MENCERMATI BEBERAPA KONSEP MATEMATIKA PADA BUKU AJAR SMA KELAS X DALAM KURIKULUM 2004
Achmad Junaidi Email: …….. Abstract: There are some mathematics concept which must be criticized and careful exhaustively by all instructor before submitted to educative participant. This matter because concerning some felt concept and tend to misconseption. But actually the case is, the target of primal of instruction of mathematics in the school is domination of concept pursuant to understanding. Student which only relying on knowledge of procedural without supported by good conceptual knowledge will cause at student of by clever is symbols manipulation but don’t comprehend and know symbol meaning. One of the important aspect in instruction of mathematics is to be mathematics concept application student can in so many skill and also can use it as strategy to solve various problems. Keywords: mathematics concept, instruction of mathematics.
Berdasarkan pengamatan penulis terhadap beberapa buku ajar matematika SMA yang digunakan di sekolah dan pengalaman penulis tentang pengetahuan dan kemampuan matematika sekolah pada siswa, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan pendapat tentang beberapa konsep metematika yang harus dicermati dan dikritisi secara mendalam oleh para pengajar sebelum disampaikan kepada peserta didik. Hal ini karena menyangkut beberapa konsep yang riskan dan cenderung miskonsepsi. Tujuan terpenting dari pengajaran matematika di sekolah adalah penguasaan konsep beserta aplikasinya. Menurut Hilbert dan Carpenter (1992: 65) siswa seharusnya memahami matematika itu sendiri serta fokus utama di dalam pembelajaran adalah bagaimana menanamkan konsep berdasarkan pemahaman. Demikian pula menurut Cramer (1993: 171) siswa yang hanya mengandalkan pengetahuan prosedural tanpa didukung pengetahuan konseptual yang baik akan berakibat siswa pandai memanipulasi
simbol-simbol tetapi tidak memahami dan mengetahui makna simbol tersebut. Definisi dan konsep merupakan dua pengertian yang berkaitan namun kedudukannya berbeda (Pandoyo. 2000:3). Selanjutnya dikemukakan bahwa definisi adalah suatu uraian yang menjelaskan makna atau arti dari suatu istilah, makna atau arti inilah yang disebut konsep. Menurut Soejadi (1993:7) untuk mengkomunikasikan suatu konsep diperlukan suatu ungkapan verbal yang membatasi konsep tersebut, yaitu definisi. Menurut kurikulum 2004 (Depdiknas, 2004) pendekatan dan strategi pembelajaran matematika hendaknya mengikuti kaidah pedagogik secara umum, yaitu pembelajaran diawali dari kongkrit ke abstrak, dari sederhana ke kompleks, dan dari mudah ke sulit, dengan menggunakan berbagai sumber belajar. Belajar akan bermakna bagi siswa apabila mereka aktif dengan berbagai cara untuk mengkonstruksi atau membangun sendiri pengetahuannya.
