UNIVERSITAS GADJAH MADA PROGRAM STUDI FISIKA FMIPA
Bahan Ajar 7:
Interpolasi dan Pendekatan (Minggu ke-13 dan ke-14)
PEMROGRAMAN DAN METODE NUMERIK Semester 2/ 2 sks/ MFF 1024 Oleh Dr. Fahrudin Nugroho Dr. Iman Santosa
Didanai dengan dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013 November 2013
2
BAB 8 Interpolasi dan Pendekatan
Pada dua bab sebelumnya telah ditunjukan suatu metode pendekatan yang dapat digunakan ntuk menyelesaikan permasalahan pencarian nilai akar dan nilai integrasi fungsi secara numerik. Pada bagian ini akan akan dijelaskan beberapa metode pendekatan untuk suatu fungsi dan/atau turunannya.Dengan interpolasi, pendekatan polinomial terhadap suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara mendekatinya pada beberapa titik nilai. Beberapa titik nilai ini bisa jadi merupakan suatu hasil pengukuran dalam sebuah percobaan atau bahkan hasil sebuah iterasi numerik yang keduanya tidak dapat dengan mudah untuk di plot menggunakan fungsi-fungsi yang sederhana. Dua jenis metode interpolasi yang umum digunakan, yaitu Interpolasi Lagrange dan Hermite akan dibahas secara lebih detail pada bab ini.
8.1 Interpolasi Lagrange Pada Bab sebelumnya telah ditunjukan bahwa untuk suatu fungsi sembarang maka dapat dilakukan suatu pendekatan yang disebut dengan pendekatan deret Taylor. Dalam deret Taylor, ungkapan matematis dan turunan nya perlu diketahui sebelum dilakukan pendekatan. Hal ini tentu merupakan suatu kondisi yang belum tentu bisa dipenuhi dalam setiap kasus. Oleh karenanya perlu dikembangkan suatu metode pendekatan yang bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana fungsi dan bentuk turunan dari fungsi yang ingin didekati tidak diketahui ungkapan matematisnya. Yang perlu diketahui adalah beberapa nilai fungsi pada beberapa titik uji saja. Salah satu metode yang bisa digunakan pada kondisi tersebut adalah metode Interpolasi Lagrange. Untuk memformulasikan interpolasi Lagrange tinjau suatu fungsi
3
sembarang pada dua buah titik x1 dan x2, dan melalui deret Taylor pada sekitar x dapat diperoleh bentuk 𝑓 𝑥! = 𝑓 𝑥 + 𝑥! − 𝑥 𝑓 ! 𝑥 + ⋯ 𝑓 𝑥! = 𝑓 𝑥 + 𝑥! − 𝑥 𝑓 ! 𝑥 + ⋯
(8.1)
Selanjutnya, dilakukan suatu pendekatan suatu fungsi p(x) (yang diketahui turunannya) terhadap f(x) pada deret Taylor di atas sehingga diperoleh bentuk 𝑓 𝑥! = 𝑝 𝑥 + 𝑥! − 𝑥 𝑓 ! 𝑥 + ⋯ 𝑓 𝑥! = 𝑝 𝑥 + 𝑥! − 𝑥 𝑓 ! 𝑥 + ⋯
(8.2)
Syarat utama yang perlu diperhatikan bagi p(x) adalah mempunyai nilai yang sama dengan f(x) pada beberapa titik uji termasuk x1 dan x2. Dengan syarat ini setidaknya diperoleh suatu kondisi awal yang menunjukan bahwa p(x) adalah suatu fungsi pendekatan yang masuk akal setidaknya pada beberapa titik uji tersebut. Persamaan (8.2) menunjukan dua buah persamaan dengan dua buah variabel yang tidak diketahui yaitu p(x) dan p’(x). Dengan penyelesaian untuk p(x) sebagai berikut !!!!
𝑝 𝑥 =!
! !!!
!!!!
𝑓 𝑥! + !
! !!!
𝑓 𝑥!
(8.3)
yang merupakan fungsi linear terhadap x. Persamaan (8.3) di atas merupakan fungsi linear yang menghubungkan dua buah titik yaitu (x1,f(x1)) dan (x2,f(x2)). Pendekatan pada suku yang lebih tinggi pada bentuk deret Taylor tentu saja dapat dilakukan dengan syarat bahwa titik ketiga sebagai titik uji diketahui. Dengan pendekatan suku ketiga pada deret Taylor akan dapat diperoleh 𝑓 𝑥! = 𝑓 𝑥 + 𝑥! − 𝑥 𝑓 ! 𝑥 + 𝑓 𝑥! = 𝑓 𝑥 + 𝑥! − 𝑥 𝑓 ! 𝑥 + 𝑓 𝑥! = 𝑓 𝑥 + 𝑥! − 𝑥 𝑓 ! 𝑥 +
!! !! ! !! !! ! ! !! !! ! !
