Matematika
Matematika Kocsis Imre
TERC Kft. • Budapest, 2013 © Kocsis Imre, 2013
Kézirat lezárva: 2012.
ISBN 978-963-9968-69-1 Kiadja a TERC Kereskedelmi és Szolgáltató Kft. Szakkönyvkiadó Üzletága, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztők Egyesülésének a tagja
A kiadásért felel: a kft. igazgatója Felelős szerkesztő: Lévai-Kanyó Judit Műszaki szerkesztő: TERC Kft. Terjedelem: 6 szerzői ív
TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ ......................................................................................................................................................... 9 1. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK ......................................................................................................................... 10 1.1 1.2 1.3 1.4
A LOGIKAI FÜGGVÉNYEK SZEREPE ................................................................................................................... 10 A LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MEGADÁSA ............................................................................................................... 10 NORMÁLFORMÁK ....................................................................................................................................... 12 A LOGIKAI FÜGGVÉNYEK EGYSZERŰSÍTÉSE ........................................................................................................ 13
2. KOMPLEX SZÁMOK .................................................................................................................................. 18 2.1 A KOMPLEX SZÁMOK KÜLÖNFÉLE ALAKJAI, ELNEVEZÉSEK ........................................................................................... 18 2.2 ALAPMŰVELETEK, HATVÁNYOZÁS, GYÖKVONÁS ...................................................................................................... 19 2.3 SZÁMOLÁS VÁLTAKOZÓÁRAMÚ HÁLÓZATOKBAN ..................................................................................................... 20 3. DIFFERENCIÁLÁS ...................................................................................................................................... 27 3.1 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK ...................................................................................................................................... 27 3.2DIFFERENCIÁLHÁNYADOS; DERIVÁLT FÜGGVÉNY ...................................................................................................... 28 3.3 VÁLTOZÁSI GYORSASÁG ..................................................................................................................................... 31 3.4 IRÁNY MENTI DERIVÁLT; PARCIÁLIS DERIVÁLT .......................................................................................................... 34 3.5 A TÉRGÖRBÉK GÖRBÜLETE ÉS TORZIÓJA ................................................................................................................. 36 3.6 VEKTORMEZŐK DIVERGENCIÁJA ÉS ROTÁCIÓJA ........................................................................................................ 38 3.7 PRIMITÍV FÜGGVÉNY; POTENCIÁLFÜGGVÉNY .......................................................................................................... 41 4. INTEGRÁLÁS ............................................................................................................................................ 44 4.1 INTEGRÁLRA VEZETŐ PROBLÉMÁK ........................................................................................................................ 44 4.2 JORDAN‐MÉRTÉK; HALMAZ FELOSZTÁSA ................................................................................................................ 47 4.3 INTEGRÁLKÖZELÍTŐ ÖSSZEGEK ............................................................................................................................. 48 4.4 SKALÁRÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA .............................................................................................................. 52 4.4.1 Az n típusú függvények integrálja ............................................................................................... 52 4.4.2 Az integrál néhány alapvető tulajdonsága ........................................................................................... 52 4.4.3 típusú függvények integrálja ..................................................................................................... 53 4.4.4 2 típusú függvények integrálja .................................................................................................... 54 4.4.5 3 típusú függvények (skalármezők) integrálja ............................................................................ 54 4.4.6 Az integrál kiszámítása polár‐ és hengerkoordinátákkal ..................................................................... 54 4.5 IMPROPRIUS INTEGRÁL ...................................................................................................................................... 56 4.6 VEKTORÉRTÉKŰ ÉS KOMPLEX ÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA ............................................................................... 57 4.7 VEKTORMEZŐK INTEGRÁLÁSA .............................................................................................................................. 57 4.7.1 Erőtér munkája; görbe menti integrál .................................................................................................. 57 4.7.2 Felület menti integrál; fluxus ................................................................................................................ 59 4.7.3 Kapcsolatok az integrálok között ......................................................................................................... 60 4.8 AZ INTEGRÁL KISZÁMÍTÁSA ................................................................................................................................. 62 4.8.1 Newton–Leibniz‐formula ...................................................................................................................... 62 4.8.2 Görbe menti integrál kiszámítása potenciálos terekben ...................................................................... 63 4.8.3 Numerikus integrálás (közelítőmódszerek) .......................................................................................... 63 5. FOURIER‐ANALÍZIS ................................................................................................................................... 66 5.1 FOURIER‐SOROK ............................................................................................................................................... 66 5.1.1 Hilbert‐tér; a Fourier‐sor általános fogalma ........................................................................................ 66
4
5.1.2 Exponenciális Fourier‐sorok .................................................................................................................. 68 5.1.3 Trigonometrikus Fourier‐sorok ............................................................................................................. 68 5.2 INTEGRÁLTRANSZFORMÁCIÓK ............................................................................................................................. 76 5.3 FOURIER‐TRANSZFORMÁCIÓ ............................................................................................................................... 77 5.3.1 Fourier‐integrál; Fourier‐transzformált ................................................................................................ 77 5.3.2 A Fourier‐transzformáció néhány alapvető tulajdonsága .................................................................... 80 5.3.3 Megjegyzések a jelfeldolgozással kapcsolatban .................................................................................. 81 6. LAPLACE‐TRANSZFORMÁCIÓ; LINEÁRIS RENDSZEREK ELEMZÉSE ............................................................... 82 6.1 LAPLACE‐TRANSZFORMÁCIÓ ............................................................................................................................... 82 6.1.1 A Laplace‐transzformáció fogalma ...................................................................................................... 82 6.1.2 A Laplace‐transzformáció néhány tulajdonsága .................................................................................. 84 6.2 LINEÁRIS RENDSZEREK ....................................................................................................................................... 85 6.2.1 Lineáris rendszerek leírása az időtartományban .................................................................................. 85 6.2.2 A homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza ......................... 86 6.2.3 Az inhomogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza ..................... 89 6.3 VIZSGÁLÓFÜGGVÉNYEK; SÚLYFÜGGVÉNY ............................................................................................................... 90 6.4 A LAPLACE‐TRANSZFORMÁCIÓ ALKALMAZÁSA A LINEÁRIS RENDSZEREK VIZSGÁLATÁBAN .................................................. 92 6.5 LINEÁRIS RENDSZEREK VIZSGÁLATA A FREKVENCIATARTOMÁNYBAN ............................................................................. 93 6.6 LINEÁRIS KEZDETIÉRTÉK‐PROBLÉMÁK MEGOLDÁSA LAPLACE‐TRANSZFORMÁCIÓVAL........................................................ 94 FELHASZNÁLT SZAKIRODALOM .................................................................................................................... 97
5
ALKALMAZOTT JELÖLÉSEK ℚ [a,b] ]a,b[ Mn×k detA AT i Re(z) Im(z) z ~ u ~ i v
a természetes számok halmaza az egész számok halmaza a racionális számok halmaza a valós számok halmaza a komplex számok halmaza zárt intervallum nyílt intervallum az n×k típusú valós mátrixok halmaza az A mátrix determinánsa az A mátrix transzponáltja képzetes egység a z komplex szám valós része a z komplex szám képzetes része a z komplex szám konjugáltja
ab
skaláris szorzat
a, b
skaláris szorzat
komplex feszültség komplex áramerősség vektor
ab
vektoriális szorzat
a bc
vegyes szorzat
ab
diadikus szorzat
,
hossz, norma
[] x
fizikai mértékegység (fizikai dimenzió) nabla operátor Laplace-operátor
2xy
másodrendű parciális derivált
v
irány menti derivált
grad div rot
gradiens divergencia rotáció görbület torzió mérték
ˆ fk
Fourier-együttható
FS
Fourier-sor
FI
Fourier-integrál
elsőrendű parciális derivált
FT FT
Fourier-transzformált -1
L{f} L-1{f} f*g
inverz Fourier-transzformált Laplace-transzformált inverz Laplace-transzformált konvolúció
6
1(t) (t) H(s) w(t) v(t)
egységugrásfüggvény Dirac-delta függvény átviteli függvény súlyfüggvény átmeneti függvény
7
ÁBRÁK JEGYZÉKE 2.1 ábra: Komplex számsík.................................................................................. 18 2.2 ábra: Komplex számok összeadása ................................................................. 19 2.3 ábra: Komplex számok szorzása ..................................................................... 19 2.4. ábra: Komplex feszültség- és áramfüggvények ................................................ 22 2.5 ábra: Ellenállás, kondenzátor, tekercs impedanciája .......................................... 23 3.1 ábra: Kísérő triéder, síkok .............................................................................. 37 4.1 ábra: Erőtér adott görbe menti munkája .......................................................... 58 4.2 ábra: Vektortér fluxusa .................................................................................. 59 4.3 ábra: A Gauss–Osztrogradszkij-tétel mennyiségeinek szemléltetése ..................... 62 4.4 ábra: A Stokes-tétel mennyiségeinek szemléltetése ........................................... 62 5.1 ábra: Periodikus jel frekvenciaspektruma ......................................................... 69 5.2 ábra: t cosk0 t függvények, k ............................................................ 71 5.3 ábra: t sink0 t függvények, k ............................................................. 71 5.4 5.5 5.6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
ábra: ábra: ábra: ábra: ábra: ábra: ábra: ábra:
Konvolúció........................................................................................... 77 A Fourier-transzformáció és az inverz Fourier-transzformáció ...................... 78 A valós és a komplex spektrum összehasonlítása ...................................... 80 A rugalmas mechanikai lengőrendszer modellje ........................................ 87 Tranziens rezgés kis és nagy csillapítás esetén ......................................... 88 A Dirac-delta függvény származtatása ..................................................... 91 Egységugrásfüggvény ........................................................................... 92 Nykvist- és Bode-diagram ...................................................................... 94
8
ELŐSZÓ
A Létesítménymérnöki mesterképzés „Matematika” című tárgyának oktatásakor elsődleges feladatunknak azt tekintjük, hogy rávilágítsunk a műszaki tárgyak tananyagának matematikai vonatkozásaira. Ehhez (és a terjedelmi korláthoz) alkalmazkodva e jegyzet felépítése rendhagyó, néhány témakör rövid összefoglalását tartalmazza kézikönyvszerűen. Az érintett témakörök számos matematika tankönyvben és jegyzetben megjelennek, a szándék nem ezek szaporítása volt, hanem egy olyan típusú feldolgozás, ami a műszaki tartalomnak a matematika oktatásában való megjelenésére adhat mintát. A szemléletmódot közel állónak érezzük a [2] forráséhoz. A „Fourier-analízis”, valamint a „Laplace-transzformáció, lineáris rendszerek” c. részeket az [1] forrás letisztult gondolatmenetére és a [3] gazdag tartalmára alapoztuk. A szöveg, jellege miatt nem tartalmaz tételes hivatkozásokat.
9
1.
1.1
LOGIKAI FÜGGVÉNYEK
A logikai függvények szerepe
A digitális technika eszközrendszerét meghatározza az a tény, hogy az adatok kétállapotú tárolóelemekben (memóriacellákban) bináris formában vannak tárolva. Így a legbonyolultabb rendszerek állapotainak leírása és a legbonyolultabb manipulációk kódja is végeredményben bináris jelsorozat. Ha analóg eszközt akarunk kezelni digitális rendszerrel, akkor a feldolgozáshoz az analóg jelet digitálissá kell alakítani, a beavatkozáshoz pedig vissza kell alakítani analóggá. A digitális rendszerekben való problémamegoldás végső soron azt jelenti, hogy a „bemeneten” megjelenő, a vizsgált rendszer állapotát leíró (véges hosszúságú) bináris jelsorozatra a „kimeneten”, egy másik, a beavatkozást kódoló (véges hosszúságú) bináris jelsorozatot kell előállítani. A digitális technikában használt két bináris jelet a 0 és az 1 jelöli. Ennek a számábrázolásban is haszna van, hiszen a kettes számrendszerben is ezt a két jelet használjuk. Azokat a függvényeket, amelyek véges bináris jelsorozathoz véges bináris jelsorozatot rendelnek, logikai függvényeknek nevezzük. Az elnevezés onnan ered, hogy a bináris jelek kezelésére a matematikai logika fogalmait, műveleteit használjuk (ezek eredetileg az igaz-hamis logikai értékkel való számolásra szolgáltak), függetlenül attól, hogy a bináris jelek az adott esetben logikai értéket jelentenek-e.
1.2
A logikai függvények megadása
A logikai függvények {0,1}n {0,1}k típusú függvények, ahol n és k pozitív egész számok. Egy {0,1}n {0,1}k típusú függvény előállítható k db {0,1}n {0,1} típusú függvénnyel, mint koordinátafüggvénnyel. A továbbiakban ilyen {0,1}n {0,1} típusú (n-változós) függvényekkel foglalkozunk, amelyek egy n hosszúságú bináris jelsorozathoz egy bináris jelet rendelnek. Könnyen n
belátható, hogy 22 különböző n-változós logikai függvény létezik: a lehetséges bemenetek száma 2n, és azt, hogy ezek közül melyekhez tartozik „1” kimenet ennyi féleképpen lehet megadni (ennyi a részhalmazok száma).
10
Egyváltozós logikai függvények 4 féle egyváltozós logikai függvény létezik, ezek foglalja össze a táblázat: X
0 1
0 0
0 1
X 1 0
1 1
Az egyváltozós logikai függvények közül a negáció (invertálás) függvényt érdemes kiemelni, mely a bemenet értékét 0-ról 1-re, 1-ről pedig 0-ra változtatja. Ennek jelölése: XX.
Kétváltozós logikai függvények 16 féle kétváltozós logikai függvény létezik, ezeket foglalja össze a következő táblázat. X
Y
0 0 1 1
0 1 0 1
XY (AND)
0 0 0 0
0 0 0 1
X+Y (OR) 0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
XY (NOR) 1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
XY (NAND) 1 1 1 0
1 1 1 1
A kétváltozós logikai függvények közül a konjunkció (ÉS, AND, szorzás), a diszjunkció (VAGY, OR, összeadás) függvényeket, valamint ezek negáltjait a NAND és a NOR függvényeket emeltük ki, mivel ezek a függvények alapvető szerepet játszanak a logikai függvényekkel való számolásokban, illetve a logikai függvények fizikai megvalósításában (a gyakorlatban elsősorban NAND, illetve NOR kapukat használnak). A logikai függvények megadásának a fentiekben használt módját igazságtáblázatnak nevezzük. A gyakorlatban az jellemző, hogy a megoldandó probléma meghatározza a megvalósítandó logikai függvény értékeit, vagyis az igazságtáblázatát, ezután következik a formális leírás, majd az egyszerűsítés és végül a fizikai megvalósítás. A kettőnél több változós logikai függvények esetén a fentieknek megfelelően kell az igazságtáblázatot elkészíteni. Példa: Jól ismert feladat a szavazógép logikai függvényének felírása. Három szavazó van (A, B, C), akik igennel (1 input) vagy nemmel (0 input) szavaznak. Az előterjesztést akkor fogadják el (1 output), ha többségben vannak az igenek, különben elvetik (0 output). A szavazógép logikai függvénye: X Y Z f(X,Y,Z) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
11
1.3
Normálformák
Diszjunktív normálformáról beszélünk, ha a logikai függvény a változók és negáltjaik konjunkcióinak diszjunkciója. Például egy háromváltozós logikai függvény diszjunktív normál formában: f(X, Y, Z) X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z . Az igazságtáblázatból könnyen felírható a diszjunktív normálforma. A fenti szavazógép esetén például: X 0 0 0 0 1 1
Y 0 0 1 1 0 0
Z 0 1 0 1 0 1
f(X,Y,Z) 0 0 0 1 0 1
1 1
1 1
0 1
1 1
X Y Z
XY Z
XYZ XY Z
f(X, Y, Z) X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z
A diszjunktív normálformában szereplő konjunkciókat mintermeknek nevezzük. Egy minterm egyértelműen azonosítható úgy, hogy megadjuk, mely változók szerepelnek ponált, illetve negált formában. Ha ezt az 1 és a 0 jelekkel tesszük, akkor a kód bináris számként fogható fel, és decimális alakban is kifejezhető. A háromváltozós példánkban: XY Z 101 5
XYZ 110 6
XY Z
bináris kód decimális megfelelő
X Y Z 011 3
a minterm jelölése
m3 3
m53
m36
m3 7
A függvény jelölése: f m3 m53 m36 m3 7 3
111 7
3
(3,5,6,7)
Konjunktív normálformáról beszélünk, ha a logikai függvény a változók és negáltjaik diszjunkcióinak konjunkciója. Például egy háromváltozós logikai függvény konjunktív normálformában: f(X, Y, Z) (X Y Z) (X Y Z) (X Y Z) (X Y Z) . A konjunktív normálformában szereplő diszjunkciókat maxtermeknek nevezzük. Egy maxterm egyértelműen azonosítható úgy, hogy megadjuk, mely változók szerepelnek ponált, illetve negált formában. Ha ezt az 1 és a 0 jelekkel tesszük, akkor a kód bináris számként fogható fel, és decimális alakban is kifejezhető. A háromváltozós példánkban: XYZ
bináris kód decimális megfelelő
111 7
XYZ 101 5
a minterm jelölése
M3 7
M53
A függvény jelölése: f M30 M3 M53 M3 7 2
12
3
XYZ 010 2
XYZ 000 0
M3 2
M30
(0,2,5,7) .
1.4
A logikai függvények egyszerűsítése
A negáció, konjunkció és diszjunkció függvényekre érvényesek összefüggések (X, Y és Z bináris változók, azaz X,Y,Z{0,1}):
idempotencia
kommutativitás asszociativitás
a
következő
OR (+) XXX X 1 1 X0X
AND () XX X X 1 X X0 0
XY YX X (Y Z) (X Y ) Z
XY YX X (Y Z) (X Y ) Z
X Y Z (X Y) (X Z)
disztributivitás
X (Y Z) (X Y ) (X Z) XX 0
X X 1 XX
de Morgan-azonosságok
XY XY
elnyelési szabályok
XY X Y XXY X X (X Y) X
Az itt felsorolt azonosságok felhasználásával átalakíthatók (egyszerűsíthetők) a negáció, konjunkció- és diszjunkció-függvényekkel felírt bonyolultabb logikai függvények. Példa: X Z Y Z X Y X Z (X X) Y Z X Y X Z X Y Z X Y Z X Y X Z (1 Y) X Y (Z 1) X Z X Y
Az azonosságokkal való számolás igen körülményes, azért gyorsabb és áttekinthetőbb módszereket feljesztettek ki. Ilyen eszköz az ún. Karnaugh-tábla, amely lehet mintermvagy maxterm-tábla. A táblában annyi cella szerepel, amennyi minterm illetve maxterm képezhető (ez a változók számától függ). A táblában 1-et írunk azokba a cellákba, melyeknek megfelelő minterm, illetve maxterm szerepel a függvény előállításában. A Karnaugh-táblákban a változók értékeit az ún. Grey kódnak megfelelő sorrenben kell szerepeltetni. Karnaugh-tábla kétváltozós függvények esetén Minterm-tábla: X
\Y 0 1
Például az f(X, Y) X Y X Y X Y m20 m12 m2 3 0
1
0
1
2
3
függvény minterm-táblája: X
13
\Y
0
1
0 1
1
1 1
Karnaugh-tábla háromváltozós függvények esetén Például az Minterm-tábla: f(X, Y, Z) X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z
X
\
0 0
Y Z 0 1
0 1
1 1
m3 m53 m36 m3 7 függvény minterm táblája: 3
1 0
0
1
3
2
4
5
7
6
\ YZ
X
00
01
11
10
1
1 1
1
0 1
Karnaugh-tábla négyváltozós függvények esetén Minterm-tábla: Például az f(X, Y, Z, V) X Y Z V X Y Z V X Y Z V
XY
\ ZV
00
01
11
10
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
00 01 11 10
4 függvény minterm táblája: m34 m54 m13
\ ZV
XY
00
01
00 01 11 10
11
10
1 1 1
A Karnaugh-tábla jelentősége az, hogy segítségével „grafikus” egyszerűsítést lehet végrehajtani a az alábbiak szerint: 1. A táblában olyan 1-esekből álló, vízszintesen vagy függőlegesen összefüggő részeket (hurkokat) kell keresni, amelyek 2 hatvány (2,4,8,…) darab 1-est tartalmaznak. 2. Egy huroknak úgy feleltetünk meg formulát (konjunkciót), hogy a ponált és negált formában egyaránt szereplő változókat elhagyjuk, a többit pedig a hurokban szereplő cellák által meghatározott formában (ponált vagy negált) szerepeltetjük. 3. Egy cella több hurokban is szerepelhet. 4. A táblázat szemközti szélső celláit szomszédosak kell tekinteni a hurkok képzésénél. Lehetséges hurkok kétváltozós függvény esetén: X\Y
0 1
0 1
1 1 X
X\Y
0 1
0 1 1
1
X\Y
0
1 1 1
0 1 Y
Y
14
X\Y
0
1
X\Y
0 1
1
1
0 1
X
0 1 1
1 1 1 1
Lehetséges hurkok háromváltozós függvény esetén: 00 1 1
01
0 1 X\YZ
00
01
X\YZ
11
10
X\YZ
00
01 1 1
0 1
YZ 11
0 1 00
01
11 1
0 1
X\YZ
10 1
X\YZ
0 1
00 1
01 1
00
01
00
01
11
0 1
1
0 1
1
1
0 1
00 1 1
01 1 1
00 1 1
01
00 1 1
01 1 1
11
X\YZ
00 1
01
1
0 1
0 1
10
X\YZ
00
0 1
11
X\YZ
00
01 1
11
00
01
11
1
1
X\YZ
0 1 11
10 1 1
X\YZ
0 1
00 1
01 1
11 1
10
10
XZ 10 1
X\YZ
00
0 1
1
01
11
10 1
XZ
11 1 1
10
11 1
10 1
00
01
X\YZ
00
0 1
1
X\YZ
11 1 1
10 1 1
01
11
10
1
1
1
0 1
Y
X
X 11 1 1
10
X Z 10
Z 11
11 1 1
Y Z 10
0 1
01 1 1
0 1
Z X\YZ
01
XZ
Y X\YZ
00
0 1
XY 10
XY X\YZ
X\YZ
XY
XY X\YZ
10
Y Z 10 1 1
YZ X\YZ
11
10 1 1
1
Példa: Egyszerűsítsük a szavazógép logikai függvényét! A függvény igazságtáblázata és előállítása diszjunktív normálformában: X Y Z f(X,Y,Z) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 X Y Z 0 1 1 1 1 0 0 0 XY Z 1 0 1 1 1 1
1 1
0 1
1 1
XYZ XY Z
f(X, Y, Z) X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z
15
A függvény minterm táblája és az egyszerűsítéshez használt hurkok: Y Z
XZ
XY
Az f függvény egyszerűsített formája ez alapján:
f ( X, Y , Z ) X Y X Z Y Z. Négyváltozós esetben a lehetséges hurkok nagy száma miatt nem rajzoljuk fel az összes esetet, csak néhány jellegzetes 4, illetve 8 cellás hurok alakot. XY\ZV
00
00 01 11 10
1 1
XY\ZV
00
01
11
10
XY\ZV
1 1
00 01 11 10
00 1
01 1
1
1
00 1 1 1 1
01
YV 00 01 11 10
01 1 1 1 1
11
10
XY\ZV
00 01 11 10
00 1
10
XY\ZV
00 01 11 10
V
11
11
1
10 1
1
YV
YZ
11 1 1 1 1
01
10 1 1 1 1
XY\ZV
00 01 11 10
Z
00 1
01 1
11 1
10 1
1
1
1
1
Y
Példa Egyszerűsítsük az f függvényt, amelynek igazságtáblázata X Y Z V f(X,Y,Z,V) 0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1
XYZV
1
X Y ZV
0 0 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1
X Y ZV
1
XYZV
1
X Y ZV
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
1
XYZV
1
X Y ZV
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 1 1
0 1 0 1
1
XYZV
f(X, Y, Z, V) X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y ZV X Y Z V XY ZV X Y Z V
16
A függvény minterm táblája és az egyszerűsítéshez használt hurkok: XYV
XYV Y ZV XZV
Az f függvény egyszerűsített formája ez alapján:
f (X, Y, Z, V) X Z V Y Z V X Y V X Y V.
