1
Val´ osz´ın˝ us´eg
Menet • T¨ ort´eneti megjegyz´esek 2
• A klasszikus interpret´ aci´ o Nevezetes P´eld´ ak Condorcet kock´ ak, De M´ere probl´ema P´eterv´ ari paradoxon
T¨ ort´eneti megjegyz´esek A val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ as a haz´ ardj´ at´ekok le´ır´ as´ anak ig´eny´eb˝ ol fejl˝ od¨ ott ki:
3
• Az els˝ o v´eletlen-gener´ atorok a t¨ ort´enelem el˝ otti id˝ okig ny´ ulnak vissza astralagus (b´ ar´ anycsont) haz´ ardj´ at´ek az els˝ o emberi tev´ekenys´egek k¨ oz¨ ott? • egyiptomi (haz´ ard)j´ at´ek pont-t´ abl´ azatok j´ ol kiegyens´ ulyozottak kock´ ak a Kair´ oi M´ uzeumban • Tr´ oj´ at ostroml´ o g¨ or¨ og katon´ ak kock´ aztak ´ G¨ or¨ og¨okn´el nincs k´ıs´erlet a v´eletlen jelens´eget le´ır´ o Erdekes: matematika megalkot´ as´ ara Mi´ert? – nincs j´ o magyar´ azat
K¨ oz´epkor: osztozkod´ asi probl´ema: (XIV. sz.-ban el˝ osz¨ or eml´ıtve): Ketten (A, B) j´ atszanak v´eletlen (azonos es´ely˝ u) j´ at´ekot Meg´ allapod´ as: Az viszi a t´etet aki el˝ osz¨ or nyer N j´ at´ekot 4
Probl´ema: hogy ossz´ ak a t´etet, ha azel˝ ott befejez˝ odik a j´ at´ek, miel˝ ott b´ armelyik j´ at´ekos N j´ at´ekot nyer? Pl. N = 6 A nyer 5 B nyer 3 j´ at´ekot (Tartaglia, 1556)
5
Lehets´eges osztozkod´ asok: 5:3 ar´ anyban 2:1 ar´ anyban mert: A kett˝ ovel nyert t¨ obbet mint B a 2 a sz¨ uks´eges nyer´essz´ am (6) harmada a t´et harmada teh´ at mindenk´eppen A-t illeti a marad´ekot pedig ossz´ ak egyenl˝ oen
“Egy ilyen k´erd´es megold´ asa ink´ abb jogi mint matematikai, s ´ıgy b´ armilyen m´ odon osztj´ ak is el a t´etet, mindig lesz ok a peresked´esre” 6
N. Tartaglia: Feneral Trattato de Numeri et Misure (Venice, 1556) Id´ezve: O. Ore: Pascal and the invention of probability theory American Mathematical Monthly 1960 49-419
Az osztozkod´ asi probl´ema 200 ´evig megoldatlan maradt
7
V´egs˝ o megold´ asa: Pascal-Fermat (1654): Osszuk 7:1 ar´ anyban! ´ Ervel´ es: Osztozkod´ as ar´ anya k Annak ar´ anya, hogy milyen val´ osz´ın˝ us´eggel nyeri A ´es B a t´etet
Mi az, hogy val´ osz´ın¨ us´eg? V´ alasz klasszikus ´ertelemben: arhat´ oan egyenl˝ o es´ellyel 1. Ha az x1 , x2 , . . . xn elemi esem´enyek v´ k¨ ovetkeznek be egy k´ıs´erletsorozatban, akkor 2. egy N k´ıs´erletb˝ ol ´all´ o sorozatban b´ armelyik esem´eny ovetkezik be N × n1 -szor k¨ 8
am, amelynek seg´ıts´eg´evel N × p(xi ) alakban ´ırhat´ o, Az a p(xi ) sz´ ol h´ anyszor k¨ ovetkezik be: az xi elemi hogy xi esem´eny N k´ıs´erletb˝ esem´eny val´ osz´ın¨ us´ege: N × p(xi ) = N × ´ıgy p(xi ) =
1 n
1 n