Achmad Junaidi adalah guru SMAN 1 Sumenep. 1
2, JURNAL PEMBELAJARAN MATEMATIKA, TAHUN I, Nomor 1, Januari 2011
Dengan demikian, suatu rumus, konsep, atau prinsip dalam matematika, seyogyanya ditemukan kembali oleh pebelajar di bawah bimbingan guru (guided re-invention). Pembelajaran yang mengkondisikan siswa untuk menemukan kembali akan membiasakan mereka untuk melakukan penyelidikan dan menemukan sesuatu. Secara khusus, pendekatan pemecahan masalah merupakan fokus dalam pembelajaran matematika. Masalah tak harus tertutup ataupun mempunyai solusi tunggal, tetapi dapat terbuka atau dicoba diselesaikan dengan berbagai cara. Misalnya, dengan mengumpulkan dan menganalisis data, dengan metode coba-coba, atau dengan cara induktif dan deduktif. Masalah matematika dapat diklasifikasi dalam dua jenis, antara lain: Pertama: soal mencari (problem to find), yaitu mencari, menentukan, atau mendapatkan nilai atau objek tertentu yang tidak diketahui dalam soal dan memenuhi kondisi atau syarat yang sesuai dengan soal. Objek yang ditanyakan atau dicari (unknown), syaratsyarat yang memenuhi soal (conditions), dan data atau informasi yang diberikan merupakan bagian penting atau pokok dari sebuah soal mencari dan harus dipahami serta dikenali dengan baik pada saat awal memecahkan masalah. Kedua: soal membuktikan (problem to prove), yaitu prosedur untuk menentukan apakah suatu pernyataan benar atau tidak benar. Soal membuktikan terdiri atas bagian hipotesis dan kesimpulan. Pembuktian dilakukan dengan membuat atau memproses pernyataan yang logis dari hipotesis menuju kesimpulan, sedangkan untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan tidak benar, cukup diberikan contoh penyangkalnya sehingga pernyataan tersebut menjadi tidak benar. Pada umumnya guru menguasai matematika hanya pada taraf penerapan, sehingga guru hanya mampu sampai taraf pengguna matematika. Akibatnya, ia tidak akan mampu berperanserta mengembangkan ilmu matematika menembus daerah ketidaktahuannya. Padahal salah satu aspek penting dalam
pengajaran matematika adalah agar siswa mampu mengaplikasikan konsep-konsep matematika dalam berbagai keterampilan serta mampu menggunakannya sebagai strategi untuk memecahkan berbagai masalah. Dalam beberapa buku ajar SMA penulis menemukan beberapa konsep yang perlu dicermati dan dikritisi. Hal ini diperlukan adanya pelurusan, perbaikan, atau penjelasan tambahan sehingga anak didik benar-benar dapat menggunakan dan memahami suatu konsep secara baik dan benar. Beberapa buku ajar diantaranya adalah buku paket bahan ajar yang disusun oleh Sartono W, Johanes dkk, Yanti M dkk, Sri Kurnianingsih dan Husen Tampomas. Dalam tulisan ini disajikan suatu konsep yang dicermati, masalah yang terjadi, penyelesaian dari masalah tersebut, alternatif pilihan dalam menyelesaikan suatu masalah, dan penyajian contoh untuk memperjelas dari suatu masalah kemudian disampaikan kesimpulan. Topik yang dicermati dalam tulisan ini adalah materi ajar matematika untuk kelas X (sepuluh) dalam kurikulum berbasis kompetensi yakni hanya meliputi pangkat rasional, pertidaksamaan harga mutlak, dan pertidaksamaan kuadrat. PANGKAT RASIONAL
Definisi 1. (Wirodikromo, 2004) Bilangan rasional (pecahan) adalah bilangan yang dapat disajikan dalam bentuk
m , (m, n bilangan bulat dan n ≠ n
0). Perhatikan bahwa pecahan dalam bentuk
m itu m dan n tidak mempunyai n
persekutuan yang sama. Jadi bilangan berpangkat dengan pangkat rasional dapat dituliskan sebagai: a R dan a 0.
m n
dengan a
Junaidi, Mencermati Beberapa Konsep Matematika pada Buku Ajar, 3
Definisi 2. (Johanes, 2003) Jika a bilangan real, m bilangan bulat, n bilangan asli dan n 2, n a bilangan real dan
n
m
a 0 maka a n = n am .
