MĚŘENÍ TEKUTINOVÝCH MECHANISMŮ

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

MĚŘENÍ TEKUTINOVÝCH MECHANISMŮ

JAROSLAV JANALÍK

OSTRAVA 1995

Janalík. J : Měření tekutinových mechanismů strojní

VŠB-TUOstrava, Fakulta

OBSAH 1. SNÍMAČE NEELEKTRICKÝCH VELIČIN .......................................................................... 3 1.1 MĚŘÍCÍ SOUSTAVA.......................................................................................................... 3 1.2 PŘENOSOVÉ VLASTNOSTI SNÍMAČŮ ................................................................................. 6 1.3 ODPOROVÉ SNÍMAČE ..................................................................................................... 8 1.4 INDUKČNOSTNÍ SNÍMAČE............................................................................................... 18 1.5 KAPACITNÍ SNÍMAČE ..................................................................................................... 20 1.6 INDUKČNÍ SNÍMAČE ....................................................................................................... 23 1.7 PIEZOELEKTRICKÉ SNÍMAČE.......................................................................................... 23 1.8 TERMOELEKTRICKÉ SNÍMAČE ........................................................................................ 24 2. MĚŘENÍ ZÁKLADNÍCH FYZIKÁLNÍCH VELIČIN ............................................................ 29 2.1 MĚŘENÍ TLAKU ............................................................................................................. 29 2.2 MĚŘENÍ RYCHLOSTI A PRŮTOKU ................................................................................... 32 2.4 MĚŘENÍ SÍLY ............................................................................................................... 49 2.5 MĚŘENÍ FREKVENCE A OTÁČEK ................................................................................... 50 2.6 MĚŘENÍ POLOHY ........................................................................................................ 50 2.7 MĚŘENÍ TEPLOTY ....................................................................................................... 52 3. ZÁKLADY TEORIE NÁHODNÝCH PROCESŮ ............................................................... 61 3.1 ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI A MATEMATICKÉ STATISTIKY ................ 61 3.2 NĚKTERÉ DŮLEŽITÉ HUSTOTY PRAVDĚPODOBNOSTI ...................................................... 63 3.3 MOMENTY ................................................................................................................... 64 3.4 NÁHODNÉ PROCESY A JEJICH CHARAKTERISTIKY ........................................................... 68 3.5 STACIONARITA A ERGODIČNOST NÁHODNÉHO PROCESU ................................................ 69 3.6 KORELAČNÍ FUNKCE .................................................................................................... 72 3.7 SPEKTRÁLNÍ VÝKONOVÁ HUSTOTA................................................................................ 74 3.8 DERIVACE A INTEGRACE NÁHODNÝCH PROCESŮ ........................................................... 79 3.9 ZÁVISLOST STATISTICKÝCH CHARAKTERISTIK VSTUPU A VÝSTUPU LINEÁRNÍ SOUSTAVY .. 80 3.10 VYHODNOCOVÁNÍ NÁHODNÝCH STACIONÁRNÍCH PROCESŮ ......................................... 81 4. HLUK A JEHO MĚŘENÍ................................................................................................. 87 4.1 PŘÍČINY HLUKU A CESTY JEHO ŠÍŘENÍ ........................................................................... 88 4.2 ZÁKLADNÍ POJMY A VELIČINY V AKUSTICE...................................................................... 88 4.3 VLNOVÁ ROVNICE........................................................................................................ 92 4.4 RYCHLOST ŠÍŘENÍ AKUSTICKÝCH VLN .......................................................................... 93 4.5 AKUSTICKÉ SPEKTRUM ................................................................................................ 94 4.6 DECIBELOVÉ STUPNICE V AKUSTICE ............................................................................. 95 4.7 PŘÍSTROJE PRO MĚŘENÍ HLUKU ................................................................................... 97 4.8 HLUK STROJŮ, JEHO URČOVÁNÍ A OMEZOVÁNÍ .............................................................. 99 4.9 HLUK HYDRAULICKÝCH PRVKŮ A OBVODŮ ................................................................... 101 4.10 HLUČNOST HYDROGENERÁTORŮ A HYDROMOTORŮ ................................................... 101 4.11 HLUČNOST VENTILŮ A ROZVADĚČŮ ........................................................................... 106 4.12 SNIŽOVÁNÍ HLUČNOSTI HYDRAULICKÝCH OBVODŮ ..................................................... 108 5. MĚŘENÍ KMITÁNÍ ........................................................................................................ 112 5.1 ZÁKLADNÍ POJMY....................................................................................................... 113 5.2 SNÍMAČE MECHANICKÉHO KMITÁNÍ ............................................................................. 114 5.3 PRINCIP ABSOLUTNÍCH SNÍMAČŮ ................................................................................ 115 5.4 PRINCIP RELATIVNÍCH SNÍMAČŮ.................................................................................. 117 5.5 INDUKČNÍ - ELEKTRODYNAMICKÉ SNÍMAČE .................................................................. 119 5.6 PIEZOELEKTRICKÉ SNÍMAČE ....................................................................................... 120 LITERATURA.................................................................................................................... 126 OZNAČENÍ HLAVNÍCH VELIČIN ...................................................................................... 126

1



PŘEDMLUVA Předložená skripta podávají základní informace a poznatky o měření a experimentálních metodách aplikovaných u tekutinových mechanismů. Popis měření a měřících přístrojů je proveden tak, aby podal ucelený přehled měření základních fyzikálních veličin jako je tlak, průtok, síla, kroutící moment, dráha, teplota a pod. Měření některých fyzikálních veličin, jako např. viskozita, hustota, čistota olejů apod. není zařazena do těchto skript, protože jsou uvedeny ve skriptech „Mechanika tekutin - příručka pro laboratorní měření“ a jsou rovněž přednášeny v jiných předmětech, např. „Provozuschopnost hydraulických zařízení“. Je rovněž zařazeno do skript měření hluku a vibrací, protože tekutinové mechanismy mohou významně při stavbě strojů přispívat k jejich hlučnosti. U měření vibrací se vedle zrychlení vyhodnocuje podle potřeby i rychlost nebo dráha. Kvalita strojů i celých strojních zařízení se již nehodnotí pouze podle jejich výkonů či produktivity, ale v současné době se hodnotí i podle hluku, který vyzařují do okolí. Úroveň hluku je často rozhodujícím faktorem při stanovení ceny a prodejnosti stroje či zařízení. Snižování hluku je zaměřeno především na zařízení, u kterých jsou aplikovány tekutinové mechanismy, hlučnost samotných prvků v těchto skriptech není podrobně řešena. Tato problematika je velmi náročná a zabývají se jí především výrobci prvků, uživatel již většinou nemůže parametry hlučnosti ovlivnit. Vedle analogových měření jsou popsány i číslicové metody měření, které pro zpracování výsledků používají počítač. Tyto metody se v současné době stále ve větším rozsahu začínají používat. Kromě měření ustálených veličin je věnována velká pozornost i dynamickým měřením a měřením veličin s náhodným časovým průběhem. Znalosti s oblasti měření náhodných veličin poslouží k vyhodnocování hluku nebo vibrací a tvoří nezbytný základ pro pochopení moderních metod bezdemontážní diagnostiky, jako je např. vibrodiagnostika. Skripta jsou rozdělena do pěti kapitol, svým rozsahem odpovídají osnově předmětu Měření a zkoušení v oboru, který je zařazen v oboru Hydraulické a pneumatické stroje a zařízení ve 4. ročníku na fakultě strojní na VŠB – TU v Ostravě.

2



1. SNÍMAČE NEELEKTRICKÝCH VELIČIN Měření neelektrických veličin elektrickou cestou je v současné době prakticky jediný způsob měření používaný v praxi. Tento způsob měření představuje v současné době mnoho speciálních oblastí měřící techniky, které se neustále vyvíjejí. V poslední době do tohoto procesu velmi intenzívně zasahuje počítačová technika. Měření neelektrických veličin elektrickou cestou má oproti jiným metodám celou řadu výhod, jako např. větší přesnost i citlivost, možnost dálkového měření včetně záznamu, výstupní signál může být v analogové nebo číslicové formě, dále je možnost měření na velkém počtu míst s možností zpracování výsledku měření pomocí počítače. Snímače dělíme na pasivní, které potřebují zdroj proudu či napětí a snímače aktivní, které zdroj nepotřebují. 1.1 Měřící soustava Uspořádání jednokanálové měřící soustavy pro měření neelektrických veličin je uvedeno na obr. 1.1. První člen měřícího kanálu tvoří prvek pro sběr informací, označovaný jako snímač, někdy také jako čidlo, který převádí neelektrický vstupní signál na elektrický výstupní signál.

Obr. 1.1 Blokové schéma jednokanálové měřící soustavy Druhou částí je blok elektronických obvodů - EO, v němž se upravuje elektrický signál na potřebný tvar. Tato část může obsahovat zesilovače, generátory, filtry a všechny ostatní obvody pro zpracování signálu. Na výstupu požadujeme normovaný signál vhodný pro výstupní zařízení. Normovaný signál je dále zpracován indikátorem, jehož údaj může být buď analogový nebo číslicový. Analogový výstup je přehlednější a vhodnější pro dynamické děje, zatímco číslicové zobrazení je vhodné pro měření na velkém počtu míst a umožňuje dosažení podstatně vyšší přesnosti nebo umožňuje snadnější zpracování naměřených hodnot pomocí počítače. .

3



Obr. 1.2 Blokové schéma tříkanálové měřící soustavy Dalším členem jednokanálové měřící soustavy je paměť. Je připojena paralelně k indikátoru a zajišťuje uchování po určitou požadovanou dobu. Může být realizována jak pro signál analogový tak i číslicový. Používají se různé druhy zapisovačů analogových nebo číslicových pamětí (např. magnetický záznam na pásku nebo disketu), vypracovaných především v oboru počítačů Ve většině případů potřebujeme získat informaci o větším počtu stejných nebo různých veličin současně. Pak je nezbytné používat k měření několik jednokanálových měřících soustav - obr. 1.2, které je vhodné sdružovat do konstrukčních celků. Vytváří se tak několika kanálová měřící soustava, vhodná jak pro statická tak i dynamická měření. Pro měření pomalých dějů je možné předchozí systém zjednodušit vytvořením měřící soustavy s přepínačem - obr. 1.3.

Obr 1.3 Blokové schéma tříkanálové měřící soustavy s přepínačem Pro každou měřenou veličinu se používá samostatný snímač. Jednotlivé snímače jsou k měřícímu kanálu připojeny pomocí přepínače. Po přečtení nebo záznamu měřené veličiny se přepne přepínač na další snímač. Měřící soustavy tohoto typu bývají označovány jako měřící ústředna. U mnohokanálových měřících systémů s přepínačem se nabízí využití pro některé další funkce, jako je hlášení mezí, výběr zapisovaných kanálů a pod. V takovém případě bývá soustava ovládána řídícím počítačem, blokové uspořádání uvádí obr. 1.4. Podle způsobu řazení jednotlivých členů lze měřící soustavy rozdělit na : a) se sériově řazenými členy - obr. 1.5a b) s paralelně řazenými členy - obr. 1.5b c) s členy ve zpětnovazebním zapojení - obr. 1.5c.

4



Obr. 1.4 Blokové schéma měřící soustavy řízené počítačem Jestliže máme dva členy měřící soustavy zapojené v sérii, jak je naznačeno na obr. 1.5a, kde x je vstupní veličina, x1 je výstupní veličina za prvním členem a y je výstupní veličina, potom statické charakteristiky jednotlivých členů x1=f1(x) a y=f2(x1). Výsledná statická charakteristika je dána vztahem y =f2 [f1 (x )] (1.1) V případě, že charakteristiky jednotlivých členů jsou lineární - x1=k1.x a y=k2.x1, potom pro výslednou charakteristiku platí y =k1 . k 2 . x (1.2)

Obr. 1.5 Řazení členů měřící soustavy Vidíme, že výsledná charakteristika měřící soustavy je dána součinem charakteristik jednotlivých členů. Má-li soustavy členů řazené paralelně - obr. 1.5b, potom výsledná charakteristika, za předpokladu lineární závislosti jednotlivých členů, je dána rovnicí y =(k1 + k 2 ) x (1.3) Pro výslednou charakteristiku s prvky zapojenými ve zpětnovazebním zapojení obr. 1.5c za stejných předpokladů jako výše platí - y=k1.x1, x2=k2.y, x1=x±x2 y =k1 x ± k1k 2 . y =k . x (1.4) Z této rovnice pro výslednou konstantu dostaneme

k=

k1 1 ± k1 . k 2

(1.5)

Znaménko - je zápornou zpětnou vazbou a znaménko + pro kladnou zpětnou vazbu.

5



Obr. 1.6 Blokové schéma automaticky řízené soustavy s počítačem Měření neelektrických veličin je součástí automatizační techniky - obr. 1.6. Signál z měřícího kanálu je přiveden na regulátor - REG, kterým je pomocí akčního orgánu - AO ovládána řízená soustava. V případě, že jde o složitější soustavy, nestačí jednoduchá zpětná vazba a pro řízení se používá počítač - POČ. Ze schématu vyplývá, že každý řídící nebo regulační obvod obsahuje kanál někdy včetně indikátoru a paměti. Snímač pak je jednou ze základních součástí těchto měřících nebo automatizačních soustav Při výběru snímače požadujeme splnění některých základních požadavků. Jedná se zejména o vysokou citlivost, přesnost, velkou časovou stálost, nezávislost na parazitních vlivech jako je teplota, vlhkost, tlak, prašnost a pod., vhodná frekvenční charakteristika, minimální zatěžování měřeného objektu, maximální spolehlivost, jednoduchá konstrukce a nenáročná obsluha. Splnění těchto a dalších požadavků u snímače je obtížné, proto při výběru snímače přistupujeme ke kompromisnímu řešení. Snímače je výhodné rozdělit do dvou základních skupin : 1. snímače aktivní (generátorové) - při působení měřené veličiny se snímač chová jako zdroj elektrické energie. Zde patří hlavně snímače termoelektrické, piezoelektrické a indukční. 2. snímače pasivní - působením neelektrické veličiny snímače se mění některý z jeho parametrů. 1.2 Přenosové vlastnosti snímačů Obecně je možné každý snímač definovat jako zařízení na zpracování informace vázané na některý druh energie. V průběhu měření dochází k toku informace o měřené veličině a k toku energie jednotlivými konstrukčními částmi snímače v závislosti na použitém principu a konstrukčním řešení snímače. Měřená veličina může mít buď statický nebo dynamický charakter. U statických měření vyžadujeme především lineární závislost mezi vstupní a výstupní veličinou. Při dynamických měřeních vyžadujeme mimo to ještě určité dynamické vlastnosti. Závislost mezi vstupní veličinou x a výstupní veličinou y bez uvažování parazitních vlivů můžeme psát ve tvaru polynomu

(

)

y = a 0 + a1x + a2 x 2 + .... + an x n x

(1.6)

Na obr. 1.7 jsou naznačeny přenosové charakteristiky snímačů při omezeném počtu členů obecné závislosti. V některých případech dochází ke zkreslení charakteristiky

6



hysterezí - obr. 1.7d. Běžně se setkáváme s hysterezí mechanickou, magnetickou a dielektrickou. Jestliže měřená veličina je funkcí času, pak ze snímače dostáváme též signál závislý na čase. Dynamické vlastnosti snímače lze popsat diferenciálními rovnicemi. Pro snímač obecně platí an x (n ) +....+a0 x =bm y (m ) +....+b0 y (1.7) Přenosová funkce je dána poměrem Laplaceova obrazu výstupu a vstupu

F (p )=

bm p m + bm -1 p m -1 +....+ b0

(1.8)

a n p n +a n -1 p n -1 +....+a0

Řešením těchto diferenciálních rovnic můžeme stanovit přechodovou nebo frekvenční charakteristiku. Přechodová charakteristika snímače je průběh výstupní veličiny v závislosti na čase při skokové změně vstupní veličiny. Je-li vstupní veličina harmonický signál, potom získáme frekvenční charakteristiku, která je pro popis dynamického chování snímače výhodnější (obr. 1.8).

Obr. 1.7 Statická charakteristika snímačů Využití teorie informace pro popis snímače umožňuje obecný popis celého měřícího kanálu z hlediska přenosu informace a dále umožňuje porovnání jednotlivých snímačů navzájem. Výstupní signál ze snímače může být buď spojitý nebo nespojitý. Obě skupiny snímačů se vyrábějí a používají. Výstupní signál analogového snímače může nabývat spojitě všech hodnot v rozmezí určeném měřenou veličinou, kdežto výstupní signál číslicového snímače může nabývat nespojitě jen určitých hodnot, v obou případech lze podle výstupního signálu určit velikost měřené veličiny. Číslicové snímače tedy zajišťují kvantování výstupního signálu. U snímačů analogových je při požadavku číslicového výstupního signálu nutné elektrický signál na výstupu snímače kvantovat a kódovat.

Obr. 1.8 Přechodová a frekvenční charakteristika 7



Přesnost snímače bývá vyjadřována obvykle relativní chybou, přičemž je tato relativní chyba vztažena k horní hranici měřícího rozsahu snímače. Vzhledem k tomu. že chyba může nabývat obojího znaménka, může se při známé relativní chybě d pohybovat skutečná hodnota měřené veličiny v rozmezí ±d kolem naměřené hodnoty, tedy v pásmu 2d. Je-li rozsah snímače 0 až xmax, pak lze při relativní chybě d měřící rozsah rozdělit na pásma o šířce Dx=2.d.xmax. Těchto pásem je celkem

n=

xmax 1 = Dx 2d

(1.9)

Tyto fiktivní diskrétní úrovně u analogových snímačů odpovídají hladinám kvantování u snímačů číslicových. Tímto způsobem můžeme oba druhy snímačů porovnat. Jestliže předpokládáme, že se měřená veličina může při měření vyskytnout v libovolném z n počtu intervalů se stejnou pravděpodobností, pak pravděpodobnost, že měřená veličina bude v určitém intervalu, je rovna převrácené hodnotě počtu intervalů. Z toho lze vyvodit, že množství informace, které se může ze snímače získat, bude

I =log2

1 2d

(1.10)

Použitý logaritmus má základ 2 a množství informace je udána v binárních jednotkách - bitech. Jeden bit je nejmenší množství informace, které může nést jednoprvková dvojková zpráva. Dostáváme tak vztah mezi přesností snímače a množstvím informace, která se jedním měřením získá. Tímto způsobem se dají posuzovat jak snímače analogové tak i číslicové. Chyby snímačů, jak jsme je v předchozím uvažovali, se zpravidla chápou jako statistická vlastnost. Kromě toho je třeba u snímačů ve většině případů počítat s jejich dynamickými vlastnostmi. Jestliže se mění měřená veličina skokem, pak na výstupu snímače dostáváme této hodnotě odpovídající veličinu elektrickou až po určité době. Během této doby je v každém okamžiku chyba měření větší než chyba statická, tj. chyba měření příslušející stejné hodnotě měřené veličiny v ustáleném stavu. Nemá-li se zhoršit přesnost měření, je třeba, aby se brala v úvahu hodnota výstupní veličiny až po uplynutí uvedené doby, která je tedy minimální dobou měření při zachování přesnosti. Jestliže označíme takto definovanou dobu jednoho měření 1/Tm, dá se za jednotku času provést nejvýše 1/Tm měření za sebou. Můžeme tedy celkem za jednotku času obdržet 1/Tm krát množství informací I dané statickou přesností měření, což je vlastně maximální tok informace. Pro propustnost, či přenosovou kapacitu kanálu platí

I 1 1 C= = log2 Tm Tm 2d

(1.11)

Udává se v bitech za sekundu. Propustnost je konstantní u každého snímače, pokud se nemění statická chyba a doba měření. Podle propustnosti můžeme posuzovat dynamické vlastnosti různých snímačů. Z předcházejícího je zřejmé, že je možné dobu měření zkrátit, ale jen za cenu zmenšení množství informace, tj. zhoršení přesnosti měření. Relativní chybou ve výrazu pro propustnost je třeba chápat jako chybu dynamickou. Naopak prodlužování doby měření nad hodnotu Tm nemá v zájmu zvětšování přesnosti smysl, protože chybu jednoho měření nelze zmenšit pod její statickou hodnotu. U snímačů s několikanásobným převodem (kaskádním zapojením) je nutno uvažovat propustnost jednotlivých částí snímače. Totéž platí pro připojení snímače do měřícího kanálu. Obecně platí zásada, že propustnost všech částí měřícího kanálu mají být srovnatelné 1.3 Odporové snímače Odporové snímače patří do skupiny snímačů pasivních. Měřená neelektrická veličina je snímačem převedena na změnu odporu. Odporové snímače bývají zapojeny do obvodů s 8



pomocným napětím. Nejčastěji to bývá vyvážený nebo nevyvážený můstek. Odporové snímače se vyznačují jednoduchostí. Tato skupina je velmi rozsáhlá a umožňuje řešení většiny problémů z oboru měření neelektrických veličin.

Obr. 1.9 Elektrické náhradní schéma odporového snímače Každý snímač je třeba spojit s měřícím obvodem pomocí vodičů nebo spojovacího vedení. Vlastnosti tohoto vedení mohou výrazně ovlivnit parametry snímače a přesnost měření. Elektrické náhradní schéma odporového snímače s vedením je uvedeno na obr. 1.9. Aby nebyla ovlivněna citlivost snímače a chyby způsobené vedením byly v přijatelných mezích, musí platit R << Rs << Riz. Při střídavém napájení snímače přestává mít vinutí čistě ohmický charakter a chová se jako impedance složená z rovnoměrně rozloženého odporu RS a indukčnosti LS vinutí a z rozptylových kapacit CS mezi jednotlivými závity a mezi vinutím a kovovými částmi potenciometru. Impedace způsobuje při střídavém napájení kromě zhoršení přesnosti také nežádoucí fázový posun mezi výstupem a vstupním napětím potenciometru. Tento fázový posun závisí na poloze sběrače a nelze jej kompenzovat. Vliv kmitočtu napájecího napětí je tím větší, čím je odpor potenciometru větší a jeho vinutí delší. Zpravidla lze jednootáčkových drátových potenciometrů používat bez zhoršení vlastností pro kmitočty do několika kHz, pětiotáčkových a desetiotáčkových šroubovicových potenciometrů do 400Hz a desetiotáčkových a víceotáčkových do 50Hz. V některých případech je nezbytné uvažovat u vlastního snímače též s jejich parazitní indukčností a kapacitou a jejich vlivem. Mezi nejčastěji používané odporové snímače patří kontakty, odporové snímače polohy tzv. potenciometry a odporové snímače deformace, nejčastěji nazývané tenzometry. Kontaktové snímače U odporových snímačů kontaktovým působením neelektrické veličiny dochází ke skokové změně odporu přepínáním kontaktu. Nejde tedy o měření vstupní veličiny, ale jen o indikaci při dosažení jedné nebo několika hodnot. Na obr. 1.10 je vyznačen princip snímače s charakteristikou. Nejdůležitějším parametrem kontaktového systému je přechodový odpor. Kontaktové snímače představují poměrně rozsáhlou oblast technické aplikace a používají se hlavně při identifikaci následujících fyzikálních veličin : geometrické rozměry, teplota, tlak, zrychlení, vibrace, otáčky a hladina.

9



Obr 1.10 Princip kontaktového snímače a závislost odporu na posunutí kontaktu

Obr. 1.11 Zapojení potenciometru do obvodu Potenciometry

Obr. 1.12 Základní charakteristika potenciometr

Odporové snímače polohy často nazýváme potenciometry - obr. 1.11. Pracují tak, že působením měřené neelektrické veličiny se mění poloha kontaktu (sběrače), který se posouvá po odporové dráze. Tímto způsobem se mění odpor mezi sběračem a začátkem či koncem odporové dráhy. Snímače tohoto typu se vyznačují jednoduchostí a spolehlivostí a umožňují různý funkční průběh mezi lineární nebo úhlovou změnou polohy sběrače a změnou odporu. Pro zachování požadované charakteristiky potenciometru R=f(ax) je nezbytné, aby zatěžovací Rz potenciometru byl co největší. Je-li R1=(1-ax).R, R2=ax.R a Kz=Rz/R, potom pro výstupní napětí platí

U 2 =Rz . I z =

R2 ax U1= U R2 . R1 a x (1 - a x ) 1 R + 1+ Rz K

(1.12)

ax je dělící poměr K = RZ/R je činitel zatížení Poměr výstupního napětí k vstupnímu napětí v závislosti na ax pro různé hodnoty činitele zatížení Kz uvádí obr. 1.12. Rozlišovací schopnost potenciometru udává, s jakou jemností je možné nastavení dělícího poměru. Přesnost potenciometru určuje, jak přesně lze nastavit dělící poměr. Vyjadřuje se jako maximální odchylka výstupního napětí od ideálního lineárního průběhu. Udává se v procentech napětí přivedeného na potenciometr. Přídavnou chybu zátěže dZ můžeme definovat jako rozdíl skutečného přenosu potenciometru a jeho dělícího poměru vyjádřenou polohou běžce a kde

dZ =

U2 -a x U1

(1.13)

Dosadíme-li do předchozí rovnice, dostaneme

dZ =

a x2 (1 - a x ) K + a x (1 - a x )

(1.14)

Předpokládejme, že RZ > (10 - 100) . R, potom

dZ =

a x2 (1 - a x ) K

(1.15)

Konstrukce potenciometrů jsou velmi rozmanité, nejčastěji se používají potenciometry kruhové, deskové, šroubovicové, rtuťové a elektrolytické. Pro svou 10



jednoduchost jsou často využívány v měřících zařízeních, hlavně pro měření polohy, dráhy, rychlosti, zrychlení, hladiny, tlaku, a pod. Tenzometry Snímače pro měření vzdálenosti dvou bodů tělesa, tj. deformace, označujeme jako tenzometry, kterých existuje velké množství. Nejrozšířenější v praktických aplikacích jsou elektrické odporové tenzometry. Materiál tenzometrů bývá uhlíková vrstva, kovový drátek či pásek nebo slabá kovová vrstva nanesená na povrchu. Tenzometr využívá ke své funkci vodivosti kovů nebo polovodičů při jejich deformaci, která je doprovázena změnou průřezu a délky. Pro odpor vodiče platí rovnice

R =r kde

L S

(1.16)

L - délka vodiče S - plocha průřezu vodiče r - měrný odpor [Ohm.m] - v literatuře je také uváděn rozměr[Ohm.mm2/m].

Logaritmickým derivováním této rovnice dostaneme

dR dL dr = + R L r

-

dS S

(1.17)

Pro změnu průřezu platí

dS =- 2m kde

dL = - 2 me L

(1.18)

m - Poissonova konstanta

e=

dL - poměrné prodloužení L

Z posledních dvou rovnic pro poměrnou změnu odporu platí

dR dL dr æ dr 1 ö =(1 + 2m ) + =çç 1+2m + ÷e R L r è r e ÷ø dR DL =k . e =k R L

(1.19) (1.20)

Pro poměrnou deformaci e = Dl/l platí v rozsahu pružná deformace vodiče (zpravidla drátku nebo folie) přímá úměrnost mezi poměrnou změnou odporu a poměrným prodloužením. Součinitel k nazývaný také deformační citlivost, nabývá různých hodnot pro různé druhy materiálu a má stálou hodnotu pouze v určitém rozmezí pružné deformace. Pro kovové materiály např. konstanta k=2, u polovodičů je deformační citlivost podstatně větší a má velikost k=150.

Obr. 1.13 Uspořádání odporového tenzometru lepeného 11



1 - měřená součást ; 2 – lepidlo ; 3 – podložka ; 4 - odporový článek ; 5 - kryt Nejčastěji se používají kovové tenzometry lepené - obr. 1.13. Jde o odporový drátek, přilepený na podložce, která se pak celá přilepí na měřenou součást. Vlastní odporový drát má tvar mřížky. Na obr. 1.13 je také uveden průběh smykového a tahového napětí podél tenzometru. Obr. 1.14 uvádí některé provedení tenzometrů, kterých je velké množství, jednotlivé druhy se mohou lišit i svou velikostí. Tenzometry se nejčastěji používají k měření deformace, síly, tlaku, kroutícího momentu, zrychlení a pod. Předpokladem je převedení měřené veličiny na změnu deformace. V technických aplikacích jsou tenzometry nejčastěji používaným snímačem.

Obr. 1.14 Příklady provedení tenzometrů Membrány, tvořené po obvodě vetknutými kruhovitými deskami, slouží jako snímače malých a středních tlaků. Měření deformací na těchto membránách se provádí tzv. membránovými růžicemi (obr. 1.15). Optimální je použití foliového snímače ve tvaru spirály, s kompenzačním vinutím umístěným na okraji v radiálním směru v oblasti tlakového namáhání. Při použití těchto snímačů je nutné cejchování při statickém tlaku, protože tenzometr zachycuje střední deformaci po měrné délce.

Obr. 1.15 - Tenzometrická růžice Pro polovodičové tenzometry je poměrná změna odporu obvykle určena polynomem. V praktických aplikacích se volí polynom 2. stupně.