Az x1 , x2 , . . . xn elemi esem´enyek egy A r´eszhalmaz´ at ¨ossszetett esem´enynek h´ıvjuk Egy A ¨osszetett esem´eny bek¨ ovetkezik, ha b´ armely A-ban szerepl˝ o elemi esem´eny bek¨ ovetkezik Az a sz´ am, amelynek seg´ıts´eg´evel N × p(A) alakban ´ırhat´ o, hogy egy A ¨osszetett esem´eny N k´ıs´erletb˝ ol h´ anyszor k¨ ovetkezik be: az A esem´eny val´ osz´ın¨ us´ege: 9
A elemsz´ ama N × p(A) = N × n ´ıgy X #(A) = p(i) p(A) = n xi ∈A
szavakban: o esetek sz´ ama val´ osz´ın˝ us´eg = kedvez˝ ¨osszes esetek sz´ ama
Pl. Mi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy k´et p´enzt dobva k´et fejet kapunk? Klasszikus interpret´ aci´ o alapj´ an a v´ alasz: kedvez˝ o esetek: (F, F ) ¨osszes esetek: 1. k´et fej 10
2. k´et ´ır´ as 3. egy fej, egy ´ır´ as ¨osszesen: 3 eset p(F, F ) =
1 3
Laplace: p(F, F ) = 14 11
mert: Az esetek ¨osszesz´ aml´ as´ an´ al olyan eseteket kell tekinteni, melyek k¨ oz¨ ott nincs okunk k¨ ul¨ onbs´eget tenni Indifferencia Elve
Az osztozkod´ asi probl´ema megold´ asa val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ asi megk¨ ozel´ıt´esben: A j´ at´ek biztosan eld˝ ol a k¨ ovetkez˝ o 3 j´ at´ekban 3 j´ at´eknak 23 = 8 lehets´eges kimenetele van Az A szempontj´ ab´ ol val´ o kimenetelek (1=gy˝ ozelem, 0= vesztes´eg): J´ at´ek 12
1
0
0
0
0
1
1
1
1
2
0
0
1
1
0
0
1
1
3
0
1
0
1
0
1
0
1
Ebb˝ ol az egyetlen
0 0 0
eset kiv´etel´evel
(azaz ha B a k¨ ovetkez˝ o mindh´ arom j´ at´ekban gy˝ oz) teh´ at 7 esetben A nyeri a t´etet
A val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ as sz¨ ulet´ese: Pascal-Fermat levelez´es 1654 Fordul´ opont a t¨ ort´enetben mert • Szisztematikusan k¨ ozel´ıt a val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ asi probl´em´ akhoz 13
• Tartalmazza t¨ obb l´enyeges val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ asi prob´ema szisztematikus megold´ as´ at (osztozkod´ asi prob´ema, De M´ere probl´ema) ´ magas matematikai szinten mozog • Uj, (osztozkod´ asi prob´ema ´altal´ anos megold´ asa)
A.N. Kolmogorov: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Springer Verlag, Berlin, 1933 A modern val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ asaxiomatikus megfogalmaz´ asa 14
val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ as m (X, S, p) Klasszikus val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekt´er Kolmogorovi val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ o
X
halmaz
S
Boole algebra X r´eszhalmazaib´ ol
p: S → [0, 1]
addit´ıv m´ert´ek
15
1. p(∅) = 0
p(X) = 1
2. p(A⊥ ) = 1 − p(A) P 3. p(∪i Ai ) = i p(Ai )
if Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j)
