Mechanické kmitání Kmitání (oscilace) – procesy, které se s určitým stupněm pravidelnosti opakují sledovaná fyzikální veličina (např.výchylka, elektrický proud,..) osciluje kolem nějaké rovnovážné (střední) hodnoty oscilace mohou mít různou fyzikální podstatu:(např. mechanické, elektromagnetické, elektromechanické oscilace) Oscilátor – soustava, která kmitá (osciluje) Kmity volné (vlastní) – koná soustava ponechána sama sobě, když jsme ji předtím vyvedli z rovnováhy Kmity vynucené – hodnoty všech veličin, které charakterizují danou soustavu, se opakují v pravidelných časových intervalech. Pohyb je opakovaně vynucován vnější silou.
Harmonické kmitání Periodický průběh – průběh sledované veličiny X se X (t ) = X (t + T ) opakuje s určitou periodou T počet oscilací za 1 sekundu vyjadřuje frekvence kmitavého pohybu f
f =
1 T
u
kruhová frekvence kmitání: ω = 2π f t
T
harmonické oscilace – pohyb je udržován působením elastické (vratné) síly, která je úměrná výchylce z rovnovážné polohy působí proti výchylce FE = −kx
pohyb je periodický úhlová frekvence ω je konstantní x parametr k vyjadřuje tuhost oscilační vazby
k FE
Volné harmonické kmitání zanedbáváme síly tření, uvažujeme pouze konzervativní vratnou sílu FE =-kx a konstantní konzervativní tíhovou sílu G=mg v rovnováze platí x0 =
G = mg = − FE = kx 0
výsledná síla: F = − kx + mg = − k ( x −
mg k
mg ) = − k ( x − x 0 ) = − ku k
d 2u m 2 + ku = 0 dt
u = K1e α1t + t m K 2 e α 2t
G
ω0 =
d 2u 2 + ω 0u = 0 2 dt
α1, 2 = ±iω0
Obecné řešení:
FE
u
pohybová rovnice harmonických kmitů: ma = F
k
x0
α 2 + ω02 = 0
u = C1 sin (ω 0 t ) + C 2 cos(ω 0 t )
k m
Kruhová frekvence kmitání
hledáme řešení ve tvaru
u = e αt
Volné harmonické kmitání Označíme-li: C1 = A cos ϕ
Výchylka: Rychlost:
u = A sin (ω 0 t + ϕ) v=
C 2 = A sin ϕ u = C1 sin (ω 0 t ) + C 2 cos(ω 0 t )
du = Aω 0 cos(ω 0 t + ϕ) = v max cos(ω 0 t + ϕ) dt
Zrychlení: a = dv = − Aω 0 2 sin (ω 0 t + ϕ) = a max sin (ω 0 t + ϕ) dt
Volné harmonické kmitání Mechanická energie WM je rovna součtu energie kinetické WK a energie potenciální WP: 1 1 2 2 2 WM = WK + WP =
kinetická energie potenciální energie
WK =
2
mA ω0 =
2
mvmax
1 1 mv 2 = mA 2 ω 02 cos 2 (ω 0 t + ϕ ) 2 2 u
u
0
0
WP = − ∫ F du = ∫ ku du =
1 2 1 ku = mA 2 ω02 sin 2 (ω0 t + ϕ) 2 2
Volné harmonické kmitání Často je výhodné vyjádřit harmonické kmity pomocí komplex.funkcí
u~ = A e i ( ω0t + ϕ) u = Im(u~ ) = A sin (ω0t + ϕ) obdobně lze vyjádřit harmonické kmity pomocí funkce u = A cos(ω0t + ϕ)
Im iA
u (t ) −A
Aeiϕ ϕ A Re
− iA
T
Volné harmonické kmitání Příklad: (nárazník vagónu) - určete maximální rychlost vagónu o hmotnosti m, jestliže má 2 nárazníkové pružiny o tuhosti k s maximálním možným zkrácením ym ym = 10 cm - určete též přibližně dobu nárazu (stlačení) Tn a max.sílu Fm m = 30 t ∆ WK = ∆ W p k = 5 ⋅106 N/m 1 2 1 ∗ 2 mvm = k ym 2 2
∗
vm =
Fm = k ym = 2kym = 10 N 6
2k ym = 6,5 km/hod. m
ω0 =
k =& 18,3 s −1 m
k1
k2
