Megbízhatóság-elmélet 2. rész
Rendszerek megbízhatósági vizsgálata Boole modell szerint
Min & mb
2. rész
2
Megbízhatóság szempontjából jellegzetes rendszerstruktúrák • Redundancia mentes rendszer - bármely rendszerelem meghibásodása a rendszer üzemképtelenségét eredményezi (soros rendszer) • Redundáns rendszer - a megbízhatóság növelésére rendelkezik a rendszer bizonyos tartalékokkal Min & mb
2. rész
3
Redundancia formái (1) • Hardver redundancia – strukturális redundancia - a minimálisnál több egységet használnak a funkció ellátására – igénybevételi redundancia - a stressz modellben definiált gyorsítási tényezı α<1 (derating) – tolerancia redundancia - szőkebb toleranciájú alkatrészek alkalmazása
Min & mb
2. rész
4
Redundancia formái (2) • Szoftver redundancia – paritás vizsgálat, – „kontroll szumma” képzés, – watch dog alkalmazása – mőveletek megismétlése, – eredmények összehasonlítása, – eredmények hihetıségvizsgálata
Min & mb
2. rész
5
Redundancia formái (3) • Diverzitás – alkalmazási feltételek különbözısége – fizikai diverzitás, – implementációs diverzitás, – funkcionális diverzitás.
Min & mb
2. rész
6
Megbízhatóság vizsgálat strukturális modell alapján • Megbízhatósági modell felállítása – funkcionális struktúra alapján – konstrukciós struktúra alapján
• Az egyes elemek megbízhatósági paramétereibıl határozzuk meg a rendszer jellemzıit • Alkatrész (elem) állapotfüggvénye: XT(xi) • Rendszer állapotfüggvénye: YT(xi). Min & mb
2. rész
7
Rendszerek megbízhatóságának vizsgálata • Boole modell alapján – ha a rendszernek csupán két állapotát elegendı figyelembe venni • Markov modell alapján – ha a rendszernek több lehetséges állapotát vesszük figyelembe
Min & mb
2. rész
8
Boole modell alkalmazásának feltételei • A rendszer elemeinek száma véges legyen • Elemei csak két állapotot vegyenek fel – up: x = 1, down: x = 0. – az állapotváltozó egyben logikai értéket is képvisel: 1 = igen , 0 = nem – Az x indikátorok bináris vektort alkotnak:
• Strukturája kanonikus legyen X T = [x1 , x2 , x3 ,..., xi ,..., x N ]
• Teljesüljenek az ún. monotónia feltételek Min & mb
2. rész
9
Boole rendszerre vonatkozó monotonitási feltételek • Y=1, ha ∀ k-ra : xk = 1 ⇒ rendszer jó, ha minden eleme jó • Y= 0, ha ∀ k: xk = 0. ⇒ rendszer rossz, ha minden eleme rossz • Üzemképtelen rendszer további meghibásodás hatására nem válhat üzemképessé • Üzemképes rendszerben hibás elem javítására nem válhat a rendszer üzemképtelenné Min & mb
2. rész
10
Példa nem monoton rendszerre
• Három felhasználót (Fi) táplálunk két betáplálásról (Ti) a vi vezetékeken keresztül • A tápfeszültségre vonatkozó hibafeltétel: U tényl = U névl ± 10% Min & mb
2. rész
11
Példa nem monoton rendszerre (2) • Az F1 fogyasztót vizsgálva a T1 betáplálás hibája esetén az összes fogyasztót a T2 betáplálásról táplálva a nagy fogyasztás miatt a feszültség F1-nél hibásan túl kicsi lesz • Újabb hibaként megszakad a v3 vezeték, emiatt az összes fogyasztás és a feszültségesés kisebb lesz, az F1-nél a tápfeszültség ismét a toleranciasávon belül kerül • Eszerint egy hibás állapotban lévı elem az újabb hiba hatására ismét jó lett Min & mb
2. rész
12
Soros rendszer definíciója (1) • Kétféle definíció lehetısége – a jó mőködés feltételének megadása – a rossz mőködés feltételének megadása
• Megbízhatóság szempontjából soros a rendszer, – ha akkor (és csak akkor) mőködıképes, ha minden eleme jó – ha akkor mőködésképtelen, ha van legalább egy mőködésképtelen eleme Min & mb
2. rész
13
Soros rendszer definíciója (2) • Matematikailag megfogalmazva:
YS = 1, ha ∀k : xk = 1 YS = 0, ha ∃k : xk = 0 • Az állapotindexekkel kifejezve
YS = 1, ha YS = 0, ha Min & mb
(x1 = 1) ∧ (x2 = 1) ∧ K ∧ (xn = 1) (x1 = 0) ∨ (x2 = 0) ∨ K ∨ (xn = 0) 2. rész
14
Soros rendszer megbízhatósági függvénye • a soros rendszer megbízhatósági függvénye RS (t ) = R1 (t ) ⋅ R2 (t ) ⋅K ⋅ Rn (t )
• vagy rövidebb írásmóddal n
RS (t ) =
∏ R (t ) < min[R (t )] i
i
i =1
• hasonlóan javítható rendszerre vonatkozó üzemkészségi függvény n d S (t ) =
∏ d (t ) i
i =1
Min & mb
2. rész
15
Soros rendszer meghibásodási függvénye (1) • a soros rendszerre vonatkozó meghibásodási függvény meghatározását nehezíti, hogy az egyes alkatrészek rossz mőködése nem egymást kizáró események (nem lehet a valószínőségeket egyszerően összegezni) • célszerő ezt is a megbízhatóságra vonatkozó összefüggéssel meghatározni (az 1-es komplemens tulajdonság felhasználásával) Min & mb