17
2. KOMPLEX SZÁMOK
2.1 A komplex számok különféle alakjai, elnevezések algebrai alak:
abi
a,b
trigonometrikus alak:
r (cos i sin )
r, , r0
exponenciális alak:
i
r, , r0
re
A komplex számok ábrázolása, komplex számsík: : a komplex számok halmaza i: képzetes egység a: valós rész (Re(z)) b: képzetes rész (Im(z)) r: hossz, abszolút érték (|z|) : szög/argumentum (arg(z)) z : komplex konjugált
2.1 ábra: Komplex számsík Kapcsolat a komplex szám jellemzői között: a r sin
z r a 2 b2 ,
b r cos
tg
b . a
Megjegyzések: 1. A képzetes egységet sokszor j-vel jelölik. A „Számolás váltakozóáramú hálózatokban” című részben mi is ezt tesszük, hogy a képzetes egység és az áramerősség jele ne egyezzen meg. 2. A z a b i komplex számot a z a b i komplex szám konjugáltjának nevezzük. 3. Bizonyos számolásokban z komplex számot azonosítják a komplex számsíkban az origóból a z-nek megfelelő pontba mutató vektorral. E vektor „koordinátái” a komplex szám valós és képzetes része. 18
4. Egy komplex számhoz a [0,2[ tartományból egyértelműen hozzárendelhető szög. A komplex számokkal való számolásokban gyakran adódnak más szögértékek is. Ilyenkor – tekintettel a sin- és a cos-függvények 2 szerinti periodicitására – a szöghöz hozzáadható a 2 érték egész számszorosa (k 2, k ), amivel megkapható a [0,2[ tartományba tartozó szögérték. 5. Mivel a tangens függvényperiódusa , azaz a [0,2[ intervallumon minden értéket kétszer vesz fel, önmagában a b/a hányados nem határozza meg egyértelműen a komplex szám szögét.
2.2 Alapműveletek, hatványozás, gyökvonás Az összeadás és a kivonás az algebrai, a szorzás, osztás, hatványozás és a gyökvonás a trigonometrikus és az exponenciális alakban végezhető el könnyebben. Összeadás és kivonás
a 1 b1 i a 2 b 2 i a1 a 2 b1 b 2 i, a 1 b1 i a 2 b 2 i a 1 a 2 b1 b 2 i.
(E műveletek megfelelnek a vektorok összeadásának és kivonásának.) z1 z2 z1 z2 (a1 a2 ) (b1 b2 ) i
z1 r1 (cos 1 i sin 1)
z2 a2 b2 i
z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) z1 z2
1 2
z1 a1 b1 i
1 2 2.2 ábra: Komplex számok összeadása
2.3 ábra: Komplex számok szorzása
Szorzás, osztás és pozitív egész kitevős hatványozás
r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) ; r1 (cos 1 i sin 1 ) r 1 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) ; r2 (cos 2 i sin 2 ) r2
r (cos i sin ) n r n cos( n ) i sin( n )
(n pozitív egész szám).
Megjegyzés: ii=i2=-1. Gyökvonás Tekintettel arra, hogy a szöget a 2 egész számú többszörösével (k 2,k ) megváltoztatva ugyanazt a komplex számot kapjuk, könnyen belátható, hogy adott z 0 komplex szám esetén a zn r (cos i sin ) egyenletnek (n pozitív egész szám) n darab különböző megoldása van: azok a komplex számok, melyek hossza pedig a
2 2 2 szögek valamelyike. ,..., (n 1) , , 2 n n n n n n n
19
n
r , szöge
Így minden z 0 komplex számnak n darab különböző n-edik gyöke van, melyek az origó középpontú, n r sugarú körön, egy szabályos n-szög csúcsaiban helyezkednek el a komplex számsíkban: n
2 2 r (cos i sin ) n r cos k i sin k , k 0, 1, 2,..., n 1. n n n n
Komplex exponenciális függvény Az exponenciális alak a komplex exponenciális függvénnyel van felírva, amely az ez
zn , z n 0 n!
hatványsorral van definiálva. Ha a z komplex változó (kitevő) helyett az x valós változó szerepel, akkor a valós exponenciális függvényt kapjuk: e x
n0 (xn / n!) ,
x . Tisztán képzetes kitevő esetén
a függvényértékek komplexek, amelyekben (a képzetes tengely irányában) 2 szerinti periodikusság mutatkozik. A periodikusság jól látható az ei cos i sin Eulerformulából, mely a tisztán képzetes kitevőjű exponenciális és a valós szinusz- és koszinusz függvények közti összefüggés. Érdekes a = esetén adódó ei 1 0 összefüggés az alapvető matematikai konstansok között. A szorzás, osztás és a pozitív egész kitevős hatványozás exponenciális alakban: r1 ei1 r2 ei2 r1 r2 ei(1 2 ),
r1 e i1 r 1 e i( 1 2 ) , i 2 r2 e r2
r e i
n
r n e i( n )
(n pozitív egész szám).
2.3 Számolás váltakozóáramú hálózatokban Az elektromosságtanban feltételezzük, hogy az ún. passzív áramköri elemekből (ohmos ellenállásból, kondenzátorból és tekercsből) álló rendszerek lineárisak, így teljesül a szuperpozíció elve. A linearitás, valamint a Fourier-elmélet alapján megállapítható, hogy a periodikus időfüggvényű feszültséggenerátorok (ill. áramgenerátorok) felfoghatók harmonikus (szokásos szóhasználattal élve: szinuszos) időfüggvényű feszültséggenerátorok (ill. áramgenerátorok) soros kapcsolásaként. Ennek alapján a periodikusan gerjesztett, csak passzív elemeket tartalmazó áramkörök vizsgálata a harmonikus gerjesztésű rendszerek elemzésén alapul. Az elektromosságtanból tudjuk, hogy a passzív áramköri elemek feszültsége és árama színuszos gerjesztés esetén az alábbiak szerint függ össze (az egyszerűbb áttekinthetőség érdekében a feszültségfüggvény esetén nulla fázisszöget feltételezünk).
20
Ellenálláson (R) u(t) U0 sin( t) Feszültség Áramerősség
i(t) I0 sin( t)
Fáziseltolódás
I0 U0 / R =0
U0 sin( t) R
Kondenzátoron (C) u(t) U0 sin( t) Feszültség Áramerősség
i(t) I0 sin t U0 C sin t 2 2 I0 U0 C
Fáziseltolódás
, az áram „90°-kal siet” a feszültséghez képest 2
Tekercsen (L) Feszültség
u(t) U0 sin( t)
Áramerősség
U i(t) I0 sin t 0 sin t 2 L 2 I0 U0 /( L)
fáziseltolódás
, az áram „90°-kal késik” a feszültséghez képest 2
A váltakozóáramú hálózatokban végzett számítások szempontjából fontos megjegyezni, hogy míg ohmos ellenállás esetén a feszültség és az áramerősség pillanatnyi értékeinek hányadosa bármely időpillanatban megegyezik az egyenáramú ellenállással u(t) U0 R , addig a kondenzátor és a tekercs esetén ez a hányados az i(t) I0
körfrekvencia függvénye, és nem hordoz közvetlen fizikai jelentést. Számolások egyszerűsítése végett a váltakozóáramú hálózatokban a feszültséget és az áramerősséget komplex értékű függvényekkel írjuk le (az idő függvényében). E függvények hányadosa az időtől független állandó, a komplex impedancia, vagy másképpen komplex váltakozóáramú ellenállás. A komplex függvények alkalmazásának egyik előnye, hogy az egyenáramú körökben használt összefüggések (pl. a Kirchhoff-törvények) érvényben maradnak. Az alábbiakban összefoglaljuk a számításokban előforduló komplex értékű függvényeket és ezek összefüggéseit. A feszültség–idő függvény leírása komplex formában Ebben a részben a képzetes egységet j, a mennyiségek komplex értékeit ~ jelöli. A feszültség időbeli változását leíró u(t) U0 sin( t U ) függvény az ~ u(t) U0 cos( t U ) j sin( t U ) U0 e j(t U ) az ún. komplex feszültségfüggvény képzetes része: u(t) Im ~ u(t) .
21
Ahhoz,
hogy
a
fázisszög
U
(konstans)
és
az
időtől
függő
t
megkülönböztessük, az exponenciális kifejezést szétbontjuk: ~ ~ u(t) U0 e j(t U ) U0 e jU e jt U0 e jt . ~ Az U0 U0 e jU komplex számot a feszültségfüggvény komplex nevezzük. Mivel
tag
szerepét
amplitúdójának
e jU 1 , a komplex amplitúdó nagysága megegyezik az U0 valós
amplitúdóval (maximális feszültséggel), emellett tartalmazza a U fázisszöget is. Az áramerősséghez i(t) I0 sin( t I )
ugyanezen az elven rendelünk komplex függvényt: az függvény szerint változó áramerősséghez rendelt komplex
áramerősség-függvény:
~ i ( t ) I 0 cos( t I ) j sin( t I ) I 0 e j( t I ) .
A valós áramerősség-függvény a komplex áramerősség-függvény képzetes része: ~ ~ i(t) Im i (t) . Az áramerősség-függvény komplex amplitúdója: I0 I0 e jI , ezzel
~ ~ i (t) I0 e j(t I ) I0 e jI e jt I0 e jt .
A fentiek alapján a komplex amplitúdó nagysága megegyezik az I0 valós amplitúdóval (maximális áramerősséggel), emellett tartalmazza a fázisszöget is. A komplex feszültség- és áramerősség-értékek a komplex számsíkban vektorokként ábrázolhatók, amelyek harmonikus gerjesztés esetén szögsebességgel egyenletes körmozgást végeznek az origó körül. A vektorok által bezárt szög a feszültség és az áramerősség fázisának eltérése. Im
U0 U0
~ i (t)
I0
I0
~ u(t)
u(t) i(t)
Re
2.4. ábra: Komplex feszültség- és áramfüggvények Impedancia Egy passzív áramköri elem impedanciája az elem komplex feszültség- és áramerősségamplitúdójának hányadosa:
~ ~ U 0 U 0 e jU U 0 j( U I ) Z ~ e . I 0 e jI I0 I0
22
Az impedancia tehát a feszültség és az áramerősség maximális értékétől, valamint a fázisszögek eltérésétől függ. A három áramköri elem esetén, a fentiek alapján: ~ U0 Z e j(U I ) I0
Áramköri elemek
U I
Ellenállás
0
~ ZR R e j0 R
Kondenzátor
2
~ ZC
Tekercs
2
Z
U0 I0
R
1 C
j ~ ZL L e 2 L j XL j
L
j 1 1 e 2 j X C j C C
Megjegyzések 1. A komplex impedancia ohmos ellenállás esetén pozitív valós szám, kondenzátor és tekercs esetén tisztán képzetes (negatív, illetve pozitív előjellel). 2. Az ellenállás impedanciája nem függ az gerjesztési körfrekvenciától, míg a kondenzátoré csökken, a tekercsé pedig növekszik az növekedtével. Emiatt különböző gerjesztési frekvenciákra egy adott áramkör másképpen reagál. 3. A kondenzátor és a tekercs impedanciájának nagyságát látszólagos ellenállásnak is hívjuk. A valós impedancia a komplex impedancia nagysága:
U U ~ U Z Z 0 e j( U I ) 0 e j( U I ) 0 . I0 I0 I0 A komplex feszültség- és áramerősség-amplitúdókkal érvényes az Ohm törvény és a Kirchhoff-törvények:
Csomóponti törvény:
~ ~ ~ U 0 I 0 Z. ~ ~ I 0n 0.
Huroktörvény:
U
Ohm-törvény:
n
~ 0n
~ 0.
n
képzetes tengely
L
~ R Re Z
L
1 ~ Im z C
valós tengely
~ Z
1 C
2.5 ábra: Ellenállás, kondenzátor, tekercs impedanciája
23
Soros és párhuzamos kapcsolásnál a komplex impedanciákra érvényesek az egyenáramú ~ ~ körökben is használ összefüggések. Sorosan kapcsolt, Z1,..., Zn impedanciájú elemek eredő impedanciája:
~ ~ ~ Zeredő,soros Z1 ... Zn.
~ ~ Párhuzamosan kapcsolt, Z1,..., Zn impedanciájú elemek eredő impedanciájára: 1 1 1 ~ ... ~ . ~ Zeredő,párhuzamos Z1 Zn
Ha a kapcsolás ellenállás mellett kondenzátort és/vagy tekercset is tartalmaz, akkor eredő impedancia valós és képzetes részt egyaránt tartalmaz. Az összetevőket a komplex számsíkban ábrázolva jól látható az egyes impedanciák hatása az eredőre (2.5 ábra). Soros RC kapcsolás esetén például az alábbiak szerint alakulnak a függvények és összefüggések: Generátorfeszültség:
komplex feszültségfüggvény:
u g ( t ) U g 0 sin( t ); ~ u ( t ) U e jt ;
komplex feszültségamplitúdó:
~ U g0 U g0 .
valós feszültségfüggvény:
g
g0
Eredő impedancia:
1 ~ ~ ~ Z RC Z R Z C R j. C A körben folyó áram:
~ U g0 ~ U g0 ; I0 ~ Z RC R 1 j C U g0 ~ I0 I0 ; 2 1 R2 C
komplex áramerőssé amplitúdó:
valós áramerősség-amplitúdó:
komplex áramerősség-függvény: ~ ~ i (t) I0 e jt
U g0 U g0 1 R j e jt e jt 2 1 C 1 R j R2 C C
U g0
2
1 j jt R e e 2 C 1 R2 C 2
U g0 1 R2 C
2
e j( t ) I 0 e j( t ) ,
1 1 ahol: tg C , az áramerősség „siet” a generátor 0 , így 0 2 R R C feszültséghez képest (kapacitív jellegű kapcsolás);
24
valós áramfüggvény:
~ i( t ) Im i ( t ) Im I 0 e j( t ) ImI 0 cos( t ) j sin( t ) I 0 sin( t ).
Az áramköri elemek feszültsége
U g0 R, 1 R j C U g0 1 ~ ~ I0 ZC j; 1 j C R C
~ ~ ~ U R 0 I0 Z R
komplex feszültségamplitúdók:
~ U C0
~ U R0 U R0
valós feszültségamplitúdók:
~ U C0 U C0
U g0 1 R2 C
2
U g0 1 R2 C
2
R I0 R,
1 I0 XC ; C
komplex feszültségfüggvények: ~ ~ uR (t) UR 0 e jt
U g0
U g0 U g0 1 R R j e jt R e jt 2 1 C 1 R j R2 C C 2
1 j jt R R2 e R e 2 C 1 R2 C
U g0 1 R2 C
2
R e j( t R ) I 0 R e j( t R ) ,
1 . Mivel R (lásd előbb a komplex áramerősség-függvényt), az R C ellenállás árama fázisban van az ellenállás feszültségével: ~ uR (t) I0 R e j(t ) .
ahol: tgR
25
~ ~ uC (t) UC0 e jt
U g0 1 j e jt 1 C R j C
U g0
U g0 1 1 1 1 j R j e jt j R e jt 2 C C C C 1 1 R2 R2 C C 2
2
U g0 2
1 R2 C
1 1 j R 2 e C e jt C C
ahol: tgC
U g0 1 R2 C
2
1 e j( t C ) I 0 R e j( t C ) , C
1 R tg , azaz C , így a kondenzátor feszültsége 1 2 tg 2 C
„90°-kal késik” az áramához képest: ~ uC (t) I0 R e
j t 2 ;
valós feszültségfüggvények:
~ uR (t) Im uR (t) Im I0 R e j(t )
ImI 0 R cos( t ) j sin( t ) I 0 R sin( t );
j t ~ 2 uC (t) Im uC (t) Im I0 R e
Im I 0 R cos t j sin t I 0 R sin t . 2 2 2
26
3. DIFFERENCIÁLÁS
3.1 Lineáris függvények A műszaki folyamatok leírásában fontos szerepet töltenek be a lineáris modellek, amelyekben egyes mennyiségek között – legalábbis egy bizonyos határig – lineáris kapcsolatot feltételezünk. A rugalmasságtan lineáris elmélete például a feszültség és az alakváltozás közt feltételezett lineáris kapcsolaton alapszik. Ennek legegyszerűbb megnyilvánulása a lineáris rugókarakterisztika feltételezése. A szabályozástechnika elmélete is a lineáris rendszerek viselkedését tárgyalja a szuperpozíció elvét alapul véve. A lineáris modellek a lineáris függvény fogalmára épülnek. Az X és Y lineáris terek között ható f:XY függvényt akkor nevezzük lineárisnak, ha bármely x1,x2X és bármely 1,2 esetén fennáll, hogy f 1 x1 2 x2 1 f x1 2 f x2 .
A lineáris tér fogalma igen általános, mi itt a differenciálás kapcsán csak az , 2 és 3 lineáris terek között ható lineáris függvényekkel foglalkozunk. A lineáris algebrából ismert, hogy az n k típusú lineáris függvények és a (k×n) típusú mátrixok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető: az : n k lineáris függvényhez egyértelműen létezik egy olyan (k×n) típusú K mátrix, amelyre x K x , x
n.
A későbbiekben tárgyalt esetekben felírjuk a lineáris függvényeket: X
Y
K
(x) k x
k 3
3
3
3
k1 k k2 k 3
(x) k x
k k1 k 2 k 3
(x) k x
k11 k12 k13 K k 21 k 22 k 23 k 31 k 32 k 33
(x) K x
27
Megjegyzések: 1. Az típusú x k x lineáris függvény grafikonja az origón átmenő, k meredekségű egyenes (a síkban). 2.
Az 3 típusú x k x lineáris függvény grafikonja az origón átmenő, k irányvektorú egyenes (a térben).
3.
Egy
3
típusú
lineáris
függvény
egy
rögzített
vektorral
k
képzett
x k x k1 x1 k 2 x2 k 3 x3 skaláris szorzat formájában áll elő.
4.
5.
n n típusú lineáris Geometriai viszonyok, mozgások leírásában fontosak az függvényeket, melyeket az n tér lineáris transzformációinak is nevezzük: az 2 2 típusú lineáris függvények síkbeli, az 3 3 típusú lineáris függvények térbeli lineáris transzformációk. A mechanikában a (síkbeli, illetve térbeli) feszültségi és az alakváltozási állapot 2 2, 3 3 szintén illetve típusú lineáris függvényekkel, más szóval tenzorokkal írható le. Ezek a tenzorok általában különböző fizikai dimenziójú mennyiségeket kapcsolnak össze. A feszültségtenzor például irányhoz rendel
x x feszültségvektort: (n) T n , adott bázisban: y xy z xz
yx y yz
zx nx zy ny . z nz
Az 3 3 típusú lineáris függvények (tenzorok) invariánsai A lineáris algebrából ismert, hogy különböző bázisokban (koordináta-rendszerekben) a tér elemeinek (vektorainak) különbözők a koordinátái, és ezzel együtt a tér lineáris transzformációinak mátrixa is más. Itt nem térünk ki arra a kérdésre, hogy a koordinátarendszer megváltoztatása hogyan hat egy lineáris transzformáció mátrixára, de azt megjegyezzük, hogy a lineáris függvényekhez tartoznak koordináta-rendszertől független skalár- illetve vektorértékek, amelyek a lineáris függvények különböző bázisbeli mátrixaiból számítva ugyanazt az értéket adják. Ezek az értékek olyan fizikai mennyiségekkel vannak összefüggésben, melyek nem kötődnek koordináta-rendszerhez, például forrásosság, örvényesség az erőterek, illetve az áramlási terek esetén.
3.2Differenciálhányados; derivált függvény Egy f függvényről általában akkor mondjuk, hogy differenciálható az értelmezési tartományának egy x0 belső pontjában, ha a „bemenet” x x x0 és a „kimenet” f f(x) f(x0 )
megváltozása közötti kapcsolat jól közelíthető a
x
egy lineáris
függvényével: f (x) . (Intervallumon itt az f függvény értelmezési tartományának megfelelő n dimenziós intervallumot értünk, ami n darab nyílt intervallum Descartesszorzataként definiálunk.) A „jól közelítés” az f hibatagra vonatkozó követelmény: a hibatagnak „elegendően gyorsan” kell tartania nullához, midőn x tart a nullához. Legyen X, illetve Y az , 2, 3 halmazok valamelyike, IX nyílt intervallum, f:IY. Az f:IY függvényről akkor mondjuk, hogy differenciálható az x0 I helyen, ha van olyan :XY lineáris függvény, amelyre
f f(x0 x) f(x0 ) (x) h(x) , x G0
ahol G0 valamely origó középpontú nyílt gömb.
28
és
lim
x 0
h(x) x
0,
Az f:IY függvény x0I helyhez kötődő lineáris közelítésén azt értjük, hogy f f(x0 x) f(x0 ) (x) , x G0 ,
vagyis azt, hogy a függvénynek a bemenet x megváltozásához tartozó f változását a definícióban szereplő lineáris függvény változásával közelítjük. Az (x) értéket szokás a x -hez tartozó differenciálnak nevezni. A lineáris közelítést gyakran az
f ( x ) L( x ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) , x G x 0 formában írjuk, ahol Gx0 valamely x0 középpontú nyílt gömb. Itt L:XY elsőfokú függvény (polinom), így ezt a formát pontosabb elsőfokú közelítésnek nevezni. Az lineáris függvényt – az X és Y halmazok dimenzióktól függően – meghatározó k számot,
k
vektort,
illetve
K
mátrixot
az
f
függvény
x0
helyhez
tartozó
differenciálhányadosának nevezzük. A fenti fogalmak és ezek jelölése a tárgyalt függvénytípusok esetén:
típusú függvények (f:I , x 0 I ).
lineáris függvény
(x) k x , k
differenciálhányados
k
a differenciálhányados jelölése
k f (x0 ) vagy k
differenciál
x f (x 0 ) x f f(x0 x) f(x0 ) f (x0 ) x
lineáris közelítés Megjegyzés: Az L függvény grafikonja (x0 , f(x0 )) pontban.
df (x0 ) dx
f(x) L(x) f(x0 ) f (x0 ) (x x0 )
az
f
függvény
grafikonjának
3
típusú függvények ( r :I
3,
t0I).
lineáris függvény
(t) k t , k
differenciálhányados
k r(t 0 )
a differenciálhányados jelölése
k r(t 0 )
differenciál
t r(t 0 ) t
lineáris közelítés
3
3
r r(t 0 t) r(t 0 ) k t r(t) L(t) r(t 0 ) r(t 0 ) (t t 0 )
29
érintőegyenese
az
Megjegyzések: 1. A L függvény az t r(t) függvény elsőfokú függvénnyel való közelítése a t 0 helyen. Az L függvény grafikonja az r függvény grafikonjának érintőegyenese az r(t 0 ) pontban, ennek irányvektora a pontbeli differenciálhányados vektor. 2.
3.
Az 3 típusú függvények a geometriában elsősorban a térgörbékhez, a mechanikában elsősorban a mozgás pályájához kötődnek. A térgörbék 3 típusú függvénnyel való előállításánál a változót általában t-vel jelöljük, és paraméternek nevezzük. A mozgások vizsgálatánál a hely és az idő kapcsolatát 3 típusú függvénnyel adjuk meg, továbbá a mozgást jellemző sebesség és gyorsulás időtől való függése is ilyen típusú függvény. A változót (az időt) ebben az esetben is t-vel jelöljük. A differenciálhányadost mindkét témakörben vessző helyett ponttal szokás jelölni. Analóg módon értelmezhető bármely n pozitív egész esetén az n típusú függvények differenciálhatósága. A síkbeli problémák vizsgálatához az 2 típusú függvényekre vonatkozó megfelelő formulák szükségesek.
3
típusú függvények (skalármezők) (f:I , r0 I ).
lineáris függvény
( r ) k r , k
differenciálhányados
k
a differenciálhányados jelölése
k grad f r0 vagy k f r0 vagy k
differenciál
r grad f r0 r
lineáris közelítés
3
3
df r0 dr
f f r f r0 grad f r0 r
f r L r f r0 grad f r0 r
Megjegyzések: n 1. Analóg módon értelmezhető bármely n pozitív egész esetén az típusú n típusú függvény gradiense egy n-beli függvények differenciálhatósága. Egy vektor. 2. Egy 3 skalármező gradiensfüggvénye egy 3 3 vektormező. 3. A transzportfolyamatok leírásában nagy jelentősége van a gradiens fogalmának: egy intenzív mennyiség inhomogenitása a megfelelő extenzív (legtöbbször skalár) mennyiség áramát okozza, az inhomogenitás mértéke pedig a gradienssel adható meg. Ha egy extenzív mennyiség áramsűrűsége (egységnyi felületre vonatkoztatott árama, ami irányfüggő) skalármező), akkor
j , a megfelelő intenzív mennyiség y (legtöbbször
jr L grad yr ,
ahol: L az (egységnyi hosszúságra vonatkoztatott) vezetési tényező. (Sokszor röviden csak annyit írnak, hogy j L grad y .) Néhány példa:
30
Extenzív mennyiség elektromos áram, I hő, Q térfogat, IV tömeg, Im 3
3 típusú
Intenzív mennyiség elektromos potenciál, U hőmérséklet, T nyomás, p sűrűség,
függvények (vektormezők) ( v :I
3, r
0 I).
lineáris függvény:
( r ) K r , K M3
differenciálhányados:
K M3
a differenciálhányados jelölése:
K v (r0 ) vagy K
differenciál: lineáris közelítés:
Vezetési tényező vezetőképesség, =1/ hővezetési tényező, szivárgási tényező, A diffúziós tényező, D
3
3
dv r0 . dr
r v r0 r v v r v r0 v r0 r
v r L r v r0 v r0 r
Derivált függvény A differenciálhatóság pontbeli jellemző, de intervallumra is „kiterjeszthető”. Ha az f:IY függvény az I intervallum minden pontjában differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható az I intervallumon. Az intervallum pontjaihoz a pontbeli differenciálhányadost rendelő függvényt derivált függvénynek nevezzük. Egy függvényt folytonosan differenciálhatónak nevezünk, ha a derivált függvénye folytonos.