P´elda: Kockadob´ ast le´ır´ o val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekt´er: X6 = {1, 2, . . . 6}
6 elem˝ u halmaz (elemi esem´enyek)
16
S = P(X6 )
X6 ¨osszes r´eszhalmazainak Boole algebr´ aja osszetett) esem´enyek) ((¨
p({i}) = 16 (i = 1, 2, . . . 6) P p(A) = i∈A p(i)
i val´ osz´ın˝ us´ege A val´ osz´ın˝ us´ege
A klasszikus interpret´ aci´ oban • Van ´ertelme megk´erdezni, (mert sz´ am´ıthat´ o, hogy) mi egy esem´eny val´ osz´ın˝ us´ege 17
• A sz´ am´ıt´ as jellegzetesen a k¨ ovetkez˝ oket ig´enyli: 1. Megv´ alaszolni a k´erd´est Mik az elemi esem´enyek? 2. Egy A ¨osszetett esem´eny verb´ alisan adott le´ır´ as´ ab´ ol azt meg´ allap´ıtani, hogy A-t h´ any elemi esem´eny val´ os´ıtja meg
P´eld´ ak a klasszikus ´ertelmez´esre: • Condorcet kock´ ak 18
• P´eterv´ ari paradoxon • De M´ere probl´ema
Condorcet kock´ ak K´et j´ at´ekos a k¨ ovetkez˝ o j´ at´ekot j´ atsza: Asztalon 3 sz´ amozatlan kocka
19
1. L´ep´es: valamelyik j´ at´ekos megsz´ amozza a kock´ akat az 1-18 sz´ amokkal mindegyik sz´ amot, ´es csak egyszer, de egy´ebk´ent tetsz˝ olegesen rajzoljuk a h´ arom kock´ ara 2. L´ep´es: Aki nem sz´ amozott, megn´ezi a sz´ amozott kock´ akat ´es v´ alaszt egyet 3. L´ep´es: Aki sz´ amozott, v´ alaszt egyet a marad´ek k´et kock´ ab´ ol 4. L´ep´es: A harmadik kock´ at f´elreteszik, ´es dobnak az a ´ltaluk v´ alasztott kock´ aval 5. L´ep´es: Az nyer, aki nagyobbat dob
K´erd´es: 20
Melyik j´ at´ekosnak van el˝ onye a j´ at´ekban? Annak aki sz´ amoz, vagy annak aki el˝ osz¨ or v´ alaszt?
21
Intu´ıci´ o: Annak a j´ at´ekosnak van el˝ onye a j´ at´ekban aki el˝ osz¨ or v´ alaszt mert ki tudja v´ alasztani a legjobb kock´ at (legrosszabb esetben d¨ ontetlent tud el´erni, ha k´et egyform´ an j´ o kocka van)
Az Intu´ıci´ o rossz: Annak a j´ at´ekosnak van el˝ onye, aki sz´ amoz, mert: ´ ıt´ All´ as: L´etezik a kock´ aknak olyan sz´ amoz´ asa, melyre a k¨ ovetkez˝ o igaz: 22
Annak val´ osz´ın˝ us´ege, hogy az I. kock´ aval nagyobbat dobok mint a II. kock´ aval > 12 a II. kock´ aval nagyobbat dobok mint a III. kock´ aval > 12 a III. kock´ aval nagyobbat dobok mint az I. kock´ aval > 12
A Condorcet kock´ ak k¨ orbeverik egym´ ast
Ez a sz´ amoz´ as ilyen:
23
I. kocka
18
10
9
8
7
5
II. kocka
17
16
15
4
3
2
III. kocka
14
13
12
11
6
1
A val´ osz´ın˝ us´eg klasszikus ´ertelmez´es´eben a T´etel ellen˝ orz´es´ehez
24
• meg kell adni minden val´ osz´ın˝ us´egi kijelent´eshez az elemi esem´enyek halmaz´ at • azt kell megmutatni, hogy az elemi esem´enyek k¨ oz¨ ott pl. az “I. kock´ aval nagyobbat dobok mint a II. kock´ aval” esem´enyek t¨ obbs´egben vannak