2. rész
16
Soros rendszer meghibásodási függvénye (2) • 2 tagú soros rendszerre 1 − FS(2 ) = 1 − (1 − F1 ) ⋅ (1 − F2 ) = 1 − (1 − F1 − F2 + F1 ⋅ F2 ) = = 1 − (F1 + F2 − F1 ⋅ F2 )
• A két oldal összevetésébıl FS(2 ) = F1 + F2 − F1 ⋅ F2 • Hasonlóan 3 tagú rendszerre (csak a végeredmény) FS(3) = F1 + F2 + F3 − F1 ⋅ F2 − F1 ⋅ F3 − F2 ⋅ F3 + F1 ⋅ F2 ⋅ F3 Min & mb
2. rész
17
Soros rendszer meghibásodási függvénye (3) • Egyforma elemeket feltételezve, ha • akkor
F1 = F2 = F (2 )
FS = 2 ⋅ F − F
2
adódik
• Hasonlóan 3 tagú rendszerre FS(3) = 3 ⋅ F − 3 ⋅ F 2 + F 3
• Vagy tetszıleges n-re
FS(n ) =
n
∑ (− 1)
i +1
i =1 Min & mb
2. rész
n i ⋅ ⋅ F i 18
Soros rendszer meghibásodási tényezıje és élettartama (1) t
• A definíció alapján
RS (t ) = e
∫
− λS (τ )⋅dτ 0
• A soros rendszer megbízhatósági fügvénye t t n n t alapján:
∫
− λi (τ )⋅dτ
n
RS (t ) =
∏
e
0
−
=e
∑∫ λi (τ )⋅dτ i=1 0
i =1
−
=e
λi (τ )⋅dτ ∫∑ i=1 0
n
• a kettı összevetésével λS (t ) = ∑ λi (t ) > max[λi (t )] i =1 Min & mb
2. rész
19
Soros rendszer meghibásodási tényezıje és élettartama (1) • Az elemek nem öregedı tulajdonsága soros rendszerre megmarad • Az élettartamra kapott összefüggés szerint TF ,S =
1
λS
=
1 n
∑λ
i
i =1
Min & mb
2. rész
20
Párhuzamos rendszer definíciója (1) • Megbízhatóság szempontjából párhuzamos a rendszer, – ha akkor mőködıképes, ha van legalább egy olyan eleme, ami mőködıképes, és – akkor mőködésképtelen, ha minden eleme mőködésképtelen
• A definíciót a soros rendszerével összevetve a logikai kapcsolatok alapján értelemszerően adódnak a megbízhatósági jellemzık Min & mb
2. rész
21
Párhuzamos rendszer definíciója (2) • Matematikailag megfogalmazva:
YP = 0, ha ∀k : xk = 0 YP = 1, ha ∃k : xk = 1 • Az állapotindexekkel kifejezve
YP = 0, ha YP = 1, ha Min & mb
(x1 = 0) ∧ (x2 = 0) ∧ K ∧ (xn = 0) (x1 = 1) ∨ (x2 = 1) ∨ K ∨ (xn = 1) 2. rész
22
Párhuzamos rendszer meghibásodási függvénye • Párhuzamos rendszer meghibásodási függvénye F (t ) = F (t ) ⋅ F (t ) ⋅ K ⋅ F (t ) P 1 2 n • Rövidebb írásmóddal n
FP (t ) =
∏ F (t ) < min[F (t )] i
i
i =1
vagyis a párhuzamos kialakítású rendszer kedvezıbben viselkedik Min & mb
2. rész
23
Párhuzamos rendszer megbízhatósági függvénye (1) • A soros rendszerre vonatkozó összefüggés gondolatmenetéhez hasonlóan – 2 tagú párhuzamos rendszerre ( 2) ( 2) 2 R = R + R − R ⋅ R ⇒ = 2⋅ R − R P
1
2
1
2
P
– 3 tagú párhuzamos rendszerre RP(3) = R1 + R2 + R3 − R1 ⋅ R2 − R1 ⋅ R3 − R2 ⋅ R3 + R1 ⋅ R2 ⋅ R3
⇒ 3 ⋅ R − 3⋅ R 2 + R3 – és tetszıleges n-re
( n) RP =
n
∑ (− 1)
i +1
i =1 Min & mb
2. rész
n i ⋅ ⋅ R i 24
Párhuzamos rendszer megbízhatósági függvénye (2) • A görbék mindig vízszintes érintıvel indulnak – az R csökkenése viszonylag lassú: ( 2)
n = 2 esetén R(t)
= 2R − R
2
R 't = 0 = 2 − 2R = 2 − 2 = 0 n = 3 esetén R(t)(3) = 3R − 3R 2 + R 3 '
2
R t = 0 = 3 − 6R + 3R = 0 Min & mb
2. rész
25
Párhuzamos rendszer megbízhatósági függvénye (2) R(λ λt) 1 exp(-x) exp(-3*x)-3*exp(-2*x)+3*exp(-x) 2*exp(-x)-exp(-2*x) 0.8
0.6
egy egység
0.4
két egység három egység
0.2
0
Min & mb
0
0.5
1
1.5
2. rész
2
2.5
λt 3
26
Párhuzamos rendszer meghibásodási tényezıje (1) • A paraméterek közt fennálló matematikai kapcsolat alapján RP′ (t ) λP (t ) = −
RP (t )
• Az RP bonyolultabb összefüggése miatt levezetés nélkül az eredmény: n
∑λ (t) ⋅ (α −1) i
λP (t ) = −
i
i =1
ahol
n
∏
α i −1
αi =
1 1 − e −λi (t )⋅t
i =1
Min & mb
2. rész
27
Párhuzamos rendszer meghibásodási tényezıje (2) • Az egyforma és állandó λ tényezıjő elemekbıl felépített redundáns rendszerre: λP (t ) = −
n⋅λ n
ahol
∑
α i −1
α=
1 1 − e −λ⋅t
i =1
vagyis a λ tényezı ilyen esetben is függ az idıtıl - nem öregedı elemekbıl is öregedı jellegő rendszert kapunk Min & mb
2. rész
28
Párhuzamos rendszerek meghibásodási tényezıjének alakulása
Min & mb
2. rész
29
Párhuzamos rendszer élettartama • N egyforma λ paraméterő egységbıl felépített párhuzamos rendszer esetén az elsı meghibásodásig várható élettartam 1 1 1 1 TF = 1 + + + ... + ⋅ n λ 2 3
vagy rövidebb írásmóddal TF = Min & mb
1
λ
n
⋅
∑ i =1
2. rész
1 i 30
Igazolás (1) Tp =
∞
∞
∞
0
0
0
∫ R p ( t ) ⋅ dt =
de
∫ 1 − Fp (t) ⋅ dt =
R( t ) = e így
−λ ⋅t
n 1 − F (t) ⋅ dt ∫
és F(t) = 1 − e
−λ ⋅t