F = k ∗ x = k1 x + k 2 x m
T 2π π m Tn = = = =& 0,09 s 4 4ω0 2 k
k ∗ = k1 + k 2
F
paralelně spojené pružiny
Kmitání - příklady Příklady kmitavých pohybů:
kyvadla
Video a) bungee jumping b) odskok kuliček
atomy v krystal.mřížce
Tlumené kmitání pohybový stav je ovlivňován nejen silou kvazielastickou, ale také r r r silou tlumící pohyb (disipativní síla) F = FE + FT r r FE = − mω02u
elastická síla
• součinitel útlumu:
r r r du FT = − Bv = −2mb dt
tlumící síla b=
B >0 2m
pohybová rovnice tlumených kmitů: d 2u du m 2 = F = −mω02u − 2mb dt dt
d 2u du + 2 b + ω02u = 0 2 dt dt
obecné řešení:
α + 2bα + ω = 0
u = C1e α1t + t mC2 e α 2t
α 1, 2 = −b ± b 2 − ω02
2
2 0
charakter. rovnice
Tlumené kmitání A) Aperiodický pohyb s nadkrit.útlumem: • obecné řešení:
u = C1 e α1t + C 2 e α 2t
• rychlost kmitání:
v=
(
AM α 1e α 2t − α 2 e α1t α1 − α 2
v = α1C1e α1t + α 2C2 e α 2t
t = 0 ⇒ u = AM , v = 0
• počáteční podmínky: u=
du dt
)
b > ω0
α1, 2 ...reálné
Tlumené kmitání B) Aperiodický pohyb s kritickým útlumem:
b = ω0
• obecné řešení:
u = e − ω0t (C1 + C 2 t )
• rychlost kmitání:
v = e − ω0t (C 2 (1 − ω 0 t ) − ω 0 C1 )
• počáteční podmínky:
t = 0 ⇒ u = AM , v = 0
u = AM e − ω0t (1 + ω0t )
α1, 2 = −ω0
Tlumené kmitání C) Tlumený kmitavý pohyb : • obecné řešení:
b < ω0
α 1, 2 = −b ± i ω 02 − b 2 = −b ± iω
u = e − bt (C1 sin ωt + C 2 cos ωt ) ω = ω 02 − b 2 = C1 = A cos ϕ
C 2 = A sin ϕ
2π T
kruhová frekvence tlumených kmitů
amplituda
u = Ae −bt sin(ωt + ϕ) počáteční
kmitů A(t) • rychlost kmitání: • perioda kmitání:
fáze kmitání v = Ae − bt {ω cos(ωt + ϕ) − b sin (ωt + ϕ)} T=
2π ω02 − b 2
Tlumené kmitání C) Tlumený kmitavý pohyb :
kmitavý pohyb s klesající amplitudou
u = Ae −bt sin(ωt + ϕ)
T
Tlumené kmitání Charakteristiky tlumeného pohybu: • útlum: -podíl dvou výchylek soustavy, lišících se o 1 periodu • logaritmický dekrement útlumu:
δ=
u (t ) = ebT u (t + T )
ϑ = ln δ = bT
• činitel jakosti kmitající soustavy: - 2π násobek poměru energie oscilátoru W(t) k úbytku energie soustavy za dobu 1 periody 1 W (t ) = mω2 A2 (t ) 2
Q = 2π
W (t ) 2π = W (t ) − W (t + T ) 1 − e − 2bT
vyjadřuje kvalitu oscilátoru
Tlumené kmitání - energie Mechanická energie soustavy:
2
1 ⎛ du ⎞ 1 W = m⎜ ⎟ + ku 2 2 ⎝ dt ⎠ 2
Úbytek energie: 2
⎤ du ⎛ dW du ⎡ d 2u du ⎞ ⎛ du ⎞ 2 = − = − = m + ku B B ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − Bv < 0 ⎥ ⎢ 2 dt dt ⎣ dt dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎦ dt ⎝
Vynucené harmonické kmitání Chceme-li zachovat oscilace soustavy, potom na bod musí působit periodická síla, tzv. síla budící FV = F(t), která dodává kmitající soustavě mechanickou energii (např. nápory větru, mechanické vibrace,…) • harmonická budící síla:
FV = FM sin Ωt
Ω
• pohybová rovnice vynucených tlumených kmitů: FM du d 2u 2 2 b + + ω u = sin Ωt 0 2 dt m dt
FV k 2
• obecné řešení ve tvaru: b < ω0
zakmitávání soustavy
ω = ω0 − b 2 m
u = Ae − bt sin( ωt + ϕ) + AV sin (Ωt + α )