aII 25
Elemi esem´enyek: X = {(aI , aII )} an aI az I.-es kock´ a II.-es kock´ an l´ev˝ o sz´ am X-nek 36 eleme van
I. kocka
18
10
9
8
7
5
aI
II. kocka
17
16
15
4
3
2
aII
p(aI > aII ) =
#{(aI ,aII ):aI >aII } 36
26
aI
aII
aII (< aI )
#{(aI , aII ) : aI > aII }
18
17
17,16,15,4,3,2
6 p´ ar
10
16
4,3,2
3 p´ ar
9
15
4,3,2
3 p´ ar
8
4
4,3,2
3 p´ ar
7
3
4,3,2
3 p´ ar
5
2
4,3,2
3 p´ ar ¨osszesen 21 p´ ar
p(aI > aII ) =
#{(aI ,aII ):aI >aII } 36
=
21 36
Condorcet paradoxon 27
Egy tanuls´ ag: V´eletlen mennyis´egeket nem lehet j´ ol rendezni annak alapj´ an, hogy “az egyik 1/2-n´el nagyobb val´ osz´ın˝ us´eggel nagyobb mint a m´ asik”
A v´ arhat´ o ´ert´ek fogalma J´ atsszuk azt, hogy 2 Ft-ot kapok, ha Fejet (F), ´es 3 Ft-ot, ha ´ır´ as (I) a dob´ as 28
A nyerem´enyemet egy f f¨ uggv´eny ´ırja le:
f (F )
= 2
(1)
f (I)
= 3
(2)
Ha N dob´ asb´ ol NF a fej ´es NI az ´ır´ asok sz´ ama (N = NF + NI ), akkor N dob´ as ut´ an a nyeres´egem Nyeres´eg :
29
NF f (F ) + NI f (I) = N f (F ) + N f (I) F I N= N N NI F f (F ) + f (I) N = N N p(F )f (F ) + p(I)f (I) N {z } |
arhat´ o ´ert´eke, az ´atlagos nyeres´eg: < f > az f v´ N < f > adja meg, hogy N k´ıs´erletben mennyit nyerek
J´ atsszuk a k¨ ovetkez˝ o j´ at´ekot: o fejet Bank engedi J´ at´ekost p´enzzel dobni am´ıg J´ at´ekos az els˝ dobja. Ha ez az n-edik dob´ asban k¨ ovetkezik be, akkor 2n forintot fizet a Bank a J´ at´ekosnak 30
K´erd´es: H´ any forint´ert ´erdemes a Banknak ezt a j´ at´ekot ´ arulni u ´gy, hogy ne vesz´ıtsen az u ¨zleten? Nyilv´ an: annyi´ert, hogy a bank vesztes´ege (amit kifizet J´ at´ekosnak) kisebb legyen mint a nyeres´ege amit beszed J´ at´ekost´ ol
Sz´ am´ıtsuk ki a Bank vesztes´eg´et! A Bank vesztes´ege N j´ at´ekban N < f > ahol f a vesztes´eget le´ır´ o f¨ uggv´eny: f (i) = 2i Mivel p(i) = 21i (mert az i-edik dob´ asig a dob´ asoknak 2i sz´ am´ u kimenetele van, ebb˝ ol csak 1 az az eset, amikor az i-edikben k¨ ovetkezik be el˝ osz¨ or a fej), ez´ert: 31
=
p(1)f (1) + p(2)f (2) + . . . p(i)f (i) + . . . = 1 2 1 i 1 1 2 + 2 + . . . 2 + ... = 1 2 i 2 2 2 1 + 1 + ... + 1 + ... = ∞
Nincs az a p´enz ami´ert a Banknak meg´eri ezt a j´ at´ekot ´arulni ! P´eterv´ ari paradoxon
M´ odos´ıtott j´ at´ek: ´ Erdemes-e (´es ha igen mennyi´ert) ´arulni a Banknak a j´ at´ akot, ha a J´ at´ekosnak kifizetett ¨osszeg fels˝ o hat´ ara 1 000, 000 (egy milli´ o) Ft? A vesztes´eg v´ arhat´ o ´ert´eke az u ´j j´ at´ekban (mivel 220 > 1000, 000) 32
=
p(1)f (1) + p(2)f (2) + . . . p(19)f (19) + 1 1 + 20 + 21 + . . . 106 = 2 2 19 + 2−19 106 ≈ 21