dF = −(λ ) ⋅ e − λ ⋅ t = λ ⋅ e − λ ⋅ t = dt = λ ⋅ R(t) = λ ⋅ 1 − F(t) 1
Min & mb
dF ami alapján: dt = ⋅ λ 1− F 2. rész
31
Igazolás (2) 1
Tp =
n 1 1 1 − F 1− F n ⋅ ⋅ ⋅ dF = ⋅ ⋅ dF = 1− F λ 1− F λ
∫( 0
1
)
1
∫ 0
=
1
λ
1
(
)
⋅ ∫ 1 + F + F2 + ... + Fn −1 ⋅ dF = 0
1
1 F F = ⋅ F + + ... + = 2 n 0 λ 2
n
1 1 1 1 = ⋅ 1 + + + ... + λ 2 3 n Min & mb
2. rész
32
Párhuzamos rendszer realizálása (1) • Önmagában csak kivételes esetben lehet megvalósítani (pl. alkatrész szintő redundancia esetén) • Az esetek többségében soros tagok is szerepelnek a rendszerben – A redundáns rendszerekben szükség van olyan közös egységre, ami érzékeli az egyes egységek meghibásodását (átkapcsolás) – Gyakran az energiaellátó tápegység is közös Min & mb
2. rész
33
Párhuzamos rendszer realizálása (2) • A közös egységet tartalmazó redundáns rendszerek megvalósítási módjai: – Forró tartalékolt – Csökkentett terheléssel mőködı tartalékolású (más szóhasználattal meleg tartalékolt vagy stand-by rendszerek) – Hideg tartalékolt
• Az egységek függetlensége csak a forró tartalékolt rendszereknél biztosított – ezeket tekinthetjük csak kanonikus rendszereknek Min & mb
2. rész
34
Stand-by rendszerek (1) • Általános felépítés • Helyettesítı kép
⇒
S
⇓ P
Min & mb
O1
O2
S
2. rész
35
Stand-by rendszer (2) Rstand -by (t ) = RP (t ) ⋅ RS (t ) Például kétegységes stand-by esetén
RP (t ) = R1 (t ) + R2 (t ) − R1 (t ) ⋅ R2 (t ) a két operatív egységbıl felépülı párhuzamos részrendszer megbízhatósága,
Rs (t ) Min & mb
pedig a közös (soros) egység(ek) eredı megbízhatósága 2. rész
36
Stand-by rendszer (3) Rstand -by (t ) = RP (t ) ⋅ RS (t ) Például kétegységes stand-by esetén
RP (t ) = R1 (t ) + R2 (t ) − R1 (t ) ⋅ R2 (t ) a két operatív egységbıl felépülı párhuzamos részrendszer megbízhatósága,
Rs (t ) Min & mb
pedig a közös (soros) egység(ek) eredı megbízhatósága 2. rész
37
Stand-by rendszer (3) • A teljes stand-by rendszer megbízhatósága
[
]
Rstand- by (t ) = 2 ⋅ R(t ) − R 2 (t ) ⋅ RS (t )
• A redundancia alkalmazása akkor ésszerő, ha az eredı megbízhatóság nagyobb, mint az operatív egységeké, ennek feltétele, hogy
Min & mb
2. rész
38
Speciális kanonikus struktúrák
R1(t) = R2(t) = R3(t) = ... = RN(t) = R(t) Annak a valószínősége, hogy az N-bıl éppen h hibás (Bernoulli képlet alapján) PN , h
N h N−h ( t ) = ⋅ 1 − R ( t ) ⋅ R ( t ) h
ahol Min & mb
N N! = h ( N − h )!⋅ h ! 2. rész
39
(folyt.) Ha a hibahatárt úgy szabjuk meg, hogy a rendszer üzemképes h<M esetén M −1
R N,M (t) =
∑P
N,i
(t)
i =0
Az ilyen struktúrák speciális eseteiként adódnak az eddigi kanonikus rendszerek is:
Min & mb
2. rész
40
(folyt.) az N egyforma elembıl felépített soros rendszer esetén M=1 az N egyforma elembıl felépített párhuzamos rendszer esetén M=N az N egyforma elembıl felépített majoritásos (többségi szavazati elv) rendszer esetén (tetszıleges páratlan N esetére): N +1 M = 2 Min & mb
2. rész
41
Majoritásos rendszer általános struktúrája O1
N +1 M= 2 R majoritás ( t ) =
O2
N −1 2
∑P
N,K
(t )
LE
O3
K =0
R rendszer ( t ) = R LE ( t ) ⋅ R majoritás ( t ) Min & mb
2. rész
42
A majoritásos rendszer megbízhatósága • A legegyszerőbb majoritásos logika a 3-ból 2 rendszer (N=3, M=2, hmax=1) • A rendszer 0 és 1 hiba esetén mőködıképes • A rendszer megbízhatósága: 1
PN , h
N ⋅ [1 − R (t )]h ⋅ R N − h (t ) = R 3 (t ) + 3 ⋅ [1 − R (t )]⋅ R 2 (t ) = = h h =0
∑
= 3 ⋅ R 2 (t ) − 2 ⋅ R 3 (t )
Min & mb
2. rész
43
Nem kanonikus struktúrák • Bonyolultabb rendszereket nem lehet kanonikus struktúrákkal modellezni: – Nem soros/párhuzamos struktúrájú részek nem soros/párhuzamos kombinációja – Kettınél több állapot fordul elı a rendszerben, vagy a rendszerelemeknél – Ha az elemek meghibásodásai nem függetlenek egymástól – Eseménykövetı javítás fordul elı Min & mb
2. rész
44
A teljes valószínőség tétele P r {A } =
n
∑ P r {A
B i } ⋅ P r {B i }
i =1
Pr{A|Bi} az A eseménynek a Bi feltétel eseményre vonatkoztatott feltételes valószínősége, és Pr{Bi} a feltétel valószínőség. Az összefüggés érvényes, ha
Σ Pr{{Bi}} = 1, Bi ∩Bj = ∅, ha i ≠ j. Min & mb
2. rész
45
A Boole-modell alkalmazásának gyakorlati eljárásai • Hibafa elemzés (Fault Tree Analysis – FTA) – Kiinduló pontja a rendszer meghibásodása – Ebbıl kiindulva kell megállapítani, hogy mely alkatrészek milyen meghibásodása okozta ezt
