Mengenal Sifat Material (2)

Open Course

Mengenal Sifat Material (2) oleh:

Sudaryatno Sudirham

Cakupan Bahasan Struktur Kristal dan Nonkristal Teori Pita Energi dan Teori Zona

Sifat Listrik Metal Sifat Listrik Dielektrik Sifat Thermal Material

Kristal Kristal merupakan susunan atom-atom yang teratur dalam ruang tiga dimensi. Keteraturan susunan tersebut timbul karena kondisi geometris yang dihasilkan oleh ikatan atom yang terarah dan paking yang rapat. Sesungguhnya tidaklah mudah untuk menyatakan bagaimana atom tersusun dalam padatan. Namun ada hal-hal yang diharapkan menjadi faktor penting yang menentukan terbentuknya polihedra koordinasi atom-atom. Secara ideal, susunan polihdra koordinasi paling stabil adalah yang memungkinkan terjadinya energi per satuan volume minimal. Keadaan tersebut dicapai jika: 1. kenetralan listrik terpenuhi 2. ikatan kovalen yang diskrit dan terarah terpenuhi 3. meminimalkan gaya tolak ion-ion 4. paking atom serapat mungkin

Kristal

Struktur kristal yang biasa teramati pada padatan dinyatakan dalam konsep geometris ideal yang disebut kisi-kisi ruang (space lattice) dan menyatakan cara bagaimana polihedra koordinasi atom-atom tersusun bersama agar energi dalam padatan menjadi minimal. Kisi-kisi ruang adalah susunan tiga dimensi titik-titik di mana setiap titik memiliki lingkungan yang serupa. Titik dengan lingkungan yang serupa itu disebut titik kisi (Lattice Point). Titik kisi dapat disusun hanya dalam 14 susunan yang berbeda yang disebut kisi-kisi Bravais; oleh karena itu atom-atom dalam kristal haruslah tersusun dalam salah satu dari 14 kemungkinan tersebut.

Kristal Sel Satuan pada Kisi-Kisi Ruang BRAVAIS [2,5]

Kristal Setiap titik kisi dapat ditempati oleh satu atau lebih atom, tetapi atom atau kelompok atom pada satu titik kisi haruslah identik dengan orientasi yang sama agar memenuhi definisi kisi ruang. Susunan atom dapat disebutkan secara lengkap dengan menyatakan posisi atom dalam suatu unit yang secara berulang tersusun dalam kisi ruang. Unit yang berulang itu disebut sel satuan. Rusuk sel satuan, yaitu vektor yang menghubungkan dua titik kisi, haruslah merupakan translasi kisi, dan sel satuan yang identik akan membentuk kisikisi ruang jika mereka disusun bidang sisi ke bidang sisi. Satu kisi-kisi ruang dapat memiliki beberapa sel satuan berbeda yang memenuhi kriteria tersebut di atas, akan tetapi biasanya sel satuan dipilih yang memiliki geometri sederhana dan memuat beberapa titik kisi saja. Satu sel satuan yang memiliki titik kisi hanya pada sudut-sudutnya, atau dengan kata lain satu unit sel yang memuat hanya satu titik kisi, disebut sel primitif.

Kristal Unsur Metal dan Unsur Mulia 3 sel satuan yang paling banyak dijumpai pada unsur ini adalah: [2]

Bulatan menunjukkan posisi atom yang juga merupakan lattice points pada FCC dan BCC

Posisi atom yang ada dalam sel bukan lattice points

Kristal Unsur Dengan Lebih Dari 3 Elektron Valensi Unsur ini biasanya memiliki ikatan kovalen sehingga kristal yang terbentuk akan mengikuti ketentuan ikatan ini. Jika orbital yang tak terisi digunakan seluruhnya untuk membentuk ikatan, maka atom ini akan berikatan dengan (8 – N) atom lain, dimana N adalah jumlah elektron valensi yang dimilikinya. Elemen Cl, Br, J, kulit terluarnya memuat 7 elektron; oleh karena itu pada umumnya mereka berikatan dengan hanya 1 atom dari elemen yang sama membentuk molekul diatomik, Cl2, Br2, J2. [2] Molekul diatomik tersebut membangun ikatan dengan molekul yang lain melalui ikatan sekunder yang lemah, membentuk kristal.

Kristal Atom Group VI (S, Se, Te) Atom Group VI (S, Se, Te) memiliki 6 elektron di kulit terluarnya dan membentuk molekul rantai atao cincin di mana setiap atom berikatan dengan dua atom (dengan sudut ikatan tertentu). Molekul ini berikatan satu sama lain dengan ikatan sekunder yang lemah membentuk kristal.

Rantai spiral atom Te bergabung dengan rantai yang lain membentuk kristal hexagonal.

[2]

Kristal Atom Group V (P, As, Sb, Bi) Atom Group V (P, As, Sb, Bi) memiliki 5 elektron di kulit terluarnya dan setiap atom berikatan dengan tiga atom (dengan sudut ikatan tertentu).

[2]

Kristal Kristal Ionik Walau sangat jarang ditemui kristal yang 100% ionik, namun beberapa kristal memiliki ikatan ionik yang sangat dominan sehingga dapat disebut sebagai kristal ionik. Contoh: NaCl, MgO, SiO2, LiF. Dalam kristal ionik murni, polihedra anion (polihedra koordinasi) tersusun sedemikian rupa sehingga kenetralan listrik terpenuhi dan energi ikat per satuan volume menjadi minimum tanpa menyebabkan menguatnya gaya tolak antar muatan yang bersamaan tanda. Gaya tolak yang terbesar terjadi antar kation karena muatan listriknya terkonsentrasi dalam volume yang kecil, oleh karena itu polihedra koordinasi harus tersusun sedemikian rupa sehingga kation saling berjauhan.

Kristal

Contoh struktur kristal ionik

Anion tetrahedron

Kation oktahedron

Kristal Kristal Molekul Jika dua atom terikat dengan ikatan primer, baik berupa ikatan ion ataupun ikatan kovalen, maka mereka dapat membentuk molekul yang diskrit. Jika ikatan primer tersebut kuat dalam satu sub-unit, maka ikatan yang terjadi antar sub-unit akan berupa bentuk ikatan yang berbeda dari ikatan primer. Kristal yang terbentuk adalah kristal molekuler dengan ikatan antar sub-unit yang lemah. Jika ikatan primernya adalah ikatan ion, molekul yang diskrit terbentuk jika muatan kation sama dengan hasilkali muatan anion dengan bilangan koordinasi. Contoh: sub-unit SiF4 terbentuk dengan ikatan ion, polihedra koordinasi atau polihedra anion berbentuk tetrahedra F mengelilingi kation Si yang kemudian tersusun dalam kisi-kisi BCC

Kristal Pada es (H2O), ikatan primernya adalah ikatan kovalen dan ikatan sekunder antar sub-unit adalah ikatan ionik yang lemah Hidrogen hanya akan membentuk satu ikatan kovalen. Oleh karena itu molekul air terdiri dari 1 atom oksigen dengan 2 ikatan kovalen yang dipenuhi oleh 2 atom hidrogen dengan sudut antara dua atom hidrogen adalah 105o.

Dalam bentuk kristal, atom-atom hidrogen mengikat molekul-molekul air dengan ikatan ionik atau ikatan dipole hidrogen.

Bola-bola menunjukkan posisi atom O; atom H terletak pada garis yang menghubungkan atom O yang berdekatan; ada 2 atom H setiap satu atom O.

Kristal

Jika molekul membentuk rantaian panjang dengan penampang melintang yang mendekati simetris, mereka biasanya mengkristal dalam kisi-kisi berbentuk orthorhombic atau monoclinic.