3.3 Változási gyorsaság A műszaki folyamatok leírása során használt függvények mennyiségek kapcsolatát (függését) fejezik ki. (A szemléletesség kedvéért az értelmezési tartomány, illetve az értékkészlet elemeit néhol a függvény bemeneti, illetve kimeneti értékeinek fogjuk hívni.) Alapvető kérdés, hogy egy mennyiség megváltozása egy másik mennyiségben milyen változást idéz elő, vagyis hogyan függ össze a két megváltozás. Erre a kérdésre a (pillanatnyi) változási gyorsaság ad választ. Lineáris kapcsolat esetén a változási gyorsaság állandó, megegyezik a lineáris függvényt (a típustól függően) meghatározó számmal, vektorral vagy mátrixszal, és könnyen kifejezhető a bemenet és a kimenet megváltozásából (az típusú függvények esetén például egyszerű osztással). Ha a kapcsolat nem lineáris, akkor a változási gyorsaság pillanatnyi értékéről beszélhetünk, ami a differenciálható függvények esetén a függvényt az adott helyen jól közelítő lineáris függvény meghatározó adata, vagyis a függvény differenciálhányadosa. Leggyakrabban az időre vagy a helyre vonatkoztatjuk a változás gyorsaságát, számos alapvető fizikai mennyiség változási gyorsaságot fejez ki. A következő táblázat néhány példát mutat erre:
31
Változási gyorsaság az időre vonatkoztatva
Mennyiség pályakoordináta (s, [m])
m pályasebesség v, s
m pályasebesség v, s
m pályagyorsulás a, 2 s
helyvektor ( r , [m])
m sebességvektor v, s
m sebességvektor v, s
m gyorsulás vektor a, 2 s
rendszer által leadott/felvett energia (E, [J])
J teljesítmény P, W s
adott keresztmetszeten átáramlott töltésmennyiség (Q, [C])
C áramerősség I, A s
Változási gyorsaság a helyre vonatkoztatva
Mennyiség hőmérséklet (T, [°C])
C hőmérsékleti „gradiens” , m
elektromos potenciál (U, [V])
V elektromos térerősség E, m
A pillanatnyi változási gyorsaság és a differenciálhányados kapcsolata könnyebben megérthető a differenciálhányados fogalmának a differenciahányados függvényen alapuló (a fentiekben bemutatottal ekvivalens) bevezetésével. A differenciálhatóság ekvivalens megfogalmazása
Az f:I
típusú függvényekre
függvény pontosan akkor differenciálható az x0I helyen, ha a lim
x 0
határérték
létezik
és
véges
f(x0 x) f(x0 ) x
(valós
szám). Ekkor a határérték megegyezik az f(x0 x) f(x0 ) f (x0 ) differenciálhányadossal. A x függvényt az f függvény x0 x helyen vett differenciahányados-függvényének nevezzük. f A műszaki elmélet leírásakor a differenciálhányadosra gyakran a rövid lim x 0 x formulával utalnak, aminek csak akkor van értelme, ha tudjuk, hogy a differenciák mely pontra vonatkoznak. f(x0 x) f(x0 ) értéke az x0 , f(x0 ) és az A differenciahányados-függvény x x0 x, f(x0 x) függvénypontokra illeszkedő szelő, az f (x0 ) differenciálhányados
pedig az
x0 , f(x0 )
pontbeli érintő (vagy úgy is fogalmazhatunk, hogy a függvény)
32
f(x0 x) f(x0 ) formula szemléletes geometriai x jelentése: differenciálható függvény adott pontbeli meredeksége egyenlő a pontra illeszkedő szelők meredekségének határértékével, miközben x0. Ez összhangban van azzal a képpel, hogy az érintő egyenest a szelők határhelyzetének tekinthetjük. A differenciahányados függvényhez az átlagos változási gyorsaság fogalma kapcsolható: f(x0 x) f(x0 ) f az f és az x mennyiségek viszonyában a érték (a x változáshoz x x f(x0 x) f(x0 ) f lim f (x0 ) tartozó) átlagos változási gyorsaságot, a lim x x 0 x 0 x
meredekségét adja. Így a
lim
x 0
határérték pedig az x0 helyen vett pillanatnyi változási gyorsaságot fejezi ki. Példaként tekintsük egy vezető adott keresztmetszetén átfolyt töltésmennyiség időfüggését leíró tQ(t), t[tA,tB] függvénykapcsolatot. Az átfolyt töltésmennyiség átlagos változási gyorsaságát (átlagos áramerősséget) valamely [t1,t2] időintervallumban Q Q(t2 ) Q(t1) érték adja. Így, ha t0[tA,tB] egy rögzített időpillanat, akkor a a t t2 t1 Q(t 0 t) Q(t0 ) Q differenciahányados-függvény értéke az átlagos áramerősséget t t adja a [t0,t0+t] (illetve t<0 esetén a [t0+t,t0]) időintervallumban. Ha pedig a tQ(t) függvény differenciálható a t0 helyen, akkor a lim
t 0
Q(t 0 t) Q(t 0 ) Q (t ) I(t ) lim Q 0 0 t t 0 t
határérték (differenciálhányados) a t0 időpillanatban vett pillanatnyi áramerősség. Hasonló gondolatmenet fogalmazható meg minden, változási gyorsaságot kifejező mennyiség esetén, amennyiben skalármennyiségek kapcsolatát vizsgáljuk. A korábban említett változási gyorsaságokra vonatkozó összefüggések összefoglalva: s(t 0 t) s(t 0 ) ds s v(t 0 ) s(t0 ) (t 0 ) lim lim ; pillanatnyi sebesség: dt t t 0 t 0 t pillanatnyi gyorsulás:
v(t 0 t) v(t 0 ) dv v a(t 0 ) v (t 0 ) (t 0 ) lim ; lim dt t t 0 t 0 t
pillanatnyi teljesítmény:
E(t 0 t) E(t 0 ) E dE ; (t 0 ) lim lim P(t 0 ) E (t0 ) dt t t 0 t 0 t
pillanatnyi áramerősség:
(t ) dQ (t ) lim Q(t 0 t) Q(t 0 ) lim Q ; I(t 0 ) Q 0 0 dt t t 0 t 0 t
ahol: s pályakoordináta; v pályasebesség; a pályagyorsulás; E energia; P teljesítmény; Q töltésmennyiség; I áramerősség. A differenciálhatóság ekvivalens megfogalmazása
Az r :I
3
3
típusú függvényekre
függvény pontosan akkor differenciálható a t0I helyen, ha a r(t 0 t) r(t 0 ) t t 0 lim
33
határérték létezik és véges (
3-beli
vektor). Ekkor a határérték megegyezik az r(t 0 )
r(t 0 t) r(t 0 ) függvényt az f függvény x0 helyen vett t differenciahányados függvényének nevezzük. r A differenciálhányadosra gyakran a rövid lim formulával utalnak, aminek csak akkor t 0 t
differenciálhányadossal. A t
van értelme, ha tudjuk, hogy a differenciák mely pontra vonatkoznak. r(t0 t) r(t 0 ) t0 , r(t0 ) és a értéke a A differenciahányados-függvény t t t, r(t t) függvénypontokra illeszkedő egyenes, az r(t ) differenciálhányados 0
0
0
pedig a t 0 , r(t0 ) pontbeli érintő egyenes irányvektora.
A differenciahányados-függvényhez, illetve a differenciálhányadoshoz itt is az átlagos, illetve a pillanatnyi változási gyorsaság fogalma kapcsolható. Példaként tekintsük egy mozgó pont helyének időfüggését leíró t r (t) , t[tA,tB] függvénykapcsolatot, a mozgás pályáját. A hely átlagos változási gyorsaságát (az átlagsebességet) valamely [t1,t2] időintervallumban („helyileg” a pályának az r(t1 ) és r(t2 ) pontok közti ívén) a
r r(t2 ) r(t1) érték adja. Legyen t0[tA,tB] egy rögzített t t2 t1
r(t0 t) r(t 0 ) r differenciahányados függvény értéke az t t átlagos sebességet adja a [t0,t0+t] (illetve t<0 esetén a [t0+t,t0]) időintervallumban. Ha pedig a t r(t) függvény differenciálható a t0 helyen, akkor a
időpillanat. Ekkor az
r(t 0 t) r(t0 ) r lim r(t 0 ) v(t0 ) t t 0 t határérték (differenciálhányados) a t0 időpillanatban vett pillanatnyi sebesség. lim
t 0
3.4 Irány menti derivált; parciális derivált A többváltozós függvények differenciálszámítása az ún. parciális deriváltak segítségével történik. A parciális deriváltak egyváltozós függvények deriváltjai, amelyek úgy állnak elő, hogy a többváltozós függvény változóit egy kivételével rögzítjük. Ha például az (x,y,z)f(x,y,z) háromváltozós függvény x és y változóját valamely x0, illetve y0 értéken rögzítjük, akkor egy zf(x0,y0,z) egyváltozós függvényt kapunk. Ha ezt a függvényt differenciáljuk valamely z0 helyen, akkor a kapott differenciálhányados az eredeti háromváltozós függvény z változó szerinti parciális differenciálhányadosát kapjuk az (x0,y0,z0) helyen. Az alábbiakban először bevezetjük az irány menti derivált fogalmát, ennek speciális eseteként állnak elő a parciális deriváltak. Irány menti derivált
Legyen I
3
(háromdimenziós) nyílt intervallum. Ha az f:I
az r0 I helyen, 0 v értéket
az
r f(r )
3
függvény differenciálható
egy rögzített vektor és ev a v irányú egységvektor, akkor a v f r0 grad f r0 ev
függvény
r0
helyen,
v
3
irányban
vett
differenciálhányadosának vagy irány menti deriváltjának nevezzük.
34
irány
menti
Ha a v vektor speciálisan 3 természetes bázisának egy eleme (bázisvektor), akkor az irány menti differenciálhányadost parciális differenciálhányadosnak nevezzük. Parciális derivált
Ha az f:I
függvény differenciálható az r0 I helyen, és ei az i-edik bázisvektor az
3
természetes bázisában (i{1,2,3}), akkor a ei f(r0 ) irány menti differenciálhányadost az r f(r )
függvény
helyen
r0
vett,
i-edik
változó
szerinti
parciális
differenciálhányadosának (vagy parciális deriváltjának) nevezzük. A parciális deriváltakat többféleképpen szokás jelölni. Az r f(r ) függvény r0 helyen
vett i-edik változó (xi) szerinti parciális deriváltjának leggyakoribb jelölései: f if(r0 ) , x i f(r0 ) , f(r0 ) , (r0 ) . xi xi
Ha nem áll fenn a félreértés veszélye, használhatjuk az fi (r0 ) , illetve az fxi (r0 ) jelöléseket is. Parciális derivált függvény
függvény differenciálható az I intervallumon, akkor az r if(r ) függvényt az r f(r ) függvény i-edik változó szerinti parciális derivált függvényének nevezzük.
Ha az f:I
A gradiens és a parciális deriváltak kapcsolata
A parciális deriváltakat definiáló
if(r0 ) ei f(r0 ) grad f(r0 ) ei
(i=1,2,3) formulából
könnyen látható, hogy a parciális deriváltak valójában a gradiens vektorkoordinátái. Így a gradiensvektort a grad f (1f, 2f, 3f ) alakban is írhatjuk. Az alábbiakban megadjuk az irány menti és a parciális deriváltak definícióját az irány menti differenciálhányados fogalmának felhasználása nélkül, és egyben rávilágítunk e fogalmak jelentésére. Szűkítsük le az f függvényt az értelmezési tartománynak egy r0 ev , ]-0,0[ „egydimenziós” részhalmazára, és tekintsük a f r0 ev egyváltozós függvényt. A v f(r0 ) iránymenti differenciálhányados megegyezik ennek a függvénynek a =0 helyen
vett differenciálhányadosával:
f r0 ev f r0 . 0 Az irány menti differenciálhányados azt fejezi ki, hogy az adott pontból adott irányban „kimozdulva” milyen gyorsan változik a függvény értéke. v f r0 lim
A gradiens geometriai jelentése
Igazolható, hogy az irány menti differenciálhányados értéke akkor maximális, ha v a grad f(r0 ) -lal egyirányú. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a gradiensvektor azt az irányt mutatja az értelmezési tartomány egy adott helyén, amely irányban „kimozdulva” a „leggyorsabb” a függvény növekedése. A koordinátatengellyel párhuzamos irányokban speciálisan a parciális differenciálhányadosok adják a változás gyorsaságát.
35
Parciális differenciálhányados
f r0 ei f r0 , i = 1, 2, 3. A fentiekkel összhangban ez az egyváltozós f r0 ei függvény =0 helyen vett if r0 lim
0
differenciálhányadosa. Egy x, y, z f x, y, z , x, y, z I függvény parciális deriváltjai az
x0, y0 , z0 I
helyen felírhatók a következőképpen is (itt rendre =x,y,z): f(x0 x, y0 , z0 ) f(x0 , y0 , z0 ) ; x x 0
1f(x0 , y0 , z0 ) x f(x0 , y0 , z0 ) lim
f(x0 , y0 y, z0 ) f(x0 , y0 , z0 ) ; y y 0
2f(x0 , y0 , z0 ) y f(x0 , y0 , z0 ) lim
f(x0 , y0 , z0 z) f(x0 , y0 , z0 ) . z z 0
3f(x0 , y0 , z0 ) zf(x0 , y0 , z0 ) lim
3.5 A térgörbék görbülete és torziója A következőkben áttekintünk néhány fogalmat, amely a térgörbék differenciálással való vizsgálatához kötődnek. Kísérő triéder
kétszer differenciálható függvény és t0I. Tegyük fel, hogy Legyen r :I r(t ) r(t ) 0 (vagyis hogy az r(t ) és r(t ) derivált vektorok egyike sem nulla és 0 0 0 0 nem is párhuzamosak). A t r (t) függvény kísérő trédere a t0I helyen az egységnyi hosszúságú,
egymásra
páronként
merőleges
vektorokból
álló
e(t0), n(t0), b(t0)
vektorrendszer, ahol e(t 0 )
r(t 0 ) , r(t ) 0
b(t 0 )
r(t 0 ) r(t 0 ) , r(t ) r(t ) 0
n(t 0 ) b(t 0 ) e(t 0 ) .
0
Az e(t0 ) vektor az r(t0 ) differenciálhányados-vektorral megegyező irányú, egységnyi hosszúságú vektor, neve: érintő egységvektor. A b(t 0 ) vektor az r(t0 ) és az r(t0 ) derivált vektorok által kifeszített sík (simulósík) egységnyi hosszúságú normálvektora, neve: binormális egységvektor. Az n(t0 ) vektor az e(t0 ) és a b(t 0 ) vektorok vektoriális szorzata, neve: főnormális egységvektor. Az e , n és b vektorok ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak.
36
A triéder vektorai által kifeszített síkok: Az e és az n vektorok síkja: simulósík (S). Ebben a síkban van a simulókör és a görbületi középpont
b
R
(a simulókör középpontja). A simuló síknak b normálvektora. Az n normális sík (N). normálvektora. Az
e
N
és a b vektorok síkja: A normális síknak e és a
b
S
vektorok síkja:
n
rektifikáló sík (R). A rektifikáló síknak n normálvektora. Egy kétszer differenciálható térgörbe minden pontjához tartozik érintő egységvektor.
e
3.1 ábra: Kísérő triéder, síkok Egyenes esetén az érintő egységvektor minden pontban ugyanaz: az egyenes irányvektora. Ha a görbe eltér az egyenestől, akkor a görbén haladva az érintő egységvektor elfordul. Az elfordulás „gyorsaságát” a görbület értéke mutatja. Ha r(t1) és r(t2 ) az r :I görbe két különböző pontja, s az r(t1) és az r(t2 )
görbepontok közti ívhossz, az r(t1) és az r(t2 ) vektorok szöge (az érintővektor hányadost, ahol a [t1,t2] intervallumra vonatkozó átlagos s görbületnek nevezzük. A görbület értéke a görbe egy rögzített pontjában az átlagos görbület fogalmának felhasználásával határértékként adódik, a következők szerint.
szögelfordulása), akkor a
Görbület
Legyen r :I
kétszer differenciálható függvény, t0I rögzített, tI, s az r(t0 ) és az
r(t) vektorok által meghatározott görbepontok közti ívhossz, az e(t0 ) és az e(t)
határértéket (ha létezik és véges) a t r(t) görbe s r(t0 ) pontbeli görbületének nevezzük. A görbület értéke azt mutatja meg, hogy a
vektorok szöge. Ekkor a
lim
s 0
görbén haladva mennyi az érintővektor szögelfordulása (radiánban mérve) egységnyi ívhosszra vonatkoztatva. Fizikai dimenziója [rad / m] . A görbület kiszámítható az alábbi képlettel: egy kétszer differenciálható r :I görbülete a t0I helyen ( r(t 0 ) 0 esetben): (t 0 )
r(t 0 ) r(t 0 ) 3 r(t 0 )
függvény
.
Kimutatható, hogy a görbület értéke független a görbe paraméterezésétől, vagyis attól, hogy a görbét milyen képlettel állítjuk elő. Az egyenes görbülete nulla. Ahol a görbület nem nulla, ott a görbület nagyságának reciprokát görbületi sugárnak nevezzük: 1 R(t 0 ) . (t 0 ) Anyagi pont mozgásának vizsgálatakor a pálya pontjaihoz tartozó kísérő triéder vektorai az ún. természetes koordináta-rendszer bázisvektorai. A természetes koordinátarendszernek fontos szerepe van a mozgástani összefüggések levezetésében. A pillanatnyi sebesség irányát az érintő egységvektor mutatja. (Fentebb láttuk, hogy a derivált vektor mozgás esetén a sebességvektor.) A mozgás a pálya minden pontjában (minden
37
időpillanatban) felfogható egy olyan körmozgásként, ami egy, a simuló síkban fekvő, a görbületi sugárral egyenlő sugarú körön (a simulókörön) történik. A kör középpontja a normális egységvektor mint irányvektor által meghatározott, a vizsgált görbeponton átmenő egyenesen van, a pálya „homorú” oldalán. Így egy általános mozgás pillanatnyi jellemzőinek kapcsolatát a körmozgásnál ismert összefüggésekkel lehet leírni. Egy kétszer differenciálható térgörbe minden olyan pontjához – ahol r és r nem nulla és nem párhuzamos vektor – tartozik kísérő triéder. A görbén haladva a triéder vektorai elfordulhatnak. Ha a térgörbe háromszor differenciálható, akkor a binormális egységvektor (vagyis a simulósík) elfordulásnak „gyorsaságát” a torzió értéke mutatja. Egy háromszor differenciálható térgörbe pontosan akkor síkgörbe, ha a torziója nulla. Torzió
Legyen r :I
háromszor differenciálható függvény, t0I rögzített, tI, s az r(t0 ) és az
r(t) vektorok által meghatározott görbepontok közti ívhossz, a b(t0 ) és a b(t)
határértéket (ha létezik és véges) a t r(t) s 0 s görbe r(t0 ) pontbeli torziójának nevezzük. vektorok (előjeles) szöge. Ekkor a lim
A torzió értéke azt mutatja meg, hogy a görbén haladva mennyi a binormális egységvektor (a simulósík) szögelfordulása (radiánban mérve) egységnyi ívhosszra vonatkoztatva. Fizikai dimenziója [rad / m] . A torzió kiszámítható az alábbi képlettel: egy háromszor differenciálható függvény torziója a t0I helyen: r(t 0 )r(t 0 )r(t 0 ) . (t 0 ) r (t ) r(t ) 2 0 0
r :I
(A számlálóban a három vektor vegyes szorzata szerepel.)
3.6 Vektormezők divergenciája és rotációja A vektormezők differenciálással való vizsgálatának alapja a korábban értelmezett differenciálhányados-tenzor, amelynek mátrixa a három koordinátafüggvény parciális deriváltjait tartalmazza. Könnyen belátható, hogy a differenciálhányados-mátrix elemei függenek a koordináta-rendszer megválasztásától. Ahogyan azt a lineáris függvények tárgyalásakor már megemlítettük, a tenzorhoz tartoznak a koordináta-rendszer megválasztásától független skalár-, illetve vektorértékek (invariánsok), amelyek a bázistól független fizikai mennyiségekkel vannak kapcsolatban. Erőterek, áramlási terek derivált tenzorához kötődően két invariánst említünk meg. A divergencia a vektormező forrásosságát mutatja. Folyadék áramlását vizsgálva adott térrészben a sebességmező divergenciája ott különbözik nullától, ahol nyelő vagy forrás van (anyag lép be az áramlási térbe, vagy távozik onnan). Elektromos térben az elektromos térerősségmező divergenciája ott különbözik nullától, ahol töltés van. Mágneses térben a mágneses térerősségmező divergenciája nulla, mert mágneses töltés nem létezik. Úgy is szoktunk fogalmazni, hogy az elektromos tér forrásos, míg a mágneses tér nem.
38
Divergencia
A v :I
differenciálható vektormező r0 I helyen vett divergenciája: div v r0 x v x r0 y v y r0 z v z r0 .
A
divergencia
a
x v x r0 y v x r0 z v x r0 v r0 x v y r0 y v y r0 z v y r0 x v z r0 y v z r0 z v z r0
differenciálhányados-mátrix
főátlójában lévő elemek összege, skalármennyiség. A divergencia szerepe a transzportegyenletekben
Valamely extenzív mennyiségre vonatkozó t (r , t) q(r , t) div j(r , t)
egyenletet, ahol: a vizsgált extenzív mennyiségre vonatkozóan a térfogati sűrűség; j a felületi áramsűrűség; q a forrássűrűség, általános kontinuitási (vagy transzport) egyenletnek nevezzük. (Ezt röviden úgy szokták írni, hogy t q div j .) Az általános
transzport-egyenlet alkalmas bármely (helytől és időtől függő) extenzív mennyiség változásának leírására, az egyenlet megoldásával a mennyiség eloszlása az idő függvényében meghatározható. Ha például az extenzív mennyiség a tömeg [kg] , akkor az egyenletben szereplő kg mennyiségek fizikai dimenziója a következő: a térfogati sűrűségé , a felületi m3 kg kg , a forrássűrűségé áramsűrűségé . 2 s m s m3
A kontinuitási egyenlet div j tagja azzal függ össze, hogy egy hely infinitezimális környezetéből van-e kiáramlás (vagy oda beáramlás). Ennek pontos megfogalmazásához szükséges a vektormező felület menti integráljának fogalma. Legyen F az r0 helyet a belsejében tartalmazó zárt felület, amelynek térfogata V. Az
j dA
felület menti integrál értéke a térrészből kiáramló (negatív érték esetén
F
beáramló) extenzív mennyiség értékét adja másodpercenként. Az integrál értékét osztva V térfogattal a kiáramlás gyorsaságának térfogategységre jutó értékét kapjuk. A térrészt az r0 pontra „zsugorítva” jutunk a pontbeli divergenciához, ami lokális jellemző:
j dA
div jr0 lim F V 0
V
.
r0 V
Ez
a
formula
összefügg
a
Gauss–Osztrogradszkij-tétellel,
mennyiségek között fennáll, hogy
amely
szerint
a
fenti
j dA div j dV . F
V
Példák:
Ha folyadék áramlását vizsgáljuk, akkor r jr a felületi tömegáramsűrűség-függvény. Ha F zárt felület az áramlási térben, akkor az
j dA F
39
felületmenti integrálérték a tér-
részből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) folyadék tömegét adja másodpercenként. Ha a hő konduktív terjedését vizsgáljuk, akkor r jr a felületi hőáramsűrűség-
függvény. Ha F zárt felület, akkor az
j dA
felület menti integrálérték a térrészből
F
kiáramló (negatív érték esetén beáramló) hőt adja másodpercenként (vagyis a hőteljesítményt). Az előjeltől függően hűl, illetve melegszik a térrész.