DR =c1 e +c 2 e 2 R

(1.21)

Relativní změna DR/R se u polovodičových tenzometrů vztahuje k odporu R0 nedeformovaného tenzometru při určité standardní teplotě T0, obvykle T0 = 25oC. Hodnoty konstant C1, C2 jsou závislé na velikosti měrného odporu r a jsou uváděny v atestech přiložených k tenzometrům. Závislost změny odporu nedeformovaného tenzometru v závislosti na teplotě vyjadřuje vztah

12



DR =a1 (T - T0 ) + a 2 (T - T0 )2 R0

(1.22)

a1, a2 - jsou konstanty. Pro jednotlivé typy tenzometrů se buď udávají hodnoty konstant a1, a2, nebo grafická forma závislosti. Výrobou polovodičových tenzometrů se zabývá řada světových firem. Vyrábějí se z křemíkového materiálu se specifickým odporem 0,001 Ohm/cm do 1 Ohm/cm, v rozsahu nominálních odporů od 60 do 10 000 Ohmů. Aktivní délky měrného prvku jsou v rozmezí od 0,17 do 12 mm. Ukázka provedení tenzometru AP 15-6-12 je na obr. 1.16. Pro měření malých změn odporu se nejčastěji používá můstkové zapojení Wheatstonův můstek. Uvažujeme nejprve můstek napájený stejnosměrným zdrojem - obr. 1.17. Při odporové změně některého z odporů R1 až R4 změní se velikost proudu Ig protékajícího diagonálou můstku, v níž je zapojen galvanometr. Proud Ig jako funkci odporů R1 až R4, odporu galvanometru Rg a napájecího napětí Ub můžeme určit z Kirchhoffových zákonů : kde

Obr. 1.16 Polovodičový tenzometr typ AP 15-6-12

Obr. 1.17 Můstek napájený stejnosměrným proudem

I. Algebraický součet proudů v kterémkoliv uzlu obvodu je nulový. Označíme-li proudy přitékající do uzlu znaménkem +, můžeme pro uzly A, B, C, D psát : A: + I1 + I4 - I = 0 B : - I1 + Ig + I2 = 0 C : I - I3 - I2 = 0 D : I3 - I4 - Ig = 0 (1.23) II. Součet všech svorkových napětí v uzavřeném obvodě je nulový. Pro tři uzavřené části obvodu můstku lze psát : -R1I1 - RgIg + R4I4 = 0 -R2I2 + R3I3 + RgIg = 0 Ub - R4I4 - R3I3 = 0 (1.24) V soustavě rovnic (1.23) máme jen tři vzájemně nezávislé rovnice. Pro určení 6-ti neznámých I1 až I4 a I, Ig máme tedy soustavu 6-ti rovnic (její determinant označme D8). Řešení soustavy rovnic (1.23) a (1.24) vzhledem k proudu Ig je :

Ig =

Ub (R1 R3 - R2 R4 ) Ds

(1.25)

Velikost proudu Ig a tím i odporovou změnu některého z odporů můstku můžeme určit dvojím způsobem : Při nulové metodě je na začátku měření můstek vyvážen, tj. indikátorem neprochází proud. Znamená to, že Ig = 0, takže ze vztahu (1.25) obdržíme : R1 R3 = R2 R4 (1.26)

13



Obr. 1.18 Můstek se stejnosměrným napájením a zesilovačem Deformací snímače se změní odpor, indikátorem prochází proud, můstek je rozvážen. Vyvážení můstku můžeme provést změnou odporu kterékoliv zbývají větve můstku a to tak, aby vztah (1.25) zůstal zachován. Předpokládejme, že změna odporu nastala ve snímači zapojeném ve větvi 1, takže odpor R1 změnil hodnotu na R1 + DR1. Vyvážíme-li můstek ve větvi 2, musí být splněno : (R1 + DR1) R3 = (R2 + DR2)R4 ® DR1 =

R1 DR2 ® DR1 = konst. DR2 R2

(1.27)

Změnu odporu DR2 odečteme na ukazateli přístroje. Při výchylkové metodě se změna odporu ve větvi můstku určuje ze změny proudu Ig. Změníli se odpor R1 o DR1, pak diagonálou můstku protéká proud, viz. vztah (1.25)

I g + DI g =

Ub [(R1 + DR1 )R3 - R2R4 ]= Ds¢

U U = b [R1R3 - R2R 4 ] + b R3 DR1 Ds¢ Ds¢

(1.28)

kde D´s je determinant soustavy rovnic (1.23) a (1.24) pro případ, kdy na rameni 1 je odpor R1 + DR1. Jelikož při měřeních je DR1/R1 obvykle menší než 1%, lze, přibližně položit D´s = Ds. Za tohoto předpokladu a pro případ, že můstek byl před tenzometrickým měřením vyvážen (Ig = 0) a tedy R1R3 = R2R4, lze vztah (1.27) psát takto :

U DIg = b R3DR1®DIg =konst DR1 Ds

(1.29)

Výchylka galvanometru je tedy přímo úměrná změně odporu tenzometrického snímače. Proud DIg a tím i výchylka jsou ovlivňovány kolísáním napájecího napětí Ub. Tato metoda se používá při dynamických měřeních. Signál z můstku pro další zpracování je vhodné zesílit pomocí zesilovače - obr. 1.18. Vstupní obvody zesilovačů lze navrhnout tak, že jejich impedance je proti odporu můstku značně velká. V tomto případě pak mezi svorkami D, E teče zanedbatelně malý proud vzhledem k proudu protékajícímu snímači. Výstupní napětí je pak možno považovat za rozdíl napětí dvou napěťových děličů. Hovoříme pak o napěťovém můstku. Jestliže u tohoto můstku nastane změna odporu, např. u snímače 1, a to DR1, pak napětí mezi svorkami D a E je U = U2 - (U1 + DU1). Je-li můstek na začátku měření kapacitně i odporově vyvážen, pak U1 = U2, takže U = - DU1. Přibližně pak platí :

14


U =- DU1 =U b

DR1 R1

proR1 =R 2 =R pakU =U b


R1R 2

(R1

+ R2 )

2

(1.30)

DR 4R

Při podmínce R1 = R2 je změna DR1 maximální. Tato podmínka bývá při tenzometrických měřeních splněna, protože obvykle používáme snímače se stejným základním ohmickým odporem. Jestliže odporová změna nastane současně na dvou větvích můstku, výstupní signál z můstku je dán vztahem :

U=

Ub 4

æ DR1 DR2 DR3 DR 4 ö çç ÷ R2 R3 R 4 ÷ø è R1

(1.31)

Získané výsledky přehledně uvádíme v tabulce 1. Stejnosměrné zesilovače výstupního signálu z můstku vykazují určitou nestabilitu. Tento nedostatek lze podstatně omezit u zesilovačů střídavých - obr. 1.19. V tomto případě musí být střídavé i napájení tenzometrických můstků. V základních rovnicích pro můstek se střídavým napájením musíme ohmický odpor nahradit impedancí : Z = R + j X , kde R je ohmický odpor, X = wL -

1 je reaktance. wC

Rovnováha tohoto můstku bude opět při nulovém proudu ig = 0, tedy když bude platit (viz analogii se vztahem - 1.26) Z1Z3 = Z2Z4 (1.32) Rovnice (1.32) a tím i rovnováha můstku bude splněna, když bude současně platit R1R3 - X1X3 = R2R4 - X2X4 , R1X3 + R3X1 = R2X4 + R4X2

(1.33)

V obecném případě můžeme můstek vyvážit postupným vyrovnáváním, tj. změnou jednoho parametru X dosáhneme snížení ig a změnou druhého parametru R můstek dovážíme. Pro střídavé zesilovače se značně velkými vstupními signály budeme mít můstek opět napěťového charakteru. Za předpokladu, že můstek byl z počátku vyvážen, projeví se změna impedance např. DZ1 ve větvi 1 změnou napětí U na svorkách indikátoru o velikosti

U =U b

DZ1Z3 (Z1 + Z 2 )(Z 2 + Z 4 )

(1.34)

Tab. 1.1 : Rozvážení můstku pro dva tenzometry

15



Obr. 1.19 Můstek se střídavým napájením - můstek s nosnou frekvencí Změna napětí je tedy opět přímo úměrná změněné veličině, v našem případě impedanci. U můstku napájených střídavým proudem je poněkud komplikovanější rozlišení smyslu deformace než u můstku stejnosměrných. Je-li totiž můstek vyvážen, pak stejně velká deformace, ať pozitivní či negativní, vyvolá stejně velkou výchylku na indikátoru. Dokumentujme si to na obrazovce osciloskopu se střídavým zesilovačem napájeným 16



střídavým proudem sinusového průběhu. Při statickém zatížení vyvolávajícím prohnutí nosníku např. směrem nahoru (obr. 1.20a) vzniká na obrazovce sinusovka s větší amplitudou než při nezatíženém stavu (obr. 1.20b). Při stejném prohnutí nosníku v opačném smyslu (tedy dolů) dostaneme opět sinusovku se stejnou amplitudou, ale s protifázovým průběhem (obr. 1.20c), což ale bez dalšího zařízení nelze zjistit. Při dynamickém zatížení dostaneme průběh signálu dle obr. 1.20d. Ke zjištění smyslu deformace se musí do měřícího řetězce zapojit další prvek, tzn. fázový diskriminátor, obr. 1.19. Při zapojení snímačů do můstku musíme počítat vždy se snímači, jejichž odpor se vzájemně liší. Plyne z toho, že po zapojení do mostu a po připojení k přístroji bude na měřicí úhlopříčce určité napětí tím větší, čím větší bude rozvážení můstku nerovností odporů snímačů. Abychom mohli vůbec měřit, musíme můstek nejdříve vyvážit, musíme zrušit napětí v měřicí úhlopříčce.

Obr. 1.20 Rozlišení smyslu deformace

Obr. 1.21 Princip odporového a kapacitního vyvažování

Obr. 1.22 Princip vyvažování můstku u stejnosměrných přístrojů

U střídavých můstků by však toto vyvážení ještě nestačilo. Protože pracujeme se střídavým proudem, projeví se kapacita přívodů, kabelů a další parazitní kapacity jako impedance, které jsou zapojeny paralelně s odporem snímače. Vzniká tedy složitý obvod v každé větvi, který způsobuje fázový posun napětí na výstupu z můstku a napětí oscilátoru, které ovládá řízený usměrňovač. Půlvlny se časově posunou proti sobě, takže výstupní usměrněné napětí již nebude složeno z půlvln sinusovek, ale napětí bude impulsy zabíhat do záporných

17



hodnot, sinusovka bude značně deformovaná a výsledné usměrněné napětí měřené ukazovacím přístrojem bude menší. Vyvažování na obr. 1.21 používá firma PHILIPS. Parazitní kapacity odporů snímačů vyvažuje diferenciálním kondenzátorem Cc. Jsou to dva vzduchové kondenzátory se společným rotorem. Otáčením rotoru se zvětšuje kapacita jednoho kondenzátoru, zatímco se současně zmenšuje kapacita protějšího. Toto vyvažování kapacity je ze všech systémů nejdokonalejší. Vyvažování nepravidelností odporů snímačů je v tomto případě rovněž vyřešeno velmi dokonale provedeným vzduchovým kondenzátorem diferenciálním. Toto zapojení ovšem dovoluje připojení jen poloviny mostu. Jiné vyvažovací zapojení je na obr. 1.21. Paralelně k odporům R1 a R2 se připojují odpory Rp v sérii s potenciometrem Rpv. Běžec potenciometru je spojen se zemí. Tímto způsobem měníme velikost paralelního odporu zapojeného ke snímači. Měníme tím i velikost fiktivního odporu snímače, což je výsledný odpor dvojice snímače a paralelní odpor. Zmenšováním paralelního odporu ke snímači R1 současně zvětšujeme paralelní odpor ke snímači sousednímu R2. Tohoto zapojení lze použít i pro celý most, nejen pro dvojici snímačů. Zapojení se používá u stejnosměrných mostů. Kapacitní vyvažování se v mnohých přístrojích provádí zapojením podle obr. 1.21. Potenciometr Rc se připojí přes kondenzátor 300 až 500pF na zem. Vyvažovací možnosti pro běžné kabely jsou dobré, avšak vyvážením kapacity poněkud porušíme odporové vyvážení. Proceduru vyvažování je proto nutno několikrát opakovat.

Obr. 1.23 Princip vyvážení mostu protinapětím Nejdokonalejší způsob vyvažování můstku je na obr. 1.23. Nezasahuje nikterak do můstku, nemění odpor použitých snímačů, ale zařadí do série s výstupním napětím můstku malé napětí, které se dá jemně regulovat. Protože se zdroj vyvažovacího napětí odebírá ze stejného transformátoru jako napětí napájecí, budou obě napětí přesně ve fázi. Stačí proto nastavit jen amplitudu pomocného napětí tak, aby byla přesně stejná jako zbytkové napětí můstku. Na vstupu zesilovače bude pak nulové napětí. Zapojení je jednoduché a přitom dovoluje nejen měnit velikost napětí působícího proti měřenému, ale jednoduchým způsobem i polaritu, takže může vyvažovat v obou směrech. Toto zapojení má proti všem ostatním zapojením jednu velkou výhodu, totiž dovoluje „vyvážit“ i velmi rozdílné odpory snímačů. 1.4 Indukčnostní snímače Indukčnostní snímače představují rozsáhlou skupinu pasivních snímačů, měřená neelektrická veličina je převedena na změnu indukčnosti. Indukčnostní snímače bývají zapojeny do obvodu s pomocným střídavým napětím. Nejčastěji to bývají obvody můstkové nebo rezonanční. Tato skupina umožňuje řešení většiny problémů z oboru měření neelektrických veličin. Každý indukčnostní snímač je nutno spojit s měřícím obvodem pomocí vodičů nebo spojovacího vedení. Vlastnosti tohoto vedení mohou výrazně ovlivnit parametry snímače a přesnost měření. Vlastní indukčnostní snímač je tvořen cívkou bez feromagnetického jádra nebo s feromagnetickým, popř. neferomagnetickým, elektricky vodivým jádrem. Působením neelektrické veličiny dochází ke vzájemnému posunutí těchto částí nebo ke změně jejich 18



elektrických vlastností. Cívka se vyznačuje indukčností, jejíž velikost závisí na počtu závitů, elektrických a magnetických vlastnostech jádra a na geometrických rozměrech cívky a jádra. Pokud jsou uvedené veličiny ovlivňovány vstupní měřenou veličinou, mění se i indukčnost cívky. Indukčností snímače vykazují též odporové a kapacitní parazitní vlastnosti. Elektrické náhradní schéma snímače je na obr. 1.24. Vedle indukčnosti L je zde ztrátový odpor R a parazitní kapacita C. Ideální indukčnostní snímače mají mít velkou reaktanci wL v porovnání s R. Při běžných kmitočtech 5 až 10 kHz nelze tento požadavek splnit, důsledkem toho je silná kmitočtová závislost údaje indukčnostního snímače. Kapacita C nezpůsobuje velkou chybu, protože její reaktance je daleko menší než reaktance indukčnosti při témže kmitočtu. Z elektrického náhradního schématu je také patrný vliv přívodů, kde je nutno uvažovat odpor Rv, indukčnost Lv, kapacitu mezi vodiči popř. proti zemi Cv a izolační odpor Riz. Pro tyto veličiny by mělo platit

1 Rv ,wLv ááwLááRiz , wCv

(1.35)

Obr. 1.24 Elektrické náhradní schéma indukčnostního snímače R - odpor snímače - L - indukčnost snímače - C - kapacita snímače RV - odpor vedení - LV - indukčnost vedení CV - kapacita vedení - Riz - izolační odpor Základní druhy indukčnostních snímačů v jednoduchém i diferenciálním zapojení uvádí obr. 1.25. Charakteristika snímače je velmi nelineární, pro praktické aplikace se využívá její lineární část šířka m. Indukčnostní snímače se používají hlavně pro měření vzdálenosti, tlaku, síly, kroutícího momentu, průtoku, zrychlení a pod. Pro vyhodnocení změny indukčnosti v diferencíálním zapojení snímače se používá můstek s nosnou frekvencí, jako u tenzometrů.

19



Obr. 1.25 Základní typy indukčnostních snímačů

1.5 Kapacitní snímače Základem kapacitního snímače, který patří do skupiny snímačů pasivních je dvou nebo několikaelektrodový systém s parametry proměnnými působením měřené neelektrické veličiny. Pro kapacitu jednoduchého deskového kondenzátoru platí

C =e 0 . e r

S d

(1.36)

20



kde S d er e0

- plocha elektrod - vzdálenost mezi elektrodami - poměrná pervitivita - pervitivita vakua. Na obr. 1.26 je náhradní elektrické schéma kapacitního snímače, ze kterého vyplývá, že obsahuje pouze čistou kapacitu, ale také odpor a indukčnost. Ve většině případů vliv parazitní indukčnosti můžeme zanedbat. Platí-li 1/wC<
Obr. 1.26 Elektrické náhradní schéma kapacitního snímače C - kapacita snímače - Riz - izolační odpor - RV - indukčnost vedení - CV - kapacita vedení Riv - iz. odpor vedení Kapacitní snímač je spojen s měřícím obvodem pomocí vedení - kabelu, jehož elektrické parametry mají vliv na funkci snímače. Měla by být splněna následující podmínka

Rv , w Lv áá

1 wC

áá R iz ,

1 w Cv

(1.37)

Je třeba počítat s tím, že ve většině případů je kapacita samotného snímače menší než kapacita přívodů. Obr. 1.27 uvádí základní typy kapacitních snímačů včetně charakteristiky, která pro některé případy je lineární. Působením neelektrické veličiny můžeme u kapacitního snímače měnit mezeru mezi deskami, plochu desek nebo dielektrickum. Kapacitní snímače se v praktických aplikacích používají hlavně pro měření plochy, tlaku, síly, kroutícího momentu, hladiny a pod.

21



0br. 1.27 Základní typy kapacitních snímačů

22



1.6 Indukční snímače Indukční snímače představují rozsáhlou skupinu hlavně pro měření mechanických veličin. U indukčního magnetického obvodu, který může být vytvořen pomocí obvodu s magnetickým tokem F. Napětí indukované zákonem

u= - N

aktivních snímačů používaných snímače jde o spojení cívky a stálého magnetu nebo budícího v cívce je dáno Faradayovým

df dt

(1.38)

kde N je počet závitů cívky dF/dt je časová změna magnetického toku vázaná na závity cívky. Měřená veličina může působit buď na rychlost změny magnetického toku spojeného s N závity pevné cívky nebo při stálém magnetickém toku měnit počet závitů cívky, které jsou v daném časovém okamžiku vázány s magnetickým tokem. Rozlišujeme proto snímače : a) snímače elektromagnetické b) snímače elektrodynamické. U elektromagnetických snímačů se mění magnetický tok změnou impedance magnetického obvodu. Princip snímače je vyznačen na obr. 1.28.

Obr 1.28 Základní typy elektromagnetických snímačů Elektrodynamické snímače jsou založeny na využití Faradayova indukčního zákona, podle kterého velikost indukovaného napětí je dáno rovnicí U =B . v . l (1.39) kde B - indukce magnetického pole l - délka vodiče v - rychlost vodiče ve směru kolmém na magnetické siločáry. Klasickým představitelem této skupiny snímačů je tachodynamo a indukční průtokoměr. Indukční snímače se v technických aplikacích používají hlavně pro měření dráhy, rychlosti, zrychlení, tlaku, síly, průtoku a pod. 1.7 Piezoelektrické snímače Piezoelektrické snímače patří do skupiny aktivních snímačů. Ke konstrukci snímačů tohoto typu se využívá piezoelektrického jevu, který spočívá v tom, že uvnitř některých krystalických dielektrik vzniká vlivem mechanických deformací elektrická polarizace, čímž na povrchu vznikají zdánlivé náboje, které mohou v přiložených elektrodách vázat nebo uvolňovat náboje skutečné. Jakmile mechanické napětí zmizí, dostává se dielektrikum do původního stavu. Pro velikost náboje platí

Q=k p . S . p kde kp - Curievova konstanta - 1 = 2,26.10

(1.40) -10

C/N

23



S - plocha elektrod p - tlak. Piezoelektrický snímač se při působení síly nebo tlaku chová jako generátor náboje. Elektrické náhradní schéma je uvedeno na obr. 1.21. Kapacita C0 je tvořena vlastní kapacitou snímače, dále kapacitou kabelu a kapacitou měřícího přístroje. Odpor R0 se skládá z objemového a povrchového odporu dielektrika, dále izolační odpor svorek i kabelu a vstupní odpor měřidla.

Obr. 1.29 Elektrické náhradní schéma piezoelektrického snímače Časová konstanta celého obvodu se snímačem je

t =R0 . C0

(1.41)

Tento údaj je zajímavý především při určování spodní hranice kmitočtového rozsahu snímače a měřícího obvodu a dále se uplatňuje při statickém cejchování snímače. Jestliže určíme přístupný pokles napětí v daném časovém intervalu a kapacitu C0, pak můžeme z předchozího určit izolační odpor R0. Požadavky kladené na izolaci snímače, konektoru a spojovacího kabelu jsou velmi přísné. Požaduje se hlavně velký izolační odpor, malá kapacita a dobré stínění proti vnějším rozptylovým polím. Dále se požaduje, aby při ohýbání kabelu nevznikaly třením parazitní elektrické náboje, případně změna kapacity kabelu. Izolační odpor se nesmí zmenšovat vlivem působení vlhkosti prostředí. Pro měření výstupního napětí snímače se musejí používat měřící přístroje s velkým vstupním odporem. Běžně se používá tranzistorů řízených elektrickým polem v nejrůznějších zapojeních. Předností piezoelektrických snímačů jsou jejich malé rozměry, konstrukční jednoduchost, lineární charakteristika a pod. Používají se především pro dynamické měření síly, tlaku, zrychlení, výchylky, mechanického napětí a pod. 1.8 Termoelektrické snímače Termoelektrický jev je příčinou vzniku termoelektrického napětí v uzavřené smyčce dvou vodičů z odlišných materiálů, pokud stykové body nejsou na stejné teplotě. Důvodem je vznik potenciálního rozdílu na styku dvou kovů s odlišnou výstupní prací volných elektronů a jeho závislost na teplotě styku. Zapojení termoelektrického snímače termočlánku a jeho náhradní elektrické schema je na obr. 1.30. Termočlánky patří do skupiny aktivních snímačů, vyznačují se malým vnitřním odporem Ri a používají se hlavně pro měření teplot a tepelného toku.

24



Obr. 1.30 Elektrické náhradní schéma termoelektrického snímače

25



2. MĚŘENÍ ZÁKLADNÍCH FYZIKÁLNÍCH VELIČIN 2.1 Měření tlaku Tlak je definován poměrem dF/dS, odkud vyplývá i jednotka tlaku. Nulový tlak přisuzujeme prostoru, v němž by nebyla žádná hmota. Tlak vzduchu na povrchu zemském se nazývá barometrický tlak. Měříme-li tlaky od nulového tlaku, mluvíme o tlacích absolutních. Je-li absolutní tlak vyšší než barometrický, nazýváme uvedený rozdíl přetlakem, v opačném případě podtlakem. Absolutní tlaky nižší než tlak barometrický se nazývají vakuum. Přístrojů pro měření je velké množství. Pro měření statická se v laboratořích i provozech používají nejčastěji tlakoměry kapalinové, pístové a deformační. 2.1.1 Tlakoměry kapalinové - trubicové Pro svoji jednoduchost a přesnost patří mezi nejpoužívanější přístroje pro měření malých tlaků. Měřítkem změny tlaku nebo tlakové diference je změna výšky tlakoměrné kapaliny, obvykle v přímé trubici - obr. 2.1.

Obr. 2.1 Kapalinové tlakoměry Deformační tlakoměry s elastickým členem Měření tlaku je u nich převedeno na měření deformace, která je způsobena měřeným tlakem. Elastické členy působí v mezích pružných deformací, kdy namáhaný člen nabývá po odlehčení původní tvar a rozměr. Nejběžnějším elastickým členem je Burdonova trubice, jejíž teorie a konstrukce je nejlépe propracována. Má eliptický průřez se střednicí tvaru kruhového oblouku, někdy též stočená do spirály nebo šroubovice. Jeden konec je uchycen v tlakové přípojce, druhý konec je uzavřený a volný. Při zatížení trubice měřeným tlakem se vliv deformace trubice napřimuje a volný konec se vychyluje. Tato výchylka se přes převodový mechanismus přenáší na ručičku, která na stupnici ukazuje velikost měřeného tlaku. Dalším základním elastickým členem je membrána, zpravidla kruhová, na obvodě upnutá a z jedné strany zatížená měřeným tlakem. Používá se i membrán zvlněných nebo prohnutých, zejména je-li třeba snížit jejich tuhost při zachování pevnosti. Pro měření malých tlaků je možné použít i měrných krabic nebo vlnovců a dosáhnout tak dosti velké deformace.

29



Obr. 2.2 Schéma deformačních tlakoměrů Obr. 2.2 uvádí všechny výše jmenované způsoby měření tlaku, jejich konstrukčních provedení je velké množství. Tlakoměry deformační se běžně vyrábí v třídě přesnosti 2,5%, pro přesnější měření 1%. Vzhledem k tomu, že jsou citlivé na přetížení a pružné elementy mohou časem měnit mechanické vlastnosti, je nutné tyto manometry často cejchovat. Tlakoměry se silovým účinkem Převedení měření tlaku na měření síly, jejíž účinek je v rovnováze se silou tlakovou, využívají tlakoměry se silovým účinkem, zde patří především tlakoměry pístové a prstencové. Na obr. 2.3 je uveden zjednodušený řez pístového manometru, používaného pro cejchování ostatních druhů tlakoměrů, hlavně v oblasti vyšších tlak

Obr. 2.3 Zjednodušené schéma pístového tlakoměru

Obr. 2.4 Prstencový manometr

Prstencový manometr - obr. 2.4 je tvořen dutým prstencem, který se otáčí kolem středu O. Prstenec kruhového nebo obdélníkového průřezu částečně naplněný kapalinou je

30



v horní části rozdělen pevnou přepážkou a opatřen dvěma odběry tlaku, v dolní části je připevněno závaží. Působí-li na přepážku rozdíl tlaků (p1 - p2) a tím otočný moment M = (p1 - p2) . S . R, vychýlí se prstenec z rovnovážné polohy o úhel b, při němž nastane rovnováha mezi otočným momentem a závažím, takže platí

p1-p2 =

Ga sinb SR

(2.1)

Úhel při otočení prstence při konstantním tlakovém rozdílu Dp je závislý na velikosti závaží. Proto lze velmi jednoduše změnou velikosti závaží provádět změnu rozsahu přístroje. Tenzometrické snímače tlaku Vedle statického měření tlaku, které v technické praxi převažuje, je třeba v mnoha důležitých případech provádět měření tlaku, jako např. při hydraulickém rázu, při snímání indikátorového diagramu, při měření tlakových fluktuací turbulentního proudění a v celé řadě dalších případů. Pro dynamické měření tlaků se musí používat tlakových snímačů a přístrojů, jejichž přenosové vlastnosti umožňují s ohledem na časovou závislost tlaku jeho měření bez amplitudového nebo fázového zkreslení. Těmto požadavkům vyhovují nejlépe elektrické snímače, např. kapacitní, induktivní, tenzometrické a piezoelektrické, z nichž poslední dva se používají nejčastěji, a proto dále budou podrobněji popsány. Tenzometrické snímače tlaku převádí tlakovou změnu na deformaci vhodného pružného členu, kterou měří odporovým tenzometrem. Na obr. 2.5 jsou uvedeny základní typy snímačů tlaku.

Obr. 2.5 Základní typy tenzometrických snímačů tlaku Jako deformačního členu se používají nejčastěji kruhové desky po obvodu vetknuté. Je-li deska navržena tak, že se v ní vyskytují tahová a tlaková napětí, může se použít dvou aktivních tenzometrů, čímž je také vyřešena teplotní kompenzace.

31



Obr. 2.6 Konstrukční řešení Obr. 2.7 Řez piezoelektrickým tenzometrického snímače tlaku snímače Je výhodné použít foliového tenzometru, který se skládá ze čtyř odporů zapojených tak, že tvoří celý most. Touto úpravou se dosáhne zvýšení citlivosti snímače a dokonalé tepelné kompenzace. Snímače, u kterých se požaduje velká citlivost, mají velmi tenkou desku membránu, na které při deformaci převažují tahová napětí. V těchto případech se používá spirálového tenzometru. Tenzometrické snímače tlaku se vyrábějí prakticky pro libovolné tlaky, vyznačují se dobrou citlivostí a linearitou, jsou časově stálé a mají dobré přenosové vlastnosti. Před měřením se však musí staticky cejchovat. Jedno z možných provedení tenzometrického snímače tlaku je na obr. 2.6. Snímače se vyrábějí ve třídě přesnosti 0,2%, kompenzovaný rozsah teploty okolí činí obvykle -10o až +80oC. Vstupní a výstupní odpor snímače bývá 120W nebo 350W. Teplotní chyba je obvykle menší než ±0,1%. Běžně se také vyrábějí snímače s polovodičovými tenzometry, které mohou být nalepeny na kovové membráně nebo se jako pružný prvek použije křemíková membrána, v jejichž povrchu je difúzí vytvořen celý odporový můstek. Snímače uvedené konstrukce mají větší citlivost a používají se pro měření do 15MPa. Piezoelektrické snímače tlaku Piezoelektrické snímače tlaku jsou založeny na piezoelektrickém jevu, který nastává při mechanickém namáhání některých krystalů, přičemž vzniká elektrický náboj, který je přímo úměrný velikosti mechanického napětí. Piezoelektrické snímače se nejčastěji zhotovují z krystalu křemene, který má velký odpor a tudíž malý svod. Hlavní výhodou piezoelektrických snímačů je, že mají malé rozměry, minimální škodlivý prostor a tudíž vysoký vlastní kmitočet. Takže je možnost jimi snímat tlak až do frekvence 104 Hz. Tyto snímače tlaku se vyrábějí pro široký rozsah tlaků, vyznačují se dobrou linearitou a stabilitou, před měřením se však musí cejchovat. Poněvadž el. náboj, který vzniká na krystalu, je velmi malý, musí se pro další zpracování zesílit. Použitý zesilovač musí mít vysoký vstupní odpor, aby nedocházelo k amplitudovému zkreslení nízkých frekvencí a také proto, aby se snímač mohl staticky cejchovat. Řez snímačem je na obr. 2.7. 2.2 Měření rychlosti a průtoku Měření střední rychlosti i průtoku patří k základním měřením v hydromechanicky. V současné době existuje, a pro tato měření se i průmyslově vyrábí, velké množství přístrojů, z nichž nejpoužívanější jsou dále popsány. Pro měření průtoků v potrubí se nejčastěji používají škrtící orgány, pro malé průtoky se používá rotametr, rozšiřuje se i použití 32



indukčního průtokoměru. při laboratorních měřeních se uplatňuje zajišťování průtoků vážením nebo do odměrné nádoby. Pro měření bodových rychlostí se používají sondy nejrůznějších provedení, z nichž pro jednorozměrné proudění se nejvíce rozšířila Pitotova nebo Prandtlova trubice. Měření průtoku tekutin pomocí snímačů diferenčního tlaku Protéká-li tekutina potrubím, ve kterém je umístěn škrtící orgán, tj. clona, dýza, Venturiho dýza a klasické trubice Venturiho, vznikne vždy tlaková diference před a za škrtícím orgánem. Za podmínek, které přesně vymezuje norma ČSN ISO 5167-1, lze na základě závislosti mezi tlakovým rozdílem a průtokem tekutiny nahradit přímé měření průtokového měření tlakového rozdílu před a za škrtícím orgánem a těmto hodnotám přiřadit určitou velikost průtoku. Jestliže jsou přísně dodrženy všechny předpisy uvedené normy, tj. geometrický tvar škrtícího orgánu a jeho umístění v potrubí, pak lze upustit od cejchování a určit příslušné součinitele podle údajů normy. Změnou průtokového průřezu se vyvolá změna rychlosti a tím tlaku, která se měří - obr. 2.8

Obr. 2.8 Řez clonou Hmotnostní průtok je určen rovnicí

qm =

e

1

e

2

C 1- b

p 4 p 4

4

d2 d2

. 2D pr 2D pr

1=

C 1- b

4

.

2

kde označení veličin je uvedeno v tab. 2.1. Podobně může být vypočtena i hodnota objemového průtoku

33

(2.2)


qv =


qm r

(2.3)

Mezi součiniteli expanze platí vztah

e

2 =e 1

1+

Dp p2

(2.4)

Má-li se prakticky stanovit poměr průměrů primárního prvku nebo provést pro dané podmínky výpočet průtoku, je třeba nejdříve zvolit typ primárního prvku dle obr. 2.9, pomocí rovnic dle tab. 2.2, určit součinitel průtoku C a expanze e. Při výpočtu se často musí použít iterace. Před a za primárním prvkem musí být rovné, přímé úseky potrubí, délky jsou definovány v normě ISO 5167-1. Uvedená norma také přesně definuje rozsah průměrů D, Reynoldsova číslu ReD, pro které platí, extrapolace není přípustná.

34



Obr. 2.9 Základní druhy primárních prvků 35



Tabulka 2.1 : Označení veličin dle ISO Symbol C d D e K l L p qm qv R Ra Re ReD Red t U b g d Dp Dv e x m v z r t j index 1

Veličiny součinitel průtoku průměr otvoru clony (nebo hrdla) vnitřní průměr potrubí relativní nejistota homogenní ekvivalentní drsnost vzdálenost odběrů tlaků rel. vzdálenost odběrů tlaků (L=l/D) absolutní statický tlak tekutiny hmotnostní průtok objemový průtok poloměr stř.aritmetická úchylka (drsnosti) profilu Reynoldsovo číslo Reynoldsovo číslo vztažené k D Reynoldsovo číslo vztažené k d teplota tekutiny stř. osová rychlost tekutiny v potrubí poměr průměrů b=d/D 2) poměr měrných tepelných kapacit absolutní nejistota diferenční tlak tlaková ztráta součinitel expanze 2) izentropický exponent dynamická viskozita tekutiny kinematická viskozita tekutiny v=m/r relativní tlaková ztráta hustota tekutiny poměr tlaků t=p2/p1 celkový úhel difuzorové části - před primárním prvkem, index 2

1)

Rozměr bezrozm. L L bezrozm. L L bezrozm. -1 -2 ML T -1 MT 3 -1 LT L L bezrozm. bezrozm. bezrozm. Q -1 LT bezrozm. bezrozm.

Jednotka SI m m m m m Pa kg/s 3 m /s m m 0 C m/s -

3)

3) -1 -2

Pa ML T -1 -2 ML T Pa bezrozm. bezrozm. -1 -2 ML T Pa.s 2 -1 2 LT m /s bezrozm. -3 3 ML kg/m bezrozm. bezrozm. rad. - za primárním prvkem

Nejistota (chyba) hmotnostního průtoku dqm se vypočte ze vzorce 2 d q m éêæ d C ö æd e = ç ÷ +ç q m êè C ø è e ë

æ 2 + çç è 1- b

2

4

2

1

2 æ 2b 4 ö æ d D ö 2 ö ÷ ç ÷ + çç ÷ + 4 ÷ D b 1 è ø ø è ø 2

2

2 ù 0,5

,

(2.5)

ö æd d ö 1 æ d Dp ö 1 æd r 1 ö ÷ ç ÷÷ ú ÷ è d ÷ø + 4 çç Dp ÷÷ + 4 çç r è ø 1 ø ú è ø û

kde nejistota C a e1 je udána v normě ISO, ostatní nejistoty musí být stanoveny uživatelem.

36



Tabulka 2.2 : Přehled rovnic pro výpočet primárních prvků

37



Jsou-li splněny podmínky ČSN 257714, je možné použít clony, dýzy nebo Venturiho trubice i pro měření pulzujícího proudění tekutin.

38



Vhodným tvarem škrtícího orgánu (segmentová clona, dvě nebo více clon řazených za sebou) je možné provádět měření průtoku i pro viskosní kapaliny.

Obr. 2.10 Rotametr Plovákový průtokoměr - rotametr Plovákový průtokoměr (rotametr) - obr. 2.10 je zařízení, které měří průtočné množství kapaliny změnou průtočné plochy (tzn. clona s proměnnou plochou) při stálém tlakovém spádu. Změna průtočné plochy se dosahuje pohybem plováku v kuželové trubici. Rotametru se používá zejména pro měření malých průtočných množství kapalin i plynů. Laboratorní rotametry jsou určeny k vizuálnímu pozorování polohy plováku. Kuželová trubice rotametru je vyrobena nejčastěji ze skla a je na ní vyryta stupnice, která se cejchuje přímo v příslušných jednotkách objemového nebo hmotnostního průtoku. Kromě rotametru s vizuálním pozorováním plováku se vyrábějí i rotametry s automatickým sledováním plováku, např. pomocí indukčnostního snímače, a s možností dálkového přenosu polohy plováku.