• Hibahatás elemzés (Failure Modes and Effects Analysis – FMEA) – Kiinduló pontja az alkatrészek lehetséges meghibásodása – Ebbıl kiindulva kell megállapítani, hogy ennek milyen hatása lesz a teljes rendszerre vonatkozóan Min & mb
2. rész
46
A hibafa elemzés (FTA) (1) • Nagy rendszereknél a hibafa manuális felállítása munkaigényes feladat • A hibafa felállításához a rendszer mőködésének, hibamechanizmusainak alapos ismerete kell • A hibafa felállítása után következik a szükséges számítások elvégzése – meghatározandó, hogy a rendszerre vonatkozó meghibásodási tényezı az alkatrészek milyen paraméter értékével érhetı el Min & mb
2. rész
47
A hibafa elemzés (FTA) (2) • A hibafában szereplı logikai kapcsolatok: – VAGY-tag esetén akkor következik be meghibásodás, ha valamelyik alkatrész meghibásodik (ez soros megbízhatósági modell esetén jellemzı), ebben az esetben a meghibásodási tényezık összegzésével kapjuk meg az eredményt – ÉS-tag esetén a meghibásodás feltétele az összes
Min & mb
2. rész
48
A hibahatás elemzés (FMEA) • A hibahatás elemzés során az alkatrészek meghibásodásaiból indulunk ki • Vizsgáljuk, hogy ezek a meghibásodások milyen hatással vannak a teljes rendszerre
Min & mb
2. rész
49
Rendszerek megbízhatósági vizsgálata Markov modell szerint
Min & mb
2. rész
50
Az állapottéren alapuló Markov modell • Az általunk vizsgált állapottéren alapuló Markov modell általános jellemzıi – véges, diszkrét állapotterő – folytonos idejő, – sztochasztikus
• Fentiek ugyan bizonyos korlátozásokat jelentenek, de a modellel a rendszerek legfontosabb jellemzıi meghatározhatók Min & mb
2. rész
51
A Markov modellel meghatározható rendszerjellemzık • karbantartott (javított) redundáns rendszerek állapotvalószínőségeinek stacioner eloszlása • rendszer készenléti tényezıje (tartós üzemkészsége) • a rendszer egyes állapotokban való tartózkodásának várható idıtartama • nem javítható rendszerek esetében a mőködésképtelenségig várható idıtartam Min & mb
2. rész
52
A Markov-modell sztochasztikus jellege • Sztochasztikus folyamat esetén a vizsgálat véletlen eseményekre vonatkozik - véletlen változók függvényeit kell elemezni • Valamely sztochasztikus folyamat jelölése
{Z (t ), t ≥ 0} vagyis egy bizonyos idıpont után vizsgáljuk a Z(t) rendszerállapotot az idı függvényében • A rendszert az állapotai és a köztük bekövetkezı átmenetek jellemzik Min & mb
2. rész
53
Folytonos idejő és diszkrét álapottér •
• •
A sztochasztikus folyamat a lehetséges Z1 (t ), Z 2 (t ), ... Z i (t ), ... Z m (t ) állapotok valamelyikét tetszıleges idıpontban veheti fel Diszkrét álapottér eseményei egymástól elhatároltak, és egymást kizáróak (diszjunktak) Az állapotok száma véges (m), és a rendszer valamennyi állapotát figyelembe kell venni m
∑ P (t ) = 1 i
Min & mb
i =12. rész
54
Markov folyamatok ábrázolása • A Markov folyamatok lehetséges állapotait és a közöttük fellépı átmeneteket az ún. Markov (vagy állapot-) gráf tünteti fel • A gráf csomópontjai jelentik az állapotokat • A gráf élei az állapotátmeneteket • Átmenetet okozó események lehetnek – az elem meghibásodása, – a meghibásodás felismerése, – javítása, stb. Min & mb
2. rész
55
Állapotgráf (1) • A többállapotú rendszerek áttekinthetı ábrázolása az ún. Markov-gráf • Az állapotgráffal kapcsolatos adatok – tetszıleges i csomóponthoz a hozzá tartozó Pi(t) állapotvalószínőséget, – éleihez az i és j állapotok közti állapotátmenet valószínőségét rendeljükl
• A Markov modell célja a fenti állapot- és állapotátmeneti valószínőségek meghatározása Min & mb
2. rész
56
Állapotgráf (2) • Pl.: Két állapotú javítható rendszer állapotgráfja 1 • A meghatározandó állapotvalószínőségek [P1(t) és P2(t)] • Az állapotátmenetek valószínősége: Pij = aij ⋅ ∆t ⋅ Pi (t )
a12 2
a21
A gyakorlatban az ábrában csak az a12 = λ, a21 = µ átmenet intenzitásokat szokás feltüntetni Min & mb
2. rész
57
Markov-folyamatok emlékezetmentessége • Az állapotátmenet valószínőségét az átmenet intenzitása, és az induló állapotban való tartózkodás valószínősége szabja meg • Emlékezetmentes (ún. markovi) a folyamat, ha a változást nem befolyásolják a korábbi állapotok, csak a közvetlenül megelızı állapot
Min & mb
2. rész
58