Ha az elektromos vezetést vizsgáljuk, akkor r jr a felületi elektromos töltésáramsűrűség-függvény. Ha F zárt felület, akkor az
j dA
felület menti integrál értéke a
F
térrészből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) töltésmennyiséget adja másodpercenként (vagyis az áramerősséget). A j felületi áramsűrűség származhat a megfelelő intenzív mennyiség inhomogenitásából (erre előbb több példát is adtunk a gradiens fogalmához kapcsolódóan) és a közeg mozgásából. Az előbbi esetben konduktív (vezetéses), az utóbbi esetben konvektív áramról beszélünk. Képlettel: j v L grad y ,
ahol_
v
a konvektív áramsűrűség;
v
a közeg áramlási sebessége; L grad y
konduktív (vezetéses) áramsűrűség; L a vezetési tényező. A konvektív tag az áramlási sebességgel, a konduktív tag az extenzív mennyiség gradiensével arányos. A kontinuitási egyenlet a konvektív és a konduktív áramsűrűség figyelembevételével: t q div v L grad y . Példaként tekintsük a hővezetés általános egyenletét (a hőmérséklet-eloszlást leíró egyenlet) szilárd test esetén (ekkor nem kell számolunk a közeg mozgásával, azaz v 0 ): t T a T
1 q, c
ahol: az a együttható a hőmérséklet-vezetési tényező; az ún. Laplace-operátor: T div grad T 2xx Tx 2yy Ty 2zz Tz . (A hővezetés általános egyenlete az általános
kontinuitási egyenletből vezethető le.) Az általános hővezetési egyenlet egyszerűbb formát ölt, ha további feltételezéseket teszünk: ha a test hőforrásmentes (q=0), akkor a Fourier-egyenletet kapjuk: t T a T , ha a hőmérsékletmező időben állandó (stacioner), akkor a Poisson-egyenletet 1 kapjuk: T q 0 , ha a test hőforrásmentes és a hőmérsékletmező időben állandó, akkor a Laplaceegyenletet kapjuk: T 0 . Fontos példa a diffúzió (tömegáramlás). Amennyiben nincs tömegforrás, a kontinuitási egyenletből kiindulva a Fick-egyenlet kapjuk:
t D div grad 0 vagy t D ,
ahol: D a diffúziós tényező. Érdemes összehasonlítani a Fourier-és a Fick-egyenlet, amiből kiderül, hogy a hővezetés és a diffúzió hasonló jelenségek, az egyenletük matematikailag megegyezik.
40
Ha a tömegtranszportot abban az esetben vizsgáljuk, amikor a konduktív áram elhanyagolható a konvektívhez képest, a Reynolds-egyenletet kapjuk: t div v 0 .
Rotáció
A v :I
differenciálható vektormező r0 I helyen vett rotációja: y v z r0 z v y r0 rot v r0 x v z r0 z v x r0 . x v y r0 y v x r0
i A rotáció kiszámítására utaló szimbolikus jelölés: rot v det x vx
j y vy
k z . vz
A rotáció a vektormező örvényességével függ össze. Tekintsük például egy r v r sebességmezőt, legyen F az r0 helyet a belsejében tartalmazó felület az áramlási térben,
amelynek felülete A, továbbá legyen az F felületet határoló zárt görbe G. Ekkor az
vd r
G
görbe menti integrál értékét a vetormezőnek a görbére vonatkozó cirkulációjának nevezzük. A felületet az r0 pontra „zsugorítva” lokális jellemzőhöz, a pontbeli rotációhoz („lokális cirkulációhoz”) jutunk:
vd r
n rot v(r0 ) lim
A 0 r0 F
G
A
.
Az áramlási tér (sebességtér) egy pontjában számított rotációnak szögsebesség jelentése van. Ha a rotáció nem nulla r0 -ban, akkor az r0 hely környezetében a közeg 1 rot v(r0 ) . 2 Szokás bevezetni a ( x , y , z ) nablaoperátort (más néven Hamilton-operátort),
forgómozgást végez, amelynek szögsebessége
amellyel a fenti differenciáloperátorok könnyen felírhatók, és az ezeket tartalmazó egyenletek könnyebben kezelhetők. A gradiens-, a divergencia-, a rotáció- és a derivált mátrix szimbolikus jelölése a nablaoperátorral: grad f ( x f , y f , z f ) f
div v x v x y v y z v z v
f 2xx f 2yy f 2zz f div grad f f 2f
yvz zvy rot v x v z z v x v , xvy yvx
xvx v xvy x v z
yvx yvy yvz
zv x zv y v . z v z
3.7 Primitív függvény; potenciálfüggvény A számolásokban (pl. integrálok kiszámítása, differenciálegyenletek megoldása) nagy jelentősége van annak, hogy egy függvényről meg tudjuk mondani, hogy derivált
41
függvény-e, és ha igen, akkor hogy melyik függvényé. Ez a kérdés bármely függvénytípusnál felvetődik, amelynek differenciálásáról beszéltünk. Az egyváltozós függvények körében egy F:I függvényről akkor mondjuk, hogy az f:I függvénynek primitív függvénye, ha F differenciálható az I intervallumon, és f(x) F(x) minden xI esetén. Jelölés: F f .
Az integrálfüggvény tulajdonságaiból azonnal adódik, hogy intervallumon értelmezett folytonos függvénynek létezik primitív függvénye. A primitív függvény megtalálása általában igen nehéz, egyes esetekben nem is írható fel elemi függvényekkel. Például a valószínűségszámításban fellépő egyes eloszlásfüggvényekre nem létezik elemi függvényekkel felírható képlet, pedig a derivált függvényük (a sűrűségfüggvény) ismert. Az ilyen eloszlásfüggvények közelítő értékeiket táblázatból kell kikeresni. Ha F primitív függvénye f-nek, akkor az F+c függvény is primitív függvénye f-nek bármely c valós szám esetén, így ha egy függvénynek van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van, ezek azonban legfeljebb konstansban térhet el egymástól. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát a függvény határozatlan integráljának nevezzük. A vektorterekkel kapcsolatban alapvető kérdés, hogy potenciálos-e. Ha egy r v(r ) vektormező esetén létezik olyan r u(r ) skalármező, amelyre v(r ) grad u(r ) , akkor az r v(r ) vektormezőt potenciálosnak, az r u(r ) függvényt potenciálfüggvénynek
nevezzük. Igazolható, hogy a potenciálos vektorterekben a rotáció azonosan nulla, és ezzel összefüggésben a cirkuláció bármely zárt görbére nulla. Ha egy erőteret potenciálos vektormező ír le, akkor azt konzervatív erőtérnek nevezzük. A konzervatív erőterek esetén azt szoktunk hangsúlyozni, hogy az erőtér munkája (cirkuláció) nem függ az anyagi pont mozgásának pályájától, csak annak kezdő- és végpontjától. Konzervatív például a gravitációs erőtér, az elektrosztatikus erőtér, a rugóerőtér, és általában minden homogén, illetve centrális erőtér. A konzervatív erőterekben az anyagi ponthoz – a hely függvényében – potenciális (helyzeti) energia rendelhető, ami a mechanikai energia egyik összetevője a mozgási energia mellett. Példa: 3x2y2 v(r ) 2x3y ez . Mivel az r rot v(r ) függvény azonosan nulla, a vektormezőnek 2z yez
létezik u potenciálfüggvénye. A keresett r u(r ) potenciálfüggvénynek teljesítenie kell az alábbi egyenlőségeket: I.
xu(r ) 3x2y2 , II.
yu(r ) 2x3y ez , III.
zu(r ) 2z yez .
I.-ből x szerinti integrálással: u(x, y, z) x3y2 g(y, z) , ahol g egyelőre ismeretlen függvény. u ezen formáját II.-be helyettesítve: 2x3y y g(y, z) 2x3y ez , amiből g(y, z) yez h(z) , így u(x, y, z) x3y2 yez h(z) , ahol h egyelőre ismeretlen függvény.
u ezen formáját III.-ba helyettesítve: yez zh(z) 2z yez , amiből h(z) z2 C . Mindezek alapján u(x, y, z) x3y2 yez z2 C , ahol C tetszőleges valós szám.
42
Példa: Pontszerű M tömeg által keltett gravitációs tér térerőssége, ha a vonatkoztatási pont a
tömegpont
helye:
Egrav (r ) M
6,67 10 11
N er 2 |r | kg 1
m3 , kg s2
tömegpontra az r helyen ható gravitációs erő: Fgrav Egrav m
Mm | r |2
egy
m
er [N] . Az
J . Összefüggés: ugrav grad Egrav kg (a -1 szorzó a fizikai fogalmak definíciójából adódik). Egy m tömegpont potenciális energiája az r helyen: Ugrav (r ) ugrav (r ) m [N] .
erőtér potenciálfüggvénye: ugrav (r ) M
1 |r |
Példa: Pontszerű Q töltés által keltett elektrosztatikus tér térerőssége, ha a vonatkoztatási pont
a töltés helye: Eel(r ) k Q
1
N r0 2 C |r |
k 9 109
ható elektosztatikus erő: Fel(r ) Eel(r ) q k uel(r ) k Q
1 |r |
Qq | r |2
er [N] . Az erőtér potenciálfüggvénye:
J C . Összefüggés: uel grad Eel
definíciójából adódik). Uel(r ) uel(r ) q [N] .
Egy
q
töltés
N m2 egy q töltésre az r helyen C2
(a -1 szorzó a fizikai fogalmak
potenciális
43
energiája
az
r
helyen:
4. INTEGRÁLÁS
4.1 Integrálra vezető problémák A műszaki számításokban gyakran találkozunk azzal, hogy mennyiségek értékei úgy állnak elő, hogy egy függvény értékét szorozzuk az értelmezési tartománya egy részhalmazának mértékével, például a tömeget úgy kapjuk meg, hogy a térfogati tömegsűrűséget szorozzuk a test által kitöltött térrész térfogatával. Ezek az esetek vezetnek az integrál fogalmához. Az egyszerű szorzás csak akkor alkalmazható, ha a függvény értéke állandó az adott halmazon. Egyébként úgy kell eljárnunk, hogy a szorzatokat alkalmasan megválasztott (ez eredeti halmaz ún. felosztásával előálló) részhalmazokon számítjuk ki, a szorzatokat összeadjuk, megkapva így a mennyiség egy közelítő értékét. Az elméleti pontos értékhez egyfajta határértékként jutunk úgy, hogy a felosztást finomítva megfigyeljük a közelítő összegek viselkedését. A műszaki számításokban előforduló integrálok kiszámítását az n típusú, folytonos, korlátos függvények integráljára alapozzuk: például a komplex és a vektor értékű függvények integráljait, az improprius integrálokat, a görbe menti és a felület menti integrálokat, bizonyos feltételek mellett, erre vezethetjük vissza. A példáink elsősorban az alábbi problémakörökhöz kapcsolódnak: 1. Mennyiség adott időtartam alatti megváltozásának kiszámítása az idő szerinti változási gyorsaságból. Ha egy mennyiség idő szerinti változási gyorsasága ([~/s] dimenziójú) mérhető vagy számítható, időben állandó érték, akkor a mennyiség megváltozása a változási gyorsaság és az eltelt idő szorzata. Például a mozgások vizsgálatánál bizonyos esetekben a gyorsulás határozható meg a körülményekből, ami a sebesség változási gyorsasága; egy áramkörben mért áramerősség a vezető egy keresztmetszetén átáramlott töltésmennyiség változási gyorsasága. 2. Extenzív mennyiség összértékének meghatározása egy tartományon a sűrűségfüggvény ismeretében. Ha egy tartomány pontjaiban ismert egy mennyiségnek egy tartomány egységnyi részére (pl. egységnyi hosszra, területre, térfogatra) vonatkoztatott értéke (sűrűsége), és a sűrűség értéke a tartományon belül állandó, akkor a mennyiség összértéke a sűrűség és a tartomány mértékének szorzata. A leggyakrabban előforduló sűrűség jellegű mennyiségek a tömegsűrűség, az elektromos töltéssűrűség, az erősűrűség (nyomás), az
44
energiasűrűség, a fluxussűrűség, de bármely extenzív mennyiség sűrűségéről beszélhetünk. 3. A munka kiszámítása. Itt egyrészt az erőtér munkájának kiszámításával foglalkozunk, miközben egy pontszerű test befut egy pályát az erőtérben (görbe menti integrál), másrészt a gázok tágulási munkájának meghatározásával. 4. Adott felületen „átmenő” fluxus kiszámítása. Itt az erőterekkel és az áramlási terekkel foglalkozunk: adott felülethez meghatározzuk a rajta áthaladó erővonalak, illetve áramvonalak számát. 5. Geometriai jellemzők kiszámítása. Például: terület, térfogat, ívhossz, felszín. 6. Nyomatékok kiszámítása. Például: statikai (elsőrendű) nyomaték, tehetetlenségi (másodrendű) nyomaték. A következő táblázat néhány példát (szorzási szabályt) mutat ezen kategóriákból. A változási gyorsaságon alapuló számítások
Itt a tartomány időintervallum, mértéke az időtartam: t , [s] . Mennyiség változási gyorsasága
A mennyiség megváltozása t idő alatt (állandó változási gyorsaság esetén)
m pályasebesség: v , s
a pályakoordináta megváltozása: s v t , [m]
m sebességvektor: v , s
a hely vektor megváltozása (elmozdulás): r v t , [m]
m pálya menti gyorsulás: a , s2 m gyorsulásvektor: a , s2
a pálya menti sebesség megváltozása: m v a t , s
a sebesség vektor megváltozása: m v a t , s
C áramerősség: I , A s
átáramlott töltésmennyiség: Q I t , [C]
J teljesítmény: P , W s
leadott energia:
E P t , [J]
A vonalmenti sűrűségen alapuló számítások
Itt a tartomány görbedarab (speciálisan lehet szakasz), mértéke ívhossz: s , [m] .
45
Mennyiség összértéke (állandó sűrűség esetén)
Sűrűség
kg vonal menti tömegsűrűség: tömeg , m
tömeg:
C vonal menti töltéssűrűség: töltés , m
töltés:
N vonal menti erősűrűség: f , m
eredő erő:
m tömeg s , [kg] Q töltés s , [C] F f s , [N]
A felületi sűrűségen alapuló számítások
Itt a tartomány felületdarab, mértéke a felszín: A , [m2 ] .
kg felületi tömegsűrűség: tömeg , m2
Mennyiség összértéke (állandó sűrűség esetén) tömeg: m tömeg A , [kg]
C felületi töltéssűrűség: töltés , m2
töltés: Q töltés A , [C]
Sűrűség
felületi erősűrűség (nyomás): p , [Pa]
erő: F p A , [N]
fluxus:
fluxussűrűség (vektormező):
A cos A
A térfogati sűrűségen alapuló számítások
Itt a tartomány térrész, mértéke a térfogat: V , [m3 ] . Mennyiség összértéke (állandó sűrűség esetén)
Sűrűség térfogati töltéssűrűség:
C töltés , m3 térfogati tömegsűrűség: kg tömeg , m3 térfogati energiasűrűség: J energia , m3
töltés: Q töltés V , [C]
tömeg: m tömeg V , [kg]
tömeg:
46
E energia V , J
Egyéb számítások
Mennyiség
A tartomány mértéke
Szorzat az erő munkája:
erő (vektor): F , [N]
elmozdulás: r , [m]
nyomás: p , [Pa]
térfogatváltozás: V , [m3 ]
magasság: d , [m]
hossz: x , [m]
magasság: d , [m]
terület: T , [m2 ]
W F r , [J]
(izobar) munkavégzés: W p V , [J] terület: T d x , [m2 ]
térfogat: V d T , [m3 ]
4.2 Jordan-mérték; halmaz felosztása A klasszikus műszaki problémák tárgyalásához megfelelő a Riemann integrál fogalma, ami a Jordan-mértékhez kötődik. (A matematikában hasznosabbnak bizonyultak a Riemann integrálnál általánosabb integrálfogalmak, például az ún. Lebesgue mértékhez kötődő Lebesgue integrál.) , 2 és 3 korlátos részhalmazai körében a Jordan-mérhetőség megfelel annak, hogy a halmaznak a klasszikus értelemben van hossza, területe, illetve térfogata. Az n-beli Jordan-mérték fogalma az n-dimenziós intervallumok mértékéből származtatható. Ha az I1, I2 ,..., In egydimenziós korlátos intervallumok hossza L1, L 2 ,..., Ln , akkor az I1 I2 ... In n-dimenziós intervallum mértéke (I1 I2 ... In ) L1 L 2 ... Ln .
Először a belső és a külső mérték fogalmát definiáljuk! Ha a D n korlátos halmaz által tartalmazott B1, B2 ,...,Bk n-dimenziós intervallumok esetén bármely kettőre fennáll, hogy nincs közös belső pontjuk, akkor a
k
(Bi )
összeget
i1
a D-hez tartozó belső összegnek nevezzük. Ha D dimenziós intervallumokra D
k
Ki ,
n
korlátos halmaz, a K1, K2 ,...,Kk n-
továbbá bármely kettőre fennáll, hogy nincs közös
i1
belső pontjuk, akkor a
k
(Ki )
összeget a D-hez tartozó külső összegnek nevezzük.
i1
Egy D n korlátos halmaz belső mértékén a D-hez tartozó belső összegek halmazának pontos felső korlátját (szuprémumát), külső mértékén a D-hez tartozó külső összegek halmazának pontos alsó korlátját (infinumát) értjük. Továbbá D-t Jordan-mérhetőnek nevezzük, ha a belső mértéke egyenlő a külső mértékével. Ezt a közös értéket a D Jordan-mértékének nevezzük. n n Az típusú függvények Riemann-integrálját Jordan-mérhető részhalmazain értelmezzük. Az integrál definiálásakor használjuk az ilyen halmazok felosztásának fogalmát. Jordan-mérhető halmazok D1, D2 ,...,Dk rendszerét a D n Jordan-mérhető halmaz felosztásának nevezzük, ha az egyesítésük (uniójuk) kiadja D-t, továbbá bármely kettőre fennáll, hogy nincs közös belső pontjuk.
47
Egy D n halmaz átmérőjén az elemei távolságának pontos felső korlátját értjük: diam(D) sup | x y | . Egy D n halmaz D= D1, D2 ,..., Dk felosztásának finomsága a x,yD
szereplő halmazok átmérőinek maximuma: finomság(D)= max diam(Di ) . i
n
Egy D halmazhoz tartozó, minden határon túl finomodó felosztássorozaton a D felosztásainak olyan D1,D2,… sorozatát értjük, melyre lim (finomság(Dk))=0. k
4.3 Integrálközelítő összegek Ebben a részben – az előbb bemutatott problémákhoz kapcsolódóan – néhány példát mutatunk integrálközelítő összegre. Ahhoz, hogy a műszaki összefüggésekben szereplő integrálokat „értsük”, mindenekelőtt azzal kell tisztában lennünk, hogy ezek mögött milyen integrálközelítő összegek vannak, illetve hogy ezek milyen alapösszefüggésekből származnak. Az integrálokkal kapcsolatos elméleti megfontolások és az integrálok kiszámításának különböző lehetőségei ebből a szempontból nem annyira lényegesek. 1. Pályakoordináta megváltozásának kiszámítása a pályamenti sebességből Rögzített pályán mozgó anyagi pont pályasebessége a [t A , tB ] időtartamon a t v(t)
függvény szerint alakul. Írjuk fel közelítőleg a pályakoordináta értékének megváltozását! A [t A , tB ] időintervallum felosztása legyen t A t 0 t1 t2 ... tn tB . Minden részintervallumban válasszunk egy időpillanatot: t 0 1 t1 2 t 2 ... n tn . Ha a [ti 1, ti ] részintervallumokban állandó v(i ) sebességet feltételezünk, akkor a pályakoordináta értékének a mozgás során bekövetkező megváltozása közelítőleg (integrálközelítő összeg): s
n
si
i1
n
n
i1
i 1
v(i ) (ti ti1) v(i ) ti
A hely megváltozásának pontos értékét a s
tb
v(t) dt
integrál adja.
ta
2. Az energiaváltozás kiszámítás a teljesítményből Egy rendszer energialeadása a [t A , tB ] időintervallumon a t P(t) függvény szerint
alakul. Írjuk fel közelítőleg a leadott energia értékét! A [t A , tB ] időintervallum felosztása legyen t A t 0 t1 t2 ... tn tB .
Minden
részintervallumban válasszunk egy időpillanatot: t 0 1 t1 2 t2 ... n tn . Ha a [ti 1, ti ] részintervallumokban állandó P(i ) teljesítményt feltételezünk, akkor a leadott energia közelítőleg (integrálközelítő összeg): E
n
n
i1
i1
n
Ei P(i) (ti ti1) P(i) ti
Az energiaváltozását pontos értékét a E
i1
tb
P(t) dt
ta
48
integrál adja.
3. A tágulási munka kiszámítása a p-V diagramból Zárt térrészben lévő gáz VA térfogatról VB térfogatra tágul. A folyamat során a gáz
nyomását a térfogat függvényében a V p(V) , V VA , VB függvény írja le. Határozzuk meg a gáz által végzett tágulási munkát a folyamat során! A [VA , VB ] intervallum felosztása legyen VA V0 V1 V2 ... Vn VB .
Minden
részintervallumban válasszunk egy térfogatértéket: V0 1 V1 2 V2 ... n Vn . Ha a [Vi1, Vi ]
részintervallumokban állandó p(i )
nyomást feltételezünk, akkor a
munkavégzés közelítőleg (integrálközelítő összeg): W
n
n
n
i1
i1
i1
Wi p(i) (i i1) p(i) Vi .
A tágulási munka pontos értékét a W
Vb
p(V) dV
integrál adja.
Va
4. Vezető keresztmetszetén átáramlott töltésmennyiség kiszámítása az áramerősségből Egy vezető adott keresztmetszetén mért áramerősség a [t A , tB ] időintervallum alatt t I(t) , t A t tB függvény szerint alakul. Írjuk fel a keresztmetszeten átáramlott töltésmennyiség közelítő értékét! A [t A , tB ] időintervallum felosztása legyen t A t 0 t1 t2 ... tn tB . Minden
részintervallumban válasszunk egy időpillanatot: t 0 1 t1 2 t2 ... n tn . Ha a [ti 1, ti ] részintervallumokban állandó I(i ) áramerősséget feltételezünk, akkor az átáramlott töltésmennyiség közelítőleg (integrálközelítő összeg): Q
n
n
i 1
i 1
n
Qi I(i ) (ti ti1 ) I(i ) ti .
A töltésmennyiség pontos értékét a Q
i 1
tb
I(t) dt
integrál adja.
ta
5. Eredő erő kiszámítása vonal mentén megoszló, párhuzamos erőrendszer esetén Egy egyenes tartót a tartóra merőleges megoszló erőrendszer terhel. A tartó [a, b]
szakaszán a vonal menti erősűrűség az x f(x) , x a, b függvény szerint alakul. Írjuk fel az erőrendszer eredőjének közelítő értékét! [a, b] intervallum felosztása legyen Az
a x 0 x1 x2 ... xn b .
