Úloha č. 5
MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: 1. Určete moment setrvačnosti kruhové a obdélníkové desky vzhledem k jednotlivým osám z doby kyvu. 2. Vypočtěte moment setrvačnosti kruhové a obdélníkové desky vzhledem k ose procházející těžištěm.
1. TEORETICKÝ ÚVOD 1.1 Moment setrvačnosti Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která je mírou setrvačných účinků tělesa při rotačním pohybu∗. Pro tělesa se spojitě rozloženou hmotou je moment setrvačnosti definován vztahem
J=
∫r ( )
2
dm ,
(1)
V
kde r je kolmá vzdálenost elementu hmotnosti dm od osy rotace a V je objem tělesa. Moment setrvačnosti tedy závisí na rozložení hmoty vzhledem k rotační ose. Čím dále od osy rotace je hmota v tělese rozložena, tím větší je moment setrvačnosti. Pro všechny rovnoběžné osy je moment setrvačnosti nejmenší vzhledem k ose, která prochází těžištěm. Tuto skutečnost vyjadřuje Steinerova věta: Moment setrvačnosti J vzhledem k určité ose se rovná momentu setrvačnosti J0 vůči ose s ní rovnoběžné a jdoucí těžištěm, zvětšenému o součin hmotnosti m tělesa a čtverce kolmé vzdálenosti a těžiště od této osy, tj.:
J = J0 + m a2 .
(2)
Z definice (1) lze určit moment setrvačnosti homogenních těles pravidelných geometrických tvarů. Např. moment setrvačnosti k ose jdoucí těžištěm kolmo na rovinu homogenní obdélníkové desky o stranách b, c a hmotnosti m je 1 J 0ob = m ( b 2 + c 2 ) (3) 12 a kruhové desky hmotnosti m a poloměru R je
J 0kr =
1 mR 2 . 2
(4)
1.2 Kyvadlo∗∗ Fyzické kyvadlo je každé těleso otočné bez tření kolem vodorovné osy neprocházející těžištěm. Vychýlíme-li kyvadlo z rovnovážné polohy o malý úhel α, začne konat periodický pohyb, pro jehož dobu kyvu τ odvodíme z pohybové rovnice pro rovinnou rotaci vztah:
∗
Viz Hofmann J., Urbanová M.: Fyzika I, str. 92 - 97. ** Viz Hofmann J., Urbanová M.: Fyzika I, str. 110-112.
75
J , mg a
τ =π
(5)
kde J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k pevné ose rotace. Doba kyvu je doba, kterou kyvadlo potřebuje k pohybu z rovnovážné polohy do krajní výchylky a zpět do rovnovážné polohy nebo doba z jedné krajní výchylky do druhé krajní výchylky na opačné straně. Doba kmitu T = 2 τ. Matematické kyvadlo je hmotný bod hmotnosti m zavěšený na nehmotném vlákně délky l. Jeho moment setrvačnosti je dán součinem hmotnosti bodu a čtverce jeho vzdálenosti od osy, kolem níž kývá: J0 = ml2. Doba kyvu matematického kyvadla je pak podle vztahu (5) pro a = l rovna: l . g
τ =π
(6)
Délka l matematického kyvadla, které kývá se stejnou dobou kyvu jako fyzické kyvadlo, se nazývá redukovaná délka fyzického kyvadla. Vztahy (5) a (6) platí přesně jen pro malý rozkyv α ≤ 5°. Máme-li měřit dobu kyvu, musíme udělit kyvadlu takovou počáteční výchylku α, aby bylo možno pozorovat větší počet kyvů. Měřenou dobu kyvu τα je potom nutno korigovat na nulový rozkyv podle vztahu: τ 0 = τ α (1 − k ) . (7) Hodnoty k pro některé úhly rozkyvu jsou uvedeny v tabulce:
α
5°
10°
15°
20°
25°
30°
k
0,00012
0,00048
0,00107
0,00190
0,00297
0,00428
2. PRINCIP METODY 2.1 Stanovení momentu setrvačnosti tuhého tělesa z doby kyvu Ze vztahu (5) plyne pro moment setrvačnosti vzhledem k ose neprocházející těžištěm výraz: mga (8) J = 2 τ 02 ,
π
který umožňuje výpočet momentu setrvačnosti tělesa z jeho hmotnosti m a z doby kyvu τ0 (naměřená hodnota τα korigovaná na nulový rozkyv) vzhledem k ose vzdálené od těžiště o délku a za předpokladu, že známe tíhové zrychlení v místě pokusu a dovedeme určit vzdálenost a. Z momentu setrvačnosti J pak můžeme ze Steinerovy věty (2) určit moment setrvačnosti J0 vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm. Tuhým tělesem, jehož moment setrvačnosti máme určit, je obdélníková resp. kruhová kovová deska. V deskách je odvrtáno několik kruhových otvorů nad sebou, do kterých se postupně upevňuje břit s upevňovacím šroubem. Ostří břitu definuje rotační osu (viz obr. 1). Deska je ostřím břitu opřena v lůžku na stojanu. K odečtení úhlu rozkyvu slouží úhlové měřítko, dělené po 5°, které se pokládá na stojan.
76
Protože v deskách jsou otvory, nebudou jejich těžiště přesně v jejich geometrickém středu. Při určení vzdálenosti těžiště od osy rotace bychom tedy měli uvažovat posuv těžiště, způsobený odvrtáním otvorů *). Vzhledem k tomu, že posuv těžiště je zanedbatelný vzhledem k měřeným vzdálenostem ak jednotlivých os od T0, kde T0 je geometrický střed (viz obr. 1), lze do vztahu (8) dosadit za a přímo měřené vzdálenosti ak jednotlivých os od T0 a za celkovou hmotnost m součet hmotnosti desky m0 a šroubu m1 (m = m0 + m1).
R ak T0
Obr.1 Definování rotační osy
∗ Např. pro kruhovou desku (viz obr. 2): Označíme-li R a r příslušné poloměry desky a otvorů, m0 hmotnost desky s otvory, m1 hmotnost šroubu, m2 hmotnost odvrtaného materiálu z jednoho otvoru pro kruhovou desku je m2 =
m0 r 2 . R2 − 4r 2
Pro obdélníkovou desku o stranách b, c je m2 =
r
m0 π r 2 . bc − 4π r 2 R
V další úvaze je značení pro obě desky stejné; T0 geometrický střed, T´ těžiště desky s otvory, Tk těžiště desky s upevněným břitem v k-tém otvoru, ai′ vzdálenosti jednotlivých os od T0, x′ = T0 T ′. Hledaný posuv těžiště xk dostaneme z podmínek rovnováhy tuhého tělesa m0 x′ = m2
T0 x´
Tk
a´k
a´i
xk
T´
n
∑ (a′ + r ), i =1
i
m0 ( x′ − xk ) = m1 (ak′ + r + xk ),
ze kterých pro posuv těžiště dostaneme n m2 ∑ ai′ + 4 r − m1 ( ak′ + r ) i =1 . xk = m0 + m1
Obr. 2 Posuv těžiště, způsobený odvrtáním otvorů
Pro výpočet momentu setrvačnosti Jk vzhledem k jednotlivým osám (v případě kruhové desky k = 1, 2, 3, 4) bychom tedy měli do vztahu (8) dosadit za a vzdálenost osy kývání od těžiště ak = ak′ + xk a za hmotnost m = m0 + m1 .