Definisi 3. ( Husen Tampomas, 2003) Misalkan
m merupakan pecahan yang n
paling sederhana (m dan n tidak memiliki faktor persekutuan selain 1). Jika n bilangan positif dan n a terdefinisi (ada), maka a
m n
= ( n a )m =
n
am . 6
Cermati bentuk: a 2 = a3, a R di mana R adalah himpunan bilangan real. Pernyataan ini salah, karena untuk a = -1, ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan. 6
ruas kiri : (-1) 2 = (1)6 = 1 ruas kanan : (-1)3 = -1 Ternyata pernyataan yang diberikan tidak berlaku untuk setiap bilangan negatif a. Masalah yang terjadi berikutnya adalah pertama: jika a R, berapakah 6
seharusnya nilai dari a 2 ?, kedua : jika m dan n bilangan positif dan a R, m
bagaimanakah seharusnya an didefinisikan bilamana m dan n mempunyai faktor persekutuan p, dimana p bilangan genap positif ? Terhadap permasalahan ini disajikan alternatif penyelesaian diantaranya adalah Pertama: cermati bahwa sifat bilangan genap selalu membuat positif bilangan negatif terhadap operasi pangkat, sedangkan sifat bilangan ganjil tidak demikian. Pada permasalahan ini, walaupun
6 3 , tetapi 2
terdapat perbedaan karena menggunakan operasi pangkat; yakni 6 dan 2 adalah bilangan genap sedangkan 3 adalah ganjil. Oleh karena itu agar bentuk yang diketahui berlaku untuk setiap bilangan real a, maka terhadap masalah yang 6
pertama disajikan dalam bentuk: a 2 = |a|3, a R.
Kedua: karena m dan n adalah bilangan genap positif dengan faktor persekutuan p, maka m = pq dan n = pr, dimana q dan r bilangan asli. Untuk itu kita dapat mendefinisikan dalam bentuk : m an
a
pq pr
q
a r , a R. (K Martono,
1987). Sebagai gambaran pendefinisian ini kiranya diperhatikan ilustrasi: 8
8 2
8
4
a 4 a a2 ; a 6 a 3
dari dapat 1
; a 16 a 2 , dan
seterusnya. Berdasarkan sajian dan paparan tersebut diatas maka dianjurkan untuk memperhatikan dan mencermati pertama: untuk mendefinisikan pangkat tak sebenarnya yang berbentuk bilangan real berpangkat bilangan rasional diperlukan konsep nilai mutlak, kedua: Manakala bentuk pangkat tersebut di diajarkan tanpa konsep nilai mutlak, maka bilangan yang dipangkatkan itu harus dibatasi untuk bilangan positif saja. Oleh karena itu kita dapat menyimpulkan bahwa pengertian pangkat rasional (pecahan) adalah sebagai berikut: misalkan a bilangan real, a > 0, m bilangan bulat bulat, n bilangan asli dan n 2. Bilangan berpangkat
pecahan
a m
pangkat
m
m n
ditentukan sebagai : a n n a n a m (Siswanto, 2005). Persoalan ini juga muncul dalam pengajaran konsep logaritma khususnya dalam logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma suatu bilangan yaitu dalam bentuk: g n g log a n log a dimana a>0, g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 dan n bilangan bulat serta n 0. Untuk memperjelas masalah ini dapat dicermati suatu ilustrasi : log x2 2 log x, karena x di ruas kiri boleh negatif sedangkan x di ruas kanan tidak boleh negatif. Di sinilah konsep nilai mutlak sangat diperlukan. Oleh karena itu untuk memperbaiki sifat logaritma tersebut kita dapat menyatakan dalam bentuk: log x2 = 2 log |x|.