Minden
részintervallumban válasszunk egy helyet: x 0 1 x1 2 x2 ... n xn . Ha az [xi 1 , xi ] részintervallumokban állandó f(i ) erősűrűséget feltételezünk, akkor az erőrendszer eredője közelítőleg (integrálközelítő összeg): F
n
n
n
i 1
i 1
i 1
Fi f(i ) (xi xi1 ) f(i ) xi . b
Az eredő erő pontos értékét a F f(x) dx integrál adja. a
6. Síkidom területe A fenti példákban megfigyelhetjük, hogy az integrálközelítő összegek felírásakor egy függvény értékeit szoroztuk intervallumok hosszával. Ezeket a szorzatokat előjeles téglalap-területeknek feleltethetjük meg, amit a gyakorlatban úgy is szoktunk
49
fogalmazni, hogy az érték „függvény alatti területként” adódik: például a gáz által végzett tágulási munka a „p-V diagram alatti területtel” egyenlő. Természetesen akkor is hasonló integrálközelítő összeget kell felírnunk, ha valóban területet kell számolnunk. Ha egy olyan síkidommal van dolgunk, amit egy nemnegatív f:[a,b] függvény határoz meg úgy, hogy a síkidomot „egyik oldalról” a függvény grafikonja (görbedarab), „másik oldalról” az [a,b] intervallum, többi oldalról a tartományt lezáró függőleges vonalak határolnak, akkor a síkidom területének (a függvény alatti területnek) a közelítő értékét az alábbiak szerint kapjuk: [a, b] intervallum felosztása legyen a x 0 x1 x2 ... xn b . Minden Az részintervallumban válasszunk egy helyet: x 0 1 x1 2 x2 ... n xn . Ha az [xi1, xi ] részintervallumokban állandó f(i ) függvényértéket feltételezünk, akkor a terület közelítőleg (integrálközelítő összeg): A
n
n
n
i 1
i 1
Ai f(i ) (xi xi1 ) f(i ) xi .
i 1
b
A terület pontos értékét az A f(x) dx integrál adja. a
7. Forgástest térfogata Testek térfogatának számítása is integrálközelítő összeg felírásán alapszik. Abban a speciális esetben, amikor a test egy nemnegatív értékű x f(x) , x a, b függvény x
tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest, akkor a térfogata az alábbiak szerint közelíthető: [a, b] intervallum felosztása legyen a x 0 x1 x2 ... xn b . Minden Az részintervallumban válasszunk egy helyet: x 0 1 x1 2 x2 ... n xn . Ha az [xi1, xi ] részintervallumokban állandó f(i ) függvényértéket feltételezünk, akkor a térfogat közelítőleg (integrálközelítő összeg, hengerek térfogatainak összege): V
n
Vi
i 1
n
f 2 (i ) (xi xi1 )
i 1
n
f 2 (i ) xi .
i 1
b
A térfogat pontos értékét a V f 2 (x) dx integrál adja. a
8. Tartály falára ható erő A fentiekben felsorolt integrálközelítő összegek néhány tipikus számoláshoz tartoznak. A műszaki számításokban általában a geometriai viszonyokból és a számítás szempontjából lényeges mennyiségek helytől vagy időtől való függése alapján lehet megkonstruálni a közelítő összeget. Például egy vízzel telt tartály d széles, h magas 0 függőleges oldalfalára a víz hidrosztatikai nyomásából xi1 xi adódóan ható eredő nyomóerő közelítőleg: F
n
n
n
i 1
i 1
i 1
Fi g i d (xi xi1 ) g i d xi ,
h
d x
ahol: a víz sűrűsége; g a gravitációs gyorsulás; 0 x 0 x1 x2 ... xn h a [0, h] intervallum egy felosztása és x 0 1 x1 2 x2 ... n xn . A erő közelítése a
50
p(x) g x ,
x 0, h függvényen alapszik, ami a vízoszlop magasságából adódó
hidrosztatikai nyomás. h
Az erő pontos értékét az V g b x dx integrál adja. 0
9. Térfogat Ha egy olyan testtel van dolgunk, amit egy nemnegatív f:[a,b]×[c,d] kétváltozós függvény határoz meg úgy, hogy a testet „egyik oldalról” a függvény grafikonja (felületdarab), „másik oldalról” az [a,b]×[c,d] téglalap, a többi oldalról pedig a tartományt lezáró „függőleges” síkidomok határolnak, akkor a test térfogatának közelítő értékét az alábbiak szerint kapjuk.
Az [a, b] intervallum felosztása legyen a x 0 x1 x2 ... xn b , a [c, d] intervallum felosztása legyen c y 0 y1 y2 ... ym d . Ezzel az [a,b]×[c,d] téglalapot n m darab kis téglalapra osztottuk: [xi1 , xi ] [y j1, y j ] , i 1,..., n, j 1,..., m . Minden kis téglalapban válasszunk egy rij [xi 1, xi ] [y j1 , y j ] helyet. Ha az [xi1 , xi ] [y j1 , y j ] téglalapon állandó f(rij ) függvényértéket feltételezünk, akkor a térfogat közelítőleg (integrálközelítő összeg, téglatestek térfogatainak összege): V
n m
n m
n m
i 1 j 1
i 1 j 1
i 1 j 1
Vi f(rij ) (xi xi1 ) (y j y j1 ) f(rij ) xi y j f(rij ) Aij ,
ahol: Aij az [xi1 , xi ] [y j1, y j ] téglalap területe.
f(x, y) dxdy
A térfogat pontos értékét a V
[a,b][c,d]
f(x, y) dA
kettős integrál adja.
[a,b][c,d]
10. Tömeg Ha egy V0=[a,b]×[c,d]×[e,f] téglatest térfogati tömegsűrűségét egy :V0 háromváltozós függvény írja le, akkor a test tömegét az alábbiak szerint közelíthetjük:
Az [a, b] intervallum felosztása legyen a x 0 x1 x2 ... xn b , a [c, d] intervallum felosztása legyen c y 0 y1 y2 ... ym d , az [e, f] intervallum felosztása legyen e z0 z1 z2 ... zk f . Ezzel a V0 téglatestet n·m·k darab kis téglatestre osztottuk: Vijl [xi1, xi ] [y j1, y j] [zl1, zl ] , i 1,..., n, j 1,..., m, l 1,..., k . Minden kis téglalapban
válasszunk egy rijl [xi 1 , xi ] [y j1 , y j ] [zl 1, zl ] helyet. Ha a Vijl téglatestben állandó (rijl ) sűrűséget feltételezünk, akkor a tömeg közelítőleg (integrálközelítő összeg): m
n m k
n m k
i1 j1l1
i1 j1l1
mijl (rijl ) (xi xi1) (y j y j1) (zl zl1)
n m k
n m k
i 1 j 1l 1
i 1 j 1l 1
(rijl) xi y j zl (rijl) Vijl ,
ahol: Vijl az [xi 1 , xi ] [y j1 , y j ] [zl1 , zl ] téglatest térfogata. A tömeg pontos értékét az m
r dV
térfogati (hármas) integrál adja.
V0
51
4.4 Skalárértékű függvények integrálja 4.4.1 Az
n
típusú függvények integrálja
Legyen D az n halmaz egy Jordan-mérhető részhalmaza, és tekintsük az f:D korlátos függvényt. Legyen D= D1, D2 ,...,Dk a D egy felosztása, és legyen = (1, 2 ,..., k ) ,
iDi, i=1,…,k. Ekkor az I(D, )=
k
f i Di
i1
összeget, ahol Di a Di halmaz mértékét jelöli, az f függvény D felosztáshoz és a alapponthoz tartozó integrálközelítő összegének nevezzük. Ha bármely minden határon túl finomodó (Di,i), i=1,2,... (beosztás, alappont)-sorozat esetén létezik a lim I(Di,i)
i
határérték, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény integrálható a D halmazon. Ha az f függvény integrálható a D halmazon, akkor a határérték egyértelmű, és az f függvény D
f . Igazolható, hogy ha az f függvény
halmazon vett integráljának nevezzük. Jelölése:
D
folytonos is, akkor integrálható. Ekkor az
f
integrált bármely minden határon túl
D
finomodó
(Di,i)
(beosztás,alappont)-sorozat
esetén
megkapjuk
a
lim
i
I(Di,i)
határértékkel.
4.4.2 Az integrál néhány alapvető tulajdonsága Az integrál lineáris: ha az f,g:D függvények integrálhatók, akkor bármely , esetén
( f g) f g .
D
D
D
Az integrál végesen additív: ha az f függvény integrálható a D1,…,Dk halmazokon, akkor
integrálható ezek D
k
Di unióján
is. Továbbá, ha a D1,…,Dk halmazok közül bármely
i1
kettőre igaz, hogy nincs közös belső pontjuk, akkor
k
f f.
D
Ha az f:D
i 1 Di
függvény integrálható és m f(x) M , xD, akkor m (D)
f M (D)
D
A következőkben néhány megjegyzést teszünk az integráljával kapcsolatban.
52
,
2
,
3
típusú függvények
4.4.3
típusú függvények integrálja
Az f:[a,b] Egy
függvény [a,b] intervallumon vett integráljának jelölése:
f:[a,b]
függvény
területeinek összegei, az
esetén b
f
az
integrálközelítő
összegek
b
b
a
a
f , vagy
téglalapok
f(x)dx . előjeles
integrál pedig „geometriailag” a függvény alatti előjeles
a
területet adja. Sokszor fogalmazunk úgy, hogy egy mennyiség „függvény alatti területként” adódik. Egyes alkalmazásokban fontosak a szakaszonként folytonos függvények. Ha az I1,I2,…,Ik olyan intervallumok, amelyek páronként diszjunktak, egyesítésük kiadja az I intervallumot, továbbá az f:I függvény korlátos és folytonos az I1,I2,…,Ik intervallumok mindegyikén, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény szakaszonként folytonos I-n. A szakaszonként folytonos függvények szakadási helyeinek száma véges, és az integrál véges additivitása miatt az ilyen függvények integrálhatók. Ha az f:a,b függvény folytonos, akkor van olyan a,b, amelyre b
f f() (b a) ,
avagy
f()
a
b 1 f . ba a
Mennyiségek időfüggésének vizsgálatában többféle átlagos érték használatos. Mechanikai vagy elektromos rezgések szintjének jellemzésére legalkalmasabb az x effektív
1 T
Használatos
x átlag
1 T
t0 T
x2 (t) dt
effektív
érték
(négyzetes
közép,
T
a
periódusidő).
t0
még
az
t0 T
x(t) dt
1 T
x átlag
t0 T
x(t) dt
átlag
(integrálközép),
és
az
t0
a függvény abszolút értékének átlaga is.
t0
A változók cseréje (helyettesítéses integrálás)
Az elméleti levezetésekben és az integrálok kiszámításában is fontos technika a változótranszformáció (új változó bevezetése). Az egyváltozós függvények integrálját illetően ez a következőképpen fogalmazható meg: ha a g:x1,x2c,d függvény folytonosan differenciálható és az f:c,d függvény folytonos, akkor x2
f
x1
A számolásokban inkább az
x2
t2
x1
t1
g1 (x2 ) 1
f g g .
g (x1 )
dx
f(x) dx f x(t) dt dt
írásmódot használjuk, ahol a „régi”
és az „új” változó kapcsolatát a t x(t) , illetve az x t(x) függvények jelölik. Példa:
e
ln x x dx 1
ln e
t
ln 1 e
t
e t dt
1
t dt .
0
Itt g(t)=et, g'(t)=et, g-1(x)=lnx, avagy: t ln x , x e t ,
53
dx et . dt
4.4.4
2
típusú függvények integrálja
n=2 esetben, vagyis ha az értelmezési tartomány kétdimenziós, az integrált szokás kettős integrálnak nevezni és a következő módokon jelölni:
f(x, y) dA f(x, y) dA f(x, y) dxdy .
D
Egy kétváltozós f:D
D
D
függvény esetén az integrálközelítő összegek téglatestek előjeles
f
térfogatainak összegei, az
integrál pedig „geometriailag” a függvény alatti előjeles
D
térfogatot adja. Sokszor fogalmazunk úgy, hogy egy mennyiség „függvény alatti térfogatként” adódik. Az integrál kiszámítása szempontjából fontos, hogy a kettős integrál bizonyos feltételek mellett visszavezethető két egyszeres integrál kiszámítására (Fubini-tétel). Ha f folytonos és D [a1, b1] [a2 , b2 ] (téglalap tartomány), akkor:
f(x, y) dxdy I
b2 f(x, y) dy dx . x a1 y a2 b1
Ha f folytonos és D (x, y) : a x b, g1(x) y g2 (x) (normál tartomány), akkor g2 (x) dx . f ( x , y ) dy x a y g1 (x) b
f(x, y) dxdy I
4.4.5
3
típusú függvények (skalármezők) integrálja
n=3 esetben, vagyis ha az értelmezési tartomány háromdimenziós, az integrált szokás hármas integrálnak vagy térfogati integrálnak nevezni és a következő módokon jelölni:
f(x, y, z) dV f(x, y, z) dV f(x, y, z) dxdydz .
D
D
D
Az integrál kiszámítása szempontjából fontos, hogy a térfogati integrál bizonyos feltételek mellett visszavezethető három egyszeres integrál kiszámítására (Fubini tétel). Ha f folytonos és D [a1, b1] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] (téglatest tartomány), akkor b2 b3 f(x, y, z) dxdydz f(x, y, z) dz dy dx . I x a1 y a2 z a3 b1
Ha f folytonos és D (x, y, z) : a x b, g1(x) y g2 (x), h1(x, y) y h2 (x, y) (normál tartomány), akkor g2 (x) h2 (x,y) f(x, y, z) dxdydz f(x, y, z) dz dy dx . I x a1 y g1 (x) z h1 (x,y) b1
4.4.6 Az integrál kiszámítása polár- és hengerkoordinátákkal Számos alkalmazásban egyszerűbb az integrálási tartomány, vagy a függvény felírása polár- vagy henger-koordináta-rendszerben, mint derékszögűben, így célszerű lehet polár-, illetve hengerkoordinátákra áttérni. A változók cseréjének gondolata hasonló az típusú függvényeknél leírtakhoz.
54
Áttérés polárkoordinátákra 2 típusú függvények esetén 2 típusú függvényeknél az (x,y) derékszögű és az (r,) polárkoordináták közti
kapcsolatot
az
Tx (r, ) r cos x T(r, ) Ty (r, ) r sin y
folytonosan
differenciálható
transzformációs függvény teremti meg. A D 2 korlátos halmazokra vezessük be a D(r,) (r, ) : (r cos , r sin ) D jelölést. Az integrál polárkoordinátákkal való felírásában az
2
2
típusú T függvény
r Tx (r, ) Tx (r, ) r (r cos ) (r cos ) cos r sin T (r, ) r Ty (r, ) Ty (r, ) r (r sin ) (r sin ) sin r cos
deriváltja játsza a főszerepet: ha D egy folytonosan differenciálható zárt görbével határolt tartomány a síkban, f:D folytonos függvény, akkor
f(x, y) dxdy f(r cos , r sin ) D
detT (r, ) drd
D(r , )
ahol: az (r, ) det T (r, )
f(r cos , r sin ) r drd ,
D(r , )
függvényt a T transzformáció Jacobi-determinánsának
nevezzük. Áttérés polár-koordinátákra 3 típusú függvények esetén 3 típusú függvényeknél az (x,y,z) derékszögű és az (r,,) polár-koordináták közti Tx (r, , ) r cos sin kapcsolatot az folytonosan (x, y, z) T(r, , ) Ty (r, , ) r sin sin T (r, , ) r cos z differenciálható transzformációs függvény teremti meg. A D 3 korlátos halmazokra vezessük be a D(r,,) (r, , ) : (r cos sin , r sin sin , r cos ) D 3
jelölést. Az integrál polárkoordinátákkal való felírásában az
3
típusú T függvény
r Tx (r, , ) Tx (r, , ) Tx (r, , ) T (r, , ) r Ty (r, , ) Ty (r, , ) Ty (r, , ) r Tz (r, , ) Tz (r, , ) Tz (r, , )
r (r cos sin ) (r cos sin ) (r cos sin ) r (r sin sin ) (r sin sin ) (r sin sin ) (r cos ) (r cos ) r (r cos )
cos sin r sin sin r cos cos sin sin r cos sin r sin cos cos 0 r sin deriváltja játssza a főszerepet: ha D egy folytonosan differenciálható zárt görbével határolt tartomány a síkban, f:D folytonos függvény, akkor
f(x, y, z) dxdydz f(r cos sin , r sin sin , r cos ) D
detT (r, , ) drdd
D(r , , )
f(r cos sin , r sin sin , r cos ) (r
2
sin ) drdd ,
D(r , , )
ahol:
az
(r, , ) detT (r, , )
függvényt
determinánsának nevezzük.
55
a
T
transzformáció
Jacobi-
Áttérés hengerkoordinátákra 3 típusú függvények esetén 3 típusú függvényeknél az (x,y,z) derékszögű és az (r,,z) hengerkoordináták közti Tx (r, , z) r cos kapcsolatot az (x, y, z) T(r, , z) Ty (r, , z) r sin folytonosan differenciálható T (r, , z) z z transzformációs függvény teremti meg. A D 3 korlátos halmazokra vezessük be a D(r,,z) (r, , z) : (r cos , r sin , z) D
jelölést. Az integrál hengerkoordinátákkal való felírásában az
3
3
típusú T függvény
r Tx (r, , z) Tx (r, , z) z Tx (r, , z) T (r, , z) r Ty (r, , z) Ty (r, , z) z Ty (r, , z) r Tz (r, , z) Tz (r, , z) z Tz (r, , z)
r (r cos ) (r cos ) z (r cos ) cos r sin 0 r (r sin ) (r sin ) z (r sin ) sin r cos 0 r (z) (z) z (z) 0 0 1 deriváltja játssza a főszerepet: ha D egy folytonosan differenciálható, zárt felülettel határolt tartomány a térben, f:D folytonos függvény, akkor
f(x, y, z) dxdydz f(r cos , r sin , z) D
det T (r, , z) drddz
D(r , , )
f(r cos , r sin , z) r drddz ,
D(r , , )
ahol
az
(r, , z) detT (r, , z)
függvényt
a
T
transzformáció
Jacobi-
determinánsának nevezzük.
4.5 Improprius integrál A Riemann-integrált korlátos függvény esetén és korlátos intervallumon definiáltuk. Van értelme azonban az integrálási tartományon nemkorlátos függvények integráljáról, ill. nem-korlátos tartományon vett integrálról beszélni az alábbi definíciók alapján. Legyen a , ab vagy b=+ és az f:[a,b[ függvény integrálható minden c[a,b[ esetén az [a,c] intervallumon. Ekkor az f függvény [a,b[ intervallumon vett improprius c
integrálján a lim f I határértéket értjük, amennyiben ez egy valós szám. Ebben az c b
a
esetben azt mondjuk, hogy az improprius integrál konvergens, különben azt, hogy divergens. Legyen b , ba vagy a=- és f:]a,b] integrálható minden c]a,b esetén a [c,b] intervallumon. Ekkor az f függvény ]a,b] intervallumon vett improprius integrálján a b
lim f I határértéket értjük, amennyiben ez egy valós szám. Ebben az esetben azt
c a
c
mondjuk, hogy az improprius integrál konvergens, különben azt, hogy divergens.
56
Ha az f:]a,b[ c
f
és az
f
függvényre (a {-}, b {+}) valamely c
esetén léteznek az
improprius integrálok, akkor az f függvény ]-,+[ intervallumon vett
c
c
c
f
improprius integrálján az
f
értéket értjük.
Példa:
1
1
x
2
0
b
1
1
dx lim dx lim (arctga) lim arctgb . a b b 1 x2 a 1 x2
dx lim
0
a
4.6 Vektorértékű és komplex értékű függvények integrálása Az m vektortér elemei közti, valamint a komplex számok közti műveletek tulajdonságai n n m típusú és az típusú függvények integrálhatóságának és alapján az integráljának fogalma visszavezethető az n típusú függvényre korábban tárgyalt megfelelő fogalmakra. n
,
Legyen D
f :D
m
korlátos függvény,
f (f1,..., fm ) . Az
D halmazon vett
f
integráljához kapcsolódó integrálközelítő összeg:
I(D, )=
Az
f :D
függvény
m
k
k
k
i1
i1
f i Di f1 i Di ,..., f1 i Di .
i1
integrálható
a
D
halmazon,
koordinátafüggvényei integrálhatók a D halmazon, és ekkor
ha
Legyen D
, f:D
fi:D ,
i=1,…,m
f f1,..., fm . D
D n
az
D
korlátos függvény, f(x) a(x) i b(x) . Az f függvény D halmazon
vett integráljához kapcsolódó integrálközelítő összeg: I(D, )=
Az
f:D
függvény
k
k
j1
j1
f( j) D j a( j) i b( j) D j . a
integrálható
integrálhatók a D halmazon, és ekkor
D
halmazon,
ha
az
a,b:D
függvények
f a i b .
D
D
D
4.7 Vektormezők integrálása 4.7.1 Erőtér munkája; görbe menti integrál Egy erőtér munkájának kiszámítása azon alapszik, hogy az állandó F erő által egy tömegponton végzett munkát a W F r skaláris szorzat adja, ahol r az elmozdulás vektor.
57
F(r(2 ))
F
F(r(4 ))
F(r(1 ))
r A
r1
r3
r2
r4
B
F(r(3 ))
4.1 ábra: Erőtér adott görbe menti munkája Ennek alapján az r F r erőtér munkája egy tömegponton, míg az egy t r(t) , t A t tB függvénnyel megadott pályát (görbeívet) befut, az alábbiak szerint közelíthető: A [t A , tB ] időintervallum felosztása legyen t A t0 t1 t2 ... tk tB . Minden
részintervallumban válasszunk egy időpillanatot: t0 1 t1 2 t2 ... k tk . A [ti1, ti ] részintervallumokban állandó F(i ) erőt feltételezve a munka értéke közelítőleg:
W
k
k
k
i1
i1
i1
Wi F r(i) (ri ri1) F r(i) ri .
Általában egy v : 3 3 folytonos vektormezőnek egy folytonosan differenciálható t r(t) , t A t tB görbe mentén vett görbe menti integráljának közelítő összege (a fenti gondolatokat és jelöléseket használva):
k
v r(i) ri ,
a görbe menti integrál
i1
pedig az rB
tB
rA ,
tA
v(r ) d r
v(r(t)) r(t) dt
érték. Ennek megfelelően a munka pontos értékét a W
rB
tB
rA ,
tA
F(r ) d r
görbe menti integrál adja. Példa: v(r ) v(x, y, z) (x y z 4 , x z y2 ,5 y z) , : r(t) (4 t,6t2 , t) , 0t1,
58
F(r(t)) r(t) dt
v(r ) d r
v(r(t)) r(t) dt 4 - t - 6t
t2
1
t1
2
t 4 , (4 t) t 36 t 4 ,5 6t 3 - 1,12t,1 dt
0
1
(432 t5 t 4 18 t3 54 t2 t 1) dt 86,8 0
4.7.2 Felület menti integrál; fluxus Egy
r v0
konstans
(homogén)
vektormező
fluxusát
egy
A
területű,
n
normálvektorú | n | 1 sík tartományra vonatkozóan a v0 n A v0 A skaláris szorzat adja. A A vektor iránya egyezik az n normálvektor irányával, a nagysága pedig egyenlő a A területtel. Mivel a v0 n A szorzat előjele függ a normálvektor felvételétől, a definíció korrektségéhez a sík egyik oldalát (félteret) ki kell jelölnünk pozitívnak, és a normálvektornak erre kell mutatnia. Így a fluxus akkor adódik pozitívra, ha v0 a negatív oldalról a pozitív oldal felé haladva metszi a síkot. Ha a tartományt irányított zárt görbe határolja, akkor a normálvektort úgy kell felvenni, hogy azt a görbe pozitív körüljárási irány szerint kerülje meg. A differenciálható vektorterek vonalakkal szemléltethetők: az áramlási terek áramvonalakkal, az erőterek erővonalakkal. A vektortér iránya minden pontban érintőleges az adott ponton áthaladó vonalra, a vonalak egységnyi (a vonalakra merőleges) felületre számított számát (a vonalak „sűrűségét”) egy pont környezetében megfelel a vektortér adott pontbeli nagyságának.
Ai
A
v r(i , i )
v0
F0
4.2 ábra: Vektortér fluxusa
Ennek
alapján
az
r v r
vektormező
fluxusa
egy
x(u, w) (u, w) r(u, w) y(u, w) , z(u, w)
u1 u u2 , w1 w w2 függvénnyel megadott F0 felületre vonatkozóan az alábbiak szerint közelíthető: Jelöljük ki az F0 felületet pozitív oldalát, osszuk fel a felületet A1,..., Ak felszínű
felületdarabokra, vegyünk fel a felületdarabokon rendre r(i, i ) , i=1,…,k pontokat, ahol tekintsük
a
felületnek
a
pozitív
irányba
59
mutató
egységnyi
nagyságú
n1,..., nk
normálvektorait, és képezzük a Ai Ai ni , i=1,…,k vektorokat. A fluxus közelítő értéke ekkor:
k
k
i1
i1
i v r(i, i) Ai .
A fluxus pontos értékét a
v(r ) dA vr(u, w) ur(u, w) wr(u, w) dudw ,
F0
F0
ux(u, w) felületmenti integrál adja, ahol: ur(u, w) uy(u, w) , wr(u, w) z(u, w) u
wx(u, w) wy(u, w) . z(u, w) w
A fluxus megjelenik az áramlástani és az elektromosságtani problémák egyenleteiben: például folyadék áramlásakor a sebességtér fluxusa megadja, hogy mennyi a vizsgált felületen időegység alatt átáramló folyadék térfogata (térfogatáram); egy mágneses térben mozgó tekercsben keletkező indukált feszültség a mágneses fluxus idő szerinti változási gyorsaságával arányos. Példa:
yz v(r ) v(x, y, z) x 3z , F0: r(u, w) 6y Számítsuk ki az
v(r ) dA
u2 3w uw , 0 u 1 , 1 w 2 5w
integrált!