Az emlékezetmentesség matematikai megfogalmazása • A feltételes valószínőségek felhasználásával úgy fogalmazható, hogy a rendszer korábbi állapotaira vonatkozó pótlólagos információ nem befolyásolja a tn+1 és tn idıpontok közötti állapotátmenet valószínőségét: Pr{ Z (t n +1 ) = Z n +1 Z (t n ) = Z n , Z (t n −1 ) = Z n −1 , ... , Z (t1 ) = Z1} = = Pr{ Z (t n +1 ) = Z n +1 Z (t n ) = Z n } • Ez a feltételes valószínőség tekinthetı az állapotátmenet valószínőségének Min & mb
2. rész
59
Az állapotátmenetek valószínősége • A Z i ⇒ Z j állapotátmenet feltételes valószínősége:
Pr{ x(t + ∆t )= j x(t )= i } = aij (t ) ⋅ ∆t
• Ezt a feltételes valószínőséget a feltétel Pi (t ) valószínőségével szorozva kapjuk együttes valószínőségre, hogy
Pr{x(t ) = i ∧ x(t + ∆t ) = j} = Pi (t ) ⋅ aij (t ) ⋅ ∆t • Ez annak a valószínősége, hogy a rendszer a t idıt követıen a ∆t idı alatt a Zi bıl Zj-be jut Min & mb
2. rész
60
Homogén Markov folyamat • Ha az állapotátmenet aij (t ) intenzitása állandó, vagyis aij (t ) = aij , akkor a folyamatot idıben homogénnek nevezzük. • Ez a nem-öregedı tulajdonságot jelenti, az átmenetekhez ezért az exponenciális eloszlás tartozik. Ekkor az állapotátmenet valszínősége Pij (t ) = Pr{x(t ) = i ∧ x(t + ∆t ) = j} = Pi (t ) ⋅ aij ⋅ ∆t Min & mb
2. rész
61
Az állapotvalószínőségek meghatározása (1) • Az állapotok száma véges, a fenti egyenleteket valamennyi állapotra felírva egy differenciálegyenlet-rendszert kapunk Pj (t + ∆t ) = Px (t ) ⋅ a xj ⋅ ∆t + Pj (t ) ⋅ 1 − a jx ⋅ ∆t ∀x ≠ j ∀x ≠ j
∑
Min & mb
∑
2. rész
62
Az állapotvalószínőségek meghatározása (2) • A kifejezés elsı tagja annak a valószínősége, hogy a rendszer a t idıpontban valamelyik Z x (t ) ≠ Z j (t ) állapotban van, és ∆t idı alatt a Z j (t ) állapotba jut • A második tag pedig annak a valószínősége, hogy a rendszer a t idıpontban a Z j (t ) állapotban van, és a ∆t idı alatt ott is marad, nem megy semelyik Z x (t ) ≠ Z j (t ) állapotba Min & mb
2. rész
63
Az állapotvalószínőségek meghatározása (3) • Fenti egyenletet átrendezve Pj' (t )
=
dPj (t ) dt
= lim
Pj (t ) − Pj (t )
∆t →0
∆t
=
∑ P (t ) ⋅ a x
∀x ≠ j
xj
∑a
− Pj (t ) ⋅
jx
∀x ≠ j
• Ha az egyenletrendszernek t→∞ esetén létezik egy stacioner megoldása, akkor a rendszer ergodikus, és valamennyi Zj állapotra: dPj dt
=0
(vagyis az állapotvalószínőség konstans érték) Min & mb
2. rész
64
Példa a rendszer differenciálegyenletrendszerének elıállítására (1) • Tekintsük a következı forró tartalékolt kettıs redundáns javítható rendszert:
µ
µ
2λ λ 1 Min & mb
2 2. rész
λ 3 65
Állapotvalószínőségek alakulása • Az állapotból elmenı nyilak csökkentik az állapotban tartózkodás valószínőségét • Az oda érkezı nyilak növelik az állapotban tartózkodás valószínőségét P1 (t + ∆t ) = P1 (t ) − P1 (t ) ⋅ 2λ ⋅ ∆t + P2 (t ) ⋅ µ ⋅ ∆t
P2 (t + ∆t ) = P2 (t ) − P2 (t ) ⋅ (λ + µ ) ⋅ ∆t + P1 (t ) ⋅ 2λ ⋅ ∆t + + P3 (t ) ⋅ µ ⋅ ∆t P3 (t + ∆t ) = P3 (t ) − P3 (t ) ⋅ µ ⋅ ∆t + P2 (t ) ⋅ λ ⋅ ∆t
Min & mb
2. rész
66
A differenciál egyenlet-rendszer (1) • A fenti egyenletekbıl átrendezés után kaphatjuk a rendszerre vonatkozó differencia hányadosokat, melyek határértékeként adódnak a differenciál egyenletek P1 (t + ∆t ) − P1 (t ) P (t ) = lim = − P1 (t ) ⋅ 2λ + P2 (t ) ⋅ µ 1 ∆t →0 ∆t • hasonlóan a többi állapotfüggvényre ' P (t ) = − P2 (t ) ⋅ (λ + µ ) + P1 (t ) ⋅ 2λ + P3 (t ) ⋅ µ '
2
P ' (t ) = − P3 (t ) ⋅ µ + P2 (t ) ⋅ λ 3
Min & mb
2. rész
67
A differenciál egyenlet-rendszer (2) • A differenciál egyenletrendszert tömörebb mátrixos írásmóddal a következı alakra hozhatjuk: P' = A ⋅ P
P1' ' P = P2' ' P3
ahol P ' az állapotvalószínőségek deriváltjaiból képzett oszlopvektor P1 P az állapot valószínőségek P = P2 bıl képzett oszlopvektor, és P 3 az ún. állapotmátrix A Min & mb 2. rész
68
A differenciál egyenlet-rendszer (3) • Az állapotmátrix képzési szabálya a mátrix felépítése alapján követhetı: – fıátlóbeli aii elemek az adott i állapotból elmenı nyilak intenzitásösszege minusz elıjellel – tetszıleges aij elem a j-bıl i-be vezetı nyilak intenzitásösszege
− 2λ A = 2λ 0 Min & mb
0 λ − (λ + µ ) µ µ − µ 2. rész
69
A differenciál egyenlet-rendszer megoldása • A mátrix szabályszerősége is kiolvasható az adódott mátrixból: az oszlopösszegek mindig 0-t adnak • Ez alapján pl. Laplace transzformációval viszonylag egyszerően, algebrai egyenletrendszer megoldásával oldható meg a feladat
Min & mb
2. rész
70
Ergodikus Markov-folyamat (1) • A fentiek szerint meghatározott ergodicitás esetén ∑ Px ⋅ a xj = Pj ⋅ ∑ a jx ∀x ≠ j
