

Cv. 15.43 Ukaˇzte, ˇze norma je spojitá funkce. Cv. 15.44 Dokaˇzte kxk∞ = limp→∞ kxkp . Cv. 15.45 Jednotková koule obecné normy. (a) Ukaˇzte, ˇze pro kaˇzdou normu je jednotková koule {x ∈ Rn ; kxk ≤ 1} mnoˇzina symetrická dle poˇc´ atku a konvexn´ı (tj., s kaˇzd´ ymi dvˇema body obsahuje i jejich spojnici). (b) Bud’ o 6= x ∈ Rn . Ukaˇzte, ˇze polopˇr´ımka {αx; α ≥ 0} protne jednotkovou kruˇznici pr´ avˇe jednou. (c) Kolik stˇen a vrchol˚ u m´ a polyedr jednotkové kruˇznice v 1-normˇe a ∞-normˇe?

(d) Urˇcete jednotkovou kruˇznici normy kxk := |x1 − x2 | + |x2 | na R2 . ∗ (e) Bud’ B konvexn´ ı uzavˇren´ a mnoˇzina v Rn a symetrická dle poˇcátku. Necht’ poˇcátek neleˇz´ı na hranici B. Ukaˇzte, ˇze B je jednotkovou koul´ı pro urˇcitou normu. Cv. 15.46 Pro danou normu na Rn nazveme matici A ∈ Rn×n isometri´ı pokud kAxk = kxk pro vˇsechna x ∈ Rn .

66

Skal´ arn´ı souˇcin, norma

(a) Ukaˇzte, ˇze isometrie mus´ı b´ yt regul´ arn´ı matic´ı. (b) Ukaˇzte, ˇze mnoˇzina isometri´ı tvoˇr´ı grupu s operac´ı maticov´ y souˇcin. (c) Najdˇete vˇsechny isometrie pro 2-normu (tj., eukleidovskou normu). (d) Najdˇete vˇsechny isometrie pro 1-normu a ∞-normu. Cv. 15.47 Pro normu k · k na Rn a dva vektory x, y ∈ Rn oznaˇcme C := {z ∈ Rn ; kx − zk + kz − yk = kx − yk}. (a) Co representuje C pro eukleidovskou normu?

(b) Bud’ x = (1, 0)T a y = (0, 1)T . Urˇcete C pro 1-normu a ∞-normu.

(c) Bud’ x = (1, 1)T a y = (1, −1)T . Urˇcete C pro 1-normu a ∞-normu.

(d) Ukaˇzte, ˇze C je konvexn´ı mnoˇzina.


16

67

Gramova–Schmidtova ortogonalizace

Uk´ azka 16.1 (Gramova–Schmidtova ortogonalizace). Pˇri standardn´ım skalárn´ım souˇcinu najdˇete ortonormáln´ı b´ azi prostoru generovaného vektory x1 = (1, 0, 1, 0)T , x2 = (1, 1, 1, 1)T , x3 = (1, 0, 0, 1)T . ˇ sen´ı: Postupujeme pˇresnˇe podle algoritmu: Reˇ y1 := x1 ,

√ 2 1 z1 := y1 = (1, 0, 1, 0)T , ky1 k 2

√

√

2 (1, 0, 1, 0)T = (0, 1, 0, 1)T , y2 := x2 − hx2 , z1 iz1 = (1, 1, 1, 1) − 2 2 √ 2 1 y2 = (0, 1, 0, 1)T , z2 := ky2 k 2 y3 := x3 − hx3 , z1 iz1 − hx3 , z2 iz2 √ √ √ √ 1 2 2 2 2 T T (1, 0, 1, 0) − (0, 1, 0, 1)T = (1, −1, −1, 1)T , = (1, 0, 0, 1) − 2 2 2 2 2 1 1 T z3 := y3 = (1, −1, −1, 1) . ky3 k 2 T

V´ ysledn´ a ortonormáln´ı b´ aze se sklád´ a z vektor˚ u z1 , z2 , z3 .

1: for k := 1 to n do 2: 3:

yk := xk − zk :=

4: end for

............................................

k−1 X j=1

hxk , zj izj ,

1 yk , kyk k

Cviˇ cen´ı

............................................

Cv. 16.1 Co se stane, kdyˇz Gramova–Schmidtova ortogonalizace (a) dostane na vstup line´ arnˇe z´ avislé vektory? (b) dostane na vstup ortogon´ aln´ı vektory? (c) dostane na vstup ortonormáln´ı vektory? (d) dostane na vstup −xi nam´ısto xi ? Jak se zmˇen´ı v´ ystup? Cv. 16.2 Bud’ x1 = (1, 1, 0), x2 = (1, 1, 1): (a) ortogonalizujte vektory x1 , x2 , (b) ortogonalizujte vektory v opaˇcném poˇrad´ı, (c) najdˇete projekci x = (0, 1, 1) do podprostoru U = span{x1 , x2 }. Jaká je vzdálenost x od U ?

68

Gramova–Schmidtova ortogonalizace

Cv. 16.3 Bud’



 1 1 1 1 A = 4 1 4 1 . 1 2 3 4

Najdˇete ortonormáln´ı b´ azi R(A) a urˇcete projekci x = (2, 2, 1, 5) do R(A). Cv. 16.4 najdˇete dvˇe r˚ uzné (nemaj´ı spoleˇcn´ y vektor ani v  2 1 A = 0 1 2 0

n´ asobku) ortogon´ aln´ı b´ aze R(A) pro  0 2 . −2

Cv. 16.5 Nad C3 ortogonalizujte (i, i, i), (0, i, i), (0, 0, i). Cv. 16.6 Pro skalárn´ı souˇcin hx, yi := 2x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 zortogonalizujte (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0). Cv. 16.7 V aritmetice s omezenou pˇresnost´ı na 3 ˇc´ıslice ortonormalizujte vektory: (1, 10−3 , 10−3 ), (1, 10−3 , 0), (1, 0, 10−3 ).

Cv. 16.8 Zortonormalizujte b´ azi: (a) podprostoru R3 popsaného rovnic´ı x − y + z = 0,

(b) podprostoru R4 popsaného soustavou x − y + u + v = 0, x + u = 0, Cv. 16.9 Ukaˇzte, ˇze matice In − q1 q1T , . . . , In − qk qkT komutuj´ı, pokud vektory q1 , . . . , qk ∈ Rn jsou ortogon´ aln´ı. Cv. 16.10 Bud’ h·, ·i skal´ arn´ı souˇcin a (1, 0, 1)T , (1, 2, 0)T , (0, 1, 1)T jeho ortonormáln´ı b´ aze. Spoˇc´ıtejte T T hodnotu h(3, 1, 1) , (2, 1, 6) i.


17

69

Ortogon´ aln´ı doplnˇ ek a projekce

Uk´ azka 17.1 (Ortogonáln´ı doplnˇek v Rn ). Pˇri standardn´ım skalárn´ım souˇcinu najdˇete ortogonáln´ı doplnˇek prostoru V generovanému vektory (1, 2, 3)T a (1, −1, 0)T . ˇ sen´ı: Sestav´ıme matici Reˇ 1 2 3 A= . 1 −1 0 Nyn´ı V = R(A), a protoˇze V ⊥ = Ker(A), staˇc´ı nalézt b´ azi jádra matice A, kterou tvoˇr´ı napˇr. vektor T (1, 1, −1) . Uk´ azka 17.2 (Ortogonáln´ı projekce). Najdˇete projekci vektoru x = (1, 2, 4, 5)T do podprostoru V generovaného vektory x1 = (1, 0, 1, 0)T , x2 = (1, 1, 1, 1)T , x3 = (1, 0, 0, 1)T , a urˇcete vzdálenost x od V pˇri standardn´ım skalárn´ım souˇcinu. ˇ sen´ı: Nejprve najdeme ortonormáln´ı b´ Reˇ azi V pomoc´ı Gramovy–Schmidtovy ortogonalizace. To jsme jiˇz uˇcinili v ukázce 16.1, a ortonormáln´ı b´ az´ı jest √ √ 2 2 1 T z1 = (1, 0, 1, 0) , z2 = (0, 1, 0, 1)T , z3 = (1, −1, −1, 1)T . 2 2 2 Nyn´ı najdeme projekci dle vzorce 3 X 1 hx, zi izi = (5, 7, 5, 7)T . xU = 2 i=1

Hledaná vzdálenost je kx − xU k = k 12 (−3, −3, 3, 3)T k = 3. Protoˇze pracujeme se standardn´ım skalárn´ım souˇcinem, m˚ uˇzeme projekci spoˇc´ıtat alternativnˇe i takto: Sestav´ıme matici   1 1 1 0 1 0  A= 1 1 0 , 0 1 1

jej´ıˇz sloupce jsou tvoˇreny vektory x1 , x2 , x3 , a projekce se spoˇc´ıtá dle vzorce 1 xU = A(AT A)−1 AT x = (5, 7, 5, 7)T . 2 Poznamenejme, ˇze zde 

 3 −1 1 1 1 −1 3 1 1  P = A(AT A)−1 AT =  1 3 −1 4 1 1 1 −1 3

pˇredstavuje matici projekce jakoˇzto line´ arn´ıho zobrazen´ı do podprostoru U . Takˇze pokud ji m´ ame takto explicitnˇe vyjádˇrenou, tak projekce xU vektoru x se spoˇc´ıtá jako xU = P x. Uk´ azka 17.3 (Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u a line´ arn´ı regrese). Mˇejme data v´ yvoje svˇetové populace: rok populace (mld.)

1950 2,519

1960 2,982

1970 3,692

1980 4,435

1990 5,263

2000 6,070

70

Ortogon´ aln´ı doplnˇek a projekce

Najdˇete line´ arn´ı závislost velikosti populace na ˇcase, a odhadnˇete velikost populace pro rok 2009. ˇ sen´ı: Chceme data proloˇzit co nejlépe pˇr´ımkou y = px + q: Reˇ 2, 519 = p · 1950 + q .. . 6, 070 = p · 2000 + q To odpov´ıd´ a pˇreurˇcené soustavˇe Ax = b,  1950 1960  1970 A= 1980  1990 2000

kde  1 1  1 , 1  1



 2.519  2.982     3.692   b=  4.43  ,   55.263

1

x=

p . q

6.070

Sestav´ıme si soustavu normáln´ıch rovnic (AT A)x = AT b, a jej´ı ˇreˇsen´ı x = (p, q)T = (0, 0724, −138, 84)T je ˇreˇsen´ı metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. Grafické zn´ azornˇen´ı závislosti: y 6 5 4 y = 0, 0724x − 138, 84

3

1950 1960 1970 1980 1990 2000

x

Predikci pro rok 2009 zjist´ıme jednoduˇse jako 2009 · p + q = 6, 6943. ............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Ortogon´ aln´ı doplnˇ ek M ⊆ V , pak M ⊥ := {x ∈ V ; hx, yi = 0 ∀y ∈ M }. Cv. 17.1 V prostoru V urˇcete V ⊥ , {o}⊥ a {}⊥ . Cv. 17.2 Bud’ M, N ⊆ V . Ukaˇzte: (a) M ∩ M ⊥ ⊆ {o}

(dokaˇzte z definice),

(b) (M ⊥ )⊥ = span(M ), (c) M ⊆ N ⇒ N ⊥ ⊆ M ⊥ , ale ne naopak,

(d) (M ∪ N )⊥ = M ⊥ ∩ N ⊥ ,

(e) (M + N )⊥ = M ⊥ ∩ N ⊥ .

Cv. 17.3 Najdˇete podprostor U ⋐ R5 takov´ y, ˇze dim U = dim U ⊥ .

Cv. 17.4 Spoˇc´ıtejte ortogon´ aln´ı doplnˇek vektoru u = (1, 0, 0, −2) do prostoru V = span{v, w} = span{(1, 2, 4, 0), (0, 1, 2

Cviˇcen´ı z line´ arn´ı algebry Cv. 17.5 Bud’ V ⋐ R3×3 prostor antisymetrick´ ych matic v skalárn´ım souˇcinu ze Cv. 15.29 najdˇete b´ azi prostoru  1  0  W = −1 0  3 −2

71 R3×3 , tj. matic A splˇ nuj´ıc´ıch AT = −A. Pˇri ⊥ −3  2 .  0

Cv. 17.6 Bud’ A ∈ Rn×n taková, ˇze pro kaˇzdou matici X ∈ Rn×n , trace(X) = 0, plat´ı trace(AX) = 0. Ukaˇzte, ˇze A = λIn pro urˇcité λ ∈ R. (Hint: Cv. 15.29.) Cv. 17.7 Bud’ U podprostor V a bud’te a, b ∈ V . Ukaˇzte, ˇze afinn´ı podprostory a + U , b + U ⊥ se prot´ınaj´ı v jediném bodˇe.

Projekce Projekce x do podprostoru s ortonormáln´ı b´ az´ı z1 , . . . , zn : xU =

Pn

i=1 hx, zi izi .

Cv. 17.8 Dokaˇzte, ˇze projekce je line´ arn´ı zobrazen´ı. Cv. 17.9 Uvaˇzujme standardn´ı skal´ arn´ı souˇcin v Rn a pˇr´ımku p = span{a}. (a) Najdˇete bod x′ na pˇr´ımce p, kter´ y je nejbliˇzˇs´ı bodu x ∈ Rn . (b) Najdˇete projekci b = (3, −2, 5) na pˇr´ımku se smˇernic´ı a = (2, 1, 1). (c) Porovnejte velikost projekce x′ s vektorem x. Dok´ aˇzete zobecnit v´ ysledek pro projekci do libovolného podprostoru? (d) Sestrojte matici line´ arn´ıho zobrazen´ı reprezentuj´ıc´ı pˇreklopen´ı podle pˇr´ımky p. Cv. 17.10 Rozloˇzte: (a) u = (3, 2, 6) na souˇcet u = v + w, kde v ∈ V = span{(1, 0, 0), (0, 1, 1)} a w ∈ V ⊥ . (b) u = (1, 2, 4, 6) na souˇcet u = v + w, kde v ∈ V = span{(1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1)} a w ∈ V ⊥ . Cv. 17.11 Urˇcete vzdálenost bodu a = (5, 5, 3, 3) od nadroviny obsahuj´ıc´ı o, b = (8, −1, 1, −2) a c = (4, −2, 2, −1). Cv. 17.12 Urˇcete vzdálenost bodu X : (6, 6, 4, 4) od nadroviny obsahuj´ıc´ı body A : (1, 1, 1, 1), B : (9, 1, 1, −1), C : (5, −1, 3, 0). Cv. 17.13 Urˇcete vzdálenost pˇr´ımek (a) p = (9, −2, 0) + span{(4, −3, 1)} a q = (0, −7, 2) + span{(−2, 9, 2)}. (b) p = (−3, 2, 3, 3) + span{(−1, 1, 1, 0)} a q = (6, 5, 7, 3) + span{(0, 0, −1, 2)}. (c) p = (7, 5, 8, 1) + span{(2, 0, 3, 1)} a q = {x ∈ R4 ; x1 − 4x3 = −7, x2 + 2x3 = 5, x4 = 3}. Cv. 17.14 Bud’ P matice projekce do U ⋐ Rn . Najdˇete matici projekce do U ⊥ . Cv. 17.15 Bud’ U podprostor V a mˇejme x ∈ V vyjádˇreno jako x = u + v, kde u ∈ U a v ∈ U ⊥ . Dokaˇzte, ˇze u je projekce x do U a v je projekce x do U ⊥ . Cv. 17.16 Bud’ o 6= a ∈ Rn . Najdˇete matici projekce do V = span{a}⊥ a dokaˇzte, ˇze je singulárn´ı. Cv. 17.17 Bud’ Snn prostor symetrick´ ych a Tnn prostor antisymetrick´ ych matic v Rn×n . ⊥ =T , (a) Ukaˇzte Snn nn (b) Ukaˇzte, ˇze projekce A ∈ Rn×n do Snn je d´ ana 21 (A + AT ).

Cv. 17.18 Ukaˇzte, ˇze projekce vektoru x do podprostoru U se d´ a vyjádˇrit jako jednoznaˇcn´ y bod v pr˚ uniku ⊥ podprostoru U a afinn´ıho podprostoru U + x.

72

Ortogon´ aln´ı doplnˇek a projekce

Doplnˇ ek v Rn R(A)⊥ = Ker(A). Cv. 17.19 Bud’ A=

1 2 . −1 −2

Najdˇete R(A), Ker(A) a nakreslete je do obr´ azku. Cv. 17.20 Najdˇete ortogon´ aln´ı doplnˇek k prostor˚ um: (a) V = {x ∈ R3 ; x1 + x2 + 2x3 = 0}.

(b) U = span{(1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0)}.

Cv. 17.21 Bud’ v ∈ Rn takov´ y, ˇze vi 6= 0 pro vˇsechna i. Ukaˇzte, ˇze {v}⊥ obsahuje vektory ze vˇsech ortant˚ u kromˇe tˇech obsahuj´ıch v a −v. Cv. 17.22 Bud’ A ∈ Rm×n a uvaˇzujme dvˇe zobrazen´ı f : x → Ax, g : y → AT y. Ukaˇzte, ˇze pro libovoln´ y podprostor U ⋐ Rn plat´ı f (U ) ⊆ U ⇒ g(U ⊥ ) ⊆ U ⊥ . Cv. 17.23 Bud’ A ∈ Rm×n , B ∈ Rk×n . Ukaˇzte, ˇze pokud pro kaˇzdé x ∈ Rn plat´ı Ax = 0 ⇒ Bx = 0, tak potom B = CA pro nˇejaké C ∈ Rk×m .

Projekce v Rn Matice projekce do S(A): A(AT A)−1 AT . Cv. 17.24 Najdˇete matici projekce (a) do U = span{(2, 1, 1)}, (b) do roviny souˇradn´ ych os x1 , x2 v prostoru Rn . (c) do U = span{(0, 1, 1), (1, 0, −1), (0, 0, 1)}. Cv. 17.25 Bud’ P matice projekce. (a) Do jakého prostoru U a jaké dimenze projektuje? (b) Bud’ P matice projekce. Dokaˇzte: S(A) = {x; P x = x}. (c) Dokaˇzte: x ∈ U ⊥ ⇔ P x = o.

Cv. 17.26 Bud’te sloupce matice A ∈ Rm×n ortonormáln´ı. Ukaˇzte, ˇze projekce vektoru x ∈ Rn do S(A) pomoc´ı matice projekce odpov´ıd´ a dˇr´ıvˇejˇs´ımu vyjádˇren´ı projekce do podprostoru s ortonormáln´ı b´ az´ı. Cv. 17.27 Urˇcete vzdálenost c ∈ Rn od (a) podprostoru aT x = 0, kde o 6= a ∈ Rn .

(b) podprostoru aT x = b, kde o 6= a ∈ Rn a b ∈ R. Cv. 17.28 Urˇcete projekci bodu x ∈ Rn na pˇr´ımku p = b + span{a}. Cv. 17.29 Urˇcete vzdálenost: (a) bodu x ∈ Rn od pˇr´ımky p = span{a}, a 6= o.


73

(b) poˇc´ atku od pˇr´ımky p = b + span{a}, a 6= o, v prostoru R2 . (c) bodu x ∈ Rn od pˇr´ımky p = b + span{a}, a 6= o.

Cv. 17.30 Bud’ P matice projekce. Dokaˇzte rank(P ) = trace(P ). Cv. 17.31 Bud’te P, Q matice projekce v Rn . Dokaˇzte S(P ) = S(Q) pr´ avˇe tehdy, kdyˇz P Q = P a QP = Q. Pokud plat´ı jedna z tˇechto podm´ınek, mus´ı P = Q?

Cv. 17.32 Bud’ P matice projekce do U ⋐ Rn a Q matice projekce do V ⋐ Rn . Dokaˇzte P + Q je matice projekce do U + V pr´ avˇe tehdy, kdyˇz P Q = QP = 0. Cv. 17.33 Bud’ A = RC, kde A ∈ Rm×n , R ∈ Rm×r , C ∈ Rr×n , a vˇsechny matice maj´ı hodnost r. Ukaˇzte, ˇze RT AC T je regul´ arn´ı. Cv. 17.34 Odvod’te analogii vztahu R(AT A) = R(A) pro sloupcové prostory matice A ∈ Rm×n . Cv. 17.35 V´ıme, ˇze pro matici A ∈ Rm×n hodnosti n je AT A regul´ arn´ı. Zobecnˇete tvrzen´ı pro komplexn´ı matice.

Metoda nejmenˇ s´ıch ˇ ctverc˚ u Cv. 17.36 Metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u spoˇc´ıtejte pˇribliˇzné ˇreˇsen´ı soustav (a) Ax = b, kde A = (1, 2, 1, 2)T a b = (5, 5, 5, 5)T , (b) Ax = b, kde A = (1, . . . , 1)T se sklád´ a ze sloupce jedniˇcek a b ∈ Rn ,   2 −1 4 1 1 −1 1 (c)  1 −1 −1 1 1

T T Cv. 17.37 Ukaˇzte, ˇze ˇreˇsen´ı metodou nejmenˇs´ıch rovnic, eˇsen´ tj. jakoˇr ı norm´ aln´ıch rovnic A Ax = A b, je I A y b stejné jako druhá ˇc´ ast vektoru ˇreˇsen´ı soustavy = . AT 0 x 0

Cv. 17.38 Hook˚ uv z´ akon vyjadˇruje line´ arn´ı u ´mˇernost pruˇzné deformace materi´ alu na pouˇzité s´ıle. Následuj´ıc´ı tabulka obsahuje hodnoty pr˚ utahu pruˇziny (v palc´ıch) v závislosti na s´ıle/hmotnosti (v libr´ ach). Odhadnˇete koeficient u ´mˇernosti. s´ıla pr˚ utah

5 11.1

7 15.4

8 17.5

10 22

12 26.3

Cv. 17.39 Rakovinné buˇ nky se mnoˇz´ı exponenci´ alnˇe rychle v ˇcase. Urˇcete konkrétn´ı vztah ve tvaru y = a eb t pˇri n´ asleduj´ıc´ıch datech. t (ˇcas) y (poˇcet bunˇek)

1 16

2 27

3 45

4 74

5 122

Cv. 17.40 Urˇcete nejlepˇs´ı aproximaci (metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u) funkce ex na intervalu [−1, 1] pomoc´ı line´ arn´ı funkce y = ax + b. Cv. 17.41 Uvaˇzujme soustavu rovnic Ax = b, kde A ∈ Rm×n m´ a hodnost m. Existuje tedy vˇzdy aspoˇ n jedno ˇreˇsen´ı. Najdˇete to ˇreˇsen´ı, které je v eukleidovské normˇe nejbl´ıˇze poˇcátku.