Molekul polyethylene

dilihat dari depan

Kristal Kebanyakan polimer yang terbentuk lebih dari dua macam atom, memiliki ketidak-teraturan yang membuat ia tidak mengkristal. Walaupun demikian ada yang memiliki penampang simetris dan mudah mengkristal, seperti polytetrafluoroethylene (Teflon).

Molekul polytetrafluoroethylene Polimer yang komplekspun masih mungkin memiliki struktur yang simetris dan dapat mengkristal seperti halnya cellulose.

Kristal Ketidaksempurnaan Pada Kristal

interstitial (atom sendiri) substitusi (atom asing) ⇒ pengotoran

kekosongan interstitial (atom asing) ⇒(pengotoran)

Kristal

ketidaksempurnaan Frenkel

pengotoran substitusi

ketidaksempurnaan Schottky

pengotoran interstitial

kekosongan kation

Kristal

Selain ketidak sempurnaan tersebut, yang disebut sebagai ketidak sempurnaan titik, dapat terjadi pula ketidaksempurnaan garis dan juga ketidaksempurnaan bidang.

Tugas Bibliografis tentang Ketidak Sempurnaan Kristal

Teori Pita Energi

Teori Pita Energi Ulas Ulang Kuantisasi Energi Planck :

E = nhf

energi photon (partikel)

bilangan bulat

frekuensi gelombang cahaya h = 6,63 × 10-34 joule-sec

De Broglie : Elektron sbg gelombang

h λ= mv bilangan gelombang: k = momentum:

energi kinetik elektron sbg gelombang :

p 2 h 2k 2 Ek = = 2m 2m

p=

2π

λ

k = 2π

h k = hk 2π

mv h

Teori Pita Energi Energi elektron sebagai fungsi k (bilangan gelombang)

p 2 h 2k 2 Ek = = 2m 2m

E

k

Teori Pita Energi

Makin tinggi nomer atom, atom akan makin kompleks, tingkat energi yang terisi makin banyak.

Teori Pita Energi Sodium

s

p

0 −1

7 6 5

6 5

E [ eV ]

4 −2

Hidrogen

d 7

6 5 4 3

f 7

6 5 4

7

7 5 4

6

3

4

−3

3

2

−4 −5

3

−5,14

−6

Kemungkinan terjadinya transisi elektron dari satu tingkat ke tingkat yang lain semakin banyak

[6]

Teori Pita Energi Molekul Molekul lebih kompleks dari atom; tingkat-tingkat energi lebih banyak karena energi potensial elektron yang bergerak dalam medan yang diberikan oleh banyak inti atom tidaklah sederhana. Lebih dari itu, energi vibrasi dan rotasi atom secara relatif satu terhadap lainnya juga terkuantisasi seperti halnya terkuantisasinya energi elektron pada atom. Transisi dari satu tingkat ketingkat yang lain semakin banyak kemungkinannya, sehingga garis-garis spektrum dari molekul semakin rapat dan membentuk pita. Timbullah pengertian pita energi yang merupakan kumpulan tingkat energi yang sangat rapat.

Teori Pita Energi 10

Penggabungan 2 atom H → H2

8 6 tak stabil E [ eV ]

Pada penggabungan dua atom, tingkat energi dengan bilangan kuantum tertinggi akan terpecah lebih dulu

4 2 0

2

1 −2 stabil

−4

3

Å

jarak antar atom

R0 Elektron yang berada di tingkat energi terluar disebut elektron valensi; elektron valensi berpartisipasi dalam pembentukan ikatan atom. Elektron yang berada pada tingkat energi yang lebih dalam (lebih rendah) disebut elektron inti;

Teori Pita Energi Padatan Gambaran tentang terbentuknya molekul dapat diperluas untuk sejumlah atom yang besar yang tersusun secara teratur, yaitu kristal padatan. Dalam penggabungan N atom identik, setiap tingkat energi terpecah menjadi N tingkat dan setiap tingkat akan mengakomodasi sepasang elekron dengan spin yang berlawanan ( ms = ± ½ ).

Energi

n=3 n=2 n=1

Jarak antar atom

Teori Pita Energi [6] 0

3d

sodium

3p 4s

3s

E [ eV ]

−10 R0 = 3,67 Å −20

−30 2p

0

5

10

Å

15

Teori Pita Energi

Cara penempatan elektron pada tingkat-tingkat energi mengikuti urutan sederhana: tingkat energi yang paling rendah akan terisi lebih dulu, menyusul tingkat di atasnya, dan seterusnya.

Pada 0o K semua tingkat energi sampai ke tingkat EF terisi penuh, dan semua tingkat energi di atas EF kosong .

EF , tingkat energi tertinggi yang terisi disebut tingkat Fermi, atau energi Fermi. Pada temperatur yang lebih tinggi, beberapa tingkat energi di bawah EF kosong karena elektron mendapat tambahan energi untuk naik ke tingkat di atas EF .

Teori Pita Energi Elektron valensi yang berada pada tingkat energi Fermi ataupun di atas energi Fermi, berada pada salah satu tingkat energi yang dimiliki oleh kristal. Jumlah tingkat energi yang dimiliki oleh kristal sangat banyak dan sangat rapat sehingga hampir merupakan perubahan yang kontinyu. Oleh karena itu, elektron pada tingkat energi Fermi yang bergerak dalam kristal dapat dipandang sebagai elektron bebas. Elektron yang bergerak dengan kecepatan tertentu memiliki energi kinetik dan bilangan gelombang, k, tertentu.

p2 h2k 2 = Ek = 2m 2m Gerakan elektron tersebut mengalami hambatan karena ada celah energi.

Model Zona

Model Zona Elektron sebagai gelombang mengikuti hukum defraksi Bragg.

nλ = 2d sin θ

k=

2π

λ

nπ k≡ d sin θ

d = jarak antar bidang kristal; θ = sudut datang; n = bilangan bulat.

Ada satu seri nilai k yang membuat elektron terdefraksi sehingga tidak dapat melewati kristal secara bebas. Untuk elektron dalam kristal, seri nilai k ini terkait dengan celah energi. Nilai k dari defraksi Bragg memberikan dua set gelombang diam (standing wave) dengan nilai energi yang berbeda; selisih antara keduanya adalah lebar celah energi. Adanya celah energi membuat energi elektron tidak lagi merupakan fungsi kontinyu dari k 2.

Model Zona

Model elektron bebas yang memberikan energi sebagai fungsi kontinyu dari k 2 harus dimodifikasi dengan memutus fungsi kontinyu tersebut dengan celah energi pada nilai k yang memberikan defraksi Bragg.

E Celah energi

Celah energi

−k2 −k1

+k1 +k2

k

Model Zona Zona BRILLOUIN Zona Brillouin adalah representasi tiga dimensi dari nilai k yang diperkenankan Satu Dimensi:

E Celah energi

Celah energi

−k2 −k1

+k1 +k2 zone pertama zone kedua

k

Model Zona E

−k2 −k1

+k1 +k2

k

k tergantung dari arah relatif gerak elektron terhadap kristal

kn =

nπ dengan n = ±1, ± 2, ± 3..... a

a = jarak antar atom

Model Zona π  k x n1 + k y n2 =   n12 + n22 a

(

Dua Dimensi:

ky

)

[6]

+ 2π/a

Zona pertama

+ π/a Zona kedua kx − π/a

− 2π/a − 2π/a

− π/a

+ π/a

+ 2π/a

Model Zona

Tiga Dimensi:

π  2 k x n1 + k y n2 + k z n3 =   n1 + n22 + n32 a

(

)

kz [6] +π/a Zone pertama kristal kubik

−π/a

−π/a

+π/a

+π/a

−π/a

ky

kx Zone kedua terdiri dari piramida dengan tinggi π/a dan dasar 2π/a terletak di permukaan kubus dari zone pertama

Model Zona

Pada metal dengan kirstal BCC dan FCC, setiap zona memuat jumlah status kuantum sama dengan jumlah atom yang membentuknya Untuk kristal dengan N atom, ada N status di zona pertama Karena setiap tingkat energi berisi 2 elektron, maka pada kristal monovalen ada N/2 status kuantum terendah yang terisi; zona pertama hanya terisi setengahnya. Di samping mengetahui jumlah status di tiap zona, perlu diketahui juga jumlah status kuantum untuk setiap energi; yaitu degenerasi sebagai fungsi energi.

