H E L L E R
MÁRTA—DR.
FERENCZ
CSABA
Megjegyzések a mesterséges holdak háromfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzéséhez ETO
M i n t az m á r előző cikkünkből [1] is ismert, a k u t a t á s ban és a mesterséges holdak gyakorlati alkalmazásai nál igen fontos szerepet játszó Doppler-frekvencia csúszás a következő alakban írható fel [ 2 ] :
A Doppler korrekciós program
ahol Af az / frekvenciával arányos tagokat tartal mazza, míg az A , / / tagok alapvetően az ionpszférában való terjedés k ö v e t k e z t é b e n jelentkeznek. A leg pontosabb vizsgálatokban is elegendő, ha az i = í és i = 3 tagokat vesszük csak figyelembe [3]. Ekkor Af a következő alakban írható fel: 0
1
Af=Af +^+^=Af 0
l
s
A h á r o m ismeretlen meghatározásához h á r o m ko herens, nem m o d u l á l t jelet sugároz a mesterséges hold, / ! < / < / 3 frekvenciákon. A m é r t Af Af és Af frekvenciacsúszások alapján Af , a és a meg h a t á r o z h a t ó . A m e g h a t á r o z á s u k r a szolgáló egyenlet rendszer, amelynek megoldásakor az idő csak k i jelöli és sorba rendezi az összetartozó adatcsoporto kat, a k ö v e t k e z ő : v
2
3
0
^ / i = ^ / o + öi + a
1
=
ái
2
0
3
/i „ ,
s
2l
3
3i
igen input
x(t)
Output x (t)
fs/fi~hi-
a
A vizsgálat során a Budapesti Műszaki Egyetem Folyamatszabályozási Tanszékének O D R A 1013 és O D R A 1204 típusú számítógépeit h a s z n á l t u k [1].
118
i
(h
A számítógépes programok ismertetése
Beérkezett: 1971. X . 28.
2
START
A t o v á b b i a k b a n a következő feladatot oldjuk meg: a) írjuk fel a Af , a és a meghatározására szolgáló korrekciós programot, b) Vizsgáljuk meg, milyen feltételek mellett lesz minimális az egyes m e g h a t á r o zott mennyiségek hibája. A vizsgálati p a r a m é t e r e k : a frekvenciák a r á n y a , az egyes Zl/-ek hibáinak ampli t ú d ó j a és a m p l i t ú d ó a r á n y a , az egyes Zl/-ek hibáinak korrelációja. A feladat a) része az adatfeldolgozásnál, b) a mérő rendszerek tervezésénél hasznosítható. x
li
(3)
ahol a t o v á b b i a k b a n legyen fJix — Kx ^ 0
i
3
+
íi
blokkvázlata
3
' i - TMfh
A,
881.3.06
(2)
•a + a
0
629.783:
A program Af -t, e^-et és a -at határozza meg, m i n den mérési időpillanatban, az ahhoz az időponthoz rendelt, m é r t Af (t )=Af ,Af (t )=Af és Zl/ (í,) = Af felhasználásával a (3) egyenletrendszer alapján. i A program ( 1 . á b r a ) futtatása, bemenő adatainak felvétele a kétfrekvenciás korrekciós programnál [1] használt módszerrel történt.[A futtatások alapján azt mondhatjuk, hogy a program kifogástalanul, mindig hiba nélkül futott. 1
(1)
621.396.962.33.018.46:
output
eredrn.
STOP . 1. ábra.