74

Ortogon´ aln´ı matice

18

Ortogon´ aln´ı matice

Uk´ azka 18.1 (Unitárn´ı matice). Ovˇeˇrte, ˇze matice Q je ortogon´ aln´ı a U je unit´ arn´ı, √ √ 2 −1 1 7 1 + 2i 1 − i , U= . Q= 1 + i 2i − 1 2 −1 −1 7 ˇ sen´ı: Jednoduˇse ovˇeˇr´ıme z definice Reˇ √ √ 2 −1 −1 2 −1 1 1 0 T Q Q= = = I2 , 1 −1 2 −1 −1 0 1 2 √ √ 7 1 − 2i 7 1 + 2i 1 − i 1−i 1 0 T U U= = = I2 . 1 + i −2i − 1 7 1 + i 2i − 1 0 1 7 Uk´ azka 18.2 (Householderova matice). Ukaˇzte, ˇze Householderova matice je symetrická. ˇ sen´ı: Householderova matice je tvaru H(u) = In − T2 uuT , u 6= o. Ovˇeˇr´ıme Reˇ u u H(u)T =

In −

2 uT u

uuT

T

= InT −

2 2 (uuT )T = In − T uuT = H(u), uT u u u

tud´ıˇz je H(u) symetrická.

Q ∈ Rn×n ortogon´ aln´ı: QT Q = In . T

Q ∈ Cn×n unit´ arn´ı: Q Q = In .

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Cv. 18.1 Necht’ P, Q ∈ Rn jsou ortogon´ aln´ı. Je P + Q ortogon´ aln´ı? Cv. 18.2 Dokaˇzte, ˇze G=

cos α − sin α sin α cos α

je ortogon´ aln´ı. Cv. 18.3 Najdˇete matici otoˇcen´ı v R3 kolem osy x o u ´hel α = 45◦ proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek. Cv. 18.4 Bud’ p ∈ Sn permutace a P ∈ Rn odpov´ıdaj´ıc´ı permutaˇcn´ı matice, tj. Pij = 1 pokud p(i) = j a nula jinak. (a) Dokaˇzte, ˇze P je ortogon´ aln´ı matice. (b) Dokaˇzte, ˇze P T odpov´ıd´ a permutaci p−1 . (c) Dokaˇzte, ˇze P Q odpov´ıd´ a permutaci p ◦ q, jestliˇze Q je matice permutace q. Cv. 18.5 Bud’ H(u) = In −

2 uuT , uT u

u 6= o, Householderova matice.

(a) Najdˇete vˇsechny Householderovy matice ˇra´du 1. (b) Dokaˇzte, ˇze H(u) je ortogon´ aln´ı. (c) Ukaˇzte, ˇze −I2 nen´ı Householderova matice.

(d) Rozhodnˇete, zda In je Householderovou matic´ı.


75

(e) Najdˇete vˇsechny diagon´ aln´ı Householderovy matice. Im 0 je také Householderova matice. (f) Rozhodnˇete, zda 0 H(u) A 0 (g) Jsou-li A, B Householderovy matice, rozhodnˇete, zda i je Householderova matice. 0 B P 0 m×m n×n Cv. 18.6 Necht’ P ∈ R ,Q∈R jsou ortogon´ aln´ı. Je bloková matice ortogon´ aln´ı? 0 Q Cv. 18.7 Najdˇete vˇsechny diagon´ aln´ı ortogon´ aln´ı matice ˇra´du n. Kolik jich je? Cv. 18.8 Najdˇete vˇsechny diagon´ aln´ı unit´ arn´ı matice ˇra´du n. Kolik jich je? Cv. 18.9 Najdˇete vˇsechny ortogon´ aln´ı matice ˇra´du 1 a 2. Cv. 18.10 Které z matic element´ arn´ıch u ´prav jsou ortogon´ aln´ı? Cv. 18.11 Pro které a, b ∈ R je matice A ortogon´ aln´ı? a+b b−a A= . a−b a+b Co pˇredstavuje za u ´tvar mnoˇzina vˇsech v´ ysledn´ ych dvojic (a, b)? Cv. 18.12 Rozhodnˇete, zda matice je ortogon´ aln´ı:   cos(x) sin(x) cos(y) sin(x) sin(y) − sin(x) cos(x) cos(y) cos(x) sin(y) . 0 − sin(y) cos(y) Cv. 18.13 Rozhodnˇete, zda matice je unit´ arn´ı: 1+i √ 3 √i 3

1+i √ 6 −2i √ 6

!

.

Cv. 18.14 Ukaˇzte, ˇze matice A ∈ Rn×n ortogon´ aln´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz kAxk = kxk pro vˇsechna x ∈ Rn (pˇri eukleidovské normˇe). Cv. 18.15 Norma je ortogon´ alnˇe invariantn´ı pokud kxk = kQxk pro kaˇzdé x ∈ Rn a kaˇzdou ortogon´ aln´ı n×n matici Q ∈ R . Ukaˇzte, ˇze eukleidovsk´ a norma je jediná ortogon´ alnˇe invariantn´ı norma splˇ nuj´ıc´ı ke1 k = 1. Cv. 18.16 Bud’ A ∈ Rn×n ortogon´ aln´ı. Ukaˇzte, ˇze matice B ∈ Rn×n s prvky bij = a2ij je dvojitˇe stochastická (viz Cv. 3.24). Cv. 18.17 Ukaˇzte, ˇze mnoˇzina ortogon´ aln´ıch matic v Rn×n je kompaktn´ı. Cv. 18.18 Cayleyho transformace C : Rn×n → Rn×n je definovan´ a takto C(A) = (I − A)(I + A)−1 . Ukaˇzte: (a) Je-li A antisymetrická (tj. AT = −A), pak C(A) je ortogon´ aln´ı.

(b) Je-li A ortogon´ aln´ı a A + I regul´ arn´ı, pak C(A) je antisymetrická. Cv. 18.19 Bud’ A ∈ Rn×n a bud’ z1 , . . . , zn ortonormáln´ı b´ aze Rn . Ukaˇzte, ˇze trace(A) = standardn´ım skal´ arn´ım souˇcinu (Hint: lze vyuˇz´ıt Cv. 4.32).

Pn

i=1 hAzi , zi i

pˇri

ˇ ıkáme, ˇze zobrazen´ı f je unit´ Cv. 18.20 R´ arn´ı, pokud hf (x), f (y)i = hx, yi pro vˇsechna x, y (tj., zachovává skalárn´ı souˇcin). Ukaˇzte, ˇze

76

Ortogon´ aln´ı matice (a) zobrazen´ı f : V → Rn definované f (v) = [v]B , kde B je ortonormáln´ı b´ aze, je unit´ arn´ı.

(b) sloˇzen´ı dvou unit´ arn´ıch zobrazen´ı je unit´ arn´ı zobrazen´ı,

(c) inverze k unit´ arn´ımu isomorfismu je unit´ arn´ı isomorfismus, (d) mnoˇzina vˇsech unit´ arn´ıch isomorfism˚ u na prostoru tvoˇr´ı grupu, (e) dva koneˇcnˇe generované re´ alné (resp. komplexn´ı) prostory se skalárn´ım souˇcinem maj´ı stejnou dimenzi pr´ avˇe tehdy, kdyˇz mezi nimi existuje unit´ arn´ı isomorfismus, (f) jsou-li x1 , . . . , xn a y1 , . . . , yn dvˇe b´ aze takové, ˇze hxi , xj i = hyi , yj i pro vˇsechna i, j, pak existuje unit´ arn´ı zobrazen´ı f takové, ˇze f (xi ) = yi pro vˇsechna i.


19

77

Determinant

Uk´ azka 19.1 (V´ ypoˇcet deteminantu z definice). Matice ˇra´du 2: a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a21 a12 .

Matice ˇra´du 3: a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a31 a22 a13 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 . a31 a32 a33

Pro v´ ypoˇcet determinantu matice ˇra´du 3 (pouze! ) lze pouˇz´ıt mnemotechnickou pom˚ ucku, tzv. Sarrusovo pravidlo. Pokud si matici zvˇetˇs´ıme zkop´ırován´ım prvn´ıch dvou ˇra´dk˚ u pod p˚ uvodn´ı matici, pak tˇri kladné ˇcleny v permutaˇcn´ım rozvoji odpov´ıdaj´ı souˇcinu tˇr´ı diagon´ al       a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13  a21 a22 a23  a21 a22 a23   a21 a22 a23         a31 a32 a33  ,  a31 a32 a33  , a31 a32 a33  ,        a11 a12 a13   a11 a12 a13   a11 a12 a13  a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a tˇri záporné ˇcleny v permutaˇcn´ım rozvoji odpov´ıdaj´ı souˇcinu tˇr´ı ˇsikm´ ych diagon´ al, dle obr´ azku:       a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13  a21 a22 a23   a21 a22 a23   a21 a22 a23        a31 a32 a33  ,  a31 a32 a33  ,  a31 a32 a33  .        a11 a12 a13  a11 a12 a13   a11 a12 a13  a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23

Uk´ azka 19.2 (V´ ypoˇcet deteminantu pomoc´ı elementárn´ıch u ´prav). Determinant matice m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat pomoc´ı Gaussovy eliminace s t´ım, ˇze si uvˇedom´ıme jak jednotlivé elementárn´ı u ´pravy ovlivˇ nuj´ı v´ ysledn´ y determinant (a) vyn´ asoben´ı ˇra´dku ˇc´ıslem α zvˇetˇs´ı determinant α-krát, (b) prohozen´ı dvou ˇra´dk˚ u mˇen´ı znaménko determinantu, (c) pˇriˇcten´ı n´ asobku ˇra´dku k jinému ˇra´dku determinant nemˇen´ı. Konkrétnˇe, spoˇc´ıtejte determinant 1 1 2 0

ˇ sen´ı: Reˇ 1 1 2 0

2 3 4 2 1 3 5 5 5 2 −3 −4

1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 1 3 0 0 −2 −1 = = − 0 5 5 5 0 1 −1 −3 0 2 −3 −4 0 2 −3 −4 1 2 3 1 4 0 1 −1 −3 = 2 0 = 2 0 0 0 1 0.5 0 0 −1 2 0

1 2 3 4 0 1 −1 −3 = − 0 0 −2 −1 0 2 −3 −4 2 3 4 1 −1 −3 = 5. 0 1 0.5 0 0 2.5

2 3 4 1 −1 −3 0 −2 −1 0 −1 2

78

Determinant

Uk´ azka 19.3 (Laplace˚ uv rozvoj determinantu). Laplace˚ uv rozvoj d´ avá rekurentn´ı pˇredpis pro poˇc´ıt´ an´ı determinantu. Rozvoj podle i-tého ˇra´dku jest det(A) =

n X (−1)i+j aij det(Aij ). j=1

Zde, det(Aij ) je determinant matice A bez i-tého ˇra´dku a j-tého sloupce. Determinanty tˇechto menˇs´ıch matic spoˇc´ıtáme opˇet rozvojem, nebo pˇr´ımo, nebo elementárn´ımi u ´pravami, záleˇz´ı na n´ as. Konkrétnˇe, spoˇc´ıtejte determinant Laplaceov´ ym rozvojem podle posledn´ıho ˇra´dku 1 1 2 0

ˇ sen´ı: Reˇ 1 1 2 0

2 3 4 2 1 2 . 5 5 5 2 −4 −4

2 3 4 2 3 4 1 3 4 2 1 2 = (−1)4+1 · 0 · 2 1 2 + (−1)4+2 · 2 · 1 1 2 5 5 5 5 5 5 2 5 5 2 −4 −4 1 2 4 1 2 3 + (−1)4+3 · (−4) · 1 2 2 + (−1)4+4 · (−4) · 1 2 1 2 5 5 2 5 5 = 0+2·4+4·2−4·2 = 8

Uk´ azka 19.4 (Cramerovo pravidlo). Cramerovo pravidlo d´ avá explicitn´ı vzoreˇcek na v´ ypoˇcet ˇreˇsen´ı soustav line´ arn´ıch rovnic Ax = b s regul´ arn´ı matic´ı. Sloˇzka xi ˇreˇsen´ı x se vyjádˇr´ı jako xi =

det(A + (b − A∗i )eTi ) , det(A)

i = 1, . . . , n.

Konkrétnˇe, Cramerov´ ym pravidlem ˇreˇste soustavu rovnic   1 2 3 1 1 2 1 3 . 2 5 5 4 ˇ sen´ı: Reˇ 1 3 4 x1 = 1 1 2

2 3 2 1 5 5 4 = = 2, 2 2 3 2 1 5 5

1 1 2 x2 = 1 1 2

............................................

1 3 3 1 4 5 2 = = 1, 2 2 3 2 1 5 5

Cviˇ cen´ı

1 1 2 x3 = 1 1 2

2 1 2 3 5 4 −2 = = −1. 2 2 3 2 1 5 5

............................................


79

Determinant – definice a element´ arn´ı u ´ pravy det (A) =

X

sgn(p)

n Y

ai,p(i) .

i=1

p∈Sn

Cv. 19.1 Spoˇc´ıtejte determinanty: (a) det(−In ), 0 . . . 0 1 .. . . . . . . . 0 (b) .. , . . . . 0 . . . 1 0 . . . 0 1 2 −1 1 2 3 2 (c) 0 1 2 , 4 5 6 , 3 1 2 1 7 8 9 2 1 1 0 2 −2 1 −1 −1 0 −1 2 2 , (d) 1 2 1 3 0 0 2 −1 −1 1 4 1 a11 a12 a13 a14 a15 a21 0 0 0 a 25 0 0 a35 , (e) a31 0 a41 0 0 0 a45 a51 a52 a53 a54 a55 52147 64492 . (f) 52146 64491

4 1 3 2 4 , 1 3 2 2 0 0 1 2 3 2 , 3 3 3 3 2 4

1 4 5 9 , 6 5 2 3 4 3

3 4 3 2

1 a a2 a3 a 1 a a2 a2 a 1 a , a3 a2 a 1

4 3 , 2 1

ˇ ste nad R, Z2 , Z3 . Cv. 19.2 Pro jaké a je matice regul´ arn´ı? Reˇ   a −1 −1 a − 1 1 1 a+1 1 0 Cv. 19.3 Bud’ A ∈ Rm×m , B ∈ Rn×n . Dokaˇzte det

A 0 0 B

= det(A) det(B). C = det(A) det(B). Cv. 19.4 Bud’ A ∈ Rm×m , B ∈ Rn×n , C ∈ Rm×n . Dokaˇzte det A0 B A B = det(A) det(D) − det(B) det(C). Cv. 19.5 Bud’ A, B, C, D ∈ Rn×n . Dokaˇzte ˇci vyvrat’te det C D

Cv. 19.6 Matice A ∈ Rn×n je antisymetrická pokud AT = −A. Dokaˇzte, ˇze pro liché n je antisymetrická matice singulárn´ı. Cv. 19.7 Jak se zmˇen´ı determinant matice A ∈ Rn×n , kdyˇz jeho ˇra´dky zpermutujeme podle permutace p ∈ Sn , tj. ˇra´dek i se pˇresune na m´ısto p(i)? Cv. 19.8 Bud’ A ∈ Cn×n . Dokaˇzte det(A) = det(A). Cv. 19.9 V´ıme, ˇze ˇc´ısla 697, 476, 969 jsou 6 9 je dˇeliteln´ y také determinant 4 7 9 6

dˇ a ˇc´ıslem 17. Dokaˇzte bez v´ ypoˇctu determinantu, ˇze 17 eliteln´ 7 6 . 9

80

Determinant

Cv. 19.10 Ukaˇzte, ˇze determinant matice ˇra´du n s prvky ±1 je dˇeliteln´ y ˇc´ıslem 2n−1 . Cv. 19.11 Bez v´ ypoˇctu determinantu urˇcete koeficient u x4 a x3 ve v´ ysledném determinantu x 1 3 1

2 x 3 1

1 1 x 2

x 3 . x x

Cv. 19.12 Bez v´ ypoˇctu determinant˚ u dokaˇzte 1 a bc 1 a a2 1 b ca = 1 b b2 . 1 c ab 1 c c2 Cv. 19.13 Bud’ c 6= 0. Jak se zmˇen´ı determinant matice A ∈ Rn×n pokud kaˇzdé aij vyn´ asob´ıme ˇc´ıslem ci−j . Cv. 19.14 Bud’ A ∈ R4×4 . Kolik (minimálnˇe) nul a na jak´ ych pozic´ıch matice A zajist´ı, aby determinant byl zaruˇcenˇe nulov´ y? Cv. 19.15 Bud’ A ∈ Rn×n . Kolik maxim´ alnˇe nul m˚ uˇze matice obsahovat, aby v permutaˇcn´ım rozvoji byly aspoˇ n dva ˇcleny nenulové? Cv. 19.16 Ukaˇzte, ˇze pro re´ alnou matici ˇra´du n ≥ 3 nemohou b´ yt v permutaˇcn´ım rozvoji vˇsechny ˇcleny kladné. Cv. 19.17 Urˇcete souˇcet determinant˚ u vˇsech matic ˇra´du 3 obsahuj´ıc´ı prvky 1, 2, . . . , 9, a kaˇzd´ y z nich pr´ avˇe jednou. Cv. 19.18 Bud’ S mnoˇzina vˇsech matic ˇra´du n obsahuj´ıc´ıch pouze prvky 0 a 1. Ukaˇzte, ˇze pr˚ umˇern´ y determinant matice z S je roven 0. ∗ Cv.

19.19 Najdˇete matici ˇra´du 3 obsahuj´ıc´ı prvky 1, 2, . . . , 9, a kaˇzd´ y z nich pr´ avˇe jednou, tak, aby mˇela maximáln´ı moˇzn´ y determinant. (zdroj: American Mathematical Monthly)

Multiplikativnost determinantu Cv. 19.20 Rozhodnˇete zda plat´ı det(AB) = det(BA). Cv. 19.21 Jak´ y je determinant ortogon´ aln´ı matice? Cv. 19.22 V´ıme A ∈ R3×3 a det(A) = 2. Spoˇc´ıtejte det(2A−2 AT ). Cv. 19.23 Najdˇete A ∈ R3×3 takovou, aby A2 = −I3 . Cv. 19.24 Bud’ A ∈ Rm×m , B, C T ∈ Rm×n , a D ∈ Rn×n . Dokaˇzte:

= det(A) det(D−CA−1 B) = det(D) det(A−BD −1 C). A B = det(AD − CB). (b) Je-li A regul´ arn´ı, m = n, a AC = CA, pak det C D (a) Je-li A resp. D regul´ arn´ı, pak det

A B C D


81

Laplace˚ uv rozvoj det(A) =

n X

(−1)i+j aij det(Aij ).

j=1

Cv. 19.25 Spoˇc´ıtejte

1 0 0 1

4 2 3 2

3 0 1 2

4 5 . 5 3

Cv. 19.26 Spoˇc´ıtejte determinant matice ˇra´du n (na pr´ azdn´ ych . . . 1 a1 . . . ai . . . 1

pozic´ıch jsou nuly): an . . . .

Cv. 19.27 Vektorov´ y souˇcin vektor˚ u x, y ∈ R3 je definován jako x2 x3 x1 x3 , x×y = , − y2 y3 y1 y3

x1 x2 y1 y2 .

S pouˇzit´ım determinantu urˇcité matice ˇra´du 3 dokaˇzte, ˇze x × y je kolmé na oba vektory x, y.

Determinant nad tˇ elesy Cv. 19.28 Nad tˇelesem Z5 spoˇc´ıtejte determinanty 1 2 1 2 3 2 3 2 , 0 2 2 1 3 2 1 0 3 Cv. 19.29 Nad tˇelesem C spoˇc´ıtejte determinanty  i 1 0 1 i i A= 2 1 1 2i 0 i

3 0 4 2

4 1 , 1 3

−1 2 3 4 1 −2 3 4 . 1 2 −3 4 1 2 3 −4

matic   2 1 i 1 , B =  2 0 1 2i

i 2 1 i

 2 i 1 2i . i 2i 4 i

Cramerovo pravidlo Cv. 19.30 Pomoc´ı Cramerova pravidla ˇreˇste  1 2 (a) 4 5 7 8

soustavy rovnic    −1 2 3 1 3 1 6 1 , (b)  1 −2 3 2 . 0 1 1 2 −3 3

82

Determinant

Cv. 19.31 M˚ uˇzeme nˇeco ˇr´ıci o existenci ˇreˇsen´ı kdyˇz det(A) = 0? ˇ ste soustavu s parametry a, b, c 6= 0 Cv. 19.32 Reˇ   a b 0 c 0 c a b  c 0 b a

Geometrick´ y v´ yznam determinantu Cv. 19.33 Urˇcete objem ˇctyˇrstˇenu urˇceného body A : [1, 1, 0], B : [4, 2, 2], C : [3, 4, 4] a D : [3, 2, 2]. Cv. 19.34 Urˇcete objem elipsiodu, kter´ y vznikne obrazem jednotkové koule pˇri zobrazen´ı x 7→ Ax, kde   2 3 2 A = 5 2 1 . 4 3 1 Cv. 19.35 Urˇcete objem elipsoidu vzniknuvˇs´ıho obrazem jednotkové koule pˇri line´ arn´ım zobrazen´ı definovaném f (1, 3, 1) = (3, 1, 0), f (1, 0, 3) = (1, 0, 2), f (1, 1, 1) = (4, 1, 5).

Cv. 19.36 Determinanty v geometrii. (a) Bez rozepisován´ı determinantu ukaˇzte, ˇze pˇr´ımka v rovinˇe proch´ azej´ıc´ı body (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) m´ a popis x y 1 x1 y1 1 = 0. x2 y2 1 Konkrétnˇe, najdˇete pˇr´ımku proch´ azej´ıc´ı body (0, 1), (−2, 3).

(b) Bez rozepisován´ı determinantu ukaˇzte, ˇze kruˇznice v rovinˇe proch´ azej´ıc´ı body (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) m´ a popis 2 x + y 2 x y 1 2 x + y 2 x1 y1 1 1 1 x2 + y 2 x2 y2 1 = 0. 2 2 x2 + y 2 x3 y3 1 3 3 Konkrétnˇe, najdˇete kruˇznici proch´ azej´ıc´ı body (0, 1), (2, 3), (2, −1).