Berdasarkan sifat fisik dan mekanik, Seitz mengidentifikasi zat padat sebagai berikut: Metal : memiliki koefisien temperatur resistivitas positif, konduktivitas listrik dan thermal tinggi, bisa dibentuk secara plastis. Kristal ionik : konduktivitas listrik dan thermal rendah, tidak plastis. (NaCL) Kristal kovalen : keras, konduktivitas listrik dan thermal rendah. (Intan). Semikonduktor : ikatan kovalen, konduktivitas listrik rendah, koefisien temperatur negatif. Material dengan ikatan van der Waals.

Berdasarkan konduktivitas listriknya kita membedakan material sebagai konduktor semikonduktor dielektrik

Konduktor [6]

σe [siemens]

Material

σe [siemens]

Material

Perak

6,3×107

Gelas (kaca)

2 ∼ 3×10−5

Tembaga

5,85×107

Bakelit

1 ∼ 2×10−11

Emas

4,25×107

Aluminium

3,5×107

Gelas (borosilikat)

10−10 ∼ 10−15

Tungsten

1,82×107

Mika

10−11 ∼ 10−15

Kuningan

1,56×107

Polyethylene

10−15 ∼ 10−17

Besi

1,07×107

Nickel

1,03×107

Baja

0,7×107

Stainless steel

0,14×107

Konduktor

Isolator

Model Klasik Sederhana

Konduktor - Model Klasik Sederhana

Jika pada suatu material konduktor terjadi perbedaan potensial, arus listrik akan mengalir melalui konduktor tersebut kuat medan [volt/meter] kerapatan arus [ampere/meter2]

Je =

Ε

ρe

resistivitas [Ωm]

= σ eΕ konduktivitas [siemens]


Medan listrik E memberikan gaya dan percepatan pada elektron sebesar

Fe = eE

eE a= me

Karena elektron tidak terakselerasi secara tak berhingga, maka dapat dibayangkan bahwa dalam pergerakannya ia harus kehilangan energi pada waktu menabrak materi pengotor ataupun kerusakan struktur pada zat padat. Jika setiap tabrakan membuat elektron kembali berkecepatan nol, dan waktu antara dua tabrakan berturutan adalah 2τ maka kecepatan rata-rata adalah:

v=

τeE me


benturan kecepatan

vmaks = ve = 0

4τ

2τ

ne Eτ J e = nev = me 2

kerapatan arus

kerapatan elektron bebas

waktu

= σ eE

2τeE me

τeE me

6τ

ne 2τ σe = me

Jika tak ada medan listrik, elektron bebas bergerak cepat pada arah yang acak sehingga tak ada aliran elektron netto. Medan listrik akan membuat elektron bergerak pada arah yang sama.

Teori Drude-Lorentz Tentang Metal

Konduktor - Teori Drude-Lorentz Tentang Metal [1]

1900: Drude mengusulkan bahwa konduktivitas listrik tinggi pada metal dapat dijelaskan sebagai kontribusi dari elektron valensi yang dianggap dapat bergerak bebas dalam metal, seperti halnya molekul gas bergerak bebas dalam suatu wadah. Gagasan Drude ini dikembangkan lebih lanjut oleh Lorentz. Elektron dapat bergerak bebas dalam kristal metal pada potensial internal yang konstan. Ada dinding potensial pada permukaan metal, yang menyebabkan elektron tidak dapat meninggalkan metal. Semua elektron bebas berperilaku seperti molekul gas (mengikuti statistik Maxwell-Boltzmann); elektron ini memiliki distribusi energi yang kontinyu. Gerakan elektron hanya dibatasi oleh tabrakan dengan ion-ion metal.


Medan listrik E memberikan gaya dan percepatan pada elektron sebesar

Fe = eE

eE a= me

Integrasi a terhadap waktu memberikan kecepatan elektron, yang disebut kecepatan drift :

vdrift

eE = t me


vdrift

Kecepatan drift ini berubah dari 0 sampai vdrift maks , yaitu kecepatan sesaat sebelum tabrakan dengan ion metal.

eE t = me

Kecepatan drift rata-rata dapat didekati dengan:

vdrift

vdrift

eE t = = 2 2me

Jika jalan bebas rata-rata elektron adalah L maka waktu rata-rata antara tabrakan dengan tabrakan berikutnya adalah

L t= µ + vdrift kecepatan thermal

vdrift << µ

t≈

L

µ


vdrift

eE eE L = t= 2 me 2 me µ

Kerapatan arus adalah:

J e = nevdrift

ne 2 EL = 2 me µ

=

E

ρ

2me µ ρ= 2 ne L

Model Pita Energi untuk Metal

Konduktor - Model Pita Energi

Jika banyak atom bergabung menjadi padatan, tingkat valensi terluar dari setiap atom cenderung akan terpecah membentuk pita energi. Tingkattingkat energi yang lebih dalam, yang disebut tingkat inti, tidak terpecah. Setiap tingkat valensi dari dari suatu padatan yang terdiri dari N atom berbentuk pita valensi yang terdiri dari N tingkat energi. Dengan demikian maka tingkat valensi s yang di tiap atom memuat 2 elektron, akan menjadi pita s yang dapat menampung 2N elektron. Tingkat valensi p yang di tiap atom memuat 6 elektron, akan menjadi pita p yang dapat menampung 6N elektron. Gambaran pita-pita energi pada suatu padatan:

pita p celah energi pita s


Pita energi paling luar, jika ia hanya sebagian terisi dan padanya terdapat tingkat Fermi, disebut sebagai pita konduksi. Pada metal, pita valensi biasanya hanya sebagian terisi

Sodium kosong celah energi EF

kosong terisi

pita valensi

pita konduksi


Pada beberapa metal, pita valensi terisi penuh. Akan tetapi pita ini overlap dengan pita di atanya yang kosong. Pita yang kosong ini memfasilitasi tingkat energi yang dengan mudah dicapai oleh elektron yang semula berada di pita valensi.

Magnesium kosong EF terisi penuh

pita valensi


Pada beberapa material, pita valensi terisi penuh dan pita valensi ini tidak overlap dengan pita di atasnya yang kosong. Jadi antara pita valensi dan pita di atasnya terdapat celah energi.

Intan

Silikon kosong

kosong

celah energi

celah energi terisi penuh

isolator

pita valensi

terisi penuh

semikonduktor

Model Mekanika Gelombang

Konduktor - Model Mekanika Gelombang

Dalam model mekanika gelombang, elektron dipandang sebagai paket gelombang, bukan partikel. Kecepatan grup dari paket gelombang adalah

df v g = 2π dk

Karena E = hf , maka:

2π dE vg = h dk

f = frekuensi DeBroglie k = bilangan gelombang

Percepatan yang dialami elektron adalah

2π d  dE  2π d 2 E dk = a=  = dt h dt  dk  h dk 2 dt dv g


Percepatan yang dialami elektron adalah

2π d  dE  2π d 2 E dk = a=  = dt h dt  dk  h dk 2 dt dv g

Percepatan ini terjadi karena ada medan listrik E, yang memberikan gaya sebesar eE Gaya sebesar eE memberikan laju perubahan energi kinetik pada elektron bebas sebesar

2πeE dE dE = eE dx = eE v g dt = dt h dk

dk 2π eE = dt h

sehinggapercepatan elektron menjadi:

4π 2 d 2 E a = eE 2 h dk 2


sehinggapercepatan elektron menjadi:

4π 2 d 2 E a = eE 2 h dk 2 Bandingkan dengan relasi klasik:

Fe = me a

Kita definisikan massa efektif elektron: 2

h m* = 4π 2

d E  2   dk    2

−1

a=

Untuk elektron bebas m* = me . Untuk elektron dalam kristal m* tergantung dari energinya.

eE m*


2

h m* = 4π 2

d E  2   dk    2

−1

E m * kecil

dE d 2E meningkat positif 2 dk dk

celah energi

sifat klasik

−k1

+k1

m* = me jika energinya tidak mendekati batas pita energi dan kurva E terhadap k berbentuk parabolik

k

dE menurun dk

d 2E negatif 2 dk

m * negatif

Pada kebanyakan metal m* = me karena pita energi tidak terisi penuh. Pada material yang pita valensinya terisi penuh m* ≠ me

Teori Sommerfeld Tentang Metal

Konduktor - Teori Sommerfeld Tentang Metal

[1]

Metal dilihat sebagai benda padat yang kontinyu, homogen, isotropik. Gambaran tentang elektron seperti pada teori Drude-Lorentz; elektron bebasa berada pada potensial internal yang konstan. Perbedaannya adalah bahwa elektron dalam sumur potensial mengikuti teori kuantum dan bukan mekanika klasik

Berapa statuskah yang tersedia untuk elektron atau dengan kata lain bagaimanakah kerapatan status? Bagaimana elektron terdistribusi dalam status yang tersedia dan bagaimana mereka berpartisipasi dalam proses fisika?

Kita lihat lagi Persamaan Schrödinger


[1]

Aplikasi Persamaan Schrödinger: Kasus 3 Dimensi Sumur tiga dimensi z Lz Lx Ly x

y

h 2  ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ  + 2 + 2  + Eψ = 0 2  2m  ∂x ∂y ∂z 

ψ( x, y, z ) = X ( x)Y ( y) Z ( z ) 1 ∂ 2Y ( y ) 1 ∂ 2 Z ( z )  h 2  1 ∂ 2 X ( x) +E=0 + + 2 2 2   2m  X ( x) ∂x Y ( y ) ∂y Z ( z ) ∂z 

1 ∂ 2 X ( x) 1 ∂ 2Y ( y ) 1 ∂ 2 Z ( z) 2m + + =− 2 E 2 2 2 Z ( z ) ∂z Y ( y ) ∂y X ( x) ∂x h


[1]

Aplikasi Persamaan Schrödinger; Kasus 3 Dimensi Sumur tiga dimensi

1 ∂ 2 X ( x) 2m Ex = − 2 X ( x ) ∂x 2 h

z Lz

y

Lx Ly x

1 ∂ 2Y ( y ) 2m Ey = − 2 Y ( y ) ∂y 2 h

1 ∂ 2 Z (z) 2m Ez = − 2 Z ( z ) ∂z 2 h

∂ 2 X ( x) ∂x

2

+

2m h

2

E x X ( x) = 0

Ex =

n x2 h 2 8mL2x

Ey =

n 2y h 2 8mL2y

Ez =

n z2 h 2 8mL2z


[1]

Energi elektron :

Ex =

n x2 h 2

Ey =

8mL2x

n 2y h 2

Ez =

8mL2y

n z2 h 2 8mL2z

Energi elektron dinyatakan dalam momentumnya:

p x2 Ex = 2m

Ey =

p z2 Ez = 2m

p 2y 2m

sehingga :

 nx h p =   2L x 2 x

  

2

momentum :

 nyh   p =  2L y    2 y

ni h pi = ± 2L i

2

 nz h   p =   2L z  2 z

2


momentum :

ni h pi = ± 2L i

[1]

Tanda ± menunjukkan bahwa arah momentum bisa positif atau negatif. Pernyataan ini menunjukkan bahwa momentum terkuantisasi.

px, py, pz membentuk ruang momentum tiga dimensi. Jika ruang momentum berbentuk kubus, maka satuan sisi kubus adalah h/2L

Kwadran pertama ruang momentum (dua dimensi): py setiap titik menunjukkan status momentum yang diperkenankan setiap status momentum menempati ruang sebesar h2/4L2 (kasus 2 dimensi). 0

px


py

Kwadran pertama ruang momentum (dua dimensi)

[1]

py

dp

p

0

px

setiap status momentum menempati ruang sebesar h2/4L2

0

px

(4π p dp )/ 8 ( p)dp = 2

h 3 / 8L3

(4π p dp )V ( p )dp = 2

h3

tiga dimensi


[1]

(4π p dp )V ( p )dp = 2

py

h3

Karena

1/ 2

dp = 2(2mE )

−1 / 2

dE

maka

dp p

0

p = (2mE )

tiga dimensi

px

( E )dE =

(4π V ) × 2mE × m(2mE )−1/ 2 dE

( E )dE =

(2π V ) × (2m )3 / 2 E 1/ 2 dE = d

h3

h3

massa elektron di sini adalah massa efektif Inilah kerapatan status. Setiap status mencakup 2 spin

Berapakah yang terisi?

Tingkat Energi FERMI

Konduktor - Tingkat Energi FERMI Densitas Status pada 0 K ( E )dE =

(2π V ) × (2m )3 / 2 E 1/ 2 dE = d h3

Status energi diisi oleh elektron valensi mulai dari tingkat terendah secra berurut ke tingkat yang lebih tinggi sampai seluruh elektron terakomodasi. Elektron pada status energi yang paling tinggi analog dengan elektron pada tingkat energi paling tinggi di sumur potensial. Elektron ini memerlukan tambahan energi sebesar work function untuk meninggalkan sumur potensial. Status energi paling tinggi, yaitu tingkat yang paling tinggi yang ditempati oleh elektron pada 0 K secara tentatif didefinsikan sebagai tingkat Fermi, EF. (Definisi ini sesungguhnya tidak lengkap, tetapi untuk sementara kita gunakan).

Konduktor - Tingkat Energi FERMI

py

Jika p adalah jarak dari titik pusat ke momentum paling luar, maka akan diperoleh status yang terisi. Status yang terisi adalah:

4 h3 8π p 3 V 3 = π p ÷ 3 = 3 2L 3h 3

dp p

Karena 0

px

2/3

2  1  2 h  3   h =   8m  π V   2m 

1/ 2

8π (2m ) E 3 / 2 V = 3h 3 3/2

Energi Fermi:

1  3  EF =   4π V 

p = (2mE )

E F3 / 2 2/3

1 3  1  =   8 π V  2m 

3/ 2

h3


Densitas Status pada 0 K

( E )dE =

(2π V ) × (2m )3 / 2 E 1/ 2 dE = d h3

∞ E1/2

N(E)

EF

E

Densitas & Status terisi pada 0 K Jumlah status yang terisi dihitung dari jumlah status momentum yang terisi dalam ruang momentum:

= 2×

(4 / 3)πp 3 3

3

h /L

=

8πp 3 V 3h 3


Jika elektron pada tingkat energi EF kita pandang secara klasik, relasi energi:

E F = k BTF

di mana TF adalah temperatur Fermi Pada tingkat energi EF sekitar 4 eV, sedang maka

k B ≈ 8,6 ×10 −5 eV TF ≈ 4,7 ×10 4 K

Jadi suatu elektron klasik berada pada sekitar 50.000 K untuk setara dengan elektron pada tingkat Fermi.