Rychlostní průtokoměry

Obr. 2.11 Zjednodušený řez rychlostním průtokoměrem

39



Základním prvkem rychlostních průtokoměrů (motorická měřidla) je lopatkové kolo, uváděné do rotačního pohybu kinetickou energií proudící kapaliny. Podle tvaru lopatkového kola se dělí na měřidla s axiálním a tangenciálním vtokem. Průtokoměr s axiálním vtokem (Woltmanovo měřidlo) je znázorněn na obr. 2.11.Počet otáček kola n je úměrný rychlosti proudění a tedy objemovému průtoku podle vztahu Q=k1 n + k 2 (2.6) ve kterém konstanty k1, a k2 jsou určeny cejchováním přístroje. Konstanta k1 má stálou hodnotu pouze v omezeném rozsahu otáček. Při otáčení kola vznikají hydraulické ztráty a v uložení rotoru ztráty třecí. Proto má kolo určitý skluz oproti teoretické rychlosti otáčení. Tento skluz se zvětšuje z klesající rychlosti protékající kapaliny a způsobuje zvětšování chyby měření. Zvlášť výrazně se tento jev projevuje u kapalin jako např. oleje, jejichž viskozita se s teplotou velmi mění. Konstanta k2 respektuje necitlivost přístroje, udává minimální průtok, při němž měřidlo se přestane otáčet. Indikace otáček u provozních měřidel je zpravidla mechanická. U průtokoměrů vyšší přesnosti se užívá bezdotykových snímání otáček, zpravidla na principu indukčních snímačů. Tento typ měřidla se instaluje zpravidla v horizontální poloze. Vyžaduje při přesném měření uklidňovací přímé potrubí v délce nejméně 15násobku světlosti měřidla před a 5násobku za měřidlem. Patří mezi nejpřesnější měřidla. Vírové průtokoměry Vírové průtokoměry splňují požadavky na snímače, které přímo vysílají frekvenčně modulový signál, nemají pohyblivé části, vykazují malou trvalou tlakovou ztrátu a mají velký měřící rozsah ( až 1:50 ). Měřícím principem je využití vzniku Kármánových vírů při obtékání tělesa vloženého napříč průtočného průřezu a kolmo na směr proudění. Frekvence generovaných vírů je od určité velikosti Re přímo úměrná rychlosti proudění - obr. 2.7. Na stabilitu těchto vírů má rozhodující vliv tvar vloženého tělesa. Tomu vyhovují nejlépe prismatická tělesa - obr. 2.8. Sériově vyráběné průtokoměry se liší především tvarem vloženého tělesa, místem a principem snímání frekvence vzniklých vírů. Měřícím místem bývá přímo vložené těleso nebo stěna potrubí. Snímání frekvence vírů se provádí vysokofrekvenčními snímači, jako jsou žhavené drátky, termistory, tenzometry, kapacitní a ultrazvukové snímače a pod. Minimální měřicí rozsah je ovlivněn frekvencí vírů (minimálně 1 Hz) a Reynoldsovým číslem (minimálně 3000). Maximální měřící rozsah je omezen u kapalin vznikem kavitace a u plynů nadměrnou expanzí.

Obr. 2.12 Závislost Sh=f(Re) vírovým pro kouli

Obr. 2.13 Zjednodušený řez průtokoměrem

Průtokoměr s obtékaným diskem

40



Obtékané těleso měřenou kapalinou ve tvaru kruhového terče je spojeno s vetknutým nosníkem. Ohybový moment tohoto nosníku vyvolaný proudící kapalinou je snímán tenzometrem a jeho velikost je přímo úměrná rychlosti proudící kapaliny, poněvadž platí rovnice

M 0 =a c x

p d2 v2 r 4 2

(2.7)

Měřidlo je lineární od jisté hodnoty Re, kdy platí, že cx=f(Re)= konst. Vhodnou volbou tuhosti nosníku lze dosáhnout optimální vlastní úhlové frekvence měřidla, které může být použito i pro dynamická měření do maximální frekvence 50 Hz. Ultrazvukové průtokoměry Ultrazvukové průtokoměry využívají k měření změnu rychlosti šíření ultrazvukových vln ve směru proudění a proti směru proudění tekutiny. Funkce průtokoměru plyne z obr. 2.10. Ultrazvukové vlny vysílané vysílači V jsou přijímány přijímači P. Rychlost šíření ultrazvukové vlny v kanálu V1-P1 je rovna w 1 = c + w . sin a Analogicky pro kanál V1®P1 je w = c - w . sina . Odpovídající průchody generovaných signálů jsou t1=lD/w1 a t2=lD/w2. Oba signály jsou zavedeny do směšovače, kde se získá rozdíl frekvencí Df.

Obr. 2.14 Schéma průtokoměru s obtékaným diskem

Df =f1 - f2 =

Obr. 2.15 Ultrazvukový průtokoměr

w1 - w 2 æ w ö =2çç ÷÷ sin a lD è lD ø

(2.8)

a odtud

w=

lD Df 2 sin a

(2.9)

Měřená rychlost není závislá na rychlosti ultrazvuku, ale pouze na rozdílu frekvencí. Žárový anemometr Měření rychlosti žárovým anemometrem je založeno na poznatku, že protékající kapalinou dochází z elektricky ohřívaného čidla (žhavený drátek nebo fólie) k odvodu tepla, jehož velikost je měřítkem rychlosti. Pro měření v plynech a v elektricky nevodivých kapalinách se používají sondy bez povrchové isolace. Naopak pro elektricky vodivé kapaliny, např. vodu, se musí používat krytých sond, které mají povrch drátku nebo fólie isolován vrstvou křemene, její tloušťka je 41



asi 3 mm. Drátkové sondy mají velmi malou hmotnost a tím malou tepelnou setrvačnost, uplatňují se při měření pulsací rychlosti s vysokými frekvencemi. Teplo odvedené z drátku konvekcí do proudící kapaliny (vliv sálání a volné konvekce je možno zanedbat) musí být v rovnováze s množstvím tepla, které je nutné na zahřívání drátku elektrickým proudem. Z této rovnice je možné odvodit Kingovu rovnici

U 2 =U 02 + b v n

(2.10)

kde b, n - jsou konstanty, které se při praktických měřeních určují cejchováním anemometru. Při měření tímto anemometrem se postupuje tak, že se volí konstantní proud protékající čidlem, rychlost je pak úměrná zmenšení odporu sondy. Nebo se volí konstantní teplota čidla a měření rychlosti je v tomto případě úměrná velikosti proudu nebo napětí obr. 2.16.

Obr. 2.16 Schéma anemometru s konstantní teplotou čidla Anemometr s konstantní teplotou pracuje, jak již název říká, s konstantní teplotou čidla, tzn., že i jeho odpor je konstantní. Z blokového schématu - obr. 2.16 je patrné, že teplota čidla je udržována na konstantní hodnotě pomocí zesilovače se zpětnou vazbou. Rychlost měřené kapaliny je v tomto případě úměrná změně napětí nebo proudu, který protéká můstkem. Anemometr s konstantní teplotou čidla má lepší dynamické vlastnosti, proto se častěji používá, i když jeho elektronická část je podstatně složitější. Zesilovač z důvodů kladné zpětné vazby může být nestabilní, tzn., že dochází k oscilacím, které znemožňují měření. Tuto hlavní nevýhodu je možno odstranit vhodným nastavením zesílení zesilovače. Optický - laserový anemometr - LDA Z poměrně velkého množství optických metod měření rychlosti nebo průtoku průzračných tekutin jsou nejvýznamnější laserové anemometry, využívající laseru jako zdroje koherentního, vysoce monochromatického a přímkově polarizovaného světla. Laserový anemometr na principu LDA (laser Dopplerovský anemometr) využívá Dopplerův efekt, dle něhož se při relativním pohybu zdroje a přijímače frekvence vlnění vysílaného zdrojem vzhledem k přijímači mění. Jako snímač rychlosti se používá laserový paprsek, který je rozptylován částicemi měřeného proudícího prostředí. Velikost těchto částic má průměr cca 0,3 mm, což je dostačující k tomu, aby byla detekována intenzita rozptýleného světla a aby současně jejich okamžitá rychlost byla totožná s rychlostí 8 kapaliny. Koncentrace částic potřebná pro splnění uvedené podmínky je přibližně 10 3 částic/cm . 42



Rozptýlené světlo laserového paprsku, které se optickoelektrickým zařízením vyhodnocuje, se vyznačuje frekvenčním posunem vzhledem k dopadajícímu světlu. Tento posun nazýváme Dopplerovským posunem frekvence, nebo-li Dopplerovskou frekvencí. Její velikost poskytuje informaci o rychlosti pohybujících se částic průsvitného proudícího prostředí.

Obr 2.17 Schéma LDA anemometru Nejběžnější uspořádání LDA anemometru je uvedeno na obr. 2.17. Světelný paprsek z laseru se v optické soustavě dělí na dva paprsky stejné intenzity, které se protínají v jednom bodě, který je současně i místem měření. V průsečíku těchto paprsků dochází k interferenci světla, vzdálenost mezi interferenčními proužky je

l j sin . 2 2

Převrácená hodnota doby průchodu částice mezi dvěma interferenčními proužky je právě rovna dopplerové frekvenci - fD. Světelný paprsek odražený od pevných částic je snímán fotonásobičem. Signál tohoto fotonásobiče, po patřičném zesílení, je veden do frekvenčního demodulátoru, jehož střední a frekvenční hodnota výstupního signálu je úměrná střední a fluktuační rychlosti proudění. Pro rychlost platí rovnice

u=

l 2

fD

(2.11)

j sin 2

kde j -je úhel vytvořený laserovými paprsky. Z obr. 2.17 vyplývá, že vektor měřené rychlosti leží v rovině tvořené oběma paprsky a je kolmý na osu obou paprsků (kolmý na rovinu interferenčních proužků). To tedy znamená, že LDA anemometr je směrově citlivý. Popsaný anemometr, jak vyplývá z rovnice (2.11) patří mezi absolutní měřidla, není nutné jej proto cejchovat, a to je jeho velká přednost v porovnání s ostatními anemometry. Dále je tento anemometr lineární, přesnost měření je velmi vysoká, měřený rozsah rychlosti je velký, spodní hranice rychlosti se pohybuje okolo 1 mm/s, horní hranice není prakticky omezená. Vzhledem k tomu, že průměry světelných paprsků nepřesahují 0,5 mm, umožňuje LDA anemometr měřit místní rychlost, a protože v měřeném místě proudu není žádné 43



mechanické čidlo, nedochází tudíž k narušení rychlostního pole. Anemometr umožňuje měřit jak rychlost plynů, tak i kapalin, podmínkou však je přítomnost odrazových částic v proudící tekutině. Při vhodně zvolené ohniskové vzdálenosti a vzdálenosti mezi paprsky je anemometr schopen obsáhnout dostatečně velký prostor, ve kterém se má provádět měření.

Obr. 2.18 Schéma měření průtoku nezatížených hydromotorem Nezatížený hydromotor Nezatížený hydromotor je u hydraulických mechanizmů často používaný způsob měření průtoku, hlavně pro svoji jednoduchost a spolehlivost. Měření průtoku tímto způsobem jak je patrné z obr. 2.18 je převedeno na měření otáček nezatíženého hydromotoru, pro který s velkou přesností platí rovnice Q=n . Vg (2.12) K měření otáček je možné použít fotosnímače s čítačem nebo tachodynamo. Tento způsob měření je vhodný jak pro měření statická tak i dynamická, max. frekvence většinou nepřekračuje velikost 10 Hz. Přesnost měření je lepší jak 1% a není závislá na teplotě (viskozitě) měřené kapaliny. Indukční průtokoměr Indukční průtokoměry jsou určeny pro měření elektricky vodivých kapalin. Využívají principu elektromagnetické indukce (Faradayova zákona), přičemž vodič pohybující se v magnetickém poli představuje proudící kapalina. Indukované napětí U se snímá dvěma

44



Obr 2.19 Princip indukčního průtokoměru protilehlými elektrodami ve vzdálenosti lo od sebe a umístěnými na vnitřní stěně trubky tak, aby mezi nimi procházel magnetický tok (kolmo na siločáry), obr. 2.19. U elektromagnetického průtokoměru se indukuje elektromagnetické napětí ve vodiči kolmém na rovinu vytvořenou vektorem rychlosti v vodivého média a vektorem magnetické indukce B.

U=BV l 0

(2.13)

kde B V l0

- je vektor magnetické indukce - je vektor rychlosti fiktivního vodiče - je délka vodiče (vzdálenost elektrod). Problém je poněkud složitější, protože se měřená kapalina v průtokovém kanálu nepohybuje stejnou rychlostí. Podle poměru setrvačných a třecích sil kapaliny se rychlostní profil uspořádá od rovnoměrného na profil odpovídající proudění lineárnímu až turbulentnímu. Za jistých předpokladů je možno dokázat, že indukované napětí je úměrné střední rychlosti vs kapaliny. Teoreticky odvozené indukované napětí při laminárním proudění je větší než pro turbulentní proudění při stejné hodnotě střední rychlosti obou proudění. U laminárního proudění však ubývá rychlost směrem ke stěnám (parabolická závislost) a indukované napětí je zde menší. Tato okrajová oblast tvoří jakési spojení nakrátko a umožňuje vznik vířivých proudů, které právě kompenzují rozdíl indukovaného napětí při obou druzích proudění. Napětí na snímacích elektrodách není dáno vlastnostmi vodiče, tzn. že nezávisí na teplotě, viskozitě, hustotě, znečištění, apod. Pouze musí být splněn požadavek vodivosti kapaliny, přičemž měrný odpor může být maximálně 104 Ohm.cm (voda má např. 1.3 až 1.9.103 Ohm.cm) a eventuální pevné částice v kapalině musí být nevodivé a nemagnetické. Průměr průtokového kanálu se pohybuje od 2 mm do 2 m. Materiál průtokového kanálu může být z elektricky vodivého nebo nevodivého nemagnetického materiálu. Vnější magnetické pole se budí stejnosměrně (permanentní magnet nebo stejnosměrně napájený elektromagnet) nebo střídavě, popř. impulsně. Použití stejnosměrného buzení je omezeno na speciální případy, protože na výstupu se obtížně zpracovává polarizační napětí na elektrodách. Polarizační napětí na elektrodách, které má nepravidelný charakter nelze téměř kompenzovat. Stejně tak parazitní vliv termoelektrických napětí při vyšších teplotách měřeného media působí velmi rušivě. Z toho důvodu se používá většinou střídavé buzení. Tím se zjednoduší pracování výstupního signálu snímače. Vzniknou však potíže způsobené elektromagnetickou indukcí. Napětí na výstupu snímače obsahuje :

45



- napětí „dynamické“ úměrné střední rychlosti měřeného prostředí o kmitočtu shodném s budícím polem, s nimž je ve fázi - napětí „statické“, vznikající elektromagnetickou indukcí, se stejným kmitočtem a o 90o posunuté proti budicímu poli - parazitní napětí vnějšího původu o různé a proměnné amplitudě a fázi. Potlačení parazitního statického napětí se dělá především : - zmenšením plochy závitu, který vytváří vývody elektrod a kterou prochází magnetický tok - připojením kompenzačního napětí do výstupu obvodu, které získáme pomocí kompenzačních obvodů - pro měření použijeme fázově citlivý mV-metr. Snímač musí být pečlivě odstíněn a uzemněn. Realizace magnetického obvodu je obtížná v tom, že se vyžaduje, aby bylo vytvořeno homogenní magnetické pole. Obyčejně se magnetický obvod dělá v délce jednoho až dvou průměrů průtokového kanálu. Požaduje se také co nejmenší vliv teploty na magnetický obvod. Při měření je nezbytné, aby vstupní odpor zesilovače Rz byl mnohem větší než vnitřní odpor zdroje. Z hlediska možného řešení tohoto problému je předepsána určitá vodivost měřeného prostředí. Tím je definován vstupní odpor zesilovače. Umístění elektrod na stěně potrubí není vždy podmínkou. Elektrody mohou být umístěny prakticky v libovolném místě průřezu potrubí. Je-li vzdálenost mezi elektrodami 1 ¸ 2 mm, umožňuje tato metoda měřit turbulentní fluktuace rychlosti za předpokladu použití stejnosměrného buzení. Je rovněž možné u průtokoměru zabudovat více párů elektrod na stěně potrubí, v tomto případě je možné řešit rychlostní profil, buzení je vhodné střídavým proudem. Měření kroutícího momentu Při měření kroutícího momentu je v podstatě možno použít dvě základní metody: 1) Měření absorpčními dynamometry, které jsou opatřeny ústrojím k měření kroutícího momentu a současně plní funkci hnaného stroje. 2) Měření dynamometry torzními, které určují kroutící moment ze zkrouceného hřídele nebo samostatného torzního členu nahrazujícího v určité délce hřídel. Měření absorpčními dynamometry patří mezi měření statická, které mohou zachytit změny měřeného kroutícího momentu Mk pouze v delších intervalech (řádově v sekundách až desítkách sekund). Mezi absorpční dynamometry patří především brzdy - mechanické, elektrické a kapalinové. Všechny brzdy, s výjimkou některých brzd elektrických plní současně funkci zátěže měřeného zařízení, tzn, že odebírají výkon jehož velikost měří. Některé elektrické brzdy lze však použít i jako jednotek hnacích - jako zdroj známého výkonu při zkouškách hnaných strojů (zpravidla se jedná o elektrický stroj, který může plnit funkci motoru i generátoru). Velikost kroutícího momentu Mk se u brzd určuje nejčastěji vyvažováním reakce výkyvného statoru brzdy, a to závažím, pružinou, nebo kombinací obou způsobů. Použití absorpčního dynamometrů je omezeno jednak pro statická měření, ale také skutečností, že se měření zpravidla nedá uskutečnit za běžného provozu proměřovaného zařízení, tzn. bez narušení uspořádání hnací a hnané jednotky. Pokud jde však o dosahovanou přesnost měření, patří brzdy mezi nejpřesnější dynamometry. Měření torzními dynamometry odstraňují některé výše popsané nevýhody dynamometrů absorpčních - umožňují zpravidla i měření dynamická, mohou být trvale zařazeny na pracovní hřídeli a proměňované zařízení nezatěžují. Jsou však obvykle výrobně i provozně náročnější, hlavně na použitou přístrojovou techniku. Principem činnosti torzních dynamometrů je vhodný převod z kroucení hřídele nebo torzního elementu na jinou měřitelnou veličinu, přičemž se využívá snímačů optických, fotoelektrických, magnetoelektrických, odporových, indukčních, respektive i jiných.

46



Přenáší-li hřídel průměru d kroutící moment Mk, dochází následkem pružné torzní deformace k vzájemnému natočení průřezu A-A a B-B kolmých k ose hřídele a vzdálených od sebe o délku l o úhel v obloukové míře d - obr. 2.20.

Obr. 2.20 Hřídel zatěžovaný kroutícím moment

d=

Obr. 2.21 Fotoelektrický torzní dynamometr

MK .l G . IK

(2.14)

kde G - je modul pružnosti ve smyku Ik - je polární moment setrvačnosti hřídele. Pracovní hřídel má však z důvodů provozní bezpečnosti obvykle značně větší průměr než odpovídá dovolenému namáhání (a maximálnímu úhlu d), a proto je úhel zkroucení velmi malý. Při měření Mk se proto zpravidla jedná o měření malé změny vzájemné polohy dvou zvolených míst na hřídeli za rotace, což vede na použití převážně bezkontaktních nebo elektrických snímačů. K nejjednodušším torzním dynamometrům patří dynamometr sestávající z torzní tyče s úhlovou stupnicí a jednoduchého stroboskopu, který umožňuje čtení úhlu zkroucení na stupnici za rotace. Nedostatkem tohoto jednoduchého přístroje je citlivost i na nepatrné torzní vibrace, které znesnadňují čtení optikou na stupnici. Fotoelektrické torzní dynamometry měří změnu intenzity světla způsobenou vzájemným překrytím štěrbin 1 v kotoučích 2 nasazených na zkrucované torzní tyči - obr. 2.21. .

Obr. 2.22 Tenzometrický dynamometr

47



Magnetoelektrické snímání úhlu zkroucení torzního elementu využívá změny magnetických vlastností zkrucovaného elementu (z ferromagnetického materiálu), který se nachází v elektrickém poli. Torzní element tvoří jádro indukční cívky, která je na něm navinuta, a jejíž konce jsou přes kroužky a kartáče propojeny s měřícím přístrojem. Při zkrucování dochází ke změně indukčnosti cívky. Tenzometrické dynamometry, které se nejčastěji používají, převádí změnu úhlu zkroucení na odpovídající změnu odporu tenzometrů nalepených buď přímo na pracovní hřídeli nebo na samostatném torzním členu. Při tomto měření je však nutné volit měřící místo na hřídeli tak, aby se bezpečně vyloučil vliv ohybu hřídele na naměřené hodnoty Mk. Rovněž je nutné pamatovat na teplotní kompenzaci. Výhody tenzometrů jsou přes kroužky a kartáče spojeny s příslušnou tenzometrickou aparaturou. Obr. 2.22a používá se i bezkontaktní zapojení - obr. 2.22b

Obr. 2.23 Schéma indukčnostního bezkontaktního snímače kroutícího momentu Na obr. 2.23 je uveden indukčnostní dynamometr s bezkontaktním snímáním měřené veličiny z rotujícího hřídele. V pouzdře dynamometru je v ložiskách uložen zkrutný hřídel 1, nesoucí dva páry induktivních snímačů I, II a III, IV. Na obou koncích zkrutného hřídele, jehož délka je omezena osazením, jsou upevněny příruby, které se při zkrucování hřídele navzájem natáčejí. Toto vzájemné natočení se převádí na pohyb jader 3 a 4 v induktivních snímačích polohy I, II a III, IV, neboť vinutí cívek 5, 6 snímačů polohy je mechanicky spojeno s jednoduchou přírubou zkrutného hřídele a jádra 3, 4 s druhou přírubou. Každá dvojice snímačů I, II a III, IV tvoří diferenciální induktivní snímač polohy jádra 3 a 4, obě dvojice navzájem potom tvoří diferenciální indukčnostní snímač natočení snímaných průřezů zkrutného hřídele. Popsané uspořádání snímačů, kdy všechny snímače jsou zapojeny jako větvě úplného můstku, umožnilo značně zvýšit citlivost a rozlišovací schopnost snímače natočení. Napájecí snímač i zpracování výstupního signálu je zabezpečováno použitím měřícího můstku s nosným kmitočtem. Přesnost měření dosahovaná torzními dynamometry se pohybuje v rozmezí 0,3-5% a závisí jak na typu a provedení přístroje, tak i na jeho správném ocejchování. Protože torzní dynamometry měří nepřímým způsobem - kroutící moment se převádí na úhel zkroucení, a ten dále na veličinu měřenou vhodným indikátorem, je úkolem cejchování zjistit souvislost mezi kroutícím momentem a měřeným údajem.

48



2.4 Měření síly Určení velikosti síly je možné provádět vážením, v současné době se měření sil realizuje nepřímými metodami, s využitím snímačů sil. Funkce čidla je založena na tom, že silové působení na čidlo způsobuje jeho deformace. Převod tlakové nebo tahové síly na deformaci se provádí pomocí pružných prvků na jejichž povrchu jsou nalepeny tenzometry. Má-li pružný prvek plnit svou funkci, musí mít tyto vlastnosti : - dostatečnou pevnost a odolnost proti porušení, - vysokou mez pružnosti, - minimální hysterezi a dopružování materiálu, - dlouhodobou stabilitu mechanických veličin, - lineární průběh pružné deformace v měřeném rozsahu v závislosti na zatížení, - minimální vnitřní pnutí.

Obr. 2.24 Základní tvary pružných prvků Požadavky lze splnit především správným výběrem materiálu, jeho tepelným zpracováním a vhodným tvarem pružného prvku. Na obr. 2.24 jsou uvedeny základní tvary pružných prvků. Pro menší tlakové síly (do 2kN) jsou vhodné ohybové prvky. Konstrukční uspořádání snímače tohoto typu je naznačeno na obr. 2.25. Na obr. 2.26 je uspořádání snímače pro větší tlakové síly. Maximální hodnota měřené deformace nemá přesahovat 10 až 30% meze pružnosti použitého materiálu. pro pružné prvky se doporučují materiály s vysokou mezí pružnosti. Pro normální teploty např. ocel 16 640 (pevnost 1,6 až 1,8.103MPa). Pro větší síly (nad 103MN) a vyšší provozní teplotu (do 4500C) je vhodná ocel 19 552.

Obr. 2.25 Řešení snímače pro menší tlakové síly

Obr. 2.26 Řešení snímače pro větší tlakové síly

49



Její pevnost je kolem 2.103MPa. Pro korozní prostředí je vhodná ocel AKVH - 3, která má pevnost kolem 1,3.103MPa při provozní teplotě do 400oC. Na pružném prvku jsou obvykle nalepeny tenzometry, které vytvářejí úplný můstek (měřicí i kompenzační). Velmi často se zvětšuje citlivost snímače větším počtem tenzometrů v jedné větvi (sériově paralelním zapojením). Při dynamickém měření sil je možné předpokládat, že se jedná o tlumenou soustavu tvořenou hmotou a pružinou s jedním stupněm volnosti. Hmota se skládá s vlastní hmotnosti snímače a připojených pohyblivých hmotností soustavy. Při řešení časově proměnných sil je třeba respektovat skutečnost, že nejvyšší harmonické složky sil mají frekvenci menší, než je cca třetina vlastní frekvence snímače. U hydraulických obvodů je možné velikost sil s dostatečnou přesností určit z naměřené velikosti tlaku přímočarého hydromotoru, je-li znám jeho vnitřní průměr či průměr pístnice. 2.5 Měření frekvence a otáček Podle principů, jichž se při měření otáček využívá, lze otáčkoměry rozdělit na odstředivé, chronometrické, magnetické, elektromagnetické, impulsní, stroboskopické, rezonanční, apod. Dále je možné otáčkoměry rozdělit na otáčkoměry ruční nebo pevně spojené s hřídelem měřeného stroje. Otáčkoměry odstředivé využívají odstředivé síly rotujících závaží, které překonávají odpor pružiny. Pohyb excentricky uložených závaží se přenáší pákovým mechanismem na příslušnou stupnici. Otáčkoměry chrometrické jsou v podstatě počítadla otáček spojená s hodinovým strojkem, který počítadlo na určitou dobu automaticky zapíná. Přístroj integruje průběh otáček za danou dobu a udává proto hodnotu průměrnou. Vyrábí se většinou jako ruční otáčkoměr, který se při měření nasadí nebo přiloží k pracovnímu hřídeli. Počítadlo se uvede do chodu buď přímo přiložením k hřídeli nebo zvláštním mechanismem. Magnetické otáčkoměry pracují na principu magnetické indukce. Otáčením permanentního magnetu se v hliníkovém nebo měděném válcovém plášti indukují vířivé proudy. Vzájemným působením elektromagnetického pole vířivých proudů a pole magnetu vzniká moment, který natáčí hřídelí měřícího ústrojí a překonává přitom odpor vratné spirálové pružiny. Otáčkoměry elektromagnetické - tachodynama jsou malé elektrické generátory vyrábějící proud, jehož napětí je přímo úměrné počtu otáček. V malém rozmezí velikosti odebíraného elektrického proudu při měření velikosti napětí mívají lineární závislost výstupního napětí na otáčkách. Používají se většinou jako otáčkoměry stabilní, pevně spojené s měřenou hřídelí. Impulsní otáčkoměry patří k nejpřesnějším otáčkoměrům. Jsou to v podstatě elektrická počítadla impulsů, které jsou vyráběny v čidle spojeném s pracovní hřídelí. Čidlem může být např. fotoelektrický snímač - snímající průchod mezer ozubeného kotouče 2 mezi žárovkou a fotoelementem - obr. 2.18. Ozubený kotouč je upevněn na měřené hřídeli. Elektrické impulsy, které fotoelektrický snímač při otáčení kotouče vyrábí, jsou po potřebném zpracování (tvarování a zesílení) počítány elektronickým čítačem. Stroboskopické měření počtu otáček spočívá v porovnání počtu otáček hřídele s jiným periodickým jevem, jehož frekvence je známa. Z uvedeného přehledu různých druhů otáčkoměrů se při měření setkáme nejčastěji s impulsními otáčkoměry vybavenými fotoelektrickými snímači a to pro jejich velmi dobrou přesnost a rozlišovací schopnost ve spojení s elektrickými čítači. Z ručních otáčkoměrů jsou běžně používány otáčkoměry chronometrické. 2.6 Měření polohy

50



Měření polohy u hydraulických mechanizmů je v současnosti častá úloha, hlavně v těch případech, kdy přímočarý hydromotor je součástí regulovaného obvodu. Měření polohy lze v podstatě provádět dvěma způsoby a to použitím lineárního snímače nebo rotačního snímače, doplněného o vhodný převod. Převody pro použití rotačních snímačů k lineárnímu odměřování mohou být několika provedení. Jsou to : - navíjecí buben s lankem a vratnou pružinou - řetězový převod - ozubený řemen - hřebenová tyč a pastorek. Posledně jmenovaný druh převodu doznal největšího rozšíření a v provedení s tzv. bezvůlovým pastorkem. Umožňuje velice přesné odměřování (0,01 mm) pro poměrně vysokou rychlost a dynamiku pohybu (z hlediska hydraulických přímočarých pohonů). Pro měření polohy se nejčastěji používají indukčnostní snímače. Bývají vyráběny pro zdvih cca 200 mm (výjimečně větší) ve třídě přesnosti 0,2 až 0,4 (např. firma HBM). Jsou vhodné i pro vysokou dynamiku pohybu, dobře snášejí chvění zařízení. Pro vyhodnocení signálu je nutný měřící zesilovač s nosnou frekvencí až 10 kHz (dle typu snímače), který převede údaj o rozvážení můstku cívek snímače na analogový výstupní signál. Informace o poloze je absolutní. Pro odměřování polohy lineárního pohybu jsou vyráběny také odporové snímače. Jedná se v podstatě o lineární potenciometr, který je ukryt v teleskopickém pouzdru, na jehož jednom konci jsou vyvedeny vodiče od jezdce a odporové dráhy. Vyrábí se do zdvihu 1000mm s linearitou 0,1%, s možností až čtyř samostatných, galvanicky oddělených výstupů. Jednotlivé části teleskopu jsou ukončeny buď závitem nebo závěsnými oky. Tento snímač je velice dobře ukryt a bylo by možné použít jej jako integrovaný snímač - tedy zamontovaný do tělesa PHM. Výstupní signál je analogový, informace o poloze je absolutní. Jiným typem snímače pracujícím na indukčním principu je lineární induktosyn. Tento snímač polohy je velice přesný (cca 0,01mm) a vhodný i pro vysokou dynamiku pohybu, snáší dobře otřesy i rázy. Problematické je však provedení účinného krytí, zejména pro větší zdvihy a vedení jezdce, který se pohybuje ve vzdálenosti 0,2mm rovnoběžně s měřítkem. Z tohoto důvodu je induktosyn vhodný pro čistější pracovní prostředí, např. odměřování polohy u NC strojů. Informace o poloze je cyklicky absolutní, získá se vyhodnocením fázového rozdílu mezi napájecím a výstupním signálem. Pro odměřování polohy pístnice přímočarého hydromotoru je v zahraničí vyráběn ultrazvukový snímač polohy, určený pro montáž do víka válce (odměřovací tyč je v duté pístnici). Snímač je možno použít pro odměřování polohy až do zdvihu 2200mm s přesností -1 cca ±1mm pro maximální rychlost pohybu 0,15ms . Pro větší rychlosti není zaručena uvedená přesnost. Velice přesným odměřovacím zařízením jsou optoelektronická skleněná měřítka. Snímače polohy tohoto druhu jsou vyráběny několika firmami v širokém rozsahu, co se týče zdvihu, maximálně cca 3000mm. Snímače jsou určeny především pro odměřování polohy u NC obráběcích strojů. Přesnost odměřování bývá běžně ±5 až 10mm pro celý zdvih, rovněž z hlediska dynamiky pohybu mají snímače dobré vlastnosti, nejsou však příliš odolné otřesům a rázům. Výstupním signálem jsou dva sinusové průběhy s fázovým o posunem 90 nebo dva obdélníkové průběhy opět fázově posunuté, úroveň signálu je obvykle TTL, některé snímače mají výstup v BCD kódu. Informace o poloze je přírůstková (inkrementální), jsou-li zmíněné dva výstupní signály doplněny ještě tzv. referenčním impulsem, pak je odměřování cyklicky absolutní. Podle principu funkce lze rotační snímače rozdělit na tyto skupiny : - odporové snímače - optoelektronické snímače - snímače typu selsyn - rotační induktosyny. 51



Odporové snímače jsou poměrně přesné (až ±0,5%), výhodou je jednoduchost konstrukce vlastního snímače i vyhodnocovacích elektronických obvodů. Vyrábějí se jako o jedootáčkové (vhodné spíše pro měření úhlu natočené) a víceotáčkové - až 20 x 360 . Výstupní signál je analogový v rozsahu napájecího napětí, informace o poloze absolutní. Optoelektronických snímačů existuje mnoho typů od řady zahraničních i tuzemských. K nejznámnějším patří absolutní snímače polohy a to jedootáčkové nebo víceotáčkové s maximálním počtem 1000 impulsů za 1 otáčku. Výstupní signál je v kódu BCD nebo TTL. Osvětlení fotoelektrických prvků je zajištěno žárovkou, což omezuje použitelnost -2 snímače na zařízení s chvěním nad 400Hz se zrychlením maximálně 30ms . Polohovací inkrement posuvu přímočarého hydromotoru je 1 mm. Rotační snímač typu selsyn pracuje na indukčním principu. Převádí změnu úhlu natočení vstupního hřídele na změnu fáze mezi napájecím a výstupním signálem. Zpracováním tohoto fázového rozdílu se pak získá informace o poloze, která je cyklicky absolutní. Při jiném způsobu napájení je možno použít i amplitudové vyhodnocení výstupního signálu. Odměřování selsynem je poměrně přesné, ve spojené s vhodným převodem lze dosáhnout rozlišovací schopnosti 0,01 mm. Rotační induktosyn je obdobou lineárního induktosynu, konstrukčně upraven pro odměřování rotačního pohybu (resp. úhlu natočení). Rovněž jeho vlastnosti jsou srovnatelné s lineárním induktosynem, je poměrně velice přesný, otřesuvzdorný, vhodný pro vysokou dynamiku pohybu. 2.7 Měření teploty Pro měření teploty při hydraulických měřeních se nejčastěji používá teploměrů založených na roztažnosti kapalin nebo látek tuhých, dále se používají často teploměry odporové a termočlánky. Látky mění svůj objem a teplotu. To umožňuje převést měření teploty na měření délky, objemu nebo tlaku, tzv. dilatační teploměry. V praxi se často používá teploměrů kapalinových, které bývají nejčastěji plněny rtutí, používá se však i toluen, ethylalkohol, penten a pod. Indikace kapalinových teploměrů je obvykle délkové, vyrábějí se ze skla a v podstatě se skládají ze zásobníku kapaliny, kapiláry, stupnice a pomocné nádobky. Kapalinové teploměry jsou velmi jednoduché, o o provozně spolehlivé, vyrábí se pro rozdíl teplot - 50 + 600 C s možným dělením stupnice o až 0,1 C. Z těchto důvodů se pro běžná měření nejčastěji používají. Pro měření teploty se rovněž používají teploměry založené na rozdílné roztažnosti různých kovů, tzv. teploměry bimetalové. Existuje velké množství různých konstrukcí těchto teploměrů. Jejich společným znakem je mechanický převod deformace bimetalového O pásku, který se odečítá na stupnici cejchované přímo ve C. Odporové teploměry jsou založeny na změně elektrického odporu kovového vodiče s teplotou. Běžně používané odporové teploměry mají čidlo zhotovené z platinového drátu, který je namotán na slídové kostře. Vlastní čidlo se spolu s přívody vkládá volně do skleněné, keramické nebo kovové trubky, která je na jednom konci opatřena hlavicí s o přívodními svorkami. Teploměr má obvykle při O C odpor 100 Ohm. Platinový odporový o o teploměr je mezinárodně uznávaným standartem pro rozsah teplot -183 C +630 C. o o Umožňuje měřit teplotu s přesností až 0,01 C v rozsahu teplot 0 -500 C. K indikaci odporových teploměrů je prakticky možné použít všech známých metod měření elektrického proudu. Termoelektrické teploměry, tzv. termočlánky, měří teplotu na základě termoelektrického jevu. Ve vodivém okruhu, který vznikne spojením dvou vodičů z různého materiálu, při rozdílné teplotě obou spojů vzniká elektrické napětí. Velikost tohoto potenciálu je úměrná teplotnímu rozdílu na obou spojích a závisí dále na druhu materiálu. Při měření

52


VŠB-TUOstrava, Fakulta o

o

se jeden spoj, tzv. srovnávací konec, udržuje na konstantní teplotě, obvykle 0 C nebo 50 C a druhý spoj, tzv. měrný konec, je v prostředí o měřené teplotě. V praxi se nejčastěji používají články měď-kobalt (Cu, Ko), železo-konstantan ( Fe, Ko), niklchrom-nikl (NiCr, Ni), chromel-alumel (Ch, A) a článek platinorhodium-platina (PtRh, Pt). Slitina konstantan je tvořena 45% Ni a 55% Cu, slitina chromel obsahuje 87% Ni, 10% Cr, alumel tvoří 95,5% Ni a zbytek jsou stejně jako u chromelu různé přísady. Napětí jednotlivých článků při různých teplotách jsou udány v ČSN. Vedení u termoelektrických teploměrů se zhotovuje ze stejných materiálů jako je samotný termočlánek, pouze u drahých kovů se používá tzv. kompenzační vedení, zhotovené z náhradní slitiny, která má stejné termoelektrické vlastnosti jako původní kovy.