(c) Bez rozepisován´ı determinantu ukaˇzte, (x2 , y2 , z2 ), (x3 , y3 , z3 ) m´ a popis x x1 x2 x3

ˇze rovina v prostoru proch´ azej´ıc´ı body (x1 , y1 , z1 ), y z y1 z1 y2 z2 y3 z3

1 1 = 0. 1 1

Konkrétnˇe, najdˇete rovinu proch´ azej´ıc´ı body (0, 1, 2), (1, −1, −2), (3, 1, 0).


83

Cv. 19.37 Ukaˇzte, ˇze plocha troj´ uheln´ıku s vrcholy (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) ∈ R2 je rovna |d|/2, kde x1 y1 1 d = x2 y2 1 . x3 y3 1 (Hint: Vnoˇrte troj´ uheln´ık do 3-deminzionáln´ıho prostoru.)

Cv. 19.38 Bud’te (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) ∈ R2 nekoline´ arn´ı body leˇz´ıc´ı na kruˇznici po smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek. Pro libovolné b ∈ R2 oznaˇcme 2 b1 + b22 b1 b2 1 2 x1 + y12 x1 y1 1 . d= 2 2 x y 1 + y x 2 2 2 2 x2 + y 2 x3 y3 1 3 3

Ukaˇzte, ˇze d > 0 pokud b leˇz´ı uvnitˇr kruˇznice, d = 0 pokud b leˇz´ı na kruˇznici, a d < 0 pokud b leˇz´ı vnˇe kruˇznice.

Cv. 19.39 Odvod’te z´ akladn´ı vlastnosti determinantu na základˇe jeho geometrické interpretace. To jest, v´ıme-li, ˇze zobrazen´ı x 7→ Ax mˇen´ı objem s koeficientem det(A) (aˇz na znaménko), ukaˇzte hlavn´ı myˇslenku pro (a) multiplikativitu, (b) charakterizaci regularity, (c) ˇra´dkovou linearitu, (d) interpretaci definice.

Determinant velk´ ych matic Cv. 19.40 Spoˇc´ıtejte determinant

Cv. 19.41 Spoˇc´ıtejte determinant

Cv. 19.42 Spoˇc´ıtejte determinant

2 1 1 . . . .. . . . . 1 . . .

1 .. . . 1 2

... .. . .. . 1

1 −1 0 . . . 1 1 −1 . . . .. Dn = 0 1 . 1 .. . . . . .. .. . . 0 . . . 0 1 x y 0 x .. . . . . 0 . . . y 0

0 y .. .

... .. . .. .

0 ...

x 0

0 . −1 1 0 .. .

0 .. . . 0 y x

84

Determinant

Cv. 19.43 Vyˇreˇste v promˇenné x ∈ R 1 1 x . . . (a) 1 . . . .. . . . . 1 . . .

... .. . .. . .. . 1

... ..

.

..

. x

1 .. . .. = 0, . 1 1

a0 a1 a2 .. . x (b) ... a1 . . . .. .. . . a0 a1 . . .

...

..

. an−1

an .. . .. = 0. . an x

Cv. 19.44 Spoˇc´ıtejte determinanty

I n A= T a 1 + x1 y 1 . . . .. B= . 1 + xn y1 . . .

1 0 .. . 0 b = ... . . . c 0 ... a1 a2

1 + x1 yn .. , . 1 + xn y n

... .. . .. . 0 ...

C2n

0 .. . 0 1 an

b1 b2 .. , . bn c

a b .. . . . . a b . = b a . . . . . . b a

Cv. 19.45 Spoˇc´ıtejte determinanty 1 2 3 . . . n 2 3 n n 3 n n n , A= .. .. . . .. . n ... n 1 n n 2 C = . . .. .. n . . .

... .. . .. . n

n .. . , n n

1 2 B = 2 .. . 2

2 2 2 , .. . n 1 2 3 4 . . . n −1 0 3 4 n −1 −2 0 4 n D= . . .. . . .. .. .. . −1 −2 −3 . . . 0 2 2 ... 2 2 2 3 .. . 2 2 ...

Cv. 19.46 Dokaˇzte pro a 6= b a + b ab .. 1 . .. 0 . .. . .. . 0 ...

0 ... .. .. . . .. .. . . .. .. . . 0 1

an+1 − bn+1 . 0 = a−b ab a + b 0 .. .


85

Cv. 19.47 Oznaˇcme

Dokaˇzte, ˇze

a1 1 . −1 . . D(a1 , . . . , an ) := 0 . . . .. .. . . 0 ... D(a1 , . . . , an ) = a1 + D(a2 , . . . , an )

0 . . . 0 . .. .. . . .. .. .. . . 0 . .. .. . . 1 0 −1 an 1

.

1

a2 + a3 +

1 ··· +

1 an

ˇ adkov´ R´ a linearita determinantu P Cv. 19.48 Ukaˇzte, ˇze det(A+B) = C∈D det(C), kde D je mnoˇzina vˇsech matic C takov´ ych, ˇze pro kaˇzdé i je Ci∗ = Ai∗ nebo Ci∗ = Bi∗ . Cv. 19.49 Spoˇc´ıtejte determinanty 1+a1 a 1 + a1 1 . . . 1 a2 1 1+a2 1 a1 . . . 1 1 + a2 a2 A= . , B = .. . . . . .. .. .. .. .. . 1+an 1 a1 a2 1 ... an a1 b . . . a b . . . b . .. b a . . . .. . , D = b a2 C = . . . . . . . . b .. . . . . . . .. b ... b . . . b b a

... ... .. . ... b .. . . b an

, 1 + an an an .. .

Cv. 19.50 Bud’ A ∈ Rn×n hodnosti 1. Ukaˇzte, ˇze det(A + In ) = trace(A) + 1.

Cv. 19.51 (a) Bud’ a, b ∈ Rn . Spoˇc´ıtejte det(In − abT ).

(b) Bud’ a, b ∈ Rn a A ∈ Rn×n regul´ arn´ı. Spoˇc´ıtejte det(A − abT ). Cv. 19.52 Ukaˇzte, ˇze pro kaˇzdou matici A ∈ Rn×n existuje diagon´ aln´ı matice D s prvky ±1 na diagon´ ale a taková, ˇze A + D je regul´ arn´ı. (Hint: Matematická indukce a ˇra´dková linearita.)

86

Adjungovan´ a matice

20

Adjungovan´ a matice

Uk´ azka 20.1 (Adjungovan´ a matice). Najdˇete adjungovanou matici k   1 2 3 A = 1 2 1 . 2 5 5 ˇ sen´ı: Podle definice adjungované matice poˇc´ıtáme postupnˇe Reˇ 1+2 2 3 adj(A)12 = (−1) 5 5 = 5, . . .

Nakonec dostaneme

adj(A) =

!

5 5 −4 −3 −1 2 . 1 −1 0

A jako d˚ usledek m´ ame rovnˇeˇz A−1

! 5 −4 1 5 1 −3 −1 2 . adj(A) = = det(A) 2 1 −1 0

Definice: adj(A)ij = (−1)i+j det(Aji ). Vˇeta: A adj(A) = det(A)In .

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Cv. 20.1 Spoˇc´ıtejte adjungovanou matici k zadan´ ym   1 0 2 1 2 (a) A = , B = 1 2 0 , 3 4 0 1 1     a 1 1 1 a b (b) C = 0 a 1 , D = 0 1 c  , 0 0 a 0 0 1 (c) zrcadlovˇe pˇreklopen´ a jednotková matice,

(d) permutaˇcn´ı matice P definovan´ a: Pij = 1 pokud p(i) = j a nula jinak, kde p ∈ Sn je dan´ a permutace. Cv. 20.2 Vyjádˇrete adj ac db . −1 . Cv. 20.3 Vyjádˇrete ac db

Cv. 20.4 Spoˇc´ıtejte adj(In ).

Cv. 20.5 Spoˇc´ıtejte adj(diag (d1 , . . . , dn )). Cv. 20.6 Urˇcete det(adj(A)).


87

Cv. 20.7 Bud’te A, B ∈ Rn×n regul´ arn´ı. Doplˇ nte rovnost: adj(AB) = . . . . Jak to bude pro A singulárn´ı? adj(A) 0 . Cv. 20.8 Bud’te A, B ∈ Rn×n . Rozhodnˇete zda plat´ı adj A0 B0 = 0 adj(B) Cv. 20.9 Jak vypadá adjungovan´ a matice k horn´ı troj´ uheln´ıkové?

Cv. 20.10 Bud’ A ∈ Rn×n antisymetrická, tj. A = −AT . Jaká je adj(A)? Cv. 20.11 Rozhodnˇete zda plat´ı adj(A−1 ) = adj(A)−1 . Cv. 20.12 Bud’ A regul´ arn´ı a AB = BA. Ukaˇzte, ˇze adj(A)B = B adj(A). Cv. 20.13 Pro libovolné n najdˇete matici A ∈ Rn×n takovou, aby adj(A) mˇela jedin´ y nenulov´ y prvek na pozici i, j. Cv. 20.14 Najdˇete co nejv´ıce matic A ∈ Rn×n splˇ nuj´ıc´ıch A = adj(A). Cv. 20.15 Necht’ matice

m´ a determinant 1. Urˇcete A−1 .

  a b 0 A = c 0 d . 0 e f

Cv. 20.16 Bude inverzn´ı matice k polynomiáln´ı matici   1 x x2 A = 0 2 0  . 0 2x 3 zase polynomi´ aln´ı matice? A jak bude vypadat?

Cv. 20.17 Bud’ A ∈ Zn×n . Ukaˇzte, ˇze A m´ a celoˇc´ıselnou inverzi pr´ avˇe tehdy, kdyˇz jde upravit na jednotkovou matici pouze s vyuˇzit´ım elementárn´ı u ´pravy vyn´ asoben´ı ˇra´dku −1 a pˇriˇcten´ı ˇra´dku k jinému. Cv. 20.18 Bud’ a, b ∈ Zn . Dokaˇzte, ˇze (In − 2abT )−1 je celoˇc´ıseln´ a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz aT b je nula nebo jedna. Cv. 20.19 Bud’ a, b ∈ Rn . Zjednoduˇste adj(In + abT ). (Hint: Cv. 19.51(a).) Cv. 20.20 Bud’ x, y ∈ Rn a A ∈ Rn×n regul´ arn´ı. Dokaˇzte A x det T = −y T adj(A)x. y 0 Cv. 20.21 Pomoc´ı Cramerova pravidla odvod’te vzorec pro inverzn´ı matici a porovnejte jej s adjungovanou matic´ı. Cv. 20.22 Pomoc´ı vˇety o adjungované matici odvod’te Cramerovo pravidlo. Cv. 20.23 Uvaˇzujme determinant jako funkci Rn×n → R. Urˇcete parci´ aln´ı derivaci det(A) podle aij a sestavte matici parci´ aln´ıch derivac´ı.

88

Vlastn´ı ˇc´ısla

21

Vlastn´ı ˇ c´ısla

Uk´ azka 21.1 (Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory). Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice 0 −1 A= . 1 0 ˇ sen´ı: Urˇc´ıme charakteristick´ Reˇ y polynom

−λ −1 pA (λ) = det(A − λIn ) = det 1 −λ

= λ2 + 1.

Koˇreny polynomu, a tedy vlastn´ımi ˇc´ısly matice A, jsou hodnoty λ1 = i, λ2 = −i. Vlastn´ı vektory, pˇr´ısluˇsej´ıc´ı vlastn´ımu vektoru λ1 , najdeme jako b´ azi jádra matice −i −1 A − λ1 I = . 1 −i Bázi Ker(A − λ1 I) tvoˇr´ı napˇr. vektor x1 = (1, −i)T . Podobnˇe vlastn´ı vektory k λ2 jsou b´ azické vektory jádra matice i −1 A − λ2 I = , 1 i

coˇz je napˇr´ıklad vektor x2 = (1, i)T .

Uk´ azka 21.2 (Souˇcet a souˇcin vlastn´ıch ˇc´ısel). Bez poˇc´ıtán´ı vlastn´ıch ˇc´ısel, urˇcete, ˇcemu se rovná jejich souˇcet a jejich souˇcin, pro matici 0 −1 A= . 1 0

ˇ sen´ı: Souˇcet vlastn´ıch ˇc´ısel je roven souˇctu diagon´ Reˇ aln´ıch prvk˚ u matice A, tedy 0, Souˇcin vlastn´ıch ˇc´ısel je roven determinantu A, coˇz je 1. M˚ uˇzeme pak ovˇeˇrit v´ ypoˇctem vlastn´ıch ˇc´ısel λ1 = i, λ2 = −i (ukázka 21.1). Uk´ azka 21.3 (Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory pˇri inverzi). Jak se zmˇen´ı vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory regul´ arn´ı matice A ∈ Cn×n pokud ji invertujeme? ˇ sen´ı: Bud’ λ ∈ C libovolné vlastn´ı ˇc´ıslo a x ∈ Cn odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektor matice A. Pak plat´ı Reˇ Ax = λx. Pˇren´ asoben´ım A−1 dostaneme x = λA−1 x, a vydˇelen´ım λ 6= 0 pak m´ ame A−1 x = λ−1 x. Tud´ıˇz vlastn´ı ˇc´ısla budou pˇrevr´ acené hodnoty tˇech p˚ uvodn´ıch a vlastn´ı vektory z˚ ustanou stejné.

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Vlastn´ı ˇ c´ısla, vlastn´ı vektory

Vlastn´ı ˇc´ıslo a vektor: Ax = λx, x 6= o.

Cv. 21.1 Spoˇc´ıtejte vlastn´ı ˇc´ısla a odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory n´ asleduj´ıc´ıch matic: −8 −6 0 1 0 0 1 2 . E= , C = In , D = , B= A= 12 10 −2 2 0 0 0 1


Cv. 21.2 Spoˇc´ıtejte vlastn´ı ˇc´ısla  5 A = 6 4

89

a odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory n´ asleduj´ıc´ıch matic:      −3 2 −3 5 −2 0 1 1 −4 4 , B =  5 −3 2  , C = 1 0 1 . −4 5 −2 2 −1 1 1 0

Cv. 21.3 Bud’ λ vlastn´ı ˇc´ıslo a x odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektor matice   0 1 0 ... 0   1 . . . . . . . . . ...      . . . . . . A = 0 . . . . 0    .. . . . .  .. . . . . 1 0 ... 0 1 0

Ukaˇzte, ˇze pokud vektoru v zmˇen´ıme na sud´ ych pozic´ıch znaménka, poˇra´d z˚ ustane vlastn´ım vektorem. Jakému vlastn´ımu ˇc´ıslu bude pˇr´ısluˇset?

Cv. 21.4 Spoˇc´ıtejte spektráln´ı polomˇer matic A, B, A + B, je-li 1−a 1 1+a 1 A= , B= . a(1 − a) − 1 a −a(1 + a) − 1 −a Co tento pˇr´ıklad ilustruje? Cv. 21.5 A m´ a vlastn´ı ˇc´ıslo λ a vlastn´ı vektor x. Jaká vlastn´ı ˇc´ısla a vektory maj´ı matice: (a) αA, (b) A2 , (c) AT , (d) A + αIn . Cv. 21.6 Najdˇete nejmenˇs´ı ˇc´ıslo α ∈ R tak, ˇze A + βIn je regul´ arn´ı pro vˇsechna β > α. Cv. 21.7 Bud’ A ∈ Rn×n singulárn´ı. Dokaˇzte, ˇze existuje posloupnost regul´ arn´ıch matic Ai , i = 1, . . . , konverguj´ıc´ı po sloˇzkách k A. Cv. 21.8 Ukaˇzte, ˇze jeden vlastn´ı vektor matice A ∈ Rm×n nem˚ uˇze pˇr´ısluˇset r˚ uzn´ ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um. Cv. 21.9 Zn´ ame-li vlastn´ı ˇc´ısla a vektory matic A ∈ Rn×n , B ∈ Rm×m , jak je spoˇc´ıtat pro M = A0 B0 ?

Cv. 21.10 Jaká vlastn´ı ˇc´ısla m´ a ortogon´ aln´ı matice Q ∈ Rn×n ?

Cv. 21.11 Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory permutaˇcn´ı matice   0 1 0 ... 0  .. . . .. 0 . .. . ..      A =  ... . . . . . . . . . 0 .     .. . .. 0 . .. . 1 1 0 ... 0 0 Cv. 21.12 Pro jak´ a n ∈ N m´ a rotace n-dimenzionáln´ı sféry kolem poˇcátku pevn´ y bod (bod, kter´ y se zobraz´ı na sebe)? Cv. 21.13 Bud’ P ∈ Rn×n projekˇcn´ı matice. Jaká m´ a vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory?

90


Cv. 21.14 (a) Bud’ c, d ∈ Rn . Jak´ a vlastn´ı ˇc´ısla a vektory m´ a matice cdT ?

(b) Bud’te h1 , . . . , hn ∈ R\{0}. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla a vektory matice A ∈ Rn×n s prvky aij = hi /hj . Cv. 21.15 Bud’te a, b ∈ Z. Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice ab ab . Kdy budou vlastn´ı ˇc´ısla celoˇc´ıseln´ a? Cv. 21.16 Bud’te a, b, c, d ∈ R tak, ˇze a + b = c + d. Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla matice ac db . Cv. 21.17 Kdy jsou vlastn´ı ˇc´ısla matice 0b a0 re´ aln´ a? Cv. 21.18 Najdˇete nenulovou (vˇsude nenulovou) matici jeˇz m´ a vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla nulová. Cv. 21.19 Najdˇete matici ˇra´du 3 s jedin´ ym vlastn´ım vektorem. Cv. 21.20 Bud’ b vlastn´ı vektor regul´ arn´ı matice A ∈ Rn×n . Vyˇreˇste soustavu Ax = b. Cv. 21.21 Necht’ Ak = 0. Co lze ˇr´ıci o vlastn´ıch ˇc´ıslech matice A? Cv. 21.22 Bud’te A, B ∈ Rn×n . Dokaˇzte, ˇze AB a BA maj´ı stejná vlastn´ı ˇc´ısla. Cv. 21.23 Dokaˇzte: Je-li λ ∈ C vlastn´ı ˇc´ıslo re´ alné matice A, pak i λ je jej´ım vlastn´ım ˇc´ıslem. Jak to bude s vlastn´ımi vektory? Cv. 21.24 Bud’te λ, µ r˚ uzn´ a vlastn´ı ˇc´ısla matice A ∈ Rn×n . Necht’ x je vlastn´ı vektor A pˇr´ısluˇsn´ y λ, a necht’ T y je vlastn´ı vektor A pˇr´ısluˇsn´ y µ. Ukaˇzte, ˇze x ⊥ y. Cv. 21.25 Bud’ A ∈ Rn×n taková, ˇze aii = 1 pro vˇsechna i. Dokaˇzte ρ(A) ≥ 1.

Charakteristick´ y polynom

Charakteristick´ y polynom: pA (λ) = det(A − λIn ).

Cv. 21.26 Rozhodnˇete o platnosti: A, B ∈ Rn×n maj´ı stejné charakteristické polynomy ⇒ A, B maj´ı stejn´ a vlastn´ı ˇc´ısla. Co naopak: A, B ∈ Rn×n maj´ı stejné charakteristické polynomy ⇐ A, B maj´ı stejná vlastn´ı ˇc´ısla. Cv. 21.27 Bud’ pA (λ) = (−1)n λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 . Vyjádˇrete hodnotu an−1 , a0 . Cv. 21.28 Matice

 10 4 A= 16 30

Má vlastn´ı ˇc´ısla 3, −4, 5. Dopoˇc´ıtejte zbylé.

 0 7 −7 5 2 −2   4 15 −8  4 26 −19

Cv. 21.29 Najdˇete a, b ∈ R tak, aby 1, 2, 3 byla vlastn´ı ˇc´ısla matice 

 2 −1 1 A = −1 2 a . 1 −1 b


91

Cv. 21.30 Najdˇete a ∈ R tak, aby 2 bylo jedno z vlastn´ıch ˇc´ısel matice   −1 4 −2 A = −4 8 −3 . −4 a −1 Cv. 21.31 Bud’ A ∈ Rn×n . Dokaˇzte, ˇze pA−1 (λ) = pA (0)−1 (−λ)n pA (λ−1 ). Cv. 21.32 Bud’ A ∈ Rn×n ortogon´ aln´ı. Dokaˇzte, ˇze pA (λ) = ±λn pA (λ−1 ). (Hint: Pro z ∈ C s vlastnost´ı |z| = 1 je z = 1/z.) ∗ Cv.

21.33 Dokaˇzte, ˇze vlastn´ı ˇc´ısla jsou spojité funkce vzhledem k prvk˚ um matice. Pˇresnˇe ˇreˇceno, bud’ d´ ana matice A ∈ Rn×n a λ jej´ı vlastn´ı ˇc´ıslo. Pak pro kaˇzdé ε > 0 existuje δ > 0 tak, ˇze kaˇzd´ a matice n×n B∈R splˇ nuj´ıc´ı |aij − bij | < δ m´ a nˇejaké vlastn´ı ˇc´ıslo µ splˇ nuj´ıc´ı |µ − λ| < ε.

Cv. 21.34 Bud’ A ∈ Rn×n a x ∈ Rn . Necht’ matice S := (x | Ax | A2 x | . . . | An−1 x) je regul´ arn´ı. Ukaˇzte, ˇze −1 −1 X AX je matice spoleˇcnice charakteristického polynomu matice A, tj. X AX = C(pA ).

Cayleyho–Hamiltonova vˇ eta Cv. 21.35 Bud’ A = ( 13 24 ). (a) Ovˇeˇrte Cayleyho–Hamiltonovu vˇetu, (b) Vyjádˇrete A−1 jako line´ arn´ı kombinaci I2 a A. (c) Vyjádˇrete A4 jako line´ arn´ı kombinaci I2 a A.

Invariantn´ı podprostory Cv. 21.36 Najdˇete nˇekteré obecné invariantn´ı podprostory matice A ∈ Rm×n . Cv. 21.37 Bud’



 4 4 4 A = −2 −2 −5 , 1 2 5

x = (2, −1, 0)T ,

y = (−1, 2, −1)T .

