METODY MĚŘENÍ FREKVENCE KMITŮ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ TECHNIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF CONTROL AND INSTRUMENTATION

METODY MĚŘENÍ FREKVENCE KMITŮ METHODS FOR MEASURING FREQUENCY OF VIBRATION

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS

AUTOR PRÁCE

JAN KUNZ

AUTHOR

VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR

BRNO 2013

doc. Ing. PETR BENEŠ, Ph.D.

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Ústav automatizace a měřicí techniky

Bakalářská práce bakalářský studijní obor Automatizační a měřicí technika Student: Ročník:

Jan Kunz 3

ID: 136552 Akademický rok: 2012/2013

NÁZEV TÉMATU:

Metody měření frekvence kmitů POKYNY PRO VYPRACOVÁNÍ: Cílem bakalářské práce je nastudovat problematiku metod měření fáze a frekvence s vysokým rozlišením založených na odhadu parametrů harmonického signálu. Vypracujte přehled vhodných metod a vybrané metody prakticky realizujte na platformě CompactRIO a porovnejte navzájem jejich vlastnosti. Pro srovnání metod navrhněte vhodnou metodiku. DOPORUČENÁ LITERATURA: [1] IEEE Std. 1057-1994. IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders. 1994. [2] Bischl, B., Ligges, U., Weihs, C. Frequency estimation by DFT interpolation: A comparison of methods [3] Schoukens, J. Pintelon, R., Van hamme, H. The Interpolated Fast Fourier Transform: A Comparative Study. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 1992, vol. 41, no. 2., pp. 226-232 Termín zadání:

11.2.2013

Termín odevzdání:

27.5.2013

Vedoucí práce: doc. Ing. Petr Beneš, Ph.D. Konzultanti bakalářské práce:

doc. Ing. Václav Jirsík, CSc. Předseda oborové rady

UPOZORNĚNÍ: Autor bakalářské práce nesmí při vytváření bakalářské práce porušit autorská práva třetích osob, zejména nesmí zasahovat nedovoleným způsobem do cizích autorských práv osobnostních a musí si být plně vědom následků porušení ustanovení § 11 a následujících autorského zákona č. 121/2000 Sb., včetně možných trestněprávních důsledků vyplývajících z ustanovení části druhé, hlavy VI. díl 4 Trestního zákoníku č.40/2009 Sb.

ABSTRAKT Bakaláˇrská práce se zabývá problematikou metod mˇeˇren´ı frekvence a fáze a metodikou porovnán´ı jejich vlastnost´ı. Jsou rozebrány poˇzadavky na tyto metody a problémy vyˇ ast práce je vˇenována r˚ skytuj´ıc´ı se pˇri mˇeˇren´ı. C´ uzným typ˚ um mˇeˇren´ı frekvence a fáze vˇcetnˇe podrobnˇejˇs´ıho popisu ˇc´ıtaˇcové metody, metody lineárn´ı regrese fáze signálu a metody Fourierovy transformace. Praktická ˇcást práce obsahuje porovnán´ı tˇechto tˇr´ı typ˚ u metod, které byly implementovány do programu LabVIEW firmy National Instruments a poté byly porovnány podle navrˇzené metodiky a odzkouˇseny na reálných signálech.

ˇ ´ SLOVA KLÍCOV A mˇeˇren´ı frekvence a fáze, ˇc´ıtaˇcová metoda, metoda lineárn´ı regrese fáze signálu, metoda Fourierovy transformace, porovnán´ı metod

ABSTRACT Bachelor’s thesis deals with methods for measuring frequency and phase and comparison their qualities. Thesis describes requirement for these methods and problems occuring during measurement. The part of the work is devoted various types of methods for measuring frequency and phase including a more detailed description of the counter method, weighted least square method and Fourier transform’s method. The practical part of this thesis contains comparision of these three types of methods which was implemented to LabVIEW program from National Instruments company. Afterwards they were compared according to proposed methodology and tested on real signals.

KEYWORDS methods for measuring frequency and phase, counter method, weighted least square method, Fourier transform’s method, comparison of methods

KUNZ, Jan Metody mˇeˇren´ı frekvence kmit˚ u: bakaláˇrská práce. Brno: Vysoké uˇcen´ı tech´ nické v Brnˇe, Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı, Ustav Automatizace a mˇeˇric´ı techniky, 2013. 41 s. Vedouc´ı práce byl doc. Ing. Petr Beneˇs, Ph.D.

´ SEN ˇ Í PROHLA Prohlaˇsuji, ˇze svou bakaláˇrskou práci na téma Metody mˇeˇren´ı frekvence kmit˚ u“ jsem ” vypracoval samostatnˇe pod veden´ım vedouc´ıho bakaláˇrské práce a s pouˇzit´ım odborné literatury a dalˇs´ıch informaˇcn´ıch zdroj˚ u, které jsou vˇsechny citovány v práci a uvedeny v seznamu literatury na konci práce. Jako autor uvedené bakaláˇrské práce dále prohlaˇsuji, ˇze v souvislosti s vytvoˇren´ım této bakaláˇrské práce jsem neporuˇsil autorská práva tˇret´ıch osob, zejména jsem nezasáhl nedovoleným zp˚ usobem do ciz´ıch autorských práv osobnostn´ıch a jsem si plnˇe vˇedom následk˚ u poruˇsen´ı ustanoven´ı § 11 a následuj´ıc´ıch autorského zákona ˇc. 121/2000 Sb., vˇcetnˇe moˇzných trestnˇeprávn´ıch d˚ usledk˚ u vyplývaj´ıc´ıch z ustanoven´ı § 152 trestn´ıho zákona ˇc. 140/1961 Sb.

Brno

...............

.................................. (podpis autora)

ˇ ´ Í PODEKOV AN Dˇekuji vedouc´ımu bakaláˇrské práce panu doc. Ing. Petru Beneˇsovi, Ph.D. za odborné veden´ı, konzultace a podnˇetné návrhy k práci.

V Brnˇe dne: . . . . . . . . . . . . . . .

.................... (podpis autora)

Obsah ´ 1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Frekvence a f´ aze harmonick´ ych sign´ al˚ u 2.1 Vyuˇzit´ı mˇeˇren´ı frekvence . . . . . . . . 2.1.1 Dynamick´ y modul pruˇznosti . . 2.1.2 Hmotnostn´ı pr˚ utokomˇer . . . .

. . . .

. . . .

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

10 10 10 11

3 Probl´ emy pˇ ri mˇ eˇ ren´ı frekvence . . . . . . . . . . ˇ 3.1 Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 B´ıl´ y ˇsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Signal to noise ratio . . . . . . . . . . . . . 3.2 Rychlost mˇeˇric´ıch obvod˚ u . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Shannon-Kotelnik˚ uv-Nyquist˚ uv teorém . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

13 13 13 14 14 14

4 Metody mˇ eˇ ren´ı frekvence a f´ aze . . . . . . 4.1 Analogové metody . . . . . . . . . . . . . 4.2 Digitáln´ı metody . . . . . . . . . . . . . . ˇ ıtaˇcová metoda . . . . . . . . . . 4.2.1 C´ 4.2.2 Metoda lineárn´ı regrese fáze signálu 4.2.3 Metoda Fourierovy transformace .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

15 15 15 16 19 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Krit´ eria porovn´ an´ı metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6 Porovn´ an´ı metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Porovnán´ı ˇc´ıtaˇcov´ ych metod . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Reakce na zmˇenu frekvence signálu . . . . . . . . 6.1.2 Pˇresnost v´ ysledku pˇri nepˇresné znalosti offsetu . . 6.1.3 Zhodnocen´ı ˇc´ıtaˇcov´ ych metod . . . . . . . . . . . 6.2 Porovnán´ı vybran´ ych metod . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Reakce na zmˇenu frekvence signálu . . . . . . . . 6.2.2 Reakce na zmˇenu fáze signálu . . . . . . . . . . . 6.2.3 Pˇresnost v´ ysledku pˇri nepˇresné znalosti amplitudy

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . signálu .

. . . . . . . . .

25 25 25 25 26 27 27 29 31

6.3

6.2.4 Pˇresnost v´ ysledku pˇri nepˇresné znalosti 6.2.5 Pˇresnost v´ ysledku v závislosti na SNR Mˇeˇren´ı reálného signálu . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Mˇeˇren´ı frekvence reálného signálu . . . 6.3.2 Mˇeˇren´ı fáze reálného signálu . . . . . .

offsetu . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

33 34 36 37 37

7 Z´ avˇ er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Pouˇ zit´ a literatura

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Seznam obr´ azk˚ u 4.1 4.2 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13

Problém v´ıcenásobného pˇrechodu signálu se ˇsumem pˇres komparaˇcn´ı u ´roveˇ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Moˇznosti v´ ypoˇctu fáze u metody WLSM . . . . . . . . . . . . . . . . 20 V´ ysledek mˇeˇren´ı frekvence porovnávan´ ych ˇc´ıtaˇcov´ ych metod pˇri lineárn´ı zmˇenˇe frekvence mˇeˇreného signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Porovnán´ı chyb mˇeˇren´ı frekvence signálu ˇc´ıtaˇcov´ ych metod pˇri nepˇresné znalosti offsetu mˇeˇreného signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 V´ ysledek mˇeˇren´ı frekvence porovnávan´ ych metod pˇri lineárn´ı zmˇenˇe frekvence mˇeˇreného signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 V´ ysledek mˇeˇren´ı fáze porovnávan´ ych metod pˇri lineárn´ı zmˇenˇe frekvence mˇeˇreného signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 V´ ysledek mˇeˇren´ı fáze porovnávan´ ych metod pˇri lineárn´ı zmˇenˇe fáze mˇeˇreného signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chyba mˇeˇren´ı frekvence signálu pˇri nepˇresné znalosti amplitudy mˇeˇreného signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chyba mˇeˇren´ı fáze signálu pˇri nepˇresné znalosti amplitudy mˇeˇreného signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chyba mˇeˇren´ı frekvence signálu pˇri nepˇresné znalosti offsetu mˇeˇreného signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chyba mˇeˇren´ı fáze signálu pˇri nepˇresné znalosti offsetu mˇeˇreného signálu 34 Chyba mˇeˇren´ı frekvence signálu v závislosti na velikosti ˇsumu v signálu 35 Chyba mˇeˇren´ı fáze signálu v závislosti na velikosti ˇsumu v signálu . . 36 Chyba mˇeˇren´ı frekvence reálného signálu . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chyba mˇeˇren´ı fáze reálného signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8

1

´ UVOD

Bakaláˇrská práce se zab´ yvá porovnán´ım r˚ uzn´ ych metod mˇeˇren´ı frekvence a fáze harmonick´ ych signál˚ u zaloˇzen´ ych na odliˇsn´ ych principech, konkrétnˇe detekce pr˚ uchodu signálu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı, lineárn´ı regrese fáze signálu a Fourierova transformace signálu. V prvn´ı ˇcásti jde o popis, kde vˇsude se mˇeˇren´ı frekvence vyuˇz´ıvá a jsou rozebrány dva pˇr´ıklady vyuˇzit´ı znalosti frekvence pro zjiˇstˇen´ı jiné fyzikáln´ı veliˇciny (dynamick´ y modul pruˇznosti a hmotnostn´ı pr˚ utok). V druhé ˇcásti jsou popsány nˇekteré problémy, se kter´ ymi se pot´ ykáme pˇri mˇeˇren´ı frekvence. Dále jsou zde uvedeny základn´ı poˇzadavky na obvody, které digitalizuj´ı analogov´ y signál. Tˇret´ı ˇca´st je vˇenována popis˚ um r˚ uzn´ ych princip˚ u mˇeˇren´ı frekvence a fáze. Je zde struˇcnˇe uveden pˇrehled metod a detailnˇe jsou popsány metody, které jsou v praktické ˇca´sti porovnávány. ˇ Ctvrt´ a ˇcást se zab´ yvá zp˚ usobem porovnán´ı tˇechto metod. Jsou zde popsána kritéria, podle kter´ ych se budou v´ yˇse zm´ınˇené metody porovnávat. V páté ˇca´sti jsou uvedeny v´ ysledky jednotliv´ ych metod ve vˇsech kritéri´ıch, které jsou popsány ve ˇctvrté ˇca´sti. Jednotlivé metody mˇely stejn´ y vstupn´ı signál.