F0
uw 5 w 2u 2 , v r(u, w) u 6w 15 ur(u, w) w , wr(u, w) 0 6uw
w 3 , u ur(u, w) wr(u, w) 2u 1 2u2 3w
v(r ) dA v r(u, w) ur(u, w) wr(u, w) dudw
F0
F0
1
2
(uw
2
5w w2 2u3 12uw 30u 12u3w 18uw2 ) dudw 60.
u 0 w 1
4.7.3 Kapcsolatok az integrálok között Maxwell-egyenletek
A vektorterekkel kapcsolatos számításokban gyakran kihasználjuk, hogy egy rendszert leíró mennyiségek integráljai összefüggnek. Az összefüggések közül az alábbiakban kettőt emelünk ki, amelyek az áramlástan és az elektromosságtan elméletében fontosak.
60
Az elektromágneses terek alapvető összefüggéseit leíró Maxwell-egyenletek a Gauss– Osztrogradszkij-tétel (divergenciatétel) és a Stokes-tétel (rotációtétel) megnyilvánulásai az elektromágneses terek elméletének fogalomrendszerében. Az egyenletek fizikai tartalma: I. Az elektromos tér forrásos, azaz elektromos töltés jelenlétében erővonalak indulnak a pozitív töltésekről, amelyek a negatív töltéseken végződnek. II. A mágneses indukció változása örvényes elektromos teret indukál. III. A mágneses tér forrásmentes, azaz a mágneses tér erővonalai önmagukba záródnak. IV. Az elektromos áram, illetve a folytonossági egyenlet kielégítéséből adódó eltolási áram mágneses teret hoz létre.
Differenciális alak
Integrális alak
D dA dV Q
I. Maxwell-egyenlet (Gauss-törvény)
div D
II. Maxwell-egyenlet (Faraday–Lenz-törvény)
rot E
III. Maxwell-egyenlet (Gauss mágneses törvénye)
div B 0
IV. Maxwell-egyenlet (Ampére-törvény)
rot H J
F0
B t
E dr
V0
d B dA dt F 0
B dA 0
F0
D t
d
H d r J dA dt D dA
F0
F0
Az egyenletekben szereplő mennyiségek: V elektromos térerősség: E m
As elektromos indukció: D m2
A mágneses térerősség: H m
Vs mágneses indukció: B T m2
C elektromos töltéssűrűség: m3
A áramsűrűség: J m2
elektromos töltés: Q [As] [C] Az egyenletek parciális differenciálegyenletek, amelyekhez a következő határfeltételek kapcsolódnak: 1. Az elektromos térerősség érintőirányú komponense folytonosan megy
át a határfelületen: n E1 E2 0 ; 2. Az elektromos indukció normális komponense
n D2 D1 szabad ; 3. A mágneses térerősség érintőirányú komponense ugrik, ha a felületen szabad felületi áram ugrik, ha a felületen szabad töltéseloszlás van jelen:
van jelen:
n H2 H1 jszabad ; 4. A mágneses indukció normális komponense
folytonosan megy át a felületen: n B1 B2 0 . Gauss–Osztrogradszkij-tétel (divergencia-tétel)
A Gauss–Osztrogradszkij-tétel a felületi és a térfogati integrál között egyfajta kapcsolatot fejez ki. Ha F0 egy differenciálható függvénnyel megadott zárt felület, amely a V0 térrészt határolja, akkor a folytonosan differenciálható r v r vektormezőre fennáll, hogy
61
v dA div v dV .
F0
V0
F0 V0
n v
4.3 ábra: A Gauss–Osztrogradszkij-tétel mennyiségeinek szemléltetése Stokes-tétel (rotációtétel)
A Stokes tétel a felületi és a görbe menti integrál között egyfajta kapcsolatot fejez ki. Ha F0 egy differenciálható függvénnyel megadott zárt felület, amely a V0 térrészt határolja, akkor a folytonosan differenciálható r v r vektormezőre fennáll, hogy
v dr rotv dA .
F0
F0 n v
rot v
4.4 ábra: A Stokes-tétel mennyiségeinek szemléltetése
4.8 Az integrál kiszámítása 4.8.1 Newton–Leibniz-formula Az integrálfüggvény és a Newton–Leibniz-formula kapcsolatot teremt az integrál és a primitív függvény fogalmak között. Az f:a,b
x
integrálható függvény integrálfüggvénye: F(x) f , xa,b. Igazolható, a
hogy az integrálfüggvény egyben primitív függvény is. Következmény: mivel a folytonos függvények integrálhatók, így minden folytonos függvénynek van primitív függvénye.
62
Ha f:a,b
és F:a,b
folytonos függvények és F(x) f(x) , xa,b, akkor b
f F(b) F(a) .
a
Ezt az összefüggést Newton–Leibniz-formulának nevezzük. Eszerint az integrál egyszerű behelyettesítéssel számítható, ha ismert egy primitív függvény.
4.8.2 Görbe menti integrál kiszámítása potenciálos terekben A görbe menti integrálok kiszámítása a potenciálos vektormezőkben egyszerű, ha ismert a potenciálfüggvény. Ha r u(r ) az r v(r ) vektormező potenciálfüggvénye, akkor az r1 és az r2 pontokat összekötő, differenciálható görbére:
v(r ) d r
u(r2 ) u(r1 ) .
Példa: 3x2 y2 t2 t Tekintsük az F(r ) 2x3y ez [N] , erőteret és a : r(t) 2(t 3 3) [m] , t[-1,1] görbét. 2z ye z 5t Számítsuk ki az erőtér munkáját a görbe mentén!
Felhasználjuk a vektormező (3.7. pontban meghatározott) u(x, y, z) x3y2 yez z2 potenciálfüggvényét. Ezzel: 0 2 W F(r ) d r u(r(1)) u(r(1)) u 4 u 8 (4e 5 25) (83 8e5 25) 512 [J] . 5 5
4.8.3 Numerikus integrálás (közelítőmódszerek) A Newton–Leibniz-formula alkalmazhatóságának akadálya, hogy a primitív függvény nem áll rendelkezésre. Mivel a műszaki gyakorlatban az integrálok értékét csak adott pontossággal kell ismerni, a műszaki számításokban a numerikus módszereket részesítik előnyben, ahol véges sok függvényértékből alapműveletekkel adódik. A számításba bevont függvényértékek számának növelésével a hiba tetszőlegesen kicsivé tehető. Az integrál közelítő értékét természetes módon kaphatjuk meg a definíciójában szereplő integrálközelítő összegek valamelyikének kiszámításával. Fontos azonban, hogy a kívánt pontosság eléréséhez mennyi számolás szükséges, másképpen fogalmazva: az adatok számának növelésével milyen gyorsan csökken a hiba. Az integrálok közelítő kiszámítására számos módszer áll rendelkezésre, ezek közül a trapéz- és a Simpsonforma a legegyszerűbb. Trapézformula
Legyen f:a,b osztópontokkal
folytonos függvény. Az [a, b] intervallumot osszuk fel az xo, x1,..., xn n
db
egyenlő
hosszúságú
intervallumra,
majd
kössük
össze
osztópontokhoz tartozó függvénypontokat egyenes szakaszokkal. Az f függvény
az b
f
a
63
integrálját közelítjük az így előálló trapézok előjeles területeinek összegével. Igazolható, hogy ez az összeg előáll az b
f
a
b a f(x o ) f(xn ) f(x1 ) ... f(xn1 ) n 2 2
ún. trapézformulával. A közelítés pontosságával kapcsolatban a következő mondható: ha az f függvény kétszer differenciálható az a,b intervallumon és a második derivált függvénye korlátos, azaz van olyan K , hogy f (x) K , xa,b, akkor az
b
f
integrál trapézformulával számított
a
K (b a)3 1 . Látható, hogy 12 n2 az osztópontok számának növelésével az eltérés tetszőlegesen kicsivé tehető.
közelítő értékének eltérése a pontos értékétől kisebb, mint
Simpson-formula
Ha az integrált parabolaívek (másodfokú polinomok) alatti területek összegével közelítjük, akkor az ún. Simpson-formulához jutunk. A formula alapja az, hogy egy f x a x2 b x c másodfokú függvénynek egy [, ] intervallumon vett integrálja
kifejezhető a függvénynek az , és az
(a x
2
b x c) dx
helyeken vett értékeivel: 2
6
f() 4 f f() . 2
(Ezt érdemes szem előtt tartani, ha másodfokú függvényt kell integrálni, például mechanikai számításokban.) Legyen f:a,b folytonos függvény. Az [a, b] intervallumot osszuk fel az xo,x1,...,x2n osztópontokkal 2n db (páros számú) egyenlő hosszúságú intervallumra, majd illesszünk osztópontokhoz tartozó függvénypontaz (x0,x1,x2),(x2,x3,x4),...,(x2n-2,x2n-1,x2n) hármasokra parabolaíveket (másodfokú polinomokat). Az f:a,b függvény integrálját e másodfokú polinomok integráljainak összegével közelítjük. Igazolható, hogy ez az összeg előáll az b
f
a
ba f(x o ) 4f(x1 ) 2f(x2 ) 4f(x3 ) ... 2f(x2n2 ) 4f(x2n1 ) f(x2n ) 6n
ún. Simpson-formulával. A közelítés pontosságával kapcsolatban a következő mondható: ha az f függvény négyszer differenciálható az a,b intervallumon, és a negyedik derivált függvénye korlátos, azaz van olyan K , hogy f (4)(x) K , xa,b, akkor az
b
f
a
64
integrál Simpson
formulával számított közelítő értékének eltérése a pontos értékétől kisebb, mint K (b a)5 1 . Látható, hogy 2880 n4 tetszőlegesen kicsivé tehető.
az
osztópontok számának
65
növelésével
az
eltérés
5. FOURIER-ANALÍZIS
5.1 Fourier-sorok 5.1.1 Hilbert-tér; a Fourier-sor általános fogalma A Fourier-sor fogalma a Hilbert-terekhez kötődik. Egy lineáris teret akkor nevezünk Hilbert térnek, ha benne értelmezve van ún. belső szorzás, és a tér teljes a belső szorzásból származó normában. Fontos példák Hilbert-térre az Euklideszi terek (pl. geometriai értelemben vett vektorok tere, a valós vagy komplex szám-n-esek tere) és számos függvénytér, például a négyzetesen integrálható függvények tere. A belső szorzás fogalmából származnak az ortogonalitás és ezen keresztül az ortogonális rendszer, ortogonális felbontás fogalmak. A geometriai vektorok körében jól ismertek ezek a fogalmak, amik megalapozzák a függvényterekben megjelenő összefüggések megértését. Belső szorzat; norma
Az X (komplex) lineáris téren értelmezett <>:X×X függvényt belső szorzásnak nevezzük, ha bármely x,y,zX és skalár esetén fennáll, hogy 1. x, x 0 , x, x 0 x 0
3.
x, y x, y
2. x, y y, x
4.
x y, z x, z y, z
Az (X,<>) struktúrát belsőszorzat-térnek nevezzük. Az (X,<>) belső szorzat téren az :X ,
x
x, x
függvény norma. A belsőszorzat-terek vizsgálatában alapvető
fontosságú a szorzat nagyságára vonatkozó Schwarz–Cauchy–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség:
x, y
2
x, x y, y x y ,
x, y X,
ahol az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x és y lineárisan összefüggő.
66
Hilbert-tér; ortogonalitás
Ha egy belsőszorzat-tér teljes a belső szorzatból származó normában, akkor Hilberttérnek nevezzük. Egy Hilbert tér két elemét ortogonálisnak nevezünk, ha a belső szorzatuk nulla. Példák:
1. 2.
A geometriai vektorok halmaza Hilbert tér a skaláris szorzással. Két vektor merőleges (ortogonális), ha a skaláris szorzatuk nulla. n
Hilbert-tér
a
x (x1,..., xn )
x 3.
n
és y
n
skaláris
szorzással,
x, y (x1,..., xn ), (y1,..., yn )
n
xi yi ,
i1
n
xi2 .
(x1,..., xn ), (x1,..., xn )
i1
ortogonális, ha x, y 0 .
Az a,b intervallumon értelmezett négyzetesen integrálható a,b b
tere Hilbert-tér, f, g f g , f
f, f
b
f
2
függvények
.
a
a
Az f:a,b és a g:a,b négyzetesen integrálható függvények ortogonálisak, ha b
f, g f g 0 . a
Ortonormált rendszer; Fourier-együtthatók
Egy Hilbert tér elemeinek egy halmazát ortogonális rendszernek nevezzük, ha elemei páronként ortogonálisak. Ha egy ortogonális rendszer minden eleme egységnyi normájú, akkor ortonormált rendszerről beszélünk. Egy véges (n-) dimenziós Hilbert-térben egy
b1,..., bn ortonormált rendszer bázis. Egy
x elem koordinátái ebben a bázisban a rendszer elemeivel képzett belső szorzatok: x x, b1 b1 ... x, bn bn . Egy végtelen dimenziós Hilbert térben egy megszámlálhatóan végtelen számosságú 1, 2,... ortonormált rendszert ortonormált sorozatnak, ebből az 1, 2 ,... skalárokkal képzett
i i
összeget ortogonális sornak nevezzük.
i1
Egy Hilbert-térben egy f elemnek egy
1, 2,...
ortonormált sorozatra vonatkozó
fk f, k , k=1,2,…, Fourier-sora pedig Fourier-együtthatói: ˆ
Például a négyzetesen integrálható a,b együtthatói egy
1, 2,...
ˆfk k
k 1
k 1
f, k k .
függvények terében egy f függvény Fourierb
fk f, k f k , ortonormált sorozatra vonatkozóan: ˆ a
k=1,2,…, Fourier-sora pedig
ˆfk k
k 1
k 1
f, k k
67
b
k 1 a
f k k .
Megjegyezések:
1,..., n
Egy f elemekhez legközelebbi elem a
2.
ortonormált sorozatra vonatkozó Fourier-sorának n-edik részletösszege. Egy f elem pontosan akkor egyenlő a Fourier-sorának összegével, ha fennáll az f
2
ˆfk
k 1
Egy
2
k 1
f, k
2
altérben éppen a
1, 2,...
1.
Parseval egyenlőség.
1, 2,... ortonormált sorozatot teljesnek nevezünk, ha abból, hogy
f, k 0 , k
következik, hogy f=0.
5.1.2 Exponenciális Fourier-sorok függvények terében a t e2ik t , k
A négyzetesen integrálható 0,1
függvények
teljes ortonormált rendszert alkotnak. Itt egy f függvény Fourier-sora:
1 f(t) e2ik tdt e2ik t . k 0
ˆfk e2ik t
k
A Parseval egyenlőség megfelelője:
1
f(t)
2
dt
ˆ fk
k
0
2
.
Ugyanígy írható fel a négyzetesen integrálható az 1 szerint periodikus Fourier-sora. A négyzetesen integrálható, T szerint periodikus k
függvények
függvények terében a t e
2 ik t T ,
függvények teljes ortogonális rendszert alkotnak. Itt egy f függvény FourierT 2
2
ik t 1 fk f(t) e T dt , Fourier-sora: együtthatói ˆ T T
2
ˆfk
k
2 ik t e T
T 2 2 ik t 2 ik t 1 T f(t) e dt e T T k T 2
A Parseval-egyenlőség megfelelője:
1
2 1 2 f(t) dt ˆ fk . T 0 k
5.1.3 Trigonometrikus Fourier-sorok Itt az integrálható, T szerint periodikus függvényekkel foglalkozunk. A fentiek 2 szerint, az 0 jelöléssel élve, a t eik 0 t , k függvények teljes ortogonális T
68
rendszert
alkotnak.
1 ˆ f(k 0 ) T
T 2
f(t) e
Egy
ik 0 t
f
függvény
Fourier-együtthatói
erre
vonatkozóan
dt , k , Fourier-sora:
T 2
T 2 1 f(k 0 ) eik 0 t f(t) e ik 0 t dt eik 0 t , t . FSf(t) ˆ k T k T 2
Megjegyzések:
1.
Az ˆ f(k0 ) együtthatók és az eik0 t függvények értékei is komplex számok, de a Fourier-sor részletösszegei és összegfüggvénye valós értékű függvény.
2.
A k index --től +-ig fut, így a felbontásban látszólag negatív körfrekvenciák is jelen vannak. Valójában csak a pozitív körfrekvenciáknak van fizikai jelentése, de ezek „duplán” jelennek meg a komplex spektrumban.
3.
ˆ f(k0 ) ˆ f(k0 ) , k , amiből azonnal adódik az is, hogy ˆ f(k0 ) ˆ f(k0 ) , k .
4.
A k0 ˆ f(k0 ) függvényt f(k0 ) függvényt amplitúdóspektrumnak, a k0 argˆ fázisspektrumnak, a k0 ˆ f(k0 )
2
függvényt energia spektrumnak nevezzük.
f
|ˆ f|
30 20 0
T 2
T 2
0
2 0 T
0
20
30
5.1 ábra: Periodikus jel frekvenciaspektruma Parseval-egyenlőség; energiatartalom
Egy mechanikai rezgés vagy elektromos jel esetén az amplitúdók négyzetének integrálja (vagy összege) arányos az energiatartalommal úgy az idő, mint a frekvenciatartományban. Matematikailag ezt a Parseval-egyenlőség fejezi ki: 2 1 2 f (t) dt ˆ f(k0 ) 2 t k
69
Példa:
0, ha - t 0 2, ha t 0 Írjuk fel az f (t ) T=2 periódusú négyszögjel komplex Fourier-sorát! 4, ha 0 t 2 ha t
4 2
2
3
4
t
1 1 4 2 ˆ f(k0 ) f(t) e ik0 t dt 4 e ik t dt [e ik t ]0 e ik 1 . 2 2 0 2 i k ik 4 i f(k0 ) 0 , ha k páratlan, akkor ˆ . Így a Fourier-sor: Ha k páros, akkor ˆ f(k0 ) k
FSf(t) 2
4 i ei(2n1)t . k (2n 1)
Célszerű a Fourier-sort valós trigonometrikus függvények segítségével is felírni, mert ekkor egyrészt nem kell komplex értékű függvényekkel számolni, másrészt ebből a formából nyilvánvaló, hogy a Fourier-sor részletösszegei, illetve összege valós függvények. Az, hogy a periodikus függvények felírhatók trigonometrikus függvények összegeként azért is fontos, mert ebből következik, hogy a lineáris rendszerek válaszait elegendő harmonikus gerjesztésekre vizsgálni és a szuperpozíció-elvet alkalmazni az egyéb periodikus gerjesztések hatásának elemzéséhez (l. pl. a frekvenciafüggvény témakört). 2 A formulákban a továbbiakban is az 0 jelölést használjuk. A négyzetesen T integrálható, T szerint periodikus függvények terében teljes ortogonális rendszert alkotnak a t 1, t cos0 t , t cos20 t ,
t cos30 t ,
t sin0 t , t sin20 t , t sin30 t ,
(alapfüggvények) (felharmonikusok)
függvények. Ezt a függvényrendszert trigonometrikus rendszernek nevezzük. A konstans 1 függvénytől eltekintve, a rendszer olyan koszinusz- és szinuszfüggvényekből T áll, amelyek periódusa , ahol k pozitív egész szám. k
70
T
T
5.3 ábra: t sink0 t függvények, k
5.2 ábra: t cosk0 t függvények, k
A trigonometrikus rendszerbeli függvények páronkénti ortogonalitása abban nyilvánul meg, hogy az alábbi integrálok értéke nulla (n,k ): T 2
T 2
T 2
cosn t dt 0 , sinn t dt 0 , sinn t cosk t dt 0 ;
T 2
T 2
T 2
T 2
T 2
T 2
T 2
cosn t cosk t dt 0 , sinn t sink t dt 0 ,
(nk).
Az eix cos x i sin x , x Euler-formula felhasználásával az exponenciális alakból levezethető a trigonometrikus alak. A számolásban több helyen ki kell használni a cosfüggvény páros és a sin-függvény páratlan voltát ( cos(x) cos(x), sin(x) sin(x) , x ). Az ˆ f függvény átírása:
1 ˆ f(k 0 ) T
T 2
f(t) e
ik 0 t
T 2
dt
1 T
T 2
1
T 2
f(t) cos(k 0 t) dt i T f(t) sin(k 0 t) dt . T 2
T 2
A Fourier-sor átírása:
ˆf(k 0 ) eik
0 t
k
ˆ f(0)
k
k
ˆf(k 0 ) cos(k 0 t) i ˆf(k 0 ) sin(k 0 t)
ˆf(k 0 ) ˆf(k 0 ) cos(k 0 t) i ˆf(k 0 ) ˆf(k 0 ) sin(k 0 t)
k 1
k 1
71
A fentiek alapján az integrálható, T szerint periodikus f: Fourier-sora: a0 FSf(t) ˆ
ˆak cos(k 0 t)
k 1
függvény trigonometrikus
bˆk sin(k 0 t) ,
k 1
ahol:
ˆ a0 ˆ f(0)
1 T
T 2
f(t) dt ,
T 2
2 ˆ ak ˆ f(k 0 ) ˆ f(k 0 ) T
T 2
f(t) cos(k 0 t) dt , k=1,2,…,
T 2
2 ˆ i ˆ b f(k 0 ) ˆ f(k 0 ) k T
T 2
f(t) sin(k 0 t) dt , k=1,2,…
T 2
ˆ valós számok az f függvény Fourier-együtthatói a trigonometrikus ak és a b Az ˆ k rendszerre nézve. Az ortogonális rendszerekkel kapcsolatban korábban leírtaknak megfelelően a trigonometrikus Fourier-együtthatók az f függvény és a trigonometrikus rendszer elemeinek skaláris szorzataként adódnak. A felírásban szereplő két összeget az f függvény koszinusz, illetve szinusz Fourier-sorának is nevezzük. Ha f páros, akkor a bk együtthatók értéke 0 (a felbontásban nincsenek szinuszos tagok), ha f páratlan, akkor az ak együtthatók értéke 0 (a felbontásban nincsenek koszinuszos tagok). A Fourier-együtthatók összefüggése másképpen kifejezve: a b k i a bk i ˆ ˆ f(k 0 ) k , k=-1, -2,…, f(k 0 ) k , k=1, 2,…, 2 2 amiből látszik, hogy a páros függvények komplex Fourier-együtthatói tisztán valósak, páratlan függvény komplex Fourier-együtthatói tisztán képzetesek. A komplex Fourieregyütthatók nagysága és a valós Fourier-együtthatók összefüggése: 1 ˆ f(k0 ) ak2 bk2 , k . 2
A Parseval-egyenlőség megfelelője:
1 T
T 2
f
T 2
2
(t)dt a20
k 1
k 1
ak2 bk2 .
A Fourier-sor függvénysor, így mindenekelőtt az a kérdés vetődik fel, hogy konvergense, és ha igen, akkor mi a kapcsolat az FSf(t) összegfüggvény és az eredeti f függvény között. Erre a kérdésre egyfajta választ ad Dirichlet tétele, miszerint ha a 2 szerint periodikus, integrálható f: függvény a ] , [ intervallumon szakaszonként folytonos és monoton, valamint bármely x helyen létezik a baloldali és jobboldali határértéke, akkor az f függvény Fourier-sora konvergens. Az összegfüggvény a folytonossági helyeken megegyezik az f függvény értékével, a szakadási helyeken pedig a bal és jobb
72
oldali határértékek számtani közepével. A műszaki folyamatok vizsgálatakor általában feltételezhető, hogy a fellépő függvények teljesítik a Dirichlet-feltételeket. A Dirichlet-feltételt teljesítő függvények esetén megállapíthatjuk, hogy a függvény lényegében azonosítható az a0 , a1, b1, a2 , b2 ,... számsorozattal (a Fourier-együtthatókkal), mint egy ortogonális függvényrendszerre (a trigonometrikus rendszerre) vonatkozó „koordinátákkal”. A műszaki számításokban kihasználhatjuk, hogy a periodikus függvények közelíthetők a Fourier-soruk részletösszegeivel. Az alkalmazások jelentős részében azonban nem a közelítés a fontos, hanem a felbonthatóság ténye (szuperpozíció elv), és az, hogy a harmonikus összetevőkre való felbontásban mely felharmonikusok szerepelnek és milyen együtthatóval (amplitúdóval). Ez utóbbi gondolat vezet el a spektrum fogalmához. Ha az f függvény egy mennyiség időbeli lefolyását írja le (például mechanikai vagy elektromos rezgés esetén), akkor a Fourier-sora meghatározott körfrekvenciájú harmonikus összetevőkre való felbontást jelent, a Fourier-együtthatók egy 0 alapkörfrekvenciához és ennek k 0 többszöröseihez tartoznak. Így egy olyan függvényhez jutunk, ami „diszkrét” helyeken (körfrekvenciáknál) van értelmezve. Ezt a függvényt szokás (diszkrét) spektrumnak nevezni, és úgy is szoktunk fogalmazni, hogy a folyamatot (például rezgést) a frekvenciatartományban írja le. Egy A sin( t) harmonikus összetevő esetén az A értéket amplitúdónak, az értéket
1 értéket frekvenciának, a függvény T periódusát pedig 2 f periódusidőnek szokás nevezni. (Gyakran előfordul, hogy a körfrekvencia helyett – hibásan – frekvenciát mondanak, ami zavart okoz.) Ezek fizikai dimenziója: A [m] , körfrekvenciának, az f
T [s] , f 1 / s [Hz] , rad / s . A 2 periódusú jelek t cos(t) és t sin(t)
1 1 1 rad alapfüggvényei esetén például 1 , f 2 s 2 [Hz] , T 2 [s] . s A továbbiakban mindig ezeket a mértékegységeket feltételezzük, és nem írjuk ki azokat. A jelfeldolgozásban, amikor a függvény egy időtől függő fizikai mennyiség és mintavételezéssel kell információhoz jutni fontos, hogy a periodikus függvények esetén egy periódus tartalmazza a függvény minden jellemzőjét, így elegendő egy periódus alatt mintavételezni. Példa: ha t 0 0 , Határozzuk meg az f(t) 1 2 t 2 , ha t ] 0,2 [
T=2 periódusú függvény Fourier-
sorát! (Itt 0 1 .)