Ukaˇzte, ˇze V = span{x, y} je invariantn´ı podprostor, tj. Ax ∈ V pro vˇsechna x ∈ V . 0 1 . Cv. 21.38 Najdˇete vˇsechny invariantn´ı podprostory pro A = −2 3

Cv. 21.39 Bud’ B = {u1 , . . . , ur , v1 , . . . , vs } b´ aze re´ alného prostoru V , bud’ f : V → V line´ arn´ı zobrazen´ı r×r s×s A 0 s matic´ı B [f ]B = 0 B , kde A ∈ R , B ∈ R . Ukaˇzte, ˇze span{u1 , . . . , ur } a span{v1 , . . . , vs } jsou invariantn´ı podprostory V . Cv. 21.40 Bud’ U ⊆ Rn invariantn´ı podprostor ortogon´ aln´ı matice Q ∈ Rn×n . Ukaˇzte, ˇze U ⊥ je také invariantn´ı podprostor. Cv. 21.41 Dokaˇzte, ˇze kaˇzd´ a matice A ∈ Rn×n m´ a invariantn´ı podprostor dimenze 1 nebo 2. (Hint: Cv. 21.23)

Vlastn´ı ˇ c´ısla line´ arn´ıch zobrazen´ı Cv. 21.42 Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vektory line´ arn´ıho zobrazen´ı: (a) f : P 2 → R definovaného f (a + bx + cx2 ) = (7a + 2b + 3c) + (7b)x + (2b + c)x2 . 2a+5b . (b) f : R2×2 → R definovaného f ac db = a+2c c+2d 3d

Cv. 21.43 Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory zobrazen´ı A 7→ 12 (A + AT ) na prostoru matic Rn×n .

92


Cv. 21.44 Na prostoru re´ aln´ ych posloupnost´ı R∞ uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı x1 , x2 , x3 , x4 , . . . 7→ 0, x1 , x2 , x3 , . . . Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory. Co jiného n´ am ˇreˇsen´ı ukazuje? Cv. 21.45 Na prostoru re´ aln´ ych posloupnost´ı R∞ uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı x1 , x2 , x3 , x4 , . . . 7→ x2 , x1 , x4 , x3 , . . . Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory. Cv. 21.46 Na prostoru konvergentn´ıch re´ aln´ ych posloupnost´ı uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı {xi }∞ i=1 7→ {xi − ∞ limn→∞ xn }i=1 . Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory. Cv. 21.47 Bud’ f : V → V line´ arn´ı zobrazen´ı a bud’ A = Ukaˇzte, ˇze

B [f ]B

matice f vzhledem k b´ azi B = {w1 , . . . , wn }.

(a) vlastn´ı ˇc´ısla zobrazen´ı f a matice A jsou stejná, (b) vektor v ∈ V je vlastn´ım vektorem f pr´ avˇe tehdy, kdyˇz [v]B je vlastn´ım vektorem A.


22

93

Podobnost, diagonalizovatelnost, Jordanova norm´ aln´ı forma

Uk´ azka 22.1 (Diagonalizace). Diagonalizujte matici 3 1 A= . 1 3 ˇ sen´ı: Nejprve spoˇc´ıt´ Reˇ ame vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory A. Vlastn´ı ˇc´ısla jsou 4 a 2 a pˇr´ısluˇsné vlastn´ı vektory (1, 1)T a (−1, 1)T . Necht’ matice S m´ a ve sloupc´ıch tyto vlastn´ı vektory (v uvedeném poˇrad´ı!). Pak A = S ( 40 02 ) S −1 . Uk´ azka 22.2 (Nediagonalizace). Dokaˇzte, ˇze matice 0 1 A= . 0 0 nen´ı diagonalizovateln´ a. ˇ Reˇsen´ı: Matice A m´ a obˇe vlastn´ı ˇc´ısla nulová. Pokud by byla diagonalizovateln´ a, tak by byla podobná nulové matici: A = S0S −1 = 0, coˇz je spor. Uk´ azka 22.3 (Jordanova normáln´ı forma). Urˇcete Jordanovu normáln´ı formu matice   5 −2 2 −2 0 0 6 −1 3 2    A= 2 2 7 −2 −2  2 3 1 2 −4 −2 −2 −2 6 11

ˇ sen´ı: Matice m´ Reˇ a vlastn´ı ˇc´ıslo 5 n´ asobnosti 2, a 7 n´ asobnosti 3. Dále rank(A − 5I5 ) = 3, tedy k vlastn´ımu ˇc´ıslu 5 existuj´ı dva vlastn´ı vektory. Proto 5 bude ve dvou Jordanov´ ych buˇ nkách, které nutnˇe mus´ı m´ıt velikost 1 (souˇcet velikost´ı d´ a n´ asobnost ˇc´ısla 5). Analogicky, rank(A − 7I5 ) = 3, tedy i k ˇc´ıslu 7 existuj´ı dva vlastn´ı vektory a tak 7 bude téˇz ve dvou Jordanov´ ych buˇ nkách. Jediná moˇznost je, ˇze jedna buˇ nka bude m´ıt velikost 1 a druhá velikost 2. V´ ysledn´ y Jordan˚ uv normáln´ı tvar je:   5 0 0 0 0 0 5 0 0 0   0 0 7 0 0.   0 0 0 7 1 0 0 0 0 7 ............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Podobnost A ∼ B pokud ∃S : A = SBS −1 . Cv. 22.1 Vyˇsetˇrete vlastnosti podobnosti jakoˇzto relace. Cv. 22.2 Najdˇete vˇsechny matice podobné matici In .

94


Cv. 22.3 Rozhodnˇete zda matice jsou si podobné   1 0 0 A = 0 1 0 , 1 1 1



 −1 0 1 B =  1 0 0 . −1 0 2

Cv. 22.4 V´ıme, ˇze podobné matice maj´ı stejná vlastn´ı ˇc´ısla. Plat´ı to i naopak? Pˇr´ıpadnˇe, za jak´ ych pˇredpoklad˚ u? Cv. 22.5 Jak se mˇen´ı vlastn´ı vektory podobn´ ych matic? Cv. 22.6 Rozhodnˇete o platnosti: A ∼ B ⇒ A2 ∼ B 2 . Co naopak: A ∼ B ⇐ A2 ∼ B 2 ?

Cv. 22.7 Bud’ p(x) polynom a A ∼ B. Rozhodnˇete, zda p(A) ∼ p(B). Cv. 22.8 Bud’ A ∈ Rn×n , B ∈ Rm×m . Dokaˇzte, ˇze A0 B0 je podobná Cv. 22.9 Najdˇete vˇsechny matice podobné jen sam´ ym sobˇe.

B 0 0 A

.

Cv. 22.10 Dokaˇzte, ˇze idempotentn´ı matice stejného rozmˇeru a hodnosti jsou si podobné. (Hint: Cv. 14.27.) Cv. 22.11 Jak se na matici A ∈ Rn×n projev´ı podobnostn´ı transformace SAS −1 , kde S je matice elementárn´ı ˇra´dkové u ´pravy? Cv. 22.12 Ukaˇzte, ˇze neexistuj´ı line´ arn´ı zobrazen´ı f, g : V → V takové, aby g ◦ f − f ◦ g = id. Cv. 22.13 Ukaˇzte, ˇze jsou-li A, B ∈ Rn×n podobné skrze komplexn´ı matici P + iQ, P, Q ∈ Rn×n , pak jsou podobné skrze re´ alnou matici (Hint: Nahlédnˇete, ˇze je-li P + iQ regul´ arn´ı, pak P + λQ je regul´ arn´ı pro nˇejaké λ ∈ R). Cv. 22.14 Ukaˇzte, ˇze algebraická n´ asobnost vlastn´ıho ˇc´ısla je vˇzdy vˇetˇs´ı nebo rovna geometrické n´ asobnosti. (Hint: Doplˇ nte vlastn´ı vektory do matice a uvˇedomte si, proˇc je u ´loha v této sekci.) Cv. 22.15 Bud’te A, B ∈ Rn×n podobné. Ukaˇzte, ˇze maticová soustava AX −XB = 0 m´ a ˇreˇsen´ı X ∈ Rn×n . Cv. 22.16 Matice C ∈ Rn×n se naz´ yv´ a komut´ ator pokud se d´ a vyjádˇrit ve tvaru C = AB − BA pro vhodné matice A, B ∈ Rn×n . (a) Ukaˇzte, ˇze stopa komut´ atoru je 0. (Hint: Cv. 3.27.) (b) Ukaˇzte, ˇze komut´ atory jsou uzavˇrené na podobnost.

Diagonalizovatelnost Cv. 22.17 Najdˇete pˇr´ıklad nediagonalizovatelné matice ˇra´du 2, a to jednak a by byla singulárn´ı a jednak aby byla regul´ arn´ı. Cv. 22.18 Diagonalizujete (nebo ukaˇzte, ˇze to nen´ı moˇzné) matice z Cv. 21.1 a Cv. 21.2. 2 2 Cv. 22.19 Rozhodnˇete, zda je matice A = −2 a. −2 diagonalizovateln´ Cv. 22.20 Diskutujte jednoznaˇcnost diagonalizace.

Cv. 22.21 Necht’ A = SΛS −1 je diagonalizaˇcn´ı rozklad matice A. Urˇcete vlastn´ı vektory AT . Cv. 22.22 Bud’ A ∈ Rn×n diagonalizovateln´ a a λ jej´ı libovolné vlastn´ı ˇc´ıslo. Ukaˇzte, ˇze existuj´ı x, y ∈ Rn tak, ˇze Ax = λx, AT y = λy, xT y = 1. Jak je to pro nediagonalizovatelné matice?


95

Cv. 22.23 Jsou diagonalizovatelné matice uzavˇrené na: (a) n´ asobky? (b) souˇcty? (c) souˇciny? Cv. 22.24 Bud’ A ∈ Rn×n diagonalizovateln´ a. Ukaˇzte, ˇze A ∼ AT . m×m , B ∈ Rn×n . Plat´ ’ Cv. 22.25 Bud ı, ˇze A, B jsou obˇe diagonalizovatelné pr´ avˇe tehdy, kdyˇz te A ∈ R A 0 je diagonalizovateln´ a ? 0 B

Cv. 22.26 Bud’ c, d ∈ Rn . Kdy je matice cdT diagonalizovateln´ a?

Cv. 22.27 Dokaˇzte pˇr´ımo Cayleyho–Hamiltonovu vˇetu pro diagonalizovatelné matice. Cv. 22.28 Najdˇete vˇsechny diagonalizovatelné matice A ∈ R2×2 splˇ nuj´ıc´ı A2 + 4A + 4I2 = 0. nˇejaké nediagonalizovatelné? Cv. 22.29 Odvod’te pˇredpis pro Cv. 22.30 Urˇcete limn→∞

−3 1 k . −4 2

7/5 1/5 −1 1/2

n

, limn→∞

1/2 1/2 1/4 3/4

n

Najdete i

.

Cv. 22.31 Spoˇc´ıtejte vlastn´ı ˇc´ısla matice (Hint: Cv. 21.9) 

 2 3 0 2 0 0 0 0 0 0    3 −2 1 4 0  .    0 −1 0 1 0  −3 2 1 2 −3 Cv. 22.32 Diagonalizovatelnost koso-diagonáln´ı matice. (a) Zjistˇete, kdy je diagonalizovateln´ a matice

0 c2 c1 0

(b) Zjistˇete, kdy je diagonalizovateln´ a matice 

0 ...  ..  . ...    0 c2 c1 0

.

0 . .. . .. ...

cn



 0  ..  . .

0

Cv. 22.33 (a) Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice otoˇcen´ı G(ϕ) =

cos ϕ − sin ϕ . sin ϕ cos ϕ

(b) Bud’ A ∈ R2×2 matice s komplexn´ımi vlastn´ımi ˇc´ısly λ ± µi. Ukaˇzte, ˇze je podobná kladnému n´ asobku matice G(ϕ). (c) Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a diagonalizovateln´ a matice A ∈ Rn×n je podobná blokovˇe diagon´ aln´ı matici, jej´ıˇz bloky jsou velikosti 1 nebo 2, a kaˇzd´ y blok velikosti 2 je tvaru kladného n´ asobku G(ϕ) pro nˇejaké ϕ.

96


Jordanova norm´ aln´ı forma Cv. 22.34 Najdˇete matici ˇra´du 3 s jedin´ ym vlastn´ım vektorem. Najdˇete takovou matici, aby t´ım jedin´ ym vlastn´ım vektorem byl v = (1, 1, 1)T . Cv. 22.35 V kolika Jordanov´ ych buˇ nkách matice A ∈ R16×16 je vlastn´ı ˇc´ıslo 8 pokud v´ıme rank(A−8I16 ) = 9? Cv. 22.36 Najdˇete Jordanovu normáln´ı formu matic     1 1 1 1 0 1 A = 0 1 1 , B = 0 1 1 , 0 0 2 0 0 2    1 −1 3 0 0  −3 5 0 0    , E = 0 D=  ..  2 −2 3 −1 . 3 4 1 1 0 Cv. 22.37 Najdˇete Jordanovu normáln´ı formu matice  6 −3 A= 2 −3 M˚ uˇzete vyuˇz´ıt toho, ˇze pA (λ) = (λ2 − 1)2 .



 2 2 −1 C = −1 −1 1  , −1 −2 2  ... ... 1 ..  .. . .  . . .. .. . . ..  ... 0 1

 4 4 7 3 4 −3 . −4 −5 2  0 0 −4

Cv. 22.38 Kolik je tˇr´ıd ekvivalence podobnosti pro: (a) matice ˇra´du 4 s vlastn´ımi ˇc´ısly 7, (b) matice ˇra´du 3 s vlastn´ımi ˇc´ısly 5 a 7. (c) matice ˇra´du 4 s vlastn´ımi ˇc´ısly 5 a 7. Cv. 22.39 Bud’ A ∈ R3×3 matice s jedin´ ym vlastn´ım vektorem. Existuje A−1 ? Cv. 22.40 Bud’ A ∈ Rn×n hodnosti k. Jak´ a je n´ asobnost vlastn´ıho ˇc´ısla 0? Cv. 22.41 O kolik ˇci kolikrát se maxim´ alnˇe zmenˇs´ı hodnost matice A ∈ Rn×n kdyˇz ji umocn´ıme A2 ? Jinak: v´ıme rank(A2 ) ≤ rank(A). Dokaˇzte rank(A2 ) ≥ rank(A) − n2 .

Cv. 22.42 Rozhodnˇete, zda plat´ı pro A, B ∈ Rn×n : (a) rank(Ak ) = rank(Ak+1 ) implikuje rank(Ak ) = rank(Ak+2 ), (b) rank(B) = rank(BA) implikuje rank(B) = rank(BA2 ). Cv. 22.43 Ukaˇzte, ˇze n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı pro A ∈ Rn×n : (a) A je nilpotentn´ı, tj. Ak = 0 pro nˇejaké k, (b) An = 0, (c) ρ(A) = 0, tj. vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla jsou nulová, (d) pA (λ) = (−1)n λn . (e) trace(Ak ) = 0 pro vˇsechna k = 1, . . . , n. Cv. 22.44 Bud’ A, B ∈ Rn×n a necht’ A + λB je nilpotentn´ı pro n + 1 r˚ uzn´ ych hodnot λ ∈ R. Ukaˇzte, ˇze A, B jsou nilpotentn´ı.


97

Cv. 22.45 Pro λ 6= 0 odvod’te Jn (λ)−1 . Zkuste vyuˇz´ıt Cv. 3.28(e), a toho, ˇze Jn (0) je nilpotentn´ı. Cv. 22.46 Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a matice A ∈ Rn×n se d´ a vyjádˇrit jako souˇcet diagonalizovatelné a nilpotentn´ı matice. Cv. 22.47 Dokaˇzte Cayleyho–Hamiltonovu vˇetu za pouˇzit´ı Jordanovy normáln´ı formy. Cv. 22.48 Ukaˇzte vztah vlastn´ıch ˇc´ısel a stopy matice za pouˇzit´ı Jordanovy normáln´ı formy. Cv. 22.49 Najdˇete vˇsechny matice X ∈ Rn×n splˇ nuj´ıc´ı danou rovnost. (a) X 2 = In , (b) X 2 − 4X + 4In = 0, Cv. 22.50 Umocˇ nován´ı Jordanovy buˇ nky. (a) Spoˇc´ıtejte Jn (0)k pro k = 0, 1, . . . P (b) Ukaˇzte, ˇze Jn (λ)k = ki=0 ki λi B k−i , kde B := λIn − Jn (λ).

∗ (c)

Ukaˇzte, ˇze Jn (λ)k → 0 pro k → ∞ pr´ avˇe tehdy, kdyˇz |λ| < 1. (Hint: B je nilpotentn´ı.)

Cv. 22.51 Dokaˇzte, ˇze (a) kaˇzd´ a matice A ∈ Rn×n se d´ a vyjádˇrit jako souˇcin dvou symetrick´ ych matic.

(b) kaˇzd´ a antisymetrická matice A ∈ Rn×n (tj., AT = −A) se d´ a vyjádˇrit jako A = ST − T S, kde S, T jsou symetrické matice. Cv. 22.52 Najdˇete Jordanovu normáln´ı formu matice Jn (λ)T . Plat´ı, ˇze kaˇzd´ a matice je podobná svoj´ı transpozici? Cv. 22.53 Ukaˇzte, ˇze hodnost matice A ∈ Rn×n je vˇetˇs´ı nebo rovna poˇctu nenulov´ ych vlastn´ıch ˇc´ısel. Najdˇete pˇr´ıklad, kdy je vˇetˇs´ı. Cv. 22.54 Bud’ A ∈ Rn×n . Ukaˇzte, ˇze rank(A) = rank(A2 ) pr´ avˇe tehdy, kdyˇz geometrická a algebraická n´ asobnost 0 jako vlastn´ıho ˇc´ısla je stejná. Cv. 22.55 Bud’ A = Jn (λ). Ukaˇzte, ˇze existuje vektor z ∈ Rn takov´ y, ˇze z, Az, A2 z, . . . , An−1 z tvoˇr´ı n b´ azi R . Cv. 22.56 Ukaˇzte, ˇze idempotentn´ı matice (tj. A2 = A) jsou diagonalizovatelné. Jak je to s maticemi splˇ nuj´ıc´ımi Ak = A pro k > 2? Cv. 22.57 Bud’te λ1 , . . . , λn vlastn´ı ˇc´ısla A ∈ Rn×n . Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla adj(A).

98

Vlastn´ı ˇc´ısla symetrick´ ych a nez´ aporn´ ych matic

23

Vlastn´ı ˇ c´ısla symetrick´ ych a nez´ aporn´ ych matic

Uk´ azka 23.1 (Spektráln´ı rozklad). Najdˇete spektráln´ı rozklad matice 3 1 A= . 1 3 ˇ sen´ı: Nejprve spoˇc´ıt´ Reˇ ame vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory A. Vlastn´ı ˇc´ısla jsou 4 a 2 a pˇr´ısluˇsné vlastn´ı T T vektory (1, 1) a (−1, 1) . Nyn´ı mus´ıme vlastn´ı vektory zortonormalizovat. Protoˇze odpov´ıdaj´ ı r˚ uzn´ ym √ √ 2 2 T vlastn´ ım ˇc´ısl˚ um, jsou na sebe kolmé, proto je staˇc´ı jen znormovat na jednotkovou velikost ( 2 , 2 ) a √ √

(−

2 2 T 2 , 2 )

a d´ at je do sloupc˚ u matice Q v tomto poˇrad´ı. Spektráln´ı rozklad pak je √ √ ! √ ! √2 2 2 2 − 4 0 2√ √2 √2 A = QΛQT = √2 . 2 2 2 2 0 2 − 2 2 2 2

Uk´ azka 23.2 (Markovovy ˇretˇezce). Migrace obyvatel USA mˇesto–pˇredmˇest´ı–venkov prob´ıh´ a podle empiricky zjiˇstˇeného pravidla: z mˇesta: z pˇredmˇest´ı: z venkova:

96% z˚ ustane, 3% do pˇredmˇest´ı, 1% na venkov 1% do mˇesta, 98% z˚ ustane, 1% na venkov 1.5% do mˇesta, 0.5% do pˇredmˇest´ı, 98% z˚ ustane

Poˇcáteˇcn´ı stav je: 58 mil. obyvatel ve mˇestˇe, 142 mil. na bude situace vyv´ıjet v ˇcase a zda se ˇcasem ust´ al´ı. ˇ Reˇsen´ı: Sestavme matici  0.96 0.01  := A 0.03 0.98 0.01 0.01

pˇredmˇest´ı, a 60 mil. na venkovˇe. Urˇcete jak se  0.015 0.005. 0.98

Je-li x0 = (58, 142, 60)T poˇc´ ateˇcn´ı rozloˇzen´ı obyvatelstva, pak v´ yvoj v ˇcase prob´ıh´ a takto: Ax0 , A2 x0 , 3 ∞ A x0 , . . . ,A x0 . Abychom rozhodli o pˇr´ıpadném ust´ alen´ı, spoˇc´ıtejme diagonalizaˇcn´ı rozklad   1 0 0 0  Q−1 . A = Q 0 0.95 0 0 0.97 Nyn´ı spoˇc´ıtáme

A∞



   1 0 0 0.23 0.23 0.23 0.43 0.43 0.43 . = Q 0 0 0 Q−1 = Q∗1 Q−1 1∗ = 0 0 0 0.33 0.33 0.33

Protoˇze vˇsechny sloupce A∞ jsou stejné, v´ ysledné rozloˇzen´ı nez´ avis´ı v˚ ubec na poˇcáteˇcn´ım rozloˇzen´ı obyvatelstva (jen na jejich poˇctu) a bude: 23% ve mˇestˇe, 43% na pˇredmˇest´ı, a 33% na venkovˇe. V ˇradˇe pˇr´ıpad˚ u jde v´ ypoˇcet zjednoduˇsit. Zab´ yvejme se ted’ situac´ı, kdy 1 je jednoznaˇcné dominantn´ı vlastn´ı ˇc´ıslo A. Vlastn´ım ˇc´ıslem je urˇcitˇe, nebot’ AT e = e, kde e = (1, . . . , 1)T . Dominantn´ı je také, to vyplyne pozdˇeji z Gerschgorinov´ ych disk˚ u. Jednoznaˇcnost nastane d´ıky Perronovˇe vˇetˇe kdyˇz A > 0. V tomto pˇr´ıpadˇe podle odvozen´ı nahoˇre m´ ame A∞ = Q∗1 Q−1 ı vektor A k ˇc´ıslu 1, a 1∗ , kde Q∗1 je vlastn´ −1 T k ˇ ∞ budou stejn´ Q−1 je vlastn´ ı vektor A c ´ ıslu 1. V´ ıme jiˇ z , ˇ z e Q = e, tedy opˇ e t sloupce A e a v´ ysledné 1∗ 1∗ rozloˇzen´ı odpov´ıd´ a sloˇzkám vlastn´ıho vektoru Q∗1 (ty jsou kladné, opˇet podle Perronovy vˇety). Takˇze v pˇr´ıpadˇe A > 0 staˇc´ı jen spoˇc´ıtat kladn´ y vektor z Ker(A − In ), coˇz odpov´ıd´ a intuici, ˇze ust´ alené rozloˇzen´ı representované vektorem v m´ a splˇ novat Av = v. Nicménˇe, uveden´ y rozbor analyzuje kdy a za jak´ ych podm´ınek rovnováˇzn´ a situace nast´ avá.