53



3. ZÁKLADY TEORIE NÁHODNÝCH PROCESŮ O náhodných procesech, u kterých parametr charakterizující děj může v určitém okamžiku nabýt různých hodnot a předem není známo, které z nich nabude, lze se vyjadřovat jen pomocí pravděpodobnosti. V matematice takové náhodné procesy označujeme jako procesy stochatické. Pojem náhodná funkce je zobecněním pojmu náhodné veličiny v tom smyslu, že náhodná funkce je závislá na deterministickém (tj. nenáhodném parametru, např. na čase, dráze či souřadnicích a pod.). Náhodné veličiny dělíme na dva základní typy, diskrétní a spojité. U náhodných funkcí mohou být spojité nebo diskrétní jak argumenty, tak sama funkce. Proto rozlišujeme čtyři typy náhodných funkcí. V mechanice tekutin se nejčastěji setkáváme se spojitými náhodnými funkcemi, a proto se hlavně soustředíme na tento typ náhodných funkcí. Má-li argument náhodné funkce fyzikální význam času, mluvíme o náhodném procesu, je-li argument délkový rozměr, mluvíme o náhodném poli. Náhodná funkce může být závislá i na větším počtu deterministických argumentů. Tak např. rychlost při turbulentním proudění je v obecné formulaci funkcí čtyř argumentů, a to tří složek prostoru a času. Náhodná funkce může mít také větší počet složek než jednu, takže pak mluvíme o náhodné vektorové funkci, která může být opět závislá na jednom nebo i větším počtu argumentů. 3.1 Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky K pojmu pravděpodobnosti, kterou ve statistice definujeme jako relativní četnost výskytu určitého znaku, dospíváme ze zkušenosti. Realizujeme-li mnohokrát určitý děj, např. vržení kostky, je poměr výskytu např. šestky k celkovému počtu vrhů hodnotou, která se s růstem počtu realizací vrhů blíží stálé velikosti. Tento jev označujeme jako statistickou stálost a vyznačují se jí náhodné děje při velkém počtu realizací zkoumaného děje. V případě vrhání kostky pravděpodobnost konverguje k 1/6, neboť u homogenní kostky je pravděpodobnost, že padne jednička, dvojka, atd. stejná. Vyjádřeno matematicky, je-li celkový počet vrhů N a počet výskytu šestky n, pak pravděpodobností jevu je limita

P = lim

N ®¥

n N

(3.1)

Podle toho u děje nemožného musí P=0, kdežto u děje jistého je naopak P=1. Z definice (3.1) rovněž vyplývá, že pravděpodobnost je vždy kladná a nemůže být větší než 1. Když Ai jsou navzájem se vylučující jevy (nemohou nastat dva současně), potom pravděpodobnost

P

(A1

+ A2 + L +

n

An )= å P (Ak )

(3.2)

k= 1

kde P ( A1 + A2 ... An ) značí pravděpodobnost, že se vyskytne aspoň jeden z jevů A1. .

Obr. 3.1 Rozdělení pravděpodobnosti při vrhání kostky

Obr. 3.2 Distribuční funkce při vrhání kostky 61



Při vyhodnocování experimentálních dat bývá výhodné interpretovat pravděpodobnost výskytu náhodné veličiny graficky. Např. pravděpodobnost výskytu čísel hrací kostky je pro všechny čísla i=1 až 6 stejná Pi=1/6. Tento zákon, který každé možné hodnotě náhodné veličiny přiřazuje určitou pravděpodobnost, že tato náhodná veličina nabude určitou hodnotu, se nazývá rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny - obr. 3.1. Analytickým vyjádřením rozdělené pravděpodobnosti je funkce rozdělení pravděpodobnosti Vraťme se ještě k příkladu hrací kostky a ptejme se, jaká bude pravděpodobnost, když výsledek vrhu bude menší než rovný 4. Podle rovnice (3.2)

P (1 + 2 + 3 + 4)=P1 + P2 + P3 + P4 =4 / 6 což je graficky znázorněn na obr. 3.2. Odpovídající analytické funkce se nazývá integrální funkcí rozdělené pravděpodobnosti. Na základě těchto představ můžeme nyní přistoupit k obecné definici distribuční funkce a hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Pro další úvahy bude vhodné učinit předpoklad, že pracujeme se spojitými náhodnými veličinami, i když všechny vývody platí i pro náhodné veličiny diskrétní. K analytickému popisu náhodných veličin se používají zákony rozdělení pravděpodobnosti. Jejich základní formou je tzv. distribuční funkce F(x). Předpokládejme, že náhodná veličina X může nabývat hodnoty z intervalu (-¥, +¥), dále předpokládejme, že v tomto intervalu existuje číslo x. Potom funkci

F( x )=P ( X £ x )

(3.3)

nazýváme distribuční funkcí. Základní vlastnosti distribuční funkce je, že F(-¥)=P(X £ ¥)=O (nemožný jev) a F(¥)=P(X £ ¥)=1 (jistý jev), P(x)Î<0,1>. Když distribuční funkce náhodné veličiny je spojitá a diferencovatelná, potom i náhodná veličina je spojitá a platí

F f( x ) = ( x ) dx

(3.4)

Funkce f(x) představuje hustotu pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Protože F(x) je neklesající funkce pro zvětšující se argument x, f(x) musí být nezáporná, tzn. f(x) ³ 0. Integrací vztahu (3.4) v mezích od -¥ do x dostaneme x

x

ò dF(x )= ò f(x ) . dx=P ( X £ x )

-¥

(3.5)

-¥

což vzhledem na hodnotu distribuční funkce nemožného jevu lze přepsat jako x

F(x ) = ò f( x ) . dx

(3.6)

-¥

Ve zvláštním případě pro x=¥. +¥

ò f(x ) . dx =1

(3.7)

-¥

Z rovnice (3.5) dále vyplývá, že x2

x2

x1

x1

P (x1 £ x £ x 2 )= ò dF( x ) = ò f( x ) . dx

(3.8)

To značí, že pravděpodobnost toho, že se náhodná veličina nachází uvnitř intervalu (x1, x2) se rovná ploše pod křivkou hustoty pravděpodobnosti na tomto intervalu - obr. 3.3. Hodnota náhodné veličiny x=xm, pro kterou hustota pravděpodobnosti dosahuje maximum, se nazývá modus. Hodnota náhodné veličiny, která rozděluje plochu pod křivkou hustoty pravděpodobnosti na dvě poloviny, se označuje jako medián. 62



Dosud jsme mluvili o hustotě pravděpodobnosti a distribuční funkci tzv. prvního řádu, vztahující se pouze na jednu náhodnou veličinu. Analogicky je možné definovat distribuční funkci dvou náhodných veličin X a Y (distribuční funkci druhého řádu nebo dvourozměrnou distribuční funkci) P ( X £ x,Y ³ y )=F( x, y ) (3.9)

Obr. 3.3 Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce Tato dvojrozměrná distribuční funkce představuje pravděpodobnost, že náhodná proměnná X se bude nacházet pod hladinou x a současně náhodná proměnná Y pod hladinou y. Analogicky s rovnicí (1.4) můžeme definovat dvojrozměrnou hustotu pravděpodobnosti náhodných veličin x a y.

f( x , y ) =

¶ 2 F( x, y ) ¶x .¶y

(3.10)

Podobně jako pro jednorozměrnou hustotu pravděpodobnosti i zde platí vztahy

f( x, y ) ³0 x

F(x, y ) = ò

y

ò f(x, y ) . dx . dy

-¥ - ¥

x

y

ò ò f(x, y ) . dx . dy =1

(3.11)

-¥ - ¥ x

y

x

ò

ò f(x, y ) . dx . dy = ò f(x, y ) . dx =F(x )

¥

y

-¥ - ¥

-¥

ò ò f (x,y ) . dx . dy =ò f (y ) . dy =F(y )

-¥ - ¥

Důležitou praktickou vlastností náhodných veličin X a Y je jejich nezávislost, definovaná jako F( x, y ) =F( x ) . F(x ) (3.12) nebo

f ( x , y ) = f( x ) . f( y )

(3.13)

3.2 Některé důležité hustoty pravděpodobnosti V technické praxi i při popisu dějů v mechanice tekutin mezi nejdůležitější hustoty pravděpodobnosti patří tzv. normální (Gaussovská) hustota pravděpodobnosti, definovaná vztahem

63



é (x - a )2 ù exp êf( x ) = ú s 2 ûú 2p s 2 ëê 1

(3.14)

Parametr a v této rovnici představuje střední hodnotu a parametr s 2 je rozptyl. Graficky je tato funkce uvedena na obr. 3.4. Tato křivka má jeden modus v bodě x=a. Ve vzdálenosti 3s od modusu x=a hustota pravděpodobnosti se rovná pouze 0,004 a plocha pod křivkou f(x) v intervale (a ± 3s)

představuje 99,7% z celé plochy na interval (-¥, ¥) . V praxi se často používá tzv. normovaná normální hustota pravděpodobnosti pro a=0 a s=1, která je definovaná vztahem

Obr. 3.4 Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení

æ x2 ö ÷ expçç ÷ 2 è ø

1 2p

f( x ) =

Obr. 3.5 Distribuční funkce normálního rozdělení (3.15)

Distribuční funkci normální náhodné veličiny získáme integrací vztahu (3.14)

F( x ) =

é (x - a )2 ù exp ò êê- 2s 2 úúdx 2p s 2 - ¥ û ë 1

x

(3.16)

Její průběh pro různé s je znázorněn na obr. 3.5. Hodnoty normované normální hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce jsou tabelovány. Protože funkce hustoty pravděpodobnosti je sudá, musí platit F(-x)=1-F(x) a dále platí, že F(0)0,5=0,5.F(¥). Vedle normální hustoty pravděpodobnosti se v technické praxi používají i jiné typy distribučních funkcí, jejich stručný přehled uvádí tab. 3.1 3.3 Momenty Distribuční funkce nebo její derivace, tj. hustota pravděpodobnosti plně charakterizují náhodnou veličinu. Ne ve všech případech je však jejich znalost nutná, často se spokojíme pouze s určením tzv. středních (číselných) charakteristik náhodných veličin. Těmito charakteristikami jsou v teorii pravděpodobnosti momenty q-tého řádu, které pro spojité náhodné veličiny jsou definovány vztahem ¥

¥

mq = ò x . f(x ) . dx = ò x q . dF(x ) -¥

q

(3.17)

-¥

což je jistá analogie s momenty setrvačnosti plochy, objemu a pod. Momenty definované rovnicí (1.17) se nazývají jako všeobecné momenty nebo momenty k počátku. Moment prvního řádu (q=1) je nejjednodušší číselnou charakteristikou náhodné veličiny a určuje souřadnici těžiště křivky hustoty pravděpodobnosti. Značí se 64



Ex=E=m1 a nazývá se též matematické očekávání, průměr nebo častěji střední hodnota náhodné veličiny X. Při zkráceném zápisu, není-li nebezpečí omylu, lze index x zcela vynechat, potom Ex=E. Tabulka 3.1 Přehled nejčastěji používaných typů hustot pravděpodobnosti P. č.

Rozdělení

Hustota pravděpodobnosti

Rovnoměrné

1 ; a - b £ x £ a + b; 2b jinde = 0

1

2

Normální

Rayleighovo 3

Harmo -nické 4

5

Exponenciální

é (x - a )2 ù xp ê ú 2s 2 ûú 2p .s 2 ëê

Moment

Moment

Graf hustoty pravděpodobnosti

b2 3

a

1

é x2 ù x exp ê2ú s2 ë 2s û

1

p a2 - x 2 0 pro

;

a

s2

1,253.s

0,43.s 2

0

a 2

1 a

1 a2

x £ a; x ³a

a. exp(- a.x ); x ³ 0; 0 pro x £ 0

Např. pro normální rozdělení náhodné veličiny podle rovnice (3.14) a (3.16) E=a, tzn., že parametr a ve funkci normálního rozdělení představuje střední hodnotu náhodné veličiny. Transformací (X-E)=x=X¢ zavádíme tzv. centrovanou náhodnou veličinu X=X¢. V praktických aplikacích je účelnější používat tzv. centrované momenty, které se vztahují k těžišti křivky hustoty pravděpodobnosti, pro spojitou náhodnou veličinu platí

65

Janalík. J : Měření tekutinových mechanismů strojní ¥

m q = ò (x - E )

q

-¥


¥

¥

-¥

-¥

q f(x ) . dx = ò x ¢q f( x ) . dx = ò (x - E ) dF( x )

(3.18)

Mezi momenty obecnými mq a centrovanými mq platí jednoduché algebraické převodní vztahy q æqö = m q å çç ÷÷ mq - j (- m1 ) j j =0 è j ø

(3.19)

æq ö mq = å çç ÷÷ m q - j . m1j j =0 è j ø q

Podle rovnice (3.18) centrovaný moment prvního řádu m1=0. Je-li střední hodnota náhodné veličiny nulová, potom všeobecné a centrované momenty jsou identické. Centrovaný moment druhého řádu (q=2) se obvykle nazývá rozptylem (disperzí) a je definován jako ¥

¥

Dx ºD= m2 = ò (x -E ) f(x ).dx = ò x ¢2f( x ).dx =m2 -m12 -¥

2

(3.20)

-¥

Hodnota s = D se označuje jako směrodatná odchylka a patří mezi nejdůležitější charakteristiky náhodné veličiny v inženýrských aplikacích. Pro normální rozdělení náhodné veličiny

m 2 = s 2 , jak je možné dokázat s použitím

rovnice (3.14). Centrovaný moment třetího řádu (q=3) podává informaci o tom, zda je křivka hustoty pravděpodobnosti souměrná okolo osy procházející těžištěm, který je pro souměrné křivky nulový. V praktických aplikacích se však používá bezrozměrný koeficient

Ax ºA=

m3 m22 / 3

(3.21)

nazývaný jako koeficient šikmosti. Centrovaný moment čtvrtého řádu (q=4) používaný v bezrozměrném tvaru

Bx ºB=

m3 -3 m22

(3.22)

se nazývá koeficientem špičatosti. Představuje charakteristiku hladkosti křivky hustoty pravděpodobnosti v okolí modusu. Pro normální rozdělení m 4 = 3m 22 a proto B=0. To značí, že kladné hodnoty B patří hustotám pravděpodobnosti s vyšším a ostřejším vrcholem než má normální rozdělení se stejnou střední hustotou a rozptylem. Záporné hodnoty B svědčí naopak o nižším a hladším vrcholu. Transformací

~ X -E X= s

(3.23)

~

zavádíme tzv. normovanou náhodnou veličinu X , pro níž platí, že střední hodnota Ex=0 a rozptyl Dx=1, takže k jejímu popisu v rámci zavedených číselných charakteristik postačují koeficienty Ax a Bx. Střední hodnota Ex charakterizuje polohu náhodné veličiny X. Jinou charakteristikou je medián Me, pro spojité rozdělení platí f(Mex)=0,5 nebo tzv. modus Mox, který odpovídá hodnotě, při níž hustota pravděpodobnosti f(x) nabývá maxima. Rozptyl Dx resp. směrodatná odchylka sx jsou charakteristikami rozptýlení (variability) náhodné veličiny X kolem očekávané hodnoty Ex. Jinou charakteristikou variability je střední

66



[

]

hodnota absolutních odchylek E X - E x vztahem

v=

nebo variační koeficient, který je definován

sx Ex

(3.24)

Podobně jako u jedné náhodné veličiny, zavádíme pro více náhodných veličin, např. pro dvě náhodné veličiny X a Y dvourozměrnou hustotou pravděpodobnosti f(x, y) smíšený obecný moment ¥

mqn = ò

¥

òx

q

. y n . f (x,y ) . dx . dy

(3.25)

-¥ -¥

nebo centrovaný smíšený moment ¥

m qn = ò

¥

q ò [x - E x ] . [y

- Ey

]n . f(x,y ) . dx . dy

(3.26)

-¥ -¥

Je-li n=0 potom momenty mqo charakterizují složku X jakožto skalární veličinu bez zřetele na složku Y. Při q=0 je tomu naopak. Např. q=1 a n=1 pro smíšený centrovaný moment také nazývaný kovariace dostaneme ¥

m11 =C xy = ò

¥

ò [x

[

]

- E x ] . y - E y . f( x, y ) . dx . dy

(3.27)

-¥ -¥

Když X a Y jsou nezávislé náhodné děje, potom z rovnice (3.13) vyplývá, že m 11 =0. Smíšený moment druhého řádu může proto sloužit jako míra nezávislosti dvou náhodných veličin. V technických aplikacích se častěji používá bezrozměrný koeficient

r xy =

C xy m11 = sx . sy sx . sy

(3.28)

nazývaný koeficientem korelace mezi náhodnými veličinami X a Y. Když jsou dvě náhodné veličiny nezávislé, potom r xy =0, opačné tvrzení však neplatí. Nulový koeficient korelace mohou mít i dvě závislé náhodné veličiny, které se pak nazývají nekorelované. Koeficient korelace je ohraničený ½ r xy ½=1. Hraniční hodnoty r xy =±1 přísluší lineárně závislým veličinám. Soubor experimentálních výsledků fyzikálního nebo inženýrského experimentu je vždy výběrem ze základní množiny možných výsledků, která je pro spojité náhodné veličiny nespočetná. Abychom mohli použít metody založené na teorii pravděpodobnosti a matematické statistice, je nutné, aby tento výběr ze základního souboru byl náhodný. Musí tedy jít o posloupnost nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin. Jinak řečeno, všechny prvky základního souboru musí mít stejnou možnost dostat se do náhodného výběru. Náhodný výběr se konkrétně zabývá nezávislými realizacemi experimentu opakovanými za stejných podmínek. Počet hodnot v náhodném výběru se nazývá rozsah náhodného výběru a značí se obvykle n nebo N. Pro náhodný výběr {xi}, i=1, 2, ...n, definujeme tzv. výběrové charakteristiky, z nichž nejdůležitější jsou výběrový průměr

x=

1 n

n

å xi

(3.29)

i =1

a výběrový rozptyl

s x2 =(n - 1)

-1

n

å (x i i =1

- x ) =(n - 1) 2

-1

æ n 2 ö ç å xi - n . x 2 ÷ ç ÷ è i =1 ø 67

(3.30)



z něhož se odvozuje výběrová směrodatná odchylka s x = s x2 . Náhodný výběr je určitým, i když ne zcela přesným obrazem základního souboru. Protože však nejsme schopni získat jinou informaci, zajímáme se, jak souvisí výběrové charakteristiky s charakteristikami základního souboru. Zde se omezíme na konstatování, že platí E [x ] = E x ; E s x2 = Dx (3.31) kde X je symbol pro náhodnou veličinu, z jejíhož souboru byl získán náhodný výběr xi. Odhady charakteristik základního souboru se k odlišení od teoretických (skutečných) hodnot označují jinými symboly. Tak např. Ex=x a čteme : očekávanou hodnotu odhadujeme výběrovým průměrem. Výběrové charakteristiky jsou náhodné veličiny. Opakováním náhodného výběru dostaneme totiž vždy poněkud odlišné hodnoty jeho prvků, z nichž výpočtem vyjdou i navzájem odlišné hodnoty výběrových charakteristik.

[ ]

3.4 Náhodné procesy a jejich charakteristiky Při aplikaci pravděpodobnostních metod v mechanice má zásadní význam pojem náhodná funkce x(t), jakožto zobecnění pojmu náhodné veličiny X v tom smyslu, že X(t) kromě toho, že je funkcí definovanou na prostoru elementárních jevů, je též funkcí náhodného (deterministického) argumentu t nabývajícího hodnoty z určité pevně dané množiny reálných čísel. Protože jak argument t, tak při každém pevném t i náhodná veličina X(t) mohou být diskrétní nebo spojité, přičemž všechny kombinace jsou přípustné. Existují zřejmě čtyři základní typy náhodných funkcí. V praktických úlohách se nejčastěji setkáváme se spojitými náhodnými funkcemi, u nichž je spojitý jak argument t, tak i náhodná (stavová) veličina X(t). V dalším výkladu se proto omezíme pouze na tento typ. Má-li argument t aplikační význam času, mluvíme o náhodném procesu, má-li t význam prostorové souřadnice, mluvíme o náhodném poli. Abychom vystačili s co nejjednodušším matematickým aparátem, omezíme se v dalším výkladu na náhodné funkce závislé na jednom argumentu, jimž bude zpravidla čas. Podobně jako u náhodné veličiny musíme i zde rozlišovat, včetně symboliky, mezi náhodným procesem X(t) a jeho jednotlivými realizacemi x1(t), x2(t) atd. Základní vlastností každého náhodného procesu je nemožnost předpovědět jeho průběh, čímž se principiálně odlišujeme od procesu deterministického, průběh kterého se může jednoznačně určit. Kvalitativně je náhodný proces určen náhodnou funkcí času X(t), úloha teorie náhodných procesů je hledat statistické zákonitosti, kterými se funkce X(t) dá popsat. Vyšetřování vlastností náhodného procesu je provedeno podle obr. 3.6, kde je uveden soubor x((t )) realizací. Z předcházejících úvah vyplývá, že ze znalosti jedné realizace nemůžeme předpovědět průběhy jiných realizací. Pro zvolený časový okamžik t1 vybereme ty, jejichž hodnoty jsou menší než zvolené číslo x1, pak pro distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti náhodného procesu platí i

68



Obr. 3.6 Soubor pěti realizací náhodného procesu

(

)

P x (t1) £ x1 =F (x1, t1 ) ¶ F (x1, t1 ) f (x1, t1 )= ¶ x1

(3.32)

Pro úplnější charakteristiku náhodného pravděpodobnostními charakteristikami ve Analogickým způsobem dostaneme

[

procesu je třeba znát vztahy mezi dvou libovolných časových okamžicích.

]

P x (t1) £ x1; x (t2 ) £ x 2 =F (x1 ,x 2 ,t1 ,t 2 ) f (x1 ,x 2 ,t1 ,t 2 )=

¶ (x1 ,x 2 ,t1 ,t 2 ) ¶ x1¶ x 2

(3.33)

což představuje dvojrozměrnou distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti. Takovým způsobem můžeme dále popisovat proces, distribuční funkce i rozptyl budou postupně funkcí 2, 4, 6, 8 a všeobecně 2n proměnných. Informaci o náhodném procesu možno redukovat na číselné charakteristiky hustot pravděpodobnosti (momenty), z nichž nejrozšířenější jsou střední hodnota náhodného procesu. ¥

[ ]

m1 x (t ) = E = ò x (t ) . f(x,t ) . dx

(3.34)

-¥

a rozptyl ¥

m2 [x(t ) ] =D = ò [x(t ) - m1(x(t ) )] . f(x,t ) . dx 2

(3.35)

-¥

Stejným způsobem je možné definovat pro náhodné procesy ostatní číselné charakteristiky, jako např. korelační funkci nebo momenty souboru dvou náhodných veličin. 3.5 Stacionarita a ergodičnost náhodného procesu Zvláštní třídou náhodných procesů, které jsou velmi užitečné v teorii, ale především v praktických aplikacích jsou tzv. stacionární procesy, pro něž platí, že jejich konečně rozměrná rozdělení jsou invariantní (nezávislá) vzhledem k volbě hodnoty t0 (tj. počátku na ose času) argumentu t na časové ose. Analýza náhodného procesu se však podstatně zjednoduší, je-li zkoumaný proces stacionární. Podle obr. 3.6 mohou pro distribuční funkci nastat dva případy : F(x1, t1)=F(x2, t2) tj. distribuční funkce se při změně parametru nemění a F(x1, t1) ¹ F(x2, t2), tj. distribuční funkce je závislá na parametru t. Tyto úvahy je možné rozšířit i na distribuční 69



funkci libovolného řádu. Takový náhodný proces, který je nezávislý od zvoleného počátku a tedy jeho n-rozměrová distribuční funkce F(x1,x2...xn...t1, t2...tn) se nemění při libovolném posunutí všech časových okamžiků t1, t2 ...tn se nazývá stacionární proces. V opačném případě jde o proces nestacionární. Procesy splňující tuto podmínku pro obecné n se nazývají silně stacionární (nebo stacionární v úzkém smyslu). Rozepíšeme-li výše uvedenou obecnou podmínku stacionarity pro první a druhou hustotu pravděpodobnosti, zjistíme, že f(x, t)=f(x), tj. marginální hustota pravděpodobnosti nezávisí na argumentu t a f(x1, t1, x2, t2)=f(x1, x2,t) kde t=t1-t2, tj. sdružená hustota pravděpodobnosti je kromě proměnných x1 a x2 závislá na rozdílu t2 - t1. Z vlastností hustot pravděpodobnosti vyplývají i vlastnosti momentů z nich odvozených. Platí proto, že střední hodnota E, rozptyl D, popř. další momenty a z nich odvozené invarianty A, B nezávisí na argumentu t a jsou tedy konstanty. Kovariační funkce K závisí pouze na jedné spojité proměnné t. Náhodné procesy, splňující podmínky stacionárnosti pouze pro první a druhou hustotu pravděpodobnosti, se nazývají slabě stacionární nebo též stacionární v charakteristikách druhého řádu. Důležitou výchozí informaci, zda získaný záznam může či nemůže být považován za realizaci náhodného procesu, lze někdy odvodit úvahou o fyzikálních podmínkách jeho vzniku. Jde-li o soustavu s konstantními parametry, na níž působí stacionární vstupy, lze očekávat, že i výstup bude stacionární. V praxi ovšem často měříme za podmínek, kdy nelze dosti podrobně a věrohodně posoudit vlastnosti soustavy a procesů do ní vstupujících. Pak je nezbytné stacionaritu posoudit přímo ze změřených záznamů. Obvykle se postupuje tak, že celý soubor N diskrétních údajů se rozdělí na p stejně velkých dílčích úseků, pro každý takto vzniklý úsek se najdou jeho statické charakteristiky, které se navzájem porovnají. Náhodný proces se nazývá ergodický, když každou statistickou veličinu, kterou jsme získali jako střední hodnotu ze souboru možných realizací, může s pravděpodobností blízké jedné získat z jedné realizace náhodného procesu za dostatečně dlouhý časový interval. Ergodicita náhodného procesu je vlastností, která umožňuje počítat statistické charakteristiky pouze z jedné dostatečně dlouhé realizace, aniž bychom museli mnohonásobně opakovat experiment. Prakticky to znamená, že děláme střední hodnoty v čase a ne střední hodnoty na množině realizací. Z předcházejících úvah vyplývá, že nutnou podmínkou ergodicity je stacionárnost náhodného procesu. Matematicky vyjádřeno ergodičnost znamená, že všeobecný moment q-tého řádu náhodného procesu získaný ze souboru realizací a moment q-tého řádu vypočtený podle času z jedné realizace se sobě rovnají. Předpokládejme náhodný proces X(t), u kterého máme k dispozici dostatečně velký soubor nezávislých a časově synchronizovaných realizací (měření) xi(t), kde i=1, 2 ...n. Uvažujme výraz xi vytvořený z libovolné realizace xi(t) náhodného procesu X(t) takto :

1 lim T ® ¥ 2T

T

ò xi (t ) dt = xi =á xi ñ

(3.36)

-T

Je zřejmé, že jde o střední hodnotu realizace xi(t) získanou průměrováním přes dobu jejího

trvání. Použitá symbolika s úhlovými závorkami <..> nebo pruhem mnemotechnicky připomínat vyhodnocovaný záznam, na rozdíl od střední hodnoty přes soubor realizací značené symbolem E. Obecně bude xi ¹ x j , praktický význam však mají pouze procesy, pro něž platí

xi = x j , pro jakékoliv i, j=1, 2 ...n. Tento výraz se rovná střední hodnotě E(t). tzn., že platí ¥

1 E(t )= ò x(t ) . f( x,t ) . dx = lim T ®¥ 2T -¥

T

ò xi (t ) . dt =xi =á xi ñ

(3.37)

-T

O takových procesech říkáme, že jsou ergodické ve střední hodnotě. Podobně lze zavést pojem ergodického procesu v obecné korelační funkci, kovariační funkci v rozptylu. 70



Pro konkrétní aplikaci je zapotřebí znát kriteria ergodičnosti. Pokud jde o střední hodnotu, používá se obvykle kritéria ergodičnosti odvozené pro silně stacionární procesy s konečným rozptylem ve tvaru lim K xx (t ) =0 (3.38) T ®¥

při jehož splnění platí xi =Ex s pravděpodobností jedna, tj. pro téměř každou realizaci. Splnění tohoto kritéria ergodičnosti pokud jde o střední hodnotu, se v praxi obvykle považuje ve spojení se stacionárností v rozptylu za postačující ověření ergodičnosti i v kovariační funkci a tedy i v rozptylu. Pro zpracování konkrétních záznamů je samozřejmě nutné upustit od limitního přechodu T®¥, protože vždy jsme schopni získat a vyhodnotit jen realizaci konečné délky, tj. T<¥. To ovšem znamená, že výraz

1 T

T

ò x i (t ) . dt =x iT

(3.39)

-T

je náhodnou veličinou a lze ho tedy chápat jen jako odhad střední hodnoty Ex, tj.

xiT =ˆ E x

,

kde index T vyznačuje závislost odhadu na délce T realizace. V praktických aplikacích teorie náhodných procesů je výhodné pracovat s centrovanými náhodnými procesy x(¢t ) = x(t ) - x( t ) , charakteristiky tohoto procesu jsou uvedeny v tab. 3.2. Tabulka 3..2 číselné charakteristiky stacionárního a ergodického centrovaného náodného procesu Č.P. 1

Název veličiny

Rovnice

Střední hodnota Centrovaný moment 1.řádu

1 E (t ) = x(t ) = á x(t ) ñ = lim T ®¥ 2T

+T

ò x(t ).dt

-T

x(t ) = x(t ) + x(¢t ) 2

3

4 5

6

7

Střední hodnota fluktuace

1 x(¢t ) = lim T ®¥ 2T

+T

ò x¢(t ).dt

-T

Rozptyl Centrovaný moment 2.řádu

D(t ) = x(¢t2) = lim T ®¥

Autokorelační funkce

1 ~ R(t ) = lim T ® ¥ 2T

Vzájemná autokorelační funkce Normovaná autokorelační funkce Normovaná vzájemná korelační funkce

1 2T

+T

ò [x(t ) - x(t ) ] .dt

-T

+T

ò x(¢t ).x(¢t +t ).dt

-T

1 ~ R xy (t ) = lim T ® ¥ 2T

+T

ò x(¢t ).y (¢t +t ).dt

-T

~ ~ R(t ) R(t ) r (t ) = ~ = D R(0 ) ~ R xy (t ) r xy (t ) = = ~ ~ R x (t ). Ry (t )

71

2

~ Rxy (t ) Dx . Dy



3.6 Korelační funkce Korelační funkce patří k nejzákladnějším charakteristikám náhodných procesů. Vyznačují se mnoha vlastnostmi, na základě kterých je možné posuzovat vlastnosti náhodných procesů. Korelační funkce jsou dvě a to autokorelační funkce a vzájemná korelační funkce. Autokorelační funkce stacionárního a ergodického náhodného procesu (obr. 3.7) je definována vztahem

1 T ®¥ 2T

R(t ) = lim

¥

ò x(t ).x(t +t ).dx =á x(t ).x(t +t )ñ= x(t ).x(t +t )

(3.40)

-¥

kde <...> nebo pruh nad výrazem značí operátor střední hodnoty v čase. Autokorelační funkce se může definovat i pro centrované náhodné procesy, pak má tvar

~ R = lim

T ®¥

1 2T

-T

ò [x(t ) - E x ][x(t +t ) - E x ] dt

(3.41)

T

Obr. 3.7 Náhodný proces

Obr. 3.8 Autokorelační funkce náhodného procesu

Předpokládejme, že časové posunutí t se zvětšuje do nekonečna. Ze zkušenosti víme, že závislost mezi x(t) a x(t+t) se musí zeslabovat a v limitě pro t®¥ jsou tyto procesy nezávislé. Protože však střední hodnota součinu dvou nezávislých náhodných procesů se

[

]2

2

rovná součinu jejich středních hodnot, dostaneme R (¥ ) = á x (t ) ñ = x (t ) . Z definice autokorelační funkce náhodného procesu vyplývá, že není závislý na volbě počátku. Potom za časové zpoždění t můžeme dosazovat jak hodnoty kladné tak i záporné, tzn., že platí R(t ) = á x(t ).x(t +t )ñ = á x(t -t ).x(t ) ñ . Z této podmínky dále vyplývá, že autokorelační funkce musí být sudá -R(t)=R(-t). Dá se dokázat, že rozptyl náhodného procesu se rovná rozdílu autokorelační funkce pro t=0 a t=¥, tzn., že platí D=R(0)-R(¥), jak rovněž je uvedeno na obr. 3.8. Z dalších vlastností autokorelační funkce je možné uvést, že žádná hodnota nemůže převýšit její hodnotu v čase t = 0 ® R (0 ) ³ R (t ) , pro tento čas je derivace rovna nule -

R&( 0) =0. Na základě uvedených vlastností je na obr. 3.8 znázorněna autokorelační funkce náhodného stacionárního a ergodického procesu. Její přibližování k hodnotě R(¥) nemusí však být vždy monotonní, v některých případech autokorelační funkce osciluje okolo této hodnoty. Z elektrické analogie se někdy hodnota R(0) nazývá střední výkon procesu a R(¥) je potom výkon stejnosměrné složky. Pro celou řadu praktických úloh je výhodnější definovat normovanou autokorelační funkci

72


r (t ) =


~ R (t )

(3.42)

D

která má stejné vlastnosti jako autokorelační funkce, navíc musí platit, že r ( t ) £1 . Protože autokorelační funkce se blíží k R(¥) asymptoticky, je třeba při praktickém

vyhodnocování rozhodnout, při jakém maximálním zpoždění t0 se má výpočet ukončit. Pro stacionární proces je možné najít takové t0, že pro t>t0 jsou x(t) a x(t+t) prakticky nekorelované. Nejjednodušším kriteriem nekorelovatelnosti je hodnota amplitudy

normované korelační funkce, pro kterou platí r ( t ) á0,05 . Časové zpoždění t0 se potom nazývá doba nebo délka korelace, graficky je tento problém uveden na obr. 3.9. Vzájemná korelační funkce náhodného astocionárního a ergodického náhodného procesu X(t) a Y(t) - obr. 3.10.