21 Ft-´ert ´arulva a Bank m´ ar nyeres´eggel sz´ amolhat!
De M´ere prob´ema: A = Egy kock´ aval 4-szer dobva legal´ abb 1-szer 6-ost dobunk p(A) =? X #(X)
= {(i, j, k, l) : i, j, k, l = 1, 2, . . . 6} = 64
33
∼ A = Egyszer sem tobunk 6-ost n´egy dob´ asb´ ol ∼ A bek¨ ovetkezhet 54 f´elek´eppen
p(∼ A)
=
p(A) =
54 #(∼ A) = 4 4 6 6 54 1 − p(∼ A) = 1 − 4 6
B = K´et kock´ aval 24-szer dobva legal´ abb 1-szer dupla 6-ost dobunk p(B) =? Ugyanannyi mint 1 kock´ aval 4-szer dobva legal´ abb 1-szer 6-os mert 34
az 1 kock´ aval 1-szer 6-os dob´ as val´ osz´ın˝ us´egge
1 6
a k´et kock´ aval 1-szer dobva dupla 6-ost dobunk val´ osz´ın˝ us´egge 1 1 1 = × 36 6 6 de a 24 dob´ as ´epp annyiszor t¨ obb, amennyiszer kevesebb a dupla hatos dob´ as´ anak val´ osz´ın˝ us´egge ´es ez kompenz´ alja a kisebb val´ osz´ın˝ us´eget.
De M´ere probl´em´ aja: Hogyan lehets´eges, hogy a nyilv´ anval´ onak t˝ un˝ o okoskod´ as nem igaz? Mert nem igaz:
X #(X)
= {(im , jm ) : im , jm = 1, 2, . . . 6 , m = 1, 2, . . . 24} = 3624
35
∼ B = Egyszer sem tobunk (6,6)-ost 24 dob´ asb´ ol ∼ B bek¨ ovetkezhet 3524 f´elek´eppen
p(∼ B) p(B) p(B)
=
#(B) 3524 = 24 3524 36
3524 = 1 − p(∼ B) = 1 − 24 36 1 < p(A) < 2
De M´ere probl´ema pontosabban:
36
Hogyan lehets´eges, hogy nem a 24 az a minim´ alisan sz¨ uks´eges (kritikus) dob´ assz´ am, ami ahhoz kell, hogy legal´ abb akkora val´ osz´ın˝ us´eggel dobjunk legal´ abb egy dupla hatost, mint amekkora val´ osz´ın˝ us´eggel legal´ abb 1 hatost dobunk 1 kock´ aval 4-szer dobva Pascal-Fermat: u ´gy lehets´eges, hogy ez az ered´eny ad´ odik, ha a val´ osz´ın˝ us´egeket pontosan kisz´ amoljuk a klasszikus ´ertelmez´es szerint
Relat´ıv gyakoris´ agi interpret´ aci´ o R. von Mises El˝ osz¨ or a sokas´ ag azut´ an a val´ osz´ın˝ us´eg ! R´eszletesebben (de inform´ alisan): Minden (X, S, p)-hez tartozik egy 37
E = {xi : i ∈ IN, xi ∈ X} (megsz´ aml´ alhat´ oan v´egtelen) esem´eny sokas´ ag u ´gy, hogy aga E-ben • p(A) = RE (A) = az A relat´ıv gyakoris´ (minden A ∈ S eset´en) alasztva E-nek egy E 0 r´esz sokas´ ag´ at, • Az E sokas´ ag v´eletlen: kiv´ A relat´ıv gyakoris´ aga E 0 -ben ugyanaz mint E-ben: p(A) = RE (A) = RE 0 (A)
A relat´ıv gyakoris´ agi interpret´ aci´ oban tiszt´ azand´ o, r´eszletezend˝ o: • Hogyan ´ertelmezend˝ o A relat´ıv gyakoris´ aga egy v´egtelen sokas´ agban? K¨ onny˝ u 38
agokat? • Hogyan v´ alasztjuk ki az E 0 r´eszsokas´ Nehezebb • L´etezik-e minden (X, S, p)-hez egy ˝ot interpret´ al´ o E sokas´ ag ? agot v´ alaszthatunk, Legnehezebb – min´el t¨ obb E 0 r´eszsokas´ ann´ al nehezebb
R´eszsokas´ ag v´ alaszt´ as: hely szerinti szelekci´ oval: (Place selection) 39
Gondolat: Az, hogy az xj ∈ E elemet bev´ alasztjuk-e E 0 -be, f¨ uggj¨ on oz˝ o elemek att´ ol (´es csak att´ ol), hogy mik az xj elemet megel˝ uggv´eny u ´gy, hogy E-ben, azaz l´etezzen minden j-re egy fj f¨ xj ∈ E 0 xj 6∈ E 0
akkor ´es csak akkor ha akkor ´es csak akkor ha