Konduktor - Tingkat Energi FERMI Hasil Perhitungan

[1]

[1]

elemen

EF [eV]

TF [oK×10-4]

Li

4,7

5,5

Na

3,1

3,7

K

2,1

2,4

Rb

1,8

2,1

Cs

1,5

1,8

Cu

7,0

8,2

Ag

5,5

6,4

Au

5,5

6,4

E F = k B TF

Resistivitas

Konduktor - Resistivitas Menurut mekanika gelombang elektron bebas dalam kristal dapat bergerak tanpa kehilangan energi. Setiap kelainan pada struktur kristal akan menimbulkan hambatan pada gerakan elektron yang menyebabkan timbulnya resistansi listrik pada material. Bahkan pada 0o K, adanya resistansi dapat teramati pada material nyata sebab pengotoran, dislokasi, kekosongan, dan berbagai ketidaksempurnaan kristal hadir dalam material. Pada metal murni, resistivitas total merupakan jumlah dari dua komponen yaitu komponen thermal ρT, yang timbul akibat vibrasi kisi-kisi kristal, dan resistivitas residu ρr yang disebabkan adanya pengotoran dan ketidaksempurnaan kristal. Relasi Matthiessen:

ρ = ρT + ρ r =

resistivitas total resistivitas thermal

1

konduktivitas

σe

resistivitas residu

Konduktor - Resistivitas

Eksperimen menunjukkan: [6] 6

ρ [ohm-m] × 108

5 −

Cu, 3.32% Ni

4 − 3 − 2 −

Di atas temperatur Debye komponen thermal dari resistivitas hampir linier terhadap temperatur: Temperatur Debye:

Cu, 2,16% Ni

θD =

hf D kB

frekuensi maks osilasi

Cu, 1,12% Ni konstanta Boltzmann

1 −

1,38×10−23 joule/oK

Cu |

100

|

200

300 oK

cs λD = fD

panjang gelombang minimum osilator

kecepatan rambat suara

Konduktor - Resistivitas Relasi Nordheim: 6 Cu, 3.32% Ni konstanta tergantung dai jenis metal dan pengotoran

4 − 3 − 2 −

Cu, 2,16% Ni

Jika x << 1 Cu, 1,12% Ni

konsentrasi pengotoran

ρ r = Ax

[6]

0,20

1 − Cu |

100

|

200

300 oK

ρr / ρ273

ρ [ohm-m] × 108

5 −

ρ r = Ax(1 − x )

0,15 − 0,10 − In dalam Sn 0,05 − |

1%

|

2%

|

3%

4%

Konduktor - Resistivitas

Pengaruh Jenis Pengotoran pada

Cu

[6]

ρ [ohm-meter]

P Fe

2,5×10−8 −

Cr

2,0×10−8 −

Sn ρT (293) |

1,5×10−8 0

0,05

|

0,10

|

0,15

Ag

|

0,20 % berat

Emisi Elektron

Emisi Elektron

Elektron bebas dalam metal tidak meninggalkan metal, kecuali jika mendapat tambahan energi yang cukup.

eF Energi

EF Hampa

+

+

+

+ x

Emisi Elektron - photolistrik Peristiwa photolistrik I 3x lumen cahaya emitter

2x lumen

collector

A

x lumen

−V0

0

V

V Sumber tegangan variabel

Pada tegangan ini semua elektron kembali ke katoda (emitter) Energi kinetik elektron = e V0 Laju keluarnya elektron (arus) tergantung dari intensitas cahaya tetapi energi kinetiknya tidak tergantung intensitas cahaya

Emisi Elektron - photolistrik

cahaya emitter

collector

Intensitas cahaya konstan tetapi panjang gelombang berubah I

A V Sumber tegangan variabel

λ=6500Å (merah) λ=5500Å (hijau) λ=5000Å (biru) −V01 −V02 −V03

V


cahaya emitter

collector


Photon dengan energi hf diserap elektron di permukaan metal sehingga elektron tersebut mendapat tambahan energi. Jika pada awalnya elektron menempati tingkat energi tertinggi di pita konduksi dan bergerak tegak lurus ke arah permukaan, ia akan meninggalkan emitter dengan energi kinetik maksimum

Ek maks= hf − eφ Energi yang diterima Energi untuk mengatasi hambatan di permukaan (dinding potensial)


cahaya emitter

collector

Ek

maks

Ek < Ek hf


eφ φ

EF tingkat energi terisi

hf

maks


cahaya emitter

Jika V0 (yang menunjukkan energi kinetik) di-plot terhadap frekuensi:

collector Vo

Slope = h/e Metal 1

A

Metal 2

V

f −φ1

Sumber tegangan variabel

−φ2

Rumus Einstein:

eV0 = hf − eφ

Emisi Elektron – emisi thermal Peristiwa Emisi Thermal Pada temperatur tinggi, sebagian elektron memiliki energi kinetik yang lebih tinggi dari energi rata-rata elektron sehingga dapat melampaui work function ( eφ ). katoda

vakum

anoda

Jika arus cukup tinggi, terjadi saling tolak antara elektron di ruangan sehingga elektron dengan energi rendah tidak mencapai anoda. Muatan ruang makin berpengaruh jika arus makin tinggi. Arus akan mencapai kejenuhan.

pemanas A

I

V

−V

V

Emisi Elektron – emisi thermal

Makin tinggi temperatur katoda, akan makin tinggi energi elektron yang keluar dari permukaan katoda, dan kejenuhan terjadi pada nilai arus yang lebih tinggi. katoda

vakum

anoda

I

T3 T2 T1

V −V Kejenuhan dapat diatasi dengan menaikkan V

pemanas A V

I

V3 V2 V1 T


Pada tegangan yang sangat tinggi, dimana efek muatan ruang teratasi secara total, semua elektron yang keluar dari katoda akan mencapai anoda. V=∞ katoda

vakum

anoda I V2 V1 T

pemanas A

Persamaan Richardson-Dushman V

J = AT 2 e − eφ / kT kerapatan arus konstanta dari material k = konstanta Boltzman = 1,38×10−23 joule/oK


Nilai φ tergantung dari temperatur :

katoda

vakum

φ = φ 0 + αT pada 0o K

anoda

α = dφ / dT koefisien temperatur

eα ≈ 10

−4

o

eV/ K

pada kebanyakan metal murni

pemanas A V

Persamaan Richardson-Dushman menjadi:

J = AT 2 e − e α / k e − e φ 0 / kT


Persamaan Richardson-Dushman

J = AT 2 e − e α / k e − e φ 0 / kT katoda

vakum

anoda

J AT

2

= Ae − e α / k e − e φ 0 / kT

 J  eα eφ 0  = ln A − ln  − 2  k kT  AT 

pemanas A V

 J ln   AT

2

  

? 1 T

Emisi Elektron – emisi thermal [6]

Material katoda

titik leleh [OK]

temp. kerja [OK]

work function [eV]

A [106amp/m2 oK2

W

3683

2500

4,5

0,060

Ta

3271

2300

4,1

0,4 – 0,6

Mo

2873

2100

4,2

0,55

Th

2123

1500

3,4

0,60

Ba

983

800

2,5

0,60

Cs

303

290

1,9

1,62

Emisi Elektron – emisi sekunder Peristiwa Emisi Sekunder Jika elektron dengan energi tinggi (yang disebut elektron primer) ditembakkan ke permukaan metal, elektron dapat keluar dari permukaan metal (yang disebut elektron sekunder). Energi kinetik elektron sekunder tidak harus tergantung dari energi kinetik elektron yang membentur permukaan. Efisiensi emisi sekunder dinyatakan sebagai rasio jumlah elektron sekunder, Is terhadap jumlah elektron primer yang membentur permukaan, Ip. Rasio ini disebut secondary emission yield, δ, dan merupakan fungsi dari energi kinetik berkas elektron yang membentur permukaan. Jika energi kinetik berkas elektron yang membentur permukaan terlalu rendah hanya sedikit dihasilkan emisi sekunder.

Emisi Elektron – emisi sekunder

Jika energi kinetik berkas elektron yang membentur permukaan terlalu tinggi hanya sedikit juga dihasilkan emisi sekunder. Hal ini disebabkan karena elektron yang membentur permukaan metal sempat masuk (penetrasi) ke dalam metal sebelum terjadi benturan dengan elektron bebas dalam metal. Elektron bebas yang menerima tambahan energi mengalami tabrakantabrakan sebelum mencapai permukaan, dan mereka gagal keluar dari permukaan metal. δ Akibatnya adalah δ sebagai fungsi dari energi berkas elektron, mempunyai nilai maksimum.