𝑓 !! 𝑥 + ⋯ 𝑓 !! 𝑥 + ⋯ 𝑓 !! 𝑥 + ⋯
(8.4)
Dengan penyelesaian p(x) 𝑝 𝑥 =
!!!! !!!! !! !!! !! !!!
+
𝑓 𝑥! +
!!!! !!!! !! !!! !! !!!
𝑓 𝑥!
!!!! !!!! !! !!! !! !!!
𝑓 𝑥! (8.5)
4
Sekali lagi syarat yang harus dipenuhi oleh p(x) adalah setidaknya mempunyai nilai yang sama pada tiga buah titik uji x1, x2 dan x3. Pendekatan yang paling sederhana untuk fungsi yang melalui tiga buah titik adalah suatu fungsi parabolik 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 + 𝑐. Dengan merubah nilai-nilai a,b dan c maka akan dapat diperoleh suatu parabola yang melalui tiga buah titik. Perlu diingat bahwa hanya tedapat satu buah parabola yang bisa memenuhi tiga buah titik sekaligus, maka bentuk pendekatan parabolik ini merupakan suatu pendekatan yang relatif cukup ideal. Bentuk ungkapan terakhir ini sesungguhnya telah digunakan pada Bab sebelumnya yaitu pendekatan numerik pada proses integrasi. Khususnya pada metode Simpson di mana untuk sembarang fungsi dilakukan diskretisasi dan setiap tiga buah titik dilakukan pendekatan dengan menggunakan suatu fungsi parabolik.(Lihat sub Bab 7.2). Dari persamaan (8.3) dan (8.4) dapat diformulasikan suatu bentuk umum interpolasi polinomial berorde (n - 1) sebagai berikut 𝑝 𝑥 =
! !!! 𝑙!,!
𝑥 𝑓(𝑥! ),
(8.6)
dimana fungsi f(xj) telah diketahui pada sejumlah titik n pada xj dan 𝑙!,! 𝑥 =
!!!! !!!! … !!!!!! !!!!!! …(!!!! ) !! !!! !! !!! … !! !!!!! !! !!!!! …(!! !!! )
.
(8.7)
Dengan bentuk umum ini, dapat dipilih pendekatan untuk sembarang fungsi dengan polinomial yang diperkirakan sesuai atau mendekati fungsi tersebut.
8.2 Interpolasi Hermite Tinjau sebuah sembarang fungsi f(x) yang diketahui turunannya. Kemudian fungsi tersebut didekati dengan sebuah fungsi polinom sebagai berikut 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 ! + 𝑐𝑥 + 𝑑.
(8.8)
Kemudian konstanta-konstanta a,b,c dan d di peroleh dengan menggunakan syarat 𝑝 𝑥! = 𝑓 𝑥! , 𝑝 𝑥! = 𝑓 𝑥! pendekatan ini tidak lain adalah metode interpolasi terhadap suatu fungsi yang kontinyu dan mempunyai derifatif yang kontinyu. Dengan perhitungan matematik dapat diperoleh 𝑝 𝑥 =
!!! !!!! !!!! ! 𝑓 !! !!! !
+
!!!! (!!!! )! !! !!! !
𝑥! +
𝑓 ! 𝑥! +
!!! !!!! !!!! ! 𝑓 !! !!! !
!!!! (!!!! )! !! !!! !
𝑓 ! 𝑥! .
𝑥! (8.10)
5
Selanjutnya pendekatan ini disebut sebagai Interpolasi Hermite menggunakan fungsi kubik (pangkat tiga). Tentu saja berbagai fungsi yang lain dapat digunakan untuk melakukan pendekatan tergantung pada sejumlah informasi yang diketahui tentang fungsi yang akan dicari pendekatannya. Misalnya diketahui nilai fungsi pada sejumlah n titik dan nilai turunannya disejumlah r titik, maka dapat digunakan polinomial berorde n+r-1 yang memenuhi sejumlah n + r syarat, untuk mendekati fungsi tersebut. Secara umum bentuk interpolasi Hermite dapat dituliskan sebagai 𝑝 𝑥 =
! !!! ℎ!,!