∀x ≠ j
Px (t ) = Px ahol tlim →∞ • Px az x állapot stacioner állapoteloszláshoz tartozó, idıben állandó valószínősége
Min & mb
2. rész
71
Ergodikus Markov-folyamat (2) • Az ergodikus strukturák az állapottér modellek egy szőkebb osztályát alkotják, – a módszer alkalmazásának vannak ugyan korlátai, de számítási módszere lényegesen egyszerőbb – segítségükkel a gyakorlatban adódó problémák általában megoldhatók
• Az ergodicitási feltétel teljesülése – a rendszer minden hibáját reális idın belül kijavítják – az állapottér minden állapotából minden állapot legalább közvetve elérhetı Min & mb
2. rész
72
Ergodikus Markov-folyamat (3) • A fenti ergodicitási feltételek teljesülése esetén a rendszer állapotterében nincs olyan zárt állapotcsoport, ami – az állapotoknak csak egy részét tartalmazza és – nincs ebbıl a zárt állapotcsoportból kilépés
• Ilyenkor a rendszer gráfja – összefüggı, – csak tranziens állapotokat tartalmaz – nem tartalmaz forrást, nyelıt, ill. olyan állapotcsoportot, amibe csak belépés van, kilépés nincs Min & mb
2. rész
73
Javított soros rendszer
λ1
Az állapotátmenetek intenzitásai: a12 = λ1+λ λ2+λ λ3, a21 = µ
λ2 λ3
a12
2
1
µ
1
2 a21
Min & mb
2. rész
74
Párhuzamos (redundáns) rendszer két különbözı egységbıl 2
a24 = λb
a12 = λa 1
a13 = λb Min & mb
a41 = µ
4 a34=λ λa
3 2. rész
75
Párhuzamos (redundáns) rendszer két egyforma egységbıl • A forró tartalékolt párhuzamos rendszer két egységének egyenlı a meghibásodási tényezıje: λ =λ =λ a
1
b
a12= 2λ λ
2
a23=λ λ
3
a31=µ µ Min & mb
2. rész
76
Stand-by rendszer Markov gráfja
a12=2λ λ
1
1
a23=λ λ 2
3
a25=λ λ
a14= λ
a36=λ λk
k
k
4
5
a45=2λ λ
a56=λ λ
6
Javítás nincs Operatív egység meghibásodási tényezıje λ, Közös egység meghibásodási tényezıje λk. X = 1 - a tökéletes jó állapot, X = 2 - még üzemképes, X = 3, 4, 5 és 6-ban a rendszer üzemképtelen. Min & mb
2. rész
77
Ha az elızı rendszert üzemképtelenség esetén azonnal kikapcsolják 1
1
a23=λ λ 2
3
a25=λ λ
a14= λ
k
k
4
Min & mb
a12=2λ λ
5
2. rész
78
Háromegységes forrótartalékolt rendszer állapot-gráfja (1) • Javítás nélkül (még Boole-modellel kezelhetı) • Állapotok 1 - teljesen jó állapot 2 - egy részrendszer rossz (üzemképes) 3 - két részrendszer rossz (üzemképes) 4 - mindhárom részrendszer rossz (üzemképtelen) 1 Min & mb
3λ λ
2
2λ λ 2. rész
3
λ
4 79
Háromegységes forrótartalékolt rendszer állapot-gráfja (2) • Minden hiba esetén végzett teljes felújítás esetén 1
3λ λ
2
2λ
3
λ
4
µ µ µ Min & mb
2. rész
80
Háromegységes forrótartalékolt rendszer állapot-gráfja (3) • Csak teljes rendszerhiba esetén végzett teljes felújítás esetén
1
3λ λ
2
2λ λ
3
λ
4
µ Min & mb
2. rész
81
Különbözı tartalékolási módok • Forró tartalék (Boole modellel csak ez kezelhetı) - csak e tartalékolási módnál függetlenek egymástól az egyes egységek meghibásodásai • További tartalékolási módok esetén az egységek meghibásodása függ a rendszerben betöltött szerepüktıl – Hideg tartalék (a tartalék csak a fı egység meghibásodása után lép üzembe) – Csökkentett terheléső (meleg) tartalék Min & mb
2. rész
82
Hideg tartalékolt rendszer
A
B
(nem kanonikus) C
• Operatív egységek A, B és C • Közös egység a tápfeszültség
TÁPEGYSÉG
Min & mb
2. rész
83
Háromegységes hidegtartalékolt rendszer állapotgráfja (1) Javítás nélkül, egyforma egységek esetén Állapotok 1 - teljesen jó állapot 2 - egy részrendszer rossz (üzemképes) 3 - két részrendszer rossz (üzemképes) 4 - mindhárom részrendszer rossz (üzemképtelen) 1 Min & mb
λ
2
λ 2. rész
3
λ
4 84
Háromegységes hidegtartalékolt rendszer állapotgráfja (2) Minden hiba után elvégzett teljes felújítás esetén 1
λ
2
λ
3
λ
4
µ µ µ Min & mb
2. rész
85
Háromegységes hidegtartalékolt rendszer állapotgráfja (3) Csak teljes rendszerhiba után elvégzett teljes felújítás esetén 1
λ
2
λ
3
λ
4
µ λ1 = λ2 = λ3 = λ. Min & mb
Ti = 1/ λ 2. rész
T=3/ λ 86
Hidegtartalékolt rendszer megbízhatósága (1) • A hideg tartalékolt rendszer olyan redundáns rendszert jelent, melynél mindig csak egy egység mőködik (többi ki van kapcsolva – kizárt a meghibásodásuk) • A megbízhatósági függvény ilyenkor a Poisson eloszlás szerint számítható • Ezen eloszlás esetén annak a valószínősége, hogy a (0,t) idıszakban éppen h hiba (λ ⋅ t )h − λ ⋅t következik be: Min & mb
Ph (t ) = 2. rész
⋅e h!