4, JURNAL PEMBELAJARAN MATEMATIKA, TAHUN I, Nomor 1, Januari 2011
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Definisi 1 (Mulyati, dkk, 2004) Nilai mutlak dari suatu bilangan a ditulis |a|, yang didefinisikan dengan : a , jika a 0 a , jika a 0
|a| =
Berdasarkan definisi ini maka dapat dinyatakan suatu sifat: jika |x|<|y| maka x2
0. Apabila rumus itu digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan |x| |2x3| maka memerlukan proses yang terlalu panjang. Oleh karena itu diperlukan selesain dengan cara lain, misalnya dengan cara mengkuadratkan kedua ruasnya. Maka dalam hal ini diperlukan turunan rumus-rumus yang dapat menunjangnya yaitu pertama :
a0
Karena x a atau x -a x2 a2 dan nilai rumus |a| a x a atau x -a untuk a > 0 berlaku, maka kita dapat menyatakan rumus penunjang yang dimaksud yaitu: a0
xa x2 a2 Dengan demikian kita dapat menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak berbentuk |x| a, a 0 melalui operasi pengkuadratan (K. Martono, 1987). Sebagai gambaran ilustrasi dari permasalahan tersebut maka disajikan selesaian pertidaksamaan yang diketahui dengan cara mengkuadratkan yaitu: Contoh 1 : |x| |2x – 4 x2 4x2 – 16x + 16 3x2 – 16x + 16 0 (3x – 4)(x – 4) 0 ++++++ ----------- ++++++ 4 3
4
Himpunan jawabnya adalah x
4 atau 3
x 4. a0
|x| a
-a x a
a0
a0
x2 a2 Karena -a x a a 0 x2 a2 dan nilai mutlak |a| a -a x a berlaku, maka kita dapat menyatakan rumus penunjang yang dimaksud yaitu: a0
|x| a x2 a2 Dengan demikian kita dapat menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak berbentuk |x| a, a 0 melalui operasi pengkuadratan. Adapun rumus penunjang yang kedua : |x| a
a0
a0
x a atau x a a0
x2 a2
Pertidaksamaan contoh berikut akan lebih cepat selesaiannya bilamana dikerjakan dengan menggunakan rumus yang ada tanpa mengkuadratkannya. Contoh 2 : |x2 – x| 2 -2 x2 – x 2 x2 – x + 2 0 dan x2 – x – 2 0 (x - ½)2 + 1¾ 0 dan (x + 1)(x – 2) 0 Himpunan jawabnya adalah R [-1, 2], yaitu [-1, 2]. Berdasarkan uraian di atas suatu cara untuk mencari selesaian pertidaksamaan berbentuk: |x| a atau |x| a, a 0 adalah dengan cara mengkuadratkan kedua ruasnya, dengan syarat setelah dikuadratkan bentuknya tidak terlalu rumit sehingga dapat ditentukan jawabannya.
Junaidi, Mencermati Beberapa Konsep Matematika pada Buku Ajar, 5
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Definisi 1. (Johanes, dkk, 2003) Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi adalah 2 (dua). Terdapat beberapa bentuk umum pertidaksamaan kuadrat seperti berikut, yaitu: ax2 + bx + c < 0 ; ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c 0 dan ax2 + bx + c 0 dengan a, b, c bilangan-bilangan real dan a 0. Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan: a) garis bilangan atau dengan b) sketsa grafik fungsi kuadrat. (Wirodikromo, 2004). Selanjutnya dalam suatu soal (kasus) tertentu, misalnya S = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, kita diminta untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan x2 < 9 , maka kita mendapati penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah -3< x < 3 yaitu: {-2, -1, 0, 1, 2} (Kurnianingsih, 2004). Berdasarkan jawaban kasus ini apakah implikasi pertama :jika x2 < 9 maka x < 3 dan kedua : jika x2 < 9 maka x < 3 merupakan suatu pernyataan yang benar? Untuk menjawab pertanyaan itu disajikan suatu diagram yaitu pertama : x2< 9
Benar
Benar
-3 < x < 3 Benar
x<3 karena -3 < x < 3 selalu mengakibatkan x < 3, maka implikasi pertama benar kedua : x2< 9
Benar
Benar
-3 < x < 3 Benar
Benar
-x < 3 x<3 karena -3 < x <3 selalu mengakibatkan -3 < x, dan hasil ini selalu mengakibatkan – x < 3 benar maka implikasi kedua juga benar.