2
2
2
2
73
4
t
Mivel páratlan függvényről van szó, így ak 0, k 0,1,... A számolás:
a0
1 1 1 f(t) dt t dt 0 , illetve 2 2 2 2
ak
1 1 1 f(t) cos t dt t cos(k t) dt 0 . 2 2
A bk együtthatók meghatározása: 1 2 1 2 1 f(t) sin(k t) dt t sin(k t) dt 0 0 2 2
bk
2
cos(k t) 1 sin(k t) 1 1 1 1 1 t , k 1,2,... 2 2 k 2 k k 2 2 k 0
A primitív függvény parciális módszerrel határozható meg: 1
1
cos(k t) 1 cos(k t) dt k 2
2 t 2 sin(k t) dt 2 t 2
cos(k t) 1 sin(k t) 1 t 2 k 2 k 2
A Fourier-sor: FSf(t) 1 sin t
1 1 1 sin(k t) sin 2t sin 3t sin 4t ... 2 3 4 k k 1
Két részletösszeg: t
5
sin(k t) k k 1
1 6
t
4
2
1
0
2
4
6 t
8
10
12
10
sin(k t) k k 1
1 6
4
2
1
0
2
4
6 t
8
10
12
Példa 0, ha - t 0 2, ha t 0 Határozzuk meg (a korábban már vizsgált) az f(t) T=2 periódusú 4, ha 0 t 2 ha t
négyszögjel Fourier-sorát! (Itt 0 1 .) a0
1 1 f(t) dt 4 dt 2 , 2 2 0
74
ak
1 1 4 f(t) cos(k t) dt 4 cos(k t) dt sin(k t)0 0 , 0 k
bk
1 2 1 4 4 f(t) sink t dt 4 sink t dt cos(k t)0 1 cos(k ) . 0 0 k k
Ha k páros, akkor bk 0 , ha k páratlan, akkor bk
FSf(t) 2
8 . Így a Fourier-sor: k
8 sin(2n 1) t . n1 2n 1
Két részletösszeg: t2
4
8 4 sin(2n 1) t n1 2n 1
3
2
1
t 2
8 8 sin(2n 1) t n1 2n 1
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2 t
3
4
4
3
2
1
0
1
2 t
3
4
Látható, hogy a közelítés pontossága a vizsgált függvény ugrásainál sokkal rosszabb, mint a többi pontban. Igazolható, hogy a konvergencia (a pontosságot és a számolási igényt összevetve) e helyek közelében igen lassú. Megjegyzés:
A periodikus jelek Fourier-analízisének célja annak meghatározása, hogy a jelben milyen frekvenciájú összetevők, milyen amplitúdóval vannak jelen (spektrum). Ebből a szempontból szerencsésebb, ha egy adott k 0 körfrekvencia csak egy tagban jelenik meg. A cos- és sin-függvények közti ak cos(k 0 t) bk sin(k 0 t)
a ak2 bk2 sin k 0 t arctg k b k
összefüggésekkel a Fourier-sort át lehet alakítani például az alábbi formába, ahol csak szinuszfüggvények szerepelnek: a0
Ak sin(k 0 t k )
k 1
, ahol Ak ak2 bk2 ,
75
k arctg
ak , bk
k 1,2,...
Itt már minden körfrekvenciához egyértelműen hozzárendelhető amplitúdó.
5.2 Integráltranszformációk A matematikában gyakran alkalmazott módszer, hogy ha egy halmazban bizonyos számítások nehézséget okoznak, olyan transzformációt keresünk, amelynek képhalmazában a megfelelő számolás könnyebben elvégezhető, és az eredményből, az eredeti halmazba való visszatéréssel (inverz transzformációval) megkapható az eredeti probléma eredménye. Ilyennek tekinthető az az egyszerű eset, amikor egy n-dimenziós valós lineáris tér elemeit megfeleltetjük a valós szám-n-esek halmazával (rögzített bázisbeli koordinátákkal), és egy műveletet a koordinátákkal végezzük el. Igen fontosak azok a transzformációk, amelyek egyes függvényosztályokban felmerülő számításokat könnyítik meg. Speciálisan ilyennek tekinthető az is, amikor egy periodikus integrálható függvényhez hozzárendeljük a Fourier-együtthatóinak sorozatát. Az ilyen jellegű transzformációk között igen fontosak az integráltraszformációk. Integráltranszformáción egy valós f:[a,b] függvény esetén azt értjük, hogy a függvényhez egy b
F(s) K(t, s) f(t) dt a
összefüggéssel definiált F valós vagy komplex függvényt rendelünk hozzá. A transzformációt a K magfüggvény határozza meg. A műszaki alkalmazásokban kitüntetett
szerepük
van
a
K(t, s) e s t ,
s
típusú
magfüggvénnyel
definiált
integráltranszformációknak (Fourier- és Laplace-transzformációk), amelyekről a következőkben lesz szó. A jelfeldolgozás az integráltranszformációk alkalmazásának egyik fontos területe, ahol gyakori az ún. konvolúciókkal való számolás: lineáris, időinvariáns rendszerek esetén egy bemenetre (gerjesztésre) adott válasz matematikailag egy – rendszerre jellemző – függvénnyel (súlyfüggvénnyel) való konvolúcióval írható le. Például az integrálható f:[0,[ és g:[0,[ függvények konvolúciója: t
(f * g)(t) f() g(t ) d , t[0,[. 0
Az így definiált f*g függvény értéke az f „korábbi” értékeiből áll elő összegzéssel (integrálással) úgy, hogy az egyes értékek a g függvény (súlyfüggvény) által meghatározott „súllyal” szerepelnek.
76
f
f()
g
f *g
t
(f * g)(t)
g(t ) t
(f * g)(t) f() g(t ) d t
0
t
t
5.4 ábra: Konvolúció
5.3 Fourier-transzformáció 5.3.1 Fourier-integrál; Fourier-transzformált Egy f: integrálható függvény Fourier-integrálja
FI f(t)
ˆf() e
it
d ,
t ,
ahol
1 ˆ f() f(t) e it dt , 2 t
.
A ˆ f : függvényt az f függvény Fourier-transzformáltjának, az ˆ f meghatározását Fourier-transzformációnak nevezzük. Az ˆ f Fourier-transzformált ismeretében a Fourier-integrál előállítja az f függvény. Ezt a számolást inverz Fouriertranszformációnak nevezzük. Megjegyzések:
1.
2.
A t és váltózók arra utalnak, hogy a műszaki alkalmazásokban ezek idő illetve körfrekvencia jelentéssel bírnak. A két formulából látható, hogy a tf(t) és az F() függvények egymást meghatározzák, lényegében egy folyamat kétféle leírását jelentik: a tf(t) függvény az időtartománybeli, az F() függvény a frekvenciatartománybeli leírás. Előfordul, hogy a transzformációs integrálok felírásakor a körfrekvencia helyett a 1 frekvenciával számolnak, ekkor nem jelenik meg az szorzó a Fourier2 transzformáltban.
77
f
FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ
ˆ f
1 FT f : ˆ f() f(t) e it dt 2 t
f
t
ˆ f
INVERZ FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ
időtartomány
FT-1 ˆ f : f(t)
it ˆf() e d
frekvenciatartomány
5.5 ábra: A Fourier-transzformáció és az inverz Fourier-transzformáció Ahogyan azt a Fourier-soroknál is megjegyeztük, a komplex értékű függvényekkel való számolás elkerülése, illetve a Fourier-integrál valós voltának hangsúlyozása érdekében célszerű a formulákat valós trigonometrikus függvények segítségével is felírni. Egy f: integrálható függvény Fourier-integrálja:
FI f(t)
0
0
ˆa() cos( t) d bˆ() sin( t) d ,
ahol FTcosf: ˆ a()
1 f(t) cos( t) dt , 0, t
és ˆ() 1 FTsinf: b f(t) sin( t) dt , 0 t
az f függvény koszinusz és a szinusz Fourier-transzformáltjai. Érdemes megjegyezni, hogy páratlan függvény koszinusz Fourier-transzformáltja, ill. páros függvény szinusz Fourier-transzformáltja nulla. 1 ˆ() , ugyanis Az Euler formula alapján a transzformáltak összefüggése: ˆ a() i b f() ˆ 2
1 1 1 f(t) e it dt f(t) cos( t) dt i f(t) sin( t) dt . 2 2 t 2 t t
Ezt összevetve a fentiekkel világos, hogy páros függvény Fourier-transzformáltja tisztán valós értékű, páratlan függvény Fourier-transzformáltja tisztán képzetes értékű függvény. A periodikus függvényekkel kapcsolatos számolások a Fourier-sor segítségével hatékonyan elvégezhetők, de nem alkalmasak a nemperiodikus jelek felbontásra. Nemperiodikus függvények esetén a Fourier-sor szerepét a Fourier-integrál veszi át. A Fourier-integrál azt mutatja, hogy a nemperiodikus függvények is előállíthatók harmonikus függvények segítségével, de összeadás helyett integrálást kell végezni, és a felbontásban bármely valós körfrekvencia előfordulhat („folytonos” a spektrum), míg a periodikus függvények spektruma csak k0 „diszkrét” körfrekvenciákat tartalmaz. A Fourier-integrál származtatható úgy, hogy a nemperiodikus függvényeket végtelen hosszú periódusúnak tekintjük, és megfigyeljük a Fourier-együtthatók, valamint a
78
spektrum viselkedését T esetén. A T periódusidő növekedtével a spektrum egyre „sűrűbbé”, határértékben „folytonossá” válik. Példa:
1, ha - 1 t 1 Az f(t) négyszögjel Fourier-transzformáltja: 0, egyébként
1
1 1 1 ˆ f() f(t) e it dt e it dt 2 t 2 t 1 2
Így az f függvény előállítása: f(t)
1
e it i 1
1 2 eit e it 1 2 1 sin . sin 2 2i 2
1 sin it e d .
ˆ f()
t f(t)
1 sin ,
1
0,3 0,2 0,1
0,6 0,2 3
2
1
0
1
2
10
3
0
5
5
10
A számolást elvégezzük a trigonometrikus függvényeket tartalmazó formulákkal is. A jel szinusz Fourier-transzformáltja nulla, mivel páros függvény. A jel koszinusz Fouriertranszformáltja:
1
1 2 sin ˆ() 1 . b f(t) sin( t) dt sin( t) dt t t 1
Így az f függvény előállítása: f(t)
2 sin cos(t) d . 0 ˆ() 2 sin b
t f(t)
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,1
1 0,6 0,2 3
2
1
0
1
2
3
79
2
4
6
8
10
A két transzformáltat összehasonlítva jól láthatók a korábban megfogalmazott összefüggések: 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 10
5
0,1
0
5
10
5.6 ábra: A valós és a komplex spektrum összehasonlítása Parseval egyenlőség; energiatartalom
Egy nemperiodikus folytonos frekvenciatartományban:
jelek
energiatartalma
az
idő-,
illetve
a
2 1 f 2 (t) dt ˆ f() d . 2 t
5.3.2 A Fourier-transzformáció néhány alapvető tulajdonsága Fourier-transzformáció és az inverz Fourier-transzformáció lineáris: ha , , f, g, ˆ f és ˆ g integrálható függvények, akkor FT (·f + ·g) = ·FT f + ·FT g, FT
-1
(· ˆ f + · ˆ g ) = ·FT
-1 ˆ
f + ·FT
-1
ˆ g.
A Fourier-elméletet műszaki szempontból elsősorban a jelfeldolgozás motiválja. A Fourier-transzformációnak a következőkben felsorolt néhány tulajdonsága a jelekkel végzett természetes manipulációk hatását mutatja: egy változás az időtartományban miként jelenik meg a frekvenciatartományban (spektrumban). Tulajdonságok
Időtartomány
Frekvenciatartomány
t f(t)
ˆ f()
Eltolás az időtartományban
t f(t T)
ˆ f() eiT
Eltolás a frekvenciatartományban (moduláció)
t f(t) ei0 t
ˆ f( 0 )
A jel lefutási idejének változtatása (skálázás)
t f(m t)
Konvolúció
t f(t) * g(t)
ˆ f() ˆ g()
1 ˆ f |m| m
Mivel e i T 1 , az időbeli eltolás az amplitúdó spektrumot nem változtatja meg, csak a fázis spektrumot. A Fourier-és az inverz Fourier-transzformáció formuláját tekintve könnyen felfedezhető a hasonlóság. Ebből adódik, hogy ha egy adott típusú módosítást (például eltolást) hajtunk végre az idő- vagy a frekvenciatartományban, akkor ennek következménye a másik tartományban hasonló lesz. Bár itt nem tárgyaljuk a részleteket, érdemes megjegyezni, hogy a két transzformáció „szimmetriája” olyan formában is megnyilvánul, hogy például periodikus jel spektruma diszkrét („vonalas”), és fordítva: diszkrét (mintavételezett) jel
80
spektruma periodikus, vagy hogy az időtartománybeli szorzás a frekvenciatartományban szorzásként, és fordítva: az időtartománybeli szorzás a frekvenciatartományban konvolúcióként jelentkezik.
5.3.3 Megjegyzések a jelfeldolgozással kapcsolatban A Fourier-transzformáció a jelfeldolgozás (például hangfeldolgozás, képfeldolgozás, műszaki rezgésdiagnosztika) alapvető eszköze. A rezgés, illetve hullám formájában keletkező és terjedő jelek (hang, fény, általában a mechanikai és elektromos rezgések) azonosítása, előállítása, rekonstruálása a jel spektrális felbontását (analizálását) igényli. Adott frekvenciájú és amplitúdójú harmonikus jel előállítása általában egyszerű, a kívánt jel spektrumának ismeretében a jel ilyenek összegével (szuperpozíciójával) előállítható (szintézis). A Fourier-sor és a Fourier-transzformált fenti fogalma olyan függvények elemzésére alkalmas, melyek értékei ismertek a teljes számegyenesen. A gyakorlatban azonban csak véges sok függvényérték áll rendelkezésre, mivel a megfigyelés (mérés) véges időtartamra korlátozódik, és a mérések között technikai okok miatt meghatározott (pozitív) időtartamnak kell eltelni. A digitális jelfeldolgozásban az időtartományban vett minta alapján (a jelre vonatkozó korlátozott információ alapján) kell a spektrumot a lehető legpontosabban meghatározni. A diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) fogalma és az ehhez kapcsolódó elmélet választ ad arra, hogy miként lehet a technikai eszközök által biztosított feltételek mellett megfelelő eredményre jutni. A diszkrét jelek elemzésekor a gyakorlatban azzal is szembe kell nézni, hogy a számítógépek adatátviteli és számítási sebessége, valamint a tároló kapacitása véges, így az elméletileg megalapozott elemzések számítási igénye jelentősen meghaladhatja a rendelkezésre álló eszközök lehetőségeit. A számítási igény csökkentésére számos algoritmust dolgoztak ki, ezeket gyors Fourier-transzformációként (FFT) emlegetjük.
81
6. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ; LINEÁRIS RENDSZEREK ELEMZÉSE
6.1 Laplace-transzformáció 6.1.1 A Laplace-transzformáció fogalma Az f:[0,[
függvény Laplace-transzformáltja az
F(s)
e
s t
f(t) dt , s
0
összefüggéssel definiált s F(s) függvény, amennyiben az integrál konvergens (véges). A Fourier-transzformáció e it ,
és a Laplace-transzformáció s e st , s
magfüggvénye közti kapcsolat: ha s i , akkor e st e ( i)t e t e it . 0 estén a Laplace-transzformáció magfüggvénye Fourier-transzformáció magfüggvényébe megy át. Úgy is fogalmazhatunk, hogy egy f(t) függvény Laplacetranszformáltja az f(t) e t függvény „egyoldali” (a nemnegatív tartományon vett) Fourier-transzformáltja. Ebből a felírásból jól érzékelhető, hogy azoknak a függvényeknek a halmaza, amelyeknek létezik a Laplace-transzformáltja, bővebb, mint azoknak, amelyeknek létezik a Fourier-transzformáltja. Ebben a részben általában a megfelelő nagybetűvel fogjuk jelölni egy kisbetűs függvény Laplace-transzformáltját, de ha az egyértelműség megkívánja, egy f függvény Laplacetranszformáltjának jelölésére alkalmazzuk az L{f} jelölést is. Az irodalomban más jelölések is előfordulnak. A Laplace-transzformáltat definiáló integrál létezésével kapcsolatos az exponenciális rendű függvény fogalma. Az f:[T,+[ függvény legfeljebb exponenciális rendű, ha vannak olyan K és c számok, melyekre
f(t) K ect ,
tT,
vagyis, ha az f függvény nagyságát egy exponenciális függvény korlátozza.
82
Igazolható, hogy ha f folytonos és legfeljebb exponenciális rendű c az F(s)
e
s t
konstanssal, akkor
f(t) dt integrál konvergens, ha | s | c . (Az | s | c feltételnek eleget
0
tevő s komplex számok egy félsíkot alkotnak a komplex számsíkban.) Az alkalmazásokban f sokszor nem folytonos, de szakaszonként folytonos, ami azt jelenti, hogy az értelmezési tartomány olyan intervallumok uniója, amelyek mindegyikén folytonos és korlátos a függvény. Az integrál akkor is véges, ha f szakaszonként folytonos és legfeljebb exponenciális rendű. Példa: Határozzuk meg az f(t) 1 függvény Laplace-transzformáltját!
F(s)
b
b
1 1 1 lim e bt e st dt lim e st s b s b b s t 0 0
st e dt lim
0
Példa: Határozzuk meg az f(t) e at függvény Laplace-transzformáltját!
F(s)
st at e e dt
0
(s a) t dt lim e
b
0
b
e
s t
dt
0
1 . sa
Néhány további függvény Laplace-transzformáltja: t f(t)
s F(s)
t f(t)
1
1 s
t 2 e at
t t2 t3
1
3
(s a)
sin(at)
1 e at
a s (s a)
cos(at)
3
e at
1 sa
sh(at)
6 s
2
t f(t)
2
s 2 s
s F(s)
4
1
t eat
2
(s a)
ch(at)
s F(s)
a 2
s a2 s 2
s a2 a s2 a2 s 2
s a2
A Laplace-transzformált meghatározza az eredeti függvényt. Igazolható, hogy ha az s F(s) függvény a t f(t) függvény Laplace-transzformáltja, akkor egy alkalmasan megválasztott
mellett
f(t) L1F (t)
i
1 est F(s) ds . 2 i s i
Az L1 F függvényt az F függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük. A lineáris rendszerek elemzésében különösen a fontosak a racionális törtfüggvények inverz A(p) valódi racionális törtfüggvény (az A polinom Laplace-transzformáltjai. Ha F(p) B(p) fokszáma kisebb a B polinom fokszámánál), akkor F-et parciális törtekre kell bontani, és 83
a parciális törtek inverz Laplace-transzformáltjait táblázatból ki kell kikeresni. Az előző táblázat értelemszerűen tartalmazza néhány racionális törtfüggvény inverz Laplace 1 at transzformáltját. Például L1 . te (s a)2
6.1.2 A Laplace-transzformáció néhány tulajdonsága Az alkalmazások, például a konstansegyütthatós lineáris differenciálegyenletek transzformálása, szempontjából fontosak a következő tulajdonságok. A megállapítások kapcsán mindig feltételezzük a transzformáltak létezését. Ezeket a tulajdonságokat érdemes összevetni a Fourier-transzformáció tulajdonságaival. Linearitás A Laplace-transzformáció és az inverz Laplace-transzformáció lineáris: ha , , akkor L f g L f L g , L1 f g L1 f L1 g .
A deriváltak Laplace-transzformáltja:
L f (n)(t) sn F(s) sn1 f(0) sn1 f (0) s f (n2)(0) f (n1)(0) .
Ha egy kezdetiérték-probléma esetén a kezdeti időpillanatban a deriváltak értéke nulla, akkor speciálisan L{f (n)(t)} sn F(s) . Egy függvény deriváltjainak Laplace-transzformáltjait tekintve látható, hogy egy n-edrendű lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletet transzformálva az Y és a H függvények között algebrai kapcsolat adódik. A későbbiekben szó lesz a lineáris Y(s) rendszerek ún. átviteli függvényéről, ami az hányadosként van definiálva. U(s) Az integrálfüggvény Laplacetranszformáltja t 1 L f() d F(s) 0 s
Szorzási tétel
Osztási tétel 1 f(t) függvény Laplacet transzformáltja, akkor
Ha létezik az
Eltolási tétel L f(t ) e s F(s)
1 L f(t) F t s
Hasonlósági tétel
L f( ) Áthelyezési tétel
L tn f(t) (1)n F(n)(s)
1 s F , ha >0
Végérték tételek lim y(t) lim s Y(s)
L e t f(t) F(s )
t 0
s
lim y(t) lim s Y(s)
t
84
s 0
Konvolúciótétel Ahogyan azt a korábbiakban már említettük, az integrálható f:[0,[ és g:[0,[ t
függvények konvolúcióján az (f * g)(t) f() g(t ) d , t[0,[ függvényt értjük. A 0
Fourier-transzformációhoz hasonlóan a Laplace-transzformáció során is azt tapasztaljuk, hogy a konvolúció transzformáltja a transzformáltak szorzata, vagyis számolás egyszerűsödik a transzformáció által. A konvolúciótétel szerint t L f() g(t ) d L f L g . 0 Az alábbi példában a konvolúció tételt egy függvény inverz Laplace-transzformáltjának meghatározásához használjuk úgy, hogy a függvényt szorzattá bontjuk, és a tényezők inverz Laplace-transzformáltjainak konvolúcióját számoljuk ki. Példa:
Határozzuk meg az F(s)
3 2
s 3s 10
függvény inverz Laplace-transzformáltját!