! !!! ℎ!,!
𝑥 𝑓 𝑥! +
𝑥 𝑓′ 𝑥! ,
(8.11)
dimana h dan ℎ memenuhi ! ! ℎ!,! 𝑥 = 1 − 2 𝑥 − 𝑥! 𝑙!,! 𝑥! 𝑙!,! 𝑥 ,
(8.12)
dan ! ℎ!,! 𝑥 = 𝑥 − 𝑥! 𝑙!,! (𝑥).
(8.13)
Dimana lj;n(x) dide_nisikan melalui proses interpolasi Lagrange sesuai dengan persamaan (8.7).
8.3 Pendekatan Pada Turunan (diferensial) Terdapat banyak cara yang dapat digunakan untuk melakukan turunan secara numerik. Salah satu cara yang paling sederhana adalah dimulai dari definisi turunan dalam kalkulus 𝑓! 𝑥 =
!"(!) !"
= lim!→!
! !!! !!(!) !
.
(8.14)
Ungkapan di atas menghasilkan suatu pendekatan 𝑓!! 𝑥 =
! !!! !!(!) !
,
(8.15)
yang mana 𝑓!! (𝑥) merupakan pendekatan bagi f’(x) pada nilai ℎ → 0. Pertanyaan yang muncul dengan pendekatan ini adalah bagaimana jika nilai h tidak mendekati 0. Pada situasi ini maka dapat dilakukan pendekatan dengan menggunakan deret Taylor terhadap f(x + h) disekitar titik f(x). 𝑓 𝑥 + ℎ = 𝑓 𝑥 + ℎ𝑓 ! 𝑥 + Dan untuk f’(x)
!! !!
𝑓 !! 𝑥 + ⋯ ,
(8.16)
6 !
𝑓′(𝑥) = ! 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 −
!! !!
𝑓 !! 𝑥 + ⋯ .
(8.17)
Persamaan terakhir (8.17) merupakan ungkapan turunan yang diperoleh dari deret Taylor dengan suku terakhir memberikan akurasi lebih dibandingkan dengan persamaan (8.18). Untuk itu perlu dituliskan 𝑓! 𝑥 =
! !!! !!(!) !
+ 𝑂(ℎ),
(8.18)
dengan O(h) menunjukan orde terakhir pendekatan yang dilakukan. Lebih lanjut persamaan(8.18) disebut sebagai pendekatan Forward Difference terhadap turunan. Dengan cara yang sama, yaitu menggunakan deret Taylor terhadap f(xh) maka akan diperoleh ungkapan !
𝑓! 𝑥 = ! 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 − ℎ −
!! !!
𝑓 !! 𝑥 + ⋯ .
(8.19)
Persamaan (8.19) tersebut menghasilkan pendekatan turunan yang disebut Backward Difference. Dan untuk mengindikasikan orde tertinggi pada proses pendekatan perlu dituliskan sebagai berikut 𝑓! 𝑥 =
! ! !!(!!!) !
+ 𝑂(ℎ),
(8.20)
Perbedaan nilai O(h) pada persamaan (8.19) dan persamaan (8.20) adalah pada perbedaan tanda (plus atau minus). Nilai dari keduanya bersifat simetris (sama). Karenanya semestinya dapat dihasilkan suatu pendekatan yang lebih akurat dari siafat tersebut. Untuk itu, tinjau deret Taylor suatu fungsi dengan memperhatikan suku-suku berode tinggi sebagai berikut 𝑓 𝑥 + ℎ = 𝑓 𝑥 + ℎ𝑓 ! 𝑥 +
ℎ! !! ℎ! 𝑓 𝑥 + 𝑓′′′(𝑥) 2! 3!
!!
+ !! 𝑓 !!!! 𝑥 + ⋯,
(8.21)
dan ℎ! !! ℎ! 𝑓 𝑥 − ℎ = 𝑓 𝑥 − ℎ𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥 − 𝑓′′′(𝑥) 2! 3! !
!!
+ !! 𝑓 !!!! 𝑥 + ⋯,
(8.22)
7
Dari kedua unkapan di atas dapat diperoleh ungkapan f’(x) dengan cara mengurangkan kedua persamaan di atas sehingga diperoleh 𝑓! 𝑥 =
! !!! !!(!!!) !"
+ 𝑂(ℎ! ).
(8.23)
Dengan bentuk ini dapat diperoleh pendekatan yang lebih akurat terhadap turunan suatu fungsi.