A hibavizsgáló
Korrekciós program
(szimulációs)
program
A 2. á b r á n l á t h a t ó program feladata, hogy valósá gos mérési és Af , a a meghatározási folyamatokat utánozzon (szimuláljon), miközben a „ m é r é s " jellem zőit v á l t o z t a t j u k . I l y módon vizsgálható, hogy milyen feltételek mellett lehet optimális eredményhibát kapni. ö
v
a
H E L L E R M.—DR. FÉRENCZ CS.: MESTERSÉGES H O L D A K
( kn; k ; n(int) n (reál)
Begin
DOPPLER-MÉRÉSE
")
st
A.(3);(U) és (5) egyenletrendszerekegyütthatóinak kiszámítása
1
(
Kibe
£5—<
iibelP3ibe
a
i L>
„ 3be
a
-I-n *31
<
>
T
I
3
ffiZlhft
Afihtbás dfíbe dfihlbás = AÍ +^ii =
2be
Ihff, 1h ;
Ih
zí
3í
-
J
^
L
- Afoh -Afoibe í" 1h
e5
~°ilbe
a
3h
~
a
2*k
3ibB
a
Ih h ;Ih h ;Ih h i 1i
2i
ti
3l
ii
}
nem
'Stop
\H130-HFZ\
2. ábra. S z i m u l á c i ó s program
A program a bemenő a d a t k é n t rendelkezésre álló Af , és a sorozatból Af-Jf), Af (f) és Af (t) görbéket számol a (3) egyenletrendszer e g y ü t t h a t ó i n a k meg h a t á r o z á s a u t á n . E z u t á n a kapott „Doppler-görbék hez" hozzákeveri a mérési h i b á t . A z így nyert „ m é rési e r e d m é n y e k b ő l " a korrekciós program alapján számolja Af -t, a -et és a -at, majd kiszámítja ezen eredmény hibáját. 0
3
2
0
x
3
3
A hibasorozatok, b e m e n ő adatok előállítása a k é t frekvenciás mérés v i z s g á l a t á n á l [1] h a s z n á l t m ó d o n t ö r t é n i k . A hibasorozatokat a p á r o n k é n t i korrelációs tényezővel és a p á r o n k é n t i a m p l i t ú d ó a r á n n y a l jel
lemezzük. A z t , hogy valamely korrelációs tényező és h i b a - a m p l i t ú d ó a r á n y trió együttesen létezhet-e, a szórás-négyzet m á t r i x segítségével döntjük el. A program f u t t a t á s a során különféle hibajellemzők mellett kapott e r e d m é n y e k e t a 3., 4. és 5. á b r á n l á t h a t j u k . Ezen görbék segítségével a kívánatos, vagy jónak nevezhető mérési hiba jellemzők meg h a t á r o z h a t ó k . Tekintettel a mérési p a r a m é t e r e k lehetséges variációinak igen nagy számára, a bemu t a t o t t görbék csak jellegzetes m i n t a k é n t kezelhetők, s k o n k r é t alkalmazás esetén esetleg célszerű t o v á b b i s z á m í t á s o k a t is végezni.
119
1 I (n ADÁS.TÉCÍINIKA'"XX1Í1. É V F , J. SZ. Didi) D(h,)
r'12~-0,7 r * 0 r "0 r ~+0,7
r„*-0.7
a
-,, ~ 0
n
•—
Pít-0
r„*0 r„* + 0,7
ti
n
A vizsgált esetekben
r±,~+0.7
*I2
r *+1 r <**0,7
*13
-0,7 0 0 + 0,7 + 1
l3
a
r
-0,7 0 0 + 0,7 + 1
23
+0,7 0 + 1 +0,7 + 1
A hibafüggvAnyek analitikus vizsgálata Az eredményhibák és keresett optimumaik meg határozása analitikus úton is megoldható. A feladat bonyolult, így legfeljebb ellenőrzésként vagy tájé kozódó számításként érdemes alkalmazni.
4
2 \HI3(L-HFÚ
A hibafüggvények
felírása
í r j u k fel a (3) egyenlet alapján a hibákra vonat kozó egyenletrendszert:
J =
/I
5
Ő
Í
D(h,)
-0,7 0
#
r,, *cO v
12-
+0.7
r„*-0.7 r„*0
r =*+0.7
hoi = A- Ő + —
a
21
">a»0
r ~+0,7
3l
(4)
"21
r„*+0,7
13
0Í
AJ/ = aAi
+ T ~ i ; + T T 3i • "31 "31
k
10-
á
á
A (4) egyenletből kifejthetjük a minimalizálni kí v á n t e r e d m é n y h i b á k a t , amelyek
8
Á
6
0/
=
Xofiu+Yofiv+ZX m
(5a)
+Z h 1
t,
(56)
3i
m
x h •+
2
3
y /;
lt
3
+Z I ,
(5c)
i h
2 l
m 0 1/4
4
1
2
1/4
2
3
4
és végül, mivel sok esetben az (ai + %) teljes ionoszfératag eredő hibáját kívánjuk vizsgálni ( Ő + ő ) - t , [H130-HF', \ így 2
1(
4. ábra—
° l í + °3f —
14 12
n
»-fl7
«. 0
r
23
r
= *07 *0
13
r
v
2
23
<3
k
k
a
r
r
« +<
2J
r
L_i_.