δmaks

Ek maks 0 0

Ek

Emisi Elektron – emisi sekunder

emitter

δmaks

Ek [eV]

Al

0,97

300

Cu

1,35

600

Cs

0,9

400

Mo

1,25

375

Ni

1,3

550

W

1,43

700

gelas

∼2,5

400

BeO

10,2

500

Al2O3

4,8

1300

[6]

Emisi Elektron – efek Schottky Efek SCHOTTKY Dalam peristiwa emisi thermal telah disebutkan bahwa kenaikan medan listrik antara emitter dan anoda akan mengurangi efek muatan ruang.

Medan E memberikan potensial −eEx pada jarak x dari permukaan

V2 V1

medan listrik tinggi V = eEx

penurunan work function

Energi

Medan yang tinggi juga meningkatkan emisi karena terjadi perubahan dinding potensial di permukaan katoda.

V3

I

e∅

EF

e∆∅ x0

+

+

+

+ x

nilai maks dinding potensial

Emisi Elektron – emisi medan Peristiwa Emisi Medan Hadirnya medan listrik pada permukaan katoda, selain menurunkan work function juga membuat dinding potensial menjadi lebih tipis. medan listrik sangat tinggi V = eEx

penurunan work function e∆∅

e∅

EF Energi

jarak tunneling

+

+

+

+ x

Karakteristik Dielektrik

Sifat Listrik Dielektrik - Karakteristik Dielektrik Faktor Desipasi Dielektrik digunakan pada kapasitor dan sebagai bahan isolasi Permitivitas relatif didefinisikan sebagai rasio permitivitas dielektrik (ε) dengan permitivitas ruang hampa (ε0)

ε εr ≡ ε0 Jika suatu dielektrik yang memiliki permitivitas relatif εr disisipkan antara dua pelat kapasitor yang memiliki luas A dan jarak antara kedua pelat adalah d , maka kapasitansi yang semula

A C0 = ε 0 d

berubah menjadi

A A C = ε = ε 0ε r = C 0ε r d d

dielektrik meningkatkan kapasitansi sebesar εr kali

Sifat Listrik Dielektrik - Karakteristik Dielektrik

Diagram fasor kapasitor

Desipasi daya (menjadi panas):

P = VC I Rp = VC I C tan δ

im Itot

IC

tanδ : faktor desipasi (loss tangent)

δ

IRp

VC

re

P = ε r V0 ωC V0 tan δ 2

= 2πf V0 Cε r tan δ εr tanδ : faktor kerugian (loss factor)

Sifat Listrik Dielektrik - Karakteristik Dielektrik Kekuatan Dielektrik Gradien tegangan maksimum yang masih dapat ditahan oleh dielektrik sebelum terjadi tembus listrik Nilai kekuatan dielektrik secara eksperimen sangat tergantung dari ukuran spesimen, elektroda, serta prosedur percobaan Tembus listrik diawali oleh hdirnya sejumlah elektron di pita konduksi. Elektron ini mendapat percepatan oleh adanya medan listrik yang tinggi sehingga memperoleh energi kinetik yang tinggi. Sebagian energi ini ditransfer ke elektron valensi sehingga elektron valensi naik ke pita konduksi. Jika jumlah elektron ini cukup banyak maka akan terjadi avalans elektron di pita konduksi. Arus meningkat dengan cepat sehingga terjadi peleburan lokal, terbakar, atau penguapan. Elektron awal bisa hadir oleh beberapa sebab: discharge antara elektroda tegangan tinggi dengan permukaan dielektrik yang terkontaminasi, poripori berisi gas dalam dielektrik, pengotoran oleh atom asing.

Sifat Listrik Dielektrik - Karakteristik Dielektrik [6]

600 − udara 400 psi

SF6 100 psi

Tegangan tembus [kV]

500 − 400 − High Vacuum 300 − Minyak Trafo 200 −

Porselain SF6 1 atm

100 −

udara 1 atm

0 0

0.51 1.03 1.55 2,13 2,54 Jarak elektroda [m] X 10−2

Polarisasi

Sifat Listrik Dielektrik - Polarisasi σ0 +

+

Tanpa dielektrik :

+

E0

d −

−

−

σ

Dengan dielektrik :

− − − − − − −+ + +

E

+ − + −

− + −

σ0 Q0 V Q0 / C0 E= = = = ε A ε0 d d 0 d d

− + −

− + −

+ + + + + + +

d

V Q/C Q σ = = E= = A ε ε d d ε 0ε r 0 r d d

σ − σ 0 = ε 0ε r E − ε 0 E = ε 0 E (ε r − 1) = P timbul karena terjadi Polarisasi

Polarisasi : total dipole momen listrik per satuan volume Dipole listrik :

p e = qr

Sifat Listrik Dielektrik - Polarisasi Molekul di dalam dielektrik mengalami pengaruh medan listrik yang lebih besar dari medan listrik yang diberikan dari luar. Medan listrik yang dialami oleh molekul ini disebut medan lokal.

σ −

E

−

−

+ − + − + − + −

+ − + − + − + −

+

−

+

+

−

−

+ − + − + − + −

+

+

− + − + − + − + −

+

P = α Elok = ε 0 E (ε r − 1)

+

Induksi momen dipole oleh medan lokal Elok adalah

p mol = α Elok polarisabilitas

P = α Elok jumlah molekul per satuan volume

α Elok (ε r − 1) = ε0E

Sifat Listrik Dielektrik - Polarisasi 4 macam polarisasi ada medan tak ada medan

E

a. polarisasi elektronik :

Teramati pada semua dielektrik.

Terjadi karena pergeseran awan elektron pada tiap atom terhadap intinya.

Sifat Listrik Dielektrik - Polarisasi 4 macam polarisasi ada medan

tak ada medan

b. polarisasi ionik :

+

−

+

−

+

−

+

−

+

E −

+ − +

+ −

+ −

+

Terjadi karena pergeseran ion-ion yang berdekatan yang berlawanan muatan. Hanya ditemui pada material ionik.

Sifat Listrik Dielektrik - Polarisasi 4 macam polarisasi ada medan

E −

+ −

−

+ −

+ −

+

+

−

+ −

+ −

+

+ −

+

−

+ −

−

+ −

−

+

c. polarisasi orientasi :

+ −

+ −

+

tak ada medan

Terjadi pada material padat dan cair yang memiliki molekul asimetris yang momen dipole permanennya dapat diarahkan oleh medan listrik.

Sifat Listrik Dielektrik - Polarisasi 4 macam polarisasi d. polarisasi muatan ruang :

ada medan

tak ada medan + − − + −

+ − + − +

− + + − +

+ − − + −

− + + − +

− − + − −

E + + + + +

+ + − + +

− + + − −

+ − − + +

Terjadi pengumpulan muatan di perbatasan dielektrik.

− + − − −

− − − − −

εr Tergantung Pada Frekuensi Dan Temperatur

Sifat Listrik Dielektrik - εr Tergantung Pada Frekuensi Dan Temperatur Dalam medan bolak-baik, polarisasi total P, polarisabilitas total α, dan εr, tergantung dari kemudahan dipole untuk mengikuti medan yang selalu berubah arah tersebut. Dalam proses mengikuti arah medan tersebut, waktu yang dibutuhkan oleh dipole untuk mencapai orientasi keseimbangan disebut waktu relaksasi. Kebalikan dari waktu relaksasi disebut frekuensi relaksasi. Jika frekuensi dari medan yang diberikan melebihi frekuensi relaksasi, dipole tidak cukup cepat untuk mengikutinya, dan proses orientasi berhenti. Karena frekuensi relaksasi dari empat macam proses polarisasi berbeda-beda, maka kontribusi dari masing-masing proses pada polarisasi keseluruhan dapat diamati.