87
Hidegtartalékolt rendszer megbízhatósága (2) • Ilyenkor definíció szerint addig mőködıképes a rendszer, amíg van legalább egy mőködı eleme - tehát amíg a hibák száma h
Rhideg (t ) =
∑
n −1
Pi (t ) = e − λ ⋅t ⋅ i
i =0
∑ i =0
(λ ⋅ t )i i!
• A meghibásodási valószínőség pedig ∞
Fhideg (t ) = 1 − Rhideg (t ) = Min & mb
n −1
∞
∑ P (t ) − ∑ P (t ) = ∑ P (t ) i
i = 02. rész
k
i =0
i
k =n
88
Hideg tartalékolt rendszer megbízhatósági függvényének alakulása 1
N – az alkalmazott egységek száma
rH(t)
0.5 N=
0
Min & mb
1
2
3
4
5
6
2. rész
10
89
Csökkentett terheléső tartalék • A tartalékolt egység meghibásodása nem zárható ki, de a kisebb terhelésnek megfelelıen kisebb gyakoriságú, mint a funkcionáló egységé • A tartalékolt egység meghibásodási tényezıje ' λ = c ⋅ λ ahol 0 < c < 1 • E tartalékolási mód speciális eseteiként fogható fel a hideg és forró tartalékolás (hideg tartalékolásnál c=0, forró tartalékolásnál c=1) Min & mb
2. rész
90
Háromegységes csökkentett terheléső tartalék
1
λ+2λ λ’
Min & mb
2
λ+λ λ’
3
2. rész
λ
4
91
Háromegységes csökkentett terheléső tartalék rendszerhiba esetén teljes felújítással
λ+ 2λ λ’
λ+λ λ’
λ
µ
Min & mb
2. rész
92
Születési-halálozási folyamat • Ebben az esetben csak a szomszédos állapotokba van átmenet - a sztochasztikus folyamatok egy speciális osztályát képezik • Ilyen folyamattal modellezhetı a következı 3 egyforma tagból álló hideg tartalékolt rendszer „egyenkénti javítással” µ
µ
1 Min & mb
λ
2
µ 3
λ 2. rész
λ
4 93
Állapotidı • Megbízhatóság az állapotvalószínőségen túl fontos kérdés, hogy mennyi ideig tartózkodik a rendszer az egyes állapotokban • A Zi állapotban való tartózkodás idejét Ti-vel jelöljük • Ha a Zi állapotból csak egyetlen Zj állapotba van átmenet, akkor T = 1 . i
aij
• Ha több állapotba van átmenet, akkor:
Ti =
1
∑a j
Min & mb
2. rész
94
ij
Megbízhatósági számítások a Markov modell segítségével • A számítások szabályai a következıkben bizonyítás nélkül szerepelnek • A rendszer állapotait x=1,2,3, ... h, ... m indexek jelölik • A szokásos jelöléssel a rendszer – üzemképes, ha
1≤ x ≤ h
– üzemképtelen, ha
h<x≤m
Min & mb
2. rész
95
Általános számítási szabályok (1) I.: Az x=i állapotból x=j állapotba való átmenet valószínősége kis ∆t idı alatt Pij = aij ⋅ Pi (t ) ⋅ ∆t
ahol aij az átmenet intenzitása és Pi (t ) = Pr{x(t ) = i}
II .: Az állapotvalószínőségek összege minden idıpillanatban kiadja a teljes valószínőséget
∑ P (t ) = 1 i
i Min & mb
2. rész
96
Általános számítási szabályok (2) III .: Ergodikus rendszerben nem lehet sem forrás, sem nyelı, sıt ilyen jellegő állapotcsoport sem. Nem javítható rendszerek ezzel a model-lel úgy vizsgálhatók, hogy extrém paraméterő javítást feltételezünk és ezzel a rendszert ergodikussá tesszük Ebben az esetben létezik az állapotoknak egy határeloszlása, ahol az állapotok stacioner valószínősége: Px = lim Px (t ) t →∞
Min & mb
2. rész
97
Egyensúlyi egyenletek (1) III/a .: Valamennyi állapot stacioner valószínőségére igaz, hogy Px > 0
∀x
III/b .: A Zi állapot Pi stacioner valószínősége az ún. egyensúlyi egyenletekbıl számítható. E szerint az állapotba való belépéseknek egyensúlyt kell tartani az onnan való kilépésekkel (a gráfot átvágva a vágás helyét átmetszı intenzitások egyensúlyt tartanak) Min & mb
2. rész
98
Egyensúlyi egyenletek (2) A stacioner állapotok egyensúlyát a következı ábra szemlélteti:
v
f
g
e h Min & mb
afk afl
k alg
alh ahm 2. rész
w
l
amg
agm
m
99
Egyensúlyi egyenletek (3) • A vágás révén létrejött két diszjunkt állapotcsoporthoz tartozó indexek halmazát jelölje v és w, mely halmazokra igaz, hogy:
{ v }∧ { w } = Φ
és
{ v }∨ { w } = Ω