1
Y
_ *
1
M
A31
8 6
A-I,
Ali
í. O "21
£- ' "31
2
I —
4
V
0
5. áfcra
í
2
Xa^fc^-Aii;
2
120
(5d)
'
Az (5) összefüggésekben X , Y , Z és in kizárólag a vizsgálat szempontjából állandó p a r a m é t e r t jelentő f f és f mérési frekvenciák a r á n y á n a k a függvé nye. Nevezetesen k
r
€
~
3(
Zrfi
Y =M*SI-1); 3
A'o-
—— ^l -i_i_I1-2 • 1.2 ~~ 1.2 T 2 1 . " 3 1 . "21 "31 2
2
A
—
£ =* i(i-*ii) 3
V — k *2*- 21 A
8
(6) i-2 "31
H E L L E R M . - I I R . F K R E N C Z 'CS.: MESTERSÉGES H O L D A K D O P P l . K H M É R É S E
A m i n t azt az előzőekben is mondtuk, feltételez tük, hogy / < / < / 3 > azaz / f > A " ^ l . Ilyen módon az e g y ü t t h a t ó k előjelmegoszlása, ami a későbbiekben, az optimalizálásnál használható, 1
3 1
2
xx
2X-
2 1
(10)
Yo +
0
Innen M(! h ) 2
=
r a M(hl)
M(I l )
=
r x M(h!)
h
1+
Y + Y 3
X + 2
z+
2
.4 hibafüggvények
h h
M(h h ) =
2
2
<^> = <^> = <^> = 0
r x * M(h )
3
23
2l
31
í
'D ^) M(hA)
M(I h ) D (h ) ( A)
2
h
L
2
2
M(AA)
M
2
(8)
a
/' a 12
2L
oc r a cc
(12)
2l
2L
a
31
2
esetén
3
l2
a
23
A hibafüggvénijek
h
optimumának
(13)
keresése
Y2(^nh +Y h +Z h fli
n
2l
n
3l
2%
(14)
2 X Y r <x n
Keressük d ( ő „ ) - o t a és a mérési-hiba jellem zők függvényében. Ekkor meg kell oldani a 21
31
8[d(ő„)]
3[d(y = 0 9a
n
í2
2í
+ 2X, Z„r cc + 2 Y , Z í ' a a !
13
=0
(15)
egyenleteket. Innen
31
1
n
23
21
3
(17)
es Y„ *J2
0
upt "
J 1 3^93
X,j
^ 1*
1 — rf
3
Innen, figyelembe véve, hogy (13) alaj)ján minden esetben teljesülnie kell a D > 0 összefüggésnek, (16) esetén: X d(ö„) (18) • D. d(/ ) opt • nr 1 " 2 3 2
_
1-
*31 opt"
1-1- — — rl on 2
Ugyanezt a számítást m á s h i b a a m p l i t ú d ó nyokra is elvégezhetjük, például _ Y
n
32opt
_
7
rr l3
12
-i
r
(l
,,2 23
J
(16)
a
== 0
Az e r e d m é n y h i b á k négyzetes á t l a g á t d(ő„)-nel jelölve, ahol n = 0 , 1, 3 és ( 1 + 3 ) = 2 lehet, általában azt í r h a t j u k , hogy
(9)
i
*21 opt
pedig I) =
A (13) feltételnek teljesülnie kell minden valóságos esetben, t e h á t csak olyan optimum-pont valósítható meg, amelyre ez a független feltétel teljesül.
2 ki l,
min
31
2
2
VZhlrZK
'l2 21
D = l — (/' + if + r$s) + 2r r v
h
i
N
Létező, lehetséges függvények = \D-(h)\>Q, azaz
ahol D\hi) — hi szórásnégyzete, M{li hi) a h i b a p á r o k „ v e g y e s " szorzatának v á r h a t ó értéke. D (h) egyes tagjai, figyelembe véve a korrelációs tényező definícióját (9) és bevezetve a hibák ampli t ú d ó a r á n y á t (10) jellemzőként, m e g h a t á r o z h a t ó k .
YM(ht)M(hf)
hl
23
3
h
hl 1
N
3
2 h
h
i
ahol A az egy-egy frekvencián végzett összes méré sek, azaz az összes mérési pontok száma. Ennek alap ján
(7)
M(h h ) M{h l ) D\h ) .