1 R xy (t ) = lim T ® ¥ 2T

T

ò x(t ).y (t +t ).dt =á x(t ).y (t +t ) ñ = x(t ).y (t +t )

(3.43)

-T

Tuto funkci můžeme definovat i pro centrované náhodné procesy, pak má tvar

Obr. 3.9 Normovaná autokorelační funkce

~ R xy = lim

T ®¥

1 2T

T

ò [x(t ) - E x ][y (t +t ) - E x ] dt

(3.44)

-T

.

Obr. 3.10 Záznam dvou náhodných procesů

Obr. 3.11 Normovaná vzájemná korelační funkce

73



3.7 Spektrální výkonová hustota V praktických aplikacích je výhodné definovat normovanou vzájemnou korelační funkci

~ R xy (t )

r xy (t ) =

~ R xy (t )

= Dx Dy s x s y

(3.45)

Pro normovanou vzájemnou korelační funkci platí, že r xy (t ) £ 1 a tato funkce slouží jako míra závislosti dvou náhodných procesů. Pro lineárně závislé dva náhodné procesy platí, že r xy (0 )= ±1 , naopak pro nezávislé procesy je r xy (0 )= 0 . Dále platí vztah, že

R xy (t )= R xy (- t ) , funkce však není sudá a její maximum proto nemusí ležet v počátku, jak

je uvedeno na obr. 3.11 V analýze deterministických procesů se úspěšně používá harmonická analýza, založená na rozkladě periodického procesu do Fourierovy řady. U neperiodických procesů vycházíme z teoretické představy ohraničeného náhradního procesu X(T)(t), který je identický s původním x(t) na intervale <-T; T> a rovná se nule mimo tento interval. Pro tento proces můžeme definovat Fourierovu transformaci - obraz ¥

FT (if ) = ò xT (t ) . e - i 2pft . dt

(3.46)

-¥

nebo zpětnou Fourierovu transformaci - originál ¥

xT (t ) = ò FT (if ) . e i 2pft . dt

(3.47)

-¥

Veličiny FT(if) a XT(t) představují Fourierův transformační pár a pomocí těchto vztahů můžeme přecházet z časové oblasti t do oblasti frekvenční f a naopak. Označme komplexně sdružený výraz z FT (if ) jako FT* (if ) , který má pro reálné procesy tvar

F(*if ) =

¥

ò xT (t ) . e

i 2pft

. dt

(3.48)

-¥

Z teorie komplexních čísel platí

FT (if ) . F(*if ) = FT (if )

2

(3.49)

Upravme dále následující výraz s použitím výše uvedených rovnic ¥

ò

xT2(t ) -¥

é¥ ù . dt = ò xT (t ) . xT (t ) . dt = ò ê ò FT (if ) . ei 2pft . df ú xT (t ) . dt = ê- ¥ -¥ -¥ ë ûú ¥

¥

¥ ¥ ù é¥ 2 = ò FT (if ) ê ò xT (t ) . e i 2pft . dt ú . df = ò FT (if ) . FT*(if ) . df = ò FT (if ) . df úû êë- ¥ -¥ -¥ -¥ ¥

protože FT (if ) ¥

2

2

je sudá funkce, musí platit ¥

2

ò FT (if ) . df =2ò FT (if ) . df

-¥

0

(3.51) Z předcházejících odvození pro f ³ 0 platí

74

(3.50)


1 lim T « ¥ 2T

T

ò

xT2 (t )

-T

2 . dt = lim T ¬ ¥ 2T

VŠB-TUOstrava, Fakulta T

ò

FT (if )

2

0

T

. df =ò lim 0

T ¬¥

2 1 F(if ) . df T

(3.52)

kde při přechodu horní meze integrálu T®¥ byl v F(if) vynechán index T, protože integrace teoreticky pokrývá celou délku procesu x(t). Veličina

G(t ) = lim

T ¬¥

2 1 F(if ) T

(3.53)

se nazývá spektrální výkonová hustota procesu x(t) pro f>0. Je-li náhodná veličina napětí nebo proud, potom výkonová hustota udává rozdělení jeho výkonu ve frekvenční oblasti od nulové frekvence po nekonečně velkou. Odtud rovněž název této veličiny. Je-li náhodná veličina rychlost kapaliny, pak výkonová hustota udává rozdělení energie ve frekvenční oblasti. Spektrální výkonovou hustotu je možné definovat teoreticky pro interval frekvencí <-¥, ¥>. Fyzikálně se však mohou definovat spektrální výkonové hustoty pouze pro nezáporné frekvence <0, ¥> a korelační funkce pro nezáporná časová zpoždění t³0. O autokorelační funkci víme, že je sudá, podobnou vlastnost má i spektrální výkonová hustota. Z tohoto poznatku vyplývá, že tzv. jednostranná spektrální výkonová hustota G(f) vypočtená pro nezáporné frekvence á0, ¥ñ je dvakrát větší než spektrální výkonová hustota S(f), nazývaná jako oboustranná, vypočtená pro rozsah frekvencí <-¥, ¥>. Platí tedy, že G(f)=2S(f). Graficky je toto uvedeno na obr. 3.12. Střední výkon nebo energie je pak určena vztahem ¥

E str =ò G(f ) . df

(3.54)

0

respektive pro výkon nebo energii mezi dvěma frekvencemi f1 a f2 podle obr. 3.12 platí

Obr. 3.12 Spektrální výkonová hustota jednostranná a oboustranná f2

E (f1,f 2 ) = ò G(f ) . df

(3.55)

f1

Pro centrované náhodné procesy mezi spektrální výkonovou hustotou G(f) a rozptylem D platí velmi důležitý vztah ¥

D=ò G(f ) . df

(3.56)

0

Spektrální výkonová hustota schematicky uvedená na obr. 3.12 patří mezi tzv. širokopásmový proces s výkonem spojitě rozděleným na celou oblast frekvencí. Takovou spektrální výkonovou hustotu má např. turbulentní šum. Opakem širokopásmového procesu 75



je proces úzkopásmový, charakterizovaný tím, že jeho výkon je soustředěn do úzkého frekvenčního pásma. V teoretických úvahách se zavádí náhodný proces, jehož výkonová hustota G(f)=konst. Je to tzv. bílý šum, který se nedá s výjimkou omezeného frekvenčního pásma realizovat, poněvadž by měl nekonečně velký výkon. Podobně jak byla odvozena spektrální výkonová hustota jednoho náhodného procesu x(t), je možné definovat vzájemnou spektrální výkonovou hustotu dvou náhodných procesů x(t) a y(t)

Gxy (f ) = lim

T ¬¥

[

1 * Fx (if ) . Fy (if ) 2T

]

(3.57)

kde F*x(if) je komplexně sdružený výraz pro Fourierovou transformaci náhodného procesu x(t), podle rovnice (3.48) Fy(if) je Fourierova transformace procesu y(t) podle rovnice (3.46). Všechny dosud probírané statistické charakteristiky představují reálné funkce času, amplitudy nebo frekvence. Výjimkou je vzájemná spektrální výkonová hustota, která má reálnou a imaginární část, můžeme tedy psát Gxy (f ) =C xy (f ) - i Qxy (f ) (3.58) kde Cxy a Qxy jsou reálné funkce nezávisle proměnné f. Mezi autokorelační funkcí a spektrální hustotou existuje úzký vztah. Jeho odvození a interpretace vztahů mohou být provedeny pro centrované i necentrované procesy, z praktického hlediska je výhodnější vyloučit střední hodnotu náhodného procesu a tím i její výkon. V dalším řešení budeme proto předpokládat, že korelační funkce jsou stanoveny pro centrované náhodné procesy nebo mají nulovou střední hodnotu. Utvořme Fourierovu transformaci autokorelační funkce ¥

Z(f ) = ò R (t ). e - i 2pft . dt

(3.59)

-¥

která bude existovat pro absolutně integrovatelnou funkci. Dále musí ještě platit, že ¥

ò R(t )

. dt á ¥

(3.60)

-¥

Po malé úpravě a dosazení za R(t) z rovnice (3.40) a s použitím rovnice (3.48), (3.49) a (3.53) dostaneme T

lim

T ®¥

i 2pft ò R(t ) . e . dt = lim

T «¥

-T

é 1 ò êêTlim ® ¥ 2T -T ë T

= lim

T ¬¥


= lim

T ¬¥

T

ò x (s ) . e

= lim

T ®¥

-T

=F(if ) . lim

T ®¥


T

ù

-T

û

ò x(t ) . x(t +t ) . dt úú . e

i 2pft

. dt =

ù i 2pft - i 2pf (t +t ) x . x . e . e . dt ú . dt = ( ) ( ) ò t t +t -T ûú T

T

ò x(t ) . x(s ) . e

i 2pft

-T

- i 2pfs

1 . ds . lim T ® ¥ 2T

ù . e - i 2pfs .dt ú . ds= úû

T

ò x (t ) . e

i 2pft

(3.61)

. dt =

-T

1 * 1 1 F(if ) = lim F(if ) = S(f ) T ® ¥ 2T 2T 2

To značí, že ¥

S(f ) =2 ò R(t ) . e - i 2pft . dt

(3.62)

-¥

a opačně pro absolutně integrovatelnou výkonovou hustotu 76



¥

1 R (t ) = ò S (f ) . e i 2pft . df 2 -¥

(3.63)

Toto jsou tzv. Wiener-Chinčinovy vztahy, podle kterých autokorelační funkce a výkonová hustota tvoří Fourierův transformační pár. Úplně analogické vztahy je možné odvodit i pro vzájemnou korelační funkci a vzájemnou výkonovou hustotu. Wiener-Chinčinovy vztahy (3.62) a (3.63) jsou výhodné z hlediska matematického, fyzikálně realizovatelné mohou být pouze spektrální výkonové hustoty pro nezáporné frekvence 0 £ f £ ¥ a korelační funkce pro nezáporné zpoždění t ³ 0. O autokorelační funkci víme, že je sudá, proto ji počítáme pouze pro t ³ 0. Odpovídající spektrální výkonová hustota G(f) vypočtená pouze pro nezáporné frekvence, má potom dvakrát větší pořadnice,

jako spektrální výkonová hustota S(f) , vypočtená pro rozsah frekvencí (-¥; ¥) - obr. 3.12, protože platí G(f) =2S(f). Výraz pro výpočet výkonové hustoty ze spektrální funkce pro

nezáporné frekvence a nezáporné zpoždění t se dá upravit. Podle rovnice (3.63).

Tabulka 3.3. Přehled některých typů korelačních funkcí a jim odpovídajících spektrálních výkonových hustot P. č.

Korelační funkce

1 D

2

3

4

Obrázek

Spektrální výkon. hustota

D d (w ) 2p

A2 cos w.t 2

A2 cos(w - w0 ) 4p

D.d (t )

D , w³0 2p

D.B

sin B.t B.t

D , 0£w £B 2p

77

Obrázek

Proces



a p a + w2

5

e

6

e

7

(

-a (t )

-a (t )

1 2

(

[(

)

)

]

é æ w ö2 ù 1 exp ê- ç ÷ ú 2 pa êë è 2a ø úû

[ ( )]

R (t ) =

)

a a 2 + b 2 + w2 p w 2 - a 2 - b 2 + a 2 .w 2

. cos b .t

exp - a .t

2

2

¥

i 2pft ò G(f ) . e . df =

-¥

¥

¥

1 1 G(f ) . e i 2pft . df + G(f ) . e i 2pft . df = ò ò 2 0 2 0

¥

¥

1 1 = ò G(f ) . e i 2pft . df + G(f ) . e i 2pft . d (- f ) ò 2 0 2 0

(3.64)

Protože funkce G(f) je sudá a s použitím známých Eulerových vztahů pro trigometrické funkce dostaneme

1 R (t ) = 2

¥

ò G(f ) . e 0

i 2pft

1 . df + 2

¥

ò G(g ) . e

- i 2pft

. dg =

0

¥

e i 2pft + e - i 2pft = ò G(f ) . df = 2 0

(3.65)

¥

ò G(f ) . cos 2pft

. df

-¥

kde g je záporná frekvence. Inverzní transformací dostaneme ¥

G(f ) =4

ò R(t ) . cos 2pft . dt

(3.66)

0

To tedy znamená, že Fourierova transformace vzhledem k tomu, že funkce R(t) je sudá, se změnila na transformaci cosinovou. Analogicky se dají odvodit vztahy mezi výkonovou hustotou autokorelační funkcí

1 r (t ) = D

¥

ò G(f ) . cos 2pft . df

(3.67)

0

¥

G(f ) =4 D ò r (t ) . cos 2pft . dt

(3.68)

0

Přehled některých nejpoužívanějších typů autokorelačních funkcí a odpovídajících výkonových hustot je uveden v tab. 3.3.

78



3.8 Derivace a integrace náhodných procesů Náhodný proces x(x) má derivaci v bodě t, když pro libovolnou k nule konvergující

posloupnost čísel e1, e2, e3 ...... bude posloupnost náhodných veličin

x (t + ei ) - x (t ) ei

(3.69)

konvergovat k jedné a téže náhodné veličině, kterou bude derivace náhodného procesu x(t) v bodě t a kterou označíme

dx (t ) dt

, nebo x&( t ) . Má-li mít náhodná funkce x(t) derivaci, musí

být spojitá. Další nutnou podmínkou existence derivace náhodného procesu x(t) je spojitost

autokorelační pro všechny argumenty t, u stacionárního procesu stačí spojitost v bodě t=0. Spojitost autokorelační funkce však není dostačující podmínka diferencovatelnosti náhodného procesu, musí ještě existovat limita výrazu (3.69). Dále pro stacionární proces platí, má-li být diferencovatelný, že musí existovat druhá derivace autokorelační funkce v bodě t=0. Když předpokládáme, že náhodná funkce x(t) je diferencovatelná, potom její derivace x& (t ) je rovněž náhodná funkce, pro kterou můžeme stanovit všechny dosud uvedené statistické charakteristiky. Tak např. střední hodnota derivace náhodného procesu

x& (t )

je definována jako

á x& (t ) ñ = x& (t ) =

dx (t ) d d x (t ) = á x (t ) ñ = dt dt dt

(3.70)

To znamená, že střední hodnota derivace se rovná derivaci střední hodnoty. Pro rozptyl platí

D x& (t ) = R x& (0 ) = 4p

¥

òf

2

G(f ) . df

(3.71)

0

Pro autokorelační funkci je možné odvodit vztah

R x& (t ) =-

d 2 R x (t ) dt 2

(3.72)

a podobně platí i pro spektrální výkonovou hustotu

Gx& (f )=4p 2f 2Gx (f )

(3.73)

Definujeme n-tou derivaci náhodného procesu x(t)

y (t ) =

d n x (t )

potom dostaneme

dt n 2n Gy (f ) =(2pf ) . Gx (f )

(3.74)

Integrál náhodného procesu x(t) je dán výrazem t

y (t ) =ò x (t 1) . dt1

(3.75)

0

Pro střední hodnotu integrálu náhodného procesu platí t

t

0

0

y (t ) =ò x (t 1) . dt1= ò x (t 1) . dt1

(3.76)

To znamená, že střední hodnota integrálu náhodného procesu se rovná integrálu ze střední hodnoty procesu. 79



Pro rozptyl platí t

Dy (t ) =2ò (t - t ) R x (t )dt

(3.77)

0

Z Wiener-Chinčinova vztahu pro spektrální výkonovou hustotu integrálu náhodného procesu je možné odvodit :

Gy (f ) =

1 4p

2

f2

Gx ( f )

(3.78)

Z předcházejícího odvození vyplývající Reynoldsova pravidla pro počítání s náhodnými veličinami

(X + X ¢)= X

+ X ¢= X ,( X + Y )= X + Y ,

X ¢=0,

X . Y =X . Y , (3.79)

X . Y ¢= X . Y ¢=0,

X = X, dX d X, = dt dt

X . Y =X . Y + X ¢ . Y ¢

pomocí kterých můžeme provádět časové vyhlazení libovolných funkcí.

3.9 Závislost statistických charakteristik vstupu a výstupu lineární soustavy Uvažujeme lineární soustavu s konstantními parametry a jednoduchým vstupem a výstupem - obr. 3.13. Vstupní signál x(t) nechť je stacionární náhodný proces, o kterém máme úplnou informaci, tj. známe všechny jeho statistické charakteristiky. Úlohou je nyní najít statistické charakteristiky výstupního procesu y(t) za předpokladu, že je známá přenosová funkce soustavy F(f) nebo její odezva na jednotkový impuls h(t) a naopak.

Obr 3.13 Lineární soustava Mezi střední hodnotou vstupu a výstupu platí jednoduchý vztah

E y =E x . H (0 )

(3.80)

kde H(0) je přenos soustavy pro frekvenci f=0. Pro praktickou potřebu je důležitý vztah mezi spektrální výkonovou hustotu vstupu a výstupu. Zde je možné odvodit vztah

Gy (t ) = H (f )

2

Gx (f )

(3.81)

kde H(f) je frekvenční přenos, který se získá jako poměr Fouriérových obrazů výstupu (odezvy) a vstupu (buzení). Podobný výraz platí také pro spektrální výkonovou hustotu mezi vstupem a výstupem Gxy (f ) =H (f ) . Gx (f ) (3.82) Frekvenční přenos H(f) je komplexní funkcí proměnné f (nebo také w), můžeme jej tedy vyjádřit zápisem 80



H (f ) =U (f ) + iV(t )

(3.83)

kde U(f) je reálná složka přenosu a je funkcí sudou, V(f) je imaginární složka přenosu a je funkcí lichou. To tedy znamená, že z rovnice (3.81) je možné vypočítat pouze absolutní hodnotu přenosové funkce, naopak z rovnice (3.82) je možné stanovit i velikost fáze. Grafické znázornění přenosu se nazývá frekvenční charakteristika - obr. 3.14.

Obr. 3.14 Frekvenční charakteristika V praktických aplikacích je neoddělitelnou součástí rovnic (3.81) a (3.82) tzv. koherentní funkce 2 = g xy

g xy , pro kterou platí

Gxy (f )

2

(3.84)

G x (f ) . G y (f )

V ideálním případě lineární dynamické soustavy s jedním vstupem a výstupem je koherentní funkce g=1, pro nekoherentní signály g=0. Hodnoty experimentálně stanovených koherentních funkcí se pohybují v rozsahu 0 až 1. Rozptyl výstupního signálu můžeme stanovit z rovnice ¥

¥

Dy =ò Gy (f ) . df =ò H (f ) Gx (f ) . df 0

2

(3.85)

0

3.10 Vyhodnocování náhodných stacionárních procesů Všechny statistické charakteristiky náhodného procesu představují integrály nebo jejich kombinace, můžeme je proto vypočítat pomocí nejrůznějších integračních obvodů nebo numericky v číslicovém počítači. Technika těchto dvou způsobů, tj. analogového a digitálního je principiálně odlišná a každý má své přednosti a nedostatky. Pro analogové zpracování náhodných procesů se běžně vyrábí celá řada elektronických přístrojů, které umožňují prakticky měřit všechny potřebné statistické charakteristiky. Počítače s analogovo-číslicovými převodníky umožňují použití digitálních metod pro vyhodnocování náhodných procesů. Jejich hlavní předností je univerzálnost, lepší průběh náhodného charakteru. Při měření v reálných podmínkách se ovšem občas přihodí, že ustálenost vnějších podmínek je z různých příčin narušena, což se projeví i místním narušením homogenity záznamu. Takovou část záznamu je nutné z úseku určeného k vyhodnocování vypustit, a to tak, aby při opětovném navázání obou vzniklých konců byla zachována spojitost a přibližně i hladkost naměřeného procesu. Při zpracování signálu si velkou pozornost zasluhují především hrubé chyby, které se z nejrůznějších příčin mohou vyloučit. Obvykle se kontrolují vzorky na logickou souvislost 81



se sousedními veličinami nebo při automatickém zpracování je kontrola součástí programu, která vyloučí z dalších výpočtů takové vzorky, jejichž hodnoty přesahují určitou hranici, kterou s ohledem na použité měřící přístroje můžeme poměrně přesně stanovit. Důležitou operací předběžné úpravy dat, která nesmí být nikdy opomenuta, je odstranění trendů, které způsobují nestacionárnost ve střední hodnotě. Podle okolností může jít jen o přímkový nebo parabolický trend, popř. i trend vyjádřený mnohočleny vyšších stupňů nebo o nízkofrekvenční náhodné kolísání střední hodnoty. Ve všech případech ponechání těchto nestacionarit zkresluje více či méně odhady všech statických charakteristik. Za standardní algoritmus, který je nutno použít pro každý soubor dat, se považuje výpočet regresní přímky, kterou se soubor jednak centruje, jednak se odstraní trend, který se často vyskytuje (i když zdánlivě jen v zanedbatelné míře) v důsledku postupné integrace malých nevykompenzovaných systematických chyb v měřícím řetězci. Při číslicovém zpracování se původní spojitý náhodný proces transformuje na soubor diskrétních bodů, tento postup se nazývá vzorkování - obr. 3.15. Určitým nedostatkem však je, že původně spojitý signál se přemění na soubor diskrétních pořadnicvzorků, odečítaných v ekvidistantních časových intervalech Dt, čímž se ztrácí informace o průběhu signálu mezi dvěma sousedními vzorky. Použití digitální metody je omezeno maximální frekvencí, poněvadž velký počet vzorků klade neúměrné nároky na rozsah výpočtů. Základním problémem vzorkování je volba časového intervalu Dt, který je určený maximální frekvencí fmax, obsaženou v analyzovaném náhodném procesu. Vzhledem k této hodnotě volíme minimální frekvenci vzorkování

fvz =

1 = 2fmax Dt

(3.86)

. Tento vztah je znám jako Shannonovo-Kotelnikovo kriterium a fmax se nazývá jako Nyquistova frekvence. V praktických aplikacích se však volí fvz =(2,5¸3)fmax (3.87)

Obr. 3.15 Náhodný proces a jeho vzorkování Ačkoli paměti počítačových strojů jsou rozsáhlé a rychlost vzorkování se dá provádět s libovolnou frekvencí, v praktických aplikacích se dodržuje rovnice (3.87). Máme-li zpracovat určitou délku náhodného procesu, potom zvýšená vzorkovací frekvence dává velký počet vzorků, což se projevuje neúměrným zvýšením času, potřebným pro provedení výpočtu. Dále se ukazuje, že zvyšování počtů vzorků nad tuto hodnotu se již nezískají další podstatné údaje o statistických vlastnostech náhodného procesu. Neodůvodněné blízké vzorky mohou být navíc korelované a tím může dojít ke zkreslení výsledků. Jiná situace však vzniká, když chceme získat charakteristiky obálky náhodného procesu, zde podle zkušeností se vzorkovací frekvence volí fvz =(8¸10 )fmax (3.88) 82



Počet vzorků náhodného procesu N při správné volbě vzorkovací frekvenci se prakticky pohybují v rozmezí N=2000¸10000. Potom potřebná délka procesu se rovná T =N . Dt (3.89) Většinou se nezpracovávají procesy delší především s ohledem na velké nároky pro strojový čas počítače a také proto, že při dlouhodobých procesech bývá problém s jejich stabilitou. Dosud neexistuje žádné kriterium, pomocí kterého by bylo možné stanovit minimální potřebnou délku záznamu realizace T tak, aby vyhodnocené statistické charakteristiky se zvolenou nepřesností aproximovaly charakteristiky základního souboru. Jistým kriteriem je názor, že dostatečně je dlouhý takový záznam, kdy jeho zvětšení nemá podstatný vliv na vypočítané statistické charakteristiky. Frekvenční filtrování realizace náhodného procesu je jednou z nejdůležitějších operací, kterou provádíme v rámci předběžných úprav záznamů naměřených na reálných objektech. Před diskretizací spojitého záznamu je nutno odstranit spojitým (analogovým) filtrem všechny frekvenční složky signálu, které jsou větší než polovina plánované vzorkovací frekvence f vz. Na obr. 3.16 je blokové schéma měření a vyhodnocování náhodných procesů se záznamem na magnetofon a s následným analogovým nebo číslicovým vyhodnocováním. V současné době je nutné se soustředit pouze na taková měření, kdy se veškeré fyzikální veličiny převedou na elektrické a na dosud převládající způsob měření, při němž sběr dat na straně jedné a jejich vyhodnocení na straně druhé jsou časově zpravidla i místně od sebe odděleny, takže naměřená data je nutné zapsat na vhodné paměťové médium (obvykle magnetofon).

Obr. 3.16 Blokové schéma vyhodnocování náhodných procesů Pokud jde o snímače, je nutné alespoň rámcově připomenout, že mají své dynamické vlastnosti, vyjádřené např. frekvenčním přenosem, které musí být v souladu s frekvenčním oborem užitého signálu, který budeme chtít změřit a vyhodnotit. Není-li tomu tak, mohou se nepřijatelným způsobem zkreslit jak konkrétní časové průběhy, tak i statistické charakteristiky prvotní fyzikální veličiny. Prvním krokem při vyhodnocování měření je redakce záznamu spočívající především na výběru počátků a konců úseků, které se mají vyhodnotit. K tomu je vhodné zviditelnit záznam, zpravidla na obrazovce osciloskopu nebo vykreslením na papír. Měřená veličina se 83



obvykle zaznamenává v určitém časovém úseku, během něhož jsou vnější podmínky v jistém smyslu ustálené. Záznam se pak jeví vzhledově homogenní i když jde o průběh náhodného charakteru Střední hodnotu a rozptyl počítáme pro diskrétní hodnoty ze vztahů, kde integrace je nahrazena sumací

E =x = D=

1 N å xi N i =1

(3.90)

1 N 1 N 2 2 ( ) x x xi - x 2 = å å i N i =1 N i =1

(3.91)

kde N značí počet vzorků náhodného procesu. Při výpočtu hustoty pravděpodobnosti náhodného procesu se postupuje následovně : maximálně možný amplitudový rozsah procesu x(x), tj. (b-a) se rozdělí na K intervalů a v každém intervalu se najde počet výskytů vzorků xi, tj. nj - obr. 3.17. Dělením nj/N dostaneme relativní počet výskytů v každém intervalu kj. Když tuto hodnotu dále vydělíme šířkou intervalu c=(b-a)/K

fj = kde

k j nj K = c N b-a

(3.92)

j=1, 2, 3 ...K, potom dostaneme hustotu pravděpodobnosti fj. Distribuční funkci Fj dostaneme součtem počtu relativních výskytů, tj. j

j

nl =c l =0 N

Fj =å k l =å l =0

j

å fl

(3.93)

l =0

Obr. 3.17 Digitální řešení hustoty pravděpodobnosti náhodného procesu Při vykreslování vynášíme vypočítané hodnoty pj a Fj do středu intervalu j. Volba počtu intervalů K, do kterých zatřiďujeme vzorky xi nemůže být samozřejmě libovolná. S ohledem na použití testu normality a shody s 5% hladinou významnosti se 0,4 počet intervalů K volí jako celé číslo výrazu K=1,87 (N-1) . Autokorelační funkce centrovaného náhodného procesu (3.40) vyjádřená diskrétními pořadnicemi xi se rovná - obr. 3.16.