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................


99

Symetrick´ e matice Cv. 23.1 Ukaˇzte, ˇze rozklad A = QΛQT , kde Λ je diagon´ aln´ı a Q ortogon´ aln´ı, existuje pouze pro symetrické matice. Cv. 23.2 Najdˇete symetrickou komplexn´ı matici s ryze komplexn´ımi vlastn´ımi ˇc´ısly. Cv. 23.3 Dokaˇzte, ˇze pro libovolnou matici A ∈ Rm×n m´ a matice AT A vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla nez´ aporn´ a. Kdy budou kladn´ a? A plat´ı vˇeta i naopak? Cv. 23.4 (a) Dokaˇzte z definice, ˇze vlastn´ı vektory pro r˚ uzn´ a vlastn´ı ˇc´ısla symetrické matice jsou na sebe kolmé. (b) S pomoc´ı pˇredchoz´ıho bodu dokaˇzte vˇetu o spektráln´ım rozkladu pˇr´ımo pro symetrické matice s r˚ uzn´ ymi vlastn´ımi ˇc´ısly. Cv. 23.5 Bud’ v vlastn´ı vektor symetrické matice A ∈ Rn×n . Dokaˇzte: w ∈ {v}⊥ ⇒ Aw ∈ {v}⊥ . Pozn´ amka: Pomoc´ı této vlastnosti se d´ a také dokázat vˇeta o spektráln´ım rozkladu. Zaˇcne se s jedn´ım vlastn´ım vektorem v a pak se pouˇzije indukce na podprostor {v}⊥ . Cv. 23.6 Dokaˇzte z definice, ˇze vlastn´ı ˇc´ısla re´ alné symetrické matice ˇra´du 2 jsou re´ aln´ a.   1 1 1 Cv. 23.7 Najdˇete tˇri ortonormáln´ı vektory matice 1 1 1. 1 1 1 √ 6 2 Cv. 23.8 Najdˇete odmocninu A pro matici A = . 3 7 Cv. 23.9 Bud’ A ∈ Rn×n symetrická a necht’ Ak = In pro nˇejaké k ≥ 1. Ukaˇzte, ˇze A2 = In . Cv. 23.10 Bud’ A ∈ Rn×n symetrická s vlastn´ımi ˇc´ısly 0 a 1. Ukaˇzte, ˇze je to matice projekce. Cv. 23.11 Uvaˇzujme matici



a1

 −c1   An =  0   ..  . 0

−b1 .. . .. . .. .

0 .. . .. . .. .

...

0

... .. . .. . an−1 −cn−1

0 .. .



    , 0    −bn−1  an

kde bi , ci > 0. Dokaˇzte, ˇze m´ a re´ aln´ a vlastn´ı ˇc´ısla (dokonce maj´ı n´ asobnost 1). Hint: Jistá symetrická matice m´ a shodn´ y charakteristick´ y polynom. Cv. 23.12 Ukaˇzte, ˇze pro symetrickou matici A plat´ı rank(A) ≥ trace(A)2 / trace(A2 ). (Hint: Cv. 15.23.) Cv. 23.13 Rozhodnˇete, zda A 7→ λmax (A) je line´ arn´ı zobrazen´ı na prostoru symetrick´ ych matic, kde λmax (A) je nejvˇetˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo A. P P Cv. 23.14 Ukaˇzte, ˇze pro vlastn´ı ˇc´ısla λ1 , . . . , λn symetrické matice A ∈ Rn×n plat´ı ni=1 λ2i = ni,j=1 a2ij . (Hint: Prozkoumejte A2 .) Cv. 23.15 Pˇripomeˇ nme, ˇze matice A je antisymetrická pokud AT = −A. Dokaˇzte: (a) Vlastn´ı ˇc´ısla antisymetrické matice jsou ryze imagin´ arn´ı. (b) Inverzn´ı matice k regul´ arn´ı antisymetrické je opˇet antisymetrická. (c) Pokud A je antisymetrická, pak I + A je regul´ arn´ı. (d) Vlastn´ı vektory, odpov´ıdaj´ıc´ı r˚ uzn´ ym nenulov´ ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um, jsou na sebe kolmé.

100

Vlastn´ı ˇc´ısla symetrick´ ych a nez´ aporn´ ych matic (e) A je diagonalizovateln´ a do tvaru A = U DU ∗ , kde D ∈ Cn×n je diagon´ aln´ı a U ∈ Cn×n je unit´ arn´ı. 0 1 . (f) Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice −1 0

(g) Ukaˇzte, ˇze antisymetrická matice A ∈ Rn×n je podobná blokovˇe diagon´ aln´ı matici s bloky 0 λ . velikosti 1 nebo 2, pˇriˇcemˇz bloky velikosti 1 jsou nulové a bloky velikosti 2 jsou tvaru −λ 0 Jaká jsou pak vlastn´ı ˇc´ısla matice A?

Cv. 23.16 Bud’ A ∈ Rn×n antisymetrická matice, tj. AT = −A. Dokaˇzte, ˇze jej´ı vlastn´ı ˇc´ısla jsou ryze imagin´ arn´ı. Cv. 23.17 Bud’ A ∈ Cn×n ne nutnˇe symetrická (!). Ukaˇzte, ˇze jde rozloˇzit na tvar A = U T U ∗ , kde T ∈ Cn×n je horn´ı troj´ uheln´ıková a U ∈ Cn×n unit´ arn´ı (tzv. Schurova vˇeta). Hint: Upravte d˚ ukaz spektráln´ıho rozhladu symetrick´ ych matic. ∗ Cv.

23.18 Bud’ Q ∈ Rn×n ortogon´ aln´ı a ne nutnˇe symetrická (!). Dokaˇzte, ˇze skrze ortogon´ aln´ı matici pˇrechodu je podobná blokovˇe diagon´ aln´ı matici, pˇriˇcemˇz bloky velikosti jedna jsou ±1 a velikosti 2 2 dva jsou matice rotace tvaru ( sc −s c ), c + s = 1. (Hint: Cv. 18.9 a Cv. 21.41.)

Cv. 23.19 To, ˇze m´ a matice re´ aln´ a vlastn´ı ˇc´ısla se nˇekdy d´ a nahlédnou tak, ˇze je podobná symetrické matici. Uvaˇzujme matici A ∈ Rn×n , která je tridiagonáln´ı, tj. aij = 0 pro |i − j| > 1. Pˇredpokládejme, ˇze symetrické p´ ary sloˇzek matice maj´ı stejné znaméko, tedy ai,i+1 ai+1,i > 0 pro i = 1, . . . , n−1. Ukaˇzte, ˇze A je podobná symetrické matici skrze diagon´ aln´ı matici, tj. DAD −1 = S, kde D je diagon´ aln´ı a S symetrická.

Courantova–Fischerova vˇ eta λ1 = max xT Ax, x:kxk2 =1

λn =

min xT Ax.

x:kxk2 =1

Cv. 23.20 Bud’te A, B ∈ Rn×n symetrické. Dokaˇzte λ1 (A + B) ≤ λ1 (A) + λ1 (B). Cv. 23.21 Bud’ A ∈ Rn×n symetrická matice s vlastn´ımi ˇc´ısly λ1 ≥ . . . ≥ λn . Dokaˇzte, ˇze λ1 ≥ aii ≥ λn pro kaˇzdé i = 1, . . . , n. Cv. 23.22 Bud’ A ∈ Rn×n symetrická matice, jej´ıˇz prvek aii zvˇetˇs´ıme o ε > 0. (a) Zvˇetˇs´ı se nejvˇetˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo λ1 ? Pˇr´ıpadnˇe jak noc se m˚ uˇze zv´ yˇsit? (b) Zvˇetˇs´ı se nejmenˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo λn ? Pˇr´ıpadnˇe jak noc se m˚ uˇze zv´ yˇsit? Cv. 23.23 Bud’ A ∈ Rn×n symetrická matice, λ1 jej´ı nejvˇetˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo, odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu vektoru x1 . Dokaˇzte vztah pro druhé nejvˇetˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo λ2 = max{xT Ax; kxk2 = 1, x ⊥ x1 }. (Hint: Vyuˇzijte vhodné formy spektráln´ıho rozkladu A.) Cv. 23.24 Uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı x 7→ Ax, kde A ∈ Rn×n . Jak moc m˚ uˇze zobrazen´ı prodlouˇzit vektor x v eukleidovské normˇe? Uvaˇzujme dva pˇr´ıpady kdy A je obecn´ a a kdy A je symetrická. Cv. 23.25 V ˇreˇci vlastn´ıch ˇc´ısel vyjádˇrete maximáln´ı hodnotu v´ yrazu a1 a2 + a2 a3 + . . . + an−1 an + an a1 pokud a1 , . . . , an ∈ R mus´ı splˇ novat

Pn

i=1 ai

=0a

Pn

2 i=1 ai

= 1. (Hint: Cv. 23.23.)


101

Nez´ aporn´ e a markovsk´ e matice Cv. 23.26 Difuze léˇcebné l´ atky mezi dvˇema buˇ nkami prob´ıh´ a podle pravidla: 50% látky z prvn´ı buˇ nky pˇrejde do druhé, ale jen 25% l´ atky z druhé pˇrejde do prvn´ı. V jakém pomˇeru se mnoˇzstv´ı l´ atky ust´ al´ı? Cv. 23.27 Ve mˇestˇe Matfizákovˇe funguj´ı tˇri lokáln´ı politické strany: Anarchisté (A), Bláhov´ı (B) a C´ılevˇedom´ı (C). Volby se ˇr´ıd´ı n´ asleduj´ıc´ım pravidlem. Z voliˇc˚ u A vol´ı opˇet tuto stranu 75% jej´ıch voliˇc˚ u, ale k B pˇrejde 5% a k C dokonce 20%. Z voliˇc˚ u B pˇrejde k A rovn´ ych 20% a k C také 20%. Nakonec, z voliˇc˚ u C z˚ ustane jen 80%, zbytek se rovnomˇernˇe rozdˇel´ı mezi A a B. Jaké je rozdˇelen´ı podpory stran za delˇs´ı ˇcasov´ y horizont? Cv. 23.28 Uvaˇzujme tˇri genotypy AA, Aa, aa. Kˇr´ıˇz´ıme-li AA s AA, tak se stejnou pravdˇepodobnost´ı dostaneme typ AA jako Aa. Kˇr´ıˇz´ıme-li AA s Aa, tak s poloviˇcn´ı pravdˇepodobnost´ı dostaneme Aa a se ˇctvrtinov´ ymi ostatn´ı genotypy. Koneˇcnˇe, kˇr´ıˇz´ıme-li AA s aa, tak s poloviˇcn´ı pravdˇepodobnost´ı dostaneme Aa i aa. Je-li na zaˇc´ atku pomˇer genotyp˚ u vyrovnan´ y, jak´ y bude za ˇcas, provád´ıme-li kˇr´ıˇzen´ı pouze s genotypem AA? Cv. 23.29 Dokaˇzte ˇc´ ast Perronovy vˇety: Pro kaˇzdé A > 0 v´ıme, ˇze ρ(A) je vlastn´ım ˇc´ıslem n´ asobnosti 1, a pˇr´ısluˇs´ı mu kladn´ y vlastn´ı vektor. Dokaˇzte, ˇze ˇzádnému jinému vlastn´ımu ˇc´ıslu nepˇr´ısluˇs´ı nez´ aporn´ y vlastn´ı vektor. Cv. 23.30 Ukaˇzte, ˇze vlastnosti kladné matice z Perronovy vˇety neplat´ı pro nez´ apornou matici. Konkrétnˇe, najdˇete takovou matici A ≥ 0, ˇze plat´ı postupnˇe vlastnosti (a) ρ(A) = 0, (b) ρ(A) je v´ıcen´ asobné vlastn´ı ˇc´ıslo, (c) existuje vlastn´ı ˇc´ıslo λ 6= ρ(A) takové, ˇze |λ| = ρ(A). Cv. 23.31 Bud’ A > 0 a oznaˇcme r := ρ(A). Ukaˇzte, ˇze limk→∞

k 1 rA

existuje a zjistˇete jej´ı hodnost.

102

24

Odhady a metody na v´ ypoˇcet vlastn´ıch ˇc´ısel

Odhady a metody na v´ ypoˇ cet vlastn´ıch ˇ c´ısel

Uk´ azka 24.1 (Gerschgorinovy disky). Pomoc´ı Gerschgorinov´ ych disk˚ u spoˇc´ıtejte odhad vlastn´ıch ˇc´ısel matice   2 1 0 A = −2 5 1 . −1 −2 −3

ˇ sen´ı: Z prvn´ıho ˇra´dku A urˇc´ıme v komplexn´ı rovinˇe disk se stˇredem v 2 a polomˇerem 1, z druhého Reˇ ˇra´dku disk se stˇredem v 5 a polomˇerem 3 a ze tˇret´ıho ˇra´dku disk se stˇredem v −3 a polomˇerem 3, viz obr´ azek. Kaˇzdé vlastn´ı ˇc´ıslo tedy n´ aleˇz´ı do aspoˇ n jednoho disku. Naopak to neplat´ı, coˇz snadno ovˇeˇr´ıme spoˇc´ıtán´ım skuteˇcn´ ych vlastn´ıch ˇc´ısel λ1 = −2.78, λ2 = 3.39 + 0.6 i, λ3 = 3.39 − 0.6 i. ℑ

3 2

λ2

1

λ1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

λ3

5

6

7

8

9

ℜ

−2 −3

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Gerschgorinovy disky Cv. 24.1 Aniˇz byste je poˇc´ıtali, rozhodnˇete zda matice   1 0 −2 0  0 12 0 −4  A= −1 0 −1 0  0 5 0 0 m´ a aspoˇ n dvˇe re´ aln´ a vlastn´ı ˇc´ısla.

Cv. 24.2 Je n´ asleduj´ıc´ı matice regul´ arn´ı?   10 −1 5 2  2 −7 1 2  A= 0 3 −5 1 2 −1 3 7 Cv. 24.3 Jaké je nejvˇetˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo markovské matice? Cv. 24.4 Mˇejme matici A ˇra´du n = 11 a pˇredpokládejme, ˇze nˇejak´ a metoda tuto matici uprav´ı na podobnou B, jej´ıˇz mimodiagon´ aln´ı prvky jsou v absolutn´ı hodnotˇe nanejv´ yˇs 10−10 . S jakou pˇresnost´ı diagon´ aln´ı prvky B aproximuj´ı vlastn´ı ˇc´ısla A?


103

Metody Cv. 24.5 Aplikujte vˇetu o deflaci nejvˇetˇs´ıho vlastn´ıho  1 2 A= 1 2

ˇc´ısla na matici  2 1 2 1 2 1  2 1 2 1 2 1

Cv. 24.6 Aplikujte vˇetu o deflaci nejvˇetˇs´ıho vlastn´ıho ˇc´ısla  1 3 A = 3 1 1 1

na matici  1 1 3

104

Positivn´ı (semi-)definitnost

25


Uk´ azka 25.1 (Choleského rozklad). Najdˇete Choleského  4 −2 A = −2 10 4 1

rozklad matice  4 1 . 6

ˇ sen´ı: Schematicky si m˚ Reˇ uˇzeme zn´ azornit postup takto



LT L

A

≡



·  · ·

0 · ·

 0 0 ·

·  0 0

· · 0



4 −2 −2 10 4 1

 · · ·

 4 1 6

Nejprve urˇc´ıme prvek L11 z vlastnosti L1∗ LT∗1 = A11 , neboli L211 = A11 = 4, tud´ıˇz L11 = 2 (hodnota L11 = −2 nen´ı pˇr´ıpustná, protoˇze poˇzadujeme, aby L mˇela kladnou diagon´ alu). Nyn´ı spoˇc´ıtáme L21 z vlastnosti L2∗ LT∗1 = A21 , neboli L21 L11 = A21 = −2, tud´ıˇz L21 = −1. Podobnˇe spoˇc´ıtáme L31 = 2. V dalˇs´ı fázi urˇc´ıme prvky L ve druhém sloupci shora: L22 = 2, L32 = 1. A koneˇcnˇe ve tˇret´ım sloupci: L33 = 1. Takˇze m´ ame hledan´ y rozklad:   2 −1 2  0 3 1 T 0 0 1 L ≡     L A 2 0 0 4 −2 4  −1 3 0  −2 10 1 2 1 1 4 1 6 Positivn´ı definitnost:

Positivn´ı semi-definitnost:

1. xT Ax > 0, ∀x 6= 0,

1. xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn ,

2. vlastn´ı ˇc´ısla A jsou kladn´ a,

2. vlastn´ı ˇc´ısla A jsou nez´ aporn´ a,

3. ∃U ∈ Rm×n hodnosti n: A = U T U .

3. ∃U ∈ Rm×n : A = U T U .

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Cv. 25.1 Ukaˇzte z definice, ˇze matice A = ( 11 11 ) je positivnˇe semidefinitn´ı. Cv. 25.2 Necht’ A, B ∈ Rn×n jsou positivnˇe definitn´ı. Ukaˇzte, ˇze A + B je také positivnˇe definitn´ı. Jak to bude se souˇctem positivnˇe semidefinitn´ıch matic?

Jak to bude se souˇctem positivnˇe semidefinitn´ı a positivnˇe definitn´ı matice? Jak to bude s n´ asobkem positivnˇe definitn´ı matice? Cv. 25.3 Otestuje (a) rekurentn´ım vzoreˇckem,


105

A=

α aT ˜ a A

je pos. def. ⇔ α > 0 a A˜ − α1 aaT je pos. def.

(b) Choleského rozkladem, A = LLT , kde L je doln´ı troj´ uheln´ıková s kladnou diagon´ alou. (c) Gaussovou eliminac´ı, Odstupˇ novan´ y tvar A m´ a kladnou diagon´ alou, pouˇzijeme-li jen pˇriˇc´ıt´ an´ı n´ asobku ˇra´dku s pivotem k jinému, co je pod n´ım. (d) Sylvestrov´ ym kriteriem det(A1 ) > 0, . . . , det(An ) > 0, kde Ai vznikne z A odstranˇen´ım posledn´ıch n − i ˇra´dk˚ u a sloupc˚ u. positivn´ı definitnost matic   4 −2 4 A = −2 10 −2 , 4 −2 8



 1 −1 2 B = −1 5 −4 , 2 −4 6



 1 2 −3 C =  2 4 1 . −3 1 2

Cv. 25.4 Najdˇete pˇr´ıklad matice ilustruj´ıc´ı, ˇze nefunguje pˇr´ımoˇcaré zobecnˇen´ı na testován´ı positivn´ı semidefinitnosti pomoc´ı rekurentn´ıho vzoreˇcku, Gaussovy eliminace, Sylvestrova kriteria pro positivn´ı definitnost resp. Choleského rozkladu. Cv. 25.5 Najdˇete vˇsechny matice A ∈ Rn×n takové, ˇze A a −A jsou positivnˇe semidefinitn´ı. Cv. 25.6 Najdˇete regul´ arn´ı matici, která je positivnˇe semidefinitn´ı, ale ne positivnˇe definitn´ı. Cv. 25.7 Bud’ A ∈ Rn×n positivnˇe definitn´ı a S ∈ Rn×n regul´ arn´ı. Dokaˇzte dvˇema zp˚ usoby, ˇze S T AS je positivnˇe definitn´ı. Cv. 25.8 Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a symetrická matice se d´ a zapsat jako rozd´ıl dvou positivnˇe semidefinitn´ıch matic A = P − R. (Dá se jednoduˇse zobecnit na rozd´ıl dvou positivnˇe definitn´ıch.) Cv. 25.9 Urˇcete, pro které a ∈ R je matice positivnˇe definitn´ı   a 1 0 A = 1 a 1 . 0 1 a Cv. 25.10 Najdˇete Choleského rozklad matice

In In . In 5In

106


Cv. 25.11 Pomoc´ı Choleského rozkladu invertujte matici   1 2 −1 A= 2 5 −2 . −1 −2 2 Cv. 25.12 Porovnejte poˇcet aritmetick´ ych operac´ı (nejhorˇs´ı pˇr´ıpad) potˇrebn´ ych k dan´ ym transformac´ım. Staˇc´ı ˇra´dovˇe jako n´ asobek rozmˇeru n dané positivnˇe definitn´ı matice. (a) Gaussova eliminace a Choleského rozklad, (b) inverze matice klasick´ ym zp˚ usobem a pomoc´ı Choleského rozkladu. Cv. 25.13 Bud’ A ∈ Rn×n positivnˇe definitn´ı matice tvaru p´ asové matice o ˇs´ıˇrce k, tj. aij = 0 pro vˇsechna i, j taková, ˇze |i − j| > k. (a) Ukaˇzte, ˇze matice L z Choleského rozkladu A = LLT je také p´ asová matice o ˇs´ıˇrce k. (b) Urˇcete poˇcet aritmetick´ ych operac´ı k v´ ypoˇctu L. Cv. 25.14 Rozhodnˇete r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby zda matice ˇra´du n je positivnˇe definitn´ı   2 −1 0 . . . 0  ..  −1 . . . . . . . . . .       0 ... ... ... 0  .     .. .. .. ..  . . . . −1 0 . . . 0 −1 2 Cv. 25.15 Bud’ A positivnˇe semidefinitn´ı a aii = 0 pro jisté i. Ukaˇzte, ˇze i-t´ y ˇra´dek a sloupec matice A jsou nulové. Cv. 25.16 Bud’ A positivnˇe semidefinitn´ı. Ukaˇzte, ˇze xT Ax = 0 pro nˇejaké x 6= o implikuje Ax = o. Cv. 25.17 Ukaˇzte, ˇze A positivnˇe semidefinitn´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz plat´ı implikace xT Ax ≤ 0

⇒

Ax = 0.