fj (x1 , x2 , . . . xj−1 ) = 1 fj (x1 , x2 , . . . xj−1 ) = 0
Teh´ at: oval meghat´ arozott E 0 r´esz sokas´ aga E-nek egy hely szerinti szelekci´ megsz´ aml´ alhat´ oan v´egtelen sok f¨ uggv´ennyel van adva: 1 ^
2 ^
j−1 ^
egy szelekci´ o = {fj : X × X × . . . × X → {0, 1} : j = 2, 3 . . .} 40
Ha egy E v´eletlen soks´ agb´ ol ki tudunk v´ alasztani egy E 0 r´esz sokas´ agot hely szerinti szelekci´ oval u ´gy, hogy p(A) = RE (A) 6= RE 0 (A) akkor azt mondjuk: L´etezik nyer˝ o strat´egia
Az a k¨ ovetel´es, hogy p(A) = RE (A) = RE 0 (A) alasztottuk azt jelenti, hogy az a strat´egia amivel E 0 -t kiv´ nem nyer˝ o Lehets´eges, hogy 41
p(A) = RE (A) = RE 0 (A) de p(A) = RE (A) 6= RE 00 (A) Intuici´ o: a val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ as azokban az esetekben o alkalmazhat´ o, amikor az elk´epzelhet˝ o strat´egi´ ak egyike sem nyer˝
Defin´ıci´ o: Legyen Γ hely szerinti szelekci´ ok (strat´egi´ ak) egy halmaza. Az E sokas´ ag egy Γ v´eletlens´eg˝ u relat´ıv gyakoris´ agi interpret´ aci´ oja az (X, S, p)-nek, ha • p(A) = RE (A) minden A ∈ S eset´en
42
agra, mely E-b˝ ol a Γ-ba • p(A) = RE 0 (A) minden olyan E 0 sokas´ tartoz´ o valamely hely szerinti szelekci´ oval (strat´egi´ aval) sz´ armazik Vil´ agos: min´el nagyobb Γ (min´el t¨ obb strat´egi´ ara vonatkoz´ oan k¨ ovetelj¨ uk a a sikertelens´eget, azaz min´el naggyobb a v´eletlens´ege a u sokas´ agnak), ann´ al kev´esb´e nyilv´ anval´ o, hogy l´etezik Γ v´eletlens´eg˝ relat´ıv gyakoris´ agi interpret´ aci´ oja egy (X, S, p)-nek Probl´ema: L´etezik-e minden (X, S, p)-nek el´eg er˝ os v´eletlens´eg˝ u relat´ıv gyakoris´ agi interpret´ aci´ oja?
T´etel [Abraham Wald, 1935] :
43
Legyen X v´eges vagy megsz´ aml´ alhat´ oan v´egtelen. Ha Γ legfeljebb megsz´ aml´ alhat´ oan v´egtelen, akkor l´etezik (X, S, p)-nek kontinuum sok Γ v´eletlens´eg˝ u relat´ıv gyakoris´ agi interpret´ aci´ oja b´ armely p: S → [0, 1] eset´en. Wald t´etele ´erv´enyes bizonyos nem megsz´ aml´ alhat´ oan v´egtelen X eset´en is (pl. X = IR, S = Jordan m´erhet˝ o val´ os sz´ amhalmazok) , aml´ alhat´ oan v´egtelen X eset´en (pl. de nem ´erv´enyes minden megsz´ pl. X = IR, S = Lebesgue m´erhet˝ o val´ os sz´ amhalmazok )
A szubjekt´ıv interpret´ aci´ o
44
p(A) m Egy konkr´et szem´ely arra vonatkoz´ o v´ arakoz´ as a ´nak m´ert´eke (hit´enek foka) hogy az A esem´eny bek¨ ovetkezik (degree of belief) Megjegyz´esek • p(A) v´ altoz(hat)(ik) szem´elyr˝ ol szem´elyre • p(A) v´ altoz(hat)(ik) id˝ oben • A egyedi, ism´etelhetetlen esem´eny is lehet (ellent´etben a relat´ıv gyakoris´ agi interpret´ aci´ oval)
Probl´ema: Egy szem´ely v´ arakoz´ as´ anak m´ert´eke mi´ert viselkedne u ´gy mint a val´ osz´ın˝ us´eg ? 45
V´ alasz: ´ alis Altal´ aban nem is viselkedik u ´gy, csak akkor, ha a szem´ely racion´ Ramsey-deFinetti t´etel
Hogyan lehet egy´ altal´ an meg´ allap´ıtani, hogy mik egy szem´ely v´ arakoz´ as´ anak m´ert´ekei?