R(t ) =

1 N-r

N -r

å xn . x n + r =

n =1

1 N-r

N -r

å xn¢

n =1

. x ¢n + r - x 2

(3.94)

Zpoždění r=0, 1, 2 ...m určuje vzájemné posunutí pořadnic v součinech xn.xn+r. Jeho maximální hodnota m, tj. současně i počet bodů vyhodnocovaného grafu, se musí volit tak,

84



aby se dosáhla délka korelace t0=m.Dt. Není účelné tuto délku neúměrně prodlužovat, protože m blížící se počtu vzorků N se ve vyhodnocení autokorelační funkci nepříznivě projeví konečná délka záznamu N. Dobrým experimentálním pravidlem je vztah m
Obr. 3.18 Amplitudově-frekvenční charakteristika

G(f ) =

A(2f )

(3.95)

a.f

kde a - je konstanta analyzátoru zahrnující vliv konečné selektivity filtru a je pro každý analyzátor určena výrobcem, f -je frekvence odpovídající A(f), která se volí jako vhodný násobek oktávy nejnižší naměřené frekvence. Z tak vypočtených diskrétních hodnot se pak vykreslí průběh spektrální výkonové hustoty pro všechny zvolené frekvence. Pro kontrolu správnosti měření je vhodné numerickou integrací vypočítat plochu pod křivkou výkonové hustoty, poněvadž musí platit ¥

D=ò G(f ) . df

(3.96)

0

kde rozptyl D je obvykle změřen relativně nejpřesněji a případný nesoulad v rovnici (3.96) je tudíž třeba hledat hlavně při harmonické analýze. K měření normované autokorelační funkce, určené rovnicí (3.67), se používá tzv. korelátor. Jeho cena je relativně značně vysoká, proto většina pracovišť je vybavena pouze 85



frekvenčním analyzátorem. Stanovení autokorelační funkce se proto obvykle provádí nepřímo z výkonové hustoty pomocí Fourierovy transformace.

r (t ) =

¥

1 D

ò G(f ) . cos 2pft . df

(3.97)

0

Pro řešení této rovnice je nutné znát průběh funkce G(f), která je však obvykle stanovena měřením, tzn., že její hustotu nahradíme vhodnou empirickou funkcí a provedeme transformaci podle rovnice (3.97). Při tomto řešení vzniká problém v tom, jak s dostatečnou přesností aproximovat výkonovou hustotu jednoduchou empirickou funkcí tak, aby se transformace snadno dala provést. S ohledem na možnost numerického řešení počítačem je vhodné postupovat tak, že spojitý průběh výkonové hustoty nahradíme vhodným počtem diskretních hodnot - obr. 3.19. Je-li šířka intervalu dostatečně malá, obvykle se volí 1/3 oktávy, potom přesnost řešení je pro praktickou potřebu dostatečná. Mezi jednotlivými diskrétními hustotami učiníme předpoklad, že E(f)=konst., potom pro Fourierovou transformaci v jednom intervalu platí f(n )

r (t ) =

=

1 D

ò G(f ) . cos 2pft

. df =

f(n -1)

G(f ) 2pt . D

(3.98)

[sin 2pt . f(n ) - sin 2pt . f(n-1) ]

Obr. 3.19 Spektrální výkonová hustota a pro celou křivku G(f) dostaneme

r (t ) =

å [(sin 2pt . f(n ) - sin 2pt . f(n -1) ) . G(f )str ] n

1 2pt . D

n=2

(3.99)

kde střední hodnota G(f)stř je určována rovnicí

G(f )str =

G(f )n - G(f )n -1

(3.100)

2

Rovnice (3.99) se řeší pro několik hodnot t volených tak, aby se dala sestrojit celá autokorelační křivka. Rozptyl zjištěný měřením a vypočtený podle rovnice (3.56) se vždy od sebe nepatrně liší, protože použité měřící přístroje měří s určitou chybou. Aby se tato chyba při výpočtu autokorelační funkce eliminovala, je vhodné rozptyl D vypočítat z rovnice (3.99), poněvadž pro t®0 je r(0)=1. 86



4. HLUK A JEHO MĚŘENÍ Hluk je akustickým jevem, který lidé pociťují jako nežádoucí pro jeho nepříjemné rušivé nebo dokonce škodlivé účinky. Je tedy hluk negativním faktorem v životním prostředí, který se projevuje různými způsoby. Růst mechanizace, dopravy, růst výkonů strojů, nové principy a technologie a hlavně rychlý vzestup počtu osob pracujících při obsluze strojů v nejrůznějších průmyslových odvětvích i mimo ně způsobují, že podstatná část obyvatel průmyslově vyspělých zemí je vystavena dlouhodobému působení hluku. Tyto účinky nastávají nejen v pracovní, ale i v mimopracovní době. Přitom je nutné si uvědomit, že se hluk šíří poměrně snadno z místa vzniku i na větší vzdálenosti do 20 i 200 m a obtěžuje osoby, které nejsou přímo zdroji hluku vystaveny a nemají ani možnost vlastními prostředky a opatřeními sebe chránit. Charakter škodlivého působení hluku nespočívá dnes pouze na přímém zhoršení sluchu. Za závažné škodlivé účinky musíme dnes považovat rušení v době odpočinku a hlavně spánku a z toho pocházejí únavu a neurózy. Jsou prokázány i přímé negativní vlivy hluku na produktivitu práce, růst únavy, možnost zvýšeného výskytu a vzniku dalších onemocnění. Všechny uvedené projevy nepříznivého působení hluku mají obvykle pozvolný trvalý vliv na člověka. Neexistuje v tomto smyslu obdoba náhlých havárií, zřejmých mechanických poškození, úrazů a pod. Proto je objektivní zjišťování negativního působení obvykle značně obtížné. Průzkumy v různých státech ukazují, že obyvatelé zařazují hluk na prvé místo mezi faktory nepříznivě ovlivňující životní prostředí. Důvody zdravotní, ekonomické i jiné ukazují potřebu soustavných celospolečenských opatření na ochranu proti hluku. Mezi taková opatření patří některá zákonná ustanovení obecnějšího charakteru, zdravotnické předpisy a technické normy, organizace zdravotního a technického dozoru nad hlukovou situací, předpisy o projektování a pod. Vychází se přitom z poznatků, že ochrany proti hluku se nejsnáze a také nejhospodárněji navrhují již ve stadiu projektování a konstruování. Dodatečná opatření technického charakteru se mnohdy nemohou provádět.

87



U technických děl poměrně dobře zpracovaných lze uvažovat náklady na opatření proti hluku asi ve výši 0,5% celkové hodnoty díla. Omezování hluku přímo u zdroje bývá až desetkrát levnější než omezování po vyzáření do okolního prostoru. Jelikož se jako zdroje hluku projevují prakticky ve více než 90%-ech případů stroje, stává se omezování hluku strojů jedním z hlavních a ekonomicky zdůvodněných směrů preventivního řešení. Tímto směrem se orientují některé nové předpisy, požadavky na přípustný hluk v místě obsluhy strojů nebo technicky zdůvodněné limity vyzařování hluku stanovené pro jednotlivé druhy strojů. Jelikož se stroje ve stále větší míře nakupují nebo exportují v měřítku překračujícím hranice jednotlivých států, jsou pro uživatele i projektanty významné srozumitelné údaje o hlučnosti. Vytváří se proto postupně jednotný systém veličin, metod zkoušení, informací a popřípadě i limitů, aby se tak překonaly obtíže a zajistila dobrá technická úroveň a prodejnost strojů. Ta je pak výsledkem vývoje spočívajícího na zadaných podmínkách i na dobrých poznatcích o metodách omezování hluku. 4.1 Příčiny hluku a cesty jeho šíření Zařazení a vymezováni oblasti prostředí, u nichž vzniká akustická energie, nazýváme zdroje hluku. V podstatě existují dvě příčiny vzniku akustické energie : a) chvění konstrukcí a jejich částí b) neustálené proudění plynů a kapalin. V prvním případě se mechanické kmitání povrchu strojů, stěn budov, karosérií dopravních prostředků a pod. přenáší na vzduch obklopující tato zařízení a jím se jako akustické rozruchy šíří dále do okolí. Původ kmitání bývá např. u strojů v nevyváženosti jejich rotačních dílů, v nárazech jednotlivých mechanizmů, ve vzájemném tření ploch, v nerovnoměrných účincích při přesunu a pohybů a pod. Často bývá chvění mechanizmů přenášeno pevnými stroji konstrukcí a akustická energie je vyzařována v místech značně vzdálených od vzniku mechanického kmitání. V druhém případě pokládáme za příčiny hluku místa, v nichž vzniká nerovnoměrné proudění v důsledku intenzivních změn rychlostí a objemů. Tyto případy nastávají například u ventilátorů, u ventilů a trysek pro vypouštění stlačených plynů, pulsující proudění ve výfuku a sání pístových strojů a pod. U strojů a zařízení v technické praxi jsou často zastoupeny obě příčiny vzniku hluku a to v různém vzájemném poměru. Obvykle je můžeme rozborem založeným na měření rozeznat a stanovit pořadí důležitosti jednotlivých dílčích zdrojů a postup, v jakém se mají omezovat. Na základě takového technického rozboru můžeme volit příslušná technická opatření ke snížení hluku ve zdroji. Od vlastního zdroje hluku se do chráněného prostoru, kde jsou kladeny určité požadavky na akustickou pohodu, mohou zvukové vlny přenášet zase v podstatě dvojím způsobem : a) vzduchem b) pevnou konstrukcí. Obě složky vytvářejí hlukové poměry v chráněném prostoru, někdy jsou obě zastoupeny přibližně rovnoměrně, někdy jedna z nich značně převládá nad druhou. Po provedení rozboru hluku můžeme učinit návrh na protihlukové opatření zajišťující snížení hladiny v chráněném prostoru. 4.2 Základní pojmy a veličiny v akustice Podstatou zvuku je mechanické kmitání pružného prostředí ve frekvenčním rozsahu 20 - 20 000 kmitů za sekundu. Tento frekvenční rozsah odpovídá kmitočtovému rozsahu lidského ucha.

88



Zvuk se může šířit v plynech, kapalinách i pevných látkách ve formě akustického vlnění. V homogenním izotropním prostředí se šíří vlnění přímočaře (obr. 4.1). Podle toho zda částice kmitající ve směru šíření vlnění nebo kolmo k němu, dělíme vlnění na podélné a příčné. Důležitou skutečností je, že částice nepohybující se šířícím se vlněním, nýbrž kmitají pouze kolem svých rovnovážných poloh. Dalším závažným faktorem je, že šíření vlnění je spojeno s přenosem energie.

Obr. 4.1 Šíření hluku od zdroje

Obr. 4.2 Lineární oscilátor

U plynů a kapalin se může vyskytovat pouze podélné akustické vlnění, neboť jsou pružné pouze ve smyslu objemové stlačitelnosti. U látek tuhých se může vyskytovat vlnění podélné i příčné. Mezi pevnými látkami a plyny, resp. kapalinami, může docházet k přenosu kmitů. Každý hmotný element může být tzv. oscilátorem, nejjednodušší fyzikální oscilátory, jako je např. struna, lodička, pružina a pod., lze považovat za akustické generátory. Nejjednodušším oscilátorem je lineární oscilátor, jehož schéma je na obr. 4.2. Pohyb hmotného bodu tohoto oscilátoru je periodický a lze jeho časový průběh znázornit sinusovkou. u = u0 sin(w t + j 0 )= u0e jwt (4.1) Časový průběh harmonického kmitání je graficky znázorněno na obr. 4.3. Kmitočet (frekvence) určuje počet kmitů za sekundu, které vykoná kmitající hmotný bod. Označuje se písmenem f a jednotkou je Hertz (Hz). Mezi dobou kmitu a frekvencí platí jednoduchý vztah

f =

1 T

(4.2)

Obr. 4.3 Časový průběh harmonického kmitání Ve vztahu (4.1) byla použita veličina w, nazývána úhlovým kmitočtem, který lze snadno přenést na kmitočet v Hertzech w =2 p f (4.3) Pro úhlový kmitočet lze odvodit jednoduchý výraz, platný pro netlumený lineární oscilátor, který jej umožňuje ze známých hodnot, tuhosti pružiny a hmotnosti kmitajícího bodu.

89



Vychází se z řešení diferenciální rovnice, která je vlastně pohybovou rovnicí pro oscilátor znázorněný na obr. 4.2.

m

d 2y +ky =0 dt 2

(4.4)

Řešením této rovnice je výraz popisující tzv. volné kmity (srovnej se vztahem 2.1) y =y 0 sin(w t + j 0 ) (4.5) Frekvence w se potom říká vlastní úhlová frekvence. Zpětným dosazením do (4.4) lze získat závislost

w=

k m

(4.6)

kde k - je tuhost pružiny m - je hmotnost kmitajícího bodu. Energie kmitajícího bodu podle obr. 4.2 se skládá ze dvou složek, energie potencionální W p a energie pohybová W k, jejich součet musí být konstantní W=W p+W k. Pro energii kinetickou platí

1 1 Wk = mv 2 = my 02w 2cos 2 (w t + j ) 2 2

(4.7)

kde v - je rychlost kmitajícího bodu.

v=

dy = y 0w cos(w t + j ) dt

(4.8)

Potenciální energii lze vyjádřit ve tvaru

1 1 W p = mw 2 y 2 = my 02w 2 sin2 (w t + j ) 2 2

(4.9)

Provedeme-li součet energie kinetické a potencionální, získáme vzorec pro výpočet celkové energie kmitajícího bodu W =my 02w 2 (4.10) Vlnění, které se šíří v trojrozměrném prostoru nazýváme prostorovým vlněním. Jednodušším případem je vlnění v bodové řadě, tzn., že vlnění se šíří po souřadné ose. Bodovou řadu, ve které se má šířit podélné vlnění, možno schematicky znázornit tak, jak je to uvedeno na obr. 4.4.

Obr. 4.4 Průběh podélného vlnění v bodové řadě V klidové situaci jsou pružiny mezi hmotnými body stejně stlačeny. Pružiny ve schématu znázorňující mezimolekulární síly. Vychýlíme-li první bod z počátku ve směru osy x, nastane v důsledku pružné vazby pohyb i u ostatních bodů a sice tak, že se rozruch šíří bod od bodu vždy s určitým zpožděním, neboť rychlost šíření má konečnou velikost. Nejjednodušším případem akustického vlnění v bodové řadě je harmonické vlnění. Jeho význam spočívá v tom, že i velmi složité časové průběhy akustických vlnění je možno pomocí Fourierovy analýzy rozložit na funkce harmonické. V obr. 4.5 je zakótována veličina l, která se nazývá délkou vlny. Je to vzdálenost mezi nejbližšími dvěma body, bodové řady, u nichž je v daném časovém okamžiku stejný akustický stav. Jinak lze říci, že je to vzdálenost, kterou zvuková vlna urazí za dobu jednoho kmitu T. Délka vlny je důležitým akustickým parametrem, který umožňuje modelování v akustice. Mezi délkou vlny, frekvencí a rychlostí šíření zvuku platí následující vztah l . f =c (4.11) Rychlost s jakou kmitají jednotlivé částečky prostředí, kterým se šíří akustická vlna nazýváme akustickou rychlostí. 90



Obr. 4.5 Průběh vznikajícího příčného vlnění v bodové řadě Výchylka se od akustické rychlosti liší jak amplitudou, tak i fází. Akustická rychlost je jednou z nejdůležitějších akustických veličin a je jí nutno přísně odlišovat od rychlosti šíření zvuku. V obr. 4.4 je také znázorněno, že při šíření vlnění v bodové řadě lze v daném okamžiku najít místo, kde vlivem shromáždění většího počtu kmitajících bodů je přetlak a v místech zředění podtlak. S tímto zhuštěním a zředěním částic souvisí změny celkového statistického tlaku. Na obr. 4.6 je akustický tlak jako hodnota, která je amplitudově modulována na středním barometrickém tlaku. Barometrický tlak je hodnota přibližně 100 000 Pa. kdežto akustický tlak je hodnota o mnoho řádů nižší. Zdravé lidské ucho začíná vnímat akustické tlaky od hodnot 2.10-5 Pa, což je v porovnání s barometrickým tlakem hodnota téměř zanedbatelná. Tato hodnota byla dohodou stanovena jako vztažná (referenční) hodnota akustického tlaku. Jelikož z hlediska kmitočtu je průběh akustického tlaku totožný s průběhem výchylky nebo akustické rychlosti, můžeme pro harmonický signál psát æ

jw ç t xö æ p=p0 cos w çt - ÷=p0e è cø è

-

xö ÷ cø

(4.13)

kde p0 - je amplituda akustického tlaku. Proti akustickému tlaku může mít akustická rychlost určitý fázový posun. Důležitou veličinou je poměr akustického tlaku k akustické rychlosti, který pro y=0 definuje tzv. vlnový odpor prostředí.

p z= =c0 r v

(4.14)

91


0br. 4.6 Časový průběh celkového tlaku ve vzduchu


Obr.4.7 Časový průběh měrného statického akustického výkonu

Množství procházející akustické energie za jednotku času nazýváme akustickým výkonem P. Vztáhneme-li tento výkon na jednotku plochy, kterou je přenášen, zavedeme tím nový pojem - měrný akustický výkon N. Za předpokladu, že ve všech bodech uvažované rovinné vlny je stejný akustický stav, platí

N=

P xö æ =r w 2 y 02 cos 2 w çt - ÷ S. cos ¶ cø è

(4.15)

Časový průběh této závislosti je uveden na obr. 4.7, z něhož je patrno, že měrný akustický výkon je vždy kladná hodnota. Nevýhodou této veličiny je však její časově neustálený průběh. Proto si v dalším odstavci odvodíme novou veličinu - intenzitu zvuku I. Jak jsme si ukázali, je měrný akustický výkon funkcí času. V akustice podobně jako v elektronice je zvykem pracovat s efektivními hodnotami. Proto byl zaveden pojem intenzita zvuku I, který je střední hodnotou měrného akustického výkonu, proto platí I=pv cos j (4.16) Tato rovnice se pro j=0 zjednoduší

I =pv =

p2 2 p2 = = v z 0 r c z2

(4.17)

Za prahovou jednotku intenzity zvuku byla dohodou zvolena hodnota I0=10-12W.m-2. Zvukový nebo též akustický výkon je definován rovnicí

P =I . S

(4.18) Výraz (4.17) je velmi důležitý vzhledem k tomu, že při experimentálním zjišťování akustických polí nemáme k dispozici žádný přístroj, který by umožňoval přímé měření intenzity akustického vlnění. Téměř všechny zvukoměrné přístroje jsou totiž založeny na měření akustického tlaku a pro určení intenzity je třeba používat vztahu (4.17). Ten však byl odvozen za předpokladu, že akustický tlak a akustická rychlost jsou ve fázi. 4.3 Vlnová rovnice Obecnou vlnovou rovnici je možné odvodit ve tvaru

¶ 2u ¶ 2u ¶ 2u 1 ¶ 2u + + = ¶ x2 ¶ y2 ¶ z 2 c 2 ¶t 2

(4.19)

nebo

c 2 .. Ñ 2 . u =

¶ 2u ¶t 2

(4.20)

Obecná z toho důvodu, že nezáleží na tvaru funkcí f a g, tzn., že platí pro jakýkoliv signál. Jelikož se v ní nevyskytuje vliv směrových úhlů, platí i pro libovolný směr šíření.

92



Z fyzikálního hlediska je vlnová rovnice (4.19) pohybovou rovnicí pro akustickou vlnu. Pravá strana rovnice představuje zrychlení bodu, nebo objemového elementu prostředí a jeho hmoty, čili je to síla, působící na element s jednotkovou hmotou. Pro snadnější vyšetřování zvukových polí byla v akustice zavedena hypotetická veličina - rychlostní potenciál f. Je to skalární veličina, definována tak, že její gradient je roven akustické rychlosti, tzn., že r gradf =v (4.21) Podobně jako pro výchylky, resp. akustickou rychlost a tlak, lze i pro rychlostní potenciál psát rovnici ve tvaru

¶ 2f ¶ 2f ¶ 2f 1 ¶ 2f + + = ¶ x2 ¶ y2 ¶ z 2 c 2 ¶t 2

(4.22)

4.4 Rychlost šíření akustických vln Nejsnáze se dá určit šíření podélných vln v tenké tyči, v kapalinách a plynech. V kapalinách a plynech se šíří pouze vlnění podélné, které je spojeno se zhušťováním a zřeďováním prostředí. Tomu odpovídá, jak jsme si již vysvětlili, proměnný akustický tlak. Při šíření podélného vlnění v tyči však budeme hovořit o střídavém napětí s. Řešení zadané úlohy bude pro vyjmenované případy stejné. Pro výpočet rychlosti šíření vln v kapalinách a plynech platí

cL =

K r

(4.23)

Pro šíření podélných vln v tenkých tyčích lze obdobně odvodit výraz

cL =

E r

(4.24)

kde E - je modul pružnosti v tahu. Na výrazech (4.23) a (4.24) je zajímavé, že rychlost šíření akustických vln je nezávislá na přenášené frekvenci. Rychlost šíření vlnění bude tím větší, čím bude větší modul pružnosti a čím menší bude hustota látky. Pro plyn je

K=

dp V =c pb dV

(4.25)

Pro rychlost šíření zvuku v plynech platí tedy vztah

c= c

pb t =331,6 1 273,13 r

(4.26)

Z uvedeného plyne, že rychlost šíření zvuku závisí na jeho teplotě. Obecná úloha určit rychlost šíření akustického vlnění v pevných látkách je velice složitá. Proto jsme odvodili jednoduchý výraz (4.24), který platí pro šíření podélných vln v tenkých tyčích. Budeme-li sledovat šíření vln v deskách, musíme již do vztahů zahrnout vliv korelace ve formě Poissonova poměru

m=

E - 2G 2G

(4.27)

kde G - je modul pružnosti ve smyku. Pro šíření podélných vln v desce potom platí

cL =

E 1 r 1- m 2

(4.28)

U běžných konstrukčních materiálů, u nichž je Poissonův poměr malý, se prakticky neliší rychlosti podélných vln v tyči a desce. 93



Rychlosti šíření příčného vlnění CT je možno počítat ze vztahu

cT =

G E 1 = r r 2(1 + m )

(4.29)

který ukazuje, že poměr mezi rychlostí podélných vln a příčných vln je konstantní. Pro běžné konstrukční materiály je m=0,3, z čehož plyne závěr, že rychlost (torsních) vln činí cca 62% z rychlosti podélných vln. Na závěr je třeba zdůraznit, že pro výpočet rychlosti šíření zvuku je nutno používat dynamické moduly pružnosti, jejichž hodnota bývá 5 - 20krát větší než je hodnota statických modulů pružnosti. V tělesech, v nichž převládá jeden nebo dva rozměry oproti ostatním, např. v tyčích a deskách, velmi snadno vzniká složením vlnění podélného a příčného vlnění pohybové. Zatímco u vlnění podélného a příčného nezávisela rychlost šíření na frekvenci, je rychlost šíření ohybových vln CB různá pro různé kmitočty. Řešením příslušné vlnové rovnice dostaneme výraz pro výpočet rychlosti šíření ohybových vln tyče ve tvaru

cB = 2p f

4

4EI m

(4.30)

kde I - je moment setrvačnosti dané tyče m - je hmotnost jednotkové délky tyče. Rychlost šíření ohybových vln je tedy závislá nejenom na materiálových konstantách, ale i na rozměru tyče a frekvenci zvuku, který se tyčí šíří. Z hlediska šíření a vyzařování zvuku je ohybové vlnění nejnebezpečnější. Je to způsobeno především tou skutečností, že při ohybovém vlnění částice materiálu kmitají v kolmém směru k povrchu součástí, čímž je umožněn přenos energie kmitání na částice vzduchu, které součást obklopují. Ohybové vlnění je také velmi důležité z hlediska neprůzvučnosti dílčích prvků, které mají vesměs charakter desek, neboť je příčinou jimi vyzařovaného zvuku. Při navrhování technických opatření proti vzniku a šíření hluku konstrukcemi si často klademe otázku, jaký druh akustického vlnění se daným konstrukčním prvkem může šířit. Hlavní podmínkou pro vznik vlnění v určitém materiálu je, aby jeho rozměr byl minimálně roven poloviční délce vlny. Vlnové délky lt tradičních konstrukčních materiálů jsou značně velké a nepřicházejí prakticky v úvahu. Mnohem nebezpečnější z hlediska boje proti hluku jsou tzv. vlny ohybové. Délky ohybových vln vychází podstatně menší než pro vlny podélné. 4.5 Akustické spektrum Akustické spektrum je soubor hodnot sledované akustické veličiny uváděný v závislosti na kmitočtu. Sledovanou veličinou bývá akustický tlak, akustická rychlost, intenzita, výkon respektive jejich hladiny. Spektrum zvuku může být v zásadě dvojího druhu a to spektrum čarové (diskrétní) - obr. 4.8 nebo spektrum spojité - obr. 4.9

Obr. 4.8 Diskrétní spektrum periodického signálu

Obr. 4.9 Spojité spektrum

94



Složený periodický signál možno rozvést pomocí Fourierova rozvoje v nekonečnou řadu harmonických signálů, jejichž frekvence jsou celistvým násobkem základní frekvence. Píšeme potom např. pro výchylku vztah m

u = å An sin n w t + n +1

m

å Bn sin n w t

(4.31)

n +1

Složený periodický signál můžeme tedy jednoznačně popsat, určíme-li jeho jednotlivé diskrétní složky. Grafické popsání takového signálu nazýváme diskrétním spektrem - viz. obr. 4.8. Složený periodický harmonický signál se vyznačuje v grafu tím, že jednotlivé složky jsou na frekvenční ose od sebe vzdáleny o stejnou hodnotu t. Tento typ signálů jsou schopny vytvářet např. hudební nástroje. Složené harmonické zvuky nemají frekvence jednotlivých složek v poměru celých čísel a můžeme se s ním setkat u výfuku a sání pístových motorů a kompresorů, ozubených převodů, zvuků sirén a pod. U spektra spojitého je sledovaná veličina spojitě rozložena v celém kmitočtovém rozsahu. Sem možno zařadit neperiodické děje, které spektrální čáry k sobě kupí v nekonečné hustotě a vyplňují tak spojitě frekvenční osu, ale délka spektrálních čar zde nemůže být považována za amplitudu, protože by potom celková energie signálu rostla nade všechny meze. proto se u spojitých spekter zavádí pojem spektrální hustoty. vyskytuje se zejména u hluku nízkotlakých ventilátorů, karosérií dopravních prostředků, leteckých proudových motorů a pod. Příklad takového spektra je na obr 4.9. V praktických aplikacích se vyskytují často spektra smíšená, která vznikla superpozicí obou výše jmenovaných spekter. 4.6 Decibelové stupnice v akustice Sledujeme-li šíření zvuku od zdroje k posluchači, zjišťujeme, že se při tom uplatňují základní zákony z fyziky, jako je např. zákon o zachování hmoty a energie. Veličiny, s kterými jsme do této doby operovali byly tlak (Pa), akustická rychlost (m/s), intenzita zvuku (W/m2), výkon (W) apod. Podrobným zkoumáním však zjistíme, že se tyto veličiny mění v běžné praxi o mnoho řádů. Např. akustický výkon, který odpovídá slabému šepotu, představuje hodnotu 1.10-9W a křikem naopak již můžeme vyzářit do prostoru akustický výkon asi 1.10-3W, velký symfonický orchestr 10-20W a velký proudový letoun již 105W. V podobném rozsahu se pohybují i ostatní akustické veličiny, což si v dalších odstavcích ještě ukážeme. Podobně jako je tomu i v jiných oborech, musíme pro grafické vyjádření závislostí použít logaritmický papír. Navíc podle Weber-Fechnerova zákona lze prokázat logaritmickou závislost mezi objektivními veličinami a subjektivním vjemem člověka. Z uvedených důvodů byl v technické akustice zaveden pojem „hladin“ jednotlivých akustických veličin, jejichž veličinou je decibel (dB). Hladina akustického výkonu Lp (dB) je definován vztahem

Lp =10 log

P P0

(4.32)

Norma ČSN 011304 „Veličiny, jednotky a značky v akustice“ stanoví v souladu s mezinárodními úmluvami ISO jako referenční hodnotu akustického výkonu P0=10-12W. Hladina akustického tlaku L (dB) je definována vztahem

L=20 log

p p0

(4.33)

Tato logaritmická stupnice má jako bod prahovou hodnotu- (referenční) akustického tlaku p0=2.10-5Pa, čemuž odpovídá v decibelové stupnici 0 dB. Pro hladinu intenzity zvuku platí

LI =10 log

I I0

(4.34)

95



kde I0

- je referenční hodnota intenzity zvuku stanovená normami ČSN a ISO na hodnotu 10-12W/m2. Kmitočtové (frekvenční) pásmo o šířce jedné oktávy je charakterizováno poměrem krajních frekvencí omezujících oktávu

f2 =2 f1

(4.35)

Střední kmitočty v oktávových pásmech jsou stanoveny normou ČSN 356870. Rozdělíme-li oktávové pásmo na tři třetiny, získáme třetinooktávové pásmo. Velmi častou otázkou při vyhodnocování hlučnosti je stanovit součet dvou nebo více hlukových signálů. Známe-li hladiny jednotlivých hlukových signálů L1, L2, L3...Ln, pak výsledná hladina Ls je určena rovnicí L2 Ln æ L1 LS =10 logç10 10 + 10 10 + L + 10 10 ç è

ö ÷ ÷ ø

(4.36)

Tento vztah pochopitelně platí pouze jde-li o signály s rozdílnou frekvencí. V kapitole 4.2 těchto skript jsme si odvodili základní vztah (4.17) mezi intenzitou zvuku a akustickým tlakem. Dosadíme-li tento výraz do definičního vztahu hladiny můžeme psát

LI =10 log

p c I p = 20 log + 10 log 0 0 = L - 0,2 p0 I0 r c

(4.37)

Tento vzorec má velký význam v technické akustice, protože nám umožňuje na základě měření hladiny akustického tlaku přímo určovat hladinu intenzity zvuku. Rozdíl -0,2 dB možno zanedbat, aniž bychom podstatně ovlivnili přesnost akustických výpočtů nebo měření. Hladina akustického výkonu Lp je také vyjadřována v decibelech, avšak je nutné ji odlišovat od ostatních hladin, zejména od hladiny akustického tlaku a hladiny intenzity zvuku. Tento rozdíl si zřetelně uvědomíme, budeme-li si pamatovat, že hladina akustického výkonu určuje vždy akustický výkon vyzařovaný určitým zdrojem a je to tudíž vlastnost jenom zdroje hluku. Hladina akustického tlaku naopak určuje akustický děj v kontrolním místě, resp. v místě posluchače. Tato veličina se výrazně mění se vzdáleností a směrem od zdroje, v závislosti na cestě šíření akustické energie, okolním prostředí apod. Pro zdroje, které vyzařují akustickou energii rovnoměrně do všech směrů si nyní odvodíme závislost mezi hladinou akustického výkonu a hladinou akustického tlaku. Obklopíme-li zdroj akustické energie měřící plochou S (m2) jak ukazuje obr. 4.10, můžeme na ní měřením zjistit intenzitu zvuku I. Veškerý výkon vyzářený zdrojem musí projít měřící plochou, takže musí platit

P =I . S =

p2 S r c

(4.38)

Dosadíme-li tento vztah do definičního vzorce hladiny akustického výkonu, dostaneme následující rovnici

Lp =10 log

P I.S I S S = 10 log = 10 log + 10 log =L + log P0 I 0 . S0 II 0 S0 S0

(4.39)

První člen v rovnici (4.39) je hladina intenzity zvuku, kterou můžeme nahradit na základě předcházejících odvození hladinou akustického tlaku. Ve druhém členu položíme S0=1 m2, takže konečný výraz bude mít tvar Lp =L + 10 log S (4.40)

96



Obr. 4.11 Připojení kondenzátorového mikrofonu k zesilovači

Obr.4.10 Zdroj zvuku vyzařující rovnoměrně do všech směrů

4.7 Přístroje pro měření hluku Přístroje pro měření hluku se všeobecně označují jako zvukoměry, jejich vlastnosti jsou definovány mezinárodní normou. Prakticky jsou definovány dva typy zvukoměrů, lišící se mezi přístupnými tolerancemi v přesnosti měření. Běžné zvukoměry připouštějí odchylky od fyzikálně správné hodnoty v nepříznivých případech až ±4 dB a jsou určeny pro provozní měření. Přesné zvukoměry dovolují maximální odchylky ±2 dB a slouží ke kontrolním a laboratorním měřením. Všimněme si, že u běžných zvukoměrů se mohou dvě měření lišit až o 8 dB, u přesných pouze o 4 dB. Oboje měření jsou však ve smyslu uvedené normy platná, poněvadž byly dodrženy všechny normou požadované vlastnosti a podmínky. Tento překvapivě velký rozdíl pouze vystihuje stav technických možností a to nejsou započteny chyby, které připouštějí a tolerují měřicí metody. Základním prvkem zvukoměru je mikrofon. Nerozhoduje jaký typ elektroakustického měniče byl pro mikrofon použit, má-li směrovou charakteristiku blízkou charakteristice všesměrové, aby měření bylo pokud možno nezávislé na směru dopadajících zvukových vln. Nejkvalitnějších výsledků lze dosáhnout s kondenzátorovými mikrofony, které jsou však velmi náchylné na poškození. Používané kondenzátorové mikrofony se téměř vždy vyrábějí podle mezinárodního doporučení a jejich kmitočtová charakteristika musí překrývat pásmo 20 až 15 000 Hz. Kondenzátorový mikrofon je do měřícího obvodu zapojen obvykle podle obr. 4.11. Neprovádí se tedy přímo měření kapacity mikrofonu, ale na tento je přes velký odpor připojeno tzv. polarizační napětí o velikosti 200 V. Akustický tlak vyvolá změnu tohoto napětí, které se pak dále zpracovává v zesilovači. Pro přesné mikrofony je pokles amplitudové charakteristiky v pásmu 20 Hz až 20 kHz max. o jeden dB, v oblasti nízkých kmitočtů má mikrofon prakticky kruhovou charakteristiku, jeho kapacita je pro průměr jeden palec C=18,6 pF a vlastní frekvence se pohybuje okolo 25 kHz. Kmitočtová charakteristika zvukoměru je udána jako celek, od mikrofonu až po výstupní měřidlo. Vyjma průběhu kmitočtově nezávislého označeného „lin“ jsou normalizovány váhové filtry A, B, C a mezinárodně dohodnut průběh filtru D. Průběhy váhových filtrů ukazuje obr. 4.12.

97



Obr. 4.12 Útlumová charakteristika váhových filtrů Zvukoměr má udávat efektivní hodnotu měřeného signálu. Dynamické vlastnosti výstupního obvodu spolu s měřícím přístrojem rozhodují u krátkodobých signálů a výchylce měřidla. To platí do jisté míry i pro rychle se měnící signál, u kterého hodnota akustického tlaku kolísá ve větším rozsahu. Ve zvukoměrech jsou běžně vestavěny dynamické vlastnosti S, tj. pomalu a F , tj rychle. Pro S je časová konstanta cca 1 s pro F je časová konstanta 0,2 s. Měřící zesilovač ve zvukoměru, jeho děliče rozsahů, průběh stupnice a závislost na vnějších vlivech jsou také přísně sledovány. Všechny tyto vlastnosti jsou obvykle uváděny v návodu k obsluze zvukoměru. Na zvukoměr je položen také požadavek, vyžadující, aby zvukoměr byl schopen nezkresleně zpracovat signály, které jsou o 12 dB vyšší než signál odpovídající nejvyšší výchylce, tj. plnému rozsahu stupnice. Tento požadavek má zaručit, aby periodický signál s časově krátkou, ale vysokou hodnotou nebyl zkreslen. Tato vlastnost zvaná přebuditelnost dovolí měřit správně signál, jehož efektivní hodnota je rovna plné výchylce měřidla. Důležitou hodnotu zvukoměrů je tzv. nejnižší měřitelná hladina zvuku. Je to hladina zvuku, která leží nejméně 5 dB nad hladinou rušivých napětí a udává tak nejnižší hladinu, kterou můžeme při měřeních považovat za platnou. Základní důležitost při zvukoměrných měřeních má správné přecejchování citlivosti zvukoměru a to před každým měřením a u důležitých měřeních i po jejich skončení. Součást některých zvukoměrů jsou pásmové propusti s šířkou pásma jedna oktáva nebo jedna třetina oktávy. Obsahuje-li spektrum zvuku diskrétní složky a potřebujeme znát jejich přesný kmitočet, je vhodnější místo pásmové propusti použít analyzátor, který umožňuje plynulé ladění v celém zvukovém pásmu. Měření hluku se provádí : a) ve volném zvukovém poli b) v poli odražených vln c) měření pomocí referenčního zdroje d) měření ve vzdálenosti 1 m od zdroje.