Cv. 25.18 Ukaˇzte, ˇze A je positivnˇe semidefinitn´ı pokud pro jej´ı hlavn´ı vedouc´ı matice plat´ı det(A1 ) > 0, . . . , det(An−1 ) > 0, det(An ) ≥ 0. Cv. 25.19 Bud’ A je positivnˇe definitn´ı a necht’ R je matice v odstupˇ novaném tvaru, pokud v Gaussovˇe eliminaci pouˇz´ıváme jen operaci pˇriˇcten´ı n´ asobku ˇra´dku s pivotem k jinému pod n´ım. Necht’ A1 , . . . , An det(Ai ) znaˇc´ı hlavn´ı vedouc´ı podmatice. Dokaˇzte, ˇze pro pivoty plat´ı vztah rii = det(A , i = 2, . . . , n. i−1 ) Cv. 25.20 Bud’ A ∈ Rn×n je positivnˇe semidefinitn´ı a hodnosti r. Ukaˇzte, ˇze A m´ a hlavn´ı podmatici ˇra´du r, která je positivnˇe definitn´ı. Cv. 25.21 Bud’ A positivnˇe semidefinitn´ı a p(λ) polynom takov´ y, ˇze p(λ) ≥ 0 pro λ ≥ 0. Ukaˇzte, ˇze p(A) je positivnˇe semideinitn´ı. Cv. 25.22 Bud’ A ∈ Rn×n positivnˇe semidefinitn´ı a B ∈ Rn×n symetrická. Ukaˇzte, ˇze AB je diagonalizovateln´ a. Cv. 25.23 Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a diagonalizovateln´ a matice s re´ aln´ ymi vlastn´ımi ˇc´ısly se d´ a vyjádˇrit jako souˇcin positivnˇe definitn´ı a symetrické matice.


107

Cv. 25.24 Bud’te A, B ∈ Rn×n symetrické a λmin (A) > λmax (B). Dokaˇzte, ˇze A − B je positivnˇe definitn´ı. Cv. 25.25 Bud’ A symetrická matice jej´ıˇz vlastn´ı ˇc´ısla jsou vˇetˇs´ı neˇz 1. Ukaˇzte, ˇze A − A−1 je positivnˇe definitn´ı. A B T je positivnˇ e definitn´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz Cv. 25.26 Dokaˇzte, ˇze symetrická matice v blokovém tvaru B C −1 obˇe matice A a C − BA B jsou positivnˇe definitn´ı. Cv. 25.27 Ukaˇzte, ˇze positivnˇe semidefinitn´ı odmocnina z positivnˇe semidefinitn´ı matice je jednoznaˇcn´ a. ∗ Cv.

25.28 Bud’ A ∈ Rn×n positivnˇe definitn´ı. Ukaˇzte, ˇze Aii (A−1 )ii ≥ 1, i = 1, . . . , n. (Hint: Cauchyho– Schwarzova nerovnost.)

Cv. 25.29 Bud’ A ∈ Rn×n symetrická a b ∈ Rn . Ukaˇzte, ˇze n´ asleduj´ıc´ı jsou ekvivalentn´ı: (a) A je positivnˇe semidefinitn´ı na podprostoru Ker(bT ), to jest xT Ax ≥ 0 pro vˇsechna x ∈ Rn taková, ˇze bT x = 0. (b) Matice U AU m´ a nez´ aporn´ a vlastn´ı ˇc´ısla, kde U je matice projekce na Ker(bT ). Pozn´ amka. Matice U AU reprezentuje zobrazen´ı x 7→ Ax kdyˇz se omez´ıme na podprostor Ker(bT ). ∗ (c)

Existuje α > 0 takové, ˇze A + αbbT je positivnˇe semidefinitn´ı.

Cv. 25.30 Nad symetrick´ ymi maticemi z Rn×n definujme relace ≺ a pˇredpisem A ≺ B pokud B − A je positivnˇe definitn´ı a A B pokud B − A je positivnˇe semidefinitn´ı. (a) Ukaˇzte, ˇze je relace ˇc´ asteˇcného uspoˇra´d´ an´ı.

(b) Necht’ 0 ≺ A. Rozhodnˇete, zda 0 ≺ A−1 .

(c) Necht’ 0 ≺ A. Rozhodnˇete, zda 2In ≺ A + A−1 .

(d) Necht’ A B. Rozhodnˇete, zda U T AU U T BU . (e) Necht’ 0 ≺ A, B. Rozhodnˇete, zda 0 ≺ AB + BA. (f) Necht’ 0 A B. Rozhodnˇete, zda A2 B 2 .

*(g) Necht’ 0 ≺ A B. Rozhodnˇete, zda B −1 A−1 . √ √ *(h) Necht’ 0 ≺ A B. Rozhodnˇete, zda A B. ∗ Cv.

25.31 Stopa a positivn´ı semidefinitnost (Hint: viz Cv. 3.27 a Cv. 15.29). (a) Bud’te A, B ∈ Rn×n positivnˇe semidefinitn´ı a trace (AB) = 0. Ukaˇzte, ˇze pak AB = 0.

(b) Bud’ A ∈ Rn×n . Dokaˇzte, ˇze A je positivnˇe semidefinitn´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz trace(AX) ≥ 0 pro n×n vˇsechny positivnˇe semidefinitn´ı X ∈ R .

108

26

Biline´ arn´ı a kvadratické formy

Biline´ arn´ı a kvadratick´ e formy

Uk´ azka 26.1 (Biline´ arn´ı forma). Uvaˇzme biline´ arn´ı formu na R2 b(x, y) = x1 y1 + 2x1 y2 + 4x2 y1 + 10x2 y2 . Najdˇete maticové vyjádˇren´ı formy vzhledem ke kanonické b´ azi. ˇ Reˇsen´ı: Protoˇze matice A formy je definovan´ a aij = b(ei , ej ), dost´ aváme A=

1 4 , 2 10

tedy b(x, y) = xT Ay = x1 x2 Tuto matici lze nahlédnout i pˇr´ımo z rozpisu.

1 4 y1 . 2 10 y2

Uk´ azka 26.2 (Kvadratická forma). Uvaˇzme kvadratickou formu na R2 f (x) = x21 + 6x1 x2 + 10x22 . Najdˇete symetrickou biline´ arn´ı formu indukuj´ıc´ı f a maticové vyjádˇren´ı forem. ˇ sen´ı: Formu si vyjádˇr´ıme Reˇ f (x) =

x21

+ 6x1 x2 +

10x22

= x1

1 3 x1 x2 . 3 10 x2

Nyn´ı m´ ame matici vzhledem ke kanonické b´ azi A=

1 3 , 3 10

a symetrická biline´ arn´ı forma indukuj´ıc´ı f je b(x, y) = xT Ay. Uk´ azka 26.3 (Diagonalizace kvadratické formy). Urˇcete signaturu matice 

 1 2 −1 5 −3 . A= 2 −1 −3 2 ˇ sen´ı: Na matici aplikujeme stˇr´ıdavˇe elementárn´ı ˇra´dkové a analogické sloupcové u Reˇ ´pravy a pˇrevedeme na diagon´ aln´ı tvar takto: 

     1 2 −1 1 2 −1 1 0 −1  2 5 −3 ∼  0 1 −1 ∼  0 1 −1 −1 −3 2 −1 −3 2 −1 −1 2       1 0 −1 1 0 0 1 0 0 ∼ 0 1 −1 ∼  0 1 −1 ∼ 0 1 0 . 0 −1 1 0 −1 1 0 0 0 Matice m´ a tud´ıˇz signaturu dvˇe jedniˇcky a jedna nula, takˇze je positivnˇe semidefinitn´ı.


109

Uk´ azka 26.4 (Diagonalizace kvadratické formy a polárn´ı b´ aze). Najdˇete b´ azi, v˚ uˇci n´ıˇz je diagon´ aln´ı matice kvadratické formy f (x) = xT Ax, kde   1 2 −1 A= 2 5 −3 . −1 −3 2

ˇ sen´ı: Na matici A aplikujeme stˇr´ıdavˇe elementárn´ı ˇra´dkové a analogické sloupcové u Reˇ ´pravy a pˇrevedeme T na diagon´ aln´ı tvar, souhrnnˇe S AS = In . Polárn´ı b´ aze je skrytá ve sloupc´ıch matice S, která pˇredstavuje matici pˇrechodu od pol´ arn´ı do kanonické b´ aze. Matici S lze z´ıskat tak, ˇze souˇcasnˇe s u ´pravami matice A aplikujeme na jednotkovou matici In pouze sloupcové u ´pravy:       1 2 −1 1 0 0 1 0 −1 1 −2 0 1 2 −1 1 0 0  2 1 0 ∼ 5 −3 0 1 0  ∼  0 1 −1 0 1 0  ∼  0 1 −1 0 0 1 −1 −3 2 0 0 1 −1 −3 2 0 0 1 −1 −1 2 0       1 0 −1 1 −2 0 1 0 0 1 −2 1 1 0 0 1 −2 1 ∼ 0 1 −1 0 1 −1 0 1 0 ∼ 0 1 0  ∼  0 1 −1 0 1 0 ∼ 0 1 0 1 0 1 0 −1 1 0 0 −1 1 0 0 0 0 0   1 0 0 1 −2 −1 1 1 . ∼ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Hledaná b´ aze je tvoˇren´ a posledn´ımi tˇremi sloupeˇcky, tedy jsou to vektory (1, 0, 0)T , (−2, 1, 0)T , (−1, 1, 1)T .

Biline´ arn´ı forma: b : V 2 → T b(αu + βv, w) = αb(u, w) + βb(v, w), b(w, αu + βv) = αb(w, u) + βb(w, v),

∀α, β ∈ T, ∀u, v, w ∈ V,

∀α, β ∈ T, ∀u, v, w ∈ V.

Matice A formy b vhledem k b´ azi u1 , . . . , un : aij = b(ui , uj ). Kvadratická forma: f (u) = b(u, u).

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................

Biline´ arn´ı a kvadratick´ e formy a jejich matice Cv. 26.1 Ukaˇzte, ˇze pro kaˇzdou biline´ arn´ı formu b plat´ı b(u, o) = b(o, u) = 0. Cv. 26.2 Je n´ asleduj´ıc´ı biline´ arn´ı formou R2 × R2 → R? (a) b(x, y) = x21 + y12 + 2x2 y1 , (b) b(x, y) = x1 y2 + x2 y1 , (c) b(x, y) = x1 y2 + x2 . Cv. 26.3 Je biline´ arn´ı formou zobrazen´ı b : Rm×p × Rp×n → Rm×n definované b(A, B) = AB? Cv. 26.4 Bud’ V vektorov´ y prostor nad T a f1 , f2 : V → T line´ arn´ı zobrazen´ı. Ukaˇzte, ˇze (a) b(x, y) := f1 (x) · f2 (y) je biline´ arn´ı forma,

110

Biline´ arn´ı a kvadratické formy (b) f (x) := f1 (x) · f2 (x) je kvadratická forma.

Cv. 26.5 Najdˇete matici biline´ arn´ı formy b(x, y) = x1 y1 − x1 y2 + 3x2 y1 + 2x2 y2 − 2x3 y2 vzhledem ke kanonické b´ azi. Cv. 26.6 Najdˇete matici kvadratické formy f (x) = x21 + 2x1 x2 + 2x22 − 2x2 x3 vzhledem ke kanonické b´ azi. Dále, najdˇete symetrickou biline´ arn´ı formu b(x, y), která indukuje f (x). Cv. 26.7 Najdˇete kvadratickou formu f nad R2 tak aby f ((2, 1)T ) = 7, a nav´ıc (a) f byla jak´ akoli, (b) f byla positivnˇe definitn´ı, (c) f byla indefinitn´ı. Cv. 26.8 Najdˇete matici kvadratické formy f (x) = x21 − 2x1 x3 + x2 x3 vzhledem ke kanonické b´ azi a postupnˇe nad tˇelesy R, Z2 a Z3 . Cv. 26.9 Najdˇete matici kvadratické formy f (x) = 2x21 + 2x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3 + x23 vzhledem ke kanonické b´ azi a vzhledem k b´ azi B = {(1, 1, 1)T , (1, 1, 0)T , (1, 0, 0)T }. Cv. 26.10 Necht’ kvadratická forma f m´ a vzhledem k b´ azi B = {(0, 0, 1)T , (0, 1, 2)T , (1, 2, 3)T } matici   1 2 0 A = 2 2 1 . 0 1 3 Najdˇete analytické vyjádˇren´ı f .

Cv. 26.11 Pro zobrazen´ı b : P 2 × P 2 → R definované b(p, q) = p(0)q(2) ukaˇzte: (a) b je biline´ arn´ı forma, (b) najdˇete matici formy vzhledem k b´ azi B = {1, 1 + x, (1 − x)2 }, (c) vyˇc´ıslete b(1 − x, x2 − 2x + 2) dvˇema zp˚ usoby,

(d) najdˇete matici formy vzhledem k b´ azi B ′ = {1, x, x2 } s vyuˇzit´ım té staré. Cv. 26.12 Bud’ b : V 2 → T biline´ arn´ı forma a tˇeleso T charakteristiky r˚ uzné od 2. Pak b se naz´ yv´ a antisymetrick´ a pokud splˇ nuje b(u, v) = −b(v, u) pro kaˇzdé u, v ∈ V . (a) Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a biline´ arn´ı forma lze rozloˇzit na souˇcet symetrické a antisymetrické. (b) Aplikujte postup na biline´ arn´ı formu b(x, y) = x1 y1 − 2x1 y2 + 4x1 y3 − 6x2 y3 , a najdˇete matice vˇsech forem vzhledem ke kanonické b´ azi. (c) Bud’ f (u) = b(u, u) kvadratická forma indukovan´ a antisymetrickou biline´ arn´ı formou b. Ukaˇzte, ˇze f je nulová. Cv. 26.13 Vektorov´ y prostor, tvoˇren´ y formami.


111

(a) Ukaˇzte, ˇze biline´ arn´ı formy, symetrické biline´ arn´ı formy a antisymetrické biline´ arn´ı formy na prostoru V tvoˇr´ı vektorové prostory a urˇcete jejich dimenze. (b) Ukaˇzte, ˇze prostor biline´ arn´ıch forem je direktn´ım souˇctem prostoru symetrick´ ych a antisymetrick´ ych biline´ arn´ıch forem. (c) Ukaˇzte, ˇze kvadratické formy na prostoru V tvoˇr´ı vektorov´ y prostor a urˇcete jeho dimenzi. Cv. 26.14 Bud’ V vektorov´ y prostor nad tˇelesem T charakteristiky r˚ uzné od 2. Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a symetrická biline´ arn´ı forma b : V 2 → T je urˇcena hodnotami b(v, v), v ∈ V . To v d˚ usledku znamená, ˇze ze znalosti kvadratické formy jsme schopni zrekonstruovat jednoznaˇcnou symetrickou biline´ arn´ı formu, která ji indukuje. Cv. 26.15 Jednoznaˇcnost kvadratické formy. (a) Necht’ A, B ∈ Tn×n jsou symetrické a necht’ xT Ax = xT Bx pro vˇsechna x ∈ Tn . Rozhodnˇete, zda A = B. (b) Rozhodnˇete, zda matice kvadratické formy vzhledem k dané b´ azi je jednoznaˇcn´ a. (c) Rozhodnˇete, zda kvadratická forma je jednoznaˇcnˇe urˇcena obrazy b´ aze.

Sylvestr˚ uv z´ akon setrvaˇ cnosti Cv. 26.16 Diagonalizujte kvadratické formy s maticemi       2 −1 1 3 −3 −1 3 −1 −1 (a) A = −1 1 1, B = −3 3 1 , C = −1 5 −2. 1 1 5 −1 1 5 −1 −2 5     0 1 2 1 −1 2 0 1 . (b) D = 1 1 1, E = −1 −1 0 , F = 1 0 2 1 0 2 0 −1 Cv. 26.17 Diagonalizujte kvadratickou formu s matic´ı   1 0 1 A = 0 2 1  , 1 1 −1 a urˇcete b´ azi, v˚ uˇci n´ıˇz je matice formy diagon´ aln´ı.

Cv. 26.18 Diagonalizujte kvadratickou formu s matic´ı Im B= AT

A , 0n

kde A ∈ Rm×n m´ a hodnost n. Cv. 26.19 Rozhodnˇete, zda matice A ∈ Rn×n definovan´ a aij := min{i, j} je positivnˇe definitn´ı. Cv. 26.20 Uvaˇzme relaci kongruence, kdy A, B ∈ Rn×n jsou v relaci pokud existuje regul´ arn´ı S tak, ˇze T B = S AS. (a) Jaké vlastnosti m´ a relace kongruence? (b) Kolik existuje tˇr´ıd ekvivalence? Cv. 26.21 Vyjádˇrete kvadratickou formu f (x) = xT Ax jako souˇcet ˇctverc˚ u line´ arn´ıch forem, kde   1 −2 1 (a) A = −2 5 −3 , 1 −3 2

112

Biline´ arn´ı a kvadratické formy 

 2 −2 2 (b) A = −2 5 1 . 2 1 5

Cv. 26.22 Ukaˇzte, ˇze dan´ a rovnice popisuje elipsu v R2 a zjistˇete jej´ı charakteristiky (postupem z pˇrednáˇsky). (a) 5x2 + 8xy + 5y 2 = 1, (b) 13x2 + 10xy + 13y 2 = 72. P Cv. 26.23 Mˇ ejme n pozorován´ı x1 , . . . , xn ∈ R. Pr˚ umˇer je definován jako x ¯ = n1 ni=1 xi a rozptyl jako P σ 2 = ni=1 (xi − x ¯)2 . Ukaˇzte, ˇze σ 2 je kvadratická forma, najdˇete jej´ı matici a urˇcete signaturu.

Cv. 26.24 Ukaˇzte, ˇze pro kaˇzdou re´ alnou kvadratickou formu existuje matice A této formy, která je blokovˇe 0 diagon´ aln´ı s prvky 0, 1 a ( 1 10 ), nebo −A m´ a tuto vlastnost.

Cv. 26.25 Pˇripomeˇ nme, ˇze matice A je antisymetrická pokud AT = −A. (a) Bud’ A antisymetrická. Dokaˇzte, ˇze A2 je symetrická negativnˇe semidefinitn´ı. (b) Bud’ A antisymetrická. Dokaˇzte, ˇze trace(A2 ) ≤ 0.

(c) Ukaˇzte, ˇze xT Ax = 0 pro vˇsechna x ∈ Rn pr´ avˇe tehdy, kdyˇz A je antisymetrická.

T , kde S je regul´ (d) Ukaˇzte, ˇze antisymetrická matice A lze vyjádˇrit ve tvaru SJS arn´ı a J blokovˇe 0 1 ’ diagon´ aln´ı a jej´ı bloky jsou bud nuly nebo maj´ı tvar −1 0 .

(e) Ukaˇzte, ˇze hodnost antisymetrické matice je sudé ˇc´ıslo.

√ Cv. 26.26 Bud’ A ∈ Rn×n positivnˇe definitn´ı a definujme B ∈ Rn×n po sloˇzkách bij := aij / aii ajj . Ukaˇzte, ˇze B je positivnˇe definitn´ı, na diagon´ ale m´ a jedniˇcky a mimo diagon´ alu m´ a ˇc´ısla v absolutn´ı hodnotˇe menˇs´ı neˇz 1. Cv. 26.27 Plat´ı Sylvestr˚ uv z´ akon setrvaˇcnosti na komplexn´ım prostoru? Cv. 26.28 Ukaˇzte, ˇze pro symetrické A, B ∈ Rn×n stejné hodnosti existuje S ∈ Cn×n taková, ˇze S T AS = B. Cv. 26.29 Uvaˇzujme kvadratické formy na Rn . (a) Ukaˇzte, ˇze formy tvoˇr´ı vektorov´ y prostor. (b) Urˇcete dimenzi tohoto prostoru. Cv. 26.30 Zvolte si kvadratickou formu f nad R4 se signaturou (1, 1, −1, −1), a najdˇete podprostor V ⋐ R4 dimenze 2 splˇ nuj´ıc´ı f (x) = 0 pro vˇsechna x ∈ V . Cv. 26.31 Bud’ f : V → R kvadratická forma a h : V → V isomorfismus. (a) Ukaˇzte, ˇze f ◦ h je kvadratická forma na V .

(b) Ukaˇzte, ˇze obˇe kvadratické formy f , f ◦ h maj´ı stejnou signaturu. Cv. 26.32 Bud’ A ∈ Rn×n positivnˇe semidefinitn´ı a B ∈ Rn×n symetrická. Ukaˇzte, ˇze AB m´ a stejn´ y poˇcet re´ aln´ ych kladn´ ych, z´ aporn´ ych a nulov´ ych vlastn´ıch ˇc´ısel jako B (srov. Cv. 25.22). Dále ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a diagonalizovateln´ a matice M ∈ Rn×n s re´ aln´ ymi vlastn´ımi ˇc´ısly se d´ a vyjádˇrit jako souˇcin positivnˇe definitn´ı a symetrické matice. Cv. 26.33 Simult´ ann´ı diagonalizovatelnost. (a) Bud’ A ∈ Rn×n positivnˇe semidefinitn´ı a B ∈ Rn×n symetrická. Ukaˇzte, ˇze existuje re´ aln´ aC∈ n×n T T R taková, ˇze obˇe matice C AC a C BC jsou diagon´ aln´ı. Tud´ıˇz A, B m˚ uˇzeme simult´ annˇe diagonalizovat. (Hint: Odmocnina z A.) (b) Bud’te A, B ∈ Rn×n positivnˇe semidefinitn´ı. Ukaˇzte, ˇze det(A + B) ≥ det(A) + det(B).

Cviˇcen´ı z line´ arn´ı algebry ∗ Cv.

113

26.34 Bud’ A ∈ Rn×n symetrická a Ai necht’ znaˇc´ı levou horn´ı podmatici A velikosti i, tj. vznikne z A odstranˇen´ım posledn´ıch n − i ˇra´dk˚ u a sloupc˚ u. Pˇredpokládejme, ˇze det(Ai ) 6= 0 pro vˇsechna i = 1, . . . , n. Ukaˇzte, ˇze signatura A neobsahuje nuly a poˇcet −1 je roven poˇctu zmˇen znaménka posloupnosti det(A1 ), . . . , det(An ). (Hint: Analyzujte vliv elementárn´ıch ˇra´dkov´ ych a sloupcov´ ych u ´prav.)