9

2

´ ´ FREKVENCE A FAZE HARMONICKYCH ´ U ˚ SIGNAL

Frekvence (symbol f , jednotka [Hz] = [s−1 ]) je fyzikáln´ı veliˇcina, která udává kolikrát se periodick´ y dˇej zopakuje bˇehem 1s. Harmonick´ y signál je matematicky popsán rovnic´ı (2.1). x(t) = A · sin(2πf t + φ0 )

(2.1)

kde A je amplituda kmit˚ u, f je frekvence kmit˚ u, t je ˇcas a φ0 je poˇca´teˇcn´ı fáze signálu (fáze signálu pˇri t = 0s ) [1].

2.1

Vyuˇ zit´ı mˇ eˇ ren´ı frekvence

Znalost frekvence signálu je d˚ uleˇzitá v nejr˚ uznˇejˇs´ıch oborech (napˇr.: stavebnictv´ı, strojn´ı inˇzen´ yrstv´ı, elektrotechnika, lékaˇrstv´ı), bud’ kv˚ uli znalosti samotné hodnoty frekvence (napˇr´ıklad rezonanˇcn´ı frekvence), nebo je hodnota frekvence mˇeronosn´ y signál nˇejaké jiné fyzikáln´ı veliˇciny (napˇr´ıklad hustoty, nebo mechanického napˇet´ı). Mˇeˇren´ı frekvence se vyˇzaduje v r˚ uzn´ ych situac´ıch, kde jsou r˚ uzné parametry vstupn´ıho signálu (doba trván´ı, SNR, amplitudová a frekvenˇcn´ı stabilita) a rovnˇeˇz r˚ uzné poˇzadavky na v´ yslednou hodnotu (pˇresnost, rychlost v´ ypoˇctu, v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost).

2.1.1

Dynamick´ y modul pruˇ znosti

Modul pruˇznosti je ve stavebnictv´ı velmi d˚ uleˇzitá veliˇcina, urˇcuje o kolik se dan´ y materiál prodlouˇz´ı (zkrát´ı) relativnˇe ke svoji délce, kdyˇz na nˇej bude p˚ usobit urˇcitá velikost mechanického napˇet´ı v tahu (tlaku). Pro nˇekteré materiály (napˇr. ocel) je do urˇcité hodnoty mechanického napˇet´ı σ u (mez u ´mˇernosti, mez pruˇznosti) modul pruˇznosti konstantn´ı a relativn´ı prodlouˇzen´ı je pˇr´ımo u ´mˇerné mechanickému napˇet´ı, plat´ı Hook˚ uv zákon (2.2). Po pˇrekroˇcen´ı hodnoty σ u jiˇz pˇr´ımá u ´mˇera neplat´ı [2]. σ (2.2) E= kde E je modul pruˇznosti, σ je mechanické napˇet´ı a je relativn´ı prodlouˇzen´ı. Pro jiné materiály (napˇr. beton) je modul pruˇznosti promˇenn´ y jiˇz od poˇca´tku, tedy neexistuje oblast platnosti Hookova zákona. Pro takové materiály se jako jeden z charakteristick´ ych znak˚ u uvád´ı hodnota dynamického modulu pruˇznosti, coˇz je teˇcna ke kˇrivce modulu pruˇznosti v jej´ım poˇca´tku [3].

10

Pro urˇcen´ı dynamického modulu pruˇznosti se jako jedna z moˇzn´ ych metod pouˇz´ıvá metoda rezonanˇcn´ı. Tato nedestruktivn´ı metoda vyuˇz´ıvá pro v´ ypoˇcet dynamického modulu pruˇznosti rezonanˇcn´ı frekvenci daného materiálu (2.3). Ed = 4L2 fr2 ρ

(2.3)

kde Ed je dynamick´ y modul pruˇznosti, L je délka vzorku v, fr je rezonanˇcn´ı frekvence a ρ je hustota vzorku. Rezonanˇcn´ı frekvence vzorku se mˇeˇr´ı napˇr´ıklad impulsn´ı metodou, kdy je vzorek vybuzen mechanick´ ym impulsem a pak se mˇeˇr´ı frekvence jeho vlastn´ıch kmit˚ u. Mˇeˇren´ı rezonanˇcn´ı frekvence pro urˇcen´ı dynamického modulu pruˇznosti mus´ı b´ yt pˇresné, ale v´ ypoˇcet m˚ uˇze trvat delˇs´ı dobu. Pˇri tomto mˇeˇren´ı se vyskytuje nˇekolik problém˚ u. Je zde problém napˇr´ıklad s exponenciálnˇe klesaj´ıc´ı amplitudou kmit˚ u nebo s relativnˇe krátkou dobou trván´ı kmit˚ u, tedy nedostateˇcn´ ym poˇctem vzork˚ u, coˇz se dá kompenzovat opakovan´ ymi mˇeˇren´ımi.

2.1.2

Hmotnostn´ı pr˚ utokomˇ er

Pr˚ utok je nejˇcastˇeji mˇeˇrenou veliˇcinou v pr˚ umyslov´ ych podnic´ıch. Mˇeˇren´ı pr˚ utoku je rovnˇeˇz velmi ˇcasto uskuteˇcn ˇováno kv˚ uli fakturaˇcn´ım d˚ uvod˚ um (napˇr.: voda, ropa a jej´ı deriváty, plyn). V posledn´ı dobˇe roste na trhu pod´ıl hmotnostn´ıch pr˚ utokomˇer˚ u na principu Coriolisovy s´ıly, protoˇze tento typ mˇeˇren´ı má malou tlakovou ztrátu, velkou pˇresnost, velk´ y dynamick´ y rozsah a je schopen mˇeˇrit plyn, ˇcisté i zneˇcistˇené kapaliny [4]. Princip tohoto pr˚ utokomˇeru je zaloˇzen na existenci Coriolisovy s´ıly (2.4), která p˚ usob´ı na pohybuj´ıc´ı se tˇelesa v rotuj´ıc´ı soustavˇe. F c = 2m(ω × v)

(2.4)

kde F c je Coriolisova s´ıla, m je hmotnost tˇelesa,ω je u ´hlová rychlost soustavy a v je rychlost tˇelesa. Protoˇze by se u pr˚ utokomˇer˚ u ˇspatnˇe dˇelala rotuj´ıc´ı soustava (potrub´ı) nahrazuje se rotace kmitán´ım, které se realizuje jednoduˇseji. Coriolisova s´ıla (respektive jej´ı moment p˚ usob´ıc´ı na potrub´ı) pak zp˚ usob´ı fázov´ y rozd´ıl mezi jednotliv´ ymi kmitaj´ıc´ımi body, tento fázov´ y rozd´ıl se mˇeˇr´ı a z nˇej se pak urˇcuje hmotnostn´ı pr˚ utok [5]. Rezonanˇcn´ı frekvence kmitaj´ıc´ıho potrub´ı je závislá na hustotˇe tekutiny, která je v potrub´ı. Mˇeˇren´ı této frekvence je vhodné nejen pro zjiˇstˇen´ı hustoty protékaného média, ale i pro regulaci kmit˚ u, protoˇze pˇri rezonanˇcn´ı frekvenci je, pˇri stejném

11

v´ ykonu budiˇce, nejvˇetˇs´ı amplituda kmit˚ u a proto bude podle (2.5) nejvˇetˇs´ı rozd´ıl v´ ychylek pˇri daném fázovém rozd´ılu, bude tedy nejvyˇsˇs´ı citlivost mˇeˇren´ı. ∆x = A · sin(∆φ)

(2.5)

kde ∆x je rozd´ıl v´ ychylek, A amplituda kmit˚ u a ∆φ je fázov´ y rozd´ıl. Pokud tekutina obsahuje ˇcástice s jinou hustotou (napˇr. bublinky vzduchu nebo kam´ınky v kapalinˇe), tak se rezonanˇcn´ı frekvence kmitaj´ıc´ıho potrub´ı mˇen´ı skokem, proto je potˇreba aktuáln´ı rezonanˇcn´ı frekvenci pro regulaci kmit˚ u zjiˇst’ovat co nejrychleji. V pˇr´ıpadˇe, ˇze mˇeˇr´ıme hustotu ˇcisté tekutiny, nevyskytuje se zde problém se skoky rezonanˇcn´ı frekvence, protoˇze ta je konstantn´ı. Mˇeˇren´ı frekvence pak m˚ uˇze prob´ıhat delˇs´ı dobu. Pro pˇresné zjiˇstˇen´ı hustoty potˇrebujeme znát rezonanˇcn´ı frekvenci velmi pˇresnˇe.

12

3

´ ˇ ME ˇ REN ˇ Í FREKVENCE PROBLEMY PRI

Signál, kter´ y sn´ımáme a zpracováváme neobsahuje jen mˇeronosn´ y signál, ale vyskytuj´ı se v nˇem i sloˇzky, které jsou pro nás neuˇziteˇcné. Nˇekteré pro nás neuˇziteˇcné sloˇzky signálu, které se daj´ı popsat matematickou funkc´ı, se chovaj´ı pˇredv´ıdatelnˇe (napˇr´ıklad zmˇena velikosti signálu, zp˚ usobena teplotn´ı zmˇenou odporu). A pak, pokud je to potˇreba, se daj´ı odstranit. Sloˇzky, které maj´ı nepˇredv´ıdateln´ y charakter, jsou náhodné, naz´ yváme ˇsum. U ˇc´ıslicov´ ych metod zpracován´ı signálu se nav´ıc vyskytuj´ı problémy pˇri pˇrevodu analogového signálu na ˇc´ıslicov´ y signál.

3.1

ˇ Sum

ˇ Sum je náhodn´ y signál. To znamená signál u kterého nejsou aktuáln´ı hodnoty závislé na hodnotách pˇredcházej´ıc´ıch, tedy nejsme schopni urˇcit, jakou konkrétn´ı hodnotu bude m´ıt v urˇcitém ˇcase. U jeho hodnot lze urˇcit pouze pravdˇepodobnost, s jakou se konkrétn´ı hodnota vyskytne. Aktuáln´ı hodnoty ˇsumu jdou tedy popsat pouze ˇ pravdˇepodobnostn´ım rozloˇzen´ım. Sum má rovnˇeˇz nulovou stˇredn´ı hodnotu. Zdroj˚ u ˇsumového signálu je mnoho, napˇr´ıklad: • tepeln´ y ˇsum odpor˚ u [6] • v´ ystˇrelov´ y a blikav´ y ˇsum PN pˇrechod˚ u [6] • ˇsum zp˚ usoben´ y vlivem okoln´ıho prostˇred´ı • kvantizaˇcn´ı ˇsum AD pˇrevodn´ık˚ u Protoˇze je zdroj˚ u ˇsumu velké mnoˇzstv´ı, nejsme schopni vˇsechny zdroje popsat jednotlivˇe. Ale protoˇze se jedná o náhodné veliˇciny, tak podle centráln´ı limitn´ı vˇety [7] m˚ uˇzeme vˇsechny zdroje ˇsumu s r˚ uzn´ ymi statistick´ ymi rozdˇelen´ımi nahradit jedn´ım zdrojem ˇsumu s normáln´ım rozloˇzen´ım, tedy b´ıl´ ym ˇsumem.

3.1.1

B´ıl´ yˇ sum

B´ıl´ y ˇsum má jako kaˇzd´ y ˇsumov´ y signál nulovou stˇredn´ı a nenulovou efektivn´ı hodnotu. Ale nav´ıc je to signál s konstantn´ı v´ ykonovou spektráln´ı hustotou, tedy ve frekvenˇcn´ım spektru maj´ı vˇsechny spektráln´ı ˇcáry stejnou velikost. Pravdˇepodobnostn´ı rozloˇzen´ı, kter´ ym se daj´ı popsat v´ ystupn´ı hodnoty b´ılého ˇsumu, je normáln´ı (Gaus2 sovo) rozloˇzen´ı N (µ, σ ). Efektivn´ı hodnota b´ılého ˇsumu je rovna smˇerodatné odchylce σ a ˇspiˇcková hodnota je rovna s pravdˇepodobnost´ı 99, 7% 3σ a s pravdˇepodobnost´ı 99, 9% 3, 3σ [8].