98



Měření ve volném zvukovém poli se často realizuje pomocí bezdozvukové komory, jejíž stěny jsou obloženy pohltivým materiálem. Použitý mikrofon musí směřovat ke zdroji hluku. Měření v poli odražených vln se realizuje v tzv. dozvukové komoře. Stěny této komory musí mít možnost odrážet zvukové vlny. Měření hluku v uzavřených prostorách průmyslových hal a pod. má charakter měření v dozvukové komoře. Při určení akustického vyzařování ze strojů a zařízení je nutné postupovat dle některého z mnoha normalizovaných systémů. Pro hydrogenerátory např. platí norma DIN 45635, část 26, pro hydraulické agregáty pak stejná norma část 41. Uvedená norma definuje měřící plochy, měřené body a provozní podmínky - obr. 4.13. Jako měřící plocha je určen povrch kvádru, jehož plochy jsou od vnějších kontur hydraulického agregátu vzdáleny 1 m - d=1m. Měřené body, v nichž se měření provádí jsou vrcholy kvádru a středy stěn. Pro určení střední hodnoty akustického tlaku, při měření v určitých bodech dle obr. 4.13 není-li rozdíl mezi maximální a minimální hodnotou menší než 3 dB, lze vzít aritmetický průměr. Jinak platí následující vztah

(

)

é1 ù L=10 logê 10 0,1L1 + 10 0,1L2 + L + 10 0,1Ln ú ën û

(4.41)

kde n - je počet měřících bodů Ln - je hladina akustického tlaku Z rovnice (4.39) se dále určí akustický výkon.

Obr. 4.13 Uspořádání měřících bodů pro hydraulický agregát 4.8 Hluk strojů, jeho určování a omezování Požadavky na ochranu před hlukem a na jeho omezování vyplývají především z účinků, které má hluk na lidský organizmus a na činnost nebo odpočinek lidí. Tyto účinky se projevují škodami na zdraví, rušením při poslechu řeči nebo jiných potřebných signálů. Škodlivé účinky nadměrného hluku na zdraví lidí jsou v současné době nejzávažnější. Opatření k ochraně sluchu jsou jednou z nejzávažnějších součástí všech požadavků, neboť vzniklý stupeň poškození je trvalým, neléčitelným. Hluk převyšující dlouhodobě hladiny zvuku A 80 až 90 dB (A), jak se vyskytuje hlavně v pracovním prostředí, vyvolává trvalé poškození sluchového orgánu. Hladiny nižší než 80 dB (A) nepoškozují sice sluch, ale působí celkovým účinkem na lidský organismus. Znemožňují např. spánek, hovor mezi osobami, poslech signálu, ruší při poslechu hudby, spolupůsobí při vzniku některých onemocnění neurotického charakteru i při onemocnění jiného druhu, znemožňující odpočinek atd. 99



S uvážením všech těchto účinků a jejich rozsahu se dospívá k závěrům, že jsou nutná celospolečenská regulační opatření, donucující výrobce, provozovatele zdrojů hluku i budovatele rozsáhlých zařízení k opatřením, která by udržovala hluk ve zdravotně, technicky i ekonomicky přijatelných mezích. S účinností od 1.7.1977 platí vyhláška čís. 13 ministerstva zdravotnictví ČSR ze dne 31.1.1998 o ochraně zdraví před nepříznivými účinky hluku a vibrací, uveřejněná ve sbírce zákonů č. 13/1977, částka 4, a vyhláška č.14 ministerstva zdravotnictví SSR ze dne 14.1.1977 o ochraně zdraví před nepříznivými účinky hluku a vibrací, uveřejněná ve sbírce zákonů čís. 14/1977, částka 5. Vyhláška ve svých základních částech rozděluje (§5) požadavky k omezování hluku na oblast zdroje hluku (emisi) §6, 7 a na oblast míst pobytu Tabulka 4.1 Nejvyšší přípustné hodnoty hluku na pracovištích Výtah z přílohy k vyhlášce ministerstva zdravotnictví ČSR č.13/1977 Sb. Základní hladina hluku

LAZ=85 dB(A)

I. Koncepční, tvůrčí práce II. Duševní práce III.Duševní práce dorozumíváním

Ltz=70 dB(A)

Korekce pro impulsní hluk

druh činnosti

IV.Duševní práce s kontrolou sluchem V. Fyzická práce vyžadující soustředění VI. Fyzická práce bez nároků na duševní a smyslovou činnost VII. Fyzická práce bez nároků na duševní a smyslovou činnost, v odůvodněných případech

trvání za 8 hodin -40 2-4 hodiny +5 -35 30min.-2hod. +10 -40 10-30min. +15 s -25 3-10min. +20 -20 1-3min. +25 25s-1min. +30 -15 5-25s +35 -10 1-5s +40

přerušovaný hluk trvání za 8 hodin pod 5min. +20 5-15min. +15 16-50min. +10 51-150min. +5 nad 150min. 0

-5

0

+5

osob, kde hluk může působit na člověka (imisi) §8, 9, 10. V prvním případě stanovuje vyhláška povinnosti pro výrobce a dodavatele strojů způsobujících hluk. V důsledku toho podléhají hlučné výrobky dozoru a schvalování ze strany složek pověřených ve státě dozorem nad hlukovou situací. Jsou pro ně stanoveny i rámcové údaje o cílových hodnotách hluku zařízení, uváděné v dalších odstavcích. Na velkou část strojírenských výrobků se tedy vztahují ustanovení o omezení emisí hluku, což je nový přístup, který se bude postupně uplatňovat. Hladina akustického výkonu A, LPA = 100 dB (P, A) se stanovuje všeobecně pro stroje jako základní kriterium, pokud se na některé druhy nekladou přísnější nároky, vyplývající z jejich použití. Pokud má stroj nutnou pracovní obsluhu, je rozhodující jako druhý údaj i hladina zvuku A, LA = 80 dB (A) v místě obsluhy. Výrobci jsou povinni zjišťovat údaje o hlučnosti a při překračování výše uvedených údajů a 10 dB žádat o posudek rezortní nebo státní zkušebnu nebo vyhovět dalším doplňujícím podmínkám. Hodnoty hladiny zvuku na pracovišti uvádí tabulka č. 4.1. 100



4.9 Hluk hydraulických prvků a obvodů V hydraulických soustavách je obvykle hlavním zdrojem hluku hydrogenerátor. Jeho hlučnost je způsobena jednak mechanickým kmitáním, vyvolaným pulsujícími vnitřními silami, jednak tlakovými kmity, vyvolanými nerovnoměrností geometrického objemu v průběhu jedné otáčky. Mechanické kmity se přenášejí na všechny části stroje, které jsou s hydrogenerátorem spojené a v pásmu slyšitelných frekvencí se projevují jako zvuk vedený tělesem. Tlakové kmity jsou přenášeny sloupcem kapaliny na další části hydraulické soustavy a v uvedeném pásmu se projevují jako zvuk vedený kapalinou. Při snižování hlučnosti je proto nutné uvažovat hydraulickou soustavu a příslušné části stroje jako společný kmitající systém a opatření pro snížení hluku vztahovat na stroj jako celek. Přitom je třeba vždy vycházet od nejsilnějšího zdroje hluku, tedy ve většině případů od hydrogenerátoru. Je však možné, že přivedením zvukových kmitů tělesem a kapalinou na jiné části stroje se tyto mohou projevit jako silnější zdroj hluku než hydrogenerátor, je-li frekvence přiváděných kmitů blízká jejich vlastní frekvenci. Náchylné k tomuto jevu jsou zejména rovné desky jako stěny nádrže, montážní panely, rám stroje a pod. Obr. 4.14 uvádí schematicky přenos hluku do okolí hydraulického pohonu. Přenos hluku především způsobuje hydrogenerátor a jeho spojení s motorem, a rovněž i potrubí stěny, hydraulické prvky, držáky kotvení a pod.

Obr. 4.14 Zdroje hluku hydraulického pohonu 4.10 Hlučnost hydrogenerátorů a hydromotorů Hlučnost generátoru je dána konstrukcí, pracovním režimem a zástavbou. Konstrukci a její podíl na hlučnost nemůže uživatel hydrauliky ovlivnit, to je záležitostí výrobce. Může však ovlivnit celkovou hlučnost volbou vhodného typu hydrogenerátoru, jeho pracovních režimů a zástavby. Z hlediska konstrukce ovlivňuje hlučnost hydrogenerátoru jeho funkční princip, tj. způsob přenosu mechanické energie na hydrostatickou, dále tvar, počet a velikost pracovních elementů, tj. zubů, lamel. pístů a způsob rozvodu kapaliny, tj její přechod z nízkotlaké do vysokotlaké části. Velikost pulsujících vnitřních sil je dána především změnou pracovních elementů, zatížených tlakem. Ostatní proměnlivé síly, jako jsou stykové síly při přenosu rotačního pohybu u pístových či zubových hydrogenerátorů nebo setrvačné síly u pístových či zubových prvků, jsou řadově menší a proto zanedbatelné. Pulsující zatížení detailů prvků, přes které probíhá silový tok, způsobuje jejich pružné deformace, tj. vybuzuje u nich nucené kmity. U součástí, tvořících vnější stěny prvku, se kmitání jejich vnějších ploch přenáší na části stroje, které jsou s nimi mechanicky spojené, resp. na okolní vzduch a jeho rozkmitáváním vyvozuje příslušný smyslový vjem u osob, přítomných v oblasti kmitajícího vzduchu.

101



Obr. 4.15 Tlakové a objemové pulzace Nerovnoměrnost geometrického objemu v průběhu jedné otáčky je dána rozdílným součtem průtoků obvykle míjivého charakteru od jednotlivých pracovních elementů a jejich konečným počtem - obr. 4.15. Budící frekvence má velikost fK=k.n/60. To se projeví kolísáním výstupního průtoku, které má za následek tlakové pulsace, superponované na statický tlak, daný zatížením. Jejich velikost zvyšuje stlačitelnost kapaliny, která způsobuje zmenšení objemu kapaliny při přechodu z nízkotlaké na vysokotlakou stranu. Rozdíl musí být vyrovnán objemem z tlakové části, tedy vlastně zpětným prouděním, které se projeví poklesem tlaku. Spolu s následujícím stoupnutím tlaku vlivem začínajícího průtoku od pracovního elementu způsobuje pravidelné kmitání tlaku se základní frekvencí, danou součinem počtu pracovních elementů a otáček. Kromě této frekvence se výrazně projevují i její násobky až do čtvrté harmonické. Toto platí i pro zmíněné mechanické kmity a proto se tyto frekvence výrazně promítají do hlukového spektra, jak je vidět z obr. 4.16.

Obr. 4.16 Spektrum hluku axiálního pístového hydrogenerátoru se sedmi písty Definujeme-li nerovnoměrnost

s=

Qmax -Qmin Qs

(4.42)

potom její velikost v závislosti na počtu elementu k uvádí pro používané hydrogenerátory obr. 4.17. Velkou nerovnoměrnost a proto i hlučnost mají hydrogenerátory zubové, naopak nejmenší pak hydrogenerátory vřetenové.

102



Obr. 4.17 Nerovnoměrnost průtoku u hydrogenerátorů Porovnání hlučností jednotlivých typů při stejných provozních parametrech a přibližně stejné zástavbě je na obr. 4.18.

0br. 4.18 Porovnání hlučnosti H.G. v závislosti na tlaku při přibližně stejné zástavbě Nejméně hlučné jsou převodníky s nejmenší nerovnoměrností proudu a s rovnoměrným zatížením detailů. Nejlépe tyto podmínky splňují šroubové hydrogenerátory, dále pak zubové hydrogenerátory s vnitřním ozubením, potom zhruba na stejné úrovni jsou zubové hydrogenerátory s vnějším ozubením a lamelové hydrogenerátory. Nejvíce hlučné jsou hydrogenerátory pístové v pořadí zvyšující se hlučnosti radiální, axiální s nakloněným blokem a axiální s nakloněnou deskou. Jde o převodníky zhruba stejné velikosti s geometrickými objemy od 20 do 32 cm3. Vyšší hlučnost axiálních pístových hydrogenerátorů s nakloněnou deskou proti nižší hmotnosti těchto prvků, jednak menší tuhostí vedení pístů v axiálním směru a tím jejich větší náchylností ke kmitání. Regulační převodníky jsou hlučnější než neregulační. Závislost hlučnosti na velikosti převodníku, tj. geometrickém objemu, je pro axiální pístové hydrogenerátory vynesena v grafu na obr. 4.19. V obou případech je vidět výraznější nárůst, u malých velikostí, nad geometrickým objemem zhruba 50 cm3 se přírůstek zmenšuje.

103



Obr. 4.19 Závislost hlučnosti axiálního pístového H.G. na geometrickém objemu Závislost hlučnosti na tlaku je samozřejmě přímo úměrná, se zvyšujícím tlakem stoupá i hlučnost. Nárůst se liší podle typu prvku a u jednotlivých typů i podle konstrukce. Na obr. 4.20 je vynesena závislost akustického výkonu na tlaku pro axiální pístový hydrogenerátor s nakloněným blokem, kde od tlaku cca 10MPa je průběh přibližně lineární. Někdy u těchto převodníků, jako je např. na obrázku a také u zubových hydrogenerátorů bývá jejich hlučnost v režimu bez tlaku vyšší než při práci za nízkého tlaku. Je to způsobeno kmitáním detailů v celém rozsahu výrobních vůlí. Stoupnutím tlaku se tyto vůle vymezí a tím se kmitání, tedy i hlučnost sníží.

Obr. 4.20 Závislost hlučnosti axiálního pístového H.G.s nakloněným blokem na tlaku

Obr. 4.21 Přírůstek hlučnosti HG v závislosti na jejich počtu

V mnoha případech vede ke snížení hlučnosti použití dvou menších hydrogenerátorů místo jednoho většího. Dva hydrogenerátory znamenají sice dva zdroje hluku, tzn. dvojnásobný akustický výkon, nikoliv však dvojnásobnou hladinu akustického tlaku, která je rozhodující pro sluchový vjem. Z obr. 4.21 je vidět přírůstek hladiny akustického tlaku při spojení několika zdrojů hluku o stejném akustickém výkonu. Zvyšováním hlučnosti s otáčkami je u všech typů převodníků zhruba stejné, a to dosti značné, jak je vidět z obr. 4.22. Závislost na otáčkách je dobře patrná i z obr. 4.23, kde je vynesen přírůstek hlučnosti v závislosti na procentuálním zvyšování geometrického

104



objemu, tlaku a otáček. Z grafu je vidět více než dvojnásobný nárůst s otáčkami proti oběma zbývajícím parametrům.

Obr. 4.22 Vliv otáček na hlučnost různých druhů H.G., p=20 MPa,

Vg=20-30cm3

Podobný závěr vyplývá i z obr. 4.24, kde je vynesena hlučnost v závislosti na přenášeném výkonu. Je vidět, že z hlediska hlučnosti je pro stejný výkon vhodnější použití hydrogenerátorů při nižších otáčkách než naopak. Je třeba si uvědomit, že uvedené hodnoty hlučností hydrogenerátorů byly získány jejich měřením v hlukových komorách za optimálních podmínek. při těchto měřeních je vliv dalších nutných hydraulických prvků potlačen na minimum, stejně jako vlivy pohonu a uchycení hydrogenerátoru. Hnací motor je umístěn mimo měřicí prostor, poháněcí hřídel je radiálně i axiálně uložen tak, aby nemohlo dojít k jeho kmitání. Ložiska jsou zvukově izolována stejně jako příruba pro připojení hydrogenerátoru, která kromě toho je dostatečně tuhá, aby její kmity byly co nejmenší. Také škrtící ventily, či jiné hradící prvky jsou umístěny mimo komoru. V měřícím prostoru jsou kromě měřeného hydrogenerátoru jen vstupní a výstupní, příp. i svodové vedení, která také mohou být zvukově isolována. Dosažené hodnoty hlučnosti jsou pak hodnotami minimálními, které lze dosáhnout a které jsou také uvedené v technické dokumentaci prvku.

Obr. 4.23 Přírůstek hlučnosti na % zvýšení

105

Obr. 4.24 Závislost hlučnosti na přenášeném výkonu



V praxi při stejných provozních režimech je nutně zajišťována vyšší hlučnost, v nejméně příznivých případech až o 20 dB(A). Z toho potom vyplývají stížnosti uživatelů na příliš velkou hlučnost hydrogenerátorů, příp. na nedodržení technických podmínek. Snížení hlučnosti H.G. je možné dosáhnout také jejich vhodnou konstrukcí, hlavně prodloužení času, během kterého dojde k vyrovnání tlaku. Obr. 4.25 uvádí jednoduchý způsob snížení hlučnosti pomocí drážky, které zajistí řízené škrcení při vyrovnání tlaku u pístového H.G. Hydromotory přispívají k hlučnosti hydraulických soustav, většinou však v menší míře. Je zajímavé, že hydromotory, i když stejné konstrukce jako hydrogenerátory, nemají jejich hlučnost, obr. 4.26.

Obr. 4.25 Průběh tlaku a síly a odpovídající snížení hlučnosti H.G. opatřeného drážkou Menší hlučnost hydromotorů je dána menšími tlakovými kmity na vstupu vlivem tlumícího účinku sloupce kapaliny a určitým, i když malým tlakovým předpětím na výstupu. Také spojení hřídele se zátěží je obvykle méně hlučné.

0br. 4.26 Porovnání hlučnosti hydrogenerátoru a hydromotoru 4.11 Hlučnost ventilů a rozvaděčů Ve ventilu při jeho funkci obvykle dochází ke škrcení průtoku, vyskytují se velké lokální rychlosti, tlakové pulzace a turbulentní proudění a často vzniká i kavitace. Všechny tyto skutečnosti přispívají ke vzniku hlučnosti. Na obr. 4.27 je znázorněna závislost hlučnosti na průtokovém odporu při konstantním tlaku před odporem. Současně je vynesena rychlost proudění v zúženém průřezu. Počáteční hlučnost je způsobena kmitáním tlaku při turbulentním proudění a pohybem místních vírů. Se stoupající rychlostí, tj. se zvětšováním tlakového rozdílu, roste jen málo až do kritické hodnoty tlakového rozdílu. S jeho dalším zvyšováním dochází k rychlému stoupání hlučnosti až do určitého maxima, kdy hlučnost začne opět klesat. Její 106



snížení je dáno poklesem tlaku za odporem natolik, že se snižuje počet bublin, které v časovém úseku zanikají. Hluk je navíc tlumen vysokým počtem vzniklých bublin, které rozptýleny v oleji vytvářejí tlumící vrstvu. Na úroveň před kritickým tlakem však hlučnost již neklesne

Obr. 4.27 Závislost hlučnosti škrtícího ventilu na tlakovém spádu při p1=konst. . Pro odstranění hlučnosti ventilů, vyvolané kavitací, je nutné, aby ventil pracoval v oblasti před kritickým tlakovým spádem. Kritický stav je silně závislý na tlaku za ventilem, proto u škrtících ventilů nebo regulátorů průtoku, umístěných v soustavě před hydromotorem, pracuje prvek obvykle v podkritické oblasti. Naproti tomu pojišťovací ventily nebo přepouštěcí ventily s odpadem do nádrže, příp. regulátory průtoku za hydromotorem, pracují téměř vždy v kritické oblasti. Určité snížení hlučnosti zde lze dosáhnout snížením výstupního tlaku, aby ventil pracoval na konci klesající části křivky. Posunutí pracovního bodu do podkritické oblasti znamená rozdělit tlakový spád na několik odporů. Zajímavé poznatky snižování hlučnosti při škrcení - obr. 4.28 se dosáhnou tak, že se škrcení rozdělí na více paralelních regulačních míst s dílčím škrcením.

Obr. 4.28 Snížení hlučnosti ventilů paralelním průtokem Rovněž rozdělení škrcení na více sériových odporů výrazně přispívá ke snížení hlučnosti - obr. 4.29, např. využitím třístupňové tlakové váhy. Důležité je zajistit optimální tlumení všech kmitajících elementů, např. kuželek a pod.

107



U rozvaděčů dochází k rychlému zastavení průtoku, nebo jeho rychlé uvedení do pohybu, čímž vzniká hydraulický ráz. Současně se mění i směr průtoku a mění se i průtočný průřez. V důsledku těchto vlivů i rozvaděče se projevují určitou hlučností, která při přestavování rozvaděče je větší než v tzv. stacionárním stavu. Prodlouží-li se časy přestavení šoupátka, sníží se tím hlučnost. Řídit přestavovací časy je možné pomocí proporcionálních magnetů, vhodně volenou rampovou funkcí, toto řešení je však cenově náročnější.

Obr. 4.29 Snížení hlučnosti při více sériově řazených odporech 4.12 Snižování hlučnosti hydraulických obvodů Má-li být dosaženo snížení hlučnosti zařízení, musí se zabránit přenosu sil, u hydraulických obvodů je proto nutné se zabývat vedením hluku, především u těchto řetězců : - elektromotor ® hydrogenerátor ® nádrž - elektromotor ® hydrogenerátor ® připevňovací rám - hydraulický agregát ® potrubí, prvky pro rozvod a řízení. Z předcházejících dvou kapitol je zřejmé, že k hlučnosti hydraulického obvodu nejvíce přispívá hydrogenerátor, ostatní prvky obvodu jsou méně významné. Proto se hlavní zájem a to již při zpracování projektu hydraulického obvodu soustřeďuje na optimální návrh pohonu hydrogenerátoru a jeho uložení na rám nebo na nádrž. Větší hlučnost je také způsobena vedením zvukových kmitů od hydrogenerátoru, zejména přes připojovací přírubu na rám stroje buď přímo nebo přes hnací motor, čímž se několikanásobně zvyšuje povrch kmitajících vnějších ploch. Současně se mechanické kmity přenášejí potrubím. U výstupního bude pro jeho kmitání spíše rozhodující kmitání tlaku, vstupním vedením se však kmity mohou přenášet až na nádrž, u které velké plochy stěn mohou výrazně ovlivnit celkovou hlučnost vlivem svých dobrých vyzařovacích schopností. Dříve zmíněná nerovnoměrnost geometrického objemu způsobuje spolu s tlakovými kmity nerovnoměrnost hnacího momentu na hřídeli. Tyto momentové pulsace se přenášejí na hnací motor a jsou zdrojem dalšího kmitání..

Obr. 4.30 Spojení hydrogenerátoru se základem přes pryžovou pružinu

108



Snížení vlivu zvuku vedeného tělesem takových kmitajících částí stroje, jejichž vlastní frekvence není blízká frekvenci budící. Znamená to oddělit zdroj kmitů od ostatních částí stroje elementem s tlumícím účinkem. Materiál tohoto detailu musí mít malou tuhost a velké vnitřní tlumení, dané nízkým modulem pružnosti E < 100 MPa. V praxi je to především pryž.Často používané spojení elektromotoru a hydrogenerátoru se základem pomocí pryžových pružin je uvedeno na obr. 4.30 V tomto případě , tj. elektromotor s hydrogenerátorem, musí být navržen tak, aby jejich vlastní frekvence byla nižší bez frekvence budící. Na obr. 4.31 je vynesen poměr amplitud buzených a budících kmitů v závislosti na podílu budící frekvence „f“ a vlastní frekvence „f0“ (pro určité tlumení). Je vidět, že dostatečný tlumící účinek je dosažen tehdy, je-li budící frekvence nejméně dvojnásobkem vlastní, kdy amplituda buzených kmitů klesá zhruba na 1/3 amplitudy budících. Poměr f/f0 se volí větší než 3. Pro pohon hydrogenerátoru se jako nejpříznivější tlumící element jeví řemenový převod, nejméně vhodný je převod ozubenými koly, zejména s pastorkem, nasazeným přímo na hřídeli hydrogenerátoru. Tento převod je natolik tuhý, že přenáší kmity naprosto netlumeně, navíc při běžné přesnosti ozubení vnáší do systému další chvění vlivem svých výrobních nepřesností. Částečným zlepšením je zde použití šikmého ozubení. Při souosém pohonu je vhodné použití pružné spojky. Zabraňuje dodatečnému namáhání hřídelů vlivem jejich mimoběžnosti a různoběžnosti a při vhodné konstrukci i šíření zvukových kmitů. Hydrogenerátor tvoří s hnacím motorem dvouhmotový systém s vlastní frekvencí

f0 =

1 2p

æ1 1ö c d çç + ÷÷ è I1 I 2 ø

(4.43)

kde cd - je dynamická tuhost spojky /Nm.rad-1/ I1, I2 - jsou momenty setrvačnosti hnacího motoru a hydrogenerátoru /kg.m2/. Při návrhu je třeba mít na paměti, že budící frekvence hydrogenerátoru je přímo úměrná jeho otáčkám. Velmi často se hydrogenerátor a elektromotor montují na rám pomocí speciální příruby, která má zabudovaný pružný pryžový element - obr. 4.32. Použití pružné spojky je v tomto případě nezbytné.

Obr. 4.31 Závislost poměru amplitud na frekvenci

Obr. 4.32 Řez montážní přírubou s gumovou vložkou

V celé řadě případů se hydrogenerátor pružně spojí s elektromotorem a tento celek se dále pružně spojí s nádrží, samotný hydrogenerátor je ponořený pod hladinu - obr. 4.33. Toto řešení vyžaduje správně navrženou pružnou hřídelovou spojku, která si musí zajistit rovnoměrné otáčení při přenosu momentu v celém rozsahu dilatací obou pružných elementů. Toto řešení se dá však prakticky aplikovat pouze na hydrogenerátory menších výkonů a tudíž i hmotnosti. 109



Hlučnost vlastního vedení je vzhledem k jeho vyzařovací charakteristice zanedbatelná. Zařazení hadice zvyšuje vyzařování k jeho vyzařovací charakteristice zanedbatelná. Zařazení hadice zvyšuje vyzařování nižších frekvencí, ale také v zanedbatelné míře. Vliv takových kmitů se projevuje sekundárně prodlužováním vedení a tím kmitáním jeho konců. Tyto kmity působí na jedné straně na hydrogenerátor, kde se

Obr. 4.33 Pružné uložení pohonu s H.G. pod hladinou vzhledem k jeho vlastním značným vibracím, příliš neprojeví. Na druhé straně pak působí na další prvek hydraulické soustavy a je-li tímto prvkem např. některý z hradících prvků, umístěných na panelu, může se zde objevit další silný zdroj hluku. Délka tlakového vedení by proto měla být navržena tak, aby vlastní frekvence sloupce kapaliny byla pokud možno mimo oblast budících frekvencí od hydrogenerátoru v jeho převažujícím pracovním režimu. Vlastní frekvence sloupce kapaliny, uzavřeného z obou stran je dána

f0 =i

c i = 2l 2l

K r

(4.44)

kde i - je 1, 2, 3 .... c - je rychlost šíření vln, pro olej cca 1350 m/s l - je délka sloupce kapaliny /m/. Rovnice platí pro nekonečně tuhá vedení, u ocelových bude vlastní frekvence o 5 až 10% nižší, zařazení hadice ji pak sníží ještě výrazněji.

Obr. 4.34 Závislost amplitudy na frekvenci u tlumiče

110



Při použití jak akumulátoru, tak tlumičů, je nutné si uvědomit, že obojí znamená podstatné zvýšení kapacity vedení za hydrogenerátorem, které nemusí být ve všech případech přijatelné. Šíření zvukových kmitů lze omezit zařazením akumulátoru nebo tlumiče, do vedení za hydrogenerátor. Akumulátory snižují tlakové pulsace zvýšením stlačitelnosti, tj. snížením odporu proti deformaci této části vedení. Nejvhodnější pro tento účel jsou akumulátory, u kterých dochází ke změně toku kapaliny tak, že proud směřuje proti pružné části akumulátoru Obr. 4.34 uvádí frekvenční charakteristiku tlumiče aplikovaného na potrubí. U obrázku je zřejmé, že tlumení se začne projevovat až v oblasti za vlastní frekvencí Kavitace se projeví výrazným zvýšením hlučnosti. Tento stav je ovšem nepřípustný nejen z hlediska hlučnosti, ale i z hlediska funkce prvku. Je nutné si uvědomit, že na kavitační hodnotu nesmí tlak klesnout po celé cestě od nádrže až k pracovnímu elementu hydrogenerátoru. Pro minerální oleje se kavitační tlak pohybuje mezi 40 až 60kPa absolutního tlaku. Použití přetlakové nádrže řeší tento problém jen částečně, protože se stoupnutím tlaku nad hladinu se zvýší i objem rozpuštěného vzduchu, např. při přetlaku 100kPa až na 15%. Tím stoupne i kavitační tlak, takže při větších odporech ve vstupním vedení může se tlak kapaliny snížit až na jeho hodnotu. Z hlediska hlučnosti je vhodnější montovat prvky na kostky, které jsou tuhé a mají proto vysokou vlastní frekvenci. Montáž prvků na panel je z hlediska hlučnosti v porovnání s kostkou méně příznivé Snížení hlučnosti lze dosáhnout kromě omezení intenzity zdroje hluku také zabráněním jeho dalšího šíření vzduchem. To je možné dvojím způsobem, buď isolací hluku v místě zdroje nebo jeho absorpcí. Izolace znamená omezení jeho šíření stěnami, na kterých se zvukové vlny odrážejí. Účinnost izolace je závislá na frekvenci zvuku, s přibývající stoupá. Isolující stěny nesmí kmitat a protože jejich kmitání je tím větší, čím jsou lehčí a tužší, vyžaduje se od nich velká hmotnost na jednotku plochy a nízká tuhost v ohybu. Absorbce zvuku znamená omezení jeho šíření stěnami, kterými je pohlcován a kde se mění převážně v teplo. Tzv. plošné absorbéry jsou porézní tkaniny a pohlcovací látky, které obsahují kanálky, v nichž dochází k proudění vzduchu. Vlivem jeho vazkosti vzniká tření, které způsobuje tlumící účinek. Protože rychlost kmitání tedy i proudění roste s kmitočtem, stoupá i zde účinnost s frekvencí. To je v obou případech výhodné, protože především zvuky vyšších frekvencí jsou pro člověka nepříjemné až nebezpečné. Spektrum výsledného hluku se tím posouvá níže, takže i při malém tlumícím účinku pociťuje člověk takovou hlučnost jako méně obtížnou. Obvyklým způsobem je zakrytování zdroje hluku, pokud tomu nebrání prostorové, provozní nebo estetické důvody. Předpokladem dobrého účinku je těsnost krytu. Otvory v krytu musí tvořit méně než 5% jeho plochy, pokud tomu tak není nebo pokud toho nelze dosáhnout, je zakrytování zbytečné, protože je bez účinku. Uvnitř krytu totiž dochází ke zvýšení akustického tlaku a všechny otvory v krytu působí jako samostatné zdroje hluku. Příklad zakrytování hydrogenerátoru s elektromotorem uvádí obr. 4.35.

111



Obr. 4.35 Zakrytování hydrogenerátoru a elektromotoru 1 - tlumič hluku; 2 - sací potrubí; 3 - pryžový kompenzátor;; 4 - pryžová pružina; 5 - těsnění základu; 6 - tlumič hluku; 7 - zakrytování vývodů; 8 - tlakový ventil; 9 - hydrogeneráto; 10 - el. motor. 5. MĚŘENÍ KMITÁNÍ Pohyb tělesa vzhledem ke vztažnému prostoru nazýváme absolutní pohyb tělesa, je-li změna tohoto pohybu spojitá, zavádíme vedle posuvu ještě další veličiny a to rychlost a zrychlení tělesa. Relativní pohyb je definován jako změnu dvou elementárních prvků (bodů) definovaných na dvou různých tělesech. K významným měřením v technické praxi proto patří měření absolutních, relativních a deformačních posuvů. Mezi důležité formy mechanického pohybu patří mechanické kmitání těles, vymezené normou ČSN 01 1400 jako forma pohybu, při níž určující veličina pohybu (posuv, rychlost, zrychlení) má mechanický charakter a v závislosti na čase nabývá hodnot větších nebo menších, než je určitá rovnovážná hodnota této veličiny. S pojmem mechanické kmitání souvisí i pojem vibrace, kdy jednotlivé body tělesa (elementární prvky) kmitají s různými amplitudami případně i s různými fázemi určující veličiny. Mechanické kmitání je dnes široce rozpracovaným vědním i technickým oborem, což dokumentuje i následující rozbor druhů kmitání. Podle časového průběhu charakteristické veličiny lze kmitání členit na : - deterministické (harmonické, periodické, obecně neperiodické), - stochastické (stacionární, nestacionární), - seizmické kmitání důsledkem výbuchů. Podle fyzikální podstaty lze rozlišovat „ kmitání vlastní, vynucené, samobuzené, kmitání typu flutteru a pod. Dále rozeznáváme kmitání podélné, torzní, příčné, krouživé a jejich kombinace, kmitání desek, membrán, skořepin a pod. V současné době do kmitání řadíme i chaotické pohyby. Jednotlivé typy strojů a zařízení se vyznačují charakteristickými druhy kmitání a charakteristickými frekvencemi. Hodnocení a posuzování vlivu a míry škodlivosti vibrací upravuje vyhláška č. 13/1977 Sb., o ochraně zdraví před nepříznivými účinky hluku a vibrací. Tato směrnice se vztahuje jak na posuzování přípustných hladin zrychlení chvění, tak i na přenos zvláště nebezpečných kmitočtů. Při posuzování škodlivého účinku vlivu chvění na lidský organismus má rozhodující význam způsob přenosu chvění. V zásadě je třeba rozlišovat mezi přenosem chvění na ruce, na celé tělo (vsedě či vestoje - tedy ve směru páteře). Tyto tři způsoby přenosu vedou na tři odlišné přípustné hodnoty chvění při posuzování škodlivosti.