46
Gondolat: Fogad´ asi szitu´ aci´ oban: p(A) = fogad´ asi h´ anyados = q(A) amellyel hajland´ o a Fogad´ o fogad´ ast k¨ otni az ala´ abbi felt´etelek szerint: • Fogad´ o megadja a q(A) fogad´ asi h´ anyadost • Bookmaker megadja a t´etet S(A) • Fogad´ o fizet Bookm´ekernek q(A)S(A) ¨ osszeget az´ert a jog´ert, hogy S(A) ¨osszeget kapjon, ha A bek¨ ovetkezik (´es nem kap semmit, ha ∼ A k¨ ovetkezik be)
Fontos: El˝ osz¨ or Fogad´ o adja meg q(A)-t, ut´ ana Bookmaker a t´etet (Fogad´ o nem tudja a t´etnek m´eg az el˝ ojel´et sem amikor q(A)-t megadja)
47
Ha ford´ıtva lenne (el˝ osz¨ or S(A) azutan q(A)), akkor Fogad´ o tudn´ a u ´gy adni q(A)-t, hogy sz´ am´ ara el˝ ony¨ os legyen a fogad´ as Pl. Ha Fogad´ o tudja/sejti, hogy nagyon val´ osz´ın˝ u A bek¨ ovetkez´ese, akkor • ha Bookmaker pozit´ıv t´etet ad A-ra, akkor q(A)-t nagyon kicsinek fogja v´ alasztani • ha Bookmaker negat´ıv t´etet ad, akkor nagyra (> 1) v´ alasztja q(A)-t
48
Definici´ o: A Fogad´ o q(A1 ), q(A2 ), . . . q(An ) . . . fogad´ asi h´ anyadosai koherensek ha Bookmeker nem tud u ´gy t´eteket v´ alasztani, hogy mindenk´eppen Bookmeker nyer, b´ armelyik esem´eny is k¨ ovetkezik oz¨ ul be A1 , A2 , . . . An . . . k¨ asi krit´erium: megs´ert´ese irracion´ alis A koherencia egy racionalit´
Koherencia ekvivalens megfogalmaz´ asa:
49
o, ha olyanok a fogad´ asi h´ anyadosai, hogy Fogad´ o Dutch Bookolhat´ Bookmaker tud u ´gy t´eteket v´ alasztani, hogy mindenk´eppen Bookmaker nyer, b´ armelyik esem´eny is k¨ ovetkezik be Dutch Bookolhat´ os´ ag = irracionalit´ as
T´etel Ramsey-deFinetti t´etel
50
asi h´ anyadosai egy S Ha egy Fogad´ o q(A1 ), q(A2 ), . . . q(An ) . . . fogad´ oan Boole algebr´ at alkot´ o A1 , A2 , . . . An . . . esem´enyekre vonatkoz´ koherensek akkor (´es csak akkor) l´etezik egy p val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek S-en u ´gy, hogy p(Ai ) = q(Ai ) minden i-re R¨ oviden: Fogad´ asi h´ anyadosok akkor ´es csak akkor koherensek, ha val´ osz´ın˝ us´egek A Ramsey-deFinetti t´etel szok´ asos ´ertelmez´ese: Megalapozza a val´ osz´ın˝ us´eg szubjekt´ıv interpret´ aci´ oj´ at
Melyik interpret´ aci´ o a j´ o? Val´ osz´ın˝ uleg olyan k´erd´es mint: Az euklideszi geometria egyenes´enek mi az interpret´ aci´ oja? F´enyjel? Mozg´ as´ aban nem zavart test p´ aly´ aja? N´ adp´ alca? 51
Az euklideszi geometria mint matematikai elm´elet t¨ obb, k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o jelens´egk¨ or modellez´es´ere alkalmas hasonl´ oan a
(X, S, p) val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ ashoz