114

27

Maticové rozklady (QR rozklad a SVD)

Maticov´ e rozklady (QR rozklad a SVD)

Uk´ azka 27.1 (QR rozklad). Najdˇete QR rozklad matice   0 −20 −14 A = 3 27 −4  . 4 11 −2

ˇ sen´ı: Nejprve si sestav´ıme Householderovu matici, která pˇrevede prvn´ı sloupec matice A na vektor Reˇ (kA∗1 k, 0, 0)T = (5, 0, 0)T . Definujme u1 := A∗1 − kA∗1 ke1 = (−5, 3, 4)T ,

pak hledanou matic´ı je Q1 := I3 −

u uT 2 T1 1 u1 u1

Po pˇren´ asoben´ı matice A dostaneme



 0 15 20 1  = 15 16 −12 . 25 20 −12 9

  5 25 −4 R1 := Q1 A = 0 0 −10 . 0 −25 −10

Tedy skuteˇcnˇe se eliminuj´ı vˇsechny prvky pod prvn´ım pivotem. Podobnˇe postupujeme v druhé iteraci pro podmatici 0 −10 A2 = . −25 −10 Definujme

u2 := (0, −25)T − 25e1 = (−25, −25)T , a sestav´ıme se Householderovu matici u uT Q2 = I2 − 2 2T 2 = u2 u2

0 −1 . −1 0

Pˇren´ asoben´ım dost´ aváme R2 := Q1 A1 =

25 10 . 0 10

Ted’ uˇz m˚ uˇzeme iterace ukonˇcit, protoˇze R2 uˇz je horn´ı troj´ uheln´ıková matice Nyn´ı dopoˇc´ıtáme k´ yˇzen´ y QR rozklad A = QR takto    0 −20 −15 5 25 1  1 0   Q = Q1 = 15 12 −16 , R = 0 25 0 Q2 25 20 −9 12 0 0

s nez´ apornou diagon´ alou.  −4 10  . 10

Matice Q tedy vznikla souˇcinem vˇsech Householderov´ ych matic pouˇzit´ ych bˇehem iterac´ı, s t´ım, ˇze je mus´ıme rozˇs´ıˇrit na rozmˇer n × n. Matice R zase vznikla z R1 nahraˇzen´ım bloku vpravo dole matic´ı R2 ; ve vyˇsˇs´ıch dimenz´ıch by se nahrazovalo postupnˇe.

............................................

Cviˇ cen´ı

............................................


115

Householderova matice Householderova matice: H(u) = In − uT2 u uuT , u 6= o. Householderova transformace y = H(x − y)x, kde x 6= y, kxk2 = kyk2 . Cv. 27.1 Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a Householderova matice je tvaru In − 2vv T , kde kvk2 = 1. Cv. 27.2 Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a Householderova matice H splˇ nuje H −1 = H. Cv. 27.3 Doplnˇen´ı na ortonormáln´ı b´ azi. (a) Bud’ u ∈ Rn , kuk2 = 1. Sestrojte ortogon´ aln´ı matici Q s prvn´ım sloupcem rovn´ ym u. (Jin´ ymi slovy: doplˇ nte u na ortonormáln´ı b´ azi Rn .) (b) Doplˇ nte u = 21 (1, 1, 1, 1)T na ortonormáln´ı b´ azi R4 . Cv. 27.4 Necht’ H(u)x = x pro jisté u, x ∈ Rn Dokaˇzte u ⊥ x. Cv. 27.5 Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla, vlastn´ı vektory a determinant H(u).

QR rozklad Cv. 27.6 Najdˇete netrivi´ aln´ı pˇr´ıklad, kdy QR rozklad nen´ı jednoznaˇcn´ y. Cv. 27.7 Necht’ A = QR je QR rozklad. Urˇcete QR rozklad matice αA pro α ∈ R. Cv. 27.8 Sestrojte QR rozklady matic: (a) ei , (b) ( 11 11 ), (c) ( 34 34 ), 

1 1 Cv. 27.9 Pro matici A =  1 1

 2 0  2 0

(a) najdˇete QR rozklad,

(b) najdˇete ortonormáln´ı b´ azi S(A),

(c) najdˇete matici projekce do S(A).

Cv. 27.10 Blokov´ y rozklad: (a) Pokud A1 = Q1 R1 a A2 = Q2 R2 jsou QR rozklady, najdˇete QR rozklad A01 A02 . Jaké mus´ı m´ıt matice A1 , A2 rozmˇery? A3 . (b) Pokud A1 = Q1 R1 a A2 = Q2 R2 jsou QR rozklady, najdˇete QR rozklad A01 A 2

Cv. 27.11 Pomoc´ı QR rozkladu (nejlépe jen jednoho) vhodné matice popiˇste vˇsechna ˇreˇsen´ı soustavy Ax = b, kde A m´ a line´ arnˇe nez´ avislé ˇra´dky. Cv. 27.12 Urˇcete ortonormáln´ı b´ azi Ker(1, 2, 2, 4). Cv. 27.13 Za pouˇzit´ı software na pomocné v´ ypoˇcty urˇcete:

116

Maticové rozklady (QR rozklad a SVD) (a) ortonormáln´ı b´ azi S(A) pro

(b) projekci v = (3, 3, 3)T do S(A).

  −4 −2 −4 −2 1 , A =  2 −2 2 −4 1 −4 −2

Cv. 27.14 Pomoc´ı QR rozkladu dokaˇzte vˇetu o Choleského rozkladu (nebo jej´ı variantu ˇci zobecnˇen´ı) pro matici tavru A = B T B, kde B ∈ Rn×n .

SVD rozklad SVD rozklad: A = U ΣV T , kde S = diag (σ1 , . . . , σr , 0, . . . , 0), U, V ortogon´ aln´ı, Redukovan´ y SVD rozklad: A = U1 S V1T kde S = diag (σ1 , . . . , σr ), Pseudoinverze: A† = V1 S −1 U1T .

Cv. 27.15 Urˇcete singulárn´ı ˇc´ısla matic: (a) ( 00 10 ), (b) ( 11 11 11 11 ), (c) a = (a1 , . . . , an )T , (d) a = (a1 , . . . , an ), (e) a = diag (a1 , . . . , an ), (f) symetrické matice s vlastn´ımi ˇc´ısly λ1 , . . . , λn . (g) positivnˇe  0  0   (h) A =  ...   0 an

definitn´ı matice s vlastn´ımi ˇc´ısly λ1 , . . . , λn .  a1 0 . . . 0 ..  .. .. .. . . . .    .. .. .. . . . . 0    .. .. .. . . . an−1  0 ... 0 0

Cv. 27.16 Bud’ A = xy T , kde x, y ∈ Rn . Urˇcete σ1 (A), ρ(A) a porovnejete je. Kdy se rovnaj´ı? Cv. 27.17 Ukaˇzte, ˇze matice A ∈ Rn×n m´ a nulové singulárn´ı ˇc´ıslo pr´ avˇe tehdy, kdyˇz m´ a nulové vlastn´ı ˇc´ıslo. Cv. 27.18 Necht’ matice A ∈ Rn×n m´ a singulárn´ı ˇc´ısla σ1 ≥ . . . ≥ σn . Dokaˇzte: (a) σn ≤ kAi∗ k2 pro libovolné i = 1, . . . , n.

(b) ρ(A) ≤ σ1 .

Cv. 27.19 Necht’ vˇsechna singulárn´ı ˇc´ısla matice A ∈ Rn×n jsou stejná. Ukaˇzte, ˇze A je n´ asobek ortogon´ aln´ı matice. Cv. 27.20 Necht’ regul´ arn´ı matice A ∈ Rn×n m´ a singulárn´ı ˇc´ısla σ1 ≥ . . . ≥ σn . Najdˇete singulárn´ı ˇc´ısla T −1 matic A , A a adj(A).


117

Cv. 27.21 Necht’ matice A ∈ Rm×n m´ a singulárn´ı ˇc´ısla σ1 ≥ . . . ≥ σr > 0. Ukaˇzte, ˇze matice za nenulová vlastn´ı ˇc´ısla σ1 , . . . , σr , −σ1 , . . . , −σr .

0m A AT 0n

m´ a

Cv. 27.22 V´ıme, ˇze matice AB a BA maj´ı stejná (nenulová) vlastn´ı ˇc´ısla. Co singulárn´ı ˇc´ısla? Cv. 27.23 Pol´ arn´ı rozklad matice A ∈ Rn×n je rozklad A = P Q, kde P je positivnˇe semidefinitn´ı a Q ortogon´ aln´ı. (a) Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a matice A ∈ Rn×n m´ a polárn´ı rozklad.

(b) Ukaˇzte, ˇze matice P je jednoznaˇcnˇe urˇcen´ a tak, ˇze vyjádˇr´ıte P =

√ AAT .

(c) Zobecnˇete tvrzen´ı na obdéln´ıkové matice: Kaˇzd´ a matice A ∈ Rm×n , m ≥ n, m´ a rozklad A = P Q, kde P je positivnˇe semidefinitn´ı a Q m´ a ortogon´ aln´ı sloupce. (d) Najdˇete pol´ arn´ı rozklad matice a ∈ Rn .

(e) Ukaˇzte, ˇze pol´ arn´ı rozklad a SVD rozklad jsou ekvivalentn´ı v tom smyslu, ˇze jeden lze snadno odvodit z druhého.

Pseudoinverze Cv. 27.24 Urˇcete SVD rozklad a psudoinverzi pro (a) A = 0m,n , (b) A = diag (a1 , . . . , an ), a1 ≥ . . . ≥ an ≥ 0. (c) A = diag (a1 , . . . , an ).

Cv. 27.25 Dokaˇzte: (a) AA† je symetrická, (b) A = (A† )T AT A, Cv. 27.26 Bud’ A ∈ Rm×n . Ukaˇzte, ˇze (a) AA† je matice projekce do S(A),

(b) A† A je matice projekce do R(A),

(c) In − A† A je matice projekce do Ker(A),

(d) Ker(A) = S(In − A† A).

Cv. 27.27 Bud’ A ∈ Rm×n , b ∈ Rm a pro soustavu Ax = b ukaˇzte, ˇze (a) m´ a (aspoˇ n jedno) ˇreˇsen´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz AA† b = b, (b) m´ a nanejv´ yˇs jedno ˇreˇsen´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz AA† = In , (c) m´ a pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz AA† b = b a AA† = In , (d) m´ a-li aspoˇ n jedno ˇreˇsen´ı, pak vˇsechna ˇreˇsen´ı jsou vyjádˇrit jako A† b + y = A† Ay, kde y ∈ Rn je libovolné. Cv. 27.28 Ukaˇzte, ˇze pokud plat´ı C = AX = Y B, potom existuje matice Z taková, ˇze C = AZB. (Jin´ ymi slovy, pokud sloupce matice C jsou z prostoru S(A) a ˇra´dky z prostoru R(B), pak matici C m˚ uˇzeme vyjádˇrit nar´ az jako kombinaci sloupc˚ u A i ˇra´dk˚ u B.) ∗ Cv.

27.29 Ukaˇzte, ˇze maticová soustava rovnic AXB = C s libovoln´ ymi maticemi vhodn´ ych rozmˇer˚ u m´ a ˇreˇsen´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz AA† CB † B = C. Nav´ıc, mnoˇzina ˇreˇsen´ı je tvaru X = A† CB † + Y − A† AY BB † , kde Y je libovoln´ a matice pˇr´ısluˇsn´ ych rozmˇer˚ u.

118

Maticové rozklady (QR rozklad a SVD)

Maticov´ e normy Cv. 27.30 Proˇc nen´ı spektráln´ı polomˇer maticovou normou? Cv. 27.31 Dokaˇzte, ˇze pro P matici projekce do netriviáln´ıho vlastn´ıho podprostoru plat´ı kP k2 = kI −P k2 . Cv. 27.32 Ukaˇzte, ˇze pro libovolnou matici A ∈ Rm×n je maxi,j |aij | ≤ kAk2 . Cv. 27.33 Ukaˇzte, ˇze Frobeniova a p-norma jsou skuteˇcnˇe maticov´ ymi normami. √ Cv. 27.34 Bud’ A ∈ Rn×n . Dokaˇzte kAk2 ≤ kAkF ≤ nkAk2 a ukaˇzte, ˇze meze nelze zlepˇsit. Cv. 27.35 Bud’ A ∈ Rn×n regul´ arn´ı a λ jej´ı vlastn´ı ˇc´ıslo. Dokaˇzte kA−1 k−1 2 ≤ |λ| ≤ kAk2 . Cv. 27.36 Ukaˇzte, ˇze pro Frobeniovu a maticovou 2-normu plat´ı kAk = kAT k. Plat´ı tvrzen´ı i pro jiné normy?

Cv. 27.37 Ukaˇzte, ˇze pro kaˇzdou matici A ∈ Rn×n a pro kaˇzdé ε > 0 existuje diagonalizovateln´ a matice ′ n×n ′ A ∈R taková, ˇze kA − A k2 ≤ ε. (Tedy libovolnˇe bl´ızko k matici se nach´ az´ı diagonalizovateln´ a matice.) Cv. 27.38 Bud’ A ∈ Rn×n . Dokaˇzte, ˇze ze vˇsech symetrick´ ych matic je matice 21 (A+AT ) nejbl´ıˇze k matici A ve Frobeniovˇe a maticové 2-normˇe.


28

Opakov´ an´ı Opakován´ı

119

Opakov´ an´ı Opakov´ an´ı

Opakov´ an´ı

Opakov´ an´ ı

Opakov´ an´ ı

V této sekci uvád´ıme rekapitulaˇcn´ı u ´lohy pro pˇredeˇslé sekce 15–27. Cv. 28.1 Pro standardn´ı skal´ arn´ı souˇcin v Rn dokaˇzte pouˇcku hx, yi = kxk · kyk cos (ϕ), kde ϕ je u ´hel mezi vektory x, y. Cv. 28.2 Bud’te U, V dva re´ alné vektorové prostory se skalárn´ım souˇcinem. Lineárn´ı zobrazen´ı f : U → V a g : V → U jsou navz´ ajem adjungované pokud pro vˇsechna u ∈ U a v ∈ V plat´ı hf (u), vi = hu, g(v)i. Zde pˇrirozenˇe hf (u), vi je skal´ arn´ı souˇcin ve V a hu, g(v)i zase v U . Ukaˇzte: (a) Ke kaˇzdému line´ arn´ımu zobrazen´ı f : U → V existuje nejv´ yˇse jedno adjungované zobrazen´ı g: V → U.

(b) Uvaˇzujme line´ arn´ı zobrazen´ı f1 , f2 : U → V a g1 , g2 : V → U . Jsou-li f1 a g1 adjungované a f2 a g2 adjungované, pak f1 + f2 a g1 + g2 jsou také adjungované.

(c) Jsou-li f : U → V a g : V → U adjungované, pak αf a αg jsou adjungované pro libovolné α ∈ R.

(d) Jsou-li f1 : U → V a g1 : V → U adjungované, a jsou-li f2 : V → W a g2 : W → V adjungované, pak f2 ◦ f1 a g1 ◦ g2 jsou také adjungované.

(e) Bud’te f : U → V a g : V → U line´ arn´ı zobrazen´ı a A resp. B jejich matice vzhledem k ortonormáln´ım b´ az´ım B1 , B2 resp. B2 , B1 . Pak f, g jsou navzájem adjungované pr´ avˇe tehdy, kdyˇz A = B T . (f) Jsou-li U, V koneˇcnˇe generované, pak pro kaˇzdé line´ arn´ı zobrazen´ı f : U → V existuje pr´ avˇe jediné s n´ım adjungované.

(g) Bud’te U, V koneˇcnˇe generované a f : U → V line´ arn´ı zobrazen´ı. Pak jádro adjungovaného ⊥ ⊥ zobrazen´ı tvoˇr´ı f (U ) a obraz tvoˇr´ı Ker(f ) . a b nebo a b , kde a2 + b2 = 1. Cv. 28.3 Ukaˇzte, ˇze ortogon´ aln´ı matice ˇra´du 2 mus´ı b´ yt tvaru −b a b −a Cv. 28.4 Najdˇete line´ arn´ı zobrazen´ı f : Rn×n → Rn×n takové, aby det(f (X)) = 211 det(X) a nav´ıc: (a) f (In ) = A, kde A ∈ Rn×n je dané,

(b) f (A) = B, kde A, B ∈ Rn×n jsou dané a A regul´ arn´ı,

(c) najdˇete co nejvˇetˇs´ı tˇr´ıdu takov´ ych line´ arn´ıch zobrazen´ı.

Cv. 28.5 Pro line´ arn´ı zobrazen´ı f (x) = Ax, kde A ∈ Rm×n ukaˇzte, ˇze pokud definiˇcn´ı obor omez´ıme pouze na prostor R(A), tak dostaneme isomorfismus mezi R(A) a f (Rn ). Cv. 28.6 Dokaˇzte, ˇze v kaˇzdém kroku Gaussovy–Jordanovy eliminace se kaˇzd´ y nenulov´ y prvek matice d´ a vyjádˇrit bud’ jako determinant, nebo pod´ıl dvou determinant˚ u podmatic p˚ uvodn´ı matice. Cv. 28.7 Pro jaké hodnoty x je matice A regul´ arn´ı?  x + a1 a2 ...  a1 x + a 2 ...  A= . . .. ..  .. . a1 a2 ...

an an .. . x + an



  . 

Cv. 28.8 Bud’ A ∈ Rn×n diagonalizovateln´ a a λ1 , . . . , λk jej´ı vlastn´ı ˇc´ısla (bez n´ asobnost´ı). Ukaˇzte, ˇze existuj´ı matice A1 , . . . , Ak ∈ Rn×n splˇ nuj´ıc´ı najednou vˇsechny n´ asleduj´ıc´ı vlastnosti P (a) A = ki=1 λi Ai . (b) A2i = Ai ,

120


Opakov´ an´ı

(c) Ai Aj = 0n,n , Pk (d) i=1 Ai = In ,

(e) rank(Ai ) = n´ asobnost vlastn´ıho ˇc´ısla λi .

Cv. 28.9 Matice sousednosti AG ∈ Rn×n (neorientovaného) grafu G = (V, E) je definována jako (AG )ij = 1 pokud {i, j} ∈ E a (AG )ij = 0 jinak (srov. Cv. 14.19). (a) Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla a vektory matice sousednosti u ´plného grafu Kn . (b) Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla a vektory matice sousednosti u ´plného bipartitn´ıho grafu Km,n . (c) Urˇcete spektráln´ı polomˇer matice sousednosti cyklu Cn . (d) Urˇcete spektráln´ı polomˇer matice sousednosti hyperkrychle Qn . Ta je definovan´ a tak, ˇze vrcholy tvoˇr´ı bin´ arn´ı vektory délky n a hrany vedou mezi vrcholy liˇs´ıc´ı se v pr´ avˇe jednom bitu. (e) Urˇcete nejvˇetˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo matice sousednosti d-regul´ arn´ıho grafu (vˇsechny stupnˇe rovny d). (f) Uvaˇzme d-regul´ arn´ı graf G. Dokaˇzte, ˇze G je bipartitn´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz nejmenˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo AG je rovno −d.

(g) Uvaˇzme d-regul´ arn´ı graf G. Dokaˇzte, ˇze G je nesouvisl´ y pr´ avˇe tehdy, kdyˇz druhé nejvˇetˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo AG je rovno d. Cv. 28.10 Bud’ A ∈ Rm×n hodnosti m. (a) Spoˇc´ıtejte projekci do Ker(A). (b) Dokaˇzte, ˇze projekce se d´ a ekvivalentnˇe spoˇc´ıtat jako u-sloˇzka ˇreˇsen´ı soustavy u b In AT = . A 0m v 0 Cv. 28.11 Bud’ P ∈ Rn×n positivnˇe definitn´ı a A ∈ Rm×n hodnosti m. Dokaˇzte, ˇze matice regul´ arn´ı.

P AT A 0

je

m×n hodnosti m. Dokaˇ Cv. 28.12 Bud’ P ∈ Rn×n positivnˇe semidefinitn´ı a A ∈ R zte, ˇze n´ asleduj´ıc´ı P AT . podm´ınky jsou ekvivalentn´ı s regularitou matice M = A 0

(a) Ax = o, x 6= o ⇒ xT P x > 0.

(b) Ker(P ) ∩ Ker(A) = {o}.

(c) F T P F je positivnˇe definitn´ı, kde F ∈ Rn×(n−m) je matice splˇ nuj´ıc´ı R(F ) = Ker(A).

(d) P + AT RA je positivnˇe definitn´ı pro nˇejakou positivnˇe semidefinitn´ı matici R.

Dále ukaˇzte, ˇze je-li M regul´ arn´ı, pak m´ a n kladn´ ych a m záporn´ ych vlastn´ıch ˇc´ısel. Cv. 28.13 Bud’te A, B ∈ Rn×n symetrické a A positivnˇe definitn´ı. Ukaˇzte, ˇze existuje matice R taková, ˇze RART = In a RT BR je diagon´ aln´ı (tedy tak trochu diagonalizujeme obˇe matice najednou!). Cv. 28.14 Bud’ V re´ aln´ y vektorov´ y prostor se skalárn´ım souˇcinem a w1 , . . . , wm ∈ V . Pˇripomeˇ nme, ˇze m×m Gramova matice G ∈ R je definovan´ a Gij = hwi , wj i. Ukaˇzte: (a) G je positivnˇe semidefinitn´ı. (b) Jsou vektory w1 , . . . , wm line´ arnˇe nez´ avislé, tak G je positivnˇe definitn´ı. (c) rank(G) = dim(span{w1 , . . . , wm }). (d) Bud’ V = Rn a W := (w1 | · · · | wm ). Pak existuje positivnˇe definitn´ı matice A ∈ Rn×n taková, ˇze G = W T AW .


29

121

Humor a zaj´ımavosti

Humor Cv. 29.1 Doplˇ nte posledn´ı ˇra´dek: Nemám r´ ad permutace. Permutace nem´ am r´ ad. R´ ad nem´ am permutace. Nemám permutace r´ ad. R´ ad permutace nem´ am. ... Cv. 29.2 Proˇc je sb´ırka u ´loh z line´ arn´ı algebry neˇst’astn´ a? Cv. 29.3 Co je to dilemma? Cv. 29.4 Zjistˇete, proˇc m´ a Turecko na 10 lirové bankovce napsáno Arf (q) =

n X i=1

q(ai )q(bi ) ∈ Z2 ∀ai , bi , i = 1, . . . , n

a co to znamená.

Zaj´ımavosti Cv. 29.5 Bud’ C ∈ Rn×n . Pak C = AB − BA pro nˇejaké A, B ∈ Rn×n pr´ avˇe tehdy, kdyˇz trace(C) = 0. Cv. 29.6 Bud’ C ∈ Rn×n . Pak C = ABA−1 B −1 pro nˇejaké regul´ arn´ı A, B ∈ Rn×n pr´ avˇe tehdy, kdyˇz det(C) = 1. Cv. 29.7 Bud’ A ∈ Rm×n , B ∈ Rp×q , C ∈ Rm×q . Pak C = AX − Y B pro nˇejaké X ∈ Rm×q a Y ∈ Rn×p C = rank A 0 . pr´ avˇe tehdy, kdyˇz rank A0 B 0 B

Cv. 29.8 (Frobenius, 1897) Kaˇzdé line´ arn´ı zobrazen´ı f : Rn×n → Rn×n splˇ nuj´ıc´ı det(f (X)) = c det(X) pro dané c 6= 0 mus´ı b´ yt bud’ tvaru f (X) = AXB nebo f (X) = AX T B, kde A, B ∈ Rn×n jsou pevné matice takové, ˇze det(AB) = c. Cv. 29.9 Kaˇzd´ a matice A ∈ Rn×n s kladn´ ym determinantem se d´ a vyjádˇrit jako souˇcin pˇeti positivnˇe definitn´ıch matic. (Zkuste to pro A = −I2 .)