tlumené kmity
harmonické kmity
ustálené kmitání soustavy
Vynucené harmonické kmitání dosazením partikulárního řešení do pohyb.rovnice: u P = AV sin(Ωt + α) AV =
(
FM 2
m ω0 − Ω
) + 4b Ω
2 2
2
2
amplituda ustálených kmitů
tg α =
− 2bΩ 2 ω0 − Ω 2
fázový posun síly a výchylky
u = Ae − bt sin( ωt + ϕ) + AV sin (Ωt + α )
zakmitávání
ustálené kmitání
Vynucené harmonické kmitání V první fázi (tzv.zakmitávání) mohou výchylky překročit max.výchylku ustálených vynucených kmitů soustavy
Vynucené kmity - rezonance Amplituda vynucených kmitů závisí na frekvenci Ω, tj. AV=AV(Ω) hledejme frekvenci Ω, kdy je amplituda maximální AV =
(
FM 2
m ω0 − Ω
) + 4b Ω
2 2
dAV =0 dΩ
2
2
2
Ω R = ω 0 − 2b 2
AV ,max =
• jelikož v praxi b<<ω0
amplitudová rezonance
FM 2
2bm ω0 − b 2
Ω R ≈ ω0
rezonanční frekvence max. hodnota rezonanční amplitudy
Vynucené kmity – rezonance Rezonanční křivky:
Fázový posuv α při rezonanci: Ω = ΩR
α=−
π 2
Vynucené kmity – rezonance Výchylka a energie značně rostou i při nepatrné vynucující síle
2
1 ⎛ du ⎞ 1 W = m⎜ ⎟ + ku 2 2 ⎝ dt ⎠ 2
Rezonance FM=1 N, m=1 t b=0.0001ω0
Vynucené kmity – rezonance Úbytek mech.energie za periodu T (ustálený stav): dW = − Bv 2 < 0 dt
T
∆TW = − B ∫ v dt = − BA Ω 2
0
2 V
T 2
2 2 2 Ω + α = − Ω cos ( ) d t t BA V ∫ 0
Střední hodnota výkonu za jednu periodu T: P =−
∆TW = −bmAV2 Ω 2 T
Výkon dodávaný vynucující silou je v ustáleném stavu roven výkonu disipativní síly
výkonová rezonance
b=
T 2
B >0 2m
Vynucené kmity – rezonance • činitel jakosti kmitající soustavy Q: - 2π násobek poměru průměrné energie oscilátoru W(t) k úbytku energie soustavy za dobu 1 periody 2 1 W = mω02 AV2 2 • úbytek energie během 1 periody: ∆T W (t ) = − P T = −bmAV2 Ω 2T = −2πbmAV2 Ω
Q = 2π
W ω = 0 ∆T W 2bΩ
čím užší rezonanční křivka D tím výraznější rezonance D ∼ 1 / Q
tato energie je doplňována vynucující silou během jedné periody ustálených vynucených kmitů malá energie dodávaná během 1 kmitu může zajišťovat vysokou energii oscilátoru
W =
1 Q ∆TW 2π
D
Vynucené kmity – rezonance Příklad: (destrukce rezonancí) Most Tacoma Narrows Bridge 1940 spadl v důsledku torzních kmitů mostní konstrukce, které byly způsobeny rezonancí mostu s nárazy větru
Vynucené kmity – rezonance Animace - Tacoma Narrows Bridge
Skládání kmitání Jelikož diferenciální rovnice kmitání je lineární, platí princip superpozice: d 2 ui dui m
dt
+C
dt
+ Dui = Fi (t )
u = u1 + u 2 + ....
Volné harmonické oscilace 1D : u = u1 + u 2 + .... = A1 sin(ω1t + ϕ1 ) + A2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) + ...
• periodické kmitání vznikne pouze tehdy: sin(ω i (t + T ) + ϕ i ) = sin(ω i t + ϕ i )
perioda složených kmitů
ωiT = 2πn, n...celé číslo T = n1T1 = n 2T2 = ...
Skládání kmitání Harmonická analýza kmitavého pohybu: -
každý periodický pohyb se obecně dá rozložit na jednotlivé harmonické pohyby s frekvencemi f, 2f, 3f,…, kde frekvence f se nazývá 1.harmonická a její násobky tzv. vyšší harmonické.