13

3.1.2

Signal to noise ratio

Je uˇziteˇcné znát v jakém pomˇeru je efektivn´ı hodnota mˇeronosného signálu a efektivn´ı hodnota ˇsumu. K tomuto u ´ˇcelu slouˇz´ı veliˇcina SN R (signal to noise ratio)(3.1). Protoˇze tento pomˇer m˚ uˇze dosahovat velkého rozpˇet´ı hodnot, uvád´ı se SN R v decibelech. ASIG (3.1) SN RdB = 20 · lg ASU M kde ASIG je efektivn´ı hodnota signálu a ASU M je efektivn´ı hodnota ˇsumu (v pˇr´ıpadˇe b´ılého ˇsumu to je smˇerodatná odchylka σ).

3.2

Rychlost mˇ eˇ ric´ıch obvod˚ u

Dalˇs´ım problémem pˇri mˇeˇren´ı je napˇr´ıklad nedostateˇcná rychlost mˇeˇr´ıc´ıch obvod˚ u. Kdy spojit´ y signál, kter´ y vstupuje do AD pˇrevodn´ıku, mus´ı b´ yt vzorkován alespoˇ n takovou rychlost´ı, aby splnil poˇzadavky pro následné zpracován´ı. Pro zpˇetnou rekonstrukci signálu mus´ı b´ yt vzorkovac´ı rychlost alespoˇ n taková, aby byl splnˇen Shannon-Kotelnik˚ uv-Nyquist˚ uv teorém, ale rychlost vzorkován´ı je omezena konstrukc´ı AD pˇrevodn´ıku (nejrychlejˇs´ı flash AD pˇrevodn´ıky jsou schopny vzorkovat ˇra´dovˇe jednotkami GS/s).

3.2.1

Shannon-Kotelnik˚ uv-Nyquist˚ uv teor´ em

Tento teorém nám ˇr´ıká, jak´ y má b´ yt vztah (3.2) mezi vzorkovac´ı frekvenc´ı AD pˇrevodn´ıku a maximáln´ı frekvenc´ı ve spektru analogového signálu, kter´ y digitalizujeme, aby nedoˇslo ke ztrátˇe informace. Pokud tento vztah nen´ı dodrˇzen, vznikne aliasing efekt [9]. fs > 2 · fM AX (3.2) kde fs je vzorkovac´ı frekvence AD pˇrevodn´ıku a fM AX je maximáln´ı frekvence ve spektru digitalizovaného signálu.

14

4

ˇ REN ˇ Í FREKVENCE A FAZE ´ METODY ME

Metod mˇeˇren´ı frekvence a fáze je velké mnoˇzstv´ı. Pro pˇrehlednost bude vhodnˇejˇs´ı je systematicky rozdˇelit, a to na dvˇe velké skupiny, na metody analogové a metody digitáln´ı.

4.1

Analogov´ e metody

Analogové metody jsou dnes sice na u ´stupu, postupnˇe je nahrazuj´ı metody digitáln´ı, ale pˇresto se i dnes, pˇredevˇs´ım kv˚ uli cenˇe, stále pouˇz´ıvaj´ı. Obrovskou v´ yhodou nˇekter´ ych analogov´ ych mˇeˇric´ıch metod je, ˇze jsou pasivn´ı, tedy nepotˇrebuj´ı napájen´ı (napˇr´ıklad rezonanˇcn´ı metoda). C´ılem této práce nen´ı porovnávat analogové metody, proto zde jen zm´ın´ım nˇekteré z nich: • analogové metody mˇeˇren´ı frekvence - rezonanˇcn´ı metody - záznˇejové metody - m˚ ustkové metody - metody s pˇr´ım´ ym u ´dajem • analogové metody mˇeˇren´ı fáze - metoda tˇr´ı napˇet´ı - fázov´ y detektor - impulsov´ y fázomˇer - osciloskopické metody podrobnˇejˇs´ı popis lze naj´ıt napˇr v [10] nebo [11]

4.2

Digit´ aln´ı metody

Digitáln´ı metody pracuj´ı na principu digitalizace signálu a jeho následném ˇc´ıslicovém zpracován´ı. Protoˇze digitáln´ı zpracován´ı signálu umoˇzn ˇuje signál prakticky jakkoliv upravovat (napˇr.: filtrace, pr˚ umˇerován´ı nebo transformace), bylo vytvoˇreno velké mnoˇzstv´ı r˚ uzn´ ych metod mˇeˇren´ı frekvence a fáze, zaloˇzen´ ych na odliˇsn´ ych principech. Nˇekteré z tˇechto metod, které budou dále rozvedeny, jsou: ˇ ıtaˇcová metoda - C´ - Metoda lineárn´ı regrese fáze signálu (WLSM) - Fourierova transformace dalˇs´ı metody mˇeˇren´ı frekvence a fáze vˇcetnˇe podrobnˇejˇs´ıho popisu jsou uvedeny napˇr. zde [11] nebo [12]

15

4.2.1

ˇ ıtaˇ C´ cov´ a metoda

Princip metody Tato metoda je zaloˇzena na mˇeˇren´ı doby mezi událostmi. Jako událost je v tomto pˇr´ıpadˇe vhodné zvolit pr˚ uchod signálu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı. Pokud komparaˇcn´ı u ´roveˇ n nen´ı vˇetˇs´ı nebo rovna maximáln´ı v´ ychylce signálu, nebo opaˇcnˇe, protne harmonick´ y signál bˇehem své jedné periody tuto komparaˇcn´ı u ´roveˇ n dvakrát. Z ˇcasu mezi dvˇema následuj´ıc´ımi pr˚ uchody signálu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı se vypoˇc´ıtá frekvence signálu, proto je d˚ uleˇzité vˇedˇet, jaká ˇca´st periody signálu probˇehne mezi tˇemito pr˚ uchody. Jednou z moˇznost´ı je mˇeˇrit celou periodu signálu a z n´ı spoˇc´ıtat frekvenci(4.1). V tomto pˇr´ıpadˇe je d˚ uleˇzité mˇeˇrit dobu mezi dvˇema stejn´ ymi pr˚ uchody komparaˇcn´ı u ´rovn´ı1 . Dalˇs´ı moˇznost´ı je mˇeˇrit p˚ ulperiodu signálu(4.2), pak je d˚ uleˇzité zvolit komparaˇcn´ı u ´roveˇ n tak, aby doba mezi jednotliv´ ymi pr˚ uchody 2 byla stejná . V pˇr´ıpadˇe harmonick´ ych signálu je tato hodnota stejnosmˇerná sloˇzka (offset). 1 (4.1) f= T f=

1 2Tpul

(4.2)

kde f je frekvence signálu, T je perioda signálu a Tpul je p˚ ulperioda signálu. Pˇri mˇeˇren´ı fáze se mˇeˇr´ı doba td mezi pr˚ uchody hrany referenˇcn´ıho a stejné hrany mˇeˇreného signálu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı. Ze znalosti doby td a frekvence f signálu se pak vypoˇc´ıtá fáze mˇeˇreného signálu(4.3). φ = td f 360◦

(4.3)

kde td je doba mezi pr˚ uchody hran referenˇcn´ıho a mˇeˇreného signálu, f je frekvence signálu. Konstanta 360◦ je zde proto, aby v´ ysledná fáze byla ve [◦ ]. V pˇr´ıpadˇe harmonického signálu bez ˇsumu je detekce pr˚ uchodu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı jednoduchá, staˇc´ı pouze zjistit okamˇzik, kdy se dan´ y signál stane vˇetˇs´ı (menˇs´ı) neˇz komparaˇcn´ı u ´roveˇ n. Reáln´ y signál ale nen´ı bez ˇsumu, a proto se zde vyskytuje problém v´ıcenásobného pˇrechodu signálu pˇres komparaˇcn´ı u ´roveˇ n pˇri jednom pr˚ uchodu signálu bez ˇsumu (Obrázek 4.1). Protoˇze ˇsum v signálu má nulovou stˇredn´ı hodnotu a harmonická funkce sinus se dá, v okol´ı svého pr˚ uchodu nulou, pomˇernˇe pˇresnˇe aproximovat bud’ pr˚ uchod jen n´ astupn´ ych, a nebo jen sestupn´ ych hran doba mezi n´ astupnou a sestupnou hranou mus´ı b´ yt stejná jako doba mezi sestupnou a n´ astupnou hranou 1

2

16

pˇr´ımkou, nab´ız´ı se ˇreˇsen´ı tohoto problému pomoc´ı lineárn´ı regrese signálu se ˇsumem v okol´ı jeho pr˚ uchodu nulou. Tato metoda je zaloˇzena na regresi urˇcité ˇca´sti signálu, proto je d˚ uleˇzité, aby byl dostateˇcn´ y poˇcet vzork˚ u na jednu periodu signálu, tedy aby fvz fM AX . 0.1 signal bez sumu signal se sumem komparacni uroven

0.08

0.06

Amplitude [−]

0.04

0.02

0

−0.02

−0.04

−0.06

−0.08

−0.1 3.04

3.06

3.08

3.1

3.12

3.14

3.16

3.18

3.2

3.22

3.24

Time [s]

Obr. 4.1: Problém v´ıcenásobného pˇrechodu signálu se ˇsumem pˇres komparaˇcn´ı u ´roveˇ n

Postup v´ ypoˇ ctu Ke zjiˇstˇen´ı frekvence a fáze pomoc´ı této metody je zapotˇreb´ı provést nˇekolik d´ılˇc´ıch krok˚ u: Normalizace vstupn´ıho sign´ alu Tento krok nen´ı nutn´ y, ale je vhodn´ y vzhledem ke zjednoduˇsen´ı implementace následuj´ıc´ıch krok˚ u. V´ ybˇ er hodnot pro v´ ypoˇ cet V tomto kroku se vyberou hodnoty, ze kter´ ych se bude poˇc´ıtat regresn´ı pˇr´ımka. ˇ urˇc´ı regresn´ı pˇr´ımka vybrané ˇca´sti Line´ arn´ı regrese Zde se napˇr´ıklad pomoc´ı MNC signálu a následnˇe se vypoˇc´ıtá ˇcas tn (4.4), kdy tato pˇr´ımka protne komparaˇcn´ı u ´roveˇ n. V´ ypoˇ cet frekvence sign´ alu V tomto kroku se z rozd´ılu aktuáln´ıho ˇcasu pr˚ uchodu tn a ˇcasu pˇredchoz´ıho pr˚ uchodu tn−1 urˇc´ı perioda T , pˇr´ıpadnˇe p˚ ulperioda Tpul signálu, ze které se podle (4.1), pˇr´ıpadnˇe (4.2) vypoˇc´ıtá frekvence signálu.