122

30

Otevˇ ren´ e ot´ azky

Cv. 30.1 Je kaˇzd´ a kladn´ a matice A ∈ Rn×n diagonalizovateln´ a (z pohledu teorie vlastn´ıch ˇc´ısel)?

ˇ sen´ı Reˇ ˇ ast I C´ Cv. 1.3 Ano.

Cv. 3.6 (a) Ne, (b) Ne.

Cv. 1.10 Ano.

Cv. 3.13 (a) 0 nebo 1, (b) Ne, (c) Ano.

Cv. 1.13 Rovina x + z = 2.

Cv. 3.18 Ne.

Cv. 1.14 2.

Cv. 3.19 Ne.

Cv. 1.15 Q = [2, 5, −3].

Cv. 3.26 (a) Ne, (b) Ne, (c) Ne.

Cv. 2.3 y = x2 − 2x + 3.

Cv. 4.1 Singulárn´ı.

Cv. 2.4 (−1/2, −5/2).

Cv. 4.2 Singulárn´ı.

Cv. 2.5 (10, 20, 30, 40).

Cv. 4.4 Nemus´ı.

Cv. 2.9 (a) (1, 0, 2), (b) (1, 2, 3).

Cv. 4.5 Pro a 6= b, a 6= (1 − n)b. cos ϕ sin ϕ 3 −1 Cv. 4.8 51 −1 2 , − sin ϕ cos ϕ .

Cv. 2.10 (a) ∅, (b) (2, −1, −1), (c) (1, −2, 1) + t(1, −2, 0).

Cv. 2.11 (2, 1, 0) + t(−1, 0, 1), t ∈ R. Cv. 2.12 Jen (a), (b).

Cv. 2.20 Ano.

1000 1000 1001 , − 1001

1 2

1 −1 −4 −1 2 5 , 1 −1 −2

1 −1

2 0 2 −1 1 0 1

Cv. 4.11 C −1 B −1 A−1 , AT .

Cv. 2.13 15. Cv. 2.17 (a)

Cv. 4.9

, ∄.

Cv. 4.14 Ano. , (b) (0, −1), (c) (1, −1).

Cv. 2.21 (2, 1, 1), (1, 0, 3), (4, −1, −1). Cv. 2.22 (−1, 2).

Cv. 2.23 Nemá ˇreˇsen´ı. Cv. 2.24 (a) x = 1/3, y = 6, z = 1/2, (b) x = 16/9, y = 3/2, z = 2. Cv. 2.25 (b) pro a = −1 : ∅, pro a = 1 : [1, 0] + t(−1, 1), t ∈ R, 1 (1 + a + a2 , −a), pro a 6= ±1 : 1+a (c) pro a = 3/4 : ∅, 1 jinak: 3−4a (3a2 + a + 1, 1 − 3a2 ), (d) pro a = −1 : ∅, pro a = 0 : [1, 0, 0] + t(0, 1, −1), t ∈ R, 1 (1, 1, −1). jinak: 1+a

Cv. 2.26 (a) pro b = (t, s, −2t + s, −t + s), t, s ∈ R, (b) pro kaˇzdé b ∈ R3 . Cv. 2.27 (a) (1, 2, 4, . . . , 2n−1 ), (b) (1, −2, 3, −4, . . . , (−1)n−1 n).

Cv. 4.17 (a) X = B −1 (A−1 DC −1 )T , (b) A−1 B.  2  2−n 1 ... 1   −1 . . . . ..   . . 1  1 . Cv. 4.20 (c) n−1  . , (d)    0 .. . . . . . . 1  . .. 1 ... 1 2−n 0

Cv. 4.21

1 α2 −1

αIn −In −In αIn

.

Cv. 4.33 Ne. 1 2 −1 Cv. 4.39 (a) 0 −1 1 , (b) 1 4 −2

0 −2 1 1 3 −1 −1 −4 2

.

Cv. 5.3 Ano. Cv. 5.4 (a) Ano, (b) Ano, (c) Ano. Cv. 5.6 (d) Ne, (e) Ne. Cv. 5.16 (a) Ne, (b) Ne, (c) Ano, (d) Ano, (e) Ne, (f) Ne, (g) Ne. Cv. 5.17 (a) 2, 2, 2, 2, 3, (b) 2, 4, 9, 8, 4. 123

X = −1 0

...

0



. . . . ..  . . .   .. .. .. . . . 0   .. .. . . 2 −1 2

...

0 −1 1

ˇ sen´ı Reˇ

124 Cv. Cv. Cv. Cv. Cv. Cv. Cv. Cv. Cv.

5.18 5.19 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.28 5.31

(b) ∅ a (3, 3, 3). 2I. Jen pro p = 7 a p = 11. p4 − p3 − p2 + p. Jen p(x) = x3 + x2 + x + 3. 3 a 4. (c) 4, (d) 0, (e) 0, (f) 5. Ne. (a) 28, (b) 3, (c) 0.

Cv. 10.22 (a) Ano, (b) Ano, (c) Ano. Cv. 10.24 Ano. Cv. 11.2 (a)–(c) Ano, (d) Ne, (e)–(f) Ano. Cv. 11.3 (a)–(b) Ano, (c)–(e) Ne, (f) Ano, (g) Ne. Cv. 11.4 Ano. Cv. 11.5 Ano.

n Cv. 6.9 (−1)⌊ 2 ⌋ .

Cv. 6.10 (a)

(−1)

Cv. 11.6 Ano. n(n−1) 2

,

n(3n+1) 2

Cv. 6.14 Cv. 6.15 Cv. 6.16 Cv. 6.17

(b)

(−1)

n(n−1) 2

,

n(n+1) 2

, (d) (−1) . (−1) (a) Jen id a p. (a) ∄, (b) p = (1, 7, 10, 4, 9, 3, 8)(2, 6), (c) je jich n. (1, 5)(4, 8)(6, 9, 7, 10). ≥ 76.

Cv. 7.3 (a) Ano, (b) Ano, (c) Ano, (d) Ano, (e) Ne, (f) Ne, (g) Ano. Cv. 7.4 Ne, ˇzádn´ y. Cv. 7.7 Ano. Cv. 7.9 Ano. Cv. 7.11 Ne. Cv. 7.13 Ano. Cv. 7.16 Ano. Cv. 7.19 R4 ano, Z42 ne. Cv. 7.20 (a) Ano, (b) Ne. Cv. 8.6 Pro a 6∈ {1, 2}.

(c)

Cv. 11.7 (a) Ne, (b) Ano. Cv. 11.9 (−2, 1)T . −1 −4 −4 2 5 7 . Cv. 11.15 −2 −5 −9

Cv. 11.16 (a) (1, 2, −1)T , (1, 1, −1)T , (−1, −1, 0)T , (b) (0, −1, 1)T , (0, −2, 1)T , (1, 2, −1)T . Cv. 11.18 (7, 6, −5)T , (5, 3, −3)T , (−1, −1, 0)T . 3 Cv. 11.19 (b) 17 −2 −2 3 , (c) ∄.

Cv. 11.21 (x + 2y + 3z, x − z). 0 3 5 Cv. 11.22 0 1 2 . 1 −1 1 −2 −10 −3 0 −1 0 . Cv. 11.23 05 2 18−1 6 Cv. 11.25 2 1 −2 . 4 −3 2 1 5 Cv. 11.26 1 3 . 111 1 0 Cv. 11.29 −1 0 0 . 0 12 1 −2 1 Cv. 11.30 −1 −2 −1 . −2 0 −2 3 6 2 Cv. 11.31 2 0 1 . 454

Cv. 9.2 Cv. 9.4 Cv. 9.5 Cv. 9.8 Cv. 9.21 Cv. 9.22 Cv. 9.24 Cv. 9.26 Cv. 10.2 Cv. 10.7 Cv. 10.8 Cv. 10.9 Cv. 10.10 Cv. 10.11 Cv. 10.15 Cv. 10.19 Cv. 10.21

Ne. Ano. (3, 1, −1). ∄. (a) 0, (b) 2, (c) 1. Ne. dim = 5. (a) 3, (b) 2. a = 2, b = 1, c = 0. (a) 1, (b) 3, (c) 2, (d) 2. n − 1. dim = 2. 7. ∄. Ano. n. (a) Ne, (b) Ano, (c) Ano, (d) Ne.

Cv. 12.11 (a) na, neprosté, (b) na, prosté, (c) na, neprosté, (d) ne na, prosté, (e) ne na, neprosté, (f) na, prosté Cv. 12.15 (a) 2 a 1. Cv. 12.16 (a) 2 a 1. Cv. 13.19 koˇreny 1, 1, −2, −3. √ √ i 2/2, Cv. 13.20 (a) ± 2/2 ±√ (b) −2, 1 ± i 3, (c) 1 ± i, 1 ± i, −5. √ √ i 2/2, Cv. 13.21 (a) ± 2/2 ±√ (b) −2, 1 ± i 3. Cv. 14.1 2.

Cv. 14.23 dim = n. Cv. 14.25 2x − y = 10.


125

ˇ ast II C´ Cv. 15.1 (b) 4 − 2i, 11 + 2i, −7 − 24i, −1 − 2i, (c) ano. √ ◦ Cv. 15.4 (a) arccos(− √ 2/2) = 135 ◦, (b) arccos( 6/3) ≈ 35.26 . Cv. 15.6 (a) (2, −1, 0)T , (b) (1, 1, −1)T .

Cv. 18.13 Ano. n Cv. 19.1 (a) (−1)n , (b) (−1)⌊ 2 ⌋ , (c) 2, 0, −3 a −90 (d) 3, −9, 20, (e) 0 a (1 − a2 )3 .

Cv. 19.11 x4 − 3x4 + . . .

Cv. 15.10 (a) Ne, (b) Ne, (c) Ano.

Cv. 19.13 Nezmˇen´ı.

Cv. 15.17 u ⊥ v.

Cv. 19.14 4.

Cv. 16.2 Projekce ( 12 , 12 , 1), vzdálenost

√

2 2 .

Cv. 19.15 n2 − n − 2.

Cv. 19.17 0. Cv. 16.7 (1, 10−3 , 10−3 ), (0, 0, −1), (0, −0.709, −0.709). Cv. 19.19 412. Cv. 17.3 ∄.

Cv. 19.20 Ne.

Cv. 17.4 Báze (2, 5, 10, 1).

Cv. 19.21 ±1.

Cv. 17.10 (a) v = (3, 4, 4), w = (0, −2, 2), (b) v = Cv. 19.22 4. (4, 1, 3, 4), w = (−3, 1, 1, 2). Cv. 19.25 3. Cv. 17.11 7. Cv. 19.26 ai . Cv. 17.12 7.

Cv. 19.28 2, 1, 1.

Cv. 17.13 (a) 7, (b) 10, (c) 6.

Cv. 19.29 det(A) = −6, det(B) = 5i.

Cv. 17.14 In − P . 1 422 2 1 1 Cv. 17.24 (a) 6 , (b) e1 eT1 + e2 eT2 , (c) I3 .

Cv. 19.30 (a) (−1, 1, 0)T , (b) ( 52 , 1, 21 )T .

211

Cv. 17.25 (a) S(P ). Cv. 17.27 (a)

|aT c| kak ,

Cv. 19.32 ((a2 + c2 − b2 )/(2ac), (b2 + c2 − a2 )/(2bc), (a2 + b2 − c2 )/(2ab))T . Cv. 19.33

(b)

|aT c−b| kak .

1 3.

Cv. 19.35 π.

Cv. 17.38 2.1961.

Cv. 19.36 (a) x+y−1 = 0, (b) x2 +y 2 −4x−2y+1 = 0.

Cv. 17.39 y = 9.731 e0.507 t .

Cv. 19.40 n + 1. Cv. 19.42 xn + (−1)n+1 y n .

Cv. 18.1 Ne. Cv. 18.6 Ano. Cv. 18.7 2n . Cv. 18.8 ∞. Cv. 18.12 Ano.

Cv. 19.43 (a) x = 1, (b) Pro a0 = 0 je x ∈ R, jinak x ∈ {a1 , . . . , an }. Cv. 19.44 A = c − aT b, B = 0 pro n > 2, C = (a2 − b2 )n . Cv. 19.45 A = (−1)n(n+1)/2 , B = (−2)(n − 2)!, C = n!(−1)n−1 , D = n!.

ˇ sen´ı Reˇ

126

Cv. 19.49 A =

Pn Pn 1+ Qn i=1 ai , B = 1 + i=1 ai , a i i=1 n n−1 (a − b) + nb(a − b) ,

Cv. 21.46 Vlastn´ı ˇc´ısla 0 a 1.

C=Q P Q D = ni=1 (ai − b) + ni=1 b j6=i (aj − b).

Cv. 19.51 1 − aT b.

Cv. 20.1 adj(A) =

4 −2 −3 1

adj(C) = 1 −a ac−b . 0 1 −c 0 0

Cv. 20.2 Cv. 20.3

2 2 −4 −1 1 2 , 1 −1 2

, adj(B) = −a 1−a 2 0 a −a , adj(D)

a2 0

0

a2

=

1

d −b −c a .

1 ad−bc

d −b −c a

Cv. 20.4 In .

Cv. 22.4 Ne. Cv. 22.6 Ano, ne. Cv. 22.19 Ne. Cv. 22.23 Ano, ne, ne. Cv. 22.28 A = −2I2 . 5 2 , 1 ( 1 2 ). Cv. 22.30 −10 −4 3 12 Cv. 22.31 0, 1, 1, 2, −3.

pro ad 6= bc.

Cv. 20.8 Ne. Cv. 20.11 Ano.

Cv. 22.32 (a) c1 = c2 = 0 nebo c1 , c2 6= 0. Cv. 22.35 7. Cv. 22.38 (a) 5, (b) 4, (c) 10. Cv. 22.39 Jak kdy. Cv. 22.40 Nˇekde v [n − k, n].

Cv. 21.1 (b) 0 : (1, 0)T , (0, 1)T , (d) 1 ± i : (1, 1 ± i)T , Cv. 22.41 Max. dvakrát. (e) −2 : (1, −1)T , 4 : (1, −2)T . Cv. 21.2 (a) 1 : (1, 2, 1)T , 2 : (1, 1, 0)T , 3 : (1, 2, 2)T , (b) 0 : (−1, 1, 4)T , 2 : (1, 1, 0)T , −9 : (2, −2, 1)T , (c) 2 : (1, 1, 1)T , −1 : (1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T .

Cv. 23.7 Napˇr. (1, 1, 1)T , (1, −1, 0)T , (1, 1, −2)T . 2 Cv. 23.8 ± ( 03 21 ) nebo ± 15 ( 12 3 13 ).

Cv. 23.13 Ne.

Cv. 21.13 0 a 1.

Cv. 23.22 (a)–(b) Ano, max. o ε.

Cv. 21.14 (a) vlastn´ı ˇc´ısla 0 a cT d, (b) vlastn´ı ˇc´ısla 0 a n.

Cv. 23.26 1 : 2. Cv. 23.27 2 : 1 : 3.

Cv. 21.16 a + b, a − c.

Cv. 23.28 1 : 2 : 1.

Cv. 21.17 ab ≥ 0.

Cv. 23.30 (a) ( 00 10 ), (b) ( 00 10 ), (c) ( 01 10 ).

Cv. 21.26 Ano. Cv. 21.28 7.

Cv. 24.1 Ano.

Cv. 21.29 a = 1, b = 2.

Cv. 24.2 Ano.

Cv. 21.30 a = 6. Cv. 21.35 (b) 21 A − 25 I2 , (c) 145A − 54I2 .

Cv. 24.3 1. Cv. 24.4 10−9 .

Cv. 21.43 0 a 1.

Cv. 25.5 Jen A = 0.

ˇ adn´ Cv. 21.44 Z´ a nem´ a.

Cv. 25.6 ∄.

Cv. 21.45 Vlastn´ı ˇc´ısla −1 a 1.

Cv. 25.9 a >

√

2.


Cv. 25.10 L =

In on In 2In

127

.

E ∼ diag (1, −1, −1), F ∼ diag (1, −1).

Cv. 26.2 (a) Na, (b) Ano, (c) Ne. Cv. 26.3 Ne. 1 0 Cv. 26.8

0 −1 0 1/2 −1 1/2 0

Cv. 26.11 (b)

1 3 1 131 131

1 0 2 , ∄, 0 0 2 . 220

, (c) 2.

Cv. 26.16 (a) A, B ∼ diag (1, 1, 0), C ∼ diag (1, 1, 1), (b) D ∼ diag (1, −1, 0),

Cv. 26.20 (b)

n+2 2 .

Cv. 27.5 det(H(u)) = −1. √ Cv. 27.15 (a) 0 a 1, (b) 0 a 8, (c)–(d) kak2 , pokud a 6= o. Cv. 28.7 x 6= 0 a x 6= −

Pn

i=1 ai .

128

ˇ sen´ı Reˇ

Znaˇ cen´ı Mnoˇ ziny

N, Z, Q, R, C Zn U +V U ×V 2M

mnoˇzina pˇrirozen´ ych, cel´ ych, racion´ aln´ıch, re´ aln´ ych a komplexn´ıch ˇc´ısel mnoˇzina {0, 1, . . . , n − 1}, sˇc´ıtán´ı a n´ asoben´ı modulo n souˇcet mnoˇzin (tj. i prostor˚ u), U + V = {u + v; u ∈ U, v ∈ V } kartézsk´ y souˇcin mnoˇzin, U × V = {(u, v); u ∈ U, v ∈ V } mnoˇzina vˇsech podmnoˇzin mnoˇziny M

Matice a vektory Ei (α) Eij (α) Eij rank (A) trace (A) AT A∗ A† kAk pA (λ) ρ(A) C(p) REF RREF Ai∗ A∗j diag(v) Jk (λ) 0n , 0 1n In , I ei e kxkp kxk2

element´ arn´ı matice pro vyn´ asoben´ı i-tého ˇra´dku ˇc´ıslem α 6= 0 element´ arn´ı matice pro pˇriˇcten´ı α-n´ asobku j-tého ˇra´dku k i-tému element´ arn´ı matice pro prohozen´ı dvou ˇra´dk˚ u i, j hodnost matice A P stopa matice A, trace(A) = ni=1 Aii transpozice matice A T Hermitovsk´ a transpozice matice, A∗ = A pseudoinverze matice A norma matice A charakteristick´ y polynom matice A spektráln´ı polomˇer matice A, nejvˇetˇs´ı absolutn´ı hodnota z vlastn´ıch ˇc´ısel matice spoleˇcnice polynomu p(x) odstupˇ novan´ y tvar matice redukovan´ y odstupˇ novan´ y tvar matice i-t´ y ˇra´dek matice A j-t´ y sloupec matice A diagon´ aln´ı matice s diagon´ aln´ımi prvky v1 , . . . , vn Jordanova buˇ nka nulová matice (vˇsechny sloˇzky jsou rovny 0) jedniˇcková matice (vˇsechny sloˇzky jsou rovny 1) jednotková matice (diagon´ aln´ı s jedniˇckami na diagon´ ale) T jednotkov´ y vektor, ei = I∗i = (0, . . . , 0, 1, . . . , 0) vektor ze sam´ ych jedniˇcek, e = (1, . . . , 1)T 1 Pn p p p-norma vektoru x, kxkp = i=1 |xi | q Pn 2 eukleidovsk´ a norma vektoru x, kxk2 = i=1 xi 129

130

Znaˇcen´ı

Prostory kan S(A) R(A) Ker(A) Pn Cha,bi ⋐ span(W ) [v]B

kanonická b´ aze, e1 , . . . , en sloupcov´ y prostor matice A ˇra´dkov´ y prostor matice A jádro matice A prostor re´ aln´ ych polynom˚ u promˇenné x stupnˇe nanejv´ yˇs n prostor spojit´ ych re´ aln´ ych funkc´ı na intervalu ha, bi podprostor line´ arn´ı obal mnoˇziny vektor˚ uW souˇradnice vektoru v vzhledem k b´ azi B

Zobrazen´ı sgn(p) Sn g◦f f (U ) Ker(f ) B2 [f ]B1

znaménko permutace p mnoˇzina vˇsech permutac´ı na {1, . . . , n} sloˇzené zobrazen´ı, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) obraz mnoˇziny U pˇri zobrazen´ı f jádro zobrazen´ı f matice line´ arn´ıho zobrazen´ı f vzhledem k b´ azi B1 , B2

ˇ ısla C´ r+ r− ℜ(z) ℑ(z) z

kladn´ a ˇc´ ast re´ alného ˇc´ısla, r + = max(r, 0) záporn´ a ˇc´ ast re´ alného ˇc´ısla, r − = max(−r, 0) re´ aln´ a ˇc´ ast komplexn´ıho ˇc´ısla z imagin´ arn´ı ˇc´ ast komplexn´ıho ˇc´ısla z komplexnˇe sdruˇzené ˇc´ıslo, z = a + bi = a − bi

Literatura J. Beˇcváˇr. Sb´ırka u ´loh z line´ arn´ı algebry. St´ atn´ı pedagogické nakladatelstv´ı, Praha, 1975. L. Bican. Line´ arn´ı algebra v u ´loh´ ach. St´ atn´ı pedagogické nakladatelstv´ı, Praha, 1979. J. Fiala. Sb´ırka u ´loh z matematiky. Elektronická sb´ırka, http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/. J. Hefferon. Linear algebra, 2011. http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/. C. D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra (incl. CD-ROM and solutions manual). SIAM, Philadelphia, PA, 2000. http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html. V. V. Prasolov. Problems and Theorems in Linear Algebra. American Mathematical Society, USA, 1994. http://www2.math.su.se/~mleites/books/prasolov-1994-problems.pdf. K. V´ yborn´ y and M. Zahradn´ık. Pouˇz´ıv´ ame line´ arn´ı algebru. Karolinum, Praha, 2002. http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/sbirka/html/ramy.html.

131

Milan Hladík. 30. prosince 2016

Recommend Documents