-
rozklad je možno provést pomocí Fourierovy analýzy ∞
∞
k =0
k =1
u = ∑ Ak cos( kωt ) + ∑ B k sin( kωt )
Skládání kmitání Skládání kmitů stejných frekvencí: u1 = A1 sin(ωt + ϕ1 )
u 2 = A2 sin(ωt + ϕ 2 )
• výsledný pohyb je periodický se stejnou frekvencí u = A sin(ωt + ϕ) u = u1 + u 2 = sin ωt ( A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 ) + cos ωt ( A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 )
Amplituda: A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) Fázové posunutí: tg ϕ =
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2
Skládání kmitání Skládání kmitů blízkých frekvencí: - zjednodušující předpoklad:
A = A1 = A2
u = u1 + u 2 = A sin(ω1t + ϕ1 ) + A sin(ω2t + ϕ2 ) = ϕ − ϕ 2 ⎞ ⎛ ω1 + ω2 ϕ + ϕ2 ⎞ ⎛ ω − ω2 = 2 A cos⎜ 1 t+ 1 t+ 1 ⎟ sin ⎜ ⎟ 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ pomalu proměnná amplituda A(t)
ω1 ≠ ω 2
harmonický kmitavý pohyb
ω 2 − ω1 << ω 2 + ω1
• vznikají kmity pomalu proměnné amplitudy – vznik rázů (kolísání intenzity) s frekvencí: f = f 1 − f 2
Skládání kmitání - rázy - pokud:
A = A1 = A2
t
- pokud:
A1 ≠ A2
t
Skládání kmitání – 2D platí princip superpozice:
r r r u = u1 + u 2 + ....
• skládání kmitů v kolmých směrech (x,y): x = A1 sin(ω1t )
• pokud platí:
y = A2 sin(ω 2 t + ϕ 0 )
ω1 = ω 2 = ω
y = A2 sin(ωt + ϕ0 ) = A2 sin ωt cos ϕ0 + A2 cos ωt sin ϕ0 = A2 x2 = x cos ϕ0 + A2 1 − 2 sin ϕ0 A1 A1
obecná rovnice elipsy xy y2 x2 2 2 − 2 cos ϕ + = sin ϕ0 0 2 2 A1 A2 A1 A2
Skládání kmitání – 2D Lissajousovy obrazce: ω1/ω2 ϕ = 0°
ϕ = 45°
ϕ = 90°
1:1
ω1 ≠ ω 2
2:1
ω1 / ω 2 = n 2 / n1
3:2
5:3
Vázané oscilátory – 1D na oscilátory působí nejen elastické síly FE1 a FE2, ale i síla vazebná FV FEi = −kui
FE1 m
FV = − KV (u2 − u1 )
m FV
pohybové rovnice oscilátorů ωV2 =
k + 2 KV m
u1
rozdíl řešení
d 2 (u1 + u 2 ) + ω 02 (u1 + u 2 ) = 0 2 dt
d 2 (u2 − u1 ) 2 + ω (u2 − u1 ) = 0 V 2 dt
u1 + u 2 = A1 sin(ω 0 t + ϕ1 )
u2 − u1 = A2 sin(ωV t + ϕ 2 )
výsledné řešení
u1, 2 =
FV
m
k 2 d 2 ui ω = m 2 = −kui ± KV (u2 − u1 ) 0 m dt součet řešení
FE 2
1 [A1 sin(ω0t + ϕ1 ) m A2 sin(ωV t + ϕ2 )] 2
m
u2
Vázané oscilátory – 1D u spřažených oscilátorů vlivem vazby dochází k rázům
jako spřažené oscilátory můžeme považovat vazby mezi jednotlivými částicemi látek
Čím těsnější je vazba mezi oscilátory, tím rychleji se přenáší mezi nimi mechanická energie
Kmitavý pohyb - aplikace b << ω0
Měření vibrací a zrychlení akcelerometry
k
a
d 2u du d2 x 2 + 2b + ω0 u = −a (t ) = − 2 2 dt dt dt
(ω
Ω2 2 0
)
2
− Ω 2 + 4b 2 Ω 2
seismická hmotnost
m
vynucené kmitání
Au = Ax
u
x = AX sin Ωt
x
ω0 = k / m
F = ku = ma
amax = AX Ω 2
musí se snímat výchylka u
Ω << 1 ω0
Au Ω 2 ≈ 2 Ax ω0
měření zrychlení
Ω >> 1 ω0
Au ≈1 Ax
měření posunutí
Kmitavý pohyb - aplikace Senzor nárazu – air bag system
používá MEMS akcelerometry pro detekci spuštění air bagu