17

V´ ypoˇ cet f´ aze sign´ alu prob´ıhá na základˇe zpoˇzdˇen´ı td mezi pr˚ uchodem stejn´ ych hran referenˇcn´ıho a mˇeˇreného signálu, z ˇcehoˇz se podle (4.3) vypoˇc´ıtá fáze signálu. Konkr´ etn´ı algoritmus Mnou naprogramovaná ˇc´ıtaˇcová metoda mˇeˇren´ı frekvence v prostˇred´ı LabVIEW od firmy National Instruments má tyto konkrétn´ı vlastnosti: Vstupn´ı signál je normalizovan´ y. Kritérium pro v´ ybˇer hodnot na v´ ypoˇcet regresn´ı pˇr´ımky je alespoˇ n 10 po sobˇe jdouc´ıch hodnot v intervalu ±0, 4 násobku amplitudy ˇ Z koesignálu. V´ ypoˇcet regresn´ı pˇr´ımky prob´ıhá pomoc´ı neváhované varianty MNC. ficient˚ u regresn´ı pˇr´ımky jsem podle rovnice (4.4) zjistil ˇcas tn pr˚ uchodu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı 0. Z tˇechto ˇcas˚ u, jsem vypoˇc´ıtal frekvenci signálu. K v´ ypoˇctu frekvence jsem pouˇzil obˇe v´ yˇse zm´ınˇené moˇznosti v´ ypoˇctu (z celé periody a z p˚ ulperiody signálu). rovnice regresn´ı pˇr´ımky: x = K ·t+a ˇcas pr˚ uchodu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı: tn = −a K

(4.4)

kde x je hodnota regresn´ı pˇr´ımky v ˇcase t, K je smˇernice a q je u ´sek regresn´ı pˇr´ımky a tn je ˇcas pr˚ uchodu regresn´ı pˇr´ımky komparaˇcn´ı u ´rovn´ı [13]. Prvn´ı metoda (CIT-pul) poˇc´ıtá frekvenci signálu ze znalosti dvou po sobˇe jdouc´ıch hran (jedné nástupné a druhé sestupné), druhá metoda(CIT-per) poˇc´ıtá frekvenci pomoc´ı ˇcas˚ u pr˚ uchodu dvou stejn´ ych hran (dvou po sobˇe jdouc´ıch nástupn´ ych nebo sestupn´ ych). Nová frekvence se poˇc´ıtá vˇzdy pˇri zjiˇstˇen´ı dalˇs´ıho ˇcasu pr˚ uchodu(3 ), Frekvence se poˇc´ıtá pouze z referenˇcn´ıho signálu a je tedy poˇc´ıtána dvakrát bˇehem periody signálu. Fáze signálu se v obou pˇr´ıpadech poˇc´ıtá stejn´ ym zp˚ usobem a to z rozd´ılu ˇcas˚ u, kdy stejná hrana mˇeˇreného a referenˇcn´ıho signálu protne komparaˇcn´ı u ´roveˇ n. Fáze je poˇc´ıtána pˇri pr˚ uchodu referenˇcn´ıho signálu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı a je tedy rovnˇeˇz jako frekvence poˇc´ıtána dvakrát za periodu signálu. K v´ ypoˇctu fáze se pouˇzije posledn´ı známá hodnota frekvence. Prvn´ı metoda potˇrebuje k zjiˇstˇen´ı frekvence signálu pˇribliˇznˇe poloviˇcn´ı ˇcas oproti druhé metodˇe, mˇela by tedy rychleji reagovat na zmˇeny frekvence mˇeˇreného signálu, ale zase by mˇela b´ yt ménˇe odolná oproti offsetu. Porovnán´ı tˇechto dvou metod je uvedeno v kapitole (6.1). 3

neplat´ı pˇri zjiˇstˇen´ı prvn´ıho ˇcasu, protoˇze chyb´ı druhá hodnota pro v´ ypoˇcet frekvence

18

4.2.2

Metoda line´ arn´ı regrese f´ aze sign´ alu

Princip metody Metoda WLSM (Weighted least square method) [14] je zaloˇzena na detekci fáze signálu a jej´ı lineárn´ı regresi. Smˇernice regresn´ı (derivace) odpov´ıdá u ´hlové rychlosti ω (4.5), coˇz je po vydˇelen´ı konstantou 2π frekvence signálu. Fáze signálu se pozná podle posunut´ı regresn´ıch pˇr´ımek referenˇcn´ıho a mˇeˇreného signálu. Aby tato metoda fungovala správnˇe, mus´ı b´ yt fáze v celém intervalu, kde mˇeˇren´ı prob´ıhá, monotónn´ı. dφ = ω = 2πf dt kde φ je fáze, ω je u ´hlová rychlost a f je frekvence signálu.

(4.5)

Jednou z moˇznost´ı, jak splnit pˇredchoz´ı podm´ınku, je pouˇz´ıt funkci arcsin a mˇeˇren´ı provádˇet pouze v tˇech ˇca´stech, kde je signál monotónn´ı, tedy pouze v u ´sec´ıch mezi minimy a maximy signálu. Funkce arcsin má definiˇcn´ı obor od −1 do 1 a je v celém svém definiˇcn´ım oboru rostouc´ı. Proto v u ´seku, kde je signál rostouc´ı (od +AM AX do +AM AX ) lze tuto funkci pouˇz´ıt, jej´ı v´ ystup bude rostouc´ı a smˇernice fáze bude u ´hlová rychlost ω. V intervalu, kde signál klesá (od +AM AX do +AM AX ) lze tuto funkci pouˇz´ıt také. V´ ysledná u ´hlová rychlost ω bude m´ıt stejnou velikost, ale opaˇcné znaménko. Protoˇze pro mˇeˇren´ı fáze se porovnává posunut´ı stejn´ ych hran referenˇcn´ıho a mˇeˇreného signálu, nemá rozd´ılná smˇernice regresn´ıch pˇr´ımek u nástupn´ ych a sestupn´ ych hran vliv. Tato metoda je zaloˇzena na regresi fáze urˇcité ˇca´sti signálu, proto je d˚ uleˇzité, aby byl dostateˇcn´ y poˇcet vzork˚ u na jednu periodu signálu, tedy aby fvz fM AX . Postup v´ ypoˇ ctu Tato metoda mˇeˇren´ı frekvence a fáze se skládá z nˇekolika po sobˇe jdouc´ıch krok˚ u: Normalizace vstupn´ıho sign´ alu Stejnˇe jako u ˇc´ıtaˇcové metody nen´ı tento krok nutn´ y, ale je vhodn´ y. V´ ybˇ er hodnot pro v´ ypoˇ cet Zde se vyberou hodnoty, ze kter´ ych se bude poˇc´ıtat fáze a jej´ı regresn´ı pˇr´ımka. Je d˚ uleˇzité vybrat hodnoty tak, aby fáze signálu pro jeden v´ ypoˇcet byla monotónn´ı. Zjiˇ stˇ en´ı f´ aze sign´ alu V tomto kroku se pomoc´ı vhodné cyklometrické funkce urˇc´ı fáze vybran´ ych vzork˚ u. Line´ arn´ı regrese f´ aze sign´ alu Z fáz´ı jednotliv´ ych vzork˚ u se v tomto kroku poˇ moc´ı napˇr´ıklad MNC urˇc´ı regresn´ı pˇr´ımka. V´ ypoˇ cet frekvence sign´ alu Ze smˇernice regresn´ı pˇr´ımky se podle(4.5) urˇc´ı frekvence signálu.

19

V´ ypoˇ cet f´ aze sign´ alu Prob´ıhá posunut´ı regresn´ıch pˇr´ımek referenˇcn´ıho a mˇeˇreného signálu. Konkr´ etn´ı algoritmus Moje implementace této metody do prostˇred´ı LabVIEW mˇela tyto parametry: Vstupn´ı signál je normalizovan´ y. Hodnoty pro v´ ypoˇcet fáze jsou vyb´ırány v rozmez´ı ±0.8 násobku amplitudy signálu a dále tak, aby tˇechto hodnot bylo za sebou alespoˇ n ˇ 10. V´ ypoˇcet regresn´ı pˇr´ımky je provádˇen neváhovanou MNC. Frekvence signálu se urˇcuje z absolutn´ı hodnoty smˇernice regresn´ı pˇr´ımky ω, z´ıskané z referenˇcn´ıho signálu, vydˇelen´ım konstantou 2π. Frekvenci signálu tedy vypoˇc´ıtám dvakrát za periodu signálu.

0.1

td

Faze [rad]

0

−0.1

−0.2

∆φ −0.3

φs −0.4 faze mereneho signalu pri shodne frekvenci s referencnim signalem faze mereneho signalu pri odlisne frekvenci od referencniho signalu faze referencniho signalu −0.5 −0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Cas [s]

Obr. 4.2: Moˇznosti v´ ypoˇctu fáze u metody WLSM Fáze signálu φs je pˇr´ımo rozd´ıl u ´sek˚ u regresn´ıch pˇr´ımek mˇeˇreného a referenˇcn´ıho signálu, tedy staˇcilo by z nich udˇelat rozd´ıl (vysvˇetlen´ı na Obrázku 4.2). Tento zp˚ usob ale pˇredpokládá, ˇze vypoˇc´ıtaná frekvence u referenˇcn´ıho a mˇeˇreného signálu bude shodná, coˇz zvláˇst’ v pˇr´ıpadˇe zaˇsumˇeného signálu nemus´ı b´ yt pravda. Pokud zjiˇstˇené frekvence mˇeˇreného a referenˇcn´ıho signálu nejsou shodné bude rozd´ıl u ´sek˚ u regresn´ıch pˇr´ımek vˇetˇs´ı o hodnotu ∆φ. Proto je lepˇs´ı vypoˇc´ıtat fázi φ podle rovnice (4.3) z rozd´ılu ˇcas˚ u td , kdy regresn´ı pˇr´ımka protne urˇcitou u ´roveˇ n v okol´ı hodnot fáze (v tomto pˇr´ıpadˇe je zvolena u ´roveˇ n 0), t´ım se minimalizuje chyba zp˚ usobená rozd´ılnou smˇernic´ı obou regresn´ıch pˇr´ımek.

20

4.2.3

Metoda Fourierovy transformace

Princip metody Tato metoda je zaloˇzena na pˇrevodu mˇeˇreného signálu z ˇcasového do frekvenˇcn´ıho spektra pomoc´ı Fourierovy transformace. Frekvence signálu se pak urˇc´ı podle frekvence, na které v amplitudovém spektru leˇz´ı spektráln´ı ˇca´ra s maximáln´ı hodnotou4 . Fáze signálu se urˇc´ı jako rozd´ıl hodnot spektráln´ıch ˇcar ve fázovém spektru, které leˇz´ı na frekvenci signálu. Protoˇze mˇeˇren´ y signál je diskrétn´ı, mus´ıme pouˇz´ıt diskrétn´ı Fourierovu transformaci (DFT) [15]. Tato transformace nám vytvoˇr´ı diskretizovan´ y obraz signálu ve frekvenˇcn´ı oblasti. Vzdálenost mezi jednotliv´ ymi spektráln´ımi ˇcarami je urˇcena rovnic´ı (4.6), podle tohoto vztahu je tedy moˇzné zmˇenou poˇctu vzork˚ u N a zmˇenou vzorkovac´ı frekvence fvz (tedy zmˇenou doby vzorkován´ı Tvz ) ovlivˇ novat pˇresnost urˇcen´ı v´ ysledné frekvence. Aby se zabránilo tzv. prosakován´ı spektra“ (spectral ” leakage) [16] je nutné signál pˇred aplikac´ı DFT upravit vhodnou oknovac´ı funkc´ı. ∆f =