3. Postup měření a vyhodnocení 1. Zvažte desky (m0) a břit s upevňovacím šroubem (m1) na daných vahách.
77
2. Změřte ocelovým měřítkem geometrické rozměry desek: poloměr R v případě kruhové desky a rozměry b, c v případě obdélníkové desky. Nejistoty měření určete odhadem. 3. Postupně upevňujte břit do jednotlivých otvorů a změřte posuvným měřítkem vzdálenost ak mezi břitem a geometrickým středem vyznačeným na desce. 4. Jako první otvor (osa č. 1) berte otvor nejbližší ke geometrickému středu T0. 5. Pro každou osu změřte dobu 50 kyvů 5-krát. Dodržujte vždy stejný úhel rozkyvu α. Spočtěte τ α a korigujte na nulový rozkyv τ0. 6. Momenty setrvačnosti Jk vzhledem k jednotlivým osám neprocházejících těžištěm počítejte ze vztahu (8). Jejich nejistoty ze vztahu (9). 7. Momenty setrvačnosti J0k vzhledem k ose procházející těžištěm určete ze vztahu (2). Jejich průměrnou hodnotu určete ze vztahu (10). Zároveň spočítejte standardní nejistotu u J0 pro jednu vybranou osu ze vztahu (11). 8. Tabulka pro záznam naměřených a vypočtených hodnot: kruhová deska č. osa č.
m0 =
50 τα (s)
τ α (s)
(kg), m1 =
(kg),
τ0 (s)
m=
ak (cm)
(kg), R = 2
Jk (kg m )
(cm)
J0k (kg m2)
9. Spočtěte moment setrvačnosti J0 vzhledem k ose jdoucí těžištěm z teoretických vztahů (3) a (4) a spočtěte standardní nejistotu u J 0 . Tyto hodnoty porovnejte s výsledky získanými z naměřených hodnot a vypočtených pomocí vztahu (10).
4. Přesnost výsledků Přímo měřenými veličinami v úloze jsou čas, délka a hmotnost. Přesnost výsledku je závislá na přesnosti těchto přímo měřených veličin. Pro absolutní standardní nejistotu měření momentu setrvačnosti vzhledem k jednotlivým osám, které neprocházejí těžištěm, odvodíme ze vztahu (8): 2
2
2 2 uτ um u g ua u J = J + + + 22 0 . m g a τ0
(9)
Ve vztahu (9) jednotlivé nejistoty přímo měřených veličin představují nejistoty typu B. Chyba vážení na daných vahách je ∆m = ± 2 g. Bereme-li v úvahu bimodální rozdělení pravděpodobnosti (Θ = 1) , pak um = ∆m. Chyba měření vzdálenosti ak mezi břitem a 78
geometrickým středem je při užití posuvného měřítka ∆a = ± 0,05 mm. Při předpokládaném ∆a rovnoměrném rozdělení Θ = 3 pak u a = . Chybu tíhového zrychlení budeme 3 odhadovat jako chybu způsobenou zaokrouhlením. Vzhledem k chybám ostatních veličin ve vztahu (9) lze tuto chybu zanedbat. Chyba stanovení doby kyvu je ∆τ 0 = ± 0,004 s (chyba stopek je ± 0,2 s pro 50 kyvů). Uvažujeme-li bimodální rozdělení (Θ = 1) , pak uτ 0 = ∆τ 0 .
(
)
Průměrnou hodnotu momentu setrvačnosti J 0 vzhledem k ose procházející těžištěm obdržíme ze vztahu 1 n J 0 = ∑ J 0k , (10) n k =1
kde J0k jsou hodnoty momentů setrvačnosti získané přepočtem ze Steinerovy věty (2) z experimentálně stanovených hodnot momentu setrvačnosti Jk vzhledem k jednotlivým osám, které neprocházejí těžištěm. Standardní nejistotu u J 0 vzhledem k vybrané ose odvodíme ze vztahu (2): 2 um 2 2 ua u J 0 = u + m a + 2 , a m 2 J
2
4
(11)
kde jednotlivé nejistoty představují nejistoty typu B. Standardní nejistota uJ je daná vztahem (9), nejistoty stanovení hmotnosti um a vzdálenosti a mezi břitem a geometrickým středem ua jsou uvedeny v rozboru stanovení nejistot přímo měřených veličin ve vztahu (9).
79