Sifat Listrik Dielektrik - εr Tergantung Pada Frekuensi Dan Temperatur elektronik ionik orientasi muatan ruang

P;

εr

muatan ruang orientasi ionik

α

elektronik

absorbsi; loss factor power

audio

frekuensi listrik

radio

infra cahaya merah tampak frekuensi optik

frekuensi

Sifat Listrik Dielektrik - εr Tergantung Pada Frekuensi Dan Temperatur

εr

titik leleh nitrobenzene

T

[6]

Sifat Listrik Dielektrik - εr Tergantung Pada Frekuensi Dan Temperatur

20 −

5×102 cps 104 cps

15 −

εr

10 −

8×102 cps

5 − 0 0

100

200

300 oC

silica glass

[6]

400

Kehilangan Energi

Sifat Listrik Dielektrik - Kehilangan Energi

Diagram fasor kapasitor

Desipasi daya (menjadi panas):

P = VC I Rp = VC I C tan δ

im Itot

IC

tanδ : faktor desipasi (loss tangent)

δ

P = ε r V0 ωC V0 tan δ 2

IRp

VC

re

= 2πf V0 Cε r tan δ εr tanδ : faktor kerugian (loss factor)

Sifat Listrik Dielektrik

Tugas Bibliografis Sifat Ferroelectric Sifat Piezoelectric

Dikumpulkan pada hari WWWWWW Jam : WWW.

Sejumlah energi bisa ditambahkan ke dalam material melalui pemanasan, medan listrik, medan magnit, bahkan gelombang cahaya seperti pada peristwa photo listrik yang telah kita kenal. Pada penambahan energi melalui pemanasan tanggapan padatan termanifestasikan dalam gejala-gejala kenaikan temperatur sampai pada emisi thermal tergantung dari besar energi yang masuk. Dalam padatan, terdapat dua kemungkinan penyimpanan energi thermal: 1) penyimpanan dalam bentuk vibrasi atom / ion di sekitar posisi keseimbangannya 2) energi kinetik yang dikandung oleh elektron-bebas.

Sifat-sifat thermal yang akan kita bahas adalah kapasitas panas panas spesifik pemuaian konduktivitas panas

Kapasitas Panas

Kapasitas Panas Kapasitas Panas (heat capacity) Kapasitas panas pada volume konstan, Cv E : energi internal padatan yaitu total energi yang ada dalam padatan baik dalam bentuk vibrasi atom maupun energi kinetik elektron-bebas T : temperatur

dE Cv = dT v

Kapasitas panas pada tekanan konstan, Cp

Cp =

dH dT

p

H : enthalpi. Pengertian enthalpi dimunculkan dalam thermodinamika karena amat sulit meningkatkan kandungan energi internal pada tekanan konstan. energi yang kita masukkan tidak hanya meningkatkan energi internal melainkan juga untuk melakukan kerja pada waktu pemuaian terjadi.

Kapasitas Panas H = E + PV volume tekanan energi internal ∂H ∂E ∂V ∂P ∂E ∂V = +P +V = +P ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T

≈0

Jika perubahan volume terhadap T cukup kecil suku ini bisa diabaikan sehingga

∂H ∂E ≈ ∂T ∂T

Cv ≈ C p

v

Panas Spesifik

Panas Spesifik, Perhitungan klasik Panas Spesifik Kapasitas panas per satuan massa per derajat K dituliskan dengan huruf kecil cv dan cp

Perhitungan Klasik Molekul gas ideal memiliki tiga derajat kebebasan 1 energi kinetik rata-rata per derajat kebebasan 2 k B T 3 energi kinetik rata-rata (3 dimensi): 2 k B T Konstanta Boltzman 3 3 energi per mole E k / mole = 2 k B T = 2 RT

Bilangan Avogadro

Atom-atom padatan saling terikat energi rata-rata per derajat kebebasan k B T

E tot / mole padat = 3RT cal/mole cv =

dE = 3R = 5,96 cal/mole o K dT v

Menurut hukum Dulong-Petit (1820), cv Hampir sama untuk semua material yaitu 6 cal/mole K

Panas Spesifik, Perhitungan klasik Pada umumnya hukum Dulong-Petit cukup teliti untuk temperatur di atas temperatur kamar. Namun beberapa unsur memiliki panas spesifik pada temperatur kamar yang lebih rendah dari angka Dulong-Petit, misalnya Be ([He] 2s2), B ([He] 2s2 2p1), C ([He] 2s2 2p2), Si ([Ne] 3s2 3p2) Unsur-unsur ini orbital terluarnya tersisi penuh atau membuat ikatan kovalen dengan unsur sesamanya. Oleh karena itu pada temperatur kamar hampir tidak terdapat elektron bebas dalam material ini. Lebih rendahnya kapasitas panas yang dimiliki material ini disebabkan oleh tidak adanya kontribusi elektron bebas dalam peningkatan energi internal.

Panas Spesifik, Perhitungan klasik

Sebaliknya pada unsur-unsur yang sangat elektropositif seperti Na ([Ne] 3s1) kapasitas panas pada temperatur tinggi melebihi prediksi Dulong-Petit karena adanya kontribusi elektron bebas dalam penyimpanan energi internal.

Panas Spesifik, Perhitungan Einstein Perhitungan Einstein Padatan terdiri dari N atom, yang masing-masing bervibrasi (osilator) secara bebas pada arah tiga dimensi, dengan frekuensi fE E n = nhf E

Frekuensi osilator Konstanta Planck bilangan kuantum, n = 0, 1, 2,....

Jika jumlah osilator tiap status energi adalah n dan 0 adalah jumlah asilator pada status 0, maka menuruti fungsi Boltzmann n = 0 e −( En / k BT )

Jumlah energi per status: n En total energi dalam padatan: E = ∑ n E n n

sehingga energi rata-rata osilator

n E n ∑ 0 e −( nhf / k T ) nhf E ∑ E = n E= = n ∑ n ∑ 0e − (nhf / k T ) E

B

E

n

n

B

Panas Spesifik, Perhitungan Einstein n E n ∑ 0 e −( nhf / k T ) nhf E ∑ E E= = n = n ∑ n ∑ 0e − (nhf / k T ) E

energi rata-rata osilator

B

E

n

misalkan x = − hf E / k B T

∑ e −nx nhf E E=

n

∑ e −nx

=

B

n

(

)

hf E 0 + e x + e 2 x + e 3 x + .......... 1 + e x + e 2 x + e 3 x + .........

n

Karena turunan dari penyebut, maka dapat ditulis E = hf E

(

)

d ln 1 + e x + e 2 x + e 3 x + ........... dx

=

1 1− ex

E=

hf E

e − hfe / k BT − 1

Dengan N atom yang masing-masing merupakan osilator bebas yang berosilasi tiga dimensi, maka didapatkan total energi internal E = 3 E =

3hf E e ( hf E / k BT ) − 1

Panas Spesifik, Perhitungan Einstein Panas spesifik adalah dE cv = dt

v

 hf = 3 k B  E  k BT

  

2

(e

e hf E / k BT hf E / k BT

)

−1

2

fE : frekuensi Einstein ditentukan dengan cara mencocokkan kurva dengan data-data eksperimental. Hasil yang diperoleh adalah bahwa pada temperatur rendah kurva Einstein menuju nol jauh lebih cepat dari data eksperimen Ketidak cocokan ini dijelaskan oleh Debye

Panas Spesifik, Perhitungan Debye Perhitungan Debye Menurut Debye, penyimpangan hasil perhitungan Einstein disebabkan oleh asumsi yang diambil Einstein bahwa atom-atom bervibrasi secara bebas dengan frekuensi sama, fE Analisis yang perlu dilakukan adalah menentukan spektrum frekuensi g(f) dimana g(f)df didefinisikan sebagai jumlah frekuensi yang diizinkan yang terletak antara f dan (f + df)