1 fvz = N tvz

(4.6)

kde ∆f je vzdálenost mezi dvˇema spektráln´ımi ˇcarami, fvz je vzorkovac´ı frekvence, N je poˇcet vzork˚ u, ze kter´ ych se poˇc´ıtá DFT a tvz je doba, po kterou se sb´ıraj´ı vzorky pro v´ ypoˇcet DFT. Podle rovnice (4.6) nen´ı tato metoda schopna dávat dostateˇcnˇe pˇresn´ y v´ ysledek dostateˇcnˇe rychle (napˇr´ıklad pro ∆f = 1Hz se mus´ı sb´ırat vzorky po dobu tvz = 1s), tento problém se dá ˇreˇsit napˇr´ıklad pomoc´ı Zoom FFT, kdy se pouˇzije dalˇs´ıch matematick´ ych operac´ı (napˇr´ıklad Chirp-Z transformace, nebo konvoluce) [17], kter´ ymi se dosáhne lepˇs´ıho rozliˇsen´ı. Postup v´ ypoˇ ctu Metoda mˇeˇren´ı frekvence a fáze na principu Fourierovy transformace se skládá z tˇechto krok˚ u: Normalizace sign´ alu Nen´ı d˚ uleˇzitá, ale vhodná je u ´prava offsetu, pokud pˇri zjiˇst’ován´ı frekvence uvaˇzujeme i prvn´ı spektráln´ı ˇca´ru. Shromaˇ zd’ov´ an´ı vzork˚ u Je potˇreba nasb´ırat dostateˇcn´ y poˇcet vzork˚ u na to, aby se mohla provést DFT s poˇzadovanou pˇresnost´ı. Oknov´ an´ı Na shromáˇzdˇené vzorky se pouˇzije oknovac´ı funkce, aby se omezilo prosakován´ı spektra, ale tento krok nen´ı nutn´ y [18]. Zjiˇ stˇ en´ı frekvence sign´ alu Spoˇc´ıvá v proveden´ı DFT a nalezen´ı maxima v amplitudovém frekvenˇcn´ım spektru. 4

nen´ı vhodné uvaˇzovat prvn´ı spektráln´ı ˇcáru - offset

21

V´ ypoˇ cet f´ aze Fáze signálu se urˇc´ı z rozd´ılu hodnot, které jdou ve fázovém frekvenˇcn´ım spektru na hodnotˇe frekvence signálu. Konkr´ etn´ı algoritmus Má implementace této metody do prostˇred´ı LabVIEW mˇela tyto parametry: Vstupn´ı signál se neupravuje odeˇcten´ım zjiˇstˇeného offsetu, protoˇze stejnosmˇerná sloˇzka je pˇri v´ ybˇeru maximáln´ı spektráln´ı ˇca´ry ignorována. Hodnoty pro proveden´ı DFT se sb´ıraj´ı po dobu, jaká je potˇreba na uˇzivatelem nastavenou pˇresnost (v základn´ım nastaven´ı je ∆f = 1Hz, tedy tvz = 1s). Na tato nasb´ıraná data je pouˇzita Hanningova oknovac´ı funkce a následnˇe se spoˇc´ıtá DFT (pomoc´ı algoritmu FFT, kter´ y je v LabVIEW k dispozici). Hledán´ı maxima v amplitudovém frekvenˇcn´ım spektru je provedeno bez moˇznosti vybrán´ı prvn´ı spektráln´ı ˇca´ry (stejnosmˇerné sloˇzky). V´ ypoˇcet fáze se provád´ı rozd´ılem hodnot, které leˇz´ı na zjiˇstˇené frekvenci signálu ve fázovém frekvenˇcn´ım spektru.

22

5

´ ´ Í METOD KRITERIA POROVNAN

Metod pro mˇeˇren´ı frekvence a fáze je mnoho. Kaˇzdá metoda dává v závislosti na svém nastaven´ı a na vlastnostech vstupn´ıho signálu jinou pˇresnost v´ ysledku, kter´ y poˇc´ıtá v odliˇsn´ ych ˇcasov´ ych intervalech. Protoˇze ve vˇetˇsinˇe aplikac´ı, kde potˇrebujeme tyto metody pouˇz´ıt, jsme schopni ˇr´ıct, jaké budou pˇribliˇznˇe parametry mˇeˇreného signálu a jaké máme poˇzadavky na pˇresnost a aktuálnost namˇeˇren´ ych hodnot, je pro v´ ybˇer nejvhodnˇejˇs´ı metody pro dané pouˇzit´ı d˚ uleˇzité vˇedˇet, jak se jednotlivé metody chovaj´ı pˇri co nejpˇresnˇeji definovan´ ych vlastnostech mˇeˇreného signálu. Vlastnost´ı signálu je celá ˇrada, proto je obt´ıˇzné vybrat pouze nˇekolik vlastnost´ı, podle kter´ ych se metody budou srovnávat. Pˇresto jsem se snaˇzil vybrat co nejlepˇs´ı vlastnosti pro porovnán´ı tˇechto metod. Kritéria porovnán´ı metod jsem zvolil tato: Reakce na zmˇ enu frekvence sign´ alu Zde se bude pozorovat rozd´ıl mezi frekvenc´ı, jakou konkrétn´ı metoda aktuálnˇe vypoˇc´ıtala a frekvenc´ı, kterou má v daném okamˇziku mˇeˇren´ y signál. Rovnˇeˇz zjist´ıme, jak mˇen´ıc´ı se frekvence ovlivˇ nuje fázi mˇeˇrenou jednotliv´ ymi metodami. Frekvence signálu se bude mˇenit lineárnˇe. Reakce na zmˇ enu f´ aze sign´ alu V tomto kritériu se bude lineárnˇe mˇenit fáze signálu a podobnˇe jako u reakce na zmˇenu frekvence se bude sledovat zpoˇzdˇen´ı mezi fáz´ı vypoˇc´ıtanou jednotliv´ ymi metodami a skuteˇcnou fáz´ı signálu. Pˇ resnost v´ ysledku pˇ ri nepˇ resn´ e znalosti amplitudy sign´ alu Pˇri tomto kritériu porovnán´ı se bude sledovat pˇresnost vypoˇc´ıtané hodnoty frekvence a fáze pˇri nepˇresné znalosti amplitudy mˇeˇreného signálu. Pˇ resnost v´ ysledku pˇ ri nepˇ resn´ e znalosti offsetu sign´ alu U tohoto kritéria se bude sledovat pˇresnost v´ ysledné hodnoty frekvence a fáze jednotliv´ ych metod v závislosti na nepˇresné znalosti offsetu mˇeˇreného signálu. Pˇ resnost v´ ysledku v z´ avislosti na SNR Toto kritérium ukáˇze, jak se jednotlivé metody vyrovnaj´ı se zaˇsumˇen´ ym mˇeˇren´ ym signálem. Stejnˇe jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıpadech se bude sledovat pˇresnost mˇeˇren´ı frekvence a fáze jednotliv´ ych metod v závislosti na velikosti ˇsumu v signálu. Rovnˇeˇz je obt´ıˇzné zaˇr´ıdit, aby signál, kter´ ym se metody budou testovat, mˇel tyto vlastnosti pˇresnˇe definované. Tedy aby se minimalizoval vliv nepromˇeˇrovan´ ych vlastnost´ı na v´ yslednou reakci jednotliv´ ych metod. Minimalizace vlivu nepromˇeˇrovan´ ych vlastnost´ı signálu na reakci jednotliv´ ych metod mˇe dovedla aˇz k naprogramován´ı vlastn´ıho generátoru harmonického signálu, kter´ y jsem stejnˇe jako jednotlivé metody implementoval do programu LabVIEW a následnˇe pouˇzil k promˇeˇren´ı vlastnost´ı jednotliv´ ych metod.

23

Pˇri promˇeˇrován´ı jednotliv´ ych v´ yˇse uveden´ ych kritéri´ı budou ostatn´ı vlastnosti mˇeˇreného signálu známé a uvedené v dané kapitole. U promˇeˇrovaného kritéria bude pˇresnˇeji definováno, jak se mˇenilo a jak´ ym zp˚ usobem se namˇeˇrené hodnoty zpracovávaly.

24

6

´ Í METOD POROVNAN

V´ yˇse uvedené metody mˇeˇren´ı frekvence a fáze (ˇc´ıtaˇcová metoda, metoda WLSM, metoda Fourierovy transformace), pˇresnˇeji jejich konkrétn´ı implementace do programu LabVIEW , které jsou uvedeny v´ yˇse, jsem porovnal podle kritéri´ı uveden´ ych v pˇredchoz´ı kapitole (5). V´ ysledky porovnán´ı jsou závislé na konkrétn´ım nastaven´ı jednotliv´ ych metod. Pˇri zmˇenˇe nastaven´ı se budou nˇekteré v´ ysledky liˇsit.

6.1

Porovn´ an´ı ˇ c´ıtaˇ cov´ ych metod

V této ˇca´sti budou porovnány dvˇe podobné ˇc´ıtaˇcové metody uvedené v kapitole (4.2.1), tedy metody CIT-pul a CIT-per. V této kapitole je rovnˇeˇz uvedeno v ˇcem by mˇely spoˇc´ıvat hlavn´ı rozd´ıly mezi tˇemito metodami. Tyto rozd´ıly jsou zde podrobnˇeji ukázány.

6.1.1

Reakce na zmˇ enu frekvence sign´ alu

Vlastnosti mˇeˇreného signálu jsou: ˇ Sum nen´ı pˇridáván do signálu. Offset se nemˇen´ı, je pˇresnˇe znám´ y a má velikost Aof f set = 0. Amplituda je, rovnˇeˇz jako offset, nemˇenná, pˇresnˇe známá o velikosti Aampl = 1. Vzorkovac´ı frekvence je fvz = 10kS/s. F´ aze signálu φ = 30◦ se také v ˇcase nemˇen´ı. Frekvence signálu se mˇen´ı lineárnˇe s pˇr´ır˚ ustkem ∆f = 10Hz/s. Graf (6.1) ukazuje jak jednotlivé ˇc´ıtaˇcové metody reaguj´ı na zmˇenu frekvence signálu. Z tohoto grafu jde vidˇet, ˇze metoda CIT-pul reaguje na zmˇeny frekvence signálu rychleji neˇz metoda CIT-per, coˇz je v souladu s pˇredpoklady uveden´ ymi v kapitole (4.2.1).

6.1.2

Pˇ resnost v´ ysledku pˇ ri nepˇ resn´ e znalosti offsetu

Vlastnosti mˇeˇreného signálu jsou: ˇ Sum nen´ı pˇridáván do signálu. Vzorkovac´ı frekvence je fvz = 10kS/s. Frekvence je f = 50Hz F´ aze signálu je φ = 30◦ a v ˇcase se nemˇen´ı. Amplituda je nemˇenná a pˇresnˇe známá o velikosti Aampl = 1. Offset signálu se nemˇen´ı, ale mˇen´ı se hodnoty, které dostávaj´ı jednotlivé metody jako informaci o offsetu, tyto hodnoty se mˇen´ı skokovˇe.

25

78.4

78.3

Frekvence [H z]

78.2

78.1

78

77.9

77.8

77.7 citace-cel citace-pul generovany signal 77.6 4.77

4.78

4.79

4.8

4.81

4.82

4.83

4.84

4.85

Cas [s]

Obr. 6.1: V´ ysledek mˇeˇren´ı frekvence porovnávan´ ych ˇc´ıtaˇcov´ ych metod pˇri lineárn´ı zmˇenˇe frekvence mˇeˇreného signálu Offset se v tomto pˇr´ıpadˇe mˇen´ı skokovˇe po uplynut´ı doby t = 0, 2s. Namˇeˇrené hodnoty chyby pˇri konstantn´ım offsetu se pr˚ umˇeruj´ı a jsou vynáˇseny do grafu (6.2). Graf(6.2) ukazuje, jak v´ yˇse uvedené ˇc´ıtaˇcové metody reaguj´ı na nepˇresnost offsetu. Metoda CIT-per se v souladu s pˇredpoklady uveden´ ymi v kapitole (4.2.1) vyrovnává s nepˇresnou znalost´ı offsetu signálu lépe neˇz metoda CIT-pul. Pˇri nepˇresné znalosti offsetu je totiˇz u metody CIT-pul poruˇsen pˇredpoklad stejné doby mezi jednotliv´ ymi pr˚ uchody signálu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı. Nepˇresná znalost offsetu posune signál pˇri normalizaci tak, ˇze jeho stˇredn´ı hodnota nen´ı shodná s komparaˇcn´ı u ´rovn´ı nastavenou na hodnotu 0. Protoˇze tato neshoda zp˚ usob´ı oscilaci mˇeˇrené frekvence kolem správné hodnoty, je v grafu (6.2) uvedena závislost absolutn´ı hodnoty chyby na nepˇresnosti offsetu.

6.1.3

Zhodnocen´ı ˇ c´ıtaˇ cov´ ych metod

Metoda CIT-per má sice o trochu pomalejˇs´ı reakci na zmˇenu frekvence mˇeˇreného signálu neˇz metoda CIT-pul, ale zase je odolnˇejˇs´ı v˚ uˇci nepˇresné znalosti offsetu signálu, proto bude v následuj´ıc´ı ˇca´sti s dalˇs´ımi metodami porovnávána právˇe metoda CIT-per (dále uˇz uvádˇena pouze jako ˇc´ıtaˇcová metoda).