112



Definice hladiny zrychlení je stejná jako u hluku, referenční úroveň zrychlení vibrací je a0=10-6 m2/s. Velký význam má měření kinematických veličin v novém a dynamicky se rozvíjejícím oboru, tzv. vibrodiagnostika, která umožňuje určit stav stroje či zařízení bezdemontážní metodou. 5.1 Základní pojmy Při měření mechanického kmitání je možné měřit některou z veličin, které určují mechanické kmitání, t.j. výchylku - y, rychlost - v nebo zrychlení - a. Mezi těmito veličinami platí známé vztahy

v=

dv dv d 2 y ,a= = 2 dt dt dt

(5.1)

Protože derivace a integrace jsou dnes snadno realizovatelné pomocí elektrických integračních nebo derivačních obvodů, stačí snímat pouze jednu z určujících veličin y, v, a kmitání a ostatní veličiny pak z ní odvodit. Pro volbu, která z uvedených veličin se bude měřit a které se budou z měřené veličiny odvozovat, neexistují obecně platná kriteria, pouze doporučení vyplývající z rozborů měření kmitání a z praktických aplikací. Je-li výchylka harmonické funkce pak dle obr. 5.1 pro j=0 platí

y =A sin w t =ò vat =òò adt

(5.2)

dy = adt = Aw cos w t dt ò d 2 y dv a= 2 = =- Aw 2 sin w t dt dt

v=

(5.3) (5.4)

Při vyhodnocování kmitání se jako určující veličina mechanického kmitání používá nejčastěji efektivní hodnota, definovaná známým vztahem

y ef =s =

T

1 2 1 N 2 = y dt å yi T ò0 N i =1

(5.5)

U náhodného signálu je efektivní hodnota rovna rozptylu - yef=s. Pro harmonický signál je efektivní hodnota dána vztahem - obr. 5.1. T

y ef =

1 A 2 sin2 w t .dt ò T 0

(5.6)

113



Obr.5.1 Dráha, rychlost, zrychlení pro harmonickou funkci Mezi efektivní, střední a špičkovou hodnotou platí

y ef =

A 2

=0,707 A;

y str =0,9 y ef =0,636 A

Dále se v některých případech používá tzv. rozkmit, což je součet absolutních hodnot největších výchylek určující veličiny na obě strany od rovnovážné polohy. U jednoduchého kmitání platí

y ss =2A

5.2 Snímače mechanického kmitání Snímač mechanického kmitání bývá obvykle zapojen do analogového měřícího řetězce - obr. 5.2, který je složitou soustavou přístrojů. Signál ze snímače je zesílen v předzesilovači na vhodnou úroveň, pak následuje integrátor, hornofrekvenční a dolnofrekvenční propust. Za dalším zesilovačem jsou pak zapojeny vestavné nebo samostatné filtry, umožňující frekvenční analýzu měřeného signálu. Další blok řetězce, usměrňovač, umožňuje vyhodnotit efektivní, střední nebo špičkovou hodnotu. Dále následuje lineárně logaritmický převodník, za nímž je výstup logaritmického stejnosměrného napětí, které může být dále měřeno nebo zaznamenáno osciloskopem, oscilografem, může být uloženo do paměti (disk, magnetofon a pod.). Vedle popsaného analogového řetězce je možné i numerické zpracování. Měřený signál po zesílení v předzesilovači je v A/D převodníku navzorkován a dále je zpracován v PC počítači. Snímače mechanického kmitání je možné členit podle různých kriterií, prakticky nejdůležitější členění je podle funkce a konstrukce a jsou to snímače absolutní a relativní.

114



Obr. 5.2 Schéma analogového řetězce pro měření mechanického kmitání 5.3 Princip absolutních snímačů Schéma absolutního snímače kmitání je znázorněno na obr. 5.3. jeho podstatné vlastnosti v potřebném frekvenčním rozsahu je možno vystihnout mechanickým modelem soustavy s jedním stupněm volnosti, tvořeným setrvačnou hmotou o hmotnosti m uloženou na pružině s tuhostí k [Nm-1] a na tlumiči s koeficientem tlumení b [Nm-1s]. tato soustava bývá uzavřena v krytě o hmotnosti m1, který se upevňuje na měřené těleso. Snímač je uzpůsoben tak, že hmota m se může pohybovat jenom v jednom směru, což znamená, že snímač je schopen měřit pouze jednu složku pohybu.

Obr. 5.3 Mechanický model absolutního snímače Činnost snímače vyplývá z následující úvahy : jestliže se měřená výchylka x(t) mění velmi rychle a je-li dostatečně velká hmota m uložena na měkké pružině (malá tuhost k pružiny), pak lze pohyb tělesa T měřit vzhledem k hmotě m. Hmota m totiž zůstává prakticky v absolutním klidu a lze jí tedy využít jako pevného bodu, vůči němuž měříme pohyb tělesa T. Veličina x(t) pak představuje relativní výchylku mezi hmotou snímače m a hmotou tělesa M. Veličina [x(t)+y(t)] představuje absolutní výchylku snímače. Vztah mezi výchylkou y(t) snímače a výchylkou x(t) hmoty M dostaneme řešením této pohybové rovnice snímače m(x&& + y&&) + by& + ky =0 (5.7) Abychom mohli zanedbat vliv hmotnosti snímače na měřenou soustavu, musí být m1+m<<M. K určení vlastností snímače postačí (vzhledem k platnosti principu superpozice), když budeme uvažovat pouze jednu harmonickou složku měřeného signálu x(t), tj. když 115



x(t)=X0sinwt. Po dosazení do (5.7) dostaneme

my&& + by& + ky = - mx&&=mw

2

X 0 sin w t

(5.8)

Řešením této rovnice obdržíme frekvenční přenos snímače a to amplitudovou funkci a rovnici pro posuv signálu x(t) vzhledem k y(t)

Y0 = X0

(k - w

j =arctg

w 2m 2

m

)

2

+ (bw )2

(5.9)

bw k - w 2m

kde X0 - je skutečná amplituda kmitání tělesa T, Y0 - je naměřená amplituda kmitání, Y0/X0 - je citlivost snímače.

0br. 5.4 Amplitudová a frekvenční charakteristika absolutního snímače Tyto vztahy upravíme pomocí veličin a to : - vlastního úhlového kmitočtu soustavy snímače

W0 =

k m

(5.10)

a součinitele kritického tlumení bk, při němž se kmitavý pohyb mění v aperiodický

bK =2 mk =mW 0

(5.11)

Použijeme-li bezrozměrné veličiny : - naladění

h=

w m w = W0 k

(5.12)

a poměrný útlum

bp =

b b b = = bk 2 mk 2mW0

(5.13)

lze amplitudovou funkci a fázový posuv vyjádřit v bezrozměrném tvaru takto - obr. 5.4

116


X0 = Y0

h


2

(1 - h ) + (2b h )

j =arctg

2 2

2

p

(5.14)

2bph 1-h

2

Pracovní oblast absolutního snímače výchylky, ve které se obecný periodický signál zkreslí minimálně, leží, dle obr. 5.4, v nadrezonanční oblasti - h>1 tj. w> W0, kde Y0/X0®1 a j®p. V této oblasti lze volbou tlumení bpÎ(0,5¸0,7) dosáhnout, že dynamická zkreslení amplitud je velmi malá, poměr Y0/X0 zhruba konstantní a blízký jedné. Minimální fázové zkreslení v oblasti h>1 dostaneme zase pro velmi malé tlumení (bp®0), kdy fázový posuv je prakticky roven p. Požadavky na velikost tlumení, má-li současně zajišťovat minimální amplitudové i fázové zkreslení, jsou protichůdné a je nutné hledat kompromisní řešení. Absolutní snímač výchylek musí tedy pracovat v nadrezonanční oblasti. Chceme-li měřit střídavé výchylky při nízkých frekvencích, pak je nutné, aby snímač měl co nejnižší vlastní frekvenci W0= k / m proto velké m a malé k. Hodnota W0 bývá v rozsahu 2 až 10 Hz. Horní hranice frekvenčního rozsahu bývá kolem 1000 Hz. Při řešení pracovní oblasti absolutního snímače zrychlení předpokládáme, že platí stejná pohybová rovnice (5.7), takže je stejné i řešení (5.9). Amplitudovou funkci je však nutno upravit jako poměr údaje snímače Y0 k amplitudě zrychlení X0 w2, tedy

Y0 y » x&& X 0w

2

=

m

(k - w m) 2

2

+ (bw )

2

=

m c

1

(1- h ) + (2b h ) 2 2

(5.15)

2

p

Fázový posuv je dán druhým vztahem (5.9). Obr. 5.5 uvádí amplitudovou charakteristiku, ze které je zřejmé, že pro minimální amplitudové i fázové zkreslení je nutné, aby snímač zrychlení pracoval v podrezonanční oblasti. Má-li být pracovní oblast snímače co největší, pak je nutné, aby snímač měl vysokou vlastní frekvenci W0= k / m (řádově desítky kHz). To lze splnit zmenšováním hmoty m a zvyšováním tuhosti pružiny k. Vyhovět tedy současně požadavku vysoké vlastní frekvence i vysoké citlivosti nelze, zejména ne u mechanických snímačů. To je jeden z důvodů, proč se přechází na piezoelektrické snímače zrychlení. Nyní k problému, co je vhodnější - zda měřit výchylky mechanických kmitů a rychlost zrychlení provádět elektrickou derivací, nebo měřit zrychlení a rychlosti a výchylky získat elektrickou integrací? Poněvadž snímač zrychlení má širší pracovní rozsah, menší amplitudové i fázové zkreslení než snímač odchylek a taktéž jeho rozměry a hmotnost mohou být velmi malé, používají se častěji snímače zrychlení. 5.4 Princip relativních snímačů Relativní snímače kmitání se používají pro měření relativního pohybu xr=xB-xA dvou bodů kmitající soustavy. Těleso snímače 2 - obr. 5.6 se upevňuje na tu část A soustavy, která je hmotnější a koná menší pohyb než druhá část soustavy B. Dotyková část 1 snímače se opírá o měřenou část soustavy B. Relativní snímač může být řešen i jako bezdotykový, kdy změna vzdálenosti 2-B při kmitání je přímo měněna na elektrický nebo jiný signál. Lze ho též použít i jako snímače absolutního pohybu, je-li v blízkosti měřeného tělesa pevné místo, na které lze uchytit těleso snímače nebo jeho držák. Relativní pohyb vyšetřovaného tělesa vůči místu upevnění držáku je pak totožný s absolutním pohybem měřeného místa.

117



Obr. 5.5 Amplitudová charakteristika snímače Pro rozbor amplitudového a fázového zkreslení použijeme mechanický model snímače, dle obr. 5.6. Relativní snímač je tvořen dotykovým prvkem o hmotnosti m1, přitlačovaným pružinou o tuhosti k1 k

Obr. 5.6 Mechanický model relativního snímače měřenému objektu. Těleso snímače 2 spolu s držákem lze znázornit hmotu m2, tuhostí k2 přičemž k2>> k1 a lineárním tlumičem s koeficientem tlumení b2. Pohybová rovnice hmoty m2 má tvar my&&2 + by& 2 + k 2 y 2 + k1 (y 2 - x )=0 (5.16) Relativní výchylku y1, úměrnou údajům snímače, vyjádříme jako rozdíl y1=x-y2. Dosadíme-li do rovnice (5.16) za y2=x-y1 dostaneme

m2 (x&& - y&&1 ) + b2 (x& - y& 1 ) + k 2 (x - y 1 ) - k1y 1 =0

Obdobným postupem jako v případě absolutního snímače pro harmonický pohyb tělesa M dostaneme amplitudovou funkci ve tvaru

Y01 X 0w

= 2

(k

(k

1

2

- w 2 m2 2

)

2

+ k 2 - w m2

+ (b2w )

2

)

2

+ (b2w )

2

118

(5.17)



a velikost fázového posuvu

y º(u - j )=arctg

b2w b2w - arctg 2 (k1 + k 2 ) - w 2m2 k 2 - w m2

(5.18)

Zavedeme-li bezrozměrné veličiny, obdobně jako u absolutního snímače naladění :

h=

b2 k1 m2 w , poměr tuhostí : c = , poměrný útlum : b p = = w W0 k2 k2 2 m2 k 2

lze

předcházející rovnice upravit do tvarů

(

)

1 - h 2 + (2bph ) Y0 = 2 2 X0 1 + c - h 2 + (2bph )

(

tgj =

2

2

(5.19)

)

2 c bph

(1 + c - h )(1 - h ) + (2b h ) 2

2

(5.20)

2

p

Rovnice je graficky znázorněna na obr. 5.7.

Obr. 5.7 Amplitudová a frekvenční charakteristika relativního snímače Z rovnice (5.19) a obr. 5.7 lze konstatovat, že vhodně volenými parametry (tuhost a tlumení držáku) lze dosáhnout, že relativní snímače lze použít v rezonanční i nadrezonanční oblasti. Relativní snímač je vhodný pouze pro měření výchylek, nikoliv zrychlení. 5.5 Indukční - elektrodynamické snímače Převodník těchto snímačů pracuje na elektrodynamickém principu. Čidlem snímačů je cívka 4 vedená pružinami a pohybující se v prstencové vzduchové mezeře válcového permanentního magnetu 3, vytvářejícího magnetické pole. Schéma absolutního elektrodynamického snímače je na obr. 5.8. Jestliže siločáry homogenního stejnosměrného magnetického pole probíhají ve vzduchové mezeře radiálně k závitům cívky a těmito závity protéká proud i, působí na cívku převodníku síla F=Bli. Nastane-li pohyb (posuv y) cívky v magnetickém poli, pak se v ní indukuje elektromorická síla podle vztahu

e=n

df =Bl v dt

(5.21)

Ze vztahu (5.21) vyplývá, že výstupní elektrické napětí je úměrné rychlosti pohybu cívky. Síla F je přibližně lineární funkcí protékajícího proudu i.

119



Obr. 5.8 Elektrodynamický snímač rychlosti Elektrodynamické snímače jsou snímače rychlosti mechanického kmitání, výchylka kmitání se získá integrací signálu, zrychlení derivací signál. Jsou vhodné pouze pro měření střídavé složky pohybu v rozsahu frekvencí 1¸1000 Hz, nemohou měřit statickou složku kmitání, proto se nedají staticky kalibrovat, ale pouze dynamicky. Provedení elektrodynamického snímače uvádí obr. 5.9.

Obr. 5.9 Řez elektrodynamickým snímačem a) absolutní b) relativní 5.6 Piezoelektrické snímače Piezoelektrický snímač je nejrozšířenějším aktivním měničem. Čidlem těchto snímačů je krystal materiálu u něhož se projevuje piezoelektrický jev. jestliže na tento krystal působí síla F, pak na jeho polepech vzniká elektrický náboj qK dle vztahu qK=kpF, kde kp je piezoelektrická konstanta materiálu. Jelikož pro sílu F platí F=m &x& a mezi nábojem qK, kapacitou krystalu C a napětím U na polepech krystalu platí vztah qK=CU, lze snadno získat závislost

U=

qK k pF k p m = = x&& C C C

(5.22)

Napětí U je tedy přímo úměrné zrychlení &x& , takže piezoelektrický snímač pracuje jako snímač zrychlení - akcelerometr.

120



Na obr. 5.10 je elektrické náhradní schéma piezoelektrického snímače.

Obr. 5.10 Náhradní schéma piezoelektrického snímače Označíme-li odpory R a kapacity C krystalu (RK, CK), u vodiče (RV, CV) a u přístroje (Rp, Cp), pak pro výsledný odpor R a výslednou kapacitu C platí : -1

é 1 1 1 ù + + R =ê ú ,C =CK + CV + C p . RV R p úû ëê RK jednotlivé proudy ve větvích schématu na obr. 5.10 jsou dány vztahy

i0 =

dqK dF dq U =k p ,i1= ,i = dt dt dt R

(5.23)

přičemž q=C.U. Dosadíme-li tyto vztahy do Kirchhofova zákona pro uzel A : i1+i=i0, dostaneme diferenciální rovnici pro elektrický náboj

dq q dF + =k p dt RC dt

(5.24)

Jestliže síla působící na krystal se skokově změní, potom řešením rovnice (5.24) dostaneme pro časový průběh náboje rovnici

q =k pF0e

-

t RC

(5.25)

která je graficky znázorněna na obr. 5.11. Tento vztah popisuje vybíjení náboje kondenzátoru v závislosti na čase.

Obr. 5.11 Časový průběh síly a náboje Pro snímač kmitání je důležitý frekvenční přenos, kdy budící síla je časově proměnná. Její harmonický průběh lze popsat vztahem : F=F0eiwt. Diferenciální rovnice (5.24) má v tomto případě tvar :

dq q + =k p iw F0e iwt dt RC

(5.26)

121



Jejím řešením dostaneme časový průběh elektrického náboje v čase ve tvaru

ù é ú ê - t 1 q =k 0F0 êe RC + e iw t ú 1 ú ê 1+ úû êë iw RC

(5.27)

První člen v závorce se pro t®¥ blíží k nule, takže při časově proměnné síle je možno pracovat pouze s druhým členem v závorce. Jelikož platí vztah q=UC je pak napětí na měřícím přístroji vyjádřeno vztahem

U =U 0 e iw t =

k p F0

1

C

1 1+ iw RC

e iw t =

k p F0 C

1 æ 1 ö ÷÷ 1 + çç è w RC ø

2

e iw t

(5.28)

Rovnice (5.28) je graficky uvedena na obr. 5.12. Pro frekvenci kmitání w®¥ přejde vztah do tvaru U0=kpF0/C, pro který budeme používat označení U¥, tedy U¥= kpF0/C. Sílu F0 lze vyjádřit F0=m &y& max, takže

U¥ =

k p my&&max

(5.29)

C

Obr. 5.12 Závislost napětí U0 na úhlové frekvenci Z rozboru posledních dvou rovnic vyplývají vlastnosti piezoelektrických snímačů. Jeli časová konstanta t=RC, potom tzv. hraniční kmitočet wm=1/RC. Pro napětí platí U=kpF/ 2 .C, takže napětí U má přibližně 70% hodnoty U¥ - obr. 5.12. V oblasti w>w m amplituda U0 v závislosti na w vzrůstá velmi pomalu a asymptoticky se blíží hodnotě U¥. Hraniční kmitočet wm udává spodní hranici frekvenčního rozsahu použitelnosti přístroje. Změna kapacity C výrazně ovlivňuje změnu hraničního kmitočtu wm i změnu citlivosti snímače danou poměrem U/F0=kp/C. Protože výsledná kapacita C nastává z kapacity krystalu (bývá 1000 pF), vodiče (cca 100 pF/m) a přístroje (50 pF), může být údaj snímače značně ovlivněn výslednou kapacitou vodiče, která je přímo úměrná délce kabelů mezi akcelometrem a předzesilovačem. Tento nežádoucí vliv lze odstranit tzv. nábojovým zesilovačem. Abychom dostali větší napěťový signál je snaha zmenšit výslednou kapacitu C. Malá kapacita však způsobuje zvětšení hraničního kmitočtu wm a tím posunutí spodní hranice frekvenčního rozsahu přístroje k vyšším hodnotám w. Aby byl měnič dostatečně citlivý a přitom měnil mechanickou veličinu (sílu, zrychlení) na elektrické napětí bez zkreslení i při malých frekvencích, je nutné při snížení kapacity C současně zvýšit odpor R. Toho se 122



dosahuje použitím speciálních předzesilovačů s vysokým vstupním odporem, které umožňují měřit spolehlivě zrychlení i při frekvencích kolem 1 Hz. Provedení piezoelektrických snímačů zrychlení je na obr. 5.13, snímač je citlivý na kmitání ve směru osy x, ve směru y a z je citlivost výrazně menší. Pro výrobu piezoelektrických snímačů se používá křemen - kp=0,02pC/N, Seignetova sůl, polykrystalické keramické látky, např. titaničitan barnatý BaTiO3, nebo zirkoničitan olovnatý PbZrO3 a pod. Tyto keramické materiály mají přednost v tom, že je lze vyrábět lisováním do libovolných tvarů, jsou stabilní, pevnější než křemen a drží piezoelektrické vlastnosti i do vyšších teplot. Piezoelektrické snímače jsou vhodné pro měření zrychlení mechanického kmitání ve frekvenčním rozsahu mechanického kmitání ve frekvenčním rozsahu 1¸105 Hz s dynamickým měřením zrychlení 10-3¸106 m/s2, do teploty 200oC. Výrobce snímačů uvádí důležité jeho parametry a to kapacitu C, napěťová citlivost Kv [mV/g], nábojová citlivost Kc [pC/g]. Mezi těmito veličinami platí vztah

Kv =

Kc C

(5.30)

Obr. 5.13 Řez piezoelektrickým snímačem zrychlení a) namáhání tlakem, b) namáhání smykem, c) namáhání ohybem Citlivost je vždy udána pro výslednou kapacitu samotného snímače, kabelu a zesilovače - C. Není-li při měření splněna podmínka stejné kapacity jako při cejchování např. použitím delšího kabelu, potom pro poměr napěťových citlivostí platí

Kv C = K v 1 C1 kde index 1

(5.31)

- je označena citlivost při kapacitě C1.

Obr. 5.14 Závislost Kv, Kc a C na teplotě

123



Parametry piezoelektrického snímače Kv, Kc a C jsou závislé na teplotě, což je nutné při měření respektovat. Obr. 5.14 uvádí jako příklad závislost Kv, Kc a C teplotě pro snímač B a K typ 4332. Připevnění snímače na stroj se provádí pomocí šroubu, magnetu, snímač se může na stroj přilepit a u orientačních měření může být snímač držen rukou přes hrot. Parametry snímače jsou časově velmi stálé, někdy je však vyžadováno jeho cejchování, které se provádí pomocí mikroskopu (měří se amplituda a frekvence), cejchování na vibračním stole, které má přesně definované zrychlení, nebo porovnáním s jiným snímačem, jehož parametry jsou známé. Předzesilovač je jedním z členů řetězce, který je téměř vždy v řetězci používán. Důvodů, pro které je do měřícího řetězce zařazován, je celá řada. Hlavním důvodem je to, že připojení zátěže i s poměrně velkou impedancí přímo k výstupu piezoelektrického snímače může být příčinou značného snížení jeho citlivosti a výrazného omezení jeho pracovního kmitočtového rozsahu. Vyloučením těchto nežádoucích omezení práce snímače je důvodem použití speciálních předzesilovačů určených pro práci s piezoelektrickými snímači mechanického kmitání. Hlavním úkolem předzesilovače je přeměna vysoké výstupní impedance snímače na mnohem menší výstupní impedanci předzesilovače, která umožňuje připojení dlouhých spojovacích kabelů mezi odděleným předzesilovačem a vlastním přístrojem a připojení měřicích a analyzujících přístrojů s poměrně nízkou vstupní impedancí. Většina předzesilovačů kromě přeměny a přizpůsobení impedancí, kdy plní funkci impedančního měniče, plní ještě řadu dalších funkcí. Například zesilují relativně malé výstupní signály ze snímače. Další funkcí předzesilovače je nastavení zesílení signálu s cílem normalizace velikosti signálu v měřicím řetězci při použití snímače s nevhodnou a nezaokrouhlenou citlivostí. Předzesilovače používané při měření mechanického kmitání jsou podle principu funkce v zásadě dvojí : napěťové zesilovače a nábojové zesilovače. Napěťový předzesilovač bývá zpravidla používán přímo ve spojení s piezoelektrickým snímačem, aby délka spojovacího kabelu, a tím i velikost přidané vstupní kapacity byly co nejmenší, aby nedošlo k snížení citlivosti snímače. O těchto předzesilovačích se mluví také jako o impedančních měničích, neboť přeměňují vysokou výstupní impedanci snímače na nízkou výstupní impedanci předzesilovače. 0d předzesilovače je již možno vést dlouhý spojovací kabel bez vlivu na citlivost snímače. Vzhledem k tomu, že se jedná o přizpůsobovací vstupní obvod, bývá vlastní napěťové zesílení bezvýznamné, neboť se upraví v následujících skutečně zesilujících stupních. Zjednodušené schéma napěťového předzesilovače s připojeným piezoelektrickým snímačem na vstupu je na obr. 5.15. Napěťový zesilovač je vytvořen operačním zesilovačem s vysokým zesílením A, přemostěným silnou paralelní odporovou zpětnou vazbou pomocí odporu Rv. Ta podstatně zlepšuje charakteristické parametry zesilovače. Zmenšuje výstupní odpor, fázové posunutí, nelineární zkreslení a nestabilitu zesilovače a zvětšuje pracovní kmitočtové pásmo a rozsah napětí zesilovače. Zmenšuje ovšem celkové zesílení. Kmitočtový rozsah takového zesilovače je v podstatě dán kmitočtovým rozsahem použitého operačního zesilovače. Vstupní odpor zesilovače Ri je vhodné volit co největší, cca 200-800 M, aby se dala měřit frekvence 2 Hz a větší.

Obr. 5.15 Schéma zesilovače napětí

124



Nábojový zesilovač je v podstatě napěťový zesilovač s velmi silnou zápornou kapacitní zpětnou vazbou. Zjednodušené schéma nábojového předzesilovače s připojeným piezoelektrickým snímačem na vstupu je na obr. 5.16. Nábojový zesilovač je vytvořen operačním zesilovačem s vysokým zesílením A, přemostěným zápornou zpětnou vazbou vytvořenou koncenzátorem Cf. Výstupní napětí U0 takového zesilovače může být vyjádřeno vztahem

U0 =

Q.A Ca +Ck +Cf (1 - A)

(5.31)

Obr. 5.16 Schéma zesilovače náboje Pro velké zesílení operačního zesilovače A®¥ se předcházející rovnice zjednoduší

U0 =-

Q Cf

(5.32)

Napětí U0 nezávisí tedy na kapacitě kabelů a zesilovače. Vstupní kapacita nábojového zesilovače dosahuje při vhodném návrhu tak vysoké hodnoty, že celý náboj vytvořený piezoelektrickým snímačem je zesilovačem prakticky odsát. Výstupní napětí nábojového zesilovače je na nízkém odporu a je na paralelních kapacitách vstupu prakticky nezávislé. To je velkou předností nábojového zesilovače, který může být umístěn ve značné vzdálenosti od piezoelektrického snímače, aniž by to mělo na citlivost snímače a spodní hranici kmitočtového pásma jakýkoliv vliv.

125



LITERATURA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Zehnula, L.: Snímače neelektrických veličin. SNTL Praha 1983. Kopáček, J.: Technická diagnostika hydraulických mechanismů. SNTL Praha 1990. Janíček, P.: Technický experiment. Skripta VUT Brno. Bednář, J.: Měření tekutinových systémů. Skripta VUT Brno 1982. Kuhn, L.: Technická diagnostika. Skripta ČVUT Praha 1985. Janalík, J.: Diagnostika hydraulických prvků a soustav. Skripta VŠB Ostrava 1989. Smetana, C.: Měření hluku a chvění. SNTL Praha 1974. Nový, R.: Hluk a třesy. Skripta ČVUT Praha 1983. Norma ČSN ISO 5167-1, 1993. Navrátil, M.: Měření mechanického kmitání: Úvod do teorie snímačů. SNTL Praha 1981. 11. Navrátil, M., Pluhař, O.: Měření a analýza mechanického kmitání. Metody a přístroje. SNTL Praha 1986. OZNAČENÍ HLAVNÍCH VELIČIN Kapitola 1, 2, 4, 5. Značka Název a zrychlení c rychlost šíření akustického vlnění cx součinitel čelního odporu cB rychlost ohybových vln cL rychlost podélných vln cT rychlost příčných vln d průměr, vzdálenost f frekvence i proud j imaginární jednotka k konstanta k tuhost l délka m hmotnost n frekvence otáčení - otáčky n počet p tlak, akustický tlak pb barometrický tlak q elektrický náboj t čas t teplota u výchylka u bodová rychlost v rychlost, akustická rychlost w rychlost x výchylka x vstupní veličina y výchylka y výstupní veličina z vlnový odpor (impedance) x, y, z vzdálenost, souřadnice B magnetická indukce C elektrická kapacita - kapacitance 126

Jednotka, rozměr m.s-2 m.s-1 1 m.s-1 m.s-1 m.s-1 m s-1 A 1 N.m-1 m kg s-1 Pa Pa C s o C m m.s-1 m.s-1 m.s-1 m m n.s.m-3 m T F



bit.s-1 m Pa N

C D E F F(p) G G I I I K K L L M N P Q Q R S T T U V Vg W Wk Wp Z a d e j l m n r r f t w W

přenosová kapacita kanálu průměr modul pružnosti v tahu síla přenosová funkce modul pružnosti ve smyku tíha intenzita akustického vlnění moment setrvačnosti množství informace modul objemové stlačitelnosti kapaliny tuhost hladina indukčnost moment měrný akustický výkon akustický výkon elektrický náboj objemový průtok elektrický odpor - rezistance plocha čas, doba jedné periody teplota elektrické napětí objem geometrický objem akustická energie kinetická energie potenciální energie impedance úhel úhel poměrné prodloužení fázový úhel vlnová délka Poissonova konstanta kinematická viskozita hustota měrný odpor rychlostní potenciál čas úhlová frekvence úhlová frekvence

Kapitola 3 a fx(x), f(x) f(x,y) fx(x,t), F(x,t) h(t) i mqx, mq mqn

střední hodnota normálního rozdělení náhodné veličiny X hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X a Y hustota pravděpodobnosti náhodného procesu X(t) impulzní odezva soustavy s jedním vstupem i výstupem imaginární jednotka q-tý obecný moment náhodné veličiny X q, n-tý smíšený obecný moment 127

Pa N W.m-2 kg.m2 bit Pa N.m-1 dB H N.m W.m-2 W C m3.s-1 W m2 s o K V m3 m3 J J J W rad rad 1 rad m 1 m2.s kg.m-3 W.m m2.s-1 s s-1 s-1



2

výběrový rozptyl výběrová směrodatná odchylka čas variační koeficient x výběrový průměr A koeficient šikmosti B koeficient špičatosti C kovariace mezi náhodnými veličinami X a Y Dx, D rozptyl E energie Ex, E střední hodnota náhodné veličiny X nebo náhodného procesu X(t) Fx(x), F(x) distribuční funkce náhodné veličiny X Fx(x,t), F(x,t) distribušní funkce náhodného procesu X(t) F(x,y...) distribuční funkce n-rozměrného procesu Gxx(f), G(f) jednostranná spektrální výkonová hustota stacionárního náhodného procesu X(t) argumentu f H(iw), H(if) frekvenční přenos soustavy s jedním vstupem a výstupem argumentu w, f Kxx(t) autokovariační funkce náhodného procesu X(t) Me medián Mo modus N počet vzorků P(A) pravděpodobnost jevu A Rxx(t), R(t) autokorelační funkce náhodného procesu X(t) Rxy(t) obecná vzájemná korelační funkce náhodného procesu X(t) a Y(t) Sxx(f), S(f) oboustranná spektrální výkonová hustota stacionárního procesu X(t) argumentu f Sxy(if) oboustranná vzájemná spektrální výkonová hustota stacionárních náhodných procesů X(t) a Y(t) argumentu f X náhodná veličina X centrovaná náhodná veličina náhodné veličiny X X normovaná náhodná veličina náhodné veličiny X X(t) náhodný proces Y náhodná veličina Y(t) náhodný proces 2 2 gxy (w), gxy (f) koherentní funkce náhodných procesů X(t) a Y(t) argumentu mqx, mq q-tý centrální moment náhodné veličiny X mqn q, n-tý centrální moment rxx normovaná autokorelační funkce náhodné veličiny X rxx(t) normovaná autokorelační funkce náhodného procesu X(t) rxy koeficient korelace mezi náhodnými veličinami X a Y rxy(t) normovaná vzájemná korelační funkce náhodných procesů X(t) a Y(t) s směrodatná odchylka s2 rozptyl pro normální rozdělení náhodné veličiny X w úhlová frekvence sx sx t v

Poznámka : 1. pruh nad veličinou značí operátor střední hodnoty v čase 2. čárkou jsou značeny centrované veličiny (fluktuace náhodné veličiny) 3. dolní indexy x, xx ..... u veličin Fx(x), fx(x), Ax, Bx, Dx, Ex ..... Kxx, Sxx, Gxx ..... je případě, že není nebezpečí omylu zcela vynechat 4. veličiny v lomené závorce <...> značí operátor střední hodnoty v čase 5. derivace jsou označeny tečkou -

x& (t ) 128

možné v



129

MĚŘENÍ TEKUTINOVÝCH MECHANISMŮ

Recommend Documents