Debye melakukan penyederhanaan perhitungan dengan menganggap padatan sebagai medium merata yang bervibrasi dan mengambil pendekatan pada vibrasi atom sebagai spectrum-gelombang-berdiri sepanjang kristal g( f ) =

4πf 2 c s3

kecepatan rambat suara dalam padatan Debye memandang padatan sebagai kumpulan phonon karena perambatan suara dalam padatan merupakan gejala gelombang elastis

Panas Spesifik, Perhitungan Debye

Postulat Debye: ada frekuensi osilasi maksimum, fD, karena jumlah keseluruhan frekuensi yang diizinkan tidak akan melebihi 3N (N adalah jumlah atom yang bervibrasi tiga dimensi). Panjang gelombang minimum adalah

λ D = cs / f D

tidak lebih kecil dari jarak antar atom dalam kristal

Energi internal untuk satu mole volume kristal E=

didefinisikan

9

∫

fD

hf

f D3 0 e hf / k BT − 1

hf D / k B T ≡ θ D / T

 T dE cv = = 9 k B   θ D dT v 

f 2 df

θD =

hf D kB

temperatur Debye

3  θ D / T e x x 4 dx   2  0 ex −1 

∫

(

)

Panas Spesifik, Perhitungan Debye Didefinisikan fungsi Debye D( θ D / T )  T D (θ D / T ) = 3 ×   θ D 

3  θD / T e x x 4 dx   2  0 ex −1 

∫

(

cv = 3k B D(θ D / T )

)

Fungsi Debye tidak dapat diintegrasi secara analitis, namun dapat dicari nilai-nilai limitnya jika T → ∞

D (θ D / T ) → 1 4π 2 D (θ D / T ) → 5

 T   θD

  

3

jika T << θ D

Pada temperatur tinggi cv mendekati nilai yang diperoleh Einstein

c v = 3 k B = 3R Pada temperatur rendah

4π 2 c v = 3 k B 5

 T   θD

3

  T  = 464,5   θD

  

3

Panas Spesifik – Kontribusi Elektron Kontribusi Elektron Hanya elektron di sekitar energi Fermi yang terpengaruh oleh kenaikan temperatur dan elektron-elektron inilah yang bisa berkontribusi pada panas spesifik Pada temperatur tinggi, elektron menerima energi thermal sekitar kBT dan berpindah pada tingkat energi yang lebih tinggi jika tingkat energi yang lebih tinggi kosong F(E) 1

kBT T=0 T>0

0

0

kurang dari 1% elektron valensi yang dapat berkontribusi pada panas spesifik

EF

E

pada kebanyakan metal sekitar 5 eV pada temperatur kamar kBT sekitar 0,025 eV  3 k 

B  kontribusi elektron dalam panas spesifik adalah c v elektron ≅  T E  F 

Panas Spesifik Total Panas Spesifik Total

c v total = c v ion + c v elektron

untuk temperatur rendah, dapat dituliskan

c v = AT 3 + γ ′T atau

cv = γ ′ + AT 2 T

cv/T slope = A γ′ T2

Panas Spesifik,

Pada Tekanan Konstan dan Faktor Lain yang Turut Berperan

Panas Spesifik Pada Tekanan Konstan, cp Hubungan antara cp dan cv diberikan dalam thermodinamika

α v2 c p − cv = TV β volume molar

koefisien muai volume kompresibilitas 1  dv  β ≡   v  dp  T

1  dv αv ≡  v  dT

Faktor-Faktor Lain Yang Turut Berperan Pemasukan panas pada padatan tertentu dikuti proses-proses lain, misalnya: perubahan susunan molekul dalam alloy, pengacakan spin elektron dalam material magnetik, perubahan distribusi elektron dalam material superkonduktor, Proses-proses ini akan meningkatkan panas spesifik material yang bersangkutan

  p

Pemuaian

Pemuaian Pemuaian Pada tekanan konstan

1  dl  αL =   l  dT  p

αV = 3 × α L Dengan menggunakan model Debye

α v = 3α L =

γc v β V γ : konstanta Gruneisen β : kompresibilitas

Pemuaian cp, αL, γ, untuk beberapa material.[6]. Material

cp (300 K) cal/g K

αL (300 K) 1/K×106

γ (konst. Gruneisen)

Al

0,22

24,1

2,17

Cu

0,092

17,6

1,96

Au

0,031

13,8

3,03

Fe

0.11

10,8

1,60

Pb

0,32

28,0

2,73

Ni

0,13

13,3

1.88

Pt

0,031

8,8

2,54

Ag

0,056

19,5

2,40

W

0,034

3,95

1,62

Sn

0,54

23,5

2,14

Tl

0,036

6,7

1,75

Konduktivitas Panas

Konduktivitas Panas Konduktivitas Panas Jika q adalah jumlah kalori yang melewati satu satuan luas (A) per satuan waktu ke arah x maka

q=

Q dT = −σ T dx A Konduktivitas Panas

aliran panas berjalan dari temperatur tinggi ke temperatur rendah Pada temperatur kamar, metal memiliki konduktivitas thermal yang baik dan konduktivitas listrik yang baik pula karena elektron-bebas berperan dalam berlangsungnya transfer panas Pada material dengan ikatan ion ataupun ikatan kovalen, di mana elektron kurang dapat bergerak bebas, transfer panas berlangsung melalui phonon Dalam polimer perpindahan panas terjadi melalui rotasi, vibrasi, dan translasi molekul

Konduktivitas Panas

σT untuk beberapa material pada 300 K .[6]. σT cal/(cm sec K)

L=σT/σeT (volt/K)2×108

Al

0,53

2,2

Cu

0,94

2,23

Fe

0,19

2,47

Ag

1,00

2,31

C (Intan)

1,5

-

Ge

0,14

-

Material

Lorentz number

Konduktivitas Panas Oleh Elektron Konduktivitas Panas Oleh Elektron pengertian klasik gas ideal

3

E =

2

k BT

∂E ∂T 3 L = kB L ∂x 2 ∂x

Jika L adalah jalan bebas rata-rata elektron, maka transmisi energi per elektron adalah

Jumlah energi yang ter-transfer ke arah x

∂E 3 ∂T = kB ∂x ∂x 2

Q=

nµ 3 ∂T L kB ∂x 3 2

kerapatan elektron kecepatan rata-rata

Energi thermal yang ditransfer melalui dua bidang paralel tegak-lurus arah x dengan jarak δx pada perbedaan temperatur δT adalah

∆E = σT Q = σT

∂T ∂x

Q ∂T atau σ T = ∂x ∂T / ∂x σT =

nµ kB L 2

Rasio Wiedemann-Franz Rasio Wiedemann-Franz Rasio ini adalah rasio antara konduktivitas thermal dan konduktivitas listrik listrik

nµ kB L σT mµ 2 k B 2 = = 2 σe ne L e2 2mµ

σT = L oT σe Lorentz number

hampir sama untuk kebanyakan metal

Isolator Panas Isolator Panas Isolator thermal yang baik adalah material yang porous. Rendahnya konduktivitas thermal disebabkan oleh rendahnya konduktivitas udara yang terjebak dalam pori-pori Namun penggunaan pada temperatur tinggi yang berkelanjutan cenderung terjadi pemadatan yang mengurangi kualitasnya sebagai isolator thermal Material polimer yang porous bisa mendekati kualitas ruang hampa pada temperatur sangat rendah; gas dalam pori yang membeku menyisakan ruang-ruang hampa yang bertindak sebagai isolator

Courseware

Mengenal Sifat Material (2)

Sudaryatno Sudirham

Mengenal Sifat Material (2)

Recommend Documents