26

7 citace-cel citace-pul

Absolutni hodnota Chyby [%]

6

5

4

3

2

1

0

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Absolutni chyba offsetu [−]

Obr. 6.2: Porovnán´ı chyb mˇeˇren´ı frekvence signálu ˇc´ıtaˇcov´ ych metod pˇri nepˇresné znalosti offsetu mˇeˇreného signálu

6.2

Porovn´ an´ı vybran´ ych metod

Zde budou porovnávány pouze tyto tˇri metody: • CIT-per (dále jen ˇc´ıtaˇcová metoda) v kapitole (4.2.1) • Metoda WLSM u amplitudy uvedená v kapitole (4.2.2) • Metoda Fourierovy transformace (dále jen MTF) uvedená v kapitole (4.2.3)

6.2.1

Reakce na zmˇ enu frekvence sign´ alu

Vlastnosti mˇeˇreného signálu jsou: ˇ Sum nen´ı pˇridáván do signálu. Offset se nemˇen´ı, je pˇresnˇe znám´ y a má velikost Aof f set = 0. Amplituda je, rovnˇeˇz jako offset, nemˇenná, pˇresnˇe známá a o velikosti Aampl = 1. Vzorkovac´ı frekvence je fvz = 10kS/s. F´ aze signálu φ = 30◦ se také v ˇcase nemˇen´ı. Frekvence signálu se mˇen´ı z fstart = 50Hz na fcil = 100Hz bˇehem doby ∆t = 5s, zmˇena frekvence zaˇc´ıná v ˇcase tstart = 2s. V grafech je ukázán vliv zmˇeny frekvence mˇeˇreného signálu na pˇresnost vypoˇc´ıtané frekvence (6.3)a fáze (6.4) jednotliv´ ych metod.

27

100 80.1 80 79.9

90

Fekvence [H z]

79.8 79.7 4.98

80

5

5.02

70

60

WLSM citace MFT generovany signal

50

2

3

4

5

6

7

8

Cas [s]

Obr. 6.3: V´ ysledek mˇeˇren´ı frekvence porovnávan´ ych metod pˇri lineárn´ı zmˇenˇe frekvence mˇeˇreného signálu Protoˇze frekvence signálu neustále roste, tak jednotlivé metody vypoˇc´ıtaj´ı pˇribliˇznˇe pr˚ umˇernou hodnotu frekvence z hodnot, které potˇrebuj´ı na v´ ypoˇcet. Z grafu (6.3) jde vidˇet, ˇze metoda WLSM reaguje nejrychleji z uveden´ ych metod na zmˇeny frekvence mˇeˇreného signálu, protoˇze j´ı na v´ ypoˇcet frekvence staˇc´ı p˚ ulperioda signálu. S trochu vˇetˇs´ım zpoˇzdˇen´ım reaguje ˇc´ıtaˇcová metoda, protoˇze na jeden v´ ypoˇcet potˇrebuje celou periodu signálu. A nejpomaleji reaguje MFT, protoˇze na v´ ypoˇcet frekvence potˇrebuje sb´ırat hodnoty po dobu tvz = 1s, tato doba by ˇsla zkrátit za cenu zvˇetˇsen´ı rozestupu mezi dvˇema sousedn´ımi spektráln´ımi ˇcarami, jak ukazuje vzorec (4.6). Pro v´ ypoˇcet fáze signálu je potˇreba u metody WLSM a ˇc´ıtaˇcové metody znát aktuáln´ı frekvenci signálu, protoˇze toto nen´ı u zmˇeny frekvence zajiˇstˇeno (metody poˇc´ıtaj´ı frekvenci trochu opoˇzdˇenˇe viz graf (6.3)). Je jasné, ˇze se tato nepˇresnost mus´ı projevit na pˇresnosti mˇeˇren´ı fáze. ˇ ıtaˇcová metoda mˇeˇr´ı fázi signálu s drobnou odchylkou1 i pˇri nemˇenné frekvenci C´ ˇ ıtaˇcová metoda v tomto pˇr´ıpadˇe (rostouc´ı frekvence signálu) mˇeˇreného signálu. C´ vypoˇc´ıtá menˇs´ı frekvenci neˇz signál aktuálnˇe má a proto je podle rovnice (4.3) namˇeˇrená hodnota fáze menˇs´ı neˇz skuteˇcná fáze signálu. Drobné kmity fáze jsou zp˚ usobeny nepˇresnostmi pˇri urˇcovan´ı ˇcasu pr˚ uchodu signálu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı. 1

Tato odchylka kles´ a s rostouc´ım poˇctem vzork˚ u na jednu periodu mˇeˇreného signálu

28

30.02

Faze [◦ ]

30

29.98

29.96

29.94 WLSM citace MFT 29.92

2

3

4

5

6

7

8

Cas [s]

Obr. 6.4: V´ ysledek mˇeˇren´ı fáze porovnávan´ ych metod pˇri lineárn´ı zmˇenˇe frekvence mˇeˇreného signálu Metoda WLSM vypoˇc´ıtá, podobnˇe jako ˇc´ıtaˇcová metoda, menˇs´ı hodnotu frekvence neˇz je skuteˇcná hodnota, pˇresto je v´ ysledná hodnota fáze vyˇsˇs´ı neˇz hodnota skuteˇcná. To je zp˚ usobeno lineárn´ı regres´ı fáze signálu. Pˇri lineárnˇe rostouc´ı frekvenci signálu roste fáze signálu s druhou mocninou ˇcasu. Pˇri lineárn´ı regresi paraboly ale docház´ı k chybˇe, která má za následek zvˇetˇsen´ı ˇcasu td v rovnici (4.3). Tato chyba je vetˇs´ı neˇz chyba zp˚ usobená nepˇresnou znalost´ı aktuáln´ı frekvence signálu a proto je vypoˇc´ıtaná fáze vˇetˇs´ı neˇz skuteˇcná. Tato chyba jde v pˇr´ıpadˇe lineárn´ı zmˇeny frekvence signálu kompenzovat napˇr´ıklad pr˚ umˇerován´ım hodnot frekvence mˇeˇreného a referenˇcn´ıho signálu a tuto pr˚ umˇernou hodnotu pouˇz´ıt na v´ ypoˇcet fáze. Pˇri jin´ ym zmˇenách frekvence ale tato kompenzace nemus´ı b´ yt u ´ˇcinná.

6.2.2

Reakce na zmˇ enu f´ aze sign´ alu

Vlastnosti mˇeˇreného signálu jsou: ˇ Sum nen´ı pˇridáván do signálu. Offset se nemˇen´ı, je pˇresnˇe znám´ y a má velikost Aof f set = 0. Amplituda je, rovnˇeˇz jako offset, nemˇenná, pˇresnˇe známá o velikosti Aampl = 1. Vzorkovac´ı frekvence je fvz = 10kS/s. Frekvence je f = 50Hz

29

F´ aze signálu se mˇen´ı z φstart = 30◦ na φcil = 100◦ bˇehem doby ∆t = 5s, zmˇena frekvence zaˇc´ıná v ˇcase tstart = 2s.

74.6

100

74.4 90 74.2 80 74

Faze [◦ ]

5.16

5.18

5.2

70

60

50

40 WLSM citace MFT generovany signal

30 2

3

4

5

6

7

8

Cas [s]

Obr. 6.5: V´ ysledek mˇeˇren´ı fáze porovnávan´ ych metod pˇri lineárn´ı zmˇenˇe fáze mˇeˇreného signálu V grafu (6.5) je ukázán vliv zmˇeny fáze signálu na pˇresnost vypoˇc´ıtané frekvence jednotliv´ ych metod. Fáze mˇeˇreného signálu neustále lineárnˇe roste, jednotlivé metody ale potˇrebuj´ı k v´ ypoˇctu fáze urˇcit´ y poˇcet vzork˚ u (stejnˇe jako u v´ ypoˇctu frekvence), v´ ysledná fáze pak je pˇribliˇznˇe pr˚ umˇerná hodnota fáze z tˇechto vzork˚ u. V grafu (6.5) jde vidˇet, ˇze ˇc´ıtaˇcová metoda a metoda WLSM reaguj´ı prakticky stejnˇe, coˇz je zp˚ usobeno t´ım, ˇze obˇe potˇrebuj´ı na v´ ypoˇcet fáze dobu odpov´ıdaj´ıc´ı pˇribliˇznˇe periodˇe mˇeˇreného signálu. To, ˇze ˇc´ıtaˇcová metoda reaguje o chvilku dˇr´ıve neˇz metoda WLSM, je zp˚ usobeno t´ım, ˇze ˇc´ıtaˇcová metoda poˇc´ıtá pouze se vzorky v rozmez´ı ±0, 4, kdeˇzto metoda WLSM v rozmez´ı ±0, 8. Tedy napˇr´ıklad v okamˇziku, kdy nástupná hrana normalizovaného signálu dosáhne hodnoty 0, 4, tak ˇc´ıtaˇcová metoda jiˇz vypoˇc´ıtá fázi signálu, kdeˇzto metoda WLSM jeˇstˇe ne. Ta ji vypoˇcte aˇz v okamˇziku, kdy tato hrana dosáhne hodnoty 0, 8. MFT potˇrebuje pro v´ ypoˇcet fáze sb´ırat vzorky po dobu tvz = 1s, proto reaguje nejpomaleji z porovnávan´ ych metod.

30

6.2.3

Pˇ resnost v´ ysledku pˇ ri nepˇ resn´ e znalosti amplitudy sign´ alu

Vlastnosti mˇeˇreného signálu jsou: ˇ Sum nen´ı pˇridáván do signálu. Offset se nemˇen´ı, je pˇresnˇe znám´ y a má velikost Aof f set = 0. Vzorkovac´ı frekvence je fvz = 10kS/s. Frekvence je f = 50Hz F´ aze signálu je φ = 30◦ a v ˇcase nemˇen´ı. Amplituda signálu se nemˇen´ı, ale mˇen´ı se hodnoty, které dostávaj´ı jednotlivé metody jako informaci o amplitudˇe, tyto hodnoty se mˇen´ı skokovˇe. Chyba amplitudy se mˇen´ı skokovˇe a pak vˇzdy nˇejakou dobu z˚ ustane na stejné chybˇe amplitudy (zde po dobu t = 0, 2s) a poté se opˇet skokem zmˇen´ı. 10 WLSM citace MFT

8

6

Chyba [%]

4

2

0

−2

−4

−6

−8

−10 −0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Absolutni chyba amplitudy [−]

Obr. 6.6: Chyba mˇeˇren´ı frekvence signálu pˇri nepˇresné znalosti amplitudy mˇeˇreného signálu Chyby mˇeˇren´ı jednotliv´ ych metod po dobu trván´ı stejné nepˇresnosti amplitudy jsou pr˚ umˇerovány a poté vynáˇseny do graf˚ u. Graf (6.6) ukazuje pˇresnost vypoˇc´ıtané frekvence jednotliv´ ymi metodami v závislosti na nepˇresné znalosti amplitudy signálu. Graf (6.7) ukazuje pˇresnost vypoˇc´ıtané fáze ve stejné závislosti jako pˇredchoz´ı graf.

31

10 WLSM citace MFT

8

6

Chyba [%]

4

2

0

−2

−4

−6

−8

−10 −0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Absolutni chyba amplitudy [−]

Obr. 6.7: Chyba mˇeˇren´ı fáze signálu pˇri nepˇresné znalosti amplitudy mˇeˇreného signálu Metoda WLSM je, jak je vidˇet z graf˚ u (6.6) a (6.7), velmi citlivá na nepˇresnou znalost amplitudy, je to zp˚ usobeno pˇrevodem ˇcásti mˇeˇreného signálu na fázi pomoc´ı funkce arcsin. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je amplituda známá pˇresnˇe, tak se i fáze signálu pˇrevede odpov´ıdaj´ıc´ım zp˚ usobem. Pokud ale je skuteˇcná amplituda odliˇsná od amplitudy, se kterou tato metoda poˇc´ıtá, nastává problém, protoˇze normalizac´ı signálu se skuteˇcn´ y signál pˇrevede na signál, kter´ y má amplitudu A 6= 1. A Protoˇze funkce arcsin dokáˇze pˇresnˇe urˇcit fázi pouze pro signál s amplitudou A = 1, je zˇrejmé, proˇc je tato metoda velmi citlivá na nepˇresnosti ve znalosti amplitudy mˇeˇreného signálu. ˇ ıtaˇcová metoda je odolnˇejˇs´ı v˚ C´ uˇci nepˇresnostem amplitudy neˇz metoda WLSM. Tato metoda mˇeˇr´ı bez v´ yraznˇejˇs´ıch chyb po dobu, dokud má v intervalu ±0, 4 dostateˇcn´ y poˇcet vzork˚ u (v tomto pˇr´ıpadˇe 10), aby mohla provést lineárn´ı regresi a zjistit tak okamˇzik pr˚ uchodu hrany komparaˇcn´ı u ´rovn´ı. Nebo v opaˇcném pˇr´ıpadˇe dokud se do intervalu ±0, 4 nevejde cel´ y signál, tedy dokud amplituda signálu Asig ≤ 0, 4. MFT nen´ı nepˇresnou znalost´ı amplitudy mˇeˇreného signálu ovlivnˇena, protoˇze nenormalizuje vstupn´ı signál, a tedy nepotˇrebuje ke své správné funkci znát amplitudu mˇeˇreného signálu.