• A balról jobbra haladó éleknél az állapotátmenet kezdıpontja a v, végpontja a w halmazban • A jobbról balra haladó éleknél az állapotátmenet kezdıpontja a w, végpontja a v halmazban Min & mb
2. rész
100
Egyensúlyi egyenletek (4) • Fentiek alapján az állapotok egyensúlyát a következıképpen írhatjuk fel: Pi aij = a ji Pj ∀i∈v ∀j∈w ∀j∈w ∀i∈v
∑ ∑
∑ ∑
• Ebbıl az egyensúlyi egyenletbıl valamennyi állapot stacioner valószínősége kiszámítható: Px a xj ∀j∈w ∀x ≠ j Pj = a jx
∑ ∑ ∑
∀x ≠ j Min & mb
2. rész
101
Egyensúlyi egyenletek (5) • III/c .: Az 1 és 3b szabályok alapján bármelyik állapotra felírható egy ilyen egyensúlyi egyenlet, ami azt jelenti, hogy az állapotból kimutató nyilak tartanak egyensúlyt a befelé mutató nyilakkal: Pi ⋅ aik = Pk ⋅ a ki
∑
∑
∀i ≠ k
∀i ≠ k
ahol X=k a kérdéses állapot, és i jelenti a k-tól különbözı összes többi állapotot Min & mb
2. rész
102
Egyensúlyi egyenletek (6) • A III/c szabályt az ábra illusztrálja, a következı egyensúlyi egyenlettel: b c
l k
Pb ⋅ abk + Pc ⋅ ack + Pd ⋅ abdk = Pk ⋅ (a kd + akl + akf )
d
Min & mb
f 2. rész
103
Állapotokban tartózkodás ideje • IV.: Valamely X=i állapotban való tartózkodás ideje az állapotból kimutató nyilak intenzitás1 összegével számítható T = i
∑a
ij
∀j ≠ i
• IV/a.: Egy adott v állapotcsoportban való tartózkodás ideje az állapotból kimutató nyilak intenzitásösszegével számítható
∑P
i
Tv =
∀ i∈ v
Pi ⋅ a ij ∀ i∈ v ∀ j∉v
∑
Min & mb
∑
2. rész
104
Üzemkészségi mutatók számítása • A rendszer tartós üzemkészsége a jó állapotok összes valószínősége: K=
∑P
i
∀i ≤ h
• A rendszer üzemképes állapotban töltött idejének várható értéke a fentiek szerint: K ahol K a készenléti tényezı T = U h a hibakorlát
∑ P ⋅ ∑ a i
∀i ≤ h Min & mb
2. rész
∀j > h
ij
105
Csökkentett tartalékolás, mint általános tartalékolási mód (1) • Háromegységes csökkentett terheléső tartalékkal kialakított felújított rendszert (l. 43 sz. dia) a fenti számítási mód alapján vizsgálva a
P1 ⋅ (1 + 2c) ⋅ λ = P2 ⋅ (1 + c) ⋅ λ = P3 ⋅ λ = P4 ⋅ µ egyenletek alapján az állapotvalószínősé4 gek meghatározhatók a Pi = 1 ∑ alapján i =1 Min & mb
2. rész
106
Csökkentett tartalékolás, mint általános tartalékolási mód (2) • Ebbıl: λ 1+ c 1 + 2c (1 + 2c) ⋅ (1 + c) P1 = ; P2 = ; P3 = ; P4 = ⋅ P3 µ A A A ahol
λ A = (2 + 3c ) ⋅ 1 + ⋅ 1 + 3c + 2c 2 µ
(
)
• vagyis a készenléti tényezı (2 + 3c) + (1 + 2c) ⋅ (1 + c) K = P1 + P2 + P3 = A Min & mb
2. rész
107
Csökkentett tartalékolás, mint általános tartalékolási mód (3) • és a meghibásodások között várható jó mőködési idı:
K 1 (2 + 3c) + (1 + 2c) ⋅ (1 + c) TU = = ⋅ P3 ⋅ λ λ (1 + 2c) ⋅ (1 + c) • Az összefüggés alapján követhetı, hogy c=0 esetén a hideg, c=1 esetén a forró tartalékolásra vonatkozó összefüggést kapjuk
(TU )c =0 = Min & mb
3
λ
illetve 2. rész
11 (TU )c=1 = 6⋅λ 108
Megbízhatóság szemléleti módjai • Mérnöki szemlélet szerinti alapfeladat: – adott termék, rendszer megbízhatóságának meghatározása, – a megbízhatóság lehetıség szerinti számszerő jellemzése.
• Menedzser szemlélet szerinti alapfeladat: az elıírt megbízhatósági követelmények gazdaságos teljesítése az életciklus különbözı fázisaiban Min & mb
2. rész
109
Megbízhatóság-management területei • • • •
Megbízhatóság tervezése, Megbízhatóság elemzése, Megbízhatóság optimalizálása, elıre jelzése Alkalmazási területek – A nagy biztonságot igénylı alkalmazásokhoz feltétlenül szükséges, mint pl. nukleáris erımő, őrkísérlet, energiaellátás, információs hálózat, nagy számítógépes rendszer, orvosi berendezés, közlekedés irányítás stb.) – A háztartási készülékek esetén is nagy a megbízhatóság gazdasági jelentısége az élettartam, a szerviz, alkatrész tartalékolás, stb. miatt.
Min & mb
2. rész
110