Berdasarkan uraian di atas jawaban dari pertidaksamaan x2 <9 adalah -3 < x < 3, juga dapat mengakibatkan bentuk hasil lain. Implikasi yang menghubungkan x2 < 9 dengan dengan bentuk hasil lain tersebut selalu merupakan pernyataan yang benar. Masalah yang serupa dengan soal (kasus) ini adalah jawaban dari pertidaksamaan
1 1 1 adalah 0 x . x 2 2
Jawaban ini adalah benar. Akan tetapi jika kita mencermati selesaian dengan menggunakan bentuk hasil lain adalah salah; tetapi pernyataan: “jika
1 1 maka x 2
x 2 selalu benar (Martono, 1987). (periksa dengan cara seperti diatas !). KESIMPULAN DAN SARAN
Sesuai dengan tujuan pembelajaran untuk mencari pemahaman yang lengkap terhadap suatu konsep pengajaran matematika SMA kelas X disimpulkan bahwa terdapat konsep dan definisi yang perlu dicermati (dikritisi) pada bahan ajar matematika di SMA kelas X , bukan saja terhadap konsep yang telah disajikan oleh penulis tetapi juga terhadap bahan ajar lainnya sehingga miskonsepsi terhadap bahan ajar itu dapat dikurangi. Akhirnya saran yang dapat penulis lontarkan adalah bahwa guru selaku pelaksana proses belajar mengajar sebaiknya memperhatikan: (1) Pengajaran hendaknya dilaksanakan sebaik mungkin sehingga siswa mampu menguasai konsep-konsep yang benar dan terampil mengaplikasikannya. (2) Sebelum materi itu diajarkan sebaiknya guru meneliti, mengkaji dan menguji coba terhadap rumus, konsep, teorema, atau definisi untuk mendapatkan pemahaman yang valid dan teruji. (3) Pelibatan siswa dalam setiap memecahkan masalah agar siswa terbiasa mengkritisi dan berfikir analitis terhadap suatu masalah untuk
6, JURNAL PEMBELAJARAN MATEMATIKA, TAHUN I, Nomor 1, Januari 2011
mengkondiasikan siswa melakukan penyelidikan dan menemukan sesuatu. DAFTAR RUJUKAN Cramer, dkk. 1993. Learning and Teaching Ratio and Propartion: Research Implication. Dalam Douglas T. Owen (Es) Research Idea for the Classroom Middle Grades Mathematics. New York: Macmilan Publishing Company. Depdiknas. 2004. Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Depdiknas. Hilbert, James and Carpenter P, Thomas. 1992. Learning and Teaching With Understanding. Dalam Douglas A Growns (Ed) Handbook of Research on Mathematics Teaching an Learning . New York: Macmillan Publishing Company. Johanes, dkk. 2003. Kompetensi Matematika 1A. Jakarta:Yudistira.
Kurnianingsih, S. dkk. 2004. Matematika SMA untuk Kelas X. Jakarta: Erlangga. Martono,K. 1987. Kumpulan Masalah Kritis Dalam Kalkulus & Integral. Jakarta: Intermedia. Pandoyo. 2000. Pengajaran Konsep dan Permasahannya. Makalah disajikan dalam Seminar Nasional Matematika, Pengajaran dan Problematikanya Memasuki Millenium III, Jurusan Matematika Universitas Negeri, Semarang, 12 Agustus 2000. Siswanto. 2005. Matematika Inovatif 1. Solo : Tiga Serangkai. Soedjadi. 1993. Simplifikasi Beberapa konsep Dalam Matematika untuk Matematika Sekolah serta Dampaknya. Surabaya: PPS IKIP Surabaya. Tampomas,H. 2003. Seribu Pena Matematika 1. Jakarta : Erlangga. Wirodikromo,S. 2004. Matematika untuk SMA kelas X. Jakarta : Erlangga. Yanti, M, dkk. 2004. Matematika SMA Kelas 1. Jakarta : Piranti.