32

6.2.4

Pˇ resnost v´ ysledku pˇ ri nepˇ resn´ e znalosti offsetu

Vlastnosti mˇeˇreného signálu jsou: ˇ Sum nen´ı pˇridáván do signálu. Vzorkovac´ı frekvence je fvz = 10kS/s. Frekvence je f = 50Hz F´ aze signálu je φ = 30◦ a v ˇcase se nemˇen´ı. Amplituda je nemˇenná a pˇresnˇe známá o velikosti Aampl = 1. Offset signálu se nemˇen´ı, ale mˇen´ı se hodnoty, které dostávaj´ı jednotlivé metody jako informaci o offsetu, tyto hodnoty se mˇen´ı skokovˇe. 2 WLSM citace MFT 0

Chyba [%]

−2

−4

−6

−8

−10 −0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Obr. 6.8: Chyba mˇeˇren´ı frekvence signálu pˇri nepˇresné znalosti offsetu mˇeˇreného signálu Podobnˇe jako u mˇeˇren´ı vlivu nepˇresnosti amplitudy na pˇresnost v´ ysledku se i zde offset mˇen´ı skokovˇe a pak vˇzdy nˇejakou dobu setrvá na konstantn´ı hodnotˇe (v tomto konkrétn´ım mˇeˇren´ı z˚ ustává offset stejn´ y po dobu t = 0, 2s). Chyby mˇeˇren´ı frekvence a fáze jsou po dobu konstantn´ıho offsetu pr˚ umˇerovány a poté vynáˇseny do graf˚ u. Graf (6.8) ukazuje závislost chyby mˇeˇren´ı frekvence a graf (6.9)chyby mˇeˇren´ı fáze na nepˇresné znalosti offsetu mˇeˇreného signálu. Z graf˚ u (6.8) a (6.9) jde vidˇet, ˇze je na nepˇresnou znalost offsetu nejcitlivˇejˇs´ı metoda WLSM, coˇz je, podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe, zp˚ usobeno pˇrevodem ˇca´st´ı mˇeˇreného signálu na fázi pomoc´ı funkce arcsin. Pˇri nepˇresné znalosti offsetu

33

2 WLSM citace MFT 0

Chyba [%]

−2

−4

−6

−8

−10 −0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Obr. 6.9: Chyba mˇeˇren´ı fáze signálu pˇri nepˇresné znalosti offsetu mˇeˇreného signálu vzniká pˇri normalizaci posun signálu mimo normalizované hranice od − 1 do 1, coˇz zp˚ usob´ı chybu pˇri pˇrevodu signálu na fázi a tato nepˇresnˇe zjiˇstˇená fáze signálu má za následek ˇspatnˇe zmˇeˇrenou frekvenci a fázi. ˇ ıtaˇcová metoda funguje správnˇe, pokud, i pˇres posun signálu zp˚ C´ usoben´ y nepˇresnou znalost´ı offsetu, je v intervalu, ve kterém tato metoda sb´ırá vzorky pro lineárn´ı regresi (±0, 4), dostateˇcn´ y poˇcet vzork˚ u na proveden´ı lineárn´ı regrese signálu. MFT nen´ı ovlivnˇena velikost´ı offsetu, protoˇze je zajiˇstˇeno (viz kapitola (4.2.3)), ˇze stejnosmˇerná sloˇzka signálu nem˚ uˇze b´ yt vybrána jako namˇeˇrená frekvence.

6.2.5

Pˇ resnost v´ ysledku v z´ avislosti na SNR

Vlastnosti mˇeˇreného signálu jsou: Frekvence je f = 50Hz F´ aze signálu je φ = 30◦ a v ˇcase se nemˇen´ı. Amplituda je nemˇenná a pˇresnˇe známá o velikosti Aampl = 1. Offset se nemˇen´ı, je pˇresnˇe znám´ y a má velikost Aof f set = 0. Vzorkovac´ı frekvence je fvz = 10kS/s. ˇ Sum je do signálu pˇridáván pˇriˇc´ıtán´ım b´ılého ˇsumu (3.1.1) ke generovanému signálu. Velikost pˇridávaného ˇsumu se mˇen´ı skokem.

34

Efektivn´ı hodnota pˇridávaného ˇsumu se mˇen´ı skokovˇe vˇzdy po ˇcase t = 4s. V´ ysledné absolutn´ı hodnoty chyb vypoˇc´ıtan´ ych hodnot frekvence a fáze jednotliv´ ych metod se po dobu stejné hodnoty ˇsumu pr˚ umˇeruj´ı a pak jsou vynáˇseny do graf˚ u. Graf (6.10) ukazuje pˇresnost mˇeˇren´ı frekvence a graf (6.9) pˇresnost mˇeˇren´ı fáze v závislosti na SN R. WLSM citace MFT

20

15

Chyba [%]

10

5

0

−5

−10

10

15

20

25

30

35

40

45

50

SNR [dB]

Obr. 6.10: Chyba mˇeˇren´ı frekvence signálu v závislosti na velikosti ˇsumu v signálu U graf˚ u (6.10) a (6.11) jde vidˇet, ˇze metoda WLSM je nejcitlivˇejˇs´ı na pˇr´ıtomnost ˇsumu v mˇeˇreném signálu. S rostouc´ım pod´ılem ˇsumu se pˇresnost mˇeˇren´ı postupnˇe zmenˇsuje, protoˇze lineárn´ı regrese fáze signálu pˇrestává postupnˇe staˇcit vyrovnávat nepˇresnosti zp˚ usobené ˇsumem. U ˇc´ıtaˇcové metody se také s rostouc´ım pod´ılem ˇsumu postupnˇe zmenˇsuje pˇresnost mˇeˇreného v´ ysledku ze stejného d˚ uvodu jako u metody WLSM, ale pˇri urˇcitˇe hodnotˇe SNR (zde pˇri SN R = 17dB) dojde ke skokovému sn´ıˇzen´ı pˇresnosti mˇeˇren´ı a k obrovskému zvˇetˇsen´ı rozptylu namˇeˇren´ ych hodnot. Tento skok je zp˚ usoben v´ ybˇerem vzork˚ u pro lineárn´ı regresi. Vyˇsˇs´ı hodnoty ˇsumu zp˚ usob´ı, ˇze se na nˇekteré hranˇe signálu obˇcas nenajde dostateˇcn´ y poˇcet po sobˇe jdouc´ıch vzork˚ u (zde 10) v urˇceném intervalu (±0, 4). T´ımto nejsou splnˇeny podm´ınky pro v´ ypoˇcet regresn´ı pˇr´ımky. Nevypoˇc´ıtaná regresn´ı pˇr´ımka má za následek neurˇcen´ı ˇcasu pr˚ uchodu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı tn . Tato chybˇej´ıc´ı hodnota se projev´ı pˇri následném kroku, kdy se na v´ ypoˇcet frekvence signálu pouˇzije aktuáln´ı hodnota ˇcasu pr˚ uchodu tn a posledn´ı známá hodnota tn−2 , coˇz vy´ ust´ı v nesprávn´ y v´ ypoˇcet ˇcasu mezi dvˇema pr˚ uchody

35

signálu komparaˇcn´ı u ´rovn´ı a následnˇe chybn´ y v´ ypoˇcet frekvence signálu (vypoˇc´ıtaná frekvence bude poloviˇcn´ı oproti frekvenci skuteˇcné). Vyˇsˇs´ı hodnoty ˇsumu mohou rovnˇeˇz zp˚ usobit v´ ybˇer v´ıce sad vzork˚ u na lineárn´ı regresi na jedné hranˇe signálu, coˇz zp˚ usob´ı v´ ypoˇcet mnohem vyˇsˇs´ı frekvence signálu neˇz skuteˇcnˇe je. MFT je velmi odolná proti ˇsumu. Pˇri mˇeˇren´ı fáze (6.11) zaˇc´ıná m´ıt drobné odchylky pˇribliˇznˇe pˇri SN R ≤ 15dB a pˇri mˇeˇren´ı frekvence pˇrestává mˇeˇrit správnˇe pokud SN R ≤ −20dB, tedy pokud je efektivn´ı hodnota ˇsumu desetkrát vyˇsˇs´ı neˇz je efektivn´ı hodnota mˇeronosného signálu. WLSM citace MFT

80

60

Chyba [%]

40

20

0

−20

−40

−60 10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

SNR [dB]

Obr. 6.11: Chyba mˇeˇren´ı fáze signálu v závislosti na velikosti ˇsumu v signálu

6.3

Mˇ eˇ ren´ı re´ aln´ eho sign´ alu

Testované metody mˇeˇren´ı frekvence a fáze jsem vyzkouˇsel na reálném signálu, kter´ y byl vytvoˇren generátorem Agilent 33220A a vzorkován mˇeˇric´ı kartou NI 9234. Podrobnˇejˇs´ı informace o obou tˇechto hardwarov´ ych ˇcástech jsou uvedeny napˇr. zde [19] a [20]. Protoˇze tento generátor nemá dva analogové v´ ystupy a neˇsel na nˇem tedy nastavit fázov´ y posun mezi mˇeˇren´ ymi signály, musel jsem tento problém vyˇreˇsit jin´ ym ˇ zp˚ usobem. Reˇsen´ı jsem provedl softwarovˇe pomoc´ı zpoˇzd’ován´ı navzorkovan´ ych dat o konkrétn´ı poˇcet vzork˚ u. Generovaná data jsem vzorkoval dvˇema kanály na kartˇe NI

36

9234 a poté jsem jeden kanál zpozdil o konkrétn´ı poˇcet vzork˚ u a následnˇe jsem oba tyto signály dal jednotliv´ ym metodám ke zmˇeˇren´ı frekvence a fáze. Fázov´ y rozd´ıl φ mezi tˇemito signály jsem spoˇc´ıtal podle rovnice(6.1). φ=

N · fsig · 360◦ fvz

(6.1)

kde φ je fázov´ y rozd´ıl mezi signály, N je poˇcet vzork˚ u o které je jeden signál zpoˇzdˇen oproti druhému, fvz je vzorkovac´ı frekvence mˇeˇric´ı karty NI 9234, fsig je frekvence mˇeˇreného signálu. Konstanta 360◦ je v rovnici proto, aby v´ ysledná fáze φ mˇela ◦ jednotku [ ]. Nastaven´ı generátoru a mˇeˇr´ıc´ı karty bylo pro vˇsechna mˇeˇren´ı shodné: Amplituda generovaného signálu byla nastavena na hodnotu Asig = 1. Vzorkovac´ı frekvence mˇeˇr´ıc´ı karty NI 9234 byla fvz = 51200S/s. Offset generovaného signálu byl nastaven na hodnotu Aof f set = 0. Tyto hodnoty amplitudy a offsetu byly zadány i jednotliv´ ym metodám mˇeˇren´ı.