3 1 1 1 1 1 1 1 2t 5t f(t) L1 3L 3L *L 3e *e 2 s 2 s 5 s 2 s 5 s 3s 10 t
3 e2 e 5(t ) d 0
3 (e2t e 5t ) . 7
6.2 Lineáris rendszerek 6.2.1 Lineáris rendszerek leírása az időtartományban A lineáris rendszereket az „időtartományban” elsőrendű lineáris differenciálegyenletrendszerek vagy magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek, illetve az ezekhez kapcsolódó kezdetiérték-problémák írják le. A t u(t) bemenőjelű, t y(t) kimenőjelű, időinvariáns rendszert a Tnn y(n)(t) Tnn11 y(n1)(t) ... T1 y(x) y(x)
1 (m) (m 1) A m (t) m (t) ... 1 u(x) u(x) f(u(t)) h(t) , m u m 1 u
y(0) y0 , y(0) y0 , ... , y(n1)(0) y(0n1) ,
tömören:
n
Tii y(i)(t)
i0
m
jj u( j)(t) ,
j 0
(i) (i) T00 0 0 1 , y (0) y0 , i 0,..., n 1
lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlethez kapcsolódó kezdetiérték-probléma írja le, ahol n m , a Ti (i=1,…,n) és a i (i=1,…,m) értékek az ún. időállandók, Tnn 0, m m 0 . Az egyenlet jobb oldalán lévő függvényt szokás gerjesztőfüggvénynek
is nevezni. Ezt tanulmányozva látható, hogy a gerjesztés nem csak a bemenőjelnek választott mennyiségtől, hanem annak változásától (deriváltjaitól) is függhet. Ha h(t)=0, akkor a rendszer gerjesztésmentes, a differenciálegyenlet homogén, különben inhomogén. Az inhomogén egyenletek megoldáshalmazának leírásakor használjuk a homogén
85
megfelelő fogalmat arra a homogén egyenletre, amiben a jobb oldalon a h függvény helyett a 0 függvény szerepel. Az egyenletben szereplő A konstans az átviteli tényező, ami a kimenő- és a bemenőjelek arányát fejezi ki, ha állandósult állapot alakul ki (az u és y függvények értéke nem változik). A rendszernek egy t u(t) bemenőjelre adott válasza két hatás eredményeként alakul
ki: a rendszer mozgása (változása) egyrészt a kezdeti értékekből adódó kezdeti egyensúlytalanság, másrészt a gerjesztés következménye. Ezek a hatások külön is vizsgálhatók. Ha a rendszert nem éri gerjesztés, akkor egyensúlytalanság tranziens (átmeneti jellegű) hatásként időben lecseng. A tranziens jelenség lefutása a rendszer belső paramétereinek viszonyától függ, ami számszerűen a Ti időállandók értékében jelenik meg. A gerjesztésmentes állapotot matematikailag a kezdetiérték-probléma homogén megfelelője írja le:
n
Tii y(i)(t) 0 ,
i 0
(i) (i) T00 0 0 1 , y (0) y0 , i 0,..., n 1 .
Ennek a problémának a megoldása szolgáltatja a megoldás tranziens részét. A megoldás másik összetevője a gerjesztés következtében kialakuló hosszú távú hatás, ami a tranziens jelenség lecsengése után meghatározó. Matematikailag ez az inhomogén egyenlet egy (partikuláris) megoldásának felel meg.
6.2.2 A homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza Az an y(n)(t) an1 y(n1)(t) ... a1 y' (t) a0 y(t) 0
an
0 homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet általános megoldása
az an n an1 n1 ... a1 a0 0
karakterisztikus egyenlet gyökeitől függ. Ha i a karakterisztikus egyenlet i -szeres valós
gyöke,
gyökpárja,
uj i v j
a
karakterisztikus
egyenlet
r s i = 1, … , r, j = 1, … , s, 2 j = n , i i1 j1
j -szeres
akkor
az
komplex
konjugált
egyenlet
általános
megoldása az
e i x , x e i x ,…, x i 1 e i x , u j x
e
u j x
e
u j x
sin(v j x) , x e
u j x
cos(v j x) , x e
sin(v j x) ,…, x
j 1
cos(v j x) ,…, x
j 1
u j x
e
u j x
e
sin(v j x) ,
cos(v j x)
i (i = 1, … , r) uj i v j
(j = 1, … , s)
n-elemű (lineárisan független) függvényrendszer elemeinek összes valós együtthatós lineáris kombinációi halmazaként áll elő. A kezdeti értékeknek eleget tevő megoldásfüggvény az együtthatók megfelelő megválasztásával kapható meg.
86
Példa: Gerjesztés nélküli, lineárisan rugalmas mechanikai lengőrendszer.
m [kg] tömegű test egy c [N/m] rugómerevségű rugóhoz, illetve egy – a sebességgel arányos erőt kifejtő – lengéscsillapítóhoz csatlakozik, melynek arányossági tényezője f [Ns/m].
m
f
c
6.1 ábra: A rugalmas mechanikai lengőrendszer modellje
A Newton-egyenlet szerint ekkor az m
d2y(t) dt
2
f
dy(t) f , c y(t) , illetve a k 2m dt
c jelöléseket bevezetve a m d2y(t) dt
2
2k
dy(t) 2 y(t) 0 dt
másodrendű homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet. Az ehhez tartozó karakterisztikus egyenlet: 2 2k 2 0 . A karakterisztikus egyenlet gyökeinek jellege, és így az egyenlet általános megoldása a k és az viszonyától függ. 1. ESET: k , nagy csillapítás, aperiodikus jelleg.
Ekkor
két
darab,
egyszeres
multiplicitású
valós
gyök
van:
1 k k 2 2 ,
2 k k 2 2 . Az általános megoldás: k k 2 2 t
yhom ogén(t) c1 e1 t c2 e 2 t c1 e
k k 2 2 t
c2 e
2. ESET: k , aperiodikus határeset. Ekkor egy darab, kétszeres multiplicitású valós gyök van:
, c1,c2 .
0 k . Az általános
megoldás: yhom ogén(t) c1 e 0 t c2 t e 0 t c1 ek t c2 t ek t , c1,c2 .
3. ESET: k , kis csillapítás, periodikus jelleg. Ekkor egy darab, egyszeres multiplicitású
komplex
gyökpár
van:
u i v k i 2 k 2 , u i v k i 2 k 2 . Az általános megoldás: yhom ogén(t) c1 eut sin(v t) c2 eut cos(v t) c1 ek t sin 2 k2 t c2 ek t cos 2 k 2 t , c1,c2 .
A
megoldásfüggvény
periodikus
jellegű
2 2
k2
periódussal,
az
amplitúdó
exponenciálisan csökken. A mechanikai lengőrendszer mozgásba jön, ha y(0) 0 , vagyis a testet kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetből, vagy ha y(0) 0 , azaz kezdeti sebességet kap a test. A mozgás
87
t y(t) kitérés–idő függvénye úgy adódik, hogy a c1,c2 konstansokat kezdeti helynek és
sebességnek megfelelően választjuk meg. y(0) 0 , y(0) v0 kezdeti értékek mellett a fenti három esetben a következő megoldásfüggvények adódnak: v0
e k t sh k 2 2 t ,
nagy csillapítás, ( k )
y(t)
aperiodikus határeset ( k )
y(t) v0 t e k t , v0 e k t sin 2 k 2 t . y(t) 2 2 k
kis csillapítás, ( k )
2
2
k
kis csillapítás
y(t)
aperiodikus határeset nagy csillapítás
t
6.2 ábra: Tranziens rezgés kis és nagy csillapítás esetén Példa: Soros RLC kör.
Az ohmos ellenállásból, tekercsből és kondenzátorból álló RLC körök (elektromos rezgőrendszerek, rezgőkörök) leírása teljes analógiát mutat a mechanikai rezgőrendszerek fenti leírásával, ezért csak röviden ismertetjük. Egy R ohmos ellenállást, egy L induktivitású tekercset és egy C kapacitású kondenzátort sorosan kapcsolunk egy t E(t) elektromotoros erejű áramforrással, a körben folyó áram: t I(t) . A
feszültségesés
UL (t)
1 Q(t) C
az
egyes
áramköri
elemeken:
és figyelembe véve, hogy I
CL
L
C
I(t) UL (t) L
dI(t) , dt
dI(t) 1 R I(t) Q(t) E(t) . Deriválva az egyenletet, dt C
d2I(t) dQ(t) dI(t) 1 dE(t) azt kapjuk, hogy L R I(t) . 2 dt C dt dt dt
Konstans E(t) E0 elektromotoros erő esetén a
E(t)
(Q a kondenzátor töltése). A Kirchhoff-féle huroktörvény szerint
UR (t) UL (t) UC (t) E(t) , azaz L
1
UR (t) R I(t) ,
R
jelöléseket bevezetve pedig a
88
d2I(t) dt
2
R R dI(t) 1 I(t) 0 , a k , L dt CL 2L
d2y(t) dt
2
2k
dy(t) 2 y(t) 0 dt
másodrendű homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet adódik, ami formailag megegyezik a mechanikai lengőrendszerre kapott egyenlettel. Ennek megfelelően a megoldásfüggvények is hasonlóan alakulnak.
6.2.3 Az inhomogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza Az inhomogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza szoros kapcsolatban áll a homogén megfelelő megoldáshalmazával: az inhomogén egyenlet általános megoldását megkapjuk, ha a homogén megfelelő általános megoldásához hozzáadjuk az inhomogén egyenlet egy (ún. partikuláris) megoldását: yhomogén yinhomogén ypartikuláris . Az előző pontban leírtuk a homogén egyenlet általános megoldását, most a partikuláris megoldás meghatározási lehetőségei közül egyet tekintünk át röviden. A lineáris egyenletek alakjából látszik, hogy bizonyos függvénytípusok esetén a zavaró függvény (h) és a megoldásfüggvény (y) alakja hasonló. Ez akkor fordul elő, ha a deriváltak, és ezzel a deriváltak lineáris kombinációi ugyanabba a függvénytípusba tartoznak, mint az eredeti függvény, például polinomok, exponenciális függvények és a trigonometrikus (szinusz vagy koszinusz) függvények esetén. Ennek alapján bizonyos zavaró függvények esetén meghatározható, hogy a partikuláris megoldást milyen alakban célszerű keresni. Itt csak az előbbiekben említett három példát írjuk le, de a műszaki számításokban leggyakrabban előforduló egyéb esetekre is talál útmutatást az olvasó a matematikai kézikönyvekben. Az an y(n)(t) an1 y(n1)(t) ... a1 y(t) f(t) inhomogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását keressük. Ha a zavarófüggvény polinom: f(t) k tk k 1 tk 1 ... 1 t 0 . 1. ESET: ha 0 nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor
yp (t) k tk k 1 tk 1 ... 1 t 0 . 2. ESET: ha 0 r-szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor
yp(t) tr k tk k 1 tk 1 ... 1 t 0 . Példa:
Határozzuk
meg
az
y(t) y(t) 12y(t) 12t2 14t 1
egyenlet
egy
partikuláris
megoldását! Mivel 0 nem gyöke a 2 12 polinomnak, az 1. ESET szerint kell felírni a zavarófüggvényt: yp (t) 2 t2 1 t 0 . Az yp és az yp derivált függvényeket kiszámítva és visszahelyettesítve az egyenletbe, átrendezés után: 12 2 t2 (22 121) t (22 1 120 ) 12t2 14t 1 .
89
Az együtthatók összehasonlításából a i konstansokra a III. 22 1 120 1 egyenletrendszer adódik, amiből 2 1 , 1 1 , 0 0 , azaz I. 122 12 ,
II. (22 121) 14 ,
yp (t) 2 t2 1 t 0 t2 t . Ha a zavarófüggvény exponenciális függvény: f(t) A et .
1. ESET: ha nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor yp (t) B et . 2. ESET: ha r-szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor yp (t) B tr e t . Példa:
Határozzuk meg az y(t) y(t) 4et egyenlet egy partikuláris megoldását! Mivel 1 egyszeres gyöke a 2 1 polinomnak, a 2. ESET szerint kell a zavarófüggvényt felírni: yp (t) B t et . Az yp és az yp derivált függvényeket kiszámítva és visszahelyettesítve az egyenletbe: 2B e x 4 ex . Az együtthatók összehasonlításából
B 2 , azaz yp (x) 2 x ex . Ha a zavarófüggvény trigonometrikus függvény: f(t) A1 cos( t) A2 sin( t) .
1. ESET: ha i nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor yp (t) B1 cos( t) B2 sin( t) . 2. ESET: ha i r-szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek yp (t) B1 tr cos( t) B2 tr sin( t) . Példa: Határozzuk meg az y(t) 4y(t) sin 2t egyenlet egy partikuláris megoldását!
Mivel i 2i egyszeres gyöke a 2 4 polinomnak, a 2. ESET szerint kell a zavarófüggvényt felírni: yp (t) t B1 cos 2t B2 sin 2t . Az yp és az yp derivált függvényeket kiszámítva és visszahelyettesítve az egyenletbe: 4B1 sin 2t 4B2 cos 2t sin 2t . Az együtthatók összehasonlításából a I. 4B1 1 , II. 4B2 0 egyenletrendszer adódik, 1 1 , B2 0 , azaz yp (t) t cos 2t . 4 4 A linearitás következménye, hogy ha a zavarófüggvény több függvény lineáris kombinációja, akkor a partikuláris megoldást megkaphatjuk úgy, hogy a lineáris kombinációban szereplő függvényekhez külön-külön meghatározzuk megfelelő partikuláris megoldást, és ezek lineáris kombinációját vesszük ugyanazokkal az együtthatókkal.
amiből B1
6.3 Vizsgálófüggvények; súlyfüggvény A lineáris rendszerek vizsgálatának egyik lehetősége, hogy leírjuk valamely speciális bemenetre (vizsgálófüggvényre) adott választ. A leggyakrabban alkalmazott két vizsgálófüggvény az egységimpulzus (Dirac-delta) függvény és az egységugrásfüggvény.
90
Az egységimpulzus- (Dirac-delta) függvény
A Dirac-delta függvény nem valós értékű függvény: értéke csak t=0 esetén különbözik nullától és az integrálja 1. 1 / , 0 t D (t) függvényhez eljuthatunk a A Dirac-delta ( t (t) ) 0, egyébként négyszögimpulzus függvény fogalmán keresztül, 0 határátmenettel. A négyszögimpulzus-függvény egy rövid ideig tartó hatást ír le (a gyakorlatban az értéke nem lehet kisebb egy, az alkalmazott technológiától függő pozitív értéknél), míg az egységimpulzus-függvény az elmélet számára fontos idealizált eset, amikor a hatás egy időpillanatra korlátozódik, ezután a rendszer gerjesztés nélküli.
D (t)
1
(t)
t
t
6.3 ábra: A Dirac-delta függvény származtatása A
Dirac-delta
függvénnyel
való
számolás
szabályai
a
D
függvényekkel kapott
eredményekből kaphatók az 0 határátmenettel. Így igazolható például, hogy ha g folytonos a [0,b] intervallumon valamely pozitív b-re, akkor
g() () d g(0) .
Ez az
0
összefüggés jelenik meg például akkor, amikor egy rendszer válaszát pillanatnyi impulzusok hatásainak szuperpozíciójaként írunk fel. A rendszernek az egységimpulzus bemenőjelre adott válaszát súlyfüggvénynek nevezzük, jele w. Zérus kezdeti értékek mellett a rendszernek tetszőleges u bemenőjelre adott válasza meghatározható a súlyfüggvény ismeretében az t
y(t) w(t ) u() d 0
konvolúciós integrállal. Az összefüggés szemléletes jelentése: egy [0,t] időpillanatban ható u() (t ) impulzus hatása t w(t ) u() , a rendszer t időpillanatbeli kimenete pedig a [0,t] időtartam alatt ható pillanatnyi impulzusok hatásának összege (integrálja). Az egységimpulzus-függvény Laplace-transzformáltja: L (t) 1 .
91
Az egységugrás-függvény
0, t 0 , a rendszer erre adott Az egységurás-függvény: 1(t) 1, t 0
1(t) 1
válasza az átmeneti függvény, jele v. Az átmeneti függvény a súlyfüggvény deriváltja. A rendszernek tetszőleges bemenetre t adott válasza felírható az átmeneti függvény segítségével is a következő formában: 6.4 ábra: Egységugrásfüggvény t
y(t) u(0) v(t) v(t ) 0
du() d . d
Az egységugrásfüggvény Laplace-transzformáltja: L1(t)
1 . s
6.4 A Laplace-transzformáció alkalmazása a lineáris rendszerek vizsgálatában A Laplace-transzformáció tulajdonságainak ismertetésekor már megjegyeztük, hogy a lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenleteket transzformálva a bemenő- és a kimenőjelek transzformáltjai között algebrai kapcsolat adódik. A transzformáció alkalmazható az inhomogén lineáris differenciálegyenletekhez kapcsolódó kezdetiérték-problémák megoldására (az alábbiakban erre mutatunk példákat), de például szabályozástechnikában nagyobb jelentősége van a transzformáltak hányadosaként adódó átviteli függvénynek. Feltételezve, hogy y(0) y(0) ... y(n1)(0) 0 , a Tnn y(n)(t) Tnn11 y(n1)(t) ... T1 y(t) y(t)
(m) (m 1) 1 A m (t) m (t) ... 1 u(t) u(t) f(u(t)) h(t) m u m 1 u
egyenletet transzformálva, és abból az
Y(s) hányadost kifejezve kapjuk a rendszer U(s)
átviteli függvényét:
H(s)
1 n1 Y(s) m sm m ... 1 s 1 m1 s . m n n n1 n1 U(s) Tn s Tn1 s ... T1 s 1
A rendszer viselkedését egyértelműen jellemzi az átviteli függvénye. A nevező zérushelyeinek (a pólusoknak) kitüntetett szerepe van a tulajdonságok szempontjából, a pólusok elhelyezkedése meghatározza a tranziens viselkedést. A H(s) átviteli függvény ismeretében egy tetszőleges u(t) bemenőjelre adott y(t) válaszfüggvény kifejezése: Y(s) H(s) U(s)
y(t) L1H(s) U(s) .
92
Speciálisan
u(t) (t)
esetén
Y(s) H(s) U(s) H(s) ,
azaz
w(t) L1H(s) ,
avagy
H(s) L w(t) . Ennek alapján tetszőleges u(t) bemenetre adódik a korábban már felírt t
y(t) L1H(s) U(s) w(t ) u() d összefüggés. Az u(t) 1(t) függvény esetén pedig 0
Y(s) H(s) U(s)
1 1 H(s) , azaz v(t) L1 H(s) , avagy H(s) s L v(t) . s s
A végértéktételek alapján egyrészt v(0) lim s s
H(s) lim H(s) , másrészt az átmeneti s s
H(s) lim H(s) . s t s 0 s 0 Az átviteli függvényt igen hasznossá teszi, hogy tagok soros, párhuzamos kapcsolása, és pozitív, illetve negatív visszacsatolása esetén az összetett rendszer átviteli függvénye a tagok átviteli függvényéből könnyen kifejezhető.
függvény állandósult értékére (ha van): lim v(t) lim s
Soros kapcsolás:
H(s) H1(s) H2(s)
Párhuzamos kapcsolás:
H(s) H1(s) H2 (s)
Negatív visszacsatolás:
H(s)
Pozitív visszacsatolás:
H1(s) H(s) 1 H1(s) H2 (s)
H1(s)
H2 (s) H1(s)
H2 (s)
H1(s) 1 H1(s) H2 (s)
H1(s) H2 (s)
H1(s)
H2 (s)
6.5 Lineáris rendszerek vizsgálata a frekvenciatartományban A Fourier-elméletből a lineáris rendszerek tekintetében az adódik, hogy egy rendszer bármely bemenőjelre adott válasza előállítható a harmonikus (szinuszos) bemenőjelekre adott válaszok szuperpozíciójaként. u(t) Au sin( t u ) bemenőjelre adott válasz A linearitás miatt egy y(t) A y sin( t y ) y tranziens(t) alakú. Látható, hogy a bemenő- és a kimenőjelek
körfrekvenciája megegyezik, körfrekvenciától függ:
viszont
A y () Au()
a() ,
az
amplitúdóviszony
és
a
fáziseltolódás
a
y () u() () .
Az a() ei() függvényt frekvenciafüggvénynek nevezzük. A frekvenciafüggvény a kimenet és a bemenet Fourier-transzformáltjainak hányadosa. Mivel az átviteli függvény kimenet és a bemenet Laplace-transzformáltjainak hányadosa, a két függvény szoros kapcsolatban áll: a() ei() H(i ) .
93
Megjegyzés: A frekvenciafüggvény a súlyfüggvény Fourier-transzformáltja, míg az átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace-transzformáltja. Az a() és az () függvények megjelenítésére a Nykvist- és a Bode-diagramok
használatosak. A Nykvist-diagramban az a(), () párokat jelenítjük meg úgy, mint a komplex számokat a hossz és a szög alapján. A Bode-diagramban az a() és az () függvények két derékszögű koordináta-rendszerben jelennek meg. A vízszintes
tengelyen ( ) mindkét grafikon esetén logaritmikus skálázást alkalmazunk, az a() grafikon esetén a függőleges tengelyen decibelskála használatos ( n dB 10n / 20 egység ). Példa: A rendszer differenciálegyenlete: 0,0001 y(t) 0,00002 y(t) y(t) u(t) ,
a kezdeti értékek: y(0) 0, y(0) 0 , a rendszer átviteli függvénye: H(s)
1 2
0,0001 s 0,00002 s 1
a rendszer Nykvist- és Bode-diagramja (Matlab-bal készített ábrák): Nyquist Diagram
600
Bode Diagram
40 30
20
Magnitude (dB)
400
200
10
0
-10
Imaginary Axis
-20
-30
0
-40 0
-45
Phase (deg)
-200
-90
-400 -135
-600 -300
-200
-100
0
100
200
300
-180 1 10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Real Axis
6.5 ábra: Nykvist- és Bode-diagram
6.6 Lineáris kezdetiérték-problémák transzformációval Az
an y(n)(t) an1 y(n1)(t) ... a1 y(t) f(t)
konstansegyütthatós
differenciálegyenlethez (n1)
megoldását keressük, y(0) y0 , y(0) y0 , ... , y A deriváltak ciálegyenletet Y(s)
megoldása
(an0) kapcsolódó (0)
inhomogén
Laplace-
lineáris
kezdetiérték-probléma
y(0n1) .
Laplace-transzformáltjára vonatkozó formulák alapján, a differentranszformálva az s Y(s) és az s F(s) függvényekre az
1 1 P(s) P(s) F(s) , illetve az y(t) L1 F(s) összefüggés adódik, ahol P Q(s) Q(s) Q ( s ) Q (s)
94
és Q polinom. Az s F(s) függvény kiszámítása problémás lehet, de a konvolúció tétel alkalmazásával ez elkerülhető: 1 P(s) P(s) 1 1 F(s) F(s) L1 y(t) L1 L Q ( s ) Q ( s ) Q ( s ) Q(s) t 1 1 1 P(s) L1 * L F ( s ) L g ( t ) * f ( t ) g ( t ) 1 2 f() g1(t ) d g2(t) . Q(s) Q(s) 0
Alkalmazás elsőrendű kezdetiérték-problémák esetén
Tekintsük az y(t) a y(t) f(t) ,
y(0) y0
kezdetiérték-problémát. Az egyenletet transzformálva: s Y(s) y0 a Y(s) F(s) , amiből y 1 F(s) 0 , illetve sa sa
Y(s)
1 at g1(t) L1 e s a
1 at g2 (t) y0 L1 . y0 e s a
és
Példa: y(t) 2 y(t) (t 1) et , y(0) 1 , Y(s)
1 1 1 1 2t 2t , F(s) , g1(t) L1 , g2 (t) L1 e e s 2 s2 s2 s 2
y(t)
( 1) e t
0
y(t)
t
e 2(t ) d e 2t e 2t ( 1) e3 d e 2t , 0
7 2t 1 2 e t et et . 9 3 9
Alkalmazás másodrendű egyenletek esetén
Tekintsük az y(t) a y(t) b y(t) f(t) , y(0) y0 , y(0) y0
kezdetiérték-problémát. Az egyenletet transzformálva: s2 Y(s) s y0 y0 a s Y(s) y0 b Y(s) F(s) ,
amiből Y(s)
1 2
s as b
F(s)
(s a) y0 y0 s2 a s b
,
illetve 1 g1(t) L1 , 2 s a s b
(s a) y0 y0 g2 (t) L1 . s2 a s b
95
Példa: y(t) 6y(t) 8y(t) et 1 , y(0) 1 , y(0) 2 ,
Y(s)
1 2
s 6s 8
F(s)
s8 2
s 6s 8
,
1 1 1 1 1 1 g1(t) L1 L 2 2 s 2 2 s 4 s 6s 8
1 1 1 1 1 1 1 2t 1 4t L e , L e 2 2 s 2 2 s 4 2
s8 1 1 1 2 g2 (t) L1 L 3 2 s 2 s 4 s 6s 8 1 1 1 2t 3 L1 2 e 4t , 2 L 3e s 2 s 4 t 1 1 y(t) (e 1) e 2(t ) e 4(t ) d 3 e 2t 2 e 4t , 2 2 0
y(t)
1 1 31 2t 71 et e e 4t . 15 8 12 40
96
FELHASZNÁLT SZAKIRODALOM
[1] JÁRAI Antal: Modern alkalmazott analízis. Budapest: Typotex Könyvkiadó, 2007. – ISBN 978 9639664 47 0. [2] Michael D. GREENBERG: Advanced Engineering Mathematics. New Jersey: Prentice Hall, 1998. – ISBN 0 13 321431 1. [3] KEVICZKY László et. al.: Szabályozástechnika. Budapest: Műegyetemi Kiadó, 2006.
97