2
2
r
A hiba függvények leírására a szórás-négyzet m á t r i x alkalmas, amely (7)-et figyelembe v é v e :
Tkl —
(11)
31
2
M(Af) = -
Az ( ) jel az_ átlag-képzést jelzi.
l
21
13
jellemzése
A t o v á b b i a k b a n ennek alapján kezdjük el az eredményhibák vizsgálatát. Ehhez tekintsük á t az egyes frekvenciákon végzett mérések hibái közti kap csolatot. Az előző vizsgálatokhoz [1] hasonlóan i t t is jogos a feltevés, hogy az átlagos hiba
T>' {h)-
í2
—r 2
A (16) és (17) e r e d m é n y e k e t (13)-mal összevetve azt mondhatjuk, hogy az optimális mérési feltétel létezik, ha teljesülnek az alábbi összefüggések. (16)-ból
ará
a
_ Yn 32upt- 7
Tl2 23~ 13 . 13'23 '12 r
f
J
és
(19) r " 23 2
r
23 a
1 2 opt"
x„ 121
HÍRADÁSTECHNIKA X X I I I . ÉVF. 4. SZ.
Összevetve (17)-tel
Ha /• = — 1, akkor hasonló módon kapjuk a szintén létező megoldást, ami 23
^D=!f .rh
(20)
2
adódik. Figyelembe véve a (13) feltételt és azt, hogy rf -0
és
2
Z oc
r? -0,
n
Y oc —
31
n
21
(24) X Vi2n
8
Megvizsgálva e két esetben a tényleges hibát, azaz a (14) összefüggést, azt találjuk, hogy a (23) és (24) optimumok a legkisebb eredményhibát akkor bizto sítják, ha
az optimális megoldás létezik, ha
í
:0.
(21)
A vizsgálat során, mint tudjuk, I^-re normalizál tunk. Más A,-re való normalizálással másik r -re lesz érvényes a (21) megkötés. Az optimalizálás cél jától függően esetleg az összes /;í
r >()
(21a)
w
'l2 =
í
' l 3 = ±
1
'
ha
f
ha
r =—1.
2 3
=+l
(25)
illetve + 1,
2 3
(26)
A műszerbeállítások meghatározásánál figyelembe kell venni még azt, hogy <x >0, minden esetben. Hasonló módon részletesen elemezni lehet a külön féle JJJTÍ + 1 eseteket, s hogy ezek közül melyek rea lizálhatók. //f
feltételt érvényesíteni kell. Speciális
Össze foglalás
esetek
Mindenkor külön vizsgálatot igényei a nyert opti mális megoldás, ha (16), illetve (17) nevezői nullával egyenlőek. Ezen vizsgálatra nézzünk egy példát, hj-re normalizált optimum keresésnél. A (15) optimalitási feltételt megadó egyenletek, ha r = - f l , az alábbiak 2 3
Y oc + X r +Z a n
21
n
í2
n
3l
Yn 2 i H~ ^,1^13 "f" Z a
=0
a
n
3 1
=0
(22)
Innen az optimális megoldás í- = r |2
13
és
(23)
Megvizsgálva a (13) feltételt, l á t h a t ó , hogy í ) = 0, azaz az optimális mérési feltételek elvileg létezhet nek.
A nagypontosságú mérőrendszerek optimális be állítása t e h á t a tényleges mérési és a szervesen kap csolódó adatkezelési (adatfeldolgozási) folyamat együttes vizsgálatával h a t á r o z h a t ó meg, s ilyen mó don az eredményhiba az egyes mennyiségek fizikai mérési hibájánál kisebb lehet.
I R O DALOM [1] ür. Ferencz Cs.—Heller M.: Megjegyzések a mesterséges holdak kétfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzésé hez. Híradástechnika, X X I I . évi. 7. sz. (194—200), 1971. [2J Mesterséges holdak Doppler-görbéinek geodéziai alkalma zása I I . Összeállította a BME ű r k u t a t ó csoport, MÉM— OFTH K ö n y v t á r , Budapest, 1968. [3J D. Druhos, Cs. Ferencz, I. Ferencz, F. Florváth and Gij. Tárcsái: Somé Theoretical Oontributions Goncerning Doppler Geodetical Measurements. Space Research X . , (43—53), North Holland Publ. Co., 1970.