6.3.1

Mˇ eˇ ren´ı frekvence re´ aln´ eho sign´ alu

Pˇri tomto mˇeˇren´ı jsem na generátoru nastavil konkrétn´ı frekvenci a poté jsem nˇejakou dobu (pˇribliˇznˇe 20s) sb´ıral hodnoty frekvence zjiˇstˇené jednotliv´ ymi metodami. Z namˇeˇren´ ych hodnot jsem následnˇe zjistil stˇredn´ı hodnotu a smˇerodatnou odchylku, které jsem pro jednotlivé mˇeˇrené frekvence vynesl do grafu (6.12). Metoda WLSM má chybu pˇribliˇznˇe δf = 0, 05% pˇri mˇeˇren´ı frekvence reálného signálu, coˇz je pravdˇepodobnˇe zp˚ usobeno drobnou nepˇresnost´ı mezi nastavenou a ˇ ıtaˇcová metoda má chybu pohybuj´ıc´ı skuteˇcnou amplitudou mˇeˇreného signálu. C´ se kolem δf = −0, 001% a MFT pokaˇzdé urˇcila správnou frekvenci (nesm´ıme ale zapom´ınat, ˇze tato metoda mˇeˇr´ı frekvenci s rozliˇsen´ım ∆f = 1Hz).

6.3.2

Mˇ eˇ ren´ı f´ aze re´ aln´ eho sign´ alu

Pˇri tomto mˇeˇren´ı byl generátor neustále nastaven na frekvenci signálu f = 50Hz a fáze se mˇenila zpoˇzd’ován´ım vzork˚ u jednoho signálu. Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe mˇeˇren´ı frekvence byla i zde nastavena konkrétn´ı fáze signálu, která se pˇribliˇznˇe po dobu 20s nemˇenila. Hodnoty namˇeˇrené jednotliv´ ymi metodami po tuto doby byly zpracovány a následnˇe byla stˇredn´ı hodnota a smˇerodatná odchylka chyby mˇeˇren´ı pro kaˇzdou hodnotu fáze vynesena do grafu (6.13). Z grafu(6.13) jde vidˇet, ˇze metoda WLSM má, stejnˇe jako pˇri mˇeˇren´ı frekvence reálného signálu, nejvˇetˇs´ı chybu mˇeˇren´ı. Zaj´ımavé je, ˇze chyba mˇeˇren´ı u metody WLSM klesá s rostouc´ı fáz´ı, coˇz m˚ uˇze b´ yt zp˚ usobeno nepˇresn´ ym mˇeˇren´ım frekvence

37

0.06

0.05

Chyba [%]

0.04

0.03 WLSM Citace MFT 0.02

0.01

0

−0.01 40

50

60

70

80

90

100

110

Frekvence [H z]

Obr. 6.12: Chyba mˇeˇren´ı frekvence reálného signálu

0

−0.2

−0.4

Chyba [%]

−0.6

−0.8

−1

−1.2

−1.4

−1.6 WLSM Citace MFT

−1.8 0

10

20

30

40

50

60

Faze [◦ ]

Obr. 6.13: Chyba mˇeˇren´ı fáze reálného signálu

38

70

signálu, která je d˚ uleˇzitá pro zjiˇstˇen´ı fáze. Chyba mˇeˇren´ı ˇc´ıtaˇcové metody se pohybuje kolem δφ = −0, 02% a tato chyba se s rostouc´ı fáz´ı postupnˇe pˇribliˇzuje k nule, coˇz m˚ uˇze b´ yt stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe metody WLSM zp˚ usobeno nepˇresn´ ym mˇeˇren´ım frekvence signálu, která je i u ˇc´ıtaˇcové metody d˚ uleˇzitá ke zjiˇstˇen´ı fáze signálu. MFT mˇeˇr´ı fázi signálu s chybou pohybuj´ıc´ı se kolem δφ = −0, 002%, je tedy velmi pˇresná, ale zase je schopna kv˚ uli nastaven´ı ∆f = 1Hz mˇeˇrit fázi pouze v intervalech spoˇc´ıtan´ ych podle (4.6) ∆tm = 1s.

39

7

´ ER ˇ ZAV

V této bakaláˇrské práci jsem se seznámil s problematikou mˇeˇren´ı frekvence a fáze. Vybrané metody mˇeˇren´ı frekvence a fáze jsem implementoval do programu LabVIEW od firmy National Instruments. Tyto vybrané metody jsem následnˇe porovnal podle navrˇzené metodiky (5). Prvn´ı metodou byla ˇc´ıtaˇcová metoda, jej´ıˇz podrobnˇejˇs´ı popis je v kapitole (4.2.1). Aˇc je tato metoda zaloˇzena na velmi jednoduchém principu mˇeˇren´ı doby mezi pr˚ uchody signálu stejnou u ´rovn´ı, dosahovala v porovnán´ı s ostatn´ımi metodami velmi dobr´ ych v´ ysledk˚ u. V pˇresnosti a rychlosti reakce se vyrovnala metodˇe WLSM ˇ ıtaˇcová metoda se a pˇri mˇeˇren´ı reálného signálu tuto metodu dokonce pˇrekonala. C´ sice co do odolnosti v˚ uˇci nepˇresnostem signálu nem˚ uˇze rovnat MFT, ale zase byla lepˇs´ı neˇz metoda WLSM. Druhou porovnávanou metodou byla metoda WLSM, jej´ımˇz principem je lineárn´ı regrese fáze signálu a je podrobnˇeji popsána v kapitole (4.2.2). Metoda WLSM je velmi podobná metodˇe ˇc´ıtaˇcové, ale d´ıky regresi fáze signálu by mˇela dosahovat pˇresnˇejˇs´ıch v´ ysledk˚ u. Tento pˇredpoklad tato metoda potvrdila pˇri mˇeˇren´ı signálu s velmi pˇresnˇe znám´ ymi vˇsemi potˇrebn´ ymi parametry. Tato metoda je ale velmi nároˇcná na pˇresnou znalost vlastnost´ı signálu (hlavnˇe amplitudu a offset), jak je uvedeno v kapitolách (6.2.3)a (6.2.4). Proto se tato metoda hod´ı hlavnˇe do podm´ınek, kde známe velmi pˇresnˇe vlastnosti mˇeˇreného signálu. Posledn´ı porovnávanou metodou byla metoda Fourierovy transformace, která je podrobnˇeji popsána v kapitole (4.2.3). Tato metoda je velmi odolná v˚ uˇci nepˇresné znalosti amplitudy (6.2.3), offsetu (6.2.4) a v˚ uˇci ˇsumu v mˇeˇreném signálu (6.2.5). Problém s touto metodou ale je, ˇze nen´ı schopna rychle reagovat na zmˇeny frekvence (6.2.1) nebo fáze (6.2.2) mˇeˇreného signálu. Jiˇz z principu DFT je zˇrejmé, ˇze tato metoda nen´ı schopna zmˇeˇrit frekvenci signálu pˇresnˇe, ale vˇzdy pouze v rozmez´ı, které je urˇceno vzdálenost´ı spektráln´ıch ˇcar. Existuj´ı sice metody jak tento problém odstranit, ale pˇresto m˚ uˇze b´ yt tato vlastnost v nˇekter´ ych aplikac´ıch d˚ uvodem, proˇc tuto metodu nepouˇz´ıt.

40

ˇ A ´ LITERATURA POUZIT [1] HALLIDAY, David, Robert RESNICK a Jearl WALKER. Fyzika: vysokoˇskolsk´ a uˇcebnice obecné fyziky. Vyd. 1. Brno: Vutium, 2000, s. 409-412. ISBN 80-2141868-0 [2] HALLIDAY, David, Robert RESNICK a Jearl WALKER. Fyzika: vysokoˇskolsk´ a uˇcebnice obecné fyziky. Vyd. 1. Brno: Vutium, 2000, s. 342-344. ISBN 80-2141868-0 ˇ ÍK, Stanislav a Patrik SEV ˇ C ˇ ÍK. Modul pruˇznosti betonu. Trnava, [3] UNC 2008. ISBN 978-80969182-3-2. Dostupné z: http://www.betonracio.sk/ betonracio/downloads/modul_pruznosti.pdf [4] Mˇeˇren´ı pr˚ utoku tekutin - principy pr˚ utokomˇer˚ u. Elektroreuve [online]. 2001, ˇc. 49 [cit. 2013-01-16]. Dostupné z: http://www.elektrorevue.cz/clanky/ 01049/index.html#_M%C4%9B%C5%99en%C3%AD_hmotnostn%C3%ADho_pr%C5% AFtoku ˇ DO, ˇ Stanislav, Ludv´ık BEJCEK ˇ [5] DA a Anton´ın PLATIL. Mˇeˇren´ı pr˚ utoku a výˇsky hladiny. 1. vyd. Praha: BEN - technická literatura, 2005, s. 208-211. ISBN 807300-156-X ˇ [6] BIOLEK, Dalibor. Modelován´ı a poˇc´ıtaˇcová simulace: Sumov´ a analýza. Brno, 2005. Dostupné z: http://user.unob.cz/biolek/vyukaVUT/prednasky/ BMPS/pro_studenty8.pdf ˇ Jiˇr´ı a Josef MACHEK. Poˇcet pravdˇepodobnosti. 2. vyd. Praha: SNTL, [7] LIKES, 1987, s. 134-140. [8] Analog devices video channel. [online]. [cit. 2013-01-16]. Dostupné z: http://videos.analog.com/video/products/amplifiers-and-linear/ 756529035001/RMS-Noise-to-Peak-to-Peak-Noise/ [9] JURA, Pavel. Signály a systémy: Spojité signály. 2. vyd. Brno, 2010. ˇ ˇ ´ a Milo[10] BEJCEK, Ludv´ık, Miloslav CEJKA, Jiˇr´ı REZ, Eva GESCHEIDTOVA slav STEIBAUER. Mˇeˇren´ı v elektrotechnice. Brno, 2001. [11] V˚ UJTEK. Elektronická mˇeˇren´ı pro aplikovanou fyziku. Olomouc, 2012. Dostupné z: http://fyzika.upol.cz/cs/predmety-kef-slo/ elektronicka-mereni

41

ˇ [12] ROUBÍCEK, Tomáˇs. Optimalizace metod a obvod˚ u pro rychlé rezonanˇcn´ı senˇ e vysoké uˇcen´ı technické v Praze. zory. Praha, 2012. Disertaˇcn´ı práce. Cesk´ ˇ ’o, DrSc. Vedouc´ı práce Prof. Ing. Stanislav Dad ˇ CKOV ˇ ´ Matematika 3. Brno, 2005. [13] FAJMON, Bˇretislav a Irena R˚ UZI A. [14] Jenq, Y.C. High-precision sinusoidal frequency estimator based on weighted least square method. IEEE Transactions on Instrumentation an Measurement, 1987, pp. 124-127 [15] JURA, Pavel. Signály a systémy: Diskrétn´ı signály a diskrétn´ı systémy. 2. vyd. Brno, 2010. ˇ ˇ epán. Vlastnosti oken pro spektráln´ı analýzu pomoc´ı DFT. [16] MATEJKA, Stˇ PRaha, 2000. Dostupné z: http://radio.feld.cvut.cz/personal/matejka/ wiki/dl.php?file=/personal/matejka/wiki/lib/exe/fetch.php?id= root%3Acz%3A37lbr%3Anavody&media=root:cz:37lbr:lbr9.pdf [17] RABINER, L., R. SCHAFER a C. RADER. The chirp z-transform algorithm. IEEE Transactions on Instrumentation an Measurement, 1969, pp. 86-92. Dostupné z: http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber= 1162034 [18] NATIONAL INSTRUMENTS. Windowing: Optimizing FFTs Using Window Functions. [online]. [cit. 2013-05-05]. Dostupné z: http://www.ni.com/ white-paper/4844/en [19] AGILENT TECHNOLOGIES. Agilent 33220A 20 MHz Waveform Generator. [online]. [cit. 2013-04-25]. Dostupné z: http://cp.literature.agilent.com/ litweb/pdf/33220-90002.pdf [20] NATIONAL INSTRUMENTS. NI 9234. [online]. [cit. 2013-04-25]. Dostupné z: http://sine.ni.com/ds/app/doc/p/id/ds-316/lang/cs

41

METODY MĚŘENÍ FREKVENCE KMITŮ

Recommend Documents